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岚艮郦
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1 第三章平面向量 31 平面向量運算在第一章裡, 我們利用相似三角形的概念表達三角形邊與角的關係, 建立三角函數, 進而以三角函數為工具, 求長度角度面積等幾何量, 並證明正弦定理, 餘弦定理以及海龍公式, 用以解決測量的問題在第二章裡, 我們利用直角坐標系, 將幾何問題經代數運算求解, 再詮釋幾何意義, 如直線的傾斜程度聯立方程式與直線交點, 以及圓與直線的關係, 進而研究它們的性質本章要再介紹新的數學概念向量 ( 具有方向與大小 ), 包括向量的表徵向量的運算, 用以處理幾何的問題, 如長度 ( 距離 ), 角度平行垂直正射影以及面積考慮向量所在的環境, 平面或空間, 本章先來討論平面向量, 第四冊第一章再繼續討論空間向量 ( 甲 ) 向量的基本概念 (1) 具有大小方向的量以位移為例 : 某甲從點出發, 朝西北方前進, 走了 10 公里到達地某乙從點出發, 朝北走了 10 公里到達點, 考慮從點到點與點雖然路徑相同, 但方向卻不一樣有向線段的始點其方向為西北方, 其長度 10 公里有向線段的始點其方向為北方, 長度為 10 公里以合力為例 : 甲乙兩人拔河, 甲用大小 2F 的水平力向右邊拉, 乙用大小 F 的水平力向左邊拉, 我們亦可用有向線段來表示這兩個力, 其始點為施力點, 方向分別是兩力的方向, 而長度分別是兩力的大小像位移力速度等物理量包含大小與方向雙重觀念, 我們引進向量的觀念, 將這些物理觀念 ( 朝西北移動 10 公里向右 2F 的水平拉力 ) 看成有向線段, 而引入向量, 物理觀念經數學化之後, 便於物理觀念的溝通與物理量的計算 (2) 向量的概念 : (a) 向量的表示 : 在數學上, 常用有向線段來表示向量, 而且有向線段的方向代表向量的方向 ; 有向線段的長度代表向量的大小以為始點, 為終點的有向線段, 稱之為向量, 符號 :, 它的方向是由指向, 大小為, 記為, 即 = 當 = 時, 為零向量, 記為 = 0 ; 注意 : 0 的大小為 0, 但方向為任意與長度相等, 但方向相反, 稱為的反向量, 記為 : = 向量若不特別指名始點與終點, 亦可用 a b u 來表示 (b) 向量的相等 : ~311~

2 例如 : 右圖的平行四邊形 D, 有向線段可以經由平移移動與有向線段 D 完全重合, 此時有向線段 D 大小相等且方向相同, 此時它們代表同一個向量, 即 =D 兩個向量若大小相等方向相同, 則稱兩個向量相等 a = b a 與 b 方向相同且 a = b 因此根據這個結果可知, 向量可以自由的平行移動 D ( 練習 1) 如右圖,O 點為正六邊形 DEF 的中心, 以圖中七個點之一為始點, 另一點為終點的向量中 : (1) 有哪些和相等? (2) 有哪些是的反向量? [ 解法 ]: (1) 和相等的向量有 FO, O, ED (2) 的反向量有 OF, O, DE ( 乙 ) 向量的坐標表示法用坐標表示的向量, 稱為坐標向量, 將向量予以坐標化, 即向量除了幾何表示 ( 即有向線段 ) 外, 希望能利用代數法或代數式表示, 使得向量能發揮更大的效益 (1) 平面向量的坐標表示 : 設 a 為一個平面向量, 如何用坐標來表示 a 呢? 在坐標平面上, 設 O 為原點,P ( a1,a2 ) 為任一點, 則以 O 為始點,P 為終點的向量 OP, 就稱為在 P 點這個位置的位置向量, 而 OP 由 P 點唯一決定對於此平面上任意一個向量 a, 我們都可以找到唯一的位置向量 OP, 使得 a = OP, 如右圖此時 P 點的坐標 ( a1,a2 ), 稱為向量 a 的坐標表示法, 記作 a =(a1,a2), 其中 a1,a2 分別稱為 a 的 x 分量與 y 分量當向量 a 用坐標 ( a1,a2 ) 表示時, 其方向與大小仍可看出 : (1) a 的方向是由原點 O 指向 P( a1,a2 ); (2) a 的大小為 a = OP = a1 2 +a2 2 特別地, 零向量 0 的坐標為 ( 0,0 ), 即 0 =( 0,0 ) 因此坐標的表示方式可以同時呈現出向量的兩個要素大小與方向如果 a = b, 則它們對應的位置向量相同, 於是我們有以下的結論 : ~312~

3 結論 : (a) 若向量 a =(a1,a2), 則其大小 a = a1 2 +a2 2, 其方向是由 (0,0) 指向 (a1,a2) (b) 若 a =(a1,a2), b =(b1,b2), 則 a = b a1=b1 且 a2=b2 [ 例題 1] 一物體由坐標平面中的點 (3,6) 出發, 沿著向量 v 所指的方向持續前進, 可以進入第一象限請選出正確的選項 (1) v =(1,2) (2) v =(1,1) (3) v =(0.001,0) (4) v =(0.001,1) (5) v =(0.001,1) (2014 學科能力測驗 ) ns:(2)(3)(4) ( 練習 2) 如右圖, 在坐標平面上, a = OP, 試求 : (1) P 點與 a 的坐標表示法 (2) a 的 x 分量與 y 分量 (3) a (2) 兩點坐標決定一個向量的坐標表示法設 (x1,y1) (x2,y2) 為坐標平面上的兩點, 那麼如何表示呢? 若設 (a1,a2) (b1,b2) 為坐標平面上的兩點, 則 =(b1a1, b2a2) [ 說明 ]: 如下圖, 設對應的位置向量為 OP, 其中 O 為原點,P 點的坐標為 (x,y), 則由全等三角形的性質可得 :x=b1-a1,y=b2-a2, 即 P ( b1-a1,b2-a2 ) 因此 =( b1-a1,b2-a2 ) (a) O,, 三點不共線 (b) O,, 三點共線 ( 練習 3) 設 (-2,5 ), ( 1,1 ), 試以坐標表示與, 並求 ~313~

4 ns: =(3,4) =(3,4), =5 結論 : 已知兩點 (a1,a2),(b1,b2), 則 (a) 坐標化 : =(b1a1, b2a2) (b) 求分量 : 的 x 分量為 b1a1,y 分量為 b2a2 (c) 求長度 : 2 = (b1a1) 2 +(b2a2) 2 (3) 用長度方向角決定一個向量 : 將平移到 OP, 其中 O 為原點, 令 OP =r 從 x 軸正向逆時針轉到 OP 的有向角為, 我們稱為方向角, 0<360, 則 = OP =(rcos,r sin) y [ 說明 ]: 設 (x1,y1) (x2,y2) OP =(x2x1,y2y1), 即 P(x2x1,y2y1) 根據正餘弦的定義, 可知 x2x1=rcos,y2y1=rsin = OP =(rcos,r sin) P O x 結論 :(x1,y1) (x2,y2), =(x2x1, y2y1)= (rcos,r sin) y D 例如 : 如圖, 正六邊形 DEF 的邊長為 3 單位長, 且 cos= 2 3, 因為 =3, 且 cos= 2 3, 故 =(3cos,3sin)=(2, 5) E F [ 例題 2] 如圖, 以 M 為圓心 M=8 為半徑畫圓, E 為該圓的直 O x 徑, D 三點皆在圓上, 且 = = D = DE 若 MD=8(cos(+90),sin(+90)) 請選出正確選項 (1) M=8(cos,sin) (2) M=8(cos(+45),sin(+45)) (3) ( 內積 ) M.M=8 (4) ( 內積 ) M.MD=0 (5) D =8(cos +cos(+90),sin +sin(+90)) (2015 學科能力測驗 ) ~314~

5 ns:(2)(4) ( 練習 4) 如右圖, 正六邊形 DEF 的邊長為 3 單位長, 且 cos= 2 3, 試求 =? ns: =( , ) ( 練習 5) 設 ( 3,-2 ), (-1,2 ), ( 2,3 ) 為坐標平面上的三點, 若四邊形 D 為平行四邊形, 試求 D 點的坐標 ns:( 6,-1 ) ( 丙 ) 向量的加減法許多物理量都具有大小與方向, 例如 : 速度力, 這些物理量都可以用向量來描述在實際生活中, 會遇到兩個不同的速度或力的合成問題, 因此我們可以進一步定義向量的運算, 來描述這些現象 (1) 向量的加法 : 給定二個向量 a, b 如何定義 a + b 呢? (a) 三角形法 ( 可用位移為模型 ): 設 a =, b =, 使得 a 的終點與 b 的始點為同一點, 定義 a + b = ( a 的始點指向 b 的終點 ) D [ 討論 ]: 如右圖, + +D+ DE =? E ~315~

6 (b) 平行四邊形法 ( 可用合力為模型 ): 設 a =, b =, 使得 a 與 b 的始點為同一點, 則定義 a + b =D,D 為平行四邊形 [ 說明 ]: 因為 =D, 所以 +=+D=D D (2) 向量的減法 : 給定兩個向量 a, b, 如何定義 a b 呢? 可設 a =, b =, 使得 a 與 b 的始點為同一點, 則定義 a b = a +( b )== ( 由 b 的終點指向 a 的終點 ) [ 說明 ]: 設 a =, b =, 我們定義 a b = a +( b ) 根據右圖可知 D = b,de 為平行四邊形, a b = a +( b )=+D= E =, 即 = (3) 向量的拆解 (a) 任何一個向量, 都可以拆解為 P + P 兩向量的和, 其中 P 為任一點即 = P + P ( 可用位移為模型 ) D E (b) 任何一個向量, 都可以拆解為 P P 兩向量的差, 其中 P 點為任一點即 = P P ( 可用相對運動為模型 ) (3) 坐標向量的加減法設在坐標平面上, a =( a1,a2 ), b =( b1,b2 ), 若 O 為原點, 且, 兩點的坐標分別為 ( a1,a2 ),( b1,b2 ), 則 a = O, b = O (a) 向量的加法 : 如果 O,, 三點不共線, 那麼以 O, O 為兩鄰邊, 可作一平行四邊形 O, 如圖 (a) 所示故得 O + O = O 令點的坐標為 ( c1,c2 ), 因為 O 的中點與的中點重合, 所以 c1=a1+b1,c2=a2+b2, ~316~

7 (a) (b) 於是 O + O = O =( a1+b1,a2+b2 ), 即 a + b =( a1+b1,a2+b2 ) 如果 O,, 三點共線, 且 O + O = O, 那麼 O 的中點與的中點也會重合, 所以這個結果仍然成立, 如圖 (b) 所示 (b) 反向量的坐標表示法接下來, 在介紹向量減法的坐標表示法之前, 讓我們先來看看反向量的坐標表示法, 設 ' 的坐標為 (-a1,-a2 ), 則原點 O 為 ' 的中點, 所以 O' 與 O 互為反向量, 即 O'=- O, 於是若 a =( a1,a2 ), 則 a 的反向量為 - a =(-a1,-a2 ) (c) 向量的減法利用向量相加與反向量的坐標, 我們就可以求出向量相減的坐標表示 a - b = a +(- b ) =( a1,a2 ) + -( b1,b2 ) =( a1,a2 )+(-b1,-b2 ) =( a1+(-b1 ),a2+(-b2 ) ) =( a1-b1,a2-b2 ) 結論 : 向量加減法的坐標表示設 a =( a1,a2 ), b =( b1,b2 ), 則 (1) a + b =( a1+b1,a2+b2 ) (2) a - b =( a1-b1,a2-b2 ) [ 例題 3] 設 a =( 5,3 ), b =(-2,1 ) (1) 試以坐標表示 a + b 與 a - b (2) 若 P ( 4,-2 ), 且 PQ = a - b, 求 Q 點坐標 [ 解法 ]: (1) a + b =( 5,3 )+(-2,1 )=( 5+(-2 ),3+1 )=( 3,4 ) a - b =( 5,3 )-(-2,1 )=( 5-(-2 ),3-1 ) =( 7,2 ) (2) 設 Q 點的坐標為 ( x,y ), 因 PQ = a - b, 故 ( x-4,y-(-2 ) )=( 7,2 ) 即 x-4=7 y+2=2, 得 x=11,y=0, 所以 Q 點坐標為 ( 11,0 ) ~317~

8 ( 練習 6) 設 a =(-3,2 ), b =( 4,-1 ) (1) 試以坐標表示 a + b 與 a - b (2) 試求 a + b 與 a - b ns:(1) a + b =(1,1) a - b =(7,3) (2) a + b = 2, a - b = 58 (4) 向量加法的性質 : 利用向量加減法的坐標表示, 可以到以下的性質 : (a) 交換性 : a + b = b + a (b) 結合性 :( a + b )+ c = a +( b + c ) (c) 零向量 : a + 0 = 0 + a (d) 可逆性 : 對於任一向量 a, 若以表示 a, 則所表示的向量以 a 表示 ( 丁 ) 向量的係數積 (1) 係數積的定義 : 我們用一個力 f 去推動一個物體, 如果推不動, 我們希望再加倍用力去推, 那麼這個加倍的力就可以用 2 f 表示 ; 如果我們希望只用一半且方向相反的力去推, 那麼這個大小一半, 方向相反的力就可以用 f 表示, 如圖所示一般而言, 一個實數 r 與一個向量 a 的乘積, 稱為向量的係數積設 a 是一個向量,r 為實數, 則係數積 r a 仍是一個向量, 定義如下 : 長度 : r a = r a 方向 : 若 a 為非零向量且 r0: r0:r a 與 a 同向 ;r0:r a 與 a 反向若 r=0 或 a = 0 :r a = 0 注意 :0 a r 0 均為零向量 0, 而不是 0 ( 練習 7) 下圖中, 每個小正方形的邊長皆為 1 單位, 試圖示 2 a b ~318~

9 [ 例題 4] 在正六邊形 DEF 中, 令 = a, = b, 試以 a 和 b 表示下列諸向量 : (1) (2)D (3) D ns:(1) a + b (2) 2 b a (3) a + b ( 練習 8) 正六邊形 DEF, = a, = b, 則 E =2 b -2 a D=2 b - a F = b -2 a D F =2 a - b E D= a -2 b ns:()()() ( 練習 9) 如圖所示, 設四邊形 D EFGH DGH FE DHE 和 GF 都是平行四邊形, = a, = c, F = d, E H 試以 a, c, d 表示 E 和 G ns: a c + d, a + d + c F D G (2) 向量平行 : 利用係數積可使向量在同向 (r0) 或反向 (r0), 伸縮向量的長度例如 : 設,, 為一直線上的三點, 且 : =3:2, 則 = 3 5, =2 3 設向量 a 與 b 中有一個可以寫另一個的係數積, 則稱這兩個向量 a 與 b 平行, 符號以 a // b 來表示即根據向量平行的定義, 可知 : (a) 兩個非零向量平行的充要條件是兩向量同向或反向 (b) 0 之方向不予限定, 故 0 可視為與任何向量均平行 a // b 可找到實數 t 或 s, 使得 a =t b 或 b =s a ~319~

10 [ 例題 5] 設相異三點,, 共線若為線段之中點, 則 =, = 若在線段上, 且 = 2 3, 則 =, = ( 練習 10) 如圖,,,D,E,F 共線, 且 = =D=DE=EF, 則下列敘述何者正確? () = 1 5 F () = 1 3 F () E = 3 2 D (D) +2 DE =3 (E)D = F ns:()()()(d) (3) 向量係數積的坐標表示我們已經學過向量係數積的幾何圖示法, 接下來我們要再進一步探討其坐標表示法設 a = O =( a1,a2 ),r a = O =( b1,b2 ), 當 r 0 時, 如下圖 (a) r>0 (b) r<0 過, 兩點作 x 軸的垂線, 其垂足分別為 ' ( a1,0 ),' ( b1,0) 因為 O'~ O', (1) 若 r>0, 則 (2) 若 r<0, 則 O' O O' = O =r, 得 b1=ra1 O' O O' = O =-r, 得 -b1=(-r ) a1, 即 b1=ra1 於 r=0 的情形, 因 r a = 0 =( 0,0 ), 故 b1=0=0 a1=ra1 同理可得 b2=ra2, 因此我們可以得到向量係數積的坐標表示法 ~3110~

11 設 a =( a 1,a 2 ),r 是任意實數, 則 r a =r ( a 1,a 2 )=( ra 1,ra 2 ) (4) 係數積的基本性質 : 利用向量係數積的坐標表示法, 可得以下的性質 : 設 r,s R, a 與 b 為二任意向量, 則 : (a) 分配律一 :r( a + b )=r a +r b (b) 結合律 :r(s a )=(rs) a 分配律二 :(r+s) a =r a +s b [ 例題 6] 設 a =(-1,2 ), b =( 2,1 ), c =(-5,3 ) (1) 試以坐標表示 a +2 b, 並求 a +2 b (2) 試以坐標表示 4 a +3 b -2 c, 並求 4 a +3 b -2 c [ 解法 ]: (1) a +2 b =(-1,2 )+2 ( 2,1 )=( 3,4 ), a +2 b = = 25 =5 (2) 4 a +3 b -2 c =4 (-1,2 )+3 ( 2,1 )-2 (-5,3 )=( 12,5 ), 4 a +3 b -2 c = = 169 =13 [ 例題 7] 設 a =( a1,a2 ), b =( b1,b2 ) 為兩個非零向量, 試證 : a // b a1b2=a2 b1 [ 證明 ]: (1) 若 a // b, 則存在非零的實數 r, 使得 a =r b, 即 ( a1,a2 )=r ( b1,b2 )=( rb1,rb2 ), 得 a1=rb1,a2=rb2, 故 a1b2=( rb1 )b2=b1 ( rb2 )=a2b1 a1 (2) 若 a1b2=a2b1, 當 b1b2 0 時, 則 = a2, b1 b2 令此值為 r,r 0, 則 a =( a1,a2 )=( rb1,rb2 )=r ( b1,b2 )=r b, 故 a // b 當 b1b2=0 時, 則 b1,b2 恰有一數為 0 可令 b1=0,b2 0, 則 a1=0,a2 0, 故存在非零實數 r, 使得 a2=rb2, 於是 a =( 0,a2 )=( 0,rb2 )=r ( 0,b2 )=r b, 即 a // b 由 (1) (2) 知 : a // b a1b2=a2b1 [ 例題 8] 設 a =(2, 3), b =(1,4),t 為實數, 試求當 t=? 時, a +t b 的最小值 ns: ~3111~

12 [ 例題 9] (1) 求一向量 u 使 u =1 且 u 與 v =(5,6) 同方向 (2) 求一向量 u 使 u =1 且 u 與 v =(5,6) 反方向 ns:(1)( 5 61, 6 61 ) (2) ( 5 61, 6 61 ) 平面上每一個非零的向量, 都有一個長度為 1 且與它同方向或反方向的向量, 我們把長度為 1 的向量, 稱為單位向量若非零向量 a 與單位向量 e 同方向, 則由係數積的定義可得 a = a e, 換句 1 話說, e 可以表為 a a ( 練習 11) 設 a =(1,1), b =(5,2), 試求 : (1)2 a +3 b (2)4 a 5 b (3) a +2 b ns: (1) (13,4) (2)(29,14) (3) 146 ( 練習 12) 設 a =(2,1), b =(3,4), 當 a +t b 最小時,t=? ns:2 ( 練習 13) 設 a =(1,2) b =(3,4), 若 t a + b 與 a +t b 平行, 求實數 t=? ns:t=1 或 1 ( 練習 14) 設 ( 1,t ), ( 3,-2 ), (-1,6 ), 若,, 三點共線, 試求 t 的值 ns:2 ( 練習 15) 請求出與 a =(4,3) 平行的單位向量 ns: 1 5 (4,3) 1 或 5 (4,3) ( 練習 16) 設 a =(3,1) b =(1,2) c =(3,8), 若 c =x a +y b, 則實數對 (x,y)=? ns:(x,y)=(2,3) ~3112~

13 ( 戊 ) 向量的內積一個物體在定力 f 作用下, 若在力 f 的方向上有一位移 d, 則該力對物體所作的 W=fd; 但當力的方向與位移的方向有一夾角時, 所作的功就不再單純的只是力與位移的乘積, 而與夾角有關如下圖, 對一個重物施以與水平方向成角大小 5 牛頓的力 f 使得重物沿水平方向移動 10 公尺, 試求所作的功 =? 5 牛頓 [ 解答 ]: 因為 f 的水平分力為 5cos, 因此所作的功 W=(5cos )10( 焦耳 ) [ 數學化 ]: 現在將力視為向量 f, 位移視為向量 d, 因為力與水平方向夾角為, 則可視為 f 與 d 的夾角為, 10 公尺所作的功 W=(5cos )10=( f cos ) d = f d cos, 其中為 f 與 d 的夾角, 這樣的概念數學化之後, 就稱為向量 f 與 d 的內積 (1) 向量的夾角 : a b 為平面上的兩個非零向量, 根據向量的意義, 我們可以將兩個向量平行移動, 使得 a 與 b 的起點重合 ( 如下圖 ), 令 a =O, b =O, 定義兩向量的夾角為 O (0180) 0<<90 90<<180 =90 O O O =0 O O =180 為 0 之方向不予限定, 因此我們規定 0 與任何向量的夾角為任意角度注意 : (2) 向量的內積 : 定義 : 設 a 與 b 為兩向量, 為其夾角, 定義 a 與 b 的內積為 a b cos, 符號記為 : a. b = a b cos,"." 念成 dot 特別的, 0. a = 0 a cos=0, 因此 0 與任何向量 a 的內積都是 0 ~3113~

14 注意 : a. b 是一個實數而非向量, 就好像功是一個純量, 而沒有方向當 a. b >0 0< 夾角 <90, 當 a. b <0 90< 夾角 <180 例 : 設正三角形之邊長為 1, 求 (1). 之值 ;(2). 之值 (3) 內積的另一種看法 : 令 a =, b =, 為 a 與 b 的夾角 (a) 當 0<<90 D 如圖, b cos = cos = D a. b = a b cos=. D >0 (b) 當 90<<180 如圖, b cos = cos = D a. b = a b cos=. D <0 D (c) 當 =90 a. b =0 如圖, b cos =0 a. b = a b cos=0 [ 例題 10] 之三邊長為 =4, =5, (D) =6, 則求 (1).=? (2). =? ns:(1) 27 2 (2)5 2 ~3114~

15 (3) 向量垂直的定義 : 當 a 與 b 之夾角為直角時, 我們稱 a 與 b 垂直, 記為 a b 因為一向量 a 與 0 之夾角可視為任意角, 為了方便起見, 我們將任何向量與零向量都視為垂直, 於是 a b 表示 a = 0 或 b = 0 或 = 2, 但不管是那一種情形, a. b =0 所以規定: a b a. b =0 (4) 向量內積的坐標表示法 : (1) 設 a =(a1,a2), b =(b1,b2), 我們如何用 a1,a2,b1,b2 表示 a. b 呢? a 與 b 不平行 : 設 O=(a1,a2) 和 O=(b1,b2) 且兩非零向量的夾角為, 根據餘弦定理 : 2 = O 2 + O 2 2 O O cos 因此 y O x O. O= O O cos= 1 2 ( O 2 + O 2 2 ) = [(a1 2 +a2 2 )+(b1 2 +b2 2 )[(a1b1) 2 +(a2b2) 2 ]]=a1b1+a2b2 故 a. b = a1b1+a2b2 1 2 a 平行 b : 可令 a =t b (a1,a2)=t(b1,b2) a1=tb1 且 a2=tb2 a. b =( t b ). b =t b 2 =t(b1 2 +b2 2 ) a1b1+a2b2=( tb1)b1+( tb2)b2= t(b1 2 +b2 2 ) 故 a. b = a1b1+a2b2 根據前面的計算, a. b = a1b1+a2b2 根據這個結果, 可知當我們將 a b 坐標化之後, a. b 就可以容易由分量計算出來, 此時可以反過來向量的夾角與長度結論 : 設 a =(a1,a2), b =(b1,b2) (a) a. b = a b cos=a1b1+a2b2 (b) a b a. b =0 a1b1+a2b2=0 ( 向量與垂直的關係 ) a b a1b1+a2b2 (c) 若 a 與 b 皆不為 0, 則 cos= = a b a1 2 +a2 2 b1 2 2( 向量與角度 ) +b2 (d) a. a = a a cos0= a 2 ( 向量與長度 ) 由 (c) 與 (d) 可知內積與求角度長度都有關係, 這也是內積重要的地方 ~3115~

16 [ 例題 11] (1) 設 a =(2,4) b =(1,2), 為 a b 的夾角, 試求 cos 的值 (2) 設的三頂點為 (3,2) (1,4) (6,3), 求內角的角度 ns:(1)cos= 3 5 (2)135 [ 例題 12] 設 u v 為兩長度為 1 的向量若 u + v 與 u 的夾角為 75, 則 u 與 v 的內積為 ( 化為最簡根式 ) (2014 學科能力測驗 ) 3 [ 答案 ]: 2 v u + v u [ 例題 13] 設向量 a 與另一向量 b =( 3,1) 的夾角是 120 且 a =8, 試求向量 a ns: a =(0,8) 或 (4 3,4) ~3116~

17 ( 練習 17) 設 a =(2,0) b =(1, 3), 試求 : (1) a b (2) a 與 b 的夾角 ns:(1)2 (2)120 ( 練習 18) 設 u =(k,1), v =(2,3), 求 k 使 : (1) u 和 v 垂直 (2) u 和 v 平行 (3) u 和 v 的夾角為 60 ns:(1)k= 3 2 (2)k= 2 3 (3)k= ( 練習 19) 設 (4,0),(0,-3), 動點 P 為直線 x+y=0 上之一點則 P. P 之最小值 = ns: 49 8 [ 提示 : 令 P(t,t), P. P =(4t,t) (t,3+t)=2t 2 7t] ( 練習 20) 設 (1,2) (0,2) (3,4) 為之三頂點, 求 sin=?ns: ( 練習 21) 設 O=(3,1), O =(1,2), 若 OO, //O, 且 OD+O=O, 則 OD=? ns:(11,6) (5) 向量內積的性質 : 利用向量內積坐標表示法, 可以得出以下的性質 : 設 a, b, c 為任意三向量,r 為任意實數, 則 (a) a. b = b. a ( 交換性 ) (b) a.( b + c )= a. b + a. c ( 分配性 ) (c)r( a. b )=(r a ). b = a.(r b ) (d) 0. a =0 ( 注意 : 0. a =0 而非零向量 ) (e) a 2 = a. a 0, a 2 =0 a = 0 注意 : a 2 = a. a 這個性質可以讓我們在內積與長度之間轉換, 是一個簡單但重要的性質 (f) a b 2 =( a b ).( a b )= a 2 2 a. b + b 2 令 a =O, b =O =OO= a b, a b 2 = a 2 + b 2 2 a. b 可以寫成 : 2 = O 2 + O 2 2 O O cos, 當 a 與 b 不平行時, 上式即為餘弦公式 O ~3117~

18 (g) m a +n b 2 =m 2 a 2 +n 2 b 2 +2mn a b m a +n b 2 =( m a +n b ) ( m a +n b )= m 2 a 2 +n 2 b 2 +2mn a b [ 例題 14] 二向量 a, b, 若 a =3, b =4, 且 a + b = 13, 則 (1) a 與 b 之夾角為何? (2) 3 a +2 b =? ns:(1)120 (2) 73 [ 例題 15] 設 a =3, b =5, c =7, 且 a + b + c = 0, 試求 : (1) a. b = (2) a 與 b 之夾角為 ns:(1) 15 2 (2)60 [ 例題 16] 設 a =(2,4), b =(2,1), 設 c = a +t b 且平分 a 與 b 的夾角, (1) 試求 t (2) 試求平分 a 與 b 夾角的單位向量 ns:(1)2 (2) (2,2) [ 例題 17] a =3, b =1, 且 a 與 b 之夾角為, 其中 cos= 1 3, 若 OP = a + b,oq =2 a b, 則 PQ =? ns: 17 ~3118~

19 ( 練習 22) 正三角形的邊長為 2,M 為的中點, 試求 (1)( +M). =? (2)( M).(+M)=?ns:(1)5 (2)8 ( 練習 23) 設 a =(1,3), b =(3,1), 令單位向量 c 平分 a 與 b 的夾角, 試求 c ns: (2,4) ( 練習 24) 設 O=2, O=3,O 與 O 之夾角為 60, 試求 : (1)O. O (2) 2O+ O (3) O-2O ns:(1)3(2) 37 (3)2 7 ~3119~

20 綜合練習 (1) 設 a =(3,1), b =(1,2), c =(2,5), 試求 (a)3 a (2 b + c ) (b) 3 a (2 b + c ) (c) a ( b +2 c ) (d)( a b ) c (2) 設 a = (3,1), b = (1, 4), c =(5,9), (a) 若 c =x a +y b, 求 x, y 之値 (b) 若 c = a +t b, 且 c = 41, 求 t 之値 (3) 有一正立方體, 其邊長為 1, 如果向量 a 的起點與終點都是此正立方體的頂點, 且 a =1, 則共有多少個不相等的向量 a? ()3 () 6 ()12 (D)24 (E)28 (86 學科 ) (4) 在坐標平面上,(150,200) (146,203) (4,3) O(0,0), 下列敘述何者為真? () 四邊形 O 是一個平行四邊形 () 四邊形 O 是一個長方形 () 四邊形 O 的兩對角線互相垂直 (D) 四邊形 O 的對角線長度大於 251 (E) 四邊形 O 的面積為 1250 (90 學科 ) (5) 在坐標平面上有四點 O(0,0),(3,5),(6,0),(x,y) 今有一質點在 O 點沿 O 方向前進 O 距離後停在 P, 再沿 P 方向前進 2 P 距離後停在 Q 假設此質點繼續沿 Q 方向前進 3 Q 距離後回到原點 O, 則 (x,y)= (2009 學科能力測驗 ) (6) 如右圖所示,O 為正方形 D 對角線的交點, 且 E F G H 分別為線段 O,O,O,OD 的中點試問下列何者為真? () + =E + EF + FG +G () =2 EF () =D (D) + F + FE =G (E) E F =0 E F O G H D (7) 在平行四邊形 D 中, 為一條對角線, 若 =(2, 4), 則 =? ~3120~ O y =(1, 3), (8) 設 a = (3,4), b = (1,0), 若 c 平分 a 與 b 的夾角, 且 c 為單位向量, 則 c =? (9) 如圖 : 坐標平面上,O 為原點, O 8, 4, 2, D 1, O = = D =120, (a) 試求點坐標 (b) 設 OD = x O + y O, 試求 x, y 之値 D x

21 (10) (a) 正之邊長為 1, H 為上的高, 求 ( + (b) 平行四邊形 D 中, 7, 5, 求. (11) 設 a =(k,2), b =(2,3) H ). D (a) 若 a 垂直 b, 求 k 的值 (b) 若 a 平行 b, 求 k 的值 (12) (a) 設 a =1, b =2, a 與 b 之夾角為 60, 若 OP =2 a 3 b,oq=4 a + b, 則 PQ =? (b) 已知 a 與 b 滿足 a + b = 4, a b = 2, 求 a 2 b a b 2 =? (13) 坐標平面中, 向量 w 與向量 v =(2, 5) 互相垂直且等長請問下列哪些選項是正確的?(2011 學科能力測驗 ) (1) 向量 w 必為 ( 5,2) 或 ( 5,2) (2) 向量 v + w 與 v w 等長 (3) 向量 v + w 與 w 的夾角可能為 135 (4) 若向量 u =a v +b w, 其中 a,b 為實數, 則向量 u 的長度為 a 2 +b 2 (5) 若向量 (1,0)=c v +d w, 其中 c,d 為實數, 則 c>0 (14) 坐標平面上, 直線 L1 與 L2 的方程式分別為 x+2y=0 與 3x5y=0 為了確定平面上某一定點 P 的坐標, 從 L1 上的一點 Q1 偵測得向量 Q1P=(7,9), 再從 L2 上的一點 Q2 偵測得向量 Q2P=(6,8), 則 P 點的坐標為力測驗 ) (2015 學科能 (15) 令, 為坐標平面上兩向量已知的長度為 1, 的長度為 2 且與之間的夾角為 60 令 u, v x y, 其中 x, y 為實數且符合 6 x y 8以及 2 x y 0, 則內積 u v 的最大值為 (2013 學科能力測驗 ) (16) 若 b =2 a 0, 且 ( a + b )( a 2 5 b ), 則 a 與 b 之夾角為何? (17) 設 u v 為兩非零向量, 以 u 表示 u 之長度, 若 u =2 v = 2 u +3 v, 且表示 u 與 v 的夾角, 則 cos= (2006 指定甲 ) (18) 引擎馬力的計算公式是 P= 1 75 ( F. v ), 其中 F 是引擎所帶動物體的重量, 單位是 kgw, v 是引擎帶動物體的速度, 單位是 m/sec 現在有一貨車拉動軌道上重 1000 公斤的貨車, 而纜線與水平線的夾角是 30, 貨車的速度是 15m/sec, 求貨車引擎的馬力 (19) 設 D 是平行四邊形, =2, =3, 則.D =? ~3121~

22 (20) 中, 設 (2,1),(1,2),(4,3), 試求的垂心 H (21) 三向量 a, b, c, 若 a + b + c = 0, 且 a =2, b =3, c =4, 則 (a) a. b + b. c + c. a =? (b) 求 a 與 b 之夾角,cos=? (22) 一單位圓之內接, 圓心 O, 若 4O+5O+6O= 0, 則 (a)o.o =? (b) =? (23) 如圖所示, 一公路依地形迂迴而建, 從地到地, 地到, 地到 D 地, 距離分別是公里, 而與, 與 D 間, 兩公路的夾角分別是 , 試求地到 D 地的直線距離進階問題 D (24) 設 a b 均非零向量, 若 a 在 b 方向的投影量為 b 的 3 倍, 而 b 在 a 方 1 向的投影量為 a 的倍, 則 a 與 b 之夾角為何? 6 (25) 中, a =O, b =O, c =O, a + b + c = 0, a. b =1, b. c =2, c. a =3, 則 : (a) 2 a +3 b +4 c = (b) 之面積為 (26) 若 a = b 0, 且 a + b a b = 2 a, 求 a, b 之夾角 (27) 坐標平面上, 三點不共線, 若 O+O+O= 0, O =1, O =2, O = 2, 求 (a)o 與 O 之夾角的正弦值, (c) O +2OO =? (b) 的面積 (28) 設 O 為原點, 以 G(12, 5) 為圓心,7 為半徑作一圓, 再作此圓之一內接正, 試求 O + O + O 之値 ~3122~

23 綜合練習解答 (1)(a) (5,12) (b)13 (c)3 (d) (2,5) 31 (2)(a) x 1, y 2 (b) 1 或 17 (3)() (4)()()(E) (5)(4,20) (6)( 全 ) (7)(1, 1) (8) (, ) 5 5 (9)(a) (9,3 3) (b) (a) O = (8,0), 7 3 x, y 8 2 = (4cos 60,4sin 60 ) = (2,2 3), = (2cos120, 2sin120 ) = ( 1, 3), D = (cos180,sin180 ) = ( 1,0), O = O + + 點坐標為 (9,3 3) (b) OD = O + + 又 OD = x O + y O = (8,0) + (2,2 3) + ( 1, 3) = (9,3 3) + D = (9,3 3) + ( 1,0) = (8,3 3), (8,3 3) = x (8,0) + y (10, 2 3) = (8x 10 y,2 3 y) 7 3 8x 10y 8 且 2 3y 3 3 x, y (10)(a) (b) 24 4 (11)(a)3 (b) 4 3 (12) (a) 84 (b) 26 (13)(1)(2)(5) (14)(9,1) [ 解法 ]: 依題意, 令 Q1(2t,t) Q2(5s,3s) P(x,y) Q1P=(x+2t,yt)=(7,9) Q2P=(x5s,y3s)=(6,8) x 2t 7(1) x 5s 6(3) 得到與 y t 9(2) y 3s 8(4) (1)(3) 得到 2t+5s=1,(4)(2) 得到 t3s=17 解得 s=3 t=8 故 (x,y)=(9,1), 因此 P 點坐標為 (9,1) (15)31 (16)60 (17) 7 8 (18)100 3 ~3123~

24 (19)5[ 提示 :. D=(+ ).( +D)=( +).( )] (20)( 5 2,3 2 ) (21) (a) 29 2 (b) 1 4 (22) (a) 1 8 (b) 3 2 [ 提示 : O = O = O =1] (23)7 7 公里 [ 提示 :D=+ +D] (24)45 [ 提示 : a 對 b 方向的投影量為 a cos, 其中為 a 與 b 之夾角 ] (25) (a) 15(b) (26)30 [ 提示 :(a) a ( a + b + c )= a 2 + a b + a c =0 a =2 同理可以求得 b = 3, c = 5, 再求 2 a +3 b +4 c 2 的值 (b)=o+o+o] [ 提示 : 可令 a, b 之夾角, 因為 a = b, 所以 a + b =2 a cos 2., a b = a sin 2 ] (27)(a) (28) (b) (c) 22 ~3124~

數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc

數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc 98 向量 4- 向量的意義向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之和向量 CD 的長度相等方向相同則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量以表之 () 反向量