目 录 第 一 章 行 列 式 内 容 小 结 性 质 与 定 理 常 用 结 论 两 个 典 型 例 题 行 列 式 计 算 的 常 见 方 法 基 本 计 算 思 路 常 用 化 简 手 法 辅 助 算 法 4 4 特 殊 行 列 式 : Vandermonde 行 列 式 5 5 小 知 识

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1 线 性 代 数 总 结 与 复 习 线 性 代 数 总 结 与 复 习 武 汉 大 学 黄 正 华 武 汉 大 学 黄 正 华 Wuhan University

2 目 录 第 一 章 行 列 式 内 容 小 结 性 质 与 定 理 常 用 结 论 两 个 典 型 例 题 行 列 式 计 算 的 常 见 方 法 基 本 计 算 思 路 常 用 化 简 手 法 辅 助 算 法 4 4 特 殊 行 列 式 : Vandermonde 行 列 式 5 5 小 知 识 6 5 线 性 代 数 简 介 6 5 行 列 式 简 史 6 第 二 章 矩 阵 及 其 运 算 8 内 容 小 结 8 题 型 举 例 9 矩 阵 运 算 9 伴 随 矩 阵 0 逆 矩 阵 4 矩 阵 方 程 第 三 章 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组 5 内 容 小 结 5 本 章 重 点 5 要 避 免 的 错 误 6 题 型 举 例 7 线 性 方 程 组 的 判 定 7 矩 阵 方 程 9 矩 阵 的 秩 0 4 初 等 变 换 5 逆 矩 阵 附 录 分 块 初 等 阵 和 分 块 阵 的 初 等 变 换 第 四 章 向 量 组 的 线 性 相 关 性 6 4 内 容 小 结 6 4 本 章 要 点 6 4 重 新 理 矩 阵 秩 的 性 质 7 4 题 型 举 例 8 4 向 量 组 的 线 性 相 关 性 8 4 线 性 方 程 组 的 46 4 矩 阵 的 秩 48

3 目 录 第 五 章 相 似 矩 阵 及 二 次 型 5 5 内 容 小 结 5 5 重 点 释 疑 5 5 重 要 结 论 55 5 题 型 举 例 57 5 特 征 值 与 特 征 向 量 57 5 实 对 称 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 59 5 判 别 正 定 性 6 54 正 交 矩 阵 6 5 矩 阵 简 史 6 第 六 章 总 结 64 6 全 书 概 览 64 6 要 点 TOP 例 题 TOP 综 合 题 型 65

4 第 一 章 行 列 式 在 线 性 代 数 中 最 重 要 的 内 容 就 是 行 列 式 和 矩 阵 虽 然 表 面 上 看, 行 列 式 和 矩 阵 不 过 是 一 种 符 号 或 速 记, 但 从 数 学 史 上 来 看, 优 良 的 数 学 符 号 和 生 动 的 概 念 是 数 学 思 想 产 生 的 动 力 和 钥 匙 内 容 小 结 性 质 与 定 理 本 章 学 习 了 行 列 式 的 6 个 性 质 及 个 推 论, 行 列 式 按 行 列 展 开 的 定 理 及 其 推 论, 共 0 个 结 论 下 面 做 三 点 归 纳 一 行 列 式 的 三 种 变 换 性 质 性 质 性 质 6 是 三 个 重 要 的 结 论, 它 们 涉 及 了 行 列 式 的 三 种 重 要 变 换 : 互 换 某 两 行 列 ; 记 作 r i r j c i c j 提 出 某 一 行 列 的 公 因 子 ; 记 作 r i k c i k 把 某 一 行 列 的 k 倍 加 到 另 一 行 列 ; 记 作 r i + kr j c i + kc j 计 算 行 列 式 最 常 用 的 一 种 方 法 就 是 利 用 变 换 r i + kr j 和 r i r j, 把 行 列 式 化 为 上 三 角 形 行 列 式, 从 而 算 得 行 列 式 的 值 二 行 列 式 为 零 的 两 种 情 形 : 两 行 列 相 同 两 行 列 成 比 例 三 行 列 式 按 某 行 展 开 的 两 种 情 形 : 按 任 一 行 展 开 定 理 一 行 元 素 乘 以 另 一 行 对 应 元 素 的 代 数 余 子 式, 其 和 为 零 定 理 的 推 论 上 述 情 形, 综 合 起 来 就 是 一 个 表 达 式 : { n D, k = i, a k A i + a k A i + + a kn A in = a ks A is = 0, k i; s= 还 有 两 个 性 质, 比 较 简 单 : D T = D 性 质 行 列 式 的 裂 开 性 质 5 常 用 结 论 对 角 行 列 式 λ n λ λ λ n λ λ = λ λ λ n = nn λ λ λ n

5 第 一 章 行 列 式 三 角 形 行 列 式 a a a 0 0 a n a n a n a nn = a a a nn = a a a n 0 a a n 0 0 a nn 4 a n a,n a n a n a n a nn = nn a n a,n a n = a a,n a n a a,n a n 5 准 三 角 形 行 列 式 a a k 0 0 a k a kk 0 0 c c k b b r c r c rk b r b rr = a a k a k a kk b b r b r b rr 6 对 角 行 列 式 是 三 角 形 行 列 式 的 特 例, 三 角 形 行 列 式 又 是 准 三 角 形 行 列 式 的 特 例 4 范 德 蒙 德 行 列 式 x x x x n x x x x n x n x n x n x n n = n i>j x i x j 两 个 典 型 例 题 这 两 个 例 子 很 有 代 表 性, 我 们 给 出 其 一 题 多, 基 本 涵 盖 了 行 列 式 计 算 的 所 有 常 见 方 法 典 型 例 题 及 其 变 形, 广 泛 出 现 在 各 类 考 题 中 典 型 例 题 计 算 n 阶 行 列 式 D n = x a a a x a a a x

6 两 个 典 型 例 题 : 法 一 将 第 一 行 乘 分 别 加 到 其 余 各 行, 得 D n = x a a a a x x a 0 0 a x 0 x a 0 a x 0 0 x a, 再 将 各 列 都 加 到 第 一 列 上, 得 D n = x + n a a a a 0 x a x a x a = x + n a x a n 法 二 将 各 列 都 加 到 第 一 列 得 D n = x + n a a a x + n a x a x + n a a x = x + n a a a x a a x, 再 将 第 一 行 乘 以 分 别 加 到 其 余 各 行, 得 D n = x + n a a a a 0 x a x a x a = x + n a x a n 法 三 升 阶 法 D n = a a a 0 x a a 0 a x a 0 a a x n+ n+ r i r ======= i=,, a a a x a x a x a n+ n+, 若 x = a, 则 D n = 0 若 x a, 则 将 x a c j 加 到 c, j =,,, n + : D n = + a x a n a a a 0 x a x a x a n+ n+

7 4 第 一 章 行 列 式 = + na x a n = x + n a x a n x a 法 四 将 D n 的 第 列 拆 开, 得 D n = x a a a a 0 x a a 0 a x a 0 a a x + a a a a a x a a a a x a a a a x = x ad n + ax a n 所 以 D n = x ad n + ax a n, x ad n = x a D n + ax a n, x a n D = x a n D + ax a n 将 上 述 等 式 累 加, 消 掉 等 号 两 边 的 相 同 项, 并 注 意 到 D = x a, 则 D n = x a n x a + n ax a n = x + n a x a n 注 这 个 行 列 式 经 常 以 不 同 的 样 子 出 现, 比 如 0 0 D n = = n n, 0 a a a a D n = = [ + n a] a n, a a + λ + λ D n = = λ + n λ n + λ 注 这 是 一 个 重 要 的 例 题 法 一 最 简 单 法 二 是 因 为 所 有 的 列 行 加 到 某 一 列 行, 其 值 相 等, 可 以 提 出 公 因 子 是 一 个 常 用 的 方 法 法 三 称 为 升 阶 法 或 加 边 法, 在 这 个 题 中 看 似 笨 拙, 实 则 是 一 类 重 要 的 方 法 比 如 这 个 题 目 可 以 改 一 下 : x a a a x a D n = 7 a a x n

8 两 个 典 型 例 题 5 此 时 法 二 是 不 适 用 的 这 个 题 还 可 以 进 一 步 改 为 : x a a n a x a n D n = a a x n 8 行 列 式 7 和 8 用 升 阶 法 很 方 便 注 行 列 式 7 的 结 果 : 假 定 x i a, 得 D n = + 行 列 式 8 的 结 果 : 假 定 x i a i, 得 D n = + n a n x i a x i a i= n i= a i n x i= i a i i= x i a i 行 列 式 7 和 8 有 很 多 不 同 的 出 现 形 式, 常 见 于 各 类 教 材 和 习 题, 也 是 极 常 见 的 试 题 比 如 + a + a D n = + a = a + n n n n + a a + b a a a n a a + b a a n D n = a a a + b a n = b n n i= a a a a n + b nn + a n 这 里 顺 便 提 一 下 爪 形 行 列 式 在 法 三 中 出 现 了 下 面 形 式 的 行 列 式 : a a a a n a a 0 0 a 0 a 0 a n 0 0 a nn 可 以 谓 之 爪 形 行 列 式 它 的 法 是 固 定 的 比 如 计 算 行 列 式 假 定 a i 0: a i + b 00 年 考 研 数 学 三 D n+ = a 0 a a a n

9 6 第 一 章 行 列 式 分 别 将 第 i i =,, n + 行 乘 以 a i 加 到 第 行, 得 D n+ = a 0 n i= a i a a a n = a a a n a 0 n i= a i 再 看 一 些 典 型 例 题 的 变 形 例 计 算 n 阶 行 列 式 D n = x a a a a x a a a a x a a a a x 按 第 一 列 拆 开, D n = a a a a a x a a a a x a a a a x + x a a a a 0 x a a 0 a x a 0 a a x = ax + a n + x ad T n 9 对 称 地 可 知 Dn T = x a a a a x a a a a x a a a a x = ax a n + x + ad n 所 以 D n = D T n = ax a n + x + ad n 0 于 是, 联 立 9 和 0, 消 去 D n, 得 ad n = ax + a n + ax a n 当 a 0 时, 有 易 见 当 a = 0 时, 结 论 也 成 立 D n = x + an + x a n

10 两 个 典 型 例 题 7 例 计 算 n 阶 行 列 式 a b: D n = x a a a a b x a a a b b x a a b b b x a b b b b x 从 r 开 始, 各 行 减 去 下 一 行 : ========= r i r i+ D n i=,,n x b a x x b a x x b x b a x b b b b x 展 开 c ======= x bdn + n+ b a x n = x bd n + bx a n 由 D n 表 达 式 中 a, b 的 对 称 性, 知 D T n = x ad T n + ax b n, 而 D T n = D n, D T n = D n, 可 得 联 立 和 式, 消 去 D n 得 典 型 例 题 试 证 D n = x ad n + ax b n D n = ax bn bx a n a b x x x a n a n a n a x + a = x n + a x n + + a n x + a n 证 明 : 法 一 设 法 把 主 对 角 线 上 的 x 变 为 0, 再 按 第 一 列 展 开 D n = x x x x a n a n a n a a x + a

11 8 第 一 章 行 列 式 x x c n +xc n ======== x a n a n a n a x + a x + a x + a x x c n +xc n ========== a n a n a n x + a x + a x + a x + a x + a x + a c j+xc j ======== x n + a x n + + a n x n + a x n + + a n x + a x + a x + a =x n + a x n + + a n x + a n n =x n + a x n + + a n x + a n n+ n =x n + a x n + + a n x + a n 法 二 设 法 把 全 部 变 为 0, 得 到 一 个 下 三 角 矩 阵 若 x = 0, 则 D n = a n 等 式 成 立 若 x 0, 则 D n n n x x 0 0 c + x ===== c x a n a n + an x a n a x + a x x c + x ===== c x a n a n + an x a n + an x + an x a x + a =

12 两 个 典 型 例 题 9 这 里, = x x x 0 a n a n + an x a n + an x P = a + a x + a 4 x + + a n x n, P = x + a + a x + a x an x P P a n x n 得 到 下 三 角 阵, 所 以 D n = x n P = x n + a x n + + a n x + a n 法 三 用 递 归 法 证 明 记 D n = x x x a n a n a n a x + a, 则 展 开 c D n ======x x x a n a n a x + a + a n n x x = xd n + a n n+ n = xd n + a n 所 以, D n = xd n + a n 由 此 递 归 式 得 D n = x n + a x n + + a n x + a n 法 四 按 最 后 一 行 展 开 先 看 a n i 的 代 数 余 子 式 因 为 D n = x x x x x x x a n a n a n a n i a n i a n i+ a x + a

13 0 第 一 章 行 列 式 划 掉 a n i 所 在 的 行 和 所 在 的 列, 左 上 角 是 i i 的 方 块, 右 下 角 是 n i n i 的 方 块, 余 下 全 为 0 则 a n i 的 代 数 余 子 式 为 注 意 到 a n i 处 在 第 n 行 i + 列 n+i+ x x x x i i x x n i n i = x i 所 以, D n 按 最 后 一 行 展 开, 得 到 D n = a n + a n x + a n x + + a n i x i + + a x n + x + a x n = x n + a x n + + a n x + a n 法 五 针 对 c 作 变 换 D n = x x x x a n a n a n a x + a c +xc ====== x x x x a n + a n x a n a n a x + a c +x c ======= x 0 0 x 0 x x a n + a n x + a n x a n a n a x + a = = x x x P a n a n a x + a, 这 里, P = a n + a n x + a n x + + a x n + x n

14 行 列 式 计 算 的 常 见 方 法 再 按 第 一 列 展 开, 得 D n = x n + a x n + + a n x + a n 行 列 式 计 算 的 常 见 方 法 从 题 的 宏 观 思 路 看, 有 三 角 化 降 阶 法 递 推 法 等 方 法 ; 从 具 体 的 微 观 手 法 看, 有 行 累 加 主 行 消 法 逐 行 消 法 逐 行 相 邻 互 换 等 方 法 ; 还 有 一 些 非 主 流 的 方 法, 如 升 阶 裂 开 等 基 本 计 算 思 路 三 角 化 化 行 列 式 为 三 角 形 是 计 算 行 列 式 的 最 基 本 思 路 通 过 观 察 行 列 式 的 特 点, 利 用 行 列 式 的 性 质 将 其 作 变 形, 再 将 其 化 为 三 角 形 行 列 式 例 计 算 n 阶 行 列 式 D = n n n n n n 5 n n n n 各 行 只 有 副 对 角 线 元 素 不 同 将 第 行 乘 以 加 到 第,,, n 行, 得 n n D = 0 n n = nn n! 例 4 计 算 行 列 式 的 值 : D n = n n 4 n 4 5 n n n 注 意 到 从 第 列 开 始, 每 一 列 与 它 后 一 列 中 有 n 个 数 相 差 依 次 进 行 列 运 算 : 第 n 列 加 上 第 n 列 的 倍 ; 第 n 列 加 上 第 n 列 的 倍 ; 一 直 到 第 列 加 上 第 列 的 倍 得 n D n = n r i r ======= i=,,n n n n 0 0 n 0 n n 0 0 0

15 第 一 章 行 列 式 + n + + n n r + 0 n 0 n ======= ri i=,,n n n n n 0 0 n 0 n + = 0 n 0 0 n 降 阶 法 n + = n n n n n + = n n nn n n 按 一 行 列 展 开 或 按 Laplace 定 理 展 开, 将 n 阶 行 列 式 降 为 较 低 阶 又 容 易 计 算 的 行 列 式, 此 方 法 统 称 为 降 阶 法 例 5 计 算 n 阶 行 列 式 D n = a b a b a b b a 按 第 一 列 展 开, D n = a n + n+ b n 递 推 法 一 般 地, 递 推 方 法 是 通 过 降 阶 等 途 径, 建 立 n 阶 行 列 式 D n 和 较 它 阶 低 的 结 构 相 同 的 行 列 式 之 间 的 关 系, 并 求 得 D n 例 6 计 算 如 下 的 n 阶 三 对 角 行 列 式 D n = a + b ab a + b ab a + b ab a + b

16 行 列 式 计 算 的 常 见 方 法 按 第 列 展 开, 得 D n = a + bd n ab 0 0 a + b ab a + b ab a + b ab a + b = a + bd n abd n 由 得 到 D n bd n = ad n bd n = a D n bd n = = a n D bd 又 D = a + b, D = a + b + ab, 得 同 理 或 由 a, b 的 对 称 性 得 D n bd n = a n 4 D n ad n = b n 5 若 a b, 联 立 4 和 5 消 去 D n, 得 D n = an+ b n+ a b 若 a = b, 则 D n = ad n + a n 依 此 递 推, 得 D n = n + a n 注 4 与 递 推 过 程 相 反 的 方 法 是 归 纳 如 要 计 算 n 阶 行 列 式 D n =, 因 为 D = =, D = 7 =, D = 5 = 4 因 此, 猜 想 D n = n+, 并 利 用 数 学 归 纳 法 易 证 此 结 论 成 立 常 用 化 简 手 法 要 计 算 一 个 n 阶 行 列 式, 往 往 要 利 用 行 列 式 性 质 将 它 化 简 为 此, 总 结 上 面 例 子 有 以 下 三 种 常 用 手 法 : 行 累 加, 即 把 行 列 式 的 某 n 个 行, 加 到 余 下 的 一 行 当 行 列 式 的 各 行 的 和 相 同 时 常 使 用 此 技 巧 主 行 消 法, 即 某 行 的 适 当 倍 数, 加 到 其 余 的 各 行 逐 行 消 法, 即 第 i 行 乘 以 k 加 到 第 i + 行, i = n, n,, ; 或 第 i + 行 乘 以 k 加 到 第 i 行, i =,,, n 逐 行 相 邻 互 换

17 4 第 一 章 行 列 式 当 然, 这 些 方 法 都 是 行 列 式 三 种 基 本 变 换 的 高 级 形 式 例 7 计 算 行 列 式 D = 各 列 加 到 第 一 列 后, 各 行 减 去 第 一 行, D = 60 例 8 计 算 行 列 式 D n = n n n n 各 列 加 到 第 一 列, 再 展 开 第 一 列, 得 n n +! D n = 辅 助 算 法 升 阶 将 n 阶 行 列 式 添 上 一 行 一 列, 变 为 n + 阶 行 列 式 再 化 简 计 算 也 称 加 边 法 当 然 加 边 不 是 随 便 加 一 行 一 列 就 可 以 了 关 键 是 观 察 每 行 或 每 列 是 否 有 相 同 的 因 子 例 9 计 算 n 阶 行 列 式 : D n = x + x x x x n x x x + x x n x n x x n x x n + 分 析 暂 时 不 看 主 对 角 线 上 的, 则 第 i 行 是 x i 与 x, x,, x n 相 乘 该 行 列 式 每 行 有 相 同 的 因 子 x, x,, x n, 从 而 考 虑 加 边 法 x x x n x x x n 0 x + x x x x n x 0 0 D n = 0 x x x + x x r i+ x ir n ======== x 0 0 i=,,n 0 x n x x n x x n + x n n x i x x x n i= c +x ic i+ n ======== i=,,n = + x i i= n+ n+

18 4 特 殊 行 列 式 : Vandermonde 行 列 式 5 注 意 升 阶 法 最 大 的 特 点 就 是 要 找 出 每 行 或 每 列 相 同 的 因 子, 把 及 这 些 相 同 的 因 子 作 为 新 行 列 式 的 第 一 行, 那 么 升 阶 之 后, 就 可 利 用 行 列 式 的 性 质 把 绝 大 部 分 元 素 化 为 零, 从 而 简 化 计 算 裂 开 将 一 个 行 列 式 裂 开 成 个 或 个 以 上 行 列 式 来 化 简 计 算 例 0 试 证 b + c c + a a + b q + r r + p p + q y + z z + x x + y = a b c p q r x y z 记 左 端 行 列 式 为 D, 利 用 行 列 式 的 性 质, 将 D 的 第 列 拆 开 得 到 两 个 行 列 式 b c + a a + b c c + a a + b D = q r + p p + q + r r + p p + q y z + x x + y z z + x x + y 将 第 一 个 行 列 式 中 将 第 列 减 去 第 列, 在 第 个 行 列 式 中 将 第 列 减 去 第 列 : b c + a a c a a + b D = q r + p p + r p p + q y z + x x z x x + y b c a c a b a b c = q r p + r p q = p q r y z x z x y x y z 得 证 4 特 殊 行 列 式 : Vandermonde 行 列 式 例 计 算 行 列 式 D n = a + a + a n + a + a a + a a n + a n a n + a n a n + a n a n n + a n n 从 第 二 行 起, 各 行 减 去 上 一 行, 得 一 范 德 蒙 行 列 式 D n = a i a j j<i n 例 计 算 行 列 式 : D n = n n n n n n

19 6 第 一 章 行 列 式 将 第 i 行 提 公 因 子 i, 得 D n = n! n n n n n n = n! x i x j n i>j = n! 4 n 4 n n n = n! n! n!!! 5 小 知 识 5 线 性 代 数 简 介 线 性 代 数 Linear Algebra 是 代 数 学 的 一 个 分 支, 主 要 处 理 线 性 关 系 问 题 线 性 关 系 意 即 数 学 对 象 之 间 的 关 系 是 以 一 次 形 式 来 表 达 的 例 如, 在 析 几 何 里, 平 面 上 直 线 的 方 程 是 二 元 一 次 方 程 ; 空 间 平 面 的 方 程 是 三 元 一 次 方 程, 而 空 间 直 线 视 为 两 个 平 面 相 交, 由 两 个 三 元 一 次 方 程 所 组 成 的 方 程 组 来 表 示 含 有 n 个 未 知 量 的 一 次 方 程 称 为 线 性 方 程 关 于 变 量 是 一 次 的 函 数 称 为 线 性 函 数 线 性 关 系 问 题 简 称 线 性 问 题 线 性 方 程 组 的 问 题 是 最 简 单 的 线 性 问 题 线 性 代 数 作 为 一 个 独 立 的 分 支 在 0 世 纪 才 形 成, 然 而 它 的 历 史 却 非 常 久 远 最 古 老 的 线 性 问 题 是 线 性 方 程 组 的 法, 在 中 国 古 代 的 数 学 著 作 九 章 算 术 方 程 章 中, 已 经 作 了 比 较 完 整 的 叙 述, 其 中 所 述 方 法 实 质 上 相 当 于 现 代 的 对 方 程 组 的 增 广 矩 阵 的 行 施 行 初 等 变 换, 消 去 未 知 量 的 方 法 随 着 研 究 线 性 方 程 组 和 变 量 的 线 性 变 换 问 题 的 深 入, 行 列 式 和 矩 阵 在 8~9 世 纪 期 间 先 后 产 生, 为 处 理 线 性 问 题 提 供 了 有 力 的 工 具, 从 而 推 动 了 线 性 代 数 的 发 展 向 量 概 念 的 引 入, 形 成 了 向 量 空 间 的 概 念 凡 是 线 性 问 题 都 可 以 用 向 量 空 间 的 观 点 加 以 讨 论 因 此, 向 量 空 间 及 其 线 性 变 换, 以 及 与 此 相 联 系 的 矩 阵 理 论, 构 成 了 线 性 代 数 的 中 心 内 容 线 性 代 数 的 含 义 随 数 学 的 发 展 而 不 断 扩 大 线 性 代 数 的 理 论 和 方 法 已 经 渗 透 到 数 学 的 许 多 分 支, 同 时 也 是 理 论 物 理 和 理 论 化 学 所 不 可 缺 少 的 代 数 基 础 知 识 以 直 代 曲 是 人 们 处 理 很 多 数 学 问 题 时 一 个 很 自 然 的 思 想 很 多 实 际 问 题 的 处 理, 最 后 往 往 归 结 为 线 性 问 题, 它 比 较 容 易 处 理 因 此, 线 性 代 数 在 工 程 技 术 和 国 民 经 济 的 许 多 领 域 都 有 着 广 泛 的 应 用, 是 一 门 基 本 的 和 重 要 的 学 科 线 性 代 数 的 计 算 方 法 是 计 算 数 学 里 一 个 很 重 要 的 内 容 Algebra 一 词 来 源 于 9 世 纪 阿 拉 伯 数 学 家 和 天 文 学 家 花 拉 子 米 al-khowārizmi, 约 780 约 850 的 重 要 著 作 al-jabr w almuqabala 的 名 称 原 义 是 还 原 al-jabr 与 相 消 almuquabalah, 即 方 程 两 端 的 移 项 和 同 类 项 合 并, 简 称 为 algebra 清 初 输 入 中 国 时, 译 为 阿 尔 热 巴 拉 梅 瑴 成, 76, 后 改 译 为 代 数 学 李 善 兰, 85 代 数 一 词 源 自 一 个 朴 素 的 认 识 : Algebra 的 特 征 是 以 符 号 代 替 数 字 李 善 兰 8 88 创 译 了 许 多 科 学 名 词, 如 函 数, 方 程 式, 微 分, 积 分, 级 数, 植 物, 细 胞 等 5 行 列 式 简 史 行 列 式 出 现 于 线 性 方 程 组 的 求, 它 最 早 是 一 种 速 记 的 表 达 式, 现 在 已 经 是 数 学 中 一 种 非 常 有 用 摘 抄 整 理 自 中 国 大 百 科 全 书 数 学 P757: 线 性 代 数 词 条 ; P: 代 数 学 词 条 ; P0: 花 拉 子 米 词 条 ; P44: 李 善 兰 词 条

20 5 小 知 识 7 的 工 具 行 列 式 是 由 莱 布 尼 茨 和 日 本 数 学 家 关 孝 和 发 明 的 69 年 4 月, 莱 布 尼 茨 在 写 给 洛 比 达 的 一 封 信 中 使 用 并 给 出 了 行 列 式, 并 给 出 方 程 组 的 系 数 行 列 式 为 零 的 条 件 同 时 代 的 日 本 数 学 家 关 孝 和 在 其 著 作 伏 题 元 法 中 也 提 出 了 行 列 式 的 概 念 与 算 法 750 年, 瑞 士 数 学 家 克 莱 姆 G Cramer, 在 其 著 作 线 性 代 数 分 析 导 引 中, 对 行 列 式 的 定 义 和 展 开 法 则 给 出 了 比 较 完 整 明 确 的 阐 述, 并 给 出 了 现 在 我 们 所 称 的 线 性 方 程 组 的 克 莱 姆 法 则 稍 后, 数 学 家 贝 祖 E Bezout, 将 确 定 行 列 式 每 一 项 符 号 的 方 法 进 行 了 系 统 化, 利 用 系 数 行 列 式 概 念 指 出 了 如 何 判 断 一 个 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 总 之, 在 很 长 一 段 时 间 内, 行 列 式 只 是 作 为 线 性 方 程 组 的 一 种 工 具 使 用, 并 没 有 人 意 识 到 它 可 以 独 立 于 线 性 方 程 组 之 外, 单 独 形 成 一 门 理 论 加 以 研 究 在 行 列 式 的 发 展 史 上, 第 一 个 对 行 列 式 理 论 做 出 连 贯 的 逻 辑 的 阐 述, 即 把 行 列 式 理 论 与 线 性 方 程 组 求 相 分 离 的 人, 是 法 国 数 学 家 范 德 蒙 A-T Vandermonde, 特 别 地, 他 给 出 了 用 二 阶 子 式 和 它 们 的 余 子 式 来 展 开 行 列 式 的 法 则 就 对 行 列 式 本 身 这 一 点 来 说, 他 是 这 门 理 论 的 奠 基 人 77 年, 拉 普 拉 斯 在 一 篇 论 文 中 证 明 了 范 德 蒙 提 出 的 一 些 规 则, 推 广 了 他 的 展 开 行 列 式 的 方 法 继 范 德 蒙 之 后, 在 行 列 式 的 理 论 方 面, 又 一 位 做 出 突 出 贡 献 的 就 是 另 一 位 法 国 大 数 学 家 柯 西 85 年, 柯 西 在 一 篇 论 文 中 给 出 了 行 列 式 的 第 一 个 系 统 的 几 乎 是 近 代 的 处 理 其 中 主 要 结 果 之 一 是 行 列 式 的 乘 法 定 理 另 外, 他 第 一 个 把 行 列 式 的 元 素 排 成 方 阵, 采 用 双 足 标 记 法 ; 引 进 了 行 列 式 特 征 方 程 的 术 语 ; 给 出 了 相 似 行 列 式 概 念 ; 改 进 了 拉 普 拉 斯 的 行 列 式 展 开 定 理 并 给 出 了 一 个 证 明 继 柯 西 之 后, 在 行 列 式 理 论 方 面 最 多 产 的 人 就 是 德 国 数 学 家 雅 可 比 J Jacobi, , 他 引 进 了 函 数 行 列 式, 即 雅 可 比 行 列 式, 指 出 函 数 行 列 式 在 多 重 积 分 的 变 量 替 换 中 的 作 用, 给 出 了 函 数 行 列 式 的 导 数 公 式 雅 可 比 的 著 名 论 文 论 行 列 式 的 形 成 和 性 质 标 志 着 行 列 式 系 统 理 论 的 建 成 由 于 行 列 式 在 数 学 分 析 几 何 学 线 性 方 程 组 理 论 二 次 型 理 论 等 多 方 面 的 应 用, 促 使 行 列 式 理 论 自 身 在 9 世 纪 也 得 到 了 很 大 发 展 整 个 9 世 纪 都 有 行 列 式 的 新 结 果 除 了 一 般 行 列 式 的 大 量 定 理 之 外, 还 有 许 多 有 关 特 殊 行 列 式 的 其 他 定 理 都 相 继 得 到

21 第 二 章 矩 阵 及 其 运 算 矩 阵 是 一 个 数 表, 而 行 列 式 本 质 上 是 一 个 数 这 是 两 者 的 巨 大 区 别 本 章 重 点 : 内 容 小 结 一 矩 阵 的 运 算 特 别 是 矩 阵 乘 法 不 满 足 的 几 个 运 算 律 I 不 满 足 交 换 律, 即 AB = BA 一 般 不 成 立 特 别 地, 若 AB = BA, 则 称 矩 阵 A 和 B 是 可 交 换 的 相 应 地 要 注 意 以 下 几 点 : 矩 阵 乘 法 特 别 地 有 左 乘 和 右 乘 的 说 法, 比 如 B 左 乘 A 即 BA 和 B 右 乘 A 即 AB 是 完 全 不 同 的 在 提 取 公 因 子 的 时 候, 要 分 清 楚 是 从 左 侧 还 是 右 侧 提 出 比 如 AB B 可 以 写 为 A EB, 即 B 只 能 从 右 侧 提 出, 不 能 写 成 BA E 而 AB BC, 写 成 A CB 或 BA C, 都 是 错 误 的 由 于 不 满 足 交 换 律, 下 列 公 式 一 般 不 成 立 : AB k = A k B k ; A + BA B = A B ; 牛 顿 二 项 式 展 开 式 一 般 不 成 立, 比 如 最 简 单 的 公 式 A + B = A + AB + B 就 不 成 立 而 A 与 λe 当 然 是 可 交 换 的, 所 以 牛 顿 二 项 式 展 开 式 只 在 下 面 的 情 形 成 立 : II 不 满 足 消 去 律 : A + λe n = A n + C nλa n + C nλ A n + C n n λ n A + λ n E 当 AB = O 时, 不 能 推 出 A = O 或 B = O 当 AB = AC, 且 A O 时, 不 能 得 到 B = C 注 意, 当 A 可 逆 时, 消 去 律 是 成 立 的, 即 当 AB = O 时, 且 A = O 时, 有 B = O; 当 AB = AC, 且 A O 时, 有 B = C 问 : 由 A = O, 能 否 得 到 A = O? 由 A = E, 能 否 得 到 A = ±E? 由 aa + ba + ce = O 且 b 4ac 0, 能 否 得 到 A = b ± b 4ac E? a 上 述 都 是 不 成 立 的, 根 源 仍 然 是 因 为 矩 阵 乘 法 不 满 足 消 去 律 矩 阵 运 算 不 满 足 交 换 律, 不 满 足 消 去 律, 还 有 一 些 过 去 熟 知 的 公 式 在 矩 阵 理 论 里 并 不 成 立 前 述 是 线 性 代 数 初 学 者 最 容 易 犯 的 几 个 错 误 之 一, 为 数 不 少 的 人 会 一 直 犯 这 个 错 误 我 们 要 注 意, 虽 然 矩 阵 也 有 所 谓 的 加 法 乘 法, 但 是 这 和 我 们 熟 知 的 实 数 加 法 乘 法 是 完 全 不 同 的 运 算 的 对 象 不 同, 运 算 的 内 容 不 同, 当 然, 运 算 的 规 律 也 不 同 这 是 两 个 不 同 的 讨 论 范 围 里 的 不 同 运 算, 相 同 的 只 不 过 是 沿 用 了 以 前 的 称 谓 或 记 号 而 已, 我 们 不 要 被 这 一 点 相 同 而 忘 记 二 者 本 质 的 不 同 二 伴 随 矩 阵 AA = A A = A E 这 个 公 式 要 牢 记! 其 重 大 意 义 是 由 此 引 入 了 逆 矩 阵 的 讨 论 注 意 这 里 的 A 不 一 定 是 可 逆 的 若 A 0, 则 A = A A 它 在 理 论 上 给 出 了 求 逆 矩 阵 的 方 法, 但 是 并 不 实 用, 在 第 三 章 将 给 出 一 个 简 单 实 用 的 方 法 见 教 材 P64 例 8

22 题 型 举 例 9 三 逆 矩 阵 矩 阵 定 义 中 的 条 件 AB = BA = E 是 可 以 弱 化 的 : 设 A, B 为 方 阵, 若 AB = E, 则 A, B 可 逆, 且 互 为 逆 矩 阵 更 一 般 地, 对 方 阵 而 言, 若 A A A k = λe 且 λ 0, 则 矩 阵 A, A,, A k 都 是 可 逆 的 逆 矩 阵 在 运 算 中 实 现 了 除 法 的 功 能 在 矩 阵 中 没 有 除 法, 或 者 说, 我 们 通 过 引 入 逆 矩 阵, 避 免 了 对 除 法 的 讨 论 对 于 任 意 的 n 阶 方 阵 A 都 有 AE = EA = A 从 乘 法 的 角 度 来 看, n 阶 单 位 矩 阵 E 在 矩 阵 中 的 地 位 类 似 于 在 复 数 中 的 地 位 一 个 复 数 a 0 的 倒 数 可 以 用 等 式 aa = 来 刻 划, 相 仿 地, 我 们 引 入 记 号 A 表 示 A 的 逆 矩 阵, 并 且 满 足 AA = E 记 号 A 是 特 定 的, 它 不 能 写 成 A 矩 阵 可 逆 的 几 个 等 价 说 法 : 设 A 为 n 阶 方 阵, 矩 阵 A 可 逆 A 0 A 为 非 奇 异 矩 阵 其 他 的 等 价 说 法, 在 以 后 会 学 习 到 四 其 他 重 要 公 式 与 结 论 λa = λ n A AB = B A AB T = B T A T a b d b =, ad bc 0 c d ad bc c a A A A A = A k A A = A A A k A k O A O B = P56 习 题 7 B O A O O A m m B n n O = mn A B 使 用 Laplace 展 开 可 得 或 者, 将 A 所 在 行 的 最 后 一 行 开 B n n O 始, 与 B 所 在 的 n 行 进 行 相 邻 互 换, 共 进 行 m n 次 互 换 后, 得 到 O A k A m m 题 型 举 例 矩 阵 运 算 例 设 A, B 均 为 n n 矩 阵, 则 必 有 A A + B = A + B B AB = BA C AB = BA D A + B = A + B 选 C 特 别 注 意 选 项 D: A + B = A + B, 是 错 误 的

23 0 第 二 章 矩 阵 及 其 运 算 例 设 A, B, A + B, A + B 均 为 n 阶 可 逆 矩 阵, 则 A + B A A + B B A + B C AA + B B D A + B 首 先 就 可 以 排 除 A, B 选 项 B 和 上 例 中 的 D 是 一 样 的 错 误 正 确 选 项 是 C 事 实 上, A + B = EA + B E = B BA + B AA = B B + AA = A B + A B = AA + B B 例 已 知 α =,,, β =,,, 设 A = α T β, 求 A n 例 4 设 A = 由 A = 例 5 设 A = 由 A = A n = α T β n = α T βα T n β = n α T β = n 伴 随 矩 阵 例 6 证 明 下 列 结 论 : , 而 n 为 正 整 数, 求 A n A n n = A, 得 A n A n = A n A A = O, B = P AP, 其 中 P 为 三 阶 可 逆 矩 阵, 求 B 008 A, 且 A 4 = E, 得 B 008 A = P A 008 P A = P P A = 若 A = 0, 则 A = 0; A 不 可 逆, 则 A 也 不 可 逆 若 A 可 逆, 则 A 也 可 逆 此 时 A = A A, A = A = A A;

24 题 型 举 例 A = A n ; 4 ka = k n A ; 5 A T = A T 反 证 法 假 设 A 0, 即 A 可 逆 由 A = 0, 则 AA = A E = O 而 A 可 逆, 则 A = O, 这 导 致 A = O 与 假 设 A 0 矛 盾 故 若 A = 0, 则 A = 0 若 A 可 逆, 在 A A = A E 两 边 右 乘 A, 得 A = A A 又 A 可 逆, 则 A 0, 且 A 可 逆, 知 A = A A 可 逆, 且 A = A A = A A 另 由 伴 随 矩 阵 性 质 有 A A = A E, 两 边 右 乘 A 得 A = A A = A A 由 AA = A E 取 行 列 式 得 到 : A A = A E = A n 若 A = 0, 则 A = A n 若 A = 0, 由 知 A = 0, 此 时 命 题 也 成 立 4 因 为 ka 的 代 数 余 子 式 A ij = k n A ij, 故 ka = k n A 5 由 伴 随 矩 阵 的 定 义 A A A n A A A A n =, A n A n A nn 容 易 验 证 结 论 成 立 A O 例 7 设 A, B 为 n 阶 矩 阵, A, B 分 别 为 A, B 的 伴 随 矩 阵, 分 块 矩 阵 C =, 则 C 的 O B 伴 随 矩 阵 C = A A O B B O A B O B B O A A A B O B A O C D O B A O A B 为 了 方 便 地 得 到 正 确 选 项, 不 妨 设 A, B 为 可 逆 矩 阵, 则 C 也 可 逆 C = C C A = O 所 以 选 D O A O A O A B A O = A B = B O B O B O A B B 例 8 设 A, B 均 为 n 阶 矩 阵, A =, B =, 求 A B 由 A = A n, 所 以 A B = n A B = n A n n B =

25 第 二 章 矩 阵 及 其 运 算 例 9 设 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵 A = , 且 ABA = BA + E, 求 矩 阵 B 在 ABA = BA + E 两 边 同 时 右 乘 A, 得 AB = B + A 再 两 边 左 乘 A, 得 A B = A B + A E, 即 A E A B = A E 注 意 到 A = A n, 由 题 设 得 A = 所 以 E A B = 6E, 得 B = 6 E A = 逆 矩 阵 例 0 已 知 n 阶 矩 阵 A, B 满 足 B = E + A E A, 证 明 : E + B 可 逆, 并 求 其 逆 若 A = , 求 E + B 方 法 一 由 B = E + A E A, 两 边 左 乘 E + A 得 故 E + B 可 逆, 且 E + B = E + A 方 法 二 由 B = E + A E A, 得 B + AB = E A, E + A B + E + A = E, E + A E + B = E B = E + A E E + A, B = E + A E, B + E = E + A 故 E + B 可 逆, 且 E + B = E + A = 例 已 知 矩 阵 A, B 满 足 A B = B 4E, 证 明 矩 阵 A E 可 逆 若 B = 求 矩 阵 A ,

26 题 型 举 例 由 A B = B 4E 得 AB B = 4A, A E B = 4 A E + 8E, A E B 4E = 8E, 0 故 A E 可 逆 且 A = E + 8 B 4E = E = 矩 阵 方 程 例 设 矩 阵 A =, E 为 阶 单 位 矩 阵, 矩 阵 B 满 足 BA = B + E, 求 B 由 题 设 得 B A E = E, 则 A E 可 逆, 两 边 右 乘 A E 得 B = A E = = 例 设 A, B, C 均 为 n 阶 矩 阵, 若 B = E + AB, C = A + CA, 求 证 B C = E 由 B = E + AB, 得 E A B = E, 知 E A 可 逆, 且 由 C = A + CA, 得 C E A = A, 而 E A 可 逆, 所 以 B = E A C = A E A 将 和 相 减 得 B C = E A E A = E 例 4 设 矩 阵 X 满 足 A X = A + X, 求 矩 阵 X 由 A X = A +X, 两 边 左 乘 A 得 A X = E+AX, A E A X = E, X = A E A 0 0 例 5 矩 阵 X 满 足 AXA + BXB = AXB + BXA + E, 矩 阵 A = 0, B = 0 0, 求 X 0 移 项 得 AXA B BXA B = E, 即 AX BXA B = E, 所 以 A BXA B = E 则 A B 可 逆, 且 X = A B A B 又 A B = 0 0 0, 且 A B = 0 0 0,

27 4 第 二 章 矩 阵 及 其 运 算 得 X = 例 6 已 知 n 阶 矩 阵 A, B 满 足 条 件 AB B = A, 求 A 由 AB B = A 得 A E B E = E, A = E + B E 例 7 设 矩 阵 A, B 满 足 关 系 式 AB = A + B, 求 矩 阵 B 由 题 设 得 A B E = B, A B E = B E + E, A E B E = E, B E = A E, B = E + A E 例 8 设 矩 阵 A, B 满 足 A BA = BA 8E, 求 B A BA = BA 8E, A E BA = 8E, 故 A E, A, B 可 逆, 所 以 B = 8 A E A = 8 AA E = 8 A E A

28 第 三 章 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组 秩 是 矩 阵 的 一 种 内 在 属 性 矩 阵 的 这 种 内 在 属 性 是 与 生 俱 来 的, 一 个 矩 阵 一 旦 诞 生, 它 的 这 种 内 在 属 性 就 确 定 了 虽 然 初 等 变 换 可 以 把 它 们 变 得 面 目 全 非, 但 是 它 们 的 这 个 内 在 属 性 是 不 变 的 等 价 的 矩 阵, 看 上 去 各 各 不 同, 但 是 有 一 个 内 在 属 性 是 一 样 的, 那 就 是 它 们 的 秩 内 容 小 结 本 章 重 点 一 初 等 矩 阵 在 矩 阵 乘 法 中 的 功 能 复 制 传 递 初 等 矩 阵 是 怎 么 由 单 位 阵 得 来 的, 它 将 把 该 变 换 过 程 传 递 到 它 所 乘 的 矩 阵 ; 并 遵 循 左 乘 则 行 变, 右 乘 则 列 变 的 特 点 具 体 而 言, 设 P 为 初 等 矩 阵, i 若 P 左 乘 矩 阵 A, 则 P A 的 结 果 是 : 把 矩 阵 A 进 行 初 等 行 变 换, 并 且 P 是 怎 样 由 单 位 矩 阵 E 通 过 行 变 换 得 来, 矩 阵 A 就 进 行 完 全 相 同 的 行 变 换 ii 若 P 右 乘 矩 阵 A, 则 AP 的 结 果 是 : 把 矩 阵 A 进 行 初 等 列 变 换, 并 且 P 是 怎 样 由 单 位 矩 阵 E 通 过 列 变 换 得 来, 矩 阵 A 就 进 行 完 全 相 同 的 列 变 换 上 述 过 程 体 现 为 初 等 矩 阵 P 把 自 己 生 成 的 过 程 复 制 传 递 到 了 矩 阵 A 上 0 k 0 a a a a 4 设 P = 0 0 0, A = b b b b 4 c c c c 4 d d d d 4 i 若 计 算 P A, 则 把 A 进 行 初 等 行 变 换, P 是 由 单 位 矩 阵 E 经 行 变 换 r + kr 得 来, 则 把 A 就 进 行 相 同 的 行 变 换, 所 以 0 k 0 a a a a 4 a + kc a + kc a + kc a 4 + kc b b b b 4 0 c c c c 4 = b b b b 4 c c c c 4 d d d d 4 d d d d 4 ii 若 计 算 P A, 此 时 要 视 P 是 由 单 位 矩 阵 E 通 过 初 等 列 变 换 c + kc 得 来, 并 有 a a a a 4 0 k 0 a a a + ka a 4 b b b b c c c c 4 0 = b b b + kb b 4 c c c + kc c 4 d d d d 4 d d d + kd d 4 二 利 用 初 等 变 换 求 A ; A B 或 BA 在 本 章, 矩 阵 求 逆 和 矩 阵 方 程, 在 方 法 上 已 经 完 全 更 新 虽 然 我 们 不 再 通 过 伴 随 矩 阵 求 逆 矩 阵, 但 用 定 义 求 伴 随 矩 阵 的 方 法 仍 然 要 熟 练 掌 握 二 矩 阵 的 秩 初 等 变 换 不 改 变 矩 阵 的 秩 或 者 用 下 面 的 两 种 方 式 表 述 : i 若 A B, 则 RA = RB 但 RA = RB 不 能 得 A B, 除 非 两 者 是 同 型 矩 阵 ii 若 P, Q 可 逆, 则 RP AQ = RA 5

29 6 第 三 章 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组 矩 阵 和 差 积 的 秩 i RA RB RA ± B RA + RB ii RA + RB n RAB min { RA, RB } 其 中 A, B 分 别 为 s n 和 n m 矩 阵 三 线 性 方 程 组 有 判 别 一 般 的 方 程 Ax = b 的 情 形 对 n 元 线 性 方 程 组 Ax = b, 记 B = A, b 注 意 到 RB 比 RA 只 多 0 或 若 RB = RA +, 则 说 明 出 现 了 矛 盾 方 程, 导 致 方 程 组 无 若 RB = RA, 则 没 有 矛 盾 方 程, 方 程 组 有 其 中, i 当 RB = RA < n 时, 说 明 出 现 了 自 由 未 知 量, 导 致 方 程 组 有 无 限 多 ; ii 而 RB = RA = n 时, 则 没 有 出 现 自 由 未 知 量, 所 以 方 程 组 有 唯 一 是 否 出 现 矛 盾 方 程 是 方 程 组 有 与 否 的 关 键 ; 是 否 出 现 自 由 未 知 量 又 是 区 分 有 无 限 多 和 有 唯 一 的 关 键 换 成 秩 的 角 度 去 说 问 题, 就 呈 现 为 下 面 的 表 达 : { RA = RB = n, 有 唯 一 ; n 元 线 性 方 程 组 Ax = b 有 RA = RB 且 RA = RB < n, 有 无 限 多 n 元 线 性 方 程 组 Ax = b 无 RA RB 齐 次 方 程 组 Ax = 0 的 情 形 齐 次 方 程 组 Ax = 0 是 天 然 有 的, 它 至 少 有 一 个 : 零 所 以 对 齐 次 方 程 组 Ax = 0, 我 们 关 心 的 不 是 它 有 没 有, 而 是 它 是 否 有 非 零 下 面 的 结 论 要 非 常 的 清 楚 : n 元 齐 次 方 程 组 Ax = 0 只 有 零 的 充 要 条 件 是 RA = n n 元 齐 次 方 程 组 Ax = 0 有 非 零 的 充 要 条 件 是 RA < n 注 意 : i n 是 未 知 量 的 个 数, 或 者 说 是 矩 阵 A 的 列 数 RA < n 表 明 A 的 行 阶 梯 型 矩 阵 中 非 零 行 的 行 数, 小 于 n, 说 明 出 现 了 自 由 未 知 量, 导 致 方 程 组 的 不 唯 一, 所 以 有 非 零 ii 这 里 的 矩 阵 A 不 一 定 是 方 阵 这 个 结 论 较 第 一 章 P5 的 定 理 5 就 更 一 般 化 了, 而 且 是 充 要 条 件 线 性 代 数 的 基 本 内 容 的 中 心 问 题 是 线 性 方 程 组, 关 于 线 性 方 程 组 的 的 判 别 在 理 论 上 是 极 端 重 要 的, 必 须 熟 练 掌 握 特 别 是 本 章 的 例 题, 该 题 型 给 出 了 两 种 法 法 二 是 我 们 要 特 别 推 荐 的 : 克 拉 默 法 则 我 们 总 是 记 得 的, 系 数 行 列 式 A 0 就 得 到 了 使 方 程 组 有 唯 一 的 λ 的 值, 然 后 将 其 他 的 λ 值 代 入 方 程 组, 直 接 方 程 组 即 可 其 优 点 是 避 免 对 含 参 数 矩 阵 的 初 等 变 换, 缺 点 是 仅 适 用 于 系 数 矩 阵 为 方 阵 的 情 形 后 文 给 出 了 系 数 矩 阵 不 是 方 阵 的 题 型, 见 例 四 新 添 矩 阵 可 逆 的 等 价 说 法 n 阶 矩 阵 A 可 逆, 新 添 下 列 等 价 说 法 : A 是 满 秩 矩 阵 ; 或 RA = n 不 可 逆 矩 阵 又 称 为 降 秩 矩 阵 A 的 标 准 形 是 E; 或 A E A 可 以 表 达 为 有 限 个 初 等 矩 阵 的 乘 积 4 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = 0 只 有 零 5 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = b 有 唯 一 注 意, 第 一 章 的 克 拉 默 法 则 只 告 诉 了 我 们 矩 阵 A 可 逆 是 方 程 组 Ax = b 有 唯 一 的 充 分 条 件 要 避 免 的 错 误 求 矩 阵 秩 时, 行 变 换 和 列 变 换 可 以 随 意 进 行, 行 变 列 变 两 者 交 叉 进 行, 都 可 以 因 为 初 等 变 换 不 改 变 矩 阵 的 秩 而 方 程 和 求 逆 矩 阵 时 只 能 进 行 一 种 变 换 : 对 增 广 矩 阵 B = A, b 进 行 初 等 变 换 求 方 程 时, 只 有 行 变 换, 不 能 有 列 变 换 ; 因 该 过 程 本 质 上 是 消 元 法, 当 然 只 能 方 程 与 方 程 之 间 进 行 运 算, 在 对 应 的 增 广 矩 阵 中 就 体 现 为 初 等 行 变 换 用 矩 阵 初 等 变 换 A, E E, A 求 逆 矩 阵 时, 只 有 行 变 换, 不 能 有 列 变 换 其 他 的 情 形 类 似

30 题 型 举 例 7 题 型 举 例 线 性 方 程 组 的 判 定 例 已 知 方 程 组 a + a x x x = 无, 则 a = 方 程 组 无 的 充 要 条 件 是 RA RB 由 a + a 0 r r r r 0 a 0 a r + a r 0 a 0 0 a a a, 若 a =, 则 B , 此 时 RA =, RB =, 方 程 组 无 故 答 案 为 : a = 例 设 线 性 方 程 组 x + λx + µx + x 4 = 0, x + x + x + x 4 = 0, x + + λx µx + 4x 4 = 已 知,,, T 是 该 方 程 组 的 一 个 试 求 方 程 组 的 全 部 将,,, T 带 入 方 程 组, 得 λ = µ 即 方 程 组 为 x + λx + λx + x 4 = 0, x + x + x + x 4 = 0, x + + λx λx + 4x 4 = 记 方 程 组 的 系 数 矩 阵 为 A, 对 增 广 矩 阵 B 作 初 等 行 变 换, 有 B = r r r λ λ λ 4 + λ λ λ 0 0 r r r r r 0 λ λ r r 0 0 λ λ 0 0 I 当 λ = 时, B ,

31 8 第 三 章 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组 此 时 RA = RB = < n = 4, 方 程 组 有 无 限 多 又 r r , 得 同 方 程 组 及 其 通 为 x = x x 4, x = x x 4 +, x = x, x 4 = x 4, = x x x x 4 = k 0 + k 其 中 k, k 为 任 意 常 数 II 当 λ 时, r λ r r r r r r r r , 此 时 RA = RB = < n = 4, 方 程 组 有 无 限 多 得 同 方 程 组 及 其 通 为 x = x, x = x, x = x, x 4 = x + = x x x x 4 = k 其 中 k 为 任 意 常 数 例 设 A = 4 t, B 为 阶 非 零 矩 阵, 且 AB = O, 则 t = 即 言 矩 阵 方 程 AX = O 有 非 零, 则 RA <, 故 A = 0, 得 t = 例 4 设 A 是 m n 矩 阵, Ax = 0 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = b 所 对 应 的 齐 次 线 性 方 程 组, 则 下 列 结 论 正 确 的 是 A 若 Ax = 0 仅 有 零, 则 Ax = b 有 唯 一 B 若 Ax = 0 有 非 零, 则 Ax = b 有 无 穷 多 个 C 若 Ax = b 有 无 穷 多 个, 则 Ax = 0 仅 有 零 D 若 Ax = b 有 无 穷 多 个, 则 Ax = 0 有 非 零 若 A 是 m n 矩 阵, 则 下 列 基 本 结 论 要 非 常 清 楚 : Ax = 0 仅 有 零 RA = n Ax = 0 有 非 零 RA < n Ax = b 有 唯 一 RA = RA, b = n Ax = b 有 无 穷 多 个 RA = RA, b < n 选 项 A 错, 除 非 系 数 矩 阵 A 是 方 阵 B 错, 因 不 能 判 断 Ax = b 是 否 有 正 确 答 案 是 D

32 题 型 举 例 9 例 5 设 n 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = b 中 方 程 个 数 为 m, 矩 阵 A 的 秩 为 r, 则 A 当 r = m 时, 则 Ax = b 有 B 当 r = n 时, 则 Ax = b 有 唯 一 C 当 n = m 时, 则 Ax = b 有 唯 一 D 当 r < n 时, 则 Ax = b 有 无 穷 多 个 注 意 到 方 程 个 数 为 m, 即 A, b 行 数 为 m, R A, b m 当 r = m 时, 由 m = RA R A, b m, 得 R A, b = m, 即 RA = R A, b, 则 Ax = b 有 故 选 A B 错 误 : r = n 不 能 得 到 A, b = RA, 即 不 能 判 断 Ax = b 是 否 有 C 错 误 : 只 是 说 了 A 为 方 阵 而 已 D 错 误 : 不 能 判 断 Ax = b 是 否 有 矩 阵 方 程 用 初 等 变 换 可 以 方 便 的 计 算 A B 或 BA 为 了 再 次 提 醒 大 家 注 意 方 法 上 的 更 新, 我 们 回 头 去 一 下 前 一 章 的 题 目 例 6 P55 第 二 章 习 题 之 矩 阵 方 程 X 0 = 4 由 0 4 c c c c c + c c + c c + c 0 0 0, 得 X = 8 5 注 求 形 如 AXB = C 的 方 程, 仍 然 可 以 使 用 初 等 变 换 的 方 法 假 定 A, B 可 逆 分 两 步 : r i 由 初 等 行 变 换 A, C E, A C, 算 得 A C; B c E ii 由 初 等 列 变 换, 得 到 A CB A C A CB 例 7 P55 第 二 章 习 题 之 矩 阵 方 程 4 0 X = 0

33 0 第 三 章 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组 记 方 程 组 为 AXB = C A, C = 即 XB = A C = 4 所 以, X = A CB = 0 0 又 0 r + r r r r B c + c 0 c 0 A C, 矩 阵 的 秩 0 例 8 设 A 是 4 矩 阵, 且 RA =, 而 B = 0 0 则 RAB = 0, 因 为 B = 0 0, 即 B 可 逆 所 以 RAB = RA = k 例 9 设 矩 阵 A = k k, 且 RA =, 则 k = k k + k + k + k + k A k k k k 0 k 0 0 k, 得 k = 例 0 设 A 是 m n 矩 阵, C 是 n 阶 可 逆 矩 阵, 矩 阵 A 的 秩 为 r, 矩 阵 B = AC 的 秩 为 r, 则 A r > r ; B r < r ; C r = r ; D r 与 r 的 关 系 依 C 而 定 由 B = AC, 及 C 是 n 阶 可 逆 矩 阵, 知 B A, 故 选 C 这 个 题 目 很 基 本 : 可 逆 矩 阵 与 矩 阵 相 乘, 不 改 变 矩 阵 的 秩 见 教 材 矩 阵 秩 的 性 质 4 其 根 源 是 初 等 变 换 不 改 变 矩 阵 的 秩 a a a a 例 设 n n 阶 矩 阵 A =, 若 RA = n, 则 a 必 为 a a A B n C D n

34 题 型 举 例 a a a a A 不 是 满 秩 的, 即 A = 0 容 易 算 得 = [ + n a] a n, 得 a = n, a a 或 a = 而 a = 时 RA =, 舍 去 选 B 例 若 A n m B m n = E n n < m, 证 明 : R B m n = n 证 明 注 意 到 n < m, 有 n = R E n = RA n m B m n R B m n min{n, m} = n, 所 以, R B m n = n 4 初 等 变 换 例 设 A 是 阶 方 阵, 将 A 的 第 列 与 第 列 交 换 得 B, 再 把 B 的 第 列 加 到 第 列 得 C, 则 满 足 AQ = C 的 可 逆 矩 阵 Q 为 A 0 0 B 0 C 0 0 D 因 为 A c c B c + c C, 所 以 A = C 可 以 取 Q = = 0 0, 所 以 应 选 D 例 4 设 A 为 阶 矩 阵, 将 A 第 行 加 到 第 行 得 B, 再 将 B 的 第 列 的 倍 加 到 第 列 得 0 到 C, 记 P = 0 0, 则 0 0 A C = P AP B C = P AP C C = P T AP D C = P AP T 由 题 设 知 A = C, 所 以 C = P AP 选 B

35 第 三 章 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组 例 5 设 A 为 n n 阶 可 逆 矩 阵, 交 换 A 的 第 行 与 第 行 得 矩 阵 B, A, B 分 别 为 A, B 的 伴 随 矩 阵, 则 A 交 换 A 的 第 列 与 第 列 得 矩 阵 B B 交 换 A 的 第 行 与 第 行 得 矩 阵 B C 交 换 A 的 第 列 与 第 列 得 矩 阵 B D 交 换 A 的 第 行 与 第 行 得 矩 阵 B 为 表 述 方 便, 把 交 换 n 阶 单 位 矩 阵 E 的 第 行 与 第 行 得 的 初 等 矩 阵 记 为 P 由 题 设 知 P A = B 由 P A P A = P A E, 得 P A = P A A P = P A A P 注 意 到 P = P, P =, 而 由 A A = A E, 知 A = A A 得 B = P A = A A P = A P, 即 A P = B 因 P 亦 可 视 为 交 换 n 阶 单 位 矩 阵 E 的 第 列 与 第 列 得 的 初 等 矩 阵, A P 意 味 着 要 交 换 矩 阵 A 的 第 列 与 第 列, 所 以 选 C a a a 例 6 设 B = a a a a + a a + a a + a 关 系 式, 并 证 明 A, B 同 时 可 逆 或 同 时 不 可 逆, A = a a a a a a a a a, 试 给 出 A, B 间 的 由 题 设 知 A, B 间 的 关 系 式 为 A = B, 即 A = B 两 边 取 行 列 式 得 A = B, 即 A, B 同 时 为 零 或 同 时 不 为 零, 得 证 A, B 同 时 可 逆 或 同 时 不 可 逆 例 7 设 A 为 n 阶 可 逆 矩 阵, 将 A 的 第 i 行 与 第 j 行 对 换 后 得 的 矩 阵 记 为 B 试 证 B 可 逆 求 AB 把 交 换 n 阶 单 位 矩 阵 E 的 第 i 行 与 第 j 行 得 的 初 等 矩 阵, 记 为 Ei, j 由 题 设 知 Ei, ja = B A 为 可 逆 矩 阵, 即 A = 0, 又 注 意 到 Ei, j =, 所 以 得 证 B 可 逆 注 意 到 Ei, j = Ei, j, 得 5 逆 矩 阵 例 8 已 知 阶 方 阵 A 的 逆 矩 阵 为 A = B = Ei, ja = Ei, j A = A 0, AB = A Ei, ja = AA Ei, j = Ei, j, 试 求 A 的 伴 随 矩 阵 A 的 逆 矩 阵 已 知 A 可 逆, 由 A A = A E, 知 A = A A 所 以 A = A A = A = A A A

36 附 录 分 块 初 等 阵 和 分 块 阵 的 初 等 变 换 计 算 得 A = = 0 0 =, 且 0 0 A, E = , 所 以 A = = 附 录 分 块 初 等 阵 和 分 块 阵 的 初 等 变 换 将 分 块 乘 法 与 初 等 变 换 结 合 就 成 为 矩 阵 运 算 中 极 端 重 要 的 手 段 将 某 个 单 位 矩 阵 进 行 如 下 分 块 : Em O O 对 它 进 行 两 行 列 对 换 ; 某 一 行 列 左 乘 右 乘 一 个 矩 阵 P ; 一 行 列 加 上 另 一 行 列 的 P 矩 阵 倍 数, 就 可 得 到 如 下 三 类 分 块 初 等 矩 阵 : O En, 分 块 对 换 初 等 阵 E m O P O, 分 块 倍 乘 初 等 阵 O E n Em O 分 块 倍 加 初 等 阵 P A B 和 初 等 矩 阵 与 初 等 变 换 的 关 系 一 样, 用 这 些 矩 阵 左 乘 任 一 个 分 块 矩 阵, 只 要 分 块 乘 C D 法 能 够 进 行, 其 结 果 就 是 对 它 进 行 相 应 的 分 块 初 等 行 变 换 : O Em A B C D =, E n O C D A B P O A B P A P B =, 4 O E n C D C D Em O A B A B = 5 P C D C + P A D + P B E n E n E n, 同 样, 用 它 们 右 乘 任 一 矩 阵, 相 当 于 对 该 矩 阵 作 相 应 的 分 块 初 等 列 变 换 例 9 P56 习 题 7 设 n 阶 矩 阵 A 及 s 阶 矩 阵 B 都 可 逆, 求 O A B O ; A O C B

37 4 第 三 章 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组 法 一 设 O A B O C C C C 4 = E, 求 C, C, C, C 4 得 结 果 下 略 法 二 利 用 分 块 初 等 矩 阵 在 矩 阵 乘 法 中 的 功 能 因 为 O Es O A B O =, E n O B O O A B O B O Es O = = E O A O A O E n 所 以 B O O Es O A O A O = A E n B O O B O O Es = E, O B B O O A E n O = A O 法 三 利 用 分 块 初 等 变 换 求 由 O A E O r r B O O E B O O E O A E O B r A r E O O B O E A O, 得 O A O B = B O A O 更 一 般 的 结 论 是, 若 矩 阵 A, A,, A k 可 逆, 则 A k A A = A A A k 直 接 利 用 分 块 初 等 变 换 求 A O E O C B O E A r r C r E O A O C B O E E O A O O B CA E E O A O B r O E B CA B 所 以 A O C B = A B CA O B

38 附 录 分 块 初 等 阵 和 分 块 阵 的 初 等 变 换 5 注 上 述 的 7 式 中 的 变 换 为 什 么 写 成 r C r, 而 不 是 r r C? 注 意 这 里 是 行 变 换, 应 该 是 左 乘 否 则 会 导 致 下 面 的 错 误 : 6 r r C E O A O O B A C E r B E O A O O E A CB B 其 实, 分 块 初 等 矩 阵 可 以 分 为 有 限 个 初 等 矩 阵 的 乘 积, 分 块 初 等 矩 阵 在 矩 阵 乘 法 中 体 现 出 的 功 能, 是 初 等 矩 阵 的 相 应 功 能 的 浓 缩 比 如 8 中 只 写 了 一 步 B r 来 表 示 变 换 过 程, 其 实 就 是 数 个 初 等 行 变 换 的 集 中 反 映 这 也 是 利 用 分 块 初 等 矩 阵 题, 在 方 法 上 成 立 的 真 正 原 因

39 第 四 章 向 量 组 的 线 性 相 关 性 最 大 无 关 组 是 原 向 量 组 的 核 心 最 大 无 关 组 的 概 念, 才 真 正 阐 明 了 秩 的 涵 义 4 本 章 要 点 一 向 量 的 线 性 表 示 有 关 向 量 的 线 性 表 示, 下 面 的 说 法 是 等 价 的 : 4 内 容 小 结 向 量 b 能 由 向 量 组 a, a,, a m 线 性 表 示 线 性 方 程 组 x a + x a + + x m a m = b 有 Ra, a,, a m = Ra, a,, a m, b 上 述 结 论 的 朴 素 理 : Ra, a,, a m = Ra, a,, a m, b, 意 味 着 往 向 量 组 a, a,, a m 中 添 加 向 量 b, 并 没 有 使 得 向 量 组 的 秩 增 加, 其 根 本 原 因 在 于 向 量 b 能 由 a, a,, a m 线 性 表 示 进 而, R a, a,, a m = Ra, a,, a m, b, b,, b s, 也 可 理 为 往 向 量 组 a, a,, a m 中 添 加 向 量 b, b,, b s, 并 没 有 使 得 向 量 组 的 秩 增 加, 所 以, 向 量 组 B: b, b,, b s 能 由 向 量 组 A: a, a,, a m 线 性 表 示 的 充 分 必 要 条 件 是 二 线 性 相 关 与 线 性 无 关 对 于 线 性 相 关, 下 面 的 说 法 是 等 价 的 : R a, a,, a m = Ra, a,, a m, b, b,, b s 向 量 组 A: a, a,, a m m 线 性 相 关 向 量 组 A 中 至 少 存 在 一 个 向 量 是 其 余 m 个 向 量 的 线 性 组 合 线 性 方 程 组 x a + x a + x m a m = 0 有 非 零 a, a,, a m 的 秩 小 于 向 量 的 个 数 m, 即 Ra, a,, a m < m 对 于 线 性 无 关, 下 面 的 说 法 是 等 价 的 : 向 量 组 A: a, a,, a m m 线 性 无 关 线 性 方 程 组 x a + x a + x m a m = 0 只 有 零 Ra, a,, a m = m 从 上 述 说 法 要 得 到 的 理 是 : 注 意 向 量 方 程 组 矩 阵 问 题 的 相 互 转 换 ; 得 到 一 个 朴 素 的 认 识 : Ra, a,, a m < m 的 根 本 原 因 在 于, 列 向 量 a, a,, a m 中 有 多 余 的 向 量, 或 说 存 在 某 向 量 可 以 被 其 他 的 向 量 线 性 表 示, 当 然 整 个 向 量 组 是 线 性 相 关 的 三 矩 阵 等 价 与 向 量 组 等 价 的 区 别 与 联 系 设 有 n 维 向 量 组 A: a, a,, a m, n 维 向 量 组 B: b, b,, b m 矩 阵 A = a, a,, a m, 矩 阵 B = a, a,, a m 则 向 量 组 等 价, 可 得 矩 阵 等 价 ; 注 意 这 里 所 设 的 两 向 量 组 中 向 量 的 个 数 相 同, 否 则 两 矩 阵 的 列 数 不 同, 会 导 致 矩 阵 不 是 同 型 矩 阵, 就 不 能 得 到 矩 阵 等 价 矩 阵 等 价, 不 能 得 到 向 量 组 等 价 例 如, 设 A = a, a = 0 0 0, B = b, b = 0 0 0, 由 RA = RB =, 知 A B 但 向 量 组 a, a 与 向 量 组 b, b 不 是 等 价 的, 因 为 这 里 Ra, a, b, b = 4, 不 满 足 两 向 量 6

40 4 内 容 小 结 7 组 等 价 的 充 要 条 件 Ra, a = Rb, b = Ra, a, b, b 见 教 材 P84 定 理 的 推 论, 两 向 量 组 等 价 的 充 要 条 件 是 RA = RB = RA, B, 而 不 是 RA = RB 四 研 究 最 大 无 关 组 的 意 义 最 大 无 关 组 和 原 向 量 组 是 等 价 的, 是 原 向 量 组 的 简 约, 更 是 原 向 量 组 的 全 权 代 表 最 大 无 关 组 从 理 论 上 弄 清 了, 用 消 元 法 线 性 方 程 组 时, 为 什 么 最 后 会 剩 余 稳 定 数 量 的 方 程, 事 实 上 那 些 剩 下 的 方 程 就 是 原 方 程 组 的 最 大 无 关 组, 和 原 方 程 组 是 等 价 的, 是 同 的 线 性 相 关 线 性 表 示 的 概 念 也 可 以 释 用 消 元 法 线 性 方 程 组 的 相 关 问 题 : 方 程 组 是 线 性 相 关 的, 说 明 有 多 余 的 方 程 ; 能 被 其 他 的 方 程 线 性 表 示 的 方 程 就 是 多 余 的 多 余 是 相 对 的, 方 程 的 去 留 不 是 绝 对 的, 因 最 大 无 关 组 一 般 不 唯 一 最 大 无 关 组 也 使 线 性 方 程 组 在 的 表 示 上, 得 到 了 简 洁 完 备 的 表 达 从 更 广 泛 的 含 义 上 看, 最 大 无 关 组 还 充 当 了 坐 标 系 的 功 能 五 n r 的 含 义 定 理 7 是 说 : 对 n 元 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = 0, 设 RA = r, 则 方 程 组 Ax = 0 的 基 础 系 包 含 n r 个 向 量 r 是 A 的 秩, 也 是 A 的 行 阶 梯 型 矩 阵 的 非 零 行 的 行 数, 是 非 自 由 未 知 量 的 个 数 非 自 由 未 知 量 一 般 取 自 非 零 行 的 第 一 个 非 零 元 所 对 应 的 未 知 量, 一 个 非 零 行 只 能 确 定 一 个 非 自 由 未 知 量 n 是 未 知 量 的 总 数, 所 以 n r 是 自 由 未 知 量 的 个 数 有 多 少 个 自 由 未 知 量, 基 础 系 里 就 对 应 有 多 少 个 向 量 4 重 新 理 矩 阵 秩 的 性 质 矩 阵 秩 的 性 质 在 第 三 章 列 出 了 8 条 我 们 对 其 中 的 几 条 重 要 性 质 重 新 加 以 证 明 和 理 例 4 性 质 5 证 明 : max{ra, RB} RA, B RA + RB 证 明 因 为 A 的 列 均 可 由 A, B 的 列 线 性 表 出, 所 以 RA RA, B, 4 同 理 RB RA, B 所 以 max{ra, RB} RA, B 设 a, a,, a r 为 A 的 列 向 量 的 极 大 线 性 无 关 组, b, b,, b s 为 B 的 列 向 量 的 极 大 线 性 无 关 组 则 A, B 的 列 向 量 均 可 由 向 量 组 a, a,, a r, b, b,, b s 线 性 表 出, 所 以 RA, B Ra, a,, a r, b, b,, b s 而 向 量 组 a, a,, a r, b, b,, b s 的 秩 不 可 能 超 过 其 向 量 的 个 数 r + s, 即 RA + RB, 所 以 RA, B RA + RB 4 得 证 max{ra, RB} RA, B RA + RB 注 4 对 4 式 的 朴 素 理 是, 在 矩 阵 A 的 右 侧 添 加 新 的 列, 只 会 有 可 能 使 秩 在 原 来 的 基 础 上 得 到 增 加 ; 当 B 的 列 向 量 能 被 A 的 列 向 量 线 性 表 出 时, 等 号 成 立 对 4 式 的 朴 素 理 是, 对 矩 阵 A, B, 有 可 能 A 的 列 向 量 与 B 的 列 向 量 出 现 线 性 相 关, 合 并 为 A, B 的 秩 一 般 会 比 RA + RB 要 小 当 A 和 B 两 者 列 向 量 的 极 大 线 性 无 关 组 线 性 无 关 时, 4 式 的 等 号 成 立 更 极 端 的 情 形 是 A 的 列 向 量 组 与 B 的 列 向 量 组 线 性 无 关 矩 阵 秩 的 性 质 5 其 实 还 可 以 写 成 A max{ra, RB} R RA + RB B

41 8 第 四 章 向 量 组 的 线 性 相 关 性 上 式 第 一 个 不 等 号 也 是 说 明, 给 一 个 矩 阵 添 加 行, 有 可 能 使 得 矩 阵 的 秩 增 加 例 4 性 质 6 证 明 : RA + B RA + RB 证 明 得 证 因 为 A + B 的 列 均 可 由 A, B 的 列 线 性 表 出, 所 以 RA + B RA, B RA + RB RA + B RA + RB 4 注 4 注 意 4 式 4 式 的 右 侧 都 是 RA + RB 就 是 说 把 矩 阵 A 和 B 合 并 相 加, 只 可 能 使 秩 得 以 减 少 例 4 性 质 7 证 明 : RAB min{ra, RB} 证 明 矩 阵 的 列 向 量 是 矩 阵 的 列 向 量 的 线 性 组 合, 事 实 上, 设 b b b s b b b s AB = a, a,, a m b m b m b ms AB A, 知 矩 阵 AB 的 第 列 为 b a + b a + + b m a m,, 第 m 列 为 b s a + b s a + + b ms a m 矩 阵 AB 的 列 向 量 可 以 被 矩 阵 A 的 列 向 量 线 性 表 示, 由 P85 定 理, 知 RAB RA 类 似 地, 矩 阵 min{ra, RB} 的 行 向 量 是 矩 阵 AB B 的 行 向 量 的 线 性 组 合, 有 RAB RB 得 证 RAB 从 这 个 性 质 及 P85 定 理 得 到 的 共 同 理 是 : 对 一 个 向 量 组 进 行 线 性 组 合 可 能 会 使 向 量 组 的 秩 减 小 4 题 型 举 例 4 向 量 组 的 线 性 相 关 性 例 44 向 量 组 α, α,, α s 线 性 无 关 的 充 分 条 件 是 A α, α,, α s 均 不 为 零 向 量 B α, α,, α s 中 任 意 两 个 向 量 的 分 量 不 成 比 例 C α, α,, α s 中 任 意 一 个 向 量 均 不 能 由 其 余 s 个 向 量 线 性 表 示 D α, α,, α s 中 有 一 部 分 向 量 线 性 无 关 选 C 向 量 组 α, α,, α s 线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 向 量 组 中 至 少 存 在 一 个 向 量 能 由 其 余 s 个 向 量 线 性 表 示, 这 句 话 的 等 价 叙 述 是, 向 量 组 α, α,, α s 线 性 无 关 的 充 要 条 件 是 向 量 组 中 任 意 一 个 向 量 均 不 能 由 其 余 s 个 向 量 线 性 表 示 B 只 能 说 明 向 量 两 两 线 性 无 关, 得 不 到 整 个 向 量 组 线 性 无 关 A, B, C 都 只 是 必 要 条 件 例 45 设 α, α,, α m 均 为 n 维 列 向 量, 下 列 结 论 正 确 的 是 A 若 k α + k α + + k m α m = 0, 则 α, α,, α m 线 性 相 关 B 若 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 k, k,, k m, 都 有 k α +k α + +k m α m 0, 则 α, α,, α m 线 性 无 关 C 若 α, α,, α m 线 性 相 关, 则 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 k, k,, k m, 都 有 k α +k α + + k m α m = 0 D 若 0α + 0α + + 0α m = 0, 则 α, α,, α m 线 性 无 关

42 4 题 型 举 例 9 选 B 例 46 已 知 向 量 组 α, α, α, α 4 线 性 无 关, 则 向 量 组 A α + α, α + α, α + α 4, α 4 + α 线 性 无 关 B α α, α α, α α 4, α 4 α 线 性 无 关 C α + α, α + α, α + α 4, α 4 α 线 性 无 关 D α + α, α + α, α α 4, α 4 α 线 性 无 关 A 错 : α + α α + α + α + α 4 α 4 + α = 0; B 错 : α α + α α + α α 4 + α 4 α = 0; D 错 : α + α α + α + α α 4 + α 4 α = 0; 选 C: 因 为 0 0 α + α, α + α, α + α 4, α 4 α = α, α, α, α , 0 0 且 右 侧 矩 阵 可 逆 例 47 设 A, B 都 是 n 阶 非 零 矩 阵, 且 AB = O, 则 A 和 B 的 秩 A 必 有 一 个 等 于 零 B 都 小 于 n C 一 个 小 于 n, 一 个 等 于 n D 都 等 于 n 即 言 矩 阵 方 程 AX = O 有 非 零, 所 以 RA < n 同 理, 由 B T X = O 有 非 零, 知 RB < n 选 B 或 者 直 接 应 用 由 P70 性 质 8: 若 A m n B n l = O, 则 RA + RB n 例 48 设 A, B 为 满 足 AB = O 的 任 意 两 个 非 零 矩 阵, 则 必 有 A A 的 列 向 量 组 线 性 相 关, B 的 行 向 量 组 线 性 相 关 B A 的 列 向 量 组 线 性 相 关, B 的 列 向 量 组 线 性 相 关 C A 的 行 向 量 组 线 性 相 关, B 的 行 向 量 组 线 性 相 关 D A 的 行 向 量 组 线 性 相 关, B 的 列 向 量 组 线 性 相 关 设 矩 阵 A 的 列 数 也 是 B 的 行 数 为 n 因 AB = O, 所 以 RA+RB n 又 A O, B O, 知 RA, RB 所 以 RA n, RB n, 故 选 A 直 观 的 理 是, 注 意 到 矩 阵 AB 的 列 是 矩 阵 A 的 列 的 线 性 组 合, 矩 阵 AB 的 行 是 矩 阵 B 的 行 的 线 性 组 合 见 例 4 中 的 说 明, 由 题 设 知 A 的 列 向 量 组 线 性 相 关, B 的 行 向 量 组 线 性 相 关 或 者, 设 A = α, α,, α m, 则 在 非 零 矩 阵 B 中 至 少 存 在 一 个 非 零 的 列 向 量 b i, b i,, b mi T 使 得 b i α + b i α +, b mi α m = 0 所 以 A 的 列 向 量 组 线 性 相 关 类 似 可 判 断 B 的 行 向 量 组 线 性 相 关 例 49 设 R A m n = m < n, 则 下 述 结 论 正 确 的 是 A A m n 的 任 意 m 个 列 向 量 必 线 性 无 关 B A m n 的 任 意 一 个 m 阶 子 式 不 等 于 零 C 若 矩 阵 B 满 足 BA = O, 则 B = O D A m n 通 过 初 等 行 变 换 必 可 以 化 为 E m, O 的 形 式

43 40 第 四 章 向 量 组 的 线 性 相 关 性 选 C 直 观 的 释 是, BA 的 行 向 量 是 A 的 行 向 量 的 线 性 组 合 : b b b m b b b m BA = b t b t b tm a T a T a T m b a T + b a T + + b m a T m b a T + b a T + + b m a T m = b t a T + b t a T + + b tm a T m, 若 BA = O, 则 b a T + b a T + + b m a T m = 0, b a T + b a T + + b m a T m = 0, b t a T + b t a T + + b tm a T m = 0, 而 R A m n = m, 知 向 量 组 a T, a T,, a T m 线 性 无 关, 则 b ij = 0, 所 以 B = O 注 4 由 此 总 结 一 下 矩 阵 乘 法 消 去 律 成 立 的 条 件 : 设 A m n B n l = O, 若 RA = n 即 A 的 n 个 列 向 量 线 性 无 关, 称 为 是 列 满 秩 的, 则 B = O 设 A m n B n l = O, 若 RB = n 即 B 的 n 个 行 向 量 线 性 无 关, 称 为 是 行 满 秩 的, 则 A = O 关 于 列 满 秩 行 满 秩, 请 联 系 例 题 49 的 结 论 例 40 设 A 是 m n 矩 阵, B 是 n m 矩 阵, 则 线 性 方 程 组 ABx = 0 A 当 n > m 时 仅 有 零 B 当 n > m 时 必 有 非 零 C 当 n < m 时 仅 有 零 D 当 n < m 时 必 有 非 零 注 意 到 AB 是 m m 矩 阵, 即 ABx = 0 是 m 元 方 程 组 当 n < m 时, RA n, RB n 所 以 R AB min{ra, RB} n < m, 系 数 矩 阵 AB 的 秩 小 于 未 知 量 的 个 数, 导 致 方 程 组 ABx = 0 有 非 零 选 D 例 4 设 A 是 m n 矩 阵, B 是 n m 矩 阵, 且 n < m 试 证 : AB = 0 证 明 见 例 40 例 4 设 A 是 n m 矩 阵, B 是 m n 矩 阵, 且 n < m E 是 n 阶 单 位 矩 阵, 若 AB = E, 证 明 B 的 列 向 量 线 性 无 关 证 明 因 B 是 m n 矩 阵, 且 n < m, 所 以 RB n 又 RB RAB = RE = n, 所 以 RB = n, 得 证 B 的 n 个 列 向 量 是 线 性 无 关 的 例 4 设 n 维 列 向 量 组 α, α,, α m m < n 线 性 无 关, 则 n 维 列 向 量 组 β, β,, β m 线 性 无 关 的 充 要 条 件 为 A 向 量 组 α, α,, α m 可 由 向 量 组 β, β,, β m 线 性 表 示 B 向 量 组 β, β,, β m 可 由 向 量 组 α, α,, α m 线 性 表 示 C 向 量 组 α, α,, α m 与 向 量 组 β, β,, β m 等 价 D 矩 阵 A = α, α,, α m 与 矩 阵 B = β, β,, β m 等 价 选 D 已 知 RA = m, β, β,, β m 线 性 无 关, 等 价 于, Rβ, β,, β m = m, 等 价 于, RB = m, 等 价 于, RA = RB, 等 价 于, A B 注 意 到 A, B 是 同 型 矩 阵

44 4 题 型 举 例 4 注 44 强 调 : A B 则 RA = RB, 但 反 之 不 一 定 成 立, 除 非 A, B 是 同 型 矩 阵 因 为 不 同 型 的 矩 阵 也 可 能 秩 相 等, 但 不 同 型 的 矩 阵 是 不 可 能 等 价 的 比 较 教 材 P79 习 题 : 设 A, B 都 是 m n 矩 阵, 证 明 A B 的 充 要 条 件 是 RA = RB 要 特 别 注 意 选 项 C 是 错 误 的 反 例 : 设 α, α = 0 0 0, 而 β, β = 注 意 向 量 组 等 价 与 矩 阵 等 价 的 差 别 : 矩 阵 等 价 不 能 推 出 它 们 的 行 向 量 组 列 向 量 是 等 价 的 例 44 设 α i = a i, a i,, a in T, i =,,, m, 线 性 无 关, 对 每 个 α i 任 意 添 加 r 个 分 量, 得 到 β i = a i, a i,, a in, b i,, b ir T, i =,,, m 证 明 : β, β,, β m 也 线 性 无 关 设 x β + x β + + x m β m = 0, 44 x α + x α + + x m α m = 0 45 注 意 到 方 程 组 44 是 在 方 程 组 45 的 基 础 上 添 加 了 r 个 方 程 而 成 的, 则 方 程 组 44 的 均 满 足 方 程 组 45 而 α, α,, α m 线 性 无 关, 方 程 组 45 只 有 零, 所 以 齐 次 方 程 组 44 也 只 有 零 得 证 β, β,, β m 线 性 无 关 注 45 这 结 论 可 以 称 为 : 分 量 无 关, 则 整 体 也 无 关 比 如 设 α =,, 0, 9, 0 T, α =, 7,,, T, α =, 4, 0, 6, T, 我 们 截 取 后 面 的 三 个 分 量, 容 易 判 断 α = 0, 9, 0 T, α =,, T, α = 0, 6, T 是 线 性 无 关 的, 从 而 断 定 向 量 组 α, α, α 是 线 性 无 关 的 例 45 设 向 量 组 α =,,, T, α =,, 5, T, α =,,, p + T, α 4 =, 6, 0, p T 问 p 为 何 值 时, 该 向 量 组 线 性 无 关? 此 时 用 α, α, α, α 4 表 示 向 量 α = 4,, 6, 0 T 由 α, α, α, α 4, α = r + r 7 r 4 + r r p + p p 9 p 8 r r r r r 4 r p 7 p p p r r r r r 4 p 9r

45 4 第 四 章 向 量 组 的 线 性 相 关 性 r + r p p 当 p 时, 向 量 组 α, α, α, α 4 线 性 无 关 且 p 46 r p p r r p 4 p p p 得 α = α + p 4 p α + α + p p α 4 注 意, 这 个 题 目 其 实 是 重 要 题 型 带 参 量 的 线 性 方 程 组 的 另 一 个 提 法 : 设 x α + x α + x α + x 4 α 4 = α, 相 当 于 讨 论 下 面 方 程 组 的 : x x + x x 4 = 4, x x + x 6x 4 =, x + 5x x x 4 = 6, x + x + p + x + px 4 = 0 例 46 设 α =,, 0 T, α =, a +, a T, α =, b, a + b T, β =,, T, 试 讨 论 a, b 为 何 值 时, β 可 以 由 α, α, α 唯 一 地 线 性 表 示, 并 求 出 表 示 式 β 不 能 由 α, α, α 线 性 表 示 β 可 以 由 α, α, α 线 性 表 示, 但 表 示 式 不 唯 一, 并 求 出 表 示 式 设 x α + x α + x α = β 47 下 面 讨 论 线 性 方 程 组 47 的 系 数 行 列 式 不 等 于 零 时, 方 程 组 有 唯 一 由 α, α, α = a + b = 0 a a + b 0 a b 0 a a + b = aa b, 所 以 a 0 且 a b 时, 方 程 组 47 有 唯 一 又 α, α, α, β r = a + b r 0 a b 0 a a + b 0 a a + b r + r 0 a b 0 0 a b 0 48

46 4 题 型 举 例 4 当 a 0 且 a b 时, 48 r a b r 0 a b + r r + br a a r r 0 0 a 0 0 a 得 方 程 组 47 有 唯 一 x = a, x = a, x = 0 即 此 时 β 可 以 由 α, α, α 唯 一 地 线 性 表 示, 并 且 表 示 式 为 β = a α + a α 当 a = 0 时, 48 = 0 0 b 0 0 b 0 r r b 0, 出 现 矛 盾 方 程 0 =, 方 程 组 47 无, 即 此 时 β 不 能 由 α, α, α 线 性 表 示 当 a = b 且 a 0 时, 48 = 0 a a r a r r a 0 0 a 0 a , 得 同 方 程 组 及 通 为 x = a, x = x + a, x = x = x = a, x = k + a, x = k k R 即 此 时 β 可 以 由 α, α, α 线 性 表 示, 但 表 示 式 不 唯 一, 并 且 表 示 式 为 β = α + k + α + kα a a 例 47 确 定 常 数 a, 使 向 量 组 α =,, a T, α =, a, T, α = a,, T 可 由 向 量 组 β =,, a T, β =, a, 4 T, β =, a, a T 线 性 表 示, 但 向 量 组 β, β, β 不 能 由 向 量 组 α, α, α 线 性 表 示 向 量 组 α, α, α 可 以 由 向 量 组 β, β, β 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 R β, β, β, α, α, α = R β, β, β 由 a a r β, β, β, α, α, α = a a a r 0 a + a + 0 a a r a 4 a a ar a a 0 a a a r r 0 a + a + 0 a a, 0 0 a 4 0 a a

47 44 第 四 章 向 量 组 的 线 性 相 关 性 当 a 4 且 a 时, R β, β, β, α, α, α = R β, β, β =, 此 时 向 量 组 α, α, α 可 以 由 向 量 组 β, β, β 线 性 表 示 另 一 方 面, a a r α, α, α, β, β, β = a a a r 0 a a 0 a + a + r a a 4 a ar 0 a a a a a r + r 0 a a 0 a + a +, 0 0 a + a 0 a + 6 4a + 当 a = 时, R α, α, α, β, β, β =, 而 R α, α, α = ; 当 a = 时, R α, α, α, β, β, β =, 而 R α, α, α = 所 以 当 a = 或 a = 时, 向 量 组 β, β, β 不 能 由 向 量 组 α, α, α 线 性 表 示 综 上 知, a = 时, 向 量 组 α, α, α 可 以 由 向 量 组 β, β, β 线 性 表 示, 但 向 量 组 β, β, β 不 能 由 向 量 组 α, α, α 线 性 表 示 例 48 已 知 R α, α, α = R α, α, α, α 4 =, R α, α, α, α 5 = 4, 证 明 : 证 明 R α, α, α, α 5 α 4 = 4 由 题 设 知 α, α, α 线 性 无 关, 而 且 α, α, α, α 4 线 性 相 关, 则 α 4 可 以 被 α, α, α 线 性 表 示 不 妨 设 α 4 = k α + k α + k α, 则 α, α, α, α 5 α 4 = α, α, α, α 5 k α k α k α 0 0 k = α, α, α, α k 0 0 k, k 由 于 R α, α, α, α 5 = 4, R 0 0 k 0 0 k = 4, 故 R α, α, α, α 5 α 4 = 另 法 : 说 明 向 量 组 α, α, α, α 5 α 4 与 向 量 组 α, α, α, α 5 等 价 即 证 0 a b 例 49 已 知 向 量 组 β =, β =, β = 与 向 量 组 α = 0 9 0, α = 6 具 有 相 同 的 秩, 且 β 可 由 α, α, α 线 性 表 示, 求 a, b 的 值 7 因 β 可 由 α, α, α 线 性 表 示, 则 Rα, α, α = Rα, α, α, β 9 b 9 b r α, α, α, β = , α =

48 4 题 型 举 例 b r r 0 0 r + r 0, b 5 所 以 Rα, α, α =, 且 b = 5, Rβ, β, β = 又 0 a 5 0 a 5 r β, β, β = + r a 5 0, 故 a = 5 例 40 设 向 量 组 α, α,, α t 是 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = 0 的 一 个 基 础 系, 向 量 β 不 是 方 程 组 Ax = 0 的, 即 Aβ 0 证 明 : 向 量 组 β, β + α, β + α,, β + α t 线 性 无 关 证 明 即 方 法 一 令 k 0 β + k β + α + k β + α + + k t β + α t = 0 49 k 0 + k + + k t β + k α + + k t α t = 0 40 在 40 式 两 边 左 乘 矩 阵 A, 注 意 到 Aα i = 0, i =,,, t, 得 k 0 + k + + k t Aβ = 0 因 Aβ 0, 所 以 只 能 是 k 0 + k + + k t = 0, 4 代 入 40 式, 得 k α + + k t α t = 0 又 α, α,, α t 为 基 础 系, 是 线 性 无 关 的, 所 以 只 能 k = k = = k t = 0, 代 入 4 式, 得 k 0 = 0 即 要 使 49 式 成 立 只 能 是 k 0 = k = k = = k t = 0, 得 证 向 量 组 β, β + α, β + α,, β + α t 线 性 无 关 方 法 二 由 题 设 可 知 β, α, α,, α t 线 性 无 关 事 实 上, 假 若 β, α, α,, α t 线 性 相 关, 而 已 知 α, α,, α t 线 性 无 关, 则 β 可 以 由 基 础 系 α, α,, α t 线 性 表 示, 从 而 β 是 方 程 组 Ax = 0 的, 这 与 题 设 矛 盾 又 0 0 β, β + α, β + α,, β + α t = β, α, α,, α t BK 0 0 而 K 可 逆, 故 β, β + α, β + α,, β + α t 线 性 无 关 方 法 三 先 说 明 β, α, α,, α t 线 性 无 关 如 前 述 又 t+ t+ β, β + α, β + α,, β + α t c j c j =,, t β, α, α,, α t, 所 以 R β, β + α, β + α,, β + α t = R β, α, α,, α t = t +, 得 证 β, β + α, β + α,, β + α t 线 性 无 关

49 46 第 四 章 向 量 组 的 线 性 相 关 性 4 线 性 方 程 组 的 例 4 设 n 阶 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵 A O, 若 ξ, ξ, ξ, ξ 4 是 非 齐 次 方 程 组 Ax = b 的 互 不 相 等 的, 则 对 应 的 齐 次 方 程 组 Ax = 0 的 基 础 系 A 不 存 在 B 仅 含 一 个 非 零 向 量 C 含 有 两 个 线 性 无 关 的 向 量 D 含 有 三 个 线 性 无 关 的 向 量 已 知 A O, 即 A 至 少 有 一 个 代 数 余 子 式 不 等 于 零, 则 A 至 少 有 一 个 n 阶 非 零 子 式, 初 步 判 断 RA n 又 ξ, ξ, ξ, ξ 4 是 非 齐 次 方 程 组 Ax = b 的 互 不 相 等 的, 即 言 Ax = b 的 不 唯 一, 所 以 A 不 是 满 秩 的, 得 RA n 综 上 得 RA = n, 则 齐 次 方 程 组 Ax = 0 的 基 础 系 仅 含 一 个 非 零 向 量, 故 选 B 例 4 已 知 4 元 齐 次 线 性 方 程 组 I 为 { x + x x = 0, x + x + x x 4 = 0, 又 已 知 另 一 个 4 元 齐 次 线 性 方 程 组 II 的 一 个 基 础 系 为 α =,, a +, T, α =,, 4, a + 8 T 求 方 程 组 I 的 一 个 基 础 系 ; 当 a 为 何 值 时, 方 程 组 I 和 II 有 非 零 公 共? 在 有 非 零 公 共 时, 求 出 全 部 非 零 公 共 方 程 组 I 的 一 个 基 础 系 为 β = 5,,, 0 T, β =,, 0, T 方 程 组 I 和 II 有 非 零 公 共, 将 II 的 通 k α + k α 代 入 I 中, 得 { a + k = 0, a + k a + k = 0 当 a 时, k = k = 0, k α + k α = 0, 则 I 和 II 无 非 零 公 共 ; 当 a = 时, k, k 任 意, 此 时 I 和 II 有 非 零 公 共, 且 全 部 非 零 公 共 为 k α + k α = k + k 4, 7 k, k 为 不 全 为 零 的 任 意 实 数 例 4 已 知 齐 次 线 性 方 程 组 x + x + x = 0, I x + x + 5x = 0, x + x + ax = 0, 同, 求 a, b, c 的 值 和 II { x + bx + cx = 0, x + b x + c + x = 0, 记 两 方 程 组 的 系 数 矩 阵 分 别 为 A, B

50 4 题 型 举 例 47 因 A 的 前 两 行 不 成 比 例, 则 RA, 又 RB, 由 I 和 II 同, 得 RA = RB = 所 以 A = 0, 由 A = 5 = a a 得 a = 对 系 数 矩 阵 A 作 初 等 变 换, 有 , 得 I 的 一 个 基 础 系 :,, T, 代 入 II, 有 得 b =, c =, 或 b = 0, c = { b + c = 0, b + c + = 0, 当 b = 0, c = 时, RB =, 从 而 I 和 II 不 可 能 同 故 b = 0, c = 应 舍 去 综 上, 当 a =, b = 0, c = 时, I 和 II 同 注 46 注 意 同 和 有 公 共 的 差 异 若 线 性 方 程 组 同, 则 两 者 的 系 数 矩 阵 的 秩 是 相 等 的 例 44 设 有 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = 0 和 Bx = 0, 其 中 A, B 均 为 m n 矩 阵, 现 有 4 个 命 题 : 若 Ax = 0 的 均 是 Bx = 0 的, 则 RA RB 若 RA RB, 则 Ax = 0 的 均 是 Bx = 0 的 若 Ax = 0 与 Bx = 0 同, 则 RA = RB 4 若 RA = RB, 则 Ax = 0 与 Bx = 0 同 以 上 命 题 正 确 的 是 A B C 4 D 4 若 Ax = 0 的 均 是 Bx = 0 的, 则 可 以 认 为 前 者 的 基 础 系 是 后 者 基 础 系 的 一 部 分, 从 而 n RA n RB, 得 RA RB 所 以 正 确 若 Ax = 0 与 Bx = 0 同, 则 可 以 认 为 两 者 的 基 础 系 相 同, 所 以 n RA = n RB, 得 RA = RB 知 正 确 这 可 以 作 为 一 个 小 的 结 论 选 B 和 4 犯 的 是 一 样 的 错 误 因 为, 由 系 数 矩 阵 秩 的 关 系, 不 能 得 到 方 程 组 之 间 的 关 系 例 45 已 知 三 阶 矩 阵 A 的 第 一 行 是 a, b, c, a, b, c 不 全 为 零, 矩 阵 B = 4 6 k 为 常 数, 6 k 且 AB = O, 求 线 性 方 程 组 Ax = 0 的 通 a, b, c 不 全 为 零, 则 RA 又 RB RA, 所 以 RA 若 RA = 则 RB =, k = 9, 这 时 ξ = 是 方 程 组 Ax = 0 的 一 个 基 础 系, 于 是 通 为 k ξ k 是 任 意 实 数 若 RA = 则 RB = 或

51 48 第 四 章 向 量 组 的 线 性 相 关 性 i RB =, 则 k 9, 这 时 ξ =, ξ = 6 是 方 程 组 Ax = 0 的 一 个 基 础 系, 于 k 是 通 为 k ξ + k ξ, k, k 是 任 意 实 数 ii RB =, 则 k = 9, 这 时 B 的 列 向 量 不 能 构 成 方 程 组 Ax = 0 的 一 个 基 础 系 由 Ax = 0, b a c 得 ax + bx + cx = 0, 不 妨 设 a 0, 得 ξ =, ξ a = 0 是 方 程 组 Ax = 0 的 一 个 基 0 础 系, 于 是 通 为 k ξ + k ξ, k, k 是 任 意 实 数 A α 例 46 设 A 是 n 阶 矩 阵, α 是 n 维 列 向 量, 若 R = RA, 则 线 性 方 程 组 α T 0 A Ax = α 必 有 无 穷 多 个 B Ax = α 必 有 唯 一 A α x A α x C = 0 仅 有 零 D = 0 必 有 非 零 α T 0 y α T 0 y A α A α 已 知 R = RA, 而 RA n, 所 以 R < n +, 得 n + 元 齐 次 线 性 α T 0 α T 0 A α x 方 程 组 = 0 有 非 零 选 D α T 0 y A α 另 外, 由 R R A, α RA, 可 得 R A, α = RA, 只 能 说 明 方 程 组 Ax = α α T 0 有, 不 能 断 定 是 否 唯 一, 选 项 A, B 都 是 不 恰 当 的 4 矩 阵 的 秩 例 47 设 A 为 n 阶 矩 阵, 试 证 : RA + RA + E n 证 明 注 意 到 RA = R A, 有 RA + RA + E = R A + RA + E R A + A + E = RE = n 例 48 设 A 为 n 阶 矩 阵, 且 A = E 试 证 : RA + E + RA E = n 证 明 注 意 到 RA E = RE A, 有 RA + E + RA E = RA + E + RE A R A + E + E A = RE = n 又 A = E, 得 A + EA E = O, 所 以 RA + E + RA E n 综 上 得 证 : RA + E + RA E = n

52 4 题 型 举 例 49 例 49 设 A 是 m k 矩 阵, B 是 k m 矩 阵, 试 证 : 若 RA = k, 则 RAB = RB; 若 RB = k, 则 RAB = RA 证 明 若 RA = k, 则 存 在 可 逆 矩 阵 P m m, Q k k, 使 得 Ek O A = P Q O O 注 意 到 P, Q 可 逆, 则 RAB = R Ek O O O Ek QB O QB = R O O = RE k QB = RB 同 理 注 47 这 里 的 A 可 以 称 为 列 满 秩 矩 阵, B 称 为 行 满 秩 矩 阵 上 述 结 论 是 矩 阵 秩 的 性 质 4 的 推 广 例 40 已 知 矩 阵 Q = 4 t 6 9 及 阶 非 零 矩 阵 P 满 足 P Q = O, 则 A t = 6 时, P 的 秩 必 为 B t = 6 时, P 的 秩 必 为 C t 6 时, P 的 秩 必 为 D t 6 时, P 的 秩 必 为 由 P Q = O 知, RP + RQ 因 Q 是 非 零 矩 阵, 且 第 行 和 第 行 线 性 相 关, 知 RQ 只 能 是 或 : t = 6 时, RQ =, R P ; t 6 时, RQ =, R P 又 P 为 非 零 矩 阵, R P > 0, 故 选 C 例 4 设 阶 矩 阵 A = a b b b a b b b a, 若 A 的 伴 随 矩 阵 的 秩 等 于, 则 必 有 A a = b 或 a + b = 0 B a = b 或 a + b 0 C a b 且 a + b = 0 D a b 且 a + b 0 由 关 系 式 n, 当 RA = n, RA =, 当 RA = n, 0, 当 RA n 已 知 RA =, 得 RA =, 则 A = 0 计 算 得 a b b A = b a b = a + ba b, b b a 所 以 a = b 或 a + b = 0 而 a = b 时, 有 RA, 不 合 题 意, 所 以 要 求 a b 选 C

53 50 第 四 章 向 量 组 的 线 性 相 关 性 另 直 接 计 算 得 A = a b a + b b b b a + b b b b a + b, 当 a = b 时, A = O, 不 合 题 意, 所 以 必 须 a b 故 排 除 A, B 当 a = b 时, 易 知 RA = 注 意 这 里 的 a b 且 a + b = 0, 确 保 了 A 不 会 是 零 矩 阵

54 第 五 章 相 似 矩 阵 及 二 次 型 矩 阵 乘 以 向 量, 在 功 能 上 相 当 于 把 一 个 向 量 变 换 为 另 一 个 向 量 一 个 矩 阵 的 特 征 向 量 是 这 样 一 种 特 定 的 向 量, 它 经 过 这 种 变 换 后 方 向 不 变 或 正 好 反 向, 只 发 生 长 度 上 的 伸 缩 特 征 值 则 反 映 了 特 征 向 量 的 伸 缩 倍 数 及 方 向 5 重 点 释 疑 一 怎 么 理 特 征 值 特 征 向 量 5 内 容 小 结 矩 阵 A 左 乘 向 量 x, 其 结 果 是 一 个 同 维 数 的 向 量, 比 如 A = 0 0 4, 取 x =, 有 Ax = = 4 7, 可 见 矩 阵 A 左 乘 向 量 x, 相 当 于 把 向 量 x 作 了 一 个 变 换, 把 x 转 到 了 一 个 新 的 位 置, 而 且 长 度 也 发 生 了 变 化 这 里,, T 与 变 换 之 后 的 结 果, 4, 7 T 看 不 出 有 什 么 关 联, 但 是, 矩 阵 A 左 乘 某 些 特 定 的 向 量 x, 会 出 现 比 较 特 别 的 现 象, 就 是 乘 积 的 结 果 相 当 于 把 向 量 x 在 原 方 向 伸 缩 或 反 方 向 伸 缩, 即 Ax = λx, 具 有 这 种 特 点 的 向 量, 就 称 为 矩 阵 A 的 特 征 向 量, 数 λ 反 映 了 伸 缩 的 倍 数 及 方 向, 称 为 与 x 对 应 的 特 征 值 比 如 x =, 0, T, x = 0,, T 就 是 矩 阵 A 的 特 征 向 量 : Ax = = 0 = x, Ax = 0 0 = = x 4 一 个 n 阶 矩 阵 A 一 旦 产 生, 那 么 n 维 空 间 的 某 处 就 存 在 着 一 些 向 量, 它 们 与 矩 阵 A 有 着 一 种 天 然 的 内 在 联 系 : A 乘 以 这 些 向 量 相 当 于 只 是 把 这 些 向 量 在 原 方 向 或 反 方 向 上 伸 长 或 缩 短 特 征 值 特 征 向 量 的 专 业 词 汇 分 别 是 eigenvalue, eigenvector eigen 是 德 文 词 汇, 意 思 是 自 己 的, 特 有 的 eigen 一 词 很 恰 当 地 反 映 了 矩 阵 和 其 特 征 向 量 的 天 然 联 系 和 隶 属 性 特 征 值 在 一 些 教 材 里 称 为 本 征 值, 这 个 翻 译 比 较 贴 近 eigenvalue 的 本 意 矩 阵 A 左 乘 零 向 量 总 是 等 于 零 向 量 的, 所 以, 讨 论 特 征 向 量 时, 是 把 零 向 量 排 除 在 外 的 请 牢 记 : 零 向 量 不 是 特 征 向 量 ; 特 征 向 量 是 非 零 向 量 准 确 地 讲, 应 该 是 n 维 复 向 量 空 间 因 为 方 阵 在 实 数 域 上 不 一 定 总 有 特 征 值 比 如 A = 0 0, A λe = λ +, 在 实 数 域 上 无 根, 故 A 在 实 数 域 上 无 特 征 值 教 材 也 讲 明 了 : n 阶 矩 阵 A 在 复 数 范 围 内 有 n 个 特 征 值 5