高等教育 十一五 规划教材 高等数学 ( 下册 ) 李超李德瑾赵宝欣主编 赵健任林源尹蓉副主编 北 京

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2 高等教育 十一五 规划教材 高等数学 ( 下册 ) 李超李德瑾赵宝欣主编 赵健任林源尹蓉副主编 北 京

3 内容简介本书分上 下两册 上册内容包括函数 极限与连续 导数与微分 中值定理与导数的应用 积分及其应用 空间解析几何等 ; 下册内容包括多元函数微分及其应用 重积分 曲线积分与曲面积分 无穷级数 微分方程等 全书基本上覆盖了现行高等院校 高等数学 课程的全部教学内容 内容深浅适宜, 注意与中学数学的衔接 ; 例题充分结合内容, 难易适当, 强调应用 本书可供高等院校各专业作为教材使用, 也可作为高校学生考研参考用书 图书在版编目 ( 犆犐犘 ) 数据 高等数学 ( 下册 )/ 李超, 李德瑾, 赵宝欣主编 北京 : 科学出版社, 16 ( 高等教育 十一五 规划教材 ) ISBN Ⅰ1 高 Ⅱ1 李 李 3 赵 Ⅲ1 高等数学 高等学校 教材 Ⅳ1O13 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (1) 第 号 责任编辑 : 王纯刚 策划 : 姜天鹏冯涛 隽青龙 / 责任校对 : 王万红 责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 东方人华平面设计部 出版 北京东黄城根北街 16 号邮政编码 :1717 htp://wwwsciencepcom 印刷 科学出版社发行 各地新华书店经销 1 年 6 月第 一 版 开本 : /16 1 年 6 月第一次印刷印张 :15 印数 :135 字数 :344 定价 :56 元 ( 本册定价 7 元 ) ( 如有印装质量问题, 我社负责调换 环伟 ) 销售部电话 编辑部电话 版权所有, 侵权必究举报电话 :16439; ; 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

4 前 言 我们编写 高等数学 ( 上 下册 ) 是根据教育部提出的 高等教育面向 1 世纪教学内容和课程体系改革计划 的精神, 结合近几年全国高校数学教学指导委员会工作会议的意见, 作为高等院校精品课程建设, 强调高等数学的实用性而编写的一本教材 全书分上 下两册 上册内容包括函数极限 一元函数微积分及应用 空间解析几何等 ; 下册内容包括多元函数微积分 级数 微分方程等 各章节配有习题与总练习题, 利用总练习题检测学习效果, 题目难易适当, 层次分明, 通过努力基本能够完成 本书注重将数学素质的培养融合到教学内容之中, 突出微积分的基本思想和方法 ; 在内容上力求实用 简洁 易懂 ; 在使用过程中注意以问题驱动的教学, 带着问题教学, 为解决问题而引入新知识 新方法是编写本书的另一初衷 在编写过程中, 借鉴了传统高等数学的体系结构, 但也做了一点尝试, 将传统的不定积分这一章融入定积分之中, 改为积分及其应用 当学生学习定积分的概念之后, 要计算定积分就会产生困难, 为解决这个问题就得学习不定积分, 这也是问题驱动的数学教学的一种方式 本书由李超 ( 商洛学院 ) 李德瑾 ( 陕西建设技术学院 ) 赵宝欣 ( 陕西建设技术学院 ) 主编, 由赵健 ( 商洛学院 ) 任林源 ( 西北大学软件职业技术学院 ) 尹蓉 ( 陕西建设技术学院 ) 副主编 其中, 第六章由李超编写 ; 第七章由赵宝欣编写 ; 第八章由任林源和尹蓉共同编写 ; 第九章由李德瑾编写 ; 第十章由赵健编写 限于编写时间仓促, 本书不妥和错误在所难免, 恳请专家 同行及读者批评指正 编者 15

5 目 录 第六章多元函数微分法及其应用 1 第一节多元函数 1 一 多元函数概念 1 二 二元函数的极限 4 三 二元函数的连续性 5 习题 61 6 第二节偏导数 7 一 偏导数的定义 7 二 偏导数的计算 9 三 高阶偏导数 1 习题 6 11 第三节全微分 1 一 全微分的定义 1 二 可微分的条件 13 习题 第四节多元复合函数的求导法则 16 习题 64 第五节隐函数的求导公式 1 一 一个方程的情形 1 二 方程组的情形 3 习题 65 5 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 第六节偏导数的应用 6 一 偏导数的几何上的应用 6 二 多元函数的极值及其求法 3 习题 第七节方向导数与梯度 36 一 方向导数 36 二 梯度 38 习题 67 4 总习题六 4 第七章重积分 4 第一节二重积分的概念与性质 4 一 二重积分的概念 4

6 iv 高等数学 ( 下册 ) 二 二重积分的性质 44 习题 第二节二重积分的计算 46 一 利用直角坐标系计算二重积分 46 二 利用极坐标计算二重积分 5 习题 7 54 第三节三重积分的概念及其计算 57 习题 第四节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 6 一 利用柱面坐标计算三重积分 6 二 利用球面坐标计算三重积分 61 习题 第五节重积分的应用 64 一 二重积分的应用 64 二 三重积分的应用 7 习题 总习题七 76 第八章曲线积分与曲面积分 78 第一节对弧长的曲线积分 78 一 对弧长的曲线积分的概念与性质 78 二 对弧长的曲线积分的计算法 79 习题 第二节对坐标的曲线积分 8 一 对坐标的曲线积分的概念与性质 8 二 对坐标的曲线积分的计算法 85 三 两类曲线积分之间的联系 88 习题 8 9 第三节格林公式 91 一 格林公式 91 二 平面上曲线积分与路径无关的条件 94 三 二元函数的全微分求积 96 习题 第四节对面积的曲面积分 11 一 对面积的曲面积分的概念与性质 11 二 对面积的曲面积分的计算法 1 习题 第五节对坐标的曲面积分 15 一 对坐标的曲面积分的概念与性质 15

7 目录 v 二 对坐标的曲面积分的计算法 18 三 两类曲面积分之间的联系 111 习题 第六节高斯公式 114 习题 第七节向量场的散度与旋度 118 一 通量与散度 118 二 斯托克斯公式 11 三 环流量与旋度 14 习题 总习题八 16 第九章无穷级数 19 第一节常数项级数的概念与性质 19 一 常数项级数的概念 19 二 无穷级数的基本性质 131 三 级数收敛的必要条件 133 习题 第二节常数项级数的审敛法 135 一 正项级数及其审敛法 135 二 交错级数及其审敛法 143 三 任意项级数的敛散性 ( 绝对收敛与条件收敛 ) 144 习题 第三节幂级数 147 一 函数项级数的一般概念 147 二 幂级数及其敛散性 148 三 幂级数的运算 153 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 习题 第四节函数展开成幂级数 157 一 泰勒级数 157 二 函数展开成幂级数 159 三 函数的幂级数展开式的应用 166 习题 第五节傅里叶级数 17 一 三角级数及三角函数系的正交性 171 二 函数展开成傅里叶级数 17 三 正弦级数和余弦级数 18 四 傅里叶级数的复数形式 18 习题

8 vi 高等数学 ( 下册 ) 总习题九 185 第十章微分方程 188 第一节微分方程的基本概念 188 习题 第二节可分离变量的微分方程 齐次方程 19 一 可分离变量的微分方程 19 二 齐次方程 194 习题 第三节一阶线性微分方程 贝努利方程 198 一 一阶线性微分方程 198 二 贝努利方程 习题 13 3 第四节全微分方程 4 习题 14 6 第五节可降阶的高阶微分方程 6 ( 狀一 狔 ) 犳 ( 狓 ) 型的微分方程 6 二 狔 犳 ( 狓, 狔 ) 型的微分方程 7 三 狔 犳 ( 狔, 狔 ) 型的微分方程 8 习题 15 9 第六节线性微分方程的解的结构 1 一 线性微分方程的基本概念 1 二 线性微分方程的解的结构 11 习题 第七节二阶常系数齐次线性微分方程 14 习题 第八节二阶常系数非齐次线性微分方程 19 λ 一 犳 ( 狓 ) 犘犿 ( 狓 ) 犲狓型 19 λ 狓二 犳 ( 狓 ) 犲 [ 犘犾 ( 狓 )cos 狑狓 + 犘狀 ( 狓 )sin 狑狓 ] 型 习题 18 5 第九节欧拉方程 5 习题 19 7 第十节微分方程的应用 7 习题 11 3 总习题十 31 参考文献 3

9 第六章 多元函数微分法及其应用 在第二章到第四章中, 我们所讨论的函数都是只有一个自变量, 但实际问题中往往需要考虑自变量个数是两个甚至更多个的情形, 这就是多元函数 本章将在一元函数的微分法及其应用的基础之上, 讨论多元函数的微分法及其应用 由于从一元函数到二元函数有许多本质的变化, 而二元函数到二元以上的函数只有自变量的个数不同, 没有本质的区别, 完全可以将有关的内容类推 因此, 我们的讨论以二元函数为主 多元函数微分法是一元函数微分法的推广和发展, 学习时要注意两者的区别和联系 第一节 多元函数 一 多元函数概念 (1) 区域 设犘 ( 犪, 犫 ) 是直角坐标平面上一点,δ 是某一正数 与点犘 ( 犪, 犫 ) 的距离小于 δ 的所有点犘 ( 狓, 狔 ) 的集合, 称为点犘 ( 犪, 犫 ) 的 δ 邻域, 记为犝 δ ( 犘 ), 即 { } 犝 ( δ 犘 ) 犘狘犘 犘狘 < δ} {( 狓, 狔 ) ( 狓 - 犪 ) 槡 + ( 狔 - 犫 ) < δ 犝 ( δ 犘 ) 在几何上表示直角坐标平面上以点犘 ( 犪, 犫 ) 为圆心, 以 δ 为半径的圆内的 所有点 如果去掉邻域的中心, 称为点犘 ( 犪, 犫 ) 的去心的 δ 邻域, 记为犝 δ ( 狆 ), 即 { } 犝 ( δ 犘 ) { 犘 < 狘犘 犘狘 <δ} ( 狓, 狔 )< ( 狓 - 犪 ) 槡 + ( 狔 - 犫 ) < δ 如果不考虑邻域的半径, 则用犝 ( 犘 ) 表示点犘 的某一邻域, 犝 ( 犘 ) 表示点犘 的 某一去心邻域 设犈是平面点集, 犘是平面上一点 如果存在点犘的某一邻域犝 ( 犘 ), 使犝 ( 犘 ) 犈, 则称点犘是犈的内点 显然, 犘 犈 ( 如图 61) 如果点集犈的任意点都是内点, 则称犈是开集 例如犈 ( 狓, 狔 ) 狘狓 { + 狔 <1 } 犈中所有点都是犈的内点, 所以犈是开集 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 图 61 图 6 如果在点犘的任意邻域内, 既有点属于犈, 同时又有点不属于犈, 则称点犘是犈 的边界点, ( 如图 6) 犈的所有边界点组成的集合, 称为犈的边界 例如犈 ( 狓, 狔 ) 狘 1< 狓 { + 狔 } 的边界是圆周狓 + 狔 1 和狓 + 狔 由此可见, 点集

10 高等数学 ( 下册 ) 犈的边界点 ( 或边界 ) 可能属于犈, 也可能不属于犈 设犈是开集 如果犈内任意两点都能用属于犈的折线连结起来, 则称开集犈是连通的 连通的开集称为开区域 开区域添上它的边界一起, 称为闭区域 例如 ( 狓, 狔 ) 狘狓 { + 狔 >1 } 是开区域, ( 狓, 狔 ) 狘狓 { + 狔 1 } 是闭区域 有时为简便起见, 并在不致引起混淆的情况下, 将开区域和闭区域都笼统地简称为区域 设犈是平面点集 如果存在某一正数犚, 使犈 犝犚 ( 犗 ), 点犗为原点, 则称犈是有界集 否则, 犈是无界集 例如 {( 狓, 狔 ) 狘 1 < 狓 + 狔 < } 是有界开区域, {( 狓, 狔 ) 狘狓 + 狔 1 } 是无界闭区域 () 狀维空间在空间解析几何中, 引入直角坐标系后, 使得空间的点与有序的三元数组 ( 狓, 狔, 狕 ) 一一对应 从而, 有序三元数组 ( 狓, 狔, 狕 ) 的全体表示空间一切点的集合, 称为 ( 三维 ) 空间 一般地, 有序狀元数组 ( 狓 1, 狓,, 狓狀 ) 的全体称为狀维空间, 记为犚狀 ( 狀为自然数 ) 其中每个有序狀元数组 ( 狓 1, 狓,, 狓狀 ) 称为狀维空间的一个点犘, 记为 犘 ( 狓 1, 狓,, 狓狀 ), 数狓犻称为点犘的第犻个坐标 当狀 1 时, 犚 1 表示数轴, 当狀 时, 犚 表示平面, 当狀 3 时, 犚 3 表示空间 设犘 ( 狓 1, 狓,, 狓狀 ), 犙 ( 狔 1, 狔,, 狔狀 ) 为犚狀中任意两点, 两点间的距离定义为 狘犘犙狘 ( 狔 1 - 狓 1) + ( 狔 - 狓 ) 槡 + + ( 狔狀 - 狓狀 ) 关于平面点集给出的一系列概念, 可完全推广到狀维空间 例如邻域概念, 设点 犘 犚狀,δ 是某一正数, 则犚狀中与点犘 的距离小于 δ 的所有点犘的集合, 称为点犘 的 δ 邻域, 即 (3) 二元函数概念 犝 δ ( 犘 ) 狀 { 犘狘犘 犘狘 <δ, 犘 犚 } 定义 1 设是平面上的一个点集 如果对于每个点犘 ( 狓, 狔 ), 变量狕按着一定的法则总有唯一确定的值与之对应, 则称狕是变量狓, 狔的二元函数 ( 或点犘的函数 ), 记为狕 犳 ( 狓, 狔 )( 或狕 犳 ( 犘 )), 其中狓, 狔称为自变量, 狕称为因变量, 点集称为函数的定义域 数集犠 { 狕狘狕 犳 ( 狓, 狔 ),( 狓, 狔 ) } 称为函数的值域 表示函数对应关系的记号犳也可用其他字母表示, 如函数狕 φ ( 狓, 狔 ), 狕 狌 ( 狓, 狔 ) 等等 例 61 例 6 例 63 圆柱体的体积犞和它的底半径狉, 高犺之间的关系是 犞 π 狉犺 物体运动的动能犠和物体的质量犿, 运动的速度狏之间的关系是 犠 1 犿狏 一定量的理想气体的压强犘和体积犞, 绝对温度犜之间的关系是 犘 以上三例都是二元函数的实例 犚犜 ( 犚为常数 ) 犞

11 第六章多元函数微分法及其应用 3 如果将平面点集改为狀维空间中的点集 犚狀 ( 狀 3), 类似地, 可定义三元函 数狌 犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 及狀元函数狌 犳 ( 狓 1, 狓,, 狓狀 ) 当狀 1 时, 狀元函数为一元 函数 当狀 时, 狀元函数统称为多元函数 多元函数可简记为狌 犳 ( 犘 ), 点犘 ( 狓 1, 狓,, 狓狀 ) 如何求多元函数的定义域呢? 与一元函数相类似, 如果多元函数是用解析式表示 的, 则函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量所构成的点集 如果函数有确定 的实际意义, 即该函数是某个实际问题的数学模型, 则它的定义域应由实际问题来确定 例 64 求函数狕 1 ln(1- 狓 - 狔 ) 的定义域槡狓解狓, 狔应满足不等式狓 > { 1- 狓 - 狔 >, 狓 > 即 { 狓 + 狔 <1 从而, 定义域为 {( 狓, 狔 ) 狘狓 > 且狓 + 狔 <1}, 是无界的开区域 ( 如图 63) 例 65 求函数狕 arcsin( 狓 + 狔 )+ - 狓 槡 - 狔的定义域 解狓, 狔应满足不等式 - 狓 - 狔 { 狓 + 狔 1, 即狓 + 狔 1 从而, 定义域 {( 狓, 狔 ) 狘狓 + 狔 1}, 是有界闭区域 ( 如图 64) 图 63 图 64 二元函数的图形 : 设函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 的定义域为 对于任意取定的点犘 ( 狓, 狔 ), 有确定的函数值狕 犳 ( 狓, 狔 ) 与之对应 于是, 以狓为横坐标, 狔为纵坐标, 狕为竖 坐标, 在空间确定一个点犕 ( 狓, 狔, 狕 ), 所有这样确定的空间点的集合 {( 狓, 狔, 狕 ) 狘狕 犳 ( 狓, 狔 ),( 狓, 狔 ) } 称为二元函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 的图形 一般地, 二元函数的 图形是空间曲面, 而这个曲面在狓犗狔面上的投影就是该函 数的定义域,( 如图 65) 例如函数狕 狓 + 狔 是定义 在狓犗狔面上, 顶点在原点, 开口向上的旋转抛物面, 由方 程狓 + 狔 + 狕 犪所确定的函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 的图形是 球心在原点, 半径为犪的球面, 定义域是 {( 狓, 狔 ) 狘狓 + 狔 犪 } 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 图 65

12 4 高等数学 ( 下册 ) 由狕 ± 犪 - 狓 槡 - 狔可知, 对于任一点犘 ( 狓, 狔 ), 狕有两个确定的值与之对应, 因此, 该函数为多值函数, 其中两个单值分支狕 犪 - 狓 槡 - 狔和狕 - 犪 - 狓 槡 - 狔分别表示上半球面和下半球面 除特别声明外, 本书主要讨论单值函数 二 二元函数的极限 类似于一元函数的极限概念, 二元函数的极限也是反映当点犘 ( 狓, 狔 ) 越来越趋向于点犘 ( 狓, 狔 )( 但犘 ( 狓, 狔 ) 犘 ( 狓, 狔 )) 时, 对应的函数值犳 ( 狓, 狔 ) 的变化趋势 定义 设二元函数犳 ( 狓, 狔 ) 在区域上有定义, 点犘 ( 狓, 狔 ) 是的内点或边界点, 犃为常数 如果对 ε>,δ>, 使得满足不等式 < 狘犘 犘狘 ( 狓 - 狓 ) 槡 + ( 狔 - 狔 ) <δ 的一切点犘 ( 狓, 狔 ), 都有 狘犳 ( 狓, 狔 )- 犃狘 <ε 则称犃为函数犳 ( 狓, 狔 ) 当 ( 狓, 狔 )( 狓, 狔 ) 时的 ( 二重 ) 极限, 记作 lim 犳 ( 狓, 狔 ) 犃, 狓 狓 狔 狔 或犳 ( 狓, 狔 ) 犃 ( 犘 犘 ) 注意 : 犘 ( 狓, 狔 ) 犘 ( 狓, 狔 ) 是从任何方向, 以任意方式进行的 这一点有别于一元函数的极限 如果当点犘 ( 狓, 狔 ) 以两种不同的方式趋于点犘 ( 狓, 狔 ) 时, 函数值趋向于两个不同的常数, 则可以肯定函数的极限不存在 例 66 设犳 ( 狓, 狔 ) 3 狓 +5 狔狓 槡 + 狔 证明 ( 狓 + 狔 ), 证明 :lim 犳 ( 狓, 狔 ) 狓 狔 因为狘犳 ( 狓, 狔 )- 狘 3 狓 +5 狔狓 5 槡狓 + 狔, 所以, 对任意给定的 ε> 槡 + 狔, 取 δ ε 5, 则当狓, 狔满足 时, 总有 故 < ( 狓 -) 槡 + ( 狔 -) <δ 狘犳 ( 狓, 狔 )- 狘 <ε, lim 犳 ( 狓, 狔 ) 狓 狔 关于二重极限的运算, 有类似于一元函数的运算法则 例 67 求 lim 狓 狔 狓狔槡狓狔 +1-1 解分子 分母同乘以因式槡狓狔 +1+1, 得 lim 狓 狔 例 68 解 狓狔槡狓狔 +1-1 lim 狓狔 ( 槡狓狔 +1+1) lim ( 槡狓狔 +1+1) 狓 狓狔狓 狔 狔 求 1-cos( 狓 + lim 狔 ) 狓 ( 狔 狓 狓狔 + 狔 ) 犲 1-cos( 狓 lim + 狔 ) 狓 ( 狔 狓 狓狔 + 狔 ) 犲 sin 狓 + 狔 lim ( 狓 狓狔 + 狔 ) 犲 狓 狔

13 第六章多元函数微分法及其应用 5 例 69 证明极限 lim 狓狔不存在狓 狓 4 + 狔 狔 狓 熿 sin + 狔燄 lim 狓 狓 狓 + 狔 1 + 狔狓狔狔 犲燀 燅 证明当点犘 ( 狓, 狔 ) 沿狓轴趋于点犘 (,) 时, lim 狓狔狓 狓 4 lim, + 狔狓 狔 但是, 当点犘 ( 狓, 狔 ) 沿抛物线狔 槡狓趋于点犘 (,) 时, 所以 lim 狓狔不存在狓 狓 4 + 狔 狔 lim 狓狔狓狓 狓 4 lim 1 + 狔狓 狓 狔 槡狓 三 二元函数的连续性 与一元函数的连续性相类似, 在多元函数极限的基础上, 我们将研究多元函数的连续性 定义 3 设函数犳 ( 狓, 狔 ) 在区域上有定义, 点犘 ( 狓, 狔 ) ( 犘 是的内点或边界点 ) 如果 lim 犳 ( 狓, 狔 ) 犳 ( 狓, 狔 ) 狓 狓 狔 狔 则称函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 连续 如果函数犳 ( 狓, 狔 ) 在区域上的每一点都连续, 则称函数犳 ( 狓, 狔 ) 在区域上是连续函数 关于二元函数连续性的概念, 可完全推广到狀元函数狌 犳 ( 犘 ) 上去 如果函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 处不连续, 则称点犘 ( 狓, 狔 ) 为函数犳 ( 狓, 狔 ) 的间断点 烄狓狔例如函数犳 ( 狓, 狔 ) 狓 4 + 狔, 狓 + 狔 烅 烆, 狓 + 狔 虽然犳 ( 狓, 狔 ) 在点 (,) 处有定义, 但是当狓, 狔 时, 函数的极限不存在, 所以点 (,) 是该函数的一个间断点 又如函数狕狓狔 在抛物线狔 狓上没有定义, 所以抛物线上的点都是该函狔 - 狓 数的间断点 由此可见, 二元函数的间断点有时可能形成一条或几条曲线 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 类似于一元初等函数的定义, 所谓多元初等函数, 就是由常数和自变量 ( 如狓, 狔等 ) 利用基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的函数 例如

14 6 高等数学 ( 下册 ) 狓 cos + 狔, 狓 ln + 狔等都是多元初等函数 1+ 狓狔由于多元函数也有类似于一元函数的极限运算法则, 根据这些运算法则及连续函数的定义, 可证得如下结论 : 1) 多元连续函数的和 差 积均为连续函数, 连续函数的商在分母不为零处也连续 ) 多元连续函数的复合函数仍为连续函数 3) 一切多元初等函数在其定义域内是连续的 利用多元初等函数的连续性, 可以求某些多元函数的极限 设犳 ( 狆 ) 是多元初等函数, 而点犘 是犳 ( 犘 ) 的定义域内的一点, 则 lim 犳 ( 犘 ) 犳 ( 犘 ) 犘 犘 例 61 求 lim 狓 1 狔 解 狔 ) 函数犳 ( 狓, 狔 ) cos ( 狓 - 犲狓 槡 + 狔 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 处连续 cos( 狓 - 犲 槡狓 + 狔 狔 ) cos( 狓 lim - 犲狓 1 狔 狓 槡 + 狔 犳 (1,)1 闭区间上连续函数的性质可推广到多元连续函数上去 是初等函数, 而点犘 (1,) 在其定义域内, 所以 狔 ) 定理 1( 最值性 ) 如果多元函数犳 ( 犘 ) 在有界闭区域上连续, 则犳 ( 犘 ) 在上一定有最小值和最大值 即在闭区域上至少存在两点犘 1, 犘, 使得犳 ( 犘 1) 为最小值, 犳 ( 犘 ) 为最大值 定理 ( 介值性 ) 设多元函数犳 ( 犘 ) 在有界闭区域上连续 如果犳 ( 犘 ) 在上取得两个不同的函数值 μ, 1 μ, 则犳 ( 犘 ) 在上一定取得介于 μ 和 1 μ 之间的任何值 μ 至少一次 特别地, 如果 μ 介于函数犳 ( 犘 ) 的最小值犿和最大值犕之间, 则在上至少存在一点犘, 使犳 ( 犘 )μ 习题 61 1 设狕 狓 + 狔 + 犳 ( 狓 - 狔 ), 若当狔 时, 狕 狓, 求函数犳及狕 设犳 ( 狓 + 狔, 狔 ) 狓 - 狔, 求犳 ( 狓, 狔 ) 狓 3 设犳 ( 狓, 狔 ) 槡狓 4 + 狔 4 - 狓狔, 求犳 ( 狋狓, 狋狔 ) 4 求下列函数的定义域 : (1) 狕 槡 狓 -狔; () 狕 ln[ 狓 ln( 狔 - 狓 )]; (3) 狕 1 +arcsin(1- 狓 - 狔 ); (4) 狕 ln( 狔 - 狓槡狓 )+ ; 狓 - 槡狔 1- 狓 槡 - 狔 槡 (5) 狌 犲槡 1- 狓 - 狔 - 狕 1 - ; 狕 - 狓 槡 - 狔

15 第六章多元函数微分法及其应用 7 (6) 狌 槡 - 狓 - 狔 - 狕 1 + 槡狓 + 狔 + 狕 -1 5 证明 lim ( 狓 + 狔 )sin 1 狓狔 狓 狔 6 求下列极限 : 狓 (1)lim + 狔狓 1狓 - 狓狔 + 狔 ; ( )lim cos 槡狘狓狔狘 -1; 狔 sin (3)lim 狓狔狓 狓狔 狓 1 狔 1 ; (4)lim ( 狓 sin 1 狔 狓 狔 + 狔 sin 1 ); 狓 (5)lim 狔狓 (1+ )( 犽 ); (6)lim - 槡狓狔 +4 狓狓狔 狓 狔 犽 7 证明下列极限不存在 狓 狔 狓 - (1)lim 狔 狓 狓 + 狔 ; ( 3 )lim 狓狔狓 狓 6 + 狔 狔 烄 狓狔 8 讨论函数犳 ( 狓, 狔 ) 狓 + 狔狓 + 狔 烅的连续性 烆, 狓 + 狔 9 指出下列函数的间断点 (1) 狕 sin 狓 sin 狔 ; () 1 狕 狓 + 狔 cos( 狓 + 狔 ) 狔 第二节偏导数 我们已经在第二章中研究了一元函数的变化率问题, 并引进了函数的导数的概念 本节将以此为基础讨论多元函数关于其中一个自变量的变化率问题, 并引进偏导数的 概念 下面就二元函数给出偏导数的定义 计算方法以及高阶偏导数 一 偏导数的定义 定义设函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的某一邻域内有定义 先固定狔 狔, 当狓在狓 处有增量 Δ 狓时, 相应地, 函数有关于狓的偏增量, 记为 Δ 狕狓, 即 Δ 狕狓 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) 如果 Δ 狕狓犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) lim lim Δ 狓 Δ 狓 Δ 狓 Δ 狓存在, 则称此极限值为函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 处对狓的偏导数, 记为 狕, 或 犳狓 狓 狓 狓 狓 狓 狔 狔 狔 狔 狓 狓, 或狕狓狔 狔 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo, 或犳狓 ( 狓, 狔 ) 即犳狓 ( 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) 狓, 狔 )lim (61) Δ 狓 Δ 狓同样, 先固定狓 狓, 函数关于狔的偏增量记为 Δ 狕狔, 即 Δ 狕狔 犳 ( 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ), 函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 处关于狔的偏导数定义为

16 8 高等数学 ( 下册 ) 记为 图 66 lim Δ 狔 狔 狔 Δ 狕狔 Δ 狔 lim Δ 狔 狕, 或 犳狓 狓 狓 狓 狔 狔 犳 ( 狓, 狔 +Δ 狓 )- 犳 ( 狓, 狔 ), Δ 狔, 或狕狔狓 狓 狔 狔 狔 狔, 或犳狔 ( 狓, 狔 ) 即犳狔 ( 犳 ( 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) 狓, 狔 )lim (6) Δ 狔 Δ 狔如果函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在开区域内每一点 ( 狓, 狔 ) 处对狓的偏导数都存在, 则在内定义了一个新的二元函数, 称为函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 对狓的偏导函数 ( 偏导数 ), 记为 狕, 犳, 狕狓, 犳狓 ( 狓, 狔 ) 狓 狓同理, 可以定义函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 对狔的偏导函数 ( 偏导数 ), 记为 狕, 犳, 狕狔, 狔 狔犳狔 ( 狓, 狔 ) 二元函数的偏导数定义可以推广到二元以上的函数 例如三元函数狌 犳 ( 狓, 狔, 狕 ), 如果函数犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 在点 ( 狓, 狔, 狕 ) 某一邻域内有定义, 则在点 ( 狓, 狔, 狕 ) 处关于狓的偏导数定义为 狌犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔, 狕 )- 犳 ( 狓, 狔, 狕 ) lim 狓 Δ 狓 Δ 狓类似地, 可定义函数关于狔的偏导数 狌及关于狕的偏导数 狌 狔 狕二元函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 处偏导数的几何意义 : 一般地, 二元函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 的图形为空间曲面 由偏导数的定义可知, 函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 处关于狓的偏导数犳狓 ( 狓, 狔 ) 就是一元函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点狓 处的导数, 而一元函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 的几何图形是曲面狕 犳 ( 狓, 狔 ) 与平面狔 狔 的交线, 因狕 犳 ( 狓, 狔 ) 此偏导数犳狓 ( 狓, 狔 ) 表示曲线在点 { 犕 ( 狓, 狔 狔 狔, 犳 ( 狓, 狔 )) 处的切线对狓轴的斜率 同理, 偏导数 犳狔 ( 狓, 狔 ) 表示曲面狕 犳 ( 狓, 狔 ) 与平面狓 狓 的交线在点犕 处的切线对狔轴的斜率 ( 如图 66) 对于一元函数来说, 如果狔 犳 ( 狓 ) 在点狓 处可导, 则狔 犳 ( 狓 ) 在点狓 处一定连续 但是, 如果多元函数在某点处各偏导数都存在, 函数在该点却不一定连续 这是因为偏导数在点犘 处存在, 只能说明点犘沿着平行于坐标轴的方向趋于点犘 时, 函数值犳 ( 犘 ) 趋于犳 ( 犘 ), 而当点犘沿其余任何方式趋于犘 时, 函数值犳 ( 犘 ) 不一定都趋于 犳 ( 犘 ) 例如函数 烄狓狔犳 ( 狓, 狔 ) 狓 4 + 狔, 狓 + 狔 烅烆, 狓 + 狔

17 第六章多元函数微分法及其应用 9 在点 (,) 处对狓的偏导数为 对狔的偏导数为 犳狓 (,)lim Δ 狓 犳狔 (,)lim Δ 狔 犳 (+Δ 狓,)- 犳 (,) Δ 狓 犳 (,+Δ 狔 )- 犳 (,) Δ 狔 但是, 由例 69 知, 函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点 (,) 处不连续 二 偏导数的计算 lim Δ 狓 lim Δ 狔, 由偏导数的定义可知, 求函数对其中一个自变量的偏导数时, 其余的自变量暂时看作常量 这时, 求函数的偏导数相当于一元函数的求导问题 因此, 一元函数的求导公式, 求导法则仍然适用 如二元函数狕 犳 ( 狓, 狔 ), 求偏导数 狕时, 把狔暂时看作 狓 常量而对狓求导, 求偏导数 狕时, 把狓暂时看作常量而对狔求导 狔 例 611 求函数犳 ( 狓, 狔 ) 狓 狔 - 狓狔 + 狓 3 在点 (1,) 处的偏导数 解 把狔看作常量对狓求导, 得 把狓看作常量对狔求导, 得 将点 (1,) 代入偏导数中, 得 例 61 解 犳 狓狔 - 狔 +3 狓, 狓 犳 狓 - 狓 狔 犳 5, 犳 狓狓 1 狓 1 狔狔 狔 设犳 ( 狓, 狔 ) 狔 sin 狓狔, 求 犳, 犳 狓 狔 犳 狔 cos 狓狔 狔 狔 cos 狓狔, 狓 犳 sin 狓狔 + 狔 cos 狓狔 狓 sin 狓狔 + 狓狔 cos 狓狔 狔 例 613 证明 -( 设狕 犲 1 狓 + 1 ) 狔, 证明狓 狕 狕 + 狔 狕 狓 狔 因为 狕 1 -( 犲 1 狓狓 所以狓 狕 + 狔 狓 例 614 解 狕 狔 狓 + 1 狔 ), 狕 狔 -( 犲 1 狓 + 1 ) 狔 狔狕求狌 狓的偏导数 1 -( 犲 1 狔 狕 把狔, 狕都看作常量对狓求导, 得 狓 + 1 ) 狔 狌狔 狓 狓狕 狔狕 -1 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

18 1 高等数学 ( 下册 ) 同理 例 615 狌 1 狔狕狓 ln 狓, 狌狔狔狕 - 狓 ln 狓 狔狕 狕狕理想气体的状态方程是犘犞 犚犜 ( 犚为常数 ), 证明 证明犚犜由犘, 得 犘犚犜 - 犞 犞犞 犘 犞 犜 犞 犜 犘, -1 由犚犜犞, 得 犞犚, 由犘犞犜, 得 犜犞 犘 犜犘犚 犘犚 所以 犘 犞 犜犚犜 - 犞 犜 犘犞 犚 犞犚犜 - -1 犘犚犘犞 对于一元函数来说, 导数记号 d 狔可看作函数的微分 d 狔与自变量的微分 之商 由例 615 说明, 偏导数记号 狕是一个整体记号, 不可看作 狕与 狓之商 狓 三 高阶偏导数 设函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在开区域内存在偏导数 狕 犳狓 ( 狓, 狔 ), 狕 犳狔 ( 狓, 狔 ) 狓 狔一般地, 这两个偏导数犳狓 ( 狓, 狔 ), 犳狔 ( 狓, 狔 ) 仍是狓, 狔的二元函数, 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们为二元函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 的二阶偏导数 二元函数的二阶偏导数有如下四个, 记为 狕 狓, 狕, 狕, 狕或 犳狓狓 ( 狓, 狔 ), 犳狓狔 ( 狓, 狔 ), 狓 狔 狔 狓 狔犳狔狓 ( 狓, 狔 ), 犳狔狔 ( 狓, 狔 ), 即 狕 ( 狕 ), 狕 ( 狕 ), 狓 狓 狓 狓 狔 狔 狓 狕 ( 狕 ), 狕 ( 狕 ), 狔 狓 狓 狔 狔 狔 狔 其中偏导数 狕和 狕称为二阶混合偏导数 狓 狔 狔 狓类似地, 二阶偏导数的偏导数称为函数犳 ( 狓, 狔 ) 的三阶偏导数, 狀 -1 阶偏导数的偏导数称为函数犳 ( 狓, 狔 ) 的狀阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 例 616 设函数狕 狓狔 狓 +sin, 求二阶偏导数 狔 解 由 狕 狔 + 1 狓 cos, 狕狓狓 狓狔 - 狓狔狔 cos 狔狔狔 得 狕 - 1 狓 狓 sin, 狕 狔 - 1 狓狓狓狔狔 狓 cos + 3sin, 狔狔狔狔狔 狕 狔 - 1 狓狓狓 狔 狓 cos + 3sin, 狔狔狔狔 狕 狓 + 狓狓狓狓 3cos - 4sin 狔狔狔狔狔

19 第六章多元函数微分法及其应用 11 由例 616 可见, 两个混合偏导数相等, 即偏导数与求导次序无关 一般地, 如果 函数满足一定条件, 这一结论一定成立, 即有如下定理 定理如果函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 的两个二阶混合偏导数 狕, 狕在区域内连 狓 狔 狔 狓 续, 则在该区域内有 狕 狕 狓 狔 狔 狓简单地说, 二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关 定理证明从略 关于高阶偏导数的定义及上述结论可以推广到二元以上的函数上去 例 617 设函数狕狔 arctan, 求二阶偏导数 狓 解 由 狕狔 - 狓狓 + 狔, 狕狓 狔狓 + 狔 于是 狕 狓狔 狓 ( 狓 + 狔 ), 狕 - ( 狓 + 狔 )- 狔 狔 狓 狔 ( 狓 + 狔 狕 - 狓狔 狔 ( 狓 + 狔 ), ) 狔 - 狓 ( 狓 + 狔 ) 狕 狔 狓 例 618 验证函数狌 1 满足拉普拉斯方程狉 解 狌 狓 由 狌 d 狌 狓 d 狉 狌 狔 + + 狉 狓 - 1 狉 狌, 其中狉 槡狓 + 狔 + 狕 狕 狓 槡狓 + 狔 + 狕 从而 狌 狓 狉 4-1 狓狉狉 狓狉 + 3 狓 3 狉又由函数关于自变量的对称性可知 : 所以 狌 狓 狌 狔 狌 狔 求下列函数的偏导数 : - 1 狉 + 3 狔 3 狉 5 5, - 狓 狉 3 狌 - 1 狕狉 + 3 狕 3 狉 5, 狌 ( 狓 + 狔 + 狕 狕狉狉狉狉 习题 6 ) (1) 狕 狓 -3 狓狔 - 狔 ; () 狓狕 lntan ; 狔 (3) 狕 arccos 狓槡狔 ; (4) 狓狕 sin cos 狔 ; 狔狓 狔 sin (5) 狓狔狕 犲 ; (6) 狕 (1+ 狓狔 ); 狕狕 (7) 狌 arctan( 狓 - 狔 ); (8) 狌 狓狔 设犳 ( 狓, 狔 ) 狓 + ( 狔 狓 -1)tan, 求犳狓 ( 狓,1) 槡狔 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

20 1 高等数学 ( 下册 ) 3 设狕 ln( 槡狓 + 槡狔 ), 狕 狕验证狓 + 狔 1 狓 狔 狓 狔 4 设狕 犲, 证明 狓 狕 狕 + 狔 狓 狔 烄狕 5 求曲线 1+ 狓 槡 + 狔烅在点 (1,1, 槡 3) 处的切线与狔轴正向所成的倾角是烆狓 1 多少? 6 求下列函数的二阶偏导数 : (1) 狕 狓狔 + 狓 cos 狔 + 狔 sin 狓 ; () 狕 狓槡狔 ; (3) 狓 + 狕狔 arctan ; (4) 狕 狓犲狔 +ln( 狓 + 狔 ) 1- 狓狔 7 设犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 狓狔 + 狔狕 + 狕狓, 求犳狓狓 (,,1), 犳狓狕 (1,,), 犳狔狕 (,-1, ) 及犳狕狕狓 (,,1) 狓狔 8 设狕 ln( 犲 + 犲 ), 证明 狕 狓 狕 - ( 狕 ) 狔 狓 狔 9 设狉 槡狓 + 狔 + 狕, 验证 狉 狓 狉 狔 + + 狔 1 设狕 犲 sin( 狓 + 狔 ), 求 3 狕, 3 狕 狓 狔 狓 狔 狉 狕狉 第三节全微分 类似于一元函数的微分概念, 本节就二元函数给出全微分的定义, 讨论函数可微分的必要条件和充分条件 一 全微分的定义 设函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的某一邻域内有定义, 在点犘处分别给自变量增量 Δ 狓,Δ 狔, 在该邻域内得到另一点犙 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 ), 从而函数有增量 Δ 狕 犳 ( 狓 + Δ 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) 称为函数在点犘处对应于 Δ 狓,Δ 狔的全增量 一般地, 计算函数的全增量是比较繁的, 类似于一元函数, 我们考虑能否用 Δ 狓, Δ 狔的线性函数近似表示 Δ 狕, 从而有如下全微分的定义 定义如果函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的全增量 可表示为 Δ 狕 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) Δ 狕 犃 Δ 狔 + 犅 Δ 狔 + 狅 ( ρ ) (63) 其中犃, 犅不依赖于 Δ 狓,Δ 狔, 仅与狓, 狔有关, ρ 槡 (Δ 狓 ) + (Δ 狔 ), 则称函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 可微分, 而犃 Δ 狓 + 犅 Δ 狔称为函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的全微分, 记为 d 狕, 即 d 狕 犃 Δ 狓 + 犅 Δ 狔

21 第六章多元函数微分法及其应用 13 微分 如果函数犳 ( 狓, 狔 ) 在开区域内每一点都可微分, 则称函数犳 ( 狓, 狔 ) 在内可 我们已经知道, 如果函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 处偏导数都存在, 并不能保证 函数犳 ( 狓, 狔 ) 在该点一定连续 但是, 如果函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 处可微分, 则函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在该点一定连续 这是因为函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 处可微 分, 则 (63) 式成立, 即 从而 即 于是 Δ 狕 犃 Δ 狓 + 犅 Δ 狔 + 狅 ( ρ ) lim Δ 狕 lim [ 犃 Δ 狓 + 犅 Δ 狔 + 狅 ( ρ ρ ρ )] [ 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 )] lim ρ lim 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 ) 犳 ( 狓, 狔 ) Δ 狓 Δ 狔 因此函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 处连续 二 可微分的条件 我们知道, 一元函数在某点可微的充要条件是它在该点可导, 即可微与可导等价 但是对于多元函数来说, 函数在某点可微分与偏导数存在却不一定等价, 这一点要特别注意 下面讨论二元函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在某点可微分的条件 定理 1( 必要条件 ) 如果函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 可微分, 则函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的偏导数 狕, 狕存在, 且 狓 狔 证明 d 狕 狕 Δ 狓 + 狕 Δ 狔 (64) 狓 狔因为函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 可微分, 所以, 对于点犘 ( 狓, 狔 ) 某一 邻域内任意一点犙 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 ),(63) 式总成立 特别地, 当 Δ 狔 时,(63) 式也成立, 且 ρ 狘 Δ 狓狘, 于是有 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) 犃 Δ 狓 + 犗 ( 狘 Δ 狓狘 ) 用 Δ 狓除上式两端, 再取极限 (Δ 狓 ), 有 lim Δ 狓 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) 犃 Δ 狓 即偏导数 狕存在, 且 狕 犃, 同理可得 狕 犅, 故 (64) 式成立 狓 狓 狔由于自变量的增量等于自变量的微分, 即 Δ 狓,Δ 狔 d 狔, 于是, 习惯上函数 狕 犳 ( 狓, 狔 ) 的全微分表示为 d 狕 狕 + 狕 d 狔 (65) 狓 狔 例 619 讨论犳 ( 狓, 狔 ) 槡狘狓狔狘在点 (,) 处偏导数存在性及可微性 解由偏导数定义 (61) 式和 (6) 式, 有 犳狓 (,)lim 犳 (Δ 狓,)- 犳 (,) lim, Δ 狓 Δ 狓 Δ 狓 Δ 狓 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

22 14 高等数学 ( 下册 ) 犳狔 (,)lim 犳 (,Δ 狔 )- 犳 (,) lim Δ 狔 Δ 狔 Δ 狔 Δ 狔即函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点 (,) 处两个偏导数都存在 但是, 函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点 (,) 处不可微 这是因为 从而 Δ 狕 - [ 犳狓 (,)Δ 狓 + 犳狔 (,)Δ 狔 ] 槡狘 Δ 狓 Δ 狔狘, Δ 狕 - [ 犳狓 (,)Δ 狓 + 犳狔 (,)Δ 狔 ] lim ρ ρ lim 槡狘 Δ 狓 Δ 狔狘 Δ 狓 Δ 狔 槡 (Δ 狓 ) + (Δ 狔 ) 如果选取点犘 (+Δ 狓,+Δ 狔 ) 沿直线狔 狓趋于点 (,), 则 于是, lim Δ 狔 Δ 狓 lim ρ 槡狘 Δ 狓 Δ 狔狘槡 (Δ 狓 ) + (Δ 狔 ) lim 狘 Δ 狓狘 1, Δ 狓 槡 狘 Δ 狓狘槡 Δ 狕 - [ 犳狓 (,)Δ 狓 + 犳狔 (,)Δ 狔 ] ρ 由全微分定义可知, 函数犳 ( 狓, 狔 ) 槡狘狓狔狘在点 (,) 处不可微 由此可见, 偏导数存在是可微分的必要条件, 而不是充分条件 那么, 函数在偏导数存在的前提下, 还应具备什么条件才能保证一定可微分呢? 下面的定理回答了这个问题 定理 ( 充分条件 ) 如果函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 的偏导数 狕, 狕在点 ( 狓, 狔 ) 连续, 则 狓 狔函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 可微分 证明由于偏导数在点 ( 狓, 狔 ) 连续, 所以在点 ( 狓, 狔 ) 的某一邻域内偏导数必然存在 在该邻域内任取一点 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 ), 函数有全增量 Δ 狕 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) [ 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 +Δ 狔 )]+ [ 犳 ( 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 )] 在第一个方括号内的表达式中, 狔 +Δ 狔不变, 相当于狓的一元函数犳 ( 狓, 狔 +Δ 狔 ) 的增量, 由一元函数的拉格朗日中值定理, 有 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 +Δ 狔 ) 犳狓 ( 狓 +θ1δ 狓, 狔 +Δ 狔 )Δ 狓,(<θ1 <1) 再由假设犳狓 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 连续, 有 犳狓 ( 狓 +θ1δ 狓, 狔 +Δ 狔 ) 犳狓 ( 狓, 狔 )+ε1, 其中 ε1 为 Δ 狓,Δ 狔的函数, 当 Δ 狓,Δ 狔 时,ε1 从而 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 +Δ 狔 ) 犳狓 ( 狓, 狔 +Δ 狔 )Δ 狓 +ε1δ 狓 (66) 同理, 第二个方括号内的表达式可表示为 犳 ( 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) 犳狔 ( 狓, 狔 )Δ 狔 +εδ 狔 (67) 其中 ε 为 Δ 狔的函数, 且当 Δ 狔 时,ε 显然, 由 (66) 式和 (67) 式可知, 在偏导数连续的条件下, 全增量 Δ 狕可表示为 Δ 狕 犳狓 ( 狓, 狔 )Δ 狓 + 犳狔 ( 狓, 狔 )Δ 狔 +ε1δ 狓 +εδ 狔 (68) ε1δ 狓 +εδ 狔 ρ 狘 ε1 狘 + 狘 ε 狘,

23 第六章多元函数微分法及其应用 15 于是, 当 Δ 狓,Δ 狔 时, 即 ρ 时, 有 ε1δ 狓 +εδ 狔 ρ 故函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 可微分 以上关于二元函数的全微分定义及可微分的必要条件和充分条件可类似地推广到 二元以上的函数 例如, 如果三元函数狌 犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 可微分, 则它的全微分可表 示为 例 6 解 d 狌 狌 + 狌 d 狔 + 狌 d 狕 狓 狔 狕狓狔求函数狕 犲在点 (1,1) 处关于 Δ 狓 15,Δ 狔 1 的全微分 因为 狕 狔犲 狓 狓狔, 狕 狔 狓狔 狓犲 从而,d 狕 狕 + 狕狓狔狓狔 d 狔 狔犲 + 狓犲 d 狔 狓 狔将狓 1, 狔 1, Δ 狓 15,d 狔 Δ 狔 1 代入上式, 得 从而 d 狕 5 犲 例 61 求函数狕 ln 狓 槡 + 狔的全微分 解由于狕 1 ln ( 狓 + 狔 ), 狕狓 狓狓 + 狔, 狕狔 狔狓 + 狔 于是 d 狕 1 狓 + 狔 ( 狓 + 狔 d 狔 ) 设函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 的偏导数 狕, 狕在点 ( 狓, 狔 ) 连续, 且狘 Δ 狓狘, 狘 Δ 狔狘都较小 狓 狔时, 有 Δ 狕 d 狕, 即 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) d 狕 犳狓 ( 狓, 狔 )Δ 狓 + 犳狔 ( 狓, 狔 )Δ 狔, 从而得到二元函数的分近似计算公式 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 ) 犳 ( 狓, 狔 )+ 犳狓 ( 狓, 狔 )Δ 狓 + 犳狔 ( 狓, 狔 )Δ 狔例 6 计算 (14) 的近似值 )1, 解设犳 ( 狓, 狔 ) 狓狔, 取狓 1, 狔,Δ 狓 4,Δ 狔 由犳狓 ( 狓, 狔 ) 狔狓狔 -1, 犳狔 ( 狓, 狔 ) 狓狔 ln 狓得犳狓 (1,), 犳狔 (1,), 而犳 (1, 所以 (14) 习题 63 1 求函数狕 狓狔在点 (,3) 处关于 Δ 狓 1 与 Δ 狔 的全增量与全微分 3 求函数狕 狓狔 + 狔在点 (,1) 处的全微分 3 设狕 (1+ 狓狔 ) 狓, 求 d 狕狘狓 1 狔 1 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

24 16 高等数学 ( 下册 ) 4 求下列函数的全微分 : (1) 狕 狓狔 狔 +cos 狔 ; () 狓狕 犲 ; (3) 狕 狔 ; (4) 狓狕 arccos ( 狔 > 狓 >); 槡狓 + 狔槡狔 (5) 狌 sin 狓狔 ; (6) 狌 狓狔狕 狕 5 计算 (1) 3 3 槡 + (197) 的近似值 第四节 多元复合函数的求导法则 我们已经讨论过一元复合函数的求导法则, 本节在此基础上将研究多元复合函数的求导法则 这一法则在多元函数的求导问题中起着至关重要的作用, 应给予足够的重视 定理如果函数狌 φ ( 狋 ), 狏 ψ ( 狋 ) 都在点狋可导, 函数狕 犳 ( 狌, 狏 ) 在对应点 ( 狌, 狏 ) 具有连续偏导数, 则复合函数狕 犳 [ φ ( 狋 ), ψ ( 狋 )] 在点狋可导, 且 并称导数 d 狕为全导数 d 狋 d 狕 狕 d 狌 + 狕 d 狏, (69) d 狋 狌 d 狋 狏 d 狋 证明给自变量狋以增量 Δ 狋, 变量狌, 狏相应有增量 Δ 狌,Δ 狏, 从而变量狕也相应有增量 Δ 狕 由假设狕 犳 ( 狌, 狏 ) 在点 ( 狌, 狏 ) 具有连续偏导数, 根据 (68) 式, 有 其中当 Δ 狌,Δ 狏 时,ε1,ε 上面等式两端同除 Δ 狋, 有 Δ 狕 狕 Δ 狌 + 狕 Δ 狏 +ε1δ 狌 +εδ 狏, 狌 狏 Δ 狕 狕 Δ 狌 + 狕 Δ 狏 Δ 狋 狌 Δ 狋 狏 Δ 狋 +ε1 因为当 Δ 狋 时,Δ 狌,Δ 狏, Δ 狌 d 狌, Δ 狏 d 狏 Δ 狋 d 狋 Δ 狋 d 狋 所以 即 Δ 狌 Δ 狏 +ε Δ 狋 Δ 狋 Δ 狕 lim 狕 d 狌 + 狕 d 狏, Δ 狋 Δ 狋 狌 d 狋 狏 d 狋 d 狕 狕 d 狌 + 狕 d 狏 d 狋 狌 d 狋 狏 d 狋同理, 复合函数的中间变量多于两个也有类似的结论 例如, 设狕 犳 ( 狌, 狏, 狑 ), 狌 φ ( 狋 ), 狏 ψ ( 狋 ), 狑 ω( 狋 ) 满足定理的相应条件, 那么复合函数狕 犳 [ φ ( 狋 ), ψ ( 狋 ),ω( 狋 )] 在点狋可导, 且全导数为 d 狕 狕 d 狌 + 狕 d 狏 + 狕 d 狑 (61) d 狋 狌 d 狋 狏 d 狋 狑 d 狋推论如果函数狌 φ ( 狓, 狔 ), 狏 ψ ( 狓, 狔 ) 都在点 ( 狓, 狔 ) 存在偏导数, 函数狕 犳 ( 狌, 狏 ) 在对应点 ( 狌, 狏 ) 具有连续偏导数, 则复合函数狕 犳 [ φ ( 狓, 狔 ), ψ ( 狓, 狔 )] 在

25 第六章多元函数微分法及其应用 17 点 ( 狓, 狔 ) 存在偏导数, 且 狕 狕 狌 + 狕 狏, 狓 狌 狓 狏 狓 狕 狕 狌 + 狕 狏 (611) 狔 狌 狔 狏 狔类似地, 可将推论推广到中间变量多于两个的情形 例如, 如果狌 φ ( 狓, 狔 ), 狏 ψ ( 狓, 狔 ), 狑 ω( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 都有偏导数, 狕 犳 ( 狌, 狏, 狑 ) 在相应点 ( 狌, 狏, 狑 ) 具有连续的偏导数, 则复合函数狕 犳 [ φ ( 狓, 狔 ), ψ ( 狓, 狔 ),ω( 狓, 狔 )] 在点 ( 狓, 狔 ) 偏导数存在, 且 狑 狓 狕 狕 狌 + 狕 狏 + 狕 狑, 狓 狌 狓 狏 狓 狑 狓 狕 狕 狌 + 狕 狏 + 狕 狑 (61) 狔 狌 狔 狏 狔 狑 狔 特别地, 当狏 狓, 狑 狔时, 复合函数为狕 犳 [ φ ( 狓, 狔 ), 狓, 狔 ], 这时 狏 1, 狓, 狏 狔, 狑 1, 则 (61) 式可简化为 狔 需要注意的是,(613) 式中 狕 狓 狕 犳 狌 + 犳, 狓 狌 狓 狓 狕 犳 狌 + 犳 狔 狌 狔 狔 和 犳 狓 (613) 的意义是不同的, 狕是当自变量狔暂时看作 狓 不变时函数狕对自变量狓的偏导数, 犳是当中间变量狌, 狔暂时看作不变时对中间变量 狓 狓的偏导数 同理 狕和 犳的意义也不相同 狔 狔 狏例 63 设狕 狌, 而狌 sin 狋, 狏 cos 狋, 求全导数 d 狕 d 狋解由 (69) 式, 有 d 狕 狕 d 狌 + 狕 d 狏 d 狋 狌 d 狋 狏 d 狋 狏 狏狌狏 -1 cos 狋 + 狌 ln 狌 (-sin 狋 ) (sin 狋 ) cos 狋 (cos 狋 cot 狋 -sin 狋 lnsin 狋 ) 例 64 设狕 狌狏 +cos 狋狋, 而狌 犲, 狏 sin 狋, 求全导数 d 狕 d 狋解由 (61) 式, 有 例 65 d 狕 狕 d 狌 + 狕 d 狏 + 狕 1 d 狋 狌 d 狋 狏 d 狋 狋 狋 狏犲 + 狌 cos 狋 +cos 狋 (-sin 狋 ) 狋 犲 (sin 狋 +cos 狋 )-sin 狋 狌狏设狕 犲, 而狌 ln 槡狓 + 狔, 狏狔 arctan, 求 狕, 狕 狓 狓 狔 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

26 18 高等数学 ( 下册 ) 解 由 (611) 式, 有 狕 狕 狌 + 狕 狏 狓 狌 狓 狏 狓 ( ) 狏犲狌狏 狓狓 + 狌犲狌狏 狔 - + 狔狓 + 狔 狌狏犲 狓 + 狔 ( 狓狏 - 狔狌 ), 狕 狕 狌 + 狕 狏 狔 狌 狔 狏 狔 狏犲 狌狏 狌狏犲 狔狓 + 狌犲狌狏 狓 + 狔狓 + 狔 狓 + 狔 ( 狔狏 + 狓狌 ) 例 66 设狕 狓犲狔 + 狔 φ ( 狌 ), 而狌 sin( 狓 + 狔 ), φ ( 狌 ) 为可导函数, 求 狕, 狕 狓 狔解设犳 ( 狓, 狔, 狌 ) 狓犲狔 + 狔 φ ( 狌 ), 而狌 sin( 狓 + 狔 ), 由 (613) 式, 有 狕 犳 + 犳 狓 狓 狌 狌 狓 狔 犲 + 狔 cos( 狓 + 狔 ) φ ( 狌 ), 狕 犳 + 犳 狔 狔 狌 狌 狔 狔 犲 + 狔 φ ( 狌 ) cos( 狓 + 狔 ) 狔 狓犲 +φ ( 狌 )+ 狔 cos( 狓 + 狔 ) φ ( 狌 ) 狓例 67 设狕 犳 ( 犲 sin 狔, 狓 + 狔 ), 犳具有二阶连续偏导数, 求 狕, 狕 狓 狓 狔狓解令狌 犲 sin 狔, 狏 狓 + 狔, 则狕 犳 ( 狌, 狏 ) 为了表达简便, 按中间变量的位置次序, 将狌, 狏记为 1,, 而函数狕对它们的导数分别记为 犳 犳 1, 犳 犳 狌 狏其中下标 1 表示对第一个中间变量狌求偏导数, 下标 表示对第二个中间变量求偏导数, 同样可理解犳 11, 犳 1 于是, 由 (611) 式, 有 狕 狕 狌 + 狕 狏狓 犲 sin 狔犳 1 + 狓犳, 狓 狌 狓 狏 狓 狕 狓狓 ( 犳 1 犳 犲 sin 狔犳 1 + 狓犳 ) 犲 (cos 狔犳 1 +sin 狔 )+ 狓, 狓 狔 狔 狔 狔这里应注意, 犳 1, 犳 与犳具有相同的复合层次, 同样由 (611) 式, 得 犳 1 狔 犳 狔 犳 1 狌 + 犳 1 狏 狌 狔 狏 狔 犳 狌 + 犳 狏 狌 狔 狏 狔 狓 犳 11 犲 cos 狔 + 犳 1 狔, 狓 犳 1 犲 cos 狔 + 犳 狔 所以 狕狓 犲 cos 狔犳 狓狓犲 sin 狔犳 11 + 犲 ( 狔 sin 狔 + 狓 cos 狔 ) 犳 1 +4 狓狔犳 狓 狔

27 第六章多元函数微分法及其应用 19 例 68 解 设狌 犳 ( 狓, 狔 ) 的二阶偏导数连续, 试将表达式 狌 + 狌转化为极坐标的形式 狓 狔由直角坐标与极坐标的关系式 狓 狉 cosθ, 狔 狉 sinθ 于是, 函数狌 犳 ( 狓, 狔 ) 可表示为极坐标狉,θ 的函数 狌 犳 ( 狓, 狔 ) 犳 ( 狉 cosθ, 狉 sinθ) 犉 ( 狉,θ) 这时, 函数狌 犳 ( 狓, 狔 ) 可看作是函数狌 犉 ( 狉,θ), 而狉 ( 或狔 θarctan +π) 的复合函数 因而 狌, 狌可按 (611) 式求得, 即狓 狓 狔 再求二阶偏导数, 得 狌 狌 狓 狓狓 狉 狉 狌 狌 狉 + 狌 θ 狌狓 - 狌狔 狓 狉 狓 θ 狓 狉狉 θ 狉 狌 cosθ- 狌 sinθ, 狉 θ 狉 狌 狌 狉 + 狌 θ 狌狔 - 狌狓 狔 狉 狔 θ 狔 狉狉 θ 狉 狌 sinθ+ 狌 cosθ 狉 θ 狉 ( ) 狌 狉 ( 狓 ) 狌 cosθ- 狌 sinθ ( 狉 ) θ 狌 狉 cos θ- 狌 sinθcosθ 狉 θ 狉 狌 狌 狔 狔狔 狉 狉 ( ) 狌 狉 ( 狔 ) 狌 sinθ+ 狌 cosθ ( 狉 ) θ 狌 狉 sin θ+ 狌 sinθcosθ 狉 θ 狉 狉 + 狌 θ 狓 θ 狓 狓 ( ) 狌 cosθ- 狌 sinθ ( 狉 ) cosθ- θ 狉 + 狉 + 狌 θ 狔 θ 狔 狔 θ 槡狓 + 狔,θarctan 狔狓 sinθ 狉 狌 sin θ θ + 狌 sinθ + 狌 sin θ, 狉 θ 狉 狉狉 ( ) 狌 sinθ+ 狌 cosθ ( 狉 ) sinθ+ θ 狉 + θ cosθ 狉 狌 cos θ θ - 狌 sinθ + 狌 cos θ, 狉 θ 狉 狉狉 所以 狌 + 狌 狌 + 1 狌 + 1 狌 狓 狔 狉狉 狉狉 θ 一元函数有微分形式的不变性, 类似地, 多元函数也有全微分形式的不变性 设函数狕 犳 ( 狌, 狏 ) 具有连续的偏导数, 则函数的全微分为 d 狕 狕 d 狌 + 狕 d 狏 狌 狏如果狌, 狏是中间变量, 即狌 狌 ( 狓, 狔 ), 狏 狏 ( 狓, 狔 ), 且这两个函数的偏导数也连续, 则函数狕 犳 [ 狌 ( 狓, 狔 ), 狏 ( 狓, 狔 )] 的全微分为 d 狕 狕 + 狕 d 狔 狓 狔 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

28 高等数学 ( 下册 ) 这时, 狕, 狕可由 (611) 式给出, 代入上式, 得 狓 狔 ( ) 狌 + 狌 ( d ) ( ) 狏 + 狏 ( d狔 ) d 狕 狕 狌 + 狕 狏 + 狕 狌 + 狕 狏 d 狔 狌 狓 狏 狓 狌 狔 狏 狔 狕 狌 狓 狔 + 狕 狔 狏 狓 狕 d 狌 + 狕 d 狏 狌 狏由此可见, 不论狌, 狏是自变量, 还是中间变量, 函数狕 犳 ( 狌, 狏 ) 的全微分形式是相同的 这一性质称为全微分形式不变性 利用全微分形式的不变性, 可同时求得函数的偏导数 例 69 解 狔 狌狏设狕 犲, 而狌 ln 槡狓 + 狔, 狏狔 arctan, 求 狕, 狕 狓 狓 狔 狌狏狌狏 d 狕 d( 犲 ) 狏犲狌狏 d 狌 + 狌犲 d 狏 d 狌 dln 槡狓 + 狔 狓 狓 狔 + + 狔狓 d 狔, + 狔而 d 狏狔狔狓 darctan - 狓狓 + + 狔狓 d 狔, + 狔将 d 狌,d 狏代入 d 狕中, 得 狌狏犲 狌狏犲 d 狕 狓 + 狔 ( 狓狏 - 狔狌 ) + 狓 + 狔 ( 狔狏 + 狓狌 )d 狔, 于是, 由全微分表达式, 得 与例 65 的结果一样 狌狏 狕犲 狓狓 + 狔 ( 狓狏 - 狔狌 ), 狌狏狕犲 狔狓 + 狔 ( 狔狏 + 狓狌 ) 习题 64 狓 -3 狔 1 设狕 犲, 而狓 狋 3, 狔 cos 狋, 求 d 狕 d 狋 狓 设狕 arctan, 而狔 槡狓 +1, 求 d 狕 狔 犪狓犲 ( 3 设狌狔 + 狕 ) 犪 + 犫, 而狔 犪 sin 狓, 狕 犫 cos 狓, 犪, 犫为常数, 求 d 狌 狌 4 设狕 犲 sin 狏, 而狌 狓狔, 狏 狓 + 狔, 求 狕, 狕 狓 狔 5 设狌 ln( 狓 + 狔 + 狕 ), 而狕 tan( 狓狔 ), 求 狌, 狌 狓 狔 6 设狕狔 犳 ( 狓 - 狔 ), 其中犳 ( 狌 ) 为可导函数, 证明 7 设狕 狓狔 + 狓 φ ( 狌 ), 而狌 1 狕 + 1 狕狕 狓 狓狔 狔狔 狔, 狓 φ ( 狌 ) 为可导函数, 求证

29 第六章多元函数微分法及其应用 1 证明 狕 狕狓 + 狔 狕 狓 狔 8 求下列函数的一阶偏导数 ( 其中犳具有一阶连续偏导数 ) (1) 狌 犳 ( 狓 + 狔, 狓狔 ); () 狌 犳 ( 狓 狓狔 - 狔, 犲 ); ( ) (3) 狓狌 犳狔, 狔狕 狔 ; (4) 狌 犳 (sin 狓, 狓犲狔, 狕狓 ) 9 设狕 犳 [ 狓 +φ ( 狔 )], 其中犳, φ 都是二阶可导函数, 证明 1 求下列函数的二阶偏导数 狕 狓 狕 狕 狕 狕 狓 狓 狔 狔 狓 狕, 狕 狓 狔 狔 ( 其中犳具有二阶连续偏导数 ), (1) 狕 犳 ( 狓 - 狔, 狓狔 ); () 狕 犳 ( 狓 ; 狓 ); 狔狓狔 (3) 狕 犳 ( 狓, 狔, 犲 ); (4) 狕 犳 (sin 狓,cos 狔, 犲 11 设狌 犳 ( 狓, 狔 ) 具有二阶连续偏导数, 而 ( ) (1) 狌狓 () 狌 狓 ( ) + 狌狔 狌 狔 狊 - 狓槡 3 狋, 槡 3 狊 + 狋狔, ( ) 狌狊 狌 狊 狌 狋 + + 第五节 ( ) + 狌狋 ; 隐函数的求导公式 狓 + 狔 ) 在第 章中, 我们在隐函数存在的前提下介绍了隐函数的求导方法, 但没有给出一 般的求导公式 本节将进一步讨论隐函数存在性, 并根据多元复合函数的求导法则推 导出隐函数的求导公式 一 一个方程的情形 定理 1 设函数犉 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且犉 ( 狓, 狔 ), 犉狔 ( 狓, 狔 ), 则方程犉 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的一元函数狔 犳 ( 狓 ) 使狔 犳 ( 狓 ), 且 d 狔犉狓 - (614) 犉狔公式 (614) 为隐函数的求导公式 定理 1 证明从略, 仅推导公式 (614) 因为函数狔 犳 ( 狓 ) 是由方程犉 ( 狓, 狔 ) 所确定的, 从而将其代入方程中, 得 犉 ( 狓, 犳 ( 狓 )) 上式左端是狓的复合函数, 等式两端同时对狓求导, 得 犉狓 + 犉狔 d 狔 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

30 高等数学 ( 下册 ) 由于函数犉狔连续, 且犉狔 ( 狓, 狔 ), 所以存在点犘 ( 狓, 狔 ) 的某一邻域, 使得在该邻域内犉狔, 于是有 d 狔 - 例 63 验证方程狔 3 + 狔 - 狓 在点 (,) 的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数的隐函数狔 犳 ( 狓 ), 且当狓 时, 狔, 并求 d 狔狘狓, d 狔 狘狓 解设犉 ( 狓, 狔 ) 狔 3 + 狔 - 狓, 则犉狓 - 狓, 犉狔 3 狔 +1, 在点 (,) 的某一邻域内连续, 且犉 (,), 犉狔 (,)1 由定理 1 可知, 方程狔 3 + 狔 - 狓 在点 (,) 的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数的隐函数, 狔 犳 ( 狓 ) 满足当狓 时狔, 且有 d 狔 犉狓 - 犉狔 犉狓 犉狔 狓 3 狔 +1,d 狔狘狓, d 狔 d ( (3 狓 3 狔 +1 ) 狔 +1)-1 狓狔 d 狔 (3 狔 +1) (3 狔 +1) -4 狓狔, d 狔 (3 狔 +1) 3 狘狓 类似地, 将定理 1 推广到方程中变量多于两个的情形 如三元方程犉 ( 狓, 狔, 狕 ), 当三元函数犉 ( 狓, 狔, 狕 ) 满足相应的条件也可以确定一个二元隐函数 于是有下面的定理 定理 设函数犉 ( 狓, 狔, 狕 ) 在点犘 ( 狓, 狔, 狕 ) 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且犉 ( 狓, 狔, 狕 ), 犉狕 ( 狓, 狔, 狕 ), 则方程犉 ( 狓, 狔, 狕 ) 在点犘 ( 狓, 狔, 狕 ) 的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数狕 犳 ( 狓, 狔 ), 使得狕 犳 ( 狓, 狔 ), 且有 狕犉狓 -, 狕犉狔 - 狓犉狕 狔犉狕定理 证明从略, 类似于定理 1, 仅推导公式 (615) 将函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 代入方程中, 得恒等式 犉 [ 狓, 狔, 犳 ( 狓, 狔 )] 等式的左端是狓, 狔的复合函数, 两端分别对狓和狔求导, 得 犉狓 + 犉狕 狕 狕, 犉狔 + 犉狕 狓 狔 (615) 由于函数犉狕连续, 且犉狕 ( 狓, 狔, 狕 ), 所以存在点犘 ( 狓, 狔, 狕 ) 的某一邻域, 使得在该邻域内犉狕, 从而 狕 - 狓 犉狓 犉狕, 狕 - 狔 狕例 631 设犲 - 狓狔狕, 求 狕 狓 狔狕解设犉 ( 狓, 狔, 狕 ) 犲 - 狓狔狕, 由 (615) 式得 犉狔 犉狕

31 第六章多元函数微分法及其应用 3 狕 狓 犉狓 - 犉狕 狕 - 狔 犉狔 犉狕 ( ) 狕 + 狔 狕 ( ) 于是 狕 狔狕狕 狓 狔 狔犲 - 狓狔 将 狕狔狕 代入上式, 得狕 狔犲 - 狓狔 二 方程组的情形 狔 - - 狔狕狔狕狕, 狕犲 - 狓狔犲 - 狓狔 - - 狓狕狓狕狕 狕 犲 - 狓狔犲 - 狓狔 狕 ( 犲 狕 - 狓 狔 ( ) 狕 狕 - 狓狔 )- 狔狕犲 -狓 狔狕 ( 犲 - 狓狔 ) 狓狔狕狕 ( 犲 - 狓狔 ) 3 隐函数存在定理还可以推广到方程的个数多于两个, 即方程组的情形 但这时方犉 ( 狓, 狔, 狌, 狏 ) 程组中变量的个数应多于方程的个数 如方程组 { 犌 ( 狓, 狔, 狌, 狏 ), 由于方程组中含有四个变量, 两个方程, 所以一般只有两个变量是独立的, 从而当函数犉, 犌满足某些条件时, 方程组有可能确定两个二元隐函数, 即有如下定理 定理 3 设函数犉 ( 狓, 狔, 狌, 狏 ), 犌 ( 狓, 狔, 狌, 狏 ) 在点犘 ( 狓, 狔, 狌, 狏 ) 的某一邻域内所有偏导数都连续, 又犉 ( 狓, 狔, 狌, 狏 ), 犌 ( 狓, 狔, 狌, 狏 ), 且偏导数所组成的行列式 ( 或称雅可比 ( 犑犪犮狅犫犻 ) 式 ) 犑 ( 犉, 犌 ) ( 狌, 狏 ) 犉狌犉狏 在点犘 ( 狓, 狔, 狌, 狏 ) 不等于零, 则方程组犉 ( 狓, 狔, 狌, 狏 ), 犌 ( 狓, 狔, 狌, 狏 ) 在点犘 ( 狓, 狔, 狌, 狏 ) 的某一邻域内能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导 数的函数狌 狌 ( 狓, 狔 ), 狏 ( 狓, 狔 ) 使得狌 狌 ( 狓, 狔 ), 狏 狏 ( 狓, 狔 ), 且有 狌 狓 狌 狔 - 1 ( 犉, 犌 ) 犑 ( 狓, 狏 ) ( 犉, 犌 ) 犑 ( 狔, 狏 ) - 犉狓 犌狓 犉狌 犌狌 犉狔 犌狔 犉狌 犌狌 犉狏 犌狏 犉狏 犌狏 犉狏 犌狏 犉狏 犌狏, 狏 狓, 狏 狔 犌狌 犌狏 - 1 ( 犉, 犌 ) 犑 ( 狌, 狓 ) ( 犉, 犌 ) 犑 ( 狌, 狔 ) - 我们不推证定理 3, 现就具体方程组, 介绍求偏导数的方法 狓 + 狔 - 狌狏 例 63 设方程组 { 狓狔 - 狌 + 狏, 求 狌, 狌, 狏, 狏 狓 狔 狓 狔 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 犉狌 犌狌 犉狌 犌狌 犉狌 犌狌 犉狌 犌狌 犉狓 犌狓 犉狏 犌狏 犉狔 犌狔 犉狏 犌狏 (616) 解根据所求的偏导数可知, 变量狌, 狏可看作狓, 狔的函数, 此题可直接由 (616)

32 4 高等数学 ( 下册 ) 式求出偏导数, 也可用下面的方法求得 将所给的方程两边对狓求导并移项, 得 从而, 解得 狌 狓 狏 狓 狓狌狔 - 狏狏狌 狌 - 狏 狏 烄狏 狌 + 狌 狏 狓 狓 狓烅 狌 狏 狌 - 狏 狔烆 狓 狓 狓 狌狔狏狌 狌 - 狏 同理, 将所给的方程两边对狔求导, 可得 4 狓狏 + 狔狌 ( 狌 + 狏 ), 4 狓狌 - 狔狏 ( 狌 + 狏 ) ( 狌 + 狏 ) 狌狓狌 +4 狔狏 狔 ( 狌 + 狏 ), 狏 4 狔狌 - 狓狏 狔 ( 狌 + 狏 ) ( 狌 + 狏 ) 狓 + 狔 + 狕 -6 例 633 验证方程组在点 { 犘 (1,-,1) 的某一邻域内能唯狓 + 狔 + 狕 一确定一组单值连续且具有连续导数的函数狔 狔 ( 狓 ), 狕 狕 ( 狓 ), 并求 d 狔, d 狕 解设犉 ( 狓, 狔, 狕 ) 狓 + 狔 + 狕 -6, 犌 ( 狓, 狔, 狕 ) 狓 + 狔 + 狕由于犉狓 狓, 犉狔 狔, 犉狕 狓, 犌狓 1, 犌狔 1, 犌狕 1 在点犘 (1,-,1) 的某一邻域内连续, 犉狔犉狕且犉 (1,-,1), 犌 (1,-,1), 而犑 狔 狕犌狔犌狕 1 1 ( 狔 - 狕 ) 在点犘 (1,-,1) 处不为零, 由定理 3 可知, 在点犘 (1,-,1) 的某一邻域内唯一确定一组单值连续且具有连续导数的函数狔 狔 ( 狓 ), 狕 狕 ( 狓 ) 将所给的方程两边对狓求导并移项, 得 从中求得 烄 d 狔 d 狕狔 + 狕 - 狓, 烅 d 狔 + d 狕 -1 烆 d 狔 d 狕 - 狓 狕 -1 1 狔狕 狔 狓 1-1 狔狕 1 1 狕 - 狓, 狔 - 狕 狓 - 狔 ( 狔 - 狕 ) 狔 - 狕

33 第六章多元函数微分法及其应用 5 习题 65 狓狔 1 设 sin( 狓狔 )- 犲 - 狓狔, 求 d 狔 设 ln 槡狓 + 狔 狔 arctan, 求 d 狔 狓 狔狓 3 设狓 狔 ( 狓 狔 ), 求 d 狔 4 设狓 + 狔 + 狕 犲, 求 狕, 狕 狓 狔 5 设狓狕 狕 ln, 求 狕, 狕 狔 狓 狔 狔狕 6 设犲 - 狓狕, 求 狕 狓 7 设狕 3-3 狓狔狕 犪 3, 求 狕 狓 狔 8 设狓 狓 ( 狔, 狕 ), 狔 狔 ( 狓, 狕 ), 狕 狕 ( 狓, 狔 ) 都是由方程犉 ( 狓, 狔, 狕 ) 所确 定的隐函数, 证明 狓 狔 狕 -1 狔 狕 狓 9 设狕 狕 ( 狓, 狔 ) 由方程狕 狓 + 狔 φ ( 狕 ) 所确定, 且 1- 狔 φ ( 狕 ), 证明 狕 狔 φ ( 狕 ) 狕 狓 1 设犉 ( 狌, 狏 ) 具有连续的偏导数, 证明由方程犉 ( 狕狓 +, 狕狔 + ) 所确定的隐狔狓函数狕 狕 ( 狓, 狔 ) 满足方程 狓 狕 狕 + 狔 狕 - 狓狔 狓 狔 11 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数 : 狓 + 狔 + 狕 1 (1) 设 { 狓 + 狔 + 狕, 求, d 狔 ; d 狕 d 狕 狓 +3 狔 - 狕 5 () 设, 求 d 狔, { d 狕 ; 狓 + 狔 狕 烄狏狓 狌 cos 狌 (3) 设烅, 求 狌, 狌, 狏, 狏 ; 狏 狓 狔 狓 狔狔 狌 sin 烆狌狌 犳 ( 狌狓, 狏 + 狔 ) (4) 设 { 狏 犵 ( 狌 - 狓, 狏狔 ), 其中犳, 犵具有一阶连续偏导数, 求 狌, 狏 狓 狓 1 设狔 犳 ( 狓, 狋 ), 而狋是由方程犉 ( 狓, 狔, 狋 ) 所确定的狓, 狔的函数, 其中犳, 犉都具有连续偏导数, 试证明 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

34 6 高等数学 ( 下册 ) 犳 犉 - 犳 犉 d 狔 狓 狋 狋 狓 犳 犉 + 犉 狋 狔 狋 第六节 偏导数的应用 类似于一元函数的导数应用, 多元函数的偏导数也有在几何上及在极值问题中的应用 本节将利用偏导数研究空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 多元函数的无条件极值和有条件极值等问题 一 偏导数的几何上的应用 (1) 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线 Γ 的参数方程为 狓 φ ( 狋 ), 狔 ψ ( 狋 ), 狕 ω( 狋 ), 其中 φ ( 狋 ), ψ ( 狋 ),ω( 狋 ), 在区间犐内均可导, 且对任意点 狋 犐, 对应的三个导数值不全为零 在曲线 Γ 上取定一点犕 ( 狓, 狔, 狕 ), 对应于狋 狋, 在点犕 的邻近任取一点犕 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔, 狕 + Δ 狕 ), 对应于狋 狋 +Δ 狋, 且狋, 狋 +Δ 狋 犐 ( 如图 67) 由空间解析几何可知, 割线犕 犕的方程为 图 67 用 Δ 狋除上式各分母, 得 狓 - 狓 Δ 狓 狔 - 狔 狕 - 狕 Δ 狔 Δ 狕 狓 - 狓 狔 - 狔 狕 - 狕, Δ 狓 Δ 狔 Δ 狕 Δ 狋 Δ 狋 Δ 狋当点犕沿曲线 Γ 趋近于点犕 ( 即 Δ 狋 ) 时, 割线犕 犕的极限位置犕 犜为曲线 Γ 在点 犕 处的切线, 从而曲线在点犕 处的切线方程为 狓 - 狓 φ ( 狋 ) 狔 - 狔 ψ ( 狋 ) 狕 - 狕 ω ( 狋 ) (617) 其中切线的方向向量犜 { φ ( 狋 ), ψ ( 狋 ),ω ( 狋 )} 称为曲线 Γ 在点犕 处的一个切向量 通过点犕 且与切线垂直的平面称为曲线在点犕 处的法平面 这时, 曲线在点犕 处的切向量犜为法平面的一个法向量, 于是, 法平面方程为 φ ( 狋 )( 狓 - 狓 )+ψ ( 狋 )( 狔 - 狔 )+ω ( 狋 )( 狕 - 狕 ) (618) 例 634 求螺旋线狓 犪 cos 狋, 狔 犪 sin 狋, 狕 犫狋在狋 π 3 处的切线及法平面方程 解因为狓 - 犪 sin 狋, 狔 犪 cos 狋, 狕 犫, 从而, 狋 π 3 所对应的曲线切向量为

35 曲线上对应的点为犕 于是, 切线方程为 法平面方程为 第六章多元函数微分法及其应用 7 { } 犪 ( 犫 ), 槡 3 犪, π 3 犜 槡 3 - 犪, 1 犪, 犫 犪狓 - - 槡 3 犪 ( ) 狔 - 槡 3 犪狕 - π 犫 3, 犫 1 犪 ( ) ( ) 槡 3 犪 - 犪狓 犪槡 3 狔 - 犪 + 犫狕 - π 犫, 3 即 3槡 3 犪狓 -3 犪狔 -6 犫狕 +π 犫 如果空间曲线 Γ 的方程为狔 φ ( 狓 ) { 狕 ψ ( 狓 ) 其中 φ ( 狓 ), ψ ( 狓 ) 均在狓 狓 处可导, 那么可取狓为参数, 这时曲线 Γ 的方程为 狓 狓, 狔 φ ( 狓 ), 狕 ψ ( 狓 ) 从而, 曲线在点犕 ( 狓, 狔, 狕 ) 处的切向量为 犜 {1, φ ( 狓 ), ψ ( 狓 )} 于是, 曲线在点犕 处的切线方程为 在点犕 处法平面方程为 一般地, 如果曲线 Γ 的方程为 狓 - 狓 1 狔 - 狔 φ ( 狓 ) 狕 - 狕 ψ ( 狓 ), ( 619) ( 狓 - 狓 )+φ ( 狓 )( 狔 - 狔 )+ψ ( 狓 )( 狕 - 狕 ) (6) { 犌 ( 狓, 狔, 狕 ) 犉 ( 狓, 狔, 狕 ), 犕 ( 狓, 狔, 狕 ) 为曲线 Γ 上的一点, 由隐函数存在定理 3 可知, 当犉, 犌具有连续偏导数且 ( 犉, 犌 ) ( 狔, 狕 ) 犉狔 犌狔 犉狕 犌狕 时, 此方程组在点犕 的某一邻域内确定了一组函数, 狔 狔 ( 狓 ), 狕 狕 ( 狓 ) 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 犉狕 犉狓 犉狓 犉狔 且 d 狔 犌狕 犉狔 犌狓 犉狕, d 狕 犌狓 犉狔 犌狔 犉狕 从而, 曲线在点犕 处的切向量为 犌狔犌狕犌狔犌狕,d 狕犕 犕 { }, 犜 1, d 狔

36 8 高等数学 ( 下册 ) 犉狕 犉狓 犉狓 犉狔 其中 d 狔犕 犌狕犌狓犕 犉狔 犉狕, d 狕狘犕 犌狓犌狔犕 犉狔犉狕 犌狔犌狕犕 于是, 曲线在点犕 处的切线方程为 犌狔犌狕犕 曲线在点犕 处的法平面方程为 得 从而 狓 - 狓 1 狔 - 狔 d 狔犕 狕 - 狕 d 狕犕 (61) ( 狓 - 狓 )+ d 狔犕 ( 狔 - 狔 )+ d 狕犕 ( 狕 - 狕 ) (6) 狓 + 狔 + 狕 6 例 635 求曲线在点 (1,-,1) 处的切线及法平面方程 { 狓 + 狔 + 狕 解由例 633 知, 将所给方程两边对狓求导并移项 于是, 曲线的切向量 烄 d 狔 d 狕狔 + 狕 - 狓, 烅 d 狔 + d 狕 -1 烆 d 狔狕 - 狓, d 狕狓 - 狔 ( 狔 - 狕 ) 狔 - 狕 狔 - 狕 d 狔 (1,-,1), d 狕 (1,-,1) -1 犜 {1,,-1} 切线方程为狓 -1 1 狔 + 狕 -1-1, 法平面方程为 ( 狓 -1)+( 狔 +)- ( 狕 -1), 即狓 - 狕 即有 图 68 () 曲面的切平面与法线设曲面 Σ 的方程为犉 ( 狓, 狔, 狕 ) 犕 ( 狓, 狔, 狕 ) 为曲面 Σ 上的一点, 犉 ( 狓, 狔, 狕 ) 的偏导数在点犕 处连续且不全为零 在曲面 Σ 上过点犕 任意作一条光滑曲线 Γ( 如图 68), 设曲线 Γ 的参数方程狓 狓 ( 狋 ), 狔 狔 ( 狋 ), 狕 狕 ( 狋 ), 当狋 狋 时对应于点犕, 且狓 ( 狋 ), 狔 ( 狋 ), 狕 ( 狋 ) 不全为零, 则曲线 Γ 在点犕 处的切向量为 犜 { 狓 ( 狋 ), 狔 ( 狋 ), 狕 ( 狋 )} 因为曲线 Γ 在曲面 Σ 上, 所以曲线上点的坐标满足曲面方程 犉 [ 狓 ( 狋 ), 狔 ( 狋 ), 狕 ( 狋 )]

37 第六章多元函数微分法及其应用 9 又因为犉 ( 狓, 狔, 狕 ) 的偏导数在点犕 ( 狓, 狔, 狕 ) 处连续, 而狓 ( 狋 ), 狔 ( 狋 ), 狕 ( 狋 ) 均存在, 所以上式两端在狋 狋 处可对狋求全导数, 得犉狓 ( 狓, 狔, 狕 ) 狓 ( 狋 )+ 犉狔 ( 狓, 狔, 狕 ) 狔 ( 狋 )+ 犉狕 ( 狓, 狔, 狕 ) 狕 ( 狋 ) 设向量狀 { 犉狓 ( 狓, 狔, 狕 ), 犉狔 ( 狓, 狔, 狕 ), 犉狕 ( 狓, 狔, 狕 )}, 由向量的内积公式可知上式可表示为狀 犜 即切向量犜与狀垂直 由于曲线 Γ 的任意性, 所以在曲面 Σ 上过点犕 的任意曲线在点犕 处的切线都垂直于向量狀 于是, 这些切线都在过点犕 的同一个平面上, 称该平面为曲面 Σ 在点犕 处的切平面 显然, 向量狀 { 犉狓 ( 狓, 狔, 狕 ), 犉狔 ( 狓, 狔, 狕 ), 犉狕 ( 狓, 狔, 狕 )} 是切平面的一个法向量, 称为曲面 Σ 的一个法向量 从而, 切平面方程为犉狓 ( 狓, 狔, 狕 )( 狓 - 狓 )+ 犉狔 ( 狓, 狔, 狕 )( 狔 - 狔 )+ 犉狕 ( 狓, 狔, 狕 )( 狕 - 狕 ) (63) 过点犕 且垂直于切平面的直线, 称为曲面在点犕 处的法线 于是, 法线方程为狓 - 狓 犉狓 ( 狓, 狔, 狕 ) 狔 - 狔 犉狔 ( 狓, 狔, 狕 ) 狕 - 狕 犉狕 ( 狓, 狔, 狕 ) (64) 特别地, 设曲面 Σ 的方程为狕 犳 ( 狓, 狔 ), 函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 处具有连续的偏导数, 则令犉 ( 狓, 狔, 狕 ) 犳 ( 狓, 狔 )- 狕, 从而, 犉狓 ( 狓, 狔, 狕 ) 犳狓 ( 狓, 狔 ), 犉狔 ( 狓, 狔, 狕 ) 犳狔 ( 狓, 狔 ), 犉狕 ( 狓, 狔, 狕 )-1 于是, 曲面在点犕 ( 狓, 狔, 狕 ) 处一个法向量为 狀 { 犳狓 ( 狓, 狔 ), 犳狔 ( 狓, 狔 ),-1}, 所以, 切平面方程为 犳狓 ( 狓, 狔 )( 狓 - 狓 )+ 犳狔 ( 狓, 狔 )( 狔 - 狔 )- ( 狕 - 狕 ), 即犳狓 ( 狓, 狔 )( 狓 - 狓 )+ 犳狔 ( 狓, 狔 )( 狔 - 狔 ) ( 狕 - 狕 ), (65) 法线方程为 狓 - 狓 犳狓 ( 狓, 狔 ) 狔 - 狔 犳狓 ( 狓, 狔 ) 狕 - 狕 -1 (66) 这里顺便解释全微分的几何意义 由于 (65) 式的左端是函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 处的全微分, 右端是切平面竖坐标的增量 所以, 函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 处的全微分, 在几何上表示曲面狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔, 狕 ) 处的切平面上点的竖坐标的增量 量为 设曲面法向量狀的方向角为 α, β,γ, 且狀的方向是向上的, 即 γ 是锐角, 则法向 狀 {- 犳狓 ( 狓, 狔 ),- 犳狔 ( 狓, 狔 ),1} 于是, 法向量的方向余弦为 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo cosα cosβ - 犳狓, 槡 1+ 犳狓 + 犳狔 - 犳狓, 槡 1+ 犳狓 + 犳狔

38 3 高等数学 ( 下册 ) 1 cosγ 槡 1+ 犳狓 + 犳狔其中, 犳狓, 犳狔分别表示犳狓 ( 狓, 狔 ), 犳狔 ( 狓, 狔 ) 狕例 636 求曲面犲 - 狕 + 狓狔 3 在点 (,1,) 处的切平面及法线方程 狕解设犉 ( 狓, 狔, 狕 ) 犲 - 狕 + 狓狔 -3, 狕狀 { 犉狓, 犉狔, 犉狕 } { 狔, 狓, 犲 -1}, 狀狘 (,1,) {1,,} 所以曲面在点 (,1,) 的切平面方程为 即 ( 狓 -)+( 狔 -1), 狓 + 狔 -4 法线方程为狓 - 1 狔 -1 狕, 即 烄狓 - 1 狔 -1, 烅烆狕 例 637 求旋转抛物面狕 狓 + 狔 -1 在点 (,1,4) 处的切平面及法线方程 解 狀 { 狕狓, 狕狔,-1} { 狓, 狔,-1}, 狀狘 (,1,4) {4,,-1} 于是, 曲面在点 (,1,4) 处的切平面方程 4( 狓 -)+( 狔 -1)- ( 狕 -4), 即 4 狓 + 狔 - 狕 6 法线方程为狓 - 4 狔 -1 狕 -4-1 二 多元函数的极值及其求法 在实际问题中, 我们有时会遇到多元函数的最大值和最小值的问题 类似于一元函数, 本节将利用偏导数, 主要研究二元函数的极值及最大值和最小值问题, 再进一步研究多元函数的条件极值 (1) 多元函数的极值及最大值和最小值 定义设函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的某一邻域内有定义, 如果当点犘 ( 狓, 狅狔 ) 犝 ( 犘 ) 时, 有 犳 ( 狓, 狔 ) < 犳 ( 狓, 狔 ) 则称函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 取得极大值犳 ( 狓, 狔 ); 如果当点犘 ( 狓, 狔 ) 狅犝 ( 犘 ) 时, 有 犳 ( 狓, 狔 ) > 犳 ( 狓, 狔 ) 则称函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 取得极小值犳 ( 狓, 狔 ), 极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点犘 ( 狓, 狔 ) 称为极值点 例 638 函数犳 ( 狓, 狔 ) ( 狓 -) + 狔 -3 在点犘 (,) 处取得极小值犳 (,)

39 第六章多元函数微分法及其应用 31 狅 -3, 这是因为当点 ( 狓, 狔 ) 犝 ( 犘 ) 时, ( 狓 -) + 狔 >, 从而犳 ( 狓, 狔 ) > 犳 (,) 例 639 函数犳 ( 狓, 狔 )1- 狓 槡 + 狔在点犘 (,) 处取得极大值犳 (,) 狅 1 这是因为当点 ( 狓, 狔 ) 犝 ( 犘 ) 时, 狓 + 狔 >, 于是犳 ( 狓, 狔 ) < 犳 (,) 类似于一元函数, 我们首先讨论极值存在的必要条件 定理 1( 必要条件 ) 犘 ( 狓, 狔 ) 处取得极值, 则有 设函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 处偏导数存在, 且在点 犳狓 ( 狓, 狔 ), 犳狔 ( 狓, 狔 ) 一般地, 使偏导数犳狓 ( 狓, 狔 ), 犳狔 ( 狓, 狔 ) 同时成立的点 ( 狓, 狔 ) 称为函数 犳 ( 狓, 狔 ) 的驻点 由定理 1 可知, 在偏导数存在的前提下, 函数的极值点一定是驻点 反之, 驻点不 一定是极值点 例如函数犳 ( 狓, 狔 ) 狓 - 狔, 由犳狓 ( 狓, 狔 ) 狓, 犳狔 ( 狓, 狔 )- 狔得 驻点为犘 (,), 但点犘 (,) 不是函数的极值点 这是因为存在点 ( 狓,) 狅犝 狅 ( 犘 ), 使得犳 ( 狓,) 狓 > 犳 (,), 也存在点 (, 狔 ) 犝 ( 犘 ), 使得犳 (, 狔 ) - 狔 < 犳 (,), 所以点犘 (,) 不是极值点 那么, 函数满足什么条件时, 驻点一定是极值点呢? 我们讨论极值存在的充分 条件 定理 ( 充分条件 ) 设函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的某邻域内存在二阶连续偏导数, 且犳狓 ( 狓, 狔 ), 犳狓 ( 狓, 狔 ), 令犃 犳狓狓 ( 狓, 狔 ), 犅 犳狓狔 ( 狓, 狔 ), 犆 犳狔狔 ( 狓, 狔 ), 1) 如果犃犆 - 犅 >, 则函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 处取得极值, 且当犃 > 时, 取得极小值, 当犃 < 时, 取得极大值 ; ) 如果犃犆 - 犅 <, 则函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 处不取极值 ; 3) 如果犃犆 - 犅, 则函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 处可能取得极值, 也可能不取得极值 定理证明从略 例 64 求函数犳 ( 狓, 狔 ) 狓 3 + 狔 3-3 狓狔的极值 烄犳狓 ( 狓, 狔 )3 狓 -3 狔, 解由方程组烅烆犳狔 ( 狓, 狔 )3 狔 -3 狓 得驻点为 (,),(1,1) 求二阶偏导数为 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 犳狓狓 ( 狓, 狔 )6 狓, 犳狓狔 ( 狓, 狔 )-3, 犳狔狔 ( 狓, 狔 )6 狔 于是, 在点 (,) 处, 犃犆 - 犅 -9<, 所以函数在点 (,) 处不取得极值 ; 在点 (1,1) 处, 犃犆 - 犅 6 - (-3) >, 且犃 6>, 所以函数在点 (1,1) 处取得极小值为犳 (1,1)-1 值得注意, 如果函数在某点处偏导数不存在, 显然该点不是函数的驻点, 但它也 可能是函数的极值点 如例 639, 函数犳 ( 狓, 狔 )1- 狓 槡 + 狔在 (,) 处偏导数都不存在, 但该函数在点 (,) 处取得极大值 因此, 求函数的极值时, 驻点和使偏导

40 3 高等数学 ( 下册 ) 数不存在的点都应考虑 顺便指出, 如果函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 处取得极值, 且曲面狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犕 ( 狓, 狔, 狕 ) 处有切平面, 则切平面一定平行于狓狅狔坐标面, 这是因为切平面方程 即切平面方程为狕 狕 狕 - 狕 犳狓 ( 狓, 狔 )( 狓 - 狓 )+ 犳狔 ( 狓, 狔 )( 狔 - 狔 ), 以上关于二元函数的极值概念以及极值存在的必要条件, 可以推广到二元以上的函数 设狀元函数狌 犳 ( 犘 ) 在点犘 的某一邻域内有定义, 如果当点犘 犝 ( 犘 ) 时, 有 犳 ( 犘 )< 犳 ( 犘 ) ( 或犳 ( 犘 )> 犳 ( 犘 )) 则称函数犳 ( 犘 ) 在点犘 取得极大值 ( 或极小值 ) 犳 ( 犘 ) 类似地, 如果函数狌 犳 ( 犘 ) 在点犘 处偏导数存在, 且在点犘 处取得极值, 则在点犘 处偏导数都为零 即在偏导数存在的前提下, 极值点一定是驻点, 反之未必 下面, 我们讨论多元函数的最大值和最小值问题 如果函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在有界闭区域上连续, 则函数犳 ( 狓, 狔 ) 在上一定取得最大值和最小值 但是函数的最大 ( 小 ) 值可能在的内部取到, 也可能在的边界上取到 如果再假设函数犳 ( 狓, 狔 ) 在内可微且只有有限个驻点, 那么, 类似于一元函数, 求函数犳 ( 狓, 狔 ) 在上的最大值和最小值, 需要将所有驻点处的函数值和的边界上函数的最大值和最小值相比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就是最小值 由此可见, 求函数的最大值和最小值相当麻烦 但是, 在某些实际问题中, 如果知道函数的最大值 ( 或最小值 ) 确实存在, 且在内只有一个驻点, 则函数在该驻点处一定取得最大值 ( 或最小值 ) 例 641 用钢板制成一个容积为犞的无盖长方体水箱, 问怎样选择长 宽 高, 才能使用料最省? 解设水箱长为狓, 宽为狔, 高为狕, 已知狓狔狕 犞, 犞从而狕, 水箱的表面积为狓狔 ( ) 1 犛 狓狔 + 犞 + 1 狓狔 所求材料最省, 就是求表面积犛取得最小值问题 狓 狔 3 槡犞, 即驻点为 ( 3 槡犞, 3 槡犞 ) 烄犛狓 狔 - 犞, 狓解方程组烅犛狔 狓 - 得犞 烆狔 由题的实际意义可知, 表面积犛的最小值一定存在, 现在内只有一个驻点, 所 以当狓 3 槡犞, 狔 3 槡犞 时, 犛取得最小值, 犞这时狕 狓狔 3 底是边长为槡犞 的正方形, 高为 3 槡犞 时所用材料最省 3 槡犞, 于是, 当水箱的

41 第六章多元函数微分法及其应用 33 例 64 有一块长方形薄铁皮, 宽 4cm, 将它的两边折起做成一个截面为等腰梯 形的水槽,( 如图 69) 问狓和倾角 α 如何选取, 使截面的面积最大? 解 图 69 设梯形截面面积为犛, 如图所示, 梯形的下底为 4- 狓, 上底为 4- 狓 + 狓 cosα, 高为狓 sinα, 从而 犛 1 [( 4- 狓 )+ (4- 狓 + 狓 cosα)] 狓 sinα, 即犛 4 狓 sinα- 狓 sinα+ 狓 sinαcosα(< 狓 <1,<α π ) 烄犛狓 4sinα-4 狓 sinα+ 狓 sinαcosα, 解方程组烅犛 α 4 狓 cosα- 狓 cosα+ 狓 烆 (cos α-sin α) 由于 sinα, 狓, 方程组化简为 1- 狓 + 狓 cosα, { 4cosα- 狓 cosα+ 狓 (cos α-sin α) 解得 α π 3, 狓 8 由实际问题可知, 截面面积犛的最大值一定存在, 而现在的内部只有一个驻点, 所以当狓 8cm,α π 3 时截面面积最大 () 条件极值 拉格朗日乘数法 在多元函数的极值问题中, 有些函数的自变量只要求在其定义域内取值, 而不受 其他条件的约束 我们称这种情况下的极值为无条件极值, 而有些函数的自变量除了限 制在定义域内, 还需要满足一定的附加条件, 称这种情况下的极值为条件极值 例如 例 641, 是求体积一定, 而表面积最小的极值问题 由于表面积为 犛 狓狔 +( 狔狕 + 狓狕 ) 因而, 自变量狓, 狔, 狕需要满足狓 >, 狔 >, 狕 > 而且必须满足条件狓狔狕 犞, 因 此这种极值就是条件极值犞 如果从条件狓狔狕 犞中解出狕 代入函数犛中, 得狓狔 这时, 条件极值就转化为无条件极值 1 犛 狓狔 + 犞 ( + 1 狓狔 ) ( 狓 >, 狔 >) 由于有些条件极值问题不易转化为无条件极值, 所以有必要寻找一种直接求条件 极值的方法 拉格朗日乘数法 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

42 34 高等数学 ( 下册 ) 下面讨论函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在满足条件 φ ( 狓, 狔 ) 下取得极值的必要条件 假设函数在点 ( 狓, 狔 ) 取得极值, 显然 φ ( 狓, 狔 ) 又假设函数犳 ( 狓, 狔 ), φ ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 的某一领域内有连续的一阶偏导数, 且 φ 狔 ( 狓, 狔 ), 则由隐函数存在定理 1 可知, 方程 φ ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 某一邻域内确定一个单值可导且具有连续导数的函数狔 ψ ( 狓 ), 将狔 ψ ( 狓 ) 代入函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 中, 得一元函数 狕 犳 [ 狓, ψ ( 狓 )] 在狓 处取得极值, 又由一元函数极值存在的必要条件可知 d 狕狘狓 狓 犳狓 ( 狓, 狔 )+ 犳狔 ( 狓, 狔 ) d 狔狘狓 狓, 其中 d 狔可由隐函数求导公式 (614) 求得, 即 将其代入上式, 得 d 狔狘狓 狓 -φ 狓 ( 狓, 狔 ) φ 狔 ( 狓, 狔 ), ( ) 犳狓 ( 狓, 狔 )+ 犳狔 ( 狓, 狔 )- φ 狓 ( 狓, 狔 ) φ 狔 ( 狓, 狔 ) 犳狔 ( 如果令狓, 狔 ) λφ 狔 ( 狓, 狔 ), 且犳狓 ( 狓, 狔 )+λφ 狓 ( 狓, 狔 ), 且犳狔 ( 狓, 狔 )+λφ 狔 ( 狓, 狔 ), 从而, 极值存在的必要条件为 烄犳狓 ( 狓, 狔 )+λφ 狓 ( 狓, 狔 ), 烅犳狔 ( 狓, 狔 )+λφ 狔 ( 狓, 狔 ), 烆 φ ( 狓, 狔 ) 显然, 前两式左端可以看作函数犉 ( 狓, 狔 ) 犳 ( 狓, 狔 )+λφ ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 处的偏导数 拉格朗日数乘法辅助函数 要求函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在条件 φ ( 狓, 狔 ) 下的极值, 可先构造 犉 ( 狓, 狔 ) 犳 ( 狓, 狔 )+λφ ( 狓, 狔 ) (67) 然后, 函数犉 ( 狓, 狔 ) 分别对狓, 狔求一阶偏导数且令其为零, 并与条件 φ ( 狓, 狔 ) 联立, 即得联立方程组 烄犳狓 ( 狓, 狔 )+λφ 狓 ( 狓, 狔 ), 烅犳狔 ( 狓, 狔 )+λφ 狔 ( 狓, 狔 ), (68) 烆 φ ( 狓, 狔 ) 这是条件极值点 ( 狓, 狔 ) 所需满足的必要条件, 由 (68) 式求得的狓, 狔可能是条件极值点的坐标 最后, 根据问题的具体意义判定所求得的点是否为极值点 以上所介绍的求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法 这一方法可以推广到自变量为两个以上, 条件多于一个的情形 例如求函数狌 犳 ( 狓, 狔, 狕, 狋 ) 在条件 φ ( 狓, 狔, 狕, 狋 ) 及 ψ ( 狓, 狔, 狕, 狋 ) 下的极值, 构造的辅助函数为 犉 ( 狓, 狔, 狕, 狋 ) 犳 ( 狓, 狔, 狕, 狋 )+λ1 φ ( 狓, 狔, 狕, 狋 )+λ ψ ( 狓, 狔, 狕, 狋 ),

43 第六章多元函数微分法及其应用 35 其中 λ1,λ 为待定常数 类似地, 求出犉 ( 狓, 狔, 狕, 狋 ) 对狓, 狔, 狕, 狋的一阶偏导数, 并令它们为零, 再与 两个条件方程联立得方程组, 求解得出函数犳 ( 狓, 狔, 狕, 狋 ) 可能的极值点 ( 狓, 狔, 狕, 狋 ), 再由实际问题加以判定 例 643 求内接于半径为 α 的球且体积最大的长方体 解设长方体的长 宽 高为狓, 狔, 狕, 体积为犞, 由已知条件可知, 狓 + 狔 + 狕 4 犪, 则所求的问题就是体积犞 狓狔狕在条件 φ ( 狓, 狔, 狕 ) 狓 + 狔 + 狕 -4 犪下取得最大值的问题, 构造辅助函数为 令 犉 ( 狓, 狔, 狕 ) 狓狔狕 +λ( 狓 + 狔 + 狕 -4 犪 ) ( 狓 >, 狔 >, 狕 >) 烄犉狓 狔狕 +λ 狓, 犉狔 狓狕 +λ 狔, 烅犉狕 狓狔 +λ 狕, 烆狓 + 狔 + 狕 -4 犪 由 (1),(),(3) 解得狓 狔 狕代入 (4), 得 狓 狔 狕槡 3 犪 3 这是唯一可能的极值点的坐标, 由所求的问题可知, 体积犞的最大值一定存在, 所以 最大值一定在这个可能的极值点取得 即边长为 槡 3 犪的正方体的体积最大, 且体积 3 为 8槡 3 犪 9 方程 3 习题 66 1 求曲线狓 狋 -cos 狋, 狔 3+sin 狋, 狕 1+cos3 狋在狋 π 处的切线及法平面 ( ) 求曲线狓 3 狔, 狓狕 1 在点 1 3,3, 6 处的切线及法平面方程 (1) () (3) (4) 3 求曲线狓 + 狔 + 狕 4, 狓 + 狔 狓在点 (1,1, 槡 ) 处的切线及法平面方程 4 求曲线狓 狋, 狔 狋 3, 狕 狋上求一点, 使该点处的切线平行于平面狓 + 狔 + 狕 4 5 求曲线狕 狓 + 狓狔 + 狔 在点 (1,1,3) 处的切平面及法线方程 6 求曲线狓 + 狔 +3 狕 1 上平行于平面狓 +4 狔 +6 狕 的切平面方程 7 在曲线狕 狓狔上求一点, 使该点处的法线垂直于平面狓 +3 狔 + 狕 +9 8 试证曲面槡狓 + 槡狔 + 槡狕 槡犪 ( 犪 >) 上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之 和等于犪 9 求函数狕 狓 3 + 狔 3-3 狓狔的极值 1 求函数犳 ( 狓, 狔 ) (6 狓 - 狓 )(4 狔 - 狔 ) 的极值 11 求方程狓 + 狔 + 狕 - 狓 + 狔 -4 狕 1 所确定的函数狕 狕 ( 狓, 狔 ) 的极值 1 求函数犳 ( 狓, 狔 )3 狓 +4 狔在圆狓 + 狔 1 上的极大值和极小值 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

44 36 高等数学 ( 下册 ) 13 从斜边为定长犾的直角三角形中, 求周长最大的直角三角形 14 求表面积为 犪而体积最大的长方体的体积 15 已知矩形的周长为 狆, 将它绕一边旋转成一个圆柱体, 求矩形的边长各为多少时, 圆柱体的体积最大? 16 求旋转椭球面 狓 + 狔 + 狕 1 上距平面 狓 + 狔 - 狕 6 有最近距离的点 狕 狓 + 狔 17 求原点到椭圆的最长与最短的距离 { 狓 + 狔 + 狕 1 第七节 方向导数与梯度 一 方向导数 在很多实际问题中, 需要研究函数在某点沿某一方向的变化率 例如, 要预报某地的风向和风力, 就需要知道气压在该处沿某些方向的变化率 下面, 我们将讨论函数 狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘沿某一方向的变化率问题 设函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的某一邻域犝 ( 犘 ) 内有定义, 从点犘 引一条射线犾, 设犾的方向余弦为 cosα, cosβ 在射线犾上任取一点犘 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 ) 犝 ( 犘 )( 如图 61), 如果极限犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) lim ρ ρ 存在, 其中 ρ 狘犘 犘 狘 槡 (Δ 狓 ) + (Δ 狔 ) 则称此极限为函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 沿方向犾的方向导数, 记为 犳狘 ( 狓 犾, ) 狔 根据方向导数定义, 如果函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的图 61 偏导数犳狓, 犳狔存在, 则函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 沿狓轴正向犲 1 {1,}, 狔轴正向犲 {,1} 这两个特殊方向的方向导数一定存在且分别为 犳狓, 犳狔 而且, 函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 沿狓轴负向犲 1 {-1,}, 狔轴负向犲 {,-1} 这两个特殊方向的方向导数也存在且分别为 - 犳狓,- 犳狔 这里, 我们只推导沿 狓轴负向的方向导数 在狓轴负向上任取一点犘 ( 狓 +Δ 狓, 狔 ) 犝 ( 犘 ), lim 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) lim - 犳狓 ( 狓, 狔 ) ρ ρ Δ 狓 -Δ 狓一般地, 函数满足什么条件, 在点犘 ( 狓, 狔 ) 沿任意方向的方向导数一定存在呢? 我们有如下定理 定理如果函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 可微, 则函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 沿任意方向犾的方向导数都存在, 且 犳狘犘 犾 犳 狓 其中 cosα,cosβ 是方向犾的方向余弦 狘犘 cosα+ 犳 狘犘 狔 cos β, ( 69)

45 第六章多元函数微分法及其应用 37 证明在犾上任取一点犘 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 ), 由犳 ( 狓, 狔 ) 在犘 处可微, 函数在犘 处的增量可表示为 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) 犳狓 ( 狓, 狔 )Δ 狓 + 犳狔 ( 狓, 狔 )Δ 狔 + 狅 ( ρ ) 因而 即 lim ρ 犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔 )- 犳 ( 狓, 狔 ) 犳狓 ( 狓, 狔 )cosα+ 犳狔 ( 狓, 狔 )cosβ ρ 犳狘犘 犾 犳狘犘 狓 cosα+ 犳狘犘 狔 cos β 以上关于方向导数的定义及其计算公式可推广到三元函数 三元函数狌 犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 在点犘 ( 狓, 狔, 狕 ) 沿方向犾的方向导数定义为 犳犳 ( 狓 +Δ 狓, 狔 +Δ 狔, 狕 +Δ 狕 )- 犳 ( 狓, 狔, 狕 ) lim, 犾 ρ ρ 其中 ρ 槡 (Δ 狓 ) + (Δ 狔 ) + (Δ 狕 ) 如果函数犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 在点犘 ( 狓, 狔, 狕 ) 可微, 则函数犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 在点犘沿任意方 向犾的方向导数为 其中 cosα,cosβ, cosγ 为犾的方向余弦 例 644 犳 犳 cosα+ 犳 cosβ+ 犳 cosγ (63) 犾 狓 狔 狕 设由原点到点 ( 狓, 狔 ) 的向径为狉, 狓轴到狉的转角为 θ, 狓轴到射线犾的转 角为 φ, 求 狉, 其中狉 狘狉狘 槡狓 + 狔 ( 狉 ) 犾 解 因为 狉 狓 狉 狔 狓 槡狓 + 狔 狓 cosθ 狉 狔狓 槡 + 狔 狔 sinθ 狉 ( ) 所以 狉 狉 cosφ+ 狉 cos π 犾 狓 狔 - φ cosθcosφ+sinθsinφ cos(θ-φ ) 显然, 当 φθ± π 时, 狉 犾, 即函数狉在点 ( 狓, 狔 ) 沿垂直于向径的方向的方向 导数为零, 而当 φθ 时, 狉 1 即函数狉在点犘 ( 狓, 狔 ) 沿向径的方向的方向导数最大 犾 为 1 例 645 求函数狌 ln( 狓 + 狔 + 狕 ) 在点犕 (1,,1) 处沿向量犾 (-,1,1) 的方向导数 解 狌 狓犕 狌 狔犕 狌 狕犕 狓 + 狔 + 狕 狔 狓 + 狔 + 狕 狕 狓 + 狔 + 狕 犕 犕 犕 3 ; ; 3 ; 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

46 38 高等数学 ( 下册 ) 由于狘犾狘 槡 6, 从而, 方向犾的方向余弦为 cosα-,cosβ 1,cosγ 1 槡 6 槡 6 槡 6 ( ) 所以 狌 犾犕 槡 6 槡 槡 6 - 槡 6 9 由 644 可知, 函数狉沿向径方向的方向导数最大 一般地, 函数在点犘沿哪个方向的变化率最大呢? 我们将给出与其相关的梯度的概念 二 梯度 设函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在开区域内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点犘 ( 狓, 狔 ), 都可确定一个向量 犳犻 + 犳犼 狓 狔称该向量为函数狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的梯度, 记为犵狉犪犱犳 ( 狓, 狔 ), 即 我们首先讨论梯度与方向导数的关系 犵狉犪犱犳 ( 狓, 狔 ) 犳犻 + 犳犼 (631) 狓 狔 设向量犲 {cosα,cosβ } 是与犾同方向的单位向量, 又由 (69) 式, 方向导数为 犳 犳 cosα+ 犳 cosβ { 犳, 犳 犾 狓 狔 狓 狔 } {cosα,cosβ } 犵狉犪犱犳 ( 狓, 狔 ) 犲 狘犵狉犪犱犳 ( 狓, 狔 ) 狘 cos( 犵狉犪犱犳 ( 狓, 狔 ))^, 犲 ), 其中 ( 犵狉犪犱犳 ( 狓, 狔 ))^, 犲 ) 表示梯度犵狉犪犱犳 ( 狓, 狔 ) 与犲的夹角 显然, 当犾与梯度的方向一致时, 有 cos( 犵狉犪犱犳 ( 狓, 狔 )^, 犲 )1, 从而, 犳取得最大值 即梯度的方向是函数犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 增加最快的方向 犾由此可见, 梯度的方向是函数取得最大方向导数的方向, 梯度的模为方向导数的最大值 设狓轴到梯度的转角为 θ, 如果 犳, 则 狓 tanθ 犳 狔 犳 狓 槡 ( ) 而且狘犵狉犪犱犳 ( 狓, 狔 ) 狘 犳狓 下面, 我们再来讨论梯度与等高线的关系 ( ) + 犳狔 设曲面狕 犳 ( 狓, 狔 ) 被平面狕 犮 ( 犮为常数 ) 所截得的曲线犔的方程为狕 犳 ( 狓, 狔 ), { 狕 犮

47 第六章多元函数微分法及其应用 39 该曲线在狓狅狔面的投影曲线犔 的方程为 犳 ( 狓, 狔 ) 犮 对于曲线犔 上任意点, 对应的函数值犳 ( 狓, 狔 ) 都是犮, 则称平面曲线犔 为函数 狕 犳 ( 狓, 狔 ) 的等高线 ( 如图 611) 由于等高线犳 ( 狓, 狔 ) 犮上任意点犘 ( 狓, 狔 ) 处的法 线斜率为 犽 犳狔 d 狔犳狓犳狓 - ( 犳 ) 狔即梯度与等高线在点犘 ( 狓, 狔 ) 的法线共线 因此, 函数 狕 犳 ( 狓, 狔 ) 在点犘 ( 狓, 狔 ) 的梯度的方向与过点犘的等 高线犳 ( 狓, 狔 ) 犮在该点的法线的一个方向相同, 且从 数值较低的等高线指向数值较高的等高线, 而梯度的模 等于函数在该法线方向的方向导数 图 611 以上关于梯度的概念及相关结论可推广到三元函数 设函数狌 犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 在空 间开区域犌内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点犘 ( 狓, 狔, 狕 ) 犌都确定一个向量 犳犻 + 犳犼 + 犳犽 狓 狔 狕称该向量为函数狌 犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 在点犘 ( 狓, 狔, 狕 ) 的梯度, 记为犵狉犪犱犳 ( 狓, 狔, 狕 ), 即 犵狉犪犱犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 犳犻 + 犳犼 + 犳犽 (63) 狓 狔 狕类似地, 三元函数的梯度的方向也是函数取得最大方向导数的方向, 它的模是方 向导数的最大值 同理, 定义曲面犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 犮为函数狌 犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 的等量面, 则函数狌 犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 在点犘 ( 狓, 狔, 狕 ) 的梯度方向与过点犘的等量面犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 犮在该点的法线的一个方向一致, 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面, 梯度的模等于 函数沿该法线方向的方向导数 例 646 求函数狕 狓 槡 - 狔在点 (5,3) 的梯度 解因为 狕 5 狘狓 狓 狔 3 狕 5 狘狓狔 3 狔 狓 狓 槡 - 狔 - 狔槡狓 - 狔 狘狓 5 5 狘狓 狔 3 5 4, 狔 3-3 4, 所以犵狉犪犱狕 5 犻 - 3 犼 ( 5 犻 -3 犼 ) 例 647 设犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 狓狔 3 + 狔狕, 求犵狉犪犱犳 (1,,1) 解因为犵狉犪犱犳 ( 狓, 狔, 狕 ) 狓狔犻 + ( 狓狔 + 狕 3 ) 犼 +3 狔狕犽所以犵狉犪犱犳 (1,,1)8 犻 +5 犼 +6 犽 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

48 4 高等数学 ( 下册 ) 习题 67 狔 1 求函数狕 狓犲在点犘 (1,) 处沿从点犘 (1,) 到点犙 (,-1) 方向的方向导数 求函数狕 3 狓狔 - 狔在点犘 (,3) 处沿曲线狔 狓 -1 在该点处的切线且狓增大方向的方向导数 3 求函数狕 1- 的方向导数 狔 ( + ) 狓犪 在点 犫 ( ) 犪, 犫槡 槡 处沿曲线狓犪 + 狔 1 在该点内法线方向犫 4 求函数狌 狓 + 狔 - 狕在点犘 (-1,1,) 处沿方向犾 犻 - 犼 + 犽的方向导数 5 求函数狌 狓 + 狔 + 狕在曲线狓 狋, 狔 狋 3, 狕 狋上点 (1,1,1) 处沿曲线在该点的切线正方向 ( 对应于狋增大的方向 ) 的方向导数 6 求函数狌 狓狔狕在点犘 (3,4,5) 处沿锥面狕 狓 槡 + 狔的法线方向的方向导数 7 求函数狕 狓 3 + 狔 3-3 狓狔在点犘 (,1) 处的梯度 8 求函数狌 ln( 狓 + 狔 + 狕 ), 求犵狉犪犱狌 (1,1,1) 9 求函数狌 狓狔狕在点犘 (1,-1,) 处沿哪个方向的方向导数最大? 并求最大的方向导数 1 证明函数犳 ( 狓, 狔 ) 狓 槡 + 狔在点 (,) 处不可微, 但在点 (,) 处沿任意方向犾的方向导数都存在 总习题六 1 求函数狕 ln( 狔 - 狓 )+ 槡 1- 狔 - 狓的定义域 求极限 lim 1+ 1 狓 狓 狔 犪 ( ) 狓 狓 + 狔 3 证明极限 lim 狔不存在 狓 狓狔 + ( 狓 - 狔 ) 狔 狓 狓 烄 + 狔, 4 设犳 ( 狓, 狔 ) ( 狓 狓 + 狔 + 狔 ) 3 烅烆, 狓 + 狔 证明犳 ( 狓, 狔 ) 在点 (,) 处连续且偏导数存在, 但不可微分 5 求下列函数的二阶偏导数 : (1) 狕 tan( 狓 + 狔 )+ 狓 狔 ; () 狕 狓狔 狓 + 狔 6 设狕 犲, 而狔 狔 ( 狓 ) 由方程狔 - 1 sin 狔 狓所确定, 求 d 狕 狓 7 设狕 狓犳 ( 狔狓狔, 犲 ), 求 d 狕 狌狌 8 设狓 犲 cos 狏, 狔 犲 sin 狏, 狕 狌狏,, 求 狕, 狕 狓 狔

49 第六章多元函数微分法及其应用 41 9 设狕 犳 ( 狓 - 狔, φ ( 狓狔 )), 其中犳 ( 狌, 狏 ) 具有二阶连续的偏导数, φ ( 狋 ) 二阶可 导, 求 狕 狓 狔 1 已知 φ ( 狌, 狏 ) 具有连续偏导数, 证明由方程 φ ( 犮狓 - 犪狕, 犮狔 - 犫狕 ) 所确定的 函数满足 狕 狕犪 + 犫 犮 狓 狔狓 + 狕 1 11 求曲线犳 ( 狓, 狔 ) 在点 (1,1,3) 处的切线及法平面方程 { 狔 + 狕 1 狓 + 狕 1 1 求曲面狕 狓 + 狔的切平面, 使它垂直于直线 { 狔 + 狕 13 求函数狌 狓 + 狔 + 狕在点犘 (,,1) 处沿球面狓 + 狔 + 狕 1 的外法线方 向的方向导数 14 设狓轴正向到方向犾的转角为 φ, 求函数犳 ( 狓, 狔 ) 狓 - 狓狔 + 狔 在点 (1,1) 沿 方向犾的方向导数, 并分别确定转角 φ, 使方向导数有 (1) 最大值,() 最小值,(3) 等 于零 15 在椭球面狓犪 + 狔 犫 + 狕 面所围成的四面体的体积最小 1 的第一卦限部分上求一点, 使在该点的切平面与坐标犮 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

50 第七章重积分 在解决许多几何 物理以及其他实际问题时, 常常需要对多元实值函数积分, 一元函数的积分 ( 即定积分 ) 区域是闭区间 ( 直线段 ), 由于多元函数自变量个数多于一个, 积分区域形状不同就有各种不同的多元函数的积分 本章将介绍二元函数在平面有界区域上的二重积分和三元函数在空间有界体上的三重积分, 它们是定积分的推广, 也是某种确定形式的和式的极限, 其计算借助于定积分 第一节 二重积分的概念与性质 一 二重积分的概念 (1) 曲顶柱体的体积所谓曲顶柱体是指这样的立体, 它的底面是狓狅狔面上的闭区域, 它的侧面是以 的边界曲线为准线而母线平行于狕轴的柱面, 它的顶是曲面狕 犳 ( 狓, 狔 ), 这里犳 ( 狓, 狔 ) 且在上连续 ( 图 71) 图 71 我们的问题是 : 怎样定义和计算这个曲顶柱体的体积 只要能算出这种曲顶柱体的体积 ; 那么一般的立体的体积, 都可以化为曲顶柱体体积的代数和 我们知道平顶柱体的体积可用公式体积 底面积 高来计算, 而对于曲顶柱体, 当点 ( 狓, 狔 ) 在区域上变动时, 高度犳 ( 狓, 狔 ) 是一个变量, 因此它的体积不能直接用上式来定义和计算 我们的办法还是像以前处理曲边梯形面积那样来处理曲顶柱体的体积 为此, 用一组曲线网将分成狀个小闭区域 Δσ1, Δσ,,Δσ 狀 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于狕轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为狀个细曲顶柱体 在分割得很细的情形下, 由于犳 ( 狓, 狔 ) 连续, 对同一个小闭区域来说, 犳 ( 狓, 狔 ) 变化很小, 这时细曲顶柱体可近似看作平顶柱体 在每个 Δσ 犻 ( 这个小闭区域的面积也记作 Δσ 犻 ) 中任取一点 ( ξ 犻, η 犻 ), 以犳 ( ξ 犻, η 犻 ) 为高而底为 Δσ 犻的平顶柱体 ( 图 7) 体积为犳 ( ξ 犻, η 犻 )Δσ 犻 ( 犻 1,,, 狀 ), 这狀 个平顶柱体体积之和 狀 犳 ( ξ 犻, η 犻 )Δσ 犻犻 1 图 7

51 第七章重积分 43 可看作所求曲顶柱体体积的近似值 令狀个小闭区域的直径中的最大值 ( 记作 λ) 趋 于零 那么上述和式的极限值为 狀 λ 犻 1 犞 lim 犳 ( ξ 犻, η 犻 )Δσ 犻 我们很自然地就把它定义为所求曲顶柱体的体积 () 平面薄片的质量 设有一平面薄片, 放置在狓狅狔平面上, 它所占有的闭区域为, 它在点 ( 狓, 狔 ) 处 的面密度为 ρ ( 狓, 狔 ), 这里 ρ ( 狓, 狔 ) > 且在上连续, 现在要求该薄片的质量犕 我们知道, 如果薄片是均匀的 ( 即 ρ 为常数 ), 其质量可用公式 质量 面密度 面积 来计算 而现在面密度 ρ ( 狓, 狔 ) 为变量, 所以质量不能直接用上式来计算, 但我们 可以用解决曲顶柱体积问题的方法来处理该问题 由于 ρ ( 狓, 狔 ) 连续, 把薄片分成许多小块后, 只要小块所占的小闭区域 Δσ 犻的直径 很小, 这些小块就可以近似地看作均匀薄片 在 Δσ 犻上任取一点 ( ξ 犻, η 犻 ), 则 ρ ( ξ 犻, η 犻 )Δσ 犻 ( 犻 1,,, 狀 ) 可看作第犻个小块的质量的近似值 ( 图 73), 通过求和, 取极限, 得到 狀 λ 犻 1 犕 lim ρ ( ξ 犻, η 犻 )Δσ 犻 图 73 虽然上面两个问题的实际意义不同, 但所求量都归结为同一形式的和式的极限, 由此我们可以抽象出二重积分的概念 区域 定义 设犳 ( 狓, 狔 ) 是有界闭区域上的有界函数, 将闭区域任意分成狀个小闭 Δσ1,Δσ,,Δσ 狀其中 Δσ 犻表示第犻个小闭区域, 也表示它的面积 在每个 Δσ 犻上任取一点 ( ξ 犻, η 犻 ), 作乘 狀积犳 ( ξ 犻, η 犻 )Δσ 犻 ( 犻 1,,, 狀 ), 并作和 犳 ( ξ 犻, η 犻 )Δσ 犻 如果对区域的任意一种犻 1 分割法以及对点 ( ξ 犻, η 犻 ) 的任意取法, 当各小闭区域的直径中的最大值 λ 趋于零时, 这 和式的极限存在, 则称此极限为函数犳 ( 狓, 狔 ) 在闭区域上的二重积分, 记作 狔 )dσ, 即 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 犳 ( 狓,

52 44 高等数学 ( 下册 ) 狀 λ 犻 1 犳 ( 狓, 狔 )dσlim 犳 ( ξ 犻, η 犻 )Δσ 犻 (71) 其中犳 ( 狓, 狔 ) 叫做被积函数, 犳 ( 狓, 狔 )dσ 叫做被积表达式,dσ 叫做面积微元 ( 元素 ), 狓 狀与狔叫做积分变量, 叫做积分区域, 犳 ( ξ 犻, η 犻 )Δσ 犻叫做积分和 犻 1 在二重积分的定义中对的划分是任意的, 如果用直角坐标系中平行于坐标轴的直线网来划分, 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形区域 Δσ 犻的边长为 Δ 狓犼和 Δ 狔犽, 则 Δσ 犻 Δ 狓犼 Δ 狔犽 因此在直角坐标系中,dσ 可记作 d 狔, 而二重积分记作 犳 ( 狓, 狔 ) d 狔 其中 d 狔叫做直角坐标系中的面积微元 ( 元素 ) 应该指出的是, 当犳 ( 狓, 狔 ) 在闭区域上连续时,(71) 式右边的和式的极限一定存在, 即函数犳 ( 狓, 狔 ) 在上的二重积分一定存在 一般地, 如果犳 ( 狓, 狔 ), 被积函数犳 ( 狓, 狔 ) 可解释为曲顶柱体的顶点 ( 狓, 狔 ) 处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积 如果犳 ( 狓, 狔 ) 是负的, 这时二重积分的值是负的, 但其绝对值仍等于柱体的体积 二 二重积分的性质 二重积分与一元函数定积分都是某种有限和的极限, 它们具有类似的定义, 所以也具有一系列类似的基本性质, 现叙述如下 性质 1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面, 即 性质 犽犳 ( 狓, 狔 )dσ 犽 ( 狓, 狔 )dσ ( 犽为常数 ) 犳 函数的和 ( 或差 ) 的二重积分等于各个函数的二重积分的和 ( 或差 ), 即 性质 3 [ 犳 ( 狓, 狔 )± 犵 ( 狓, 狔 )]dσ 犳 ( 狓, 狔 )dσ± ( 狓, 狔 )dσ 犵如果闭区域被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在上的二重积分 等于在各部分区域上的二重积分之和 例如分为 1 与, 则 性质 4 性质 5 犳 ( 狓, 狔 )dσ 犳 ( 狓, 狔 )dσ+ 1 犳 ( 狓, 狔 )dσ 如果在上, 犳 ( 狓, 狔 )1,σ 为的面积, 则 dσσ 如果在上, 犳 ( 狓, 狔 ) φ ( 狓, 狔 ), 则有不等式 特别地, 由于 犳 ( 狓, 狔 )dσ φ ( 狓, 狔 )dσ - 狘犳 ( 狓, 狔 ) 狘 犳 ( 狓, 狔 ) 狘犳 ( 狓, 狔 ) 狘

53 第七章重积分 45 则有 又有不等式 狘犳 ( 狓, 狔 )dσ 狘 狘犳 ( 狓, 狔 ) 狘 dσ 性质 6 设犕, 犿分别是犳 ( 狓, 狔 ) 在闭区域上的最大值和最小值,σ 是的面积, 性质 7 犿 σ 犳 ( 狓, 狔 )dσ 犕 σ ( 二重积分的中值定理 ) 设函数犳 ( 狓, 狔 ) 在闭区域上连续,σ 是的面 积, 则在上至少存在一点 ( ξ, η ), 使得下式成立 : 1 利用二重积分的定义证明 : 犳 ( 狓, 狔 )dσ 犳 ( ξ, η )σ 习题 71 (1) dσλ ( 其中 λ 为的面积 ); () 犽犳 ( 狓, 狔 )dσ 犽 ( 狓, 狔 )dσ ( 其中犽为常数 ) 犳 根据二重积分的性质, 比较下列积分的大小 : 的区域 ; 的区域 ; (1) ( 狓 + 狔 ) dσ 与 () ( 狓 + 狔 ) dσ 与 (3) ln( 狓 + 狔 )dσ 与 ),(1,1),(,); (4) ln( 狓 + 狔 )dσ 与 ( 狓 + 狔 ) 3 dσ, 其中是由狓轴, 狔轴与直线狓 + 狔 1 所围成 ( 狓 + 狔 ) 3 dσ, 其中是由圆周 ( 狓 -) + ( 狔 -1) 所围成 [ln( 狓 + 狔 )] dσ, 其中是三角形闭区域, 三顶点分别为 (1, [ln( 狓 + 狔 )] dσ, 其中是矩形闭区域 :3 狓 5, 狔 1 3 利用二重积分的性质估计下列积分的值 : (1) 犐 狓狔 ( 狓 + 狔 )dσ, 其中是矩形闭区域 : 狓 1, 狔 1; () 犐 sin 狓 sin 狔 dσ, 其中是矩形闭区域 : 狓 π, 狔 π; 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo (3) 犐 ( 狓 + 狔 +1)dσ, 其中是矩形闭区域 : 狓 1, 狔 ; (4) 犐 ( 狓 +4 狔 +9)dσ, 其中是圆形闭区域 : 狓 + 狔 4 4 利用二重积分的定义证明 : 如果闭区域分为两个闭区域 1 与, 则

54 46 高等数学 ( 下册 ) 5 下列积分有怎样的符号 : 犳 ( 狓, 狔 )dσ 犳 ( 狓, 狔 )dσ+ 1 (1) ln( 狓 + 狔 ) d 狔 ; : 狘狓狘 + 狘狔狘 1; 犳 ( 狓, 狔 )dσ () 3 槡 1- 狓 - 狔 d 狔, : 狓 + 狔 4; (3) arcsin( 狓 + 狔 ) d 狔 ; : 狓 1,-1 狔 1- 狓 第二节 二重积分的计算 二重积分的定义本身也给出了计算的方法 但是, 这种方法只对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的, 具有很大的局限性 本节将给出计算二重积分常用的方法 这种方法就是把二重积分化为两次定积分来计算 一 利用直角坐标系计算二重积分下面我们用二重积分的几何意义来建立其计算公式 先假定犳 ( 狓, 狔 ), 积分区域由狓狅狔平面上的两条曲线 φ ( 1 狓 ) 狔 φ ( 狓 ), 犪 狓 犫所围成 ( 图 74), 其中函数 φ ( 1 狓 ), φ ( 狓 ) 在区间 [ 犪, 犫 ] 上连续, 由二重积分的几何意义, ( 狓, 狔 )dσ 的值等 犳于以为底, 以曲面狕 犳 ( 狓, 狔 ) 为顶的曲顶柱体 ( 图 75) 的体积 下面应用第五章中计算 平行截面面积为已知的立体的体积 的方法, 来计算这个曲顶柱体的体积 图 74 现在用平行于狔狅狕平面的平面狓 狓 ( 狓 [ 犪, 犫 ]) 去截曲顶柱体, 其截面是一个以区间 [ φ 1( 狓 ), φ ( 狓 )] 为底, 曲线狕 犳 ( 狓, 狔 ) 为曲边的曲边梯形 ( 图 75 阴影部分 ) 所以这截面的面积为犃 ( 狓 ) φ ( 狓 ) 犳 ( 狓, 狔 )d 狔将上式中的狓 换成狓, 表示过区间 φ 1 ( 狓 ) [ 犪, 犫 ] 上任一点且平行于狔狅狕面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为犃 ( 狓 ) φ ( 狓 ) 犳 ( 狓, 狔 )d 狔应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体的体积为 φ 1 ( 狓 )

55 从而有等式 犫犫犞 ( 狓 ) 犪犃 第七章重积分 47 [ 犳 ( 狓, 狔 )d 狔 ] 犪 φ ( 狓 ) φ ( 1 狓 ) 犫 ( 狓, 狔 )dσ 犳犪 φ ( 狓 ) [ 犳 ( 狓, 狔 )d φ ( 1 ] 狓 ) 狔 (7) 上式右端是两个定积分 : 先对狔积分, 后对狓积分, 称之为累次积分 这个累次积 分也常记作 犫 犪 φ ( 狓 ) 犳 ( 狓, 狔 )d 狔 φ 1 ( 狓 ) 因此, 等式 (7) 也写成 犪 ( 狓, 狔 )dσ 犳 犫 φ ( 狓 ) 犳 ( 狓, 狔 )d 狔 φ 1 ( 狓 ) 这就是把二重积分化为先对狔, 后对狓的累次积分的公式 图 75 上面我们假定了犳 ( 狓, 狔 ), 事实上, 去掉这个假定, 只要犳 ( 狓, 狔 ) 是连续函 数, 公式 (7) 仍然成立 类似地, 如果积分区域可以用不等式 ψ 1 ( 狔 ) 狓 ψ ( 狔 ), 犮 狔 d 来表示 ( 图 76), 其中函数 ψ 1 ( 狔 ), ψ ( 狔 ) 在区间 [ 犮,d] 上连续, 那么就有 犳 ( 狓, 狔 )dσ d [ 犳 ( 狓, 狔 ) ] d 狔 犮 ψ ( 狔 ) ψ ( 1 狔 ) 上式右端为先对狓, 后对狔的二次积分, 此积分也常记作 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 图 76