已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

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启宋
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1 1. 已知 :=4,=2, 是中点, 是整数, 求 = = ==2 在中 -<<+ 解 : 延长到, 使 = 是中点 = 在和中 = =4 即 4-2<2<4+2 1<<3 = 已知 : 是中点, =90, 求证 : 2 延长与 P, 使为 P 中点连接 P,P P=,= P 为平行四边形又 =90 平行四边形 P 为矩形 =P=1/2 3. 已知 :=, =, =, 是中点, 求证 : 1= 2 证明 : 连接和 =,=, = 三角形全等于三角形 ( 边角边 ) =, = 连接在三角形中,= = = = = 在三角形和三角形中 =,=, = + = + = 三角形和三角形全等 = ( 1= 2) 已知 : 1= 2,=,//, 求证 :=

2 1 2 过作 G 交的延长线于点 G G, 可得, =G = = G( 对顶角 ) G =G G= 又,, = 1 1= 2 G= 2 G 为等腰三角形, =G 又 =G = 5. 已知 : 平分,=+, 求证 : =2 证明 : 延长取点, 使 =, 连接平分 = =,= (SS)

3 = =+ =+ =+ = = = + =2 =2 6. 已知 : 平分,, + =180, 求证 :=+ 证明 : 在上取, 使 =, 连接 = =90 =,=, = + =180, + =180 = 平分 = = (SS) = =+=+ 7. 已知 :=4,=2, 是中点, 是整数, 求

4 解 : 延长到, 使 = 是中点 = 在和中 = = = ==2 在中 -<<+ =4 即 4-2<2<4+2 1<<3 = 已知 : 是中点, =90, 求证 : 2 解 : 延长到, 使 = 是中点 = 在和中 =

5 = = ==2 在中 -<<+ =4 即 4-2<2<4+2 1<<3 =2 9. 已知 :=, =, =, 是中点, 求证 : 1= 2 12 证明 : 连接和 =,=, = 三角形全等于三角形 ( 边角边 ) =, = 连接在三角形中,= = 又 = = = 在三角形和三角形中, =,=, = + = + = 三角形和三角形全等 = ( 1= 2) 10. 已知 : 1= 2,=,//, 求证 :=

6 1 2 过作 G 交的延长线于点 G G, 可得, =G = = G( 对顶角 ) G =G G= 又 = 1 1= 2 G= 2 G 为等腰三角形, =G 又 =G = 11. 已知 : 平分,=+, 求证 : =2 证明 : 延长取点, 使 =, 连接平分 = =,= (SS) = =+ =+ =+ = =

7 = + =2 =2 12. 已知 : 平分,, + =180, 求证 :=+ 在上取, 使 =, 连接 = =90 =,=, = + =180, + =180 = 平分 = 又 = (SS) = =+=+ 12. 如图, 四边形中,, 分别平分, 且点在上求证 :=+ 在上截取 =, 连接平分

8 = 又 = (SS) = // + =180º + =180º = 又 = 平分 = (S) = =+=+ 13. 已知 ://, =,=,=, 求证 : =, 得 : + = + =180 度, =, =, 四边形是平行四边形得 :=, =,=, 三角形全等于三角形, = 14. 已知 :=, =, 求证 : = 证明 : 设线段, 所在的直线交于,( 当 < 时, 点是射线, 的交点, 当 > 时, 点是射线, 的交点 ) 则: 是等腰三角形 =

9 而 = = ( 等量加等量, 或等量减等量 ) 是等腰三角形 =. 15. P 是平分线上一点,>, 求证 :P-P<- P 在上取点, 使 = = P=P P=, P P P=P P<+P P<(-)+P P-P<- 16. 已知 =3, 1= 2,, 求证 :-=2 证明 : 在上取一点, 使得角 = 角 =3 = - =3 - =2 ; = + =2 ; = =-==

10 在等腰三角形中, 是角的角平分线, 垂直点一定在直线上, 在等腰三角形中,=, 垂直点也是的中点 =2 ==- -=2 17. 已知, 是中点,=,=5,=7, 求作 G 交延长线于 G G 全等 G==5 G =G=5 ==2 18. 如图, 在中,=, 1= 2, 求证 :. 解 : 延长至于点, = 是等腰三角形 = 又 1= 2 + 1= + 2 即 = 是等腰三角形 = 在和中 {= 1= 2 = 和是全等三角形 ( 边角边 )

11 = 是的中垂线 19. 如图,OM 平分 POQ,M OP,M OQ, 为垂足, 交 OM 于点 N. 求证 : O= O 证明 : OM 平分 POQ POM= QOM M OP,M OQ MO= MO=90 OM=OM OM OM (S) O=O ON=ON ON ON (SS) O= O, ON= ON ON+ ON=180 ON= ON=90 OM 20.(5 分 ) 如图, 已知, P 的平分线与的平分线相交于, 的连线交 P 于. 求证 :+=. P 做的延长线, 与 P 相交于点, P// P+ =180, 又,, 均为 P 和的角平分线 + =90 =90, 为直角三角形在三角形中,, 且为的角平分线三角形为等腰三角形,=,= 在三角形与三角形中, =, 且 =, =, 三角形与三角形为全等三角形, = ==+=+

12 21. 如图, 中, 是的平分线, 且 =+, 求证 : =2 延长到使 = 连接 =+ = 可得 = 为等腰 =2 22.(6 分 ) 如图 1, 分别为线段上的两个动点, 且于, 于, 若 =,=, 交于点 M. (1) 求证 :M=M,M=M (2) 当两点移动到如图 2 的位置时, 其余条件不变, 上述结论能否成立? 若成立请给予证明 ; 若不成立请说明理由. (1) 连接,. 于, 于, = =90,, 在 Rt 和 Rt 中, =,=, Rt Rt (HL), =. 四边形是平行四边形. M=M,M=M; (2) 连接,. 于, 于, = =90,, 在 Rt 和 Rt 中,

13 =,=, Rt Rt (HL), =. 四边形是平行四边形. M=M,M=M. 23. 已知 : 如图,, 且 =, 为的中点, (1) 求证 :. (2) 观看图前, 在不添辅助线的情况下, 除外, 请再写出两个与的面积相等的三角形.( 直接写出结果, 不要求证明 ): O 证明 : = =,= 为中点 = = = = 24.(7 分 ) 如图, 中, =90 度,=, 是的平分线, 的延长线垂直于过点的直线于, 直线交的延长线于. 求证 :=2. 证明 :

14 = =90 四点共元 = = = 取线段的中点 G, 连接 G, 则 :G=G=G G= G 而 : = G ( 同弧上的圆周角相等 ) = = G= G 而 := G =G=G =2 25 如图:=,=, = 求证: 证明 : =, -=-, 即 =, 在和中, =, =,= (SS) 26 ( 10 分 ) 如图 : 交于点 M, 点在 M 上,,= 求证 :M 是的中线

15 M 证明 : = M, M= M = M M M=M M 是的中线. 27 ( 10 分 ) 如图 : 在中,=, 是的中点求证 : 和的三条边都相等 = = = =90 28 ( 10 分 )=,=, 是的延长线上的一点求证 :=

16 在与中 = = = = = 在与中 = = = = 29 ( 12 分 ) 如图 :=,=,= 求证:= = =, = +=+ = =

17 = = = = 30. 公园里有一条 Z 字形道路, 如图所示, 其中, 在,, 三段路旁各有一只小石凳,,M, 且 =,M 在的中点, 试说明三只石凳,,M 恰好在一条直线上. 证明 : 连接 = M 是中点 M=M 在 M 和 M 中 = = M=M M M(SS) = 31. 已知 : 点在同一条直线上,=,,=. 求证 :. =,=. =. //, = ( 两直线平行, 内错角相等 ) = : (SS) 32. 已知 : 如图所示,=,=, 分别是的中点, 求证 : =

18 连接 ; = = = = ; 两角相加, = ; = \ 是中点 =; = = = = 33. 如图, 在四边形中, 是上的一点, 1= 2, 3= 4, 求证 : 5= 证明 : 在, 中 =, =, = ( 两角加一边 ) =,= 在与中 =,=,= ( 两边夹一角 ) = 34. 已知,,, 在上, 且 =, 求证 :.

19 = = // = 又 // = (S) 35. 已知 : 如图,=,,, 垂足分别为, 相交于点, 求证 :=. 证明 : =90 =90 = =90 = = = Rt Rt (S) =

20 36 如图, 在中, 为的平分线, 于, 于求证 :=. 证明 : 是的平分线 =, = =90 与 =90 在与中 = = = (S) = 在 O 与 O 中 O= O O=O = O O(SS) O= O=90

21 37. 已知 : 如图, 于, 于, 于, =. 若 = 5, 求的长? = 又于, 于根据三角形角度之和等于 180 度 = =, (S) ==5 38. 如图 :=,M,M, 垂足分别为,M=M 求证 :M=M M 证明 : = = M,M M= M=90 在 M 和 M 中 = M= M=90 M=M M M(S) M=M. 39. 如图, 给出五个等量关系 : 请你以其中两个为条件, 另三个中的一个为结论, 推出一个正确的结论 ( 只需写出一种情况 ), 并加以证明. 已知 :1=,5 =

22 求证 : 证明 : =, = 又 = 40. 在中, 90,, 直线 MN 经过点, 且 MN 于, MN 于.(1) 当直线 MN 绕点旋转到图 1 的位置时, 求证 : 1 ; 2 ; (2) 当直线 MN 绕点旋转到图 2 的位置时,(1) 中的结论还成立吗? 若成立, 请给出证明 ; 若不成立, 说明理由. (1) 1 = = =90, + =90, + =90, + =90. =. =,. 2, =,=. =+=+. (2) = = =90, =. 又 =,. =,=. =-=- 41. 如图所示, 已知,,=,= 求证 :(1)=;( 2)

23 M (1),, = =90, + = +, 即 =, 在和中, =, =,=, (SS), =; (2) 如图, 根据 (1),, =,, =90, + =90, = M( 对顶角相等 ), + M=90, 在 M 中, M= M= =90,. 42. 如图 :,,M=,N= 求证:(1)M=N;( 2)M N N 4 3 M 1 证明 : (1), 2

24 M+ =90, N+ =90 M= N M=,N= M N M=N (2) M N M= N N+ N=90 M+ N=90 即 MN=90 M N 43. 如图, 已知 =,=,=,=. 求证 : 在和中,= = = ( 边角边 ) = 在四边形中 = = 四边形是平行四边形 44. 如图, 已知, 分别平分和, 过点, 则与 + 相等吗? 请说明理由

25 在上取点 N, 使得 N= = N 为公共, N N= 又平行 + =180 而 N+ N=180 N= N= N 为公共边 N =N =N+N=+ 45 ( 10 分 ) 如图, 已知 : 是上的中线, 且 =. 求证 :. 证明 : 是的中线 = =( 已知 ) = 则 = ( 内错角相等, 两直线平行 ) 46 (10 分 ) 已知 : 如图,=,,,, 是垂足,. 求证 :.

26 证明 :, = =90º 又 =,= Rt Rt (HL) = = // 47 (10 分 ) 如图, 已知 1= 2, 3= 4, 求证 := , 3= 4 O=O 在 O 和 O 中 1= 2 O=O O= O O O O=O O+O=O+O = 在和中 =, 3= 4 = = 48 (10 分 ) 如图, 已知,,=,=, 试猜想线段与的大小与位置关系, 并证明你的结论.

27 > 当越小, 则越小证明 : 过作平行线与交于, 连接由已知条件知为平行四边形, 为矩形, 且为等腰三角形 RT 中, 为锐角, 即 <90 // = <90 中 = =(180 - )/2>45 RT 中, =90 - <45 =90 - >45 > = = > 49 (10 分 ) 如图, 已知 =,=,=, 求证 :=. =,=,=, = 又 =,= = 50. 如图 9 所示, 是等腰直角三角形, =90, 是边上的中线, 过作的垂线, 交于点, 交于点, 求证 : =. 图 9

28 作 G, 交于 H, 则 H=45º, H=45º H=90º-, =90º- H= 又 =, H= =45º H, H= 又 H= =45º, = =

<4D F736F F D20B3F5B6FEC7EFBCBEB5DACBC4BDB2BFCEBAF3D7F7D2B5B4F0B0B8A3A8BCE2B6CBB0E0A3A92E646F63>

<4D F736F F D20B3F5B6FEC7EFBCBEB5DACBC4BDB2BFCEBAF3D7F7D2B5B4F0B0B8A3A8BCE2B6CBB0E0A3A92E646F63> 初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换旋转习题. 为等边内一点, = 3, = 3, 求证 : 以为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析绕点旋转到 ', 可得 ' 就是以为边构成的三角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = 80 63 53 = 64, 即三角形各个内角度数分别为 53 63 和 64