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奇常
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數文 / 蕭健忠老師前言 ㆕月底, 推薦申請錄取的名單已經陸續公布因為推薦甄選名額的增加, 這年參加指考的考生每年都減少約㆕千, 按照這個趨勢, 今年參加指考的學生大約會有七萬㆓千, 其數學的考生可能有㆔萬㆕千為了這些我們的學生, 各位老師大家再多辛苦些測驗內容與測驗目標 98 年開始, 指定科目考試數學科在考試範圍做了大幅改變, 這有兩個考慮 : 其㆒是因應 95 暫綱施行,

2 數文 / 蕭健忠老師前言 ㆕月底, 推薦申請錄取的名單已經陸續公布因為推薦甄選名額的增加, 這年參加指考的考生每年都減少約㆕千, 按照這個趨勢, 今年參加指考的學生大約會有七萬㆓千, 其數學的考生可能有㆔萬㆕千為了這些我們的學生, 各位老師大家再多辛苦些測驗內容與測驗目標 98 年開始, 指定科目考試數學科在考試範圍做了大幅改變, 這有兩個考慮 : 其㆒是因應 95 暫綱施行, 部分內容有些調整 ; 其㆓是企圖區別指考與指考, 減少自然組學生跨考社會組的情況 98 年是第㆒屆,99 年第㆓屆, 今年才僅是第㆔屆, 能參考的樣本實在是太少 96 年大考心公布了指考的考試說明, 訂定指考的測驗內容與測驗目標, 這應該是老師們的最重要參考資料以, 我們就指考的測驗內容與測驗目標這兩項, 來看看年指考的命題方向, 作為準備今年指考的參考 ( ㆒ ) 測驗內容大考心公布指考數學數學的考試範圍如表 ( ㆒ ): 表 ( ㆒ ) 高㆒數學的指數與對數 ㆔角函數 ; 高㆓數學的向量空間的直線與平面圓與球面的方程式 ; 選修科目數學 (I): 機率與統計的部分內容 : 含獨立事件條件機率貝氏定理數學期望數學值與㆓項分配 ( 以不牽涉信賴區間與信心水準的解讀為原則 ) 等矩陣不等式 ; 選修科目數學 (II): 多項式函數的極限與導數導函數的應用多項式函數的積分高㆒數學的多項式函數指數與對數 ; 高㆓數學的排列組合機率與統計 (I); 數學選修科目數學 (I): 機率與統計 (II) 矩陣不等式數學

3 除了表之外, 大考心並將各章節分別標示為㆒顆星 (*) 兩顆星 (**) ㆔顆星 (***), ㆔顆星 (***) 主要以第㆓冊第㆔冊選修 (I) 與選修 (II) 為主, 是主要的命題範圍從這兩年的題目來看, 這㆕冊所占分數比例相當, 而且各章節都能兼顧, 試題是沒有超出㆔顆星 (***) 的範圍, 如表 ( ㆓ ): 表 ( ㆓ ) 冊別單元名稱測驗範圍 98 年指考配分 99 年指考配分第㆒冊第㆓冊第㆔冊第㆕冊選修 (I) 選修 (II) 數與坐標系 ** 數列與級數 ** 0 0 多項式 ** 指數與對數 *** 6 8 ㆔角函數的基本概念 *** ㆔角函數的性質與應用 *** 4 6 向量 *** 6 空間的直線與平面 *** 6 9 圓與球面的方程式 *** 6 3 圓錐曲線 * 排列組合 ** 0 6 機率與統計 (I) ***( 機率部分 ) 6 機率與統計 (II) ***( 機率部分 ) 4 7 矩陣 *** 不等式 *** 7 8 多項式函數的極限與導數 *** 導函數的應用 *** 多項式函數的積分 *** 3 8 ( ㆓ ) 測驗目標依據大考心公布的數學科考試說明, 有六大測驗目標, 整理如表 ( ㆔ ): 表 ( ㆔ ) 概念性知識程序性知識閱讀與表達能力連結能力推理論證的能力解決問題的能力例如 : 能辨認某概念 ; 能確認概念的基本數學原理例如 : 能讀圖查表或運用適當的公式與步驟解題例如 : 能讀懂題目, 並以數學語言表達題目的涵意及解題的過程例如 : 能融會貫通數學不同領域的概念, 或連結數學以外其他學科知識或生活經驗例如 : 能應用數學模型與邏輯思考進行正確的推理或證明例如 : 能應用數學知識選擇有效策略及推理能力解決問題, 並能檢驗結果的合理性與正確性南㆒大考教學誌指考特輯

4 寒假期間的學科能力測驗主要評量概念性知識程序性知識, 及解決問題的能力指定科目數學考科則進㆒步評量考生的解題過程表達能力, 另外, 也著重解決問題閱讀表達連結以及推理與論證的能力表 ( ㆕ ) ( 五 ) 來自 98 年及 99 年指考數學大考心試題分析參考資料 (),(3), 是命題教授自評的各題測驗目標, 提供大家參考表 ( ㆕ ) 98 年指考數學各題主要測驗目標題號 A B C ㆒㆓題數佔分概念性 4% 程序性 8% 閱讀與表達能力 3 % 連結能力 0 0% 推理論證能力 4% 解決問題能力 4 4% 表 ( 五 ) 99 年指考數學各題主要測驗目標題號 A B C D ㆒㆓題數佔分概念性 8% 程序性 6 40% 閱讀與表達能力 0 0% 連結能力 0 0% 推理論證能力 9% 解決問題能力 4 33% 3 00 年指考數的準備方向提供㆒些想法, 大部分都是老生常談 () ㆔顆星的每個單元都重要, 不可偏廢 () 表是 98 年及 99 年指考數學題型配分表, 今年應該也不會有很大的變化多選題的選項可能只有㆕個, 倒扣應該不會扣到他題分數, 每㆒題最差得 0 分, 所以每題都應該作答, 不要空白 3 數學

5 題型 98 年指考 99 年指考題數配分題數配分單選題多選題選填題非選擇題 6 6 總計 (3) 指考的難易度往往受學測影響, 今年學測偏簡單, 高分群較沒有鑑別度, 預測今年指考數學會較難 (4) 多做基本練習題, 不要做不可能考的難題甚麼是不會考的題目? 例如 : 和差化積與積化和差對數麻煩的尾數討論問題很難的排列組合 ㆔角不等式根式不等式不是多項式函數的微分與積分要用到換變數的積分有好多根號的極限等等此外, 兩圓公切線方程式圓系極限很技巧的求矩陣 n 次方, 也都是不會考的甚至, 我認為, ㆔階方陣的反方陣也不會考的 (5) 某些單元的重點很明顯, 也很容易準備例如 : 機率與統計的重點是條件機率的乘法原理貝氏定理 ; 矩陣的重點是方程組轉移矩陣 ㆓階反方陣 ( 配合方程組 ) ; 導函數的重點是 ㆒階導數的意義 - 切線斜率遞增遞減 ㆓階導數的意義 - 凹向與凹向判斷, ㆒定要與函數圖形配合 ; 定積分要注意重點是求面積旋轉體體積, 但㆒定要注意黎曼和的意義 (6) 模擬試題可以多看多做, 不過有些題目太難太偏, 有賴老師審酌學生的程度作適度的刪減 4 結語以的淺見, 希望有㆒ 兩點對老師們有所幫助雖然要得好成績, 還是需要平時實力的累積, 在剩的㆔個月, 好好抓住各單元的重點去加強, 還是可以有所作為老師們可多多鼓勵學生參考料 : () 指定科目考試數考科考試說明華民國㈨㈩㈥年㈨ () 大入考試心㈨㈩㈨年度指定科目考試試題分析數考科撰稿朱惠文華民國㈨㈩㈨年㈩㆓ (3) 大入考試心㈨㈩㈧年度指定科目考試試題分析數考科撰稿朱惠文華民國㈨㈩㈧年㈩㆓ 南㆒大考教學誌 4 指考特輯

6 第壹部分 : 選擇題 ( 占 74 分 ) ㆒ 單選題 (30 分 ) 說明 : 第至 5 題為單選題, 每題選出㆒個最適當的選項每題答對得 6 分, 答錯或劃記多於㆒個選項者倒扣.5 分, 倒扣到本大題之實得分數為零為止未作答者, 不給分亦不扣分. 設矩陣 M= 3-a --a, 其 a 是某固定實數已知矩陣 M 有反矩陣, 則㆓元㆒次聯 3x+y=ax 立方程式 x- y=ay 有幾組解? () 無解 () 組解 (3) 組解 (4) 無限多組解 (5) 資料不足, 無法判斷. 已知 log 0.30,log a 500=0.3, 設 p=log a 5000, 則 p 最接近 () 3 () 0.99 (3) 0.60 (4) 0.4 (5) 設 i= -, ( cos60 +isin60 ) 8 -( cos60 +isin60 ) 6 = () () 3 (3) 6 (4) (5) 3 4. lim x x -5x+ -4 x- ()- () 0 (3) (4) (5) 極限不存在 5 數學

7 5. 設 x y z > 0, 若 x+y+z = 3, 則 ( x+ ) ( y+ ) ( z+3 ) 之最大值為 () () 5 (3) 8 (4) 53 8 (5) ㆓ 多選題 (6 分 ) 說明 : 第 6 至 7 題, 每題各有 4 個選項, 其至少有㆒個是正確的每題 8 分, 各選項獨立計分, 每答對㆒個選項, 可得分, 每答錯㆒個選項, 倒扣分, 完全答對得 8 分 ; 整題未作答者, 不給分亦不扣分倒扣到本大題之實得分數為零為止 6. 空間 ㆔向量 u v w 皆不為零向量已知 u. v =3 且 u. w = 3, 則列哪些敘述是正確的? () v + w 是零向量 () u ( v + w ) (3) v = w (4) 可以找到兩個實數 x y, 使得 u = xv+ yw 7. 設 f (x)=ax 3 +bx +cx+d 是實係數㆔次多項式,f (x) 是 f (x) 的㆒階導函數,f (x) 是 f (x) 的㆓階導函數已知不等式 f (x)<0 的解集合為 { x x< }, 且 f (x)<0 的解集合為 { x <x<3 }, 則 () 函數 y=f (x) 在實數 R 是遞增函數 () f (x) 在 x= 處有極大值 (3) f (0)<0 (4) 4 a+d > 0 南㆒大考教學誌 6 指考特輯

8 ㆔ 選填題 (8 分 ) 說明 :A 至 D 題為選填題, 將答案寫在所標示的列號 (8 7) 內每㆒題完全答對得 7 分, 答錯不倒扣 ; 未完全答對不給分 A. 海岸邊㆒座燈塔建於垂直海平面的峭壁, 遠方有㆒艘漁船測得燈塔的仰角為 7, 漁船向著燈塔前進 0 浬, 再測得燈塔的仰角為 5, 則此時漁船離海岸邊還有 8 9 浬 ( ㆕捨五入取到整數位 ) θ sinθ cosθ tanθ B. 世界杯足球賽分組預賽, 每組有 8 支隊伍, 每支隊伍都必須與另外 7 隊比賽㆒場, 勝隊得 3 分, 敗隊得 0 分, 平手則各得分有某隊與同組的另外 7 支隊伍實力相當, 即隊與每㆒隊比賽, 勝敗平手的機率都是 3 已知隊比完 7 場後的積分是 6 分, 請問, 隊恰勝兩場的機率為 0 C. 圓 C 切直線 x+y-=0 於點 ( 0, ) 且通過點 (, 3 ), 則圓 C 的圓心坐標為 (, ) ( 以最簡分數表示 ) D. ABC, C=90, ABC 的內切圓分別與 AB AC 切於點 D E, 且 AD = 5 DE =4, 則 ABC 的面積為 = 數學

9 第貳部分 : 非選擇題 ( 占 6 分 ) 說明 : 本大題共有㆓題計算證明題, 答案務必寫在答案卷, 並於題號欄標明題號 ( ㆒ ㆓ ) 與子題號 (() ()), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將予扣分各小題配分標於題末 ㆒ 設 L 為函數 f (x)=x 3-3x -x+4 的切線, 且 L 通過原點 () 求直線 L 的方程式 ( 7 分 ) () 求直線 L 與曲線 y=f (x) 所圍成區域的面積 ( 7 分 ) ㆓ 已知正㆕面體 ABCD 的體積為 7, 若 AP = 4 AB + 4 AC + AD, () 設 M 是 BC 的點,N 是直線 AP 與平面 BCD 的交點, 證明 M N D ㆔點共線 ( 6 分 ) () 求㆕面體 PBCD 的體積 ( 6 分 ) 南㆒大考教學誌 8 指考特輯

數考科答案第壹部分 : 選擇題.. 4 3. 4. 3 5. 5 6. 7., 3 8. 9. 9 0.. 8. 3. 3 4. 7 5. 3 6. 3 7. 0 第貳部分 : 非選擇題 ㆒ () x+y=0;() 7 4 ㆓ () 參閱解析 ;() 60 解析第壹部分 : 選擇題.

10 數考科答案第壹部分 : 選擇題 , 第貳部分 : 非選擇題 ㆒ () x+y=0;() 7 4 ㆓ () 參閱解析 ;() 60 解析第壹部分 : 選擇題. 答案概念心選修 (I) 矩陣解析方程組 3x+y=ax x-y=ay ( 3-a ) x+y=0 x+(--a ) y=0, 矩陣 M= 3-a --a 即為述方程組的係數矩陣, 因為矩陣 M 有反矩陣 det ( M ) 0 方程組有唯㆒解 ( 0, 0 ). 答案 4 概念心第㆓冊指數與對數 log500 解析 log a 500=0.3 loga =0.3 p=log a 5000 p 0.3 = log5000 log500 log5000 =p loga = log0000-log log000-log = = p= 答案概念心第㆓冊㆔角函數的性質與應用解析 ( cos60 +isin60 ) 8 -( cos60 +isin60 ) 6 = ( cos60 +isin60 ) 6 ( cos60 +isin60 ) - =. ( cos0 +isin0 )- = = (- 3 ) +( i- = i 3 ) = 3 4. 答案 3 概念心選修 (II) 多項式函數的極限與導數解析將 x= 代入 x -5x+ 得 -5.+=-4<0, 所以 x -5x+ -4 lim x x- -( x -5x+ )-4 -( x -5x+6 ) =lim x =lim x- x x- -( x- ) ( x-3 ) =lim x x- =lim -( x-3 ) = x 9 數學

11 5. 答案 5 概念心選修 (I) 不等式解析 x+y+z=3 ( x+ )+( y+ )+( z+3 )=0 由算幾不等式 ( x+ )+( y+ )+( z+3 ) 3 3 ( x+ ).( y+ ).( z+3 ) ( x+ ).( y+ ).( z+3 ) 000 ( x+ ) ( y+ ) ( z+3 ) ( x+ ) ( y+ ) ( z+3 ) 7 6. 答案概念心第㆔冊空間的直線與平面解析 u.( v + w ) = u. v + u. w =3+(-3 )=0 u ( v + w ),() 正確 ()(3)(4) 不㆒定正確例如 : u =(,, ), v =(,, 0 ), w =( 0, -3, 0 ), 則 v + w = (,-, 0 ) ( 0, 0, 0 ) v = 5, w =3 v w x v +y w =x (,, 0 )+y ( 0, -3, 0 ) =( x, x-3y, 0 ) (,, ) 7. 答案, 3 概念心選修 (II) 導函數的應用解析由已知條件, 可作 f (x) 的圖形如 : A. 答案 9 概念心第㆓冊㆔角函數的基本概念解析 B. 答案如圖, 漁船先在 A 處測得燈塔的仰角為 7, 在 B 處再測得燈塔的仰角為 5, 設此時漁船離海岸邊的距離 BC =x 浬 CD 因 tan7 = CD =( x+0 ) tan7, x+0 CD tan5 = x CD = x tan5, 所以 ( x+0 ) tan7 =x tan5 x= 0tan7 tan5 -tan7 = = 概念心選修 (I) 機率與統計 (II) 解析 7 場後的積分是 6 分的得分組合有 ( 3, 3, 0, 0, 0, 0, 0 ) ( 3,,,, 0, 0, 0 ) (,,,,,, 0 ) ㆔種情形, 分別求其機率 : ( 3, 3, 0, 0, 0, 0, 0 ): 7! 機率為 5!! ( 3 )5 ( 3 ) =.( 3 )7 ( 恰勝兩場 ) ( 3,,,, 0, 0, 0 ): 7! 機率為!3!3! ( 3 ) ( =40.( 3 )7 (,,,,,, 0 ): 3 )3 ( 3 )3 () 錯誤,() 正確 (3) 正確 : 因 f (x) 在 x=0 凹向 f (0)<0 (4) 錯誤 : f (x)<0 的解集合為 {x <x<3}, 則 f (x)=3a ( x- ) ( x-3 ) =3ax -5ax+8a, 且 a>0 積分 f (x)=ax 3-5 ax +8ax+d, 又 f ()=0 a- 5 a+8a+d=0 d=- 3 a, 故 4a+d=4a- 3 5 a=- a<0 7! 機率為 6!! ( 3 )6 ( 由貝氏定理, 所求機率為 =.( 3 )7 3 ) =7.( 3 )7.( 3 )7 +40.( 3 )7 +7.( 3 ) = 8 南㆒大考教學誌 0 指考特輯

12 C. 答案 ( 3, 7 3 ) 概念心第㆔冊圓與球面的方程式解析第貳部分 : 非選擇題 ㆒ 答案 () x+y=0;() 7 4 概念心選修 (II) 多項式函數的極限與導數多項式函數的積分解析 () 設切點為 ( t, t 3-3t -t+4 ) 切線斜率為 f ( t )=3t -6t- 設圓 C 的圓心為 Q ( a, b ), 令 A ( 0, ) B (, 3 ), 又直線 L:x+y-=0 的斜率 m L =-, 因為 QA L m QA.m L =- b- a-0.(- )=- a-b=- 因為 QA = QB ( a-0 ) +( b- ) = ( a- ) +( b-3 ) a+b=3 解, 得 a= 3,b= 7 3 D. 答案 30 概念心第㆓冊㆔角函數的性質與應用解析設內切圓的圓心為 Q 半徑為 r, 作圖如 : 切線 L:y-( t 3-3t -t+4 ) =( 3t -6t- ) ( x-t ), 又 L 通過原點 ( 0, 0 ) 0-( t 3-3t -t+4 ) =( 3t -6t- ) ( 0-t ) t 3-3t -4=0 ( t- ) ( t +t+ )=0 t=, 故直線 L 的方程式為 y-( ) =( )( x- ) x+y=0 () 解方程組 y=x3-3x -x+4 x+y=0 ( x, y )=(,- ) 或 (-, ), 即切線 L 與㆔次曲線的另㆒交點為 (-, ), 如圖 : (i) AM = ( 5 ) - =4 tanθ= 4 = r= 5 tanθ= 5. = 5 AC = =3 5 (ii) BC = AC.tanθ=3 5. tanθ -tan θ. =3 5. -( ) =4 5 故 ABC 的面積 =. AC. BC = =30 直線 L 與曲線 y=f (x) 所圍成區域的面積 = ( x 3-3x -x+4 )-(-x ) dx - = ( x 3-3x +4 ) dx - =( 4 x4 -x 3 +4x ) - = 7 4 數學

13 ㆓ 答案 () 參閱解析 ;() 60 概念心第㆔冊空間的直線與平面解析 () M 是 BC 的點 AB + AC = AM, AP = 4 = ( AB + AC ) + AD AM + AD 由,P A M D ㆕點共平面 N 是直線 AP 與線段 DM 的交點 M N D ㆔點共線 () 設 AN =k AP, 由 AN =k AP=k ( AM + AD ), M N D ㆔點共線 k+ k= k=6 AN = AM + AD, 所以,N 是 DM 的點且 AN =6 AP 如圖, AG PH 分別是㆕面體 ABCD ㆕面體 PBCD 的高, 則㆕面體 PBCD 體積 : ㆕面體 ABCD 體積 = PH : AG = PN : AN =5:6 ㆕面體 PBCD 的體積 =㆕面體 ABCD 的體積 5 6 =7 5 6 =60 南㆒大考教學誌指考特輯

¾ú¥v¬ì²Ä8¦¸-«ü¦Ò«ÊŁ±.prn, page Normalize ( <4D F736F F D20BEFAA576ACECB2C438A6B82DABFCA6D2ABCAADB12E646F63> )

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