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骅搅杭
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1 3.4 解析函数的原函数 1 原函数的概念 2 Newton-Leibni 公式 3 莫勒拉定理与刘维尔定理

2 3.4.1 原函数的概念定义 3.2 设 f () 是定义在区域 D 上的连续函数, 若存在 D 上的函数 F() 使得 F ( ) = f( ) 在 D 内成立, 则称 F() 是 f () 在区域 D 上的原函数显然 F() 在 D 上解析如果 f () 在区域 D 上存在原函数 F(), 则 f () 是解析函数, 因为解析函数的导函数仍是解析函数. 原函数之间的关系 : 定理 3.7 设 F() 和 G() 都是 f () 在区域 D 上的原函数, 则 F( ) G( ) C ( 常数 ).

3 证明设 F() 和 G() 都是 f () 在区域 D 上的原函数, 于是 F ( ) G ( ) = F ( ) G ( ) = f( ) f( ) 0. [ ] 根据第二章例 10 可知, F( ) G( ) 为常数. 根据以上讨论可知 : 如果 F() 是 f () 在区域 D 上的一个原函数, 那么它就有无穷多个原函数, 一般表达式为 F( ) + C( 其中 C 是任意复常数 ).

4 定理 3.8 设 f () 是单连通区域 D 上的解析函数, 0 是 D 内的一个点, C 是 D 内以 0 为起点, 为终点的分段光滑 ( 或可求长 ) 曲线, 则积分 C f ( ζ)dζ 只依赖于 0 与, 而与路径 C 无关. 证明可利用定理 3.1 和 Cauchy- Riemann 方程以及曲线积分路径无关的充分必要条件来证明. 下面利用 Cauchy 积分定理证明.

5 设 C 1 与 C 2 都是以 D 内以 0 为起点, 为终点的分段光滑曲线, 又不妨设 C 1 与 C 2 都是简单曲线. 如果 C 1 与 C 2 除起点和终点之外, 再没有其他重点, 则 C + C 是 Jordan 曲线, C 1 C 2 D 根据 Cauchy 定理有 C 1+ C2 f ( ζ)dζ = 0, C f( ζ )d ζ = f( ζ )d ζ. C 1 2

6 如果 C 1 与 C 2 除起点和终点之外, 还有其他重点, 0 C 1 D C 在 D 内再做一条以 0 为起点, C 2 为终点, 除起点和终点之外, 与 C 1 与 C 2 没有其他重点的分段光滑曲线 C, 则由已证明的情形, f( ζ )d ζ = f( ζ )d ζ = f( ζ )d ζ. C C C 1 2

7 如果 f () 在单连通区域 D 内解析, 则 f () 在以 0 为起点, 为终点的 D 内的分段光滑曲线 C 上积分, 0 C 1 C 2 D 0 C 1 D C 2 积分值与积分路径无关, 即可记为 C f( ζ)d ζ = f( ζ)d ζ = f( ζ)d ζ. C 1 2 于是确定了 D 内的一个单值函数 0 ( ) F = f ( ζ )d ζ. 0

8 定理 3.9 设 f () 是单连通区域 D 上的解析函数, 0 和是 D 内的点, 则 ( ) F = f ( ζ )d ζ 是 f () 在 D 上的原函数. 0 证明因为是 D 内的点, 以为中心作一个含于 D 内的 D 0g Γ 以圆周 Γ 为边界的圆域.

9 取 Δ 充分小, 使得 + Δ 在圆周 Γ 内. 注意 F( + Δ) F( ) = +Δ f( ζ)d ζ f( ζ)d ζ. 0 0 因为积分与积分路径无关, 所以积分 +Δ 0 f ( ζ )dζ 可以先从 0 到, 然后从沿着直线再到 + Δ, 即 +Δ 0 f ( ζ )dζ +Δ = f( ζ)d ζ + f( ζ)d ζ. 0 D 0 ζ + Δ Γ

10 于是 +Δ F( +Δ) F( ) = f( ζ)d ζ, F( +Δ) F( ) 1 +Δ f( ) = [ f( ζ ) f( ) ] d ζ. Δ Δ 因为函数 f () 在 D 内连续, 所以 ε > 0, 存在并且 δ > 0, 使得当 ζ < δ 时, 有 f( ζ ) f( ) < ε. 从而当 Δ <δ 时, 利用估值不等式 D 0 ζ + Δ Γ

11 F( + Δ) Δ F( ) f ( ) 1 +Δ = [ f( ζ ) f( ) ] dζ Δ 1 Δ +Δ f( ζ ) f( ) ds 1 Δ ε Δ = ε. Δ 0 于是 F( +Δ) F( ) lim f( ) = 0, Δ 即 F ( ) = f( ). B 0 ζ + Δ K 与微积分学中对变上限积分求导定理相同.

12 3.4.2 Newton-Leibni 公式定理 3.10 设 f () 是单连通区域 D 上的解析函数, F() 是 f () 在 D 上的原函数, 0 和 1 是 D 内的两点, 则 0 1 f( )d = F( ) F( ). 1 0 证明因为 f( )d 也是 f () 在 D 上的原函数, 0 根据定理 f( )d = F( ) + C, 其中 C 为常数, 易见 C = F( 0).

13 说明 : 有了上述定理, 复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算. 如果没有 D 是单连通区域的假设, 那么一般是一个多值函数. ( ) F = f ( ζ )d ζ 0

14 3.4.3 莫勒拉定理与刘维尔定理定理 3.11( 莫勒拉 (Morera) 定理 ) 设 f( ) 在区域 D内连续, 且对 D内任意简单闭曲线 L有则 f( ) 在 D内解析. L 证取定 D, 作以为心的圆盘 K D, 0 0 f ( ) d = 0, 于是在区域 K内, f( ) 连续, 且对 K内任一简单闭曲线 L, f () d = 0, L

15 根据定理 3.9, 我们知道 F () = f () ξ dξ, 是 K内确定的一个函数, 并且因此 F () 在 K内解析, f(). 0 F ' () = f(), K, 特别在 0处解析 0 当然, f () 在 K 内解析由的任意性, f() 在 D内解析.

16 定义 3.3 在整个复平面上解析的函数称为整函数. 如 : 多项式, e,sin,cos都是整函数. 定理 3.12 ( 柯西不等式 ) nm! ( ρ) ( ),( = 1,2, L,0! = 1), ρ ( n) f 0 n n 其中 M( ρ) = max f( ) (0 < ρ < ρ ). = ρ 设 f( ) 在以圆 L: = ρ (0 < ρ <+ ) 为边界的闭圆盘上连续, 在 < ρ 上解析, 则 0

17 证在闭圆盘中应用高阶导数公式 n! f( ξ) ( n) f ( 0) = d n πi =ρ + ( ξ 0) n! f( ξ) dξ 2 πi 0 =ρ ξ n ξ n! M( ρ) dξ ρ n π = ρ + nm! ( ρ) dξ n 2πρ =ρ nm! ( ρ) nm! ( ρ) 2 πρ =. n+ 1 n 2πρ ρ

18 定理 3.13 ( 刘维尔定理 ) 有界整函数必定恒为常数. 证设 f() 是一有界整函数, 则 f() 在整个复平面上解析, 且存在 M > 0 使得 f( ) < M. ' 下证 f() 常数, 只需证 f () 0. C, ρ [0, + ), f( ) 在 { : ρ} 上解析. 0 0 于是由柯西不等式, 有令 ' ρ + 得 f 0 = ' 0 f ( 0). ( ) 0. 故 f() 在 C上恒等于常数. M ρ ' 而 0 是任意的, 所以 f ( ) 0.

19 例 3.16 设 f( ) 为一整函数, 且存在 M R, 使得 C, 有 Re f( ) > M, 则 f( ) 恒为常数. 解 ( ) 设 F () = e f, 则 F () 也为整函数, 且 F e e e f ( ) Re f ( ) M () = =. 由刘维尔定理得 F () 恒为常数. 故 f() = ln F() 也恒为常数.

20 例 3.17 解任取 0 C, R> 0, 则 f() 在 - 0 R上解析. 于是由柯西不等式得, ' M( R) f ( 0), R 而 M( R) = f( ) max (1 + ) 1 + ( + R), - = R ' 1 + ( 0 + R) = 所以 f ( ) ( ). R R R R 令得, ' R + f 0 故 f() 恒为常数. 设 f( ) 为整函数, 且 f( ) 1 + ( C), 则 f( ) 恒为常数. ( ) 0. 0 而任意的, 则 f C 1 2 ' 0 ( ) 0( ).

21 3.5 调和函数 1 调和函数的概念 2 解析函数与调和函数的关系

22 3.5.1 调和函数的概念如果二元函数 ϕ (x,y) 在区域 D 内存在二阶连续偏导数, 且满足二阶偏微分方程 (Laplace 方程 ) ϕ x ϕ y = 0, 2 2 则称 ϕ (x,y) 是区域 D 内的调和函数. 工程中的许多问题, 如平面上的稳定温度场静电场等都满足 Laplace 方程.

23 下面简单推导平面稳定温度场中温度函数是一个调和函数. 设所考虑物质的导热性能在某一区域 D 内是均匀的各向同性的, 导热系数是常数, 且 D 内没有热源. 这样, 在 D 内就形成一个稳定的温度场. 记 T(x,y) 表示其温度分布函数, 在 D 内任取一条其内部属于 D 的简单闭曲线 C, 以 σ 表示其内部. 根据物理学中的 Fourier 定律, 在单位时间内, 通过 C 上一个小弧段 ds 自 C 的内部 σ 流出的热量是

24 T k d, s n 其中 n 表示外法线方向. 因此, y C σ ds D n 通过整个曲线 C 流出的热量是 x T T T k ds= k cos( n, x) + cos( n, y) ds n x y C C 2 2 T T = k + dd. x y 2 2 x y σ

25 因为 σ 内各点的温度不随时间改变, 并且没有热源存在, 所以应有 σ 2 2 T T + dd x y= x y 由于 C 的任意性, 有 T x T y = 0, 2 2 即温度分布函数是一个调和函数.

26 3.5.2 解析函数与调和函数的关系定理 3.14 设 f ( ) = u( x, y) + iv( x, y) 是区域 D 内的解析函数, 则 u(x,y) 和 v(x,y) 都是区域 D 内的调和函数. 证明因为 f () 在 D 内解析, 所以满足 Cauchy- Riemann 条件 u x = v y, u y = v x. 由于解析函数的导数仍是解析函数, 因此 u(x,y) 和

27 v(x,y) 存在各阶连续偏导数. 将 u v u v =, = x y y x 分别对 x 和 y 求导, 则 = x x y 2 u v, 2 2 u v. 2 = y y x 当混合偏导数连续时, 求导次序可以交换. 因此, u x u y = 0, 2 2 即 u(x,y) 是调和函数. 同理可证 v(x,y) 也是调和函数.

28 如果任给区域 D 内两个调和函数 u(x,y) 和 v(x,y), 那么 u(x,y)+iv(x,y) 在 D 内是否为解析函数? 考虑 2 2 f ( ) = x y + 2xyi 和 f x y xyi 2 2 ( ) = 2. 如果 u(x,y) 和 v(x,y) 都是区域 D 内的调和函数, 且 u(x,y)+iv(x,y) 是 D 内的解析函数, 则称 v(x,y) 是 u(x,y) 的共轭调和函数. 区域 D 内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.

29 现在提出如下问题 : 已知 u(x,y) 是区域 D 内的调和函数, 是否存在 u(x,y) 的共轭调和函数 v(x,y), 使得函数 f ()=u+iv 是 D 上的解析函数? 或者已知调和函数 v(x,y) 时, 是否存在调和函数 u(x,y), 使得 f ()=u+iv 是 D 内的解析函数? 回答是肯定的, 以下用举例的方法加以说明.

30 例 3.18 证明 3 2 uxy (, ) y 3xy = 是全平面内的调和函数, 并求以它为实部的解析函数. 解因为在全平面内 u = 6 xy, x 2 u 2 x = 6 y, u y = 3 y 2 3x 2, 2 u 2 = y 6 y, 于是 u x u y = 0, 2 2 故 uxy (, ) 为调和函数.

31 求 u 为实部的解析函数. 由 v y u = = 6 xy, x 则 v = xy y = xy + g x 2 6 d 3 ( ), v x = y g ( x). 又因为 v x u = = + y 2 2 3y 3 x, 所以 + = y g ( x) 3y 3 x, 2 3 gx ( ) = 3xdx= x + C ( 其中 C 为任意实常数 ).

32 从而 v x y x xy C 3 2 (, ) = 3 +. 于是得解析函数 w = y x y + i x xy + C 3 ( 3 ). 令 x = +, y=, 2 2i 那么函数可以化为其中 C 为任意实常数. w = f = i + C 3 ( ) ( ),

33 例 3.19 已知调和函数 x vxy (, ) = e( ycos y+ xsin y) + x+ y 是解析函数 f () 的虚部, 且 f (0)=1, 求 f () 的表达式. 所以 u v 解因为 =, 以及 x y v y = e x (cos y ysin y + xcos y) + 1, x u= e (cos y ysin y+ xcos y) + 1 dx x = e ( xcos y ysin y) + x+ g( y).

34 v u 又因为 =, 以及 x y v x = e x ( ycos y + xsin y + sin y) + 1, 所以 e x ( ycos y + xsin y + sin y) + 1 x = e ( xsin y+ ycos y+ sin y) g ( y). 故 g ( y) = 1, 从而 g( y) = y+ C (C 是实常数 ), x u= e ( xcos y ysin y) + x y+ C.

35 f ( ) = u + iv x = e ( xcos y ysin y) + x y+ C x + i e ( ycosy+ xsin y) + x+ y x iy x iy = xe e + iye e + x(1 + i) + iy(1 + i) + C = e + (1 + i) + C. 由 f (0) = 1, 得 C = 1. 因此 f ( ) = e + (1 + i) + 1.

36 另一方法因为 v f ( ) = + i y v x x = e (cos y ysin y+ xcos y) + 1 x + i e ( ycosy+ xsiny+ sin y) + 1, 令 y = 0, 即在实轴取值, 则 x x f ( x) = xe + e i, x 所以 f ( x) = xe + (1 + i) x + C (C 是常数 ). 将 x 替换成, 即得 f ( ) = e + (1 + i) + C, 由 f (0) = 1, 可知 C = 1. 因此 f ( ) = e + (1 + i) + 1.

37 例 3.20 已知 u + v = x y x + xy + y x + y 求解析函数 f ( ) = u + iv. u x y 2 2 ( )( 4 ) 2( ), 解分别求导数可得 v = ( x + 4xy + y ) + ( x y)(2x + 4 y) y x u + v = x + xy + y + x y x + y 2 2 ( 4 ) ( )(4 2 ) 2. 2, u v u v 因为 =, =, x y y x 所以 2 2 v y = 3x 3 y 2, v = 6 xy. x

38 因此 f = v + iv = x y + xyi 2 2 ( ) y x 令 y = 0, 即在实轴取值, 则 f x = x 2 ( ) 3 2, 于是 3 f( x) x 2x C = + (C 是常数 ). 将 x 替换成, 即得 f C 3 ( ) = 2 +.

39 本章主要内容复变函数的积分积分存在的条件及计算积分的性质 Cauchy 积分定理 Cauchy 积分公式高阶导数公式复合闭路定理原函数的概念 Newton- Leibni 公式调和函数与解析函数

40 本章的重点 1. Cauchy 积分定理 2. 复合闭路定理 3. Cauchy 积分公式与高阶导数公式 4. 复变函数积分的计算

41 作业 7 第 140 页, 第三章习题 ( 一 ):6; 15; 16(1)(2); 17(2); 18; 习题 ( 二 ):11.

Ａ

工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录 A. 复数与复变函数 ( 第一章 ).... 复数.... 复变函数...4 A. 导数 ( 第二章 )...6. 解析函数...6.4 调和函数...8 A. 积分 ( 第三章 )...9. 柯西积分公式解析函数的导数...9 A.4 级数 ( 第四章 )... 4. 泰勒级数... 4.4 罗朗级数...