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1 2014 年第四届全国学而思综合能力测评 小学四年级 (2014 年 4 月 7 日 ) 一 填空题 ( 每题 5 分, 共 20 分 ) 1. 定义 : 一天的 幸福指数 是 12M M 2, 其中 M 代表今天是星期几. 例如, 今天是 4 月 7 日星期一, 那 2 么今天的幸福指数就是 =11. 那么,2014 年劳动节 (5 月 1 日, 星期四 ) 的幸福指数是. 2. 在右图 学而思培优 的标志中, 共有 个四边形. 3. 学而思在 五一劳动节 即将发行新版积分卡. 如果旧版积分卡上共出现 300 位老师, 新版积分卡上共出 现 400 位老师, 其中有 150 位老师在新旧两版积分卡中都出现了, 那么, 在新旧两版积分卡上共出现了 位老师. 4. 粗心的俊俊想要计算 的和, 但他不慎把其中的一个数加了两次, 结果得到了 64. 那么, 俊俊把 加了两次. 二 填空题 ( 每题 6 分, 共 24 分 ) 5. 盛盛在玩一种 跑酷 游戏, 他在跑道上奔驰, 并拾起跑道上的金币. 他每跑 1 米, 会得到 8 分, 每拾到 一个金币, 会得到 15 分. 在一次游戏中, 盛盛共跑了 38 米, 得了 2014 分, 那么, 盛盛平均每米会拾到 个金币. 6. 在下面的乘法竖式中, 如果方框内填的数字都不是 1 和 4, 那么将竖式补充完整后, 最后一行的乘积是. 7. 请你在下面的 5 个方框中, 不重复的填入 1~5 这 5 个数字, 组成一个算式 ( 不允许添加括号 ). 要使得 这个算式最后的计算结果是整数并且最大, 这个最大的结果是. 1 / 12

2 8. 如下图, ABCD 和 ABEF 都是长方形, 如果长方形 ABEF 的面积是 30 平方厘米, 那么阴影部分的面积 是 平方厘米. 三 填空题 ( 每题 7 分, 共 28 分 ) 9. 甲乙丙丁 4 个队进行单循环赛, 每两个队都要比赛一场. 每场比赛胜者得 3 分, 负者不得分, 平局则双 方各得 1 分. 比赛全部结束后, 发现甲队战胜了乙队, 但甲队是最后一名 ( 不与其它队并列 ), 而乙队 却是第一名 ( 也不与其它队并列 ). 那么, 这 4 个队的得分按甲乙丙丁的顺序组成的四位数是. 10. 甲 乙 丙 3 人在一个周长是 300 米的环形跑道上同时出发, 出发地和行走方向如图所示. 已知, 出 发 15 秒后乙和丙第一次相遇, 又过了 10 秒, 甲和乙第一次相遇. 那么, 再经过 秒, 甲第 一次追上丙. 11. 有些数, 它们既可以表示成两个不同质数的和, 也可以表示成两个不同质数的乘积, 我们称这样的数 是 未来数. 那么, 两位数中, 最大的 未来数 是. 12. A B C D E F 六个人相约去照相 ( 所有人都可以负责摄影 ), 安排如图所示. 他们 6 人的 身高依次递增, A 最矮,F 最高. 照相要求所有后排的人必须比所有前排的人高 ( 摄影师身高不限 ), 那么, 共有 种不同的安排方式. 四 填空题 ( 每题 8 分, 共 32 分 ) 13. 有一个神奇的五位数, 它能同时被 整除, 却不能被 中的任何一个数整除. 那么, 这个五位数是. 2 / 12

3 14. 下图是一个正六边形, 面积是 360 平方厘米, A B C D 分别是四条边的中点. 那么, 阴影部分 的面积是 平方厘米. 15. 如图, 一个小正四面体印章, 每面刻着 1 至 4 中的一个数字, 各面数字互不相同. 小明用这个小正四面体印章在右图的三角形格子内滚动, 从任意一格以任意摆放方法开始, 到任意一格结束, 但要求每格恰好经过一次. 那么, 当滚动结束后, 所有小三角形格中印下的数字之和共有 种不同的取值. 16. 有 12 张卡牌, 分别写着 1~12, 不同卡牌上的数互不相同. 甲 乙 丙分别抓取其中的四张牌, 进行游戏. 规则如下 : 比赛分 4 轮, 每轮三人各出一张牌 ( 出过的牌不能再出 ), 并计算三张牌的和, 如果和比中间牌的 3 倍小, 则出最小牌的人获胜, 反之, 则出最大牌的人获胜. 如果和等于中间牌的 3 倍, 则无人获胜.( 例如 : 甲 乙 丙分别出的是 2 4 1, 则乙获胜 ). 已知 : 1 四轮都有人获胜 ; 2 甲四轮出牌顺序依次是 , 结果只有前 3 轮获胜 ; 3 乙第一次出了他手中四张牌中最小的牌 ; 4 乙 丙两人手中四张牌的和相等. 那么, 乙所拥有的四张牌的乘积是. 五 解答题 ( 每题 8 分, 共 16 分 ) 17. 计算 : (1) (2) 计算 : (1) / 12

4 (2) ( ) ( ) 六 解答题 ( 每题 15 分, 共 30 分 ) 19. 甲 乙两人平时喜欢散步. 甲从 A 地出发, 每走 5 分钟就要休息 2 分钟, 需要 50 分钟走到 B 地. 乙从 B 地出发, 每走 4 分钟就要休息 1 分钟, 需要 74 分钟走到 A 地. 已知, A B 两地的距离是 3600 米. (1) 如果甲不休息, 走完全程需要多少分钟? (2) 有一天, 甲 乙分别从 A B 两地同时出发, 相向而行 ( 各自按先走后休息的方法走 ), 经过 25 分钟后, 甲 乙还相距多少米? (3) 接 (2) 问, 甲 乙继续行走, 当两人第一次相遇时, 甲从出发开始总共走了多少米? 20. 把从 1 开始的自然数按照下图方式排列 ( 下图只给出了这个数表的一部分 ). 如果我们认为 1 在第 0 行第 0 列,6 在第上 2 行第 0 列,12 在第 0 行第左 2 列,19 在第下 2 行第右 1 列. 请问 : (1) 在第上 2 行第右 3 列的数是多少? (2) 自然数 2014 在第几行第几列?( 要求写出方向 ) (3) 从 1 开始向上数 100 个数 (1 算作第 1 个, 向后依次是 2,6,14 ), 那么, 这 100 个数的和是多少? 4 / 12

5 2014 年第四届全国学而思综合能力测评 小学四年级参考答案 (1)16 (2)235 一 填空题 ( 每题 5 分, 共 20 分 ) 1. 定义 : 一天的 幸福指数 是 12M M 2 部分解析 (1)715 (2)20002 (1)36; (2)500; (3)2160 (1)45;( 2) 第上 5 行第右 28 列 ;(3) , 其中 M 代表今天是星期几. 例如, 今天是 4 月 7 日星期一, 那 2 么今天的幸福指数就是 =11. 那么,2014 年劳动节 (5 月 1 日, 星期四 ) 的幸福指数是. 考点 定义新运算 难度 答案 32 2 解析 = 在右图 学而思培优 的标志中, 共有 个四边形. 考点 几何计数 难度 答案 8 解析 有 5 个大四边形和 3 个重叠的, 共 8 个. 3. 学而思在 五一劳动节 即将发行新版积分卡. 如果旧版积分卡上共出现 300 位老师, 新版积分卡上共出 现 400 位老师, 其中有 150 位老师在新旧两版积分卡中都出现了, 那么, 在新旧两版积分卡上共出现了 位老师. 考点 容斥原理 难度 答案 550 解析 = 粗心的俊俊想要计算 的和, 但他不慎把其中的一个数加了两次, 结果得到了 64. 那么, 俊俊把 加了两次. 考点 等差数列 难度 5 / 12

6 答案 9 解析 如果把算式正确相加, 结果应得 55, 但有一个数加了 2 次, 也相当于多加了 1 次, 所以多加的是 64 55=9. 二 填空题 ( 每题 6 分, 共 24 分 ) 5. 盛盛在玩一种 跑酷 游戏, 他在跑道上奔驰, 并拾起跑道上的金币. 他每跑 1 米, 会得到 8 分, 每拾到 一个金币, 会得到 15 分. 在一次游戏中, 盛盛共跑了 38 米, 得了 2014 分, 那么, 盛盛平均每米会拾到 个金币. 考点 平均数问题 难度 答案 3 解析 方法 1: 盛盛通过跑步会得到 38 8=304 分 ; 通过金币得到了 =1710 分 ; 盛盛得到了 =114 个金币 ; 平均每米得到 =3 个金币. 方法 2: 盛盛每米会得到 =53 分 ( 2014= , 所以这步可以口算哦!) 所以, 盛盛每米会拾到 (53 8) 15 3个. 6. 在下面的乘法竖式中, 如果方框内填的数字都不是 1 和 4, 那么将竖式补充完整后, 最后一行的乘积是. 考点 数字谜, 乘法竖式谜 难度 答案 解析 首先 14 4=56, 如下图, d 的上下都是 4, 说明 d 是 0 或 9, 而由于 d 是 b 4 的个位, 只能是 0; 则 ab 只能是 15 或 20, 而 = , 因此 ab 只能是 20, 对应 c 只能是 7; = 请你在下面的 5 个方框中, 不重复的填入 1~5 这 5 个数字, 组成一个算式 ( 不允许添加括号 ). 要使得 这个算式最后的计算结果是整数并且最大, 这个最大的结果是. 考点 最值极端分析 6 / 12

7 答案 6 解析 如果让结果尽可能大, 应让加的数尽量大, 减得数尽量小, 在 1~5 中, 只有 4 可以除以 2, 其它都 只能除以 1; 试验两种可能的较大情况 : =3 ; =6 ; 所以,6 是最大值. 8. 如下图, ABCD 和 ABEF 都是长方形, 如果长方形 ABEF 的面积是 30 平方厘米, 那么阴影部分的面积 是 平方厘米. 考点 等积变形 答案 15 解析 设内部交点为 O, 如下图, 通过等积变形可知 FOD 的面积和 FOC 的面积相等, 则阴影部分变 成了 AFC 的面积, 再通过等积变形可知 AFC 的面积和 AFB 的面积相等 ; 而 AFB 的面积为长 方形 ABEF 的一半, 即 30 2=15. 三 填空题 ( 每题 7 分, 共 28 分 ) 9. 甲乙丙丁 4 个队进行单循环赛, 每两个队都要比赛一场. 每场比赛胜者得 3 分, 负者不得分, 平局则双 方各得 1 分. 比赛全部结束后, 发现甲队战胜了乙队, 但甲队是最后一名 ( 不与其它队并列 ), 而乙队却 是第一名 ( 也不与其它队并列 ). 那么, 这 4 个队的得分按甲乙丙丁的顺序组成的四位数是. 考点 体育比赛逻辑推理 答案 3644 解析 4 队循环赛共比 6 场, 总得分 12~18 之间 ; 甲队战胜了乙队, 所以至少 3 分, 如果甲队得 4 分, 乙 丙丁都最少是 5 分 ( 因为甲不和其他人并列 ), =19 18, 所以不可能, 所以甲只能是 3 分, 他战胜了乙, 输给了丙丁 ; 同理, 乙队已经输给了甲队, 如果他再平一场, 得分是 4 分, 显 然无法取得第一名 ( 还不与其他队并列 ), 所以乙得 6 分, 战胜了丙丁 ; 此时丙和丁都是 1 胜 1 负, 由于不能和甲乙并列, 它们之间只能打平, 得分是 4 分, 于是得到答案. 10. 甲 乙 丙 3 人在一个周长是 300 米的环形跑道上同时出发, 出发地和行走方向如图所示. 已知, 出 发 15 秒后乙和丙第一次相遇, 又过了 10 秒, 甲和乙第一次相遇. 那么, 再经过 秒, 甲第一 次追上丙. 7 / 12

8 考点 环形跑道 答案 50 解析 乙丙相遇时, 和走了全程的一半, 可以得到他们的速度和乙 + 丙 =150 15=10 ; 甲乙相遇时, 和走 了整个一圈全程, 可以得到他们的速度和甲 + 乙 =300 (15 10) 12 ; 通过上两式, 可得到甲 - 丙 =12 10=2, 所以甲追上丙总共需要 150 2=75 ( 秒 ); 即再经过 =50 ( 秒 ). 11. 有些数, 它们既可以表示成两个不同质数的和, 也可以表示成两个不同质数的乘积, 我们称这样的数 是 未来数. 那么, 两位数中, 最大的 未来数 是. 考点 质数合数, 极端分析 答案 94 解析 奇偶性分析, 凡是奇数分解为 2 个质数的和, 只能是 2+ 一个奇质数 ; 凡是偶数分解为 2 个质数的乘积, 只能是 2 一个奇质数 ; 从 99 开始枚举 ; 99=2+97 正确 ; 但 99=3 3 11, 所以无法拆乘 2 个质数乘积 ; 98=2 49 直接排除 ; 97=2 95 直接排除 ; 96=2 48 直接排除 ; 95=2 93直接排除 ; 94=2 47 正确 ; 同时 94=5 89 ; 也可以拆成两个不同质数的和 所以, 本题答案是 A B C D E F 六个人相约去照相 ( 所有人都可以负责摄影 ), 安排如图所示. 他们 6 人的 身高依次递增, A 最矮, F 最高. 照相要求所有后排的人必须比所有前排的人高 ( 摄影师身高不限 ), 那么, 共有 种不同的安排方式. 考点 加乘原理 答案 72 解析 先从 6 人中选出 1 人做摄影师, 共有 6 种选法 ;6 种方法 ; 剩余 5 人按身高从低到高排序 : 排名前 2 的只能站在前排, 但他们在前排可以调换顺序, 共 2 种 方法 ; 排名后 3 的只能站在后排, 但他们在后排可以调换顺序, 共 3 2 1=6 种方法 ; 总计 6 2 6=72 种方法. 四 填空题 ( 每题 8 分, 共 32 分 ) 8 / 12

9 13. 有一个神奇的五位数, 它能同时被 整除, 却不能被 中的任何一个数整除. 那么, 这个五位数是. 考点 整除特征 答案 解析 方法一 : 能被 整除,1 无需考虑, 考虑 9 就无需考虑 3; 考虑 5 和 9 就无需考虑 15; 所以只需考虑 即可, 最小是 =45045,( 即使 的最小公倍数 ); 但不能被 2 整除, 所以 不行, 如果 3 就不是 5 位数了, 所以答案只能是 方法二 : 能同时被 整除, 也就是能被 1001 整除, 能被 1001 整除的 5 位数一定符合 AB0AB 的形式, 又通过能被 5 整除但不能被 2 整除, 得 B=5; 通过能被 9 整除, 得 A= 下图是一个正六边形, 面积是 360 平方厘米, A B C D 分别是四条边的中点. 那么, 阴影部分 的面积是 平方厘米. 考点 几何图形分割 答案 210 解析 显然, 每个大阴影三角形的面积为 360 6=60 ; 再将小阴影三角形所在的空白部分进行分割如下 : 显然, 阴影在 8 个格子中相当于 3 个格子, 则面积为 =45 ; 综上, 阴影面积为 = 如图, 一个小正四面体印章, 每面刻着 1 至 4 中的一个数字, 各面数字互不相同. 小明用这个小正四面体印章在右图的三角形格子内滚动, 从任意一格以任意摆放方法开始, 到任意一格结束, 但要求每格恰好经过一次. 那么, 当滚动结束后, 所有小三角形格中印下的数字之和共有 种不同的取值. 9 / 12

10 考点 几何, 立体图形与空间想象 答案 4 解析 研究下图所示的滚动路径: 若以 O 点为三角形的顶点, 那么共有这个顶点的 3 个相邻面滚动时一定依次出现, 那么有对顶角的两个三角形上的数一定相同. 按这样的思路, 枚举每条路径, 发现除了中心三角形, 都是 3 个 1 3 个 2 3 个 3 3 个 4, 和是相同的, 都是 30; 但中心三角形上的数有 4 种取值, 故总和有 4 种不同的取值 ( ). 16. 有 12 张卡牌, 分别写着 1~12, 不同卡牌上的数互不相同. 甲 乙 丙分别抓取其中的四张牌, 进行 游戏. 规则如下 : 比赛分 4 轮, 每轮三人各出一张牌 ( 出过的牌不能再出 ), 并计算三张牌的和, 如果和比中间牌的 3 倍 小, 则出最小牌的人获胜, 反之, 则出最大牌的人获胜. 如果和等于中间牌的 3 倍, 则无人获胜.( 例 如 : 甲 乙 丙分别出的是 2 4 1, 则乙获胜 ). 已知 : 1 四轮都有人获胜 ; 2 甲四轮出牌顺序依次是 , 结果只有前 3 轮获胜 ; 3 乙第一次出了他手中四张牌中最小的牌 ; 4 乙 丙两人手中四张牌的和相等. 那么, 乙所拥有的四张牌的乘积是. 考点 逻辑推理 答案 3150 解析 1 剩余 8 张牌的和是 ( ) , 所以乙 丙的和都是 31; 2 观察 2 这张牌, 如果乙有 2, 他一定第一轮出 ( 题目条件 3), 但乙第一轮出 2, 甲的 3 是无法获 胜的 ( 因为丙没有 1, 所以他一定比 3 大, 那么 3 是中间数无法获胜 ), 所以 2 一定在丙手中 ; 3 同理, 还是 2 这张牌, 如果它在第 2 轮, 甲的 4 也无法获胜 ; 如果它在第 3 轮, 甲的 8 想获胜, 剩余的 1 个数一定是 3 4, 但 3 4 都已出现, 所以 2 也不能在第 3 轮, 所以 2 一定是丙第 4 轮由 丙出 ; 4 如果丙还有 5, 那么丙的 4 个数最大, 是 =30 31, 所以 5 一定在乙手上, 那么 5 就 是乙最小的牌,5 是在第一轮出的, 如果甲的 3 想要获胜, 丙只能出 6; 5 丙已经由 2 和 6, 丙的 4 个数最大是 =31, 刚好, 所以 11 和 12 只能是丙, 那么乙 的 4 个数就是 , 乘积是 = / 12

11 五 解答题 ( 每题 8 分, 共 16 分 ) 17. 计算 : (1) (2) 考点 平方差公式 ; 提取公因数 难度 答案 (1)16;( 2) 解析 (1) 原式 =95 (95 4) (95 4)=95 (95 4 ) 16. (2) 原式 = =4.7 ( ) 计算 : (1) (2) ( ) ( ) 考点 平方和公式 ; 平方差公式 答案 (1)715(2) 解析 (1) 原式 ( ) ( )= = =71 5. (2) 原式 =( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 六 解答题 ( 每题 15 分, 共 30 分 ) 19. 甲 乙两人平时喜欢散步. 甲从 A 地出发, 每走 5 分钟就要休息 2 分钟, 需要 50 分钟走到 B 地. 乙从 B 地出发, 每走 4 分钟就要休息 1 分钟, 需要 74 分钟走到 A 地. 已知, A B 两地的距离是 3600 米. (1) 如果甲不休息, 走完全程需要多少分钟? (2) 有一天, 甲 乙分别从 A B 两地同时出发, 相向而行 ( 各自按先走后休息的方法走 ), 经过 25 分钟后, 甲 乙还相距多少米? (3) 接 (2) 问, 甲 乙继续行走, 当两人第一次相遇时, 甲从出发开始总共走了多少米? 考点 行程走走停停 答案 (1)36;( 2)500;( 3)2160 解析 (1) 甲 7 分钟一个周期 ; 50 7=7 1, 5 7+1=36 ( 分 ); (2) 甲的速度是 =100 ( 米 / 分 ); 乙 5 分钟一个周期, 74 5=14 4,14 4 4=60 ( 分 ); 速度是 =60 ( 米 / 分 ); 25 分钟, 25 7=3 4, 甲实际走了 3 5 4=19 ( 分 ), 共 =1900 ( 米 ); 25 5=5, 乙实际走了 4 5=20 ( 分 ), 共 60 20=1200 ( 米 ); 两人相距 =500 ( 米 ); (3) 剩余 500 米, 第 26 分钟, 甲乙均走, 共行 160 米 ; 剩余 340 米, 第 27 分钟, 只有乙走, 共行 60 米 ; 剩余 280 米, 第 28 分钟, 只有乙走, 共行 60 米 ; 剩余 220 米, 第 29 分钟, 甲乙均走, 共行 160 米 ; 剩余 60 米, 第 30 分钟, 只有甲走, 这 60 米全部是由甲完成的 ; 11 / 12

12 甲总计走了 =2160 ( 米 ). 20. 把从 1 开始的自然数按照下图方式排列 ( 下图只给出了这个数表的一部分 ). 如果我们认为 1 在第 0 行第 0 列,6 在第上 2 行第 0 列,12 在第 0 行第左 2 列,19 在第下 2 行第右 1 列. 请问 : (1) 在第上 2 行第右 3 列的数是多少? (2) 自然数 2014 在第几行第几列?( 要求写出方向 ) (3) 从 1 开始向上数 100 个数 (1 算作第 1 个, 向后依次是 2,6,14 ), 那么, 这 100 个数的和是多少? 考点 数表 答案 (1)45;( 2) 第上 5 行第右 28 列 ;(3) 解析 (1) 用列举法, 按规律继续写, 很快得到 45 的答案 ; (2) 观察第 0 列从 1 向上的数, 从 2 开始, 依次是 4, 8, 12, 16 所以, 按照 2 ( ) 进行估算 即估算 2+4 ( ) 2014 ; 即 , 可得 =496 ; 即第上 32 行第 0 列的数是 =1986, 从 1986 到 2014 每次都是向右下移动, =28, 所以共移动 28 次,2014 在第上 4 行第右 28 列 ; (3) 接 (2) 问规律, 第 100 个数是 2+4 ( ) 第 2 个数至第 100 个数, 每个数都会有一个打头的 2, 把它们都提到最前, 可得到这 100 个数 的和是 (1+2) (1 2 3) (1 2 98) 把中括号内的数写成一个三角形, 可用 二踢脚 模型 ( 平方和公式的推导 ) 解决 中括号内等于 (98 1 1) ( ) 所以, 这 100 个数的和是 = / 12

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