不定积分求几何图形的面积求曲线的弧长求几何体的体积

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静缪
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1 第四章一元积分学 28 年 2 月 5 日目录不定积分. 不定积分的概念不定积分的计算线性运算换元积分法分部积分法一些特殊函数的不定积分有理函数可有理化的函定积分 5 2. 定积分的概念和可积条件定积分的定义 Drboux 和可积性条件定积分基本性质线性性质区间可加性乘积可积性保序性绝对可积性积分第一中值定理积分第二中值定理 * 微积分基本定理变上限积分 Newton-Leibniz 公式定积分的分部积分法定积分的换元法定积分的几何应用

2 不定积分求几何图形的面积求曲线的弧长求几何体的体积求旋转曲面的面积求曲线的曲率定积分的实际应用 : 微元法不定积分的概念不定积分定义.. 若在某个区间上, 函数 F (x) 和 f(x) 满足关系 F (x) = f(x), 则称 F (x) 是 f(x) 在该区间上一个原函数函数 f(x) 的原函数全体称作 f(x) 的不定积分, 记作 f(x)dx = F (x) + C. 例.. 求下列函数的不定积分 : () sin xdx; (3) x α dx x dx; e x dx. (α );.2 不定积分的计算.2. 线性运算定理.. 若函数 f(x) 和 g(x) 的原函数均存在, 则, b R, 函数 f(x) + bg(x) 也有原函数, 且 [f(x) + bg(x)] dx = f(x)dx + b g(x)dx. 例.2. 求下列函数的不定积分 : () tn 2 xdx; sin 2 x 2 dx; (3) (x + x)(x 2 x) 2 dx; x x 4 + x 2 dx.

3 不定积分换元积分法定理.2 ( 第一类换元积分法 ). 设 u = g(x) 可微若 f(u)du = F (u) + C, 则 f(g(x))g (x)dx = F (g(x)) + C. 例.3. 求下列函数的不定积分 : () x dx; x dx; (3) tn xdx; (5) (6) sec xdx; x( + x) dx; sin mx cos nxdx. 定理.3 ( 第二类换元积分法 ). 设 x = φ(t) 可微且有反函数 t = φ (x) 若 f(φ(t))φ (t)dt = F (t) + C, 则例.4. 求下列函数的不定积分 : f(x)dx = F (φ (x)) + C. () (3) (5) 2 x 2 dx; x dx; x 2 2 dx; x(2x ) dx; x 4 + x 2 dx.

4 不定积分分部积分法定理.4. 设 u(x), v(x) 是两个可微函数, 则 u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx. 例.5. 求下列函数的不定积分 : () x cos xdx; (3) (5) (6) x 2 e x dx; ln xdx; x rctn xdx; x + cos x dx; e x sin xdx; (7) x dx; (8) x 2 2 dx; 例.6. 求 I n = (x ) n dx. 例.7. 求下列函数的不定积分 : () (x + ) x 2 2x + 5dx; dx,, b R. x 2 + 2x + b2.3 一些特殊函数的不定积分.3. 有理函数 P (x) 定理.5. 设是一个有理真分式, 其中分母 Q(x) 有唯一的有理分解 Q(x) Q(x) = (x ) m (x k ) m k (x 2 + p x + q ) n (x 2 + p l x + q l ) n l, 其中,..., k, p, q,..., p l, q l 是实数,m,..., m k, n,..., n l 是正整数则存在实数 A ij, B ij, C ij 使得 P (x) Q(x) = k m i i= j= A ij l (x i ) j + n i i= j= B ij x + C ij (x 2 + p i x + q i ) j.

5 不定积分 5 注意系数 A ij, B ij, C ij 可通过待定系数法得到具体问题中, 可以通分比较等式两侧的多项式系数 ; 可以对变量取特殊点值 ; 可以将多项式求导之后再对变量取特殊点值特别地, A A (x ) j dx = j (x ) j, j A ln x, j = ; Bx + C (x 2 + px + q) j dx = B 2 d(x 2 + px + q) (C (x 2 + px + q) j + 2 ) Bp d(x + p 2 ) [(x + p 2 )2 + 4q p2 4 ] j 其中第二项, 若令 u = x + p 2, 2 = 4q p2 4, 则第二项积分化为 du (u ) j = 2j cos 2j 2 tdt ( 令 u = tn t) 例.8. 求下列函数的不定积分 : 4x 3 3x 2 + 3x + 8 () (x + )(x 2)(x ) 2 dx; x 4 + x 3 + 3x 2 (x 2 + ) 2 (x ) dx..3.2 可有理化的函 ( 第一类 f(x) = R x, n x + b cx + d ), 其中 R(u, v) 表示两个自变量的有理函数令 x + b b t = n dtn, = x = φ(t) = cx + d ct n. 则积分 ( ) x + b R x, n dx = cx + d R (φ(t), t) φ (t)dt 是一个关于 t 的有理函数的不定积分例.9. 求下列不定积分 : xdx () ; 4x 3 dx x( 3 x x) ; (3) + x x x dx; dx (x ) 2 (x + ). 4 3

6 2 定积分 6 第二类 f(x) = R(sin x, cos x), 其中 R(u, v) 表示两个自变量的有理函数令 t = tn x 2 例.. 求下列函数的不定积分 : () sin n x cos m xdx, n, m N; (3) tn n x sec m xdx, n, m N; dx sin x + cos x ; cot xdx + sin x. = sin x = 2t t2, cos x = + t2 + t 2. 2 定积分 2. 定积分的概念和可积条件 2.. 定积分的定义定义 2.. 设 f(x) 是闭区间 [, b] 上的函数给定任一划分 : π : = x < x < x 2 < < x n = b, 以及任一点集取法 : ξ = {ξ i [x i, x i ] : i n}, 记 x i = (x i x i ), 则称 S(f, π, ξ) = i n f(ξ i )(x i x i ) 为 f 关于 π 和 ξ 的 Riemnn 和我们用 π = mx i n x i x i 来表示分划的精细度若 lim S(f, π, ξ) = I π 收敛, 则称 f 在 [, b] 上 Riemnn 可积, 极限值 I 称为 f 在 [, b] 上的定积分, 记作 I = b f(x)dx. 注意, 上述极限过程中包含所有可能的分划和所有点集 ξ 的取法定积分的几何意义 : 若 f(x) 在 [, b] 上可积, 则其积分表示函数图像与 x- 轴, 以及 x =, x = b 两条直线未成的有向图形的面积例 2.. 证明 :Dirichlet 函数在 [, ] 上不可积例 2.2. 证明 : 若 f(x) 在 [, b] 上无界, 则 f(x) 在 [, b] 上不可积

7 2 定积分 Drboux 和定义 2.2. 设 f(x) 是闭区间 [, b] 上的有界函数给定任一划分 : 记称 m i = S(f, π) = π : = x < x < x 2 < < x n = b, inf f(x), M i = sup f(x). x [x i,x i ] x [x i,x i ] i n 分别为 f 关于 π 的 Drboux 大和以及 Drboux 小和. M i x i 和 S(f, π) = 定理 2. (Drboux 引理 ). 对任意 [, b] 上的有界函数 f, 恒有 lim S(f, π) = L, lim π i n S(f, π) = l. π m i x i Proof. 我们只证明 Drboux 大和有极限, 小和同理设 f(x) M, x [, b]. () 引理 : 对任意两个分割 π, π, 假设 π 有 N 个点, π 有 N 个点, 则 S(f, π + π ) S(f, π), S(f, π + π ) S(f, π ); S(f, π + π ) S(f, π) 2MN π, 取 π n 是 [, b] 的 2 n 均分, 则 π n+ 是 π n 的加细, 有 S(f, π + π ) S(f, π ) 2MN π. S(f, π n+ ) S(f, π n ), S(f, π n ) M(b ), n. {S(f, π n )} 单调下降有下界, 故由单调收敛定理, {S(f, π n )} 收敛, 记 lim S(f, π n) = L. n + (3) ɛ >, N 使得 n N 有 L S(f, π n ) < L + ɛ. 取 δ = 所以 ɛ 2M(2 N +), 则対任意分割 π, 若 π < δ, 有 S(f, π + πn ) S(f, π) 2M(2 N + ) π < ɛ S(f, π) < S(f, π + π N ) + ɛ S(f, π N ) + ɛ < L + 2ɛ. 対下界估计, 记 π 有 K 个点取 N = N 2MK(b ) (K) > N, 且足够大使得 < ɛ 则 2 N S(f, π + π N ) S(f, π N ) 2MK(b ) 2MK π N 2 N < ɛ 所以从而有 L ɛ < S(f, π) < L + 2ɛ. L ɛ S(f, π N ) ɛ < S(f, π + π N ) S(f, π)

8 2 定积分可积性条件定理 2.2. 有界函数 f 在 [, b] 上黎曼可积的充分必要条件是 lim S(f, π) = L = l = lim S(f, π). π π 定理 2.3. 有界函数 f 在 [, b] 上黎曼可积的充分必要条件是 ω i x i = lim π π 定理 2.4. 有界函数 f 在 [, b] 上黎曼可积的充分必要条件是 : 对任意 ɛ >, 存在分划 π 使得 ω i x i < ɛ. 推论 2.. 闭区间上连续函数必定可积推论 2.2. 闭区间上只有有限个不连续点的有界函数必定可积推论 2.3. 闭区间上单调函数必定可积例 2.3. 证明 :Riemnn 函数在 [, ] 上可积 π 2.2 定积分基本性质 2.2. 线性性质定理 2.5. 若 f(x), g(x) 都在 [, b] 上可积则对任意常数 α, β, αf(x) + βg(x) 在 [, b] 上可积, 且有 b [αf(x) + βg(x)] dx = α b f(x)dx + β b g(x)dx 区间可加性定理 2.6. () 若 f(x) 都在 [, b] 上可积, 则对任意 [α, β] [, b], f(x) 在 [α, β] 上可积 ; 若 f(x) 在 [, c] 和 [c, b] 上都可积, 则 f(x) 都在 [, b] 上可积, 且注意, 由此我们可以记乘积可积性 b b f(x)dx = f(x)dx = c b f(x)dx + f(x)dx. b c f(x)dx. 定理 2.7. 若 f(x), g(x) 都在 [, b] 上可积则 f(x)g(x) 在 [, b] 上可积保序性定理 2.8. 若 f(x), g(x) 都在 [, b] 上可积, 且 x [, b] 有 f(x) g(x), 则 b f(x)dx b g(x)dx.

9 2 定积分绝对可积性定理 2.9. 若 f(x) 都在 [, b] 上可积, 则 f(x) 在 [, b] 上可积, 且 b b f(x)dx f(x) dx 积分第一中值定理定理 2.. 若 f(x), g(x) 都在 [, b] 上可积, 且 g(x) 在 [, b] 上不变号, 则存在 η [m, M] 使得 b f(x)g(x)dx = η 这里 M, m 分别表示 f(x) 在 [, b] 上的上下确界例 2.4. 设 f(x) 在 [, b] 上连续, 且 f(x) >. 证明 : b b b ( ln f(x)dx ln b g(x)dx. b ) f(x)dx 例 2.5 (Hölder 不等式 ). 设 f(x), g(x) 在 [, b] 上连续,p, q > 且满足 p + q =. 证明 : b ( b f(x)g(x) dx ) ( p b ) q f(x) p dx g(x) q dx. 例 2.6 (Hölder 不等式 II). 设 f(x), g(x) 在 [, b] 上可积,p, q > 且满足 p + q =. 证明 : b ( b f(x)g(x) dx ) ( p b ) q f(x) p dx g(x) q dx. Proof. () 由 f(x), g(x) 在 [, b] 上可积知 f(x), g(x) 有界, 不妨设 f(x) M, g(x) M, x [, b]. f(x) p 在 [, b] 上可积证明如下 : 由 f(x) 可积知对 ɛ >, δ >, 使得当 π < δ 有注意振幅的另一种表达式 : ω i ( f ) = ω i (f) x i < ɛ. π sup f(x ) f(x ) x i x,x x i sup f(x ) f(x ) = ω i (f) x i x,x x i Lgrnge 中值定理 : A p B p = pc p A B, C [A, B]. 所以 ω i ( f p ) = sup f(x ) p f(x ) p x i x,x x i sup pm p f(x ) f(x ) = pm p ω i ( f ) x i x,x x i

10 2 定积分假设从而有 ω i ( f p ) x i pm p π 故 f(x) p 可积同理 g(x) q 在 [, b] 上可积 b 的证明方法相同 (3) 假设从而有 b 由 ɛ 任意性, 知若 b f(x) p dx > 且 π b ω i (f) x i < pm p ɛ g(x) p dx >, 不等式证明参考课本, 与 f(x), g(x) 为连续函数 f(x) p dx =, 则不等式左也为零证明如下 : 对 ɛ >, 以下不等式恒成立 b b f(x) ɛ p f(x) p + ɛ, x [, b] f(x) dx f(x) dx =. 所以 b b f(x)g(x) dx M ( ) ɛ p f(x) p + ɛ dx = ɛ(b ) b f(x) dx =. g(x) p dx =, 同理可得不等式左端也为零证明完毕 ( ) + b 例 2.7. 设 f(x) 在 [, b] 上二阶可导, 且 f =. 记 2 M = sup f (x), x b 证明 : 积分第二中值定理 * b f(x)dx M(b )3. 24 定理 2.. 若 f(x), g(x) 都在 [, b] 上可积, 且 g(x) 在 [, b] 上单调, 则存在 ξ [, b] 使得 2.3 微积分基本定理 2.3. 变上限积分 b ξ f(x)g(x)dx = g() f(x)dx + g(b) 定理 2.2. 设 f(x) 在 [, b] 上可积, 做变上限积分 b ξ f(x)dx. 则 F (x) = x f(t)dt, x [, b]. () F (x) 是 [, b] 上的连续函数

11 2 定积分若 f(x) 在 [, b] 上连续, 则 F (x) 在 [, b] 上可导, 且有 F (x) = f(x), x [, b]. 例 2.8. 计算 F (x) = 例 2.9. 求极限 lim x + x 2 sin tdt 的导数. x 2 sin tdt x Newton-Leibniz 公式定理 2.3. 设 f(x) 在 [, b] 上连续,F (x) 是 f(x) 在 [, b] 上的一个原函数, 则成立例 2.. 计算 x 2 dx. π 例 2.. 计算 sin xdx. 例 2.2. 计算 lim n 定积分的分部积分法 b ( n + + n ). 2n f(x)dx = F (b) F (). 定理 2.4. 设 u(x), v(x) 在区间 [, b] 上有连续导数, 则 b u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] 例 2.3. 设 p n (x) 为 n 次 Legendre 多项式, 证明 : Proof. 当 m = n, 做 n 次分部积分, 得 d n b b p n (x) = 2 n n! dx n (x2 ) n u (x)v(x)dx., m n; p m (x)p n (x)dx = 2 2n +, m = n. p n (x)p n (x)dx = ( )n (2n)! 2 2n (n!) 2 (x 2 ) n dx 例 2.4. 求 I n = π 2 sin n xdx.

12 2 定积分定积分的换元法定理 2.5. 设 f(x) 在区间 [, b] 上连续,x = φ(t) 在区间 [α, β] ( 或区间 [β, α]) 上有连续导数, 且 φ(α) =, φ(β) = b. 则例 2.5. 求下列定积分 () (3) (5) (6) 2 π 2 ln 2 π 2 2 例 2.6. 求 dx x( + x 4 ) ; sin 3 x cos 4 xdx; dx e x ; ln( + x) + x 2 dx; sin 2 x sin x + cos x dx; b (x ) 2 + (x ) 2 + x 2 (x 2) 2 dx. π+ f(x)dx = β f(x )dx, 其中 f(x) 定义为 : 定理 2.6. 设 f(x) 在对称区间 [, ] 上可积 α f(φ(t))φ (t)dt. sin x 2 f(x) =, x x rctn x, x <. () 若 f(x) 是偶函数, 则成立 f(x)dx = 2 f(x)dx; () 若 f(x) 是奇函数, 则成立 f(x)dx =. 定理 2.7. 设 f(x) 在是以 T 为周期的函数, 则对任意有 +T f(x)dx = T f(x)dx; 注意, 以上两个定理对可积函数 f 都对当 f 是连续函数时, 可以用换元积分法简单证明 ; 否则, 需要回到定积分的定义来直接证明

13 2 定积分定积分的几何应用 2.4. 求几何图形的面积 () 函数 y = f(x) 与 x- 轴以及 x =, x = b 两条直线围城的图形的面积, 面积微元 : da = f(x)dx; 曲线 r = r(θ) 与 θ = θ, θ = θ 2 两条射线围城图形的面积, 面积微元 : da = 2 r2 (θ)dθ 求曲线的弧长 () 函数 y = f(x) 的图像, 长度微元 : ds = + f 2 dx; x = x(t) 参数曲线 y = y(t), 长度微元 : ds = x (t) 2 + y (t) 2 dt; (3) 曲线 r = r(θ), 长度微元 : ds = r(θ) 2 + r (θ) 2 dθ 求几何体的体积 () 用垂直与 x- 轴的面截几何体得到的横截面积为 A(x), 体积微元 : dv = A(x)dx; 用固定中心轴半径为 r 的圆柱面截几何体得到的截面积为 A(r), 体积微元 : dv = A(r)dr 求旋转曲面的面积 () 设平面曲线 y = f(x) 绕 x- 轴旋转一周得旋转面, 面积微元 : da = 2πyds = 2πy(x) + f (x) 2 dx x = x(t) 设参数曲线 y = y(t) 绕 x- 轴旋转一周得旋转面, 面积微元 : da = 2πyds = 2πy(t) x (t) 2 + y (t) 2 dt.

14 2 定积分求曲线的曲率 () 平面图像 y = f(x) 的曲率 : K = dϕ ds = f ; ( + f 2 ) 3 2 x = x(t) 参数曲线的曲率 : y = y(t) K = dϕ ds = x (t)y (t) x (t)y (t). ( x (t) 2 + y (t) 2 ) 定积分的实际应用 : 微元法

不定积分求几何图形的面积求曲线的弧长求几何体的体积

不定积分求几何图形的面积求曲线的弧长求几何体的体积第四章一元积分学 27 年月 6 日目录不定积分 2. 不定积分的概念...................................... 2.2 不定积分的计算...................................... 2.2. 线性运算...................................... 2.2.2 换元积分法....................................

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