- PDF 免费下载

Size: px

Start display at page:

Download ""

我既皮
7 years ago
Views:

3 清华大学 009 年信号与系统考研试题回忆五年专注考研专业课辅导一五小问,5 分 Sin(wt+3/4pi) 的自相关函数 ( 这个题跟书上的例题很相近, 书上是 cos(wt)) s 域到 z 域的映射关系 3 非最小相移系统 (z-.5)/(z-0.5) 用全通函数与最小相移函数表示, 分别写出二者系统函数 4 给出一个 H(s) 表达式, 求滤波器函数 H(z) ( 可参考第八章课后题 ) 5 F(w) 是带限信号,h(t) 为矩形信号用 h(t-nt)(n 跑遍整个时域 ) 进行抽样, 题目给出条件是满足采样定理的, 求频域的采样函数二八小问,40 分, 最好简明, 能用公式表示要用公式 DTFT 的频域是周期的么? 为什么? 白噪声通过匹配滤波器还白不白? 为什么? 3 一个信号是带限还是不带限, 或是二者皆有可能为什么? 4 给了一个 H(z)=, 求冲击响应, 若求冲击响应 A,B 忘记具体数值, 此题属于常规题目, 历年多次涉及 5 6 全通系统经过双线性变换还是不是全通函数? 7 用 DFT 分析连续信号的步骤, 并说明由此产生了什么效应, 误差 8 以下三至七各 0 分三求 f(t) 的傅里叶变换, 信号是三个三角函数, 可以参考书上例题四 H(jw) = /(+w4), 求其相应的最小相移函数, 求最小相移函数的冲击响应五全通函数的零极点分布特性, 用关系式描述, 要写出 s 域与 z 域的

4 五年专注考研专业课辅导六七如果 * 表示卷积,@ 表示相关 ( 原题的符号 : 圈中是 * ) 求证 (f(t)*g(t))@(f(t)*g(t))=(f(t)@f(t))*(g(t)@g(t)) 八 5 分共三问, 具体的想不起来了, 但是总的来说不难, 特别是给了提示, 只要把提示的公式带进去, 题目就迎刃而解了九 0 分共四问, 属于新瓶装旧酒吧非递归 y(n)=(/m), 求系统函数, 零极点分布特性, 频响函数并作图递归设计函数 y(n)=ay(n-)+bx(n),, 问输入阶跃信号,a,b 取何值, 系统稳定求系统函数

5 - Fn 和 F(w) 的物理意义 - DFT 是否正交变换 -3 FT 和 LT 的关系 -4 fir 滤波器的时域对称性的表达式 - 希尔伯特正变换和反变换级联后是一个冲击 - f(x)=e^(-x)u(x), 求 f(ax) 卷积 f(bx),a>0,b>0 (s^+3s+3)/(s^+s+) 整体再乘 e^(-s) -3 delta(t)+t*delta'(t) -4 给出 H(z) 的表达式, 求逆系统的冲击响应 -5 证明一个 bibo 线性定常系统可以表为一个最小相位系统和全通系统级联 3- 证明 : 实信号幅度谱和相位谱的奇偶性 3- 证明 : 自相关推导出来的帕斯瓦尔方程 4 / 给出一个反馈框图, 求 H(s) / 根据 bibo 稳定, 判断参数 K K 满足的约束条件 3/ 画出 bibo 稳定的 H(s) 的极点分布 4/ 输入 e(t)=u(t)-u(t-t/), 求 r(t), 并且画图 ( 画图这个做得太少 ) 5/ 一个电感和电阻串联的滤波器 / 用冲击不变法求 H(n) / 用 IIR 实现该数字滤波器 / 画出 H(jw) 的幅度谱 ( 凡是画图的都砸了 ) 3/ 截取 h(n) 冲击响应的幅度不少于 0% 的窗函数, 画 FIR 结构 6/ x(n),0<=n<=7,h(n),0<=n<=03 / 求输出 y(n) 的加法和乘法次数 / 用 DFT 和 FFT 推导一种快速算法, 不需要画蝶形图 3/ 估算这种方法的乘法和加法次数注 : 程佩清的信号处理第 4 章第 0 节就有具体解法 7/ 这道题在奥本海默数字信号处理有出现定义 Wf, 自相关宽度,wf=R(t) 从负无穷到正无穷的积分除以 R(0) f(t)=u(t+/)-u(t-/),r(t) 是 f(t) 的自相关 / 求 f(t) 的 wf 大小 / 求 f(t) 的能谱密度总体上, 题目不难, 概念考得不是很深 ; 看奥本的数字信号处理还是很有好处的如果能把后面的题目都做会, 那就不错了 ; 郑君里课本的东西, 好像考得不是很深入虽然不知道我考得怎么样, 估计因为计算问题会好差, 我还是给点经验教训吧 / 课后题目和例题一定要做熟, 图和表一定要记熟 / 奥本海默的两本书一定要看熟, 深入题和提高题就有比较多的原题 3/ 程佩清的数字信号处理也不错

6 欢迎补充一. 证明解答下列各题 007 信号 ( 回忆版 ) 输入信号 x(t)=u(t)-u(t-) 通过系统函数为 (-)^nδ(t-n)e^-3t 的零状态响应 y(t) () 求 y(t) 及图形 () 求 y(t) 的拉式变换..LT[f(t)]=? 求 f(t) 3. 电视调制测试信号 f(t)=a{m+c[u(t)-)}cosw0t 求 F.T 已知 x(n) 的 ZT X(z), 证明 ZTx*(n)= X*(z*) 6.x(n)y(n) 互相关函数的 Z.T.(Rxy)=X(z)Y(/z) 二. X(w) 为介于 000pi-000pi 的关于纵轴对称的三角波 w=.5kpi 时最大值为 x(t)-> 乘法器 -> 加法器 -> 截止频率为 000pi 的理想带阻滤波器 -r(t) cos3000pit-- ) 画出输出 r(t) 的频谱及加法器输出信号 ) 要解调出预调制前的基带信号请画出框图并给出解调出来的信号频谱三. 非均匀抽样四. 采样矩形脉冲先时域抽样再频域抽样类似于第五章的例题值画出采样后的图型写出表达式的 FT 3 一般意义下这样采样后 DFT 不考虑舍入误差情况下能不能准确得到等间隔 DFT 采样五. 已知 n 点 DCT,IDCT 定义式 x(n) y(n)= { x(n--n) 0=<n=<N- N=<N=<N- ) 证明 W^(k+/)DFT[y(n)]=DCT[x(n)] W 下标是 N ) 证明 X=(X,X,X3 XN) x=(x,x,x3 xn) X 为 x 的 DCT <X,X>=K<x,x> 其中 K 为一常数六. 问答题 ) 什么是 Gibbs 现象? 存在的充要条件是什么? 如何消除? ) 冲击响应不变法的映射关系式并画出映射图像 3)a 写出双线性变换公式 b 能不能由其变换唯一确定原 s 域的函数 c 结合 a 的公式双线性不变法会不会改变系统的属性分析一下一下属性如全通最小相移 bibo 4)y(n)=x(n)*h(n)*g(n) 问 a 如何选择 g(n) 能使得 y(n) 是 x(n) 的无失真重现 b 如何选择选择 h(n) 使得 g(n) 可以 bibo 实现

7 一问答题 : 清华大学 06 年信号与系统 f(t)=wc/pai*sa(wct),f(t)=f(t)-f(t-τ),f(t) 和 f(t) 频谱有何异同点, f(t) 有何优点? 写出全通系统零极点分布特点和相频变化特性 3 能量信号的能谱密度都是大于等于零的, 这个命题是正确的, 请问为什么? 4 傅立叶变换满足内积不变性和范数不变性, 这个命题成立是有条件的, 请指出成立条件用公式表示出来 5f(t) 的傅立叶变换 F(jw),LALACE 变换 F(s), 请问 f(t) 满足什么条件时 F(jw)=F(s) s=jw 6 真有理函数 H(s) 是最小相位系统, 则 lnh(s) 在右半平面解析请问命题正确吗? 为什么? 逆命题成立吗? 7FIR 数字滤波器一定是稳定的, 请说明 8X(k)=DFT(x(n)),X(z)=Z(x(n)), 用 X(z) 表示 X(k) 9 要使两个有限长序列的圆卷积等于线卷积, 请问如何操作 0X'=AX,A=[λ,:0,λ], 计算 exp(at) 二稳定信号 f(t) 通过冲击响应为 h(t) 的稳定系统, 则零状态响应 y(t) 是稳定的请证明之三 H(jw) ={(w^+9)/[(w^+)(w^+00)]}^(/), 求最小相位函数 H(s) 四一个串联型数字滤波器, 框图给出, 很简单, 系数我都记得, 不过不好画图, 算了计算 H(z),( 要求有过程 ) 指出串联型数字滤波器有何优缺点五 f(t)=exp(-αt)u(t),g(t)=exp(-βt)u(t) 求相关系数 ρ 求互相关函数 Rfg() 六数字理想低通滤波器 Hd(e^jw) 周期为 π Hd(e^jw)=exp(-jwα), w Wc;0,Wc< w <π 把 Hd(e^jw) 在频域展开成复指数形式, 并求傅立叶系数 hd(n) 选择 h(k)(k=-n, n), 使 Hd(e^jw)'= h(k)exp(jwkn)(k=-n, N) 证明 Hd(e^jw)' 是 Hd(e^jw) 的最小均方误差逼近 3, 是 FIR 设计的实质, 说明这种方法的缺点如何改进?

8 七清华大学 06 年信号与系统 f(t)=f(t)u(t),f(jw) 实部 R(w)=α/(α^+w^), 求 f(t) ( 缺过程扣分, 提示 : 积分公式八 f(t) 傅立叶变换 F(w)=AτSa(wτ),g(t)=f(αt) 和噪声信号 n(t) 通过 f(t) 的匹配滤波器噪声自相关函数 R(τ)=Nδ(τ) 当只有 f(αt) 通过匹配滤波器时, 画出当 α=,/, 时的输出波形 α 时,f(αt) 和 n(t) 通过 f(t) 的匹配滤波器时峰值信噪比有损失, 请计算 α=/, 时峰值信噪比损失 ( 可自定义峰值信噪比损失, 但必须合理 )

9 一是非判断清华大学 05 年信号与系统 hilbert 变换对不含直流分量的信号构成全通系统全通系统是物理不可实现的 3 理想低通滤波器一定是线性相位的 4 理想低通滤波器是物理不可实现的 5 因为 δ'=dδ/dt, 所以 δ(t)= (-,t)δ'(τ)dτ 6 H(z) 是某离散系统的系统函数,H(z) /H(z) 在单位圆上及单位圆外解析, 则该系统是严格线性相位的 7 设 H(s)=A/[(s-p)(s-p)(s-p3)], 输入为 x(t)u(t), 则输出 y(t)=aexp(p t)*exp(p t) * exp(p3 t)* x(t)u(t) 8 非线性系统的全响应一定等于零输入响应加上零状态响应二简答题 x(t) 是逆因果信号, 设它通过一个 BIBO 的非因果系统 ( 冲击响应 h(t)) 的零状态响应为 y(t), 写出用 x,h 卷积表示 y(t) 的表达式, 并标明积分上下限命题 : 零输入响应与系统函数的零点无关请判断该命题的对错, 并说明原因 3 设 F(t)=f(t)*δ[T](t), δ[t](t)= δ(t-nt), 证明 F(t) 是以 T 为周期的函数 4 设 F(ω):f(t) 的付氏变换, 证明 f(t)δ[t](t) 的付氏变换是以 ωs 为周期的函数,ωs= pi/t. 5 一离散系统的单位脉冲响应 h(n)=8δ(n)-8δ(n-), 试通过计算说明该系统是广义线性相位的 6 已知 H(s)=(s^3-s+)/(s^-), 该系统是否 BIBO 稳定的, 并说明原因三设 f(t) 是一个连续信号写出用一系列矩形脉冲叠加逼近 f(t) 的近似表达式对上式取极限, 证明 f(t)=f(t)*δ(t) 四用冲击响应不变法设计数字滤波器

10 清华大学 05 年信号与系统 H(exp(jω)) ω=0 与 H(jΩ) Ω=0 是否相等, 并说明原因若 h(t)=exp(-t)u(t), 则采样间隔 T 应该如何选择, 请定性定量说明五用双线性变换法设计数字滤波器 H(exp(jω)) ω=0 与 H(jΩ) Ω=0 是否相等, 并说明原因请推导出 ω 与 Ω 之间的关系 3 双线性变换法的最主要问题是什么六已知 H(s)=s/[(s+)^+0^8], x(t)=(+cos(t))cos0^4t, 求系统的稳态响应七已知系统框图如下 e(t) t x->o K o----->y(t) / \ () 若 x(t)=u(t), 求 e( ) () 若 x(t)=sin(ω0 t + ψ0), 求 e(t),y(t) 的稳态解八已知 x(t)=u(t)-u(t-),y(t)=u(t)-u(t-/)+u(t-) 求 x(t) 与 y(t) 的内积 <x(t),y(t)> 画出 Rxy(τ) 的图形, 并标出关键点 3 画出 x(t)*y(t) 的图形, 并标出关键点九已知一长度为 N 的有限长序列的 DFT 为 X(k), 求 x(n) 的 Z 变换十 x(t),y(t) 是能量有限信号, 证明 Rxy(τ)<={Rxx(0)]^/ [Ryy(0)]^/

11 清华大学 04 年信号与系统

12 清华大学 04 年信号与系统

14 Write by BITI_lilu 00 年清华大学信号与系统清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试时间专业考试科目试题内容 : 一 (8 分 ) 已知 X ( k) DFT[ x( n)] () x( n ) 的 Z 变换 X ( z ) =? =, 0 n N j () x( n ) 的傅立叶变换 X( e ω ) =? <, 求 : 二 (6 分 ) 线性时不变系统的频率特性如图 -(b) 所示, 系统的输入如图 -(a) 所示, 请给出系统的零状态响应波形图或解析表示 x() t H( jω) = ω π / ϕ( ω) ω π / ω 图 -(a) 图 -(b) 三 (8 分 ) 参见图, ( 积分 ) Yt () 图 () 求系统函数 H() s

15 Write by BITI_lilu 00 年清华大学信号与系统 π () 当 X ( t) = 0sin( t+ ) u( t) 时, 求系统的稳态响应 4 四 (8 分 )Rademacher 函数定义如下 : 其中 sgn( ) k R(0, t) =, R( k, t) = sgn(sin πt), t [0,], k = 0,,, 是符号函数 () 画出前 4 个 (k=0,,,3)rademacher 函数的波形图 () 证明 Rademacher 函数族时归一化正交函数族五 (0 分 ) () 写出线性时不变 BIBO( 有界输入有界输出 ) 稳定系统最小相移系统全通系统的系统函数的一般表达式 () 请证明命题 : 任何一个 BIBO 稳定的线性时不变系统都可以由一个最小相移系统与一个全通系统级联构成 (3) 请证明命题 : 在所有幅频特性相等的 BIBO 稳定的线性时不变系统中, 其中的最小相移系统的群延迟最小六 (0 分 ) 参见图 3: 信号 ( ) x n, 0 n < 3 : 线性时不变系统的单位样值响应为 hn ( ), 0 n <7: 输出为 yn ( ) 请解答一下问题: x( n) hn ( ) yn ( ) 图 3 () 若已知 x( n ) 和 hn ( ), 请给出用 DFT 和 IDFT 求零状态响应 yn ( ) 的运算步骤及计算公式

16 Write by BITI_lilu 00 年清华大学信号与系统 () 在 () 中, 如用 FFT 求零状态响应 yn ( ),FFT 的点数和基应各选为何值? 七 (0 分 ) 一个信号 f () t 不可能既是时间有限信号 ( 即 t f() t = 0, 当 > τ ) 又是频率信号 ( 即 F{ f( t )} = 0, 当 ω > σ ) 是信号分析中的基本常识之一请论述八 (8 分 ) () 在数字滤波器设计中, 冲激不变法和双线性变换法存在的主要问题各是什么? () 采用冲激不变法对已知的 H() s进行数字实现, 请写出主要步骤 (3)DFT 存在快速算法 FFT, 为什么? (4) 复信号是否存在 Hilbert 变换? 九 (6 分 ) 参见图 4, 输入信号 Si () t = ut () ut ( ) + ut ( ), 输入 ni () t 为白噪声, 其功率谱密度为 N, S () o t 是输出信号, no () t 是输出噪声, ht () 为线性时不变系统的冲激响应请解答以下问题 : () 当系统为匹配滤波器时, ht () =? () 当 () 中的匹配滤波器物理可实现时, ht () =? 并请画出 S () o t 的波形图 (3) 滤波器输出端信噪比 ρ = S () t n () t 3 o o 在何时取最大值 ρ max? ρ max =?

17 Write by BITI_lilu 00 年清华大学信号与系统 Si() t + ni() t So() t + no() t ht () 图 4 十 (6 分 ) 参见图 5, 信号序列 Sk ( ) 与白噪声序列 nk ( ) 迭加后形成 f ( k ), f ( k) 通过单位样值响应为 hk ( ) 的线性时不变系统, 得到响应 gk ( ), gk ( ) 与期望响应 dk ( ) 比较, 误差为 ε ( k), k =,,,0,,, 已知 hk ( ) Sk ( ) 的自相关函数分别为 R ( m ) 和 R ( m ), 白噪声 nk ( ) 的自相关函数 R ( ) ( ) nn m = Nδ m, 且 Sk ( ) 与 nk ( ) 不相关, 即 RSn( m ) = 0 求 : () gk ( ) 与 f ( k ) 的互相关函数 R ( m ) =? () gk ( ) 的自相关函数 R ( m ) =? gg gf hh ss (3) 若取期望值 dk ( ) = Sk ( ), 那么 ε ( k) 与 f ( k ) 的互相关函数 Rε f ( m) =? Sk ( ) f ( k ) gk ( ) hk ( ) ε ( k) nk ( ) dk ( ) 图 5 4

18 Write by BITI_lilu 00 年清华大学信号与系统清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试时间专业考试科目试题内容 : 一 (0 分 ) 解答以下各题 ( 可略去推导 ) () 计算 δ (sin x) =? δ () 为冲激函数 ' () 计算 sin x δ ( x) =? δ ' () 为冲激偶 y (3) lim y 0 x y 是否定义了一个 δ ()? 为什么? + π y> 0 (4) 计算 L - 3 S + 5S + 9S + 7 { } = ( S + )( S + ) z (5) 已知 : X( z) = ( z ) ( z )?,< z <, 求 x( n ) =? 二 (0 分 ) 见下图 : f () t 的频谱 F( ω ) 如图所示, f () t 作用于图所示的系统, ω a = ( ωl + ωh) 理想低通滤波器(LPF) 的截止频率为 ( ωh ωl ) ω b > ω H () 请画出 A B C D E F G H 各点的频谱图 () 请标明各点幅度频谱特征值

19 Write by BITI_lilu 00 年清华大学信号与系统 f () t π cosω a t cosω b t π 图 F( ω) ω H ωa ωl 0 ωl ω a ω H ω 图三 (0 分 ) 序列 x( n ) 作用于单位样值响应为 hn ( ) 的零状态线性时不变离散系统, 系统输出为 yn ( ) j () 若 x( n ) 的幅度谱 X( e ω ) =, 则 R ( m) = R ( m) R ( m ) 和 R ( m) 分别为 yn) ( 和 hn) ( 的自相关函数请予以证明 () 若已经确知 Rhh( m ), 能否唯一确定 hn ( )? 为什么? (3) 在已确知 Rhh( m ) 的条件下, 求具有最小相位特性的 hn ( ) 请给出具体过程和相应公式 (4) 在本题 () 小题中, 若 x( n ) 为白噪声序列, R ( m) = δ ( m), 命题是否成立? 为什么?( δ ( m) 为单位样值序列 ) yy hh yy xx hh 四 (0 分 ) 因果信号 x() t 作用于冲激响应为 ht () 的零状态线性时不变因果系统, 输出为 yt () 若系统为有界输入有界输出稳定(BIBO 稳定 ), 则当 x() t 具有有限能量时 ( xt () dt k< ), 输出 yt () 也具有有限能量请证明 0

20 Write by BITI_lilu 00 年清华大学信号与系统五 (0 分 ) 在 Z 变换的定义中, 若以 z 一种形式的定义, 如下面 ( * ) 式所示代替 z, 可以得到 z 变换另 X ( z) Z{ xn ( )} = xnz ( ) n (*) n= 请根据 ( * ) 式定义针对因果线性时不变系统给出 : () 有界输入有界输出稳定的 z 域充要判据 ; () 全通系统的零点和极点分布规律 ; (3) 最小相位系统的零点和极点分布特征 * 六 (0 分 ) x() t 的连续子波变换可写为 (, ) ( ) ( t b WT ) x a b = x t ψ dt a, a 其中*表示取共轭若 F {()} xt = Xω ( ), F { ψ ( t)} =Ψ ( ω), 则 a * j b WTx ( a, b) = ω X ( ω) ( aω) e d π Ψ ω 成立请予以证明, 并请说明 a b 的含义式中, a> 0, b> 0 七 ( 0 分 ) 若 f () t 的傅立叶变换 F( ω ) 为 ω 的实因果信号, 即 F( ω) = F( ω) U( ω), U ( ω ) 为 ω 的单位阶跃函数, 则 f () t = f () t + jf () t, f () t 和 fl () t 为实信号, 且 fr () t 和 fl () t 为 Hilbert 变换对请予推导 R l R ( 提示 :F {()} ut = + πδ( ω) ) jω 3

21 Write by BITI_lilu 000 年清华大学信号与系统清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试时间专业考试科目试题内容 : 一 (0 分 ) 计算可以省略过程而直接在等号后面给出结果. δ( αt) f( t) dt = 其中, f () t 为连续有界函数, t (, ),α >0. δ () t f( αt t0) = 其中, f () t 为连续有界函数, t (, ), 表示卷积 3. δ ( α f ) 的 Fourier 反变换 F { δα ( f)} = 4. δ () t + t的 Laplace 变换 L{ δ ( t) + t} = 5. 请标明收敛域 4 4 的 Laplace 逆变换 L { } = 4s + 4s + 6. 序列 δ ( n + ) 的 Z 变换 Z{ δ ( n+ )} = 请标明收敛域 7. 已知 X( z ) =, 求 x( n ) = 8. 已知 x( n) = δ ( n n) + δ ( n+ n ),0< n < n < N 求 x( n ) 的 DFT, 即 X ( k ) = 二 (6 分 ) 判断正误, 正确画 O 或, 错误画, 不画不给分.( ) 一个全通系统与一个最小相位系统级联所组成的新系统必是最小相位的

22 Write by BITI_lilu 000 年清华大学信号与系统. ( ) 一个系统 T, 对输入信号 f () t 的运算规则为 =, K( x, t) 是已知函数, 则系统 T 必为线性系 T{ f( t)} K( x, t) f( t) dt 统 3. ( ) 非线性系统的全响应必等于零状态响应与零输入响应之和 4. ( ) 复变信号的希尔伯特变换无定义 5. ( ) 周期信号的 Fourier 级数必处处收敛 ( 6. ( )A 和 B 均为 n n方阵, 则必有 A + B ) e t = e At e Bt 7. ( ) 两个有限序列的圆卷积 ( 循环卷积 ) 必等于它们的线卷积 8. ( ) 全通系统必为无失真传输系统 9. ( ) 由已知信号 f () t 构造信号 : Ft () = f( t+ nt), 则 Ft () 为周期信号 n= 0. ( ) 线性定常系统的频率响应一定等于系统冲击响应的富立叶变换三 (5 分 ) 信号 δ () t = δ( t nt) 作用于 T n= jωt0 H( jω) = e [ u( ω+ ω ) u( ω ω )] c c 的理想低通滤波器, 其中, t0 >0, ω = π /T, Nω < ω c < ( N + ) ω, N 为正整数, u() 为单位阶跃函数求系统的响应四 (8 分 ) 已知系统函数 H() s = s + 若输入信号为 x () t = sin() t u () t, u() 为单位阶跃信号, 求稳态响应 Y () t =?( 可省略过程 ) s

23 Write by BITI_lilu 000 年清华大学信号与系统五 (0 分 ) 线性时不变系统的状态空间方程为 i X () t = AX() t + BV () t Y() t = CX() t + DV() t 式中 : X 为 n 维向量,V 为 y 维向量,Y 为 m 维向量请推导系统函数阵 ( 又称转移函数阵 ) H() s 六 (3 分 ) 已知三角脉冲 f( t) E( t/ τ)[ ut ( τ / ) ut ( τ / )] 谱 F Sa = + 及其频 Eτ ωτ ( ω ) = ( ), 其中 E >0, τ >0 请回答以下问题:. 画出 f () t 和 F( ω ) 的图像, 并标明特征点. 求 f () t = f() t δ () t 及其 Fourier 变换 F ( ω ), 并画出 f () t 和 F ( ω ) 的图 p T 象其中, δ () t = δ( t nt), 且 T τ, 表示卷积 T n= 3. 在第小题基础上, 画出 f () t = f ()[ t δ ( t mt )] 及其 Fourier 变 p ps p s m= p p 换的图像其中, T s τ, N T s = T, N 为整数七 (9 分 ) 系统信号流图如下图所示 X ( n) Yn ( ) z z z z. 写出表示系统输出和输入关系的差分方程. 求系统函数 H( z) 3

24 006 年考研 THU 信号与系统试题参考解答 (v.0) 编辑校勘说明 :. 以下内容均为作者 YY, 不保证其正确性有用性, 不对使用者负任何责任!. 考试时, 在时间允许的情况下, 解答应该尽量详细和严谨试卷满分 50 分, 答题时间 3 小时一问答题 ω Sa π c. 比较 f () t = ( ω t 和 f ( t) f ( t) f ( t τ ) 解答 : 做 Fourier 变换知 c ) 可以看出二者具有相同的截止频率 = 频谱的异同点, 说明后者的优点 ( ω) = ( ω + ω ) ( ω ω ) F u u c c ( ω) = exp( τω ) sin( τω ) ( ω ) F j j F 直流分量, 适于带通系统的传输另外, F ( ) ω, 都具有线性相位特性但 ( ) 物理可实现系统, 并且 τ 的引入使得其群延时特性可调 c F 0 = 0, 说明后者没有 ω 的下降沿比较平缓, 如作为系统函数接近于. 写出全通系统零极点分布特点和相频特性解答 : 对于连续时间系统, 全通系统的零极点关于 s 平面虚轴对称分布, 零点都在虚轴右侧, 极点都在虚轴左侧, 这样 ROC 才能是一个右半平面另外, 可以证明, 全通系统其相频特性有关于频率单调递减的特性对于离散时间系统, 全通系统的零极点关于 z 平面单位圆对称分布, 零点都在单位圆外, 极点都在单位圆内频率特性亦单调递减

25 3. 能量信号的能谱密度都是大于等于零的这个命题是正确的, 请问为什么? 解答 : 感觉这题是废话答案应该有两个要点 : (a) 能量信号的 Fourier 变换是存在的 ; (b) 能谱密度定义为 Fourier 变换的模的平方 4. 傅立叶变换满足内积不变性和范数不变性这个命题成立是有条件的, 请说明条件并用公式表示解答 : 条件是讨论的两个信号都是能量信号公式表示从略 5. 信号 f () t 的 Fourier 变换为 F ( ω ),Laplace 变换为 F ( s ) 请问, 当 f () t 满足什么条件时有 ( ω ) ( ) s = j F = F s ω? 解答 : (a) F ( ω ) 中不能出现奇异函数, 故而要求信号为 BIBO 稳定的 (b) 因为 Laplace 变换不加说明总是指单边的, 故而要使等式成立, 要求 f () t 为因果的 6. 请问命题若真有理函数 H ( s ) 为最小相位的, 则 ln H ( s ) 在右半平面解析是否正确? 为什么? 逆命题正确吗? 解答 : (a) 原命题正确因为最小相位系统要求零点和极点全在 s 平面的左半平面, 故而 ln H ( s ) 的奇点都在左半平面, 于是在右半平面解析 (b) 逆命题错误右半平面指右半开平面, 故而 ln H ( s ) 的解析区域无需包含虚轴, 所以 H ( s ) 可能有零点或极点在虚轴处如 H( s) = s 7.FIR 数字滤波器必为稳定系统, 试说明解答 : 纯属废话

26 DFT{ } 8. 若 X ( k) = x( n), X ( z) = Z { x( n) } 适用 X ( k ) 表示 ( ) 解答 : 设 ( ) x n 的支集为 0 n N, 则 N N N n nl n X ( z) = x( n) z = X () l WN z n 0 n 0 N = = l= 0 N N (a) N N l n z X () l = X () l ( WN z) = N N W z l l= 0 n= 0 l= 0 N X z l 上面 (a) 处进行了等比数列求和, 忽略了公比 W z = 的可能 N 9. 要使两个有限长序列的圆卷积等于线性卷积, 请问如何操作? 解答 : 在两个序列 ( 分别长为 M, N) 后面补零, 使两序列等长为 L 且 L M + N 这样, 两序列以这一长度作圆卷积时就不会因为周期性而发生混叠, 从而在 L 为周期的主值区间内与线性卷积结果相同 exp λ 0. 若 A =, 计算 0 λ ( t) A 解答 : 有两种方法第一种方法, 直接求特征值, 可得到 A 有二重特征根 λ 设 exp( t) = c0 + c A I A, 则于是 e = c + λc c = e λte λt λt te = c c = te λt λt λt 0 0 exp( ) ( ) 0 λt λt λt λ t e λte te A 第二种方法, 利用 exp( At) = ( si ) 情形仍需再作讨论, 即研究 exp λt λt e te = + = λt 0 0 λ 0 e { } L A 可以对 t 0 得到同样结果, 但对 t < 0 的 ( A t) 的左边 Laplace 变换考试的时候不用此种方法为妙二已知 LTI 系统幅频特性为 3

27 H ( ω) = ( ω + 9) ( ω + )( ω + 00) 且系统满足最小相位条件, 求系统函数 H ( s ) 取解答 : 送分题我们由题意知 ( ) ( s) H s H 即可使 h() t 满足最小相位条件 = = ( s 9) ( s )( s 00) 3 ( + s)( 3 s) ( + s)( 0+ s)( s)( 0 s) ( ) H s = ( 3+ s) ( + s)( 0+ s) 于是三试证明 : 稳定信号通过稳定的 LTI 系统, 其零状态响应为稳定的解答 : 送分题设输入为 f () t,lti 系统的冲激响应为 ht ( ), 输出为 g ( t ) 我们已知 ( ), ( ) f t dt < g t dt < () = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( f () t dt) h( τ) dτ = f () t dt h() t dt < g t dt f t τ h τ dτ dt f t τ h τ dτdt 注意, 本题中的所有积分均为定积分, 积分区间为四题目未得以完整保留本题大致是关于数字滤波器的, 给出级联型数字滤波器框图求系统函数, 并说明级联型数字滤波器的优缺点级联型数字滤波器的优点包括 : (a) 可以单独调整每对零点或极点的分布 ; (b) 同一个二阶节可以分时使用, 简化硬件结构 ; 缺点主要是, 虽然理论上各子系统可任意排列, 但对有限精度运算来说不同组合有不同量化效应, 考虑起来比较复杂 4

28 五已知 f ( t) exp ( αt) u( t), g( t) exp( βt) ( ). 求二者的相关系数 ρ. 求互相关函数 Rfg ( τ ) 解答 : 送分题. ρ = αβ α + β = = u t, 其中 α, β > 0. ( τ ) R fg ( ατ ) exp α + β τ 0 = exp( βτ ) < α + β τ 0 六数字理想低通滤波器的系统函数为 jω ( ) ( )( ( c) ( c) ) H e = exp jωα u ω + ω u ω ω, ω <π. 求冲激响应 h n 并绘图 d d ( ). 求 h( k), N k N j, 使得 H( e ω j ) 是给定 N 时 Hd ( e ω ) c 的最小均方误差逼近 3. 前面和是 FIR 数字滤波器设计的实质, 说明此种方法的缺点和改进手段解答 :. 送分题, 答案为 h ( n) d sinω = π c ( n α ) ( n α), 图略. 题目回忆版可能不准确, 但总的来说这一小题要求使用 Parseval 定理, 于是均方误差在时域和频域可以等价表示为 π + jω jω ( ) d ( ) ω ( ) d ( ) ε = H e H e d = h n h n π π n= 要使得上式右端最小, 在给定了 N 的情况下自然要取 ( ) ( ), h n = h n n N d α Re F α + ω 七已知 f ( t) = f ( t) u( t), 且 { ( ω) } = α ω 提示 : = α + ω πω α + ω, 其中 F( ) { f ( t) } ω = F, α > 0 5

29 解答 : 记 Re{ F( ω) } = R( ω), Im{ F( ω) } = I( ω) 由 f ( t) f ( t) u( t) 变换得到 F( ω) = F( ω) πδ( ω) + = F( ω) + F( ω) π jω jπω =, 两边取 Fourier 即 F ( ω) F( ω) = jπω 带入实部和虚部的表示式, 有 ( ω) ( ω) ( ( ω) ( ω) ) R + ji = R + ji jπω 可推知 I( ω α ω ) = R( ω ) = = πω α ω πω α ω + + 从而 F( ω) = R( ω) + ji( ω) = α + jω 到这里为止都是送分的本来应该对这个变换很熟悉而直接写出 f ( t) exp( αt) ( ) = u t, 但是据说这部分没有过程将被扣分 (cmczcs 认为 : 这个相当汗, 不过我想大家都会直接写结果吧都扣分,Yeah!), 所以这里提供一种比留数方法易于理解 ( 也许不那么严谨 ) 的方法容易看出 j α + = ω = α F ω + ω ω α + jω ( ) j F( ) 取 Fourier 反变换, 利用微分定理, 得到 ( t) = f ( t) + f ( ) δ α t 利用一阶线性微分方程的解法 ( 这样做可能颇为不严谨, 因为 Dirac 函数的存在 ), 可得再利用 F( 0) ( ) ( ) = exp( α ) ( ) + exp( α ) f t t u t C t = f t dt = 这个条件, 可知 C = 0 真有脱了裤子放屁的感觉 α 八 () 的匹配滤波器, f t 的 Fourier 变换为 F( ω) = AτSa( ωτ), g ( t) f ( αt) n() t 的自相关函数为 R( τ ) = Nδ ( τ) 这里 A, τ, α > 0 = 与加性噪声 n() t 通过 f () t 6

30 . 不考虑 n() t, 画出 α =,, 时的输出波形. α 时, g ( t) + n( t) 通过 ( ) 意 : 可自行定义失配比, 但必须合理解答 : f t 会产生失配计算 α =,. 若 f () t 的匹配滤波器冲激响应为 h( t ), 则有 ht ( ) kf( t t) 无关紧要的常数, 可以忽略我们有之后步骤从略 ( ω) = τsa( ωτ) ( ) = ( ( + τ) ( τ) ) F A f t A u t u t 0 两种情况下的失配比注 =, 而 kt, 都是在本题中 S0. 设匹配时的峰值.. 信噪比为 N, 即输出信号功率最大时的信噪比, 或者说就是匹配点的信噪比, 另外失配时峰值信噪比为 S α N 输出信号与失配时输出信号的峰值功率之比 S0 N S0 则不妨定义失配比为 ρ α = =, 即匹配时 S N S 不难计算, 这样定义之下 ρ =, ρ =, 或用对数表示为 0dB 和 -6dB 事实上, α = 时, 4 输出信号为三角形 ; 当 α > 时, 输出信号为梯形, 且梯形的高为前述三角形的高的倍, α 所以峰值功率变为 α ; 当 0< α < 时, 输出信号也是梯形, 但梯形的高与三角形的高相等 α 0 α 7

31 清华大学 009 年信号与系统考研试题回忆五年专注考研专业课辅导一五小问,5 分 Sin(wt+3/4pi) 的自相关函数 ( 这个题跟书上的例题很相近, 书上是 cos(wt)) s 域到 z 域的映射关系 3 非最小相移系统 (z-.5)/(z-0.5) 用全通函数与最小相移函数表示, 分别写出二者系统函数 4 给出一个 H(s) 表达式, 求滤波器函数 H(z) ( 可参考第八章课后题 ) 5 F(w) 是带限信号,h(t) 为矩形信号用 h(t-nt)(n 跑遍整个时域 ) 进行抽样, 题目给出条件是满足采样定理的, 求频域的采样函数二八小问,40 分, 最好简明, 能用公式表示要用公式 DTFT 的频域是周期的么? 为什么? 白噪声通过匹配滤波器还白不白? 为什么? 3 一个信号是带限还是不带限, 或是二者皆有可能为什么? 4 给了一个 H(z)=, 求冲击响应, 若求冲击响应 A,B 忘记具体数值, 此题属于常规题目, 历年多次涉及 5 6 全通系统经过双线性变换还是不是全通函数? 7 用 DFT 分析连续信号的步骤, 并说明由此产生了什么效应, 误差 8 以下三至七各 0 分三求 f(t) 的傅里叶变换, 信号是三个三角函数, 可以参考书上例题四 H(jw) = /(+w4), 求其相应的最小相移函数, 求最小相移函数的冲击响应五全通函数的零极点分布特性, 用关系式描述, 要写出 s 域与 z 域的

32 五年专注考研专业课辅导六七如果 * 表示卷积,@ 表示相关 ( 原题的符号 : 圈中是 * ) 求证 (f(t)*g(t))@(f(t)*g(t))=(f(t)@f(t))*(g(t)@g(t)) 八 5 分共三问, 具体的想不起来了, 但是总的来说不难, 特别是给了提示, 只要把提示的公式带进去, 题目就迎刃而解了九 0 分共四问, 属于新瓶装旧酒吧非递归 y(n)=(/m), 求系统函数, 零极点分布特性, 频响函数并作图递归设计函数 y(n)=ay(n-)+bx(n),, 问输入阶跃信号,a,b 取何值, 系统稳定求系统函数

大理大学 2019 年自命题科目考试大纲科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统一目标要求信号与系统是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学公平有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用

大理大学 2019 年自命题科目考试大纲科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统一目标要求信号与系统是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学公平有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用大理大学 2019 年自命题科目考试大纲科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统一目标要求信号与系统是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学公平有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用的需求建立信号与系统的数学模型, 通过时间域与变换域的数学算法, 分析系统性能, 求解输出信号的能力,