2015 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 新课标 II) 数学理 1. 已知集合 A={-2,-1,0,1,2},B={x (x-1)(x+2)<0}, 则 A B=( ) A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 解析 :B={x -2<x<1},A={-2,

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拒例茹
4 years ago
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1 05 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 新课标 II) 数学理. 已知集合 A={--0}B={x (x-)(x+)<0} 则 A B=( ) A.{-0} B.{0} C.{-0} D.{0} 解析 :B={x -<x<}a={--0} A B={-0}. 故选 :A. 若 a 为实数且 (+ai)(a-i)=-4i 则 a=( ) A.- B.0 C. D. 解析 : 因为 (+ai)(a-i)=-4i 所以 4a+(a -4)i=-4i 4a=0 并且 a -4=-4 所以 a=0. 故选 :B. 根据如图给出的 004 年至 0 年我国二氧化硫年排放量 ( 单位 : 万吨 ) 柱形图以下结论中不正确的是 ( ) A. 逐年比较 008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析 :A 从图中明显看出 008 年二氧化硫排放量比 007 年的二氧化硫排放量明显减少且减少的最多故 A 正确 ; B 年二氧化硫排放量越来越多从 007 年开始二氧化硫排放量变少故 B 正确 ; C 从图中看出 006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少故 C 正确 ; D006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少而不是与年份正相关故 D 错误. 故选 :D 4. 已知等比数列 {an} 满足 a=a+a+a5= 则 a+a5+a7=( )

2 A. B.4 C.6 D.84 解析 : a=a+a+a5= a(+q +q 4 )= q 4 +q +=7 q 4 +q -6=0 q = a+a5+a7=a(q +q 4 +q 6 )= (+4+8)=4. 故选 :B 5. 设函数 f(x)= 则 f(-)+f(log)=( ) A. B.6 C.9 D. 解析 : 函数 f(x)= 即有 f(-)=+log(+)=+= f(log)= log = 故选 C =6 则有 f(-)+f(log)=+6=9. 6. 一个正方体被一个平面截去一部分后剩余部分的三视图如图则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( ) A. B. 8 7 C. 6

3 D. 5 解析 : 设正方体的棱长为由三视图判断正方体被切掉的部分为以棱锥正方体切掉部分的体积为剩余部分体积为 - 6 = 5 6 = 截去部分体积与剩余部分体积的比值为故选 :D 过三点 A()B(4)C(-7) 的圆交 y 轴于 MN 两点则 MN =( ) A. 6 B.8 C.4 6 D.0 解析 : 设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0 则 D=-E=4F=-0 x +y -x+4y-0=0 令 x=0 可得 y +4y-0=0 y=-± 6 MN =4 6. 故选 :C 8. 如图程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的更相减损术. 执行该程序框图若输入 ab 分别为 48 则输出的 a=( )

4 A.0 B. C.4 D.4 解析 : 模拟执行程序框图可得 a=4b=8 满足条件 a b 不满足条件 a>bb=4 满足条件 a b 满足条件 a>ba=0 满足条件 a b 满足条件 a>ba=6 满足条件 a b 满足条件 a>ba= 满足条件 a b 不满足条件 a>bb= 不满足条件 a b 输出 a 的值为. 故选 :B 9. 已知 AB 是球 O 的球面上两点 AOB=90 C 为该球面上的动点若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 6 则球 O 的表面积为 ( ) A.6π B.64π C.44π D.56π 解析 : 如图所示当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时三棱锥 O-ABC 的体积最大设球 O 的半径为 R 此时 VO-ABC=VC-AOB= π. R R=6R =6 故 R=6 则球 O 的表面积为 4πR =44

5 故选 C 0. 如图长方形 ABCD 的边 AB=BC=O 是 AB 的中点点 P 沿着边 BCCD 与 DA 运动记 BOP=x. 将动点 P 到 AB 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) 则 y=f(x) 的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析 : 由对称性可知函数 f(x) 关于 x= 对称且当 0 x 4 时 BP=tanxAP=

6 此时 f(x)= +tanx0 x 4 此时单调递增排除 AC( 不是直线递增 )D. 故选 :B. 已知 AB 为双曲线 E 的左右顶点点 M 在 E 上 ABM 为等腰三角形顶角为 0 则 E 的离心率为 ( ) A. 5 B. C. D. 解析 : 设 M 在双曲线的左支上且 MA=AB=a MAB=0 则 M 的坐标为 (-a a) 代入双曲线方程可得可得 a=bc= 即有 e= c a =. 故选 :D. 设函数 f (x) 是奇函数 f(x)(x R) 的导函数 f(-)=0 当 x>0 时 xf (x)-f(x)<0 则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是 ( ) A.(- -) (0) B.(-0) (+ ) C.(- -) (-0) D.(0) (+ ) f x 解析 : 设 g(x)= x 当 x>0 时总有 xf (x)<f(x) 成立即当 x>0 时 g (x) 恒小于 0 则 g(x) 的导数为 :g (x)= f x 当 x>0 时函数 g(x)= 为减函数 x

7 又 g(-x)= =f(x)x=g(x) 函数 g(x) 为定义域上的偶函数又 g(-)= =0 函数 g(x) 的图象性质类似如图 : 数形结合可得不等式 f(x)>0 x g(x)>0 或 0<x< 或 x<-. 故选 :A. 设向量 a b 不平行向量 λ a +b 与 a +b 平行则实数 λ=. 解析 : 因为向量 a b 不平行向量 λ a + b 与 a +b 平行所以 λ a + b =μ( a +b ) 所以故答案为 : 解得 λ=μ=. 4. 若 xy 满足约束条件则 z=x+y 的最大值为. 解析 : 不等式组表示的平面区域如图阴影部分当直线经过 D 点时 z 最大

8 由得 D( 所以 z=x+y 的最大值为 + 故答案为 : ) =. 5. (a+x)(+x) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为则 a=. 解析 : 设 f(x)=(a+x)(+x) 4 =a0+ax+ax + +a5x 5 令 x= 则 a0+a+a+ +a5=f()=6(a+) 令 x=- 则 a0-a+a- -a5=f(-)=0. - 得 (a+a+a5)=6(a+) 所以 =6(a+) 所以 a=. 故答案为 : 6. 设 Sn 是数列 {an} 的前 n 项和且 a=-an+=snsn+ 则 Sn=. 解析 : an+=snsn+ an+=sn+-sn=snsn+ = 即 =- 又 a=- 即 =- 数列 { S } 是以首项和公差均为 - 的等差数列 n S =--(n-)=-n Sn=- n. n 故答案为 :- n 7. ABC 中 D 是 BC 上的点 AD 平分 BAC ABD 面积是 ADC 面积的倍.

9 () 求 ; () 若 AD=DC= 求 BD 和 AC 的长. 解析 :() 如图过 A 作 AE BC 于 E 由已知及面积公式可得 BD=DC 由 AD 平分 BAC 及正弦定理可得 sin C= 从而得解. () 由 () 可求 BD=. 过 D 作 DM AB 于 M 作 DN AC 于 N 由 AD 平分 BAC 可求 AB=AC 令 AC=x 则 AB=x 利用余弦定理即可解得 BD 和 AC 的长. 答案 :() 如图过 A 作 AE BC 于 E = BD=DC AD 平分 BAC BAD= DAC 在 ABD 中 sin B= ; 在 ADC 中 sin C= ;. () 由 () 知 BD=DC= =. 过 D 作 DM AB 于 M 作 DN AC 于 N AD 平分 BAC DM=DN = AB=AC 令 AC=x 则 AB=x

10 BAD= DAC cos BAD=cos DAC 由余弦定理可得 : x= AC= BD 的长为 AC 的长为. 8. 某公司为了解用户对其产品的满意度从 AB 两地区分别随机调查了 0 个用户得到用户对产品的满意度评分如下 : A 地区 : B 地区 : () 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 ( 不要求计算出具体值给出结论即可 ); () 根据用户满意度评分将用户的满意度从低到高分为三个等级 : 记事件 C: A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的频率求 C 的概率. 解析 :(Ⅰ) 根据茎叶图的画法以及有关茎叶图的知识比较即可 ; (Ⅱ) 根据概率的互斥和对立以及概率的运算公式计算即可. 答案 :() 两地区用户满意度评分的茎叶图如下 : 通过茎叶图可以看出 A 地区用户满意评分的平均值高于 B 地区用户满意评分的平均值 ;A 地区用户满意度评分比较集中 B 地区用户满意度评分比较分散 ; (Ⅱ) 记 CA 表示事件 A 地区用户满意度等级为满意或非常满意记 CA 表示事件 A 地区用户满意度等级为非常满意

11 记 CB 表示事件 B 地区用户满意度等级为不满意记 CB 表示事件 B 地区用户满意度等级为满意则 CA 与 CB 独立 CA 与 CB 独立 CB 与 CB 互斥则 C=CACB CACB P(C)=P(CACB)+P(CACB)=P(CA)P(CB)+P(CA)P(CB) 由所给的数据 CACACBCB 发生的频率为所以 P(CA)= 6 0 P(CA)= 4 0 P(CB)= 所以 P(C)= = P(CB)= 如图长方体 ABCD-ABCD 中 AB=6BC=0AA=8 点 EF 分别在 ABDC 上 AE=DF=4 过点 EF 的平面 α 与此长方体的面相交交线围成一个正方形. () 在图中画出这个正方形 ( 不必说明画法和理由 ); () 求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值. 解析 :() 容易知道所围成正方形的边长为 0 再结合长方体各边的长度即可找出正方形的位置从而画出这个正方形 ; () 分别以直线 DADCDD 为 xyz 轴建立空间直角坐标系考虑用空间向量解决本问能够确定 AHEF 几点的坐标. 设平面 EFGH 的法向量为 n =(xyz) 根据即可求出法向量 n AF 坐标可以求出可设直线 AF 与平面 EFGH 所成角为 θ 由 sinθ= cos < n AF > 即可求得直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值. 答案 :() 交线围成的正方形 EFGH 如图 : () 作 EM AB 垂足为 M 则 : EH=EF=BC=0EM=AA=8; MH= =6 AH=0; 以边 DADCDD 所在直线为 xyz 轴建立如图所示空间直角坐标系则 : A(000)H(000)E(048)F(048);

12 EF =(-000) EH =(06-8); 设 n =(xyz) 为平面 EFGH 的法向量则 : 取 z= 则 n =(04 ); 若设直线 AF 和平面 EFGH 所成的角为 θ 则 : sinθ= cos< AF n > = ; 直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值为. 0. 已知椭圆 C:9x +y =m (m>0) 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴 l 与 C 有两个交点 AB 线段 AB 的中点为 M. () 证明 : 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ; () 若 l 过点 ( m m) 延长线段 OM 与 C 交于点 P 四边形 OAPB 能否为平行四边形? 若能求此时 l 的斜率 ; 若不能说明理由. 解析 :() 联立直线方程和椭圆方程求出对应的直线斜率即可得到结论. () 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分即 xp=xm 建立方程关系即可得到结论. 答案 :() 设直线 l:y=kx+b(k 0b 0)A(xy)B(xy)M(xMyM) 将 y=kx+b 代入 9x +y =m (m>0) 得 (k +9)x +kbx+b -m =0 则 x+x= 则 xm= ym=kxm+b= 于是直线 OM 的斜率 kom= 即 kom k=-9 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. () 四边形 OAPB 能为平行四边形. 直线 l 过点 ( m m) l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k>0k 由 () 知 OM 的方程为 y=- 9 k x 设 P 的横坐标为 xp 由得 xp = 即 xp= 将点 ( m m) 的坐标代入 l 的方程得 b=

13 因此 xm= 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分即 xp=xm 于是解得 k=4-7 或 k=4+ 7 ki>0ki i= 当 l 的斜率为 4-7 或 4+ 7 时四边形 OAPB 能为平行四边形.. 设函数 f(x)=e mx +x -mx. () 证明 :f(x) 在 (- 0) 单调递减在 (0+ ) 单调递增 ; () 若对于任意 xx [-] 都有 f(x)-f(x) e- 求 m 的取值范围. 解析 :() 利用 f'(x) 0 说明函数为增函数利用 f'(x) 0 说明函数为减函数. 注意参数 m 的讨论 ; () 由 () 知对任意的 mf(x) 在 [-0] 单调递减在 [0] 单调递增则恒成立问题转化为最大值和最小值问题. 从而求得 m 的取值范围. 答案 :()f'(x)=m(e mx -)+x. 若 m 0 则当 x (- 0) 时 e mx - 0f'(x)<0; 当 x (0+ ) 时 e mx - 0f'(x) >0. 若 m<0 则当 x (- 0) 时 e mx ->0f'(x)<0; 当 x (0+ ) 时 e mx -<0f'(x) >0. 所以 f(x) 在 (- 0) 时单调递减在 (0+ ) 单调递增. () 由 () 知对任意的 mf(x) 在 [-0] 单调递减在 [0] 单调递增故 f(x) 在 x=0 处取得最小值. 所以对于任意 xx [-] f(x)-f(x) e- 的充要条件是即 ; 设函数 g(t)=e t -t-e+ 则 g'(t)=e'-. 当 t<0 时 g'(t)<0; 当 t>0 时 g'(t)>0. 故 g(t) 在 (- 0) 单调递减在 (0+ ) 单调递增. 又 g()=0g(-)=e - +-e<0 故当 t [-] 时 g(t) 0. 当 m [-] 时 g(m) 0g(-m) 0 即合式成立 ; 当 m> 时由 g(t) 的单调性 g(m)>0 即 e -m +m>e-. 当 m<- 时 g(-m)>0 即 e -m +m>e-. 综上 m 的取值范围是 [-].. 如图 O 为等腰三角形 ABC 内一点 O 与 ABC 的底边 BC 交于 MN 两点与底边上的高 AD 交于点 G 且与 ABAC 分别相切于 EF 两点.

14 () 证明 :EF BC; () 若 AG 等于 O 的半径且 AE=MN= 求四边形 EBCF 的面积. 解析 :() 通过 AD 是 CAB 的角平分线及圆 O 分别与 AB AC 相切于点 E F 利用相似的性质即得结论 ; () 通过 () 知 AD 是 EF 的垂直平分线连结 OE OM 则 OE AE 利用 S ABC-S AEF 计算即可. 答案 () ABC 为等腰三角形 AD BC AD 是 CAB 的角平分线又圆 O 分别与 AB AC 相切于点 E F AE=AF AD EF EF BC. () 由 () 知 AE=AFAD EF AD 是 EF 的垂直平分线又 EF 为圆 O 的弦 O 在 AD 上连结 OE OM 则 OE AE 由 AG 等于圆 O 的半径可得 AO=OE OAE=0 ABC 与 AEF 都是等边三角形 AE= AO=4OE= OM=OE=DM= MN= OD= AD=5AB= 0 四边形 EBCF 的面积为.. 在直角坐标系 xoy 中曲线 C: (t 为参数 t 00 α<π) 在以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线 C:ρ=sinθ 曲线 C:ρ= cosθ. () 求 C 与 C 交点的直角坐标 ; () 若 C 与 C 相交于点 AC 与 C 相交于点 B 求 AB 的最大值. 解析 :() 把曲线的极坐标分别化为直角坐标方程联立可得交点坐标 ;

15 () 求出曲线 C 的极坐标方程可得 AB 的极坐标即可求 AB 的最大值. 答案 :() 曲线 C:ρ=sinθ 化为 ρ =ρsinθ x +y =y. 曲线 C:ρ= cosθ 化为 ρ = ρcosθ x +y = x. 联立解得或. C 与 C 交点的直角坐标为 (00) 和 ( ); () 曲线 C 的极坐标方程为 θ=α(ρ Rρ 0) 其中 0 α<π. 因此 A 的极坐标为 (sinαα)b 的极坐标为 ( cosαα) 所以 AB = sinα- 当 α= 5 6 cosα =4 sin(α- 时 AB 取得最大值最大值为 4. ) 4. 设 abcd 均为正数且 a+b=c+d 证明 : () 若 ab>cd 则 ; () 是 a-b < c-d 的充要条件. 解析 :() 运用不等式的性质结合条件 abcd 均为正数且 a+b=c+dab>cd 即可得证 ; () 从两方面证若证得 a-b < c-d 若 a-b < c-d 证得注意运用不等式的性质即可得证. 答案 :() 由于 ( ) =a+b+ ab ( ) =c+d+ cd 由 abcd 均为正数且 a+b=c+dab>cd 则 ab > cd 即有 ( ) >( ) 则. () 若则 ( ) >( ) 即为 a+b+ ab >c+d+ cd 由 a+b=c+d 则 ab>cd

16 于是 (a-b) =(a+b) -4ab (c-d) =(c+d)-4cd 即有 (a-b) <(c-d) 即为 a-b < c-d ; 若 a-b < c-d 则 (a-b) <(c-d) 即有 (a+b) -4ab<(c+d) -4cd 由 a+b=c+d 则 ab>cd 则有 ( ) >( ). 综上可得是 a-b < c-d 的充要条件.

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于