概率论与数理统计重点与疑难问题选讲
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1 概率论与数理统计 重点 难点与相关引申问题选讲 04 年全国高等学校非数学专业大学数学基础课教师暑期研修班授课提纲 梅长林 西安交通大学数学与统计学院 新疆 乌鲁木齐
2 一 前言 内容限于工程数学概率论与数理统计 ; 仅涉及某些重点 难点以及在授课中拟引申和展开的内容 不具系统性 ; 概率论部分主要涉及重要概念的引入 理解以及重点需强调的知识点 ; 数理统计部分重点在于统计思想的阐述与某些重要概念的理解 并简介贝叶斯统计的基本思想以及结合计算机软件进行统计计算的一些设想 ; 对一些内容的处理以及讲授方式只是本人在教学实践中的一些做法和体会 不妥之处 恳请质疑 讨论
3 二 工程数学概率论与数理统计课程特点 是学生在大学期间较系统接触的第一门以随机现象为研究对象的课程 其思想方法 尤其是数理统计的思想方法 与其他数学课程有较大差异 ; 本课程内容不具有 自封闭 性 在课程大纲范围内有些概念不能严格定义 一些定理不能严格证明 ; 所涉及的积分多属分段函数以及含参变量的积分 需要有分段考虑的能力 ; 该课程有强烈应用背景 易于和日常生活中的实际问题和其他学科领域的问题相结合 利于提高学生的学习兴趣 3
4 三 上好第一节课. 从两个简单试验的对比引出随机试验和随机现象 试验 I: 袋中有 0 个形状完全相同的红球 搅匀后从中任 取一个 所取出球的颜色如何? 试验 II: 袋中有 0 个形状完全相同的球 其中 6 个白球 4 个红球 搅匀后从中任取一个 所取出球的颜色如何? 4
5 三 上好第一节课 试验 II 的特点 : 试验可以在相同的条件下重复进行 ; 试验的所有结果明确可知 且不止一个 ; 3 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个 但在试验之前不能断定到底会出现那一个结果 满足上述三条的试验 随机试验 随机试验描述的现象 随机现象 概率论 从数量角度研究随机现象的规律 5
6 三 上好第一节课. 随机现象的统计规律性 将试验 II 重复进行多次 取到的白球数 : 红球数近似为 6:4 连续投掷一枚均匀硬币 正反面出现的次数近似相等 参见下表的历史记录 6
7 三 上好第一节课 投掷均匀硬币的历史记录 实验者 投币次数 正面出现次数 正面数所占比例 De Morga Buffo Kerrch Kerrch Kerrch Kerrch Feller earso earso Romaovsky
8 三 上好第一节课 3 英文字母 包括空格 出现的规律性 字母空格 E T O A N I R S 频率 字母 H D L C F U M Y 频率 字母 W G B V K J Q Z 频率 应用 : 计算机键盘设计 8
9 三 上好第一节课 3. 概率论发展简史 概率论的概念形成于 6 世纪 与投掷骰子的赌博方式有关 Fermat 法国 和 ascal 法国 :63-66 的通信被认为是建立概率论数学基础的起点 二人被称为是概率论的奠基人 促使 Fermat 和 ascal 通信的人是 De Mere 法国 : 瑞士 Beroull 家族至少有 5 人在概率论方面做出重要贡献 Kolmogorov 俄国 : 在 933 年建立了概率的公理化体系 我国许宝騄教授 在概率统计研究方面贡献突出 9
10 三 上好第一节课 4. 一些概率 统计 实例 De Mere 问题 : 一赌徒以 一枚骰子连掷 4 次 均不出 6 点 与庄家打赌 赌徒的条件是否对自己有利? 进一步 两枚骰子连掷 需多少次 均不出双 6 的概率会小于至少出现一次双 6 的概率? 赌徒赢的概率约为 0.48 赌徒破产问题 : 一赌徒有本金 a 元 计划再赢 b 元就停止赌博 设赌徒每局赢的概率 p=0.5 每局输赢都是一元钱 赌徒输光后停止赌博 赌徒输光的概率 qa 是多少? 结果 :qa=b/b+a: 若 a 有限 赌徒贪心 b 越大 输光的概率越大 ; 如果赌徒的贪心很大 b 趋于无穷 赌徒输光的概率趋于 0
11 三 上好第一节课 3 生男生女问题 : 假定生男生女的机会均等 且生育政策为 若生一 男孩 可继续生育 直到有一女孩出生为止 长时间后 男孩的数量是否 会增加? 4 生日问题 : 若一个人出生在一年 365 天中的每一天的机会相同 那么 对一个有 个人的班级 至少有两个人可以在同一天过生日的概率有多大? 对 于 = 分别计算其概率 其结果与你的想象是否相符?
12 三 上好第一节课 5 奶茶辨认问题 : 一女士称她能通过品尝奶茶辨别出是奶先加入还是茶先加入 现准备 8 杯奶茶 并告知她其中 4 杯奶先加入 另 4 杯茶先加入 让她品尝辨别 结果她各辨别正确 3 杯 据此结果 你对该女士的奶茶辨别能力有何评价? 如果准备 6 杯奶茶 其中 8 杯奶先加入 另 8 杯茶先加入 若她各辨别正确 7 杯 你又能作何评价? 若一个人随便猜 则能猜出上述结果的概率为 3 7 C4C4 C8C C C
13 三 上好第一节课 6Buffo 投针问题 : 在平面上画有间隔为 a 的平行线 将一枚长度为 bb<a 的针随机地投掷在平面上 求针与平行线相交的概率 重复试验 N 次 记录针与平行线相交的次数 进而可模拟 的近似值 历史记录 平行线间隔折算为 实验者年份针长投针次数相交次数的近似值 Wolf Fo Lazzer Rea
14 三 上好第一节课 7 敏感性问题调查 : 在敏感性问题 如大学生考试作弊 婚外恋 吸毒 调查中 即使采用无记名方式 一般也不能完全消除被调查者的种种顾虑 从而得不到较为真实的数据和分析结果 通过本课程的学习 你能否设计出一些更为合理有效的调查方式 以尽可能的消除被调查者的顾虑 并按你所设计的调查方式 分析在被调查人群中有关问题发生的概率. 正反问题设计 : A. 你曾经在考试中作过弊 是吗? B. 你从未在考试中作过弊 是吗? 是 ; 不是. 无关问题设计 : A. 你曾经在考试中作过弊 是吗? B. 你父亲生日的月份为偶数 是吗? 是 ; 不是 4
15 三 上好第一节课 8 匹配问题 : 每人带一件外形包装相同的礼物参加聚会 将所有礼 物充分混合 再让每人随机拿一件 求至少有一个人拿到自己礼物的 概率 平均来说 有几个人正好拿到自己的礼物? 解答见后面 5
16 四 从样本空间 随机事件到事件域 样本空间 : { 随机试验 E 的所有可能结果 }={ }; 随机事件 : A ; 研究的主要对象 随机事件的关系 运算及运算规律 ; 事件域 :F={ 与 E 有关的随机事件的全体 } 问题 :F 是否可由 的全体子集构成? 若不能 F 应至少满足什么条件 才能包含足够感兴趣的事件? 6
17 四 从样本空间 随机事件到事件域 由所定义的事件的关系及运算 我们自然要求 F 中应包含两个特殊事件 即必然事件和不可能事件 也应至少包括事件的和事件 积事件 差事件 对立事件等 可证只要 F 满足 : F; A F A F; A A A F A F. 则 F 至少可包含上述各种事件 7
18 五 从频率到概率的古典定义 频率定义 : 设事件 A 在 次重复试验中发生了次 频率的性质 : 则 A 发生的频率为 : 非负性 : A F f A 0 规范性 : f f A A 有限可加性 : A BF AB f AB f A f B A 8
19 9 五 从频率到概率的古典定义 概率的古典定义 : 有唯一的数值 A 与之对应 且满足 : 非负性 : 规范性 : 有限可加性 : A F 0 A F A j A A j A A F A A A
20 五 从频率到概率的古典定义 古典概型 : 若一个随机试验 E 满足 : { } 有限 ; { } { } { } 则称此概率模型为古典概型 古典概型的概率计算公式 : { } A { A k 此公式由法国数学家 Laplace 于 8 年给出 当时作为概率的一般定义 事实上它只适合古典概型 k } F 0
21 六 从几何概型到概率的公理化定义. 一维直线上的几何概型 在区间 [a b] 上等可能地投点 此处 等可能 是指对于 [a b] 内 的任一具有长度 l A 的子集 A 点落入 A 中的概率只与 A 的长度成正比 而 与 A 的位置形状无关 此随机试验的样本空间为 : { a b} 由概率的古典定义可得此概型的概率计算公式为 : A b l A a l l A
22 六 从几何概型到概率的公理化定义. 二维平面上的几何概型 在平面上的有限区域 D 中等可能投点 此处 等可能 是指对 于 D 内任一具有面积 S A 子集 A 点落入 A 中的概率只与 A 的面积成 正比 而与 A 的位置形状无关 此随机试验的样本空间为 : { y y D} D 由概率的古典定义可得此概型的概率计算公式为 : A S S A D 类似可给出三维空间上几何概型的定义及概率计算公式
23 六 从几何概型到概率的公理化定义 3. 事件域的扩充 由几何概型看到 : 事件域 F 不能包含样本空间的所有子集 因为有些子集无长度 面积或体积 ; 样本空间的子集有无穷多 有时对可列多个子集的并可能感兴趣 如 [0] 区间上一列子集 A A 0 ] ] 因此有必要将 F 对有限并封闭扩充为对可列并封闭 3
24 六 从几何概型到概率的公理化定义 4. 事件域 F 的定义 设随机试验 E 的样本空间为 ΩΩ 的某些子集构成的集类 F 称为 E 的事件域 如果它满足 : A F; A F F A F; A F. F 中的每一个集合称为 E 的随机事件 4
25 六 从几何概型到概率的公理化定义 5. 概率的公理化定义 设随机试验 E 的样本空间为 Ω 事件域为 F 有唯一的数值 A 与之对应 且满足 : 非负性 : 规范性 : 可列可加性 : A 称三元体 A A F A 0; F ; F A A j A 为概率空间 A F 此公理化定义由 Kolmogorov 于 933 年给出 j 5
26 七 利用概率性质求解的两个例题 例 : 从分别写有数字 9 的 9 张卡片中有放回地抽取 次 求 次所抽取的卡片上的数字乘积能被 0 整除的概率 例 : 某人写好 封信和对应的 个信封 将这 封信随机地装入 个信封中 求至少有一封信装对的概率 通过上例 使学生掌握将复杂事件表示为一些较简单的事件的运算 进而利用概率的性质求解复杂事件的概率 6
27 7 七 利用概率性质求解的两个例题例 之解 : 令 E={ 取出的 个数的乘积能被 0 整除 } A={ 取出的 个数中至少有一个 5} B={ 取出的 个数中至少有一个偶数 } E=AB AB B A 9 / 4 ; /9 5 ; /9 8 B A B A B A E E /
28 8 七 利用概率性质求解的两个例题例 之解 : 令 ={ 第 k 封信装入相应的信封中 }k= 0.64 ep lm! 3!!! /! 3!/!!/!!/ k k k j k j j j k k k k k j j A A A A A A A A A A A A A A k j A A A j A A A A k
29 八 基于条件概率的三个基本公式. 通过抓阄问题引入条件概率两个人通过抓阄的方式决定一张奖券的归属 令 A={ 第一个人抓到奖券 } B={ 第二个人抓到奖券 } 若第一个人抓阄后告诉第二个人他已抓到奖券 那么第二个人抓到奖券的概率又如何? 分析 : 显然 第二个人抓到奖券的概率为 0. 这与熟知的结果 A=B=/ 不同 比较通过古典概型得到此结果的条件与这里的不同 这样的概率实际上是在已知第一个人未抓到奖券的条件下 第二个人抓到奖券的条件概率 B A 9
30 八 基于条件概率的三个基本公式. 通过上述例子引入概率乘法公式 式 : 进一步分析 B A=AB/A 得到概率的乘法公 设 A>0 则 AB=AB A 或设 B>0 则 AB=BA B 推广 : 设 A A A 0 则 A A A A A A A3 A A A A A A 30
31 3 八 基于条件概率的三个基本公式 3. 进一步引入全概率公式回到两个人抓阄问题 如何计算 B? 从而全概率公式 : BA BA A A B B B 0 A B A A B A BA BA B 有任意事件则对且设 0 A k B j B B B k j k k k k B k A B A
32 八 基于条件概率的三个基本公式 4. 贝叶斯公式及其解释设 B B B 为互斥完备事件组且 B 0 则对任意事件 A 若 A>0 则 B A B B A B A B j j j 解释 : 设 A={ 某人发热 39 0 C } B={ 感冒 }B={SARS} B3={ 出血热 } 解释贝叶斯公式中各项的含义 3
33 九 其他几个概念性问题. 概率为零的事件不一定是不可能事件 概率为 的事件不一定是必然事件. 两个事件独立与互斥的关系分析 3. 随机变量的定义设 F 为概率空间 若对于任一 都有惟一的实数 与之对应 且满足对任何实数 有 { } 则称 简记为 为 F 上的一个随机变量 F 33
34 九 其他几个概念性问题 4. 连续型随机变量的概率密度在几乎处处意义下唯一 5. 证明两个连续型随机变量相互独立 或不相互独立 需注意的问题 设 Y ~ f y ~ f Y ~ fy y. 则 与 Y 相互独立的充要条件是 f y f f y Y a.e. 要证明 与 Y 不相互独立 则需要找一个面积不为零的区域 D 使对 D 内的每一点 有 f y f f y Y 34
35 十 随机变量函数的分布 对于含连续型随机变量的函数的分布 要强调先求分布函数 再求概率密度 如果存在 的一般方法 例. 设随机变量 相互独立 其中 服从 N0 服从 B0.5. 令 Y 证明 Y 为连续型随机变量 并求其概率密度函数 35
36 36 十 随机变量函数的分布例 之解 : / ep / ep F f F
37 十 随机变量函数的分布 在利用连续型随机变量和与商的概率密度计算公式时 要特别注意培养学生分段考虑的能力 Z 例. 设随机变量 和 Y 相互独立 ~U[0] Y~U[0] 分别求 Z=+Y 和 W=/Y 的概率密度函数 Y的概率密度 W / Y的概率密度 f f Z z f fy z W w y f wy fy y d dy 37
38 38 十 随机变量函数的分布例 之解 : 求 Z=+ 的概率密度. z- z 0 z z z d z f f z f y y f f Y Z Y ; 0. 0 ; 0 被积函数非零其他其他 0; 0 z f z Z 时
39 十 随机变量函数的分布 0 z 时 f Z z z 0 d z ; z- 0 z 3 z 时 fz z d 0 ; z- 0 z 4 z 3时 f Z z z- d 3 z ; 0 z- z 5 z 3时 f z Z 0. 0 z- z 39
40 40 十 随机变量函数的分布综上述知 Z 的概率密度函数为 : 3. 3 ; ; 0 3; 0 0 z z z z z z z z f Z 或
41 十一 数理统计学的特点 数理统计学是一门应用十分广泛的学科 起源于 300 多年前 蓬勃发展始于 9 世纪末 主要奠基人 :K. earso R. A. Fsher W. Gosset Studet E. earso J. Neyma 等 借助现代计算机技术 得到进一步发展 v 在众多领域内应用广泛 形成如生物统计 经济统计 地理统计等多个交叉学科 4
42 统计学的几位奠基人 K. earso R. A. Fsher W. Gosset J. S. Neyma E. S. earso
43 十一 数理统计学的特点 数理统计与概率论以及数学的关系 数理统计方法是归纳性的 数理统计方法处理的数据是受随机因素干扰的数据 数理统计方法处理的问题一般都是机理不甚清楚的复杂问题 统计学中有两大学派 频率学派和贝叶斯学派 虽然一些观点有所不同 目前都得到广泛应用 43
44 十二 数理统计中几个重要概念 总体及总体分布 总体 : 研究对象的全体 总体中的每个成员称为个体 引申 : 通常关心的是研究对象的某个数值 或与数值对应的 指标 因此总体 = 指标 取值的全体总体分布 : 视 为随机变量 其所有可能的取值 总体 的规律可以用其分布函数 F 来描述 称为总体分布 总体 F 样本及样本值 从总体中随机抽取 个个体 相当于对 进行 次观测 记为 称为从总体 中抽取的一个容量为 的样本 具体抽样后 得到的观测值 称为样本值 44
45 十二 数理统计中几个重要概念 抽样方式 : 简单随机抽样 ; 分层抽样 ; 整群抽样 ; 等距抽样等 简单随机样本及其分布 若一个抽样方案满足 : 独立性 : 即各个体的抽取是相互独立的 ; 代表性 : 即每个个体均有相同的机会被抽到 则称此抽样为简单随机抽样 设 为通过简单随机抽样从总体 ~F 所抽到的样 本 则 相互独立 ; 均与 同分布 称此样本为来自总体 或 F 的简单随机样本 45
46 46 十二 数理统计中几个重要概念简单随机样本的分布 : 设总体 ~F 将样本视为 维随机变量 其分布称为样本分布 样本分布函数 : 特别 当总体 为离散型随机变量 概率分布为 F F p a. } { 中取值在其中则样本的概率分布为 a a
47 十二 数理统计中几个重要概念 函数为 当 为连续型随机变量 概率密度为 f g f 抽样的必要性 数理统计的目的 : 样本推断总体 统计量及其分布 则样本的概率密度 按一定目的对样本信息进行压缩整合 即构造样本的函数 T 若其中不含任何未知参数 则称其为统计量 统计量是样本的函数 因此其分布与总体分布有关 可反映总体分布的信息 47
48 十三 参数估计 参数估计的一般提法 : 设总体 的分布函数为 F ; k 其中 是未知参数 称为参数空间. k 为来自总体 的样本 参数估计问题即基于样本 构造适当的 k 个统计量作为总体分布中的未知参 的估计 并 k 进一步研究估计量的性质. 48
49 十三 参数估计. 矩估计 基本方法 : 计算总体的前 k 阶原点矩 或中心矩 它们一般是未知参数 k 的函数 ; 令总体的各阶矩等于对应的样本矩 得 k 个方程 ; 解方程组得各参数的矩估计量. 理论依据 : 样本的原点矩 或中心距 以概率收敛于总体的相应原点矩 或中心距 大数定律. 重点强调 : 样本矩是随机变量 总体矩是数 前者只是后者在近似意义下的逼近 ; 估计与数学推证的区别. 49
50 十三 参数估计. 最大似然估计 从一个例子讲起 一个枪法精准的老猎手和一个新猎手各自独立的进入密林中打猎. 在看不到任何一位猎人的前提下 只听到连续射击三次后 第三枪才击中一只兔子 已知这三枪是一个猎人打的 判断该猎物应该归属于哪个猎人? 或者说这三枪最有可能是哪个猎人打的? 直觉推断 : 猎物应该归新猎手! 50
51 十三 参数估计 建立概率模型记一猎手射击一次击中目标的的次数为 击中目标的概率为 则 ~ B { : 且 }. 问题转化为 : 从总体 抽取容量为 3 的样本 得样本观测值 00 由此观测值判断 老猎手? 新猎手? 3 5
52 十三 参数估计 直觉推断的依据实际上是针对两位猎手 判断各自得到抽样结果 00 的概率 : 老猎手 :p 0 0 新猎手 :p 3 因为 因此 p 如 这时 p 如 这时 p p 的可能性要大. 即判断结果是使试验结果发生的概率大的那位猎手. 上述推断等价于选择未知参数 使当前结果发生的概率最大 此即最大似然估计的思想 p 0.03 p 0.5;
53 十三 参数估计 53 3 似然函数的引入及最大似然估计的定义设总体为来自此总体的样本 为样本观测值 则出现此试验结果的概率为 : 当 为离散型随机变量 分布列为 : 则 k F ; ~ ; k p ; k p
54 十三 参数估计 54 当 为连续型随机变量时 概率密度函数为则考虑样本取值在试验结果一个很小的邻域内的概率 : ; k f ; ; ` k k f d f
55 十三 参数估计 55 似然函数的定义 : 设 为总体 为样本 为样本观测值 称为似然函数. k k k v c r f v r d p L `... ;.;.. ; ; 为为
56 十三 参数估计 56 参数最大似然估计的定义 : 参数的最大似然估计即使似然函数达到最大时参数的取值 即求 求参数的最大似然估计归结为求一个 k 元函数的最大值点问题 使得 ˆ ˆ ˆ k. ; ; ˆ ˆ ˆ ma k k L L k
57 十三 参数估计 57 4 两个注记 : 注 : 参数的最大似然估计通常可以通过对似然函数求偏导令其等于零 解相应方程组得到. 为便于求导 引入对数似然函数. 称为对数似然函数. 由于 l 是 的单调增函数 因此似然函数和对数似然函数有相同的最大值点. 强调求导法只是求参数最大似然估计的常用方法之一! k k k k v c r f v r d p L l... ; l.;.. ; l ; l 为为
58 十三 参数估计 注 : 由似然函数或对数似然函数得到的参数的最大似然估计通常是样本观测值的函数 即可表示为 : ˆ l l k 称为参数的最大似然估计值. 为进一步研究估计的性质 需要将参数估计表达式中样本观测值换为样本 即参数的最大似然估计量 : ˆ l l k. 这样的替换实际上涉及到频率学派和贝叶斯学派在似然原理使用上的不同态度 具体见面的解释 58
59 十四 参数估计的评选标准的引入 设 ˆ ˆ 为总体未知参数的一个估计量 无偏估计 E ˆ ˆ 如果对于任何 都有 则称为的一个无偏估计 ; 如果 lm ˆ 则称 ˆ 为 E 的一个渐近无偏估计 有效估计设 ˆ 和 ˆ 都是的无偏估计 如果对于一切 都有 D ˆ ˆ D 且至少存在某个 使严格不等式成立 则称 ˆ 比 ˆ 更有效 问题 : 什么样估计最好?UMVUE 59
60 十四 参数估计的评选标准的引入 均方相合 一致 估计如果 ˆ lm E 0 则称为的均方相合估计 ˆ 注意到 E ˆ D ˆ [ E ˆ 均方相合估计意味 ] 着 : 当样本容量趋于无穷时 估计量的偏和方差都趋于零 v 弱 相合 一致 估计 ˆ 0 如果以概率收敛于 即 有 lm ˆ ˆ 则称为的 弱 相合估计 60
61 十五 参数的区间估计及其在频率学派观点下的解释 双侧 置信区间的定义设 为总体中的未知参数 0 为来自该总体的样本 给定 如果存在统计量 L 和 U 使得 L U 则称 L U 为 的置信度为 的置信区 间 一个参数的置信区间不惟一 样本下置信区间的解释 样本值下置信区间的解释 6
62 十六 假设检验中的一些问题. 假设检验的思想及基本原理 假设 H0 原 零 假设 H 备择假设 ; 参数假设与非参数假设 ; 3 基于样本构造适当的检验统计量 ; 4 实际推断原理 : 小概率事件在一次试验中是不应该发生的 ; 5 假设 H0 为真 基于检验统计量考察具体抽样结果是否符合实际推断原理. 若不符 则拒绝 H0; 否则 不拒绝 H0. 教学中 可通过具体例子逐条阐述 6
63 十六 假设检验中的一些问题. 犯两类错误的概率及其关系 犯第 Ⅰ 类错误的概率 : = 拒绝 H0 H0 为真 ; 犯第 Ⅱ 类错误的概率 : = 接受 H0 H0 不真 犯两类错误的原因 : 抽样的随机性. 例如 : 对一批产品的废品率 p 检验假设 H0 : p 0.03 H : 0.03 检验统计量取为样本均值 该值过分偏大 应拒绝 H0. 若实际上 p=0.0 当样品中包含过多的废品时 会导致拒绝 H0 的错误 即犯了第 I 类错误 ; 若实际上 p=0.05 当样品中包含过少的废品时 会导致不 拒绝 H0 的错误 即犯了第 II 类错误 ; 63
64 十六 假设检验中的一些问题 两类错误的关系 : 一般说来 当样本容量固定时 减小犯一类错误 的概率 会使犯另一类错误的概率增加 ; 0 0 例. 设总体 ~N 其中已知. 检验假设 : H0 : 0 H : 0 拒绝域形式 : 0 c 可求得 : 拒绝 H 其中 u 不拒绝 H 0 H 0 0 为真 u H 0 不真 u 为标准正态分布的上侧 分位数
65 十六 假设检验中的一些问题 3. 显著性假设检验中原假设和备择假设的不平等性 由于 显著性检验只控制犯第一类错的概率不超过给定的显著水平 0 一般都较小 因此起到保护原假设的原则 当原假设被拒 绝时 接受备择假设的理由是充分的 ; 否则 当不拒绝原假设时 只说明数据提供的信息未找到拒绝它的理由 在给定的显著水平下 互换原假设和备择假设可能会得到不同的检验结果 甚至完全相反的结论 0 65
66 十六 假设检验中的一些问题 例. 某厂家称该厂生产的某型号的电动机平均工作电流不超过 0.8A 现随机抽取该型号 6 台 测得其平均工作电流为 0.9A 样本标准差为 0.3A 假定这种电动机的工作电流服从正态分布 对于显著水平 0.05 能否否定厂家的断言? 互换原假设与备择假设 结论完全相反 例 3. 某厂有一大批产品需要出厂 其次品率 p 未知 按规定次品率不超过某标准 p0 时才可出厂 现随机抽取该产品 件进行检验 发现有 m 件是次品 对给定的显著水平 问该批产品能否出厂? 互换原假设与备择假设 对结果有很大影响 66
67 十六 假设检验中的一些问题 解 : 此问题所对应的总体 可以认为服从 0 分布 且 ==p. 设 为来自该总体的样本 若设置检验的假设为 : H 0 p p0 H : : p p 当样本容量趋于无穷时 由中心极限定理知 : p / p p 渐近服从标准正态分布 进一步可证明 : p / 也渐近服从标准正态分布 Slusky 定理 0 67
68 十六 假设检验中的一些问题 从而构造统计量 : U 其拒绝域为 即产品不能出厂 : 因为当 H0 为真 即 从而当 充分大时有 : 时 有 p / p0 p / 0 p p 0 p / 0 u / H 0 / / 0 p u p u 符合显著性假设检验要求 68
69 十六 假设检验中的一些问题 即当 : p / 0 时 产品可以出厂 代入样本观测值 即知 时 产品可以出厂 u d m mp0 / m m/ u m 69
70 十六 假设检验中的一些问题 如果互换原假设与备择假设 即检验假设 : H 同上理可得 : 这时拒绝域 即产品可以出厂 为 代入样本观测值得 当 产品可出厂 0 p p0 H : : p p p / 0 0 u d m m p0 / m m/ u 70
71 十六 假设检验中的一些问题 当 00 p u.645 时 两种假设下的检验结果 H 0 p p0 H : : p p 0 p p0 H : : p p m dm 可出厂 :dm<.645 可出厂 :dm<= 可出厂 可出厂 可出厂 可出厂 可出厂 可出厂 可出厂 可出厂 可出厂 可出厂 可出厂 可出厂 可出厂 不可出厂 可出厂 不可出厂 可出厂 不可出厂 0 H 可出厂不可出厂 不可出厂不可出厂 7
72 十六 假设检验中的一些问题 例 4. 从显著性假设检验原假设与备择假设互换的角度看司法观念 疑罪从有 到 疑罪从无 并分析对判决的影响 H0: 嫌疑犯是罪犯 H: 嫌疑犯不是罪犯 第一类错误概率 = 拒绝 H0 H0 为真 ; 控制很小 第二类错误概率 = 接受 H0 H0 不真 一般较大 H0: 嫌疑犯不是罪犯 H: 嫌疑犯是罪犯 第一类错误概率 = 拒绝 H0 H0 为真 ; 控制很小 第二类错误概率 = 接受 H0 H0 不真 一般较大 7
73 十六 假设检验中的一些问题 4. 实际应用中如何合理设置原假设和备择假设 考虑统计量的构造 零分布的易求性等技术问题 ; 考虑具体问题的实际背景 例如 : 产品检验中 可参考厂家的信誉 厂家信誉好 可置原假设为该批产品合格 ; 否则 即为产品不合格 ; 新药品与原药品的疗效对比中 一般以 新药品的疗效并不优于原药品 为原假设 ; 技术革新中 可置 新工艺优于旧工艺 为原假设 ; 等等. 73
74 十六 假设检验中的一些问题 5.p- 值检验 定义 : 显著性检验的 p- 值定义为在原假设下 检验统计量取其观测值或更有利于备择假设值的概率 检验准则 : 给定显著性水平为 p 检验的 p- 值为 p 则 p 当时 拒绝 H0; 当时 不拒绝 H0. p- 值的意义 :p- 值越小 拒绝原假设的理由越充分 p- 值检验一般与通常的临界值检验等价 v 大多数统计软件都以 p- 值作为假设检验的输出结果 74
75 十七 贝叶斯统计简介. 贝叶斯统计的创立者 Thomas Bayes 英国神学家 数学家 数理统计学家和哲学家 74 年当选英国皇家学会会员 贝叶斯统计的建立归于他的两篇遗作之一 A essay towards solvg a problem the doctre of chaces 该文由其朋友 R. rce 于 763 年 月 3 日在英国皇家学会上宣读 次年发表于皇家学会刊 物 hlosophcal Trasactos 上 当时并未引起 重视 直到 958 年 国际权威统计杂志 Bometrka 重新全文刊登了这篇论文 才受到人们的重视 贝叶斯在该文中所研究的问题可以用现代概率统计的语言描述如下 : 设随机变量 ~BN θ 其中 N 已知 θ 未知 给定 0 a b 在得到样本观测值后 求条件概率 a b 75
76 十七 贝叶斯统计简介. 贝叶斯统计的发展 从贝叶斯论文的宣读到 9 世纪末 历经百余年沉寂 ; 0 世纪前半叶 经过其支持者的宣传而复活 但遭到当时处于全盛期的频率学派的反对 未得到大的发展 反对者代表 :R. A. Fsher J. Neyma 支持者代表 :H. Jefferys L. J. Savage D. V. Ldley 0 世纪下半叶 因频率学派碰到的一些问题 数学化太浓 小样本方法缺乏进展 而得以迅速发展 v 目前 虽然两个学派的分歧依旧 但各自在某些应用方面的良好表现使得这两个学派并存 共同发展 尤其是近期借助计算机模拟发展起来的 MCMC Markov Cha Mote Carlo 方法在很大程度上解决了贝叶斯统计中后验分布计算的难点 使贝叶斯统计得到更广泛应用 76
77 十七 贝叶斯统计简介 3. 数理统计中的三种信息以及频率学派和贝叶斯学派在信息利用上的异同 三种信息 : a 总体信息 : 总体分布或总体分布所属的分布族的信息 ; b 样本信息 : 从总体中抽取的样本所提供的信息 ; c 先验信息 : 抽样之前对总体参数的认识 信息利用上的异同 : 频率学派 : 基于总体信息和样本信息进行统计推断 主要方法为 : 样本统计量统计量的分布推断 贝叶斯学派 : 基于总体信息 样本信息和先验信息进行统计推断 基本方法为综合三种信息 得道后验分布 一切统计推断均基于后验分步进行 77
78 十七 贝叶斯统计简介 两个学派对概率的认识也不同 : 频率学派认为概率是客观的 而贝叶斯学派认为概率可以是主观的 v 似然原理以及两个学派对待似然原理的态度 : 似然原理 : a 抽样得到样本值后 在对未知参数 进行统计推断时 所有与试验有关的 的信息均包含在似然函数 L 中 ; b 如果关于同一未知参数 的两个似然函数成比例 且比例系数与 无关 则这两个似然函数包含了 的相同的信息 似然原理是统计学规范中都应遵守的公理 在此原理下得出的结论才被认为是合理的 78
79 十七 贝叶斯统计简介 贝叶斯学派和频率学派都承认似然原理 但在对待似然原理的态度上有所不同 : 贝叶斯学派 : 后面可知 贝叶斯统计推断基于未知参数的后验分布 它是在给定样本值下的条件分布 即视样本是给定的 因此完全遵守似然原理. 频率学派 : 在寻求未知参数 的最大似然估计时承认似然原理 即认为 L 包含了与试验有关的全部信息 ; 但在得到 的最大似然估计后 又抛弃了似然原理 即将样本值又换为样本 从而认为的估计又与未观测的结果有关. 例 :ratt 在 96 年的一篇论文中描述了一个事例 电子管板极电压 说明了两个学派对似然原理利用方面的不同态度 具体见茆诗松编著 贝叶斯统计 中国统计出版社
80 十七 贝叶斯统计简介 4. 两个学派的优缺点 : 频率学派只适合于能重复试验的场合 而贝叶斯学派则不然 ; 如何确定先验分布是贝叶斯统计的根本难点 ; 频率学派对概率 参数的置信区间的解释没有贝叶斯学派自 然 对假设检验问题的处理也不及贝叶斯统计直观 ; V 频率学派进行统计推断的的主要困难在于求统计量的分布 而贝叶斯学派进行统计推断的主要困难在于求后验分布 80
81 十七 贝叶斯统计简介 5. 贝叶斯统计模型 参数空间上的关于参数的一个先验概率密度 连 续型 或先验概率分布 离散型 ; 样本的条件概率密度族 连续型 或概率分布族 离散型 ; 先验分布 ; } 与样本分布族 { f ; } 构成贝叶斯统计模型 { T { ; } { f ; } 8
82 8 十七 贝叶斯统计简介 6. 参数的后验分布设为样本与参数的联合分布 概率密度或概率分布 和分别为样本的边际概率分布和在给定样本的条件下参数的条件分布 即参数的后验分布 由于从而得参数的后验分布为 : 如果总体 和参数均为离散型随机变量 令则后验分布公式即为概率论中的贝叶斯公式 r g h d f d r g g h f r. d f f h } { } { B A
83 83 十七 贝叶斯统计简介例 : 贝叶斯问题的求解 设总体 ~BN 现观测到 = 对于给定的 求 解 : 样本的条件分布为假定参数服从 [0] 上的均匀分布 则样本与参数的联合分布为 : 0 b a b a. 0 N N f N. 0 0 N N f r N
84 84 十七 贝叶斯统计简介从而样本的边际分布为 : 因此 的后验分布为 : 所求概率为 : N N d N d f g N. 0 N N N g f h b a N b a d N N d h b a.
85 十七 贝叶斯统计简介 85
86 十七 贝叶斯统计简介 7. 贝叶斯统计推断 贝叶斯统计推断原则 : 对总体参数的任何统计推断必须基于的后验分布族 { h } 进行. 参数的贝叶斯估计 : 最大后验估计 后验中位数估计 后验期望估计等 ; 参数的贝叶斯区间估计 : 可信区间 最大后验密度可信 区间 ; 3 参数的假设检验 :H0: 0 H: 86
87 十八 几个统计模拟实验的例子 例 : 掷均匀硬币 N 次 输出正面数与反面数 原理 : 随机产生服从 0 上均匀分布的随机数 若 >0.5 则表示出正面 ; 否则表示出反面 这时 正反面出现的概率均为 0.5 a N=000; b N=0000; c N= 程序见 eamp 87
88 例 : 利用随机模拟方法计算积分 f d 原理 : 设随机变量 服从 a b 上的均匀分布 则随机变量 f 期望为 b E { f } f d b a a 由大数定律 : 设 为 d 服从 a b 上的均匀分布 则 f b a E{ f } b a b a f d a a 故有 0 b b a b a f d f ; f b a 0 b f s ; c a 0 b.645 f ep /. 程序见 eamp
89 例 3: 利用随机模拟方法 求单位圆面积 即 原理 : 向矩形 - 心的单位圆内的概率为 的近似值 - 内随机投点 则点落在以坐标原点为圆 圆的面积矩形的面积 4 所以 4 方法 : 独立产生 - 上的两个随机数 Y 则 Y 服从 - - 上的均匀分布 独立产生 对这样的二维随机数 若落入单位 圆的有 m 对 则有 m 故 4m 程序见 eamp3
Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
第五章 数理统计中的统计量 及其分布
第五章 数理统计中的统计量 及其分布 随机样本 统计量 三大抽样分布 正态总体下常用统计量的一些重要结论 数理统计 以概率论为基础 主要研究如何收集 整理和分析实际问题的数据 有限的资源 以便对所研究的问题作出有效的 精确而可靠 推断 基础 概率论 功能 处理数据 目的 作出科学推断 就概率特征 总体与随机样本 总体 研究对象的某项数量指标值的全体 记作 Y 个体 总体中每个研究对象 元素.
概率与数理统计复习题
概率论与数理统计复习题 一 填空题 P( A) 04, P( B) 05, P( A B) 04, 则 P( A B) E( ) D( ), 由切比雪夫不等式知 P 总体 ~ N( ), 未知, 检验假设 H 0 : 0 的检验统计量为 4 已知,A, B 两个事件满足条件 P( AB) P( A B), 且 P( A) p, 则 P (B) 9 5 设三次独立试验中, 事件 A 出现的概率相等,
附件1：理论课程教学大纲修订样表
一 课程基本信息 概率论与数理统计 A 教学大纲 课程名称概率论与数理统计 A 课程代码 C4803001 英文名称 Probability Theory And Statistics A 归属学科 ( 系 部 ) 统计系 学分 4 学时 64 学时, 其中实践 4 学时开课学期 3 预修课程 高等数学 面向专业计算机 163(33 人 ) 二 课程性质与教学目标 概率论与数理统计 是研究大量随机现象统计规律性的一门学科,
2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
第一章 随机事件与概率 （考研）
概率统计冲刺 真题解析及重点题型 济大科大版说明 : 要求解析 9,,6,8 四年的概率真题四年的概率真题共 题左右, 全面性不够, 以这四年为主, 适当补充其他真题 通过真题解析达到三个目的 : 复习相应的知识点, 查遗补漏 ; 把握命题规律, 强化重点题型 ; 掌握应试技巧, 避免常见错误 冲刺阶段概率统计备考策略 理清结构, 突出重点 真题热身, 实战模拟 查遗补漏, 调整状态 冲刺阶段的复习
2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )
年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当 充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
2016考研数学三线性代数题目及试题答案
6 考研数学三真题及答案解析 来源 : 文都教育 () 设函数 f ( ) 在 ( ) 内连续 ; 其导数如图所示 则 ( ) (A) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (B) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (C) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (D) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a b
第一章 随机事件与概率 （考研）
考研数学强化班答案概率统计叶宏第 页共 页版权所有翻录必究 第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算. ( D). ( D ) P( A B) P( AB) P( AB), 故 ( D ) 正确. 题型二古典概型中的概率计算 m C C C. 第四次一种颜色, 前三次两种颜色, 由古典概型 P( A) 题型三几何概率的计算. 分析 : 根据题意可得两个随机变量服从区间, 上的均匀分布, 利用几何概型
7-2
第二节 偶然中的必然 概率 主要内容 : 一 概率的定义二 条件概率三 全概率公式和贝叶斯公式 一 概率的定义 1. 概率的统计定义 设 E 为随机试验,A 为随机事件, 对 E 在相同 条件下重复进行 次, 若 A 出现了 m 次, 则 比值 F (A). m 称为 A 在 次试验中出现的频率, 记为 随着 的变化而变化 F ( ) A 单独进行一次试验, 其结果难以预料, 但当 多次重复这个试验时,
《概 率 论 与 数 理 统 计》
概率论与数理统计 课外自学指导 第一章事件与概率内容提要 基本内容 : 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 概率的概念和基本性质 古典概率 几何概率 条件概率 与条件概率有关的三个公式 事件的独立性 贝努里试验 随机试验 样本空间与随机事件 随机试验 : 具有以下三个特点的试验称为随机试验 记为 E 试验可在相同的条件下重复进行 ; 每次试验的结果具有多种可能性 但试验之前可确知试验的所有可能结果
第一章 随机事件与概率 （考研）
考研数学强化班答案概率统计叶宏第 页共 页版权所有翻录必究 第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算. P( A B) P( AB) P( AB), 故 ( D ) 正确. 题型二古典概型中的概率计算 m C C C. 第四次一种颜色, 前三次两种颜色, 由古典概型 P( A) 题型三几何概率的计算. 分析 : 根据题意可得两个随机变量服从区间, 上的均匀分布, 利用几何概型 计算较简便. 也可先写出两个随机变量的概率密度,
第一章 随机事件与概率 （考研）
考研数学强化班答案概率统计叶宏第 页共 页版权所有翻录必究 第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算. P( A B) P( AB) P( AB), 故 ( D ) 正确. 题型二古典概型中的概率计算 m C C C. 第四次一种颜色, 前三次两种颜色, 由古典概型 P( A) 题型三几何概率的计算. 分析 : 根据题意可得两个随机变量服从区间, 上的均匀分布, 利用几何概型 计算较简便. 也可先写出两个随机变量的概率密度,
第一章 随机事件与概率 （考研）
考研数学强化班答案概率统计叶宏第 页共 页版权所有翻录必究 第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算. ( D). ( D ) P( A B) P( AB) P( AB) 故 ( D ) 正确. 题型二古典概型中的概率计算. 解一般骰子掷两次 其基本事件总数为 6 方程有实根的充分必要条件是 B C 或 C B 方程有重根的充分必要条件是 B C 或 C B B 6 使 C B 的基本事件个数
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
前 言 数理统计学是研究怎样用有效的方法去收集和使用具随机性影响的数据的科学 当今信息时代是充满数据的时代 数据是信息的载体 数理统计作为一门分析数据并从数据中寻找规律的学科 随着计算机的广泛使用 必然会发挥越来越重要的作用 本书的理论和方法为解决实际问题中的数据分析问题提供了有力的工具 数理统计
内容简介本书介绍了工科研究生 数理统计 课程的基本内容 包括 预备知识 抽样分析 参数估计 假设检验 方差分析 正交实验设计 回归分析和多元统计分析初步等 同时还介绍了 及其在统计分析中的应用 本书各章末均配有适量习题 书末附有部分习题参考答案 本书可作为工科各专业研究生的教学用书 也可作为具有一定数学基础的读者的自学用书 图书在版编目 数据 数理统计 凌能祥 李声闻 宁荣健编 合肥 中国科学技术大学出版社
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第 章随机事件和概率 事件和概率是概率论中的两个基本概念 在这部分内容中, 要熟记事件的关系和运算, 因为在今后的计算中, 经常将一些事件用另一些事件的运算来表示, 文氏图是帮助分析和理解事件运算的重要工具 ; 在计算事件的概率时, 要正确使用加法公式 减法公式 乘法公式 全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式等, 在理解的基础上要记住这些公式并会分析实际问题 考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算
随机事件与概率
帮学堂配套电子讲义 概率论与数理统计 概率论与数理统计 强化讲义 ( 数一 ) 帮学堂配套电子讲义 概率论与数理统计 课程配套讲义是学习的必备资源, 帮帮为大家精心整理了高质量的配套讲义, 确保同学们学习的方便不高效 该讲义是帮帮结合大纲考点及考研辅导名师多年辅导经验的基础上科学整理的 内容涵盖考研的核心考点 复习重点 难点 结构明了 脉络清晰, 幵针对丌同考点 重点 难点做了丌同颜色及字体的标注,
考生编号 政治 政治分 外语 外语分 科目 1 科目 1 分 科目 2 科目 2 分 总分 专业代码 专业名称 专业排名 考试方式 报名号 思想政治理论 缺考 英语一 缺考 数学三 110 金融学综合 缺考 金融硕士 110 全国统考 11018
100019000010001 思想政治理论 缺考 英语一 缺考 数学三 110 金融学综合 缺考 110 025100 金融硕士 110 全国统考 110189426 100019000010002 思想政治理论 56 英语一 61 数学三 83 金融学综合 55 255 025100 金融硕士 83 全国统考 110189744 100019000010003 思想政治理论 缺考 英语一 缺考
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
! " # " " $ % " " # # " $ " # " #! " $ "!" # "# # #! &$! ( % "!!! )$ % " (!!!! *$ ( % " (!!!! +$ % " #! $!, $ $ $ $ $ $ $, $ $ "--. %/ % $ %% " $ "--/
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精勤求学自强不息 Bor to w! (4) 设函数 s k l( ) 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C)- (D)- 答案 C k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ) 6 因为原级数收敛, 所以 k k. 选 C. (5) 设 是 维单位列向量, E
Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f ( )
幻灯片 1
.3 连续型随机变量及其概率分布 一 连续型随机变量的概念 定义 设 X 是一随机变量, 若存在一个非负可积函数 f ( ), 使得 F( ) = f ( t)dt < 其中 F ( ) 是它的分布函数 < + 则称 X 是连续型随机变量,f ( ) 是它的概率密度函数 ( p.d.f. ), 简称为密度函数或概率密度 注 1: 连续性随机变量的分布函数连续. 注 :f () 不唯一. 分布函数 F
课程设置—国民经济学
课程设置 国民经济学 序号 课程类型 课程名称 学期 学分 总学时 授课语言 任课教师 ( 职称 ) 1 科学社会主义理论与实践 秋季学期 2 32 中文 学校统开 2 资本论 选读秋季学期 1.5 28 中文经院统开公共学位 3 经济思想史秋季学期 1.5 28 中文经院统开 4 英语 秋季 春季学期 4 64 英文 学校统开 5 高级宏观经济学 Ⅰ 秋季学期 3 56 中文 经院统开 6 高级计量经济学
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
三 区间估计 单个正态总体的区间估计设样本 来自正态总体 N 注意与 B 的区别 则 已知时 的置信度为 的置信区间为 u u 未知时 的置信度为 的置信区间为 t t 已知时 的置信度为 的置信区间为 4 未知时 的置信度为 的置信区间为 两个正态总体的区间估计设总体 ~ ~ N N 分别是 的一
第 7 章参数估计 一 点估计设 是来自总体 的一个样本 记 A k k 特别地 A Bk k k 利用统计量去估计总体未知参数的真值称为点估计 常用的点估计方法有矩估计法和极大似然估计法 一般要求掌握一个或两个参数的情形 矩估计法 若只有一个未知参数 则建立方程 E 求解 ; E 若有两个未知参数 则建立方程方程组 求解 D B k 注 若有 m 个未知参数 则可利用 E A k m 建立方程组求解
一 根据所给图表，回答下列问题。
版权所有翻印必究 QQ 488 7 全国研究生入学考试考研数学 ( 数学三 ) 本试卷满分 5, 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos,, () 若函数 f ( ) a 在, 处连续, 则 ( ) b,, (A) ab (B) ab (C) ab
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
Monte Carlo 模拟 1. 引言 (introduction) 2. 均匀随机数的产生 (Random number generation) 3. 任意分布的随机变量的抽样 4. Monte Carlo 积分法 5. 常用 Monte Carlo 模拟软件的使用 1 Monte Carlo 模拟 第一章引言 (Introduction) 1. Monte Carlo 方法 2. Monte
Microsoft PowerPoint - 第二讲.ppt [兼容模式]
![Microsoft PowerPoint - 第二讲.ppt [兼容模式]](/thumbs/92/109860326.jpg "Microsoft PowerPoint - 第二讲.ppt [兼容模式]")
排列 组合 集合论 随机事件 事件间的关系与运算 频率与概率 4 等可能概型 ( 古典概型 ) 等可能概型 ( 古典概型 ) 生活中有这样一类试验, 它们的共同特点是 : 样本空间的元素只有有限个 ; 每个基本事件发生的可能性相同 比如 : 足球比赛中扔硬币挑边, 围棋比赛中猜先 我们把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型 设 S ={e 1, e,
2019 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A.1. B.2. C.3. D.4.
9 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的 k 当 时, 若 ta 与 是同阶无穷小, 则 k = A B C D4 k - ta -, 若要 - ta 与 是同阶无穷小, \ k = \ 选 C,, 设函数 f ( ) 则 = 是 f() 的 l,, A 可导点, 极值点 B 不可导点,
数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数
![数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数](/thumbs/51/27870416.jpg "数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数")
.. 数学分析 (I) 短课程 [Part 2] 自然数 整数和有理数 孙伟 华东师范大学数学系算子代数中心 Week 2 to 18. Fall 2014 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014 1 / 78 3. 自然数理论初步 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014
Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. k (1) 当 x 0 时, 若 x tan x与
9 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 当 时, 若 t 与 是同阶无穷小, 则 (A). (C). (B). (D)4. 答案 C 解析 t ( o( )) ~, 故.,, () 设函数 f ( ) l,, 则 是 f (
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上节课内容 概率理论 第二章 : 随机变量 概率公理及推论 随机事件之间的关系 : 条件概率 独立 / 条件独立 贝叶斯公式 本节课内容 随机变量及其分布 随机变量变换 常见分布族 多元随机向量的分布 联合分布 边缘分布 条件分布 独立 随机变量 统计推断是与数据相关的 随机变量就是将样本空间 / 随 机事件与数据之间联系起来的纽带 随机变量是一个映射 : Ω R, 将一个实数值 ( ω) 赋给一个试验的每一个输出
概率论与数理统计
概率论与数理统计 主讲 : 杨明磊 Email: mlyag@xidia.edu.c 雷达信号处理国家重点实验室 课件网址 : http://web.xidia.edu.c/mlyag/teach.html ( 中文 ) http://jalo.uice.fr/cours/deeire/cours.deeire.200 8-09-03.4613 ( 法文 ) 课程安排 分两学期完成 前期中文课程 法文
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第八章假设检验 数理统计的主要任务 : 从样本出发, 对总体的分布或分布特征作出推断 统计推断 ) 参数估计统计推断的主要方面 : 假设检验 点估计 置信区间 假设检验 : 针对总体的某种假设 如正态总体的期望 μ 总体服从泊松分布), 根据样本对提出的假设作出接受还是拒绝的决策, 假设检验就是作出这一决策的过程 8. 假设检验 例 : 某厂生产合金钢, 其抗拉强度 X 单位 :kg/mm) 可以认为服从正态分布
§1.5 条件概率
概率论与数理统计 主讲教师 : 朱丽娜讲师研究方向 : 智能交通, 车联网与智能驾驶电子邮件 :lzhu@xidia.edu.c 个人主页 :http://web.xidia.edu.c/lzhu/ 第一章概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间 随机事件 1.3 频率与概率 1.4 等可能概型 ( 古典概型 ) 1.5 条件概率 1.6 独立性 2/21 1.5 条件概率 ( 二 )
湖北文都考研官网 : 考研数学一考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0, 若 x tan x与 x 是同阶
湖北文都考研官网 :wwwhbweducom 9 考研数学一考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要求的 k 当 若 ta 与 是同阶无穷小 则 k = A B C D4 设函数 f( ) 则 = 是 f() 的 l A 可导点 极值点 B 不可导点 极值点 C 可导点 非极值点 D 不可导点
器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 ３ 电势与电势差 １ 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 Ｅ ｐ 与电荷量 ｑ Ｅｐ 的比值叫做该点处的电势 表达式为 Ｖ 电场中两点之间的 ｑ 电势之差叫做电势差 表达式为 ＵＡＢ Ｖ Ａ ＶＢ ２ 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量
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-6-8 第八章 假设检验 8 基本概念 下面, 我们讨论不同于参数估计问题的另一类统计推断问题 根据样本提供的信息, 检验总体的某个假设是否成立的问题 第 8 章 这类问题称为假设检验 3 假设检验 { 参数检验非参数检验 先看一个例子 总体分布已知情形下, 检验未知参数的某个假设 总体分布未知情形下的假设检验问题 4 例 : 某工厂生产 欧姆的电阻, 根据以往生产的电阻实际情况, 可以认为 :
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张海峰 姚先国 张俊森 借鉴 的有效教育概念 本文利用 年间的中国省级面板数据估计了平均教育年限 教育数量 和平均师生比率 教育质量 对地区 劳动生产率的影响 本文的实证分析结果表明 以师生比率衡量的教育质量对劳动生产 率有显著且稳健的正效应 在均值处师生比率每上升一个标准差 有助于提高地区劳动生产率约 教育数量对劳动生产率的影响大小部分取决于教育质量的高低 教育质量越高教育数量对劳动生产率的促进效应越大
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Uit 2: Coditioig ad idepedece 本单元内容对应课本 1.5, 1.6 基本要求 理解条件概率的概念, 掌握概率的乘法定理, 理解全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式, 并学会运算和计算 理解事件独立性概念, 掌握伯努力 (Beroulli) 概型和二项概型计算方法 本章的学习重点与难点 难点 : 条件概率的计算与事件独立性的判别 作业 : P 26 : 24, 27,
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随机过程的微分和积分 在高等数学中 数列的收敛与极限是微积分的基础 在随机过 程中 随机序列的收敛与极限的概念的概念则是随机过程微积分随机过程微积分的基础基础 举例 : 设一电压控制电路对外来的噪声电压信号进行控制 使 其稳定在某一水平 我们考察这一渐进过程 设该试验共有三个结果 Ω ξξ ξ3 在 n 上采样 随时间变化得一串随机变量 n 称随机变量序列 {n} ζ { } 对某次试验结果 而言
一 根据所给图表，回答下列问题。
7 全国研究生入学考试考研数学 ( 数学一 ) 真题解析 本试卷满分 5, 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos, () 若函数 f ( ) a b, (A) ab 答案 (A) 由连续的定义可知 :, 在 处连续, 则 ( ) (B) ab
标题
第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik
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第五章 : 随机变量的收敛性 随机样本 :IID 样本, 统计量 : 对随机样本的概括 Y = T X1 X X (,..., ) X1, X..., X X i ~ F Y 为随机变量,Y 的分布称为统计量的采样分布 如 : 样本均值 样本方差 样本中值 收敛性 : 当样本数量 趋向无穷大时, 统计量的变化 大样本理论 极限定理 渐近理论 对统计推断很重要 收敛性 主要讨论两种收敛性 依概率收敛
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机器学习 3. MLE&MAP 3. MLE & MAP 统计 / 概率基本概念与知识 贝叶斯准则 最大似然估计 (MLE) 最大后验估计 (MAP) MLE VS. MAP 高斯分布情形 3. MLE & MAP 统计 / 概率基本概念与知识 贝叶斯准则 最大似然估计 (MLE) 最大后验估计 (MAP) MLE VS. MAP 高斯分布情形 基本概念 概率 采样空间, 事件, 代数 概率公理,
订这两种报纸中的一种, 求同时订这两种报纸的住户的百分比 4. 一批零件共 00 个, 次品率为 0%, 接连两次从这批零件中任取一个零件, 第一次 取出的零件不再放回, 求第二次才取得正品的概率 5. 设随机变量 A B C 两两独立, A 与 B 互不相容. 已知 P ( B) P( C) 0
. 写出下列试验下的样本空间 : ( ) 将一枚硬币抛掷两次 ( ) 将两枚骰子抛掷一次 第一章复习题 ( 3) 调查城市居民 ( 以户为单位 ) 烟 酒的年支出. 甲, 乙, 丙三人各射一次靶, 记 A 甲中靶 述三个事件的运算来分别表示下列各事件 : () 甲未中靶 : () 甲中靶而乙未中靶 : (3) 三人中只有丙未中靶 : (4) 三人中恰好有一人中靶 : (5) 三人中至少有一人中靶 :
1991年全国硕士研究生入学考试政治试题（文科）
考研资料下载中心 http://dowload.kaoya.com 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一 选择题 (~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) () 当 时, f ( ) si a 与 g l b 等价无穷小, 则 A ( C) a, b. ( B) a, b. a, b. ( D)
为在 条件下 的条件分布律 i ij j i j 5 设二维连续型随机变量 的密度函数为 若 则称 为在条件 下 的条件密度函数 ; 若 则称 为在条件 下 的条件密度函数 注 条件分布是考研的重点内容 三 随机变量的独立性 随机变量 与 相互独立 F F F R 离散型随机变量 与 相互独立 i
第 章二维随机向量 一 二维随机向量及其分布函数 两个随机变量 与 构成的整体 称为二维随机向量或二维随机变量 二元函数 F R 称为 的分布函数 或称为 与 的联合分布函数 F 关于 均为单调不减函数 ; F 且 F F F F ; F 关于 均右连续 二 边缘分布与条件分布 如果 只取有限个或可列个值 那么称 为二维离散型随机向量 若 的所有可能取值为 i j 则称 i j i j i 为 的概率分布
第一章自测题 (A) 一 选择题 ( 每题 5 分 ). 设随机事件 A 与 B 互不相容,P(A)=0.,P(B)=0.4, 则 P(B A)=( ) A.0 B.0. C.0.4 D.. 设事件 A,B 互不相容, 已知 P(A)=0.4,P(B)=0.5, 则 P( A B )=( ) A.0
第一章复习题. 设 A 与 B 互为对立事件, 且 P(A)>0,P(B)>0, 则下列各式中错误.. 的是 ( ) A.P(A)=-P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.P ( AB ) D.P(A B)=. 设 A,B 为两个随机事件, 且 P(A)>0, 则 P(A B A)=( ) A.P(AB) B.P(A) C.P(B) D. 3. 以 A, B, C 分别表示某城市居民订阅日报
纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式
第 1 章随机事件及其概率 纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式 1.2 随机事件的概率 概率的统计意义 频率 设 是随机试验 E 的一个事件, 在 次重复试验 即试验条件完全相同 中, 事件 发生的次数称为事件 在 次重复试验中发生的频数, 记为 r, 称比值 f = r / 为事件 在 次重复试验中发生的频率 显然有 0
精勤求学自强不息 Bor to wi! A B C D 答案 (A) 解析 是一阶齐次微分方程 p( ) 的解, 代入得 p( )( ), 所以 p ( ), 根据解的性质得, 是 p( ) f ( ) 的解 所以有 q( ) ( ). (4) 已知函数 f,,,,, K, 则 ( ) (A) 是
Bor to wi 6 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 若反常积分 d 收敛, 则 ( ) a b A a 且 b B a 且 b C a 且 a b D a 且 a b 答案 (C) 解析 a b ( ) d d d
关于举办华东六省高等数学教学研究会的预备通知
统计学导论 教学大纲 课程代码 :80431010 课程中文名称 : 统计学导论课程英文名称 Elementary Statistics 课程适用层次 : 本科 总学时 :48 学分 :3 一 课程的的性质 任务及适用专业 ( 一 ) 课程性质本课程大纲适用于统计学专业, 共 3 学分, 总学时为 48 学时 统计学导论是统计学专业的核心专业必修课之一, 是以揭示数据的统计规律和如何作出科学的统 计决策为内容的统计学课程,
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年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一 选择题 :-8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. -arcta () 已知 lm = c, 其中 k, c 为常数, 且 c, 则 ( ) Æ k - (A) k=, c= (B) 答案 D 解析 因为 c k=, c = (C) - k=, c=
Successful ways to cultivate high quality personnel for exhibition industry
第十一章概率 2012/10/31 1 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科 在现实世界中存在大量的机遇和风险, 概率统计可以为有效处理信息 正确作出决策 捕捉机遇 减少风险提供有力的工具 其应用极其广泛 : 数学的伟大使命是在混沌中发现有序 2012/10/31 2 概率论 : 概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学分支学科 从数学模型进行理论推导, 从同类现象中找出规律性
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2
第二章随机变量及其分布 2. 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 连续型随机变量及其分布 3.4 随机变量函数的分布 2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2 . 离散型随机变量的分布律 定义 2.2. 设离散型随机变量 的所有可能的不同取 的值为 x 而 取值,,2, x 的概率为 p, 即 x p,,2,
任春平 邹志利 在坡度为 的平面斜坡上进行了单向不规则波的沿岸流不稳定运动实验 观测到了沿 岸流的周期性波动 波动周期约为 利用最大熵方法和三角函数回归法求得这种波动的主 频率以及幅值 分析了波动幅值在垂直岸线方向的变化 结果表明该变化与沿岸流变化类似 即在 沿岸流最大值附近这种波动强度最大 为了分析波动的机理 利用线性沿岸流不稳定模型对模型实验结果进行了分析 求得了不稳定运动增长模式和波动周期 并与对应实测结果进行了比较
Bor to wi 曲面 z y 的法向量为 (, y, ), 因为平面过 (,,), 则平面方程为 ( X ) yy Z, 又因为平面过 (,, ), 故 y 由此, 取特殊值 ; 令 =, 则法向量为 (,, ), 故 B 选项正确. ( ) ( )! A. si cos B. si cos C
Bor to wi 8 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.. 下列函数中不可导的是 ( ) A. f ( ) si( ) B. f ( ) si( ) C. f ( ) cos D. f ( ) cos( ) 答案 D A 可导
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普通高等教育 十二五 规划教材 概率论与数理统计 主编刘国祥王晓谦解锋昌副主编赵媛媛姚奕冯玉英杜秀丽 北 京 内容简介本书是专为理工经管等非数学与统计学专业编写的 全书共 9 章, 前 5 章属于概率部分, 内容包括事件与概率 随机变量及其分布 随机向量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律与中心极限定理, 后 4 章属于数理统计部分, 内容包括数理统计的基本概念 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析初步
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为
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在终极的分析中. 一切知识都是历史. 在抽象的意义下 一切科学都是数学. 在理性的世界里 所有的判断都是统计学. ----C.R. 劳 数理统计学的基本概念 数理统计学与概率论是两个有密切联系的姊妹学科. 大体上可以说 : 概率论是数理统计学的基础 而数理统计学是概率论的重要应用. 数理统计是一门应用广泛 分支很多的学科 它在和其它学科的结合中产生出许多新的分支 是社会经济分析研究 科学试验中必不可少的工具之一.
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07/9/ 任课教师 : 王磊西电电院 600 班概率论讲义基于浙大版教材整理 第一节概率论的基本概念 一 概率论的诞生及应用二 随机现象三 随机试验四 小结 一 概率论的诞生及应用 概率论的诞生 65 年 一个名叫梅累的骑士就 两个赌徒约定赌若干局 且谁先赢 c 局便算赢家 若在一赌徒胜 a 局 a
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第六章 贝叶斯估计 第一节 贝叶斯推断方法 第二节 贝叶斯决策方法 第一节贝叶斯推断方法 一 统计推断中可用的三种信息 美籍波兰统计学家耐曼 E.L.Lehm894-98 高度概括了在统计推断中可用的三种信息 :. 总体信息 即总体分布或所属分布族给我们的信息 譬如 总体视察指数分布 或 总体是正态分布 在统计推断中都发挥重要作用 只要有总体信息 就要想方设法在统计推断中使用. 样本信息 即样本提供我们的信息
Born to win 2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1. 下列函数中, 在 x 0 错误! 未找到引用
8 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.. 下列函数中, 在 错误! 未找到引用源 处不可导的是 ( ) A. f ( ) si( ) B. f ( ) si( ) C. f cos( ) 答案 D A 可导 : D. f ( )
一 根据所给图表，回答下列问题。
7 全国研究生入学考试考研数学 ( 数学一 ) 真题解析 本试卷满分 5, 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos, () 若函数 f( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 (A)
¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾
回归传统 历史学视野中的资本主义 刘光临 虽然明清资本主义萌芽研究和西方现代史学都使用了资本主义一词 但双方并无相同的理论背景 资本主义作为一个成熟的学科概念是由 世纪末 世纪初的历史学家和强调历史面向的政治经济学家 可简称为 德国历史学派 一起创造出来的 强调从历史而不是从抽象的理论中寻求社会变化的原因 资本主义萌芽这一概念的启用 实际上是对欧洲近代历史的严重误读 有鉴于此 在今后的中国历史研究中应该用资本主义来取代资本主义萌芽
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
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随机过程 Stochasstic processes 西安电子科技大学数学系教师冯海林 1 引言 随机过程的研究对象随机过程是研究随机现象随时间变化过程中的规律性的一门数学学科. 是概率论的深入和发展. 引言 随机过程应用广泛 随机过程在自然科学 社会科学以及工程技术的各领域均有应用. 在我校的一些专业 : 雷达 通信 无线电技术 自动控制 生物工程 经济管理等领域有着极为广泛的应用. 3 引言 教材与参考教材
标题
第 37 卷第 1 期西南师范大学学报 ( 自然科学版 ) 01 年 1 月 Vol.37 No. 1 JouralofSouthwestChiaNormalUiversity(NaturalScieceEditio) Ja. 01 文章编号 :1000 5471(01)01 0011 05 1 离散型随机变量序列最大值的收敛速度 张耿, 陈守全, 王超 西南大学数学与统计学院, 重庆 400715
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第 1 页 3.1 假设检验 3. 正态总体均值的假设检验 3.3 正态总体方差的假设检验 3.4 置信区间与假设检验之间的关系 3.5 样本容量的选取 3.6 分布拟合检验 3.7 小结 第 页 3.1 假设检验 3.1.1 假设检验问题 例 3.1.1 某厂生产的合金强度服从 N(,16), 其中的设计值 为不低于 110(Pa) 为保证质量, 该厂每天都要对生产情况做例行检查, 以判断生产是否正常进行,
Matlab之检验假设
Matlab 之检验假设 专业 : 天体物理姓名 : 聂俊丹学号 :712162 在统计中常见的是 : 需要多大的样本? 这是我们很关心的一个问题 在 matlab 统计工具箱中有一个函数 :sampsizepwr 可以用来计算样本大小 这篇论文的目的就是阐述如何来使用这个函数 文章中通过特殊的例子来实现具体的计算过程 同时 sampsizepwr 这个函数还有其它的功能 : 可以用来计算功效 在本文中也具体介绍了如何用
幻灯片 1
第 讲 数学基础 概率论 统计分析 线性代数 中国科学院深圳先进技术研究院云计算技术研究中心 叶可江 j.ye@siat.ac.c 概率论是研究什么的 研究和揭示随机现象的统计规律性的数学学科 在一定条件下必然发生的现象 向空中抛一物体必然落向地面 水加热到00 必然沸腾 异性电荷相吸引 放射性元素发生蜕变 y f 在试验或观察前无法预知出现什么结果 抛一枚硬币,结果可能正面或反面朝上 向同一目标射击,各次弹着点都不相同
误差建模
机器学习 2. 统计基础 过拟合与正则化 n min f M阶多项式函数 i = 1 ( f ( x ) y ) i i 2 min f Φ L ( D, f ( w)) + p( w) 正则项 p ( w) = w 2 2 min f Φ L ( D, f ( w)) + p( w) min f Φ L ( D, f ( w)) + p( w) 学习机 误差项 正则项 3. MLE & MAP
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年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一 填空题 本题共 6 小题 每小题 分 满分 分 把答案填在题中横线上 si 若 lim cos 5 则 e 设函数 f u v 由关系式 f [gy y] gy 确定 其中函数 gy 可微 且 gy 则 f u v 设 e < f 则 f d 二次型 f 的秩为 5 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布 则 P { X > DX } 6 设总体 X 服从正态分布
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概率论与数理统计 第一章随机事件与概率 黄正华 Email: huangzh@whu.edu.cn 武汉大学数学与统计学院 2012 年 9 月 3 日 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 1 / 95 目录 1 排列组合基本知识 2 随机试验 3 样本空间 随机事件 4 频率与概率 5 等可能概型 6 条件概率 7 独立性 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率
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梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 7 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一 选择题 ( 本题共 小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每小题给的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后括号内 ) + () 当 时, 与 等价的无穷小量是 ( ) + A. e B. l C. + D. cos () 曲线 y= l( e + + ), 渐近线的条数为
精勤求学自强不息 Bor to w! (A) t (B) 5 t (C) t 5 (D) t 5 答案 B 从 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为 t v (t) v (t) dt, 当 5 t 时满足, 故选 C. t t v (t) dt, v (t) dt, 则乙要追上甲, 则 (5) 设 是
Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f (
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小结 基本概念 随机实验 随机事件 样本空间 事件的关系及运算 基本事件 复合事件必然事件 不可能事件 三个限定条件 样本点 所有基本事件构成的集合 四种关系和三种运算 概率 定义 性质 定义在样本空间上满足三条公理的集合函数 5 条 非负有界性规范性可列可加性 用概率的公理化定义, 从实验出发直接计算 A) 是困难的, 甚至是不可能的. 某些满足特定条件的实验可以直接计算. 基本事件的发生具有等可能性
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随机信号分析 第一章 随机过程的概念与基本类型 罗锴 Signal processing & Information Networking in Communications 如何描述随机现象 随机现象如何用数学模型描述呢? 提纲 随机变量 随机变量的基本概念 随机变量定义及分布函数 随机变量的数字特征 随机过程 随机过程的定义和统计描述 随机过程分布律和数字特征 复随机过程 随机过程基本类型 随机变量的基本概念随机试验
参考文献：
9 年 ( 第十一届 ) 全国大学生数学竞赛 ( 非数学类 ) 预赛模拟试题 一 填空题 ( 每小题 6 分, 共 3 分 ) 考生注意 : 考试时间 5 分钟试卷总分 分. 已知 f ( ) 在 8的邻域内有连续导数, 且 lim f ( ), lim f '( ) 673, 8 8 则极限 lim 8 8 8 t f ( u)du dt t 3 (8 ) 9 f. 设函数 f (, y ) 可微,
論鄭玄對《禮記‧月令》的考辨
19997 183-196 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 183 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 一 問 題 的 背 景 20b 8a 1 472 24 20a 33 7a 2 3 1 35 60 64 472 240241 2 1a 3 19b 184 4 5 二 鄭 玄 考 辨 月 令 成 書 時 代 及 來 源 的 論 證 65 4 20b 282 5 235244
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09 考研考点预测白皮书数学 中公考研 目录 版权所有翻版必究 高数篇... 必考题型一 : 极限的计算... 必考题型二 : 定积分的应用... 必考题型三 : 不等式证明... 必考题型四 : 经济学应用... 必考题型五 : 二重积分... 3 必考题型六 : 极值与最值... 4 必考题型七 : 幂级数 (* 数学一 三 )... 5 必考题型八 : 物理应用 + 微分方程 (* 数学一 二
SX.s72
第 5 章统 计 Ⅰ 教学要求. 了解样本统计量的概念.. 掌握总体均值的区间估计, 会求总体百分比的置信区间. 3. 理解 小概率事件在一次试验中不可能发生 的实际推断原理. 4. 了解正态总体均值的 u 检验法,t 检验法 ; 了解两个正态总体的均值之差的 u 检验法,t 检验法. 5. 了解正态总体方差的 χ 检验法. Ⅱ 教材分析 教学建议和练习的答案 本章的主要内容之一是研究如何估计总体的参数?
一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f
![一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f](/thumbs/91/105953711.jpg "一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f")
含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一 含参量正常积分的定义二 含参量正常积分的连续性三 含参量正常积分的可微性四 含参量正常积分的可积性五 例题 返回 一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [
國立中山大學學位論文典藏.PDF
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谷 德军 等 对 流边 界层 中 公 路 线 源 扩 散的 期 扩 散 的模 拟 式 大 气扩 散 的 方 法 是 把 污 染物 在 大 气 中 的 扩 散 看 成 标 记 粒 子 在 平 均 风 场 约束 下 的 随机 运 动 假 定 粒 子 的运 动 是 相 互独 立 的 向上 的 坐 标 为
谷 德军 等 对 流边 界层 中 公 路 线 源 扩 散的 期 扩 散 的模 拟 式 大 气扩 散 的 方 法 是 把 污 染物 在 大 气 中 的 扩 散 看 成 标 记 粒 子 在 平 均 风 场 约束 下 的 随机 运 动 假 定 粒 子 的运 动 是 相 互独 立 的 向上 的 坐 标 为 时间 步长 的 脉 动速 度 可 以 用 小 匡 每 个 粒 子 的运 动 为 小 分别 代表粒子 在
课程介绍 掌握概率论和数理统计的基本数学知识 训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力 学会解决常见的统计分析问题 是应用型很强的学科 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 2 / 106
概率统计 B 第一章随机事件与概率 根据李东风老师课件修改 2018 春季学期 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 1 / 106 课程介绍 掌握概率论和数理统计的基本数学知识 训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力 学会解决常见的统计分析问题 是应用型很强的学科 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018
第五章 信号估计理论
信号统计分析 第 5 章信号估计理论 本章内容 5.1 引言 5.2 估计准则 5.3 多参量的常用估计准则 5.4 估计量评价的指标 5.5 克拉美 - 罗不等式 5.6 应用 5.1 引言 信号检测 : 判断是否存在信号或存在哪种信号 信号估计 : 对信号的参量甚至波形进行定量的推断 从信号检测到信号估计, 是对事物从定性的判断到定 量的描述 不同应用领域 : 数理统计领域 : 估计总体的均值
的假设检验函数 7 参考文献
高等工程数学 ( 第三版 ) 姚仰新, 王福昌, 罗家洪, 庄楚强华南理工大学出版社出版 2016 年 12 月 12 日 1 2 3 4 5 6 的假设检验函数 7 参考文献 统计假设检验是统计推断的另一个主要内容, 它的基本任务是 根据样本所提供的信息, 对未知总体分布的某些方面 ( 常见如总体 均值 总体方差 总体分布本身等等 ) 的假设 做 出 合 理 的 解 释 假 设 检 验与 参 数
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9 数学全真模拟测试卷解析 ( 数学一 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 3 分 下列每小题给出的四个选项中 只有 一项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. l( si t) cos () 设 f( )= dt g ( )= tatdt t 则当 时 f( ) 是 的低阶无穷小 g ( ) 是 的高阶无穷小 则正整数 的值为
章节目录 1 随机现象与统计规律性 2 样本空间与事件 3 古典概型 4 几何概型 5 概率空间
概率论 第一章事件与概率 上海财经大学统计与管理学院 章节目录 1 随机现象与统计规律性 2 样本空间与事件 3 古典概型 4 几何概型 5 概率空间 随机现象与统计规律性 S1. 随机现象与统计规律性 一 随机现象 随机现象 太阳从东方升起 : 确定 ; 明天的最高温度 : 不确定 ; 上抛物体一定下落 : 确定 ; 新生婴儿的体重 : 不确定 ; 决定性现象 : 必然发生或必然不发生的现象随机现象
内 容 简 介本书较系统地介绍了概率论与数理统计的基本内容 主要包括 随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 数理统计的基本知识 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析 在统计分析中的应用 本书注重对学生基础知识的训练及知识应用能力的培养 部分小节精选了相当数量
普通高等教育 十二五 规划教材 概率论与数理统计 马 戈 主编梁 瑛 吴宏锷 牛玉俊 副主编 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内 容 简 介本书较系统地介绍了概率论与数理统计的基本内容 主要包括 随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 数理统计的基本知识 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析 在统计分析中的应用 本书注重对学生基础知识的训练及知识应用能力的培养
找出一个适宜的统计量, 并知道它的分布 ; 给定显著性水平 ; 4 查出统计量对应于显著性水平 的临界值 ' 与 '', ' '' 使 P ', '' 5 计算样本的统计量 x, x,, x ; 推断: 当 ' ' ', 则接受 H ; 反之, 则否认 H. 总体均值的检验 已知, 关于 的检验 5
福建师范大学闽南科技学院教案 编号 :8 课时安排 : 学时教学课型 : 理论课 实验课 习题课 实践课 其它 题目 教学章 节或主题 : 8. 假设检验的基本概念 8. 单个正态总体参数的假设检验 教学目的要求 分掌握 熟悉 了解三个层次 :. 了解假设检验问题的提出. 掌握假设检验的基本思想. 熟悉两类错误 4. 熟悉双侧检验和单侧检验 5. 熟悉假设检验的一般步骤. 熟悉总体均值的检验 7.
概率统计
概率论 同济大学王勇智 概率论与数理统计 本学期我们开始概率统计这门课程的学习 概率论与数理统计是随机数学的两个分支, 它们在数学与社会生活的各个领域有着广泛的应用 尤其把它引入到管理 金融 政治等社会学科, 为人们的正确决策提供科学依据, 对社会生活产生深刻影响 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件 1.2 事件关系和运算 1.1 样本空间和随机事件 确定性现象 : 在确定的试验条件下必然会发生的现象
<4D F736F F F696E74202D20B5DA3133BDB220B7BDB2EEB7D6CEF62DB5A5D2F2CBD8205BBCE6C8DDC4A3CABD5D205BD0DEB8B4B5C45D>
方差分析 ---- 单因素方差分析 . 起源 ANOVA 由英国统计学家 R.A.Fiher 首创, 为纪念 Fiher, 以 F 命名, 故方差分析又称 F 检验 (F tet . 什么是方差分析 (ANOVA. 引例 * 研究问题 : 各肥料品种是否有差异 * 问题转化 : 各肥料品种是否有差异体现为各肥料品种对小麦亩产量的影响否有显著差异 记 为肥料 A 下的小麦亩产量, 为平均亩产量 ; 为肥料