2 管理类联考数学历年真题模块化精讲 历年真题中应用题考题数量较多, 占总题量的 / 左右, 是考试的重点, 此模块的掌握情况对数学分数起着决定性作用 数学应用题的重点在过好三关 :() 事理关 阅读理解, 知道命题所表达的内容 ;(2) 文理关 将 问题情境 中的文字语言转化为符号语言, 用数学关

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1 第一节利润率问题 变化率问题第二节比例问题第三节浓度问题第四节路程问题第五节工程问题第六节加权平均数第七节集合问题第八节分段计费问题第九节不定方程问题第十节线性规划问题 最值问题第十一节其他问题

2 2 管理类联考数学历年真题模块化精讲 历年真题中应用题考题数量较多, 占总题量的 / 左右, 是考试的重点, 此模块的掌握情况对数学分数起着决定性作用 数学应用题的重点在过好三关 :() 事理关 阅读理解, 知道命题所表达的内容 ;(2) 文理关 将 问题情境 中的文字语言转化为符号语言, 用数学关系式表述事件 ;() 数理关 由题意建立相关的数学模型, 将实际问题数学化, 并解答这一数学模型, 得出符合实际意义的解答 应用题的题型可以分为利润率问题 变化率问题 比例问题 路程问题 工程问题 浓度问题 集合问题 不定方程问题 线性规划问题 最值问题等 第一节利润率问题 变化率问题 知识要点 利润率问题公式 利润 = 售价 - 进价利润售价 进价利润率 = 00% = 00% 进价进价售价 = 进价 (+ 利润率 )= 进价 + 利润 变化率问题公式 变后量 = 变前量 (± 变化率 ) 增长了 P% 增长了 n 次原值 a 现值 a(+p%) a(+p%) n 减少了 P% 减少了 n 次原值 a 现值 a(-p%) a(-p%) n 解题关键点 首先要明确利润 售价 进价 ( 成本 ) 销售量 销售额 税等变量之间的关系, 掌握一些常识性的公式 ( 如 : 销售额 = 单价 销售量 税 = 销售额 税率 ); 其次, 在增长率 下降率问题中要明确谁是基准量, 找到基准量后套对应的公式即可 ; 在计算时, 经常将基准量取为特值 00 真题实战 一 问题求解例题 (200 年 月 ) 一商店把某商品按标价的 9 折出售, 仍可获利 20%, 若该商品的进价为每件 2 元, 则该商品每件的标价为 ( )

3 A. 26 B. 28 C. 0 D. 2 答案 B 解析 设商品标价为 x 元, 依题意 0.9x=2 (+20%), 解得 x=28 评注 此题考查利润率问题基本公式: 售价 = 进价 (+ 利润率 ), 根据已知条件找到相应 的量, 套公式即可 技巧 根据进价每件 2 元含约数 7, 标价与进价是简单的倍数关系, 因此, 标价也很可能 含约数 7 例题 (200 年 月 ) 某商品的成本为 240 元, 若按该商品标价的 8 折出售, 利润率是 %, 则该 商品的标价为 ( ) A. 276 B. C. 4 D. 60 E. 400 解析 设标价为 x 元, 依题意可列出方程 240(+%)=80%x, 解得 x=4 元 例题 (997 年 0 月 ) 某地连续举办三场国际商业足球比赛, 第二场观众比第一场少了 80%, 第 三场观众比第二场少了 0%, 若第三场观众仅有 200 人, 则第一场观众有 ( ) 人 A. 000 B C D E 答案 D 解析 设第一场观众 x 人, 则依题意可列出方程 x(-80%)(-0%)=200, 解得 x=2000 评注 变化率问题与利润率问题有类似的公式: 变后量 = 变前量 (± 变化率 ) 例题 (998 年 0 月 ) 商店本月的计划销售额为 20 万元, 由于开展了促销活动, 上半月完成了 计划的 60%, 若全月要超额完成计划的 2%, 则下半月应完成销售额 ( ) A. 2 万元 B. 万元 C. 4 万元 D. 万元 E. 6 万元 答案 B 解析 依题意, 总共要完成 20 (+2%)=2 万元, 上半月已经完成了 20 万元的 60%, 即 20 60%=2 万元, 则还剩 万元 (2-2) 未完成 例题 (999 年 0 月 ) 某商店将每套服装按原价提高 0% 后再作 7 折 优惠 的广告宣传, 这样 每售一套可获利 62 元 已知每套服装的成本是 2000 元, 该店按 优惠价 售出一套服装比按原 价 ( ) A. 多赚 00 元 B. 少赚 00 元 C. 多赚 2 元 D. 少赚 2 元 E. 多赚 元 解析 设商品原价为 x 元, 则 x(+0%) =62, 解得 x=200, 如若按照原价出售 每套可获利 =00 元, 现按优惠价出售每套获利 62 元, 比按原价多赚 2 元 例题 (20 年 月 )2007 年, 某市的全年研究与试验发展 (R&D) 经费支出 00 亿元, 比 2006 年 增长 20%, 该市的 GDP 为 0000 亿元, 比 2006 年增长 0% 2006 年, 该市的 R&D 经费支出占当年 GDP 的 ( ) A..7% B. 2% C. 2.% D. 2.7% E. % 答案 D

4 4 管理类联考数学历年真题模块化精讲 00 解析 依题意,2006 年 R&D 经费为 + 20% = 元 ;2006 年 GDP 为 = ; 二 + 0%. R & D % 者比值为 GDP = 0000 =. 小结 : 对于利润率 变化率问题, 要掌握最基本的公式 售价 = 进价 (+ 利润率 ) 变后量 = 变前量 (± 变化率 ), 并能够灵活运用, 同时要明确具体题目中的基准量 例题 (997 年 0 月 ) 银行的一年定期存款利率为 0%, 某人于 99 年 月 日存入 0000 元, 994 年 月 日取出, 若按复利计算, 他取出时所得的本金和利息共计是 ( )( 单位 : 元 ) A. 000 B. 00 C. 000 D. 0 E. 464 答案 D 解析 99 年 月 日到 994 年 月 日是整 年, 增长了 次, 因此本息和为 0000 (+0%) =0 元 增长了 P% 增长了 n 次 结论 原值 a 现值 a(+p%) a(+p%) 例题 (20 年 0 月 ) 已知某种商品的价格从一月份到三月份的月平均增长速度为 0%, 那么该 商品三月份的价格是其一月份价格的 ( ) A. 2% B. 0% C. 20% D. 2% E..% 答案 D 解析 从一月份到三月份经历了两次增长, 故三月份的价格是 (+0%) 2 =.2 例题 (202 年 月 ) 某商品的定价为 200 元, 受金融危机的影响, 连续两次降价 20% 后的售价为 ( ) A. 4 元 B. 20 元 C. 28 元 D. 44 元 E. 60 元 解析 连续两次降价后的售价为 200 (-20%) 2 =28 元减少了 P% 减少了 n 次 结论 原值 a 现值 a(-p%) a(-p%) n 技巧 可以只计算 尾数, 尾数为 8, 选 C 例题 (204 年 0 月 ) 高速公路假期免费政策带动了京郊旅游的增长 据悉,204 年春节 7 天假期, 北京市乡村民俗旅游接待游客约 人次, 比去年同期增长 4%, 则去年大约接待游客人次为 ( ) A B C D. E 答案 E 解析 设去年接待 x 人次, 依题意 x (+4%)=6.97 0, 解得 x = 4% 评注 当数量级较大时, 考试通常采取 科学计数法 的计数方式 把一个绝对值小

5 于 0( 或者大于等于 ) 的实数记为 a 0 n 的形式, 同学们需要熟悉此计数方式例题 (2007 年 0 月 ) 某电镀厂两次改进操作方法, 使用锌量比原来节省 %, 则平均每次节约 ( ) A. 42.% B. 7.% C. ( 0.8) D. ( 0.8) + E. 以上均不对 解析 设平均每次节约 x, 依题意可列方程 (-x) 2 =-%, 解得 x= 0.8) 评注 对增长率问题基本公式 变后量 = 变前量 (± 变化率 ), 要能够熟练应用, 并且能够灵活使用, 变后量 变前量 变化率任何一个量都可以作为未知量由另外两个量表示 例题 (20 年 月 ) 某新兴产业在 200 年末至 2009 年末产值的年平均增长率为 q, 在 2009 年末至 20 年末产值的年平均增长率比前四年下降了 40%,20 年末产值约为 200 年产值的 4.46(.9 4 ) 倍, 则 q 为 ( ) A. 0% B. % C. 40% D. 4% E. 0% 答案 E 解析 设 200 年产值为 a, 到 2009 年经过 4 年, 年产值达到 a(+q) 4, 依题意, 从 2009 年末开始到 20 年末这 4 年间, 年增长率变为 0.6q, 故 20 年年产值为 a(+q) 4 (+0.6q) 4, 即 a(+q) 4 (+0.6q) 4 =4.46a, 化简得 (+q)(+0.6q)=.9, 解得 q=0. 技巧 将方程化简为(+q)(+0.6q)=.9 后, 可将选项代入方程进行验证, 优先验证方便计算的数值 0. 小结 : 以上题目均属于连续变化问题, 可以联系到等比数列知识点, 首先是要掌握两个基本公式 : 增长了 P% 增长了 n 次原值 a 现值 a(+p%) a(+p%) n 减少了 P% 减少了 n 次原值 a 现值 a(-p%) a(-p%) n 其次还要算清楚公式中的 n 值 例题 (998 年 月 ) 一种货币贬值 %, 一年后又增值 ( ) 才能保持原币值 A. % B..2% C. 6.78% D. 7.7% E. 7.6% 答案 E 解析 设增值 x 可使货币恢复原值, 依题意 :(-%)(+x)=, 解得 x=7.6% p% p% 结论 原价为 a, 先降 p%, 再升可恢复原价 ; 若先升 p%, 则再降可恢复 p% + p% 原价 例题 (998 年 0 月 ) 某种商品降价 20% 后, 若欲恢复原价, 应提价 ( ) A. 20% B. 2% C. 22% D. % E. 24% 答案 B 解析 设应提价 x 能保证回复原价, 依题意 (-20%)(+x)=, 解得 x = 4

6 6 管理类联考数学历年真题模块化精讲 例题 (2002 年 0 月 ) 商店出售两套礼盒, 均以 20 元售出, 按进价计算, 其中一套盈利 2%, 而另一套亏损 2%, 结果商店 ( ) A. 不赔不赚 B. 赚了 24 元 C. 亏了 28 元 D. 亏了 24 元 20 解析 两套礼盒的成本分别为 + 2% = 元和 - 2% = 280 元, 一套赚了 20-68=42 元, 另一套亏了 =70 元, 因此总共亏了 70-42=28 元 评注 此题关键是要搞清楚 基准量, 盈利 2% 和亏损 2% 都是以 成本价 为基准的 技巧 已知条件中 20 元 含约数 7, 最终正确选项也很可能含约数 - 7 例题 (2009 年 月 ) 一家商店为回收资金, 把甲乙两件商品均以 480 元一件卖出 已知甲商品赚了 20%, 乙商品亏了 20%, 则商店盈亏结果为 ( ) A. 不亏不赚 B. 亏了 0 元 C. 赚了 0 元 D. 赚了 40 元 E. 亏了 40 元 答案 E 解析 根据数字特点, 可设甲商品成本价 份, 以 480 元卖出为 6 份, 赚了 份是 80 元 ; 再设乙商品成本价为 份, 以 480 元卖出为 4 份, 亏了 份是 20 元 ; 故共亏损 20-80=40 元 技巧 已知条件中 480 元 含约数 4, 最终正确选项也很可能含约数 4 例题 (2002 年 0 月 ) 甲花费 万元购买了股票, 随后他将这些股票转卖给乙, 获利 0%, 不久乙又将这些股票反卖给甲, 但乙损失了 0%, 最后甲按乙卖给他的价格的 9 折把这些股票卖掉了 不计交易费, 甲在上述股票交易中 ( ) A. 不盈不亏 B. 盈利 0 元 C. 盈利 00 元 D. 亏损 0 元 答案 B 解析 第一次交易 甲卖给乙, 甲的成本是 0000 元, 获利 %=000 元, 乙买下这些股票, 乙的成本相当于甲的售价 0000 (+0%)=000 元 ; 第二次交易 乙卖给甲, 乙的成本是 000 元, 损失 0%, 故乙的售价为 0000 (-0%)=4900 元, 相当于甲之后购买这些股票的成本 ; 第三次交易 甲以 9 折卖掉这些股票, 甲的进价为 4900 元,9 折会亏损 0%, 即甲交易亏损 %=490, 第一次交易甲赚了 000, 之后又亏损了 490, 故合计甲共赚取 =0 元 评注 此题的问题是甲最终盈利还是亏损, 因此考生仅需要关注甲每次交易的成本和售价即可, 而最后一次交易甲的成本相当于上一次乙卖给甲的售价 小结 : 以上题目的解题关键都是要找准 基准量, 基准量 的设定通常是 成本, 而 成本 本身是一个相对的概念, 当题目涉及多个对象进行买卖交易时, 买家所付的 买入价 对买家来说就相当于 成本, 而对于卖家来说却是 售价, 并且极个别题目也有将卖出价作为 基准量 的, 需要具体问题具体分析, 比如同学们在后面会看到 2004 年 月 的题目, 此题就是将 售价 看成 基准量 的 例题 (200 年 0 月 ) 商店某种服装换季降价, 原来可买 8 件的钱现在可以买 件, 问这种服装价格下降的百分比是 ( )

7 7 A. 6.% B. 8.% C. 40% D. 42% 答案 B 8 解析 设原价为 x, 现价为 y, 则 8x=y, y 8 x x = x, 故下降百分比为 = 8.% x 技巧 依题意, 购买服装的总价钱不变, 可以设原来每件 元, 现在每件 8 元, 则刚好满 8 足原来买 8 件的钱现在买 件, 所以价格下降的百分比是 = 0.8 例题 (20 年 0 月 ) 某公司今年第一季度和第二季度的产值分别比去年同期增长了 % 和 9%, 且这两个季度产值的同比绝对增加量相等, 则该公司今年上半年的产值同比增长了 ( ) A. 9.% B. 9.9% C. 0% D. 0.% E. 0.9% 答案 B 解析 设去年第一季度产值为 x, 第二季度产值为 y, 则去年上半年总产值为 x+y; 依题意 两季 度同比绝对值增加量相等,x %=y 9%, 即 y = x, 则今年上半年总产值为 (+%)x+(+9%)y, 9 0.x x (.x +.09y) ( x + y) 0.x y 9 比去年增长了 = = = = 9.9% x + y x + y x + x 9 评注 常识公式: 绝对增加量 = 产值 增长率 技巧 由于 两季度同比绝对值增加量相等, 可取去年第一季度产值为 9, 第二季度产值为, 这样今年两季度的绝对增加量 9 %= 9% 刚好相等, 则今年上半年绝对增加量就.98 是 9 %+ 9%=.98, 比去年增加 % 9 + = = 例题 (2006 年 月 ) 某电子产品一月份按原定价的 80% 出售, 能获利 20%, 二月份由于进价降 低, 按同样原定价的 7% 出售, 却能获利 2%, 那么二月份进价是一月份进价的百分之 ( ) A. 92 B. 90 C. 8 D. 80 E. 7 答案 B 解析 设本产品原定价为 x, 一月份进价为 y, 二月份进价为 y 2, 依题意可列方程 8 0.8x = y ( + 20% ) y = x 2 y x = y2 ( + 2% ), 解得, 则有 90% 7 y = 2 0 y2 = x 2 技巧 设一月份进价为 00, 依题意, 一月份售价 20, 是原定价的 80%, 那么一月 份原定价为 20 80%=0, 二月份售价为 0 7%=2., 且获利 2%, 知二月份进价为 2. (+2%)=90, 综上, 二月份进价是一月份进价的 90% 例题 (202 年 0 月 ) 第一季度甲公司的产值比乙公司的产值低 20%, 第二季度甲公司的产值比 第一季度增长了 20%, 乙公司的产值比第一季度增长了 0%, 第二季度甲 乙两公司的产值之比

8 8 管理类联考数学历年真题模块化精讲 是 ( ) A. 96 B. 92 C. 48 D E. 0 解析 设第一季度乙公司产值为 x, 依题意第一季度甲公司的产值为 x(-20%)=0.8x; 第二 季度甲公司的产值为 0.8x(+20%)=0.96x, 第二季度乙公司的产值为.x, 因此第二季度甲乙两公 司的产值之比为 0.96x.x=48 技巧 设乙公司第一季度产值为 00, 依题意甲公司第一季度产值为 00(-20%)=80, 第 二季度甲公司产值为 80(+20%)=96, 第二季度乙公司产值为 00(+0%)=0, 故第二季度甲乙 两公司产值之比为 96 0=48 评注 增长率问题 通常将基准量取为特值 00, 并可以列出以下表格 : 第一季度 第二季度 甲 乙 00 0 小结 : 题目已知条件只给出一些比例增长 / 减少关系, 没有涉及具体量, 经常采取取特值的方法, 在取特值时习惯将 基准量 取为 00, 有时也将 中间量 取为最小公倍数 例题 (997 年 0 月 ) 某商品打 9 折会使销售量增加 20%, 则这一折扣会使销售额增加的百分比 是 ( ) A. 8% B. 0% C. 8% D. % E. 2% 解析 设商品原价 x 元, 销售量 y 件 ;9 折后售价 0.9x 元, 销售量.2y 件, 销售额所增加的百 0.9x.2y xy 分比为 = 0.08 = 8% xy 评注 常识性公式: 销售额 = 单价 销售量 技巧 此题可取特值, 可设商品原价 0 元, 销售量 0 件, 销售额 0 0=00;9 折后售价 为 9 元, 销售量 2 件, 销售额 9 2=08, 比 9 折前增加 = 8% 00 例题 (2004 年 月 ) 某工厂生产某种新型产品, 一月份每件产品销售获得的利润是出厂价的 2%( 假设利润等于出厂价减去成本 ), 二月份每件产品出厂价降低 0%, 成本不变, 销售件数比 一月份增加 80%, 则销售利润比一月份的销售利润增长 ( ) A. 6% B. 8% C..% D. 2.% E. 以上都不对 答案 B 解析 设一月份出厂价为 a, 销售量为 b, 则依题意, 一月份的利润为 2%a=0.2a, 其 成本为 a-0.2a=0.7a, 销售量为 b, 故一月份总利润为 0.2ab; 二月份成本依然为 0.7a, 出厂 价降为 (-0%)a=0.9a, 利润为 0.9a-0.7a=0.a, 销售量为 b(+80%)=.8b, 二月份总利润为 0.27ab 0.2ab 0.a.8b=0.27ab, 与一月份总利润相比增加了 0.2ab = 8%

9 9 技巧 设一月份出厂价为 00, 销售量为 00, 一月份利润为 2, 成本 7, 总利润 200; 二月份成本 7, 出厂价为 90, 利润为, 销售量为 80, 总利润为 80=2700, 故二月份比一 月份利润多 200 = 8% 为避免出错, 考试时可列出以下表格 : 出厂价 成本 利润 销售量 总利润 一月份 二月份 评注 此题已知条件中的 2% 并不是我们熟知的利润率, 它的基准量是 出厂价, 即售价, 考生需根据题目原意正确理解并使用公式 例题 (2009 年 0 月 ) 甲 乙两商店某种商品的进货价格都是 200 元, 甲店以高于进货价格的 20% 的价格出售, 乙店以高于进货价格 % 的价格出售, 结果乙店的售出件数是甲店的 2 倍, 扣 除营业税后乙店的利润比甲店多 400 元, 若设营业税率是营业额的 %, 那么甲 乙两店售出该 商品各为 ( ) 件 A. 40,900 B. 00,000 C. 0,00 D. 600,200 E. 60,00 答案 D 解析 甲乙两店成本均为 200 元, 甲店一件的售价为 200 (+20%)=240, 乙店一件的售 价为 200 (+%)=20, 设甲店销售量为 x 件, 乙店销售量为 2x 件, 那么可以写出扣除营业税 后甲乙两店的利润, 他们的差为 400, 故可列出方程 [20 2x (-%)-2x 200]-[240x (- %)-x 200]=400, 解得 x=600 评注 此题涉及 进价 售价 利润 销售量 销售额 税 量很多, 为防止出 错, 考试时可先列出以下表格 : 进价 售价 单利 销量 销售额 税 总利润 税后利润 甲 x 240x 240x %=2x 40x 40x-2x=28x 乙 x 460x 460x %=2x 60x 60x-2x=7x 依题意 7x-28x=9x=400, 解得 x=600 技巧 甲店每卖出一件利润为 40 元, 扣除营业税后利润为 %=28, 乙店每卖出一 件利润为 0 元, 扣除营业税后利润为 0-20 %=8., 甲店每卖出一件, 乙店同时要卖出 2 件, 因此甲店每赚 28 元, 乙店要赚 8. 2=7 元, 乙店要比甲店多赚 7-28=9 元, 那么 400 元就是甲 店卖出 400 9=600 件时乙店比甲店多的利润, 选 D 小结 : 题目已知条件中涉及多个量, 并且存在比较关系, 为保证计算不出错误, 经常采用列表的方法, 简明清晰 ; 并且我们要根据具体题意掌握一些常识性的公式, 比如 销售额 = 单价 销售量 二 充分性判断 充分性判断 题型要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论, 阅读条件 () 和 (2) 后选择 ( 该类题型的题支选项固定不变, 故本书中此类题型不再一一列举各选项 )

10 0 管理类联考数学历年真题模块化精讲 A. 条件 () 充分, 但条件 (2) 不充分 B. 条件 (2) 充分, 但条件 () 不充分 C. 条件 () 和 (2) 单独都不充分, 但条件 () 和条件 (2) 联合起来充分 D. 条件 () 充分, 条件 (2) 也充分 E. 条件 () 和条件 (2) 单独都不充分, 条件 () 和条件 (2) 联合起来也不充分 例题 (202 年 0 月 ) 某商品经过八月份与九月份连续两次降价, 售价由 m 元降到了 n 元, 则该商品的售价平均每次下降了 20%( ) () m-n=900 (2) m+n=400 解析 根据题干最终要推导出:m(-20%) 2 =n, 显然需要联合 ; 联合后可以得到一个 m n = 900 m = 200 关于 m,n 的二元一次方程组, 解得, 代入题干表达式刚好满足 m(- m + n = 400 n = %) 2 =n, 故联合充分, 选 C 规律 充分性判断题 C 选项的特点 : 两条件信息量不足, 单独 显然 不充分 例题 (2004 年 0 月 )A 公司 200 年六月份的产值是一月份产值的 a 倍 ( ) () 在 200 年上半年,A 公司月产值的平均增长率为 a 6 (2) 在 200 年上半年,A 公司月产值的平均增长率为 a - 答案 E 解析 六月份到一月份经过了 次增长, 设平均增长率为 x,(+x) =a, 解得 x= a -, 两条件均不充分, 且无法联合, 选 E 例题 (200 年 月 ) 该股票涨了 ( ) () 某股票连续三天涨 0% 后, 又连续三天跌 0% (2) 某股票连续三天跌 0% 后, 又连续三天涨 0% 答案 E 解析 设股票原价为 a, 根据条件 (), 先连续三天涨 0%, 再连续三天跌 0% 后股价为 a(+0%) (-0%) =0.99 a<a; 根据条件 (2), 先连续三天跌 0%, 再连续三天涨 0% 后股价为 a(-0%) (+0%) =0.99 a<a, 两条件股价相同, 都是比原股价小, 因此单独均不充分, 两条件又矛盾无法联合, 故选 E 结论 在变化率问题中, 若增长或下降的百分比相同, 无论先增长还是先下降, 最后所得的数值一定比原值要小, 并且百分比越大, 下降的幅度越大 发散 条件(2) 改为 某股票连续三天跌 20% 后, 又连续三天涨 20%, 问哪个条件股价跌得多? 答案为条件 (2) 跌得多 例题 (2009 年 月 )A 企业的职工人数今年前年增加了 0%( ) () A 企业的职工人数去年比前年减少了 20% (2) A 企业的职工人数今年比去年增加了 0%

11 答案 E 解析 两条件单独显然不充分需要联合: 设前年职工人数为 a, 根据条件 (), 去年职工人数为 a(-20%)=0.8a, 再根据条件 (2), 今年职工人数为 0.8a(+0%)=.2a, 不难看出今年与前年相比人数增加了 20%, 不充分, 综上选 E 技巧 取特值设前年 00 人, 则去年 00-20=80 人, 今年 80+40=20 人, 今年人数与前年相比增加了 20% 小结 : 以上题目均属于连续变化率问题 例题 (200 年 0 月 ) 某城区 200 年绿地面积较上年增加了 20%, 人口却负增长, 结果人均绿地面积比上年增长了 2%( ) () 200 年人口较上年下降了千分之 8.26 (2) 200 年人口较上年下降了千分之 0 答案 A 解析 设上年绿地面积为, 人口也为, 则人均绿地面积为 /=, 依题.2 意 :200 年绿地面积为.2, 人均绿地面积为.2, 可得 200 年人口为 , 比上年下降了 = , 条件 () 充分, 选 A 技巧 比较两条件, 显然条件 (2) 简单, 先验证简单条件不充分, 默认 () 充分, 选 A 评注 如果此题从条件入手, 条件 () 的计算量稍大, 这种题目中的变量关系是固定的, 即 : 变后量 = 变前量 (+ 变化率 ), 由题干入手就一定是等价变形 例题 (200 年 月 ) 甲企业今年人均成本是去年的 60%( ) () 甲企业今年总成本比去年减少 2%, 员工人数增加 2% (2) 甲企业今年总成本比去年减少 28%, 员工人数增加 20% 答案 D x 解析 设去年总成本为 x, 总人数为 y, 则去年的人均成本为 y ; 根据条件 (), 调整后今 x( 2% ) x 年的人均成本变为 = 0.6, 充分 ; 同理, 根据条件 (2), 调整后今年的人均成本变为 y( + 2% ) y x( 28% ) x = 0.6, 也充分 ; 综上选 D y( + 20% ) y 总成本 评注 常识性公式: 人均成本 = 总人数 技巧 可以取特值, 令去年的总成本为 00, 总人数为 00, 人均成本为 ; 根据两条件可以分别得到 : 条件 () 中今年的总成本为 7, 总人数为 2, 人均成本为 0.6; 条件 (2) 中今年的总成本为 72, 总人数为 20, 人均成本为 0.6; 单独均充分, 选 D 例题 (2007 年 0 月 ) 千克鸡肉的价格高于 千克牛肉的价格 ( ) () 一家超市出售袋装鸡肉与袋装牛肉, 一袋鸡肉的价格比一袋牛肉的价格高 0%

12 2 管理类联考数学历年真题模块化精讲 (2) 一家超市出售袋装鸡肉与袋装牛肉, 一袋鸡肉比一袋牛肉重 2% 解析 显然需联合两条件, 可设一袋牛肉价格 00, 重量 00, 那么单位重量牛肉的价格 00 为 00 = 0, 根据两条件, 一袋鸡肉的价格为 0, 重量为 2, 那么单位重量鸡肉的价格为 2 >, 故联合充分, 选 C 一袋肉价格 评注 常识性公式: 一千克肉价格 = 一袋肉重量 技巧 一袋鸡肉价格高于牛肉价格 0%, 而重量只比牛肉高 2%, 分子大的程度比分母大的程度多, 故可推知一千克鸡肉价格高于一千克牛肉价格, 选 C 小结 : 以上几题帮助同学们总结了一些常识性公式, 这些公式需要具体题目具体分析, 遇到一个积累一个 第二节比例问题 比 知识要点 a 两个数相除, 又称为这两个数的比, 即 a : b =, 其中 a 叫做比的前项,b 叫做比的后项, 相 b a 除所得商叫做比值, 记作 a : b = = k, 在实际应用中, 常将比值表示成百分数, 称为百分比, 如 b 4=7% 比例 a c 相等的比称为比例, 记作 a b=c d 或 =, 其中 a 和 d 称为比例外项,b 和 c 称为比例内项 b d 比例的基本性质 : () a b=c d ad=bc a c e a + c + e (2) 等比定理 : = = = ( b + d + f 0) b d f b + d + f 单总量关系公式 部分量 = 总量 部分量占总量比例部分量总量 = 对应占总量的比例

13 解题关键点在比例问题中, 经常用到 设份数 的方法, 比如 已知 a b =2, 则立刻将 a 看成 2 份,b 看成 份, 并且 a 很有可能是 2 的倍数,b 很有可能是 的倍数 ; 份数 方法的最终目的是为了使得比例取成整数方便计算, 也是考试中最常用的 取整 基本技巧, 求解过程中还不可避免地要求出每一份所对应的具体值, 请考生注意体会 真题实战 2 a + 6 b 例题 (2008 年 月 ) 若 a : b = :, 则 = ( 4 2 a 8 b ) A. 2 B. C. 4 D. - E. -2 解析 取特值, 令 a =, b = 2a + 6b, 代入得 = 4 4 2a 8b 例题 (20 年 月 ) 若实数 a,b,c 满足 a b c= 2, 且 a+b+c=24, 则 a 2 +b 2 +c 2 =( ) A. 0 B. 90 C. 20 D. 240 E. 270 答案 E 解析 根据已知条件, a = 24 =, 则 b=2a=6,c=a=,a 2 +b 2 +c 2 =9+6+22= 例题 (20 年 0 月 ) 如果 a,b,c 的算术平均值等于, 且 a : b : c = : :, 那么 c = ( 2 4 ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 2 E. 8 a + b + c 解析 =, 则 a+b+c=9, a : b : c = : : =6 4, 解得 c = 9 = 例题 (997 年 0 月 ) 若某人以 000 元购买 A B C 三种商品, 且所用金额之比为. 2., 则他购买 A B C 三种商品的金额 ( 单位 : 元 ) 依次是 ( ) A. 00,00,600 B. 0,22,400 C. 0,00,0 D. 200,00,00 E. 200,20,0 答案 D 解析 A B C 三种商品所用金额之比为. 2.=2 ; 总金额为 000 元, 则各自 所用金额为 评注 遇到连续几个数字的比, 通常将其化为最简整数比 例题 (200 年 月 ) 一公司向银行借款 4 万元, 欲按 : : 的比例分配给下属甲 乙 丙三车 2 9 间进行技术改造, 则甲车间应得 ( )

14 4 管理类联考数学历年真题模块化精讲 A. 7 万元 B. 8 万元 C. 2 万元 D. 8 万元 答案 D 解析 甲乙丙三车间借款金额之比为 : : 2 9 =9 6 2, 9 9 甲车间占总借款额的 =, 因此甲车间应得 4 = 8万元 7 陷阱 误认为甲占 2, 直接得到甲为 7 万元, 误选 A 例题 (202 年 0 月 ) 将 700 元奖金按 2 2 的比例分给甲 乙 丙三人, 则乙应得奖金 ( ) A. 000 B. 00 C. 200 D. 00 E. 700 答案 A 解析 甲乙丙三人的奖金金额之比为 2 2 = 0 2, 故乙应得奖金 = 000 元 例题 (200 年 月 ) 某公司得到一笔 68 万元的贷款, 欲将其用于下属三个工厂的设备改造, 结果甲 乙 丙三个工厂按比例分别得到 6 万元 24 万元和 8 万元 ( ) () 甲 乙 丙三个工厂按 2 的比例分配贷款 9 (2) 甲 乙 丙三个工厂按 的比例分配贷款 答案 D 解析 由条件() 得到甲 乙 丙 =9 6 2, 可设贷款总额 7 份, 甲工厂得到 9 份 6 万元, 乙工厂得到 6 份 24 万元, 丙工厂得到 2 份 8 万元, 充分 ; 同理条件 (2) 也充分 技巧 不难看出两条件是等价关系, 要么都对, 要么都错, 选 D 例题 (2002 年 月 ) 设 x+y+z=74 x y z =4 6, 则使 + +z 成立的 y的值是 ( ) A. 24 B. 6 C. 74 答案 A D. 7 2 解析 依题意 x y z= 4 6 = 2 0, 则可设 x+y+z 共 +2+0=7 份, 每一份为 2, 则 y=2 2=24 技巧 将整个比例式扩大 xyz 倍可得到 yz xz xy=4 6, 可以看出 y 的位置是 xz 之积, 则可猜 y=4 6=24 例题 (2004 年 月 ) 装台机器需要甲 乙 丙三种部件各一件, 现库中存有这三种部件共 270 件, 分别用甲 乙 丙库存件数的, 4, 2 装配若干机器, 那么原来存有甲种部件 ( ) A. 80 件 B. 90 件 C. 00 件 D. 0 件 E. 以上都不对

15 解析 设甲 乙 丙三种部件数量分别为 x,y,z, 依题意有 x= 4 y= 2 z, 可得 x y z= 4 2 =0 8 9, 可得甲占 27 份中的 0 份, 每份 0 件, 甲 00 件 发散 若题目改为 装一台机器需要甲部件 件 乙部件 2 件 丙部件 件, 则有 x 4 y 2 z= 2, 可设 x=k, 4 y=2k,2 z=k, 得 x= k,y=8 k,z=9 2 k, 那么 x y z= = , 根据 x,y,z 三者之和为 270, 可求出 x,y,z 具体值, 这里数字运算量偏大, 故不给出具体解 例题 (2000 年 0 月 ) 车间工会为职工买来足球 排球和篮球共 94 个, 按人数平均每 人一只足 球, 每 4 人一只排球, 每 人一只篮球, 该车间职工总人数是 ( ) A. 0 B. C. 20 D. 2 解析 设足球 排球 篮球的只数分别为 x,y,z, 则职工总人数为 x=4y=z, 设总人 数为 x=4y=z=k, 则 x= k,y= k 4,z= k, 那么 x y z= 4 = 20 2, 那么可设足球 20 份, 排球 份, 篮球 2 份, 共 20++2=47 份对应 94 个, 一份对应 2 个, 故足球有 x=2 20=40 个, 知职工总人数为 k=x= 40=20 技巧 总人数为 k=x=4y=z, 则总人数为,4, 的倍数, 选 C 小结 : 遇到连续几个数字的比, 通常将其化为最简整数比, 得到最简整数比后, 就可以得到各单量之间及它们与总量的关系 例题 (2002 年 月 ) 某厂生产的一批产品经产品检验, 优等品与二等品的比是 2, 二等品与 次品的比是, 则该产品的合格率 ( 合格品包括优等品与二等品 ) 为 ( ) A. 92% B. 92.% C. 94.6% D. 96% 解析 依题意, 优等品 二等品 次品三者的比例为 2 0 2, 则可将这批产品视为 2+0+2=7 份, 合格品 ( 优等品和二等品 ) 份, 则合格率为 % 评注 多个量的比例, 需要找到中间量, 通过最小公倍数统一中间量的份数, 将比例写 成一个比例式 6 例题 (200 年 0 月 ) 如下图所示, 小正方形的被阴影所覆盖, 大正方形的被阴影所覆盖, 4 7 则小 大正方形阴影部分面积之比为 ( ) A. 7 8 B. 6 7 C. 4 D. 4 7 E. 2

16 6 管理类联考数学历年真题模块化精讲 答案 E 解析 依题意, 小正方形的被阴影所覆盖, 可设小正方形面积为 4 份, 阴影部分为 4 6 份, 空白部分面积为 份 ; 大正方形的被阴影所覆盖, 可设大正方形面积为 7 份, 阴影部分 7 为 6 份, 空白部分面积为 份, 空白部分作为公共部分, 可以得到小正方形阴影 空白部分 大正方形阴影三者面积之比为 6, 得到两个阴影面积之比为 6= 2 6 发散 题目若改为 小正方形的被阴影所覆盖, 大正方形的被阴影所覆盖, 求小 7 大正方形阴影部分面积之比, 此时可以得到小阴影 份, 空白 2 份, 小阴影与空白部分面积之比为 2; 大阴影 6 份, 空白 份, 大阴影与空白部分比例为 6, 空白部分作为公共部分, 需要统一份数, 将后面的比例式扩大 2 倍 2 2, 得到小阴影 空白部分 大阴影三者面积之比为 2 2, 则小 大阴影面积之比为 2= 4 例题 (2007 年 0 月 ) 某产品有一等品 二等品和不合格品三种, 若在一批产品中一等品件数 和二等品件数的比是, 二等品件数和不合格品件数的比是 4, 则该产品的不合格品率约 为 ( ) A. 7.2% B. 8% C. 8.6% D. 9.2% E. 0% 解析 依题意, 一等品 二等品 不合格品的件数比为 20 2, 不难看出, 不合格率 为 % 发散 若此题问法改为 求从这些产品中任取一件不合格品的概率, 则答案不变, 其 实 任取一件为不合格品的概率 相当于 不合格品占总量的百分比 例题 (2006 年 0 月 ) 一批产品的合格率为 9%, 而合格品中一等品占 60%, 其余为二等品 现 从中任取一件检验, 这件产品是二等品的概率为 ( ) A. 0.7 B. 0.8 C. 0. D E. 以上均不对 答案 B 解析 合格品中一等品 60%, 则二等品占 40%, 因此任取一只是二等品的概率是 9% 40%=0.8 例题 (999 年 0 月 ) 容器内装满铁质或木质的黑球与白球, 其中 0% 是黑球,60% 的白球是铁 质的, 则容器中木质白球的百分比是 ( ) A. 28% B. 0% C. 40% D. 42% E. 70% 答案 A 解析 依题意,0% 是黑球, 则剩余 70% 为白球, 在这些白球中, 有 60% 是铁质的, 则另

17 7 外 40% 是木质的, 因此木质白球占总量的 70% 40%=28% 例题 (200 年 0 月 ) 健身房中, 某个周末下午 00 参加健身的男士与女士人数之比为 4, 下午 00 男士中有 2% 女士中有 0% 离开了健身房, 此时留在健身房内的男士与女士人数之 比是 ( ) A. 0 9 B. 9 8 C. 8 9 D. 9 0 答案 B 解析 留在健身房内的男女人数之比为 (-2%) 4 (-0%)=9 8 评注 此类题目与具体人数无关, 可以采取特值法 例题 (200 年 月 ) 电影开演时观众中女士与男士人数之比为 4, 开演后无观众入场, 放映 一个小时后, 女士的 20% 男士的 % 离场, 则此时在场的女士与男士人数之比为 ( ) A. 4 B. C. 4 D E 答案 D 解析 设女士与男士人数分别为 00 与 400, 依题意可列出方程 :00 (-20%) 400 (-%)=20 7 小结 : 题目已知条件中只有各个量之间的比例关系, 没有涉及具体值, 经常采用取特值的方法, 一般将 基准量 取为特值 7 例题 (200 年 0 月 ) 某培训班有学员 96 人, 其中男生占全班人数的 2, 女生中有 % 是 0 岁 和 0 岁以上的, 则女生中不到 0 岁的人数是 ( ) A. 0 B. C. 2 D. E. 4 答案 E 解析 依题意女生人数为 96 2 =40 人, 其中不到 0 岁的有 40 (-%)=4 人 评注 已知总量求部分量, 借助公式 部分量 = 总量 部分量占总量比例 例题 (2000 年 0 月 ) 某单位有男职工 420 人, 男职工人数是女职工人数的 倍, 工龄 20 年以上 者占全体职工人数的 20%, 工龄 0~20 年者是工龄 0 年以下者人数的一半, 工龄在 0 年以下者 人数是 ( ) A. 20 B. 27 C. 92 D. 40 解析 依题意, 女职工人数为 420 =, 男女职工总人数为 420+=7, 工龄 20 年 以下的占总人数的 -20%=80%, 故工龄 20 年以下的有 7 80%=88, 其中 工龄 0~20 年者是 工龄 0 年以下者人数的一半, 可得 工龄 0~20 年人数与工龄 0 年以下人数之比为 2, 故 2 工龄 0 年以下人数为 88 =

18 8 管理类联考数学历年真题模块化精讲 技巧 观察选项找 7 的倍数, 只有 C 选项符合被 7 整除的特点 例题 (200 年 0 月 ) 某工厂人员由技术人员 行政人员和工人组成, 共有男职工 420 人, 是女 职工的 倍, 其中行政人员占全体职工的 20%, 技术人员比工人少 2, 那么该工厂工人的人数 为 ( ) A. 200 B. 20 C. 00 D. 0 E 解析 可设女职工 份, 男职工 4 份, 男职工占总人数的 7, 则知总人数为 =7 人, 行政人员占 20%, 则除行政人员外, 技术人员和工人共 7 80%=88 人 ; 再根据题意可设 2 工人 2 份, 技术人员 24 份, 工人占二者总和的 49, 因此有工人 =00 人 评注 若已知 a 比 b 少 2, 立刻将 b 看成 2 份,a 就是 24 份, 二者比例 a b=24 2 例题 (200 年 月 ) 所得税是工资加奖金总和的 0%, 如果一个人的所得税为 680 元, 奖金为 200 元, 则他的工资为 ( ) A 元 B. 900 元 C. 900 元 D 元 E 元 解析 设其工资为 x 元, 依题意 (x+200) 0%=680, 解得 x=900 部分量 评注 本题也可采取逆算的思路: 用公式 总量 = 可计算工资加奖金对应占总量的比例 的总额 680 0%=22700, 再减掉奖金 200 元就是工资 2 例题 (200 年 0 月 ) 用一笔钱的购买甲商品, 再以所余金额的购买乙商品, 最后剩余 元, 这笔钱的总额是 ( ) A 元 B. 600 元 C 元 D. 400 元 2 解析 设这笔钱总额 x 元, 依题意 = 900, 解得 x= 部分量 评注 已知部分量求总量, 此题也可借助公式 总量 = 求解对应占总量的比例 技巧 根据已知条件 最后剩余 900 元, 可以改为 最后剩余 9 元 ( 缩小 00 倍 ), 正确 答案缩小 00 倍后要能被 和 8 同时整除, 只有 C 选项满足特征 例题 (204 年 月 ) 某公司投资一个项目, 已知上半年完成了预算的, 下半年完成了剩余部 2 分的, 此时还有 8000 万投资未完成, 则该项目的预算为 ( ) A. 亿元 B..6 亿元 C..9 亿元 D. 4. 亿元 E.. 亿元

19 9 答案 B 2 解析 设该项目预算 x 亿元, 依题意 x = 0.8, 解得 x=.6 2 技巧 根据题意, 总预算应该是 9 的倍数 ( 上半年未完成的是, 2 2 下半年完成了的也 就是总预算的 4 9 ), 只有 B D 选项符合题意, 将 B 选项代入, 未完成的投资额 :.6 2 = 0.8, 符合题意 例题 (2000 年 0 月 ) 菜园里的白菜获得丰收, 收到时, 装满 4 筐还多 24 斤, 其余部分收完后 8 刚好又装满了 8 筐, 菜园人共收了白菜 ( ) A. 8 斤 B. 82 斤 C. 8 斤 D. 84 斤 答案 D x 24 x 解析 设共收白菜 x 斤, 则依题意, 每筐白菜的重量为 8 = 8, 解得 x= 技巧 设这批白菜共 8 份, 此时可直接猜白菜的重量为 8 的倍数, 选 D; 收到 份时对 应 4 筐 +24 斤, 剩余 份对应 8 筐, 故 4 筐对应 2. 份,24 斤对应 0. 份, 份为 48 斤, 总共 8 份对应 48 8=84 斤 例题 (2002 年 月 ) 奖金发给甲 乙 丙 丁四人, 其中发给甲, 发给乙, 发给丙的奖金 数正好是甲乙奖金之差的 倍, 已知发给丁的奖金为 200 元, 则这批奖金为 ( ) A. 00 元 B 元 C. 200 元 D. 000 元 答案 D 2 解析 根据题意, 发给丙的奖金是 =, 可设奖金总额为 x 元, 列出方程 2 x = 200, 解得 x=000 评注 此题只已知丁的具体奖金金额, 想求出总量就一定要求出丁占总量的百分比, 利部分量用公式 总量 = 求解对应占总量的比例 技巧 可设这批奖金共 份, 则奖金总额应该为 的倍数, 依题意发给甲 份, 发给乙 份, 发给丙 (-) =6 份, 发给丁 ---6= 份为 200 元, 则奖金总额为 200 =000 元 例题 (20 年 0 月 ) 某物流公司将一批货物的 60% 送到了甲商场,00 件送到了乙商场, 其余 的送到了丙商场 若送到甲 丙两商场的货物数量之比为 7, 则该批货物共有件数为 ( ) A. 700 B. 800 C. 900 D. 000 E. 00 答案 A

20 20 管理类联考数学历年真题模块化精讲 解析 依题意, 可知丙商场的货物数量占这批货物总量的 60% 7 = 9, 故乙商场货物占 9 总量的 60% = =, 可得货物总量为 =700 件 技巧 当得知丙占总量的 60% 7 = 9 时, 可大胆猜测货物总量为 的倍数, 选 A 例题 (999 年 0 月 ) 甲乙丙三名工人加工一批零件, 甲工人完成了总件数的 4%, 乙 丙两工 人完成的件数之比是 6, 已知丙工人完成了 4 件, 则甲工人完成的零件件数为 ( ) A. 48 B. C. 60 D. 6 E. 2 答案 B 解析 依题意, 乙丙二人完成总量的 -4%=66%, 并且知乙丙二人完成零件数之比 为 6, 那么丙完成了总量的 66% = 0%,4 个零件占总量的 0%, 得到零件总数为 %=0, 因此甲完成了 0 4%= 个 技巧 甲工人完成了总件数的 4%, 则甲完成的零件数必含约数 7, 观察选项仅 B 选项符 合条件 例题 (20 年 月 ) 甲乙两商店同时购进了一批某品牌的电视, 当甲店售出 台时乙售出了 0 台, 此时两店的库存比为 8 7, 库存差为, 甲乙两店总进货量为 ( ) A. 7 台 B. 80 台 C. 8 台 D. 00 台 E. 2 台 答案 D 解析 库存比为 8 7, 可设甲店电视机台数有 8 份, 乙店电视机台数有 7 份, 二者相差 8-7= 份对应库存差 台, 两店共 份对应 =7 台, 再加上卖出的 2 台, 共 00 台 例题 (2000 年 月 ) 一本书内有三篇文章, 第一篇的页数分别是第二篇页数和第三篇页数的 2 倍和 倍, 已知第三篇比第二篇少 0 页, 则这本书共有 ( ) 页 A. 00 B. 0 C. 0 D. 20 x x 解析 设第一篇文章有 x 页, 则第二篇文章有页, 第三篇文章有页, 依题意 2 x 2 - x =0, 解得 x=60, 因此全书共 = 0页 2 技巧 也可根据已知条件得到三篇文章的页数比为 6 2, 知全书共 6++2= 份, 第二 篇比第三篇多出 份, 这 份对应 0 页, 则全书共 份 0 页 小结 : 以上题目的已知条件中除了给出各个量之间的比例关系外, 均涉及具体值, 大部分题目属于单总量关系题型, 关键要灵活使用两个公式 : 部分量 = 总量 部分量占总量比例, 部分量 总量 =, 而且经常采取 份数法, 找到单量对应的份数及每一份所对应占总量的比例对应的具体值, 有时还可以根据倍数 整除特点猜答案

21 2 例题 (2006 年 0 月 ) 甲 乙两仓库储存的粮食重量之比为 4, 现从甲库中调出 0 万吨粮食, 则甲 乙两仓库存粮吨数之比为 7 6, 甲仓库原有粮食的万吨数为 ( ) A. 70 B. 78 C. 80 D. 8 E. 以上均不对 解析 由于乙库中粮食存量没变, 于是想到将第一个比例式 4 化为 8 6, 设甲乙两库存粮量为 8 份和 6 份, 不难看出甲库减少了 8-7= 份, 对应 0 万吨, 可得甲原有粮食 80 万吨 评注 调整前后乙库中粮食吨数不变, 想到统一乙库的份数, 在比例变化问题中, 经常要统一不变量的份数 技巧 根据甲库中原有粮食 4 份, 猜答案为 4 的倍数例题 (2006 年 0 月 ) 仓库中有甲 乙两种产品若干件, 其中甲占总库存量的 4%, 若再存入 60 件乙产品后, 甲产品占新库存量的 2%, 那么甲产品原有件数为 ( ) A. 80 B. 90 C. 00 D. 0 E. 以上均不对 答案 B 解析 原来甲乙两种产品比例为 4% %=9, 可设原有甲产品 9 份, 乙产品 份 ; 再存入 60 件乙产品后二者比例变为 2% 7%= =9 27, 不难看出乙产品多了 6 份对应 60 件, 每份对应 0 件, 可知甲产品原有 9 份即 90 件, 选 B 评注 此题中甲产品的数量没有变, 想到统一甲产品的份数 技巧 根据已知条件 甲产品占 4%, 占 9 份, 可大胆推测甲产品件数含约数 9 例题 (2009 年 月 ) 某国参加北京奥运会的男女运动员的比例原为 9 2, 由于先增加若干名女运动员, 使男女运动员的比例变为 20, 后又增加了若干名男运动员, 于是男女运动员比例最终变为 0:9, 如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多 人, 则最后运动员的总人数为 ( ) A. 686 B. 67 C. 700 D. 66 E. 600 答案 B 解析 依题意, 可设原来男 女运动员人数分别为 9x 2x, 先增加了 y 名女运动 9x 20 = 2x + y x = 20 员, 后增加了 y+ 名男运动员, 可列出方程组, 解得, 故总人数为 9x + y + 0 y = 7 = 2x + y 9 9x+y++2x+y=67 技巧 原来, 男 女 =9 2, 增加女运动员后, 男 女 =20, 由于这个过程中男运动员人数不变, 想到将男运动员人数统一为 9 20=80 份, 则女运动员人数由 2 20=240 份增加到 9=247 份, 增加了 7 份 ; 再增加男运动员后, 男 女 =0 9, 这个过程女运动员人数不变, 想到将女运动员人数统一为 9=247 份, 则男运动员人数由 80 份增加到 0 =90 份, 增加了 0 份 ; 后增加的男运动员比先增加的女运动员多出 0-7= 份, 这 份对应 人, 则每一份对应 人, 故最后运动员总人数就是 =67 人 评注 比例变化问题要抓不变量, 统一不变量的份数, 这样做的目的是为了使每一份所

22 22 管理类联考数学历年真题模块化精讲 对应的具体量相等, 从而实现对份数进行相加减, 这样做的好处是一般情况下每一份对应的具 体值都是整数, 可以借助倍数 整除特点猜答案 例题 (999 年 月 ) 一批图书放在两个书柜中, 其中第一柜占 %, 若从第一柜中取出 本放 入第二柜内, 则两书柜的书各占这批图书的 0%, 这批图书共有本数为 ( ) A. 200 B. 260 C. 00 D. 60 E. 600 解析 第一柜原来占总量的 %, 取出 本后与第二柜相等, 占总量的 0%, 则所取出的 本书占总量的 %-0%=%, 那么这批图书共 %=00 本 技巧 调整前后总量不变, 设总量为 00 份, 调整前第一柜占了 份, 第二柜占了 4 份, 从第一柜中拿出 份放入第二柜就使得两柜存书量相等各占 0 份, 故 份对应具体值 本, 则 份 对应 本, 共 00 份对应 00 本 评注 从总量不变想到统一总量的份数 例题 (200 年 月 ) 甲 乙两个储煤仓库的库存量之比为 0 7, 要使这两仓库的库存煤量相 等, 甲仓库需向乙仓库搬入的煤量占甲仓库库存煤量的 ( ) A. 0% B. % C. 20% D. 2% E. 0% 答案 B 解析 依题意, 设甲库煤量 0 份, 乙库 7 份, 一共 7 份, 要使两库煤量相等, 则每库 8. 份, 甲库需搬入 0-8.=. 份, 占 0 份的 % 例题 (997 年 月 ) 甲仓存粮 0 吨, 乙仓存粮 40 吨, 要再往甲仓和乙仓共运去粮食 80 吨, 使甲 仓粮食是乙仓粮食的. 倍, 应往运往乙仓的粮食吨数为 ( ) A. B. 20 C. 2 D. 0 E. 答案 B 解析 已知甲乙原有粮食共 0+40=70 吨, 运进 80 吨后两仓库共有粮食 70+80=0 吨 ; 又知 2 2 甲乙两仓粮食之比为. = 2, 则可知乙仓粮食占甲乙粮仓粮食总量的 =, 因此乙仓 + 2 有粮食 0 2 =60 吨, 需向乙仓运粮食 60-40=20 吨 例题 (20 年 月 ) 某公司共有甲 乙两个部门, 如果从甲部门调 0 人到乙部门, 那么乙部门 的人数是甲部门的 2 倍 ; 如果把乙部门的调到甲部门, 那么两个部门的人数相等, 该公司的总 人数为 ( ) A. 0 B. 80 C. 200 D. 240 E. 20 答案 D 解析 设甲部门原有 x 人, 乙部门原有 y 人, 依题意可列方程组 ( x ) 2 0 = y + 0 x = 90 4, 解得, 故总人数为 x+y=90+0=240 x + y = y y = 0

23 2 另解 根据 乙部门人数是甲部门人数的 2 倍, 可设第一次调整后甲部门人数 份, 乙 部门人数 2 份, 总人数 +2= 份 ; 根据 乙部门人数的调到甲部门, 两部门人数相等, 可设 乙部门人数原有 份, 调走 份后还剩 4 份, 此时甲部门人数也为 4 份, 则甲部门原有 份, 总人数 +=8 份 ; 由于调整前后总人数不变, 想到统一总人数为 8=24 份, 故甲部门原有 =9 份, 乙部门 = 份, 根据第一次调整后乙部门人数为甲部门人数的 2 倍, 不难得出调整后乙部门为 6 份, 甲部门为 8 份, 甲部门减少了 9-8= 份, 这 份对应 0 人, 因此总人数 24 份对应 240 人 技巧 当得知总人数可以是 份和 8 份时, 可以大胆猜测总人数既是 的倍数, 又是 8 的倍数, 选 D 小结 : 以上题目均属于比例变化问题, 比例变化问题的解题关键是要找到不变量, 统一不变量的份数 ( 若总量不变, 就统一总量的份数 ), 这样做的目的是为了使每一份所对应的具体量相等, 从而实现对份数进行相加减, 这样做的好处是一般情况下每一份对应的具体值都是整数, 可以借助倍数 整除特点猜答案 例题 (997 年 月 ) 某投资者以 2 万元购买甲 乙两种股票, 甲股票的价格为 8 元 / 股, 乙股票的价格为 4 元 / 股, 他们的投资额之比是 4, 在甲 乙股票分别为 0 元 / 股和 元 / 股时, 该投资者全部抛出这两种股票, 他共获利 ( ) A. 000 元 B. 889 元 C 元 D. 000 元 E. 200 元 答案 A 解析 依题意, 购买甲乙两种股票共 元, 且投资额之比为 4, 则购买甲股票花去 6000 元, 购买乙股票花去 4000 元 ; 又已知甲乙两种股票的股价分别为 8 元 / 股和 4 元 / 股, 则可知购买甲股票 6000/8=2000 股, 购买乙股票 4000/4=000 股 ; 卖出时甲每股赚 2 元, 乙每股赔 元, 因此投资者共获利 =000 元 评注 此题关键要求出甲 乙两种股票各买了多少股 技巧 经过此次买卖交易后, 甲股票每股进价 8 元, 赚 2 元, 占进价的 4, 乙股票每股进价 4 元, 亏 元, 同样占进价的 4 ; 4 又知它们的投资额之比是 4, 则甲 乙各占总投资额的, 4 故它们的总利润占总投资额的 4-4 = 20, 所以共获利 =000 元 发散 若此题改成 某投资者以 2 万元购买甲 乙两种股票, 甲股票的价格为 8 元 / 股, 乙股票的价格为 4 元 / 股, 在甲 乙股票分别为 0 元 / 股和 元 / 股时, 该投资者全部抛出这两种股票, 共获利 000 元, 求购买甲乙两种股票时的金额比, 我们该如何思考? 例题 (2008 年 月 ) 本学期某大学的 a 个学生或者付 x 元的全额学费或者付半额学费, 则付全额 学费的学生所付的学费占 a 个学生所付学费总额的比例是 () 在这 a 个学生中 20% 的人付全额学费 (2) 这 a 个学生本学期共付 920 元学费

24 24 管理类联考数学历年真题模块化精讲 答案 A 解析 根据条件(),20%a 学生每人都付全额学费 x 元, 共 20%ax 元, 另外 80%a 学生每人 x 付学费元, 共 40%ax, 那么所有学生共付学费 60%ax, 付全额续费的确实占了 2, 充分 ; 条件 (2) 只给出共付了 920 元学费, 并没有给出两种学费的人数关系, 故无法确定全额学费占总额的比例, 不充分 ; 综上选 A 评注 此题中, 题干已经给出两种学费的比例关系 2, 只要付两种学费的人数比例关系确定, 两种人所付学费总额的比例关系就能确定 小结 : 上面 2008 年 月 这道充分性判断题与 997 年 月 的第二道问题求解很类似 ( 属于加权平均数模型, 后面第六节会讲到 ), 此题已知 两种人数比 和 两种人每人所付学费比 即可求出 两种人所付学费总金额比, 而 997 年 月 题目可以先求出 两种股票数量比 和 两种股票每股利润比, 进而求 两种股票总利润比 第三节浓度问题 知识要点 基本公式 溶液 = 溶质 + 溶剂溶质浓度 = 00% = 溶液 溶液的 均匀 性质 溶质溶质 + 溶剂 00% () 理论上, 任何一种溶液都是 均匀 的, 因此, 一杯浓度为 20% 的盐水, 倒出一部分后, 剩余盐水的浓度依然为 20%, 即 : 倒出部分溶液后, 溶液的浓度是不变的 (2) 由于溶液是 均匀 的, 因此, 一杯盐水倒出, 溶液减少了, 溶质盐也减少, 即 : 溶质与溶液减少的百分比相同 固定结论 浓度为 x 的溶液 a 升, 倒掉 b 升后用水注满, 此时溶液的浓度是 x b a, b 即浓度比原来减少 a b 结论推导过程 :a 升溶液倒掉 b 升后, 溶液减少了 a, 由于溶液是均匀的, 溶质也比原来减 b 少 a, b 此时用水注满后, 溶液又回到 a 升, 与原来相比不变, 只有溶质比原来减少了 a, 浓度

25 2 溶质 = 溶液 b, 分母不变, 分子比原来减少 解题关键点 a, b 故浓度也比原来减少 a 浓度的本质是溶质占溶液总体的百分比, 而溶液又是由溶质和溶剂二者构成的, 浓度问题是比例问题的另一种表现形式, 模型完全相同, 在求解时, 所有比例问题的方法 技巧在浓度问题中同样适用, 比如在解决蒸发问题时, 可以抓住蒸发前后 溶质 是 不变量, 类似于比例变化问题统一 溶质 的 份数 真题实战 例题 (20 年 0 月 ) 甲乙丙三个容器中装有盐水, 现在将甲容器中盐水的倒入乙容器, 摇匀 后将乙容器中盐水的倒入丙容器, 摇匀后再将丙容器中盐水的倒回甲容器, 此时甲乙丙三 4 0 个容器中盐水的含盐量都是 9 千克, 则甲容器中原来的盐水含盐量是 ( ) A. 千克 B. 2. 千克 C. 2 千克 D. 0 千克 E. 9. 千克 解析 根据溶液的 均匀 性质, 甲中盐水溶液的倒入乙, 即 甲中盐的倒入 乙, 同理可得 乙中盐的倒入丙 ; 丙中盐的倒回甲 ; 甲乙丙最终含盐量都是 9 千克, 即 丙倒给甲后, 剩余为 9 千克, 则在倒给甲之前, 丙含盐 =0 千克, 倒给甲 0 0 = 千克 ; 由于甲最终含盐 9 千克, 这 9 千克盐是丙倒给甲 千克之后甲的含盐量, 进而可以得到在丙 2 倒给甲之前, 甲中含盐量 9-=8 千克 ; 甲这 8 千克盐是倒给乙之后所剩的, 因此甲在倒给乙之 前, 甲的含盐量为 8 2 =2 千克 评注 此题需要注意两点:() 根据溶液是均匀的, 溶质减少的百分比与溶液减少的百分比相同, 表面上三个容器的盐水在互相倾倒, 实质是三个容器中的盐在互相倾倒 ;(2) 由于最终所求的是甲容器中的具体含盐量, 而已知条件在 最后一步 才给出三者的含盐量, 因此想到由最后一步入手逆推 技巧 由已知条件可得 甲中盐的倒入乙, 习惯将甲容器中的含盐量看成 份, 那么 甲容器中的含盐量就非常有可能是 的倍数, 只有 C 选项符合能被 整除的特点 发散 若此题加问 乙容器中原来的含盐量为多少, 答案为 8 千克 例题 (202 年 0 月第 2 题 ) 一满桶纯酒精倒出 0 升后, 加满水摇匀, 再倒出 4 升后再加满水, 此时桶中的纯酒精与水的体积比是 2, 则该桶的容积是 ( ) A. 升 B. 8 升 C. 20 升 D. 22 升 E. 2 升

26 26 管理类联考数学历年真题模块化精讲 解析 设该桶的容积是 x 升, 纯酒精浓度为 00%, 根据固定结论 a 升溶液倒掉 b 升后用水 b 注满, 浓度比原来减少 a, 0 可得第一次倒出 0 升后用水注满, 浓度变为 00% x, 第一次操作之后的浓度就是第二次操作之前的浓度, 经过第二次操作 倒出 4 升后再加满水, 浓度变 为 00% =, 解得 x=20 x x 技巧 列出方程 = 后, 可以验证选项, 优先验证最有可能正确的 C 选项, x x 因为 x 作为分母, 一定会含约数, 不太可能含约数 或 例题 (204 年 月第 6 题 ) 某容器装满了浓度为 90% 的酒精, 倒出 升后用水将容器注满, 搅拌 均匀后又倒出 升, 再用水将容器注满, 已知此时的酒精浓度为 40%, 该容器的体积是 ( ) A. 2. 升 B. 升 C.. 升 D. 4 升 E. 4. 升 答案 B 2 解析 设容器容积为 x 升, 根据固定结论, 可列出方程 90% = 40%, 解得 x= x 评注 此题显然可以通过直接开平方法解方程更快, 无须验证选项 b 小结 : 对于固定结论 a 升溶液倒掉 b 升后用水注满, 浓度比原来减少 a, 可以反复使用 例题 (20 年 0 月 ) 含盐 2.% 的盐水 40 千克, 蒸发掉部分水分后变成了含盐 20% 的盐水, 蒸 发掉的水分重量为 ( ) A. 9 千克 B. 8 千克 C. 7 千克 D. 6 千克 E. 千克 答案 E 解析 设蒸发掉 x 千克水, 根据蒸发前后盐的重量不变, 可列方程 40 2.%=(40- x) 20%, 解得 x= 另解 浓度为 2.%= 8 的盐水中, 盐与水的比为 7, 可将盐水溶液看成 8 份, 对应 40 千 克, 份对应重量 千克 ; 蒸发后浓度为 20%=, 盐与水的比变为 4, 蒸发前后盐的份数没有 发生变化都是 份, 不难看出水减少了 7-4= 份, 对应重量 = 千克 例题 (20 年 0 月 ) 某种新鲜水果的含水量为 98%, 一天后的含水量降为 97.% 某商店以 每斤 元的价格购进了 000 斤新鲜水果, 预计当天能售出 60%, 两天内售完 要使利润维持在 20%, 则每斤水果的平均售价应定为 ( ) A..2 元 B..2 元 C.. 元 D.. 元 E..4 元 解析 水果含水量为 98%, 水 果 =98 2=49, 一天之后水果含水量为 97.%, 这个过

27 27 程只有水份蒸发减少了, 果肉成分不变, 水 果 =97. 2.=9, 前后果肉均为 份, 不难看 4 出, 第一天共 49+=0 份水果, 到了第二天重量变为 9+=40 份, 重量会变成前一天的 ; 依题意, 共 000 斤水果, 第一天卖出 600 斤后, 剩余 400 斤, 到了第二天剩余的 400 斤水果重量会缩水 4, 减少为 =20 斤, 故该商店实际只卖出 920 斤水果, 设平均每斤水果的定价为 x 元, 根据利润率公式可列方程 920x=000 (+20%), 解得 x=. 评注 此题可以看成浓度问题中的蒸发问题, 将 果 看成 溶质, 水 看成 溶剂 小结 : 解决蒸发问题的关键是要抓住蒸发前后溶质的量不发生变化, 可列方程求解, 也可以借鉴比例变化问题中统一不变量份数的方法求解 第四节路程问题 基本公式 S=vt,S 代表路程,v 代表速度,t 代表时间相遇模型 知识要点 甲 乙 A B C S=S 甲 +S 乙 =v 甲 t+v 乙 t=(v 甲 +v 乙 )t, 其中 S 代表甲乙二者行驶路程之和 追及模型 甲 乙 A C B S=S 甲 -S 乙 =v 甲 t-v 乙 t=(v 甲 -v 乙 )t, 其中 S 代表甲乙二者行驶路程之差 ( 起点距离 ) 解题关键点熟练使用基本公式 S=vt, 抓住 S,v,t 三者关系, 即 :t 一定时, 路程比 = 速度比 ; S 一定时, 速度比 = 时间比的反比

28 28 管理类联考数学历年真题模块化精讲 绕圈问题 () 反向绕圈 乙 A 甲 B 等量关系 :S 甲 +S 乙 =S 即 : 每相遇一次, 甲与乙路程之和为一圈, 若相遇 n 次, 有 S 甲 +S 乙 =ns v v S n S S = = S S 甲甲乙 乙乙乙 (2) 同向绕圈 B 甲 A 乙 S 甲 -S 乙 =S 甲乙每相遇一次, 甲比乙多跑一圈, 若相遇 n 次, 则有 S 甲 -S 乙 =ns v v S S = = S 甲甲乙 乙乙乙 + n S S 解题关键点反向绕圈的本质 : 相遇模型, 每相遇一次, 二者合跑一圈, 相遇几次就合跑几圈 同向绕圈的本质 : 追及模型, 每相遇一次, 快者比慢者多跑一圈, 相遇几次就多跑几圈 顺水逆水问题 v 顺 =v 船 +v 水 ;v 逆 =v 船 -v 水 真题实战 例题 (200 年 月 ) 两地相距 km, 汽车已行驶了全程的, 试问再行驶 ( )km, 剩下的路程是已行驶路程的 倍 ( ) A. 9. B. 2 C. 2. D. 22

29 29 答案 A 解析 依题意, 剩下路程与已行驶路程之比为, 则已行驶路程占总路程的 6, 那么已行驶路程为 6, 所以还需行驶的路程为 = 评注 比例问题中的方法技巧在路程问题中同样适用 例题 (200 年 0 月 ) 从甲地到乙地, 水路比公路近 40 公里 上午 0:00 一艘轮船从甲地驶往乙地, 下午 :00 一辆汽车从甲地开往乙地, 最后船 车同时到达乙地 若汽车的速度是每小时 40 公 里, 轮船的速度是汽车的, 则甲乙两地的公路长为 ( ) A. 20 公里 B. 00 公里 C. 280 公里 D. 260 公里 解析 汽车速度 40 公里 / 时, 轮船速度是汽车速度的, 即 40 =24 公里 / 时, 汽车比轮船多行驶 40 公里但少用了 小时, 设汽车行驶用了 t 小时, 轮船航行用了 (t+) 小时, 则依题意可列出方程 40t=24(t+)+40, 解得 t=7 小时, 则甲乙两地公路长为 40 7=280 公里, 选 C 技巧 求出轮船速度是 24 公里 / 时后, 水路的路程 ( 甲乙两地公路路程减 40 之后 ) 应该能被 24 整除, 猜 C 选项 例题 (2008 年 月 ) 一辆出租车某时间段的营运在东西走向的一条大道上, 若规定向东为正 向, 向西为负向, 且该车的行驶的公里数依次为 , 则将最后一名乘 客送到目的地时, 该车的位置是在首次出发地的 ( ) A. 东面 公里处 B. 西面 公里处 C. 东面 2 公里处 D. 西面 2 公里处 E. 仍在原地 答案 B 解析 依题意, 该车的位置是 (-8)+9+(-)+2=-, 即西面 公里处 小结 : 以上三题是路程问题中最基本公式 S=vt 的应用, 考生需要熟练掌握并灵活使用 例题 (2002 年 0 月 )A B 两地相距 公里, 甲中午 2 时从 A 地出发, 步行前往 B 地,20 分钟后 乙从 B 地出发骑车前往 A 地, 到达 A 地后乙停留 40 分钟后骑车从原路返回, 结果甲 乙同时到达 B 地, 若乙汽车比甲步行每小时快 0 公里, 则两人同时到达 B 地的时间是 ( ) A. 下午 2 时 B. 下午 2 时半 C. 下午 时 D. 下午 时半 解析 整个过程甲行驶了 AB 两地路程, 乙行驶了 2 个 AB 两地的路程且比甲少用了 =60 分钟 = 小时 ; 设甲速度为 v, 乙的速度为 v+0, 则可列出方程 v v + 0, 解得 v= 或 v=-0 舍掉, 因此甲用时 = 小时, 故到达 B 地时间为下午 时

30 0 管理类联考数学历年真题模块化精讲 例题 (2006 年 月 ) 一辆大巴车从甲城匀速 v 行驶可按照预定时间到达乙城, 但在距乙城还有 0 公里处因故障停留了半小时, 因此需要平均每小时增加 0 公里才能按照预定时间到达乙城 则大巴原来速度 v 为 ( ) 公里 / 时 A. 4 B. 0 C. D. 60 E. 以上都不正确 答案 B 解析 原题的意思可以理解为: 若大巴不停留, 每小时加速 0 公里后会提前半小时到达, 依题意, 可列方程 0 0 =, 解得 v=0 v v 技巧 所求速度 v 应该能够整除 0 并且 v+0 也要能整除 0, 观察选项只有 B 例题 (20 年 月 ) 某施工队承担了开凿一条长为 2400m 隧道的工程, 在掘进了 400m 后, 由于改进了施工工艺, 每天比原计划多掘进 2m, 最后提前 0 天完成了施工任务, 原计划施工工期是 ( ) A. 200 天 B. 240 天 C. 20 天 D. 00 天 E. 0 天 答案 D 解析 已知条件中 掘进 400m 后, 每天提速 2m, 会提前 0 天完成, 即 前 400m 速度不变, 不会提前完成, 而后 2000m 提速, 比原计划少用 0 天 ; 设原计划每天掘进 vm, 依题意可 列方程 0 v v + 2 =, 解得 v=8, 由此可得原计划工期为 =00 天 技巧 根据题意, 全程 2400m 应该能被计划天数整除, 排除 C E 两项, 验证 A B D 三项可以得到原计划的速度分别为 2m/s 0m/s 8m/s, 那么每天多掘进 2m 后的速度就分别为 4m/s 2m/s 0m/s, 而掘进 400m 后剩余的 2000m 也最好能被提速后的速度整除, 只有 0 能整除 2000, 故猜 D 小结 : 以上三题类型相同, 都可采用提速后与提速前的时间差列方程, 所得分式方程最终要通过去分母的方法化为一元二次方程求解, 求解过程相对复杂, 考试时可采取代入选项验证的方法, 验证时要尽量满足整除要求 ( 有时除得尽即可 ), 优先验证计算量小的 ( 能整除的 ) 选项, 有时幸运的话只有一个选项满足整除特点 注意 : 以上三题是无法使用后面介绍到的 时差法 的 例题 (2007 年 月 ) 甲 乙 丙三人进行百米赛跑 ( 假设他们的速度不变 ), 甲到达终点时, 乙距终点还差 0 米, 丙距终点还差 6 米, 那么乙到达终点时, 丙距终点还有 ( ) A. 22 B. 20 C. D. 0 E. 以上均不对 答案 B 解析 甲到达终点时, 三者所用时间相同, 三者所跑路程比就是速度比 v 甲 v 乙 v 丙 = 00 (00-0) (00-6)= 乙到达终点时, 乙丙二人所跑路程比就是二者速度比 v 乙 v 丙 =90 84=00 S 丙, 解得 S 丙 =, 因此丙距终点还有 00 = 米 评注 考生请通过此题体会 时间一定时, 路程比 = 速度比

31 例题 (202 年 0 月 ) 甲 乙 丙三人同时在起点出发进行 000 米自行车比赛 ( 假设他们各 自的速度保持不变 ), 甲到终点时, 乙距终点还有 40 米, 丙距终点还有 64 米, 那么乙到达终点 时, 丙距终点 ( ) A. 2 米 B. 2 米 C. 0 米 D. E. 9 米 答案 B 解析 甲到达终点时, 三者所用时间相同, 三者所跑路程比就是速度比 v 甲 v 乙 v 丙 = 000 (000-40) (000-64)= 乙到达终点时, 乙丙二人所跑路程比就是二者 速度比 v 乙 v 丙 =960 96=000 S 丙, 解得 S 丙 =97, 因此丙距终点还有 =2 米 例题 (2004 年 0 月 ) 甲乙两人同时从同一地点出发, 相背而行, 小时后他们分别到达各自的 终点 A 和 B, 若从原地出发, 互换彼此的目的地, 则甲在乙到达 A 之后 分钟到达 B, 问甲的速度 和乙的速度之比是 ( ) A. B. 4 C. 4 D. 4 E. 以上都不对 答案 D 解析 如图, 依题意, 第一个过程 : 甲从 O 到 A 乙从 O 到 B 都用时 小时 ; 甲 乙 A O B 乙 甲 A O B 7 第二个过程, 设乙从 O 到 A 用时 t 小时, 则甲从 O 到 B 用时 t + = t + 小时 60 2 v甲 toa 乙 t 甲乙二人同样走 OA 这段距离, 用时之比应该为速度比的反比, 因此 = = v t ; 同理, v 同样走 OB 这段距离, 也可得到二人的速度比 v 解得 t= v 4, 由此二者速度比为 v 甲 乙 甲 乙 t = = 4, 选 D t v OB乙 = = t 7, 即二者速度比为 v OB甲 t + 2 乙 OA甲 甲 乙 t = = 7, t + 2 评注 考生请通过此题体会 路程一定时, 速度比等于时间比的反比 技巧 不难看出乙的速度比甲快, 再根据选项特点 :BD 两项互为倒数 ( 甲乙速度比和乙甲速度比 ), 选 D 小结 : 以上三题着重考察 S,v,t 三者关系, 即 : 时间一定时, 路程比等于速度比 ; 路程一定时, 速度比等于时间比的反比, 此结论在后面的相遇 / 追及模型中还要经常使用 例题 (998 年 月 ) 甲 乙两汽车从相距 69 公里的两地出发, 相向而行 乙汽车比甲汽车迟 2 个小时出发, 甲汽车每小时行驶 公里, 若乙汽车出发后 小时与甲汽车相遇, 则乙汽车每小时行驶 ( )

32 2 管理类联考数学历年真题模块化精讲 A. 公里 B. 8 公里 C. 60 公里 D. 62 公里 E. 6 公里 答案 D 解析 甲先行了 2 小时, 则甲先行了 2=0 公里, 此时乙汽车出发, 与甲汽车相距 69-0=8 公里, 小时后二者相遇, 则二者速度和为 8 =7 公里 / 时, 则乙车速度为 7- =62 公里 / 时 例题 (2007 年 月 ) 修一条公路, 甲队单独施工需要 40 天完成, 乙队单独施工需要 24 天完成 现两队同时从两端开工, 结果在距该路中点 7. 公里处会合完工 则这条公路的长度是 ( ) A. 60 公里 B. 70 公里 C. 80 公里 D. 90 公里 E. 00 公里 答案 A 解析 依题意, 甲乙二者完成相等工程量所用时间比应该为速度比的反比, 因此 v 甲 v 乙 =24 40=, 二者共同完成这条路时, 所用时间相同, 因此二者所修路程比就是二者速度比 S 甲 S 乙 =v 甲 v 乙 =, 不妨设整个路程长 8 份, 甲修了 份, 乙修了 份, 二者相遇时距中点 份长为 7. 公 里, 因此整个路程长 7. 8=60 公里 评注 此题运用了 S,v,t 三者关系, 并且采取了比例问题中的 份数法 例题 (204 年 月 ) 甲乙两人上午 8:00 分别自 AB 出发相向而行,9:00 第一次相遇, 之后速度均 提高了. 公里 / 小时, 甲到 B 乙到 A 后都立刻沿原路返回, 若两人在 0:0 第二次相遇, 则 AB 两 地的距离为 ( ) A..6 公里 B. 7 公里 C. 8 公里 D. 9 公里 E. 9. 公里 答案 D 解析 设甲原来速度为 v, 乙原来速度为 v 2,AB 两地距离为 S, 依题意, 第一次相遇 时, 二者合走 个全程, (v +v 2 )=S; 从第一次相遇开始, 到第二次相遇时, 二者合走 2 个全程. (v +.+v 2 +.)=2S, 将 v +v 2 看成一个整体, 消去 v +v 2, 解得 S=9 评注 第一次相遇时, 二者合走 个全程 ; 第二次相遇时, 二者合走 2 个全程 小结 : 以上三题均用到路程问题中的基本模型 相遇模型, 其特点是已知条件中会出现 相向 ( 反向 ) 而行, 除了掌握最基本公式 S=(v 甲 +v 乙 )t 之外, 还要灵活应用 S,v,t 三者关系 同理, 追及模型也是一样的, 相遇模型和追及模型是路程问题中最为基本的两个模型, 后面的火车长度问题 绕圈问题 顺水逆水问题也都离不开这两个基本模型 例题 (2008 年 0 月 ) 一批救灾物资分别随 6 列货车从甲站紧急调到 600 公里外的乙站, 每列车 的平均速度为 2 公里 / 小时, 若两列相邻的货车在运行中的间隔不得小于 2 公里, 则这批物资全 部到达乙站最少需要 ( ) 小时 A. 7.4 B. 7.6 C. 7.8 D. 8 E. 8.2 解析 假设 6 列货车同时出发, 但起点不同, 第一列货车在甲站, 第二列货车在甲站后 2 公里处, 依次类推, 将 6 列货车看成 6 个端点, 中间有 条线段, 每条线段 ( 每两辆列车间最 短间隔 ) 长 2 公里, 那么最后一列货车距乙站 =97 公里, 故最后一列货车到达乙站的

33 97 时间为 2 = 7.8 评注 此题也可归入数列部分的模型 ( 项数比公差个数多 个 ) 例题 (999 年 0 月 ) 一列火车长 7 米, 通过 2 米长的桥梁需要 40 秒, 若以同样的速度穿过 00 米的隧道, 则需要 ( ) A. 20 秒 B. 约 2 秒 C. 2 秒 D. 约 27 秒 E. 约 28 秒 解析 火车通过桥梁是从车头接触桥梁开始到车尾离开桥梁截止, 车尾所行驶的总路程 为桥梁长与车长的和, 因此依题意可得火车速度为 (2+7) 40= 米 / 秒, 通过 00 米隧道则需 要 = 2秒 评注 在火车长度问题中, 参照物的选取很关键, 我们可以将车尾选为参照物, 仅分析 车尾的运动情况 例题 (200 年 0 月 ) 一列火车完全通过一个长为 600 米的隧道用了 2 秒, 通过一根电线杆用 了 秒, 则该列火车的长度为 ( ) A. 200 米 B. 00 米 C. 400 米 D. 40 米 E. 00 米 x x 解析 设火车长度为 x 米, 依题意, 火车的速度 v = =, 解得 x= x x x x x 600 技巧 在解方程 = 时, 可以用等比定理 =, 即 80 解得 x=400 例题 (20 年 0 月 ) 一列火车匀速行驶时, 通过一座长为 20 米的桥梁需要 0 秒钟, 通过一座 长为 40 米的桥梁需要 秒钟, 该火车通过长为 00 米的桥梁需要 ( ) A. 22 秒 B. 2 秒 C. 28 秒 D. 0 秒 E. 秒 答案 D 20 + x 40 + x 解析 设火车长度为 x 米, 依题意, 火车的速度 v = =, 解得 x=0, 0 v= 40 + x =40, 因此通过 00 米桥梁需要时间为 t = = 0秒 x 40 + x 技巧 类似于上一题, 在解方程 = 时可以用等比定理快速求解 0 小结 : 如果火车通过的是某个点 ( 比如电线杆 行人 ) 时, 所行驶的路程是火车车长 ; 如果火车通过的是某段线段 ( 比如隧道 桥梁 ) 时, 需要选取一个固定的参照点, 这个点一般选为车尾, 只分析车尾的运动情况即可, 所行驶的路程是隧道 / 桥梁的长度与火车长度之和

34 4 管理类联考数学历年真题模块化精讲 例题 (998 年 0 月 ) 在有上 下行的轨道上, 两列火车相向开来, 若甲车长 87 米, 每秒行驶 2 米, 乙车长 7 米, 每秒行驶 20 米, 则从两车头相遇到车尾离开, 需要 ( ) A. 2 秒 B. 秒 C. 0 秒 D. 9 秒 E. 8 秒 答案 E 解析 此题属于火车相对运动问题, 我们可以试着想象两列火车车尾处分别有两人, 当火车车头相遇时, 车尾两人距离为两列车长之和 87+7=60 米, 当车尾离开时, 车尾两人相遇, 因此整个过程可以看成车尾两人相距 60 米, 以各自所在火车的速度相向运动, 求相遇时 60 间, 即 t = = 8秒 评注 两列火车的相向运动, 可以看成车尾部人的相向运动例题 (2004 年 月 ) 快慢两列车长度分别为 60 米和 20 米, 他们相向行驶在平行的轨道上, 若坐在慢车上的人见整列快车驶过的时间是 4 秒, 那么坐在快车上的人见整列慢车驶过的时间是 ( ) A. 秒 B. 4 秒 C. 秒 D. 6 秒 E. 以上均不对 答案 A 解析 已知条件中 坐在慢车上的人见整列快车驶过的时间是 4 秒, 这个过程可以想象为 从快车车头与慢车上的人相遇开始 ( 此时快车车尾上的人与慢车上的人二者距离为快车车长 ), 到快车车尾与慢车上的人相遇 ( 此时二者相遇 ), 二者已各自所在火车的速度做相向运动, 是典型的相遇模型, 路程和为快车车长, 由此可列方程 (v +v 2 ) 4=60, 解得二者速度和 (v +v 2 )=40; 同理 坐在快车上的人见整列慢车驶过的时间 这个过程可也以想象为相遇模型, 而此时二者路程和是慢车车长,(v +v 2 ) t=20, 解得 t= 技巧 由于快车车长比慢车车长大, 故慢车驶过的时间要更小, 只有 A 选项比 4 秒小例题 (20 年 0 月 ) 甲 乙两人赛跑, 则甲的速度是 6 米 / 秒 ( ) () 乙比甲先跑 2 米, 甲起跑后 6 秒钟追上乙 (2) 乙比甲先跑 2. 秒, 甲起跑后 秒钟追上乙 解析 根据条件(), 乙比甲先跑 2 米, 即追及路程差为 2, 可列出方程 (v 甲 -v 乙 ) 6=2 条件中有两个未知量, 却只有一个方程, 无法求解 v 甲, 不充分 ; 在条件 (2) 中, 乙比甲先跑 2. 秒, 即追及路程差为 2.v 乙, 可列出方程 (v 甲 -v 乙 ) =2.v 乙, 单独也不充分 ; 考虑联合, 将两个条件得到的方程联立后可以得到一个二元一次方程组, 解得 v 甲 =6, 充分 评注 此题关键是要能正确列出追及模型的方程, 而列出追及模型的方程前提是要搞清楚方程中的 S, 即 追及路程差 ( 二者起点的距离 ) 例题 (200 年 0 月 ) 在一条与铁路平行的公路上有一行人与一骑车人同向行进, 行人速度为.6km/h, 骑车人速度是 0.8km/h, 如果一列火车从他们的后面同向匀速驶来, 它通过行人的时间是 22 秒, 通过骑车人的时间是 26 秒, 则这列火车的车身长度为 ( ) A. 86 米 B. 268 米 C. 68 米 D. 286 米 E. 88 米 答案 D 解析 先统一单位,.6km/h=m/s,0.8km/h=m/s, 设火车的速度为 vm/s, 车长为 l

35 火车通过行人 这个过程可以看成 车尾部的人以火车的速度追行人, 追及路程差 ( 起点距离 ) 为火车车长, 这是一个典型的追及模型, 故可列方程 l=22(v-); 同理, 火车通过汽车人 这个过程也可以列出类似方程 l=26(v-); 由此可以得到一个二元一次方程组, 解得 v=4,l=286 技巧 列出方程后可以看出车长是 22 和 26 的倍数, 只有 D 选项符合整除特征例题 (200 年 月 ) 一支队伍排成长度为 800 米的队列行军, 速度为 80 米 / 分, 在队首的通讯员以 倍于行军的速度跑步到队尾, 花 分钟传达首长命令后, 立即以同样的速度跑回到队首, 在这往返全程中通讯员所花费的时间为 ( ) A. 6. 分 B. 7. 分 C. 8 分 D. 8. 分 E. 0 分 答案 D 解析 第一个过程中, 通讯员从队首跑到队尾, 实际上是通讯员与队尾的相遇过程, 总 800 路程为队伍长, 所需时间 t = = 2.分 ; 第二个过程中, 通讯员从队尾跑到队首, 实际 上是通讯员与队首的追及过程, 路程差为队伍长, 所需时间 t 2 = = 分, 再加上传达命 令的 分钟, 总耗时 2.++=8. 分 评注 此题可以将整个队伍看成火车理解 小结 : 题目中如果出现两个以上运动主体, 很可能是两个基本模型 : 相遇 / 追及模型, 在处理火车长度问题时, 通常将车尾选为参照点, 看成车尾部 人 的相遇 / 追及模型 需要强调的是, 在工程问题中, 也会经常遇到相遇 / 追及模型, 合作可以看成相遇模型, 排水 牛吃草可以看成追及模型 例题 (2000 年 月 ) 一艘轮船发生漏水事故, 当漏进水 600 桶时, 两部抽水机开始排水, 甲机每 分钟能排水 20 桶, 乙机每分钟能排水 6 桶, 经 0 分钟刚好将水全部排完, 每分钟漏进的水有 ( ) A. 2 桶 B. 8 桶 C. 24 桶 D. 0 桶 解析 可将每分钟漏进水的速度想象成一位速度慢的人, 将每分钟排水速度想象成一位 速度快的人, 将 600 桶水想象成二者距离, 速度快的追速度慢的, 那么排水问题与路程问题中的 追及问题就没有本质区别, 设每分钟漏进 x 桶水, 可列出方程 (20+6-x) 0=600, 解得 x=24 例题 (20 年 月 ) 已知船在静水中的速度为 28km/h, 河水的流速为 2km/h, 则此船在相距 78km 的两地间往返一次所需时间是 ( ) A..9h B..6h C..4h D. 4.4h E. 4h 答案 B 解析 水流方向固定不变, 船在两地间往返一次就是顺流航行一次, 逆流航行一次, 因 S S 此航行时间可以表示为 t = t + t = + = + =.6h 顺逆 v + v v v 船水船水 评注 在顺水逆水问题中, 顺流航行的速度 v 顺 =v 船 +v 水, 逆流航行的速度 v 逆 =v 船 -v 水

36 6 管理类联考数学历年真题模块化精讲 例题 (2009 年 0 月 ) 一艘小轮船上午 8:00 起航逆流而上 ( 设船速和水流速度一定 ), 中途船上一 块木板落入水中, 直到 8:0 船员才发现这块重要的木板丢失, 立即调转船头去追, 最终于 9:20 追 上木板 由上述数据可以算出木板落水的时间是 ( ) A. 8: B. 8:0 C. 8:2 D. 8:20 E. 8: 答案 D 解析 从木板落水开始到 8:0, 这段时间小船逆流而上, 木板以水速顺流而下, 二者反向 行驶做相离运动如下图所示 : 设木板落水位置为 C,8:0 小船航行至 B, 木板漂流至 A, 二者路程 和为 AB 间距离 落水处木板船 8:0 8:0 A C B 木板 9:20 8:0 8:0 D A B 船可列出方程 :S AB =(v 船 -v 水 +v 木 )t=(v 船 -v 水 +v 水 )t=v 船 t, 其中时间 t 表示从木板落水到 8:0 这段时间从 8:0 到 9:20, 这段时间小船与木板都顺流而下, 二者同向行驶做追及运动, 二者起点路程差为 AB 间距离, 如上图所示可列出方程 S AB =(v 船 +v 水 -v 木 )t =(v 船 +v 水 -v 水 )t =v 船 0, 其中 t 表示从 8:0 到 9:20 这 0 分 S 钟, 通过对比两个方程 S AB AB = v船 t, 可得 t=0 分钟, 那么木板落水时间为 8:20 = v 0 船 评注 列出方程后, 可以看出水速被消掉, 此题与水速大小无关, 小船与木板间的相对速度就是船速 小结 : 顺水逆水问题中出现两个以上运动主体时, 可以归结为相遇 / 追及模型, 其相对速度与水速无关, 此时可令水速为 0, 但如果顺水逆水问题中只有一个运动主体, 就不会涉及相遇或追及模型, 故此时不可令水速为 0 例题 (20 年 月 ) 甲乙两人同时从 A 点出发, 沿 400 米跑道同向匀速行走,2 分钟后乙比甲少走一圈, 若乙行走一圈需要 8 分钟, 甲的速度是 ( )( 单位 : 米 / 每分钟 ) A. 62 B. 6 C. 66 D. 67 E. 69 解析 乙行走一圈需 8 分钟, 可求出乙的速度 v 乙 =400 8=0, 同向绕圈可以看成追及模型, 每相遇一次, 快者比慢者多走一圈, 故可列方程 :2(v 甲 -v 乙 )=400, 解得 v 甲 =66 例题 (20 年 0 月 ) 甲 乙两人以不同的速度在环形跑道上跑步, 甲比乙快, 则乙跑一圈需要 6 分钟 () 甲 乙相向而行, 每隔 2 分钟相遇一次 (2) 甲 乙同向而行, 每隔 6 分钟相遇一次

37 7 解析 在条件() 中, 相向 ( 反向 ) 绕圈属于相遇模型, 每相遇一次二者合跑一圈, 可列出方程 2(v 甲 +v 乙 )=S, 其中 S 代表环形跑道一圈的长度, 显然无法确定乙的速度, 不充分 ; 在条件 (2) 中, 同向绕圈属于相遇模型, 每相遇一次快者比慢者多跑一圈, 故可列出方程 6(v 甲 -v 乙 )=S, 显然 v甲 = S 也无法确定乙的速度, 不充分 ; 考虑联合, 将两条件得到的方程联立可解出, 故乙跑 v乙 = S 6 一圈需要 6 分钟, 充分 评注 一个方程无法确定两个未知数的值, 条件单独 显然 不充分, 称这种 显然 的感觉为 信息量不足, 考试时间紧张时可直接猜 C 选项, 请考生多体会 显然 的感觉例题 (2009 年 0 月 ) 甲乙两人在环形跑道上跑步, 他们同时从起点出发, 当方向相反时每隔 48 秒相遇一次, 当方向相同时每隔 0 分钟相遇一次 若甲每分钟比乙快 40 米, 则甲 乙两人的跑步速度分别是 ( )( 单位 : 米 / 分 ) A. 470,40 B. 80,40 C. 70,0 D. 280,240 E. 270,20 答案 E 解析 反向跑圈可以视为相遇问题, 同向跑圈可视为追及问题 ; 根据追及问题的公 式, 跑道一圈的长度 S=(v -v 2 ) 0=400 米, 再根据相遇问题的公式 S ( v v ) v +v 2 =00, 观察选项,E 为正确选项 48 = + 2 = 400, 知 60 小结 : 绕圈问题最终还是要转化为路程问题中的两个基本模型 : 相遇 / 追及模型 反向绕圈的本质 : 相遇模型, 每相遇一次, 二者合跑一圈, 相遇几次就合跑几圈 同向绕圈的本质 : 追及模型, 每相遇一次, 快者比慢者多跑一圈, 相遇几次就多跑几圈 在理解了绕圈问题的本质后, 还要灵活使用 S,v,t 三者关系, 即 : 时间一定时, 路程比等于速度比 ; 路程一定时, 速度比等于时间比的反比 思考 甲乙二者速度比 7, 同向同时同地绕圈, 从 A 点出发, 分别求出第一 二 三次相遇时的位置 第五节工程问题 知识要点 基本公式 工程量 = 工作效率 工作时间

38 8 管理类联考数学历年真题模块化精讲 通常将工程量看成单位, 这样工作效率就是工作时间的倒数解题关键点工程问题的基本公式 工程量 = 工作效率 工作时间 与路程问题的基本公式 S=vt 相同, 其思路也类似于路程问题, 要理解 工作量 效率 时间 三者关系, 即 : 时间一定时, 工作量之比 = 效率比 ; 工作量一定时, 效率比 = 时间比的反比 真题实战 例题 (997 年 月 ) 某工厂一生产流水线, 若 秒可出产品 4 件, 则 小时该流水线可出产品 ( ) A. 480 件 B. 40 件 C. 720 件 D. 960 件 E. 080 件 答案 D 解析 依题意: 秒产出 4 件产品, 分钟有 60 秒是 4 个 秒, 因此 分钟产出 6 件产品 ; 小时有 60 分钟, 所以 小时产出 6 60=960 件产品 技巧 可以只计算尾数 评注 请通过此题体会 效率一定时, 工作量与工作时间成正比 例题 (998 年 月 ) 制鞋厂本月计划生产旅游鞋 000 双, 结果 2 天就完成了计划的 4%, 照这 样的进度, 这个月 ( 按 0 天计算 ) 旅游鞋的产量将为 ( ) A. 62 双 B. 60 双 C. 700 双 D. 70 双 E. 800 双 答案 A 解析 已知 2 天完成了 000 双的 4%, 则每天完成 000 4% 2,0 天共完成 000 4% 2 0=62 评注 类似于比例问题, 效率一定时, 工作量与工作时间是成比例的 例题 (998 年 0 月 ) 采矿场有数千吨矿石要运走, 运矿石汽车 7 天可运走全部的 %, 照这样 的进度, 余下的矿石都运走还需 ( ) A. 天 B. 2 天 C. 天 D. 0 天 E. 9 天 答案 A 6% 解析 7 天可运走 %, 则 天可运走 %, 还剩 -%=6%, 则还需 % = 天 例题 (2000 年 0 月 ) 甲乙两机床 4 小时工生产某种零件 60 个, 现在两台机床同时生产这种零 件, 在相同时间内, 甲机床生产了 22 个, 乙机床生产了 02 个, 甲机床每小时生产零件 ( ) A. 49 B. 0 C. D. 2 答案 A 解析 由题意, 可知甲乙每小时生产零件 60 4=90 个, 又知效率比为 22 02= 49 4, 则甲每小时生产 49 个零件 技巧 可由效率比 49 4 直接猜甲的效率必然含约数 49

39 9 评注 工作时间相同时, 工作量之比 = 工作效率之比 例题 (200 年 0 月 ) 有 A B 两种型号收割机, 在第一个工作日,9 部 A 型机和 部 B 型机共收割 小麦 89 公顷 ; 在第二个工作日, 部 A 型机和 6 部 B 型机共收割小麦 96 公顷 A B 两种联合收割 机一个工作日内收割小麦的公顷数分别是 ( ) A. 4,2 B. 2,4 C.,8 D. 8, 答案 A 9x + y = 89 x = 4 解析 设 A B 型收割机的效率分别是 x,y, 依题意列出方程, 解得 x + 6y = 96 y = 2 技巧 可将选项逐个代入验证, 验证时可以只算尾数 例题 (2002 年 0 月 ) 有大小两种货车,2 辆大车与 辆小车可以运货. 吨, 辆大车与 6 辆小车 可以运货 吨, 则 辆大车与 辆小车可以运货 ( ) A. 20. 吨 B. 22. 吨 C. 24. 吨 D. 26. 吨 解析 设每辆大车可运货 x 吨, 每辆小车可运货 y 吨 2x + y =. x = 4 由 解得, 因此 辆大车与 辆小车可运货 =24. x + 6y = y = 2. 例题 (20 年 0 月 ) 产品出厂前, 需要在外包装上打印某些标志, 甲 乙两人一起每小时可完成 600 件, 则可以确定甲每小时完成多少件 ( ) () 乙的打件速度是甲的打件速度的 (2) 乙工作 小时可以完成 000 件 答案 D 解析 条件 (): 已知甲乙二者的效率比, 又知二者效率和, 当然可以确定二者各自的效率, 充分条件 (2): 已知乙的效率, 又已知二者效率和, 也可以确定甲的效率, 充分 发散 题干中如果没有 两人一起每小时完成 600 件, 则条件信息量不足, 需联合选 C 例题 (202 年 月 ) 某单位春季植树 00 棵, 前 2 天安排乙组植树, 其余任务由甲 乙两组用 天完成, 已知甲组每天比乙组多植树 4 棵, 则甲组每天植树 ( ) A. 棵 B. 2 棵 C. 棵 D. 棵 E. 7 棵 答案 D 解析 设甲每天植树 x 棵, 乙每天植树 x-4 棵, 可列出方程 2(x-4)+(x+x-4)=00, 解得 x= 小结 : 以上题目中, 已知条件均给出效率的具体值, 对于这种题目, 我们只要掌握工程问题最基本公式 工程量 = 工作效率 工作时间 列方程求解即可, 最好能熟练使用比例问题 路程问题中的相应技巧

40 40 管理类联考数学历年真题模块化精讲 例题 (20 年 月 ) 现有一批文字材料需要打印, 两台新打印机单独完成此任务分别需要 4 小时与 小时, 两台旧型打印机单独完成任务分别需要 9 小时与 小时, 则能在 2. 小时内完成此任务 () 安排两台新型打印机同时打印 (2) 安排一台新型打印机与两台旧型打印机同时打印 答案 D 解析 20 条件 (): 两台新型打印机同时打印, 所需时间为 t = + = < 2., 充分 4 9 条件 (2): 新型打印机有两台, 一台效率相对较高, 另一台效率相对较低, 只要效率低的能够保证在 2. 小时内完成, 效率高的也能完成, 于是验证效率相对较低的新型打印机与两台旧型 99 打印机的工作时间为 t = + + = < 2., 充分 9 99 评注 在验证条件(2) 时需计算 t = + + 9, 计算量不小, 此时需要调整思路, 将题 2 干结论 能在 2. 小时内完成任务 等价转化为 效率高于 =, 这时就是比较 + + 与 的大小, 即比较 + 与的大小, + = > = 技巧 比较两条件, 条件 () 比条件 (2) 简单, 先验证简单条件, 时间紧迫时可以默认复杂条件充分, 不能保证复杂条件 00% 充分, 考试时慎用 例题 (2006 年 月 ) 甲乙两项工程分别由一 二工程队负责完成 晴天时, 一队完成甲工程需要 2 天, 二队完成乙工程需要 天 ; 雨天时一队的效率是晴天的 60%, 二队的效率是晴天的 80%, 结果两队同时开工并同时完成各自的工程, 那么在这段工期内, 雨天的天数为 ( ) A. 8 B. 0 C. 2 D. E. 以上都不正确 答案 D 解析 设工期内晴天天数 x 天, 雨天天数 y 天, 依题意可列方程 x + 60% y = 2 2 x =, 解得 y = y + 80% y = 技巧 由于两队完成各自的工程互不干扰, 可设一 二两队都修路, 晴天时每天效率都是 m, 一队需修 2m, 二队需修 m, 二队比一队多修 m 且要多干 天, 而实际上两队同时完工, 原因在于雨天时二队的效率是 0.8m, 而一队的效率是 0.6m, 二队比一队快 0.2m, 因此共有 0.2= 天雨天 评注 此题的精髓在于 两队完成各自的工程, 互不干扰, 这时我们可以将特值法用到极致, 令两队具体效率相等, 晴天时每天都修 m 路, 使问题变得具体化 简单化

41 4 小结 : 以上两题题目中均没有给出具体的工作效率, 这时可以用到工程问题中最基本的解题方法 : 将工程量看成单位, 工作效率就是工作时间的倒数, 此时再列方程可以解决几乎所有的工程问题 例题 (204 年 月 ) 某单位进行办公室装修, 若甲 乙两个装修公司做, 需 0 周完成, 工时 费为 00 万元, 甲公司单独做 6 周后由乙公司接着做 8 周完成, 工时费为 96 万元, 甲公司每周的 工时费为 ( ) A. 7. 万元 B. 7 万元 C. 6. 万元 D. 6 万元 E.. 万元 答案 B 解析 设甲每周工时费 x 万元, 乙每周工时费 y 万元, 依题意可列方程 0x + 0y = 00 x = 7, 解得 6x + 8y = 96 y = 发散 若此题问 甲 乙两公司单独完成各需几周, 则可以列出关于工作效率的另一 个方程组 例题 (20 年 月 ) 一件工作, 甲 乙合作需要 2 天, 人工费 2900 元, 乙丙两个人合作需要 4 天, 人工费 2600 元, 甲 丙两人合作 2 天完成全部工作量的 6, 人工费 2400 元, 则甲单独完成这 件工作需要的时间与人工费为 ( ) A. 天,000 元 B. 天,280 元 C. 天,2700 元 D. 4 天,000 元 E. 4 天,2900 元 答案 A 解析 设甲 乙 丙三者每天的工作效率为 x,y,z, 每天的人工费为 a,b,c, 则可以得 到两个独立的方程组 : x + y = x = 2 y + z, 解得 2( a + b) = 2900 a = 000 y = ; ( b + c) = 2600, 解得 b = 40 x + z 2( a + c) = 2400 = z c = 于是得到甲单独完成工程需 天, 人工费为 000 元 技巧 由于两个方程组是独立的, 互不影响, 观察选项后发现 :ABC 选项中甲的效率相同 DE 中甲的效率相同, 即使解出关于效率的方程组后也无法第一时间得到答案, 而 个备选选项中甲每天的人工费都是不同的, 故我们只需去解关于人工费的方程组, 即可第一时间得到答案 例题 (2007 年 0 月 ) 管径相同的三条不同管道甲 乙 丙可同时向某基地容积为 000 立方米的油罐供油, 则丙管道的供油速度比甲管道供油速度大 ( ) () 甲 乙同时供油 0 天可注满油罐 (2) 乙 丙同时供油 天可注满油罐

42 42 管理类联考数学历年真题模块化精讲 解析 两条件显然需要联合, 同样是与乙一起供油, 甲用 0 天, 丙用 天, 甲用的天数比丙用的天数多, 那么就说明甲的效率小于丙的效率, 联合充分 评注 技巧解法中用到了比较的方法, 当实际问题中无法直接比较二者大小关系时, 往往借助第三者来比较 例题 (2002 年 月 ) 公司的一项工程由甲 乙两队合作 6 天完成, 公司需付 8700 元 ; 由乙 丙 两队合作 0 天完成, 公司需付 900 元 ; 甲 丙两队合作 7. 天完成, 公司需付 820 元 若单独承 包给一个工程队并且要求不超过 天完成全部工作, 则公司付钱最少的队是 ( ) A. 甲队 B. 丙队 C. 乙队 D. 无法确定 答案 A 解析 设甲 乙 丙三队效率分别为 x,y,z, 每天报酬分别为 a,b,c 元 x + y = x = 6 0 6( a + b) = 8700 a = 800 y + z =, 解得 y = ; 0 0( b + c) = 900, 解得 b = z + x = z = ( a + c) = 820 c = 可以在 天内完成的只有甲队或乙队, 付给甲队的报酬为 800 0=8000 元, 付给乙队的报 酬为 60 =970 元, 综上应选择甲队, 选 A 2 技巧 乙 丙两队的效率和为 =, 则可得到两队合作时每队的平均效率是 7., 那么 一定是一个队效率大于, 另一个队效率小于, 此时需比较乙丙两队的效率大小, 可以借助 甲, 同样与甲合作完成该工程, 乙需 6 天丙需 0 天, 说明乙的效率高于丙的效率, 因此丙队效率 小于, 故丙队无法在 天内完成任务, 排除 B 选项 ; 再比较甲 乙两队的报酬大小, 这时借 助丙, 同样与丙合作, 乙队用 0 天付钱 900 元, 甲队用 7. 天付钱 820 元, 显然甲队要比乙队报酬低且效率高, 故选甲队, 答案为 A 评注 要理解以上技巧, 需要将 效率 理解为 加权平均数, 后面一节中会介绍加权平均数, 不要求必须掌握 小结 : 效率和工资结合的工程问题已经多次出现, 基本方法就是设出变量分别列出方程求解即可, 其特点是 : 效率方程组与工资方程组是两个独立的方程组, 根据问题需要, 有时不必全部求解, 只需解出其中的某一个, 这就需要具体问题具体分析 ; 另外, 我们把形如 x + y = y + z = 的方程组称为 轮换对称方程组, 出现这种 轮换对称 的表达式时, 我们的思路 x + z = 是将三个式子相加, 这样可以得到 x,y,z 前面系数相同的表达式, 简化计算, 轮换对称 在真题中已经多次出现, 之后还会有大量真题给考生练习

43 4 例题 (20 年 月 ) 某工厂生产一批零件, 计划 0 天完成任务, 实际提前 2 天完成任务, 则每天的产量比计划平均提高了 ( ) A. % B. 20% C. 2% D. 0% E. % 解析 计划工作时间 0 天, 效率 0, 实际工作时间 8 天, 效率 8, 实际效率比计划效率高 = = 2% 技巧 设零件共 80 个, 计划 0 天完成, 每天生产 8 个, 实际 8 天完成, 每天生产 0 个, 每 0 8 天的产量比计划高 = = 2% 8 4 评注 将工作量取为适当特值, 可以使得效率为整数, 这样省去了通分的过程 例题 (202 年 0 月 ) 一项工作, 甲 乙 丙三人各自独立完成需要的天数分别为,4,6, 则丁独立完成该项工作需要 4 天时间 ( ) () 甲 乙 丙 丁四人共同完成该项工作需要 天时间 (2) 甲 乙 丙三人各做 天, 剩余部分由丁独立完成 答案 A 解析 条件 (): 设丁的效率为 x, 则有 x =, 解得 x= 4 6 4, 故可知丁完成全部工程需 4 天, 充分 条件 (2): 只已知丁要完成剩余 4, 不知道工作时间, 无法求出丁的效率, 进而无法求解丁完成整个工程的时间, 不充分 技巧 设总工作量为 2, 则甲 乙 丙的效率分别为 4,,2, 由条件 (2) 可知丁的效率为 =, 故丁完成整个工程需 2 =4 天 评注 已知不同个体完成相同工作的时间, 经常将工作量取为工作时间的最小公倍数, 这样会使得不同个体效率均为整数, 方便计算 例题 (2007 年 0 月 ) 完成某项任务, 甲单独做需 4 天, 乙单独做需 6 天, 丙单独做需 8 天 现甲 乙 丙三人一次一日一轮换地工作, 则完成该项任务共需的天数为 ( ) A. 6 2 B. C. 6 D. 4 2 E. 4 答案 B 解析 依题意, 甲 乙 丙三人合作 天所完成工作量等同于三者每人单独做一天的工作 量 ( 也就是一轮的工作量 ), 三人一起合作需 = 天 ( 也就是 轮多 ), 因此甲乙丙三人先 轮流做三天 ( 轮 ) 完成了 + + =, 还剩 , 这样第 4 天甲做 4, 第 天乙做 6, 最后剩下 24,

44 44 管理类联考数学历年真题模块化精讲 丙还需做天, 综上共 天 技巧 设工程总量为 24, 则甲 乙 丙效率分别为 6 4, 三者每一轮 ( 天 ) 的工作量为 6+4+=, 这样两轮 (6 天 ) 的工作量为 26, 工作 6 天就会多做 26-24=2 的工作量, 丙每天的效率为, 这多出来的 2 个工作量是丙在第 6 天做的, 因此丙在第 6 天工作时只需做 个工作量即可完成整 个工程, 丙完成 个工作量需天, 故共需 天 评注 轮流工作问题, 先确定完成整个工程需几轮, 再具体分析最后一轮的情况 例题 (20 年 月 ) 某工程由甲公司 60 天完成, 由甲 乙两公司共同承包需要 28 天完成, 由乙 丙两公司共同承包需要 天完成, 则由丙公司承包该工程需要的天数为 ( ) A. 8 B. 90 C. 9 D. 00 E. 0 答案 E 解析 设甲 乙 丙三者的效率分别为 x,y,z, 依题意可列方程组 : x = 60 x = 60 8 x + y =, 解得 y =, 故丙公司完成整个工程需时间为 0 天 y + z = z = 0 另解 设整个工程量为 420, 得到甲每天效率为 7, 甲乙效率和为, 乙丙效率和为 2, 可得乙的效率为 -7=8, 丙的效率为 2-8=4, 故丙完成整个工程时间为 420 4=0 天 另解 2 根据已知条件可得, 甲 60 天的工作量 = 甲 28 天的工作量 + 乙 28 天的工作量, 那么甲 2 天的工作量 = 乙 28 天的工作量, 即 甲 8 天的工作量 = 乙 7 天的工作量, 因此, 乙 天的工作量 = 甲 40 天的工作量又因为乙 天工作量 + 丙 天工作量 = 甲 60 天工作量 = 甲 40 天工作量 + 丙 天工作量, 可得 甲 20 天工作量 = 丙 天工作量, 则完成整个工程甲 60 天工作量 = 丙 0 天工作量 评注 最后一种解法称为 找等工作量 法, 后面会有具体详细的介绍 技巧 已知条件中 28 均含有约数 7, 猜正确选项也含有约数 7, 只有 E 符合整除特点 小结 : 以上 4 道工程问题均用到 效率取整 的技巧, 当已知条件中给出不同个体的工作时间时可以利用这个方法, 此方法相当于将工作总量取特值, 将其取为工作时间的最小公倍数, 这样得到每人的工作效率为整数, 从而避免了分数通分的计算, 这种 取整 的思想是所有数学技巧的核心思想, 技巧之所以计算简便, 原因就在于整数的运算量远小于分数! 例题 (999 年 月 ) 一项工程由甲 乙两队合作 0 天可完成, 甲队单独做 24 天后, 乙队加入, 两队合作 0 天后甲队调走, 乙队继续做了 7 天才完成, 若这项工程由甲队单独做, 则需要 ( ) A. 60 天 B. 70 天 C. 80 天 D. 90 天 E. 00 天 答案 B

45 4 解析 设甲队效率为 x, 乙队效率为 y, 依题意可列方程组 : x = 0( x + y) = 70, 解得, 则甲队单独完成需 70 天 24x + 0( x + y) + 7y = 2 y = 0 评注 如果工程 / 路程问题中只能想到列方程的方法, 一般要将效率 / 速度设为变量, 为避 免出现分式, 不建议设时间为变量 技巧 两个过程都完成相同的一项工程, 第一个过程可视为 甲 0 天 + 乙 0 天 完成, 第二个过程可视为 甲 (24+0=4) 天 + 乙 (7+0=27) 天 完成, 两个过程相比较甲多干了 4 天, 乙少干了 天, 而完成的工作量又是相等的, 可得 甲多干 4 天的工作量与乙少干 天的工作量相 等, 即 甲 4 天 = 乙 天, 于是得到二者完成相等工作量所需的时间比为 4, 因此乙干 0 天 的工作量甲需要 40 天完成, 放在第一个过程中, 甲 0 天 + 乙 0 天 = 甲 0 天 + 甲 40 天 = 甲 70 天, 因此 完成这项工程需 70 天 例题 (998 年 月 ) 一批货物要运进仓库, 由甲乙两队合运 9 小时, 可运进全部货物的 0%, 乙队单独运则要 0 小时才能运完, 又知甲队每小时可运进 吨, 则这批货物共有 ( ) A. 吨 B. 40 吨 C. 4 吨 D. 0 吨 E. 吨 答案 A 解析 设乙每小时可运货物 x 吨, 依题意可列方程 :9(x+)=0x 0%, 解得 x=4., 则这 批货物共 4. 0= 吨 另解 根据已知条件 甲乙合作 9 小时运 0%, 那么甲乙合作 8 小时可运完全部货物, 即甲 8 小时 + 乙 8 小时 = 全部货物 = 乙 0 小时, 可得 甲 8 小时 = 乙 2 小时, 故乙队单独运完全 部货物需 0 小时, 换成甲队需 8 2 =4 小时, 故整批货物有 4 = 吨 例题 (200 年 0 月 ) 一件工程要在规定时间内完成, 若甲单独做要比规定的时间推迟 4 天, 若乙单独做要比规定时间提前 2 天完成, 若甲乙合作了 天, 剩下的部分由甲单独做, 恰好在规定时间内完成, 则规定时间为 ( ) A. 9 天 B. 20 天 C. 2 天 D. 22 天 E. 24 天 答案 B 解析 设规定时间为 x 天, 则甲单独做需要 x+4 天, 乙单独做需要 x-2 天, 根据题意可以列 出方程 + + ( x ) =, 解得 x=20 x + 4 x 2 x + 4 技巧 根据已知条件: 甲 x 天 + 甲 4 天 = 甲 x 天 + 乙 天, 可得 甲 4 天 = 乙 天, 于是得到甲乙二者完成等量工作所用的时间比为 4, 甲用 4 份时间, 乙用 份时间, 二者相差 份时间, 在完成全部工作时, 甲推迟 4 天, 乙提前 2 天, 二者相差 6 天时间, 故 份时间对应 6 天, 完成全部工作甲需 4 份时间对应 24 天, 于是得到规定时间为 24-4=20 天 评注 技巧中除了用到 找等工作量 的方法外, 还用到 时差法, 此方法将在下一个小结中进行系统讲解

46 46 管理类联考数学历年真题模块化精讲 小结 : 以上三题均用到了 找等工作量 的方法, 该方法具体使用步骤如下 : () 将不同工作主体的工作时间拆开表达, 即 甲乙合作 28 天 = 甲 28 天 + 乙 28 天 ; (2) 通过对比找到不同主体完成相同工作所用的时间比, 即 甲 60 天 = 甲 28 天 + 乙 28 天, 得到 甲 2 天 = 乙 28 天, 进而得到 甲 8 天 = 乙 7 天 ; () 放大或缩小相应倍数 例题 (200 年 月 ) 某人下午三点钟出门赴约, 若他每分钟走 60 米, 会迟到 分钟, 若他每分钟走 7 米会提前 4 分钟到达 则所定的约会时间是下午 ( ) A. 三点五十分 B. 三点四十分 C. 三点三十五分 D. 三点半 答案 B 解析 设从下午三点到约会开始有 x 分钟, 则根据所走行程不变, 列出方程 60(x+)=7(x-4), 解得 x=40, 那么约会开始时间是 :40 技巧 由于所走路程一定, 行驶所用的时间比是速度比的反比 7 60= 4, 即 : 每分钟走 60 米用 份时间, 每分钟走 7 米用 4 份时间, 二者相差 -4= 份时间, 这 份时间对应真实时间差是 +4=9 分钟, 故每分钟走 60 米用 份时间对应 9=4 分钟, 减掉迟到的 分钟, 得到约会时间是三点四十分 例题 (20 年 0 月 ) 老王上午 8:00 骑自行车离家去办公楼开会, 若每分钟骑行 0 米, 则他会迟到 分钟 ; 若每分钟骑行 20 米, 则他会提前 分钟到达, 那么会议开始的时间是 ( ) A. 8:20 B. 8:0 C. 8:4 D. 9:00 E. 9:0 答案 B 解析 设准时到需要时间为 x 分钟, 根据路程不变可列出方程 : 0(x+)=20(x-), 解得 x=0, 故会议开始时间为 8:0 技巧 由于所走路程一定, 行驶所有的时间比是速度比的反比 20:0=7:, 即 : 每分钟骑行 0 米用 7 份时间, 每分钟骑行 20 米用 份时间, 二者相差 7-=2 份时间, 这 2 份时间对应真实时间差是 +=0 分钟, 故 份时间对应 分钟, 若每分钟骑行 0 米用 7 份时间对应 分钟, 到达时间为 8:, 减掉迟到的 分钟, 会议开始时间是 8:0 例题 (20 年 0 月 ) 打印一份材料, 若每分钟打 0 个字, 需要若干小时打完, 当打到此材料 2 的时, 打字效率提高了 40%, 结果提前半小时打完, 这份材料的字数是 ( ) A. 460 B C. 490 D. 00 E. 20 答案 E 解析 原计划每分钟打 0 个字, 效率提高 40% 后每分钟打 0 (+40%)=42 个字, 设提速 后打完后材料用时 x 分钟, 提速后比计划提前半小时, 计划打后材料用时 x+0 分钟, 根据后 材料字数不变可以列方程 :0(x+0)=42x, 解得 x=7 分钟, 故后材料字数共 42 7=0, 则 整份材料字数为 0 =20

47 47 2 技巧 前部分打印速度没有发生变化, 只有后部分提速, 速度比为.4= 7, 字 数不变, 故时间比为速度比的反比 7, 因此后部分如果按原计划速度打字用 7 份时间, 提 速后用 份时间, 二者相差 7-=2 份时间, 这 2 份时间对应真实时间差为 0 分钟, 故 份时间对应 分钟, 所以按原计划速度打后部分用 7 份时间对应 7 =0 分钟, 所以后部分材料有字 0 0=0 个, 整份材料字数为 0 =20 2 评注 由于前的材料还是按照原计划速度工作, 只有后部分提速, 故时间差只体现在 后部分 例题 (20 年 月 ) 某人驾车从 A 地赶往 B 地, 前一半路程比计划多用了 4 分钟, 速度只有计划的 80%, 后一半路程的平均速度为 20 千米 / 小时, 此人还能按原定时间到达 B 地, 则 A B 两地距离为 ( ) A. 40 千米 B. 480 千米 C. 20 千米 D. 40 千米 E. 600 千米 答案 D 解析 设行驶前一半路程计划用时 x 小时, 原计划速度为 v, 实际用时 x+ 4 小时, 实际速度 为 80%v, 根据路程不变, 可列出方程 vx = 80% v x + 4, 解得 x=; 由已知条件 后一半路程按 原定时间到达 B 地, 说明后一半路程把前一半耽误的小时赶回来了, 即后一半路程实际用时 4-4 = 9 小时, 又已知后一半路程的速度为 20 千米 / 小时, 故后一半路程长 =270 千米, 全 程长 270 2=40 千米 技巧 在求前一半路程的时间时可以利用时差法, 计划与实际的速度比为 4, 故时间比为速度的反比 4, 即计划用 4 份时间, 实际用了 份时间, 实际比计划多用了 -4= 份时间, 这 份时间对应真实时间差为 4 分钟 = 小时, 因此计划用 4 份时间对应 4 4 4= 小时 小结 : 以上 4 题均用到 时差法, 时差法是解工程问题和路程问题的常用方法, 尤其当题目已知条件中 速度比与真实时间差 同时出现时, 要想到利用时差法, 其具体步骤如下 : () 找到完成相等工作量 ( 相同路程 ) 二者所用时间比, 经常用 时间比是效率 ( 速度 ) 比的反比, 一般将时间比化为最简整数比 ; (2) 将时间看成份数, 求出相差几份时间 ; () 已知条件中找到真实时间差, 对应起来, 求出 份时间所代表的真实时间 ; (4) 扩大或缩小相应倍数, 求出完成相等工程 ( 路程 ) 所用的真实时间 注意 : 如果题目中没有给出速度比 ( 无法求出相同路程所用的时间比 ), 即使已知条件中出现真实时间差, 也无法使用时差法, 比如前文给出的 2002 年 0 月 2006 年 月 20 年 月 三道真题, 即使给出真实时间差也无法使用时差法

48 48 管理类联考数学历年真题模块化精讲 第六节加权平均数 知识要点 加权平均数的概念 x a + x2 a xn an x = a + a a, 其中 a,a 2,,a n 称为 x,x 2,,x n 的权 2 n x a + x2 a2 两个数的加权平均数 x = a + a 的性质 2 () 等倍数放大或缩小个体的权, 不会影响总体均值, 一般将 权重比 化为最简比 (2) 总体均值必然介于两个体均值之间, 即 : x < x < x 2 ( 不妨设 x <x 2 ) a x x () 个体均值距总体均值的距离与个体的权成反比, 即 : = 2 a ( 权重比是距离比的 2 x x 反比 ) 为了使考生对加权平均数有更加形象直观的理解, 下面以一道真题为例对加权平均数的概念及性质加以说明 例题 (20 年 0 月 ) 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%, 在一次考试中, 男 女生的平均分数分别为 7 和 80, 则这次考试高一年级学生的平均分数为 ( ) A. 76 B. 77 C. 77. D. 78 E. 7 答案 D 解析 设高一年级总人数为 00 人, 则男生人数 a =40, 平均分 x =7; 女生人数 a 2 =60, 平 x a + x2 a 均分 x 2 =80; 那么全年级平均分 x = = = 78 a + a 发散 此题中, 男生人数 a =40 可以视为男生平均分 7 的权, 简称 男权 ; 女生人数 a 2 =60 可以视为女生平均分 80 的权, 简称 女权, 若把总人数设为 0 人, 则 男权 变为 a =4, 女权变为 a 2 =6, 与之前相比缩小了 0 倍, 显然全班平均分 x =78 不会因此而改变, 当然我们还可以再将权缩小 2 倍, 令 a =2,a 2 =, 计算结果也不会发生改变, 由此我们得到了加权平均数的第一个性质 : 等倍数放大或缩小个体的权, 不会影响总体均值, 将权的比 a a 2 =40% 60%=2 称为 权重比, 权重比一般化为最简整数比 发散 若题目已知条件中没有给出 男生人数占 40%, 即没有给出权重比, 请问全年级的平均分是否有可能低于 7 分, 或高于 80 分? 会介于一个什么范围? 答 : 绝对不可能! 全年级平均分必然介于 7 分和 80 分之间, 即加权平均数的第二个性质 : 总体均值必然介于两个体均值之间, 即 x <x <x 2 发散 若此题改为 已知男生平均分 7 分, 女生平均分 80 分, 全年级平均分 78 分, 问男生人数多还是女生人数多 答 : 当然女生人数多! 因为女生的平均分 80 分与总体均值 78 距离为 2, 与总体均值更接近,