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1 本章概况 数学系统精讲 应用题 1. 考题数量多, 分值占比大 2. 表述多变, 出题灵活 3. 根据实际问题数学建模能力 MBA 大师 董璞 应用题三步杀 应用题分类及考试频次 1. 把文字的条件翻译成数学语言, 用数学表达式表达 2. 根据不同条件, 选择不同的数学模型, 建立变量间的关系式 3. 进行简单的计算 ( 解 2 次方程 ) 一般方程问题 合计 比和比例 利润 / 增长 浓度 工程 行程 集合 分段计费 最值 最优解 列方程 道 道 8 6, , 道 1 5, 道 1, 道 6 2,4 8 1, 道 , 道 2,

2 比与比例 基本概念 比与比例 基本概念 两个数相除, 又叫做这两个数的比,a 和 b 的比 (b 0) 记为 a: b 或, 这个比的值叫做 a 与 b 的比值 ( a b 相除的商 ) 表示两个比相等的式子叫做比例 正比 :y = kx 两变量比值一定注意 : 并不是 x 和 y 同时增大或减小才称为正比比如当 k < 0 时,x 增大 y 减小 比例外项 如 a: b = c: d 或 = 比例内项 反比 :y = 两变量乘积一定 比与比例 关键数学思维模型 比与比例 套路一 1: 要有份数的概念 甲与乙的比例为 3:7, 那么一共有 10 份 总体 占比 1 部分 占比 2 部分的部分 2: 理解三者的关系 1. 个体的数量 / 数量的差额 ;2. 个体占总体的比例 / 份数差额 ;3. 总量 1- 占比 1: 剩余部分 个体的数量 = 总量个体占总体的比例 每份的数量 总份数 = 总量 个体的数量 = 每份的数量个体占的份数 差额的数量 = 每份的数量差额的份数 套路一 给出两项的比, 求总体 / 某一部分具体数量 两部分的比例问题 2

3 比与比例 套路一 甲 乙 丙三名工人加工完一批零件, 甲工人完成了总件数的 34%, 乙 丙两工人完成的件数之比是 6:5, 乙知丙工人完成了 45 件, 则甲工人完成了 ( B ) 比与比例 套路一 奖金发给甲 乙 丙 丁四人, 其中发给甲, 发给乙, 发给丙的奖金 数正好是甲, 乙奖金之差的 3 倍, 已知发给丁的奖金为 200 元, 则这批奖金为 ( D ) A.48 件 B.51 件 C.60 件 D.63 件 E.132 件 A 元 B C 元 D3000 元 E 元 比与比例 套路一 甲 乙两商店同时购进了一批某品牌的电视, 当甲店售出 15 台时乙店售出了 10 台, 此时两店的库存比为 8:7, 库存差为 5, 甲 乙两店的总进货量为 ( D ) 台 比与比例 套路一 例 试分析: 某公司投资一个项目, 已知上半年完成了预算的, 下半年完 成了剩余部分的, 从中你能得到什么信息? 上半年完成 下半年完成剩余部分的 (A)75 (B)80 (C)85 (D)100 (E)125 3

4 比与比例 套路一 某公司投资一个项目, 已知上半年完成了预算的, 下半年完成了剩余部 分的, 此时还有 8 千万元投资未完成, 则该项目的预算为 ( B ) 比与比例 套路一 张老师到一所中学进行招生咨询, 上午接到了 45 名同学的咨询, 其中的 9 位同学下午又咨询了张老师, 占张老师下午咨询学生的 10%, 一天中向张老师咨询的学生人数为 ( D ) (A)3 亿元 (B)3.6 亿元 (C)3.9 亿元 (D)4.5 亿元 (E)5.1 亿元 (A)81 (B)90 (C)115 (D)126 (E)135 比与比例 套路一 某培训班有学员 96 人, 其中男生占全班人数的, 女生中有 15% 是 30 岁和 30 岁以上的, 则女生中不到 30 岁的人数是 ( E ) 比与比例 套路一 某工厂人员由技术人员 行政人员和工人组成, 共有男职工 420 人, 是 女职工的倍, 其中行政人员占全体职工的 20%, 技术人员比工人少, 那么该工厂 有工人 ( C ) A.30 人 B.31 人 C.32 人 D.33 人 E.34 人 A.200 人 B.250 人 C.300 人 D.350 人 E.400 人 4

5 比与比例 套路二 套路一 给出两项的比, 求总体 / 某一部分具体数量 套路二 给出三项的比例, 如 a: b: c = 1: 3: 7 比与比例 套路二 实数 a, b, c 满足 a: b: c = 1: 2: 5, 且 a + b + c = 24, 则 a + b + c = ( ) E 设出 总份数 和 每项所占份数 某项的具体数量 = 每份的具体数量某项占的份数 总份数 每份的具体数量 = 总体的具体数量 套路二 扩展 三项的比例为分数形式, 如 a: b: c = : : (A)30 (B)90 (C)120 (D)240 (E)270 比与比例 套路二 例 李先生投资 2 年期 3 年期和 5 年期三种国债的投资额的比为 5:3:2, 后来又 以与前次相同的投资总额全部购买 3 年期国债, 则李先生两次对 3 年国债的投资额 与两次总投资额的比值为 ( C ) 比与比例 套路二 学校竞赛设一等奖 二等奖和三等奖, 比例为 1:3:8, 获奖率为 30%, 已知 10 人获得一等奖, 则参加竞赛的人数为 ( ) B (A) (B) (C) (D) (E) A.300 B.400 C.500 D.550 E.600 5

6 比与比例 套路二 套路一 给出两项的比, 求总体 / 某一部分具体数量 套路二 给出三项的比例, 如 a: b: c = 1: 3: 7, 求总量 补充 求三个数的最小公倍数 求 三个数的最小公倍数 短除法 : 套路二 扩展 三项的比例为分数形式, 如 a: b: c = : : 通过同乘分母的最小公倍数化为三个整数的比 设出 总份数 和 每项所占份数 分解质因数法 : 某项的具体数量 = 每份的具体数量某项占的份数 总份数 每份的具体数量 = 总体的具体数量 如果 3 个数两两互质, 则这三个数的乘积就是它们的最小公倍数 比与比例 套路二扩展 如果 a b c 的算术平均值等于 13, 且 a b c =, 那么 c = ( C ) 比与比例 套路二扩展 某公司得到了一笔款项 68 万元, 用于下属三个厂的技术改革, 结果甲 乙 丙按比例, 分别拿了 36 万元,24 万元,8 万元.( D ) (1) 甲 乙 丙三厂按照 : : 的比例分配贷款 ; (2) 甲 乙 丙三厂按照 9:6:2 的比例分配贷款 (A)7 (B)8 (C)9 (D) 12 (E)18 6

7 比与比例 套路二扩展 将 3700 元奖金按 的比例分给甲 乙 丙三人, 则乙应 得奖金 ( A ) 元 比与比例 套路二扩展 一本书内有三篇文章, 第一篇的页数分别是第二篇和第三篇的 2 倍和 3 倍, 已知第三篇比第二篇少 10 页, 则这本书共有 ( C ) (A)1000 (B)1050 (C)1200 (D)1500 (E)1700 A. 100 页 B. 105 页 C. 110 页 D. 120 页 E. 125 页 比与比例 套路二扩展 车间工会为职工买来足球 排球和篮球共 94 个 按人数平均每 3 人一只足球, 每 4 人一只排球, 每 5 人一只篮球, 该车间共有职工 ( C ) 比与比例 套路三 套路一 给出两项的比, 求总体 / 某一部分具体数量 套路二 给出三项的比例, 如 a: b: c = 1: 3: 7, 求总量 套路二 扩展 三项的比例为分数形式, 如 a: b: c = : : 套路三 给出三项中两两之间的比例如 a b c 三项中 a: b = 2: 3, b: c = 2: 5 利用最小公倍数, 转化为三个整数的比, 然后等同于套路二 (A)110 人 (B)115 人 (C)120 人 (D)125 人 (E)130 人 7

8 比与比例 套路三 (1) a b = 2: 3, 和 b c = 4: 5 比与比例 套路三 一个长方体, 长与宽之比是 2:1, 宽与高之比是 3:2, 若长方体的全部棱长之和是 220 厘米, 则长方体的体积是 ( D ) (2) a b = :, 和 b c = : (A)2880 立方厘米 (B)7200 立方厘米 (C)4600 立方厘米 (D)4500 立方厘米 (E)3600 立方厘米 比与比例 套路三 某产品有一等品 二等品和不合格品三种, 若在一批产品中一等品件数和二等品件数的比是 5:3, 二等品件数和不合格品件数的比是 4:1, 则该产品的不合格品率约为 ( C ) 比与比例 套路三 某家庭在一年总支出中, 子女教育支出与生活资料支出的比为 3:8, 文化娱乐支出与子女教育支出的比为 1:2 已知文化娱乐支出占家庭总支出的 10.5%, 则生活资料支出占家庭总支出的 ( D ) (A)7.2% (B)8% (C)8.6% (D)9.2% (E)10% (A)40% (B)42% (C)48% (D)56% (E)64% 8

9 比与比例 套路三 甲 乙两仓库储存的粮食重量之比为 4:3, 现从甲库中调出 10 万吨粮食, 则甲 乙两仓库存粮吨数之比为 7:6 甲仓库原有粮食的万吨数为( C ) 比与比例 套路三 仓库中有甲 乙两种产品若干件, 其中甲占总库存量的 45%, 若再存入 160 件乙产品后, 甲产品占新库存量的 25%, 那么甲产品原有件数为 ( B ) (A)70 (B)78 (C)80 (D)85 (E) 以上结论均不正确 (A)80 (B)90 (C)100 (D)110 (E) 以上结论均不正确 比与比例 套路三 某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为 19:12 由于先增加若干名女运动员, 使男女运动员比例变为 20:13, 后又增加了若干名男运动员, 于是男女运动员比例最终变为 30:19 如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多 3 人, 则最后运动员的总人数为 ( B ) 比与比例套路三 改 某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为 19:12 由于先增加若干 名女运动员, 使男女运动员比例变为 20:13, 后又增加了若干名男运动员, 于是男女 运动员比例最终变为 30:19 如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多 6 人, 则 最后运动员的总人数为 1274 A. 686 B. 637 C. 700 D. 661 E

10 比与比例 套路总结 套路一 给出两项的比, 求总体 / 某一部分具体数量 套路二 给出三项的比例, 如 a: b: c = 1: 3: 7, 求总量 套路二 扩展 三项的比例为分数形式, 如 a: b: c = : : 套路三 给出三项中两两之间的比例如 a b c 三项中 a: b = 2: 3, b: c = 2: 5 应用题分类及考试频次 一般方程问题 合计 比和比例 利润 / 增长 浓度 工程 行程 集合 分段计费 最值 最优解 列方程 道 道 8 6, , 道 1 5, 道 1, 道 6 2,4 8 1, 道 , 道 2, 一家商店为回收资金, 把甲乙两件商品以 480 元一件卖出, 已知甲商品赚了 20%, 乙商品亏了 20%, 则商店盈亏结果为 ( ) 利润 / 利润率 关键思维模型 一 : 四个关键的数字 : 1) 成本 ( 进价 ) 金额 ; 2) 售价金额 ; 3) 利润 盈利 / 亏损金额 ; 4) 利润率 盈利 / 亏损百分比 ; 60 元买进一件产品,100 元卖出,618 打八折 利润 / 利润率 关键思维模型 二 : 四个关键数字之间关系 60 元单价买进 10 件产品, 单价标价 100 元卖出售价 = 进价 (1+ 利润率 ) 销售额 = 销售价格 销量利润 = 售价 - 进价 ( 成本 )= 进价 ( 成本 ) 利润率利润利润率 = 100% 进价利润进价 ( 成本 ) = 售价 利润 = 利润率售价 = 标价 折扣数 已知任两个, 可得第三个 10

11 利润 / 利润率 一家商店为回收资金, 把甲乙两件商品以 480 元一件卖出, 已知甲商品赚了 20%, 乙商品亏了 20%, 则商店盈亏结果为 ( E ) 利润 / 利润率 某商品的成本为 240 元, 若按该商品标价的 8 折出售, 利润率是 15%, 则该商品的标价为 ( C ) A. 不亏不赚 B. 亏了 50 元 C. 赚了 50 元 D. 赚了 40 元 E. 亏了 40 元 (A)276 元 (B)331 元 (C)345 元 (D)360 元 (E)400 元 利润 / 利润率 修改 某商品的标价为 240 元, 若按该商品标价的 8 折出售, 利润率是 15%, 则该商品的成本约为 ( B ) 利润 / 利润率 某投资者以 2 万元购买甲 乙两种股票, 甲股票的价格为 8 元 / 股, 乙股票的价格为 4 元 / 股, 它们的投资额之比是 4:1. 在甲 乙股票价格分别为 10 元 / 股和 3 元 / 股时, 该投资者全部抛出这两种股票, 他共获利 ( A ) (A)176 元 (B)167 元 (C)192 元 (D)245 元 (E)300 元 A 元 B 元 C 元 D 元 E 元 11

12 利润 / 利润率 某工厂生产某种新型产品, 一月份每件产品销售获得的利润是出厂价的 25%( 假设利润等于出厂价减去成本 ), 二月份每件产品出厂价降低 10%, 成本不变, 销售件数比一月份增加 80%, 则销售利润比一月份的销售利润增长 ( B ) 增长 / 增长率 去年年收入 5 万, 今年年收入 6 万, 明年年收入 7 万 增长 增长率 : 增加的数额与原来数额之间的比例关系 (A)6% (B)8% (C)15.5% (D)25.5% (E) 以上都不对 增长 / 增长率 关键思维模型 1: 关健 : 基准量 增长量 增长 / 增长率 关键思维模型 3: m 先增加 10%, 再减少 10%, 得到的值与 m 的大小比较? a 相对于 b 增长了 10%,a = b 相对于 a 减少了 10%, b = 2: 减少 的基准量为原数值, 而不是减少后的数值 原价为 100 元, 降价后为 80 元, 则降价幅度是 : 先增加 10%: 此时基准为, 增加后的值为 再减少 10%: 此时基准为, 减少后的值为 m 先减少 10%, 再增加 10%, 得到的值与 m 的大小比较? 先减少 10%: 此时基准为, 增加后的值为 再增加 10%: 此时基准为, 减少后的值为 由于基准变化了, 最后数值小于 m 12

13 增长 / 增长率 出题套路 套路一 增长率: 增长 / 减少前的值, 和增长 / 减少后的值的关系核心 : 确定基准量 套路二 两个因素各自改变后的关系 增长 / 增长率 套路一 高速公路假期免费政策带动了京郊游的增长 据悉,2014 年春节 7 天假期, 北京市乡村民俗旅游接待游客约 人次, 比去年同期增长 14%, 则去年大约接待游客人次为 ( E ) 套路三 多次比例增减 附加 平均增长率 (A) (B) (C).. (D).. (E). 增长 / 增长率 套路一 某种商品降价 20% 后, 若欲恢复原价, 应提价 ( B ) 增长 / 增长率 出题套路 套路一 增长率 : 增长 / 减少前的值, 和增长 / 减少后的值的关系 套路二 两个因素各自改变后的关系 分别确定基准量, 分别计算, 之后进行比较 套路三 多次增减 附加 平均增长率 (A)20% (B)25% (C)22% (D)15% (E)24% 13

14 增长 / 增长率 套路二 甲企业今年人均成本是去年的 60%. (1) 甲企业今年总成本比去年减少 25%, 员工人数增加 25%. (2) 甲企业今年总成本比去年减少 28%, 员工人数增加 20%. 增长 / 增长率 套路二 某公司今年第一季度和第二季度的产值分别比去年同期增长了 11% 和 9%, 且这两个季度产值的同比绝对增加量相等 该公司今年上半年的产值同比增长了 ( B ) 选 D (A)9.5% (B)9.9% (C)10% (D)10.5% (E)10.9% 增长 / 增长率 套路二 第一季度甲公司比乙公司的产值低 20% 第二季度甲公司的产值比第一季度增长了 20%, 乙公司的产值比第一季度增长了 10% 第二季度甲 乙两公司的产值之比是 ( C ) 增长 / 增长率 套路二 某人用 10 万元购买了甲 乙两种股票 若甲种股票上涨 a%, 乙种股票下降 b% 时, 此人购买的甲 乙两种股票总值不变, 则此人购买甲种股票用了 6 万元. (1)a = 2, b = 3. (2) 3a 2b = 0 a 0. (A)96:115 (B)92:115 (C)48:55 (D)24:25 (E)10:11 选 D 14

15 增长 / 增长率 套路二 年, 某市的全年研究与试验发展 (R&D) 经费支出 300 亿元, 比 2006 年增长 20%, 该市的 GDP 为 亿元, 比 2006 年增长 10%,2006 年, 该市的 R&D 经费支出占当年 GDP 的 ( D ) 增长 / 增长率 出题套路 套路一 增长率: 增长 / 减少前的值, 和增长 / 减少后的值的关系 套路二 两个因素各自改变后的关系 套路三 多次增减 a 先增加 10%, 再增加 15% 后得到的值为 : 附加 平均增长率 以前一次变化后的量为新的基准量 连乘 (A)1.75% (B)2% (C)2.5% (D)2.75% (E)3% 增长 / 增长率 套路三 某商品的定价为 200 元, 受金融危机的影响, 连续两次降价 20% 后的售价为 ( C ) 增长 / 增长率 套路三 某品牌电冰箱连续两次降价 10% 后的售价是降价前的 ( B ) (A)114 元 (B)120 元 (C)128 元 (D)144 元 (E)160 元 (A)80% (B)81% (C)82% (D)83% (E)85% 15

16 增长 / 增长率 套路三 该股票涨了. (1) 某股票连续三天涨 10% 后, 又连续三天跌 10%. 增长 / 增长率 套路三 某电镀厂两次改进操作方法, 使用锌量比原来节省 15%, 则平均每次节约 ( C ) (2) 某股票连续三天跌 10% 后, 又连续三天涨 10%. 选 E 先涨再跌同样百分比 = 先跌再涨同样百分比 < 原价值 (A)42.5% (B)7.5% (C)(1-0.85) 100% (D)( ) 100% (E) 以上结论均不正确 增长 / 增长率 出题套路 套路一 增长率: 增长 / 减少前的值, 和增长 / 减少后的值的关系 套路二 两个因素各自改变后的关系 套路三 多次增减 附加 平均增长率注意平均增长率不是增长率的平均值 某公司第一年业绩增长率是 10%, 第二年是 16%, 第三年是 14%, 第四年 12% 补充 月 / 年平均增长率 第 1 个月时数值为 A( 期初数值 ) 第 n 个月时数值为 B( 期末数值 ) 期末数值 B= 期初数值 A (q + 1) 期末数值 B = (q + 1) 期初数值 A 月平均增长率 : q = 期末数值 B 1 期初数值 A 只看第一个数值和最后一个数值, 中间的数值不影响平均增长率的值 16

17 补充 月 / 年平均增长率 A 公司 2003 年 6 月份的产值是 1 月份产值的 a 倍. (1) 在 2003 年上半年,A 公司月产值的平均增长率为 a. (2) 在 2003 年上半年,A 公司月产值的平均增长率为 a 1. 补充 月 / 年平均增长率 某新兴产业在 2005 年末至 2009 年末产值的年平均增长率为 q, 在 2009 年末至 2013 年末产值的年平均增长率比前四年下降了 40%,2013 年末产值约为 2005 年末产值的 倍, 则 q 的值约为 ( E ) 选 E (A)30% (B)35% (C)40% (D)45% (E)50% 补充 月 / 年平均增长率 能确定某企业产值的月平均增长率. 月平均增长率 : q = (1) 已知一月份的产值. (2) 已知全年的总产值. y 期末数值 B 1 期初数值 A 增长 / 增长率 出题套路 套路一 增长率: 增长 / 减少前的值, 和增长 / 减少后的值的关系核心 : 确定基准量 套路二 两个因素各自改变后的关系分别确定基准量, 分别计算, 之后进行比较 套路三 多次增减 x 附加点 平均增长率 以前一次变化后的量为新的基准量 连乘 选 E 只看期初和期末数值, 中间的数值不改变平均增长率的值 17

18 应用题分类及考试频次 浓度问题 一般方程问题 合计 比和比例 利润 / 增长 浓度 工程 行程 集合 分段计费 最值 最优解 列方程 道 道 8 6, , 道 1 5, 道 1, 道 6 2,4 8 1, 道 , 道 2, 浓度 : 某物质在总量中所占的分量 溶质的质量物质的质量分数 W = 100% 混合溶液的质量溶质的体积物质的体积分数 q = 100% 混合溶液的体积 浓度问题 浓度 : 某物质在总量中所占的分量 浓度问题 关键数学思维模型 溶质 100% = 溶液 盐纯酒精 100% = 100% 盐水浓度为 % 的酒精溶液 溶液 = 溶质 + 溶剂盐水 = 盐 + 水酒精溶液 = 纯酒精 + 水 溶质 100% = 溶质 溶剂 盐纯酒精 100% = 100% 盐 水纯酒精 水 浓度为 a% 的酒精溶液 x 克, 其中含水多少克? 1: 浓度变化本质上是溶质 ( 盐 酒精 ) 或者溶剂 ( 水 ) 改变而带来的比例的改变 寻找不变的因素 1. 加水或者蒸发, 此时溶质不变 2. 加溶质, 此时溶剂不变 2: 若两种不同浓度溶液混合, 溶质溶剂一起改变十字交叉 / 对角线法 18

19 浓度问题 基本型 盐 100% 盐水 稀释型加浓型溶液回倒型混合型 套路一 套路二 套路三 浓度问题 套路一 含盐 12.5% 的盐水 40 千克蒸发掉部分水分后变成了含盐 20% 的盐水, 蒸发掉的水分重量为 ( E ) 千克 套路一 溶液中只加 / 减溶剂, 或者只加溶质 盐水中只加 / 减水, 或者只加盐 ( 改变水或改变盐 ) 寻找恒定的因素 加 / 减水 = 盐不变 加盐 = 水不变 (A)19 (B)18 (C)17 (D)16 (E)15 浓度问题 套路一 例 现有浓度为 20% 的盐水 100 克和浓度为 25% 的盐水 200 克, 需配成浓度为 10% 的盐水, 则两种盐水混合后, 还需加水 ( A ) 浓度问题 套路一 例 某超市购进含水量为 80% 的新鲜水果 1200 千克, 两天后发现含水量降低了, 则现在这批水果的总重是 1000 千克 ( D ) (1) 含水量变为 76% (2) 含水量比原来降低了 5% (A)400 克 (B)360 克 (C)320 克 (D)300 克 (E)240 克 19

20 浓度问题 套路一 某种新鲜水果的含水量为 98%, 一天后的含水量降为 97.5% 某商店以每斤 1 元的价格购进了 1000 斤新鲜水果, 预计当天能售出 60%, 两天内售完 要使利润维持在 20%, 则每斤水果的平均售价应定为 ( C ) 元. 浓度问题 套路二 套路一 盐水中只加/ 减水, 或者只加盐 ( 改变水或改变盐 ) 套路二 往外倒混合液体后加满水 ( 水和酒精同时改变 ) 容积为 V 的容器内装满纯酒精, 第一次倒出 V, 后注满水 ; 第二次倒出 V 后再注满水 倒出溶液倒出酒精剩下酒精溶液浓度 第一次 第二次 V V (A)1.20 (B)1.25 (C)1.30 (D)1.35 (E)1.40 原浓度 总体积 V 体积减少量 V 总体积 V 体积减少量 V = 最终浓度总体积 V 总体积 V 稀释第一次 稀释第二次 浓度问题 套路二 例 有某种 98% 的酒精 24 升, 倒出 8 升后, 用水补满, 然后又倒出 6 升后, 再用水补满, 此时酒精的浓度 ( B ) 浓度问题 套路二 例 一个容器盛满 20 升的纯酒精, 倒出一部分后注满水, 第二次倒出与前次同量的混合液, 再注满水, 此时容器内的水是纯酒精的 3 倍, 则第一次倒出的酒精的数量为 ( E ) A:48% B: 49% C:50% D: 51% E: 52% (A)30 升 (B)25 升 (C)20 升 (D)15 升 (E)10 升 20

21 浓度问题 套路二 某容器中装满了浓度为 90% 的酒精, 倒出 1 升后用水加满后又倒出 1 升, 再用水将容器注满, 已知此时的酒精浓度为 40%, 则该容器的容积是 ( B ) 浓度问题 套路三 套路三 两种浓度溶液混合( 水和盐总量均不变 ) 浓混合 - 稀十字交叉 / 对角线法混合稀浓 - 混合 浓溶液质量 稀溶液质量 混合前浓溶液的质量为 m, 溶质质量分数为 a%, 稀溶液的质量为 n, 溶质质量分数为 b%, 两溶液混合后的溶质质量分数为 c% (A)2.5 升 (B)3 升 (C)3.5 升 (D)4 升 (E)4.5 升 浓度问题 套路三 若用浓度为 30% 和 20% 的甲乙两种食盐溶液配成浓度为 24% 的食盐溶液 500 克, 则甲乙两种溶液各取 ( E ) 浓度问题 套路三 例 甲 乙两种溶液混合可配置成浓度为 20% 的溶液 ( C ) (1) 甲种溶液是含盐 12.5% 的 40 千克食盐溶液 (2) 乙种溶液是含盐 26% 的 50 千克食盐溶液 (A)180 克 320 克 (B)185 克 315 克 (C)190 克 310 克 (D)195 克 305 克 (E)200 克 300 克 21

22 浓度问题 套路总结 应用题分类及考试频次 套路一 盐水中只加 / 减水, 或者只加盐 ( 改变水或改变盐 ) 寻找恒定的因素 : 加 / 减水盐不变, 加盐水不变 套路二 往外倒混合液体后加满水 ( 水和酒精同时改变 ) 原浓度 套路三 仅是两种浓度溶液混合 ( 水和盐总量均不变 ) 十字交叉 / 对角线法 总体积 V 体积减少量 V 总体积 V 体积减少量 V = 最终浓度总体积 V 总体积 V 一般方程问题 合计 比和比例 利润 / 增长 浓度 工程 行程 集合 分段计费 最值 最优解 列方程 道 道 8 6, , 道 1 5, 道 1, 道 6 2,4 8 1, 道 , 道 2, 工程问题 : 有关工作量 工作时间和工作效率之间的关系的问题 工作量 = 工作效率工作时间 工作量 = 工作时间工作效率 工程问题 关键思维模型 工作量 = 工作效率工作时间 工作量 = 工作时间工作效率 工程问题 关键思维模型 工作总量设为 1; 日工作效率 = 天数 100 米的跑道, 每天修 25 米, 几天修完? 一条跑道, 每天修, 几天修完? 一本书 5 天读完, 每天读这本书的几分之几? 一本书, 每天读这本书的, 几天读完? 1: 设工作总量为 1 工作效率 单位时间内 ( 小时 / 天 / 月等 ) 完成工作总量的几分之一 工作效率 = 1 天数 日工作效率 : 每天完成工作总量的几分之一 1: 设工作总量为 1 工作效率 单位时间内( 小时 / 天 / 月等 ) 完成工作总量的几分之一甲干完一个工程需要 3 天甲在 3 天以内能干完一个工程费用 = 工作天数 每日工费 22

23 工程问题 关键思维模型 同时工作 : 效率之和先后工作 : 分段计算 2: 两队同时工作和两队先后工作一项工程, 甲队独做需要 12 天完成, 甲队每天完成这项工程的 工程问题 基础题型 某工厂生产一批零件, 计划 10 天完成任务, 实际提前 2 天完成, 则每天的效率比计划平均提高了 ( C ) 一项工程, 乙队独做需要 36 天完成, 乙队每天完成这项工程的 两队合做每天可以完成这项工程的, 合做共需要 天完成 两队先后工作 : 甲做了 m 天, 乙做了 n 天, 刚好做完 (A)15% (B)20% (C)25% (D)30% (E)35% 工程问题 基础题型 日产量 = 总量 = 日效率 总量完成天数 工程问题 基础题型 修改 某工厂生产 600 件零件, 计划 10 天完成任务, 实际提前 2 天完成, 则每天的产量比计划提高了 ( A ) 件 制鞋厂本月计划生产旅游鞋 5000 双, 结果 12 天就完成了计划的 45%, 照 这样的进度, 这个月 ( 按 30 天计算 ) 旅游鞋的产量将为 ( A ) (A)15 (B)20 (C)25 (D)30 (E)35 (A) 5625 双 (B)5650 双 (C)5700 双 (D)5750 双 (E)5800 双 23

24 工程问题 基础题型 某人需要处理若干份文件, 第一小时处理了全部文件的 1/5, 第二小时处理了剩余文件的 1/4, 则此人需要处理的文件数为 25 份. (1) 前两小时处理了 10 份文件. (2) 第二小时处理了 5 份文件. 工程问题 常见词汇 1. 单独做 : 甲完成需要 12 天 2. 一起做 : 甲乙同时完成, 需要 10 天 3. 先后做 : 甲先做 5 天, 乙后做 8 天, 刚好完成 设甲的工作效率为 x = 甲单独完成天数 乙的工作效率为 y= 乙单独完成天数 4. 先一起, 后单独 : 甲乙先一起做 4 天, 之后交给乙单独完成, 共需要 12 天 5. 先一起, 后单独, 只完成一部分 : 甲乙先一起做 4 天, 之后乙做了 5 天, 恰 好完成了总量的 2/3. 选 D 6. 变速做 : 就当作两个人先后做 甲先做 4 天, 之后增加效率做了 5 天, 恰好完成 工程问题 出题套路 套路一 效率改变, 分段计算 换人 因雨效率下降 赶工等等 设甲的工作效率为 x = 甲单独完成天数 乙的工作效率为 y= 乙单独完成天数 工程问题 套路一 例 甲单独做 15 天可完成的某项工作, 乙单独做 10 天就可以完成, 假设甲先做了 12 天后再由乙接着做下去, 乙完成这项工作还需要 ( D ) 天 套路二 共同完成任务 套路二扩展 进水同时排水 / 牛吃草类问题独家公式 负效率 套路三 工费 : 总费用 = 工作天数 工费 A. 1/5 B. 3/4 C. 4/5 D. 2 E. 1 24

25 工程问题 套路一 例 某道路修整, 若 7 天修完一半, 则可以确定提前 3 天完工. (1)7 天后的施工进度提高 70%; (2)7 天后的施工进度提高 75% 工程问题 套路一 甲 乙两项工程分别由一, 二工程队负责完成 晴天时, 一队完成甲工程需要 12 天, 二队完成乙工程需要 15 天 雨天时一队的效率是晴天的 60%, 二队的工作效率是晴天的 80%, 结果两队同时开工并同时完成各自的工程 那么, 在这段工期内, 雨天的天数为 ( D) 选 B (A)8 (B)10 (C)12 (D)15 (E) 以上答案均不对 工程问题 套路 工程问题 套路二 套路二 同时工作, 完成任务 1 甲效率 = 甲单独完成天数 同时工作 : 效率之和 例 甲 乙两工程队合作做某项工作, 合作 4 天后完成工程的一半, 剩下的工作由甲队单独做 8 天, 乙队再接着单独做 2 天全部完成, 则甲 乙两队单独完成此项工程所用时间比为 ( A ) 1 乙效率 = 乙单独完成天数 甲乙一起做的效率 = + 甲单独完成天数乙单独完成天数 A.2:1 B.1:2 C.3:2 D.2:3 E.4:3 25

26 工程问题 套路二 某工程由甲公司 60 天完成, 由甲 乙两公司共同承包需要 28 天完成, 由乙 丙两公司共同承包需要 35 天完成, 则由丙公司承包完成该工程需要的天数为 ( E ) 工程问题 套路二 管径相同的三条不同管道甲 乙 丙可同时向某基地容积为 1000 立方米的油罐供油. 丙管道的供油速度比甲管道供油速度大. (1) 甲 乙同时供油 10 天可注满油罐. (2) 乙 丙同时供油 5 天可注满油罐. (A)85 (B)90 (C)95 (D)100 (E)105 选 C 工程问题 套路二 现有一批文字材料需要打印, 两台新型打印机单独完成此任务分别需要 4 小时与 5 小时, 两台旧型打印机单独完成此任务分别需要 9 小时与 11 小时, 则能在 2.5 小时内完成此任务. (1) 安排两台新型打印机同时打印. (2) 安排一台新型打印机与两台旧型打印机同时打印. 套路二 扩展 牛吃草给排水 负效率 : 进水同时排水, 牛吃草类问题独家公式进水管数 单管进水效率 x 小时数 出水管数 单管出水效率 y 小时数 = 1 例 一个蓄水池装有两个水管, 一个进水管甲, 一个进水管乙, 则两管齐开, 将空水池注满需要 60 小时 (1) 单开进水管甲,100 小时可以将空水池注满 (2) 单开进水管乙,150 小时可以将空水池注满 例 一个蓄水池装有两个水管, 一个进水管甲, 一个出水管乙, 则两管齐开, 将空水池注满需要 60 小时 (1) 单开进水管甲,30 小时可以将空水池注满 (2) 单开出水管乙,60 小时可以将满池水放完 选 D 选 C 26

27 套路二 扩展 牛吃草给排水 例 空水槽设有甲 乙 丙三个水管, 甲管 5 分钟可注满水槽, 乙管 30 分钟可注满水槽, 丙管 15 分钟可把满槽水放完 若三管齐开,2 分钟后关上乙管, 问水槽放满时, 甲管共开放了 ( D ) 进水管数 单管进水效率 x 小时数 出水管数 单管出水效率 y 小时数 = 1 套路二 扩展 例 一个水池, 上部装有若干同样粗细的进水管, 底部装有一个常开的排水管, 当打开 4 个进水管时, 需要 4 小时才能注满水池 ; 当打开 3 个进水管时, 需要 8 小时才能注满水池, 现在需要在 2 小时内将水池注满, 至少要打开进水管 ( C ) 进水管数 单管进水效率 x 小时数 出水管数 单管出水效率 y 小时数 = 1 (A)4 分钟 (B)5 分钟 (C)6 分钟 (D)7 分钟 (E)8 分钟 A.8 个 B.7 个 C.6 个 D.5 个 E.4 个 套路二 扩展 牛数 吃草效率 x 天数 草生长效率 y 天数 =1 套路二 扩展 牛数 吃草效率 x 天数 + 草枯萎效率 y 天数 =1 例 牧场上有一片青草, 每天都生长得一样快 这片青草供给 10 头牛吃, 可以吃 22 天, 或者供给 16 头牛吃, 可以吃 10 天 (1) 如果供给 15 头牛吃, 可以吃几天? 11 天 (2) 要在 5 天内吃完所有的草, 至少放几头牛? 27 头 (3) 要保证草永远都吃不完, 至多放几头牛? 5 头 例 由于天气逐渐冷了起来, 牧场上的草不仅不生长, 反而以固定速度枯萎, 已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天, 或可供 15 头牛吃 6 天, 照这样计算, 可供多少头牛吃 10 天 ( A ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 天 (E)9 天 27

28 工程问题 套路 套路一 效率改变, 分段计算 套路二 同时工作, 效率相加 套路二扩展 进水同时排水 / 牛吃草类问题的独家公式 套路三 公司的一项工程由甲 乙两队合作 6 天完成, 公司需付 8700 元 ; 由乙 丙两队合作 10 天完成, 公司需付 9500 元, 甲 丙两队合作 7.5 天完成, 公司需付 8250 元, 若单独承包给一个工程队并且要求不超过 15 天完成全部工作, 则公司付钱最少的队是 ( A ) 套路三 工费概念 : 总费用 = 工作天数 日工费 (A) 甲队 (B) 丙队 (C) 乙队 (D) 乙或丙队 (E) 不能确定 套路三 一件工作, 甲 乙两人合作需要 2 天, 人工费 2900 元 乙 丙两人合作需要 4 天, 人工费 2600 元, 甲 丙两人合作 2 天完成了全部工作量的 5/6, 人工费 2400 元, 则甲单独做该工作需要的时间与人工费分别为 ( A ) 工程问题 总结 套路一 效率改变, 分段计算 套路二 同时工作, 效率相加 甲乙一起做的效率 = + 甲单独完成天数乙单独完成天数 套路二扩展 进水同时排水, 牛吃草类问题的独家公式 负效率 进水管数 单管进水效率 x 小时数 出水管数 单管出水效率 y 小时数 = 1 牛数 吃草效率 x 天数 + 草枯萎效率 y 天数 =1 (A)3 天,3000 元 (B)3 天,2850 元 (C)3 天,2700 元 (D)4 天,3000 元 (E)4 天,2900 元 套路三 总费用 = 工作天数 工费 28

29 应用题分类及考试频次 行程问题 关键思维模型 一般方程问题 合计 比和比例 利润 / 增长 浓度 工程 行程 集合 分段计费 最值 最优解 列方程 道 道 8 6, , 道 1 5, 道 1, 道 6 2,4 8 1, 道 , 道 2, : 要建立行程距离, 行进的速度, 行程时间三者之间的关系 路程 s = 速度 v 时间 t 路程 s 速度 v = 时间 t 行程问题 : 研究在匀速条件下的路程 速度 时间三个量之间的关系 路程 s 时间 t = 速度 v 行程问题 关键思维模型 抓住基本相等关系 行程问题 套路 2: 理解实际行进速度和距离的计算公式 1)A 城市到 B 城市的距离为 20km, 一个人以 4km 公里每小时的速度从 A 出发到 B 要多久? 2)A 城市到 B 城市的距离为 20km, 甲从 A, 乙从 B 出发相向而行, 甲的速度是 3km, 乙的速度是 1km 他们多久相遇? 他们相遇的点距离 A 城市多远? B 乙 甲 A 套路一 相遇和追及相遇距离相遇时间 = 速度之和 追及距离追及时间 = 速度之差 沿同一直线 同向 / 反向 多个人 / 车的行程或 一个人 / 车的多种走法 3)A 城市在 B 城市的正东方向 20km, 甲从 A, 乙从 B 出发都向西而行, 甲的速度是 6km, 乙的速度是 2km 甲多久能追上乙? 他们相遇的点距离 A 城市点多远? 乙 甲 B A 29

30 相遇和追及 一支队伍排成长度为 800 米的队列行军, 速度为 80 米 / 分, 在队首的通信员以 3 倍 于行军的速度跑到队尾, 花 1 分钟传达首长命令之后, 立即以同样的速度跑回到队首, 在这 往返全过程中通信员所花费的时间为 ( D ) (A)6.5 分 (B)7.5 分 (C)8 分 (D)8.5 分 (E)10 分 相遇和追及 例 爸爸和儿子从东西两地同时相对出发, 两地相距 10 千米 爸爸每小时走 6 千米, 儿子 每小时走 4 千米 爸爸带一只狗, 小狗用每小时 10 千米的速度向儿子跑去 遇到儿子或爸爸 立刻折返, 直到爸爸儿子相遇才停 小狗跑了多少路程?( D ) (A)6km (B)4km (C)9km (D)10km (E)11km 相遇距离相遇时间 = 速度之和 行程问题 套路 环形道路 套路一 相遇和追及相遇距离相遇时间 = 速度之和 沿同一直线 同向 / 反向 多个人 / 车的行程或 一个人 / 车的多种走法 例 两人环湖竞走, 环湖一周是 400 米, 乙的速度平均每分钟 80 米, 甲的速度是乙的 1, 现在两人同时同向出发, 多少分钟以后两人相遇?( D ) (A)15 分 (B)5 分 (C)10 分 (D)20 分 (E)25 分 追及距离追及时间 = 速度之差 同向 : 快者路程 慢者路程 = 环形周长 沿环形跑道 同向 / 反向 套路二 环形道路问题 反向 : 甲路程 + 乙路程 = 环形周长 同向 : 快者路程 慢者路程 = 环形周长 30

31 环形道路 行程问题 套路 例 两人环湖竞走, 环湖一周是 400 米, 乙的速度平均每分钟 80 米, 甲的速度是乙的 1, 现在甲在乙前面 100 米, 多少分钟以后两人相遇?( A ) (A)15 分 (B)5 分 (C)10 分 (D)20 分 (E)25 分同向 : 快者路程 慢者路程 = 环形周长 套路一 相遇和追及 沿同一直线 多个人 / 车的行程或 同向 / 反向 一个人 / 车的多种走法 相遇距离相遇时间 = 速度之和 沿不同直线 追及距离追及时间 = 速度之差 套路三 沿环形跑道 两直线上的运动问题 同向 / 反向 路程 = 边长 套路二 环形道路问题 代数问题转化为几何问题 反向 : 甲路程 + 乙路程 = 环形周长 同向 : 快者路程 慢者路程 = 环形周长 两直线上运动 行程问题 套路 2: 理解实际行进速度和距离的计算公式 例 P 点在 O 点正东 50 米,Q 点在 O 点正北 60 米, 甲从 P 点出发向西走 ; 同时乙从 Q 点出发向 正南走速度与甲相同 当甲 乙距离第一次为 50 米时, 两人各自走了大约多少米?( D ) (A)15 米 (B)5 米 (C)10 米 (D)20 米 (E)25 米 乙 Q 60m O 50m P 甲 套路一 相遇和追及 沿同一直线 多个人 / 车的行程或 同向 / 反向 一个人 / 车的多种走法 相遇距离相遇时间 = 速度之和 沿不同直线 追及距离追及时间 = 速度之差 套路三 沿环形跑道 两直线上的运动问题 同向 / 反向 路程 = 边长 套路二 环形道路问题 代数问题转化为几何问题 反向 : 甲路程 + 乙路程 = 环形周长 同向 : 快者路程 慢者路程 = 环形周长 考虑 车身长度 套路四 火车错车 / 过桥过洞 车长之和 相向错车 : t = 速度之和 车长之和 同向超车 : t = 速度之差 火车过桥 / 过山洞 : t = 山洞 + 火车 31

32 相向错车 火车错车 车头相遇时, 两辆车车头距离为 0 完全错车后, 两辆车车头距离为 l + l 同向超车 火车错车 开始超车时, 后车 ( 快车 ) 车头与前车 ( 慢车 ) 车尾距离为 0 完全超车后, 后车 ( 快车 ) 车头与前车 ( 慢车 ) 车尾距离距离为 l + l l v l v 实际行驶距离 : l + l 相对速 :v + v 所需时间 :t = l v l v 实际行驶距离 : l + l 相对速 :v v 所需时间 :t = l l l l v v v v 相向错车 在有上 下行的轨道上, 两列火车相向开来, 若甲长 187 米, 每秒行驶 25 米, 乙车长 173 米, 每秒行驶 20 米, 则从两车头相遇到车尾离开需要 ( E ) (A)12 秒 (B)11 秒 (C)10 秒 (D)9 秒 (E)8 秒 相向错车 修改 1 A B 两个车站相距 1.8km, 甲, 乙两列火车分别从 A B 出发, 相向行驶 若甲长 187 米, 每秒行驶 25 米, 乙车长 173 米, 每秒行驶 20 米, 则从两火车出发到完全错车 ( 车尾离开 ) 需要 ( E ) (A)42 秒 (B)41 秒 (C)40 秒 (D)39 秒 (E)48 秒 32

33 同向超车 修改 2 在双轨道上, 两列火车并行行驶, 同时出发 若甲长 187 米, 每秒行驶 25 米 ; 乙车长 173 米, 每秒行驶 20 米 则从甲车头跟乙车尾重合, 到甲车彻底超过乙车共需要 ( A ) (A)72 秒 (B)61 秒 (C)70 秒 (D)69 秒 (E)8 秒 火车过桥过洞 火车过桥 / 过山洞 设 : 山洞长度为 l 山洞, 车头进入山洞, 到火车车尾离开山洞 车头前进距离 : l 山洞 +l 火车 车速 :v 所需时间 :t = 山洞 + 火车 火车过桥过洞 一列火车匀速行驶时, 通过一座长为 250 米的桥梁需要 10 秒钟, 通过一座长为 450 米的桥梁需要 15 秒种, 该火车通过长为 1050 米的桥梁需要 ( D ) 秒. (A)22 (B)25 (C)28 (D)30 (E)35 行程问题 套路 套路一 相遇和追及 相遇距离相遇时间 = 速度之和 追及距离追及时间 = 速度之差 沿环形跑道 同向 / 反向 套路二 环形道路问题 反向 : 甲路程 + 乙路程 = 环形周长 沿同一直线 同向 / 反向 同向 : 快者路程 慢者路程 = 环形周长 沿不同直线 多个人 / 车的行程或 一个人 / 车的多种走法 套路三 两直线上的运动问题 路程 = 边长 代数问题转化为几何问题 在运动物体上运动 套路五 顺水 / 逆水行船 逆水行船 : 实际速度为 v v 顺水行船 : 实际速度为 v + v 考虑 套路四 车身长度火车错车 / 过桥过洞 车长之和 火车错车 : 时间 t = 速度之和 火车过桥 / 过山洞 : t = 山洞 + 火车 33

34 顺水 / 逆水行船 例 一轮船沿河航行于相距 48 千米的两码头间, 则往返一共需 10 小时 ( 不计到达码头后停船的时间 )( C ) (1) 轮船在静水中的速度是 10 千米 / 小时 (2) 水流的速度是 2 千米 / 小时逆水行船 : 实际速度为 v v 顺水行船 : 实际速度为 v + v 行程问题 套路 套路一 相遇和追及 相遇距离相遇时间 = 速度之和 追及距离追及时间 = 速度之差 沿环形跑道 同向 / 反向 套路二 环形道路问题 反向 : 甲路程 + 乙路程 = 环形周长 沿同一直线 同向 / 反向 同向 : 快者路程 慢者路程 = 环形周长 沿不同直线 多个人 / 车的行程或 一个人 / 车的多种走法 套路三 两直线上的运动问题 路程 = 边长 代数问题转化为几何问题 套路五 顺水 / 逆水行船 逆水行船 : 实际速度为 v v 顺水行船 : 实际速度为 v + v 考虑 套路四 车身长度火车错车 / 过桥过洞 车长之和 火车错车 : 时间 t = 速度之和 火车过桥 / 过山洞 : t = 山洞 + 火车 应用题分类及考试频次 一般方程问题 合计 比和比例 利润 / 增长 浓度 工程 行程 集合 分段计费 最值 最优解 列方程 道 道 8 6, , 道 1 5, 道 1, 道 6 2,4 8 1, 道 , 道 2, 基础知识 集合 某单位有职工 40 人, 其中参加计算机考核的有 31 人, 参加外语考核的有 20 人, 有 8 人没有参加任何一种考核, 则同时参加两项考核的职工有 ( 19 位 ) 集合是具有某种特定性质的事物的总体, 可以想做 确定的一堆事物 ( 全集 I/Ω; 补集 A ) a A 集合中集合中的每一个对象称为该集合的元素 / 元 a A 职工 某单位有职工 40 人, 其中参加计算机考核的有 31 人, 参加外语考核的有 20 人, 有 8 人没有 参加任何一种考核, 则同时参加两项考核的职工有 ( ) 计算机 外语 34

35 基础知识 集合 基础知识 集合 集合中元素具有 : 确定性 互异性 无序性 两个集合的关系 以下元素能否构成集合? (1) 中文专业身高大于 175cm 的男生 (2) 中文专业的高个子男生 (3) 整数 1 2 与 x 3 x 4 = 0 的根 包含 A B 真包含 A B A = B(A B 且 B A) 集合的基本运算 A B (4) 整数 3 4 与 x 3 x 4 = 0 的根 并 :A B 交 :A B 差 :A B A B 对称差 :A B = A B B A 集合问题 关键思维模型 集合问题 二饼图 容斥原理 : 两饼图问题 A 上午咨询 N A B = N A + N B N A B B 下午咨询 申请驾驶执照时, 必须参加理论考试和路考, 且两种考试均要通过, 若在同一批学员中有 70% 的人通过了理论考试,80% 的人通过了路考, 而最后领到了驾驶执照的人有 60%. (1)10% 的人两种考试都没有通过 (2)20% 的人仅通过了路考 张老师到一所中学进行招生咨询, 上午接到了 45 名同学的咨询, 其中的 9 位同学下午又咨询了张老师, 占张老师下午咨询学生的 10%, 一天中向张老师咨询的学生人数为 ( D) (A)81 (B)90 (C)115 (D)126 (E)135 选 D 理论考试 路考 35

36 集合问题 关键思维模型 容斥原理 : 三饼图问题 N A B C = N A + N B + N C N A B N A C N B C + N A B C 集合问题 三饼图 有 96 位顾客至少购买了甲 乙 丙三种商品中的一种, 经调查 : 同时购买了甲 乙两种商品的有 8 位, 同时购买了甲 丙两种商品的有 12 位, 同时购买了乙 丙两种商品的 有 6 位, 同时购买了三种商品的有 2 位, 则仅购买一种商品的顾客有 ( C ) A 甲 B C 乙 丙 A.70 位 B.72 位 C.74 位 D.76 位 E.82 位 集合问题 三饼图 改 有 96 位顾客至少购买了甲 乙 丙三种商品中的一种, 经调查 : 仅购买了甲 乙两种商品的有 8 位, 仅购买了甲 丙两种商品的有 12 位, 仅购买了乙 丙两种商品的有 6 位, 同时购买了三种商品的有 2 位, 则仅购买一种商品的顾客有 ( A ) 甲 应用题分类及考试频次 一般方程问题 合计 比和比例 利润 / 增长 浓度 工程 行程 集合 分段计费 最值 最优解 列方程 道 道 8 6, , 道 1 5, 道 1, 道 6 2,4 8 1, 道 , 道 2, 乙 丙 要能够根据题干所问的未知数设方程 A.68 位 B.72 位 C.74 位 D.76 位 E.82 位 36

37 一般方程出题套路 套路 1 分段收费识别分段点 每段分别计算 套路 2 求最低费用或者最大利润 套路一 分段收费 某单位采取分段收费的方式收取网络流量( 单位 :GB) 费用 : 每月流量 20 ( 含 ) 以内免费, 流量 20 到 30( 含 ) 的每 GB 收费 1 元 流量 30 到 40( 含 ) 的每 GB 收费 3 元, 流量 40 以上的每 GB 收费 5 元, 小王这个月用了 45GB 的流量, 则他应该交费 ( B ) A.45 元 B.65 元 C.75 元 D.85 元 E.135 元 套路 3 线性规划最优解 20G 以内 :0 元 20G 到 30G( 含 ) 共收费 10G 1 元 /G =10 元 30G 到 40G( 含 ) 共收费 10G 3 元 /G =30 元 套路 4 一般方程, 根据题干未知数设 x 求解 40G 到 45G 共收费 5G 5 元 /G =25 元 套路一 分段收费 无折扣 全额 9 折 8.5 折 某商场在一次活动中规定: 一次购物不超过 100 元时没有优惠 ; 超过 100 元而没有超过 200 元时, 按该次购物全额 9 折优惠 ; 超过 200 元时, 其中 200 元按 9 折优惠, 超过 200 元的部分按 8.5 折优惠 若甲 乙两人在该商场购买的物品分别付费 94.5 元和 197 元, 则两人购买的物品在举办活动前需要的付费总额是 ( E ) 元. (A)291.5 (B)314.5 (C)325 (D)291.5 和 (E)314.5 或 325 一般方程出题套路 套路 1 分段收费 识别分段点 每段分别计算 套路 2 求最低费用或者最大利润 ( 二次函数求最值 ) 设价格 / 费用等为 x, 列出一元二次方程, 顶点位置极为最大 / 小值 顶点式 :a(x + ) + = 0 (a 0) b 4ac b, 2a 4a 套路 3 线性规划最优解 套路 4 一般方程, 根据题干未知数设 x 求解 37

38 套路二 最值 b 4ac b, 2a 4a 套路二 最值 b 4ac b, 2a 4a 某商店销售某种商品, 该商品的进价为每件 90 元, 若每件定价为 100 元, 则一天内能销售出 500 件 在此基础上, 定价每增加 1 元, 一天便少售出 10 件 甲商店欲获得最大利润, 则该商品的定价应为 ( B ) (A)115 元 (B)120 元 (C)125 元 (D)130 元 (E)135 元 设罪犯与警察在一开阔地上相隔一条宽 0.5 公里的河, 罪犯从北岸 A 点处以每分 钟 1 公里的速度向正北逃窜, 警察从南岸 B 点以每分钟 2 公里的速度向正东追击 ( 如图 ), 则 警察从 B 点到达最佳射击位置 ( 即罪犯与警察相距最近的位置 ) 所需的时间是 ( D ) 北 A A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 E. 分 0.5km B 2km C 一般方程出题套路 套路 1 分段收费识别分段点 每段分别计算 套路 2 求最低费用或者最大利润设价格 / 费用等为 x, 列出一元二次方程, 顶点位置极为最大 / 小值 套路 3 线性规划最优解 套路三 线性规划最优解 某居民小区决定投资 15 万元修建停车位, 据测算, 修建一个室内车位的费用为 5000 元, 修建一个室外车位的费用为 1000 元, 考虑到实际因素, 计划室外车位的数量不少于室内车位的 2 倍, 也不多于室内车位的 3 倍, 这笔投资最多可建车位的数量为 ( B ) (A)78 (B)74 (C)72 (D)70 (E)66 最优替换法 :1. 根据题干得到约束条件 2. 先假设全部使用最便宜 / 最快的方案 3. 然后找到跟限制的差距 4. 计算替换的数量 套路 4 一般方程, 根据题干未知数设 x 求解 38

39 套路三 线性规划最优解 有一批水果需要装箱, 一名熟练工单独装箱需要 10 天, 每天报酬为 200 元 ; 一名普通工单独装箱需要 15 天, 每天报酬为 120 元 由于场地限制, 最多可同时安排 12 人装箱 若要求在一天内完成装箱任务, 则支付的最少报酬为 ( C ) (A)1800 元 (B)1840 元 (C)1920 元 (D)1960 元 (E)2000 元 套路三 线性规划最优解 有一批水果需要装箱, 一名熟练工单独装箱需要 10 天, 每天报酬为 200 元 ; 一名普通工单独装箱需要 15 天, 每天报酬为 120 元 由于场地限制, 最多可同时安排 12 人装箱 若要求在一天内完成装箱任务, 则支付的最少报酬为 ( C ) (A)1800 元 (B)1840 元 (C)1920 元 (D)1960 元 (E)2000 元 套路三 线性规划最优解 某地区平均每天产生生活垃圾 700 吨, 由甲 乙两个处理厂处理 甲厂每小时可处理垃圾 55 吨, 所需费用为 550 元 ; 乙厂每小时可处理垃圾 45 吨, 所需费用为 495 元 如果该地区每天的垃圾处理费不能超过 7370 元, 那么甲厂每天处理垃圾的时间至少需要 ( A ) 小时. (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (E)10 套路三 线性规划最优解 某地区平均每天产生生活垃圾 700 吨, 由甲 乙两个处理厂处理 甲厂每小时可处理垃圾 55 吨, 所需费用为 550 元 ; 乙厂每小时可处理垃圾 45 吨, 所需费用为 495 元 如果该地区每天的垃圾处理费不能超过 7370 元, 那么甲厂每天处理垃圾的时间至少需要 ( A ) 小时. (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (E)10 39

40 一般方程出题套路 套路 1 分段收费识别分段点 每段分别计算 套路 2 求最低费用或者最大利润 套路四 一般方程 有一批同规格的正方形瓷砖, 用他们铺满整个正方形区域时剩余 180 块, 将此正方形区域的边长增加一块瓷砖的长度时, 还需要增加 21 块才能铺满, 该批瓷砖共有 ( C ) (A)9981 块 (B)10000 块 (C)10180 块 (D)10201 块 (E)10222 块 设价格 / 费用等为 x, 列出一元二次方程, 顶点位置极为最大 / 小值 套路 3 线性规划最优解最优替换法 :1. 根据题干得到约束条件 2. 先假设全部使用最便宜 / 最快的方案 3. 然后找到跟限制的差距 4. 计算替换的数量 套路 4 一般方程, 根据题干未知数设 x 求解 一般方程出题套路 套路 1 分段收费 识别分段点 每段分别计算 套路 2 求最低费用或者最大利润 ( 二次函数最大值 ) 设价格 / 费用等为 x, 列出一元二次方程, 顶点位置极为最大 / 小值 套路 3 线性规划最优解最优替换法 :1. 先假设全部使用最便宜 / 最快的方案 2. 然后找到跟限制的差距 3. 计算替换的数量 THANK YOU FOR WATCHING 套路 4 一般方程, 根据题干未知数设 x 求解 40