2008年全国初中数学联合竞赛

Size: px

Start display at page:

Download "2008年全国初中数学联合竞赛"

夷钭
7 years ago
Views:

1 州奥林教育 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数一选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7 分 ) 第一试 () b b c c 设实数 bc,, 满足 : b c 3, b c 4, 则 c b ( ) D 9 答 D b c 3, b c 4, b b c c 4 c 4 4 b ( c) ( ) ( b) c b c b 6 ( b c) 9 若抛物线 y x bx c 与 x 轴只有一个公共点, 且过点 ( m, n ), ( m 8, n), 则 n =( ) 8 6 D4 答依题意, 有 n m bm c ( m 8) b( m 8) c, 于是可得 b 8 m 抛物线 y x bx c 与 x 轴只有一个公共点, b 4c 0, c b (4 m) 4 因此 n m bm c m (8 m) m (4 m) 6 3 矩形 D 中, D 5, 0, 分别为矩形外的两点, D 4, 3, 则 ( ) D 0 答易知 D 90, D D 延长, 交于点 G G 90 D D, G 90 = D, G D, 且 G 90, G 8, G 6, D G G, G 0, G G 4 已知 O 为坐标原点, 位于第一象限的点在反比例函数 y ( x 0) 的图象上, 位于第二象限的 x 4 点在反比例函数 y ( x 0) 的图象上, 且 O O, 则 tn O 的值为 ( ) x 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第页 ( 共 8 页 )

2 州奥林教育 D 答过点分别作 x 轴, D x 轴, 垂足为 D 由 O O 得 O 90, 于是可 O S O O x y 得 O OD, 所以 tn O O S OD D x y 4 5 已知实数 xy, 满足关系式 xy x y, 则 x OD y 的最小值为 ( ) D 6 4 答设 x y t, 则由题设条件可知 xy x y t, 所以 xy, 是关于 m 的一元二次方程 0的两个实数根, 于是有 : t 4( t ) 0, 解得 t 或 t m tm t 又因为 x y ( x y) xy t ( t ) ( t ) - 3, 所以, 当 t ( 即 x y ) 时, x y 取得最小值, 最小值为 ( ) 设 n 是小于 00 的正整数且使 5n 3n 5 是 5 的倍数, 则符合条件的所有正整数 n 的和是 ( ) D635 答 D 5n 3n 5 是 5 的倍数, 5 (5n 3n 5), 5 3n, 5 n, 设 n 5m( m 是正整数 ), 则 5n 3n 5 5m 5m 5 0m 5m 5( m ) 5n 3n 5 是 5 的倍数, m 是 3 的倍数, m 3k 或 m 3k, 其中 k 是非负整数 n 5(3k ) 5k 5或 n 5(3k ) 5k 0, 其中 k 是非负整数符合条件的所有正整数 n 的和是 ( )+( ) =635 二填空题 :( 本题满分 8 分, 每小题 7 分 ) 3 设 b, 是一元二次方程 x x 0的两根, 则 3 4b 的值为答 b, 是一元二次方程 x x 0的两根, b, b,, b b, 3 4b 3 4b b 3 ( ) 4b ( b ) 3 3 6b 3 3 3( ) 3 6b 6( b) 5 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第页 ( 共 8 页 )

3 州奥林教育从三边长均为整数且周长为 4 的三角形中任取一个, 它是直角三角形的概率为答设三角形的三边长为 bc(,, b c ), 则 3 b c 4, ( b c) 4, 所以 8, 故的可能取值为 8,9,0 或, 满足题意的数组 ( bc),, 可以为 : (8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(0,0,4),(0,9,5),(0,8,6), (0,7,7),(,,),(,0,3),(,9,4),(,8,5),(,7,6), 共组, 其中, 只有一组是直角三角形的三边长, 所以, 所求概率为 3 已知锐角的外心为 O, O 交于 D, 分别为 D D 的外心, 若,, 则答 60 作 M 于点 M, N 于点 N, P M 于点 P 分别为 D D 的外心, M N 分别为 D D 的中点又, P MN, P 30 P 又 D, M, D P 30 O M D N 又 D D (80 ) 90, 90 D 60 4 将数字,,3,,34,35,36 填在 6 6 的方格中, 每个方格填一个数字, 要求每行数字从左到右是从小到大的顺序, 则第三列所填 6 个数字的和的最小值为答 63 设第三列所填 6 个数字按从小到大的顺序排列后依次为,,, D,, 因为所在行前面需要填两个比小的数字, 所以不小于 3; 因为所在行前面需要填两个比小的数字, 且及所在行前面两个数字都比小, 所以不小于 6 同理可知 : 不小于 9, D 不小于, 不小于 5, 不小于 8 因此, 第三列所填 6 个数字之和 D 如图即为使得第三列所填 6 个数字之和取得最小值的一种填法 ( 后三列的数字填法不唯一 ) 一选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7 分 ) 第一试 () b b c c 设实数 bc,, 满足 : b c 3, b c 4, 则 c b ( ) 9 6 D3 答解答与 () 卷第题相同 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 3 页 ( 共 8 页 )

4 州奥林教育题目和解答与 () 卷第题相同 3 题目和解答与 () 卷第 3 题相同 4 已知实数 xy, 满足关系式 x xy y 3, 则 ( x y) 的最大值为 ( ) D 答 D 设 x y t, 则 x y t, 代入题设等式得 ( y t) ( y t) y y 3, 整理得 3y 3ty t 3 0 由判别式 (3 t) ( t 3) 0 得 3 t 3, 故 ( x y) t 5 题目和解答与 () 卷第 4 题相同 6 设 n 是小于 00 的正整数且使 n 3n 是 6 的倍数, 则符合条件的所有正整数 n 的和是 ( ) D634 答 D n 3n 是 6 的倍数, (n 3n ), 3n, n, 设 n m( m 是正整数 ), 则 n 3n 8m 6m 6m 6m ( m ) n 3n 是 6 的倍数, m 是 3 的倍数, m 3k 或 m 3k, 其中 k 是非负整数 =634 n (3k ) 6k 或 n (3k ) 6k 4, 其中 k 是非负整数符合条件的所有正整数 n 的和是 ( )+( ) 二填空题 :( 本题满分 8 分, 每小题 7 分 ) 题目和解答与 () 卷第题相同三边长均为整数且周长为 4 的三角形的个数为答设三角形的三边长为 bc(,, b c ), 则 3 b c 4, ( b c) 4, 所以 8, 故的可能取值为 8,9,0 或, 满足题意的数组 ( bc),, 可以为 : (8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(0,0,4),(0,9,5),(0,8,6), (0,7,7),(,,),(,0,3),(,9,4),(,8,5),(,7,6), 共组, 所以, 三边长均为整数且周长为 4 的三角形的个数为 3 D 两点在以为直径的半圆周上, D 平分, = 0, D = 4 5, 则的长为答 4 连接 OD,O, 作 D 于,O 于 D 平分, DO D O 又 O OD, O OD, O, O O O D 设 = x, 则 O = x 在 Rt OD 中, 由勾股定理得 D OD O 00 x 在 Rt D 中, D D, 即 (4 5) (00 x ) (0 x), 解得 x 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 4 页 ( 共 8 页 )

5 州奥林教育 = x =4 4 在圆周上按序摆放和为 5 的五个互不相等的正整数,b, c, d, e, 使得 b bc cd de e 最小, 则这个最小值为答 37 和为 5 的五个互不相等的正整数只能是,,3,4,5 注意到五个数在圆周上是按序摆放的, 且考虑的是和式 b bc cd de e, 不妨设 =5 图图图 3 图 4 图 5 如果和 5 的位置不相邻, 不妨设 c =( 如图 ), 此时的和式为 P 5b b d ed 5e ; 交换和 b 的位置后, 得到如图 3 的摆法, 此时的和式为 P 5 b bd ed 5e 因为 P P 5b d 5 bd (5 d)( b ) 0, 所以 P P 因此, 交换和 b 的位置使得和 5 相邻 ( 如图 3) 以后, 和式的值会变小如图 3, 如果 d =, 此时的和式为 P3 5 b b e 5e ; 交换 e 和的位置以后, 得到如图 4 的摆法, 此时的和式为 P4 5 b be e 0 因为 P3 P4 b 5e be 0 (5 b)( e ) 0, P 所以 3 4 P, 因此, 交换 e 和的位置使得和 5 相邻以后和式的值会变小如果 b =, 此时的和式为 P5 5 d ed 5e ; 交换 e 和的位置以后, 得到如图 5 的摆法, 此时的和式为 P6 5 e ed d 0 因为 P5 P6 5e e 0 4( e ) 0, 所以 P5 P6, 因此, 交换 e 和的位置使得和 5 相邻以后和式的值会变小综上可知 : 和摆在 5 的两边 ( 如图 5) 时, 和式的值会变小当 d =3, e =4 时, 和式的值为 P ; 当 d =4, e =3 时, 和式的值为 P 因此, 所求最小值为 37 一 ( 本题满分 0 分 ) 关于 x 的方程第二试 () x m x x 有且仅有一个实数根, 求实数 m 的取值范围解将所给方程记为方程, 显然有 x m且 x 若 m 0, 则 x m x x, 此时方程无解, 不符合题意, 故 m 0 5 分 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 5 页 ( 共 8 页 )

6 州奥林教育方程变形得 x x x m, 两边平方后整理得 x m 4 x x m, 再平方, 整理得 8( m) x ( m 4) 显然, 应该有 0 m, 并且此时方程只可能有解 x 4 m 8( m) 5 分将 x 4 m 8( m) 代入方程, 得 ( m 4) ( 4) 4 m m m 8( m) 8( m) 8( m), 化简整理得 4 3m 4 4 m3, 于是有 0 m, 此时方程有唯一解 x 3 4 m 8( m) 4 综上所述, 所求实数 m 的取值范围为 0 m 0 分 3 二 ( 本题满分 5 分 ) 如图, 圆内接四边形 D 的对角线 D 交于点, 且 D, 过点 D 作 D D, 交的延长线于点, D 的平分线分别交 D D 于点 M N () 证明 : D 3 D ; D D () 如果, 证明 : MN MD D 证明 () 在上取一点 P, 使得 P D, 则 P D, P D 又 PD, D P, P = D, P = P D, D 3 D 0 分 () 设 D =, 则 =, D 3, NDM 90 在上截取 Q D, 连接 QD, 则 Q Q D D D Q D 又,, 又 QD = D, QD D D D, QD = D 又 D = D, QD = D, QD //, QD 又, =, 90, QD 90, 又 Q D, D = N 平分 D, M =, NMD M D M 3 MND 80 NMD NDM 90 MDN, MN MD 5 分三 ( 本题满分 5 分 ) 设正整数 mn, 满足 : 关于 x 的方程 ( x m)( x n) x m n 至少有一个正整数解, 证明 : ( m n ) 5mn 解方程即 x m n x mn m n ( ) 0 方程的判别式 Q P N M D 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 6 页 ( 共 8 页 )

7 州奥林教育 ( m n ) 4( mn m n) ( m n) 4mn ( m n) ( m n) ( m n) 5 分不妨设 m n, 由题设可知, 整系数方程至少有一个正整数解, 所以应为完全平方数注意到 ( m n) ( m n) ( m n ) 4 n ( m n ), ( m n) ( m n) ( m n 3) (4m 8n 8), 若 4m 8n 8 0, 即 m n, 则 ( m n 3), 从而有 ( m n ) ( m n 3), 故 3 只可能 ( m n ), 即 ( m n) ( m n) ( m n ), 整理得 m 3n, 这与 mn, 均为正整数矛盾 m 因此 m n, 从而可得 m n, 所以 n 0 分 m 又因为 n, m m 所以有 ( )( ) 0, 整理即得 ( m n ) 5mn n n 5 分第二试 () 一 ( 本题满分 0 分 ) 若正数 b, 满足 b, 求 M 的最小值 b 解因为 b, 所以 b, 所以 M b 3 5 分设 N 3, 则 N 3 ( ) 3 3, 当时取得等号 0 分所以, 0 3, M N 3 (3 ) N 因此, 当, b 时, M 取得最小值 0 分 b 二 ( 本题满分 5 分 ) 如图, 圆内接四边形 D 的对角线 D 交于点, 且 D, D 过点 D 作 D D, 交的延长线于点, D 的平分线分别交 D D 于点 M N () 证明 : D 3 D ; () 如果 MN MD, 证明 : D D 证明 () 在上取一点 P, 使得 P D, 则 P D, P D 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 7 页 ( 共 8 页 )

8 州奥林教育又 PD, D P, P = D, P = P D, D 3 D 0 分 () 设 D =, 则 =, D 3 D, NDM 90 MN MD, MND MDN 90, NMD 80 MND NDM, M =, M D M 3 N 平分 D, D = M = 在上截取 Q D, 连接 QD, 则 QD 90 Q M 又, =, 90, QD, QD //, QD = D P N D 又 D = D, QD = D 又 D, QD = D, QD D, Q D Q Q D D 5 分三 ( 本题满分 5 分 ) 若关于 x 的方程 x 34x 34k 0至少有一个正整数根, 求满足条件的正整数 k 的值解设方程的两个根为 x, x, 且 x 为正整数, 则 x x 34, x x 34k 由 x x 34 知 x 34 x, x 也是整数由 k 为正整数及 xx 34k 可知 x 0, x 是正整数 5 分 ( x )( x ) x x x x 34( k ), 7 ( x )( x ), 7 ( x ) 或注意到 7 ( x ) 0 分 7 ( x ), 则由 x x x 34 知 : x =7 或 x =34 若当 x =7 时, x 6, x 8, 此时 34k 6 8, k 无整数解 ; 当 x =34 时, x 33, x, 此时 34k 33, 解得 k 7 ( x ), 同样可得 k 若所以, 满足条件的正整数 k 5 分 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 8 页 ( 共 8 页 )

2008年全国初中数学联合竞赛

2008年全国初中数学联合竞赛 06 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数一选择题 :( 本题满分分, 每小题 7 分 ) 第一试 () 用 [ x ]