數學乙考科 102 年師大附中 / 蘇國海老師指考試題關鍵解析前言今年是使用 99 課綱後, 第一年的指考, 大考中心將指考的測驗目標分為 (1) 測驗考生對學科知識的了解 (2) 測驗考生資料閱讀判斷推理分析的能力 (3) 測驗考生表達的能力 (4) 測驗考生應用學科知識的能力綜觀

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漫贝
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1 數學乙考科 10 年師大附中 / 蘇國海老師指考試題關鍵解析前言今年是使用 99 課綱後, 第一年的指考, 大考中心將指考的測驗目標分為 (1) 測驗考生對學科知識的了解 () 測驗考生資料閱讀判斷推理分析的能力 () 測驗考生表達的能力 () 測驗考生應用學科知識的能力綜觀今年數學乙的考題仍然循此四大目標命題, 整份考題, 題目數不多仍為 1 題, 但難度比往年高, 預估前標均標降 ~5 分, 考題鑑別度高, 內容仍以觀念為主, 沒複雜的計算, 不必再死背公式, 題目有點像 PISA 考題, 題幹敘述文字長, 像考申論題, 考驗學生思考邏輯, 值得一提的是圖表題多, 更是未來要注意的, 但整體來說, 命題方向符合社會組進入大學的社科商管領域應有的數學能力針對今年的數學乙考題, 以下提出一些個人的觀點, 請先進同仁們不吝指教 : (1) 今年考題全部都是顆星的部分, 下表是 10 年數學乙試題配分表 : 冊別測驗內容題型單選題多選題選填題非選題配分一第章多項式 1 6 第章指數與對數一 1 二第章排列組合 A 8 第章數據分析 5 1 三第章直線與圓二 0 第章平面向量 C 8 四第章矩陣 7 8 選修上 ( 乙 ) 第 1 章機率統計 Ⅱ 6 B 16 選修下 ( 乙 ) 第 1 章極限與函數 8 () 第三冊配分最多, 第四冊與選修下冊 ( 乙 ) 配分最少, 但機率統計部分 :,5,6,A, B 仍為大宗, 線性規劃也出現兩題 :, 二, 需特別注意 () 單選 1,, 多選為基本送分題, 所以程度比較不好的同學仔細寫也有基本分數學乙考科 1

2 () 多選第 5 題題目佔去整張 A 考卷堪稱數學乙有史以來最長的題目考生可能被嚇到但實際上只要看題目提供的數字趨勢決定坐標軸不用計算就可以解出來同學可不可考滿分這題還蠻關鍵的 (5) 線性規劃真得是每年必考題請同學如果想考數學乙務必留意 (6) 熱門考題信心水準信賴區間今年終於出現在多選 6 此部分同學老師比較陌生觀念也比較不清晰明年這些題目仍是重點 (7) 非選第一題要學生說明常用對數的理由這樣的考法在過去指考相當少見類似 PISA 考試有申論題的味道未來可能成為命題的趨勢不能只背公式要能說出數學原理背後的成因 10 年指考試題關鍵解析

3 試題詳解與分析第壹部分 : 選擇題 ( 單選題多選題及選填題共占 76 分 ) 一單選題 ( 占 1 分 ) 說明 : 第 1 題至第題, 每題有 5 個選項, 其中只有一個是正確或最適當的選項, 請畫記在答案卡之選擇 ( 填 ) 題答案區各題答對者, 得 6 分 ; 答錯未作答或畫記多於一個選項者, 該題以零分計算 1. 設 a,b,c 為實數, 且二次多項式 f (x)=ax ( x-1 )+bx ( x- )+c ( x-1 ) ( x- ) 滿足 f (0)=6 f (1)= f ()=- 請問 a+b+c 等於下列哪一個選項? (1) 0 () () 1 () - 1 (5) - 答案 () 概念中心二次多項式的求值餘式定理命題出處南一版數學第一冊 - 多項式的運算與應用試題解析 f (0)=c ( 0-1 ) ( 0- )=6 c=, f (1)=b 1 ( 1- )= b=-1, f ()=a ( -1 )=- a=- 1 a+b+c=- 1 +(-1 )+=, 故選 (). 綜合數種糧食的糧食自給率定義為 A B, 其中 A 為每一種糧食之國內生產量乘以該糧食每單位產生熱量之後的總和,B 為每一種糧食之國內消費量乘以該糧食每單位產生熱量之後的總和已知甲乙丙三種糧食相關數據如下表 : 糧食國內生產量國內消費量單位糧食產生的熱量 ( 單位 : 千公噸 ) ( 單位 : 千公噸 ) ( 單位 : 大卡 / 每百公克 ) 甲乙丙請問綜合甲乙丙這三種糧食的糧食自給率最接近下列哪一個選項? (1) 7% () 9% () 1% () % (5) 5% 答案 () 概念中心表達數據代表值的統計量命題出處南一版數學第二冊 -1 單變量數據分析試題解析分子分母的單位一致可互消不必考慮單位直接依定義計算糧食自給率 = A B = = % 故選 () 數學乙考科

4 二多選題 ( 占 0 分 ) 說明..第題至第 7 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 請將正確選項畫記在答案卡之選擇 ( 填 ) 題答案區各題之選項獨立判定, 所有選項均答對者, 得 8 分 ; 答錯 1 個選項者, 得.8 分 ; 答錯個選項者, 得 1.6 分 ; 答錯多於個選項或所有選項均未作答者, 該題以零分計算. 坐標平面上兩點 (, 1 ) 和 ( 5, 9 ) 在直線 x-y-k=0 的兩側, 其中 k 為整數請選出正確的選項 (1) 滿足上式的 k 最少有 5 個 () 所有滿足上式的 k 的總和是 5 () 所有滿足上式的 k 中, 最小的是 7 () 所有滿足上式的 k 的平均是 9 (5) 所有滿足上式的 k 中, 奇數與偶數的個數相同答案 ()(5) 概念中心半平面與二元一次不等式的解命題出處南一版數學第三冊 - 線性規劃試題解析平面上兩點 (, 1 ) 和 ( 5, 9 ) 在直線 x-y-k=0 的兩側 ( -1-k ) ( 5-9-k )<0 ( 11-k ) ( 6-k )<0 ( k-11 ) ( k-6 )<0 6<k<11 又 k 為整數 k=7,8,9,10 (1) : 滿足上式的 k 有個 () : 滿足上式 k 的總和 = () : 滿足上式 k 的最小值為 7 () : 滿足上式 k 的平均為 (5) : 滿足上式的 k 有個奇數個偶數故選 ()(5) = =8.5. 下列有關循環小數的敘述中, 請選出正確的選項 (1) = () =1.1 () =1.1 (5) 0.9 = 年指考試題關鍵解析 () =1 答案 (1)()(5) 概念中心循環小數化為分數命題出處南一版選修數學下冊 ( 乙 ) 1- 無窮等比級數試題解析 (1) : = = 10 9, = = 10 9 () : = = ,1.1 =1 1 9 = 10 9 () : = = () : = = 10 9 =1.1 (5) :0.9 = 9-90 故選 (1)()(5) = 5 90 = 1 = =

5 5. 某研究所處理個人申請入學, 其甄選總成績係採計測驗 A 分數及測驗 B 分數各占 50% 50 位申請同學依甄選總成績高低排序, 錄取前 0 名現依准考證號碼順序, 將這些同學的成績列表如下 :( 例如, 第一位同學的測驗 A 分數及測驗 B 分數分別為 9 分及 8 分 ) 測驗 A 測驗 B 測驗 A 測驗 B 測驗 A 測驗 B 測驗 A 測驗 B 所有學生測驗 A 分數的平均數為 97.8, 而測驗 B 分數的平均數為 0. 現從甄選總成績測驗 A 分數及測驗 B 分數之中任選兩種成績作散佈圖, 圖甲及圖乙為其中之二 ; 兩圖中各有 50 個資料點, 每一點代表一位同學 ; 兩個橫軸與縱軸之單位長可能皆不相同請選出正確的選項 (1) 圖乙的橫軸為測驗 A 分數 () 圖乙的縱軸為甄選總成績 () 圖甲的橫軸為甄選總成績 () 若只以測驗 B 分數高低錄取 0 位同學 ( 不採計測驗 A 分數 ), 錄取的同學與以甄選總成績高低錄取的同學完全相同 (5) 甄選總成績的平均數為 97.8 及 0. 的平均數圖甲圖乙答案 (1)()()(5) 概念中心圖表散布圖的解讀平均數的求取命題出處南一版數學第二冊 - 雙變量數據分析試題解析 (1) : 由成績列表知測驗 A:100 分有 1 人,98 分有 17 人,96 分有 15 人, 9 分有人,91 分有 1 人, 顯然可知圖乙的橫軸為測驗 A 的分數 () : 由成績列表知測驗 A:91 分的同學其測驗 B:8 分甄選總成績為 =59.5 分圖乙的縱軸可知為甄選總成績 ( 或者利用測驗 A:9 分同學數據來找 ) 數學乙考科 5

6 () : 圖甲的橫軸為測驗 B 的分數, 縱軸為甄選總成績 () : 由圖甲顯然可知 B 成績最高的 0 位同學甄選總成績亦最高以測驗 B 分數高低錄取的 0 位同學與以甄選總成績高低錄取的同學完全相同 (5) : 甄選總成績的平均數 = 故選 (1)()()(5) = ( ) = 1 ( ) 為 97.8 與 0. 的平均數 6. 想要了解選民對候選人真正的支持度 ( 支持率 ) p, 四家媒體所做的民意調查結果如下表所示 : 6 10 年指考試題關鍵解析媒體 A 媒體 B 媒體 C 媒體 D p^ σ^ 0.0 σ^ B 其中 p^ 表示抽樣支持度,σ^ = p^ ( 1-p^ ) n,n 為抽樣人數請選出正確的選項 (1) 在 95% 的信心水準之下, 媒體 A 抽樣所得 p 的信賴區間為 [ 0.8, 0. ] () 如果媒體 B 抽樣的人數與媒體 A 相同, 則 σ^ B 大於 0.0 () 媒體 C 抽樣人數約為媒體 A 抽樣人數的兩倍 () 媒體 A 的抽樣支持度比媒體 B 的抽樣支持度更接近候選人真正的支持度 p (5) 在 95% 的信心水準之下, 至少有一家媒體的抽樣所得 p 的信賴區間會包含真正的支持度 p 答案 () 概念中心信賴區間信心水準命題出處南一版選修數學上冊 ( 乙 ) 1-5 抽樣與統計推論試題解析 (1) :95% 的信心水準下, 媒體 A 的抽樣誤差 e=σ^ A= 0.0=0.0 信賴區間為 [ , ]=[ 0.6, 0. ] () : 設人數為 n,σ^ A=0.0= n n > n () :σ^ A=0.0= n A,σ^ B= n σ^ B>0.0,σ^ C=0.01= n C σ^ A=σ^ C n C = n A 媒體 C 抽樣人數為媒體 A 抽樣人數的倍 () : 媒體 A 的支持度 p^=0., 媒體 B 支持度 p^=0., 但候選人真正的支持度 p 不知道媒體 A 或 B 誰比較接近真正的支持度 p, 無法判定 (5) : 在 95% 的信心水準就是說重覆抽樣 100 次, 每次都會有一個信賴區間, 大約有 95 個信賴區間會包含母群體真正的支持度 p, 但沒辦法確定此家媒體抽樣所得 p 的信賴區間會包含真正的支持度 p 故選 ()

7 7. 已知二階方陣 A= a c (1) A 的行列式 ( 值 ) 為 6 () A =5A () A -1 = - 0 () A 1 = 9 6 (5) [ 1 1 ] A=[ 5 7 ] b d 滿足 A 1 1 = 5,A 1 = 7, 請選出正確的選項答案 (1)()() 概念中心矩陣的乘法反方陣命題出處南一版數學第四冊 - 矩陣的運算 - 矩陣的應用試題解析 A = 5 7 A= = = 0 (1) :det (A)= 0 =6 () :A = 0 0 = ,5A-6I = = A =5A-6I () :A -1 = = 6-0 () :A 1 = 0 1 = 9 6 (5) :[ 1 1 ] A=[ 1 1 ] 0 =[ ] [ 5 7 ] 故選 (1)()() 三選填題 ( 占分 ) 說明.. 1. 第 A 至 C 題, 將答案畫記在答案卡之選擇 ( 填 ) 題答案區所標示的列號 (8 1). 每題完全答對給 8 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 從玫瑰菊花杜鵑蘭花山茶水仙繡球等七盆花中選出四盆靠在牆邊排成一列, 其中杜鵑及山茶都被選到, 且此兩盆花位置相鄰的排法有種答案 10 概念中心排列組合命題出處南一版數學第二冊 - 排列與組合試題解析將杜鵑和山茶花除外的五盆花取盆, 再將盆依題意排列 C 5!!=10 6 =10 數學乙考科 7

8 B. 袋中有顆白球與 1 顆黑球, 每次隨機從袋中抽出 1 球, 袋中每一球被抽到的機率皆相同, 抽出後不放回, 直到抽中黑球時遊戲結束若在第 k 次抽到黑球, 則得到 k 元獎金此遊戲可獲得獎金的數學期望值為元 ( 化為最簡分數 ) 1 答案 5 11 概念中心期望值命題出處南一版選修數學上冊 ( 乙 ) 1- 期望值變異數標準差試題解析第 1 次抽到黑球第次抽到黑球第次抽到黑球第次抽到黑球機率 1 1 = 1 1 = 1 1 1= 1 獎金 ( 元 ) 1 期望值 E (x)= = = 5 ( 元 ) C. 在坐標平面上, 設 O 為原點, 向量 a =( 1, ), b =(, 1 ), c =( 1, 1 ), d =(-1, 1 ) P 為平面上的動點, 令點集合 A={ P OP =x a +y b 且 0 x 1 且 0 y 1 }, 點集合 B={ P OP =x c +y d 且 0 x 1 且 0 y 1 }, 則區域 A B 的面積為 ( 化為最簡 1 分數 ) 答案 1 概念中心不平行的平面向量所圍成的面積命題出處南一版數學第三冊 - 面積與二階行列式試題解析將題目坐標化, 依題意作圖其中點集合 A 所圍的面積即為平行四邊形 OAFB, 點集合 B 所圍的面積即為正方形 OCGD, 所求之 A B 的面積為套色區塊 ( OCP ) L:x+y=, M:y=x, 可解出交點 P (, ), 故 OCP 面積為 = 1 = 年指考試題關鍵解析

9 第貳部分 : 非選擇題 ( 占分 ) 說明..本部分共有二大題, 答案必須寫在答案卷上, 並於題號欄標明大題號 ( 一二 ) 與子題號 ( (1) () ), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將予扣分甚至零分作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫, 且不得使用鉛筆每一子題配分標於題末一已知 log 0.010,log (1) 請以對數律計算 log 1.5 ( 不必四捨五入 ) ( 分 ) () 請以對數律計算 log ( 1.5 ) 60 ( 不必四捨五入 ) ( 分 ) () 請問 ( 1.5 ) 60 的整數部分是幾位數? 請說明理由 ( 分 ) () 請問 ( 1.5 ) 60 的整數部分中, 最左邊的數字是幾? 請說明理由 ( 分 ) 答案 (1) ;() ;() 11 位數 ;() 概念中心指數與對數的運算首數性質命題出處南一版數學第一冊 - 對數與對數定律 -5 指數與對數的應用試題解析 (1) log 1.5=log =log -log = = () log ( 1.5 ) 60 =60 log 1.5= = () log ( 1.5 ) 60 =10.566= , 又 log =0.771,log = log =0.600, 故 10+log <log ( 1.5 ) 60 <10+log log <log ( 1.5 ) 60 <log <( 1.5 ) 60 < ( 1.5 ) 60 整數部分為 11 位數 () 由 <( 1.5 ) 60 < 10 10, 可知 ( 1.5 ) 60 最左邊的數字為數學乙考科 9

10 二某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金其中每單位的甲合金是由 5 公克的 A 金屬公克的 B 金屬以及公克的 C 金屬組成而每單位的乙合金是由公克的 A 金屬 6 公克的 B 金屬與公克的 C 金屬所組成已知甲乙合金每單位的獲利分別為元若工廠此次進了 1000 公克的 A 金屬 100 公克的 B 金屬與 660 公克的 C 金屬投入生產這兩種合金試問甲乙兩種合金各應生產多少單位才能獲得最大利潤又此時利潤為多少 1 分答案甲生產 100 單位乙生產 10 單位有最大利潤 1000 元概念中心線性規劃命題出處南一版數學第三冊 - 線性規劃試題解析甲合金乙合金限制 A B C 660 單位公克設甲合金生產 x 單位乙合金生產 y 單位 5x y 1000 x 6y 100 x y 660 x 0 y 0 5x y 1000 x y 0 x y 0 x 0 y 0 目標函數 f ( x, y ) 600x 700y (x,y) f(x,y) ( 0, 0 ) ( 00, 0 ) ( 170, 50 ) ( 100, 10 ) ( 0, 170 ) 由線性規劃可知甲生產 100 單位乙生產 10 單位有最大利潤 1000 元結論從及 10 指考的考題看來命題趨勢已經回歸到基本面沒有冗長的計算及公式的記憶題目都是平易近人只要了解課本的基本觀念融會貫通就可掌握基本分數平日多培養數學能力日積月累反覆練習多多閱讀課本了解課本上每一句話所表示的數學意義每一個圖形所表示的意涵多看多做多問就能大大提升實力爭取高分年指考試題關鍵解析

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