工程问题 经典工程问题一 工程问题 : 由两个或两个以上单位 ( 或人 ), 共同去完成一件工作或一项工程, 计算需要完成任务的时间, 这一类应用题叫做 工程问题 题目中没有给出具体的总工程量, 通常用单位 表示 ( 即整体思想 ), 并用 工作时间 推算工作效率, 用一个分数单位 表示 n 基本数量关系与一般工作问题完全相同, 即总工程量 工作效率 = 工作时间 ; 总工程量 工作时间 = 工作效率 工程中的牛吃草问题二 工程问题中的 牛吃草 问题工程问题中的 牛吃草 问题是工程问题的特殊形式, 即题目条件里面有变量 所以解答此类问题首先应该将工程问题中的条件与 牛吃草 中的 原有草量 新生长的草量 和 牛吃草 一一对应, 而关键是确定工程问题里面的两个不变量, 仿照 牛吃草 问题即 : 原有量和增加率 工程中的牛吃草问题二 工程问题中的 牛吃草 问题所以类似的基本数量关系式有 : 增加率 =( 台 ( 人 ) 数 时间 - 台 ( 人 ) 数 时间 ) 时间差 ; 原有量 =( ( 台 ( 人 ) 数 - 增加率 ) 时间台 ( 人 ) 数 = 原有量 时间 + 增加率 ; 时间 = 原有量 ( 台 ( 人 ) 数 - 增加率 ) 通常把 牛吃草 的速度即减少的速度设为 份
例 ( 基础 ) 原计划由一支工程队修建一座公园, 预计需要 年零 6 个月 ; 现在为了加紧完工, 又调来了两支工程队, 已知两只工程队的工作效率相同, 那么需要多久才能完工? 例 原计划一个工程队铺设一条水管需要 8 天, 开工 6 天之后抽调走工程队中的人数去做其他的工作, 3 那么一共需要多少天才能建成这座大桥? 例 ( 基础 ) 批改一批考卷批考卷, 李老师单独做需要 小时, 王老师和李老师一起批改, 需要 8 小时, 那王老师单独批改这份考卷需要多少时间? 例 3 5 有一批书, 小明 9 天可装订, 小丽 0 天可装订, 4 6 现小明和小丽合作共装订了 6 天, 余下的由小丽来装订, 问 : 装订完这批书共用多少天?
例 3 ( 基础 提高 ) 满一个水池的水, 同时开 3 号阀门需要 5 小时 ; 同时开 3 5 号阀门需要 0 小时 ; 同时开 3 4 号阀门需要 小时 ; 同时开 4 5 号阀门需要 8 小时 同时开 3 4 5 号阀门, 放满这池水需要多少小时? 例 3 ( 尖子 ) 有一批工人完成某项工程, 如果能增加 4 个人, 则 0 天就能完成 ; 如果能增加 3 个人, 就要 天才能完成 现在只能增加 个人, 那么完成这项工程需要多少天? 例 4 ( 基础 ) 有一项工程甲队单独做需要 0 天时间, 甲 乙两队合做需要 4 天, 问 : ⑴ 乙队单独做需要多少天? ⑵ 如果甲先做 5 天, 然后两队合做, 还需要几天? 例 4 一批零件, 由甲 乙两人合作, 天可以完成 现在由甲先制作 4 天后, 两人再合作 6 天, 剩下的零件还需要乙单独制作 8 天才能完成 又知道甲在合作过程中一共生产了 44 个零件, 问乙共做了 个零件 3
例 5 ( 基础 ) 一件工作, 甲 乙 丙合作需 6 天完成, 乙 丙 丁合作需 5 天完成, 丙 丁 甲合作需 8 天完成, 丁 甲 乙合作需 4 天完成, 甲单独做需要多少天完成任务? 例 5 一件工程, 由甲 乙 丙三人分段去完成 甲先 做 8 小时, 完成 ; 乙继续做 小时, 完成余下 3 的 ; 丙再做 30 分钟完成全工程 如一开始就由 3 三人合做, 几小时可以完成? 例 6 ( 基础 ) 师徒二人加工一批零件, 师傅单独做 5 小时完成任务, 徒弟单独做 0 小时完成任务, 若两人合作, 当任务完成时, 师傅比徒弟多做 60 个, 这批零件共有多少个? 例 6 ( 第六届 中环杯 六年级复赛 ) 一项工程, 甲单独做 天完成, 乙单独做 0 天完成 现在甲 乙两人合作 8 天完成任务, 但这段时间里, 甲休息了 天 那么, 这段时间中乙休息了 ( ) 天 4
例 7 ( 基础 ) 有一水池, 装有甲 乙两个注水管, 下面装有丙管放水, 池空时, 单开甲管 5 分钟可注满, 单开乙管 0 分钟可注满, 水池装满水后, 单开丙管 5 分钟可将水放完 如果在池空时, 将甲 乙 丙三管齐开, 分钟后关闭乙管, 还要多少分钟可注满水池? 例 7 甲 乙 丙合作承包一项工程,66 天可以完成 ; 已知甲单独做所需天数与乙丙两人合作所需的天数相同, 甲乙合作所需的天数的 4 倍与丙单独完成这项工程所需的天数相同, 求乙 丙单独完成这项工程各需多少天? 例 8 ( 基础 ) 某工程如果由 A B C 三小队合干, 需要 4 天完成, 其中 C 小队的工作效率比 A B 两队的工作效率都高,; 由 B C D 小队合干, 需要 6 天完成 ; 由 A D 小队合干, 需 8 天完成 按 A B C D 的顺序, 每个小队干 天, 依次轮流干到工程完成, 第几小队收尾? 例 8 ( 华罗庚金杯 决赛试题 ) 完成某项工程, 甲单独工作需要 8 小时, 乙需要 4 小时, 丙需要 30 小时 现甲 乙和丙按如下顺序工作 : 甲 乙 丙 乙 丙 甲 丙 甲 乙, 每人工作一小时换班, 直到工程完成 问 : 当工程完成时, 甲 乙 丙各干了多少小时? 5
例 9 ( 基础 提高 ) 一个蓄水池有 个进水口和 5 个出水口, 水从进水口匀速流入, 当池中有一半的水时, 如果打开 9 个出水口,99 小时可以把水排空 如果打开 7 个出水口, 8 小时可以把水排空 如果是一满池水, 打开全部出水口放水, 那么经过多少时间水池刚好被排空 例 9 ( 尖子 ) 某建筑工地开工前运来一批砖, 开工后每天运进相同数量的砖, 如果派 5 个工人砌砖墙,4 天可以把砖用完, 如果派来 0 个工人,99 天可以把砖用完, 现在派若干名工人砌了 6 天后, 调走 6 名工人, 其余工人又工作 4 天才能砌完, 问原来有多少工人来砌墙? 6
. 答案 :( 基础 ) 现在又调来了两支工作效率相同的工程队, 相当于其工作效率增长了两倍, 所需时间应为原来的 年零 个月 =8 个月 ;8 3=6( 个 ) 月现在需要 6 个月就可以完工 答案 设整个工作量为 根据公式原工程队每天的工作效率为 8 8 开工 6 天, 已建成了全部的 抽调走 3 剩下的工程需 6 8 3 的人数, 工作效率只有原来的 为 3 3 ( ) 36 ( 天 ) 3 54 所以建成这座大桥一共需要 6+36=4( 天 ) 8 3 54. 答案 :( 基础 ) 设批改这批考卷的工作量为 ; 那么李老师的工作效率为 李老师和王老师的工作效率之和为 8 8 可以求出王老师的工作效率 8 4 那么王老师单独批改这份考卷需要 4 小时 4
3 由题目可知, 小明的工作效率为 9 ; 小丽的工作效率为 5 0 4 6 4 3 现在小明和小丽合作了 6 天, 完成了 ( ) 6 4 4 3 剩下的由小丽来装订, 需 ( ) 6 天 ; 4 4 所以装完这批书一共需要 天 3. 答案 :( 基础 提高 ) ( ) 3 为同时开 3 4 5 号阀门的放水效率 6 小时 5 0 8 8 6 ( 尖子 ) 设总工程量为, 增加 4 人后, 工作效率变为 0 如果增加 3 人, 那么工作效率为 所以 个人的工作效率为 0 60 如果只增加 人, 就是从工作效率为的工人中减少 个人, 0 此时这批工人的工作效率为 0 60 5 完成这项工程需要 5 天
4. 答案 :( 基础 ) 由题目可知, 甲单独做的工作效率为 甲 乙两队合做的工作效率为 ⑴ 可以求出乙队的工作效率为 4 4 0 0 3 0 所以乙队单独做需要 6 ( 天 ) 0 3 3 ⑵ 按照甲队的工作效率, 工作 5 天, 完成了工程的 5 0 那么剩下的 由甲 乙两队合做完成, 还需要 天 4 因为一批零件, 由甲 乙两人合作, 天可以完成 现在由甲先制作 4 天后, 两人再合作 6 天, 剩下的零件还需要乙单独制作 8 天才能完成 相当于甲乙合作了 6+4=0 天, 剩下的是乙单独工作了 8-4=4 天 所以就是乙单独工作的 4 天的工作量是甲和乙两人同时工作 -0= 天的工作量 所以甲和乙的工作效率是相同的, 根据题意已经知道甲在制作过程中一共生产了 44 个零件, 那么同理乙也做了 44 6 4=336 个零件
5. 答案 :( 基础 ) 由题目知, 甲 乙 丙的工作效率之和为 6 乙 丙 丁的工作效率之和为 5 甲 丙 丁的工作效率之和为 8 甲 乙 丁的工作效率之和为 4 将四个相加, 恰好是甲乙丙丁四队的工作效率之和的三倍, 89 89 四队工作效率之和为 ( ) 3 3 6 5 8 4 0 360 89 7 可以求出甲的工作效率 0 5 360 先求出甲的工作效率 8 3 再求出乙的工作效率 ( ) 3 3 9 最后求出丙的工作效率 ( ) ( ) 3 3 9 如果一开始三人合做 ( ) 小时 9 9 5 6. 答案 :( 基础 ) 师傅和徒弟速度比为 3:4, 所以产量比为 3:4; 假设师傅产量 3 份, 则徒弟为 4 份 ; 份为 60 个 ; 那么这批零件一共有 60 7=40 个
假设总工作量为, 则甲每天完成, 乙每天完成 0 甲 6 天完成了, 所以乙也应该完成 其需要 5 ( 天 ), 所以乙休息了 3( 天 ) 0 7. 答案 :( 基础 ) 8 三管齐开 分钟后的工作量是 ( ) = 5 0 5 5 8 ( ) 4分钟 5 5 5 由题目可知 : 甲的工作效率 = 乙丙工作效率之和 而甲乙丙三人的工作效率和为 6, 所以甲的工作效率为 甲乙的工作效率之和 = 丙的工作效率 4, 可求出丙的工作效率为 (4 ) 6 30 所以乙的工作效率为, 所以乙 丙单独完成这项工程各需 0 天和 30 天 6 30 0 8. 答案 :( 基础 ) 四队效率之和 循环 3 次还剩 3 3 ( ) 4 6 8 4 48 3 9 3 3 48 48 6
D= - ; A= 3-5 ;B+C= - 5 7 48 4 48 48 6 48 4 48 48 因为 C 大于 A B 两队的工作效率, 则 C> B 最大取 48, 9-5 - =- 所以工程是由第三小队收尾的 48 48 48 48 5 48, 三人各工作一小时完成这项工作的 47 8 4 30 360 47 3 因为 7, 所以而三人 8 4 30 360 360 各工作 7 个小时后的工作顺序应为甲 乙 丙, 3 0 - 所以这项工作最后由乙完成 360 360 360 乙完成最后需要 ( 小时 ) 360 4 5 所以工程完成时, 甲 8 小时, 乙 7 小时 5 丙 7 小时 9. 答案 :( 基础 提高 ) 本题是牛吃草问题的变形 设每个出水口每小时的出水量为, 则进水口每小时的进水量为 : (7 8-9 9) (8-9)=5, 半池水的量为 :(9-5) 9=36, 所以一池水的量为 7 如果打开全部 5 歌出水口, 排空水池所需要的时间为 7 (5-5)=7. 小时
( 尖子 ) 开工前运进的砖相当于 原有草量, 开工后每天运进相同的砖相当于 新生长的草, 工人砌砖相当于 牛在吃草, 所以设 名工人 天砌砖数量为 份, 那么每天运来的砖为 (5 4-0 9) (4-9)=6 份, 原有砖的数量为 (5-6) 4=6 份 现在派若干名工人砌了 6 天后, 调走 6 名工人, 其余工人又工作 4 天才砌完, 如果不调走 6 名工人, 那么这些工人共砌 0 天可砌完 6+6 0+6 4=0, 所以原有工人 0 0= 名