一无界区域上的二重积分定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域上的二元函数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与的交集 E = ( 图 1-4) g g 上二重可积. 令 { } g d = min x +

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束黑褚
5 years ago
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1 * 8 反常二重积分与反常定积分相同, 二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形, 统称为反常二重积分. 一无界区域上的二重积分二无界函数的二重积分返回

2 一无界区域上的二重积分定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域上的二元函数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与的交集 E = ( 图 1-4) g g 上二重可积. 令 { } g d = min x + y ( x, y) Î. g 若存在有限存在有限极限 : g y O E g 图 g 1-4 x

3 且与 lim f ( x, y)d s, d g g 的取法无关, 则称 f ( x, y) g 在上的反常二重积分收敛, 并记 f ( x, y)d s = lim f ( x, y)d s; (1) d g 否则称 f ( x, y ) 在上的反常二重积分发散, 或简称 f ( x, y)ds 发散. 定理 1.16 设在无界区域上 f ( x, y ) ³ 0, g 1, g,, g

4 g, n 为一列包围原点的光滑封闭曲线序列, 满足 { } g n (i) d = inf x + y ( x, y) Î + ( n ); n (ii) I = sup f ( x, y)d s < +, n n 其中 = E, 为 g n 所围的有界区域. 这时反 n n E n 常二重积分 (1) 必定收敛, 并且 f ( x, y)d s = I. 证设 g 为任何包围原点的光滑封闭曲线, 它所围成

5 的区域记为因此存在 n, 使得以有另一方面, 因为 E, 并记 = E. 因为 lim d = +, x Ì Ì. 由于 f ( x, y) ³ 0, n f ( x, y)d s f ( x, y)d s I. n n 所故对任给的 I sup f ( x, y)d s, = n e > 0, 总有 n, 0 使得 n

6 f ( x, y)d s > I - e. 再由 n 0 因而对于充分大的 É n f ( x, y)d s > I - e. I - e < f ( x, y)d s I, 由定理 1.16 的证明容易看到有以下定理 : 0, 有可知反常二重积分 f ( x, y)ds 存在, 且等于 I.

7 定理 1.17 若在无界区域上 f ( x, y ) ³ 0, 则反常二重积分 (1) 收敛的充要条件是 : 在的任何有界子区域上 f ( x, y ) 可积, 且积分值有上界. 例 1 证明反常二重积分 e -( x + y ) ds 收敛, 其中为第一象限部分, 即证设 R 部分. 因为 -( x + y ) e 0, = [0, + ) [0, + ). 是以原点为圆心 R 为半径的圆在第一象限 > 所以二重积分

8 R e -( x + y ) ds 的值随着 R 的增大而增大. 又因所以 R p R -( x + y ) -r - R e d s = d q e rd r = (1 - e ), 0 0 ò ò π 4 ( ) lim - x + y - R e ds = lim (1 - e ) =. R R 4 4 R 显然对的任何有界子区域, 总存在足够大的 R, p p

9 使得 Ì R, 于是 ( ) ( ) π - x + y - x + y e d s e d s. R 因此由定理 1.17, 反常二重积分 e -( x + y ) ds 收敛, 并且由定理 1.16 有 ( x y ) π - + e d s =. () 4 由 () 式还可推出在概率论中经常用到的反常积分

10 ò x e d s 的值. 为此, 考察 S = [0, a] [0, a ] 上的积分 a S a s -( x + y ) e d. 因为 S a e -( x + y ) ds y a a - a x - y e dx e d 0 0 = ò ò ( a ) - x x = ò e d, 0 y a O a a 图 S a 1-43 x 而 Ì S Ì a a a ( 图 1-43), 所以

11 令 a + a s -( x + y ) -( x + y ) e d e d, 则得 s Sa a - x ( x y ) ( e d x) - + e d s. 0 = ò a 故得 ( a ) ò x 0 - x -( x + y ) p lim e d = e d s =, + 4 a x p ò + e - d x =. 0

12 下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有关 B 函数与 G 函数的联系公式. 例证明 : 若 p > 0, q > 0, 则 G( p) G( q) B( p, q) =. G( p + q) 证对于 G 函数, 令 x = u, 则 dx = udu, 于是从而 G G + + p-1 - x p-1 -u ( p) = ò x e dx = ò u e d u p-1 - x q-1 - y ( ) G( ) = 4ò e d ò e d 0 0 p q x x y y

13 R R p-1 - x q 1 y lim 4 x e dx ò - - y e d y. R 0 0 = ò 令 = [0, R] [0, R ], 由二重积分化为累次积分的计 R 算公式, 有所以 G R x e p-1 q-1 -( x + y ) R y R p-1 - x q-1 - y 0 0 ds = x e dx y e d y. ò ò p G q x y s = p-1 q-1 -( x + y ) ( ) ( ) lim 4 e d R R

14 这里 = 式右边的反常二重积分, 记于是有 G p-1 q-1 -( x + y ) 4 e d, (4) x y s 为平面上第一象限. 和例 1 一样, 下面讨论 (4) { } = ( x, y) x + y r, x ³ 0, y ³ 0. r p G q x y s p-1 q-1 -( x + y ) ( ) ( ) 4 e d, = = p-1 q-1 -( x + y ) lim 4 e d. r r x y s

15 对上式积分应用极坐标变换, 则得 G( p) G( q) p r ( p+ q) - p-1 q-1 -r lim 4 d q r (cos q ) (sin q ) e rd r. r 0 0 = ò ò p r p-1 q- 1 ( p q) 1 r lim (cos q ) (sin q ) d q ò r e d r 0 0 = ò p p-1 q-1 (cos q ) (sin q ) d q G( p 0 q). = + ò 再由第十九章 3 的 (10) 式就得到 G( p) G( q) = B( p, q) G( p + q). r

16 定理 1.18 设证 ( 只证充分性 f ( x, y) 只证充分性 ) 设 f f 在无界区域域上可积. 则反常二重积分要条件是 : 反常二重积分助函数 : 反常二重积分的任何有界子区 f ( x, y ) d s 收敛于 M. 作辅 f ( x, y) f ( x, y) ( x, y) =, + + f ( x, y) f ( x, y) ( x, y) =. - - f ( x, y) ds 收敛的充 f ( x, y ) d s 收敛.

17 显然有 0 f + ( x, y) f ( x, y), 0 f - ( x, y) f ( x, y), 因而任给有界区域 s Ì, 恒有 s + f ( x, y)d s f ( x, y) d s = M, s s - f ( x, y)d s f ( x, y) d s = M. s 所以 f + ( x, y) 与 f - ( x, y) 在上的反常二重积分都收敛. 又因 f x y = f x y - f x y + - (, ) (, ) (, ),

18 所以 f ( x, y ) 在上的反常二重积分也收敛. 关于必要性的证明, 有兴趣的读者可参阅菲赫金哥尔茨著的微积分学教程第三卷第一分册. 注对于反常定积分, 绝对收敛的反常积分一定收敛, 反之不然. 而在反常二重积分中, 绝对收敛的反常积分一定收敛, 反之亦然. 出现这种区别的原因, 是因为直线上的点是有序的, 而在平面上的点是无序的. 定理 1.19 ( 柯西判别法 ) 设 f ( x, y ) 在无界区域的任何有界子区域上可积, 中的点 ( x, y ) 到原点的距

19 离为 r = x + y. c (i) 若当 r 足够大时, f ( x, y) ( c 为正常数 ), p r 则当 (ii) 若 p > f ( x, y)d 时, 反常二重积分 s 收敛 ; c f ( x, y ) 在上满足 f ( x, y) ³, p 其中包 r 含有以原点为顶点的无限扇形区域, 则当 p 时, 反常二重积分 f ( x, y)ds 发散.

20 = (, ) Î, +, 则 * 证记 { } r x y x y r (i) 因为对任意 R > 1, f ( x, y) d s = f ( x, y) d s + f ( x, y) d s \ R 1 R 1 p R c f ( x, y) d s + ò d qò r dr 0 1 p r R = f ( x, y) ds + pc p p

21 所以 f ( x, y)ds 收敛. (ii) 设 É G, 其中 pc f ( x, y) d s + < +, p - 1 { q q q a b } G = ( x, y) = ( r cos, r sin ) Î[, ], r Î [0, + ). 对任意 R > 1, f ( x, y) d s ³ f ( x, y) d s G

22 - p b R c æ R -1 ö ³ ò dqò r dr = pc a 1 p r ç + p è - ø ( R + ). 因此 f ( x, y)ds 发散.

23 二. 无界函数的二重积分定义设 P 为有界区域的一个聚点, f ( x, y ) 在上除点 P 外皆有定义, 且在 P 的任何空心邻域内无界, 为中任何含有 P 的小区域, f ( x, y) 在 - 上可积, 又设 d 表示的直径. 若极限存在且有限, 并与 lim f ( x, y )d s d 0 - 的取法无关, 则称 f ( x, y) 在

24 上的反常二重积分收敛, 记作 f ( x, y)d s = lim f ( x, y)d s; d 0 - 否则称反常积分 f ( x, y)ds 发散. 与无界区域上的反常重积分一样, 对无界函数的反常重积分也可建立相应的收敛性定理. 其证明方法也与定理 1.19 类同, 请读者自证.

25 定理 1.0 ( 柯西判别法 ) 设 f ( x, y ) 在有界区域上除点 P( x0, y0) 外处处有定义, 点 P 是它的瑕点, 则下面两个结论成立 : (i) 若在点 P 的附近有 c f ( x, y), 其中 c 为常数, r = ( x - x ) + ( y - y ), 则当 a < r a 0 0 时, 反常二重积分 f ( x, y)ds 收敛 ;

26 (ii) 若在点 P 的附近有 c f ( x, y) ³, 且含有以点 P 为顶点的角形区域, 则当 a ³ 时, r a 反常二重积分 f ( x, y)ds 发散. 复习思考题总结反常定积分与反常二重积分有哪些相同与不同之处.

一含参量正常积分的定义设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的二元函数. 当取 [ a, b ] 上的定值时, 函数定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f

一含参量正常积分的定义设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的二元函数. 当取 [ a, b ] 上的定值时, 函数定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f 含参量正常积分对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一含参量正常积分的定义二含参量正常积分的连续性三含参量正常积分的可微性四含参量正常积分的可积性五例题返回一含参量正常积分的定义设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的二元函数. 当取 [

一 无界区域上的二重积分 定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域 上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与 的交集 E = ( 图 1-4) g g 上二重可积. 令 { } g d = min x +

一无界区域上的二重积分定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域上的二元函数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与的交集 E = ( 图 1-4) g g 上二重可积. 令 { } g d = min x +