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戌齐
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1 注意 : 允許學生個人非營利性的圖書館或公立學校合理使用本基金會網站所提供之各項試題及其解答可直接下載而不須申請重版系統地複製或大量重製這些資料的任何部分, 必須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許可申請此項授權請電郵 ccmp@seed.et.tw Notice: Idividual studets, oprofit libraries, or schools are permitted to make fair use of the papers ad its solutios. Republicatio, systematic copyig, or multiple reproductio of ay part of this material is permitted oly uder licese from the Chiuchag Mathematics Foudatio. Requests for such permissio should be made by ig Mr. We-Hsie SUN ccmp@seed.et.tw

2 05 年青少年數學國際城市邀請賽參賽代表遴選複賽試題縣市國民中學年級編號 : 姓名 : 作答時間 : 二小時第一部分 : 填充題, 每小題 5 分, 共 60 分性別 : 男女 ( 注意 : 請在每題試題後所附的空格上填入答案, 只需填寫答案若答案為數值, 請用阿拉伯數字 ; 若答案為分數, 請化為最簡分數 ). 設 N = , 則 N = 參考解法 N = ( ) + ( 4 ) + + (99 00 ) = ( )( + ) + ( 4)( + 4) + + (99 00)( ) = ( )( + ) + ( )( + 4) + + ( )( ) = ( ) ( + 00) 00 = = 5050 答 : 已知一直角三角形的周長為 6+ 46cm, 且斜邊上的中線為 cm, 則此直角三角形的面積為 cm 參考解法由此直角三角形斜邊上的中線長度為 cm, 可知斜邊的長度為 = 6cm, 即此直角三角形的兩股長度之和為 = 46cm 由勾股定理可知此直角三角形的兩股長度的平方和為 6, 可知兩股長度之積為 (( 46) 6) = 5, 所 5 以此直角三角形的面積為.5 = cm. 在圓內接四邊形 ABCD 中, 已知 AB= AD且 AC = cm ACD = 60, 則四邊形 ABCD 的面積為 cm 參考解法由點 A 分別向 BC 與 CD 的延長線作垂線, 令其分別交於點 E 與點 F, 如圖所示 F 答 : 5.5 = cm D 60 C E A B

3 因四邊形 ABCD 是一個圓內接四邊形, 故可得知 ABE + ADC = 80, 再因 ADF + ADC = 80, 所以 ABE = ADF ; 此時再由 AEB = 90 = AFD AB= AD, 可推知 ABE ADF, 所以四邊形 ABCD 的面積與四邊形 AECF 的面積相同現再由 AB= AD可得知 ACE = ACD = 60, 且知 AEC = 90 = AFC, 故有 CAE = CAF = 0 因 AC = cm, 故 CE = CF = cm AE = AF = cm, 所以四邊形 AECF 的面積為 ( ) = cm 4 答 : 4 cm 8 4. 若為正整數, 使得 + 是一個正整數的完全平方數, 則 = 參考解法 8 若 8, 則 + 8 之值為 + = = = = = = = = 5都不是完全平方數, 故不合若 > 8, 則由 ( + = + ) = ( ) (+ ) 知 + 8 為完全平方數而因 + 8 恆為奇數, 故 + 8 為一個奇數的完全平方數, 因此可令 + 8 = 0 (k + ) = 4k + 4k +, 其中 k 為正整數, 化簡後得 = kk ( + ) 因 k k + 為連續的整數, 故知這兩個數互質, 因此除了 k = 的情況外, 其乘積至少有 0 8 個質因數, 所以可推知 k =, 故 =, 即 =, 此時 + = 48 答 : 5. 已知 ABC 為鈍角三角形, 且其三個內角度數都是正整數, 若將三個內角由小至大排列後都相同的三角形視為同一個三角形, 則三個內角度數都是質數的 ABC 共有個參考解法若這三個內角的度數都是奇質數, 則其內角和必為奇數, 與三角形內角和必為 80 矛盾, 故知其中必有一個角之角度為, 而另兩個內角和為 78 再由於 ABC 為鈍角三角形, 所以直接計算可以得知另兩個內角的度數可為 (5, 7) (, 67) (9, 49) (4, 7) (47, ) (7, 07) 故知這樣的 ABC 共有 6 個答 :6 個 x 6y x 0y x 8xy + 4y 6. 若 = =, 則的值為 y x 5y x x xy 4y 參考解法 x 6y x 0y 令 = = = k, 顯然 k 不等於 0, 則有 : y x 5y x

4 x= ky () 6y= kx 5 ky () x 0 y= kx () 0 將 () 式 () 式代入 () 式後可得 ky kx + 5ky = kx 6 6 6ky 40kx + 00ky = 6kx 6ky = 4kx 4y= x x 8xy+ 4y (4 y) 8 4y + 4y 48y y + 4y 因此 = = = x xy 4 y (4 y) 4y 4y 6y 8y 4y 5 答 :5 7. 設 k 為任意正整數, 若方程式 x (4k ) x+ (k 5) = 0最多可以有 m 個整數根, 則 m = 參考解法可知方程式 x (4k ) x+ (k 5) = 0的判別式為 (4k ) 4(k 5) = 6k 6k = (4k ) + 7 若有整數根, 則判別式之值必為完全平方數, 故可令 (4k ) + 7 = a, 其中 a 為正整數此時有 7 = a (4k ) = ( a+ 4k )( a 4k + ) 因兩正數之和必大於兩正數之差且 7 為質數, 故可得 a+ 4k = 7 a 4k + = 5 解此方程組可知 k =, 矛盾所以無論正整數 k 為何, 此方程都沒有整數根答 :0 個 k k+ k+ k 若存在正整數 k 與使得 = , 則的最小值為 k k+ k+ k+ 99 參考解法 = ( + ) k+ 00 k = k+ 00 ( + ) = ( ) 觀察可知與 k 的最小值會同時發生因 + 為連續的正整數, 故由觀察 00 可知當 k = 99時, = 滿足等式而若存在 k < 99 仍滿足等式, 則可知 k+ <, 因此由與 + 這兩個 k+ k+ 00 數互質可判斷出或 ( + ), 矛盾故的最小值為答 : 00

5 9. 設 A B 為圓 O 上的兩點, 且點 C 在 AB 射線上且位於圓外的一點已知 AB = 4 cm BC = 8 cm OA = 5 cm, 則 OC = cm 參考解法一令 OC 與圓 O 交於點 D, 並延長 CO 與圓 C O 交於另一點 E 連接 AD BE 可知 B ACD = ECB DAC = BEC, 因此 BC CE A D ACD~ ECB, 即 = 因已知 DC AC O OA = 5 cm, 故 CE = 0 + DC, 即 DC E = DC 化簡後可得 4 DC + 0DC 7 = 0 ( DC + 56)( DC 6) = 0 因長度恆為正數, 故知 DC = 6 cm, 因此 OC = = 4 cm 參考解法二令 OC 與圓 O 交於點 D, 並延長 CO 與圓 O 交於另一點 E, 可知 DE = 0 cm 利用圓冪定理, 可知 AC BC = CD CE ( AB+ BC) BC = CD ( CD+ DE) (4 + 8) 8 = CD ( CD + 0) 化簡後可得 4 DC + 0DC 7 = 0 ( DC + 56)( DC 6) = 0 因長度恆為正數, 故知 DC = 6 cm, 因此 OC = = 4 cm 答 :4 cm 0. 設 a b c 皆為正整數, 且滿足 a> b> c 若 a + b + c =, 則 a+ b+ c之值為參考解法令 A = a B = b C = c, 則知 A > B> C且有 + + = A B C 明顯可知 C 若 C, 則 + + <, 矛盾, 故知 C =, 即 c = 且 A B C C + = = ; 若 B 4, 則 A B A + B < B 4 =, 矛盾, 故知 B =, 即 b = 4 且 A = = 6, 因此 A = 6, 即 a = 7 故 a+ b+ c= = 4 答 :4

6 . 有一支部隊以固定隊形與勻速前進, 該隊伍長度為 50 m 在部隊的最尾端的有一位傳令兵奉命送一訊息至隊伍的最前端, 然後立即返回隊伍的最尾端已知該傳令兵以勻速來回, 且在來回的期間內此隊伍共前進了 00 m 則該傳令兵在來回的期間內共行走了 m ( 註 : 所謂勻速就是保持固定速度行進 ) 參考解法若令傳令兵的速度為 a 部隊的速度為 b 且傳令兵從最尾端前進至隊伍的最前端所花費的時間為 x 傳令兵從最前端移動至隊伍的最尾端所花費的時間為 y, 則知 ( a b) x= 50 () ( a+ b) y= 50 () bx ( + y) = 00 () 50 而所求即為 ax ( + y) 由() () 知 x = a b 50 y = a + b, 代回 () 式可得 50b 50b + = 00 a b a+ b 50 ba ( + b) + 50 ba ( b) = 00( a b) 50ab + 50b + 50ab 50b = 00a 00b 00a 00ab 00b = 0 a ab b = 因速度恆為正數, 故知 a= b, 即 ax ( + y) = bx ( + y) = m 答 : m a. 已知 a b 為正整數, 滿足 04 a+ b 08且滿足 0.9< < 0.9 b 則 a+ b = 參考解法 a 由 0.9< < 0.9 可知 0.9b< a< 0.9b, 即.9b< a+ b<.9b, 再由 b 04 a+ b 08可推知 04 <.9b 且.9b < 08, 化簡後可知 54.6 < b < 56.55, 故 b = 55或 56 若 b = 55, 則 = < a < = 50.6, 此時 a 不為正整數, 矛盾, 故知 b = 56 再由 = < a < = 5.5 可以得知 a = 5, 因此 a+ b= 58 答 :58 第二部分 : 計算證明, 每題 0 分, 共 60 分 ( ). 從 05 共 05 個正整數中, 請問最多能取出多少個數使得這些取出來的正整數中, 任意三個數 a b c ( a< b< c) 都滿足 ab c?

7 參考解法觀察可知 = 980 < 05 < = 070, 故若不取 4 44 而取出剩下的這 97 個數, 則這 97 個數滿足所要求的條件現驗證 97 為可取出的數之個數最大值從以下 4 組的三元數中, 每一組都至少有一個數不能取, 否則無法滿足條件 :(44, 45, 980) (4, 46, 978) (4, 47, 974) (44 k, 45 + k, 980 k k) (, 87, 74), 即至少有 4 個不能取, 故最多可取出 05 4 = 97 個數答 :97 個. 在等腰直角三角形 ABC 中, 已知 AB = 4 cm BAC = 90 且點 E 為 AC 的中點點 F 在 BC 上若 FE BE, 請問 CEF 的面積為多少 cm? 參考解法一由點 E 往 BC 作垂線交 BC 於點 D, 如圖所示 B 因 AB = 4 cm, 故由勾股定理知 BC = 4 6 cm; 而因點 E 為 AC 的中點, 故知 AE = CE = cm, 且再由勾股定理可知 BE = 5 cm 再因三角形 BCE 面積為三角形 ABC 面積的一半, 故可得 D F BC DE = AB C E A 4 6DE = 4 DE = 6cm 接著再由勾股定理知 BD = BE DE = 60 6 = 6 cm 現因 FBE = EBD FEB = 90 = EDB, 故有 FBE~ EBD, 即可得知 BF BE BF 5 0 =, 此即 =, 化簡後即知 BF = 6 cm, 所以三角形 CEF BE BD 的面積為 CF DE = (4 6 6) 6 = cm 參考解法二由點 F 往 AC 作垂線交 AC 於點 D, B 如圖所示因 FDE = 90 = EAB FED = 90 BEA = EBA, DF AE 故有 DEF~ ABE, 即可得知 = DE AB 因 CDF 也是等腰直角三角形, 故令 DF = DC = x cm 時, 則可知 DE = x cm, 且由 E 為 AC 中點知 F AE AB = 所以有 x x =, 化簡後得 x =, C D E A 所以 CEF 的面積為 CE DF = = cm 答 : cm

8 已知 a = + b =, 設 M = a + b 且 M 是一個正整數, 請問正整數 M 的個位數碼是什麼? 參考解法因 a = + b = 的無理部份都是且有理部份的係數相同無理部份的係數互為相反數, 故可判斷知 a 與 b 的無理部份也都是且有理部份的係數也相同無理部份的係數也互為相反數故可令 a = p + q b = p q 現觀察以下各數 : a = + a a = ( + )( + ) = ( + ) + ( + ) = = (7 + 4 )( + ) = ( 7 + 4) + (7 + 4) = a = (6 + 5 )( + ) = ( 6 + 5) + (6 + 5) = 故可得知 p = p + q q = p + q, 此可用數學歸納法證明 : = 時, p = p + q = + = 7 q = p + q = + = 假設 = k時, pk = pk + qk qk = pk + qk 成立, k 則 = k + 時, 因 a = pk + qk, 可得 k k a + = a a= ( pk + qk )(+ ) = (pk + qk) + ( pk + qk), 即可得知 p = k p + + k q k q = k p + + k q k 因此 p = p + q q = p + q 成立接著利用此遞迴關係式分別觀察 p q 的個位數碼, 如下表所示 : p 的個位數碼 q 的個位數碼可得知 p q 的個位數碼所形成的數列都是以周期為 6 循環重複出現的現因 05 = , 故 p 05 q 05 的個位數碼分別與 p 5 q 5 的個位數碼相同, 即 p 05 q 05 的個位數碼分別為 9 因 a 與 b 的有理部份的係數相同無理部份的係數互為相反數, 故可得知 a + b 為一個有理數, 且其個位數碼為 p 05 =4 答 :4

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CIP. / ISBN Ⅰ.... Ⅱ.... Ⅲ. Ⅳ. G CIP http / /press. nju. edu. cn CIP. /. 004. 4 ISBN 7 305 0458 7 Ⅰ.... Ⅱ.... Ⅲ. Ⅳ. G64. 505 CIP 004 0798 0093 05 8359693 05 835937 05 83686347 http / /press. nju. edu. cn nupress@public. ptt. js. cn 787 09 /6. 5 85 004 5 ISBN 7 305 0458