指定科目考試考試說明目錄壹測驗目標... 1 貳測驗內容... 2 參試題舉例... 3 附錄... 8

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慈溃龚
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3 指定科目考試考試說明指定科目考試考試說明指定科目和學科能力測驗在測驗目標和難度上有所不同學科能力測驗主要是測驗高中階段學生的基本概念, 以及使用這些概念直接解題的能力, 所以試題所需計算大都不會太複雜解題步驟較少, 題型為電腦可讀的選擇或選填題而指定科目則進一步評量考生的解題過程表達能力, 因此增加了非選擇題型試題中所用到的數學名詞或概念, 如非各版本通用者, 都將在試卷中加以說明壹測驗目標指定科目的測驗目標, 包含學科能力測驗的測驗目標 : 概念性知識程序性知識, 及解決問題的能力另外, 也著重解決問題中閱讀表達連結以及推理與論證的能力一概念性知識 : 例如 : 能辨認某概念 ; 能確認概念中的基本數學原理二程序性知識 : 例如 : 能讀圖查表或運用適當的公式與步驟解題三閱讀與表達能力 : 例如 : 能讀懂題目, 並以數學語言表達題目的涵意及解題的過程四連結能力 : 例如 : 能融會貫通數學中不同領域的概念, 或連結數學以外其他學科知識或生活經驗五推理論證的能力 : 例如 : 能應用數學模型與邏輯思考進行正確的推理或證明六解決問題的能力 : 例如 : 能應用數學知識選擇有效策略及推理能力解決問題, 並能檢驗結果的合理性與正確性 1

4 指定科目考試考試說明貳測驗內容民國九十五年正式實施的普通高級中學課程暫行綱要 ( 民國九十三年八月三十一日發布民國九十四年一月二十日修正發布, 以下簡稱九五課綱 ), 包括高一高二的必修課程, 及高三的選修課程數學 (Ⅰ) 數學(Ⅱ); 為因應九五課綱, 九十八年的指定科目仍分為數學甲數學乙, 且這兩個考科的測驗內容有所不同由於學科能力測驗已評量學生高一高二課程中的基本數學能力, 因此, 指定科目考試所測驗的能力應以進階的閱讀表達推理以及連結能力為主另外, 為協助大學校系選才, 在考科測驗內容上, 須考量校系在選才時所需之數學知識, 並針對這些知識進行較具深度的評量, 其中數學乙的試題計算量偏少, 整合性試題在比例上也較少, 數學甲較多整合數個概念的問題, 計算量也較多由本中心所發問卷結果顯示 : 選擇數學甲為考科的校系主要希望學生具備函數方程式機率微積分矩陣幾何等數學知識 ; 選擇數學乙為考科的校系則希望學生具備函數方程式機率統計排列組合等數學知識因此, 數學甲與數學乙的內容將做適當的區隔, 其測驗內容如下 : 考科測驗內容數學甲高一數學的指數與對數三角函數 ; 高二數學的向量空間中的直線與平面圓與球面的方程式 ; 選修科目數學 (I): 機率與統計的部分內容 : 含獨立事件條件機率貝氏定理數學期望值與二項分配 ( 以不牽涉信賴區間與信心水準的解讀為原則 ) 等矩陣不等式 ; 選修科目數學 (II): 多項式函數的極限與導數導函數的應用多項式函數的積分數學乙高一數學的多項式函數指數與對數 ; 高二數學的排列組合機率與統計 (I); 選修科目數學 (I): 機率與統計 (Ⅱ) 矩陣不等式指定科目在評量上述測驗內容時, 自然包含修習這些內容所需之先備知識和基本工具 ( 可詳見附錄 ) 2

5 指定科目考試考試說明參試題舉例以下是指定科目的一些試題示例, 主要是呈現上述各項測驗目標由於指定科目以評量較高層次的數學能力為主, 各試題往往涉及數個測驗目標, 亦將在各題中逐一說明各示例也呈現可能的新題型指定科目的題型以計算論證為主, 可能是閱讀偵錯計算作圖證明等試題可能以啓發性方式命題, 將較深或較難的問題分成數小題, 一方面可降低部分試題的難度, 一方面也提供需要的資料或部分作答線索因此除測驗學科知識解題能力外, 並同時評量閱讀數學資料的能力下列各示例的題型與測驗目標, 對數學甲數學乙兩個考科均適用本說明部分例題未附解答, 主要考量到這些例題應有作答過程, 並且可能有多種不同的做法本中心在九十七年公佈參考試卷時, 會將數學甲數學乙的參考試題答案集為一冊, 提供較完整之參考資料例 1 概念性知識設方程式 x 5 = 1的五個根為 1, ω 1, ω2, ω3, ω4, 則 ( 3 ω1 )(3 ω2 )(3 ω3)(3 ω4 ) = (1) 81 (2) 162 (3) 121 (4) 242 出處 :93 年數學甲選擇題第 1 題說明 : 此題評量考生概念性知識, 能否運用方程式根與因式的概念來求解例 2 程序性知識 < 數學甲 > 若有 θ 使下述方程組不只有一組解, 求 sinθ + cosθ 的值 (12 分 ) (1+ cos θ ) x y = 0 x + (1+ sin θ ) y = 0 出處 :93 年數學甲非選擇題第一題說明 : 此題主要的測驗目標為測驗學生程序性知識, 所運用的數學知識為解聯立方程組三角函數等概念其中包含方程組解與行列式的連結, 學生能否由方程組不只有一組解的假設, 推得 x, y 的係數行列式等於零, 進而列出 (1+ cos θ )(1+ sin θ ) 1 = 0 關係式 ; 接著, 解三角方程式, 可利用變數變換寫出相關的一元二次方程式 ; 最後, 能從所得的解中, 排除不可能的答案以上這三個部分均分別給分 3

6 指定科目考試考試說明 < 數學乙 > 已知 a0, a1, a2 和 b0, b1, b2 為兩數列, 彼此有如下的關係 : 1 an+ 1 = an + bn, bn+ 1 = bn ( n= 0,1,2, ). 2 an+ 1 an (1) 求二階方陣 A 滿足 = A bn+ 1 bn 2 (2) 求 A A 3 並推出 ( 其中 n = 0,1, 2, ) (2 分 ) k A 之值, 其中 k 為任意正整數 (6 分 ) 出處 : 本中心研究用試卷 k 說明 : 此題以階段性的方式引導考生是否能推出 A 的一般型式問題 (1) 的主要測驗目標為閱讀與表達, 評量考生能否連結某概念不同的表現形式, 將遞迴式以矩陣的形式表示 ; 問題 (2) 的主要測驗目標為程序性知識, 評量考生是否會利用矩陣的乘法 k k 推出 A 之值, 考生只要能正確表示 A 就可以得分例 3 閱讀與表達能力某棒球比賽有實力完全相當的甲乙丙丁四隊參加, 先將四隊隨機抽籤分成兩組比賽, 兩組的勝隊再參加冠亞軍決賽如下圖 : 冠軍勝第一組勝第二組根據過去的紀錄, 所有隊伍比賽時各隊獲勝的機率均為 0.5 則冠亞軍決賽由甲乙兩隊對戰的機率為 ( 四捨五入到小數三位 ) 出處 :96 年數學乙選填題第 A 題說明 : 此題主要評量考生閱讀與表達能力, 所運用的數學觀念並不難, 由題意比賽時各隊獲勝的機率均為 0.5, 可知各隊實力相當, 因此哪兩隊晉級的機率相當於以抽籤方式決定哪兩隊打決賽的機率 4

7 指定科目考試考試說明例 4 連結能力 2 在坐標平面上, 設 P 為 y = 2 + x x 圖形上的一點若 P 的 x 坐標為 log310, 則 P 點的位置在 (1) 第一象限 (2) 第二象限 (3) 第三象限 (4) 第四象限 (5) 坐標軸上出處 :95 年數學甲選擇題第 2 題說明 : 此題的主要測驗目標是數學概念的連結, 評量考生能否連結二次函數與對數的概念, 來估計 P 點的位置例 5 解決問題的能力某銀行檢討一年期 20 萬元的小額急用貸款, 一年後還款 21 萬元的申請資格過去幾年的記錄顯示 : 申辦此項貸款者一年後只有依約還款 21 萬元與違約不理 (1 元都不還 ) 兩種情形, 沒有還一部分錢等其他情形發生 ; 且發現會還錢或不會還錢者與其年收入有關, 兩者的累積次數分配部分圖形如下 : 1200 不會還錢累積人會還錢累數年收入 ( 萬元 ) 年收入 ( 萬元 ) 積人數 (1) 一個年收入 30 萬元以下的貸款者, 會還錢的機率為何? (2) 銀行貸款給一個年收入 30 萬元以下的客戶, 銀行的獲利期望值為多少元? 出處 :94 年數學乙非選擇題第一題說明 : 此題評量考生解決問題的能力, 主要觀念為數學期望值, 學生需先讀懂題意, 從題目中的圖表求出還錢的機率, 再利用數學期望值的概念來解題 5

8 指定科目考試考試說明例 6 推理論證的能力 SARS 疫情期間, 為了建立指標顯示疫情已受控制, 以便向國人宣示可以過正常生活, 有位公共衛生專家建議的指標是連續 7 天, 每天新增的可能病例都不超過 ( 小於或等於 )5 人根據連續 7 天的新增病例計算, 下列各選項, 哪些必定符合此指標? (1) 平均數 3 (2) 標準差 1 (3) 平均數 3 且標準差 2 (4) 平均數 3 且全距 2 (5) 眾數 =1 且全距 4 出處 :92 年數學乙選擇題第 8 題說明 : 此題評量考生推理論證能力, 測驗學生是否清楚統計名詞的意義, 並能從題目中的已知數據嘗試舉例, 以推理及檢驗各選項是否合理與正確例 7 解決問題與推理論證能力 < 數學乙 > 在一個牽涉到兩個未知量 x, y 的線性規劃問題中, 有三個限制條件坐標平面上符合這三個限制條件的可行解區域是一個三角形區域 ABC 已知目標函數 f ( x, y) = ax + by( ab, 是常數 ), 在此三角形的一個頂點 A (12,3) 上取得最大值 42, 而在另一個頂點 B (6,1) 取得最小值 20 現因實務需要, 加入第四個限制條件, 結果可行解區域變成一個四邊形區域 BCDE, 其中 D E 之坐標分別為 (10, 4) 和 (9,2) (1) 試求 ab, 的值 (4 分 ) (2) AD,, C三點是否在同一條直線上? 請說明理由 (3) 在四個限制條件下, 求 f ( x, y) = ax + by 的最大值與最小值 (4 分 ) 出處 : 本中心研究用試卷說明 : 此題以題組的引導方式來佈題, 其中問題 (1) 的主要測驗目標是概念性知識, 欲瞭解學生能否利用線性規劃概念求得目標函數 ab, 的值 ; 問題 (2) 的主要測驗目標是運用推理能力, 學生需經由坐標作圖及計算後得知由於 E 點在 AB 上, 且加入第四個限制條件後, 可行解區域會變成一個四邊形區域 BCDE, 因此 D 點會落在 AC 上問題 (3) 的主要測驗目標是閱讀與表達, 希望學生利用平行線法或頂點法等概念推導出 f ( x, y) = ax + by 的最大與最小值 6

9 指定科目考試考試說明 < 數學甲 > 在一個牽涉到兩個未知量 x, y 的線性規劃問題中, 有三個限制條件坐標平面上符合這三個限制條件的可行解區域是一個三角形區域 ABC 已知目標函數 f ( x, y) = ax + by( ab, 是常數 ), 在此三角形的一個頂點 A (12,3) 上取得最大值 42, 而在另一個頂點 B (6,1) 取得最小值 20 現因實務需要, 加入第四個限制條件, 結果可行解區域變成一個四邊形區域 BCDE, 其中 D E 之坐標分別為 (10, 4) 和 (9,2) (1) 試求 ab, 的值 (4 分 ) (2) 在四個限制條件下, 求 f ( x, y) = ax + by 的最大值與最小值 (4 分 ) s t, 試說明 s+ 2t = 18且 1 s < 10 (5 分 ) (3) 設三角形 ABC 的頂點 C 坐標為 (, ) 出處 : 本中心研究用試卷說明 : 此題是以題組的引導方式來佈題, 其中問題 (1) 的主要測驗目標是概念性知識, 欲瞭解學生能否由試題敘述求得目標函數 ab, 的值 ; 問題 (2) 的主要測驗目標是閱讀與表達, 瞭解學生能否讀懂加入第四個限制條件, 結果可行解區域變成一個四邊形區域 BCDE, 並利用圖形線性規畫概念來推導出 f ( x, y) = ax + by 的最大與最小值 ; 本題與上一題最大的不同點在問題 (3), 問題 (3) 主要測驗目標為測驗推理論證的能力, 評量考生能否利用目標函數 f ( x, y) = ax + by 在頂點 C 之值必介於最小最大值之間, 又頂點 C 在直線 AD 上, 進而說明 s+ 2t = 18且 1 s < 10 7

10 一數與坐標系二數列2-1 介紹最基本的極限概念與級數指定科目考試考試說明附錄下表為九五課綱數學科各章節, 並列出數學甲數學乙相對應的測驗範圍各試題解題的主要概念, 出自標示的章節中; 標示的章節不是主要的測驗範圍, 但解題時會用到此章節的基本概念或技巧 ; 標示表示不在該考科的直接命題範圍內, 但試題有多種解法時, 若用此章節的概念或技巧解題, 仍可得分第一學年課程標準測驗範圍主題主要內容說明數學甲數學乙 1. 整數 1-1 含因數倍數與輾轉相除法 2. 有理數與實數 2-1 介紹無理數如 n 和 π, 其中 n 為非完全平方的正整數含 2 是無理數的證明 2-2 介紹基本的根式運算如 18 = 3 2, 6 = 2 3, 2 2 = 等含分母為 3 3 n ± m 時的有理化, 其中 n, m 為正整數 3. 平面坐標系 3-1 複習平面坐標系, 直線方程式, 並介紹斜率 3-2 以兩直線的關係說明二元一次方程組求解的幾何意義 4. 複數與複數平面 4-1 介紹 i 的由來, 含一元二次方程式根的討論, 特別是判別式小於 0 之情形 4-2 介紹複數平面和複數的四則運算複數平面只是強調一一對應關係 1. 等差級數與等比 1-1 含數列與級數的基本概念級數 2. 無窮等比級數與循環小數 3. 數學歸納法 3-1 介紹數學歸納法並應用於證明 8

11 三多項式四指數與對數指定科目考試考試說明課程標準測驗範圍主題主要內容說明數學甲數學乙 1. 多項式的四則運算 1-1 含綜合除法 2. 餘式定理因式定理 2-1 含整係數多項式的一次因式檢驗法 3. 最高公因式與最低 3-1 利用輾轉相除法求最高公因式公倍式 4. 多項式函數 4-1 含一次二次多項式函數的圖形 5. 多項式方程式 5-1 含代數基本定理的介紹, 勘根定理和實係數多項式方程式虛根成對定理 6. 多項式不等式 6-1 瞭解已分解為一次因式乘積的多項式在實數線上恆正恆負的區間 1. 指數 2. 指數函數及其圖形 3. 對數 4. 對數函數及其圖形 4-1 指數與對數互為反函數的意義以公式直接表達, 不一定要提反函數這三個字, 但要在坐標平面上同時呈現這兩個函數的圖形 5. 查表內插法 5-1 可用電算器求出指數函數與對數函數的值 9

12 五三角函數的基本概念5. 正弦定理與餘弦定理六三角函數的性質4. 正餘弦函數之疊合 4-1 以實例說明疊合的意義與應用指定科目考試考試說明課程標準測驗範圍主題主要內容說明數學甲數學乙 1. 銳角三角函數 1-1 先處理有一個銳角為 30, 或 45 的直角三角形邊角性質 2. 三角函數的基本關係 2-1 倒數關係平方關係商數關係餘角關係 3. 簡易測量與三角函數值表 3-1 可用電算器求出三角函數值 4. 廣義角的三角函數 6. 基本三角測量 1. 三角函數的圖形 1-1 含弧度三角函數的圖形只談正弦餘弦和正切 2. 和角公式 2-1 含積化和差公式 3. 倍角半角公式 5. 複數的極式 5-1 介紹向徑輻角與極坐標之概念, 含棣美弗定理,1 的 n 次方根 10

13 一向量二空間中的直線與平面指定科目考試考試說明第二學年課程標準測驗範圍主題主要內容說明數學甲數學乙 1. 有向線段與向量 1-1 含向量的加法減法係數積與內積等運算 2. 向量的基本應用 2-1 含向量在平面幾何證明題上的應用, 如三 3. 平面向量的坐標表示法角形兩邊中點連線定理平行四邊形定理 3-1 含加法減法係數積與內積等運算以及分點坐標直線的參數式 4. 平面向量的內積 4-1 含柯西不等式正射影兩直線的夾角點到直線的距離 1. 空間概念 1-1 空間中直線與直線直線與平面和平面與平面的位置關係 2. 空間坐標系 3. 空間向量的坐標表示 3-1 含加法減法係數積與內積等運算, 柯法西不等式, 正射影 4. 平面方程式 4-1 含法向量平面的夾角點到平面的距離 5. 空間直線方程式 5-1 含直線的參數式點到直線的距離平行線的距離歪斜線的公垂線段長 6. 一次方程組 6-1 限二元三元 6-2 含高斯消去法 6-3 以解文字為係數的二元一次方程組介紹克拉瑪公式和二階行列式 6-4 以二階行列式求平面上平行四邊形的面積 11

14 圓與球面的方程式四圓錐曲線4. 雙曲線 ( 標準式 ) 4-1 含漸近線五排列組合指定科目考試考試說明課程標準測驗範圍主題主要內容說明數學甲數學乙三1. 圓的方程式 2. 圓與直線的關係 3. 球面方程式 4. 球面與平面的關係 1. 圓錐曲線名詞的由來 2. 拋物線 ( 標準式 ) 3. 橢圓 ( 標準式 ) 5. 圓錐曲線的光學性質 1. 集合元素的計數 1-1 含排容原理 2. 加法原理乘法原理 3. 排列 4. 組合 5. 二項式定理 5-1 以組合概念導出 6. 遞迴關係 6-1 遞迴關係以 a = αa 1 + f( n) 及 n n a = βa + γ a 的形式為主, 其中 n n 1 n 2 α, βγ, 為常數, f ( n ) 是次數小於 3 的多項式 12

15 指定科目考試考試說明主題課程標準測驗範圍主要內容說明數學甲數學乙 1. 事件與集合 1-1 集合簡介 1-2 樣本空間與事件 2. 機率的性質六機率與統計(Ⅰ) 3. 數學期望值 4. 統計資料的來源 4-1 觀測研究抽樣調查實驗需介紹及使用亂數表, 抽樣調查法需含簡單隨機抽樣法 5. 分析一維數據 5-1 圖表編製, 數據集中趨勢, 數據離散趨勢, 整合集中與離散趨勢, 以瞭解數據的全貌 6. 信賴區間與信心水準的解讀 6-1 常態分配及規律僅需處理二元資料, 不必引進機率模型, 以教學活動瞭解信賴區間與信心水準的解讀 13

16 機率與統計(Ⅱ3. 交叉分析 3-1 僅談兩個變數的情況, 需與條件機率相結合一)二矩陣5. 克拉瑪公式 5-1 限二元, 三元指定科目考試考試說明第三學年 - 數學 (Ⅰ) 課程標準測驗範圍主題主要內容說明數學甲數學乙 1. 獨立事件條件機率與貝氏定理 2. 數學期望值與二項 2-1 需與信賴區間與信心水準的解讀結合分配 4. 分析二維數據 4-1 散佈圖相關係數迴歸直線與最小平方法 1. 矩陣的加法與係數 1-1 強調矩陣的意義, 多用實例說明積 2. 矩陣的乘法及意義 2-1 含乘法的代數性質, 轉移矩陣 ( transition matrix ) 多用實例說明 3. 矩陣的列運算及增廣矩陣的應用 4. 行列式 4-1 限二階與三階, 含行列式的基本性質及用行列式表示面積與體積 6. 反方陣 6-1 含以列運算求反方陣及二階反方陣之行列式求法 6-2 以二階反方陣之行列式求法解釋克拉瑪公式 14

17 三不等式指定科目考試考試說明課程標準測驗範圍主題主要內容主題數學甲數學乙 1. 絕對不等式 ( 證明不等式 ) 1-1 柯西不等式算幾不等式應用實例 2. 條件不等式 ( 解 2-1 以分解因式解一元多項式不等式並在不等式 ) 數線上標示解區間 2-2 解二元一次多項式不等式並在坐標平面上標示解區域 2-3 利用代數方法幾何方法 ( 圖形 ), 以及絕對不等式求函數在限制條件下的極大極小求極值的函數以低次多項式為主 3. 線性規劃 3-1 只限二元 15

18 一多項式函數的極限與3-3 複習拋物線的光學性質導數二導函數的應3. 三次函數的圖形 3-1 含對三次多項式實根個數的瞭解用三多項式函數的2-1 介紹定積分符號, 反導函數 ( 反微分 ) 符號積分指定科目考試考試說明第三學年 - 數學 (Ⅱ) 課程標準測驗範圍主題主要內容說明數學甲數學乙 1. 函數及其圖形 1-1 複習一次函數與直線方程式 1-2 複習二次函數與拋物線方程式 2. 極限概念 2-1 引入 Δx 並以直觀說明極限的意義 3. 割線與切線 3-1 引入 Δy 及 Δy Δx 討論函數割線的斜率, 並說明在運動學上的意義 3-2 以二次函數說明割線斜率的極限是切線的斜率不考 4. 導數與切線的斜 4-1 定義導數及切線方程式率 4-2 說明導數在運動學上的意義 4-3 以二項式定理或分解因式求極限得出多項式的導函數, 並介紹導函數常用的符號 1. 函數圖形的描繪 1-1 函數圖形的遞增遞減和臨界點 1-2 函數圖形的凹性和反曲點 2. 函數的極值 2-1 函數極值的一階二階檢定不考 4. 極值的應用 1. 黎曼和與面積 1-1 直觀說明黎曼和對一再細分的分割所取的極限是面積在等分割時, 對 y = x 求出黎曼和的極限 2. 求多項式函數圖形與直線 x = a, x = b, 和 y = 0 圍出的面積不考 3. 定積分及其應用 3-1 以求圓面積球體體積角錐體積自由落體運動方程式為主 16

2-V-1 2-V-1 數學領域 A 版本學習重點 A-11-1 一元一次不等式 A-11-2 一元二次不等式 A-11-3 絕對值不等式 A-11-4 二元一次不等式 S-10-2 圓方程式 S-10-3 圓與直線的關係 R-10-1 線型函數 R-10-4 直線方程式 D-11-2 直線排列 D

2-V-1 2-V-1 數學領域 A 版本學習重點 A-11-1 一元一次不等式 A-11-2 一元二次不等式 A-11-3 絕對值不等式 A-11-4 二元一次不等式 S-10-2 圓方程式 S-10-3 圓與直線的關係 R-10-1 線型函數 R-10-4 直線方程式 D-11-2 直線排列 D 柒附錄附錄一 : 數學領域學習重點與核心素養呼應表參考示例本表以核心素養為基準, 標列相呼應的與一數學 A 版本數學領域 A 版本學習重點 1-V-1 能夠了解所學習的數學 N-10-1 概念運算與關係 N-10-2 1-V-4 能夠連結並應用數學的 N-10-3 概念程序或方法到日常 N-10-4 生活或專業學科情境 N-10-6 1-V-2 1-V-3 能夠正確地執行數學程序能夠運用數學概念

指定科目考試考試說明 目 錄 壹測驗目標... 1 貳測驗內容... 2 參試題舉例... 3 附錄... 8

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