臺南女中高孟鍬老師壹前言指定科目考試從民國 91 年開始實施, 其測驗內容隨著課綱變化而有所調整從民國 102 年開始, 指定科目考試數學考科就開始依照 99 課綱命題, 其測驗範圍以高一高二高三的必修與選修課綱為準, 成績採用百分制, 用於大學考試入學招生用, 至 104 指考前, 已

Size: px

Start display at page:

Download "臺南女中高孟鍬老師壹前言指定科目考試從民國 91 年開始實施, 其測驗內容隨著課綱變化而有所調整從民國 102 年開始, 指定科目考試數學考科就開始依照 99 課綱命題, 其測驗範圍以高一高二高三的必修與選修課綱為準, 成績採用百分制, 用於大學考試入學招生用, 至 104 指考前, 已"

笋蹒杨
7 years ago
Views:

1 臺南女中 / 高孟鍬老師 / / / / / / / / #314 / / hanlin.com.tw / 本刊內容同步刊載於翰林我的網 NO ZXCV

2 臺南女中高孟鍬老師壹前言指定科目考試從民國 91 年開始實施, 其測驗內容隨著課綱變化而有所調整從民國 102 年開始, 指定科目考試數學考科就開始依照 99 課綱命題, 其測驗範圍以高一高二高三的必修與選修課綱為準, 成績採用百分制, 用於大學考試入學招生用, 至 104 指考前, 已經施測兩次因為各校可以依各校系的特色及需求指定考生需要參考的科目, 所以數學甲與數學乙有不同的測驗內容其不同的測驗內容簡述如下表 : 表一數學甲與數學乙考試範圍簡述科目數學甲數學乙考試範圍第一冊數與式多項式函數指數與對數函數第二冊機率第三冊三角直線與圓平面向量第四冊空間向量空間中的平面與直線矩陣選修甲 ( 上 ) 機率統計 2 三角函數選修甲 ( 下 ) 極限與函數多項式函數的微積分第一冊數與式多項式函數指數與對數函數第二冊排列組合機率數據分析第三冊直線與圓平面向量第四冊矩陣選修乙 ( 上 ) 機率統計 2 選修乙 ( 下 ) 極限與函數大考中心曾在發布的專刊中明白的指出, 指定科目考試的面向是以進階閱讀表達推理與連結能力為主數學甲考科有較多整合數個概念的問題, 計算量也較多 ; 數學乙考科的試題計算量較少, 整合性試題在比例上也較少以下筆者以個人的教學經驗整理近兩年的指考題目趨勢, 供各位教學先進參考, 也提供即將參加 104 指考的學子一個複習準備的參考 2

3 貳測驗目標依據大學入學考試中心公告, 指定科目考試數學考科的測驗目標, 包含學科能力測驗數學考科的測驗目標 : 測驗概念性知識程序性知識及解決問題的能力另外, 也著重測驗解題過程中閱讀表達連結以及推理與論證的能力其測驗目標如下 : 一測驗概念性知識例如 : 能辨認某概念 ; 能確認概念中的基本數學原理二測驗程序性知識例如 : 能讀圖查表或運用適當的公式與步驟解題三測驗閱讀與表達的能力例如 : 能讀懂題目, 並以數學語言表達題目的涵意及解題的過程四測驗連結能力例如 : 能融會貫通數學中不同領域的概念, 或連結數學以外其他學科知識或生活經驗五測驗論證推理的能力例如 : 能應用數學模型與邏輯思考進行正確的推理或證明六測驗解決問題的能力例如 : 能應用數學知識選擇有效策略及推理能力解決問題, 並能檢驗結果的合理性與正確性就 99 課綱指考數學甲乙考科試卷題型而言, 指考數學甲乙考科題型包括選擇題 ( 單選題多選題 ) 選填題及非選擇題, 各有不同的目的其中, 選擇題評量數學概念, 並鼓勵學生根據給予的選項作判斷 ; 選填題主要是評量考生主動解題的能力 ; 非選擇題則進一步評量考生解題時的論證過程及表達能力以 104 學測考題不難發現, 出題者希望考生有較優的閱讀與計算能力 ; 因此學測失利的同學, 更應該補強這方面的能力參考試範圍與近年分數分布指定考科數學甲乙的範圍已經簡述如上依據大考中心公布的附錄中指出, 各試題解題的主要概念, 出自課綱標示的章節中; 課綱標示的章節不是主要的測驗範圍, 但解題時會用到此章節的基本概念或技巧 ; 課綱標示表示不在該考科的直接命題範圍內, 但試題有多種解法時, 若用此章節的概念或技巧解題, 仍可得分筆者將考試的範圍連結近兩年考題出題配分, 整理表格如下頁表二 : 3

4 表二數學 Ⅰ~Ⅳ 測驗範圍內容冊別主題子題內容簡述數學甲數學乙 ( 重要性與考古題 )( 重要性與考古題 ) 1.1 數線上的有理點及其十進位表示法一數與式 1. 數與數線 2. 數線上的幾何 1.2 實數系 : 實數的十進位表示法四則運算絕對值大小關係 ( 不含非十進位的表示法 ) 1.3 乘法公式分式與根式的運算 2.1 數線上的兩點距離與分點公式 2.2 含絕對值的一次方程式與不等式指考多選指考多選一次函數數學 Ⅰ 1. 簡單多項式函數及其圖形 1.2 二次函數 1.3 單項函數 : 奇偶性單調性和圖形的平移 ( 僅介紹 4 次 ( 含 ) 以下的單項函 1. 函數 ) 數二多項式函數 2. 多項式的運算與應用 2.1 乘法除法 ( 含除式為一次式的綜合除法 ) 除法原理 ( 含餘式定理因式定理 ) 及其應用插值多項式函數及其應用 ( 不含最高公因式與最低公倍式插值多項式的次數不超過三次 ) ( 不含複數 ) 指考單選指考多選 3 多選 6( 含差值多項式 ) 3. 多項式方程式 3.1 二次方程式的根與複數系 ( 不含複數的幾何意涵 ) 3.2 有理根判定法勘根定理 n aa 的意義 3.3 實係數多項式的代數基本定理虛根成對定理指考單選指考計算 21 4

5 冊別主題子題內容簡述數學甲數學乙 ( 重要性與考古題 )( 重要性與考古題 ) 4. 多項式函 4.1 辨識已分解的多項式函數數的圖形與多項式圖形及處理其不等式問題 ( 不含複雜的分式不等 1. 不等式式 ) 1. 指數 1.1 指數為整數分數與實數的指數定律 2.1 介紹指數函數的圖形與性 2. 指數函數質 ( 含定義域值域單調性凹凸性 ) 數學 Ⅰ 函數三指數與對數函數 3. 對數 4. 對數函數 3.1 對數的定義與對數定律 3.2 換底公式 ( 換底公式不宜牽涉太過技巧性與不實用的問題 ) 4.1 介紹對數函數的圖形與性質 ( 含定義域值域單調性凹凸性 ) 5.1 對數表 ( 含內插法 ) 與使用計算器科學記號 ( 不指考單選指考單選 3 多選指考計算指考單選 1 5. 指數與對數函數的應用含表尾差 ) 5.2 處理乘除與次方問題 5.3 等比數列與等比級數 5.4 由生活中所引發的指數對數方程式與不等式的應用問題數學 Ⅱ 有限數學一數列與級數 1.1 發現數列的規律性 ( 只談實數數列不含二階遞迴關係 ) 1. 數列 1.2 數學歸納法 ( 不等式型式的數學歸納法置於數學甲 / 乙 1 數列與極限中討論 ) 2. 級數 2.1 介紹符號及其基本操作

6 冊別主題子題內容簡述數學甲數學乙 ( 重要性與考古題 )( 重要性與考古題 ) 1.1 簡單的邏輯概念 : 介紹或且否定及笛摩根定律數學 Ⅱ 二排列組合 1. 邏輯集合與計數原理 2. 排列與組合 1.2 集合的定義集合的表示法與操作 1.3 基本計數原理 ( 含窮舉法樹狀圖一一對應原理 ) 1.4 加法原理乘法原理取捨原理 2.1 直線排列重複排列 ( 不含環狀排列 ) 2.2 組合重複組合 ( 本章節要避免情境不合常理過深或同時涉及太多觀念的題型 ) 指考選填 A 指考選填 A 有限數學三機率 3. 二項式定理 1. 樣本空間與事件 2. 機率的定義與性質 3. 條件機率與貝式定理 3.1 以組合概念導出二項式定理巴斯卡三角形 ( 不含超過二項的展開式 ) 1.1 樣本空間與事件古典機率的定義與性質 ( 不含幾何機率 ) 指考單選條件機率貝氏定理獨指考選立事件填 B 指考多選 4 四數據 1. 一維數據分析 1.1 平均數標準差數據標準化 ( 只談母體數據分析, 不涉及抽樣, 可用計算工具操作 ) 指考單選 2 多選 5 分析 2. 二維數據分析 2.1 散佈圖相關係數最小平方法指考單選 2 6

7 冊別主題子題內容簡述數學甲數學乙 ( 重要性與考古題 )( 重要性與考古題 ) 1. 直角三角 1.1 直角三角形的邊角關係形的邊角 ( 正弦餘弦 ) 平方關關係係餘角關係數學 Ⅲ 平面坐標與向一三角 2. 廣義角與極坐標 3. 正弦定理餘弦定理 4. 差角公式 5. 三角測量 1. 直線方程式及其圖形 2.1 廣義角的正弦餘弦正切平方關係補角 (cot,sec,csc 置於數學甲 1 數學乙 1) 2.2 直角坐標與極坐標的變換 3.1 正弦定理餘弦定理 4.1 差角和角倍角半角公式 ( 不含和差化積積化和差公式 ) 5.1 三角函數值表 ( 可使用計算器求出三角函數值 ) 5.2 平面與立體測量 1.1 點斜式 1.2 兩線關係 ( 垂直平行相交 ) 聯立方程式指考選填 A 指考單選 2 多選 9 1. 不含極坐標指考計算 1 量二直線與圓 2. 線性規劃 2.1 二元一次不等式 2.2 線性規劃 ( 目標函數為一次式 ) 3.1 圓的方程式指考多指考多選 3 計算指考計算 2 3. 圓與直線的關係 3.2 圓與直線的相切相割不相交的關係及其代數判選 5 填充 B 1. 定 ( 不含兩圓的關係 ) 年指考單選 1 7

8 冊別主題子題內容簡述數學甲數學乙 ( 重要性與考古題 )( 重要性與考古題 ) 數學 Ⅲ 平面坐標與向量三平面向量 1. 平面向量的坐標表示法 2. 平面向量的內積 3. 面積與二階行列式 1.1 幾何表示坐標表示, 加減法係數乘法 1.2 線性組合平面上的直線參數式 2.1 內積與餘弦的關聯正射影與高柯西不等式 2.2 直線的法向量點到直線的距離兩向量垂直的判定 3.1 面積公式與二階行列式的定義與性質兩向量平行的判定 3.2 兩直線幾何關係的代數判指考選填 C 指考選填 B 定二階克拉瑪公式 1.1 空間中兩直線兩平面數學 Ⅳ 線性代數一空間向量 1. 空間概念 2. 空間向量的坐標 3. 空間向量的內積 4. 外積體積與行列式及直線與平面的位置關係 ( 僅作簡單的概念性介紹 ) 指考多 2.1 空間坐標系 : 點坐標距選 9 離公式指考多 2.2 空間向量的加減法係數選 5 選乘法, 線性組合填 A 3.1 內積與餘弦的關聯正射影與高柯西不等式兩向量垂直的判定 4.1 外積與正弦的關聯兩向量所張出的平行四邊形面積 4.2 三向量所張出的平行六面體體積 4.3 三階行列式的定義與性指考單選質 ( 不含特殊技巧行列式題型 ) 8

9 冊別主題子題內容簡述數學甲數學乙 ( 重要性與考古題 )( 重要性與考古題 ) 二 1. 平面方程式 1.1 平面的法向量兩平面的夾角點到平面的距離空間中的平面 2. 空間直線方程式 2.1 直線的參數式直線與平面的關係 2.2 點到直線的距離兩平行線的距離兩歪斜線的距離指考多選 6 1. 與直線 3. 三元一次聯立方程組 3.1 消去法 3.2 三平面幾何關係的代數判定 1. 只含消去法數學 Ⅳ 線性代數三矩陣 1. 線性方程組與矩陣 2. 矩陣的運算 3. 矩陣的應用 4. 平面上的線性變換與二階方陣 1.1 高斯消去法 ( 含矩陣的列運算 )( 重點在於矩陣三角化的演算法 ) 2.1 矩陣的加法純量乘法乘法 3.1 轉移矩陣二階反方陣 4.1 伸縮旋轉鏡射推移 4.2 線性變換的面積比 ( 此處面積指兩向量所張出的平行四邊形面積 ) 指考計算 2( 線性變換 ) 指考計算 223 ( 線性變換 ) 指考多選指考選填 C 不考 1. 拋物線 1.1 拋物線標準式四二次曲線 2. 橢圓 3. 雙曲線 2.1 橢圓標準式 ( 含平移與伸縮 ) 3.1 雙曲線標準式 ( 含平移與伸縮 )( 不含斜或退化的二次曲線 ; 不含直線與二次曲線的關係 ( 指弦與切線 ); 不含圓錐曲線的光學性質 ) 9

10 表三選修數學甲 Ⅰ Ⅱ 測驗內容範圍冊別主題子題內容簡述數學甲 ( 重要性與考古題 ) 一機 1. 隨機的意義 2. 二項分布 1.1 隨機的意義 1.2 期望值變異數標準差 2.1 獨立事件重複試驗二項分指考多選 7 布二項分布的性質選修率統計 2 3. 抽樣與統計推論 3.1 抽樣方法 : 簡單隨機抽樣 ( 不含系統抽樣部落抽樣 ) 3.2 亂數表 3.3 常態分布信賴區間與信心水準的解讀 1. 數學甲 Ⅰ 二三角函數 1. 一般三角函數及其圖形 2. 三角函數的應用 1.1 弧度弧長及扇形面積公式 1.2 倒數關係商數關係平方關係 1.3 三角函數的定義域值域週期性質與圖形 2.1 波動 : 正餘弦函數的疊合 ( 不含不同週期的三角函數疊合 ) 2.2 圓橢圓的參數式 3.1 複數平面絕對值複數的極 ( 不含橢圓參數式 ) 指考多選 8 3. 複數的幾何意涵式複數乘法的幾何意義 3.2 棣美弗定理, 複數的 n 次方根選修數學甲 Ⅱ 一極限與函數 1. 數列及其極限 2. 函數的概念 3. 函數的極限 1.1 兩數列的比較 1.2 數列的極限及極限的性質 1.3 無窮等比級數循環小數 1.4 夾擠定理 2.1 函數的定義圖形四則運算與合成函數 3.1 函數的極限 3.2 連續函數介值定理指考多選指考單選 4 10

11 冊別主題子題內容簡述數學甲 ( 重要性與考古題 ) 選修數學甲 Ⅱ 二多項式函數的微積分 1. 微分 2. 函數性質的判定 3. 積分的意義 4. 積分的應用 1.1 導數與切線 1.2 微分的加減乘運算 2.1 遞增遞減凹凸性函數極值的一階與二階檢定法 2.2 三次多項式的繪圖 3.1 定積分的意義 3.2 微積分基本定理 3.3 多項式函數的定積分與不定積分的計算 ( 不涉及分部積分與變數變換法 ) 4.1 以求圓面積球體體積角錐體體積解自由落體運動方程指考計算指考多選 6 計算 1 式為主表四選修數學乙 Ⅰ Ⅱ 測驗內容範圍冊別主題子題內容簡述數學乙 ( 重要性與考古題 ) 1. 隨機的意義 1.1 隨機的意義選修數學乙 Ⅰ 一機率與統計 2 2. 期望值變異數標準差 2.1 期望值變異數標準差 3. 獨立事件 3.1 獨立事件 4. 二項分布 4.1 重複試驗二項分布二項分布的性質 5.1 抽樣方法 : 簡單隨機抽樣 ( 不含系統抽樣部落抽樣 ) 5. 抽樣與統計推論 5.2 亂數表指考多選 6 選填 B 5.3 常態分布信賴區間與信心水準的解讀 11

12 冊別主題子題內容簡述數學乙 ( 重要性與考古題 ) 選二 1. 弧度弧長 1.1 弧度弧長及扇形面積公式修數學乙 Ⅰ 三角函數 2. 一般三角函數的性質與圖形 2.1 倒數關係商數關係平方關係 2.2 三角函數的定義域值域週期性質與圖形 1. 選修數學乙 Ⅱ 一極限與函數 1. 數列及其極限 2. 無窮等比級數 3. 函數的概念 4. 函數的極限 1.1 兩數列的比較 1.2 數列的極限及極限的性質不含 2.1 無窮等比級數夾擠定理 2.2 循環小數指考多選夾擠定理 3.1 函數的定義圖形四則運算與合成函數函數的極限 4.2 連續函數介值定理肆試題分享與展望根據上述的分析表格內容, 不難發現的範圍在過去的兩年指考均出現在考題中其重要性不容忽視, 而且數學甲的選修 1 2 占命題比例頗重, 為理組學生應該要著眼的重點部分以下筆者就教學經驗, 分享一些重點整理與試題, 供各位先進與學子參考 : 第一冊例題 1 設 x 為實數, 則方程式 x-2 + x+3 =6 之實根個數有個測驗範圍數學 1 數線上的幾何 ( 數甲乙 ) 分析絕對值代表距離是幾何學上一個重要的概念, 所以絕對值等式與不等式的解題, 也是一個重要的課題第一冊第一章歷年來鮮少出現在大考的試題中, 但 102 年與 103 年指考乙均出現這個範圍的題目, 值得注意深思尤其三角不等式, 多年未出現在考題中, 也值得注意 12

13 解析 1 當 x<-3 時, 原式化簡為 -(x-2)-(x+3)=6!-2x=7! x=-3.5 x= 當 -3Nx<2 時, 原式化簡為 -(x-2)+(x+3)=6! 5=6 無實數解 3 當 xm2 時, 原式化簡為 (x-2)+(x+3)=6! 2x=5! x=2.5 由可得 x=-3.5 或 2.5, 恰有二解參考試題:103 指考數學乙多選題第 7 題三個相異實數 a b c 滿足 b= 4 5 a+ 1 5 c, 如果將 a b c 標示在數線上, 則 1 b 在 a 與 c 之間 2 c>b 3 若 d= 4 3 a- 1 3 c, 則 d 在 a 與 b 之間 4 a 到 c 的距離是 a 到 b 的距離的 5 倍 5 如果 b = 4 5 a c, 則 a.b.c>0 答案 14 例題 2 下列關於指數函數與對數函數圖形的相關敘述, 何者正確? A 若 (a, b) 是對數函數 y=logx 圖形上一點, 則 (10a, b+1) 也在該對數函數的圖形上 B 指數函數 y=100 x+1 與對數函數 y=-1+log 10 x 的圖形對稱直線 y=x C 坐標平面上, 直線 y=k(k>0) 與函數 y=3 x y=9 x 的圖形分別交於點 A B 現以 d k =AB 表示 A,B 兩點的距離, 則 d 2,d 4,d 8 三數成等差數列 D 坐標平面上, 若函數 y=2 x -log 3 x 分別交直線 x=6 x=2 於 C D 兩點, 則 CD 的斜率大於 15 E y=log 2015 (x 2-10x+4) 的圖形與 x 軸相交測驗範圍數學 1 指數與對數函數 ( 數甲乙 ) 分析指數與對數是一個重要的課題, 幾乎每年都會入題, 對於指數與對數的運算函數的圖形特性都需要有相當程度的了解藉由這一個例題, 綜合複習指數與對數的圖形概念與相關的運算 13

14 解析 A :log10a=loga+log10=b+1 (10a, b+1) 在 y=logx 上 B :y=100 x+1 對稱直線 y=x 得到 x=100 y+1! y+1=log 100 x= 1 2 log 10x C : y=k=3 x,x=log 3 k A(log 3 k, k); y=k=9 x,x=log 9 k= 1 2 log 3k B( 1 2 log 3k, k)! d k =AB = log 3 k- 1 2 log 3k = 1 2 log 3k = log 9 k d 2 =log 9 2,d 4 =log 9 4=2d 2,d 8 =log 9 8=3d 2 所以 d 2,d 4,d 8 三數成等差數列 D :CD 的斜率 = 26 -log 3 6-(2 2 -log 3 2) 6-2 = 60-log 33 4 = 59 4 <15 E : y=0 時,log 2015 (x 2-4x+10)=0! x 2-4x+10=1! x 2-4x+9=0 其判別式 <0 無實數解, 故與 x 軸不相交故選 AC 參考試題 1:102 指考數學甲單選題第 2 題坐標平面上, 直線 x=2 分別交函數 y=log 10 x y=log 2 x 的圖形於 P Q 兩點 ; 直線 x=10 分別交函數 y=log 10 x y=log 2 x 的圖形於 R S 兩點試問四邊形 PQSR 的面積最接近下列哪一個選項?(log 10 2~0.3010) 答案 3 參考試題 2:102 指考數學乙非選題第一大題已知 log2~0.3010,log3~ 請以對數律計算 log1.5( 不必四捨五入 ) 2 請以對數律計算 log(1.5) 60 ( 不必四捨五入 ) 3 請問 (1.5) 60 的整數部分是幾位數? 請說明理由 4 請問 (1.5) 60 的整數部分中, 最左邊的數字是幾? 請說明理由答案 ; ;3 11 位數 ;4 3 參考試題 3:103 指考數學甲單選題第 3 題請問指數方程式 2 10x =10 6 的解 x 最接近下列哪一個選項?(log2~ log3~ log7~0.8451) 答案 3 14

15 第二冊例題 1 調查群益賣場近 10 個月的廣告費用與營業額的相關性, 所得到的數據為 (x i, y i ), i=1,2,3,,10, 其中變數 X 表每個月的廣告費用 ( 單位 : 十萬元 ), 變數 Y 表每個月的營業額 ( 單位 : 十萬元 ), 若已計算出下列數值 : 10 i=1 10 x i =100, y i =100, x 2 i =825, y 2 i =712, x i y i =940 i=1 10 i=1 10 i=1 1 試求 Y 對 X 的相關係數 ( 取到小數第二位 ) 2 若下個月編列 20 萬的廣告費用, 試利用 Y 對 X 的迴歸直線預估該月的營業額 ( 十萬元以下四捨五入 ) 測驗範圍數學 2 一維數據分析 ( 數乙 ) 分析一維數據分析中有很多的公式運算, 指考並不會提供相關的資料, 應考的學生應該要熟悉各個公式並對題目所提供的數據做妥善的運算, 計算上要格外的注意小心 10 i=1 解析 1 因為 μ x =10,μ y =10,m= 10 i=1 10 i=1 x i y i -10μ x μ y x i 2-10μ x 2 = ~ Y 與 X 的迴歸直線方程式為 y-10=0.34(x-10), 即 y=0.34x+6.6 廣告費 20 萬, 即 x=2 代入, 得 y=7.28, 故由迴歸直線方程式可預估該月的營業額為 73( 萬元 ) 參考試題 1:102 指考數學乙多選題第 5 題某研究所處理個人申請入學, 其甄選總成績係採計測驗 A 分數及測驗 B 分數各占 50 % 50 位申請同學依甄選總成績高低排序, 錄取前 20 名現依准考證號碼順序, 將這些同學的成績列表如下 :( 例如, 第一位同學的測驗 A 分數及測驗 B 分數分別為 93 分及 28 分 ) 測驗 A 測驗 B 測驗 A 測驗 B 測驗 A 測驗 B 測驗 A 測驗 B

16 所有學生測驗 A 分數的平均數為 97.38, 而測驗 B 分數的平均數為現從甄選總成績測驗 A 分數及測驗 B 分數之中任選兩種成績作散佈圖, 圖甲及圖乙為其中之二 ; 兩圖中各有 50 個資料點, 每一點代表一位同學 ; 兩個橫軸與縱軸之單位長可能皆不相同請選出正確的選項 1 圖乙的橫軸為測驗 A 分數 2 圖乙的縱軸為甄選總成績 3 圖甲的橫軸為甄選總成績 4 若只以測驗 B 分數高低錄取 20 位同學 ( 不採計測驗 A 分數 ), 錄取的同學與以甄選總成績高低錄取的同學完全相同 5 甄選總成績的平均數為及的平均數答案 1245 參考試題 2:103 指考數學乙單選題第 2 題某班有 41 名學生, 已知某次考試成績全班的平均分數為 64, 最高分為 97, 最低分為 24 欲將全班學生成績做線性調整( 調整後分數 =a+b 原始分數, 其中 b>0) 使得最高分為 100 及最低分為 50 請選出正確的選項 1 調整後分數的平均值較原始分數的平均值低 2 調整後分數的中位數和原始分數的中位數一樣 3 調整後分數的中位數較原始分數的中位數高 4 調整後分數的標準差和原始分數的標準差一樣 5 調整後分數的標準差較原始分數的標準差大答案 3 16

17 例題 2 袋中有大小相同編號 1 到 8 號的球各一顆小明自袋中隨機一次取出兩球, 設隨機變數 X 的值為取出兩球中的較小號碼若 p k 表 X 取值為 k 的機率 (k=1, 2,,8), 試問有幾個 p k 的值大於 1 5? A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 E 5 個測驗範圍數學 2 機率 ( 含排列組合 )( 數甲乙 ) 分析機率範圍其實涵蓋排列組合概念, 應試的學生應該保有清晰的頭腦才能明白地列出試題所要求的狀態近年所呈現的排列組合與機率問題都不難, 不需要因為害怕而有所失誤 102 年指考甲 ( 如參考試題 2 ) 就結合三階行列式的基本運算, 實質要算的是機率的問題解析樣本空間 n(s)=c 8 2 =28 p 1 = 7 28 = 1 4 > 1 5,p 2= 6 28 = 3 14 > 1 5,p 3= 5 28 < 1 5,p 4= 4 28 = 1 7 < 1 5, p 5 = 3 28 < 1 5,p 6= 2 28 = 1 14 < 1 5,p 7= 1 28 < 1 5,p 8=0< 1 5 大於 1 5 者有 2 個故選 B 參考試題 1:103 指考數學乙選填題 A 用組成的三位數 ( 不同位可以用相同數字 ), 其個位數字十位數字百位數字的總和為偶數者共有種答案 49 參考試題 2:102 指考數學甲單選題第 4 題考慮所有由各一個與三個 0 所排成形如的三階方陣今隨機選取這樣一個方陣, 試問其行列式值 0 a b c 0 d e f 0 對角線均為 0 0 a b 0 c 0 d 為奇數的機率 e f 為下列哪一個選項? 答案 2 17

18 第三冊例題 1 在 ABC 中, 已知 A= π 3, B= 5 12 π 且知 ABC 的周長為 (a3 +a6 +3), 則此三角形的面積為何? 測驗範圍數學 3 三角函數 ( 數甲 ) 分析三角函數有兩個重要定理, 正弦定理與餘弦定理, 參考試題中也有出現此二定理的題目, 應試考生應該要注意解析根據正弦定理得知, BC sin60n = AC sin75n = AB sin45n a3 +1! AB :AC:BC =1: : a6 2 2 ABC 的周長為 (a3 +a6 +3), AB =2,AC =a3 +1,BC =a6 面積為 1 3+a3 a6 (a3 +1)sin45n= 2 2 參考試題:103 指考數學甲多選題第 9 題在 ( 凸 ) 四邊形 ABCD 中, 已知 AB =3,BC =4,CD =3,DA =x, 且對角線 AC =4 請選出正確的選項: 1 cos ABCM73 2 cos BAD>cos ABC 3 x 可能為 1 4 x< 若 A B C D 四點共圓, 則 x= 7 4 答案 45 例題 2 在坐標平面上, 一個圓通過點 (-2, 7), 且與直線 4x+3y-14=0 相切於點 (-1, 6), 若此圓的方程式為 x 2 +y 2 +ax+by+c=0, 則序組 (a, b, c)= 測驗範圍數學 3 直線與圓 ( 數甲 ) 分析直線與圓的關係可以從方程式直接解題, 大部分需要考輔助畫圖來幫助思考, 這方面的能力考生要多加強 18

19 解析因為 (-1, 6) 是切點, 所以根據切線公式可以得到 -x+6y+ a 2 (x-1)+ b 2 (y+6)+c=0! ( -1+ a 2 ) x+ ( 6+ b 2 ) y+ ( - a 2 +3b+c ) =0, 所以 ( -1+ a 2 ) : ( 6+ b 2 ) : ( - a 2 +3b+c ) =4:3:(-14), 且 a+7b+c=0 可以解得 a=10,b=-6,c=9 序組 (a, b, c)=(-10, -6, 9) 參考試題 1:102 指考數學甲選填題 B 設 m 為實數若圓 x 2 +y 2 +4x-7y+10=0, 與直線 y=m(x+3) 在坐標平面上的兩個交點位於不同的象限, 而滿足此條件的 m 之最大範圍為 a<m<b, 則 a= b= 答案 2 3 ; 5 3 參考試題 2:103 指考數學甲單選題第 1 題在坐標平面上, 圓 x 2 +y 2 +2x-2y+1=0 與 y= 2x+1 的圖形有幾個交點? 1 1 個 2 2 個 3 3 個 4 4 個 5 0 個答案 4 例題 3 某工廠可以買甲乙兩種規格的鐵板來製作熊大徽章兔兔徽章和饅頭人徽章每塊甲規格的鐵板可以製作 8 個熊大徽章 4 個兔兔徽章及 8 個饅頭人徽章, 每塊乙規格的鐵板可以製作 4 個熊大徽章 4 個兔兔徽章及 16 個饅頭人徽章已知甲規格的鐵板每塊的成本為 400 元, 乙規格的鐵板每塊的成本為 320 元 ; 然而零售商需要 28 個熊大徽章 20 個兔兔徽章及 48 個饅頭人徽章為了滿足零售商的需求, 設工廠要買進 x 塊甲規格鐵板 y 塊乙規格鐵板, 其中 x 和 y 為非負整數, 由下列步驟, 求出何時才能達到最低成本 1 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數 2 求可行解區域的所有頂點的坐標 3 工廠所需最低成本為多少元? 19

20 測驗範圍數學 3 線性規劃 ( 數乙 ) 分析線性規劃也是每年計算題出題的重點項目, 數學乙列為的考試範圍, 此類組的考生一定要注意此類型的考題除了應用問題外, 利用斜率求極值的方式也要熟悉,104 學測就出現這樣類似的問題解析 8x+4yM28 2x+yM7 4x+4yM20 x+ym5 1 依題意得! 8x+16yM48 x+2ym6 x y 為非負整數 x y 為非負整數目標函數 P(x, y)=400x+320y 2 由不等式得右圖陰影區為可行解區域, 其頂點坐標為 (0, 7),(2, 3),(4, 1),(6, 0) 3 將頂點代入 P(x, y)=400x+320y (x, y) (0, 7) (2, 3) (4, 1) (6, 0) P(x, y) 可知最低成本為 P(2, 3)=1760( 元 ) 參考試題 1:104 學測單選題第 4 題一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形 ABCDEFGH 及其內部, 如右圖已知目標函數 ax+by+3 ( 其中 a, b 為實數 ) 的最大值只會發生在 B 點請問當目標函數改為 3-bx-ay 時, 最大值會發生在下列哪一點? 1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 答案 1 參考試題 2:102 指考數學乙非選題第二大題某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金, 其中每單位的甲合金是由 5 公克的 A 金屬 3 公克的 B 金屬以及 3 公克的 C 金屬組成, 而每單位的乙合金是由 3 公克的 A 金屬 6 公克的 B 金屬與 3 公克的 C 金屬所組成已知甲乙合金每單位的獲利分別為元若工廠此次進了 1000 公克的 A 金屬 1020 公克的 B 金屬與 660 公克的 C 金屬投入生產這兩種合金, 試問甲乙兩種合金各應生產多少單位, 才能獲得最大利潤? 又此時利潤為多少? 答案最大利潤為元, 此時甲合金生產 100 單位, 乙合金生產 120 單位 20

21 例題 4 如圖, 在坐標平面上有一個邊長為 2 的正六邊形 ABCDEF, 且 A 點在 x 軸上, 若已知 O 為原點 A(1, 0) Q(-3, 1), 則下列數值何者最小? A zoq zoa B zoq zob C zoq zoc D zoq zod E zoq zoe 測驗範圍數學 3 向量 ( 數甲乙 ) 分析不論是空間向量或是平面向量都有其共通點, 向量的運算需要熟練這個課題在這幾年考題中都不缺席解析因為 z a z b = z a z b cosθ=z a 在 z b 上的投影量 (θ 為 z a 與 z b 的夾角 ), 所以經過坐標化後,B(3, 0) C(4, a3 ) D(3, 2a3 ) E(1, 2a3 ) F(0, a3 )!zoq zoa=-3 zoq zob=-9 zoq zoc=-12+a3 zoq zod=-9+2a3 zoq zoe=-3+2a3 所以最小的為 zoq zoc 故選 C 參考試題 1:98 學測多選題第 11 題如圖所示, 正立方體 ABCD-EFGH 的稜長等於 2( 即 AB =2),K 為正方形 ABCD 的中心,M N 分別為線段 BF EF 的中點試問下列哪些選項是正確的? 1 zkm= 1 2 zab- 1 2 zad+ 1 2 zae 2( 內積 )zkm zab=1 3 zkm=3 4 KMN 為一直角三角形 s10 5 KMN 之面積為 2 答案 14 參考試題 2:102 指考數學乙選填題 C 在坐標平面上, 設 O 為原點, 向量 z a =(1, 2),z b =(2, 1),z c =(1, 1), z d =(-1, 1) P 為平面上的動點, 令點集合 A={P zop=xz a +yz b 且 0NxN1 且 0NyN1}, 點集合 B={P zop=xz c +yz d 且 0NxN1 且 0NyN1}, 則區域 A B 的面積為答案

22 第四冊例題 1 給定向量 z u =(2, 2, 1), 請選出正確的選項 : A 可找到向量 z v 使得 z u.z v =a2 B 可找到向量 z v 使得 z u z v =(1, 3, 4) C 若非零向量 z v 滿足 z u.z v =2 z v, 則 z u z v =z 0 D 若非零向量 z v 滿足 z u z v =3 z v, 則 z u.z v =0 E 若向量 z v 滿足 z u.z v =0 且 z u z v =z 0, 則 z v =z 0 測驗範圍數學 4 空間向量 ( 數甲 ) 分析空間向量與平面向量最大的差異在於外積, 外積運算的性質成為考題的重點另外, 外積可以結合平行六面體的體積柯西不等式等觀念考題, 需要留意解析 z u =(2, 2, 1), 因此 z u =3 A : 取 z v =(0, 0, a2 ) 即可 B :(z u z v ) z u 但 (1, 3, 4).(2, 2, 1)=12 0, 不合 C : 若 z u,z v 夾角為 θ, 則 z u.z v = z u z v cosθ =2 z v, 又 z u =3 cosθ = 2 0!z u z v z u z v z 0 3 D : z u z v = z u z v sinθ=3 z v! sinθ=1,θ=90n z u.z v =0 E : z u.z v = z u z v cosθ=0 但 z u =3 0 z v cosθ=0 1 又 z u z v =0= z u z v sinθ z v sinθ=0 2 由 1 2! z v =0 z v =z 0 故選 ADE 參考試題:102 指考數學甲多選題第 9 題考慮向量 z u =(a, b, 0) z v =(c, d, 1), 其中 a 2 +b 2 =c 2 +d 2 =1 請選出正確的選項 1 向量 z v 與 z 軸正向的夾角恆為定值 ( 與 c d 之值無關 ) 2 z u.z v 的最大值為 a2 3 z u 與 z v 夾角的最大值為 135n 4 ad-bc 的值可能為 z u z v 的最大值為 a2 答案

23 數學甲例題 1 考慮多項式函數 f(x)=x 5 +2x 4 -x 3-5x 2 +3, 試問下列哪些選項是正確的? f(k) A lim f(k+100) =0(k 為正整數 ) k B lim f(x2 +1)-f(1) =0 x 0 x 2 1 C 函數 f 在區間 2, 1 遞增 D 若 xm2, 則 f(x)m0 E f(x)=3 有兩相異實根測驗範圍數學甲 2 函數的極限多項式函數的微積分分析要了解基本的函數極限與多項式函數的微分, 對於函數圖形的繪製也要有一定程度的了解數學甲 Ⅱ 是指考出題的重點, 更以微積分為重所以微分對函數圖形分析的重要性, 必須要了解清楚解析 f (x)=x 5 +2x 4 -x 3-5x 2 +3, f '(x)=5x 4 +8x 3-3x 2-10x=x(x-1)(5x 2 +13x+10) A lim f(k) f(k+100) = lim k 5 +2k 4 -k 3-5k 2 +3 k k (k+100) 5 +2(k+100) 4 -(k+100) 3-5(k+100) 2 +3 = 1 1 =1 即比較分子分母的最高次 k 5 之係數 B lim f(x2 +1)-f(1) =f '(1)=0 x 0 x 2 C 若 f 遞增, 則 f '(x)=x(x-1)(5x 2 +13x+10)M0 因 5x 2 +13x+10>0 恆成立, 所以 x(x-1)m0 得 xn0 或 xm1, 故 1 2 NxN1 時,f 並非遞增 D x 0 1 f'(x) f(x) 3 0 由上表知 xm0 時,f(x) 之最小值為 f(1)=0 因此, 若 xm2, 則 f(x)m0 E 由 D 可作 y=f(x) 略圖如右, 與直線 y=3 恰有兩個交點, 故 f(x)=3 有兩相異實根故選 BDE 23

24 參考試題:102 指考數學甲多選題第 7 題令 f(x)=x 3 -x 2-2x+1 設 a b c 為方程式 f(x)=0 的三個實根, 且 a<b<c, 請選出正確的選項 1 極限 lim f(x) 存在 x 1 x-1 2 a b c 至少有一個在 0 與 1 之間 3 a,a 2,a 3,,a n, 為收斂數列 4 b,b 2,b 3,,b n, 為收斂數列 5 c,c 2,c 3,,c n, 為收斂數列答案 24 例題 2 坐標平面上, 已知函數 f(x)=4x 3 +x-2 的圖形以 A(1, 3) 為切點的切線為 L, 則以切線 L 及曲線 y=f(x) 為界所圍成區域的面積為何? 測驗範圍數學甲 2 積分的應用分析微積分在數學甲中占有相當的比例, 面積與旋轉體積的問題, 考生應該要熟悉, 這部分為指定考科甲的出題重點解析 f'(x)=12x 2 +1, 所以直線 L 的斜率 =f'(1)=13 L:y-3=13(x-1)! y=13x-10 將 y=13x-10 代入 y = f(x)! 4x 3 +x-2=13x-10!(x-1) 2 (x+2)=0 另一交點為 (-2, -36) 所求為 1-2 (4x3 +x-2)-(13x-10) dx= 1-2 (4x3-12x+8)dx =(x 4-6x 2 +8x) 1-2 =(1-6+8)-( )=27 參考試題:102 指考數學甲非選擇題第一大題設 p(x) 為一實係數多項式, 其各項係數均大於或等於 0 在坐標平面上, 已知對所有的 tm1, 函數 y=p(x) y=-1-x 2 的圖形與直線 x=1 x=t 所圍成有界區域的面積為 t 4 +t 3 +t 2 +t+c( 其中 C 為常數 ) 1 試說明 p(x)>-1-x 2 對所有的 xm1 均成立 2 設 tm1, 試求 1 1 (-1-x2 )dx 3 試求 C 4 試求 p(x) 24

25 答案 1 p(x) 的各項係數均大於或等於 0 xm1 時,p(x)M0 又當 xm1 時,-1-x 2 <0 恆成立故 p(x)>-1-x 2,xM1 恆成立 t3 -t C=-4 4 p(x)=4x 3 +2x 2 +2x 數學乙例題 1 益智高中高三的學生參加數學與英文能力測驗, 學生兩科測驗成績的分布都很接近常態分布, 其中英文成績的平均分數為 55 分, 標準差為 10 分 ; 數學成績的平均分數為 60 分, 標準差為 5 分若用粗線表示英文成績分布曲線 ; 細線表示數學成績分布曲線, 則下列哪一個分布圖較為正確? A B C D E 測驗範圍數學乙 1 機率與統計 2 分析統計學中最重要的就是要看懂圖形所表示的涵義, 所以藉由題意可以揣測常態分配的圖形解析常態分布的平均數在圖形高峰, 英文成績高峰 55 分 < 數學成績高峰 60 分且因為英文成績標準差比數學大, 因此英文成績較分散故選 A 參考試題:98 指考數學乙多選題第 4 題國一學生 30 萬人, 智商測驗的結果是平均數 100, 標準差 15 的常態分配, 若以智商 130 以上做為甄選國一學生為資優生的門檻, 則根據這次測驗的結果判斷下列選項中的敘述, 哪些是正確的? 1 約有 5 % 的國一學生通過資優生甄選門檻 2 約有 15 萬名國一學生的智商在 100 以上 3 超過 20 萬名國一學生的智商介於 85 至 115 之間 4 隨機抽出 1000 名國一學生, 可期望有 25 名資優生 5 如果某偏遠學校只有 14 名的國一學生, 那麼該校不會有資優生答案

26 例題 2 設 n 為正整數, 二次方程式 x 2 -nx+(n-1)=0 的二根為 a n b n 且 a n Mb n, 則下列敘述何者正確? A b n >0," n ln B a n +b n >1," n ln C a n+1 >a n, 對任意的正整數 nm2 D lim a nb n 2n =1 E lim n n n 2 a n b n =2 測驗範圍數學乙 2 極限與函數分析 1 二次函數根與係數重要, 是解題很常用的方法 2 數列極限是數學乙 2 唯一的出題概念要熟悉才行解析 x 2 -nx+(n-1)=(x-1)(x-(n-1))=0 a n=n-1 a 1 =1 (n 為正整數且 nm2) 或 b n =1 b 1 =0 且 a n +b n =n a n b n =(n-1) A :b 1 =0 B :a n +b n =nm1 C :a n+1 =n>a n =n-1 D : lim a nb n = lim n-1 =1 n n n n E : lim n CDE 2n a n b = lim 2n 2 n (n-1) =2 n 參考試題 1:93 指考數學甲選填題 A n 是正整數, 坐標平面上一點 (fn+5, fn-1 ) 到直線 y-x=0 的距離是 d n, 此點和 (0, 0) 及 (fn-1, fn-5 ) 所構成的三角形面積為 a n, 則 lim d n =, lim a n = n 答案 0;3 n 參考試題 2:103 指考數學乙多選題第 5 題請選出正確的選項 9 1 lim ( 10 ) n =0 2 lim ( ) n =0 3 lim 5 n -3 n n n n 4 lim n(n+1)(2n+1) = 1 n 6n 3 3 答案 lim(fn+1 -an )=1 n 6 n +7 n =0 26

27 伍結論由於指定科目考試為因應協助大學校系選才的原則下, 其所測驗的方向須考量校系在選才時所需之數學知識, 並針對這些知識進行較具深度的評量以數學乙為例子來說, 數學乙為考科的校系多數希望學生具備函數方程式機率統計排列組合等數學知識, 所以這些單元均為, 也符合 99 課綱前的考古試題趨勢對於理組的數學甲來說, 多數希望學生需具備函數方程式機率微積分矩陣幾何等數學知識, 就有較多整合數個概念的問題, 計算量也明顯偏多所以考生在平時的準備上會因為所選的組別而有所差異, 若時間有限也要因為自己的能力差異而有所取捨總而言之, 指定考科多著墨在選修教材, 並增加空間與圖形概念的題目, 於是考生應於平時多做這方面的加強練習, 依據本年度的學測趨勢與成績分析結果, 考生更應該加強觀念性題目並強化計算能力, 以上筆者對指考的一些淺見, 提供給各位先進參考 27

<4D F736F F D D3939BDD2BAF5ABFCA6D2BCC6BEC7A6D2ACECA952C344A4E8A6562E646F63>

<4D F736F F D D3939BDD2BAF5ABFCA6D2BCC6BEC7A6D2ACECA952C344A4E8A6562E646F63> 99 課綱指定科目考試數學甲乙命題方向命題方向壹 99 課綱說明民國 99 年正式實施的普通高級中學課程綱要 ( 民國 97 年 1 月 24 日發布, 簡稱 99 課綱 ), 數學科目包括高一高二的必修課程( 即數學 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 及 IV), 以及高三數學甲 Ⅰ Ⅱ, 與數學乙 Ⅰ Ⅱ 的選修課程, 其中數學 IV 分為 A B 兩版,B 版擴充了 A 版的內容, 所增加的題材在課程綱要中以