11 三角 面積 524. 已知一三角形的三高長為 1 3, 1 5, 1 7, 求此三角形的面積 (99 萬芳高中 ) 答 解. 令三邊長為 3t, 5t, 7t 則 = t 2 = t t = = 3 4

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1 三角 面積 54. 已知一三角形的三高長為 3, 5, 7, 求此三角形的面積 (99 萬芳高中 ) 答 解. 令三邊長為 3t, 5t, 7t 則 = t = t t = 3 45 = 設 ABC 之三高為 h a = 6, h b = 4, h c = 3, 則 ABC 的面積為 答 (99 萬芳高中代理 ) 56. 設 ABC 的三高為 6, 4, 3, 則此 的外接圓半徑為 (00 嘉義高中 ) 答 若 ABC 的三中線長分別為 的面積等於 (99 華江高中 ) 答 ABC 之三中線長為 6, 5, 8, 則 ABC 面積為何? (98 中興高中 ) 答 設有一三角形的三邊中線長分別為 6, 9,, 則此三角形的面積 = (98 嘉義高中 ) 答 ABC 中,D 為 BC 上一點, 若 AB = 3, AD =, AC = 6 且 BAD 為 DAC 的 一半, 則 BD = (00 台中二中 ) 答. 3 解. 令 BAD = x 由 ABD + ADC = ABC 得 6 sin x + sin x = 8 sin 3x 約掉一個 sin x, 換成 cos x 得 3 cos x cos x = 0 cos x = ± 3 6 ( 負不合, 因 0 < 3x < π) 由餘弦定理得 BD = 如右圖, ABC 中, C = 90, AD = DE = EB, ACD = α, DCE = β, ECB = γ, 求 sin α sin γ sin β (00 台南二中 99 屏北高中 ) 答. 3 解. 分子分母同乘 AC DC EC BC, 可得 3 ( 3 ) 3 ( ) = 83

2 53. 在正 內任取一點, 向三邊做垂直線段, 則此三垂直線段長可作為一 三邊長的機率 為 (00 苑裡高中 ) 答. 4 解. 假設高 =, 三垂線段長分別為 a, b, c, 則 a + b + c =, 由此可將三角不等式之條 件轉為 a, b, c < 即為三中點所形正三角形區域, 故所求機率 = 如右圖, ABC 中,CD 交 BE 於 F, 已知 BDF 面積為 0, BCF 面積為 0, CEF 面積為 6, 則四邊形區域 ADF E 之面積為 (00 苑裡高中 ) 答. 44 解. 連 AF, 設 ADF = x, AEF = y, 則 x 0 = y+6 0, y 6 = x+0 0 解得 (x, y) = (0, 4) 因此所求 = 已知 H 為 ABC 的垂心, 且 AH = l, BH = m, CH = n, 三角形的三邊長 BC = a, CA = b, AB = c, 試證 : a l + b m + c n = abc lmn (99 台中二中 ) 證. 正弦定理有 abc 4R = 注意 BHC = π A, ABC 與 BCH 的外接圓半徑相同, 同理 ABH, CAH 亦然再由面積 ABC = ABH + BCH + abc CAH, 以正弦所得之式代入得 4R = lmc 4R + mna 4R + nlb 4R, 4R 再同乘 lmn, 即得證 535. ABC 中, 設 a, b, c 分別為其三內角 A, B, C 的對邊, 為其面積, 而 R 為 其外接圓半徑, (97 松山家商 ) () 試證 :cot A = b +c a 4 () 利用 () 證明 : 若 cot A, cot B, cot C 成等差數列, 則 a, b, c 亦成等差數列 (3) 如圖 : 設 ABC 內部一點 P, 使得 P AB = P BC = P CA = α, 試利用 () 證明 :cot α = cot A + cot B + cot C (4) 試證 :a + b + c 4 3 證. () 餘弦定理 cos A = b +c a bc, cot A = b +c a bc sin A = b +c a 4 b () 用 (), 由 +c a 4 + b +a c 4 = a +c b 4 整理可得 a + c = b, 移項得證 (3) 以 () 表示 cot α = AB +AP P B 4 P AB = BP +BC P C 4 P BC = CP +CA P A 4 P CA 4( P AB + P BC + P CA) cot α = a + b + c cot α = a +b +c 4 = cot A + cot B + cot C 84

3 (4) 由算幾不等式可得 a + b + c = a +b +c +a +b +c ab + bc + ca 而 ab + bc + ca = (csc A + csc B + csc C) 又 csc convex in (0, π), 所以 csc A+csc B+csc C 3 csc π 3 = 3 兩個不等式合併, 即得證. 複數極式 536. 設 z 為複數, 若 z 3 z = (cos 80 + i sin 80 ), 則複數 z z 之主輻角為 答. 40 解. 注意 z 3 z = = (z 3) (z ) (z ) z 分角線上 Arg( z z ) = 80 = 40 (00 桃園高中 ) 537. 設複數 z 滿足 z =, 若 z + z = n, 且 n 為整數, 則 n 所有可能值的和為 答. 0 (00 彰化藝術暨田中高中 ) 538. 若 z C, z =, 則 z z + 的最小值為 (00 南港高工 ) 答. 4 4 解. 因為 z =, 所以 z z + = z + z 令 z = cos θ + i sin θ, 則 z + z = (3 cos θ ) + sin θ = 8 cos θ 6 cos θ + 所以當 cos θ = 3 8 時, z z + 有最小值 設 z, z C, z = z + z = 3, z z = 3 3, 則 log 3 (z z ) ( z z ) 000 = 答 (00 家齊女中 ) 另解. z, z + z, 0 在複數平面上形成一個 3, 3 3, 6 的直角三角形 ( 3 ) 取斜 邊中點 z 可得 0, z, z + z 為正三角形 540. 設 θ = π 3, n N sin θ+i cos θ 滿足 ( sin θ i cos θ )n 為實數的最小 n = (00 南湖高中代理 ) 答 x + x + = 0, 求 (x + x ) + (x + x ) + (x 3 + x 3 ) (x 00 + x 00 ) 答. 400 (99 竹科實中 ) 85

4 .3 一些定理 : 正弦 中線定理 54. P 為球面 S (x ) + (y ) + z = 4 上的動點,A(3, 4, 0) B(3, 3, ) 為球面外兩 點, 求 P A + P B 的最大值 (00 中科實中 ) 答 解. 令 M(3, 7, ) 為 AB 中點, 則 P A + P B = (MA + P M ) 其中 MA 為定 值 因此只要求定點 M 到球面最遠的距離,MO + r = 9 +, 其中 O 為球心,r 為半徑 MA = 5, P M = 9 +, 代入得最大值 另解. 先平移, 將球心 (,, 0) 移至原點令 P 坐標 (x, y, z), 則 P A + P B = 8x 6y 4z + 5 可以柯西不等式處理之, 類題見 00 文華高中代理 設 A(,, 3), B(0, 3, 3),P 為直線 L x = y = z 上一點, 求 AP + BP 有最小值時, 此時 P 點的坐標為 (00 南港高工 ) 答. (,, ) 解. 令 P ( + t, + t, + t), 代入所求式, 配方得 t =, P (,, ) 時有最小值 評. 本題亦可使用線定理, 則 P 為 AB 中點對 L 之投影, 但投影不會比配方好算 544. 空間中有三個點 A(,, 5), B(,, ), P (0, b, c), 則 P A + P B 答. 0 的最小值為 (00 彰化藝術暨田中高中 ) 545. 如圖所示, ABE 中, BAE = 90,C D 為邊 BE 上的三等分點, 令 BC = CD = DE = a, AC = 7, AD = 9, 求 a (99 育成高中 ) 答 設 ABC 的邊長分別為 a, b, c 若 ABC 外接圓面積為 5π, 內切圓的面積積為 4π, 則 abc a+b+c = (00 內湖高山 招 ) 答. 0 86

5 547. 有 A, B, C 三戶,BC = 00, ABC = 00, ACB = 50, 若 A, B, C 三戶主人仰 望天空中一氣球, 其仰角均為 5, 則此氣球的高度為 (00 嘉義縣聯招 ) 答. 00( 3) 548. 由平地上三點 A B C, 測量對某山頂的仰角均為 60 度, 若 BAC = 30, BC = 300 公尺, 則山高為公尺 (99 關西高中 ) 答 已知大小兩個三角形的三邊長乘積之比值為 8 5, 且它們的外接圓面積的比值為 56 75, 則此大三角形與小三角形的面積之比值為 (00 華江高中 ) 答 如右圖, 已知一個直角三角形 ABC,BC 為斜邊, 斜邊長為 a, 斜邊上的高為 h, O 為斜邊上的中點, 今將斜邊 n (n >,n 為奇數 ) 等分, 若 P Q 為其中兩個等分 點, 且,O 點介於 P Q 之間, 設 P AQ = α, 請問 lim n n tan α = 答. 4h a (00 桃園高中 ) 解. 注意 lim α 0 sin α tan α = 所以可改寫為 lim n tan α = lim n a/n a ( sin α ) = lim lim n n n sin α = n a R n, 其中 R n 為 AP Q 之外接圓半徑 再由正弦定理可得 R = 所以所求 = 4h a AP AQ P Q 4 AP Q AM h = a 8h, 其中 M 為 BC 中點 另解. 由 A 對 BC 作垂足 H, 以 tan 差角公式計算 tan α 55. 在 ABC 中, 若 B = 30, AB = 0 3, AC = 0, 試求 ABC 的面積 答. 50 3, 5 3 (97 台中高工 ) 55. ABC 中,G 為重心, 若 GA = 3, GB = 5, GC = 7, 則 cos BGC = (97 楊 梅高中 ) 答

6 .4 三角恆等式 553. 已知 sin α sin β = 3, cos α + cos β = 4, 求 tan(α β) (99 松山高中 ) 答. 4 7 解. 和差化積, 兩式相除得 tan α β = 4 3 tan(α β) = = cos α cos β = 3, sin α + sin β =, 求 sin(α β) (00 文華高中代理 ) 答 設 cos α + cos β = 3, sin α + sin β =, 則 sin(α + β) = (00 南港高工 ) 答. 3 sin A + sin B = 已知, 求 cos(a B) + sin(a + B) = (99 文華 招代理 ) cos A + cos B = 答 sin α + cos β cos α + sin β 答. a b a +b = a, 求 sin(α β) ( 以 a, b 表示 ) (00 中科實中 ) = b 558. 設 z, z 為複數, 滿足 z = z, 且 z z = i, 求 答 i z z z z 之值 (99 東山高中 ) 559. 設 z = cos α + i sin α, ω = cos β + i sin β, 且 z + ω = i, 求 tan(α + β) 之值 答. 4 7 (98 彰化女中 ) 560. sin θ + cos φ = 3 5, 求 cos θ sin φ (99 屏東女中 ) cos θ + sin φ = 4 5 答 ABC 中, 若 4 sin A + 3 cos B = 6, 3 sin B + 4 cos A =, 則 C = 答. π 6 (98 玉井工商 ) 56. 已知 θ 是第三象限角, 且 sin 4 θ + cos 4 θ = 5 9, 則 sin θ = 88

7 答. 3 (00 育成高中代理 ) 563. ABC 中,BC = a, CA = b, AB = c, 若 9a + 9b 7c = 0, 求 cot A+cot B cot C 之值 答. 9 4 (97 台中一中 ) cot A+cot B sin 解. 全換成 sin, cos, 再利用正 餘弦定理 cot C = C sin A sin B cos C = c ab a +b c ab cos A sin B+cos B sin A 其中 cot A + cot B = sin A sin B = sin(a+b) sin A sin B = sin C sin A sin B 564. ABC 中, a, b, c 分別為頂點 A, B, C 的對邊, 若 cot C cot A+cot B = 99, 求 a +b c = 9 4 答. 99 (00 中壢高中 招 ) 565. 在 ABC 中,a b c 分別為 A B C 的對邊長, 且 sin ( A+B )+cos C =, a = b + c, 試求 sin(a B) 的值為 (00 桃園高中 ) 答 設 P 為 ABC 內部一點, 且 P AB = P BC = P CA = θ 求證 csc θ = csc A + csc B + csc C (99 松山高中 ) 證. P BA + P AB = P BA + P BC = B AP B = π B P B P AB 中, 由正弦定理得 sin θ = AB sin AP B = AB sin θ sin B P B = AB 同理 P C = BC sin θ sin θ sin C, P A = CA sin A P AB = P A AB sin θ = AB AC sin θ sin A = ABC sin θ sin A 同理 P BC = ABC sin θ, P CA sin θ, 三式相加得 sin B sin C ABC = ABC sin θ(csc A + csc B + csc C) sin B 因此 csc θ = csc A + csc B + csc C 567. 在 ABC 中, 設 AB = c, BC = a, CA = b, 若已知 tan A tan C = 3 試證 :a, b, c 成等差數列 (00 台南二中 ) 證. A+B+C = π tan( A + C ) = cot( B ) tan A +tan C = tan A tan C tan B tan A tan B + tan B tan C = tan C tan A = 3 = tan A tan C 同乘 cot A cot B cot C, 得 cot A + cot C = cot B 而 cot A = s a r, cot B = s b r, cot C = s c r 代入得證 評. 證很漂亮, 但很不直觀, 其中玩了了一個 tan 的恆等式及 cot 的切線長代換 而下方的另證, 就是暴力證明 89

8 另證. 令 x = tan A, y = tan C, 則 tan B = tan( π ( A + C xy )) = x+y = 3(x+y) sin A = x (x+y) y +x, sin B = 9(x +y )+0, sin C = +y sin A+sin C = x+y+x y+xy +x +y +x y = 4 3 (x+y) +x +y + 9 (x+y) = 9(x +y )+0 = sin B, 因此 sin A, sin B, sin C 為等差數列, 再由正弦定理, 得證 568. 計算 cos π 7 + cos 4π 7 + cos 6π 7 + cos 8π 7 + cos 0π 7 + cos π 7 的值 (00 桃園現職聯招 ) 答. 提示. x 7 = 試求 cos π 答. 3π 5π 7π 9π + cos + cos + cos + cos 的值 (00 基隆女中代理 ) 570. 化簡 cos 6π 7 cos 5π 7 + cos 4π 7 的值為 (00 全國聯招 ) 答. 解. 注意 cos 6π 7 cos 5π 7 + cos 4π 7 = cos π 7 + cos 4π 7 + cos 6π 7 = 6 cos kπ 7 = k= 57. cos π 7 cos π 7 + cos 3π 7 = (00 松山工農 00 鳳新高中代理 99 中壢家商 ) 57. 求 答. 9 k= 答 Calculate cos π 7 答. 6 ( ) k cos kπ 9 (00 師大附中 ) 解. 將其乘上 π 4π 8π cos 7 cos 7 cos 7 = (98 南科雙語 ) sin π 7 sin, 以兩倍角公式化簡可得 cos π π 4π 8π π 7 cos 7 cos 7 cos 7 = S n = n log (cos π ),S = lim S k= k n, 求 S 的範圍 (00 豐原高中 ) n 答. log π 575. 設 S n = n log (cos π ), 求證 : < S k= k n < 0 (97 潮州高中 ) 576. 求 lim n cos x cos x cos x 3 cos x n (98 彰化女中 ) 答. x 0, sin x x ; x = 0, 0 90

9 577. 求值 :cos π 7 + cos 4π 7 + cos 6π 7 + cos π 7 cos 4π 7 cos 6π 7 = (99 文華 招代理 ) 答 求 sin 4π 8π π 6π 0π sin sin sin sin = (00 苑裡高中 ) 答. 3 提示. 原式 = sin π 4π 6π 8π 0π sin sin sin sin, 令 ω = cos π π + i sin 為 x = 0 之虛根 579. 求 sin 3π 7 sin 6π 7 sin 9π 7 之值 (97 台中一中 ) 答 求 cos 90 cos 00 cos 0 cos 0 cos 30 cos 40 cos 50 cos 60 答 (99 竹科實中 ) 58. cos 0 cos 0 cos 30 cos 40 cos 50 cos 60 cos 70 cos 80 = (99 文華高中 ) 答 () tan π 3 π 3π 4π 5π 6π tan 3 tan 3 tan 3 tan 3 tan 3 () sin sin 3 sin 5 sin 87 sin 89 提示. () tan x = sin x cos x () x90 = (99 基隆高中 ) 583. ω 為 z 7 = 之虛根, 試求 (99 屏東女中 ) 甲 以 ω + ω + ω 4, ω 3 + ω 5 + ω 6 為兩根之二次方程式 乙 ω + ω + ω 4 之值 答. 甲 x + x + = 0 乙 + 7i 584. 化簡 sin 0 4 sin 70 (00 彰化女中 ) 答 化簡 tan 0 sec cos 0 (0 台南二中 ) 答. 3 9

10 解. 令 sin 0 = x, cos 0 = y, 則 3 4x = 4y, 3x 4x 3 = 3, 4y3 3y = x 因此原式 = +y 4y 3 4x 4y, 以三倍角化簡之得 3 類題. 此靈感源自於 00 基隆女中 求值 :cos 0 + cos 50 sin 40 sin 80 = (0 中科實中 ) 答 若 (4 cos 9 3)(4 cos 7 3) = tan x, 求最小的正整數 x (99 鳳新高中 ) 答. 9 提示 cos 3θ = 4 cos 3 θ 3 cos θ 588. 求 tan 3 + tan 5 + tan 7 + tan 8 之值 (99 大安高工 ) 答. π 設 n 為整數, 且 tan 3 + tan 4 + tan 5 + tan n = π 4, 求 n 之值 (99 東山高中 ) 答 θ nπ, 試證 cos θ + cos θ + cos 3θ cos nθ = n+ cos θ sin n θ sin θ (99 左營高中 ) 59. 已知三次方程式 x 3 + px + qx + r = 0 之三根為 sin π 3π, sin 與 sin 5π 則數對 (p, q, r) = (98 嘉義高中 ) 答. ( 3, 9 6, 3 ) 59. 已知 cos α + cos β + cos γ = 0, 試證明 :cos 3α + cos 3β + cos 3γ = cos α cos β cos γ 證. cos 3α = 4 cos 3 α 3 cos α 和 cos α + cos β + cos γ = 0 (97 文華高中 ) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 4(cos 3 α + cos 3 β + cos 3 γ) 再由 x 3 + y 3 + z 3 3xyz = (x + y + z)(x + y + z xy yz zx) 可得 cos 3 α + cos 3 β + cos 3 γ = 3 cos α cos β cos γ cos 3α + cos 3β + cos 3γ = cos α cos β cos γ 593. 計算 log 4 ( + tan )( + tan ) ( + tan 44 )( + tan 45 ) 之值 (97 文華高中 ) 答. 3 解. 考慮 x + y = π 4, = tan π tan x+tan y 4 = tan x tan y ( + tan x)( + tan y) =, 所以所求為 log 4 3 = 3 9

11 594. x, y, z R, 證明 證. 將左式通分母 x y +xy + y z +yz + z x +zx = x y +xy y z +yz z x +zx (97 台南女中 ) x y + xy + y z + yz + z x + zx = x y + xy (x y)( + z ) ( + yz)( + zx) = (x y) (( + yz)( + zx) ( + xy)( + z )) ( + xy)( + yz)( + zx) (x y)(y z)(z x) = ( + xy)( + yz)( + zx). 評. 乍看之下很複雜, 但其實知右式, 因此亦知 x y 為因式, 因此另外兩項通分必有 x y 之因式 另證. 若 α + β + γ = 0 或 π tan γ = tan α tan β tan γ tan α+tan β tan α tan β tan α + tan β + tan γ =.5 其它 595. ABC 中, A, B, C 之對應邊為 a, b, c, 且 a, b, c 三數成等差, B = 30, ABC 面積為 3, 試求 b (00 永春高中代理 ) 答 設 x ±, ± 3, 解有理方程式 3 = x x + 3x x3 3x x x 3x x3 3x, 得 x 的最大值為 答. tan 3π 30 (0 中科實中 ) 提示. 若 tan θ = x, 則 tan 5θ = 設 ABC 中, C = 90, 以 AB AC 為邊向外各作正三角形 ABF 和 ACG, 設 M 是 BC 的中點, 若 MF =, MG = 7 則 BC 的值為 答. (00 師大附中 ) 598. 在 ABC 中, A = 60, 且 ABC 之面積為 3, 令 BC = a, AC = b, AB = c, 試求 :a + b + c 之最小值 (99 彰化女中 ) 答. 6 解. 由面積可得 bc = 4, 再由餘弦得 a = b + c 4 = (b + c) 令 b + c = t 4 a + b + c = t + t in t 當 t = 4, 有最小值 設在單位圓 O 上有一定點 A, 另有二動點 B, C, 且 B, C 亦在圓 O 上, 並各在 A 點 的兩側移動, 設 BAC = π 3, 則 AB + 3AC 的最大值為 (99 彰化女中 ) 93

12 答 求 cot π 4 ( 必須化為最簡單的形式 ) (00 華江高中 招 ) 答 解. 如右圖, 可得 cot π 4 = 三角形 ABC 中, B = 90, 且 BC = a, CA = b, AB = c, 若對任意實數 x, 恆有 ax + bx + c 0, 求 tan A 之最大值 (00 台南二中 ) 答 已知 ABC 中, C 為直角,BC 上有一點 D, 使得 CAD = DAB, 若 AC = 4 AD 5, CD 則 = (00 全國聯招 ) BD 答 設 ABCD 是邊長為 的正方形,P 點在 BC 上,Q 點在 CD 上, 且 P AQ = 45 AB+BP 試證 = AP (00 松山工農 ) AD+DQ AQ 證. 令 BP = a = tan P AB, DQ = b = tan QAD +a 欲證之等式可改寫為 +b = +a +b +b +b = +a +a b + b+ = a + b a b a = (a+)(b+) (b a)( (a+)(b+) ) = 0 注意 P AB + QAD = = 45 由和角公式可得 = a+b ab (a + )(b + ) =, 故得證 評. 利用結果, 做等價之推理 604. 已知直角三角形斜邊上的高 h 為定數, 設 s 為此直角三角形周長的一半, 求 s 的極小 值, 並求此時的股長及斜邊 (00 松山工農 ) 答. s min = ( + )h, 三邊 : h, h, h 605. 若圓內接四邊形 ABCD 的四個邊長分別為 a, b, c, d, 設 s = a+b+c+d, 試証明圓內接四邊形 ABCD 的面積 = (s a)(s b)(s c)(s d) (00 松山工農 ) 606. ABC 中, 已知 a = BC, b = CA, c = AB, 試證明 :a (b+c a)+b (c+a b)+c (a+ b c) 3abc (00 苑裡高中 ) a+ 94

13 . 證 同除 abc 整理後 其等價於 cos A + cos B + cos C 3 注意 cos x 在 [ π, π ] 上凸 (concave) 不失一般性 A, B 皆銳角 C 則 cos A + cos B cos( A+B ) = sin cos A + cos B + cos C sin C + ( sin C ) = sin C + sin C + 3 其等式其立條件為 sin C =, A = B = π C 即 A = B = C = 已知 ABC 中 AB AC = 5 DA 的角平分線長為 3 則 ABC 的最大面積為 何 (00麗山高中). 答 3 6 Ð Ð 608. 一圓半徑為 過圓外一點 P 對圓作兩切線 切圓於 A B 兩點 則 P A P B 的最小 值為 (00陽明高中). 答 A(0, 0, 6), B(0, 0, 0) 為空間中兩定點 P (x, y, 0) 為一動點 若 0 x 5 0 y 5 AP B 30 求 P 點之軌跡所成之面積 (00基隆高中). 答 3π AB = 4 在含 AB 之平面滿足 AP B 60 之點所成區域面積為 P. + (00台中二中) 解. 如右圖 AP B 為正三角形由圓周角性質 得 P 若在其外接 答 64π 圓移動時 角度不變往圓內移動則角度> 60 所以所求 面積是兩圓盤區域圓積外接圓半徑= 43 6 ) = 3π 而重疊面積 = ( 3 π sin π 64π 所求 = π 3 ( 9 3 ) = A B 833 P 6. 設 AB 為圓 C 之直徑 在圓 C 內部區域任取一點 P 則 AP B > 50 度之機率為 (00松山家商). 答 4 3 π 3 6. 設四點 A B C D 且 AB BC CD = 3 以 BC 為直徑作圓 取圓上一點 P (但 P B, P C ) 則 tan AP B tan CP D = 95 (99中正預校)

14 答. 0 BF 解. 作圖如右, 由相似形可得 = P C 5, GC = P B 4 tan AP B tan CP D = BF 0 P B GC P C = 5 4 = 63. 設 A, B, C, D 四點在同一直線上, 且 AB BC CD = 3 5 4, 若以 BC 為直 徑作圓, 取圓上任一點 P ( 但 P B, P C ), 令 AP B = α, CP D = β, 求 tan α tan β 之值 (00 楊梅高中 ) 答. 6 另解. 不妨特殊化, 把 P 放在 BC 中垂線上 64. 已知 G 為 ABC 的重心,BC = 0, AG = 4, BGC = 35, 則 ABC 的面積為 何? (00 鳳新高中代理 99 中正預校 ) 答 a = b 0, 若 a + b a b = a, 則 a, b 之夾角為 (98 嘉義高工 ) 答 小安最近趕流行到歷史博物館參觀田園之美畫展, 其中有一幅巨大壁畫高 9 公尺, 其下 端離地面 4.5 公尺, 小安眼睛距地面.5 公尺, 則他應站在離牆 x 公尺處欣賞此畫作, 可得最大視角 θ, 求 x 值與 θ 值的大小? 請您為附庸風雅的小安解出最佳觀賞位置吧! 答. x = 6, θ = tan 3 4 (97 大安高工 ) 67. 等腰 ABC 中,AB = AC, D 在 BC 上 且 AD BC;E 在 AD 上 且 AE = 0 ED =, 若 BED = 3 BAD, 則 AB = (97 中和高中 ) 答 ABC 中,BC =, B + C = 60, 求 ABC 面積的最大值 (97 陽明高中 ) 答. 3 96

15 向量 斜坐標 ABC 內有一點 P, 滿足 3 P A + 5 P B + 4 P C = 0, 且 AP 交 BC 於 D, 若 AD = a AB + b AC,a, b R, 則數對 (a, b) = (99 文華 招代理 ) 答. ( 5 9, 4 9 ) 60. 在 ABC 中,AB = 7, BC = 8, AC = 9, 過 ABC 的內心作 DE 平行 BC, 分別 交於 AB 與 AC 與 D, E, 求 DE (99 彰化藝術 ) 答 解. 內心公式 OI = 7+8+9OA OB OC 令 O = A, 得 AI = 3 ( 9 AB + 7 AC) 所以 DE = 3 BC = 設 ABC 的內心為 I, 周長為 4, 且 5 IA + 4 IB + 3 IC = 0, 求 ABC 的面積 答. 4 (99 大安高工 ) 6. AB =, BC = 3, CA = 4, I 為內心,L 過 I 交 AB, AC 於 D, E, 求 ADE ABC 之最小 值 ( 兩者均為面積 ) (99 高雄高中 ) 答. 3 8 解. 由內公式可得 AI = 4 9AB + 9AC 令 AB = k AD, AC = l AE 則 AI = 4k 9 AD + l 9 AE 又 D, I, E 共線 4k + l = 9 9 再由算幾不等式得 8kl kl 3 8 面積比即為 kl, 3 因此最小值為 給定一個三角形 ABC 且 AB = 5, AC = 6, BC = 7, 過其內心 I 做一直線 L 交 AB, AC 於 P, Q 兩點, 若 a ABC 表示 ABC 之面積, 則 答. 0 7 a AQP a ABC 的最小值為 (00 台中二中 ) 64. 設 G 是 ABC 的重心, 通過 G 的一直線交 AB 於 D, 交 AC 於 E, 若 AD = αab, AE = βac () 試證 : α + β 為一定值 () 試求 ADE 面積 ABC 面積的最小值 答. () 3 () 4 9 (97 台南女中 ) 65. 令 A(, 3), B(0, 0), C(4, 0),P 為圓 x + y 0x 0y + 46 = 0 上的點, 若 P A + P B + P C 有最大值時, 則 P 點座標為何? (99 大安高工 招 ) 97

16 答. ( 3 5, 33 5 ) 66. 已知 A(, 0), B(, 4), C(6, 5), P (x, y) 且 AP + BP + CP = 6 k = x y +, 求 (x, y) 使得 k 有最大值 (97 文華高中 ) 答. ( + 4 5, 3 5 ) 67. 在 ABC 中,AB = 6, BC = 5, CA = 7, 設其外心為 O, 垂心為 H, 則 AO AB + AH AC = (00 文華高中代理 ) 答. 48 解. 利用正射影, AO AB = AB = 8 AH AC = AB AC = = 30 因此所求為 48 另解. 垂直平分之解法見 98 嘉義高中 68. ABC 中,AB = 6, AC = 8, BC = 3, O 為外接圓圓心, 若 AO = x AB+y AC, 試求 (x, y) (97 文華高中 ) 答. ( 9, 5 ) 69. 設 ABC 的三邊長 AB = 8, BC = 3, CA = 4, 且 H 為 ABC 的垂心若 AH = x AB + y AC, 則數對 (x, y) = (98 嘉義高中 ) 答. ( 5 07, ) 630. 設 A(,, 0), B(,, ), C(3,, ), 則 ABC 的垂心座標為 答. (3, 3, ) (00 台中二中 ) 63. 空間中一圓過三點 (,, ), (, 4, 0), ( 4,, ), 求圓心座標 (00 中和高中 ) 答. (,, ) 63. 坐標空間中, 點 A(,, 0), B(3,, 0), C(,, ), 則 ABC 的外心 (a, b, c) 為何? 答. (, 0, 5 ) (00 香山高中 ) 633. ABC 中,A(, ), B(5, 4), C(, ), 若 AT = m AB + ( m) AC 且 m AB = ( m) AC, 則 m AB + ( m) AC (00 永春高中代理 ) 答. 0 98

17 解. 注意 T 在 BC 上, 且 AT 為 A 之角平分線而 AB = 5, AC = 0 AT = 3AB + 3AC 可算得 AT = 如下圖 ( 圖形中各線段之比例僅供參考, 實際之比例敘 AD 述如後 ), 設 = BE DB 3 且 = AF EC 且 = F G = GC, 若 BH = α BA + β BC, 則實數對 (α, β) = 答. (, 3 ) 解. 斜坐標 : 取 B 為原點, A(0, 0), C(0, 5), (00 中科實中 ) 則 D(5, 0), E(0, 5), F (, 6), G(8, 9), 則 DF x+y = 30, EG x y = 0 聯立可解得 H(0, 0) α =, β = 3 評. 斜坐標在不牽扯角度時, 相當好用 635. 已知 ABCD 為平行四邊形, 設 AC 與 BD 交於 P,E 為 DP 的中點, 直線 AE 交 CD 於 F, 若向量 AC = r, BD = s, 則向量 AF = ( 以向量 r, s 表示 ) 答. 3 r + 3 s (00 師大附中 ) 636. 設 ABC 中,D 在 BC 邊上, 且 AD 為 A 之內角平分線, 若 AB = 8, AC = 6, 將 射線 AD 延長至 P 點, 使得 ABP 面積 = 9 ABC 面積, 若 AP = y AC + x AB, 則數對 (x, y) = (97 台中女中 ) 答. ( 7 8, 9 ) 637. 如右圖, P QR 為正三角形, ABC 為直角三角 形, ACB = 90, 已知 P C = 5,P B = CQ = 0, 求 AQ 之長度 (00 新竹高工 ) 答. 8 解. 令 a = AQ, u = QA CB = 0 u + 5 v, 且 u v = AC CB = 0 a = 8 a QP, v = 則 AC = a u + 0 v, QP 638. 邊長為 的正四面體 OABC, 若 D OA 且 OD DA =, 且 E 為 BC 中點, 若 F DE 且 OF DE, DF = (00 中正高中 ) F E 答

18 639. 如圖, 平面上四邊形 ABCD 中,AB = 5, AC = 0, AD = 3, cos BAC = 3 5, 向量內積 AC AD = 0, 設向量 AC = x AB + y AD, 則 (x, y) = (00 桃園現職聯招 ) 答. ( 50 63, ) 640. 如右圖, ABC 中,D, E, F 分別為三邊之三等分點, 若 AD, BE, CF 兩兩分別交 於 P, Q, R, 試求 P QR 和 ABC 的面積比 (97 大安高工 ) 答. 7 解. AD = 3AB + 3AC = AF + 3AC = 7 6 ( 3 7AF + 4 7AC), 又 Q, F, C 三點共線, 所以 AQ = 3 7AF + 4 7AC 同理 BP = 6 7BC + 7BF 綜合二式得 F P F Q QC = 3 3, 其餘共直 線分割比例亦同由面積公式 ab sin θ 可得面積 BP C = CQA = ARB = P QR, 因此面積比為 如下圖, 正三角形 ABC, 若 D, E, F 將三邊分成 AF F B = BD DC = CE EA = (n );( 其中 n > 4 ), 且 AD, BE, CF 相交所成的 P QR 的面積是 ABC 面積的 7, 則 n 值為 (99 彰化女中 ) 答. 6 解. 對稱 ABQ = BCR = CAP = 7 ABC 令 BD DC = t, 由二次共線可得 BQ = t BC + BA t +t+ t +t+ 因此有 ABQ = t+ t +t+ ABE = t t +t+ = 7 t = or 所以 n = 6 t t +t+ ABC 64. 四邊形 ABCD, 點 P 在 AB 上且 AP P B = 3, 點 Q 在 CD 上且 CQ QD = 3, 得 P Q = x AD + y BC, 則序對 (x, y) = (00 基隆女中代理 ) 答. ( 5, 3 5 ) 評. 題目有瑕玭, 所以也來個不嚴謹的方法還它, 把 A, D 黏在一起得 y = 3 5, 同理得 x = 有一個正四面體的四個頂點為 A, B, P, Q, 線段 AP 上有一點 M, 線段 BQ 上有一 AM 點 N, 且 = BN = 3 MP NQ, 已知向量 MN = r AB + s P Q, 試求數對 (r, s) 答. ( 5, 3 5 ) (99 高雄市聯招 ) 00

19 另解. 偷偷把 A, B 黏起來得 s = 3 5 ; 偷偷把 P, Q 黏起來得 r = 如圖, ABC 中,D 為 BC 之中點,AB =, AC = 6, E 在 AC 上,F 在 AB 上, 且 AE = AF, 則 EG F G = (00 麗山高中 ) 答 如右圖之中, 點 G 在 AB 上,AG GB =, 點 F 在 AC 上, (99 台中一中 ) AF F C=, 點 D 點 E 在 BC 上,BD DE EC=, 又 GE 與 DF 交於 H 點, 求 DH HF = 答. 3 提示. 斜坐標 646. ABC 與任一點 P, 令 P AB, P BC, P CA 重心為 G, G, G 3, 試證 G G G 3 面積為 ABC 的九分之一 (99 高雄高中 ) 647. 設 OABC 為四面體,G 為 ABC 之重心,M 為 OA 中點,OG 交平面 MBC 於 H, () 試證 : 若 OH = x OM + y OB + z OC, 則 x + y + z = () 若 OH = α OA + β OB + γ OC, 求有序數組 (α, β, γ) 答. () ( 4, 4, 4 ) (99 東山高中 ) 648. 已知 ABC 中,AB = 5, BC = 6, AC = 7, AD = DE = EB, BF = F G = GC, 如右 圖, 則 CHI 的面積為 (98 師大附中 ) 0

20 答 解. ABG 和直線 CD 中, 由孟氏定理 AI GC BD = AI = 3 IG CB DA IG ABG 和直線 CE 中, 由孟氏定理 AH GC BE = AH = 6 HG CB EA HG IH 令 = x, 則 6 = AH = AI+IH = 3 +x IG HG IG IH x x = 9 4, IH = x AG 5 = 9 35 AIH 面積 = ABC 面積而 ABC 面積可 以海龍公式得 = 6 6 因此 AIH 面積 = = 四面體 OABC 中,D 點在 AB 上,AD DB = ;E 點在 CD 上,DE EC = 5 3;F 點在 OE 上,OF F E = 3; 設向量 OA = a, OB = b, OC = c; AF 交平 面 OBC 於 G 點, 則 AG F G = (97 高雄市聯招 ) 答 平面上, 已知 D, E 分別在 AB, BC 邊上, 且 AD DB = 4 3, BE EC =, 設 AE 和 CD 交於點 O, 若點 O 為 ABC 的外心, 則 AB BC CA = 答. 3 解. 由孟氏定理可得 EO OA = BO = 3BA + 3BE = 3BA + 9BC AO = 3 BA + 9BC, CO = 3BA 7 9BC 三邊長以 a, b, c 表示之, 再由 AO = BO = CO, 得 c 9 + 4a c + a b = 4c 9 + 4a c + a b = c a c + a b (97 陽明高中 ) a b c = 0 化簡得 a + 3b 3c = 0 a b c = 如下圖, 已知 O(0, 0), M(4, 0), N(0, 3), 在 OMN 內部有 ABC,A, B, C 三點 在 x 軸上的投影點分別為 D, E, F, 在 y 軸上的投影點分別為 H, I, G, 在 MN 上的 投影點分別為 J, L, K, 且已知 DE = EF, GH = HI, JK = KL, 試求 cos BAC 答 (99 台中二中 ) 0

21 解. 令 DE = u, GH = v, 則 (u, v), 而 NM = (4, 3) 由 JK = KL, 則 4u + 3v = 6u 6v v = 4 3 u cos BAC = AB AC = AB AC AB = (u, v), AC = NM AB = NM AC = 幾何 平面幾何 圓 托勒密幾何定理 65. 設四邊形 ABCD 是圓的內接四邊形, 試證 :AC BD = BC AD + AB CD 證. 不失一般性假設 ABD DBC (97 中和高中 ) 在 AC 上取 F 使得 ABF = DBC, 則有 ABF DBC 和 F BC ABD 由相似形邊長成比例得 AF BD = AB CD 和 F C BD = BC AD, 兩式相得即得證 653. 若 ABCDEF G 為圓內接正七邊形, 半徑為 sin π 7, 求 AC BC AD 答. 6 (00 南科實中 ) 解. 由托勒密定理得所求 = AB = [ sin π 7 ( sin π )] = 設 ABCDEF GHI 為一正九邊形, 邊長為 0, 則 AC AB AD = 答. 00 (00 中正高中 招 ) 655. 若有一正 k 邊形其頂點依序為 A, B, C, D... 滿足 AB = AC + AD, 則 k = 答. 7 (99 嘉義高工 ) 提示. AB = AC + AD AC AD = AB AD + AB AC, 托勒密幾何定理 03

22 656. 設方程式 (x sin π 7 )7 8 = 0 的七個根在複數平面上由正實數軸往逆時針方向分別為 w 0, w, w, w 3, w 4, w 5, w 6, 試求 : ( w w 3 w w 4 + w 3 w 5 w 4 w 6 ) ( w w 4 w w 3 + w 3 w 6 w 4 w 5 ) 答. 3 (00 中壢高中 ) 657. 正 n 多邊形上取連續的四個頂點 A, B, C, D, 若 ACD 面積為 ABC 面積的兩倍, 求 n (99 育成高中 ) 答. n = ABC 中, 若 (AB + AC)(AB AC) = AB BC, BAC = 63, 求 ABC 答. 8 (00 南科實中 ) 解. 令角 A, B, C 之對邊為 a, b, c, 整理等式得 c = ca + b 將 ABC 以 BC 之中垂線反轉得 A CB, 四 邊形 AA BC 為等腰梯形 由托勒密定理得 AA = c 令 BAC = α, ABC = β, 則 α + 3β = 80 β = 80 α 3 = 8 另解. A = B a = b(b + c), 見 99 中正高中 ABC 中, 已知 (AC + AB) (AC AB) = AB BC 且 BAC = 75, 求 ABC 答. 70 (97 台中一中 ) 660. 已知 ABC 中最大角 A 是最小角 B 的 倍, 且三邊長為連續的自然數, 求 ABC 的三邊長答. 4, 5, 6 (00 卓蘭實中 98 嘉義高中 ) 另解. A = B a = b(b + c), 見 99 中正高中 今有一三角形, 其三邊長為連續整數且有一角另之兩倍求此三角三邊長答. 4, 5, 6 (00 嘉義縣聯招 ) 解. 分三種可能, 但只有上題之情況合 04

23 66. 如圖, 已知 P A, P B, P C 是圓 O 的三條弦, AP B = α, BP C = β, 試證 :P B sin(α + β) = P C sin α + P A sin β (99 台中一中 ) 提示. 乘 R 正弦定理 托勒密定理 663. 如圖 : 圓心為 A, 半徑為 6 的圓, 取 B, C, D 三點 使四邊形 ABCD 為梯形, 且 DC//AB, 已知對角線 BD =, 則 DC = (00 卓蘭實中 ) 答 圓 圓冪性質 664. 如圖, 一圓交一正三角形 ABC 於 D E F G H I 六點, 若 CF =, F G = 3, AG =, HI = 7, 則 DE = (00 麗山高中 ) 答 如圖,AB 與圓 O 相切於 A,AB = 6,D 為圓內一 點,BD 交圓 O 於 C, 且 BC = CD = 3,OD =, 則圓 O 的半徑為 = (00 麗山高中 ) 答 四邊形 ABCD 為圓內接四邊形,AC 為直徑且 AC =, 又 AC = 3 AB + 5 AD,AC 與 BD 相交於 E 點, 則 BD 長度為 (00 彰化女中 00 鳳山高中 ) 答

24 圓 667. 以銳角 ABC 的邊 BC 為直徑作一圓 分別交另兩邊 AB, AC 於 D, E 兩點 求 (00成淵高中) 證 DE = BC cos A 668. 設 A, B, C, D 四點共圓 其中 AC 與 BD 互相垂直於點 E 圓心 O 在 CDE 的內 部 如圖所示試找出圓內所有的點 P 使得 P AB 與 P CD 的面積相等 並請從 教學觀點說明你(妳)的解題思路 (99桃園縣高中現職聯招). 解. 設 AB 和 CD 不平行 Ð 答 OF 與 O F 與圓所截之線段 記號見於下 由 90 = (AB + CD) AOB + COD = 80 AOB = COD Ð 令 AB 和 CD 的交點為 F Ð 由相似似可得 P 在 OF 時 P 到 AB 和 CD 的距離比值為常數 P 在 OF 時 AP B = CP D. Ð 由 O 點作直線 L 平行 AB取 O 點使得 OO 的中點落 L 交 BD 上 則 AO B = AOB = COB = CO B AO B = CO B同 OF 的 Ð 理由 可得 O F 上 兩三角形面積亦相等 若 AB//CD 則取 OF //AB 評 以代數解之 則如角平分線之求法 dab AB = dcd CD (ax + bx + c) ± t(ex + f y + g) = 設 a, b, c, d 都是正數 且滿足a b, a c, a d 試找出 a, b, c, d 可以作為某圓內接四 邊形的四邊長度之充要條件 並證明你(妳)的答案 (00華江高中). 證. 若 a, b, c, d 可為圓內四邊形之四邊長 由三角不等式可 b + c + d > a 答 b + c + d > a 若 b + c + d > a 考慮 α 滿足 a + b ab cos α = c + d cd cos(π α) cos α = a +b c d (ab+cd) 檢驗 α 的存在性 cos α < a + b c d < (ab + cd) 且 a + b c d > (ab + cd) 移項配方可得 (a b) (c + d) < 0 且 (a + b) (c d) > 0 (a b c d)(a b + c + d) < 0 且 (a + b + c d)(a + b c + d) > 0 +b c d 由 a 最大邊且 b+c+d > a 可得以上兩不等式成立 因此可取 α = arccos a (ab+cd) 以 α 為 a, b 夾角做一三角形 再以其第三邊 e 和 c, d 三邊做另一三角形 且兩 三角形在 e 的異側 06

25 由 α 之選取可 c, d 夾角洽為 π α 對角互補 此兩三角形所拼之四邊形 a, b, c, d 為一圓內接四邊形 670. 四邊形 ABCD,AB = 4, BC = 9, CD = 7, DA =, 求四邊形 ABCD 的所有內切 圓中, 面積最大者為 (0 文華高中 ) 答. 4π 67. 銳角 ABC 中, 若 AD BE CF 為三邊上的高, 試證 : ABC 的垂心為 DEF 的內心 證. 如右圖 EBC = π BCE 又 BF C = BEC = 90 BCEF 四點共圓 EF C = EBC = π BCA 同理 DF C = π BCA EF C = DF C CF 為 DF E 之角平分線, 同理得 AD BF 亦為角平分線, 故 H 為 DEF 之內心 (97 松山家商 ) 67. 在邊長為 a 的正方形中, 剪下一個扇形和一個圓 ( 如圖 ) 分別作圓錐的側面和底, 則圍成 其它 的圓錐體的體積? (97 楊梅高中 ) 答. 5(5 ) πa 在 ABC 中, A B C 的對邊分別為 a, b, c 若 A, B, C 的大小成等 比數列, 且 b a = ac, 則 B 的弧度為 (99 中正高中 ) 答. π 7 解. 作 B 之角平分線交 AC 於 D, 則 CA CD = a b b a+c = a = CB CB, 其中 b = a(a+c) CA 因此 = CB CAB CBD CB CD B = A, 故公比為 B = π 7 另解. 圓內接四邊形中的托勒密定理 :b = a + ac 類題. 這個性質, 小有用處, 見 98 嘉義高中計算 00 南科實中 07

26 674. 將長 AB = 40, 寬 BC = 88 的長方形紙張對摺, 讓頂 點 C 剛好落在線段 AB 的中點 M 上, 如下圖所示 : 已知 EF 是摺線, 求摺線 EF 的長度 (00 華江高中 招 ) 答 在矩形 ABCD 中,G H 為 AD 的三等分點,E F 為 BC 的三等分點, 若 AB = 36,BC = 45, 試求四邊 形 P QSR 的面積 (00 家齊女中 ) 答 如圖, ABC 中,AB = 0, AC = 8, BC = 6, 圓 O 為過 C 且與 AB 相切的最小圓, 圓 O 交 BC 於 E, 交 AC 於 F, 則 EF 的長為 (00 麗山高中 ) 答 O 為原點, OABC 為正方形, 已知點 P (, 0) 在 AB 邊上, 點 Q( 3, ) 在 BC 邊 上, 則正方形面積為何? (99 大安高工 招 ) 答 H G O 分別為三角形的垂心 重心 外心, 試證 :H G O 共線, 且 HG GO = (99 竹科實中 99 中崙高中 ) 證. 以 G 為中心, 將三角形旋轉 80, 放大兩倍, 則 O H, 故得證 679. 設橢圓 Γ x A + y B =, A > B 之橢圓二焦點為 F, F, O 為原點, P 為 Γ 上動點, 且 P OF 為一正三角形, P OF 面積為 3, 求 B (00 永春高中代理 ) 答. 3 08

27 680. ABC 中,AB > AC, D 在 BC 上, 以 AD 為直徑做一圓, 交 AB 於 M 點, 交 AC 的延長線於 N 點作 AP 垂直 MN 於 P 點, 且 AP 交 BC 於 D 作角 A 的外角平分線交 BC 的延長線於 E 點, 證明 : BE + CE = D E + D E (00 板橋高中 ) 證. 令 BAC 之角平分線與 BC 交點為 F, 則有角平分線性質可得 EF = BE CE + BE CE BE+CE = 由此, 僅須證明 BAC 與 D AD 有相同的角平分線, 因此只須證 明 BAD = D AC 而 AP N = AMD = 90, AD M = AM = ANM = ANP, 故 AD M ANP BAD = MAD = P AN = D AC 故得 D AD 和 BAC 有同一條角平分線由角平線性質可推得 BE + CE = EF = D E + D E 68. 連接正五邊形 ABCDE 的五條對角線, 圍成一個較小 的正五邊形 F GHIJ, 在繼續作五條對角線再圍成更小 的正五邊形, 如灰色區域若灰色區域的邊長為, 則 正五邊形 ABCDE 的面積為灰色面積的 ( 5+ ) 倍, 則 k = (00 楊梅高中 ) 答. k = 將一個正五邊形 ABCDE 的部份面積分別記為 x, y, z ( 如圖 ), 已知 x =, 求實數序組 (y, x + 5y + 5z)= (99 中興高中 ) 答. ( 5 5, ) = ( 5 5, ( 5+ ) 4 ) 683. 右圖中,P 為三角形 ABC 內部一點, 已知 AP P D + BP P E + CP P F = 0, 試求 AP P D BP P E CP P F 09

28 答. 04 (0 中科實中 ) 解. 設面積 P AB = x, P BC = y, P CA = z, w = x + y + z x+z 則原等式可改寫為 y + x+y z + y+z x = 0 注意對稱性, 補三個 到左式, 然後放到分 子, 分子就一樣了得 w( x + y + z ) = 05 所求則為 x+z y x+y z y+z x, 一樣注意對稱性, 改寫分子為 ( w y y )( w z w x z )( x ) = w3 (x+y+z)w +(xy+yz+zx)w xyz xyz 而其中 x+y +z = w w 3 (x+y +z)w = 0, (xy+yz+zx)w xyz = w( x + y + z ) = 05 所以所求為 = ABC 中,A(, 4), 若 B C 之角平分線分別為 L x + y = 0 及 L x 3y 6 = 0, 則 BC 之方程式為 (0 文華高中 ) 答. x + 7y 6 = 0 提示. A 對 L, L 作對稱點, 必落在 BC 上 685. ABC 中,A 坐標為 ( 7, 5), B 和 C 的平分線方程式各為 x y + 4 = 0, x + 7y + = 0, 求 B 點和 C 點的坐標 答. C = ( 9, ), B(3, 0) 提示. A 對 x y + 4 = 0, x + 7y + = 0 作對稱點, 必落在 BC 上 686. 已知 ABC 中 AB = 5, BC = 6, AC = 7, BD CE 分別平分 B C, 且 ADB = 90, AEC = 90, 如右圖, 則 DE = (98 師大附中 ) 答. 3 解. A 分別對 BD CE 作對稱點 A, A, 則 A, D, A 共線 A, E, A 共線且 AD = DA, AE = EA, BA = BA, CA = CA 因此 DE = A A = (CA BC + BA ) = = 設 ABC 中, A = 60, BC = 39 點 E, F 分別在 AC, AB 上且 BE AC, CF AB, 又 BE 交 CF 於 P 點若 CP = 3, 求 0

29 () ABC 的面積 () AEF 的外接圓的面積 (99 松山家商 ) 答. () 35 3 () 3π 688. 如下圖, 四邊形 ABCD 中,AB//CD 且 BC = AD, 又 AC 及 BD 的交點為 P, 設 BP, CP, AD 的中點依次為 X, Y, Z, 且 AP B 為正三角形, 試證 XY Z 為正三角形 (99 育成高中 ) 證. P DC P BA P DC 是正 Z 為 P C 中點 DZA = 90 Y 為直角 AZD 之斜邊中點, 故 Y D = Y Z = AD 同理 XY = AD 而 X, Z 為 P B, P C 中點 XZ = BC = AD 因此三邊等長, 得證 689. 銳角三角形三高 AD, BE, CF 交於 H, 證 (99 建中市內 ) () CH F H = cos C cos A cos B () AH HD + BH HE + CH HF 6 證 () 如圖 AEH = AF H = 90 EHF = π A F HB = A, 同理 CHD = B, BHD = C CH cos B = HD = BH cos C, BH cos A = F H, 相乘得 CH cos A cos B = F H cos C CH F H = cos C cos A cos B 690. 如圖, 兩個全等之矩形置於一直角三角形內, 並使其的邊各與三角形之一股重合設兩 股長 a, b 可以調整, 又矩形短邊形 mb, 則 m 之最大值為 (99 建國高中 ) 答. 5 解. 不失一般性, 令 a =, 矩形兩邊長 x, y = mb 則有 x y = x y x = y b x y = b b bx = y, bx by = x,b b x bx+x = 0 x = b b +b, y = b b b +b,m = y b = b b +b mb + (m )b (m ) = 0 (m ) + 4m(m ) 0 (m )(5m ) 0 z 或 z 5 z 不合剩下要驗 m = 5 時, b b = 0 b =, x = 4 5

30 69. ABC 中, ABC = 90,AB =, 若延長 AC 到 D, 並使得 AB = CD =, 若 CBD = 30, 求 AC 長 (99 屏北高中 ) 答. 3 解. 令 AC = x, 由 D 作 AB 的垂線, 交 AB 於 E 點則,BE = x ( 由 cos A = x ) EDB = CBD = 30 BD = x 再由畢氏定理得 DE = 3 x ( + x ) (x + )(x 3 ) = 0 x = 3 = (x + ) 69. 設 ABC 中, 已知 BC 和 y 軸垂直, 若 A(, 9), 內切圓圓心為 (, ), 半徑為 4, 則 ABC 的垂心 H 坐標為 (99 基隆女中 ) 答. (, 3 4 ) 693. 如圖所示, 點 D, E 在 ABC 的邊 BC 上, 滿足 BAD = CAE 若 BD = 3, DE =, EC = 4, 則 AB AC 之比值為 (99 華江高中 ) 答. 0 4 提示. 作 DAE 角平分線交 BC 於 F, 注意 AF 同時亦為 BAC 的角平分線 694. 一光線通過 ( 4,5), 經 x 軸反射後與圓 :(x ) + (y ) = 5 相切, 求原光線之方 程式為 (99 文華高中 ) 答. x + y + 3 = 0 提示. 考慮對稱於 x 軸的圓 (x ) + (y + ) = 5 評. 類似的反射對軸常用於極值問題, 見 已知等腰三角形, 若腰上的中線長為 6, 求三角形面積的最大值 (99 屏北高中 ) 答 設 ABC 為一等腰三角形,AB = AC, 已知 B 的平分線交對邊 AC 於 D 點, 且, 則 BC = BD + DA, 則 A 是度 (99 中壢家商 ) 答. 00 解. 作 DE//BC 且 E 在 AB 上, 又 BD 為 B 之分角線可得 EBD 為等腰三角 形且 BD = BE, 由對稱知 BE = CD, 故 CD = DE 在 BC 上找 F 使得 CF = DA, 則 CDF DEA (SAS 全等 ), 故 ACF 亦為等腰三角形且 F D = F C, F DC = C, BF D = C

31 BC = BD + AD 且 AD = F C BD = BF BDF = BF D = C 所以有 80 = B + BDF + BF D = 9 C C = 40 A = 已知拋物線 y = x + 3x 上有相異兩點對直線 x + y = 0 成對稱, 則此兩相異點的座 標為 (97 家齊女中 ) 答. (, 3), ( 3, ) 698. 兩圓 x + y = 6, (x 6) + (y ) = 4 的外公切線的交點為 (97 師大附中 ) 答. (, ) 解. 畫圖, 由相似形得外分點 : 4 4 (0, 0) + 4 (6, ) = (, ) 699. 正 DEF 內接於正 ABC 且 DE BC, 那麼 DEF 的面積為 ABC 的面積之 答. 3 (97 師大附中 ) 700. ABC 中, ABC = 0,AB = 3 且 BC = 4 若從 A 作 AB 的垂線與從 C 作 BC 的垂線相交於 D 點, 則 CD = (97 師大附中 ) 答 已知 ABC 為正三角形且點 A B C 皆落在邊長為 的正六邊形的邊上, 若點 A 將其所在的邊分成長度為 的兩段, 求 AB 之值 (97 陽明高中 ) 答 已知 H 為 ABC 的垂心, 由 H 分別作 HD BC, HE CA, (97 潮州高中 ) 三角形 ABC, A 的內角平分線 AT 交 BC 於 T 點, 試證 AT = AB AC BT CT 3. 空間幾何 703. 一模型公司在一個內部邊長為 單位的透明正立方體箱子內, 放置一顆半徑為 單立的大球, 然後又要在箱子的八個角落再塞入 8 顆相同大小的小球問 : 小球的最大半徑為單位 (00 華江高中 招 ) 答 一個邊長 0cm 的正立方體內塞九個大小相同的球, 中心球的球心在正立方體的中心, 其他球皆與三個相鄰面以及中心球相切, 求球的半徑 (00 豐原高中 ) 3

32 答 個相同的的球被包裝在一個邊長為 的正立方體內, 其中一個球的球心位於正立方體 的中心點上, 而其他的球均與中心球相切且與正立方體的三個面相切, 則每一個球的半 徑為單位長 (97 全國聯招 ) 答 一個正四面體盒子內部邊長為 8, 要在四面體內部放入 35 顆一樣大小的球, 求放入球 的最大半徑 = ( 分母須有理化成整數 ) (99 文華高中 ) 答 在一個邊長為 的正四面體中, 放入大小相同的 0 顆球, 試求球的最大半徑為 答 (97 台中二中 ) 708. 考慮一個正四面體與其內切球與外接球今在正四面體之四個側面, 均有一個最大球與 其相切也和外接球相切 ( 此球在正四面體的外部 ) 若在外接球的內部任取一個點 P, 則 P 不落在內切球內部也不落在正四面體外圍的四個球內之機率為何? (00 慈濟聯招 ) 答 想將一半徑 3 公分的球投進一個三角形的球框, 因球太大被卡在框架上, 若此三角形球 框三邊長為 3, 4, 6 公分, 則球心到此三角形所決定的平面的最短距離為 分 答 公 (00 南港高工 ) 70. 一厚度超過 5 的水平放置木板上, 穿有一邊長為 0 的正三角形的洞, 今將半徑 5 的硬 球放入正三角形, 則木板上球的高度為 (99 文華 招代理 ) 答 如右圖, 長方形紙 ABCD, AB = 4, AD = 3, 沿著對 角線 BD 摺起, 使 A 點在平面 BCD 上之投影恰落在 CD 邊上, 求此時四面體 ABCD 的體積為 (00 麗山高中 招 ) 答

33 7. 空間中, 四面體 A BCD,AB=CD=6,AC = AD = BC = 5,BD = 7, 求四面體 A BCD 的體積 (0 文華高中 ) 答. 4 3 解. 如圖, 把四面體攤開 令 α = BDC, β = BDE 由餘弦定理可得 cos α = 7 9 5, cos β = 35 DF = DE cos β = 9 7, DI = DF tan α = 9 5 ACD 等腰 DG = 3, IG = DI DG = 4 5 GH = 4 5 cot α = 四面體之高 AH = 3 A G GH = 面 BCD = 6 6 因此得體積 = , 底 73. 四面體 P ABC, 今若以 P 為球心,P A 為半徑作一球面, 則 B 與 C 也同時落在球面 上, 且知 P A = 0, AC = 4,BC = 5 及 AB = 6, 試求點 P 至平面 ABC 的距離 答. 4 7 (99 大安高工 招 ) 74. 如圖,A BCD 為空間中的三角錐, 已知其稜長 AC = BD = 0, AB = CD = 7, AD = BC = 3 9, 求三角錐 A BCD 的體積 (99 台中一中 ) 答. 40 解. 考慮 a, b, c > 0, a + b = 00, b + c = 89, c + a = 6, 聯立得 a = 6, b = 8, c = 5 則以 a, b, c 為三邊為長寬高的長方體, 挖 去 4 個不相鄰的角落後, 即剩下一三角錐恰 與 A BCD 全等故所求 = abc 4 6 abc = 如右圖, 設正方形 ABCD 之邊長為, 而 P, Q 依次為 BC, CD 之中點, 若將此正方形沿虛線 AP, AQ, P Q 向上摺起, 使 B, C, D 三點重合為一點 R, 則 R 點到底面 AP Q 之距離為 (00 永春高中代理 ) 答 如下圖 (), 用邊長 0cm 的正方形紙板 ABCD 做模型, 做法 : 取 AB 邊上的 E 點, 連結 CE DE, 沿 CE 和 DE 將 ADE 和 BCE 折起, 並將 EA EB 連接起 5

34 來, 此時 A 與 B 重合於 O 點, 如下圖 (), 則這個四面體模型 OCDE 的容積為 立方公分 (00 彰化女中 ) 答 四面體邊長分別為,,,, a, b ( 其中 a, b 為歪斜線段長 ), 試求四面體體積最大值 答. 3 7 (00 鳳山高中 ) 78. O ABC 為一四面體, ABC 是邊長為 4 之正三角形,OA = OB = OC = a, 兩歪 斜稜 OA 與 BC 間的距離是 3, 求 a 的值 (98 曉明女中 ) 答 有一四面體 OABC, 它的一個底面 ABC 是邊長為 4 的正三角形, 且知 OA = OB = OC = a; 如果直線 OA 與直線 BC 間的公垂線段長 ( 亦即此兩直線間的距離 ) 是 3, 請說明如何利用尺規作圖法, 找到 直線 OA 與直線 BC 間的公垂線段, 並求出 a 值 (00 鳳新高中代理 ) 答 A(6, 0, 0), B(3, 3, 3) 為球面 x + y + z = 36 上兩點, 今有一隻公蟻沿著球面由 A 爬到 B, 公蟻的爬行路線中最短距離是多少? (00 家齊女中 ) 答. 4π 解. cos θ = (6,0,0) ( 3,3,3) = 8 36 = θ = π 3 最短距離 6 π 3 = π 3 7. 有一地球儀, 其赤道長為 50 公分, 若 A 地位於赤道上東經 0,B 地位於北緯 45, 東經 45, 求 AB 兩地之球面最短距離為公分 (99 台中一中 ) 答. 50 6

35 7. 半徑 R 的球面,A 點在東經 0 度 南緯 45 度,B 點在西經 60 度, 北緯 30 度,A, B 兩點在球面上最短距離 (99 建中市內 ) 答. πr 73. 設球面 S x + y + z = 0 上兩點 A(, 5, ), B(, 0, 3) 一隻螞蟻沿球面從 A 走 到 B, 其最短路程為 (98 中興高中 ) 答. 0π 3 x + y 3z = 直線 L 與球面 S x + y + z = 4 交於 A, B 兩點, 則球面 S 上 x + y z = A, B 兩點間之最短路徑長為 (97 中興高中 ) 答. 4π 假設地球為一球體今以地球球心為原點, 地球半徑為單位長, 建立一直角坐標系設 地球表面上有甲乙丙三地, 甲 乙兩地的坐標分別為 (, 0, 0) ( 3 7, 7, 6 7 ), 而丙地正好 是甲乙兩地之間最短路徑的中點, 則丙地的坐標為 (98 嘉義高中 ) 答. ( 5 35, 35, 3 35 ) 解. ( 5 7, 7, 3 7 ) = 35 7 丙 7 35 ( 5 7, 7, 3 7 ) = ( 5 35, 35, 3 35 ) 76. 今一單位球 ( 半徑為 的球 ) 球心為原點, 且球面上兩點 P Q 座標分別為 P (, 0, 0), Q(0,, ), 延著球面行進, 於 P Q 最短路徑中取一點 R, 使得 P R QR =, 試求 R 點座標 (99 大安高工 ) 答. ( 3, 4, 4 ) 解. 以 x 軸為軸, 將 Q, R 轉至 xy 平面上, 得 Q (0,, 0), R ( 3,, 0), 再把它轉回去得 R( 3, 4, 4 ) 77. 已知 P 是正四面體 ABCD 內部一點, 而且滿足 P A = P B =, P C = P D = 7 求正四面體 ABCD 的邊長 (00 華江高中 招 ) 答. 6 解. 注意 P 在 AB 與 CD 的垂直平分面的交線上, 即 P 在 AB 和 CD 的公垂線 H H 上, 其中 H 和 H 分別是 AB 和 CD 的中點 設邊長為 a,h P P H = t ( t), 則得 H H = a P A P C = 7 = a 4 +t a a 4 +( t) a t = 3, a = 6 7

36 . 評 這是巧妙的變數假設 使得可以直接解出 t另一觀點來看 就是把正四面體放大 或縮小 使得邊長等於 或是 H H 等於某固定之數數 算出 P A 後 再放大回 來 78. 已知平面 E 上有不共線的三點 A, B, Q 而平面 E 外有一點 P 若直線 P Q 與 E 垂直 且 P AQ, QAB, P AB 皆為銳角 求證 cos P AQ cos QAB = (00成淵高中) cos P AB 79. 正八面體 ABCDEF 的邊長為 如圖 已知 A 為原 (00北一女中) 點 A, D, E 為 xy 平面上的點 B 為 yz 平面上的 點 則 B 到 y 軸的距離 =. 答 空間中 過原點 方向向量為 (,, ) 的直線 L 求任意點 (a, b, c) 逆時針繞直線 L 旋轉 0 之後的坐標為何 (逆時針方向指的是右手定則的方向 亦即右手大姆指朝 (,, ) 方向時 四指的方向為逆時針方向) (00桃園新進聯招). 解. 另解. 觀察平面 x y + z = 與三軸交於 (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ) 恰為一正三 答 ( b, c, a) 角形 因 此 旋 轉 將 此 三 點 輪 換 (, 0, 0) (0, 0, ) (0,, 0) 再 由 旋 轉 之 線 性 得 RL ((a, b, c)) = ( b, c, a) 73. 在以原點 O(0, 0, 0) 為球心 半徑為 的單位球上取一點 A(a, a, a3 )點 A 所對的 另一點 B(a3, a, a ) 有在這個單位球上則 AOB 的最大值為 (97家齊女中). π 解. 該線性變換為以 (,, ) 為軸之旋轉 0 因此當 OA (,, ) 時角度最大 答 3 取 A = (,, 0) 由內積得 cos AOB = AOB = π 一小球由原點 O(0, 0, 0) 發射 撞擊到平面 E x + y + z = 8 上一點 A 在經過平 面 E 反射後 撞擊到平面 E x + y + z = 0 上一點 B 再經由平面 E 反射後 彈向一個點 C(,, )試求 OA + AB + BC 之值. 33 答 8 (00永春高中代理)

37 733. 設 ABCD 為正四面體, ABC 內部一點 E, 點 E 到 DAB, DBC, DCA 距 離之和 m, 點 E 到 AB, BC, CA 距離之和為 M, 求 m M (99 台中二中 ) 答 設 xy 平面為 H, 球面 S 的方程式為 x + y + (z ) =,P (0, 0, ) 是球面 S 上一 點設函數 φ H S, 若 R 為 H 上任一點, 定義 φ(r) 為球面 S 與 P R 的交點 Q ( 異於 P )( 如圖 ) 若 L 是 H 上任一條直線, 試判斷 φ(l) 的圖形為何? 並證明您的結 論 解. 一圓, 令 E 為過 P, L 的直線, 則 φ(l) 即 E 與球面相交之圓 (RP 落在 E 上 ) 評. 這是複數裡的 conformal map (99 建國高中 ) 735. 三個 8cm 8cm 的正方形都被連接兩條鄰邊中點的直線分成 A B 兩片 ( 如圖一 ), 並 將這六片粘在另一個正六邊形的邊上 ( 接縫部分不計 )( 如圖二 ), 然後折成一個多面體 求此多面體的體積為 cm 3 (99 中興高中 ) 答. 56 解. 見令人讚嘆不已的神人老王 736. 已知四面體 P ABC 中, 各側面與底面所成的兩面角皆為 60, 且 ABC 的三邊長分別為 7, 8, 9, 試求 P AB + P BC + P AC 的面積總和 (99 中壢高中 ) 答. 4 5 解. 考慮投影面積是 cos θ 倍, 因此所求 = ABC = 4 5 9

38 解析幾何 3.3 複數平面 737. 已知 z 為複數 且 z z 為純虛數 求 z i 之最大值 (99台中二中 98新港藝術). 解. 在複數平面上點 A 代表 z 點 B 代表 z 點 C 為 AB 中點代表 z 答 5+ 點 O 為原點 則 AOB = 90 OAB 是直角三角形 OC = AB = z = 畫圖為一圓 極小發生在其圓心與 i 的連線上 max z i = i + = 設任意四邊形 ABCD 的四個邊向外作正方形的四個中心點依序為 M N O P 試 證 P N = M O 且 P N M O. (00家齊女中) 證 不失一般性假設 A, B, C, D 在坐標平面上逆時針排序 以小寫字母 a, b, c,...表示各點所代表之複數 i i i 則 m = d + i (a d), p = a + (b a), o = b + (c b), n = c + (d c) 而 n p = ( a b+c+d)+ i ( a+b+c d), o m = ( a+b+c d)+ i (a+b c d) 觀察 q m = i(n p) P N = M N 且 P N M O 739. 設 α, β, γ 是三個相異複數 w 是 的立方根 若 α + wβ + w γ = 0 試問在複數平面 上表示 α, β, γ 的三點成什麼圖形 (99松山工農). 註. w 是虛根 答 正三角形 平面坐標 740. 兩正方形 ABCD 與 EF GH 邊長均為 其中 ABCD 固定平放在直線 L 上 如圖 所示若正方形 EF GH 之一頂點 H 在 CD 上移動 且另一頂點 G 在直線 L 上移 動 當 BE = BF 時 CG =. 解. 令 B 為原點 (0, 0) C(, 0), A(0, ), CG = u, CH = 答 3 (00北一女中) u 則 EF 中點 M ( + v + u, u + v ) ÐÐ Ð BE = BF BM EF u = ± 3 取正 74. 在 第 一 象 限 中 的 四 邊 形 ABCD 其 中 四 個 頂 點 分 別 為 A(, 8), B(0, 0), C(4, ), D(x, y) 若 M, N, P, Q 分別為 AB, BC, CD, DA 的中點 且 M N P Q 為正方 形 則 xy = (00新北聯招) 0

39 答. 74. 在 ABC 中, A, B, C 所對應的邊分別為 a, b, c 滿足 b c, 且 b, a, c 成等差數 列, 已知 B(, 0), C(, 0), 假若 ABC 的面積為 3 5 3, 則 A 點座標為 答. ( 8 5, ± 3 5 3) (99 嘉義高工 ) 743. 已知四邊形 ABCD 中 AB = 6, BC = 5, CD = 5, ABC, BCD 皆為銳角, 且 sin ABC = 4 5, sin BCD = 4 5, 則 AD = (99 嘉義高工 ) 答 承上,BD = (98 嘉義高中 ) 答 菱形 ABCD 內接內 y = x 與 y = x 所圍區域,C D 在 y = x 上,AD BC 為鉛直 線若 A 之坐標為 (x 0, y 0 ), 則 x 0 + y 0 = (00 松山工農 ) 答. 或 已知 A(a, b), B( a, b), C(0, ) 為橢圓 Γ x + 4y = 上的三點, 若過 A, B, C 三點 的圓半徑為 r, 則 lim a 0 r = (00 北一女中 ) 答. 不存在或者, 解. AB 之中垂線為 x = 0; 而 AC 之中垂線為 ax + (b )y = a +b 4, 二者聯立得 y = a +b 4 b, 又 A 在 Γ 上, 故 y = 3 4 3b b = 3 ( b)(+b) 4 b,y 3, as b ;y 0, as b 因此 r 分別收斂至, 評. a, b 關係式會有, 故先不代換, 待所求 y 之表示式整理後, 從其形, 將 a 消去 而得較簡單的式子 747. 若兩直線在 y = ax 的頂點 O 互相垂直, 且分別與拋物線交於 A B 兩點, 若 OAB 的最小面積為 4, 則 a = (00 桃園高中 ) 答. a = ± 748. 已知正方形 ABCD 的兩頂點 A, B 在拋物線 y = x 上, 且 C, D 在直線 L y = x + 4 上求正方形的面積? (99 中壢高中 招 ) 答. 8 或 50

40 749. 設 P 為 ABC 所在平面上的任一點,G 為的重心, 試證 :P A + P B + P C = GA + GB + GC + 3GP (99 高雄市聯招 ) 750. 若與拋物線 y = x 及直線 y = 0 均相切之圓的圓心為 P (a, 3) 點, 則 P 點坐標為 答. a = 0, ±, 或 ± 解. 將 y = x 代入 (x a) + (y 3) = 9 得 x 4 5x ax + a = 0 相切 微分後亦為 0 x 3 5x a = 0 令 f = x 4 5x ax + a, g = x 3 5x a, r = f+ag x = x 3 + ax 5x 7a, r = f xg = 5x 3ax + a r 3 = 7g r x = 3x ax 30 r 4 = 3r + 5r 3 = 49ax + 6a 50 r 5 = 5r +a r 3 x = ( a )x + ( 45a a 3 ) 若 a = 0, 則 x (f, g), 若 a 0 r 4 = r 5 = 0 a = 0, ±, 或 ± a 75+3a 評. 這招為 去頭去尾 法, 好久沒用了 = 6a 50 45a a 3 6a 4 407a = 0 (98 全國聯招 ) 75. 已知平面上有三圓 C, C, C 3, 圓心分別為 (0, 0), (, 0), (4, 0), 半徑分別為,, 4, 若 L 為 C 與 C 3 的內公切線, 且 L 斜率為正,L 為 C, C 3 的內公切線, 且 L 斜率為負,L 與 L 的交點為 P (x, y), 令 x = p q r ( 其中 p, q 為有理數,r 為 沒有大於 的完全平方因數之整數 ), 求 p + q + r (99 東山高中 ) 答 在直角坐標平面上, 設點 P ( 3, 0) 且點 A 在 x 軸的正半軸 ( 包含原點 ) 上移動, 點 B 在 y 軸上移動, 且 BA P B = 0, 點 C 在直線 AB 上且滿足 CA + 3 BC = 0, 則點 C 的軌跡方程式為 (98 台北縣聯招 ) 答. y = 4x 753. 座標平面上單位圓 C x + y =, 一定點 A(, 0),Q 為圓 C 上一動點, 以 Q 為中 心, 將 A 點逆時針旋轉 90 得 P 點, 求動點 P 的軌跡方程式 (98 新港藝術 ) 答. ( x+y ) + ( x y + ) = 754. 設圓 x +y +dx+ey+4 = 0 與直線 x y 3k = 0 相切於點 (5, ), 則 (d, e, f) = 答. (d, e, k) = ( 6, 0, ) (97 士林高商 )

41 755. 設 A(, 0), B(b, 0) 為坐標平面上兩點, 其中 b > ; 若拋物線 Γ y = 4x 上有一點 P, 使 ABP 為正三角形, 則 b = (97 松山家商 ) 答. 5 平面組 圓系 756. 已知對所有的實數 k, 圓 C k x + y + (k 8)x (k + 6)y + (9 0k) = 0 都恆通過 A,B 兩點若 M(a, b) 為 AB 的中點, 則 a + b = (00 新北聯招 ) 答. 8 解. x + y 8x 6y + 9 = k( x + y + 0) (x 4) + (y 3) 6 = k( x + y + 0) AB x + y + 0 = 0 與圓 (x 4) + (y 3) = 6 交於 A, B 代入消去, 再由根與係數可得 M(6, ) 757. 坐標空間中四面體 ABCD 的頂點分別是 A(3,, ), B(3, 0, 0), C(0,, 0), D(0, 0, 6), 已知平面 E 通過 AB 與 CD 的中點, 且 A, B, C, D 四個頂點與平面 E 的距離皆相 等, 則平面 E 的方程式為 (98 師大附中 ) 答., 8 9 x 758. 在空間中, 通過直線 y = 3 + t = 3 t, t R, 且與球 x + y + z x + y 4 = 0 相切的平 z = 0 面方程式為 (98 嘉義高工 ) 答. x + y ± z = 設球面與球面 S x + y + z = 與球面 S (x ) + (y ) + (z ) = 9 交於一圓 C, 若球面 S 包含圓 C 且被 x 軸所截線段長為 4, 求球面 S 的方程式 (97 松山家商 ) 答. x + y + z 6x 6y 6z + 5 = 0 或 x + y + z + x + y + z 3 = 0 空間坐標 760. 空間中三點 A(,, ), B(, 3, ), C(,, ), 空間中與 A, B, C 三點等距離的所有 點形成圖形為 T, 則 T 中與 (0, 0, 0) 距離最近的點座標為 (99 嘉義高工 ) 答. ( 5,, 5 ) 3

42 76. 空間中三點 O(0, 0, 0), A(, 0, 0), B(0,, ), 今在 AB 上取兩點 P, Q 使得, 其中 P 點 x 坐標不小於 Q 點 x 坐標, 若 P 點對 xy 平面的垂足為 R, 四面體 OP QR 之體 積為? 答. 7 (00 基隆高中 ) 76. 設長方形 ABCD, 其中 AB = 3 與 AD = 4, 若沿對角線 AC 對摺, 則平面 ABC 與 平面 ACD 之二面角為 60, 求對摺後 BD 長度 (99 大安高工 ) 答 直角梯形 ABCD 中,AB//CD, D = 90, AB = AD = a, CD = 3a, 沿 BD 將梯形 折成 60 的二面角, 試求 : 此時 A 與 C 的距離 (99 中壢高中 ) 答. a x 過 P (,, 5) 之直線 L, 交 L = y 3 = z+3 x 於 A 點, 交 L 3 = y+ 4 = z 於 B 點, 試求出 B 點之坐標 (00 鳳新高中代理 ) 答. ( 3 5, 34 5, 5 ) 解. 過 L, P 決定一平面 E, 此平面與 L 之唯一交點即 B 令 d = (,, ), d = (,, 5) (, 3, 3) = (,, ) d d = (6, 0, 3) E x + z = 7 令 B( 3t, + 4t, t) 代入 E 得 t = 5 類題. 0 師大附中, B( 3 5, 34 5, 5 ) 765. 如圖正立方體 ABCD EF GH, 邊長為, 求直線 AF 與直線 DE 的距離 (00 鳳新高中代理 ) 答 若平面 ABC 與平面 BDC 垂直, 又已知 BC = 6, AB = AC, BAC = BCD = 90, BDC = 60, 則兩歪斜線 BC 與 AD 的距離為 (99 關西高中 ) 答 x 767. 正四面體 ABCD 中,A, B 落在直線 L = z x 上,C, D 落在直線 L = y 3 = z+ 5 上, 則正四面體 ABCD 的邊長為 (99 中正高中 ) 4 = y

43 答 x = 4 + t x = + s 768. 正四面體的四頂點落在兩歪斜線 L y = 3 t, s R 與 L y = + s, s R 上, z = 0 z = 求此四面體的稜長 (00 嘉義女中 ) 答 同上, 則此四面體四頂點中在第一卦限者為 (99 嘉義高工 ) 答. (,, ) 770. 有一個大正立方體由 7 個單位立方體所組成, 今有一個平面垂直且平分大正立方體內 部之對角線, 試問該平面與幾個單位立方體相交? (00 慈濟聯招 ) 答. 9 解. 不失一般性, 假設空間坐標中, 正立方之邊與三坐標軸平行, 且 A(0, 0), G(3, 3) 為兩頂點, 平面 x + y + z 9 垂直且平分 AG 考慮每個小立方體中, 與 AG 平行的對角線之兩頂點坐標代入 x + y + z 9 是否 異號異號表示相交 ; 同號表示不相交 可設兩頂點為 (x, y, z), (x +, y +, z + ) 且 x, y, z = 0,, 變號條件為 x + y + z =, 3, 4 數得共 9 個 77. 若地球方程為 x + y + z = 00, 且北緯 θ 所在的平面方程式為 x + y z = 6, 請問 南緯 3θ 所在的平面為何? (99 屏北高中 ) 答. x + y z = 有一四面體 ABCD,AB = 6, CD = 8, AC = BC = BD = 7, 則 AB 與 CD 的距離 為 答. 6 (98 玉井工商 ) 773. 設 A(0,, ), B(, 0, 3), C(,, 3), 求 ABC 的垂心坐標 (98 嘉義女中 ) 答. (0,, ) 解. AB = (,, ), 令 E 為 x + y z = 0 BC = (,, 0), 令 E 為 x + y = (,, ) (,, 0) = (,, 0), 令 E 3 為 x y = 三平面之交點即為垂心解得 (x, y, z) = (0,, ) 5

44 評. 三個未知數有時候有點麻煩, 向量解法見 00 台中二中 空間中三個點 A(0,, ), B(, 0, 3), C(,, 3), 則 ABC 的外心坐標為 答. (0,, 7 ) (98 嘉義高中 ) 解. BA = (,, ), E : x + y z = 5 BC = (,, 0), E : x + y = BA ( BC) = (,, 0), E 3 : x y = 三平面交點:(0,, 7 ) 另解. 向量之解法解 00 文華代理 775. 四面體 ABCD 中,M, N 分別為 AD, BC 的中點,MN AD 且 MN BC, 證 明 () AB = CD () AC = BD (97 大里高中 ) 776. 如圖, 在四稜錐 P ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 稜邊 P A 垂直底面, 二面角 P BC A 等於 90 () 試求 P A AB 的值 (97 竹北高中 ) () 求 P D 與截面 P AC 夾角 答. () () 30 6