8 圓錐曲線 4..9 8. 定義操作 88. () 方程式 (x + 4) + + (x 4) + = 的實根 x 為 () 試解方程式 x + 6x + + x x + 4 = 8, 則 x = () ± () x = ± () 成德高中 98 曉明女中 ()99 萬芳高中代理 解 () 該方程式可看成橢圓 x 5 + y 9 = 和直線 y = 相交, x = ± 89. 以 x + 4y = 的焦點為焦點, 且過直線 L : x y + 9= 的一點 M 作一橢圓欲 使橢圓的長軸最短, 則橢圓的方程式為 ( 北一女中 ) x 45 + y 6 = 84. 設 F, F x 是橢圓 Γ : + y = (a > b > ) 之焦點, P 為橢圓 Γ 上任一點, 過 P 之 a b 切線 L, 自 F 作 L 之垂線得垂足 H, 求 H 的軌跡方程式 ( 北港高中 ) x + y = a 84. P 為橢圓 x 5 + y 6 = 上一點 ( 不為端點 ), 一魔力光點自 P 向橢圓一焦點 F 射出, 在到達 P F 中點 M 時, 會朝橢圓中心 O 折射而去, 求此魔力光點自 P 經 M 到達 O 之最 短路徑長 5 (98 彰化女中 ) 84. () 求與兩圓 C : x + y =, C : x + (y ) = 9 均內切或外切的動圓圓心軌 跡方程式 (99 苗栗高中 ) () 設圓 C : x +y =4 及直線 x 6=, 有一動圓與圓 C 及直線均相切, 則此圓圓 心軌跡方程式為 (99 松山家商 招 ) () (y 5) x 4 = () y = 6(x 4), y = 8(x ) 84. 方程式為 x + y =, 準線方程式為 x = y + 5, 則 Γ 的方程式為 4x + 4xy + y y 5 = ( 成淵高中 ) 844. 若 P A B 分別為橢圓 Γ : x 5 + y 6 = 圓 C : (x ) + y = 圓 C : (x + ) + y = 上的任一點, 則 P A + P B 的最小值為何? ( 缺 ) 9 64
提示. 兩圓心恰為橢圓之兩焦點 845. () 若 P 為雙曲線 x 9 y 4 = 上非頂點之一點,F F 為此雙曲線之兩焦點, 求 P F F 之內心的 x 坐標? ( 鳳新高中代理 ) () 已知雙曲線 C : x 9 y 4 =, 其兩焦點為 F, F 設 P (x, y ) 為 C 上異於頂點的任意點, 且設 P F F 的內切圓與 x 軸切於點 M (98 台北縣聯招 ) i. 求 M 與兩焦點的距離各是多少 ii. 當 x 時, 內切圓圓心的 y 坐標之極限值為何? () 雙曲線 Γ : x y = 的焦點 F a b, F, 設 P 為 Γ 上的動點, 試問 P F F 內心的軌跡為何? 並證明之 (99 台中二中 ) () () ±, () {(x, y) x = ±a, y < b, y } 解 () 如圖所示 : H i 為切點因此 F H = F H, F H = F H, P H = P H 6 = a = P F P F = (P H + F H ) (P H + F H ) = F H F H 所以 H 在雙曲線上, 即為頂點又 CH x 軸, 所以 C 和 H 之 x 坐標相同, 即 8. 光學性質 846. 一橢圓兩焦點為 F (, 5), F (, 9), 且與 y = x 相切, 求橢圓的長軸長 4 (99 萬芳高中 ) 評. F 對直線 y = x 作對稱, 得 F = (5, ) 而 F F = 5 + = 4, 即 為所求 這是光學性質, 在圓錐曲線的題型, 往往可以解得很漂亮 65
847. 平面上有一橢圓, 已知其焦點為 ( 5, ) 和 ( 5, ), 且 x + y = 5 為此橢圓的切 線, 求此橢圓方程式 ( 文華高中代理 ) x + y = x 另 由兩焦點可設橢圓方程式 + y = a a 考慮 P (x, y) 在橢圓上, x + y 的最大值 5 必發生在 x + y = 5 恰為切線之時 評. 而由以柯西不等式可得 有最大值 ( x + y a a ) (a + 4(a )) (x + y) 可得 x + y 5a 8 = 5 a =, 所以橢圓為 x + y = 原解是正當的方法, 但在計算上, 碰到根號, 反而不如另解之漂亮 848. () 有一個雙曲線, 已知二焦點為 (, 5) 與 (, 5), 且與直線 y = x +, 切於第一象 限的 P 點, 則 P 點的坐標為? ( 玉井工商 ) () 若某橢圓的兩焦點為 (, ) (, 4), 且此橢圓與直線 x + y + = 相切, 則此 橢圓的長軸長為 (99 全國聯招 ) () 若坐標平面上有一橢圓與 x 軸相切, 且其焦點為 (, ) 與 (6, ), 則此橢圓的短軸 長為 (99 中興高中 ) (4) 已知平面上一橢圓 Γ 之兩焦點為 F (, ),F (, ) 若直線 L : 8x 6y + 45 = 與橢圓 Γ 相切於 P 點, 試求此橢圓之正焦弦長及 P 點坐標 (5) 雙曲線與直線 x + y = 8 相切, 且二焦點為 (, ) 與 (, 4), 求雙曲線的正焦弦 長 (4)97 潮州高中 (5)97 台中一中 () (, ) () 6 () (4) 正焦弦長 5, P (, 7 ) (5) 8 5 849. 有一橢圓長軸在直線 x y + = 上, 其一焦點坐標為 F (, ), 若此橢圓與 x 軸切 於點 B(, ), 試求此橢圓另一焦點 F 的坐標為 (97 台南女中 ) (5, 6) x 85. () 已知點 P 為橢圓 + y = 上的點, A(6, ), B(, 4), 求 P A + P B 的最小值 64 8 為? ( 玉井工商 ) () 坐標平面上, 已知點 A(4, ) 和 B(, ),P 是橢圓 x 6 + y = 上的動點, 則 P A + P B 的最小值為 ( 彰化女中 ) () Γ : x 6 + y 7 =, F (, ), A(, ),P 在 Γ 上, 設 P A + P F 最大值 M, 最小值 m, 則 (M, m) = (99 建中市內 ) () () 58 () (9, 7) 66
解 () 令 F ( 6, ) 為橢圓另一焦點 三角不等式可得 P A + P B + BF P A + P F = a P A + P B a F B, 所以最小值 = 6 5 = 評. 光走最短距離, 利用橢圓光學性質可得最小值為 a F B 85. 雙曲線 :xy =, 有一光線 P (, ) 從出發, 射到雙曲線上一點 A(, ), 反射後的 光線會碰到雙曲線上另一點 A, 依此類推, 試求 lim A A + = (97 台南女中 ) 4 8. 旋轉 85. () 曲線 Γ : x + 6xy + 7y = 上一點 P (h, k), 則 h + k 最小值為 ( 文華高中 ) () 設 x, y R, 且 5x 6xy + 5y =, 若 x + y 的最大值為 M, 最小值為 m, 則 M + m = ( 南港高工 ) () 設 x, y 為實數, 且滿足 x + xy + y = 6, 若 x + y 的最大值為 M, 最小值為 m, 試求 M + m ( 全國聯招 ) (4) x, y 為實數, 已知 x xy + 9y =, 則 x + y 的最大值 a, 最小值 b, 得 a + b = (97 台南女中 ) (5) 若 5x 4xy + y 6 =, 且 x + y 之最大值 M, 最小值 m, 求 M + m () 5 () () 6 (4) 5 (5) 4 (97 大安高工 ) 4 解 () 利用旋轉不變量, A + C = A C = 4 + 6 =. 解得 A = 5 +, B = 5 因此最小值為 5+ = 5 5 λ 解 () 旋轉, 計算特徵值 5 λ = λ = 8 或 新方程式 8x + y = x 4 + y 6 = M + m = 6 + 4 = 85. 設二元二次方程式 :x + xy + y = 6, P (a, b) 為 Γ 上的一點, 試求 (97 中和高中 ) () Γ 的焦點坐標為 67
() a b 的最大值為 () ±(, ) () 4 854. 設 x, y 均為實數, 考慮方程式 5x 6xy + 5y 4x 4y 4 = 的圖形, 若 A 為其 短軸上的一個頂點,F, F 為其兩焦點, 試求之值 AF AF (97 台中女中 ) 855. 平面上有兩個橢圓, 其中一個橢圓為 Γ : x + y =, 另一個橢圓 Γ 為 Γ 繞原點 逆時針旋轉 6 已知這兩個橢圓相交於四個點, 逆時鐘順序依次連成一個四邊形, 請 問該四邊形的面積 ( 文華高中 ) 8 5 856. 設 a, b, c 為正數,f 由矩陣 [ a b a c ] 表示的線性變換, 當橢圓 4x + 8y = 經 f 變換後之圖形是以原點為圓心, 為半徑的圓, 則 (a, b, c) = (, 6, ) ( 內湖高工 招 ) 857. 設實係數二元二次方程式為 ax + bxy + cy + dx + ey + f = (b ), 將坐標軸以原 點 O 為中心, 旋轉一銳角 θ, 可得新方程式為 Ax + Cy + Dx + Ey + F = ( 沒有 x y 項 ), 其中 A C = ± (a c) + b, 而正負符號則依 b 的正負而定試說明為 何正負符號是依 b 的正負而定 (97 陽明高中 ) 證. [ ] [ ] [ ] x cos θ si θ x 令 =, 則 = B = a ( si θ cos θ)+b ( cos θ si θ ) + y si θ cos θ y c( si θ cos θ) = b cos θ+(c a) si θ cot θ = a c, 又 θ 為銳角 si θ = b b (a c) 同理可計算 A C = (a c) cos θ+b si θ = b si θ ( a c cot θ + ) = +b b ( b b (a c) (a c) +b ) + b = b b (a c) + b 858. a, b >,ab + a + 6b = 7, 求 a + 4b 的最小值 ( 大同高中 ) 8 令 x = a, y = b, 則 a + 4b = x + y, 而 a + a + 6b = 7, 則可改寫為 xy + x + y = 7 整理成 (x + )(y + ) = 6 其圖形為雙曲線, 貫軸在 x = y 上第一象限中, 離原點最近點為其頂點 (, ) 故 a + 4b = x + y 的最小值為 8 68
8.4 圓錐截痕 859. 右圖為一直圓錐, ABC 為正三角形, 底圓的圓心為 O, 且 AO BC 今一過 O 點的平面與直圓錐之截痕為拋物線, 此拋物線的頂點為 S, 此拋物線的焦點為 R, 試找出 R 點的位置, 並證明之 R 在 OS 上, 且 OR : RS = : ( 中正高中 ) 評. 以 OA 為軸, 旋轉截平面, 拋物線之形狀不變故可假 設該平面與 AB 平行, 且 S 在 AC 上. 如上, 即在平面 和圓錐中做一切球, 平面與球相切之點即為焦點 若只觀察 ABC 所在之平面, 即為右圖可依相似形計 算得 R 在 SO 上, 且 SR : RO = : 而其準線位在內切線與圓錐所在之平面和截面所相交的 直線上其證明概要為 : 點到球的切線段長相等, 所以截痕上任一點對球做兩切線, 一者為 與焦點連線, 另一者與 A 連線透過旋轉可使與 A 連線變成 BA 方向, 再平移回 到截痕上的點, 原切點的位置變移到了先前宣稱的準線上而由先前所宣稱的準 直, 其必與 BA 方向垂直, 故得證 圓錐截線就是放入那顆內切球就對了 86. 如圖, 直圓錐頂點為 A, BC 為底面的直徑,O 為圓心,AD = CD, AB = AC = BC = 4, 若 AC 的垂直平分面過 D 點截圓錐得一截痕, 則此截痕圖形正焦弦長為 ( 中正高中 招 ) 4 86. 在底圓半徑為 6 的圓柱內, 有兩個半徑也為 6 的球面, 其球心距為 若作一平面 E 與這兩個球面相切, 且兩球面的球心在平面 E 的異側則 : ( 桃園高中 ) () 求證平面 E 與圓柱的截痕為橢圓 () 求這個橢圓的長軸長 69
86. 在底面半徑為 6 的圓柱內, 有兩個半徑也為 6 的球面, 其球心距為 今有一平面與這兩球面相切, 且與圓柱面相交成一橢圓, 則這個橢圓的長軸與短軸長之和為 (99 中正高中 ) 86. 5 x + y = 4, 求兩焦點座標 (97 大里高中 ) x + y + z = ±(,, 4 ) 864. 空間坐標中, 光源自點 P (,, 4) 發出, 球 S : x + y + (z ) = 在 xy 平面上 的影子形成一個橢圓, 則此橢圓的短軸長為 ( 麗山高中 招 ) 右圖為 xz 平面之剖面圖令 A 為球 S 之球心, 則 P A = + = P 至球的切線段長 = = ta BP A = ta BP C = = BC = 4 9 4 = a = 4 注意球 S 與 xy 平面切線處, 即焦點, 因此 a c = c = b = b = 865. 設有一球心為原點 O, 半徑為 的球面 S, 一光源於 P (,, ) 照射球面 S, 投射在平 面 E : x + = 上所成的區域為 A, 若點 Q(, u, v) 落在區域 A 內, 試求 u 和 v 的 關係式 (99 育成高中 ) u 6 + (v+ 5 ) 64 9 866. 設兩曲面 f(x, y, z) = x + y = 及 g(x, y, z) = x + z 4=, 則此兩曲面之交 集為 E, 則 E 的形狀為, 而在 E 上點 P (,, ) 的切線為 橢圓 x = y = z ( 內湖高工 ) 8.5 線性變換 867. 先在橢圓蛋糕 cm 的長軸與 cm 的短軸上各切一刀, 若欲將蛋糕八等份, 且每一刀均切過橢圓中心, 則下一刀與長軸所夾銳角為多少? ( 香山高中 ) θ = ta 評. 壓扁成圓, 切 45 角, 再拉成橢圓 線性變換, 保面積比 7
{ } 868. 在坐標平面上, 已知直線 y = mx 將區域 (x, y) x + y, x, y 的面積 9 4 二等分, 則 m = ( 師大附中 ) m = 869. 已知 A B C 為橢圓 Γ : x + y = 56 上相異三點, 若 A 點之坐標為 (, ) 且 ABC 有最大面積, 則 BC 邊之長為 (99 建國高中 ) 6 5 87. 設橢圓 Γ : x 4 + y 9 = 上兩點 P Q 其中點為 (, ), 求 P Q 直線方程式 9x + 4y = ( 松山家商 招 ) 解. 解 4. 平行弦中點為過中心之線段, 該組平行弦中點軌跡為 (t, t). x 令弦的端點坐標為 (t, t) 代入 + y =, 解得 t = ± 6 4 9 端點切線為 6 4 x + 6 9 y = ± 所求弦與該切線平行, 又通過 (, ), 可得弦所在直線方程式為 9x + 4y = 令兩端點作標 (x, y ), (x, y ), 則 y + y = x x 4 + y y 9 = y y x x = 9 4 y = 9 4 x + 4 x 4 x 4 + y 9 + y 9 = 和 x + x =, (x ) 將橢圓對 (, ) 做對稱可得另一橢圓 + (y ) = 4 9 而該弦兩端點在兩橢圓相交上故將兩方程式相減即可得所求直線 利用線性變換, 將橢圓映射至圓, 弦中點仍是弦中點 而新弦將於圓心到中點的線段垂直, 可得新弦斜率或方程式 再用線性變換, 將圓還原成橢圓, 同時也得到原本弦的斜率或方程式 類題. 類似技巧在圓亦可使用, 見 彰化藝術暨田中高中 87. 兩端點在一橢圓上的線段, 稱為該橢圓的弦在橢圓 5x + 4y = 的諸弦中, 以點 (, 4) 為中點的方程式為何? (99 桃園縣高中現職聯招 ) 5x 6y = 89 87. 已知橢圓 x 6 + y 9 = 有一弦以 (, ) 為中點, 則含此弦的直線方程式為 x + y = 4 (98 玉井工商 ) 87. 給定一橢圓 Γ : x 6 + y = 及內部一點 M(, ), 試求 : ( 松山工農 ) () 以 M 點為中點之弦 AB 斜率 7
() 直線 AB 的方程式及弦 AB 的長度 () () x + y = 8, 78 874. 橢圓之中心為 O, 長軸頂點為 A B, 若 P 為橢圓上一點, 過 P 點作一切線 L, 過 A 點作一切線 M, 且直線 L 和直線 M 交於 Q 點, 試證明 :BP //OQ (97 台中二中 ) 證. 做線性變化把橢圓變成圓, 再利用圓周角等圓心角之一半, 得同位角, 證畢 8.6 其它 875. 求橢圓 (x ) 9 + (y+) 6 = 上諸點在直線 x y + = 上的正射影長 (99 萬芳高中 ) 5 876. 設橢圓 Γ : x + y =, 則外切矩形面積 A 之範圍為何? ( 松山家商 ) a b [4ab, (a + b )] 切線 :y = mx ± a m + b, y = x ± a + b m m, 長 寬為 a m +b m 和 a +b m + m + (a m + b )(b m + a ) (m ab + ab), 所以 A 4(m ab+ab) = 4ab, m + 注意上式柯西之等號必不成立, 但當 m 或 m 時 A 4ab (a m +b )+(a +b m ) (a m + b ) (a + b m ), 所以 A 4 (a m +b )+(a +b m ) m + = (a + b ) 877. 試求與橢圓 x 6 + y 6 = 相切且互相垂直的兩切線的交點軌跡方程式 (97 大安高工 ) x + y = a + b 878. 試求與橢圓 x + y 5 = 相切且互相垂直的兩切線的交點軌跡方程式 (97 彰化藝術 ) 879. a > b >, 試證 : 雙曲線 b x a y = a b 互相垂直二切線的交點必在圓 x + y = a b 上 (98 新港藝術 ) 88. 給定雙曲線 Γ : x 6 y = 與直線 L : x + 4y = k, 若在直線 L 上存在唯一的點 P, 使過點 P 對雙曲線可作二條互相垂直之切線, 則點 P 座標 = (99 台中一中 ) ±( 5, 6 5 ) 88. 直線 y = mx 與雙曲線 6x 9y = 44 恰交於一點, 則 m = m = ± 5 或 ± 4 (97 台南二中 ) 7
88. 設橢圓 x 9 + y 6 = 與雙曲線 x A + y B = 有公共焦點當以它們的 交點 為頂點的 四邊形面積為最大時 則數對 (A, B) = (苑裡高中) 答. ( 7, 7 ) 88. 設 P (x, y) 為雙曲線 9x 6y = 44 上一點 且點 P 為第一象限內 則 lim x p x x y 值為何 題目有誤 應修正成 lim p x x x 4y 較為合理 (99家齊女中) 答. 6 884. 設拋物線 y = px 的焦點 F 若焦弦 AB 滿足 AF = m, F B = 試證 m + (99清水高中) = p 證. 若 AB 平行 y 軸 則 m = = p m + = p 若 AB 不 平 行 y 軸 不 失 一 般 性 假 股 m > 如 右 圖 BH 和準線 DG 平行有 4BCF 4BHA CF = (m ) m+ p = EF = + m = m+ m + m m+ = p 885. 設橢圓曲線 Γ : x 6 + y 7 = 與直線 L : x = 若 A, F 的坐標分別為 (6, ), (, ), 在曲線 上另有 個點 Ak, k =,,,... 使得 A F A = A F A =... = P (中壢高中招) A F A 令 dk 為 Ak 到 L 的距離 試求 dk k= 答. 4 解. 注 意 L 為 Γ 之 右 準 線 有 d(p, F ) = ed(p, L) 其中 e = ac 如右圖 BC 為 一焦弦 D, E, G 在 L 上且為 B, F, C 到 L 之 垂 足 可 計 算 得 FE = BF CG+F C BD BF +F C FE = 由此性質 所求 BD CG BD+CG P dk = BD FE + CG = = 9 = 4 評. 用到離心率時 很漂亮 但不常考 7
886. 有一撞球臺如右圖所示 ( 原圖只有 ABP QRS, Γ), 曲線部分 Γ 是一個拋物線, 若 AB 與 Γ 的軸垂直,AB =, 今小明自 P 處將球平行 Γ 之軸撞向 Q, 經反彈到 R, 最後再反彈到 S, 若 AP =, BS = 8, 則拋物線 Γ 的焦距為 ( 麗山高中 招 ) 887. 考慮雙曲線 y x = 圖形的上半部 ( 如右圖 ), 取此雙 曲線上 x 坐標為 的點, 此點與漸近線 y=x 的距離記 為 d, 其中 為正整數則 lim ( d ) = ( 中科實中 98 慈濟聯招 ) 4 888. 一橢圓之中心在原點, 長軸在 x 軸上, 若此橢圓內切於梯形 ABCD,AD//x 軸且 AD = AB = CD = 5, BC =, 則橢圓之正焦弦長為何? (99 大安高工 招 ) 889. 已知拋物線 (x + ) = py (p > ) 的焦點 F,A 是拋物線上縱坐標為 4 且在 y 軸左 方的點,A 到拋物線準線的距離等於 5, 過 A 作 x 軸的垂線, 交 x 軸於 B 點,O 為原 點, 令 M 為 OB 中點, 過 M 作 AF 的垂線交 AF 於 N, 則 N 點坐標為 ( 7 5, 4 5 ) (99 中正高中 ) (x+) 89. 試求以橢圓 + (y ) (x+) = 的右焦點為圓心, 且與雙曲線 (y ) = 之兩 75 9 6 條漸近線都相切的圓的方程式 (97 台中高工 ) (x 4) + (y ) = 6 89. 給定一條橢圓曲線, 如何利用尺規作圖的方法找出它們的焦點? (97 彰化藝術 ) 平行弦中點過中心, 找兩組, 可得中心 以中心, 為圓心, 適當長為半徑, 畫圓, 交橢圓於四點, 四點為一矩形 74
矩形之邊長之中垂線即為兩軸所在之直線直線與橢圓交點即為頂點 以短軸上的頂點為圓心, 半長軸長為半徑畫圓, 交長軸於兩點, 即為兩焦點 89. 給定拋物線, 以尺規作圖出找焦點 對稱軸 ( 板橋高中 ) 以下不詳述尺規步驟 () 做兩平行弦 () 取兩弦之中點, 連成一直線 L () 在 L 上適當處作 L 之垂線交拋物線於 A, B 兩點 (4) 做 AB 之中垂線 L, 交拋物線於 V L 即為對稱軸 (5) 做一矩形,UV W X, 使得 UV = V W 且 W 在 L 上 (6) 連 V W 交拋物線於 Y 點 (7) 過 Y 作 L 之垂線交 L 於 F 點, 即為焦點 89. 平面上有一橢圓, 已知其焦點為 (, ) 和 (4, 4), 且 y = x + 為此橢圓的切線 () 設此橢圓方程式為 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey =, 求 A B C D E 之 值 () 經過適當的平移及旋轉之後得方程式為 Mx + Ny =, 求數對 (M, N) = () 過 (, ) 作此圖形之切線, 求此切線方程式 (97 彰化藝術 ) () (A, B, C, D, E) = (5, 8, 5, 4, 4) () (M, N) = (9, ) 或 (, 9) () x y = 75
9 矩陣 行列式 a b c 894. 設 A =, B = d e f, 若 ABA = I, 其中 I 為三階單位矩 g h i 陣, 則 b + d + i = (99 嘉義高工 ) 895. 已知矩陣 A =,B = BCB = ACB + BCA + I, 其中 I = 896. 矩陣 A = 6 5 且 C 為三階方陣, 滿足 ACA +, 求 C ( 師大附中 ), 若 A + aa + ba + ci = O, 求 a + b + c (99 彰化藝術 ) Cayley-Hamilto 定理 : 特徵多項式必為零多項式 x p A (x) = x = (x x 4x + ) x 若其無重根, 則為最小多項式, 可以微分和輾轉相除法檢驗之, 得無重根 (a, b, c) = (, 4, ) 所求 a + b + c = 6 897. 設矩陣 A =, 矩陣 I =, 若 (A + I) 4 = xa + I, 其中 x, y 為兩 定實數, 則 x + y = (98 嘉義高工 ) A = 9A A 的最小零多項式 t 9t 令 f(t) = (t + ) 4, 則 f() =, f(9) = 4 f(t) 除以 t 9t 的餘式為 4 9 t+ x =, y = x+y = 76
[ ] a c 898. 設 A = 且乘法反元素 A 存在, 若 A A = I ( I 為二階單位矩陣 ), 則 b d A 6 =xa + yi, 其中 x, y R, 試問數對 (x, y) = (99 中壢高中 招 ) (8, 5) [ ] 899. 設矩陣 A =, 試利用矩陣的對角化方法求 A, 其中 為自然數 5 9. 設 A = [ ] 4 + ( ) ( ) 4 + ( ) (99 明倫高中 ) ( ) 4 + ( ) 4 + ( ) [ 4 ] [ + + + +, N, 求 A ( 北港高中 ) ] [ ] 9. 若 A =, 求 A 5 (99 清水高中 ) [ 5 + 5 5 5 + ] [ ] [ ] [ ] 8 α β 9. A =, P =, 若 P AP =, 求 () δ =,() 求 I + A + γ δ A + A +... + A +... = (98 彰化女中 ) ] () 4 () (I A) = [ 6 5 8 5 5 6 5 9. a, b, c, x, y, z R, 且 a + b + c = 6, x + y + z = 5, 則 a b c 之絕對值 x y z 的最大值為 ( 台南二中 99 關西高中 ) 6 三邊垂直時, 平行六面體有最大體積 4 5 + 4 + 4 = 6 94. 設 a, b, c, d, e, f 為實數, 且 a + b + c = 9, d + e + f = 4, 則 a b c 的最 d e f 大值為 ( 北港高中 ) 77
4 a b c 95. 設 a, b, c, d, e 均為實數且 a + b + c = 6, d + e + f = 6, 則行列式 d e f 的 最大值為 ( 彰化藝術暨田中高中 ) 4 96. a, b, c, d, e, f R, 已知 a + b + c + d + e + f = 5, 求 a b c 的最大值 d e f 75 (99 文華 招代理 ) 97. 若 a + b =, c + d =, ac + bd =, a b 則 之值為 (99 中正預校 ) c d ± 另 丟番圖恆等式 :(ac+bd) +(ad bc) = (a +b )(c +d ) ad bc = ± a + b + c c b 98. a, b, c 為 x x + x = 之三根, 則行列式 c a + b + c a = b a a + b + c ( 嘉義縣聯招 ) a b c a a 99. 設 a, b, c 為方程式 x +4x +6x = 的三個根, 求行列式 b b c a b c c c a b 的值為 (99 桃園農工 ) 8 [ ] 4 9. 設 A =, 且 X Y 均為二階方陣, 滿足 X + Y = I, XY = O, 若 ax + by = A, 其中 a > b, 且 a, b 為定數, 試求 () 數對 (a, b) () X ( 高雄市聯招 ) 由 X + Y = I ad XY = O X = X, Y = Y, Y X = O A = ax + by AX = ax = ax (A ai)x = O 故 a 為 A 之特徵值, 且 X 之兩行向量皆為 a 對應之特徵向量 Y 亦同 78
det(a xi) = (x 5)(x [ ] + ) 故 a = 5 [ > ] = b [ ] 4 [ ] 計算特徵向量得 X = u v, Y = w z [ ] [ ] [ ] [ ] 4 u v u v 4 X + Y = = I = 7 w z w z [ ] [ ] [ ] 4 故 X = X = 7 7 7 4 = 7 [ ] [ ] P + 4Q = A 9. 設兩矩陣 P, Q 滿足, 其中 A =, I =, 若 A 7 = P + Q = I 6 4 7 ap + bq, 則 log ab = ( 台中女中 ) 7 p A (x) = x 7x + = (x )(x 4), 由 Cayley-Hamilto 定理知 p A (A) = 而 P = 4I A = (A 4I), Q = A I, 故 P Q = O A 7 = (P [ + 4Q) 7 = ] 7 P 7 + 4 [ 7 Q 7 ] [ ] 而 P =, P = = P P 7 = P,Q =, [ ] Q = = Q Q 7 = Q 故得 A = 7 P + 4 7 Q, 因此 ab = 7, log = 7 ab [ ] 另 將 A 可對角化, 由特徵值及特徵向量找到 B, 使得 B AB =, 令 4 P + 4Q = [ ] 4 P = B AB, Q = B QB, 則 P =, P + Q = [ ] [ ] 7 Q = 而 = 7 P + 4 7 Q A = 7 P + 4 7 Q 4 7 [ ] [ ] a b 9. 矩陣 A =, I =, P = A I 且 P = P ( 中正高中 ) a () 求 a b 的關係式 () A = sp + ti,s, t R, 則數對 (s, t) = () a + a + b = () (, ) 79
P (P I) = O (a I)(a I) =, 顯然 a I 和 a I 皆不為, 故 (x )(x ) = x x + 為 A 的最小零多項式亦為其特徵多項式, 故 (x a)(x + a ) + b = x x + 展得得 a + a + b = 解. A A + I = O A I + A = O A = I A = P + I 8
微積分. 極限 9. 若數列 a =, a =, a + = a + a +, N, 求 lim a + a ( 文華高中代理 ) + 5 94. 設數列 a 滿足 a >, 且 a + = a + a, 假設此數列收斂到某一實數, 求此實 數 ( 香山高中 ) 95. 若 lim x x 5 +ax+b (x ) 的極限存在, 則 a + b = ( 永春高中代理 ) 4 令 f(x) = x 5 + ax + b, 則 f() = f () =, 解得 (a, b) = ( 5, 4) a + b = 4 另 x x = (x ) +, 由二項式定理得 5 +ax+b (x ) 5(x ) + (x ) + = (a+5)(x )+(b+a+) (x ) + (x ) + 類題. 99 彰化藝術 4 96. 設 a > 且 k 為實數, 若 lim +a +k 5 + = 5, 則 a + k = (99 嘉義高工 ) 8 97. 設 a =, a = ( +a ), =,,,...,, 則 lim 4 ( a ) 之值為 π 8 提示. a = cos π (99 師大附中 ) f(x) 98. 已知某函數 f(x) 滿足 lim = a ( 定值 ), 試問以下選項何者正確或錯誤? 請說明原 x x 因 () lim f(x) = () (x ) f(x) () f(x) 在 x = 處連續 (4) f(x) 在 x = 可微 x 分 ( 景美女中 ) x, x 僅 () 正確,()()(4) 反例如 f(x) =, x = 99. 數據, 4, 6,..., σ 的算術平均為 A, 標準差為 σ 求 lim A 4 ( 台中女中 ) 8
A = σ = k = k= ( 由 A A σ 所求 lim A k A k= k= ) = k A 8, 所以 σ 9 = lim σ lim xdx = (( + ) A ) = A = = 4 + A 9. F 為費氏數列, 即 F = F = 且 F + = F + + F 在 N 均成立令 λ = F F, () 證明 λ + = +λ (97 台南二中 ) () 證明 λ 為增數列 () 證明 λ 收斂 (4) 求 λ 之極限 證. () λ + = F + F + () 數學歸納法易證 = + F F F + = + F +F = F F +F = +λ () 上界, 遞增有上界, 因此收斂 (4) a = +a a a = a = ± 5 λ 皆正, 取正, 得 + 5. 有理式極限 a 9. () lim x+ b =, 則 (a, b) = ( 基隆女中代理 ) x x ax (6b+) () 已知 lim x 4 x =, 則 (a, b) = (97 台中高工 ) ( () lim 4x + 5x + + x ) = x (99 中壢家商 ) (4) 若 lim ( 5 a b + c ) =, 則數對 (a, b) = (99 清水高中 ) (5) 設 k 為定數, 若 lim x +a x+b = k, 求實數 a + b + k 之值 = x (x ) () (4, 8) () (5, ) () 5 4 (4) (5, ) (5) 5 4 (99 中興高中 ) 另解 () 若 t,c 為常數, 則 t + c = t + c t t + O( ) t 4x + 5x + = (x + 5 4 ) 9 8, 故所求 = x 5 4 + x = 5 4 = t ( + c t + o( t )) = 9. 設 a > 點 P (a, a ) 在 Γ : y = 4 x 上, 又點 Q 在 x 軸正向上且 OP = OQ, 直線 P Q 交 y 軸於 R 點, 當點 P 沿曲線趨近於原點時, 則點 R 的極限位置座標為何? 8
8 (99 大安高工 招 ) 作 P 到 x 軸的垂足 S(a, ), 則 QP S QRO R y = a OQ a OQ 而 OQ = OP = 4a + a 4 R y = 4a +a 4 4a +a 4 a a = 4 + a ( 4 + a +) 8, as a. 夾擠定理 9. () a = k= () 試求 lim ( k(k + ), a 則 lim = (98 玉井工商 ) k(k + ) ) = (97 中和高中 ) () 已知數列 a 中, 若 a = + + + + + +... + +, 則 lim a = (98 嘉義高工 ) () () () 94. 設 a = 8 k=97 8 k, 求 lim a 之值 (97 松山家商 ).4 微分 95. () 設 f(x) = (x )(x 4)(x 6)(x 8)(x ) (x )(x )(x 5)(x 7)(x 9), 則 f (6) = ( 新竹高工 ) () 設 f(x) = (x )(x )(x )(x 4) 4, 求導函數 f () = (99 中興高中 ) () f(x) = x cos x (x+)(x+)(x+) (x+), 求 f () (99 清水高中 ) (4) 若 f(x) = 4x+9 e x (x +) x x+8, 則 f () = (98 內湖高工 ) (5) 設 f(x) = 5 (x k) k= 5 (x+k) k=, 求 log f () 值 = ( 文華高中 ) () 64 () () (4) (5) 5 45 99! 解 () 注意 f(6) =, f f(x) (6) = lim = 4 ( ) ( 4) = 64 x 6 x 6 5 ( ) ( ) 45 評. 考微分不考定義, 難道要考大家都會的微分乘法規則嗎? 96. 求 lim ( x ) (99 彰化藝術 ) x x x C = 945 8
通分後, 使用 L Hospital rule 兩次 另 令 x = + t, 以二項式定理展開之得 lim ( t C t +... t t ) = C t = 945 si 97. 試求 lim x ( 全國聯招 ) x π +cos x 9 98. 設多項式函數 f(x) 之導函數為 f (x), 已知 f() = 5,f () =, 求 lim x x f() f(x ) x ( 基隆女中代理 ).5 微積分基本定理 均值定理 x 4 t+ 99. () lim dt t ( 文華高中代理 ) x 4 x 4 () 若 f(x) = x () 6 () t +t +t 4 dt, 試求 f () ( 文華高中代理 ) 解 () 該極限即微分, 由微積分基本定理得所求 = 4+ 4 = 6 x x 9. lim +t dt = (99 家齊女中 ) x x 由中間值定理, 得上式 間 故所求 x x x x +t dt x + t dt = (x x ) + ξ, 其中 ξ 在 x 和 x 之 9. 求值 lim x e x e si x x si x = (99 明倫高中 ) e 由 Mea-Value Theorem 得 x e si x x si x e 故得 lim x e si x = x x si x e = (x si x)eξ = x si x = e ξ, 其中 ξ 在 x 和 si x 之間.6 函數方程 9. () 設 f, g 為可微分函數, 且 f(x + y) = f(x) + g(y), x, y R 試問: 若 f() =, f () =, 求 g(5) ( 中壢高中 ) () 同上, 求 g() ( 鳳山高中 ) () f(x + y) = f(x) + g(y),f() = 4, f () =, 求 g() ( 南科實中 ) 84
() () 4 () 解 () 對 x 偏微得 f (x + y) = f (x), x, y R f (x) f(x) = + x f( + ) = f() + g(5) g(5) = 9. () 設 f(x) 表一實係數多項式, 若 f(x) = 5x 4 x [ f(x)dx] + 6x 5, 求 f(x) = ( 北港高中 ) () 設 f(x) = x + + g(x)dx,g(x) = x + f(x)dx, 試求 g(x) 除以 (4x ) 之餘式 ( 全國聯招 ) 5x 4 + x + 6x 5 () 註. f(x)dx 應修正成 f(t)dt 以避免符號混用 94. 假設存在一個函數對於所有的實數 x 與 y, 都滿足 f(x+y) = f(x)+f(y)+x y+y x, f(x) 且已知 lim =, 則 f (x) = ( 桃園新進聯招 ) x x + x x 95. 設有一函數 f(x) 滿足 f(t)dt = x x + ax + b, 自點 P (, ) 作曲線 y = f(x) 的二切線互相垂直, 求 a b 值 ( 鳳山高中 ) (a, b) = ( 9 4, 9 ) 96. 若 f(x) 是可微分的實函數, 滿足 (x 4 )f(x) (f(x)) = x 5 75x 4 +5x x +5x 對任意實數 x 均成立, 則導數 f () 之值為 (99 桃園縣高中現職聯招 ) 5 6.7 函數圖形 97. 已知方程式 x (k + )x + 6kx k = 有三相異實根, 求實數 k 的範圍 k > k < ( 嘉義高中 ) 令 f(x) = x (k + )x + 6kx k =, 則 f (x) = 有兩根, k f()f(k) < k(k ) (k ) > k > k < 98. x 6x 5x k = 有三個相異實根, 則 k 之範圍為 (97 台中高工 ) < k < 8 99. 若 f(x) = x x 9x + k,k R, 且 f(x) = 有相異 負根及 正根, 則 k 的範圍為 ( 南港高工 ) 85
5 < k < 94. x x + k = 有二相異負根及一正根, 求實數 k 範圍為 7 < k < (99 中興高中 ) 94. 若兩曲線 y = x x + a 與 y = x x x + 4 交於相異三點, 求實數 a 的範圍 < a < 9 (99 高雄市聯招 ) 94. 若直線 y = x + a 與曲線 y = x + 有三相異交點, 則 a 的範圍為 < a < 4 ( 成淵高中 ) 另 類題. 以圖形觀之,y = x + 有兩斜率為 之切線若直線在此二切線之間則為三 相異交點 d dx (x + ) = x = ±, y = (±) + = or 兩切線 y = x, y = x + 4 < a < 4 當三次方程式, 缺 次項, 或 次項時, 可以判別式處理之, 見 南湖高中代 理 94. Γ : y = x, 已知 A(a, ) 可對 Γ 作三條法線, 求 a 的範圍 ( 豐原高中 ) 4 < a < 4 944. 三次函數 f(x) = x x 之圖形為曲線 Γ, 由點 A(, ) 作曲線 Γ 的切線 令切點為 (t, f(t)), 則切線可表示為 y t + t = (t )(x t) (99 桃園高中 ) 將 a 代入, 解得 t = or ± 故有三條切線 945. 設過原點 (, ) 有三條相異直線與 f(x) = x + kx + 相切, 則實數 k 值的範圍為 k > ( 楊梅高中 99 台中二中 ) 評. 從圖形看就是原點必須落在過反曲點之切線和函數圖形之間 ( 縱向 ) 946. 三次曲線 y = x + ax + x +, 若由原點可作三條相異之切線, 試求實數 a 的範圍 a > ( 中科實中 ) 947. a R, 過 P (a, ) 作 y = f(x) = x x + 的切線, 若所作的切線恰有一條, 求 a 的範圍 (97 大里高中 ) 86
小結. < a < 評. (, ) 和 (, ) 分別為 y = 和過反曲點之切線與 y = f(x) 之交點 以上數題, 平面上一點, 對三式多項式之圖形作切線之數量如圖, 其中 R 為反曲 點,L 為過反曲點之切線, 若點在 y = f(x) 或 L 且不為 R, 則為兩切線而 R 點僅一 切線, 其餘區域如圖所標示 948. 設函數 f(x) = x ax + 6(a )x 4 的圖形與 x 軸正向相切, 且在切點處 f(x) 有極小值, 求 a 之值 ( 台南二中 99 松山家商 招 ) 949. 拋物線 Γ : y = P (x) 的對稱軸平行於 y 軸, 且 Γ 與 x 軸交於點 (, ), 並在 x = 時 與函數 y = x 4 + 的圖形相切, 試求 P (x) ( 永春高中代理 ) 6x + 6x 8 95. f(x) 為三次函數, 若 f(x) 在 x = 處的切線方程式 4x y =, 又在 x = 處 有極小值 7, 則 f(x) = (99 嘉義高工 ) x + x + 5x 4 95. 設 f(x) = x + ax + bx + c, 若曲線 y = f(x) 上, 以 (, ) 為切點的切線斜率為 最小, 且此時之切線通過原點, 求 a, b, c 之值及切線方程式 (98 家齊女中 ) a = 6, b = 7, c = 8, 切線 y = 5x 95. 已知拋物線 y = ax 上的點 P 到直線 x y = 的最短距離為 5 4, 求點 P 的座標 (, ) (99 松山工農 ) 87
95. 已知三次多項式函數 y = f(x) 的圖形與某一條直線交於相異三點 (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)), 試證 : 函數 y = f(x) 圖形的反曲點坐標為 ( a+b+c, f( a+b+c )) 證. 令直線 L: y = αx + β 過 (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)) ( 華江高中 ) 則 f(x) (αx + β) = 有三相異根 a, b, c, 又 deg f = f(x) = r(x a)(x b)(x c) + (αx + β) f (x) = r (6x (a + b + c)) f ( a+b+c ) = 且 f (x) > 當 x > a+b+c 和 f (x) < 當 x < a+b+c 所以 ( a+b+c, f( a+b+c )) 是 f(x) 函數圖形的反曲點 954. 若兩圖形 y = f(x) = a x 與 y = g(x) = log a x 有唯一的交點, 則不為 的正實數 a 之 範圍為 (99 建國高中 ) e e a < 或 a = e e 見數學傳播函數 y=aˆx 與 y=log_a x 的圖形交點個數的探索 955. 指數函數 y = f(x) = a x 與對數函數 y = g(x) = log a x, 若已知 f(x) 與 g(x) 相交三 點, 求實數 a 的範圍 (97 台中一中 ) < a < e e 見數學傳播函數 y=aˆx 與 y=log_a x 的圖形交點個數的探索 956. 若 x x + k = 恰有兩相異實根, 則 k 值範圍為 (99 關西高中 ) k < 4 或 < k < + 提示. 畫圖 957. 設 a, b, c R,f(x)=x + ax f(x) + bx + c, 若 lim = 且 y = f(x) 無極值時, 求 x x+ a 值範圍為何? (99 台中一中 ) a 6 958. 設三次函數 f(x) = ax + (b )x + ( a)x +, 已知 f(x) 無極值, 且對任意實 數 x 恆有 f (x) x, 求滿足件之所有點 (a, b) 所圍成之面積 (99 台中二中 ) π 6 8 f (x) 為一次式, 又 f (x) x, 所以其一次項係數絕對值, 常數項非正, 得 a, b f (x) = ax + (b )x + a, 欲使 f 無極值, 即判別式非正 (a ) + (b ) 又 a 和 b 可計算得面積 π 6 8 88
959. 已知三次函數 f(x) = ax + bx f() + cx 係數 a, b, c 皆為正數且其極值不存在, 試求 f () 的最小值 (99 中壢高中 招 ) + = + 6 96. 設 m 為實數, 若四次方程式 x 4 4mx + = 無實數根, 則 m 的範圍為 < m < (99 基隆女中 98 嘉義高中 97 台南二中 ) 另 顯然 x = 不是方程式之解 若 m <, x 算幾不等式得 x 4 +x 4 +x 4 + 4 x > mx x 4 4mx + > 無實根 若 m, 令 f(x) = x 4 4mx +,f() =, f(m) = m 4 4m 4 + <, 由勘根定理得至少一實根 96. 兩曲線 Γ : y = x + x 曲線 Γ : y = x + x + k, 若直線 L 為兩曲線 Γ Γ 之公切 線且直線 L 之斜率大於 4, 試求實數 k 之範圍 (97 台中女中 ) k > 4.8 積分 基本技巧 96. 試求 (x 5x + x 6)(x ) dx 的值 ( 文華高中 ) 59 4 提示. 96. 試求 另 x = y +, 或 x 連續綜合除法 x ( x) dx ( 文華高中 ) 4 5 x ( x) dx = ( y) y dy = y y 4 + y 5 dy = 4 5 亦可分部積分兩次 964. Evaluate the itegral l 5 x+4 dx = (98 南科雙語 ) x +4x+ 注意 (x + 4x + ) = x + 4 因此 l 5 x+4 x +4x+ dx = l x + 4x + x= x== l 5 = 965. 試求 x 5 x + dx (97 台中高工 ) 89
966. 積分 π 極坐標代換 : dxdy (+x +y ) 的值為 (97 嘉義高中 ) π rdθdr (+r ) = π +r = π 967. 在坐標平面上, 心臟線 r = cos θ 所包圍的面積是 (97 嘉義高中 ) π π cos θ rdrdθ = π ( cos θ) dθ = π + π cos θdθ = π 968. 空間坐標中, 設 x + y 6, x y + z, x + y z 7 所圍成的 平行六面體為 Γ, 則 Γ 的體積 ( 文華高中 ) 6 令 x = (x, y, z), a = (α, β, γ) = (x + y, x y + z, x + y z) J = x a = = 9, 所求 = dxdyxdz = 7 6 J dαdβdγ = 6 4 6 = 6 Γ 9 969. 階乘函數的定義是 Γ(x) = t x e t dt, x > (97 嘉義高中 ) () 計算 Γ() () 計算 Γ( ) () 證明 Γ(x + ) = xγ(x) (4) 對正整數, 求 Γ( + ) 的值 () () π (4)! () Γ() = e t dt = () Γ( ) = t e t dt = e s ds = π () Γ(x + ) = t x e t dt = lim a t x e t a + x t x e t = xγ(x) (4) 由數歸可得 Γ( + ) =! 9
其它例題 97. lim ( x)(x+x ) dx 之值為 (99 彰化女中 99 中正預校 ) +x 7 6 97. 在坐標平面上, 設曲線 y = x + x 及兩直線 x =,y = 所圍成的區域為 S, 則 S 的 面積為 ( 新北聯招 ) l 97. 拋物線 y = x + 4x 上 ; 分別以 (, ) 及 (, ) 兩點為切點作切線, 此兩切線與 拋物線所圍區域面積 (99 嘉義高工 98 彰化女中 ) 9 4 97. 試由 (, ) 對拋物線 y = x 作切線, 得兩切線 L, L, 則由 Γ, L, L 所圍成的面 積為 (99 中壢高中 招 ) 6 974. 考慮不等式 x + y 4 x + x + 所決定的圖形 A 若直線 y = ax + (a < ) 將 A 的面積分成 :, 則 a = ( 松山工農 ) 8 評. 先解交點 x + = x + x + x = ±, 令交點為 A(, ), B(, 4) 4 取 P (, ) 在拋物線上則 A 的面積 = 4 ABP = 4 4 4 = 8 y = ax + 與 x + 和 y = x 4 + x + 分別交於 C( a, a + ), P 取 Q(, 9 4 ) 在拋物線上則 A 在直線 y = ax + 右側之面積 = P BC+ 弓形 BP Q 計算得該面為 4 + a, 其超過 8, 因此令其等於 6 9, 解得 a = 8 本題中, 運用阿基米德的弓形面積結果 975. 球 x + y + z = 被平面 x + y + z + = 分成兩部分, 其體積分別為 V, V (V < V ), 則 V : V = (99 苗栗高中 ) : 5 976. 若球 x + y + z 4 被平面 x + y + z = 5 分割成兩部分, 求較小部分之體積 5π (99 中壢高中 ) 9
977. y = x, 一直線通過 (, ), 求此直線與拋物線所圍的最小面積 ( 台中二中 ) 8 令直線 y = mx m +, 交點 x 坐標滿足方程式 x mx + m = 評. 令兩根 α < β 則 α + β = m, αβ = (m ) β α = m 4m + 所圍面積 = β (x α)(x β)dx, (β α) 分部積分, 再積分可得 α 6 當 m = 時, 有最小面積 = 8 此技巧稱設而不求, 在二次式中, 常利用根與係數化簡之, 類似運用見 育成高 中代理 978. 已知拋物線 Γ : y = 4 x 與一點 A(, ), 設 L 為過 A 的任一直線, 求 Γ 與 L 所圍 成區域之面積的最小值, 及此時 L 的方程式 (98 嘉義女中 ) mi =, L : y = x + 4 979. 過點 (, ) 之直線交雙曲線 xy = 於 P Q 兩點, 求 P Q 長度的最小值 (98 嘉義女中 ) 98. 設四次多項式 f(x) = x 4 + x x + x, 選取積分區間 a x b, 使得定積分 b a f(x)dx 得到最大值, 求此最大值為 ( 中科實中 ) 6 98. () x 為實數, 求 cos x si x 的最大值及最小值分別為何? (98 台北縣聯招 ) si x+cos x () x 為實數, 求的最大值及最小值分別為何? +si x cos x () 求 π 6 si x+cos x dx +si x cos x () () max =, mi = () l(6 9 ) 9
() si x cos x = si x, 所以最大值為, 最小值為 () 令 y = si x + cos x, 則 si x cos x = y 由和角可得 y si x+cos x 令 t = = y = y +si x cos x + y y + ty y + t =, 判別式 t 代入解 y 檢驗, 可得 y =, y = 因此最大最小值分別為, () 令 y = si x cos x, 則 si x cos x = y, y = si x + cos x π 6 si x + cos + si x cos x dx = dy dy = + y y = y y + dy = y l y + = l(6 9 ). x + y 98. 求滿足 y + z 之共同部分體積 (98 彰化女中 ) 6 x y, z y, y y y dxdzdy = 8 y = 6. y dy 98. 試證 : 半徑為 r 的球體的體積為 4 πr ( 全國聯招 97 彰化藝術 ) 984. 在直徑 公分的半球形容器內裝滿水, 將此容器傾斜, 求流出去的水量為多少立方 公分? (99 高雄市聯招 98 清水高中 ) 99π 985. 正四面體的容器裝了一些水, 當正四面體的一個面放置於水平桌面時, 容器內水高為容 器高的, 現將它上下倒置後水位高為容器高的倍 (97 師大附中 ) 7 水的量為體積的 = 7 倍所求為 8 8 7 = 7 8 9
986. 設 x >, F (x) = t z dt, d 則 F (x) = ( 建國中學 ) l t dx x+ t x = l t x ts ds F (x) = l(x + ) 故 d dx F (x) = x+ x ts dsdt = x ts dtds = x ds = s+.9 旋轉體 987. y = si x, x =, x = π, 與 x 軸所圍區域繞 y = 旋轉的旋轉體體積為 4π π (99 建中市內 ) 988. 求由 y = 4x 與 x = 4y 所圍成之區域繞 x 軸旋轉所得之旋轉體體積為 96π 5 (99 中興高中 ) 989. 求 x 5 + y 6 = 繞 x 軸所得旋轉體 τ 的表面積 (98 彰化女中 ) π + π si ( 5 ) { x 5 99. 設聯立不等式 + y 6 在坐標平面上所圍成的區域為 R, 求此區域 R 繞 x 軸旋轉 y 所得旋轉體體積為 ( 彰化女中 ) ( 4 ) π 99. 在坐標平面上, 設 S = {(x, y) x + y x 且 x y}, 求區域 S 繞直線 x = 旋轉 一周所得的旋轉體體積 ( 桃園現職聯招 ) π π x 99. 求二橢圓 x 與 6 9 9 + y = 所圍成區域的公共部分區域繞 x 軸旋轉一周所得 6 體積 (99 彰化女中 ) 8 5 π 99. 求拋物線 y = x + x 與直線 y = x 的圖形所圍成之封閉區域繞 x 軸旋轉一圈所得 之旋轉體的體積為 ( 桃園高中 ) π 94
畫圖, 注意 [ y 的範圍, 應分成三段 [, ], [, ], [, ] 所求 = π ( x + x) dx + ( x) dx + ] (( x) ( x + x) ) dx 評. π 分段分段, 這根本是是在考驗我們計算錯誤的能力 = 994. 設曲線 y = ax (a <, x ) 與曲線 y = x 交於 P 點,L 為過原點 O 和點 P 的 直線,S 為 L 與曲線 y = ax 圍成的區域, 且 T 為 S 繞 x 軸旋轉一周所得的旋轉體 則當 a 為何值時,T 有最大的體積? 最大體積為何? ( 師大附中 ) a =,T max = 4 995. 一曲線 Γ : y = ax 上一點 P, 已知 P O =,P 對 x 軸做垂足 H, 求被 Γ P H x 軸圍住, 繞 x 軸旋轉的旋轉體體積 V (a) 的最大值 ( 豐原高中 ) 9 π x 996. 設直線 L : = y = z 在平面 E : x y + z = 上的投影直線為 M, 將直線 M 繞 y 軸旋轉一周所成的曲面方程式為 ( 桃園現職聯招 ) 4x 7y + 4z + y = 997. A(,, 6), B(5, 6, 6), 且 S = {P P AB 面積大於 且周長小於 5}, 求 S 的體積 為多少? π ( 板橋高中 ) 首先注意到 AB = 5, 因此兩限制條件可轉換成 P 到 AB 的距離大於 4, 以及 P 在某橢球內, 其該該橢球為一轉旋體, 以 AB 為轉軸, 將某個以 A, B 為焦點, 長 軸為 的橢圓旋轉一圈 我們可以平移及轉動這個圖形, 其體積保持不變, 故可重新假設 A( 5,, ), B( 5,, ), P (x, y, z) P AB y + z > 4, 周長 < 5 x 令 R = {(x, y, z) y + z > 4, x 75 x 其中 s = 4 故其體積為 π r s π 4 + y +z 5 5 dx = π + y +z 5 5 4 < < }, dydzdx = 4 R x dx = π( ) = 4 4 s π rdθdrdx, 4 95
Pappus 定理 998. 求由 y = x 與 y = x 所圍成的區域 R, 繞下列直線旋轉一週所形的立體的體積 (a) x 軸 (b) y = (c) y 軸 (d) x = ( 內湖高工 招 ) π, π, π, π 6 6 5 5 ( x x)dx =. x = 6 x( x x) =. ȳ = 6 y(y 6 5 y )dy =. 用 Pappus 定理可得以下 (a) 6 π = π 6. (b) 6 π ( ) = π 6. (c) 6 π 5 = π 5. (d) 6 π ( 5 ) = π 5 999. 平面上坐標系上兩個函數圖形 y = f(x) = x, y = g(x) = x 所圍成的區域假設為 R, 試分別求出將 R () 繞 x 軸 () 繞 y 軸一圈所得之旋轉體體積 (99 明倫高中 ) () 8 64 π () π 5 { x + y. 將 xy 平面上的區域繞 xy 平面上的直線 x = y 在空間中旋轉一圈所 x, y 得的旋轉體體積 = (99 松山家商 ) π 可計算得形心 ( 4, 4 ), 4 其到 x = y 的距離為 π π π 由 Pappus 定理得所求 = π 4 π = π 4 π. 黎曼和. () 令 s = + + + 4 +... +, 若 s +, 其中 為自然數, 則 = ( 中正高中 招 ) () 同上, 求 [S] ( 北一女中 ) () 若 k = + + + 4 +... +, 求 [k] = ( 文華高中 ) () 9 () 98 () () 從積分的上下和, 可得不等式 : +... + x dx = 98 + +... + 9999 計算積分得 98. s 99 = 9 () 從積分的上下和, 可得不等式 : +... + + x dx + +... + 因此 k + < [k] = 96
. () 若 k = + + + 4 + 5 +... + 8, 求 [k] ( 香山高中 ) () 求 + + +... + 9 的整數部分 (99 台中一中 ) () a = + + +... + +, 求 lim a (99 左營高中 ) () 6 () 58 (). () 求 ( + + +... + ) (98 高雄市聯招 97 陽明高中 ) () 求 lim + ( () 求 lim k= k= k () () () 4. () lim () 計算 lim () 試求 lim ( + + ( + (+) k= () 6 () 5. () 求值 lim () lim k= () lim ( + + k= k = (97 台南女中 ) ) ( 中科實中 ) ) + +... + + = ( 成淵高中 ) + (+) +... + (+) ) 的值 ( 彰化女中 ) (+) (k+) k+k 之值 ( 慈濟聯招 ) + + +... + + ) + = (99 明倫高中 ) k = (99 全國聯招 ) +k +k = (99 建中市內 ) +k () π 4 () l () π 4 + l ( 6. 試求 lim k= ) k ( 高雄市聯招 ) 7. 求 lim 5 + 5 +...+( ) 5 6 ( 文華高中 ) 6 另 k= (k )5 = 5 k= k5 +... = 6 6 +... 因此極限 6 = 6 97
8. 設 為自然數 ; 試證 : + + + 4 +... + (97 高雄市聯招 ) 9. lim ( + + +...+ )( 5 + 5 + 5 +...+ 5 ) ( + + +...+ )( 4 + 4 + 4 +...+ 4 ) = (99 彰化女中 ) 9 上下同除 9 得. 設 a = [ ( + 4 e )( + ( k ) ( k )5 ( k ) ( k )4 )( + 6 4 5 = 9 ) ( +)], 試求 lim a ( 香山高中 ). 設有編號,,,..., 的 個盒子, 在第 k 個盒子內裝有 + k 個紅球與 k 個 白球, 現在隨便選出一個盒子, 且由此盒子內每次隨機抽取 個球, 取後放回, 連取 次, 若 次皆為紅球的機率為 P, 則 lim P = (99 彰化女中 ) 5. 假設連續函數 f(x) 在區間 [a, b] 中的平均值 w(f) 可以定義如下 : w(f) = lim f(c )+f(c )+...+f(c ), 其中 c k 為 [a, b] 作 等分分割時, 從第 k 個區間中任 意取出來的一個數那麼, 函數 f(x) = x 在 [, 6] 中的平均值為 (99 桃園縣高中現職聯招 ). 判斷收斂並說明 () ( + 4 () ) + 8 4 +4 + 4 +6 4 +6 +... + 4 5 4 ( 武陵高中 ) ()() 皆收斂 () 個{}}{ + + + +... + + + ( ) + + ( ) + + ( + + +, ) 因此此數列遞增 而 ( + ) = + C + C + C + + + + +... + < e!! 4!! ( 亦可比例判別式知, + + + + +... + 收斂 )!! 4!! 因此得 ( + ) 遞增有上界, 故收斂 4k () = k, 故 4 +4k +( k ) 其中 k= 4k 4 +4k x +x dx 之黎曼和, 故其極限為 = k= k +( k ) x +x dx = + x = 5 98
. 泰勒展式 級數斂散 4. 求 = ( ) + 4 的值 ( 彰化女中 ) π 8 = ( ) + 4 = 6 + 4 +... = ( + 5 7 +...) = ta = π 8 5. 試求無窮級數 π + π4 4!... + ( ) π ()! +... 之和 (99 文華高中 ) 6. 求 l( + x ) 在 x = 的泰勒展開式 (97 嘉義高中 ) k= ( ) k+ k x k 7. 設函數 y = f(x) = x, f 求 (6) () ( 中科實中 ) x f (4) () 8. 下列各無窮級數, 何者為發散級數? ( 桃園現職聯招 ) (A) (B) ( ) + (C) (D) ta (l ) ++ = + (A) = = 註. ta ++ = ta ( + ) ta 9. 試證無窮級數. 其它例題 = = = ta ++ = π π 4 = π 4 收斂 (99 松山家商 ). 設 x 4 + mx + 4x + 被 (x ) 整除, 則 m =, = (98 新營高工 ) m = 4, = 令 f(x) = x 4 +mx +4x+, 則 f() = +m+4+ = 和 f () = 4+m+4 =,. 已知 (x + ) 為 px + qx 9 + 的因式, 求數對 (p, q) (97 文華高中 ) (9, ) 99
利用除法原理 ( 定理 ) 和微分得 : 解得 (p, q) = (9, ) p q + = p + 9q =. 函數 f(x) = 4x +4x 4 x 4 x 9x +8x, 有幾條垂直漸近線? ( 桃園新進聯招 ) 條. 已知 f(x) = 4 x x[x], 求 f ( ) ( 慈濟聯招 ) 4 4. 試問曲線 x + y 6x = 6 x + y 上 P (x, y) 有多少個點與 A(8, ) 距離是整數? 8 (99 建國高中 ) 以極坐標寫之可得 r = 6( + cos θ), 利用餘弦定理可計算曲線到 (8, ) 之距離平方 d(θ) = 6( + cos θ + cos θ) + 64 96(cos θ + cos θ) = 4 cos θ 6 cos θ = 6(cos θ + 5 cos θ + 6 ) + + 5 5 = 6(cos θ + 5 ) + 5 5. 所以 6 d 5, 且在 [, ] 和 [, ] 皆為單調函數 5 5 5 d( ) = 8, d( ) = 5 <, d() = 4 從單調就可數出 5-, -9 上下對稱, 及 x 軸上的 4, 8 因此共 8 + = 8 5. 若 < cos π 7 < +, N, 則 = (99 建國高中 ) 4 令 x = cos π 7 + i si π 7, 則 x + x = cos π 7 且 x 6 + x 5 + x + x + x + = 令 y = x + x, 則 y + y y = 令 f(y) = y + y y 牛頓法解之 : 取 y =, f() = 4, 取 y f () =;y f(y ) = 4.5, f (y 取 ) 6 y =.5;y f(y ) = 5 f (y.46 f(.4).4, f(.5). ) 4 = 4 注意該方程式有三根 : cos π 7, cos 4π 7, cos 6π 7, 僅 cos π 7 評. 這是給人算的嗎? 為正根
6. 設函數 y = f(x) = (x ), f 求 (7) () = ( 文華高中 ) x f (5) () 4 f(x) = (x ) = (x (x ) ) (x ) = (x ) +, for < x < = 由泰勒定理及冪級數之唯一性得 = f (5) () 5! = f (7) () 7! = f (7) () f (5) () = 4