言语理解与表达

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2 目 录 核心课程篇... 3 第 01 讲 课前知识... 3 第 02 讲 直接代入... 3 第 03 讲 直接倍数... 4 第 04 讲 因子倍数... 4 第 05 讲 比例倍数... 5 第 06 讲 化归为一... 5 第 07 讲 比例假设... 6 第 08 讲 工程问题... 7 第 09 讲 统筹工效... 7 第 10 讲 十字交叉... 8 第 11 讲 极端思维... 9 第 12 讲 极端容斥... 9 第 13 讲 调和平均 第 14 讲 基本方程 第 15 讲 比例方程 第 16 讲 不定方程 不定型 第 17 讲 不定方程 确定型 第 18 讲 容斥原理 两集合标准型 第 19 讲 容斥原理 两集合图示标数型 第 20 讲 容斥原理 三集合标准型 第 21 讲 容斥原理 三集合图示标数型 第 22 讲 容斥原理 三集合整体重复型 第 23 讲 排列组合 第 24 讲 平面路径 第 25 讲 概率问题 第 26 讲 溶液问题 第 27 讲 牛吃草 第 28 讲 约数倍数 小数分数型 第 29 讲 基础行程 第 30 讲 相对速度 相遇追及 第 31 讲 相对速度 环形运动 第 32 讲 相对速度 流水行船 第 33 讲 几何长度 第 34 讲 几何面积 第 35 讲 几何体积 第 36 讲 立体切割 第 37 讲 循环比赛 第 38 讲 淘汰比赛 第 39 讲 九宫推理 第 40 讲 经济利润 核心课程例题答案

3 数字推理篇 第 41 讲 数列概述 第 讲 做差多级数列 第 44 讲 商和多级数列 第 45 讲 多重数列 第 讲 分数数列 第 讲 幂次数列 第 讲 递推数列整体趋势法 第 讲 递推数列递推联系法 第 54 讲 数列总结 数字推理例题答案

4 数量关系名师模块班 微信公众账号 : 李委明 新浪微博账号 : 李委明 核心课程篇 第 01 讲 课前知识 课前预备 微信公众账号 复习三阶段 课程框架 第 02 讲 直接代入 要点提示数学运算试题都是四选一的客观单项选择题, 将选项直接代入进行验证, 显然是一种准确 高效并且易于操作的重要方法 很多试题, 正面求解相当困难, 但结合选项来看却相当容易 答案选项 永远是整个试题的有机组成部分, 孤立地看题干而忽略选项是考生答题时最大的误区之一 直接代入法 广泛运用于多位数问题 不定方程问题 同余问题 年龄问题 周期问题 复杂行程问题 和差倍比问题等等 这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果, 还可以与其它方法进行结合使用 例 1 ( 广东 ) 一名顾客购买两件均低于 100 元的商品, 售货员在收款时错将其中一件商品标价的个位数和十位数弄反了, 该顾客因此少付了 27 元 被弄错价格的这件商品的标价不可能是 ( ) 元 A.42 B.63 C.85 D.96 例 2 ( 北京 ) 四人年龄为相邻的自然数列且最年长者不超过 30 岁, 四人年 龄之乘积能被 2700 整除且不能被 81 整除 则四人中最年长者多少岁?( ) A.30 B.29 C.28 D.27 3

5 第 03 讲 直接倍数 要点提示 倍数特性法 是一种特殊的 代入排除法, 也是代入排除法中最重要的内容 这种 方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案 熟练运用本方法最关键的要 点, 就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法 整除及余数判定基本法则 1. 一个数能被 2( 或 5) 整除, 当且仅当其末一位数能被 2( 或 5) 整除 ; 2. 一个数能被 4( 或 25) 整除, 当且仅当其末两位数能被 4( 或 25) 整除 ; 3. 一个数能被 8( 或 125) 整除, 当且仅当其末三位数能被 8( 或 125) 整除 23 9 整除及余数判定基本法则 1. 一个数能被 3 整除, 当且仅当其各位数字和能被 3 整除 ; 2. 一个数能被 9 整除, 当且仅当其各位数字和能被 9 整除 37 整除判定基本法则 1. 一个数是 7 的倍数, 当且仅当其末一位的两倍, 与剩下的数之差为 7 的倍数 ; 2. 一个数是 7 的倍数, 当且仅当其末三位数, 与剩下的数之差为 7 的倍数 示例 362 末一位 2 的 2 倍与 36 差 32 不能被 7 整除 362 不能被 7 整除 示例 末三位 047 与 12 差 35 能被 7 整除 能被 7 整除 411 整除判定基本法则 1. 一个数是 11 的倍数, 当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为 11 的倍数 ; 示例 7394 奇数位之和 7+9=16 与偶数位之和 3+4=7 做的差 16-7=9 不是 11 的倍数 7394 不能被 11 整除 例 1 ( 山西, 四川 ) 将 2 万本书籍分给某希望小学 9 个班的学生 在 9 个班中, 其中 1 个班有学生 32 人, 其余 8 个班人数相同且在 40 到 50 人之间 如每名学生分到的书本数相同, 问每人分到了多少本书?() A. 40 B. 50 C. 60 D. 80 例 2 ( 广东 ) 在某公司年终晚会上, 所有员工分组表演节目 如果按 7 男 5 女搭配分组, 则只剩下 8 名男员工 ; 如果按 9 男 5 女搭配分组, 只剩下 40 名女员工 该公司员工总数为 ( ) A.446 B.488 C.508 D.576 第 04 讲 因子倍数 要点提示 在乘法运算中, 如果涉及 小数, 那么 2 和 5 的因子可能会随着乘法而消失, 而其它 的因子, 譬如 等不会因为乘法而消失 例 1 ( 北京 ) 甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的 1.5 倍还多 40 个, 乙工 厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多 20 个 则两个工厂每天共能生产多少个零件? A. 400 B. 420 C. 440 D

6 例 2 ( 国家 ) 某汽车厂商生产甲 乙 丙三种车型, 其中乙型产量的 3 倍与丙型产量的 6 倍之和等于甲型产量的 4 倍, 甲型产量与乙型产量的 2 倍之和等于丙型产量 7 倍 则甲 乙 丙三型产量之比为 : A B C D 第 05 讲 比例倍数 要点提示 若 a : b m : n ( m, n互质 ), 则说明 a 占 m 份, 是 m 的倍数 ;b 占 n 份, 是 n 的倍数 ; a+b 占 m+n 份, 是 m+n 的倍数 ;a-b 占 m-n 份, 是 m-n 的倍数 例 1 ( 广州 ) 少年宫学习美术 舞蹈和唱歌专业的学生共有 90 人, 美术和舞蹈专业的学生比例为 2 3, 舞蹈和唱歌专业的学生比例为 3 4, 则学生人数最多的专业有多少人? A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 例 2 ( 山西 四川 ) 甲 乙 丙 3 个施工队, 乙的工效与甲 丙两队合作的工效相等, 丙的工效是甲 乙两队合作工效的四分之一 现有一项工程, 据测算, 三队合作 30 个工作日可完成 如果由甲队单独来做, 需要多少个工作日? A. 60 B. 96 C. 100 D. 150 第 06 讲 化归为一 要点提示如果试题当中没有涉及到某个具体量的大小, 并且这个具体量的大小并不影响最终结果的时候, 我们可以使用 化归为一法, 将这个量设为某一个利于计算的数值, 从而简化计算 这种方法又被为 设 1 法 或者 设 1 思想 我们一般可能在工程问题 混合配比问题 加权平均问题 流水行船问题 往返行程问题 几何问题 经济利润问题 和差倍比问题等等诸多问题当中使用 化归为一法 在 化归为一法 中, 我们一般都不设之为 1, 而是设之为 其中某些量的公倍数, 从而避免分数, 简化计算 例 1 ( 山西 四川 ) 甲 乙二人分别从 A B 两地驾车同时出发, 匀速相向而行, 甲车的速度是乙车的 2/3, 两车开出 6 小时后相遇, 相遇后以原速继续前进 问甲比乙晚几个小时到达目的地? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 核心提示使用 化归为一法 时, 大家最大的困惑是 : 什么样的量可以随便设, 什么样的量不行? 总的来说, 当某类量的大小在题目中无关重要时, 便可以随便设为一个方便计算的数字, 这样的量一般需要满足两个条件 : 5

7 1. 首先, 这类量在题目中没有提及具体数字大小 ; 2. 其次, 这类量也不能通过其他有具体数字大小的量计算得到 上面两个条件非常抽象, 我举个例子就简单了 譬如在行程问题中, 我想假设某人的速 度为 1, 那么就必须依次满足两个条件 : 1. 题目中没有提及任何速度的具体数字大小 ; 2. 题目中也没有同时提及路程和时间的具体数字大小, 因为知道了这两类量, 是可以计算出速度具体大小的 当题目中只有路程或者时间有具体大小时, 我们假设一个速度为 1 或者其他数字, 就不 会影响结果 同理, 在经济利润问题中, 如果题目中只有单价的具体数字大小, 没有件数和 总价的具体数字大小, 那么我们可以假设某个件数为 1, 或者假设总价为 1, 但不能同时做 这两件事情 例 2 ( 上海 2014B-67) 某水果店新进一批时令水果, 在运输过程中腐烂了 1/4, 卸货时又损失了 1/5, 剩下的水果当天全部售出, 计算后发现还获利 10%, 则这批水果的售价是进价的 ( ) A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.2 第 07 讲 比例假设 要点提示我们在前面的 化归为一法 中学到, 当题目中某个未知量不影响最终结果时, 为了方便计算, 我们可以将其设为某个特殊的值, 从而简化计算 然而在有些题目中, 虽然我们非常希望假设其中某个量为一个方便计算的数值, 但随意假设可能会跟题干当中的某些已知数字矛盾, 这时我们就可以使用 比例假设法 尽管假设数字可能会与已知条件矛盾, 但我们仍然可以强行假设其为某一个数字, 然后看看推出的矛盾双方之间是几倍关系, 按比例放大或者缩小即可 例 1 ( 山西 四川 ) 某市针对虚假促销的专项检查中, 发现某商场将一套茶 具加价 4 成再以 8 折出售, 实际售价比原价还高 24 元 问这套茶具的原价是多少元? A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 核心提示 设 1 法 的关键是题目当中某一类量的大小是不确定的, 从头到尾不涉及这一类量的大小 而 比例假设法 的背景是不一样的, 某一类量 的大小其实是确定的, 但这一类量在题干中只出现了 1 次 譬如本题中的实际钱数, 题干当中出现了 高 24 元 这样一个条件, 说明各种钱数实际上并不是可以随意假定的 在使用 比例假设法 的时候, 有两个关键点一定要注意 :1, 像 高 24 元 这样的条件, 不能用于推导假设量, 只能用于和假设量进行倍数比较 ;2, 像 钱数 这样的条件, 题干中只能出现一次, 譬如这里的 高 24 元, 一旦出现了两个 钱数 的条件, 比例假设法 是不能使用的 例 2 ( 联考春 ) 某有色金属公司四种主要有色金属总产量的 1/5 为铝,1/3 为铜, 镍的产量是铜和铝产量之和的 1/4, 而铅的产量比铝多 600 吨 问该公司镍的产量为 多少吨? 6

8 A.600 B.800 C.1000 D.1200 例 3 ( 北京 ) 甲 乙两工厂接到一批成衣订单, 如一起生产, 需要 20 天时间完成任务, 如乙工厂单独生产, 需要 50 天时间才能完成任务 已知甲工厂比乙工厂每天多生产 100 件成衣, 则订单总量是多少件成衣?( ) A.8000 B C D 第 08 讲 工程问题 要点提示工程问题研究工作量和工作时间 工作效率之间的关系, 是近年来考题中最重要 最常考的重点题型之一 基础公式 : 工作量 = 工作时间 工作效率 ; 核心思想 : 化归为一法 ( 设 1 法 ) 比例假设法 例 1 ( 国家 ) 某农场有 36 台收割机, 要收割完所有的麦子需要 14 天时间 现收割了 7 天后增加 4 台收割机, 并通过技术改造使每台机器的效率提升 5% 问收割完所有的麦子还需要几天?() A.3 B.4 C.5 D.6 例 2 ( 广州 ) 有一项工程, 甲公司花 6 天, 乙公司再花 9 天可以完成 ; 或者甲公司花 8 天, 乙公司再花 3 天可以完成 如果这项工程由甲公司或乙公司单独完成, 则甲公司所需天数比乙公司少 () 天 A. 15 B. 18 C. 24 D. 27 例 3 ( 浙江 ) 夏天干旱, 甲 乙两家请人来挖井, 阴天时, 甲家挖井需要 8 天, 乙家需要 10 天, 晴天时, 甲家工作效率下降 40%, 乙家工作效率下降 20%, 两家同时开工并同时挖好井, 问甲家挖了几个晴天? A.2 天 B.8 天 C.10 天 D.12 天 第 09 讲 统筹工效 要点提示 两个人协调完成两个效率不同的项目时, 一定要发挥各自的 比较优势 我们可以通 过 列表公式法 来完成 1. 不同行代表不同人 ; 2. 不同列代表不同部件 ; 3. 中间 4 个数字, 代表对应的效率 ; 4. 交叉相乘, 找出乘积较大的一对数字, 另其中的大数为 A, 小数为 B; 5. A 的左边或者右边的数字为 C; 6. 那么两个人单位时间最多能完成 A(B+C)/(A+C) 套 例 1 某服装厂有甲 乙两个生产车间, 甲车间每天能制上衣 20 件或裤子 25 条 ; 乙 7

9 车间每天能制作上衣 18 件或裤子 24 条 现在要让上衣和裤子配套 ( 一件上衣和一条裤子合 为一套衣服 ), 两个车间合做 21 天最多能制作衣服多少套? A.456 B.504 C.525 D.600 例 2 ( 广东 ) 小王和小刘手工制作一种工艺品, 每件工艺品由一个甲部件和一个乙部件组成, 小王每天可以制作 150 个甲部件, 或者制作 75 个乙部件 ; 小刘每天可以制作 60 个甲部件, 或者制作 24 个乙部件 现两人一起制作工艺品,10 天时间最多可以制作该工艺品 () 件 A. 660 B.675 C.700 D.900 例 3 ( 国考 ) 甲 乙两个工程队共同完成 A 和 B 两个项目 已知甲队单独完 成 A 项目需 13 天, 单独完成 B 项目需 7 天 ; 乙队单独完成 A 项目需 11 天, 单独完成 B 项目 需 9 天 如果两队合作用最短的时间完成两个项目, 则最后一天两队需要共同工作多长时间 就可以完成任务?( ) A. 1/12 天 B. 1/9 天 C. 1/7 天 D. 1/6 天 第 10 讲 十字交叉 要点提示 十字交叉法 实际上是一种简化方程的形式, 凡是符合下图左边方程的形式, 都可以 用右边的 十字交叉 的形式来简化 : A r b Aa Bb ( A B) r B a r A: B: a b r r-b a-r è A B = r-b a-r 很多考生疑惑哪种题型可以使用十字交叉法, 并且不知道得到的比例是哪两个量的比 例, 这时, 可以列出上面形式的式子来判断 当然这是平时就要积累的, 如果考场之上无法 判断的话, 就不建议使用这种方法, 直接列方程更快更准确 例 1 ( 山西 四川 ) 某医院药品仓库有 克浓度为 98% 的酒精 问加入 多少克蒸馏水之后, 可以稀释成浓度正好为 73% 的消毒酒精? A B C D 例 2 ( 广东 ) 在环保知识竞赛中, 男选手的平均得分为 80 分, 女选手的平均得分为 65 分, 全部选手的平均得分为 72 分 已知全部选手人数在 35 到 50 之间, 则全部选手人数为 () A.48 B.45 C.43 D.40 例 3 ( 浙江 ) 有 30 名学生, 参加一次满分为 100 分的考试, 已知该次考试 的平均分是 85 分, 问不及格 ( 小于 60 分 ) 的学生最多有几人?() A.9 人 B.10 人 C.11 人 D.12 人 8

10 第 11 讲 极端思维 要点提示 极端思维 是我们日常生活 学习和工作当中普遍运用的思维方式, 也是近年来考题的一大热点内容, 大量相关考题出现在近年的试卷当中, 各位考生务必对此引起足够的重视 当试题当中出现了 至多 至少 最多 最少 最大 最小 最快 最慢 最高 最低 等字样时, 我们通常需要考虑 极端思维法 我们需要分析题意, 构造出满足题意要求的最极端的情形, 所以从本质上来讲, 极端思维也是一种 构造设定法 例 1 ( 天津 ) 假设 7 个相异正整数的平均数是 14, 中位数是 18, 则此 7 个 正整数中最大数最大是多少?( ) A.58 B.44 C.35 D.26 例 2 ( 国考 ) 某连锁企业在 10 个城市共有 100 家专卖店, 每个城市的专卖店数量都不同 如果专卖店数量排名第 5 多的城市有 12 家专卖店, 那么专卖店数量排名最后的城市, 最多有几家专卖店?( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 例 3 ( 秋季联考 ) 公司举办的内部业务知识竞赛有若干人参加, 所有参赛者获得的名次之和为 300, 且所有人没有并列名次 其中, 销售部门 售后服务部门和技术部门参赛者获得的名次平均数分别为 和 9.2, 问其他部门获得的名次最高为多少? A. 16 B. 18 C. 20 D. 21 第 12 讲 极端容斥 要点提示 假定总数为 M, 满足三个条件的数目分别为 A B C 题型一 ( 二多 ): 请问 满足两个条件的最多有多少, 那么答案为 (A+B+C)/2, 如果不是整数, 向下取整 ( 比如 14.5 就算 14) 以下两个特例除外 : 1. 如果 A B C 不能构成三角形 ( 即最大的数字大于较小两个数字之和 ), 那么答案应该为较小两个数字之和 ; 2. 如果 A+B+C>2M, 那么答案为 3M-(A+B+C) 以上两个特例判断起来非常简单, 出现的概率并不高 题型二 ( 三少 ): 请问 满足三个条件的最少有多少, 答案为 (A+B+C)-2M 例 1 ( 浙江 ) 一个班里有 30 名学生, 有 12 人会跳拉丁舞, 有 8 人会跳肚皮 舞, 有 10 人会跳芭蕾舞 问至多有几人会跳两种舞蹈? A.12 人 B.14 人 C.15 人 D.16 人 例 2 ( 深圳 ) 一小偷藏匿于某商场, 三名保安甲 乙 丙分头行动搜查商场 的 100 家商铺 已知甲检查过 80 家, 乙检查过 70 家, 丙检查过 60 家, 则三人都检查过的 商铺至少有 ( ) 家 9

11 A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 第 13 讲 调和平均 要点提示 调和平均数公式 : a = 2xy x + y 例 1 ( 北京 ) 某人开车从 A 镇前往 B 镇, 在前一半路程中, 以每小时 60 公里的速度前进 ; 而在后一半的路程中, 以每小时 120 公里的速度前进 则此人从 A 镇到达 B 镇的平均速度是每小时多少公里? A. 60 B. 80 C. 90 D. 100 例 2 商店购进甲 乙两种不同的糖所用的钱数相等, 已知甲种糖每千克 6 元, 乙种糖每千克 12 元 如果把这两种糖混在一起成为什锦糖, 那么这种什锦糖每千克的成本是多少元?( ) A.7 B.8 C.9 D.10 例 3 ( 河北 ) 浓度为 15% 的盐水若干克, 加入一些水后浓度变为 10%, 再加 入同样多的水后, 浓度为多少? A.9% B.7.5% C.6% D.4.5% 例 4 ( 黑龙江 ) 某人沿电车线路匀速行走, 每 12 分钟有一辆电车从后面追 上, 每 4 分钟有一辆电车迎面开来, 假设两个起点站的发车间隔是相同的, 求这个发车间隔 A. 2 分钟 B. 4 分钟 C. 6 分钟 D. 8 分钟 例 5 有一辆自行车, 前轮和后轮都是新的, 并且可以互换, 轮胎在前轮位置可以行驶 5000 千米, 在后轮位置可以行驶 3000 千米, 问使用两个新轮胎, 这辆自行车最多可以行多远? A.4250 B.3000 C D.3750 第 14 讲 基本方程 要点提示方程与方程组, 是解答文字应用题的重要工具 尽管数学运算的很多试题不需要也不应该使用方程的方法来解答, 因为那样可能会耗去大量的精力, 但仍然有着相当一大部分问题, 采用方程法才是最简单的 如果论及数学运算 第一重要的方法, 方程法 当之无愧 数学运算的大部分题型, 都可以使用 方程法 来解答 其中, 盈亏问题 鸡兔同笼问题 和差倍比问题 和 牛吃草问题 一般都应该使用 方程法 ; 除此之外, 经济利润问题 浓度问题 年龄问题 行程问题 等差数列 平均数问题 容斥问题 工程问题 等等题型当中的相当一部分试题也需要利用方程来求解 10

12 例 1 ( 上海 2014A-75) 年初, 甲 乙两种产品的价格比是 3 5, 年末, 由于成本上 涨, 两种产品的价格都上涨了 9 元, 价格比变成了 2 3, 则年初时乙的价格比甲高出 ( ) 元 A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 核心提示设未知数的时候, 应该首先考虑未知数设出来要便于理解, 便于表示其它量, 便于列出方程 在某些情况下, 不一定要直接设所求量, 也可以设中间量为 x, 还可以设某种倍数关系 ( 如 12x 5x 等 ) 的未知数, 以消除方程当中的分数形式 例 2 甲 乙 丙 丁共有 48 本书, 若在他们原有基础上做如下变动 : 甲增加 3 本, 乙减少 3 本, 丙增加到原来的 3 倍, 丁减少为原来的 1/3, 此时四人的书一样多, 则原有书本最多的人有 ( ) 本书 A.18 B.24 C.27 D.36 核心提示 在求解较复杂方程组的时候 ( 特别是在对称未知数的情形下 ), 往往需要我们进行 整 体代换, 以提高解方程的效率和速度 例 3 ( 山西 四川 ) 有红 黄 蓝三种颜色的木棍若干根, 所有木棍的长度都是整数厘米, 且同一颜色的木棍长度也相同 已知用两红两黄 两红两蓝和两黄两蓝的木棍拼成的长方形, 面积分别为 20,28 和 35 平方厘米 问蓝色木棍的长度是多少厘米? A. 8 B. 7 C. 5 D. 4 第 15 讲 比例方程 要点提示当方程出现比例形式的时候, 可能可以通过下面的转换进行简化 : a b = c d Þ a b = c d = a + c b + d = a - c b - d ( 当两个分子或两个分母的和或差为常数时 ) 例 1 ( 江苏 2014B-34) 有甲 乙两瓶盐水, 其浓度分别为 16% 和 25%, 质量分别为 600 克和 240 克, 若向这两瓶溶液中加入等量的水, 使他们的浓度相同, 则需要向这两瓶盐 水中分别加入的水量为 ( ) A.320 克 B.360 克 C.370 克 D.377 克 例 2 ( 国考 ) 某单位原有 45 名职工, 从下级单位调入 5 名党员职工后, 该单位的党员人数占总人数的比重上升了 6 个百分点 如果该单位又有 2 名职工入党, 那么该单位现在的党员人数占总人数的比重为多少?( ) A. 50% B. 40% C. 70% D. 60% 11

13 第 16 讲 不定方程 不定型 要点提示在方程组中, 方程的个数如果少于未知数的个数, 并且没有譬如 正整数 之类的限制, 说明未知数是不能完全确定下来的 在这种情形下, 我们一般可以直接设定一种最特殊的情况, 从而简化计算过程 例 1 ( 深圳 ) 小刚买了 3 支钢笔,1 个笔记本,2 瓶墨水花去 35 元钱, 小强在同一家店买同样的 5 支钢笔,1 个笔记本,3 瓶墨水花去 52 元钱, 则买 1 支钢笔,1 个笔记本,1 瓶墨水共需 () 元 A.9 B.12 C.15 D.18 例 2 ( 江苏 2013A-26) 一项工程, 甲 乙合作 12 天完成, 乙 丙合作 9 天, 丙 丁 合作 12 天完成 如果甲 丁合作, 则完成这项工程需要的天数是? A. 16 B. 18 C. 24 D. 26 例 3 某工程, 甲队单独做所需天数是乙 丙两队合作天数的 a 倍, 乙队单独所需天数是甲 丙两队合作天数的 b 倍, 丙队单独做所需天数是甲 乙两队合作天数的 c 倍, 则 的值是 ( ) a 1 b 1 c 1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 17 讲 不定方程 确定型 核心提示如果两个未知数只有一个方程关系 ( 或者是方程组化成这种形式 ), 这两个未知数是不能完成确定下来的 但如果这些未知数被限定在 正整数 范围内, 我们便可以利用整数的倍数关系和大小范围进行代入试值, 利用类似 枚举 的办法确定唯一满足题目要求的解 上一题型 多元不定方程组 与本题型 二元不定方程 的区别在于 : 前者方程的具体解是不唯一 不确定的, 但不论是哪种解, 题目所求的数字是确定的 ; 后者直接从方程来看解也是不确定的, 但加上 正整数 类似的条件后, 其解就唯一确定了 例 1 ( 广东 ) 办公室工作人员使用红 蓝两种颜色的文件袋装 29 份相同的文件 每个红色文件袋可以装 7 份文件, 每个蓝色文件袋可以装 4 份文件 要使每个文件袋都恰好装满, 需要红色 蓝色文件袋的数量分别为 ( ) 个 A.1 6 B.2 4 C.3 2 D.4 1 例 2 ( 浙江 ) 某班有 56 名学生, 每人都参加了 a b c d e 五个兴趣班中的其中一个 已知有 27 人参加 a 兴趣班, 参加 b 兴趣班的人数第二多, 参加 c d 兴趣班的人数相同,e 兴趣班的参加人数最少, 只有 6 人, 问参加 b 兴趣班的学生有多少个?() A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个 12

14 例 3 ( 国考 ) 小王 小李 小张和小周 4 人共为某希望小学捐赠了 25 个书包, 按照数量多少的顺序分别是小王 小李 小张 小周 已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和 ; 小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和 问小王捐赠了多少个书包?( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第 18 讲 容斥原理 两集合标准型 要点提示对于两集合的容斥原理题, 如果题目涉及的是这样五个量 1 满足条件 A 的数目 2 满足条件 B 的数目 3 同时满足条件 A 和 B 的数目 4 条件 A B 都不满足的数目 5 总数, 那么选用 两集合标准型 的标准公式作答 公式如下 : 满足 A+ 满足 B- 都满足 = 总数 - 都不满足 例 1 ( 河北 ) 某班有 60 人, 参加物理竞赛的有 30 人, 参加数学竞赛的有 32 人, 两科都没有参加的有 20 人 同时参加物理 数学两科竞赛的有多少人? A.28 人 B.26 人 C.24 人 D.22 人 例 2 ( 浙江 ) 某班对 50 名学生进行体检, 有 20 人近视,12 人超重,4 人既 近视又超重, 该班有多少人既不近视又不超重? A. 22 人 B. 24 人 C. 26 人 D. 28 人 例 3 ( 春季联考 ) 野生动物保护机构考查某圈养动物的状态, 在 n(n 为正整数 ) 天中观察到 :1 有 7 个不活跃日 ( 一天中有出现不活跃的情况 );2 有 5 个下午活跃 ; 3 有 6 个上午活跃 ;4 当下午不活跃时, 上午必活跃 则 n 等于 : A.7 B.8 C.9 D.10 第 19 讲 容斥原理 两集合图示标数型 要点提示涉及到两个集合的容斥原理问题时, 如果题目提及 只满足某 1 个条件 的数目, 那么我们无法通过标准的两集合容斥原理公式得到答案 这时, 推荐大家利用简洁的 文氏图 标数得到所求结果 图示标数的关键是 : 从最中间 两个条件都满足 的数字入手 例 1 ( 北京 ) 一批游客中每人都去了 A B 两个景点中至少一个 只去了 A 的游客和没去 A 的游客数量相当, 且两者之和是两个景点都去了的人数的 3 倍 则只去一个景点的人数占游客总人数的比重为 ( ) A. 2/3 B. 3/4 C. 4/5 D. 5/6 例 2 ( 国考 ) 工厂组织职工参加周末公益活动, 有 80% 的职工报名参加, 报 名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为 2:1, 两天的活动都报名参加的人 数为只报名参加周日活动的人数的 50% 问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的 13

15 人数的? A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 第 20 讲 容斥原理 三集合标准型 要点提示对于三集合的容斥原理题, 关于满足两个条件的描述, 如果题目只涉及 1 满足条件 A B 的数目 2 满足条件 B C 的数目 3 满足条件 C A 的数目, 一般选用 三集合标准型 的标准公式作答 ; 特别注意 : 上式左边代表至少满足三个条件之一的情况, 也等于总数减去三个条件都 不满足的情况 例 1 ( 安徽 ) 如图所示 :A B C 分别是面积为 的三张不同形状的卡片, 它们部分重叠放在一起盖在桌面上, 总共盖住的面积为 280, 且 A 与 B B 与 C C 与 A 重叠部分的面积分别是 问阴影部分的面积是多少?( ) A.15 B.16 C.17 D.18 例 2 ( 2012 年 421 联考 -54) 某公司招聘员工, 按规定每人至多可投考两个职位, 结果共 42 人报名, 甲 乙 丙三个职位报名人数分别是 22 人 16 人 25 人, 其中同时报甲 乙职位的人数为 8 人, 同时报甲 丙职位的人数为 6 人, 那么同时报乙 丙职位的人数为 : A. 7 人 B. 8 人 C. 5 人 D. 6 人 第 21 讲 容斥原理 三集合图示标数型 要点提示对于三集合的容斥原理题, 当题目条件不能直接代入标准公式时 ( 一般会涉及 只满足某 A 的数目 或者 只满足 A B 的数目 ), 我们可以考虑利用图示配合, 标数解答 1. 特别注意 满足某条件 和 仅满足某条件 的区分 ; 2. 特别注意有没有 三个条件都不满足 的情形 ; 3. 标数时, 注意由中间向外围标记 例 1 外语学校有英语 法语 日语教师共 27 人, 其中只能教英语的有 8 人, 只能教日语的有 6 人, 能教英 日语的有 5 人, 能教法 日语的有 3 人, 能教英 法语的有 4 人, 三种都能教的有 2 人, 则只能教法语的有多少人 ( ) A.4 人 B.5 人 C.6 人 D.7 人 例 2 ( 春季联考 ) 有 135 人参加某单位的招聘,31 人有英语证书和普通话 证书,37 人有英语证书和计算机证书,16 人有普通话证书和计算机证书, 其中一部分人有 三种证书, 而一部分人则只有一种证书 该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有 14

16 资格参加面试 问至少有多少人不能参加面试? A.51 B.50 C.53 D.52 第 22 讲 容斥原理 三集合整体重复型 要点提示对于三集合的容斥原理题, 如果题目涉及 满足一个条件的数目 和 满足两个条件的数目, 只给了我们一个总数而不是分项的数字, 一般选用 三集合整体重复型 的公式来作答 B 假设满足三个条件的元素数量分别为 A B C, 而至少满足三个条件之一的元素的总量为 W 其中: 满足一个条件的元素数量为 x, 满足两个条件的元素数量为 y, 满足三个条件的元素数量为 z, 根据右图可以得到下面两个等式 : W x y z A B C x 1 y 2 z 3 A C 从图中很明显可以看出,x 和 y 都分别包含 3 个部分, 是这 3 个部分的总和 因此, 当题目关心的是这样的总和, 而不是各个单独部分数值时, 往往就应该用这两个公式 本题型, 是现在容斥原理的难点 重点和常考点 例 1 ( 联考春 ) 某单位利用业余时间举行了 3 次义务劳动, 总计有 112 人次参加 在参加义务劳动的人中, 只参加 1 次 参加 2 次和 3 次全部参加的人数之比为 5:4: 1 问该单位共有多少人参加了义务劳动? A.70 B.80 C.85 D.102 例 2 ( 广东 ) 为丰富职工业余文化生活, 某单位组织了合唱 象棋 羽毛球三项活动 在该单位的所有职工中, 参加合唱活动有 189 人, 参加象棋活动有 152 人, 参加羽毛球活动有 135 人, 参加两种活动的有 130 人, 参加三种活动的有 69 人, 不参加任何一种活动的有 44 人 该单位的职工人数为 () A.233 B.252 C.321 D.520 例 3 ( 国家 ) 某企业调查用户从网络获取信息的习惯, 问卷回收率为 90% 调查对象中有 179 人使用搜索引擎获取信息,146 人从官方网站获取信息,246 人从社交网络获取信息, 同时使用这三种方式的有 115 人, 使用其中两种的有 24 人, 另有 52 人这三种方式都不使用, 问这次调查共发出了多少份问卷?() A.310 B. 360 C.390 D. 410 第 23 讲 排列组合 要点提示 15

17 排列公式 : A n m = 组合公式 :C n m = n! = n (n -1) (n - 2) (n - m+1) (n - m)! n! n (n -1) (n - 2) (n - m+1) = (n - m)! m! m (m-1) (m - 2) 1 逆向公式 : 满足条件的情况数 = 总情况数 - 不满足条件的情况数 例 1 ( 山西, 四川 ) 某宾馆有 6 个空房间,3 间在一楼,3 间在二楼 现有 4 名客人要入住, 每人都住单间, 都优先选择一楼房间 问宾馆共有多少种安排?() A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 例 2 ( 秋季联考 ) 某单位有职工 15 人, 其中业务人员 9 人 现要从整个单 位选出 3 人参加培训, 要求其中业务人员的人数不能少于非业务人员的人数 问有多少种不 同的选人方法?( ) A. 156 B. 216 C. 240 D. 300 例 3 ( 山东 ) 某单位要从 8 名职员中选派 4 人去总公司参加培训, 其中甲和 乙两人不能同时参加 问有多少种选派方法? A.40 B.45 C.55 D.60 第 24 讲 平面路径 要点提示在平面上, 我们经常会碰到处理行走路径的问题 1. 如果确定起点和终点, 按照指定规则, 求路径的数量, 那么我们可以用 逐点标数 的方法求解 ; 2. 如果给定图形, 要求走完所有道路, 求最短路径, 那么我们可以用 一笔画 的知识解决 例 1 ( 安徽 ) 如图所示为两排蜂房, 一只蜜蜂从左下角的 1 号蜂房到 8 号蜂房, 假设只能向右 右上或右下爬行, 则不同的走法有 ( ) A.16 种 B.18 种 C.21 种 D.24 种 例 2 ( 山东 )A B C 三地的地图如右图所示, 其中 A 在 C 正北,B 在 C 正东, 连线处为道路 如要从 A 地到达 B 地, 且途中只能向南 东和东南方向行进, 有多少种不同的走法 :( ) A.9 B.11 C.13 D.15 例 3 ( 黑龙江 ) 某公园的道路由如右所示的 5 个正六 边形组成, 每个六边形每条边的长度都是 100 米, 保安员从道路上某一 16

18 点出发巡视完所有的道路至少要走多少米? A.2600 B.2800 C.3000 D.2300 核心提示图形上面的任何一个点, 如果是 奇数 条线与之相连, 则这个点被称为 奇点 ( 如上图中红点, 都是 3 条线段与之相连 ), 这是 一笔画 里最基本的概念, 也是图形推理当中非常重要的知识点 没有 奇点 的图形, 可以一笔画出, 从任何一点出发, 最后回到这个点 ; 有 2 个 奇点 的图形, 也可以一笔画出, 从其中一个奇点出发, 最后回到另外一个奇点 ; 有 4 个或以上个 奇点 的图形, 不能一笔画出, 有 2N 个奇点, 则需要 N 笔才能画出 不存在奇数个 奇点 的图形 例 4 ( 春季联考 ) 如图, 某三角形展览馆由 36 个小三角形展室组成, 每两 个相邻展室 ( 指有公共边的小三角形 ) 都有门相通, 若某参观者不愿返回已参观过的展室 ( 通 过每个房间至多一次 ), 那么他至多能参观多少个展室? A.33 B.32 C.31 D.30 第 25 讲 概率问题 要点提示 1. 基本公式 : 概率 = 满足条件的情况数 总的情况数 2. 分步公式 : 分步概率 = 满足条件的每个步骤概率之积 3. 分类公式 : 总体概率 = 满足条件的各种情况概率之和 4. 逆向公式 : 某条件成立概率 =1- 该条件不成立的概率 ; 例 1 ( 春季联考 ) 某单位共有四个科室, 第一科室 20 人, 第二科室 21 人, 第三科室 25 人, 第四科室 34 人, 随机抽取一人到外地考察学习, 抽到第一科室的概率是多少? A.0.3 B.0.24 C.0.2 D.0.15 例 2 ( 山西 四川 ) 在一次产品质量抽查中, 某批次产品被抽出 10 件样品进行检验, 其中恰有两件不合格品, 如果对这 10 件样品逐件进行检验, 则这两件不合格品恰好在第五次被全部检出的概率是 : A. 4/45 B. 2/45 C. 1/45 D. 1/90 例 3 ( 春季联考 ) 某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制 假设甲选手在每局 都有 80% 的概率赢乙选手, 那么这场单打比赛甲有多大的概率战胜乙选手 : 17

19 A B C D 例 4 ( 吉林 2014 乙 -56) 学校要举行夏令营活动, 由于名额有限, 需要在符合条件的 5 个同学中通过抓阄的方式选择出两个同学去参加此次活动 于是班长就做了 5 个阄, 其中两个阄上写有 去 字, 其余三个阄空白, 混合后 5 个同学依次随机抓取 计算第二个同学抓到 去 字阄的概率为 A. 0.4 B C. 0.2 D. 0.1 例 5 ( 春季联考 ) 某次抽奖活动在三个箱子中均放有红 黄 绿 蓝 紫 橙 白 黑 8 种颜色的球各一个, 奖励规则如下 : 从三个箱子中分别摸出一个球, 摸出的 3 个球均为红球的得一等奖, 摸出的 3 个球中至少有一个绿球的得二等奖, 摸出的 3 个球均为彩色球 ( 黑 白除外 ) 的得三等奖 问不中奖的概率是多少?( ) A. 在 0~25% 之间 B. 在 25~50% 之间 C. 在 50~75% 之间 D. 在 75~100% 之间 第 26 讲 溶液问题 溶液 = 溶质 + 溶剂 ; 浓度 = 溶质 溶液 ; 溶质 = 溶液 浓度 ; 溶液 = 溶质 浓度 要点提示 例 1 ( 江苏 2014C-32) 有两瓶质量为 1 千克的酒精溶液, 浓度分别为 70% 和 45%, 先从两瓶中各取部分混合成 1 千克的酒精溶液, 测得浓度恰好为 50%, 再将这两瓶中剩下的溶液混合, 则取得酒精浓度是 () A. 50% B. 55% C. 60% D. 65% 例 2 ( 安徽 ) 在某状态下, 将 28g 某种溶质放入 99g 水中恰好配成饱和溶 液, 从中取出 1/4 溶液加入 4g 溶质和 11g 水, 请问此时浓度变为多少?( ) A % B % C % D % 例 3 ( 山东 ) 甲杯中有浓度为 20% 的盐水 1000 克, 乙杯中有 1000 克水 把甲杯中盐水的一半倒入乙杯中, 混合后再把乙杯中盐水的一半倒入甲杯中, 混合后又把甲杯中的一部分盐水倒入乙杯中, 使得甲乙两杯中的盐水同样多 问最后乙杯盐水的浓度为多少? A.6% B.7% C.8% D.9% 第 27 讲 牛吃草 表格法 解题方法点津 表格法解牛吃草问题, 本质上是用方程的方法的一种简化形式, 其操作的过程实际上就 是原来解方程组的过程 18

20 下面我们介绍一下表格各个位置数字的含义 : N3 N3-x T3 N1 N1-x T1 N1 T1 N2 N2-x T2 N2 T2 x= 右两项之商上两项之差上两项之差 上面第一列代表牛吃草问题的 牛数 ( 字母 N 表示 ), 第三列代表 时间 ( 字母 T 表 示 ) 对于基础型的 牛吃草问题, 表格法 具体操作步骤是这样的 : 1. 把上面表格中带框的 5 个数字按照题目条件填进去, 注意四个细节 说是 列表法, 实际考试的时候不一定要画出表格来, 按照表格位置写数字就行 ; 第一列填 牛数, 第三列填 时间, 中间空出一列来 ; 已知的两种情况填在第二 三行, 未知的需要求解的那种情况填在第一行 ; 未知的第一行中, 还可能是 N 3 未知, 而 T 3 已知, 那么就在 T 3 的位置填上其数字, 而将 N 3 的位置空出来 2. 将第二 三行已经的四个数字两两对应相乘, 放在第四列, 如上表所示 ; 3. 将上一步得到的两个数字相减, 放在第四列最后一行, 再将第三列两个已知的时间相减, 放在第三列的最后一行, 如上表所示 ; 4. 将上一步得到的两个数字相除, 用第四列数字除以第三列数字, 放在第二列的最后一行, 这个数字就是 x, 代表 草长速度 ; 5. 将第一列的三个 牛数 都减去 x, 放在第二列相应位置, 这时, 前三行的第二 三列相乘应该是一样的数值, 即 (N 3-x) T 3=(N 1-x) T 1=(N 2-x) T 2=y, 而这个数值不是别的, 正是 原有草量, 利用这个条件便可以求出我们需要的变量 例 1 ( 河北 ) 有一个水池, 池底不断有泉水涌出, 且每小时涌出的水量相同 现要把水池里的水抽干, 若用 5 台抽水机 40 小时可以抽完, 若用 10 台抽水机 15 小时可以抽完 现在用 14 台抽水机, 多少小时可以把水抽完? A.10 小时 B.9 小时 C.8 小时 D.7 小时 例 2 一只船发现漏水时, 已经进了一些水, 水匀速进入船内, 如果 10 人掏水,3 小时掏完 ; 如 5 人掏水,8 小时掏完 如果要求 2 小时掏完, 要安排多少人掏水? A.11 B.12 C.13 D.14 例 3 ( 国家 ) 某河段中的沉积河沙可供 80 人连续开采 6 个月或 60 人连续开采 10 个月 如果要保证该河段河沙不被开采枯竭, 问最多可供多少人进行连续不间断的开采?( 假定该河段河沙沉积的速度相对稳定 ) A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 核心提示 如果解方程组算得 x 为负, 说明存量不是自然增长而是自然消亡的 例 4 ( 贵州 ) 由于天气干旱, 村委会决定用抽水机抽取水库中剩余的水浇 灌农田 假如每天水库的水以均匀的速度蒸发, 经计算, 若用 20 台抽水机全力抽水, 水库 19

21 中水可用 5 周 ; 若用 16 台抽水机, 水库中水可用 6 周 ; 若用 11 台抽水机, 水库中的水可用 多少周?( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 例 5 ( 联考春 ) 药厂使用电动研磨器将一批晒干的中药磨成药粉 厂长决定从上午 10 点开始, 增加若干台手动研磨器进行辅助作业 他估算如果增加 2 台, 可在晚上 8 点完成, 如果增加 8 台, 可在下午 6 点完成 问如果希望在下午 3 点完成, 需要增加多少台手工研磨器? A.20 B.24 C.26 D.32 例 6 ( 河北 ) 某医院有一氧气罐匀速漏气, 该氧气罐充满后同时供 40 人吸氧,60 分钟后氧气耗尽, 再次充满该氧气罐同时供 60 个人吸氧, 则 45 分钟后氧气耗尽 问如果该氧气罐充满后无人吸氧, 氧气耗尽需要多长时间?( ) A. 一个半小时 B. 两个小时 C. 两个半小时 D. 三个小时 第 28 讲 约数倍数 小数分数型 要点提示我们在研究 最大公约数 与 最小公倍数 的时候, 一般都是在整数范围内进行讨论 实际操作当中, 我们还可能碰到小数或者分数的情形, 那么我们先把所有的数字全部化为最简分数的形式, 则 : 1. 如果求最大公约数, 那就是 分子的最大公约数 / 分母的最小公倍数 ; 2. 如果求最小公倍数, 那就是 分子的最小公倍数 / 分母的最大公约数 例 1 如图, 木具 XYZ 在 Y 处拐弯,XY=64/25 米,YZ=56/15 米, 在木具上等距打孔, 要求 X,Y,Z 处各打一个孔, 请问这个木具上最少要打多少个孔? A. 24 B. 35 C. 60 D. 64 X Y 例 2 老李给自家院子搞绿化, 从院门口左边开始, 贴着院墙每隔 8/3 米种紫叶矮樱, 每隔 40/9 米种金叶榆, 每隔 24/5 米种龙爪槐, 每隔 8 米种银杏, 种完发现只有起点和终点 ( 即院门口两边 ) 四种植物重合种在一处, 则院墙周长 ( ) 米 A. 72 B. 120 C. 160 D. 180 Z 第 29 讲 基础行程 要点提示 行程问题 是历年考察的重点题型, 也是每次考试几乎都会涉及的 常考题型, 更是考生望而生畏的 难点题型 核心公式 : 路程 = 速度 时间 ; 常用方法 : 列方程 解方程 ; 解题关键 : 除了一部分固定公式的题型, 行程问题都是要求大家按照方程的方法来解答, 20

22 而不是构造一些看似巧妙的炫丽方法 这是因为行程问题变化比较多, 过程可能会比较复杂, 但唯一不变的是两个维度的关系 :1, 每一段行程单元都有 S=vt;2, 不同行程单元之间,S 之间有关系,v 之间有关系,t 之间也有关系 只要把握住这两个维度的关系, 方程 ( 组 ) 是很容易列出来的 例 1 ( 四川 ) 甲与乙同时从 A 地出发匀速跑向 B 地, 跑完全程分别用了 3 小时和 4 小时, 下午 4 点时, 甲正好位于乙和 B 地之间的中点上, 问两人是下午什么时候出发的? A.1 点 24 分 B. 1 点 30 分 C. 1 点 36 分 D. 1 点 42 分 核心提示很多考生不知道什么时候可以把一个变量设成任意一个数字以简化计算 在行程问题里, 如果 S/v/t 三种变量只有一种出现了具体的大小, 那么另外两个变量, 我们可以任意假设其中一个为任意值 ; 如果这三种变量中有两种出现了具体的大小, 那么我们就不能再这么做了 例 2 ( 深圳 ) 一辆汽车将一批货物从 A 地运送到 B 地, 又从 B 地运送另一批货物返回 A 地, 往返共用了 13.5 小时, 去时用的时间是回来时用的时间的 1.25 倍, 去的速度比返回时的速度每小时慢 6 千米 A B 两地之间距离为多少千米? A.150 B.160 C.170 D.180 例 3 ( 青海 ) 自行车运动员在 400 米长的环形跑道上骑行了两圈, 他前一半 时间的平均速度是 6 米 / 秒, 后一半时间的平均速度是 10 米 / 秒, 问他第一圈用时为多少秒? A.50 B.60 C.70 D.80 第 30 讲 相对速度 相遇追及 要点提示相遇问题 : 相遇距离 =( 大速度 + 小速度 ) 相遇时间追及问题 : 追及距离 =( 大速度 - 小速度 ) 追及时间背离问题 : 背离距离 =( 大速度 + 小速度 ) 背离时间 例 1 ( 北京 ) 小王乘坐匀速行驶的公交车, 和人行道上与公交车相对而行 匀速行走的小李相遇,30 秒后公交车到站, 小王立即下车与小李同一方向匀速快步行走 已知他行走的速度比小李的速度快一倍但比公交车的速度慢一半, 则他多久之后追上小李? A.3 分钟 B.2 分钟 30 秒 C.2 分钟 D.1 分钟 30 秒 例 2 ( 深圳 ) 小王 小李 小张三人决定各自开车自驾游从 S 市出发前往 L 市 小张最先出发, 若小李比小张晚出发 10 分钟, 则小李出发后 40 分钟追上小张 ; 若小王又比小李晚出发 20 分钟, 则小王出发后 1 小时 30 分钟追上小张 ; 假设 S 市与 L 市相距足够远, 且三人均匀速行驶, 则小王出发后 () 小时追上小李 A.1 B.2 C.3 D.5 21

23 第 31 讲 相对速度 环形运动 要点提示 反向运动 : 第 N 次相遇路程和为 N 个周长, 环形周长 =( 大速度 + 小速度 ) 相遇时间 同向运动 : 第 N 次相遇路程差为 N 个财长, 环形周长 =( 大速度 - 小速度 ) 相遇时间 例 1 ( 深圳 ) 甲 乙二人从同一地点同时出发, 绕西湖匀速背向而行,35 分钟后甲 乙二人相遇 已知甲绕西湖一圈需要 60 分钟, 则乙绕西湖一圈需要 () 分钟 A.25 B.70 C.80 D.84 例 2 ( 联考春 ) 环形跑道长 400 米, 老张 小王 小刘从同一地点同向出发, 围绕跑道分别慢跑 跑步和骑自行车 已知三人的速度分别是 1 米 / 秒 3 米 / 秒和 6 米 / 秒, 问小王第 3 次超越老张时, 小刘已经超越了小王多少次? A.3 B.4 C.5 D.6 第 32 讲 相对速度 流水行船 要点提示 顺流路程 = 顺流速度 顺流时间 = ( 船速 + 水速 ) 顺流时间 逆流路程 = 逆流速度 逆流时间 = ( 船速 - 水速 ) 逆流时间 例 1 ( 吉林 2015A-92) 两艘船相对划行, 一船从 A 到 B 逆水, 结果所用时间相同 ( 假 设水流速 行船速恒定, 快船速是慢船速 2 倍 ), 则慢船速是水流速的几倍 A.3 B.2 C.1 D.4 例 2 ( 黑龙江 ) 一艘船往返于甲乙两港口之间, 已知水速为 8 千米 / 时, 该船 从甲到乙需要 6 小时, 从乙返回甲需 9 小时, 问甲乙两港口的距离为多少千米? A.216 B.256 C.288 D.196 例 3 ( 天津 ) 小船顺流而下航行 36 公里到达目的地 已知小船返回时多用了 1 小时 30 分钟, 小船在静水中速度为 10 公里 / 时, 问水流速度是多少? A.8 公里 / 时 B.6 公里 / 时 C.4 公里 / 时 D.2 公里 / 时 第 33 讲 几何长度 几何周长核心公式正方形 C 正方形 =4a; 长方形 C 长方形 =2(a+b); 圆形 C 圆 =2πR; 扇形 C 扇形 = n 360 2πR+2R 例 1 ( 河北 ) 如图,ABCD 为矩形,AB=4,BC=3, 边 CD 在直线 L 上, 将矩形 ABCD 沿直线 L 作无滑动翻转, 当点 A 第一次翻转到点 A1 位置时, 点 A 经过的路线长为 : 22

24 B A C 0 B 0 B 1 A1 C D A 0 C 1 D 1 L A.7π B.6π C.3π D.3π/2 例 2 ( 春季联考 ) 一只挂钟的秒针长 30 厘米, 分针长 20 厘米, 当秒针的顶 点走过的弧长约为 9.42 米时, 分针的顶点约走过的弧长为多少厘米? A.6.98 B C D 第 34 讲 几何面积 几何面积核心公式正方形 S 正方形 =a 2 ; 菱形 ( 包括正方形 ) 面积等于对角线乘积的一半 ; 长方形 S 长方形 =ab; 圆形 S 圆 =πr 2 ; 三角形 S 三角形 = 1 2 ah= 1 2 absinc; 平行四边形面积 S 平行四边形 =ah; 梯形面积 S 梯形 = 1 2 (a+b)h; 扇形面积 S 扇形 = n 360 πr2 正方体表面积 =6a 2 长方体表面积 =2ab+2bc+2ac 球表面积 =4πR 2 =πd 2 例 1 ( 北京 ) 张家和李家都使用 90 米的篱笆围成了长方形的菜园, 已知李 家的长方形菜园的长边比张家短 5 米, 但是菜园面积却比张家大 50 平方米, 则李家的长方 形菜园面积为 ( ) A.550 平方米 B.500 平方米 C.450 平方米 D.400 平方米 例 2 ( 秋季联考 ) 如图 ABCD 是一个梯形,E 是 AD 的中点, 直线 CE 把梯形分成甲 乙两部分, 其面积之比是 15 7 问上底 AB 与下底 CD 的长度之比是 ( ) A.5 7 B. 6 7 C. 4 7 D. 3 7 第 35 讲 几何体积 几何体积核心公式 正方体体积 =a 3 ; 长方体体积 =abc; 球体积 = 4 3 πr3 ; 棱柱 / 圆柱体积 =Sh ; 棱锥 / 圆锥体积 = 1 3 Sh 例 1 ( 山西 四川 ) 把一个半径为 3 厘米的金属小球放到半径为 5 厘米且装 有水的圆柱形烧杯中 如全部浸入后水未溢出, 则水面比为放入小球之前上升多少厘米? A B C D

25 例 2 ( 秋季联考 ) 两个半径不同的圆柱形玻璃杯内盛有一定量的水, 甲杯的水位比乙杯高 5 厘米 甲杯底部沉没着一个石块, 当石块被取出并放进乙杯沉没后, 乙杯的水位上升了 5 厘米, 并且比这时甲杯的水位还高 10 厘米, 则可得知甲杯与乙杯底面积之比为 ( ) A.3 2 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 5 例 3 ( 江苏 2014C-35) 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1cm, 则三棱锥 C-AB1D1 的体积是 ( ) A. 1/3cm 3 B. 1/4cm 3 C. 1/5cm 3 D. 1/6cm 3 第 36 讲 立体切割 对角面 : 过大则大 ; 过小则小 外爬线 : 切长则短 ; 切短则长 要点提示 例 1 ( 山西, 四川 ) 沿一个平面将长 宽和高分别为 8 5 和 3 厘米的长方 体切割为两部分, 问两部分的表面积之和最大是多少平方厘米?() A. 206 B. 238 C D 例 2 ( 联考春 ) 一间房屋的长 宽 高分别是 6 米 4 米和 3 米 施工队员在房屋内表面上画一条封闭的线, 其所画的线正好在一个平面上且该平面正好将房屋的空间分割为两个形状大小完全相同的部分 问其所画的线可能的最长距离和最短距离之间的差是多少米? A.6 B C.8 D.4( 13-2) 例 3 ( 2012 年 421 联考 -52) 某公司要在长 宽 高分别为 50 米 40 米 30 米的长方体建筑的表面架设专用电路管道联接建筑物内最远两点, 预设的最短管道长度介于 : A 米之间 B 米之间 C 米之间 D 米之间 第 37 讲 循环比赛 要点提示 循环赛 :N 支队伍进行循环赛, 每支队伍和其它任意队伍进行一场比赛, 所以每支队伍 需要进行 N-1 场比赛 ; 由于每场比赛都是 2 个队伍共同进行, 所以总场次应该为 N (N-1)/2 24

26 例 1 ( 黑龙江 ) 象棋比赛中, 每个选手均与其他选手比赛一局, 每局胜者得 2 分, 负者得 0 分, 和棋各得 1 分, 那么以下可能是这次比赛所有选手得分的总和是 : A.78 B.67 C.56 D.89 例 2 ( 山东 )8 支足球队参加单循环比赛, 胜者得 2 分, 平者得 1 分, 负者得 0 分, 比赛结束后,8 支足球队的得分各不相同, 且第 2 名的得分与后 4 名的得分总和相等, 第 3 名的得分是第 5 名的两倍, 第 4 名的得分是第 6 名的两倍 问第一名比第四名多拿了多少分? A.3 B.4 C.5 D.6 例 3 A B C D E 5 个小组开展扑克牌比赛, 每两个小组间都要比赛一场, 到现在为止,A 组已经比赛了 4 场,B 组已经比赛了 3 场,C 组已经比赛了 2 场,D 组已经比赛了 1 场, 问 E 组比赛了几场?( ) A.0 B.1 C.2 D.3 第 38 讲 淘汰比赛 要点提示 淘汰赛 : 每场比赛淘汰一支队伍, 每轮比赛淘汰一半的队伍 ( 如果总数不是偶数, 比如 说一共 13 支队伍, 那么淘汰 6 支队伍, 留下 7 支队伍 ) 例 1 ( 国考 ) 某羽毛球赛共有 23 支队伍报名参赛, 赛事安排 23 支队伍抽签两两争夺下一轮的出线权, 没有抽到对手的队伍轮空, 直接进入下一轮 那么, 本次羽毛球赛最后共会遇到多少次轮空的情况?( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例 2 ( 北京 ) 某单位组织的羽毛球男单比赛共有 48 名选手报名参加, 比赛采用淘汰赛制, 在比赛中负一场的选手即被淘汰, 直至决出最后的冠军, 如每名选手每天最多参加一场比赛, 则比赛至少需要举行几天? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 例 3 ( 上海 2014B-75) 甲 乙 丙三人打羽毛球, 每一局由两人上场, 另一人做裁判 第一局抽签决定裁判, 往后每一局的比赛在上一局的胜者和上一局的裁判之间进行 打了若干场之后, 甲胜了 10 局, 则乙和丙各负了 8 局, 则他们至少打了 ( ) 局 A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 第 39 讲 九宫推理 九宫格重要结论 如右图九宫格, 假如我们要求任一行 任一列 任一对角线上三个数之和都相等 ( 设之 为 A), 那么有以下重要结论 : 25

27 1 根据 A=b+e+h=d+e+f 可知 :b+h=d+f, 即两对腰之和相等 ; 2 根据 2A=(a+b+c)+(a+e+i)=(b+e+h)+(c+f+i) 可知 : 2a=h+f, 即顶点数字是远处两腰的平均数 ; 3 根据 2A=(a+b+c)+(g+h+i)=(a+e+i)+(c+e+g) 可知 : b+h=2e, 同理 d+f=2e, 即中心数字是相对两腰的平均数 ; 4 根据 A=b+h+e, 代入上条, 得到 e=a/3, 即中心数字为和的三分之一 例 1 ( 天津 ) 在右图小空格中已填上了 1 及 7 两个自然数, 如果其他空格也填上相应不同的数, 使得任意一个横行 任意一个纵列以及任意一条对角线上的 3 个数之和都等于 111 请问, 位于中间的小正方形里应填的数是 :() A.61 B.53 C.41 D.37 1 第 40 讲经济利润 7 要点提示在日常经济生活中, 我们经常会碰到有关 收入 成本 利润 相关的问题, 这一类问题贴近生活, 并且能够很好的考察考生的综合素质, 成为历年考题的热点和重点 本题型共有三个重点 : 1. 利润率 的定义和计算公式 : 利润率 = 利润 成本 =( 售价 - 成本 ) 成本 ; 2. 折扣的概念, 如 : 二折 即现价为原价的 20%, 九折 即现价为原价的 90%; 3. 绝大部分的 经济利润问题, 都应该通过方程或者方程组来解答 例 1 ( 广州 ) 某海鲜档口出售一批总共 150 斤的鲜鱼, 按原售价每卖出一斤可赚 5 元 由于较为畅销, 在卖出三分之一后, 档主将售价上调 20% 卖完所有鲜鱼后, 档主一共赚了 1250 元, 则原售价是每斤 () 元 A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 例 2 ( 浙江 ) 商店进了 100 件同样的衣服, 售价定为进价的 150%, 卖了一段时间后价格下降 20% 继续销售, 换季时剩下的衣服按照售价的一半处理, 最后这批衣服盈利超过 25% 如果处理的衣服不少于 20 件, 问至少有多少件衣服是按照原售价卖出的? A.7 件 B.14 件 C.34 件 D.47 件 例 3 ( 黑龙江 ) 李亮和刘纯两人采购同一款录音笔, 如果一次购买数量不足 50 个, 每个售价 176 元 ; 如果一次购买 个, 每个售价 160 元 ; 如果一次购买 100 个及以上, 每个售价 144 元 如果李亮和刘纯分别购买, 共要付 元, 如果两人合买, 可以节省 2416 元 问两人中购买录音笔数量较少者买了多少个录音笔? A.52 B.56 C.20 D.38 26

28 核心课程例题答案 例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 例 6 第 02 讲 : 直接代入 A C 第 03 讲 : 直接倍数 B B 第 04 讲 : 因子倍数 C D 第 05 讲 : 比例倍数 D C 第 06 讲 : 化归为一 D C 第 07 讲 : 比例假设 C A B 第 08 讲 : 工程问题 D B C 第 09 讲 : 统筹工效 A C D 第 10 讲 : 十字交叉 B B C 第 11 讲 : 极端思维 C C C 第 12 讲 : 极端容斥 C B 第 13 讲 : 调和平均 B B B C D 第 14 讲 : 基本方程 B C B 第 15 讲 : 比例方程 B A 第 16 讲 : 不定方程 不定型 D B A 第 17 讲 : 不定方程 确定型 C C C 第 18 讲 : 容斥原理 两集合标准型 D A C 第 19 讲 : 容斥原理 两集合图示标数型 B C 第 20 讲 : 容斥原理 三集合标准型 C A 第 21 讲 : 容斥原理 三集合图示标数型 B C 第 22 讲 : 容斥原理 三集合整体重复型 A B D 第 23 讲 : 排列组合 D D C 第 24 讲 : 平面路径 C D A C 第 25 讲 : 概率问题 C A C A B 第 26 讲 : 溶液问题 D B C 第 27 讲 : 牛吃草 A D B B C D 第 28 讲 : 约数倍数 小数分数型 C B 第 29 讲 : 基础行程 C D B 第 30 讲 : 相对速度 相遇追及 B D 第 31 讲 : 相对速度 环形运动 D B 第 32 讲 : 相对速度 流水行船 B C D 第 33 讲 : 几何长度 B B 第 34 讲 : 几何面积 B C 第 35 讲 : 几何体积 D B A 第 36 讲 : 立体切割 C C D 第 37 讲 : 循环比赛 C D C 第 38 讲 : 淘汰比赛 B C B 第 39 讲 : 九宫推理 D 第 40 讲 : 经济利润 B D D 27

29 数字推理篇 第 41 讲 数列概述 一 考区范围 数字推理是数量关系当中非常重要的传统题型, 然而国考 联考和大部分地方考试已经 多年没有涉及, 所以对于大部分考生来说, 数字推理的课程可以简单轻松地看一看即可 但是, 数字推理仍会出现在部分省级考试中, 譬如浙江和江苏每年都有比重不小的数字 推理试题, 所以这两个地区的考生一定要非常认真的复习本篇课程 除此之外, 陕西 天津 河北 新疆 吉林 广东 深圳等省市的考试, 也有很大的概率要考到数字推理, 所以这些 地区的考生也不能轻视数字推理的复习 二 基础数列 数字推理的主体内容可以归纳为五大题型, 而这些题型是建立在 基础数列 之上的 基础数列 包括等差数列 等比数列 质数型数列 周期数列和直接递推数列五种形态 : 等差数列 : 相邻两项之差 ( 后项减去前项 ) 等于定值的数列 例 1 ( 河北 )1,5,9,( ), 17,21 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 [ 答案 ]B 等比数列 : 相邻两项之比 ( 后项除以前项 ) 等于定值的数列 例 2 ( 广东 2013C-1)160,80,40,20, ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 [ 答案 ]D 质数型数列 质数数列 : 由质数构成的数列叫做质数数列 譬如 : 合数数列 : 由合数构成的数列叫做合数数列 譬如 : 周期数列 : 自某一项开始, 重复出现前面相同 ( 相似 ) 项的数列 譬如 : 直接递推数列 : 数列当中每一项直接等于其前两项的和 差 积或者商 譬如 : 三 五大题型 数字推理的主体内容主要包括以下五大题型 : 1. 多级数列 : 数列中相邻项通过四则运算, 得到的结果形成某种特定的规律 2. 多重数列 : 数列中数字通过交叉或者分组, 从而形成某种特定的规律 3. 分式数列 : 数列中的数通过自然分隔, 形成某种特定的规律 4. 幂次数列 : 数列中有基于平方 立方或其它乘方的规律 5. 递推数列 : 数列中前面的项通过某种特定的运算, 得出后一项从而形成规律 28

30 四 思维图示 解答一道数字推理题, 简单来说分成两步 :1 判断类型;2 按类型使用具体方法 后者很重要 : 掌握具体题型的具体解题方法是数字推理解题的基本能力, 本课程后面将分门别类的介绍五大基本题型各自的典型解题方法和经典例题 前者更重要 : 这是解题的前提和关键 拿到一道数字推理题, 我们如何迅速而准确的判定应该选用什么样的题型方法来解答这道题, 或者说我们应该用什么样的思维步骤来处理一个尚未确定类型的普通题目, 这是数字当中非常重要的内容 五 补充要领 特别补充说明六个要领 : 1. 数字推理思维过程, 简单来说就是六个字 : 特征 è 做差 è 递推 ; 2. 数字推理的破题关键是 尝试 ; 3. 五 / 十道题目一起验证, 一起寻找特征, 用以节约时间 4. 思维过程一定要 熟练 ; 5. 基本计算能力一定要过关 ; 6. 课程的最后, 我们再回头来重新讲解这个思维过程 第 讲 做差多级数列 一 要点评析 多级数列是数字推理五大题型之首, 也是最重要的两大题型 ( 多级数列和递推数列, 各占约 1/4) 之一 多级数列不仅自身考察比重很高, 而且也是其它诸多题型的基础, 掌握好这一部分的内容, 是攻克数字推理的前提 多级数列包括做差数列 ( 约 80%, 包括二级数列 56% 与三级数列 24%) 做商数列( 约 12%) 做和数列( 约 7%) 和做积数列 ( 几乎不考 ) 四种形态 多级数列中, 做商数列有比较明显的倍数关系, 做差数列和做和数列一般没有明显数字特征 本讲主要讲述 做差多级数列, 下一讲我们讲述 做商多级数列 和 做和多级数列 二 例题精析 题型一 : 二级等差数列 例 1 ( 江苏 2013B-83, 江苏 2013C-19)-2,-2,0,4,10,( ) A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 例 2 ( 江苏 2013C-16)3,7,13,21,31,( ) A. 38 B. 41 C. 43 D. 49 核心提示 29

31 二级数列 所使用的 逐差法 简单 通俗 易行, 但一般考生非常容易犯下面两个 错误 :1 做差计算错误 ;2 做差时, 左减右 和 右减左 混乱 这两类错误在整个 多 级数列 中都是最为常见的, 希望大家对此重视, 并且多加练习, 避免这类可惜的错误 例 3 ( 广东 2013C-4)300,290,281,273,( ),260 A. 270 B. 266 C. 264 D. 262 例 4 ( 江苏 2013C-20)0.5,2,4.5,8,( ) A B. 11 C D. 14 题型二 : 二级等比数列 例 5 ( 江苏 2013B-76)2,3,5,9,( ), 33 A.15 B. 17 C. 18 D. 19 核心提示 二级等比数列 全部可以看成 递推倍数数列, 其修正项为一常数数列 例 6 ( 江苏 2013C-18)5,6,9,18,45,( ) A. 96 B. 106 C. 116 D. 126 例 7 ( 河北 )-1,1,7,25,79,( ) A. 121 B. 241 C. 243 D. 254 题型三 : 二级其它数列 例 8 ( 新疆 )4,8,13,19,23,( ), 34 A. 25 B. 27 C. 28 D. 31 例 9 ( 吉林 )10,12,15,20,27,( ) A.30 B.36 C.38 D.48 例 10 ( 浙江 )12,16,22,30,39,49,( ) A.61 B.62 C.64 D.65 题型四 : 三级等差数列 例 11 (2010 年 425 联考 -86)0,0,6,24,60,120,( ) A. 180 B. 196 C. 210 D. 216 核心提示 二级数列 只需要做一次差, 题目过于简单, 而建立于其基础之上的 三级数列 因为难度适中, 从而逐渐取代 二级数列, 成为近年来试题主要基础题型之一 三级数列 比 二级数列 更加强调减法运算的速度和精度, 也更加容易因为做差方向的混乱而出错 30

32 例 12 ( 江苏 2013B-82, 江苏 2013C-17)2,4,0,-16,-50,( ) A B C D 题型五 : 三级等比数列 例 13 ( 深圳 )11,11,13,21,47,( ) A. 125 B. 126 C. 127 D. 128 例 14 ( 新疆兵团 )1,6,12,16,24,24,( ) A. 24 B. 32 C. 40 D. 48 题型六 : 三级其它数列 例 15 ( 江苏 2010A-17)8,11,18,34,66,( ) A. 89 B. 97 C. 123 D. 154 例 16 ( 新疆兵团 )2,5,8,12,17,24,( ) A. 30 B. 32 C. 34 D.36 第 44 讲 商和多级数列 一 要点评析 多级数列 当中, 最经典的方式就是 两两做差 除此之外, 两两做商 和 两两做和 的数列也渐渐成为了考试常见的基本题型 相对 两两做差 的数列而言 : 两两做商 的数列, 数字之间有比较明显的倍数关系 ; 而 两两做和 数列, 从数字上看, 并没有特别的特征, 但一旦经过简单的加和便能得出相对简单的规律 ( 一般算出前两个数字就能大致猜出整个数列 ) 二 例题精析 题型一 : 做商多级数列 例 1 ( 江苏 2013B-81,C-23)1,3,12,60,360,( ) A.1080 B C D 核心提示 两两做商 的数列, 数字之间有比较明显的倍数关系 例 2 ( 江苏 2013A-16)2,4,12,48,240,( ) A B C D. 360 例 3 ( 吉林 2012 乙 -3)0.5,1.5,7.5,52.5,( ) A B C D 例 4 ( 浙江 )1,2,6,30,210,( ) A B C.2520 D

33 例 5 ( 江西 )2,2,6,30,( ),1890 A. 180 B. 210 C. 360 D. 240 例 6 ( 山东 )1/6,1/3,1,4,20,( ) A. 100 B. 108 C. 120 D. 128 例 7 ( 四川 )4,4,4,8,24,120,( ) A. 240 B. 360 C. 560 D. 960 例 8 ( 浙江 )1,-3,3,3,9,( ) A. 28 B. 36 C. 45 D. 52 例 9 ( 江苏 B 类 )1/3,1,9,243,( ) A B C D 例 10 ( 吉林乙级 )1,4,64,4096,( ) A B C D 题型二 : 做和多级数列核心提示 两两做和 数列, 从数字上看, 并没有特别的特征, 但一旦经过简单的加和便能得出相对简单的规律 ( 一般算出前两个数字就能大致猜出整个数列 ) 例 11 ( 山东 ) -1,2,0,4,4,12,( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 20 例 12 (2010 年 918 联考 -33)5,6,16,28,60,( ) A.74 B. 82 C. 92 D. 116 例 13 ( 浙江 )2,2,7,9,16,20,( ) A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 第 45 讲 多重数列 一 要点评析 多重数列是数字推理题型中难度较低 特征相对明显的题型, 主要包括 交叉数列 和 分组数列 两种题型 多重数列的特征一般都非常明显 : 一般都比较长, 有时候会出现两个未知项 出现整个数列 ( 包括未知项 ) 一共有 8 项或者 10 项, 交叉和分组都是可能的, 但如果总共是 9 项, 一般就是交叉数列 32

34 二 例题精析 题型一 : 交叉数列 核心提示 交叉数列 是多重数列的基本题型, 其奇数项和偶数项分别是两个较简单的数列 例 1 ( 吉林 2011 甲级 -4)21,26,23,24,25,22,27,( ) A.28 B.29 C.20 D.30 例 2 ( 陕西 )2,2,3,4,5,6,7,8,( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 例 3 ( 深圳 ) 11,14,12,20,13,30,( ), 44,15,( ) A. 15,55 B. 14,60 C. 14,62 D. 15,60 例 4 ( 山东 )1,5,5,25,25,45,125,( ) A. 45 B. 65 C. 125 D. 150 例 5 ( 浙江 ) ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 : 分组数列 核心提示 分组数列中, 我们将组内两个数进行简单的 + - 运算, 得到一个简单数列 例 6 ( 吉林 )5,8,9,12,10,13,12,( ) A. 15 B. 14 C. 13 D. 25 例 7 ( 深圳市 )11,22,20,40,12,24,34,( ) A. 50 B. 64 C. 56 D. 68 例 8 ( 新疆 )2,13,5,9,8,5,11,( ) A. 13 B. 15 C. 3 D. 1 例 9 ( 新疆 )1,3,8,24,11,33,14,( ) A. 42 B. 39 C. 46 D. 51 例 10 ( 天津 )3,5,6,10,11,17,18,( ) A. 25 B. 26 C. 27 D

35 第 讲 分数数列 一 要点评析 分数数列是数字推理当中, 最具有直接外部特征的数列形式, 能够从直观上与其它数列 进行简单区分 分数数列主要包括以下四种题型 : 1. 分组规律型 : 分子 分母互不影响, 各自独立为一个简单数列 ; 2. 交叉影响型 : 分子 分母互相影响, 整体考虑有一个直观的规律 ; 3. 广义通分型 : 当分数的分母或分子很容易化为一致时, 将其化为相同数 ; 4. 反向约分型 : 现在分数数列中的主导题型 除此之外, 分数数列还可以向小数 根数拓展 当数列中大部分是分数, 而少量个别数字是整数的时候, 我们可以将整数化为分母为 1 的分数 此外, 含有部分分数的数列, 还可能是 负幂次数列 积商多级数列 或者 积 商递推数列 这样三种形态 二 例题精析 题型一 : 分组规律型 例 1 ( 安徽 )1,( ), 1 7, 1 13, 1 21 A.0 B.1 C.1/2 D.1/3 核心提示 当数列中大部分是分数, 而少量个别数字是整数的时候, 我们可以将整数化为分母为 1 的分数 题型二 : 交叉影响型 例 2 ( 吉林甲级 ),,, ,( ) A B C D 题型三 : 广义通分型 例 3 ( 浙江 ) ( ) A. 1/14 B.1/15 C. 1/16 D. 1/17 题型四 : 反向约分型核心提示将一个分数的分子 分母同时除以一个数, 我们称之为 约分, 而将一个分数的分子 分母同时乘以一个数, 我们称之为 反约分 34

36 在数列中, 如果某一个分数的分子和分母的大小明显都低于整个数列的趋势, 我们常常应当利用 反约分 来同时扩大这个分数的分子和分母, 从而得到较明显的规律 反约分型数列 是分数数列中最具技巧的题型, 已经成为现在分数数列出题的主要方向 传统试题里, 反约分 一般会使得分数的分子 分母分别成为等差数列, 但近年来, 分子 分母被化为 二级 ( 等差或等比 ) 数列 成为题型的主流 例 4 ( 河北 )1,,16,,,( ) A. 128 B C D 例 5 ( 江苏 2013C-22)1,1, 4 3,2,16 5,( ) A B C D 例 6 ( 江苏 2013A-16,B-79) 1 2,1, 9 7,16 11, 25 A B C ,( ) D 例 7 ( 吉林 2013 甲级 -5, 乙级 -3) 5 3, 4 2 æ ö ç, 11 3 æ ö æ ç, ç 7ö 4,( è 3ø è 9 ø è6ø ) A. æ17ö ç è15ø 5 B. æ8 ç ö 5 è7ø C. æ15ö ç è13ø 5 D. æ11ö ç è 6 ø 5 例 8 ( 天津 )3, 15-4, 14 5, 45-28,( ) A B C D 题型五 : 小数数列 核心提示分数号将分数分成了分子 分母两个部分, 这是分数数列的形式本质 除此之外, 我们还可能遇到 小数数列 根式数列 等等形式, 这些数列的每一项都被天然的分成了多个部分, 因此我们可以认为, 这些数列是分数数列的拓展形式 例 9 ( 吉林 2013 甲级 - 4)1.1, 3.4,6.9,10.16,( ) A B C D

37 题型六 : 根式数列 例 10 ( 吉林甲级 ) 3, 15, 35, 63,( ) A. 77 B. 99 C. 103 D. 143 例 11 ( 江苏 C 类 ) 2, 2,2,2 3,4 3,( ) A. 6 5 B C. 6 3 D 例 12 ( 吉林乙级 ) 2,3/2,2 7/3, 65/4,( ) A. 343/5 B. 4 6/5 C. 7 5/5 D. 126/5 第 讲 幂次数列 一 要点评析 幂次数列要求各位考生对数字当中的 幂次数 ( 又称为 乘方数 ) 有非常熟练的了解, 建立在这个基础之上以后, 幂次数列可以算数字推理当中难度中等甚至偏简单的题型 幂次数列主要包括 基础幂次数列 和 幂次修正数列, 后者是现在考试的主体题型 要学好幂次数列, 必须对常用的幂次数 ( 包括平方数 立方数 多次方数 ) 了如指掌, 夯实这一部分功底是复习本章的主要任务 在这个过程中, 了解一些幂次变换的常用法则 熟悉幂次数附近的数字, 是掌握幂次数的两个重点 常用幂次数底数 平方 平方数底数 平方 立方数 底数 立方 次方 多次方 数

38 二 例题精析 题型一 : 恒定指数 例 1 ( 新疆 )-1,27,8,125,( ) A. 512 B. 428 C. 256 D. 343 题型二 : 恒定底数 例 2 ( 河北 )1,2,8,( ), 1024, A. 64 B. 176 C. 682 D. 988 例 3 ( 吉林 2013 甲级 -3)1,e,e,e,( ) A. e B. e C. e D. e 题型三 : 变化指数 例 4 ( 河北 )6,25,64,( ),32,1 A. 81 B. 72 C. 63 D. 54 题型四 : 常数修正核心提示 1. 普通平方数列, 以常数 ( 或等差数列 ) 进行修正, 结果是 二级等差数列 ; 2. 普通立方数列, 以常数 ( 或等差数列 ) 进行修正, 结果是 三级等差数列 例 5 ( 江苏 2013B-84)3,8,15,24,35,( ) A. 39 B. 43 C. 48 D. 63 幂次修正数列 解题关键 对题目已知数字进行幂次数的 相邻数发散, 以迅速找到原参照数列 例 6 ( 河北 )1,10,37,82,145,( ) A. 170 B. 197 C. 224 D. 226 例 7 ( 江苏 2013A-16)9,10,65,26,217,( ) A. 289 B. 89 C. 64 D. 50 题型五 : 等差修正 例 8 (2010 年 425 联考 -86)0,0,6,24,60,120,( ) A. 180 B. 196 C. 210 D. 216 题型六 : 正负修正 例 9 ( 天津 )3,2,11,14,27,( ) 37

39 A. 32 B. 34 C. 36 D. 40 例 10 ( 陕西 )0,5,8,17,24,( ) A. 37 B. 45 C. 51 D. 62 例 11 ( 新疆 )2,7,28,63,126,( ) A. 215 B. 150 C. 119 D. 178 例 12 ( 陕西 )2,6,30,60,130,210,( ) A. 340 B. 350 C. 360 D. 370 第 讲 递推数列整体趋势法 一 要点评析 递推数列是最重要的两大题型之一, 与多级数列各占 1/4 左右的比重, 也是数字推理中技巧性最强 对数字敏感要求最高的题型 递推数列主要包含和 差 积 商 倍 方六种运算形态, 既包括基本型, 也包括修正型 近年来的试题主要集中在 修正型 的递推数列, 占比大约为 80% 左右 递推数列最重要的任务, 就是判断数列递推的形式, 主要有 整体趋势法 和 递推联系法 两种基本方法, 两种方法的 分别学习 和 联合使用 是最有效果的 本节讲述前一种方法, 下一节讲述后一种方法 整体趋势法 是指以数列的整体变化趋势为主要依据, 从而判断数列的递推类型的一种方法 由于不同类型的递推方式有不同的 数列大小变化趋势, 所以绝大部分的递推数列可以通过 整体趋势法 进行有效判断 整体趋势法 主要操作包括 看趋势 和 做试探 两个过程 : 1. 看趋势 : 根据数列当中数字的整体变化趋势初步判断递推的具体形式 ; 2. 作试探 : 根据初步判断的趋势作合理的试探, 并分析其误差, 即 修正项 看趋势 的大致思维流程, 可以具体用下图显示 : 二 例题精析 例 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 例 2 ( 新疆 )252,21,12,( ), 48/7 A. 9 B. 7 C. 7/4 D. 13/7 例 3-3,3,0,( ), 3,6 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例 4 ( 四川 )4,6,9,14,22,35,( ) A. 47 B. 49 C. 53 D

40 例 5 ( 江苏 B 类 )1,2,5,26,677,( ) A B C D 例 6 ( 2010 年 425 联考 -87)2,3,7,45,2017,( ) A B C D 例 7 ( 北京 )2,2,4,8,32,256,( ) A B C D 例 8 ( 浙江 ) ( ) A.1594 B.1684 C.1707 D.1856 例 9 ( 江苏 2010B-77,C-21)3,5,16,82,1315,( ) A B C D 例 10 ( 天津 )3,10,31,94,( ), 850 A. 250 B. 270 C. 282 D. 283 例 11 ( 河北 )4,11,27,61,( ) A. 106 B. 117 C. 131 D. 163 例 12 ( 浙江 ) ( ) A.3692 B.3713 C.3764 D.3816 例 13 ( 新疆 )1,1,4,13,43,142,( ) A. 469 B. 369 C. 234 D. 198 例 14 ( 江苏 2013B-78)2,1,6,14,40,108, ( ) A. 288 B. 296 C. 304 D. 312 核心提示 学到这里, 我们大致可以理清楚 整体趋势法 的基本思路和做题步骤, 下面我们通过 一个简单的图示来帮助大家好好掌握这种方法 : 递推数列 整体趋势法 完全吻合 规律找到, 答题完成 尝试 差商和方积倍 规律 相差很远 相差不大 规律错误, 继续尝试 得到 修正项 简单数列 前项相关 39

41 第 讲 递推数列递推联系法 一 要点评析 递推联系法 是指, 研究递推数列当中相邻两个或者三个数字之间的 递推联系, 从而找到解题关键的方法 递推联系法 与 整体趋势法 是解答递推数列两种相对独立的方法 相对而言, 递推联系法 求解更为迅速, 覆盖面更广 ; 而 整体趋势法 解题操作更加简便 机械 因此, 对于较难 较新的题型而言, 递推联系法 更容易帮助考生找到答案, 但要求考生有较高的 数字敏感 度 ( 即多数字递推联系 ) 考生可以在实践中熟练掌握两种方法, 在具体练习当中对照使用, 这两种方法完全可以有 相辅相成 的作用 递推联系法 分成两种情形 : 1 两项递推 ( 研究相邻三个数字递推联系 ) 2 单项递推 ( 研究相邻两个数字递推联系 ) 二 例题精析 题型一 : 两项递推联系法使用法则圈定数列当中三个相邻数字 ( 要求这三个数字较大以不失代表性, 但不要过大以增加计算复杂性 ), 研究这三个数字当中, 前两个数字运算得到第三个数字的所有简单递推形式, 将得到的递推形式代入到其它数字之间进行验算, 全部吻合者为最终规律 例 1 ( 浙江 )2,1,3,10,103,( ) A.8927 B.9109 C.9247 D 例 2 ( 江苏 2012B-79) () A.1359 B.1479 C.1481 D.1563 例 3 ( 浙江 )1,2,7,19,138,( ) A.2146 B.2627 C.3092 D.3865 例 4 ( 深圳 )-2,-1,2,-2,( ), 8 A. 1 B. -1 C. 4 D. -4 例 5 ( 江苏 2013C-24)1,2,3,7,22,( ) A. 100 B. 133 C. 155 D. 165 例 6 ( 山东 )2.5,2,3,4,10,38,( ) A. 92 B. 134 C. 256 D. 378 例 7 ( 浙江 )2,5,9,19,37,75,( ) A. 140 B. 142 C. 146 D

42 例 8 ( 新疆兵团 ) -2,3,-1,5,3,13,( ) A. 7 B. 11 C. 15 D. 19 例 9 ( 浙江 )3,7,12,15,9,-18,( ) A. -27 B. -45 C. -81 D 例 10 ( 江苏 2013B-78)2,1,6,14,40,108, ( ) A. 288 B. 296 C. 304 D. 312 题型二 : 单项递推联系法使用法则圈定数列当中两个相邻数字 ( 要求这两个数字较大以不失代表性, 但不要过大以增加计算复杂性 ), 研究这两个数字当中, 前一个数字运算得到第二个数字的所有简单递推形式, 将得到的递推形式代入到其它数字之间进行验算, 全部吻合者为最终规律 例 11 ( 江苏 2012B-76) () A.243 B.323 C.365 D.382 例 12 ( 安徽 )56,114,230,462,( ) A. 916 B. 918 C. 924 D. 926 例 13 ( 江苏 2013A-16)3,8,23,68,( ), 608 A. 183 B. 188 C. 203 D. 208 例 14 ( 江苏 2010A-16) - 1 3,1,5,17,53,( ) A. 157 B. 153 C. 164 D. 161 例 15 ( 江苏 2010C-20)2,1,5,7,17,31,( ) A. 59 B. 61 C. 65 D. 69 例 16 ( 北京 )16,8,24,12,36,18,( ) A. 16 B. 42 C. 54 D. 72 第 54 讲 数列总结 一 思维图示 二 补充要领 特别补充说明六个要领 : 41

43 1. 数字推理思维过程, 简单来说就是六个字 : 特征 è 做差 è 递推 ; 2. 数字推理的破题关键是 尝试 ; 3. 五 / 十道题目一起验证, 一起寻找特征, 用以节约时间 4. 思维过程一定要 熟练 ; 5. 基本计算能力一定要过关 ; 6. 课程的最后, 我们真的回头重新讲解了这个思维过程 数字推理例题答案 第 讲 第 44 讲 第 45 讲第 讲 第 讲 第 讲 第 讲 例 01 D D C D D D D 例 02 C B C A A C C 例 03 B B C A B A B 例 04 C B B A A D D 例 05 B B C D C B C 例 06 D C A A D B D 例 07 B D D A D D D 例 08 C C D B C C D 例 09 C A A B B A C 例 10 A D B B A D B 例 11 C D B A C C 例 12 B D D B B D 例 13 C B A C 例 14 C B D 例 15 C C 例 16 C C 42

44 43