一 根据所给图表，回答下列问题。

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1 第一篇 第一章 重要思想 整除思想 一 整除概述 例. 答案 () 学生总数是 5 的整数倍 () 水果总筐数加上 8 后能被 0 整除 () 哥哥的年龄能被 整除, 哥哥和弟弟的年龄和能被 4 整除 (4) 足球数能被 8 整除, 篮球数能被 7 整除, 足球和篮球总数能被 5 整除 (5) 糖果总颗数能被 5 整除, 奶糖数能被 整除, 水果糖数能被 整除 (6) 甲派出所受理案件总数能被 00 整除, 刑事案件数能被 7 整除, 其他案件数能被 8 整除 例. 答案 A 类坐垫数可能是 : ;C 类坐垫数可能是 :008 5;E 类坐垫数可能是 :45 60;G 类坐垫数可能是 : ;I 类坐垫数可能是 : ;J 类坐垫数可能是 : ; 经销商订购的套数可能是 :008 二 常见应用 例. 答案 B 解析 :A C 选项奇数位与偶数位数字相减后不能被 整除,B D 中 B 项值较大, 故选 B 例. 答案 C 解析: 由题意, 这个六位数能被 9 整除, 排除 B D 六位数又能被 整除, 排除 A, 选 C 例. 答案 A 解析: 根据题意可得, 总人数能被 8 整除, 结合选项, 只有 A 满足题意 例 4. 答案 B 解析: 根据题意, 汉军人数应减去 能被 和 7 整除 减去 能被 5 整除, 只有 B 项满足题意 例 5. 答案 A=4,B=0 解析: 根据题意可知 A95B 能被 90 整除, 则 B=0, 再根据 9 的整除特性可得 A=4 中公教育学员专用资料

2 例 6. 答案 D 解析 : 由题意可知, 花的总量能被 整除, 排除 B C 选项 ; 又花的总量能被 7 整除, 只有 D 项满足 例 7. 答案 B 解析 : 根据 小李的苹果数就是小孙的 倍 可知, 两人的苹 果数之和是 的倍数, 选项中只有 B 满足 例 8. 答案 A 解析 : 由 如果乙少做 4 个, 甲就比乙做的零件数多了 倍 可知, 甲一天做的零件数能被 4 整除, 选项中只有 A 符合题意 例 9. 答案 D 解析: 根据 金在水中重量减轻, 银在水中重量减轻 9 0 可知, 合金中金的克数能被 9 除尽, 银的克数能被 0 除尽, 选项中只有 D 满足 例 0. 答案 B 解析: 由 女生原来占全组人数的 可知小组原来总人数能 被 整除, 由此可排除 A D, 由 调来 6 名女生, 就占了全组人数的一半 可知小 组原来总人数加上 6 以后能被 整除, 由此可排除 C 故选 B 例. 解析 C 解析 : 直接运用整除特性, 今年的牛是去年的 05%, 即 所以今年牛的头数一定可以被 整除, 直接可以得到答案为 40, 0 例. 答案 C 解析 : 北京大酒店的房间数可被 00 整除, 昆仑酒店的房间数 可被 8 整除, 因此可得, 北京大酒店和昆仑酒店的房间数分别为 00 和 60, 故选 C 例. 答案 B 解析 : 由 高三年级男女比例为 可知高三年级女生人数 是 的整数倍, 排除 A D 选项 又根据题意可知, 总的女生数减去高三年级女生数 后是 的整数倍, 只能选 B 例 4. 答案 D 解析 : 方法一, 甲基地原有蔬菜的吨数减去 544 吨, 应为 7 的 倍数, 选项中只有 D 项符合 方法二, 设现在乙基地内有蔬菜 4x 吨, 那么现在甲基地有 7x 吨, 丙基地有 500-x 吨, 且现在乙基地的蔬菜比丙基地多 800 吨,4x-500+x=800, 解得 x=400, 那么可 知原来甲基地有蔬菜 =44 吨 例 5. 答案 B 解析 :88 可以被 整除,6685 也可以被 整除, 因此, 二者的乘积肯定可以被 9 整除, 由此判断选择 B 中公教育学员专用资料

3 例 6. 答案 C 解析: 能够围成一个正三角形, 说明硬币数能被 整除, 则总币值 ( 化为分 ) 能被 整除, 选项中只有 元 (00 分 ) 符合题意 例 7. 答案 B 解析: 方法一, 每个汉堡包成本为 4.5 元, 利润为 6 元, 都可以被 除尽, 则要求的总利润也可以被 除尽, 选项中只有 B 项可以被 除尽 方法二, 这十天中, 卖出汉堡包 =900 个, 每个可以赚 =6 元, 共赚 900 6=400 元 未卖出汉堡包 5 4=00 个, 每个亏损 4.5 元, 共亏损 =450 元 因此这十天共赚 =0950 元 例 8. 答案 B 解析: 块钱 =00 分, 角 分 = 分, 设两种糖果数量分别为 x y, 则可列方程 5x+y=00,y 是 5 的倍数, 则 y=5, 所以 x=(00-5) 5=7, 即买了 7 块 5 分钱的糖果 例 9. 答案 B 解析: 设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为 x 人和 y 人, 那么有 5x+y=06 y 和 06 都能被 整除, 则 5x 能被 整除, 则 x 能被 整除, 据此可排除 C D 将 A 选项代入, 通过尾数即可验证 A 选项不满足方程, 选 B 三 经典例题. 答案 6 解析: 平均分为 7 分, 总分一定能够被 7 整除, 即总分能同时被 8 和 9 整除, 根据 8 的整除特性,46 能被 8 整除, 因此个位数为 4 个位为 4, 千位也为 4 时才能满足被 9 整除, 因此这个班的总分为 4464, 这个班共有 =6 名学生. 答案 C 解析: 由这个七位数能被 和 5 整除, 说明最后一位是 0 根据 的整除特性可排除 B D; 根据 的整除特性, 代入 A 选项验证, 不满足, 故选 C. 答案 A 解析: 由题目可知, 丁做的个数是 的倍数, 选项中只有 A 是 的倍数 4. 答案 B 解析:9. 元 =9 分,8=4 7, 故 4 和 7 均能整除 9 由 4 的整除特性可知 4 能整除, 则 处能填 0 或 4 或 8, 又根据 7 的整除特性可知, 900 和 944 均不能被 7 整除, 故 处为 8, 每支钢笔 =.5 元 中公教育学员专用资料

4 5. 答案 D 解析: 每个选项中都有因数 06, 其能被 4 整除, 它与其它数的乘积肯定也能被 4 整除, 排除 B C 选项 ; 又 A 选项的两个因数都不能被 整除, 但二者的乘积能被 整除, 显然是错误的, 故正确选项为 D 6. 答案 B 解析: 根据 平均每个班级 6 人 可知, 该校人数能被 6 整除, 则能同时被 4 和 9 整除, 排除 A D; 根据 百位数与十位数对调, 则全校人数比实际少 80 人 可知对调后数变小, 排除 C, 选择 B 7. 答案 A 解析: 题中告诉表示一周后的日期的 6 位数为 的倍数, 那么买衣服的日期加 7 能被 整除, 选项中只有 A 符合, 故选 A 8. 答案 D 解析: 由 剩下的 5 箱中饼干的重量是面包的两倍 可知, 剩下 5 箱的总重量是面包重量的 倍, 所以剩下 5 箱的总重量是 的整数倍 6 箱的总重量是 =0 公斤 因为 0 是 的整数倍, 且剩下的 5 箱也是 的整数倍, 所以卖出的一箱面包重量也必然是 的整数倍 则卖出的那箱面包重量可能是 9 或 7 公斤 当卖出的那箱面包重量为 9 公斤时, 剩下 5 箱的总重量是 0-9=9 公斤, 其中面包重量为 9 (+)= 公斤, 而在剩下的 5 箱中不能找到一箱或几箱的重量之和为 公斤, 因此卖出的那箱面包重量不是 9 公斤 当卖出的那箱面包重量为 7 公斤时, 剩下 5 箱的总重量是 0-7=75 公斤, 其中面包重量为 75 (+)=5 公斤, 结合剩下 5 箱的重量来看, 重量为 9 公斤和 6 公斤的两箱是面包 综上所述, 当天食品店购进了面包 7+5=5 公斤 选 D 9. 答案 D 解析 : 因为 小明今年的年龄正好是爸爸年龄的, 所以爸爸 8 年龄能被 8 整除, 排除 B C, 代入 A 项, 今年爸爸 小明的年龄分别为 40 5,8 年后他们的年龄分别为 48, 不满足题意, 故选 D 0. 答案 解析 : 比 多, 所以只有 4 个,5 个,6 个 这三种情 况 密码能被 整除, 即各位数字之和能被 整除, 计算可知一定是 6 个 和 个, 又能被 4 整除, 则末尾两位一定是, 所以密码为 中公教育学员专用资料 4

5 . 答案 B 解析: 方法一, 由 7 男 5 女搭配分组, 只剩下 8 名男员工 知, 员工总数除以 余 8, 排除 A C D, 选 B 方法二, 若将剩下的 40 名女员工按 9 男 5 女分组, 则缺 =7 名男员工, 将问题转化为盈亏问题, 则应分 (7+8) (9-7)=40 组, 则共有 (7+5) 40+8=488 名员工. 答案 C 解析: 见习人员是驾驶人员和船员总数的四分之一, 因此除陆战队员外的余下人数可以被 5 整除 ; 又船员总人数是驾驶员总数的 7 倍, 则除陆战队员外的余下人数又可以被 8 整除, 因此除陆战队员外的余下人数为 60 以内 5 和 8 的公倍数, 即 40 人 则陆战队员有 60-40=0 人. 答案 D 解析: 方法一, 因为第一天读了.5%= 8, 所以总页数是 8 的倍数, 结合选项, 只有 D 选项能被 8 整除, 故选 D 方法二,.5%= 8,7.5%= 8, 那么总页数是 ( 8-8 )=8 页 4. 答案 B 解析 : 设参加数学竞赛的同学有 x 人, 则 70 分以下的有 x ( ) 4 = x,x 为 00 多, 且人数必为整数,x 只能取 05, 所求为 4 人 答案 C 解析 : 剩余铅笔数是钢笔的 7 倍, 即剩余铅笔数为 7 的整数倍, 原有 40 支铅笔, 也为 7 的整数倍, 则卖出铅笔数也为 7 的整数倍, 每天卖出 0 支铅 笔 ( 不是 7 的整数倍 ), 则天数一定是 7 的整数倍, 选 C 6. 答案 C 解析 : 取出一粒白子后, 黑子比白子多的数能被 整除, 即所求 数 + 是 的倍数, 排除 A D 选项 ; 又放回白子, 取出一粒黑子后黑子比白子多的数 能被 4 整除, 即所求数 - 是 4 的倍数, 只能选 C 7. 答案 D 解析 : 根据题意可知人数减 5 可被 8 整除, 排除 B C 选项 ; 人 数减 8 可被 5 整除, 只有 符合, 答案选 D 5 中公教育学员专用资料

6 8. 答案 B 解析: 由 如果取出红球的, 黄球的 个 ; 如果取出红球的, 白球的, 则还剩 0 4 5, 黄球的, 白球的, 可知, 红球 白球分别能被 同时整除, 即能被 5 整除, 所以 红 + 白 能被 5 整除, 所以 60- 黄 能被 5 整 除, 只有 B 选项符合 9. 答案 A 解析 : 由甲队的人数是乙队人数的 70% 可知, 甲队人数能被 7 整 除, 排除 B D 选项 代入 C 选项, 则甲 乙两队人数都能整除 0, 则从乙抽出 40 人后, 两队相差的人数依然能整除 0, 与题意矛盾, 排除 C 选择 A 4 0. 答案 A 解析: 由题意可知, 甲 + 乙 + 丙 + 丁 + 戊 = 0, 甲 = 乙 + 丙, 乙 = 4 丁 + 戊, 将 代入 可得, 乙 + 丙 = 0, 即总金额减去 倍的丙后, 剩余的钱 数能被 整除, 代入选项, 只有 A D 两项符合, 当丙捐款 000 元时, 乙也捐款 000 元, 与 数额都不相同 矛盾 答案选 A 中公教育学员专用资料 6

7 第二章 特值思想 一 特值概述 例. 答案 A 解析 : 不妨令 a b c 都等于, 则算式等于, 选 A 例. 答案 C 解析 : 假设从东北捎回来 0 个苹果, 则甲乙两科室总共有 5 个 人, 甲科室有 个人, 那么乙科室有 个人, 每人可分得 5 个苹果 二 常见应用 例. 答案 B 解析: 因为 E 是平行四边形 ABCD 内任意一点, 所以可设 E 点 是平行四边形的对角线的交点, 如下图所示, 则 S EAB + S ECD = S 平行四边形 ABCD =0 例. 答案 D 解析 : 取数字, 则第一次运算得到, 第二次得到, 第 三次得到,, 故最后运算的结果是 a ab b ++ 例. 答案 B 解析: 不妨令 a=b=, 则 a 4ab b +4+ = 例 4. 答案 B 解析 : 采用特值法, a, a,, a 8 分别取,,,4,, 8, 可知 aa8 a4a5 例 5. 答案 C 解析 : 设被减数是 5, 减数是, 则差是, 则 (5++) 5= 例 6. 答案 D 解析 : 设桶的体积为, 空杯子的体积为, 最初甲桶中牛奶和 乙桶中糖水的体积均为 则第一次操作后甲桶中没有牛奶, 乙桶中牛奶和糖水的体 7 中公教育学员专用资料

8 积均为, 第二次操作后, 甲桶中糖水的体积为 0.5, 乙桶中牛奶的体积为 0.5, 即此 时甲桶内的糖水和乙桶内的牛奶一样多 例 7. 答案 D 解析 : 假设第一次投资总额为 0, 则 5 年期国债所占比重为 例 8. 答案 D 解析 : 设满杯纯牛奶的总量是 8, 则第一次喝完后剩下纯牛奶 量是 8, 第二次喝完后剩下纯牛奶量是 8, 第四次喝完后剩下纯牛 8-6 奶量是 8 =6, 故共喝了一杯纯牛奶总量的 8 65 = 8 例 9. 答案 B 解析 : 设花生总数是 60 粒, 则第一群猴子有 5 只, 第二群猴子 有 4 只, 第三群猴子有 只, 平均分给三群猴子, 每只可得 60 (5+4+)=5 粒 例 0. 答案 D 解析 : 设 A B 两地距离为 480 千米, 则甲车去的用时为 8 小 时, 回的用时为 6 小时, 往返时间为 6+8=4 小时 乙车往返的时间为 960 小时 甲 乙所用时间比为 4 = 例. 答案 B 解析 : 由题知甲每小时注水 只用乙注水, 注满需要 小时 6, 乙每小时注水 4-6 =, 即 例. 答案 B 解析 : 设降价前观众为 人, 则收入为 5 =0 元 降价后观 众数增加了一半, 即为 (+0.5)= 人, 而收入为 0 (+ 5 )=6 元, 故一张门 票为 6 = 元, 降价了 5-= 元 例. 答案 D 解析 : 设 人 天的工作量为, 则工作总量的一半为 0 =40, 要提前 0 天完成, 说明剩下一半的工作量要 8 天干完, 需要人数为 40 8 =0, 即要增加 0 人 中公教育学员专用资料 8

9 三 设特值的方法 例. 答案 A 解析 : 可用特殊值法, 即小明每天都去书店, 满足 第一次是 星期二, 第五次是星期六, 则最后一次去书店是星期四 例. 答案 C 解析 : 设原长方形的长宽均为 0, 则面积为 00, 长度都增加 0% 后, 长宽均变为, 面积变为,(-00) 00 00%=% 例. 答案 B 解析 : 设此项研发任务的工作量为 4 甲工程师的工作效率为, 乙工程师的工作效率为, 甲工程师干了一天完成的工作量为, 剩下的工作量由乙工 程师单独完成需 = 天, 所以一共需要 天 例 4. 答案 A 解析 : 设 AB 两地距离是, 则甲每分钟走 0= 0, 乙每分 钟走, 由于甲走了 40-0=0 分钟, 共走了 0 = 的路程, 则乙共走了 - =, 45 0 用时为 =5 分钟, 所以乙休息了 40-5=5 分钟 45 例 5. 答案 B 解析 : 由题意可知,0 与 80 的最小公倍数是 60, 设小贾带 了 60 元, 则签字笔每支 元, 圆珠笔每支 元 一支签字笔与圆珠笔共花 5 元, 那 么签字笔 圆珠笔可各买 60 5=7 支 例 6. 答案 D 解析 : 设甲乙丙的工作效率分别为 4 5,A 工程的工作量为 5=75,B 工程的工作量为 5 9=45, 共需要 (75+45) (+4+5)=0 天竣工 例 7. 答案 B 解析 : 方法一, 设步行的速度为, 则骑车的速度为 4, 公交的 速度为 8, 设从甲地到乙地的路程为 S, 则 的时间为 80 4=0 分钟 S S + =90, 则 S=80, 则骑车从甲地到乙地 8 方法二, 速度之比步行 骑车 公交 = 4 8, 则路程相同时, 时间之比步行 骑车 公交 =8, 坐公交从甲到乙再步行从乙到甲, 共 9 份时间对应实际量是 个半小时, 即 90 分钟, 则骑车从甲到乙需要 份时间, 对应实际量是 0 分钟 四 经典例题 9 中公教育学员专用资料

10 . 答案 B 解析 : 由题意, 对任意的 x 等式都成立, 取 x=0, 有 n =6, 又 n >0, 所以 n=6; 取 x=, 有 m=6 m-n=0, 故选 B. 答案 D 解析 : 不妨设两条直角边的长都为, 则面积为 的平方为 + =, 斜边的平方除以面积所得的商是 =4 =, 斜边. 答案 B 解析 : 设两队总人数是 5, 则两队劳模总人数是 5 40%=4, 则 甲队人数是 5 (4+) 4=0, 甲队劳模人数是 4 (+4) =6, 所求为 %=0% 4. 答案 A 解析 : 如果设普通水稻在这块试验田的平均产量为, 则试验田的 产量为, 那么的试验田中超级水稻的产量为.5- = 5 6, 故超级水稻在整块试 5 验田的平均产量为 6 =.5, 即超级水稻和普通水稻的平均产量之比为.5 =5 5. 答案 B 解析 : 甲 乙 丙三组人数比为 0 8 7, 设分别有 0,6,4 人, 共 50 人, 则男队员有 0 人, 女队员有 0 人 根据各组男女比例关系列表如下 可知丙组男 女队员人数比为 答案 C 解析 : 根据 第三堆里的黑子占全部黑子的五分之二, 设全部黑 子数量为 5 份, 则第三堆的黑子数量为 份 再假设第一堆全是黑子, 第二堆全是白 子, 则第一堆的黑子的数量即每堆棋子的数量为 份, 由此可得第二堆有白子 份, 第三堆有白子 份, 综上可知, 三堆共有白子 4 份, 棋子 9 份, 因此白子占全部的 7. 答案 A 解析 : 根据题意可得投资额中甲 ( 乙 + 丙 )=6 5 设项目的资 金需求值为, 则总投资额为 (+ )=6, 甲 乙 丙三人的投资额之和是 4 9 (- )=, 则丁投资额是 6-=5, 丙投资额是 5 60%=, 甲投资额是 (5+6) 6=6, 乙投资额是 -6-=, 因此乙的投资额是项目资金需求的 = 6 中公教育学员专用资料 0

11 8. 答案 A 解析: 设 A 区的面积是, 则 A B C D 四个区面积之和是 0, 则 B 区的面积是 0 0=,C 区的面积是 0 =0,D 区的面积是 0---0=5,A B C 三区的面积之和是 D 区的 (++0) 5= 倍 9. 答案 C 解析: 设高收入员工人数为 人, 则一般员工为 4 人, 设 00 年年末一般员工的工资为 元, 则高收入员工工资为 6 元, 总工资为 4+6 =0 元 将题干中的数据填入下表中 : 可知高收入员工收入为 (0-.5 4) =0 元, 为一般员工的 0.5=4 倍 0. 答案 D 解析 : 由题意, 三位同事去单位所花时间分别为 分钟, 设他们的路程为 80, 则他们的速度比为 = 答案 B 解析 : 设小李的效率为 5, 则小王的效率为 6 工作总量为 (6-)=60, 故小王一个人完成这项工作, 需要 60 6=0 天, 选 B. 答案 B 解析: 设全部钢材有 0 份, 则第一车间每天用 份, 第二车间每天用 份, 第三车间每天用 [0 4-(+) ] =0.75 份, 故剩下的钢材还够第三车间 用 =0 天. 答案 A 解析: 由 丙工作 4 天和甲工作 5 天的工作量相当 可设, 甲的效率是 4, 丙的效率是 5, 又甲乙的工作效率相同, 所以乙的效率是 4 甲乙丙三人共同工作 0 天完成这项工程, 所以工作总量为 0 甲乙丙三人一天完成的工作量是, 剩下的工作量为 7,7 5=.X, 也就是丙还需要 4 天才能够完成 4. 答案 D 解析: 由于丙队 天的工作量与乙队 4 天的工作量相当, 不妨假设丙队每天的工作量为 4, 乙队每天的工作量为, 则甲队每天的工作量为 这项工程总的工作量为 (4++) 5=50, 则工作 天后, 剩下的工作量为 50-(4++) -(+) (-)=0, 正好让甲 乙 丙三队共同工作 天 5. 答案 B 解析: 方法一, 设乙的速度是 5, 则甲的速度是 4, 丙的速度是 6 甲比乙早 0 分钟出门, 却晚 5 分钟到达, 所以甲比乙多花 5 分钟 设家到学校的路 中公教育学员专用资料

12 程是 S, 由题意得, S S 5 4 5, 解得 S=00 丙七点钟出门, 步行到学校需要 00 6=50 分钟, 即 7 点 50 分到学校 方法二, 甲乙丙三人的速度之比为 4 5 6, 则三人都从家到学校所花的时间之比为 5 0 甲比乙早 0 分钟出门, 却晚 5 分钟到达, 即甲比乙多花 5 分钟, 丙到学校花费时间为 5 (5-) 0=50 分钟, 即丙在 7 点 50 分到学校 6. 答案 C 解析: 方法一, 设甲的效率为, 则乙 丙的效率均为, 甲 丙合作与乙 丙合作的效率比为 (+) (+)=5 6, 时间比为 6 5, 因此, 甲 丙合作需要 6 (6-5) 6=6 分钟, 甲 乙 丙的效率和为 ++=8, 故工作时间为 5 6 8=5 分钟 = 小时 5 分 方法二, 设甲的效率为, 则乙 丙的效率均为, 则甲 丙合作的效率为 +=5, W W 乙 丙合作的效率为 +=6 设工作总量为 W, 则 - =6, 解得 W=080, 则甲 5 6 乙丙三人一起工作, 需要的时间为 080 (++)=5 分钟 = 小时 5 分 7. 答案 C 解析: 设客车速度为 40, 货车速度 0, 总路程为 70 份, 则相遇时客车走了 40 份, 货车走了 0 份 相遇后, 客车速度变为 40 (-0%)=6, 货车速度变为 0 (+0%)=6, 则当客车到达西车站时, 又走了 0 份路程, 货车也走了 0 份, 货车距离东车站还有 40-0=0 份路程, 即 7 公里, 因此 份 =.7 公里, 两站距离为 70.7=9 公里 8. 答案 B 解析 : 设 条生产线 个小时生产量为, 则工作总量为 40=40, 开动 条生产线生产 8 小时后, 剩余工作量为 40-8=, 要在 8 小时内完成任务, 需要生产线 8 =4 条, 至少增加 条 9. 答案 A 解析 : 假设每个工人每天工作量为, 则这条路的工作量为 00 + (00-0) 5+(00-0-0) (--5)=800, 如果要在 0 天内修完, 则要安排 800 0=80 名工人 0. 答案 C 解析: 设甲队每天修的路程为, 则总路程为 6, 乙队每天修 (6-9 ) 6=.5 设甲 乙合修了 x 天, 则 (+.5)x+.5x=6, 解得 x=9, 故从开始到完成修了 9+9=8 天 中公教育学员专用资料

13 . 答案 B 解析 : 由 甲火车 4 分钟所走的路程等于乙火车 5 分钟所走的路 程 可设甲 乙速度分别为 5 4 相遇时乙火车共行驶 小时, 设甲火车共行驶 x 小 x 5 时, 则依题意有 : =6, 解得 x=, 即甲火车共行驶了 45 分钟, 所以甲在 8 时 分出发 中公教育学员专用资料

14 第三章 比例思想 一 比例概述 例. 答案 解析:4 份对应, 则 7 份对应 例. 答案 0 解析:B C 分别是 7 份 份, 和为 0 份对应 50,A 是 4 份, 则对应 0 例. 答案 80 解析:A B 分别是 4 份 7 份, 差为 份对应 4,B C 的和是 0 份, 则对应 80 例 4. 答案 4 解析: 两个比例里都有 B, 且 B 的份数前后都是 7 份, 则 A B C=4 7,A 比 C 多 份对应,B 是 7 份对应 4 例 5. 答案 解析: 两个比例里都有 B, 统一 B 的份数 : A B C 则 A B C= 5,A 比 C 少 份对应,B 是 份对应 例 6. 答案 6 天 解析 : 工作总量一定, 工作效率与工作时间成反比 甲与乙的效率之比是 7, 则甲与乙的时间之比是 7, 甲比乙单独做时间多 4 份对应 8 天, 则乙单独做时间是 份对应 6 天 二 常见应用 例. 答案 解析: 三个班栽树的数量比为 , 共 40 份, 故一份对应 80 40= 棵, 则各应栽树 7=94, 45=90, 48=96 棵 例. 答案 D 解析 : 由题意可知第一 二 三组的人数之比是 , 二 三组人数之和为 0 份, 故 0-5=5 份对应 5 人, 因此六年级参加植树的共有 5 5 (5++8)=05 人 中公教育学员专用资料 4

15 例. 答案 A 解析 : 甲 ( 乙 + 丙 + 丁 )=, 乙 ( 甲 + 丙 + 丁 )= 4, 丙 ( 甲 + 乙 + 丙 )=4, 设总销售额为 5 份, 则乙 ( 甲 + 丙 + 丁 )=, 则甲 乙 丙 丁 = 4 6,6 份对应实际量是 60 个, 甲乙丙一共 9 份, 对应实际量是 90 个 例 4. 答案 A 解析 : 由题意可得, 第一次运完后, 已运 全部 = 8, 第二次 运完后, 已运 全部 =5 (5+7)=5, 全部蜂窝煤的量是不变量, 将全部量的份 数前后设成相同, 设成 4 份, 则第一次运完后, 已运 全部 =9 4, 第二次运完后, 已运 全部 =0 4, 已运增加的 份对应的实际量是 50 块, 则还有 50 (4-0)=700 块蜂窝煤没有运来 例 5. 答案 D 解析 : 打印时间相同, 则打印的页数比等于两人的打印速度比, 小王和小李的打印速度比为 (+50%) =, 则小王一共打印了 900 =540 页, 则他每小时打印 540 6=90 页 例 6. 答案 B 解析 : 由题意可知,A 城市与 B 城市每立方米的水费之比为 5 4, 所以同样水费下用水量之比为 4 5 已知在 B 城市比在 A 城市可多用 立方米水, 那么 份是 立方米, 即在 A 城市交 0 元可用 4 =8 立方米水 所以 A 城市水费为 0 8=.5 元 / 立方米 例 7. 答案 C 解析 : 根据题意, 甲 乙两个社团工作效率之比为, 工作 量一定, 时间与效率成反比, 则甲 乙社团所用时间之比为, 甲比乙多两份, 而 实际甲社团所用时间比乙社团所用时间多 80-0=60 分钟, 即 份对应 60 分钟, 份对应 80 分钟, 乙社团用 80 分钟制作 80 把折扇, 即每小时制作 60 把折扇 故选 C 例 8. 答案 C 解析 : 步行与骑自行车速度之比为, 骑自行车与公共汽车 的速度之比为 5, 统一比例可得, 步行速度 骑自行车速度 公共汽车速度 = 6 5 路程相同时, 公共汽车速度与小轿车速度比为时间的反比 5 8, 统一比例为 5 4, 因此得到步行速度与小轿车速度比为 4, 小轿车速度为 0 =60 千米 / 时, 因此步行每小时为 5 千米 例 9. 答案 B 解析 : 原计划速度与实际速度之比为 5=4 5, 路程不变, 则原计划飞行时间与实际飞行时间之比为 5 4, 减少的 份时间对应实际量 0 分钟, 则原计划飞行时间为 5 0=50 分钟, 机场到灾区的距离是 50=800 千米 5 中公教育学员专用资料

16 三 经典例题. 答案 C 解析 : 男生的 9 9, 故女生有 =7 人 等于女生的, 则男生和女生的比例为 = 答案 C 解析 : 甲乙的体重比为 4, 乙丙的体重比为, 所以甲乙丙 的体重比为 8 6 9, 故甲体重为 0 (9-8) 8=80 千克 答案 B 解析 : 第一根 第二根 =. =6 5, 第一根 第三根 = 5=6 5 所以第一根 第二根 第三根 =6 5 5 第二根长 440 (5-5) 5=0 厘米 ; 第一根长 0.=64 厘米 ; 第三根长 0 5 =660 厘米 截得的小段长为 64 0 和 660 的最大公约数 44, 第一根铁丝截得 64 44=6 根 4. 答案 D 解析 : 由题意可得 : 甲 ( 乙 + 丙 )= 5, 乙 丙 =6 5, 将乙丙 捐款数之和对应的份数前后设成相同, 都设成 55 份, 则甲 ( 乙 + 丙 )= 55, 乙 丙 =0 5, 则甲 乙 丙 = 0 5, 丙班比甲班多 份, 对应的实际量是 00 元, 三个班捐款总数是 +0+5=77 份, 对应的实际量是 7700 元 5. 答案 A 解析 : 火硝 总质量 = 4, 硫磺 总质量 = 0, 将总质量的份 数前后统一成 0 份, 则总质量 火硝 硫磺 木炭 =0 5, 黑火药 0 份对 应的实际量是 0 千克, 则木炭 份对应的实际量是 48 千克 6. 答案 B 解析 : 大 中 小型车的数量比为 0 以 0 辆大型车 辆中型车 辆小型车为一组 每组小型车收费比大型车多 0-0 0=0 元 实际多 70 元, 说明共通过了 70 0=9 组 每组收费 =80 元, 收费总额为 9 80=790 元 7. 答案 B 解析 : 客车速度 货车速度 =4, 那么同样时间里路程比 =4, 也就是说客车比货车多行了 份, 多 0 千米 ; 所以客车走了 0 4=0 千米, 两城相 距 0 =40 千米 中公教育学员专用资料 6

17 8. 答案 B 解析 : 由题意可知, 三种动物的速度比为狐狸 兔子 松鼠 = =4 6 一分钟松鼠比狐狸少跑 4 米, 则兔子每分钟跑 4 (4-) 6=84 米, 半分钟兔子比狐狸多跑 84 (- ) =4 米 9. 答案 D 解析 : 第一次赛跑, 到终点时, 乌龟花了 0 分钟, 兔子花了 0-00=0 分钟, 两者路程相等, 速度和时间成反比, 则乌龟和兔子的速度之比是 6 第二次赛跑, 当兔子到达终点时, 两者时间相等, 则路程与速度成正比, 这时乌龟和兔子跑的路程之比为 6, 兔子跑了 00 米, 则乌龟爬了 00 6=00 米, 离终点还有 000 米 0. 答案 C 解析: 由题意可知, 甲 乙单独完成的时间之比为 4, 则效率之比为 4 二人一起干, 完成任务时, 甲 乙二人完成的工作量之比为 4, 份对应 6 棵, 则这批树共有 6 (+4)=5 棵. 答案 D 解析: 工作效率之比为 50 60=5 6, 则工作总量相同时, 工作时间之比为 6 5, 相差的一份时间对应的实际量是 5 天, 则每天加工 50 双需要加工 0 天, 这批订单一共 50 0=500 双. 答案 C 解析: 根据甲 乙效率比可知, 相同时间, 乙修 600 米, 甲修 00 米 即甲修 00 米所用时间比其修 500 米所用时间少 0 天, 故甲修 00 米用 0 天, 每天修 00 0=0 米. 答案 B 解析 : 从爸爸骑车出发到追上小明, 爸爸行了全程的 :- 0 = 0 7 ; 小明行了全程的 : = 5 根据时间相同, 路程与速度成正比, 爸爸骑车与小明 7 中公教育学员专用资料

18 7 步行的速度比是 =7 剩下的路程, 骑车与步行的时间比是 7, 那么 剩余 0 5 路程的步行时间是 : - 7 =7 分钟, 所以, 小明步行全程的时间是 70 分钟 4. 答案 B 解析: 车速提高, 现速 原速 =0 9, 则现时 原时 =9 0, 9 提前了 份时间, 对应.5 个小时, 则以原速行驶需要 5 个小时,900 分钟 行驶 80 千米, 车速提高, 现速 : 原速 =7 6, 则现时 : 原时 =6 7, 提前一份 6 时间对应 小时, 则后半段原速行驶需要 7 60=700 分钟, 则 80 千米对应 =00 分钟, 所以 900 分钟对应 60 千米 5. 答案 B 解析 : 工作总量一定, 效率与时间成反比, 新旧施工方法效率之 比是 (+50%) =, 所以剩余工作量新旧施工方法所用时间之比是 提前 天, 则一份是 天, 所以原计划共用 4+=7 天 修路 00 米后采用新施工方案, 可比 原计划提前.5 天完工, 所以原计划修完剩余的公路需要.5 =4.5 天, 即.5 天修了 00 米, 故原计划每天修路 00.5=80 米, 公路全长 7 80=560 米 6. 答案 B 解析 : 每天多种 5%, 原效率与提高后效率之比为 4 5, 工作总 量不变时, 原工作时间与效率提高后工作时间之比为 5 4, 减少的 份时间对应实际 量 9 天, 则用原效率完成这项工作的时间是 5 9=45 天 种植 4000 棵之后, 对于剩下 的植树工作, 工作效率提高了, 原效率与提高之后的效率之比是 4, 则工作时间 之比是 4, 减少的 份时间是 5 天, 则用原效率完成剩下的植树工作时间是 4 5=0 天 故用原效率植树 4000 棵用时 45-0=5 天, 共有 =700 棵 7. 答案 B 解析 : 根据题意, 游览速度与正常行驶速度之比为 4 5, 根据路 程相同, 速度与时间成反比, 则两者所用时间之比为 5 4, 多用 份时间对应 4 分 中公教育学员专用资料 8

19 钟, 则游览总时间为 4 5=0 分钟 行驶 66 千米, 提速后的速度与游览速度之比为, 两者所用时间之比为, 少用 份时间对应于 8 分钟, 因此先行驶的 66 千米所用时间为 0-8 =66 分钟, 则游览速度为 000 米 / 分钟, 正常行驶的速度为 50 米 / 分钟 =75 千米 / 小时 9 中公教育学员专用资料

20 第四章 盈亏思想 一 盈亏概述 例. 答案 () ;() ;() 解析:() 全班平均分在男 女生平均分之间 ;() 四个自然数的平均数在最大数和最小数之间 ;() 根据浓度的混合特性可知, 混合后的溶液浓度应该介于原来两种溶液浓度之间, 因此, 必然有一种溶液的浓度低于 %, 另一种溶液的浓度高于 5% 例. 答案 ()75 分, 相等 ;()76 分, 相等 解析 :() 全班平均分是 (70+80) =75 分, 与全班平均分相比, 男生少的总分为 5 分, 女生多的总分是 5 分, 相等 ;() 全班平均分是 ( ) (+) =76 分, 与全班平均分相比, 男生少的总分为 (76-70)= 分, 女生多的总分为 (80-76)= 分, 相等 例. 答案 C 解析: 方法一,00 分比平均分高 00-86=4 分, 部分平均分 84 分比整体平均分低 分, 则前期共测验了 4 =7 次, 说明共测验了 8 次 方法二, 设这一次是第 x 次测验, 根据题意有 86x-84(x-)=00, 解得 x=8 二 常考考点 例. 答案 C 解析: 第四个数比前四个数的平均数多, 所以前三个数的平均数要比前四个数的平均数少, 即前三个数的平均数是 7, 六个数的平均数是 7, 所以后三个数的平均数是 7 例. 答案 B 解析: 由题意, 乙 丙 丁 戊四人平均数是, 丁 戊二人平均数是 9, 则乙 丙二人平均数是 5, 又甲 乙 丙三人平均每人做了 8 个, 故甲做了 8- (5-8)=4 个 例. 答案 鸡 5 只, 兔子 0 只 解析 : 若这 5 只动物都是鸡, 则一共有 5=0 只脚, 实际有 50 只脚, 则有兔 (50-0) (4-)=0 只, 有鸡 5-0=5 只 例 4. 答案 A 解析: 如果全做对, 可以得到 50 分, 然而每做错 ( 包括不做 ) 一道题损失 +.5=.5 分, 则做错 ( 包括不做 )(50-00).5=0 题 中公教育学员专用资料 0

21 例 5. 答案 () ;()78;()79 解析 :() 部分平均量总体平均量交叉作差对应量 男生 70 4 女生 男生与女生人数之比是 4 6= () 设全班平均分是 x 分 部分平均量总体平均量交叉作差对应量 男生 x x 女生 80 x x =, 解得 x=78 x 70 4 () 设女生平均分是 y 分 部分平均量总体平均量交叉作差对应量 男生 70 y 女生 y 5 5 y 75 0 =, 解得 y= 例 6. 答案 0 升 解析 : 假设浓度为 0% 和 0% 的用量分别是 份 份, 设 浓度为 50% 的溶液用量是 x 份, 则 部分平均量总体平均量交叉作差对应量 第一部分 0% 高 4% 第二部分 0% 6% 低 6% 第三部分 50% 低 6% x 根据多的总量等于少的总量, 可得 4%x=6% +6%, 解得 x= 即浓度为 0% 0% 和 50% 的溶液的用量之比为, 混合溶液总量是 50 升, 则浓度为 50% 的溶 液的用量是 0 升 中公教育学员专用资料

22 三 经典例题. 答案 D 解析: 取 00 元分别与这四个上调工资对比, 分别是多 54 元 少 9 元 少 54 元 多 9 元, 多的总量与少的总量相等, 则现在四人的平均基础工资是 00+00=0 元. 答案 A 解析: 前后总分相差 97-7=4 分, 平均分相差 90-87= 分 则这组试卷份数为 4 =8 份. 答案 B 解析: 由题意可知, 前十名的平均分比其他 40 人的平均分高 分, 与全班平均分相对比, 前十名多的总分与其他 40 人少的总分相等, 则前十名平均分比全班平均分多的分数 其他 40 名平均分比全班平均分少的分数 =4,5 份对应实际量是 分, 则其他 40 个学生平均分比全班平均分低的 份对应实际量是.4 分 4. 答案 B 解析: 假设 50 道判断题全对, 则不做或做错的题数为 (50-8) (+)=7 道, 做对的题数为 50-7= 道, 比不做或做错的多 -7=6 道 5. 答案 B 解析: 如果二分球和三分球都按三分球计算, 则两种进球共计得分 4 =7 分, 但实际上共得 60-8=5 分, 相差 7-5=0 分, 一个二分球算作三分球, 多算 分, 总共多 0 分, 可知二分球共 0 =0 个, 因此选 B 6. 答案 A 解析: 假设 4 件全是背心, 则进价为 40 元, 衬衫有 (400-40) (90-0)= 件, 故衬衫总进价为 90=80 元, 背心总进价为 =0 元, 衬衫总进价比背心总进价低 40 元 7. 答案 D 解析: 由题意, 商店老板给田老师 8 折优惠, 故打折后每个篮球少付 90 (-0.8)=8 元, 每个足球少付 80 (-0.8)=6 元 假设 56 个都是足球, 则共少付 6 56=896 元, 因此购买篮球的个数为 ( ) (8-6)= 8. 答案 D 解析: 方法一, 黄球和棕球看成一个球, 打进这样的一个球得 分,0 次都打进这样的三分球总得分是 0 分, 但是现在是 46 分, 多了 6 分, 这样的一个三分球如果换成蓝球就多得 分, 共换成蓝球的个数是 6 =8 方法二, 设打进蓝球的次数为 x 打进黄球和棕球的次数分别为 y 由题意可列方程组 : x y 0 x 8, 解得, 答案选 D 5x 6y 46 y 中公教育学员专用资料

23 9. 答案 D 解析: 根据题意, 可以先设甲的单价为 a 元, 乙的单价为 b 元, 则可以得出 (-0%) a=9.6,(+0%) b=9.6, 解得 a=,b=8 价格调整后甲食品每千克减少了 0%=.4 元, 乙食品每千克增加了 8 0%=.6 元, 若全是乙食品, 则总值增加了.6 00=60 元, 实际总值减少 40 元, 故甲食品有 (60+40) (.4+.6) =75 千克 0. 答案 D 解析: 若题目都做对的话总共可得分 +++ +=78, 但实际得到 60, 则实际做错的题号和应为 (78-60) =9 又因为 9=6++=5++=4++, 所以小明最多做错 道题, 即至少做对 9 道题. 答案 A 解析: 蜻蜓和蝉都是 6 条腿, 计算腿的数量时将它们作为一个整体考虑, 因此蜘蛛有 (8-6 8) (8-6)=5 只, 则蜻蜓和蝉共有 8-5= 只 蜻蜓有 (8- ) (-)=5 只, 蝉有 -5=8 只. 答案 C 解析: 由十字交叉法可知 : 可知男女比例为 7, 总人数为 0 份, 由总人数为 00 人可知每份对应 0 人, 男员工比女员工多 4 份, 即 40 人. 答案 B 解析: 设剩下的场次为 x, 利用十字交叉法 : 40% 5% 60% 75% 0% 5 5% 已经进行的比赛场次与剩余场次之比为 =, 解得 x=0, 故剩余 0 场 x 0% 4. 答案 B 解析: 大车和小车共运了 40 6=40 趟 8 6-= 6 8-6= 中公教育学员专用资料

24 由此可得大车和小车运的趟数之比为, 共 5 份, 对应 40 趟, 一份对应 8 趟, 大车比小车多运 份, 因此多运了 8 趟 答案 B 解析: 合金共减轻了 - =0 利用十字交叉法: 00 甲金属 乙金属 = = 0 0 则甲 乙金属的重量之比为 相差 0 克 =0 90, 合金净重 00 克, 则甲乙金属 答案 D 解析 : 根据甲乙两部门的平均年龄可得 : 甲部门 :8 6 0 乙部门 :4 8 则甲乙两个部门人数之比为 6 8= 4, 已知甲部门有 75 人, 故两部门总人数为 75 (+4)=75 人 根据男女员工的统计可得 : 男员工 : 0 女员工 :7 则男女人数之比为, 因此甲乙两个部门的男员工为 75 =05 人 中公教育学员专用资料 4

25 7. 答案 D 解析 : 设 A B 混合后的浓度为 x%, 利用十字交叉法 : 0% (5-x)% 000 5% x% 5% =600 5 x = =, 解得 :x= 设 B 的浓度为 b%, 再次利用十字交叉法 : b% ( -b)% 00 0 % 0 b% (b- )% b =, 解得 :b=5 所以 A 溶液的浓度为 0% 0 b- 8. 答案 B 解析 : 设加入浓度为 50% 的盐水总量为 x 克, 则 0% 5% 00 5% 50% 5% x 5% 00 =, 解得 x=60, 每次加入不超过 4 克, 则最少要加 5 次 5% x 9. 答案 A 解析 : 利用十字交叉法 : 红笔 85% % -8%=8% 黑笔 80% % 即若按原价购买, 红笔的总钱数与黑笔的总钱数之比是 设买了红笔 x 支, 5x 则黑笔 (66-x) 支 可得 =, 解得 x=6 ( x) 5 中公教育学员专用资料

26 0. 答案 A 解析 : 本题为平均量混合问题, 用十字交叉法可得 : 桌子 0% 0% 4 5% 椅子 -5% 5% 可得到桌子和椅子去年的批发量之比为 4, 从而求得今年桌子和椅子的批发量 9 之比为 4 (+0%) (-5%)=96 9, 因此椅子今年批发出 575 =855 件 5 中公教育学员专用资料 6

27 第二篇 高频题型 第一章 计算问题 一 数论计算 例. 答案 B 解析 :75 与 600 的最大公约数为 75,600 75=8, 两端不安装 吊灯, 则中间需要安 8-=7 盏灯 例. 答案 A 解析 : 由题意可知每个办公室植树总数应是 的公倍数, 为使职工人数最少, 则植树总数要最少, 即 的最小公倍数, 为 60 三个办公 室的职工人数分别为 5 0, 总数为 7 例. 答案 B 解析 : 设分到 人间的有 x 人, 分到 人间的有 y 人, 则 x+y=9, 根据奇偶性可知 x 必然为奇数, 则 x 必然为奇数,x=,,5 时, 能满足题意, 故有 种不同安排方式 例 4. 答案 A 解析 : 除了 以外的质数全是奇数, 如果 7 个数全是奇数的话, 他们的和不会是 58 这个偶数, 所以 7 个数中必然有, 而 是所有质数中最小的一个 例 5. 答案 A 解析:0= 50,0 的所有因数中, 只有 50 含有, 故原来的积应为 4 508=0, 答案为 A 二 数列计算 例. 答案 D 解析: 题中是以 为首项, 以 4 为公差的等差数列 +(n-) 4=6, 计算可得 n=6 例. 答案 D 解析: 本题实质是一个公差为 的等差数列求和问题 第一层有 6 根, 最下面一层有 6+5-=0 根, 共有 (6+0) 5 =450 根 例. 答案 C 解析: 要想巧克力的数量最少, 而且每个人分到的巧克力块数还要都不同, 那么尽量让每个人分到的巧克力最少, 由题意知, 分得最少的那个人最少可以分到 块, 分得第二少的人可分 块, 依此类推, 可知,0 个人分得巧克力数量成等差数列, 那么这盒巧克力至少有 ++ +0=55 块 7 中公教育学员专用资料

28 例 4. 答案 D 解析 : 编号 ~9 的盒子里的糖数组成一个等差数列, 则 9 a 5 =5, a 5 =9 又 a =, 则公差 d= a 5 a 5 9 = =8, 即后面的盒子比它前一个盒子里 5 多放 8 粒糖 例 5. 答案 B 解析 : 根据题意可得, 第 4 名的成绩为 86 分, 第 名的成绩为 70 =90 分, 那么第 名的成绩为 (86+90) =88 分, 所以前 5 名的总分为 5 88=440 分, 选择 B ( 例 6. 答案 B 解析 : 由等比数列通项公式 : a n = a q ( n ) ( n ), 即 q = 8 9 = 8 7 = (4 ) ), 故选 B x 例 7. 答案 B 解析: 设需要 x 个月, 那么 00 ( 5%) 90,x 最小的整 数值为 例 8. 答案 D 解析 : 这是一个等比数列问题, 公比为, 第一天放一棵, 则第 三天就发展为四棵, 如果第一天投入四棵相当于从原来的第三天开始计时, 所以 8-=6 天即可长满池塘 例 9. 答案 A 解析 : 先计算由.5 分米长到 40 分米所需要的时间, 这是一个 首项为.5, 公比为 的等比数列,40.5=6= 4, 即需要 4 天, 故长到.5 分米需要 0-4=6 天 例 0. 答案 D 解析: 设首项为 a, 则第 n 项为 a n, 前 n- 项和为 a =75 n = a ( n -) 两式相减得到 a =5 因此数列前 4 项之和为 5 ( 4 -) 中公教育学员专用资料 8

29 例. 答案 A 解析: 根据等比数列的性质, a, a 以 a4 a 4 a6 a5, 所 a a a a a a = a a a5 a5 = ( a a5) =5, 又因为 a n >0, 故 a a 5 >0, 即 a5 a =5, 选 A 三 裂项公式 例. 答案 C 解析: 根据裂项公式, 原式可化为 : n( n ) n n 4 n n = = n n n 例. 答案 C 解析: 利用裂项公式 ( ), 原式可变为 : n( n d) d n n d ( ) = ( ) = 四 循环问题 例. 答案 C 解析: 一个完整的循环包括黑桃 0 张, 红桃 9 张, 方片 7 张, 梅花 5 张, 共 张,05 可被 整除 (05 =65), 因此第 05 张牌是梅花 例. 答案 C 解析:0 年是兔年, 到 050 年时经过了 050-0=9 年 以十二生肖为一循环进行纪年,9 =, 所以 050 年的生肖应从 兔 开始往后数 个, 是马年 五 分段计算 例. 答案 A 解析:0 万元是在 5 万元收费的基础上, 多余的 5 万元按 % 收费, 再加上 000 元 所以收取的服务费为 50 元, 选 A 例. 答案 A 解析:8 小时工作时间内的工资是 8 0=50 元, 加班的前 0 小时工资为 0 0=600 元, 因此超过的部分为 =680 元 按每小时 40 9 中公教育学员专用资料

30 元加班工资计算, 超过部分加班 =7 小时 因此该职工 月份共工作 = 小时 例. 答案 D 解析 : 两人路程在 0 秒末都是 00 米, 因此同时到达, 排除 A 开始计时时弟弟已跑的路程为 0 米, 即他先跑了 0 米, 排除 B 根据时间路程图可 求得两人的速度 其中 l 在 0 秒内跑了 00 米, 速度为 0 米 / 秒 l 在 0 秒内路程 变化是 00-0=80 米, 速度为 8 米 / 秒 已知小雨比弟弟跑得快, 那么弟弟速度为 8 米 / 秒, 选 D 六 经典例题. 答案 C 解析: 由题意 截成相等的小段 即为求三数的公约数, 最少可截成多少段 即为求最大公约数 所以每小段的长度是 的最大公约数 0 80 和 00 的最大公约数是 60, 所以每小段的长度最大是 60 厘米, 一共可截成 =0 段. 答案 B 解析: 三条生产线的检修周期分别为 天 4 天 5 天, 4 5 的最小公倍数为 60, 由于元旦三条生产线同时检修, 则 60 天之后三条线再次同时检修 从元旦往后推算 60 天, 一月剩余 0 天, 二月 8 天, 则 月 日三条生产线同时检修 只有 条生产线保持生产, 即有 条生产线同时检修 月还剩 -=9 天,a b 生产线每 天同时检修, 有 次 ;b c 生产线每 0 天同时检修, 有 次 ;a c 生产线每 5 天同时检修, 有 次 ; 三条生产线不会同时检修 故满足的有 ++=4 天. 答案 B 解析: 本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的, 所以应从每个人得分的情况入手分析 因为每道题无论答对 不答或答错, 得分或扣分都是奇数, 共有 50 道题,50 个奇数相加减, 结果是偶数, 所以每个人的得分都是偶数 因为任意个偶数之和是偶数, 所以这部分学生的总分必是偶数 4. 答案 B 解析 : 设获一 二 三等奖的学生分别有 x y z 名, 则 6x y z, 消去 z, 得到 x+5y=, 因为 x 均为偶数, 所以 y 为偶 9x 4y z 数, 则 y 只能为 故获二等奖的学生有 名 中公教育学员专用资料 0

31 5. 答案 D 解析: 设难题的数量为 x, 中等题的数量为 y, 容易题的数量为 z x y z 0 依题意有, 由此可得 y+z=6,z 6 为偶数, 则 y 为偶数, 又因 x x y z 6 y z 均不为 0 且互不相等, 可知 y=4 z=, 代入 x+y+z=0 可知 x=5 6. 答案 C 解析: 四人年龄之积能被 700 整除, 说明四人的年龄中应含有 个因数 5, 首先排除 A B 两项, 不含 5 因为不能被 8 整除, 说明四人年龄中不能含有 4 个因数,D 项含有 7 4, 乘积能被 8 整除, 排除 选择 C 7. 答案 D 解析 : 将 450 分解因式得到,450=50 49=5 0 49, 且 =64, 三人的年龄分别为 满足题意, 则 D 的年龄至少为 答案 D 解析: 甲 乙两人以相同的速度相对行走, 放下标志物的方法也是一样的, 因此, 两人所放的标志物总数应该是一样的, 我们只需要考查其中一个人的即可 甲每走 0 米放下一定数量的标志物, 这些标志物数量构成首项为, 公差为 的等差数列 甲 乙速度相同, 因此甲所走的路程为 50 =675 米 等差数列项数为 [675 0]+=68 项, 则甲所放的标志物总数为 (68-) =464 个 两人放的标志物总数为 464 =948 个 9. 答案 B 解析 : 方法一, 设年龄最大的老人今年 x 岁, 则最小的年龄为 x-4, 依题意可得 :5 (x+x-4) +5 =000, 解得 x=90 方法二, 两年后年龄排在第 位的老人为 000 5=80 岁, 则年龄最大的老人为 80+=9 岁, 故今年 90 岁 0. 答案 A 解析: 已知 ~ 号的日期之和为 (+) =78, 则每人值班日期之和为 78 =6, 甲另两天的值班日期只能是 号和 号 同理乙另两天的值班日期为 号和 4 号, 所以丙的值班日期为 号, 所以在丙值班的第一天到最后一天之间都必须值夜班, 选 A ( x x 8) 0. 答案 C 解析 : 设第一道题的分值为 x, 则 =00, 解得 x= 则这 0 道题的分值构成奇数列 奇数列前 n 项求和公式为 S = n, n >60, 解得 n 8, 至少要答对 8 题 n 中公教育学员专用资料

32 . 答案 D 解析: 设每月的增长率为 x, 则有 5 ( x) =6, 解得 x=0% 则六月份的收入款为 6 (+0%)=4. 万元. 答案 C 解析 : 因为甲厂生产数量每月保持不变, 则乙厂二月份比一月份 多生产 0-05=5 件, 可知乙厂一月份生产 5 件, 甲厂每个月生产 05-5=00 件 乙 厂产量满足 5 n,n 为月份 当 n=6 时乙厂产量第一次大于 答案 A 解析 : 设公比为 q, 根据等比数列递推公式, 原式可化为 a5q a 5 = a5q a5, 化简得 q =, 即 q=, a5q a5 = a 5( q ) a5( ) =48, 解得 a 5 =6 根据 a n a q n 知 5 a 5 aq, 代入数据解得 a =, 因此 S 0 = a( q q 0 ) ( = 0 ) =0, 选择 A 5. 答案 B 解析: 原式各项为公比为的等比数列, 共有 05 项 利用求和 50 公式 : S 05 = (- 05 ) (- )=(- 05 ), 则 00 (- 05 ) =50-05, 易知整数部分为 答案 C 解析 : 原式 = ( )= (- 7 )= = 7. 答案 A 解析 : 已知同学们按顺时针循环报数, 报 和 00 的是同一个人, 则 与 00 的差值应是所有人数的整数倍 将 00-=98 代入选项, 只有 A 项 能 够整除 98, 所以共有 名同学 8. 答案 B 解析 : 蚂蚱跳了 00 次时, 共跳了 (+00) 00 =5050 步 因 为是在圆周上转圈跳动, 蚂蚱开始站在 号位置上, 当它跳了 步的时候, 到了 号 位置 ; 跳了 步的时候, 到了 4 号位置, 跳了 6 步的时候, 到了 7 号位置, 那它跳了 00 次, 也就是跳了 5050 步的时候, 就应该在 505 号位置上 505 6=84 5, 所 以最后应是到达 5 号位置 中公教育学员专用资料

33 9. 答案 B 解析:D 点下车的乘客是合乘, 付 0 60%=6 元 E 点下车的乘客也是合乘, 付 0 60%= 元 F 点下车的乘客在前 0 元里程是合乘, 付 0 60%= 元 ; 后 0 元里程是单独乘坐, 付 0 元, 共付 +0= 元 因此, 司机收了 6++=50 元车费, 比单独走 40 元里程多 0 元, 选 B 0. 答案 A 解析: 因为中箭的环数是不超过 0 的自然数, 结合选项, 如果小王的射箭环数为 9, 总和为, 则小张的射箭环数为 6 6, 符合题意. 答案 B 解析: 根据题意可设原有的 45 人中共有党员 x 人, 则可列方程 x 45+6%=(5+x) 50, 解得 x=8 职工中又有 名入党, 则现在党员所占比重为 (8+5+) (45+5) 00%=50%, 因此选择 B. 答案 D 解析 : 设开始投资了 x 元, 则 [( 4 x-000) 4-000] 4-000=x, 解得 x=00, 选 D. 答案 A 解析 : 第二场比第一场收入多 0-040=80 元, 是因为调整了一 排票价的缘故 这一排每个座位涨价 0-6=4 元, 故第二场提价的第四排有 80 4= 个座位 礼堂共有座位 +=5 排, 则总座位数为 5 0=00 个 答案 A 解析 : 设加工乙种零件 x 个, 则加工甲种零件 x 个, 加工丙种零 x x 件 9x 个 加工甲种零件需安排人, 加工乙种零件需安排人, 加工丙种零件需安 5 4 9x 排人, 则根据题意有, x x 9x + + =77, 解得 x=0 故需安排生产甲种零件 = 人, 安排生产乙种零件 5 4 =5 9 0 人, 安排生产丙种零件 =60 人 5. 答案 A 解析: 当 P 在 B 点时, 三角形 APM 的面积 = =, 当点 P 运动到 C 点时, 三角形 APM 的面积 =, 选 A 中公教育学员专用资料

34 第二章 极值问题 一 概述 例. 答案 ()9;();()D;(4)8;(5)9 解析 :() 当 a=b= 时,ab 的最大值是 =9;() 当 a=,b=4 时,ab 的最大值是 4=;() 三个数之和为定值, 三个数全部相等时乘积最大, 为 5, 故 D 选项不可能 ;(4) 当 a=b=4 时,a+b 的最小值是 4+4=8;(5) 当 a=4,b=5 时,a+b 的最小值是 4+5=9 二 常考考点 例. 答案 A 解析 : 要使鸡窝高度不低于 米, 则每块金属网的宽边着地, 金属网着地部分的总长为. 0=4 米 设鸡窝靠墙的边长为 a, 另一边长为 b, 则 a+b=4 米, 当 a=b= 时,ab 存在最大值 即当靠墙边长为 米, 另一边长为 6 米时鸡窝面积最大, 鸡窝长度为 米, 选 A 例. 答案 6 解析 : 令 x=a,y=b, 则 xy=6ab=4 两个数的乘积为定 值时, 两个数越接近, 加和越大, 因此 x=y=8,x+y=a+b=6 例. 答案 D 解析 : 要使一个数拆成的自然数的乘积最大, 应使所拆成的数 的个数尽量多, 但 不应出现, 因为 与任何数的乘积仍为原数 拆出的加数不应超 过 4, 例如 5, 它还可以拆成 +, 而 >5, 所以加数大于 4 的数还应再拆 因为 4=+, 而 =4, 因此拆出的加数中可以不出现 4 拆出的加数中 的个数不能多于两个, 例如拆成 个 ( 乘积为 =8), 不如拆成 个 ( 乘积为 =9), 这就是说, 要尽量多地拆出 因此, 把 4 拆成 ++++ 时, 乘积 =6 为最大 例 4. 答案 B 解析 : 设现在的价格比 00 元高出 x 元, 则利润为 (00+x) (500-0x)-90 (500-0x)=-0 x +400x+5000, 根据一元二次函数的性质, 当 b 400 x= =0 时, 利润为最大值, 所以售价应定为 00+0=0 元 a ( 0) 中公教育学员专用资料 4

35 例 5. 答案 55 解析: 设旅行团人数为 x 人, 营业额为 y 元, 则根据题意列出一元二次函数如下 :y=x[800-0(x-0)]=-0x +00x, 则根据这个式子, 有如下两种方法来解 : b 00 方法一, 当 x= - = - =55 时,y 取得最大值 a ( -0) 方法二, 原式可化为 y=0 (-x) (x-0), 其中 -x 和 x-0 的和为 -0, 即和一定, 求 (-x) (x-0) 最大, 当 -x=x-0, 即 x=55 时, 两者乘积最大, 此时亦获得最大营业额 例 6. 答案 () 朵 ;()7 朵 ;()5 朵 解析 :() 要求最大量的最大值, 且量各不相同, 则使其他量尽可能的小且接近, 即为从 开始的公差为 的等差数列, 依次为 4, 共 0 朵, 则分得鲜花最多的人最多分得 -0= 朵 () 要使分得鲜花最多的人分得的鲜花数量最少, 则要使每个人分得的鲜花数尽可能的接近 按照平均值依次分配 4 5 6, 正好分了 0 朵, 还剩 朵, 只能分给最多的人, 因此最多的人最少分得 7 朵鲜花 () 要使分得鲜花第二多的人分得的鲜花数量最少, 则要使其他人分得的鲜花数量尽可能的多, 最多的人分 7 朵, 还余下 4 朵 4 朵花分给 4 个人使最多的人最少, 则 4 个人的数量尽可能的接近, 依次为 4 5, 正好 4 朵, 因此第二多的人最少分得 5 朵鲜花 例 7. 答案 C 解析:7 个数之和为 4 7=98, 要使 7 个数中最大的数取得最大值, 则其他数需取最小值, 由于中位数为 8 且各数各不相等, 则其余六个数应分别为 8 9 0, 因此最大数的最大值为 =5, 选择 C 例 8. 答案 C 解析: 若想使排名最后的数量最多, 则其他专卖店数量尽可能少 第 5 名为 家, 则第 4 第 第 第 分别为 家, 前五名的总数量为 4 5=70 家, 则后五名的总数量为 00-70=0 家 求最小值的最大情况, 让所有的值尽可能接近, 成等差数列, 可求得第 8 名为 0 5=6, 则第 6 到第 0 分别为 家 即排名最后的最多有 4 家 5 中公教育学员专用资料

36 例 9. 答案 C 解析 : 根据题意, 后五名的成绩总和为 =85 分, 若要 排名第二的比第五的成绩多最多, 则让第二名的成绩尽可能高, 为 94 分, 第五名的成 绩尽可能低, 则其他的成绩也应尽可能高, 由此可知第三名 第四名的成绩依次为 9 分 9 分, 此时第五名和第六名的成绩和为 =06 分, 第五名的成绩最低 为 06 +=54 分, 因此排名第二的比第五的成绩最多多 94-54=40 分 例 0 答案 B 解析 : 欲使播放的天数最多, 则每天播放的集数必须尽可能小 且接近 可以假设每天播放的集数分别为 4 5 6, 和为, 则接下来就只 能为 9, 或者为 无论哪种情况, 最多可以播的天数都为 7 天 例. 答案 B 解析 : 根据题意 0 名女生共相亲 6 次, 考虑最差情况, 每人 相亲次数尽量相同,6 0=, 则至少有一名女生至少相亲 +=4 次 例. 答案 A 解析 : 每一个同学参加 类运动中不同 个项目的方式有 4 =4 种, 看做 4 个抽屉, 把 50 名同学放入 4 个抽屉中, 因为 50 4=, 不论 人 放入哪个抽屉中, 一定至少有 人所选的 个项目完全相同 例. 答案 D 解析 : 考虑最不利情况, 先摸出 个蓝球, 接着摸出红球 白 球 黄球各 个, 此时再摸一个, 必定有 4 个球是同色的 这样一次至少摸出 + += 个木球, 才能保证其中 4 个是同色球 例 4. 答案 D 解析 : 第一把锁最多试 8 次, 第二把锁最多试 7 次, 第三把锁 最多试 6 次, 依此类推, 第八把锁最多试一次, 第九把锁就不用试了 因此最多试 =6 次 例 5. 答案 9 名 解析 : 首先要弄清参加学习班有多少种不同情况 不参加 学习班有 种情况, 只参加一个学习班有 种情况, 参加两个学习班有 C = 种情况 共有 ++=7 种情况 将这 7 种情况作为 7 个 抽屉, 要保证不少于 5 名同学参加 学习班的情况相同, 要有学生 7 (5-)+=9 名 例 6. 答案 A 解析 : 摸出的 个玻璃珠只有一种颜色, 有 种情况 ; 有两种 颜色, 有 C =6 种情况 ; 有三种颜色, 有 种情况, 故共有 0 种不同的分组情况 根据最不利原则, 取出 组一定有 组玻璃珠的颜色组合一样 中公教育学员专用资料 6

37 例 7. 答案 C 解析 : 还剩下 =8 张票, 甲如果要确保当选, 考虑 最差情况, 则剩下的票丙一票不拿, 那么只有甲 乙分配剩下的票, 因此甲至少要拿 8 =4 张才能保证当选 三 经典例题. 答案 B 解析: 设长 宽 高分别为 a b c, 则 a+b+c= 根据均值不等 a b c 式可知,abc ( ) =4 =64, 即当 a=b=c=4 时, 长方体体积最大, 为 64. 答案 A 解析: 增加车辆数与运送减少的次数成正比, 第一次 4 辆车, 每辆运送 6 次 第二次 7 辆车, 每辆运送 0 次 可知每多 辆车, 运送次数减少 次, 设增加的车辆数为 x, 即用 (4+x) 辆车运送时, 运送次数为 6-x, 因此总车次为 (4+x) (6-x)=- x +8x+64=- x +7, 即当 x= 时, 取最大值 7. 答案 C 解析: 由题意可知, 应该有 0 种号码 考虑最差情况, 每种号码各取了 块, 然后再任意取一块就能保证有三块号码相同, 一共取了 0+= 块 4. 答案 C 解析: 设池底长方形的长为 x, 宽为 y, 易知池底面积 xy=4, 池壁面积为 4(x+y), 则水池总造价为 (x+y), 要使总造价最低, 则应该让 4(x+y) 最小,4(x+y) 4 xy, 仅当 x=y= 时,4(x+y) 的最小值为 6, 那么 最低造价为 =760 元 5. 答案 C 解析: 将 0 个号码分成 {,4} {,5} {,6} {4,7} {5,8} {6,9} {7,0} {8} {9} {0} {} {} {} 这 个集合, 从任意两个不同集合中取出的两个数相差都不为, 至少选出 +=4 个号码, 才能保证至少有两个号码的差是 的倍数 6. 答案 D 解析: 要使上车人数最多的第三车厢上车的人数最少, 则其余车厢上车的人数应尽可能多, 即各车厢人数尽量接近 ( 可相等 ) 05 8=, 因此第三车厢上车的至少有 +=4 人 7. 答案 A 解析: 要使参加人数第四多的活动人数最多, 则参加人数最少的三个活动的人数应尽量少, 分别为 人 人 人, 且其余四个活动的参加人数差距尽 7 中公教育学员专用资料

38 量小 参加人数最多的四个活动共有 00---=94 人,94 4=.5, 则这四个活动人数分别为 4 5, 满足题意 8. 答案 C 解析: 设分别购买 70 元和 0 元的商品 x y 件, 则 70x+0y=600, 即 7x+y=60 y 和 60 能被 整除, 则 x 也应该能被 整除 要想买的数量最多, 则 x 尽量小,x 最小为, 当 x= 时,y= 则最多可购买 +=6 件 9. 答案 D 解析: 只选一门课的工人可分为 4 组, 选两门课的可分为 ( 不选 A B)+4(A B 选其一 )=5 组, 选三门课的可分为 组, 最多共有 组, 为使人数最多的组人数最少, 应使各组人数尽可能接近,00=0 9+ 0, 可知有 0 组人数为 9, 一组人数为 0 0. 答案 C 解析 : 取 7 个盒, 每个盒中分别放置 -7 个球, 总数为 =8 个 三组盒子一共有 8 =84 个球, 最后一个球无论再取一个盒子放置还是放到之前未满 7 个球的盒中, 都会有 4 个盒子中的球的数目相同. 答案 D 解析: 各工龄层的员工总数为 50 人, 共有 5 个工龄层, 且每种工龄人数是公差为 的等差数列, 则可得工龄为 (5+) =8 年的人数有 50 5=0 人, 则从 5 年工龄到 年工龄的人数依次为,4,5,,7 人, 则至少抽 = 0 +=8 人. 答案 B 解析: 已知总人数, 要求满足所属的班级数最多, 则每个班级志愿者的人数从允许范围的最小值开始取值且尽量接近 考虑到任意两个班级的志愿者人数和不少于 0 人, 那么每个班级的志愿者平均人数不小于 0, 而 =(0+4) 5 =55, 则取 9 4 时刚好满足题意, 所属的班级数最多有 5 个. 答案 B 解析: 每村四类图书各 00 本和贫困村四类图书各 00 本的总价分别为 ( ) 00=7000 元和 ( ) 00=4000 元, 要求村子最多, 就得使每个村子分得图书尽量少, 先给贫困村分四类图书各 00 本, 还剩下 =86000 元, 再让每村分得四类图书各 00 本, = 000, 即能分给 个村子, 再加上贫困村, 共 个村子, 故选 B 中公教育学员专用资料 8

39 4. 答案 A 解析: 至少 才能保证, 需要考虑最坏的情况, 即先拿两个空的, 再拿 8 个 0 元的, 此时还不能满足支付 元而不需找零的条件, 还需再拿两个 元的, 共 个信封 5. 答案 B 解析: 根据题意前两个处室人数较少相加小于 5, 则最坏的情况是前两个处室的人都抽调出来, 剩下每个科室再抽调 7 人, 能保证一定有两个处室人数和刚好 5 人, 那么再抽调 人就能符合题意, 则至少抽调 =5 人 6. 答案 D 解析: 根据题目的问题, 应考虑任意两数都具有倍数关系, 可以把这 0 个数按奇数及其倍数关系 ( 每一组中后面的数就是前面一个数的 倍 ) 分成以下十组 : {,,4,8,6},{,6,},{5,0,0},{7,4},{9,8},{},{}, {5},{7},{9} 考虑最不利原则, 从这 0 个数组中抽取了每组最大的一个, 即 共 0 个数, 显然这 0 个数相互之间没有倍数关系, 此时再任意抽取一个数, 那么至少有两个数取自同一数组, 由于凡在同一个组中的两个数都具有倍数关系, 所以这两个数中, 其中一个数一定是另一个数的倍数 所以至少有 人进行抽签才能保证有节目可看 7 答案 B 解析: 把 9 个小圆三三一组, 分成 6 组和单独的 个, 这 6 组中每组最中间的那个涂成蓝色, 那个单独的也涂成蓝色, 这样就保证了第二次不论将哪一个小圆圈涂成蓝色都会出现两个相邻的蓝色小圆圈 8. 答案 B 解析: 成绩在 75~95 分之间的学生有 48-=45 名,75~95 分共有 个不同的分数,45 =, 因此至少有 += 名学生的成绩是相同的 9. 答案 D 解析: 总分 分是一个定值, 求答对题目数的最小值, 因此属于和定求极值问题 和一定, 求项数的最小值, 就是要让每一项的值尽可能大, 即每题得分尽可能多, 最多为 6 分 总分 分除以每题得分 6 分, 商为 5 余, 或 6 5, 因此答对题目数最少为 6 题目对的最多即尽可能让得 分的题目多, 9 4, 可知至多答对 0 题, 0-6 4, 答案选择 D 0. 答案 D 解析: 设参加比赛的职工人数为 x, 根据题意列方程 76x-88=74 (x-), 解得 x=7, 所有职工总共踢了 76 7=5 个 题目要求最快的职工最多踢了多少个, 那么其他职工应尽可能少踢 已知每名职工至少踢了 70 个, 其中一人踢了 88 个, 所以踢得最快的职工最多踢了 (7-)=94 个 9 中公教育学员专用资料

40 第三章 行程问题 一 基本行程 例. 答案 B 解析 : 该恒星到地球的距离应为 =6 0 =.6 0 公里 例. 答案 D 解析 : 平均速度 = 总路程 总用时 =400 ( ) v v v v 4 = v v 4 v v 4 例. 答案 C 解析: 小明去时和回来时的速度比为 5 7, 则去时和回来时所需的时间比为 7 5, 份对应 4 小时, 小明去时用了 7 4 =4 小时 例 4. 答案 D 解析: 改变速度前后速度之比为 50 65=0, 则所需时间之比为 0, 改变速度后总共少用了 +6=9 分钟, 故小陈用 65 米 / 分钟的速度所走的路程用原速需 9 =9 分钟 故小陈家离体育馆 50 (4+9)=50 米 例 5. 答案 C 解析: 从寝室到教室的路程一定, 时间和速度成反比, 正常 0 分钟走完, 提前 5 分钟到则走了 5 分钟, 时间比为 0 5=4, 所以速度比为 4, 增加的 份代表 0 米 / 分, 那么正常的速度为 0 米 / 分,7:50 出门的话, 走的时间为 0 分钟, 与正常的时间比为, 那么速度与正常的速度比为, 即每分钟需要多走 0 米, 选择 C 二 相遇追及问题 例. 答案 A 解析 : 从货车开出开始计时, 客车与货车相遇共用时 (60-60 ) (60+40)= 小时, 故相遇地点距 B 市 40=0 千米 例. 答案 D 解析 : 救护车的时速是 0 4=0 千米, 消防车的时速是 0 =40 千米, 那么所求距离为 40-(0+40) =00 千米 中公教育学员专用资料 40

41 例. 答案 B 解析 : 设 A 速度为,B 速度为, 全程为 S, 第一次相遇 A B 分别走了 S S 相遇之后 A 速度变为.,B 速度为.,A 到达乙地所用时间为 S,. B 在这段时间走的路程为 米 S S., 由题意得.+9=S, 解得全程 S 9. 千.. 例 4. 答案 D 解析 : 设西湖一圈长度为 40(5 60 的最小公倍数 ), 则甲 乙速度和为 40 5=, 甲的速度为 40 60=7, 故乙的速度为 -7=5, 乙绕湖一圈需 要 40 5=84 分钟 例 5. 答案 C 解析 : 鸣笛时两车相距 (08-90) =5 米 例 6. 答案 C 解析 : 汽车与拖拉机的速度比为 00.. (00-5-0)=4.., 设 相同时间里汽车和拖拉机的路程分别为 4 份和 份, 当汽车追上拖拉机时, 汽车多行 驶了 5 千米, 即 份对应 5 千米, 故追上拖拉机时, 汽车行驶了 4 5=60 千米, 此 时距离乙地 00-60=40 千米 例 7. 答案 B 解析 : 由题意, 狗和马的步频比是 5, 步幅比是 4 7, 速度 = 步频 步幅, 则狗和马的速度比就是 0, 设狗的速度是 0m/s, 马的速度是 m/s, 50 由追及问题可知, 狗已跑出 50 米后, 马需要 0 50s 才能追上狗, 因此狗再跑 m, 马可以追上它 例 8. 答案 B 解析: 甲与火车是一个相遇问题, 两者行驶路程的和是火车的长 ; 乙与火车是一个追及问题, 两者行驶路程的差是火车的长 设这列火车的速度为 x 米 / 秒, 两人的步行速度.6 千米 / 小时 = 米 / 秒, 依题意可得 5(x+)=7(x-), 解得 x=6, 故火车的长为 7 (6-)=55 米 4 中公教育学员专用资料

42 例 9. 答案 B 解析 : 设该学生从队尾跑到队首所用时间为 x 分钟, 由题意可 得 ( - )x=( + )(7.-x), 解得 x=6, 所以队伍的长为 ( - ) 6=400 米 三 多次相遇问题 千米 千米 ; 例. 答案 () 千米 ;()6 千米 ;()48 千米 ;(4)4 千米 ;(5)6 解析 :() 甲第一次相遇所行路程是 7 千米, 第二次相遇时所行路程就是 7 = ()A B 两地之间的距离是 -5=6 千米 ; () 从出发到第二次相遇时, 二人所行的路程和是 6 =48 千米 ; (4) 两次相遇点之间相距 6-7-5=4 千米 ; (5) 第一次相遇时乙行了 6-7=9 千米, 从出发到第二次相遇时乙行了 9 =7 千米, 此时甲比乙少行了 7-=6 千米 例. 答案 A 解析 : 由题意,A B 两辆货车第一次相遇时, 货车 A 行驶了 5 千米, 第二次相遇时, 货车 A 的行驶路程为一个全程加上折返路程, 也就是距离乙 城的 5 千米, 所用时间是第一次相遇时用时的 倍, 那么甲乙两城距离为 5-5=80 千米 例. 答案 D 解析: 由已知得 v甲 v 乙 =, 因相遇问题中时间一定, 路程 与速度成正比, 所以 S甲 S 乙 = 第一次相遇点( 距离 A 地 ) 在整个路程的 第二次相遇点 ( 距离 A 地 ) 在整个路程的 00 ( - ) 750 米 处, 5 处, 则 A B 两地的距离为 中公教育学员专用资料 4

43 例 4. 答案 B 解析 : 设全程为 S, 则有 S+ S=0 -, 解得 S=8, 故乙车每 小时行驶 =48 千米 S=48 例 5. 答案 ()48 千米 ()40 千米 ()4 次 (4)A 解析 :() 设 A B 两地间距离为 S 千米, 则 ( -)S=6 (5+5), 解得 () 甲车第三次从 A 地出发后与乙的迎面相遇是第 4 次相遇 第一次相遇时乙 行驶的路程为 60 (5+5) 5=60 千米, 则第 4 次相遇时, 乙车共行驶了 60 ( 4-) =40 千米 () 行驶 0 小时两车的路程和为 0 (5+5)=00 千米,n-=00 60=7.5, 则 n 取 4,0 小时内两车迎面相遇了 4 次 5 (4) 第一次相遇时, 两车共走 个全程, 其中乙车占 = 从出发到第 三次相遇时, 两车共走 5 个全程, 乙车走了 5 = 个全程 从出发到第四次相遇 8 8 时, 两车共走 7 个全程, 乙车走了 7 8 = 8 5 个全程 因为第三 四次相遇地点相差 = 个全程, 所以 A B 两地相距 00 =00 千米 8 8 例 6. 答案 A 解析 : 第一次相遇时, 小赵走了.4 千米 ; 到第二次相遇时小赵 共走了.4 =4. 千米, 由此可知甲 乙两地相距 =.6 千米 ; 第四次相遇时小 赵走了.4 7=9.8 千米,9.8=.6 +.6, 即第四次相遇时距甲地.6 千米 例 7. 答案 C 解析 : 第一次相遇时, 两人共跑完了一个全程, 所用时间为 00 ( )=0 秒 此后, 两人每相遇一次, 就要合跑 倍的跑道长, 也就是每 0 秒 相遇一次, 除去第一次的 0 秒, 两人共跑了 =590 秒 求出 590 秒内两人相 遇的次数再加上第一次相遇, 就是相遇的总次数 590 0=9 0, 故共相遇 9+=0 次 B 例 8. 答案 ()00 千米 ()0 千米 ()40 千米 (4)0 分钟 (5) 解析 :()S=50, 两人第一次迎面相遇时路程和是 S=00 千米 4 中公教育学员专用资料

44 ()S=50, 两人第二次迎面相遇时路程和是 4S=00 千米, 则小张行驶的总路程 是 00 (+) =0 千米 () 第三次迎面相遇时小张行驶的路程是第一次迎面相遇的 倍, 则第一次迎面 相遇时小张行驶的路程是 0 =40 千米 (4) 两人第三次迎面相遇的时间是第一次迎面相遇的时间的 倍, 则从开始到第 三次迎面相遇所花的时间是 0 =0 分钟 (5) 第一次相遇小张 小王二人的路程和为甲乙两地距离的 倍, 从第一次相遇 到第二次相遇, 两人路程和仍为甲乙两地距离的 倍, 即两次相遇所用时间相同 第 一次相遇小王走的路程为 x, 相遇后小张需要走 x 到甲地, 然后从甲地折返 x 回到同 一地点相遇 所以相同时间内小张走的路程是小王的 倍, 即车速是小王的 倍 例 9. 答案 ()D;()D 50 解析 :() 根据题干可知货车的速度为 5 千米 / 小时, 货车行完全程需 500 要的时间 小时, 客车行完全程需要的时间是 -=0 小时, 客车的速度 千米 0 / 小时, 所以货车比客车每小时慢 50-5=5 千米 选择 D () 客车速度为 50 千米 / 小时, 货车速度为 5 千米 / 小时, 两车速度比为客 货 =50 5=6 5, 则第二次迎面相遇时两车路程和是 4 500=6000 千米, 客车行驶 的总路程是 6000 (6+5) 6 7 千米 例 0. 答案 () 秒 ;()6 米 ;()A 解析 :() 两人第一次相遇时路程和是 0 米, 则时间是 0 (.+.)= 秒 () 两人第 5 次相遇时, 两人所走的路程和是 5 0=50 米, 兄妹的速度之比是 兄 妹 =..=, 则兄比妹多走的路程是 50 (+) =6 米 () 每次相遇兄妹二人合走一个水池周长, 到第十次相遇共用时 0 0 (.+.) =0 秒, 妹妹总共走了 0.=44 米,44 0=4 4,0-4=6, 故妹妹还需走 6 米才能回到出发点 例. 答案 D 解析 : 由于两人的速度比为 5, 时间相同时, 两人的路程比 也是一样的 两人第一次相遇甲走了全长的 份, 而乙走了全长的 5 份, 同理每一次 中公教育学员专用资料 44

45 相遇甲都走了 份, 而乙走了 5 份, 所以第六次相遇时, 甲正好走了 6 份, 全长也是 6 份, 甲正好回到了 A 点, 所以答案为 D 例. 答案 ()500 米 ()40 米 ()A 解析 :() 两人第三次迎面相遇时, 路程和是 00+00=500 米 () 两人第四次迎面相遇时, 每人的路程是第一次相遇时路程的 4-=7 倍, 第 一次相遇时甲行驶的路程是 00 (6+4) 6=60 米, 则第四次迎面相遇时甲行驶的路 程是 60 7=40 米 ()6 分钟内, 两人的路程和是 6 60 (6+4) 米, 设相遇 n 次, 则 (n-) 00=6 60 (6+4), 解得 n=48.5, 即甲乙相遇 48 次 例. 答案 C 解析 : 甲 乙两人从第一次相遇到第二次相遇, 用了 6+0=6 分钟, 即两人 6 分钟走一圈 从出发到两人第一次相遇用了 8 分钟, 所以两人共走半 圈, 即从 A 到 B 是半圈, 甲从 A 到 B 用了 8+6=4 分钟, 故甲环行一周需要 4 =8 分钟 例 4. 答案 C 解析 : 当两人第一次相遇时, 两人共走了 圈 ; 两人第二次相 遇时, 共走了 + = 圈 所以两次相遇的时间比为, 路程比也是 第二 次相遇时第一个人走的路程是 80=40 米, 故半圈为 40-60=80 米, 一圈为 80 =60 米 四 流水行船 例. 答案 C 解析 : 设水速为 x 千米 / 小时, 船的静水速度是 y 千米 / 小时, 则 6 有下面两个方程 : y x, 6 y x, 解得 :x=,y=5 例. 答案 C 解析 : 该船逆水速度为 0 5=8 千米 / 时, 所以水速为 (0-8) =6 千米 / 时, 故漂流半小时航程为 6 = 千米 例. 答案 B 解析 : 路程为 60 千米, 水速为 6 千米 / 小时, 因为船顺流而下到 达入海口用时 4 小时, 所以船速为 =9 千米 / 小时 逆流航行 4 小时, 该船行驶 45 中公教育学员专用资料

46 的路程为 (9-6) 4= 千米, 此时水流方向发生变化, 且水速变为 千米 / 小时, 则剩余路程用时 (60-) (9+)=4 小时 例 4. 答案 C 解析: 设两个港口的距离为 90, 则该船原来顺水航行的速度为 9, 逆水航行的速度为 6, 由此可得船速为 (9+6) =7.5 水速变快后, 该船顺水航行的速度为 0, 此时水速为 0-7.5=.5, 故此时该船逆水航行的速度为 =5, 逆水需要 90 5=8 小时 例 5. 答案 C 解析: 设由一楼到二楼的路程为, 则乘坐电梯的速度是, 0 人走的速度是 根据题干可知人提了东西走下楼的速度是 =0 所以张 科长在电梯运行的情况下走到一楼所需的时间是 ( )=5 秒 例 6. 答案 A 解析 : 此题为流水问题的变形 男孩和女孩的速度相当于各自 的船速, 自动扶梯的速度相当于水速, 所以总路程 =( 船速 + 水速 ) 时间 由题意可 设女孩的速度为每分钟 x 级, 男孩的速度为每分钟 x 级, 自动扶梯的速度为每分钟 y 级, 则 7 x y+7=8 x y+8, y 可得 = 那么一楼到二楼的路程即扶梯露在外面的部 x 分有 8 +8=54 级 五 牛吃草问题 例. 答案 ()5 天 ;()5 头牛 ;()5 头牛 解析 :() 牛在吃草, 草在匀速生长, 所以是牛吃草问题中的追及问题, 原有草量 =( 牛每天吃掉的草 - 每天生长的草 ) 天数, 设每头牛每天吃的草量为, 每天生长的草量为 X, 可供 5 头牛吃 T 天, 所以 (0-X) 0=(5-X) 0=(5-X) T, 解得 X=5,T=5 () 牛在吃草, 草在匀速减少, 所以是牛吃草问题中的相遇问题, 原有草量 =( 牛每天吃掉的草 + 每天减少的草 ) 天数, 设每头牛每天吃的草量为, 每天减少的 中公教育学员专用资料 46

47 草量为 X, 可供 Y 头牛吃 0 天, 所以 (0+X) 5=(5+X) 6=(Y+X) 0, 解得 X=0,Y=5 () 牛在吃草, 草在匀速生长, 所以是牛吃草问题中的追及问题, 原有草量 =( 牛每天吃掉的草 - 每天生长的草 ) 天数, 设每头牛每天吃的草量为, 每天生长的草量为 X,(0-X) 0=(5-X) 0, 所以每天生长的草量为 5, 要保证永远吃不完, 那就要让每天吃掉的草量等于每天生长的草量, 所以最多能放 5 头牛 例. 答案 A 解析: 设每台抽水机每天抽水量为, 每天河水入库量为 x,6 天抽干需要的抽水机数为 y, 则 (5-x) 0=(6-x) 5=(y-x) 6, 得 x=,y= 故若要求 6 天抽干, 需要 台同样的抽水机 例. 答案 D 解析: 设每个窗口每分钟的挂号量为, 每分钟来的病人人数是 x, 同时开 7 个窗口需 y 分钟, 则 50(4-x)=0(6-x)=(7-x)y, 解得 x=,y=5 故开 7 个窗口需要 5 分钟 例 4. 答案 A 解析: 设每人每天喝酒量为, 这桶酒漏酒速度为 x, 依题意可列方程 (6+x) 4=(4+x) 5, 解得 x=4, 故这桶酒每天漏掉的酒可供 4 人喝一天 例 5. 答案 B 解析: 假设每个人每个月开采量为, 河沙每月沉积量为 x, 则 (80-x) 6=(60-x) 0, 解得 x=0, 每月开采量不能大过河沙沉积量, 最多 0 人连续不断开采不会导致资源枯竭 六 经典例题. 答案 C 解析: 由题意设每小时 80 千米的速度行驶了 t 小时, 则 80t+90 (7-t)=590, 解得 t=4. 答案 C 解析: 车速提高 0% 后, 现速与原速比是. =6 5, 则时间比为速度的反比为 5 6, 则原定时间为 (6-5) 6=6 小时 =60 分 ; 提高 5% 速度行驶, 则现速与原速比是.5 =5 4, 时间比为 4 5, 一份是 40 分钟, 则原来这段路需 00 分钟, 故行驶 0 千米需 60-00=60 分钟, 则所求距离为 =70 千米. 答案 B 解析: 乙和丙的速度比为 (60-0) (60-0)=5 4, 则乙跑 60 米时, 丙跑了 =48 米, 故乙到达时将比丙领先 60-48= 米 47 中公教育学员专用资料

48 4. 答案 A 解析 : 正常情况下需要 4 0=0. 小时, 即 分钟 以 0 千米 / 时 的速度骑行了 4-.4=.6 千米, 用了 0.6 小时, 即 9.6 分钟 5 分 4 秒, 即 5.4 分钟 所以骑行.4 千米共用了 =9 分钟, 因此后来的速度为.4 (9 60)=6 千米 / 时 5. 答案 D 解析 : 自行车的速度是汽车的 5, 说明同样的路程, 自行车用时 5 是汽车的倍 骑车 6 公里比开汽车多用 0 分钟, 则开车 6 公里用时 0 ( 5 -)=5 分钟, 那么开车 0 分钟走了 =4 公里 小王比预计迟到 0 分钟, 若汽车多行驶 6 公里则迟到 0 分钟, 说明骑车的路程为 6 = 公里 因此总路程为 +4=6 公里, 选 D 6. 答案 B 解析 : 由题意知, 乙 0 分钟的路程, 甲需要 0 点 54 分 -0 点 0 分 =4 分走完, 故甲 乙走相同路程所需的时间比为 4 0=4 5, 可得乙从相遇到 甲的工作单位需要 0 5 4=7.5 分 甲从相遇到返回自己单位共用时 4+4+0=78 分, 所求为 =40.5 分 =40 分 0 秒, 选 B 7. 答案 A 解析 : 在从开始到相遇的这段时间里, 张明走了 0-4=96 千米, 孙涛走了 0+4=44 千米, 时间一定, 路程和速度成正比, 于是张明和孙涛的速度 比为 =8.., 由于张明比孙涛每小时慢 4 千米, 所以张明的速度是 8 千米 / 小 时 8. 答案 B 解析 : 甲下山 600 米相当于上山 600.5=400 米 设山高 x 米, 则 甲从山顶至半山腰相当于上山 x x.5=, 依题意为 x 600 x = x x 400 x, 解得 x=600 米 9. 答案 D 解析 : 丙与乙相遇时, 甲与乙的距离是甲 丙 5 分钟走的路程之和, 为 5 (50+70)=600 米 乙拉开甲这 600 米需 600 (60-50)=60 分钟, 即丙与乙相 遇所用时间为 60 分钟 故 A B 两地相距 60 (60+70)=7800 米 中公教育学员专用资料 48

49 0. 答案 D 解析 : 乙艇比丙艇晚出发 5 分钟,50 分钟后追上丙, 则乙走了 50 分钟, 丙走了 55 分钟, 二者同一地点出发, 乙追上丙, 说明二者的路程也一样, 则二 者的速度比为时间的反比, 即 v 乙.. v 丙 =55 50= 0 甲比乙晚出发 8 分钟,6 分 钟追上丙, 则甲追上丙用了 6 分, 在此期间丙走了 6+8+5=9 分钟, 则 v甲 v 丙 =9 6=, 则可推出 v甲 v 乙 =5, 设甲艇出发后 x 分钟追上乙, 则乙走了 (x+8) 分, 则有 5x=(x+8), 则 x=, 故选 D. 答案 A 解析 : 由题意可知, 乙第二次追上甲时, 甲又行了 8-9=9 千米, 乙又行了 9+8=7 千米, 则乙与甲的速度比是 7 9= 乙从出发到第一次追上甲 时, 乙行 9 千米, 甲行 9 = 千米, 故甲先行 分钟的路程是 9-=6 千米, 甲速度 是 6 =0.5 千米 / 分钟, 乙的速度是.5 千米 / 分钟. 答案 D 解析 : 猎狗跳跃 4 次的距离和兔子跳跃 7 次的距离相同, 则跳跃 次, 猎狗与兔子跳跃的距离之比为 7 4 又因为猎狗跳跃 6 次的时间, 兔子只能跳 跃 5 次, 则相同时间内猎狗与兔子跳跃的距离之比为 4 0= 0 令猎狗跳跃的 速度为, 兔子跳跃的速度为 0, 猎狗追上兔子时, 比兔子多跑了 5.5 千米, 对应 -0= 份, 即 份对应 0.5 千米, 因此猎狗追上兔子时, 兔子又跑了 0.5 0=5 千米 0 5. 答案 D 解析 :0 千米 / 小时 =0.5 千米 / 分, 则甲的速度为 0.5- = 千米 / 分 乙的速度为 -0.5=0.05 千米 / 分 则 :0 时, 甲和乙相差的距离为 火车与乙 6 分钟所走的距离和, 为 ( ) 6=. 千米 故甲和乙相遇用了. ( )=0 分钟, 即 :50 相遇 4. 答案 D 解析 : 由已知条件可得, 孙明的速度为 60 米 / 分钟, 李桦的速度 为 40 米 / 分钟, 两人相背而行, 属于相遇问题, 相遇路程为圆周跑道的周长 600 米, 相遇时间为 600 (60+40)=6 分钟 ; 而孙明掉头和李桦同方向跑, 则属于追及问题, 追及路程依然是圆周跑道周长 600 米, 追及时间为 600 (60-40)=0 分钟, 所用总时 间为两部分时间的和 6 分钟, 答案选 D 49 中公教育学员专用资料

50 5. 答案 A 解析 : 画线段示意图 ( 实线表示甲车行进的路线, 虚线表示乙车 行进的路线 ): 可以发现第一次相遇时两车行了一个 A B 两地间距离, 第二次相遇时两车共行了三个 A B 两地间的距离 当甲 乙两车共行了一个 A B 两地间的距离时, 甲车行了 95 千米, 当它们共行三个 A B 两地间的距离时, 甲车就行了 个 95 千米, 即 95 =85 千米, 而这 85 千米比一个 A B 两地间的距离多 5 千米, 因此两地间距离为 85-5=60 千米, 第一次相遇时甲车行了 95 千米, 则乙车行了 60-95=65 千米, 两车的速度比为 95 65=9 6. 答案 C 解析: 甲乙两人同时从 A B 两地出发相向而行, 第 n 次相遇时, 共走了 (n-) 个全程 ; 且每人所走的路程都是第一次相遇时的 (n-) 倍 设 A B 两地的距离为 x, 则第二次相遇时乙走了 (x+500) 米, 第四次相遇时乙 x 500 走了 (4x-700) 米, 满足 = 4x 700 7, 解得 x=0 米 7. 答案 B 解析:A B 两地的距离为 -=7 千米, 第 000 次相遇时甲共走了 ( 000-) =997,997 7=7 6, 即第 000 次相遇地点距 A 地 7-6= 千米, 到第 00 次相遇时甲又走了 6 千米, 距 A 地 6-=5 千米, 所以两次相遇地点之间的距离为 4 千米 8. 答案 B 解析: 设两个港口之间距离是 4, 则货轮顺流速度为 6, 逆流速度为 4, 则水速为, 船速为 5, 摩托艇的速度为 0 货轮顺流速度为 6, 摩托艇逆流速度为 9, 则经过 4 (6+9)=.6 小时相遇 9. 答案 B 解析: 设从 A 镇到 B 镇的时间为 x, 则从 B 镇到 C 镇的时间为 8--x=7-x, 根据 A C 两镇水路相距 50 千米, 可得 (+.5)x+(.5+.5)(7-x) =50, 解得 x= 则 A B 两镇水路路程为 (+.5) =5 千米 中公教育学员专用资料 50

51 0. 答案 A 解析: 游船顺流与逆流的速度之比是 7 5, 则走同样长航程, 顺流与逆流所用时间之比是 5 7 两条船来回都花了 60 分钟, 因此它们在顺流中所用 5 时间都是 =5 7 分钟 ; 而逆流中所用时间都是 =5 分钟 因此, 两船航行方向相同的时间只有 0 分钟. 答案 B 解析 : 设自动扶梯的速度为每分钟 x 级, 由题意可得 0 5+5x=5 6+6x, 解得 x=0, 所以该扶梯露在外面的部分共有 =50 级. 答案 B 解析: 设每个派送员每天的派件数为, 每天新收件设为 x, 个派送员派送需要 y 天, 则根据题意有 (4-x) 9=(5-x) 6=(-x) y, 解得 x=,y=8 故 个派送员派送需要 8 天. 答案 C 解析: 假设每个窗口每分钟消化人数为, 每分钟来排队的人数为 x, 效率提高为原来的 m 倍, 则根据题意, 原先积累的人数 =(-x) 0=(5-x) 0=(5m-x) 0, 得到 x=,m=.4, 则效率需要提高 40% 4. 答案 D 解析: 要使这片森林可持续开发, 则每年的最多开采量应不多于它每年的增长量 利用牛吃草的核心公式, 求这片森林每年的增长量为 ( ) (0-90)=75 万立方米 5 中公教育学员专用资料

52 第四章 工程问题 一 基本工程问题 例. 答案 A 解析 : 根据题意得张师傅做一个零件需要 60 =5 分钟, 李师 傅做一个零件需要 0+5=5 分钟, 因此李师傅每小时做 4 个, 即张师傅的工作效率是 李师傅的 倍 例. 答案 A 解析 : 设满池水量为 4, 则甲池的排水效率为, 乙池的排水 效率为 4, 需要经过 x 小时乙池剩余的水正好是甲池剩余的一半 则可列方程 4-x= (4-4x), 解得 x=4.8, 故选择 A 例. 答案 B 解析 : 方法一, 原计划工作时间与实际工作时间之比为 0 6=5 4, 则原计划工作效率与实际工作效率之比是 4 5, 工作效率提高了 (5-4) 4 00%=5% 方法二, 设工作总量为 0 6 的最小公倍数 80, 则计划效率为 4, 实际效率为 5, 工作效率提高了 (5-4) 4 00%=5% 例 4. 答案 C 解析 : 由 当师傅完成任务时, 徒弟完成了 5 可知, 师傅与 徒弟的效率比为 5, 因此当师傅完成时, 徒弟完成, 对应 50 个零件, 由此可 5 得徒弟需要加工 50 5 =750 个零件 二 普通合作问题 例. 答案 A 解析 : 设四个队的工作效率分别为 A B C D, 则 A+B= 8, 9 56 A+C=B+D=, 则 C+D= + - =, 即 C D 合作需要 天 56 6 天, 则所求为 8- = 9 9 中公教育学员专用资料 5

53 例. 答案 B 解析: 设工作总量为, 则甲 乙的工作效率分别为, 甲乙丙三人的工作效率之和为 6, 则丙的工作效率为 乙和丙的工作效率之和为 +=, 所以乙 丙完成项目共需 4 天 例. 答案 D 解析: 设工程总量为 0, 则小王的效率为, 小张的效率为 两人合作, 小王做了 -5=6 天, 完成工作 6=, 剩下的工程量 0-=8 由小张完成, 需要 8 =6 天, 因此小张休息的天数为 -6=5 天, 选择 D 例 4. 答案 C 解析: 方法一, 甲做 6 小时的量 + 乙做 小时的量 = 甲做 8 小时的量 + 乙做 6 小时的量, 则甲做 小时的量 = 乙做 6 小时的量, 可设乙的效率为, 则甲的效率为, 则总工作量为 6 + =0, 甲做 小时后乙接着做还需要 (0- ) = 小时 方法二, 比较可知甲做 8-6= 个小时的工作量, 乙要做 -6=6 小时, 即甲 小时的工作量相当于乙 小时的工作量, 则这项工作乙一个人要花 6 +=8+=0 小时完成 ; 甲先做 小时后, 剩下的工作量乙还需要做 0- =0-9= 小时 例 5. 答案 C 解析: 设游泳池总蓄水量为 40, 则进水管进水效率为, 出水管出水效率为 分钟共注水 (-) =, 故再需 8 =9 分钟可注满游泳池 例 6. 答案 A 解析: 根据题意可知效率的关系 : 甲 = 乙 + 丙, 丙 ( 甲 + 乙 )= 5, 设丙的效率为, 则甲 + 乙 =5, 结合甲 = 乙 + 丙, 解得甲 乙的效率分别为, 三者合作效率为 6, 需要 0 天完成, 故可得该工作的工作量为 6 0=60, 因此乙单独完成此项工作需要 60 =0 天 例 7. 答案 A 解析: 由题意可设甲 乙 丙每日工作量分别为 6 5 4, 丙队参与 A 工程 x 天 根据 A B 工作量相同列方程,6 6+4x=5 6+4 (6-x), 解得 x=6, 选 A 三 交替合作问题 例. 答案 B 解析: 设这些图书量为 0, 则甲的效率为, 乙的效率为, 按照甲 乙 甲 乙 的顺序轮流登记下去, 甲乙构成一个周期, 一个周期为 天, 工作量为 +=5, 因此总量 0 的图书需要经过 0 5=6 个周期完成, 每个周期 天, 总计 天 5 中公教育学员专用资料

54 例. 答案 C 解析 : 设工程总量为 60, 则甲的效率是 6, 乙的工作效率是 4, 丙的工作效率是 ; 甲乙丙工作一个周期 天的工作量是 6+4+=, 所以 4=5, 即三人工作 4 个周期, 还剩 8 个工作量 ; 接下来甲再工作一天, 剩下 个工作量由乙 来做, 乙只需 0.5 天就能完成, 到此整个工程结束 所以是乙最后完成的工作, 乙共 工作时间是 4.5 天, 所以选择 C 例. 答案 C 解析 : 分析题意可知, 甲乙轮流时整数个循环后剩余工作量甲 做一天完成, 乙甲轮流时整数个循环后剩余工作量需要乙做 天, 甲做 此得甲一天的工作量等于乙一天工作量与甲 天完成, 因 5 天工作量的和, 由此得甲 乙的效率之 5 比为 5, 因此设甲 乙的效率分别为 5 和, 两人合作 8 5 天完工, 故该项工程的 工作量为 (5+) 8 5 =, 由乙单独做需要 =7 天完成 例 4. 答案 D 解析 : 设蓄水池满水时含水量为 60 份, 则甲 丙两管每小时进 水量分别为 0 份 份, 乙管每小时排水量为 5 份, 按照甲 乙 丙的顺序轮流循 环开各水管, 则一个循环进水量为 0+-5=7 份, 个循环的进水量为 5 份, 剩余 9 份轮到开甲管, 需用 分钟时水开始溢出水池 9 小时, 即 7 分钟完成, 因此当过 ( + ) 小时 =9 小时 0 四 经典例题. 答案 A 解析 : 两队合作 8 天共挖了 =80 米, 则水渠长为 80+5= 米 中公教育学员专用资料 54

55 . 答案 C 解析: 青年志愿者支援前后效率比为..(+5%)=4.. 5, 则所需时间比为 5.. 4, 原计划所需时间为 5 份, 份对应 5 天, 故原计划 5 5=5 天完成, 每天种 000 5=40 棵. 答案 D 解析: 学徒工和熟练工完成的量相等, 但学徒工和熟练工的效率之比为 6=, 故学徒工和熟练工的人数之比为, 设熟练工为 x 人, 则学徒工 x x y 80 x 5 为 x 人, 设技师为 y 人, 则有, 解得, 故技师人数 x 6x 7 y 480 y 60 是熟练工的 60 5= 倍 4. 答案 B 解析: 小张先工作 天, 后两人合作, 共用 0 天完成, 说明小张工作了 0 天, 小刘工作了 7 天, 而小刘单独 4 天才能完成工程, 所以小刘 7 天的工作量与小张 0 天的工作量相等, 即小刘与小张的效率比为 0 7, 时间比为 7 0, 故小张单独完成该项工程需要 0 天完成, 选择 B 5. 答案 C 解析: 由题意, 设总量为 0, 则甲 乙 丙的工作效率分别为 4 5, 总效率为 0 现在总量增加 5%, 变为 6,6 0= 6, 说明经历 个循环之后, 还剩 6 份, 甲用 小时完成 4 份, 乙用 小时完成 份, 丙用 分钟完成 份, 所以丙总共工作 小时 分钟 6. 答案 C 解析: 设一口井的总工作量为 80, 则甲家阴天效率为 0, 晴天效率为 6 乙家阴天效率为 8, 晴天效率为 8 (-0%)=6.4 设挖了 x 个晴天,y 个阴天, 则有 6x+0y=80,6.4x+8y=80, 解得 x=0,y= 7. 答案 A 解析: 根据甲乙丙三个工程队完成同一工程的时间之比是 0 5 知效率之比是 4 5, 设甲 乙 丙的工作效率为 4 5, 则 A 的工程量是 60 =80, B 的工程量为 5 70=50, 甲乙完成 B 所用的天数是 50 7=50, 丙完成 A 所用的天数是 80 5=6, 则完成 A 工程比完成 B 工程快了 4 天 8. 答案 D 解析: 不妨设 A 工程总量为 0, 则 B 工程总量为 50 甲乙丙三队的工作效率分别为 设乙丙合作了 x 天, 甲丙合作了 y 天, 则 :6x+6y+4y=0; 5x+4x+5y=50; 解得 y= 55 中公教育学员专用资料

56 9. 答案 A 解析 : 乙单独做需要 7 小时, 则乙做 6 小时完成了工作量的 6 7 = 9, 故甲 乙合作完成了工作量的 - 9 = 7 9 甲 乙的工作效率之比是 6 7 = 4, 因此甲加工 600 个零件完成了工作量的 9, 乙完成了工作量的 00 个零件 6 9, 共加工了 600 = 0. 答案 B 解析 : 设该水箱容积为 x 吨, 则甲 丙的注水效率比为最终完成 工作量的比 8 (x-8), 乙 丙的注水效率比为 7 (x-7) 则甲 乙效率比为 8 x-8 7 x-7 =, 解得 x=54, 选 B. 答案 B 解析 : 根据甲设备 5 个小时的工作量乙设备需要 6 个小时完成, 可以知道甲乙的效率比为 6 5, 根据甲 丙设备一起工作 个小时, 乙设备需要 4 个 小时完成, 不妨设甲的效率就是 6, 乙的效率就是 5, 那么就可以得到丙的效率就是 4 一项工程甲丙合作 6 个小时, 那么总工作量为 (6+4) 6=60, 那么一个小组内, 甲乙 丙三台设备合作效率为 5, 两个小组就应该是 0, 那么需要 个小时完成这项工程. 答案 D 解析 : 最初甲队拿到 =60 元, 甲 乙工作时长相同, 则甲乙的工资比等于甲乙的工效比, 即为 = 完成整个工程, 甲乙的 工作量之比为 (60+960) ( )=8 7 设甲开始的工效为, 那么乙的 工效为, 甲在提高工效后工效为 4 设还需 x 天完成任务, 则有 ( 4+4x) ( 4+x) =8 7,x= 7 40 则工程总量为 60, 所以原计划 60 (+)= 天完成. 答案 A 解析 : 第一个条件, 甲水管注水效率降为, 可设特值甲水管原 4 来的注水效率为 4, 漏水后效率变为, 注满水池所用时间之比为.5.., 即 9.. 8, 中公教育学员专用资料 56

57 4 P 工作总量不变, 效率与时间成反比, 令乙的效率为 P, 由比例关系得 P 9 8, 解 出乙的效率 P=5; 第二个条件, 乙水管水流速度提高 0%, 即从 5 提高到 6, 此时甲 乙效率和是 4+6=0, 用时为 8 小时, 根据效率与时间成反比, 推出原效率和为 9 时 所用时间为 0 小时, 故选 A 4. 答案 C 解析 : 设总工作量为 8, 则甲每天完成, 乙每天完成, 他们的 工作情况如下 : 一共花费了 =6.5 天 5. 答案 D 解析 : 设工作量为 60 份, 则甲 丙两管每小时进水量为 0 份 份, 乙 丁两管每小时排水量为 5 份 0 份 池内原有水量为 60 6 =0 份, 剩 余 50 份, 轮流有甲 乙 丙 丁四管工作, 一个循环注水 0+-(5+0)=7 份,5 个循环完成 5 份, 剩余 5 份由甲 时 45 分钟 5 5 小时完成 因此共需 (5 4+ ) 小时 =0 小 中公教育学员专用资料

58 第五章 利润问题 一 利润概述 例. 答案 C 解析 : 由题干可知, 每双鞋子可以赚 = 元, 那么 赚 0 万元需卖出 =000 双鞋 例. 答案 B 解析: 根据题意可知,64 (+60%)=40,64 (-0%)=80, 即两个计算器的成本分别为 40 元 80 元 =8 元, 赚了 8 元 例. 答案 A 解析:9 折出售后的价格为 0 90%=98 元, 这时的利润率为 98 0%, 则成本为 80 元 0% 二 常考考点 例 答案 B 解析 : 设成本是 x 元, 则定价是 (+0%)x, 售价是定价的 80%, 所以售价是 (+0%) x 80% 可得方程 x-(+0%) x 80%=4, 解得 x=00 元 例. 答案 D 解析: 设小张投资甲股票 x 万元, 则投资乙股票 (6-x) 万元, 根据题意可得 (+45%)(-0%)x+(+40%)(-0%)(6-x)=6+., 解得 x=4.6, 则小张投资甲股票 4.6 万元, 乙股票.4 万元, 投入较多的股票投资了 元, 选 D 例. 答案 A 解析: 设买 件 件 件的分别有 x y z 人, 每件商品原 x y z 44 价为, 则由题意列方程 x y z 80, 解得 z=, 即买 件 x y 0.9 z 的顾客有 人 中公教育学员专用资料 58

59 例 4. 答案 C 解析: 设一月份利润为 00, 则二月份利润为 00 (+0%) =0, 三月份利润为 0 ( +0% ) =44, 故三月份比一月份高 ( ) 00 00%=44% 例 5. 答案 A 解析: 设成本为, 则打八折后的价格为 (+0%)=., 原来的定价为. 80%=.5, 故定价时期望的利润率为 (.5-) 00%=50% 例 6. 答案 B 解析 : 设原观众人数为 00 人, 则原收入为 =50000 元, 打折后观众人数为 00 (+ )=400 人, 收入为 (+ 5 )=80000 元, 打 折后每张门票价格为 =450 元, =0.9, 即每张门票打了九折 例 7. 答案 B 解析 : 方法一, 设买进时的价格是 00 份, 则上涨 50% 后是 50 份, 再打八折后是 50 80%=0 份, 扣除 5% 的交易费用后为 0 (-5%)=4 份, 现在与买进时相比赚了 4 份, 对应实际量是 7 万元, 则买进时 00 份对应是 50 万元 方法二, 设成本为 x 万元, 根据题干中等量关系可以列出方程 x(+50%) 0.8 (-5%)=x+7, 解方程求得 x=50, 即该艺术品的成本为 50 万元 答案选 B 例 8. 答案 B 解析 : 部分折扣率总体折扣率交叉作差对应量 足球 5% % 足球的总定价 % 篮球 0% % 篮球的总定价 则足球和篮球的总定价之比为, 又每个足球和篮球的定价之比为 80 00=4 5, 则足球和篮球的个数之比为 法 : = 例 9. 答案 C 解析 : 方法一, 设剩下办公用品的利润率为 x% 利用十字交叉 00% (9-x)% 9% x% 9% 59 中公教育学员专用资料

60 ( 9 - x) % 由此可得 9% = 70% 0%, 解得 x=70 因此经销商所打的折为 70% 0=8.5 折, 即八五折 00% 方法二, 设每个办公用品的成本是, 总量为 a, 则定价是, 期望利润为 (-) a=a, 销售 70% 以后得到 0.7a 的利润, 则剩下 0% 的办公用品利润为 0.9a-0.7a=0.a, 因此其售价为 0.a 0.a+=.7, 所求折扣为.7 =0.85, 即八五折 例 0. 答案 A 解析: 由题意可知每台电脑平均获利 =00 元, 假设第一次采购时每台电脑可获利 x 元, 那么第二次采购时, 每台获利 (x-45) 元, 由此得 x 00-(x-45) x-45 x ( x 45) 有 x , 解得 x 0, 所以每台电脑进价为 0 %=000 元 例. 答案 C 解析 : 购买 80 只, 在甲商场购买, 单价为 0 元 ; 在乙商场 购买可享受优惠, 单价为 5 0.8=0.5 元 < 0 元, 乙商场更便宜, 要花 %=800 元 至少要花 800 元 例. 答案 D 解析 : 这位顾客实际上花了 =80 元钱, 购买的物品 原价为 000+ [ ] 00+80=580 元 ( [ ] 内数字取整数部分 ) % =80%, 相当于打了八折 答案为 D 例. 答案 A 解析 : 第一次购买商品原价为 =60 元 第二次购买商 品原价 00 元内部分付款 =70 元, 超出 00 元部分付了 0-70=40 元, 所以 超出 00 元的部分原价为 =50 元, 第二次购买商品原价为 00+50=50 元 合并 中公教育学员专用资料 60

61 付款相当于购买 50+60=50 元的商品,00 元内部分付 70 元,00 元以上部分付 0 0.8=68 元, 总计 70+68=48 元 可节省 =6 元 三 经典例题. 答案 D 解析: 每个减价 5 元出售可获得利润 (45-5) =0 元, 则如按八五折出售的话, 每件商品可获得利润 0 8=5 元, 少获得 45-5=0 元, 故每个定价为 0 (-85%)=00 元. 答案 A 解析: 过去的销售价格 =60 元 +40 元 =00 元, 促销八折价格销售也即现在的销售价 =80 元, 此时的利润 =40 (+0%)=5 元, 则成本 =80-5=8 元. 答案 C 解析: 由题意可知, 每年净收入有 7-40= 万 所以 5 年的总净收入共有 5=480 万元 又知购置成本为 0 万, 报废后可回收 0 万, 所以 5 年内的总盈利为 =80 万, 则所求为 万元, 选择 C 4. 答案 A 解析: 设收购价为 00 元, 则第一次以 00 (+0%)=0 元卖出, 后以 0 90%=7 元回收, 最后又以 00 元卖出 则此过程中一共获利 元, 利润率为 % 5. 答案 C 解析: 设水果店原销量为 斤, 水果每斤成本为 00, 原价为 5, 利润为 5-00=5 水果打折后每斤价格变为 5 0.9=.5, 销量变为.5 斤, 利润为.5 (.5-00)=.5.5=5.5 因此利润增加了 5% 6. 答案 B 解析: 设该电脑进价为 00 份, 则第一个月售价为 00 (+50%) =50 份, 第二个月售价为 00 (+4%)=4 份, 第三个月售价为 4 80%=.6 份, 由题意可知 50-.6=6.4 份对应实际量 80 元, 则进价为 =5000 元 7. 答案 C 解析: 设商品成本是 x 元, 减价 5%, 则商品售价为 00 (-5%) =95 元, 减少 5 元, 由题意可得 (00-x) 80=(95-x) (80+4 5), 解得 x=75 8. 答案 C 解析: 方法一, 设乙商场的进价为 00 份, 则甲商场的进价为 00 (+0%)=0 份, 则甲 乙的定价分别为 0 (+0%)=4 份 00 (+40%) =40 份, 则 份对应 45 元, 乙商场进价为 00 份, 对应实际量是 =500 元 6 中公教育学员专用资料

62 方法二, 设乙商场进价为 x, 甲商场进价为.x, 那么 (+0%).x=(+40%) x+45, 解得 x= 答案 D 解析: 根据十字交叉法计算原价比 : 甲 -0% 40%-0%=0% 0% 乙 40% 0%-(-0%)=0% 因此甲 乙原价比为, 乙原价为 60 元, 提价后为 60 (+40%)=84 元, 选 D 0. 答案 A 解析: 最开始每天利润为 %=800 元, 打九折后每天利润为 7 ( ) 00.5=50 元, 利润增加 450 元. 答案 C 解析: 设此商品售价为 X 元, 那么七折的售价为 0.7X, 返现金后的售价为 X-5( 因为选项中的售价均是小于 00 的 ), 七折销售的利润率比返现金的利润率低 9%, 就说明七折的售价比返现金的售价少了 9 元, 那么就有等式 X-5=0.7X+9, 解得 X=80 元, 选项 C 为正确答案. 答案 D 解析: 设服装的进价为 00 元, 则原定价为 0 元, 剩下的服装定价为 0 0.8=96 元, 所以剩下部分服装的利润率为 -4%, 设实际利润率为 x%, 则 : 部分利润率混合利润率交叉作差前 /4 的服装 0% (x+4)% x% 后 /4 的服装 -4% (0-x)% ( x 4)% (0 x)%, 解得 x=, 故实际利润率是 %. 答案 C 解析: 方法一, 设乙店进价为 00 份, 则甲店进价为 (-%) 00=88 份, 则甲店利润为 88 0%=7.6 份, 定价为 =05.6 份, 乙店利润为 00 0%=0 份 由题意可知乙店 件商品利润比甲店多 4 元, 则 0-7.6=.4 份对应实际量是 4 元, 则甲店定价 05.6 份对应实际量是 056 元 中公教育学员专用资料 6

63 方法二, 设乙店进价是 x, 则甲店进价是 (-%)x=0.88x, 则甲 乙利润分别为 0.88x 0% 0%x, 由题意有 0%x-0.88x 0%=4, 解得 x=000 元, 则甲的进价为 =880 元, 定价为 880 (+0%)=056 元 方法三, 根据利润 = 成本 利润率, 当利润率相同时, 成本与利润成正比 甲店成本与乙店成本之比为 (-%) = 5, 则甲 乙的利润之比为 5, 根据题意, 件商品乙比甲多收入 4 元, 即甲的利润为 4 (5-) =76 元, 则甲的定价为 76 0%+76=056 元 4. 答案 A 解析: 设服装数量为, 服装进价为, 则开始时的售价为., 设开始时卖出的数量为 x, 则.x+0.7(-x)=,x=0.6 要获得相当于进价 0% 的利润, 剩余服装的售价应定为 (.-0.6.) 0.4=0.95, 降价 5%, 选择 A 5. 答案 C 解析 : 当 00 元成本全部为甲商品时, 按照 0% 的利润定价 90% 的折扣出售, 可获得利润 00 0% 90%-00=7 元, 现只获得利润 4. 元, 少了 7-4.=.7 元 已知每份乙商品将比每份甲商品少获利 (.-.) 90%=0.09 元, 因此乙的成本价为 =0 元, 甲的成本价为 70 元 6. 答案 A 解析: 方法一, 设李先生买了 x 台 4 寸液晶电视机,y 台 9 寸 x 液晶电视机, 则 8000x y 0.85=(8000x+6000y) (-%), 解得, y 所以李先生买了 5 台 4 寸液晶电视机 方法二, 用十字交叉法 4 寸 90% % 87% 9 寸 85% % 即 4 寸液晶电视机与 9 寸液晶电视机总价之比是, 二者的单价之比是 4, 所以二者数量之比是, 两者的总数是 5, 故李先生买了 5 5 台 4 寸液晶电 视机 6 中公教育学员专用资料

64 7. 答案 B 解析 : 设花店是按定价打 x 折销售的, 根据题意有,0 (+0%) %+0 (+0%) 0 x %-0 000=-000, 解得 x=5, 即花店是按 定价打五折销售的 8. 答案 D 解析: 设该商品的成本为 00 元, 则售价为 00 元 设实体店提 价 x 元, 则售价为 0.6 (00+x) 元 ; 网站 买二送一 的售价为 = 元, 400 则有 0.6 (00+x)=, 解得 x 00 = 9, 故实体店提价占原售价的, 故选 D 9 9. 答案 A 解析 : 第一次购买原料付款 7800 元, 原料的总价值应为 7800 元, 第二次购买时付款 600 元, 原料的总价值应为 =9000 元 如果要将两次 购买变成一次购买, 那么总价值应为 =6800 元, 而应该付款额为 =440 元, 所以一次性购买比分两次购买可以节约 =460 元 0. 答案 B 解析 : 由题意可知甲 丙的利润率为 0%, 乙的利润率不足 0%, 平均利润率至多为 0%, 则尽量购买甲 丙 设购买甲 x 台, 丙 50-x 台, 则 0.5x+0.5 (50-x) 9, 解得 x 5 台, 当 x=5 时进价为 9 万元, 此时利润率为 0%, 利润最高 为 9000 元, 选 B 中公教育学员专用资料 64

65 第六章 排列组合问题 一 计数原理 例. 答案 A 解析: 分和 分总钱数为 角 分, 则要支付 角 分钱至少需要用 个 5 分的硬币 当用 个 5 分的硬币时, 可取 4 个 分 个 分 ; 个 分 个 分 ;4 个 分, 共 种方法 当用 4 个 5 分的硬币时, 可取 个 分 ; 个 分 个 分, 共 种办法 总计 5 种方法, 故选 A 例. 答案 B 解析: 按钳工 电工都会的人被挑选的情况可分为三类 : () 未被选中, 有 种选法 ; () 选中做钳工, 有 种选法 ; () 选中做电工, 有 种选法 根据加法原理, 一共有 ++=5 种不同选法 例. 答案 C 解析: 第一位字母共有 6 种选择, 最后一位是 0, 中间 位每个数字都有 0 种选择, 故所求为 =6000 例 4. 答案 B 解析: 依题意该 7 位数的前 位数字有 (,,) (,, 4) (,,4) (,,4) 共 4 种选择 末 位数字有 (6,7,8) (6,7,9) (6,8,9) (7,8,9) 共 4 种选择 符合条件的七位数有 4 4=6 个 例 5. 答案 C 解析: 选取国画和油画各一幅有 5 =5 种选法, 选取国画和水彩画各一幅有 5 =0 种选法, 选取油画和水彩画各一幅有 =6 种选法, 故共有 5+0+6= 种选法 二 排列与组合 例. 答案 () A 8 种 () C 8 种 () A 8 种 (4) A 8 种 (5) C 8 种 解析 :() 按顺序, 有百位 十位 个位三个位置,8 个数字 (8 个元素 ) 取出 个往上排, 有 A 8 种 ; () 从 8 人中选出 人即可, 无需排序, 有 C 种 ; 8 65 中公教育学员专用资料

66 () 种职务 个位置, 从 8 位候选人 (8 个元素 ) 任取 位往上排, 有 (4) 列火车编为,, 号, 从 8 股车道中任取 股往上排, 共有 (5) 从 8 种菜籽中任选 种, 有 C 种 8 A 8 种 ; A 8 种 ; 例. 答案 C 解析: 从 8 个男生中选择 个, 共有 C 种选法, 从 5 个女生中 选择 个, 共有 C 种选法 所求为 C 5 C 8 5 =560 种选法 例. 答案 D 解析 : 由题意, 共有 6 个人参加, 除去两个负责人后还剩 4 个 4 人, 空余位置 6 个, 则从 6 个位置中选出 4 个, 让 4 个人去坐就可以, 因此有 A 6 60 种不同坐法 8 三 常用方法 例. 答案 ()600;()600 解析 :() 首先优先考虑紫色灯的位置, 除去第一位和第七位外, 还有 5 种选择 ; 然后是剩余的 6 盏灯随意排, 是一个全排列 问题, 故有 同的串法 6 A 6 =6 5 4 =70 种排法 根据乘法原理, 一共有 5 70=600 种不 () 先安排第一位和第四位的灯 第一位灯不是紫色灯, 有 6 种选法 ; 第四位灯 不是紫色灯也不能与第一位灯重, 有 5 种选法 ; 第二位与第三位灯从剩余的 5 盏灯中 随意选出 盏排列, 有 串法 A 5 =0 种选法 根据乘法原理, 一共有 6 5 0=600 种不同的 例. 答案 A 解析 : 分类讨论 第一种情况为小明被选中担任副班长, 则此 时的选法有 C =6 种 ; 第二种情况为小明没被选中担任副班长, 则此时的选法有 6 种, 所以共有 6+0=6 种选法 A 6 =0 中公教育学员专用资料 66

67 例. 答案 B 解析 : 将 名老师看成一个整体, 则共有 A 5 5 A =40 种合影 排列方式 例 4. 答案 C 解析 : 将连续参观 天和 天的分别看成 个整体, 则相当于 5 从 7 天中选择 5 天接待单位, 则参观的时间安排有 A 种 7 例 5. 答案 B 解析 : 因为男女相间, 所以站在两端的都是女同学 将 名男 4 同学插入 4 名女同学内部形成的 个空中, 共有 A 6 A 5 =600 种 例 6. 答案 D 解析 : 已知孙部长射击的 0 枪中命中 5 枪, 且要保证有 4 枪连 在一起, 采用插空法, 在未命中的 5 枪形成的 6 个空中插入 个排列 ( 个是 4 枪连 中, 个是 枪命中 ), 共有 C 6 =0 种情况 例 7. 答案 A 解析: 从 5 人中任选 人有 C =0 种安排方法, 其中, 一名副 主任都没有相当于从 名秘书中任选 人有 C = 种安排方法 则至少有一名副主任 带班的安排方法有 0-=7 种 例 8. 答案 B 解析 : 任意选取 名医生有 C 84 种, 其中全是男医生有 C 5 0 种, 全是女医生有 C 4 种, 那么男 女医生都有的方案有 =70 种 四 经典模型 例. 答案 C 解析 : 每个小朋友至少得到 个桔子,7 个桔子构成 6 个空, 选 择其中 个空插入隔板, 将桔子分为 4 份, 所求为 C 6 =0 种, 选 C 例. 答案 6 解析 : 此题中没有要求每个盒子中至少放一个球, 因此首先需要 做的是将条件转化成 每个盒子至少放一个球, 则先给 号盒子 个球, 号盒子 个球, 此时剩下 5 个球, 只需要 每个盒子至少放一个球 即可, 应用隔板法, 方法 数为 C = 中公教育学员专用资料

68 例. 答案 00 解析 : 先从每班借一张门票, 转化为 5 张门票分给 5 个班, 每班至少一张 的问题, 共 4 个位置可放 4 个隔板, 即有 C =00 种方法 例 4. 答案 A 解析: 可以直接由错位重排公式 D n =(n-)( D n + D n ), ( D =0, D =) 计算得到 D = 例 5. 答案 B 解析 : 原题相当于 4 个元素的错位重排问题, 故谁也没有拿到 自己作业本的拿法有 9 种 有 例 6. 答案 B 解析 : 原题相当于 4 个元素的环形排列问题, 故不一样的坐法 A =6 种 例 7. 答案 44 种 解析 : 先坐男生有 位置选, 故有 4 A 4 种坐法, 总共有 A 4 A4 4 4 A 种坐法, 围成圆圈, 女生可以有四个 =44 种不同坐法 五 经典例题. 答案 B 解析: 一位偶数有 , 共 5 个 考虑倒数第二位, 因为相邻数字不相同且为偶数, 则有 4 种选择 倒数第三位与倒数第二位不相同, 也有 4 种选择, 所以共有 4 4=6 种情况. 答案 A 解析: 一位数中满足题意的数有 :, 一共 个 ; 两位数中满足题意的数有 =6 个 ; 三位数中满足题意的数有 =8 个 ; 四位数中排在 00 之前的有 : ; 则 00 排在第 =0 个. 答案 C 解析: 回文时间分为 a bc ba 和 ab cc ba 这两种形式 a bc ba 形式 :a 可以取 0~9 这 0 种情况,b 可以取 0~5 这 6 种情况,c 可以取 0~9 这 0 种情况, 一共有 0 6 0=600 个 回文时间 ; ab cc ba 形式 :a 可以取 和 这两种情况, a=,b 可以取 0~5 这 6 种情况,c 可以取 0~5 这 6 种情况, 有 6 6=6 个 回文时间 ; 中公教育学员专用资料 68

69 a=,b 可以取 0~ 这 5 种情况,c 可以取 0~5 这 6 种情况, 有 4 6=4 个 回文 时间 故一天有 =660 个 回文时间 4. 答案 D 解析: 首先从 4 个处室中选出两个处室 则有 C 6 种选择 ; 然 后再从选出的两个处室中, 每个处室选出一名选手, 共两名去参加比赛, 则有 C C 9 种选择, 因此总共有 种不同的方法 5. 答案 4 个 解析 : 此例正面求解需考虑 0 与 卡片用与不用, 且用此卡片 又分使用 0 与使用, 类别较复杂, 因而可使用间接计算 : 任取三张卡片可以组成不 同的三位数 A 5 A A A 个, 其中 0 在百位的有 A 4 A A 组成不同的三位数有 A A A A A =4 个 5 A 4 A 4 个, 这是不合题意的 故共可 6. 答案 B 解析 : 节目甲必须排在前两位, 可优先考虑甲 按节目甲的排位分 类 :() 甲排在首位有 A =4 种 ;() 甲排在第二位有 C 4 4 的共有 4+8=4 种, 选 B A =8 种 故满足条件 7. 答案 B 解析 : 从 A 入手,A 有 4 种选择,B 有 种选择 当 C 与 A 相同 时,D 有 种选择 ; 当 C 与 A 不同时,C 有 种选择,D 也有 种选择 综上, 不同 的种法数为 4 (+ )=84 8. 答案 D 解析 : 要组成三角形, 则 A 点必选, 再从线段 BC 上任取两点即 可, 共有 C = 个三角形 7 9. 答案 A 解析: 先排 有 C 种方法, 因为 4 要排在 5 的前面, 把 4 和 5 捆 绑在一起只有 种方法, 把 (4 5) 7 9 排好后, 再从其中的 6 个空中选两 5 个对 6 8 做全排列共有 A C A 600 种方法, 所以满足条件的九位数有 C 600=700 个 中公教育学员专用资料

70 0. 答案 B 解析 :00 7=4 在 ~00 中, 按被 7 除的余数分为 7 类 : 余 与余 的各 5 个, 余 余 4 余 5 余 6 整除的各 4 个 取两个不同的数, 要使它们的和是 7 的倍数, 必须是 : 一个余 一个余 6, 或一个余 一个余 5, 或一个 余 一个余 4, 或两个都是整除 所以, 不同的取法共有 =707 种. 答案 D 解析 : 假设每个单位先订 99 份, 再将剩下的 = 份分给 三个单位, 则可以 个单位各订一份, 有 种订法 ; 也可以一个单位 份 一个单位 份, 有 =6 种订法, 一共有 7 种订法 序为. 答案 B 解析 : 共有四类书, 同类的书不分开, 则先对每类书进行内部排 A A A 4 A 4 =88 种 再对这四类书之间进行排序, 数学书不放在边上, 只能放 在中间两个位置中, 再将剩下的 种书进行排序, 共有 88 =456 种排法 A = 种排法 一共有. 答案 C 解析 : 将每个三口之家作为一个整体, 他们坐在 座还是 4 座, 有 种可能 其中坐在 座的家庭有 A 种坐法 ; 坐在 4 座的家庭由于只可以相邻而 坐, 所以有 A 种坐法, 由乘法原理可知, 共有 A A = 6 6=44 种安排 方法 4. 答案 A 解析 : 因为相邻的两个二极管不能同时点亮, 所以需要把 个点 亮的二极管插放在未点亮的 5 个二极管之间及两端的 6 个空上, 共有 C 种亮灯办法 然后分步确定每个二极管发光颜色有 种, 共有 =8 种方法, 所以这排二极管能 表示的信息种数共有 C =60 种 6 5. 答案 B 解析 : 甲乙必须安排相邻的两天, 则先用捆绑法将甲乙放在一起, 甲乙两人内部有 种排法 ; 不考虑甲乙丙, 对剩下的 4 人进行全排列, 有 排法 ; 甲乙与丙不相邻, 利用插空法从 5 个空中选出两个排列, 有 上, 一共有 4 0=960 种不同的排法 6 4 A4 4 种 A 5 =0 种排法 综 中公教育学员专用资料 70

71 6. 答案 D 解析 : 由题意知关掉的三盏灯不能相邻, 也不能在两端, 可以考 虑插空法 第一种情况 : 三盏灯彼此不相邻, 相当于在七盏灯中间插入三盏灯, 共 C 6 =0 种方法 第二种情况 : 三盏灯分成两组, 然后在七盏灯中间插入两组, 共 C 6 A =0 种方法 所以一共有 50 种方法 7. 答案 D 解析: 原来的 0 个人相对位置不变, 再加入三个人采用插空法, 因为新加入的三个人没有不相邻的要求, 所以总共的排法有 =76 种 8. 答案 C 解析: 此题可考虑对立面 甲 乙两人同时参加, 共有 C 6 =5 种 总共的选派方法有 C 4 8 =70 种, 本题所求为 70-5=55 种 9. 答案 C 解析 : 方法一, 首先设密码的第一位, 根据题意, 有 五种选择 ; 然后设密码的后两位, 可分为 种情况 : 当只有第二位数字为 6 时, 第 三位有 9 种选择 ; 当只有第三位为 6 时, 第二位有 9 种选择 ; 或者末两位均为 6, 种选择 因此, 总的密码个数为 5 (9+9+)=95 种 方法二, 首先设密码的第一位, 根据题意, 有 五种选择 ; 由题意, 后两位中至少有一个是 6, 反面就是后两位都不是 6, 故后两位中至少有一个是 6 的方 法数是 =9, 由乘法原理, 他可选择的密码个数为 5 9=95 0. 答案 C 解析 :5 名工作人员安排在星期一至星期五, 有 在星期一, 有 五有 5 A 5 种情况 ; 老陶 4 4 A 4 种情况 ; 小刘在星期五, 有 A 4 种情况 ; 老陶在星期一且小刘在星期 5 A 种情况 故老陶不在星期一 小刘不在星期五的排法共有 A5 - A A =78 种. 答案 C 解析 : 根据题意知该密码是一个四位数, 个 十 百 千位上的 数字之和是 9, 每个位置上的数字都不为 0 那么该问题就相当于 将 9 个相同的小球 放入 4 个不同的盒子中, 每个盒子至少一个, 有多少种方法? 的问题, 应用隔板法, 有 C =56 种 8 7 中公教育学员专用资料

72 . 答案 C 解析: 先分梨, 分给 4 位同学中一位, 共 C 种分法 此时假设向 分得一个梨的同学借一个苹果, 此时有 6 个苹果, 分给 4 位同学, 每位至少分一个, 满足隔板法要求, 共 C 5 种分法 根据分步相乘, 可得满足条件的分法共 C C 5 =40 种. 答案 B 解析 : 错位重排问题,5 个元素, 全部错位, 所以方法数为 44 种 4. 答案 D 解析 : 第一步 : 从 7 对夫妇中选 对恰好是夫妻互为舞伴, 有 C = 种情况 ; 选法 第二步 : 剩下 5 对选错的, 即为错位重排, 有 44 种情况, 故共有 44=94 种 5. 答案 D 解析 : 孩子必须坐在其父母中间, 即每个家庭的家庭成员都坐在 一起, 所以将每个家庭捆绑在一起, 共有 家庭圆桌排序共有 4 A A A A A = 种方法, 将 5 个 4 A 4 =4 种, 所以不同的坐法共有 4=768 种 4 7 中公教育学员专用资料 7

73 第七章 概率问题 一 古典概率 例. 答案 ()0.6 ()0.8 ()0.8 解析 : 基本事件的种数为 C =5 种 6 () 恰有一名参赛学生是男生的基本事件有 C C =9 种, 所以这一事件的概率 9 为 =0.6 5 () 至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的, 即恰有一名参赛 9 C 学生是男生和两名参赛学生都是男生, 所以所求事件的概率为 () 同理至多有一名参赛学生是男生的概率为 0.8 例. 答案 B 解析 : 摸出黄球的概率 = 黄球 = 黄球 白球 4, 所以白球和黄球共 有 6 4 =8 个, 白球为 8-6= 个 白球比黄球少 6-=4 个 例. 答案 A 解析 : 任意安排四名同学的跑步顺序有 接力棒交给乙的顺序有 6 A =6 种, 故所求概率为 = A 4 =4 种, 恰好由甲将 例 4. 答案 A 解析: 从 4 位骨干医师中 ( 含有甲 ) 抽调 人有 C 6 种 甲 选中, 其余 人中任选 人有 C = 种 所求概率为 6 C C 例 5. 答案 B 解析: 所求为 = =0.6, 选 B C 中公教育学员专用资料

74 例 6. 答案 A 解析 : 四种药剂错位重排有 9 种方法, 四种药剂分别放入四种 溶液, 有 4 种方法, 所以爆炸的可能性有 8 例 7. 答案 D 解析: 从 8 个球中选取 4 个球, 有 C =70 种不同的方法 选取 的 4 个球颜色相同, 只有同为红球和同为白球 种, 其他情况下都会有两种颜色, 则 4 选取的 4 个球包含两种颜色的概率为 - = 70 5 例 8. 答案 A 解析 : 从两个部门中安排三人出差, 每个部门至少派出一人的 选法共有 C C + C C =9 9 种, 三人中全是男性的选法有 C 种, 则所求至少一名女性被安排出差的概率为 C + C C =0 4 =- 0 7 = 二 独立重复试验 例. 答案 A 解析: 根据题意, 每一粒发芽的概率为 90%=0.9, 则每一粒不发芽的概率为 -0.9=0., 播下 5 粒种子, 则其中恰有两粒未发芽的概率为 C = , 故选 A 5 ( 0.) (0.9) 例. 答案 C 解析: 线路正常工作的概率为 (- 0. ) 0.7=0.68 例. 答案 A 解析 : 小王 元钱买了 6 个环, 要在最后多赢 元钱, 则要套 4 中 4 个环, 则所求的概率为 C = , 故选择 A 4 6 例 4. 答案 D 解析 : 已知每位乘客在各车站下车是等可能的, 可以下车的站 共有 0 站, 所以, 乘客在第 站下车的概率为 /0, 不下车的概率为 9/0, 根据独 立重复事件概率公式, 可知在第 站恰有 4 位乘客下车的概率为 : C09 C 0 = 中公教育学员专用资料 74

75 例 5. 答案 D 解析 : 只有乙在最后三局中都获胜, 乙才能获胜, 概率为 (40%) =6.4%, 那么甲获胜的概率为 -6.4%=9.6%>9%, 应选择 D 例 6. 答案 C 解析 : 甲赢得比赛有两种情况 : 一是前两局连胜, 概率为 0.8 =0.64; 二是前两局一胜一负 第三局获胜, 概率为 C =0.56, 故甲获胜概率为 =0.896 故选 C 三 经典例题. 答案 A 解析: 掷三次可能出现的数字共有 6 6 6=6 种可能 掷三次点数都不同共有 6 5 4=0 种可能, 将三个不同的数字按照从大到小的排列共有 0 A =0 0 5 种可能, 所以概率为 = 答案 C 解析: 方法一, 每人只能选择一家社区医院, 所以甲 乙两人共有 =9 种可能情况, 满足题目条件的 两人不选择同一家社区医院 共有 =6 种情 况, 所以所求概率为 6 = 9 方法二, 甲 乙两人不选择同一家社区医院 的概率 =- 甲 乙两人选同一家 医院 的概率 =- =. 答案 A 解析: 从 5 张门票中任选 张, 有 C =0 种情况, 所取两张票价 5 格相同有 C C 4 4 种情况, 因此所取两张票价格相同的概率为 = 答案 C 解析: 第一步从甲 乙 丙三位医生选取一位医生有 C = 种, 第 二步从 A B 两名护士中选取一名护士有 C = 种, 所以总有 =6 种方法 选中医 生甲和护士 A 的方法只有一种, 所求概率为 6 75 中公教育学员专用资料

76 5. 答案 C 解析 : 第一次若摸出 9 号球, 第二次摸出的球的数字比第一次小将 有 9 种可能 ; 第一次若摸出 8 号球, 第二次摸出的球的数字比第一次小将有 8 种可 9 8 能 由此可知, 获奖的概率是 00%=45% 答案 D 解析 : 第一次抽白球的概率为 4, 然后第二次抽中白球的概率为 第一次抽黑球的概率为, 然后第二次抽中白球的概率为 由加法原理和乘法原 0 9 理可知, 第二次取到白球的概率 = = 5, 选择 D 7. 答案 C 解析 : 假设给这 6 名学生编号为 4 5 6, 张萌和赵菲 编号分别为 和 针对于 号学生来说, 他可能和 号同组, 总共有 5 种情况, 在每组情况概率都相同的情况下, 号和 号同组的概率为 5 8. 答案 B 解析 : 若要乘积是 5 的倍数, 只要抽出一个编号为 5 或 0 的小球 ; 9 即可, 每次抽不到这两个小球的概率为 0.8 小球编号乘积是 5 的倍数的概率为 (- 0.8 ) 00%=48.8% 9. 答案 A 解析 : 由题意可知, 获得 票或者全票即可进入下一轮 所求概率 为 C ( ) ( ) 0. 答案 A 解析 : 落在第一象限的概率为 所以只有 次没落在第一象限的概率为 C 4 ( ) = , 不落在第一象限的概率为, 4 4. 答案 C 解析 : 两队双胞胎各自捆绑看成一人, 总人数相当于 5 人, 坐好 的方法有 5 A 5 A %.% A 5=96 种方法, 随便坐有 6 A 6 =70 方法, 所以概率为. 答案 B 解析 : 第四次找出 件次品, 有两种情况 : 一, 前三次找出 件 C C 次品 第四次找出第 件次品, 概率为 C = 5 ; 二, 前四次找出 4 件正品, 中公教育学员专用资料 76

77 即剩余的为 件次品, 概率为 4 C = 综上可得, 第四次找出 件次品的概率为 = 答案 A 解析 : 根据题意可得, 单位有男员工 =0 人, 党员 50-5=5 人 若要使选择的 人是男性党员的概率最大, 必须让男性党员的人数尽可能多, 即 男员工全是党员, 概率最大为 0 = 答案 C 解析 : 两人相邻有 (4,5) (5,6) (6,7) (,4) (4,5) 种情况, 选走 个号码, 第三人还有 0 种选择, 其中 人都相邻的 (4, 5,6) (5,6,7) (6,7,8) (,,4) (,4,5)0 种情况 属于多计算的 故所求概率为 =, 选 C C 5. 答案 D 解析 : 空姐留电话的概率为 50%, 则没有人成功概率为 C 6 ( 0.5) ( ) = ; 有 个人成功的概率为 C ( 0.5) ( - 0. ) = ; 有 个人成功的概率是 4 C 6 ( 0.5) ( ) = 64 5 故所求概率为 = 答案 C 解析 : 乙获胜分三种情况 : 乙投中 球, 甲没投中 ; 乙投中 球, 甲没投中或者投中 球 ; 乙投中 球, 甲没投中或者投中 球或者投中 球, 这三种 情况的概率之和即为所求, 具体算法 : C C ( C 0.5 )+ 0.4 ( C C 0.5 )=0.54, 故选择 C 77 中公教育学员专用资料

78 第八章 几何问题 一 平面几何 例. 答案 C 解析: 根据三角形构成定理 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 可知, 第三条边 X 的取值范围应为 <X<8, 又 X 为整数, 因此可取值仅有 五个, 即这样的三角形有 5 个 例. 答案 C 解析: 可以是边长为 cm 或 4cm 的等边三角形和边长为 cm 4cm 4cm 的等腰三角形, 所以周长可能是 ++=6cm 4+4+4=cm +4+4=0cm 例. 答案 C 解析: 设此直角三角形两直角边分别为 a b, 斜边为 c, 则由 题意可知 ab=0,c=40-(a+b), 由直角三角形勾股定理可知 则有 a+b=, 则 c=7, 故选 C [40 ( )] a b a b, 例 4. 答案 D 解析 : 设正八边形边长为 x, 可列方程得 x= - ( x ), 解得 x= - 例 5. 答案 D 解析 : 设正方形的边长为 x, 可得 (-0%)x(x+)=x, 解 得 x=8 故原正方形的面积为 64 例 6. 答案 C 解析 : 相邻两个正方形的面积之比是, 所以第六个正方形 的面积是 80 5 =00 平方厘米 例 7. 答案 D 解析 : 设宽是 x, 则 (x+x)=, 求出 x=4, 所以长 宽分 别是 米和 4 米, 所以面积是 4=48 平方米 例 8. 答案 A 解析 : 大正方形的面积是 00 平方厘米, 边长就是 0 厘米, 这 正好等于一个长方形的长加宽, 所以一个长方形周长等于 0 =0 厘米 例 9. 答案 B 解析 : 变化后的图形面积为 (AD+BC) (-0%) DE (+0%) =99% (AD+BC) DE, 减少 % 中公教育学员专用资料 78

79 例 0. 答案 C 解析 : 已知四边形的对角线相互垂直, 则四边形的面积等于对 AC BD 角线乘积的一半 根据梯形的面积公式可知 (AD+BC) AE, 解得 4 AE= 5 例. 答案 C 解析 : 牧场半径为, 则牧场周长为 π, 绕牧场一周 π 需要时间为 π 小时, 即 0 分钟 8 例. 答案 D 解析 : 面积比就是圆心角之比,4 56= 4, 圆的圆心角 时 60 度, 所以扇形的圆心角是 90 度 例. 答案 A 解析 : 小圆环所扫过的区域如下图阴影所示, 其面积等于 π (+8) -π 8 =6π 平方厘米 例 4. 答案 A 解析 : 如图所示为小球移动的路径,A-C 小球做自由落体运动, C-B 做圆周运动 则总移动距离为 AC+ 弧 BC 三角形 AOC 构成等边三角形,AC=; 弧 BC 的长度是 6 圆周长度, 为 所以共移动了 +, 选 A 79 中公教育学员专用资料

80 例 5. 答案 A 解析 : 方法一, S AFC = S 梯形 FGBA + S ABC - S GFC, 其中 S 梯形 FGBA = BG (FG+AB)= FG (BG+BC)= FG GC= S GFC, 所以 S AFC = S ABC = = 方法二, 等积转化法 连接 BF 因为四边形 FGBE 四边形 ABCD 都为正方形, 则 FB//AC, 则从 F 点到 AC 的距 离和从 B 点到 AC 的距离相等, 则 AFC 与 ABC 是同底等高的, 则 S AFC = S ABC = = 方法三, 特值法 点 E 在 AB 上, 正方形 EFGB 的边长未知, 则可设为特殊值, 设 E 点与 A 点重合, 则正方形 EFGB 边长也为, 如图所示 则 S AFC = AF CD= = 中公教育学员专用资料 80

81 例 6 答案 A 解析 : 如图, 阴影部分的面积可以 等积变形 为下图中的 GMF 的面积 已知等宽的长方形面积之比就是相对的底边之比, 不妨设大长方形的长为 a 厘米, 宽为 b 厘米, 则有 :AE= a,bf= a, 所以,GH=BF-AE= a 所以, 阴影部分的 7 面积为 : a b= 0= 0 cm 例 7. 答案 A 解析 : 如下图, 容易发现图形 与图形 是全等的, 图形 与 图形 4 是全等的, 将阴影部分进行等积转化, 所以阴影部分面积是 4=8, 故应选择 A 选项 例 8. 答案 6 解析 : 阴影部分面积是直径为 4 的圆的面积加上正方形的面积 再减去正方形内空白扇形的面积, 所以 S 阴影 = =6 4 例 9. 答案 C 解析 : 由 DE BC, 可知 DE CB = AE AB, 即 7 = AE AE 8 AE=6, 结合 DE= 可知 AD=,AC=7, 所以 DC=7 - =4, 解得 8 中公教育学员专用资料