例 02 团体购买公园门票票价如下购票人数 1~ 50 51~ 人以上每人门票 ( 元 ) 13 元 11 元 9 元今有甲乙两个旅行团, 已知甲团人数少于 50 人, 乙团人数不超过 100 人. 若分别购票, 两团共计应付门票费 1392 元, 若合在一起作为一个团体购票,

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卦慕关
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1 一二 ( 多 ) 元一次方程组的应用 1. 和差倍分问题二元一次方程组专项练习二例 01 某市中学生举行足球联赛, 共赛 17 轮 ( 即每对均需参赛 17 场 ), 记分办法是胜一场得 3 分, 平一场得 1 分, 负一场得 0 分. (1) 在这次足球赛中, 若小虎足球队踢平场数与所负场数相同, 共积 16 分, 试求该队胜了几场? (2) 在这次足球赛中, 若小虎足球队总积分仍为 16 分, 且踢平场数是所负场数的整数倍. 试推算小虎足球队所负场数的情况有几种? 关键词包头市, 中考题, 和差倍分问题解析设小虎足球队胜了 x 场, 平了 y 场, 负了 z 场, x2y 17 x 3 (1) 根据题意可得由, 得. 3x y 16 y 7 x y z 17 (2) 由题意得 3x y 16, 且 y kx ( k 为正整数 ), 当 k 1时, z 7 ; 当 k 2 时, z 5 ; 当 k 16 时, z 1; 即小虎足球队所负场数有三种情况. 答案 (1)3;(2)3 巩固某次数学竞赛前 60 名获奖. 原定一等奖 5 人, 二等奖 15 人, 三等奖 40 人 ; 现调为一等奖 10 人, 二等奖 20 人, 三等奖 30 人. 调整后一等奖平均分数降低 3 分, 二等奖平均分数降低 2 分, 三等奖平均分数降低 1 分. 如果原来二等奖比三等奖平均分数多 7 分, 求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分? 关键词第 9 届, 华杯赛, 决赛试题, 和差倍分问题解析设调整后一等奖二等奖三等奖平均分数各为 x, y, z 分, 答案 5 5( x 3) 15( y 2) 40( z 1) 10x 20y 30z 由题意得 y 2 ( z 1) 7 x y 2z 17 化简得 y z 6 于是 x y 5.

2 例 02 团体购买公园门票票价如下购票人数 1~ 50 51~ 人以上每人门票 ( 元 ) 13 元 11 元 9 元今有甲乙两个旅行团, 已知甲团人数少于 50 人, 乙团人数不超过 100 人. 若分别购票, 两团共计应付门票费 1392 元, 若合在一起作为一个团体购票, 总计应付门票费 1080 元. (1) 请你判断乙团的人数是否也少于 50 人. (2) 求甲乙两旅行团各有多少人? 考点二( 多 ) 元一次方程组的应用关键词 2007 年, 恩施自治州, 中考题, 和差倍分问题解析 (1) 乙团的人数不少于 50 人, 不超过 100 人, 且甲乙两旅行团总人数超过 100 人. 13x11 y1392 x 36 (2) 设甲乙两旅行团分别有 x 人 y 人, 则, 解得 : 9( x y) 1080 y 84 答案 (1) 乙团的人数不少于 50 人 ;(2) 甲旅行团 36 人, 乙旅行团 84 人. 例 03 夏季, 为了节约用电, 常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施. 某宾馆先把甲乙两种空调的设定温度都调高 1, 结果甲种空调比乙种空调每天多节电 27kW h; 再对乙种空调清洗设备, 使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高 1 后的节电量的 1.1 倍, 而这时甲种空调节电量不变, 这样两种空调每天共节电 405kW h. 求只将温度调高 1 后两种空调每天各节电的度数. 关键词和差倍分问题解析解应用题时, 通常是问什么就设什么, 故设只将温度调高 1 后, 甲空调每天可节电 x kw h, 乙空调每天可节电 y kw h. 由先把甲乙两种空调的设定温度都调高 1, 结果甲种空调比乙种空调每天多节电 27kW h, 可得方程 x y 27. 然后根据再对乙种空调清洗设备, 使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高 1 后的节电量的 1.1 倍, 而这时甲种空调节电量不变, 这样两种空调每天共节电 405kW h, 得方程 x1.1y 405. x y 27 x 207 于是得方程组解得 x 1.1y 405 y 180 答案只将温度调高 1 后, 甲空调每天可节电 207kW h, 乙空调每天可节电 180kW h. 2. 工程问题

3 例 04 有一项工程, 甲单独做 a 天完成, 乙单独做 b 天完成 ( a, b都是正整数 ), 现在由甲先做 4 天, 余下的由甲乙合作 3 天完成, 求 a, b的值. 关键词工程问题解析根据题意可知 : ( ) 1; 化简得到 ( b 3)( a 7) 21 ; a a b a 28 a 8 a 14 a 10 易得或或或. b 4 b 24 b 6 b 10 a 28 a 8 a 14 a 10 答案或或或. b 4 b 24 b 6 b 10 巩固甲乙丙三队要完成 A B 两项工程. B 工程的工作量比 A 工程的工作量多 25%, 甲乙丙三队单独完成 A 工程所需的时间分别是 20 天 24 天 30 天. 为了共同完成这两项工程, 先派甲队做 A 工程, 乙丙二队做 B 工程 ; 经过几天后, 又调丙队与甲队共同完成 A 工程. 问乙丙二队合作了多少天? 关键词第 14 届, 迎春杯, 决赛试题, 工程问题解析设乙丙二队合作了 x 天, 丙队与甲队合作了 y 天. 答案 15 5 将工程 A 的工作量视为 1, 则工程 B 的工作量可视为 125%, 4 x y y x5y 60 由题意得 :, 去分母得, x x y 5 9x 5y x 15 解得, 即乙丙二队合作了 15 天. y 3 巩固某城市有一段马路需要整修, 这段马路的长不超过 3500 米, 今有甲乙丙三个施工队, 分别施工人行道非机动车道和机动车道. 他们于某天零时同时开工, 每天 24 小时连续施工. 若干天后的零时, 甲完成任务 ; 几天后的 18 时, 乙完成任务 ; 自乙队完成的当天零时起, 再过几天后的 8 时, 丙完成任务, 已知三个施工队每天完成的施工任务分别为 300 米 240 米 180 米, 问这段路面有多长?

4 关键词第 17 届, 江苏省, 竞赛题, 工程问题 18 解析乙队最后一天完成 ( 米 ), 丙队最后一天完成 24 答案 ( 米 ), 设甲队 a 天完成, 过 b 天后的 18 时乙队完成, 自乙队完成的当天零时起, 再过 c 天后的 8 时丙队完成,( a b c 均为正整数 ), 则 300a 240( a b) ( a b c) 60,5a 4( a b) 3 3( a b c) 1, a4b3 a4b3 即 a b 3c 2, 解得 1 5 5, 又 300(4 b 3) 3500, 即 b 2, 又 c ( b 1), 因为 c 是 ( 1) 5b 3 3c c b 整数, 故 b 2, 进而可得 a 11, b 2, c 5, 马路的长为 ( 米 ). 3. 行程问题例 05 已知某铁路桥长 800m, 现有一列火车从桥上通过, 测得火车从开始上桥到完全过桥共用 45s, 整列火车完全在桥上的时间是 35s, 求火车的速度和长度. 关键词行程问题解析设火车的速度为 x (m/s), 火车长为 y (m), 45x 800 y x 20 依题意得 : 35x 800 y y 100 答案火车的速度为 20m/s, 长度为 100m. 例 06 一个人某天骑车上班比平时每分钟快 10 米, 结果提前 5 分钟到达工作地点, 下班时, 每分钟比平时慢 10 米, 结果晚到家 7 分钟. 问他从家到工作单位的距离是多少? 关键词行程问题解析设原来每分钟的速度为 x 米 / 分, 原定的时间为 y 分. ( y 5) ( x 10) xy 依题意可得 : ( x 10) ( y 7) xy x 2y 10 x 60 整理可得, 解得. 7x10y 70 y 35 故 xy , 即他从家到工作单位的距离是 2100 米.

5 答案他从家到工作单位的距离是 2100 米. 巩固某人沿公路匀速前进, 发现每隔 a 分钟迎面开来一辆公共汽车, 每隔 b 分钟背后追上来一辆公共汽车. 假设车站发车间隔时间相同且车速不变. 求车站发车间隔时间. 若已知该人的步行速度, 能否推出公共汽车行驶的速度? 关键词行程问题解析设汽车和人的速度分别为 x 米 / 分 y 米 / 分, 相邻两车间相距 s 米. ax ay s s 根据题意, 得, 消去 y, 得 2 abx a ( b s), 由此得 bx by s x 2ab a b, 即车站发车间隔时间. 消 b a 去 s, 即 x y. b a 答案 (1) 2ab a b ;(2) 设汽车和人的速度分别为 x 米 / 分 y 米 / 分, b x a y. b a 4. 储蓄问题例 07 小王买了利率为 3% 的三年期和年利率为 3.5% 的五年期国库券共元. 若三年期国库券到期后, 把本息再连续存两个一年期的定期储蓄, 五年后与五年期国库券的本息总和为元, 问小王买三年期国库券与五年期国库券各多少元?( 一年期定期储蓄年利率为 1.98% ) 难度 2 星关键词储蓄问题解析设小王买三年期国库券为 x 元, 五年期国库券为 y 元, x y70000 依题意得 : 2 (1 3% 3)(1 1.98%) x (1 3.5% 5) y x 解这个方程组可得,. y 答案小王买三年期国库券为元, 五年期国库券为元. 巩固某工商银行现有存款 4600 万元, 与去年同期相比, 定期存款增加了 25 %, 存款总额增加了 15 %, 问现有定期活期存款各多少万元? 考点二( 多 ) 元一次方程组的应用难度 2 星

6 关键词储蓄问题解析略答案现有定期存款 4000 万元, 活期存款 600 万元. 5. 产品配套问题例 08 一套电器配件包括 6 个零件 A,4 个零件 B,2 个零件 C. 一车间共有 43 名工人, 每个工人每小时可加工 15 个零件 A, 或 12 个零件 B, 或 9 个零件 C. 要使生产零件配套, 应分配加工零件 A B C 的人数各多少? 关键词产品配套问题解析设加工零件 A B C 的人数分别为 x y z, 根据题意, 所生产的零件 A B C 的数量比应为 6: 4: 2, x 18 x y z 43 由此得, 解得 y x :12 y :9z 6 : 4 : 2 z 10 答案加工 A 零件 18 人, 加工 B 零件 15 人, 加工 C 零件 10 人. 巩固福林制衣厂现有 24 名制作服装的工人, 每天都制作某种品牌的衬衫和裤子, 每人每天可制作这种衬衫 3 件或裤子 5 条. (1) 若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等, 则应各安排多少人制作衬衫和裤子? (2) 已知制作一件衬衫可获得利润 30 元, 制作一条裤子可获得利润 16 元, 若该厂要求每天获得利润 2100 元, 则需要安排多少名工人制作衬衫? 关键词产品配套问题解析 (1) 设安排 x 人制作衬衫, 安排 y 人制作裤子. 由关键语句现有 24 名制作服装的工人和每天制作的衬衫和裤子数量相等, 可得到等量关系. x y 24 x 15 可得方程组, 解得 3x 5y y 9 (2) 设安排 a 人制作衬衫, b 人制作裤子, 可获得要求的利润 2100 元. ab24 a 18 可列方程组, 解得 30 3a16 5b 2100 b 6 答案 (1) 安排 15 人制作衬衫, 安排 9 人制作裤子 ;(2) 安排 18 人制作衬衫,6 人制作裤子巩固组装甲乙丙 3 种产品, 需用 A B C 3 种零件. 每件甲需用 A B 各 2 个 ; 每件乙需用 B

7 C 各 1 个 ; 每件丙需用 2 个 A 和 1 个 C. 用库存的 A B C 3 种零件, 如组装成 p 件甲产品 q 件乙产品 r 件丙产品, 则剩下 2 个 A 和 1 个 B, C 恰好用完. 说明 : 无论怎样改变生产甲乙丙的件数, 也不能把库存的 A B C 3 种零件都恰好用完. 考点二( 多 ) 元一次方程的应用关键词产品配套问题解析由题意可知, 库存的 A B C 3 种零件的个数分别为 :A 种 (2p2r 2) 个,B 种 (2pq 1) 个, C 种 ( q r) 个. 假设生产甲 x 件, 乙 y 件, 丙 z 件恰好将 3 种零件都用完,( x y z 均为正整数 ) 2x 2z 2 p 2r 2 则由题意可得 2x y 2 p q 1 y z q r 1 2,1+3-2 得 :3z3r 1, 它的左边是 3 的倍数, 右 3 答案不能边是 3 的倍数加 1, 矛盾, 不成立, 所以不能把库存的 A B C 3 种零件都恰好用完. 6. 调配问题例 09 有甲乙两种矿石, 其中甲矿石含铁 54 %, 乙矿石含铁 36 %, 现需若干吨含铁 48 %的混合矿石, 如果在混合时甲矿石少取 10 吨, 乙矿石多取 10 吨, 则混合后所得矿石含铁 45 %, 问每种矿石各取多少吨? 考点二( 多 ) 元一次方程组的应用关键词调配问题解析略答案甲矿石取 40 吨, 乙矿石取 20 吨. 巩固 A B C 三人各有纸牌若干张, 要求互相赠送, 先由 A 给 B C, 所给的张数等于 B C 原来各有的张数, 依同法再由 B 给 A C 现有张数, 后由 C 给 A B 现有张数, 互送后每人恰好各有 32 张, 问原来三人各有纸牌多少张? 关键词华罗庚金杯模拟试题, 调配问题解析设 A B C 原来的纸牌张数分别为 x, y, z, 第一次赠送后的纸牌数分别为 : x y z, 2y, 2z ; 第二次赠送后的纸牌数分别为 : 2( x y z), 2 y ( x y z) 2z, 4z ; 第三次赠送后的纸牌数分别为 : 4( x y z), 4y 2( x y z) 4z, 4z 2( x y z) 2 y ( x y z) 2z

8 4( x y z) 32 x 52 则有方程组 : 4y 2( x y z) 4z 32, 求解得 : y 28 4z 2( x y z) 2 y ( x y z) 2z 32 z 16 答案 A B C 原来的纸牌张数分别为 52,28,16 7. 商品利润问题例 10 某电子产品去年按定价的 80% 出售, 能获 20% 的利润. 今年由于买入价低, 按去年同样定价的 75% 出售, 能获 25% 的利润. 问今年买入价是去年买入价的几折? 关键词商品利润问题解析设今年的买入价是 x 元, 去年的买入价是 y 元, 两年的定价都是 m 元. 答案 y 0.8m x 9 根据题意, 得方程组, 两式相除, 得 1.25 x 0.75m y 10. 巩固经营户小熊在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容 : 蔬菜品种红辣椒黄瓜西红柿茄子批发价 ( 元 / 公斤 ) 零售价 ( 元 / 公斤 ) 他共用 116 元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共 44 公斤到菜市场去卖, 当天卖完. 请你计算出小熊能赚多少钱? 关键词商品利润问题解析设小熊在市场上批发了红辣椒 x 公斤, 西红柿 y 公斤. x y 44 依题意得 : 4x1.6y 116 解这个方程组, 得 x 19, y 25. 答案他卖完这些西红柿和红辣椒能赚 29 元.

9 8. 图形问题例 11 某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片, 长方形的宽与正方形的边长相等 ( 如图 ⑵), 再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒 ( 如图 ⑴). 现将 300 张长方形硬纸片和 150 张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒, 可以做成甲乙两种小盒各多少个?( 注 : 图 ⑴ 中向上的一面无盖 ) 甲 1 ( ) 乙 2 ( ) 关键词 2006 年, 中山市, 中考题, 图形问题解析设可以做成甲乙两种小盒各 x y 个, 根据题意可列方程组 : 4 x 3 y 300 x 30, 解得 x 2y 150 y 60 答案可以做成甲乙两种小盒各个 9. 方案决策问题例 12 某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机. 已知该厂家生产三种不同型号的电视机, 出厂价分别为 : 甲种每台 1500 元, 乙种每台 2100 元, 丙种每台 2500 元. (1) 若商场同时购进两种不同型号的电视机 50 台, 共付 9 万元, 请探究一下商场的进货方案 ; (2) 若商场销售一台甲种电视机可获利 150 元, 销售一乙种电视机可获利 200 元, 销售一台丙种视机可获利 250 元. 在同时购进两种不同电视机的方案中, 哪种能使获利最大? (3) 若商场准备用 9 万元同时购进三种不同型号的电视机 50 台, 请你设计进货方案. 考点二( 多 ) 元一次方程组的应用关键词方案决策问题解析 (1) 应分三种情形讨论 : x y50 x 25 1 设购进甲种电视机 x 台, 乙种电视机 y 台, 列方程组, 解得 ; 1500 x2100 y90000 y 25 2 同理求得若同时购进甲丙电视机分别为 35 台和 15 台 ; 3 不可能同时购进乙丙两种电视机 ( 方程组无正整数解 ). (2) 通过直接计算, 上述两种方案的利润分别为 8750 元和 9000 元, 应选第二种方案. 也可进行估算, 在三种机型中, 乙的利润率最低, 甲丙相同, 易选择方案二.

10 ( 3 ) 设购进甲乙丙三种电视机分别为 x 台 y 台和 z 台, 可列方程组 5(35 x) y x y z 50, 分别解出 y 和 z 得 2, 1500 x 2100y 2500z ( x 25) z 2 根据题意, 分别得到符合题意的整数解为 : x1 33 y1 5 z1 12 x2 31, y2 10 z2 9 x3 29, y3 15 z3 6 x4 27, y4 20 z4 3 答案四种进货方案 : 方案 1 购进甲乙丙三种电视机分别为 33 台 5 台和 12 台 2 购进甲乙丙三种电视机分别为 31 台 10 台和 9 台 3 购进甲乙丙三种电视机分别为 29 台 15 台和 6 台 4 购进甲乙丙三种电视机分别为 27 台 20 台和 3 台巩固韦武准备装修一套新宅, 若甲乙两个装饰公司合做需 6 周完成, 需工钱 5.2 万元 ; 若甲公司单独做 4 周后, 剩下的由乙公司来做, 还需 9 周才能完成, 需工钱 4.8 万元. 若只选一个公司单独完成, 从节约开支的角度考虑, 韦武是选甲公司还是选乙公司? 请说明理由. 关键词广西, 竞赛题, 决策问题, 方案决策问题解析设甲公司单独完成需 x 周, 需要工钱 a 万元, 乙公司单独完成需要 y 周, 需要工钱 b 万元, 由题意答案乙公司 a b 6( ) 5.2 x y x a 6 得, 解得, 由所得工钱可得, 解得, 从节约开支的角 4 9 y 15 1 a b b x y 度考虑, 韦武应选乙公司装修房子. 巩固某电脑公司有 A B C 三种型号的电脑, 价格分别为 A 型每台 6000 元,B 型每台 4000 元,C 型每台 2500 元. 东坡中学计划将元钱全部用于从该公司购进电脑, 总共要其中两种不同型号的电脑 36 台. 请你设计几种购买方案供该校选择, 并说明理由. 关键词方案决策问题解析设该校从这家电脑公司购进 A 型电脑 x 台,B 型电脑 y 台,C 型电脑 z 台. (1) 只购进 A 型电脑和 B 型电脑. 6000x 4000 y 列方程组 x y 36

11 x 解得不合题意, 舍去. y (2) 只购进 A 型电脑和 C 型电脑. 6000x 2500z 列方程组 x 3 解得 x z 36 z 33 (3) 只购进 B 型电脑和 C 型电脑 y2500z y 7 列方程组, 解得 y z 36 z 29 因此有两种方案供该校选择, 第一种方案是购进 A 型电脑 3 台和 C 型电脑 33 台 ; 第二种方案是购进 B 型电脑 7 台和 C 型电脑 29 台. 答案有两种方案供该校选择, 第一种方案是购进 A 型电脑 3 台和 C 型电脑 33 台 ; 第二种方案是购进 B 型电脑 7 台和 C 型电脑 29 台.

2008年全国初中数学联合竞赛

2008年全国初中数学联合竞赛 017 年全国初中数学联合竞赛 ( 初二年级 ) 试题参考答案及评分标准说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数. 第一试一选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7