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2 普通高等教育 十二五 规划教材 概率论与数理统计 主编刘国祥王晓谦解锋昌副主编赵媛媛姚奕冯玉英杜秀丽 北 京

3 内容简介本书是专为理工经管等非数学与统计学专业编写的 全书共 9 章, 前 5 章属于概率部分, 内容包括事件与概率 随机变量及其分布 随机向量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律与中心极限定理, 后 4 章属于数理统计部分, 内容包括数理统计的基本概念 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析初步 另外, 书后的附录一对 SPSS 统计软件及其应用作了介绍 本书适合作为高等院校非数学与统计学专业概率论与数理统计课程的教材, 也可供自学者学习参考 图书在版编目 (CIP) 数据概率论与数理统计 / 刘国祥, 王晓谦, 解锋昌主编 北京 : 科学出版社,203 普通高等教育 十二五 规划教材 ISBN I 概 II 刘 2 王 3 解 III 概率论 高等学校 教材 2 数理统计 高等学校 教材 IV O2 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (203) 第 878 号 责任编辑 : 相凌李香叶 / 责任校对 : 邹慧卿责任印制 : 阎磊 / 封面设计 : 华路天然工作室 出版 北京东黄城根北街 6 号 邮政编码 : 上海欧阳印刷厂有限公司印刷 科学出版社发行 各地新华书店经销 * 203 年 8 月第一版 开本 : /6 203 年 8 月第一次印刷 印张 :5 3/4 字数 : 定价 :3200 元 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换 )

4 前 言 概率论与数理统计是研究随机现象规律性的数学学科 随着现代科学技术, 特别是计算机技术的迅速发展, 概率论与数理统计的理论与方法在广泛的领域上得到了普遍的应用 例如, 产品质量检验 仪器设备的可靠性分析 药物疗效的评价 金融产品的定价 保险精算 风险度量与管理等, 都需要使用概率统计方法 因此, 概率论与数理统计已经成为高等学校理 工 经济 管理 医药等专业的一门重要的基础课 甚至可以说, 概率论与数理统计是继高等数学之后的又一门非数学专业通识类数学课程 2002 年, 我们以数学专业 统计学专业本科生为主要对象, 并兼顾其他专业学生, 编写出版了 概率论与数理统计 教材 经过十多年的教学实践, 在原有教材基础上, 我们汲取了许多教学经验, 专门针对理 工 经 管等非数学与统计学专业学生, 对教材进行了重新编写 这本新的 概率论与数理统计, 主要有以下几个特点 : () 概念的引入注重背景知识的介绍, 在不失严谨的基础上, 力图用浅显易懂的语言加以表述, 并通过增加例题帮助理解相应的概念 ; 强化了方法的应用训练, 同时弱化了严密的数学推理过程, 确保学生在学习高等数学之后便可顺利阅读本书 (2) 增加了习题量, 并进行了分类编排 第 ~8 章习题均分为,B 两组, 组为基本题, 主要作为课后练习, 用以加强学生对教材内容的理解和掌握 ;B 组为提高题, 其中包括精选的有代表性的考研真题, 供有升学要求者提高训练 (3) 为了加强应用能力的培养, 书后增加了附录一 SPSS 软件简介及其在概率统计中的应用, 介绍了目前比较流行的三大统计软件之一 SPSS (statstcal producto ad servce solutos), 举例说明了 SPSS 在概率统计中的应用 通过学习, 学生可初步具备利用计算机进行简单统计分析的能力 参加本教材编写的人员均是具有丰富教学经验的概率论与数理统计及统计学专业教师, 他们分别是王晓谦 ( 第 5 6 章 ) 姚奕( 第 2 章 ) 杜秀丽( 第 3 章 ) 刘国祥( 第 4 9 章 ) 赵媛媛 ( 第 7 章 ) 冯玉英( 第 8 章 ) 解锋昌( 附录一 ) 参加编写的还有何志方 ( 第 章 ) 梁志彬( 第 4 章 ) 第 ~5 章由王晓谦进行整理, 第 6~9 章及附录一由解锋昌整理, 全书由刘国祥负责统稿 本书在编写和出版的过程中, 南京师范大学数学科学学院的领导给予了大力支持, 概率统计专业的部分研究生也为此付出了辛勤的劳动, 尤其得到了科学出版社的大力支持, 谨此一并表示深深的谢意! 本书的编写参考了国内外多种教材, 为此, 我们向这些编著者表示诚挚的感谢! 限于编者水平, 存在的不当之处敬请读者和专家批评指正 刘国祥 203 年 4 月 5 日于南京

5 目录 目 录 前言第 章事件与概率 随机事件和样本空间 2 2 概率及其性质 5 3 条件概率 全概公式和贝叶斯公式 8 4 事件的独立性及伯努利概型 22 第 2 章随机变量及其分布 30 2 随机变量及其概率分布 离散型随机变量及其分布列 连续型随机变量及其概率密度函数 随机变量函数的分布 48 第 3 章随机向量及其分布 54 3 二维随机向量的联合分布 二维随机向量的边缘分布 随机向量的条件分布 随机变量的独立性 随机向量函数的分布 7 第 4 章随机变量的数字特征 86 4 数学期望 方差 协方差与相关系数 0 第 5 章大数定律与中心极限定理 08 5 伯努利大数定律 马尔可夫大数定律 0 53 中心极限定理 2 第 6 章数理统计的基本概念 20 6 总体与样本 经验分布与频率直方图 统计量 正态总体抽样分布定理 30 第 7 章参数估计 37 7 点估计 估计量的评价标准 区间估计 48

6 v 概率论与数理统计 第 8 章假设检验 59 8 假设检验的基本概念 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 7 84 皮尔逊的 χ 2 检验法 假设检验与区间估计的关系及 p 值问题 83 第 9 章方差分析与回归分析初步 88 9 单因素方差分析 一元线性回归分析 可化为一元线性回归分析简介 208 附录 SPSS 软件简介及其在概率统计中的应用 25 F SPSS 概述 25 F2 建立 SPSS 数据集 27 F3 SPSS 软件在概率统计中的应用 28 附录 k F2 泊松分布 e 的数值表 222 x! x= 0 x λ λ F22 标准正态分布函数的数值表 223 F23 χ 2 - 分布上侧 α 分位数表 224 F24 t- 分布上侧 α 分位数表 225 F25 F 分布上侧 α 分位数表 226 习题参考答案 230 参考文献 244

7 第 章 事件与概率 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科 那么, 什么是随机现象呢? 必然现象与随机现象在对自然 社会 人类思维等客观现象的长期观察中, 我们发现许多结果在一定条件下必然发生 例如, 在标准大气压下, 纯水加热到 00 时必然会沸腾 ; 在没有外力作用的条件下, 做匀速直线运动的物体必然继续做匀速直线运动 ; 等等 这些现象的共同特征是, 在给定条件下相应的结果是否发生是完全可以预言的, 常被称为必然现象 这类现象发生的条件和结果之间具有确定性关系 但是我们也发现存在着大量与必然现象有着本质区别的另一类现象, 例如, 掷一枚硬币结果是正面朝上还是反面朝上? 一个地区每年会有多少次降雨? 再如一个球队在下个赛季会赢多少场比赛? 一只股票一天的最高价会是多少? 在什么时候达到这个最高价? 保险公司一年会收到多少个索赔? 总金额有多少? 建筑工程中钢筋在受力到一定程度后会在哪里断裂? 等等 这些现象的共同特征是, 在给定条件下可能出现的结果不唯一, 从而事先不能确定哪个结果会出现 一般地, 在一定条件下可能发生这样的结果, 也可能发生那样的结果, 预先不能确定到底发生哪种结果的现象称为随机现象 这类现象发生的条件和结果之间不具有确定性关系 2 随机试验为探索随机现象的规律性, 常常需要进行一系列试验或观测, 并要求试验或观测满足下述条件 : () 可以在相同条件下重复进行 ; (2) 每次试验或观测的所有可能结果是明确知道的, 而且往往不止一个 ; (3) 每次试验或观测的结果恰好是这些所有可能结果中的一个, 但在试验或观测之前不能确定哪个结果将会出现 我们称这样的试验或观测为随机试验, 简称为试验 一种随机现象对应一个随机试验 随机试验常用 E 或 E, E 2, 表示 3 随机现象的统计规律性通过实践, 我们了解到, 随机现象虽然在少数几次试验中时而出现这样的结果, 时而出现那样的结果, 表现出一种不确定性或偶然性, 但在大量重复试验中却是有其规律性的 例如, 将一枚均匀的硬币投掷一次, 可能出现正面朝上, 也可能出现反面朝上, 其结果事先无法确定 但是在多次的投掷中, 出现正面朝上的次数与反面朝上的次数几乎总是差不多的, 呈现出明显的规律性 这种规律性在有意无意中还会指导着我们作出各种合理的判断 例如, 如果出现正面朝上的次数与反面朝上的次数相差比较大, 我们会怀疑硬币不均匀 物理学上这样的例子也很多 例如, 玻意耳 - 马略特定律就是其中的一个 这个定律告诉我们, 虽然构成气体的每个分子的运动是随机的 杂乱无章的, 但是大量分子运动总体形成的压强 体积与温度之间却是有确定的关系的 通常把随机现象在大量重复试验下所呈现出的这种规律性称为随机现象的统计规律性 概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的学科 由于随机现象的普遍性, 概率论与数理统计具有极其广泛的应用, 从而越来越受到各行各业的重视

8 2 概率论与数理统计 随机事件和样本空间 样本空间 研究某个随机现象, 首先要搞清楚其所有可能的基本结果有哪些 一个随机现象 ( 或者说是一个随机试验 ) 所有可能出现的基本结果所组成的集合, 称为该随机现象的一个样本空间, 记为 Ω Ω 中的元素称为样本点, 记为 ω 由于在给定条件下随机现象所有可能的结果是明确的, 因而样本空间也是确定的 例 掷一枚均匀硬币, 可取样本空间为 Ω = ω, ω }, 其中 ω 表示正面朝上, ω 2 表示 反面朝上 { 2 例 2 掷一颗均匀骰子, 可取样本空间为 Ω { ω, ω, ω, ω, ω, ω } = , 其中 ω 表示掷出 点数为, =,, 6 像上面这样只包含有限个样本点的样本空间称为有限样本空间 例 3 考查某市 0 报警台在单位时间内收到的报警次数, 用 ω 表示单位时间内收到 次报警, = 0,,2,, 则样本空间为 Ω = { ω0, ω, ω2, } 像这样包含无限但可列多个样本点的样本空间称为可列样本空间 有限样本空间和可列样本空间统称为离散样本空间 例 4 测量某电器元件的寿命 T 小时, 则样本空间可取 Ω = [ 0, + ) 这种包含无限不可列个样本点的样本空间称为不可列样本空间 2 随机事件 如果一个事件是否发生依赖于对某个随机现象的观测结果, 则称其为该随机现象的随机事件, 简称为事件, 用 BC,, 等大写英文字母表示 例如, 当我们考查掷一颗骰子这个随机现象时, 点数不超过 3 就是一个随机事件, 这个事件是否发生, 依赖于投掷结果 : 如果掷出的点数是 2, 那么该事件发生了 ; 如果掷出的点数是 5, 那么该事件没有发生 换句话说, 如果掷出的点数是,2 或者 3, 那么该事件就发生了, 否则, 该事件就没有发生 我们可以利用例 2 中的记号来表示这个事件, 如用集合 = ω, ω, ω 来表示 点数不超过 3 这个随机事件 掷出的结果如果在该集合中, 那么事件 { } 2 3 发生 ; 否则, 事件 没有发生 这样, 随机事件就可以用样本空间 {,,,,, } Ω = ω ω ω ω ω ω 的一个子集表示清楚了 下面我们再举几个例子 () 掷一枚均匀硬币一次, 考虑掷出正面和掷出反面这两个随机事件, 分别记为,B 利用例 提出的样本空间, 这两个事件可分别表示成 = { ω }, B = { ω 2 } (2) 掷一颗骰子一次, 用例 2 中的样本空间, 记 C = { ω, ω, ω }, D { ω, ω, ω } 3 5 =, 那么, C 表示 点数为奇数 这一随机事件, D 表示 点数大于 且小于 5 这一随机事件

9 第 章事件与概率 3 (3) 考虑某个电器元件的寿命, 利用例 4 中的样本空间, 某电器元件的寿命不小于 000 小时 这个随机事件可表示为 D = [ 000, + ), 也是样本空间 Ω 的一个子集 综上所述, 我们今后将把事件表示为样本空间 Ω 中满足一定条件的子集 称事件 发生, 当且仅当 所包含的样本点之一在随机观测中出现 只包含一个样本点的事件称为基本事件, 包含两个或两个以上样本点的事件称为复合事件 如果在每次试验中, 某事件一定发生, 则称该事件为必然事件, 它应该包含所有的样本点, 所以用全集符号 Ω 表示 ; 相反地, 如果在每次试验中某事件都不发生, 则称该事件为不可能事件, 它不可能包含任何样本点, 所以用空集符号 表示 3 事件之间的关系与运算 如果没有特别声明, 以下叙述中所有事件都是某个给定样本空间 Ω 中的事件 包含与相等 若事件 发生必然导致事件 B 发生, 则称事件 是事件 B 的子事件, 记为 B 或 B 例如, 在例 2 中, 令 为 掷出 4 点, B 为 掷出点数 为偶数, 则 B 借助于集合的图示方法 ( 称为 Ve 图 ), 事件之间的包含关系 B 可用图 - 表示 事件 发生必然导致事件 B 发生 意味着 属 Ω 于 的样本点 ω 必然属于 B, 即 中的样本点全在 B 中 所示 图 - B 的含义与集合论中的含义是一致的 如果 B 与 B 同时成立, 则称 与 B 相等 ( 或等价 ), 记为 = B 两个相等的事件含 有相同的样本点 B 2 并 ( 或和 ) B 称 事件 与事件 B 中至少有一个发生 为事件 与事件 B 的并 ( 或和 ) 事件, 记作 B, 如图 -2 中的阴影部分所示 例如, 在例 2 中, 令 = 掷出点数 3, B = 掷出点 Ω 数为偶数, 则 B表示事件 掷出点数为,2,3,4,6, 图 -2 即事件 不出现 5 点 3 交 ( 或积 ) B 称 事件 和事件 B 同时发生 为事件 与事件 B 的交 ( 或积 ) 事件, 记作 B或 B, 如图 -3 中的阴影部分所示 如在例 2 中, 若,B 同上, 则 B表示 掷出点数为 2 B Ω 例 5 掷两枚均匀的硬币, 若 表示 恰有一个正面朝上,B 图 -3 表示 恰有两个正面朝上,C 表示 至少有一个正面朝上, 则有 对于任意事件, B, 有 B= C, C=, BC= B, B= Ω, B, B B, B, B B

10 4 概率论与数理统计 B 4 互斥 ( 或互不相容 ) 如果两事件,B 不可能同时发生, 即 B=, 则称 和 B 是互斥的 ( 或互不相容的 ) 图 -4 表示了这种情形 例如, 在例 2 中, 表示 掷出 3 点, B 表示 掷出偶 Ω 数点, 则显然 B=, 即 和 B 是互斥的 图 -4 5 差 称 事件 发生而事件 B 不发 生 为事件 与 B 的差事件, 记作 B, 如图 -5 中阴影部分 B B 所示 如在例 2 中, 若 表示 掷出点数 3,B 表示 掷出点 Ω 数为偶数, 则 B 表示 掷出点数为 或 3 这一事件 图 -5 6 对立事件 ( 或余事件 ) 设 为任一事件, 称 Ω 为 的对立事件 ( 或 的余事 件 ), 记作, 即 = Ω, 如图 -6 中阴影部分所示 在例 2 中, 若 = 掷出点数为偶数, 则 = 掷出 Ω 点数为奇数 图 -6 显然, 在一次试验中, 与 必然有一个发生且仅有一个 发生, 即 = Ω, = 显然 =, 即 也是 的对 立事件 利用对立事件的概念, 我们可以将差事件表示为 B = B = B 7 可列多个事件的关系与运算设, 2,,, 是一列随机事件, 则 (), 2,, 中至少有一个发生 这一事件称为, 2,, 的并事件, 记作 ; 2,,,, 中至少有一个发生 这一事件称为事件列, 2,,, 的可列并事件, 记 作 = (2), 2,, 同时发生 这一事件称为, 2,, 的交事件, 记作 2 ; 件, 记作 =, 2,, (3) 如果 个事件, 2, 同时发生 这一事件称为事件列, 2,,,, 则称这 个事件, 2,, 是互斥的 ; 中任意两个事件都不可能同时发生, 即 j =, j,, j =,2,,, = = 或, 的可列交事

11 如果可列个事件, 2,,, 中任意两个事件都不可能同时发生, 即 j =, j,, j=,2,,,, 第 章事件与概率 5 则称这可列个事件, 2,,, 是互斥的 例 6 若, B, C 是三个随机事件, 则 () 发生而 B 与 C 都不发生可表示为 : BC 或 B C 或 ( B C) ; (2) 与 B 都发生而 C 不发生可表示为 : BC 或 B C 或 B BC ; (3) 这三个事件恰好发生一个可以表示为 : BC BC BC ; (4) 这三个事件中至少有两个发生可表示为 : B C BC 或 BC BC BC BC 由上可知, 概率论中事件之间的关系与运算和集合论中集合之间的关系与运算是一致的, 从而常常把对事件的分析转化为对集合的分析, 利用集合间的运算来分析事件间的运算 事件的运算满足下述规律, 它们的证明留给读者 () 交换律 B= B, B= B (2) 结合律 ( B) C= ( B C), ( B) C= ( BC ) (3) 分配律 ( B) C= ( C) ( BC), ( B) C= ( C)( B C) (4) 德摩根 (De Morge) 法则 B = B, B = B 对于 个事件, 甚至对于可列个事件, 德摩根法则也成立 : =, = = = = = 2 概率及其性质 对于随机事件, 我们关心的是, 它在一次试验或观测中发生的可能性大小是否客观存在而且可以度量? 答案是肯定的 那么, 如何来度量一个事件发生的可能性大小呢? 概率论中把度量事件 发生可能性大小的数, 称为事件 发生的概率, 记作 P( ) 下面, 我们从不同的角度出发, 来给出概率的若干定义 性质及其计算方法 2 概率的统计定义 频率定义 2 对于随机事件, 若在 次独立观测或试验中 发生了 µ 次, 则称 f µ ( ) = 为随机事件 在 次试验中发生的频率 一般地, 如果 发生的可能性较大, 那么相应的频率也较大 反之, 则频率就较小

12 6 概率论与数理统计 2 频率的基本性质频率具有以下基本性质 () 非负性 : f ( ) 0; (2) 正规性 : f ( Ω )=; (3) 有限可加性 : 若两事件, B 互斥, 即 B=, 则 f( B)= f( )+ f( B) 证明性质 (),(2) 显然, 下证 (3) 分别以 µ, µ B, µ B 来记 次试验中, B, B 发生的次数 因为 B=, 所以 µ = µ + µ, 从而由频率的定义可得 B B f ( B ) µ = B µ = + µ B µ µ = B + = ( ) + ( ) f f B 证毕 性质 (3) 可推广到任意有限个互斥事件的场合, 即如果事件, 2,, m 互斥, 则 ( ) = ( ) + ( ) + + ( ) f f f f 2 m 2 m 3 频率的稳定性经验表明, 当试验重复多次时, 随机事件发生的频率通常在一个确定的常数附近摆动, 而且随着试验次数的增大, 频率越来越稳定于这个确定的常数 我们把频率的这种数值规律称为频率的稳定性 频率具有稳定性的特征, 揭示了随机事件发生的可能性大小是客观存在的, 是随机事件本身固有的属性, 同时也为我们提供了度量这种可能性大小的一种方法 例 2 表 - 是历史上有人做过的投掷硬币的试验 表 - µ 实验者投掷次数 正面朝上的次数 µ 频率 f ( ) = De Morge Buffo Pearso Pearso 随着投掷次数的增加, 正面朝上的频率越来接近于一个常数 ( 例如,05), 也就是说, 频率稳定地在一个常数值 (05) 附近摆动 据此, 我们用这个稳定值来作为事件 正面朝上 发生的概率 在这里我们取 P()=05 如果硬币均匀, 这与我们的实际经验是相符的 利用频率的稳定性这个客观特征, 我们可以给出概率的统计定义 4 概率的统计定义及其基本性质 定义 22 在大量独立重复试验中, 事件 发生的频率总是稳定在一个确定的常数附近, 我们称这个常数为事件 发生的概率, 记作 P( ) 定义 22 称为概率的统计定义 它为我们提供了求某事件发生的概率的一种手段, 即当试验次数足够大时, 用它发生的频率来作为概率的近似值 :

13 第 章事件与概率 7 µ P ( ) f ( ) = 以后我们将会看到, 这种做法大有好处 在统计定义下, 概率是频率的稳定值, 因而频率所具备的性质, 概率也应当具备, 即概率应具备以下基本性质 () 非负性 : 对任意事件, 有 P ( ) 0; (2) 正规性 : P( Ω )=; (3) 有限可加性 : 若事, 2,, 互斥, 则 ( ) ( ) ( ) P( )= P + P + + P 概率的古典定义 模型与计算公式下面我们讨论一类最简单的随机现象, 它具有如下两个基本特征 : () 试验的所有基本事件只有有限个 ( 即样本空间是有限集 ); (2) 试验中每个基本事件发生的可能性大小是相等的 ( 称为等可能性 ) 对于此类随机现象, 若基本事件总数为, 事件 包括的样本点数为 m, 则定义事件 发生的概率为 事件 包含的样本点数 m P ( ) = = 样本空间中样本点总数 这种计算概率的数学模型称为古典概率模型, 简称为古典概型 因为每一个样本点对应一个基本事件, 所以事件 包含的样本点数习惯上称为 的有利事件数, 上面的定义式也常写成 的有利事件数 P= ( ) 基本事件总数 古典概型在概率论发展初期即被注意到 法国数学家拉普拉斯 (Laplace) 早在 82 年就对此作了研究, 许多最初的概率论理论结果也是跟它相关的 古典概型在概率论中占有相当重要的地位 一方面, 由于它简单, 对它的讨论有助于直观地理解概率论的许多基本概念 ; 另一方面, 古典概型的计算在产品质量抽样检查等实际问题以及理论物理的研究中都有重要作用 例 22 掷一颗均匀的骰子, 观察朝上的点数 显然可以用古典概型来进行讨论 设 ω = 掷出点数为, =,2,,6,B = 掷出点数为偶数点, 则 Ω = { ω, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}, =6, B = { ω, ω, ω }, m =3, 所以 B m 3 PB ( ) = 的有利事件数 = = 6 = 基本事件总数 2 古典概率的计算经常要用到一些排列组合公式来讨论基本事件数和有利事件数, 我们下面简单回顾一下有关知识

14 8 概率论与数理统计 2 基本组合分析公式 () 基本原理 组合分析公式的推导基于下列两条基本原理 乘法原理若一项工作需依次经过 和 2 两个过程, 过程有 种方法, 2 过程有 2 种方法, 则完成该项工作共有 2种方法 加法原理若一项工作可以用两种不同的过程 和 2 来完成, 过程有 种方法, 2 过程有 2 种方法, 则完成该项工作共有 + 2种方法 显然这两条基本原理可以拓广到多个过程的场合 (2) 排列 从包含有 个元素的总体中取出 r 个来进行排列, 这时既要考虑到取出的元素也要顾及其排列顺序 这种排列可分为两类 : 一种是有放回选取, 这时每次选取都在全体元素中进行, 同一元素可被重复选中 ; 另一种是无放回选取, 这时一个元素一旦被取出, 便立刻从总体中除去, 因此每个元素至多被选一次, 在后一种情况, 必有 r (a) 在有放回选取中, 从 个元素中取出 r 个来进行排列, 这种排列称为可重复排列, 共有 r 种不同排法 (b) 在无放回选取中, 从 个元素中取出 r 个来进行排列, 不同排列方法总数为 r = ( )( 2) ( r + ) 这种排列称为选排列或不可重复排列 特别地, 当 r= 时, 称为全排列, 此时 =! (3) 组合 (a) 从 个元素中无放回地取出 r 个组成一组而不考虑其顺序, 则取法总数为 C r r ( ) ( r+ )! = = = r! r! r!( r)! 这里 C r 称为组合数或二项系数, 它是二项展开式 的系数 易证, 组合数有以下性质 : r r r r C = C, C = C r ( a+ b) = C r a r b r ( 规定 r= 0 0 r C =) 中 ab (b) 把 个不同的元素分成 k 个部分, 其中第一个部分有 r 个, 第二个部分有 r 2 个,, 第 k 个部分有 r k 个, r + r r k =, 则不同的分法有 r r r = 2 k C C r C r rk x x2 x k 种 上式称为多项系数, 它是 ( ) 组合数! rr!! r! 2 k r r2 r 展开式中 x k x2 x k 的系数 当 k =2 时, 即为 r

15 第 章事件与概率 9 (c) 个元素有 个带足标, 2 个带足标 2,, k 个带足标 k, 且 k = 从这 个元素中无放回取出 r 个, 使得带足标 的元素有 r 个 ( r, k), 而 r+ r2+ + r k = r, 这时不同取法的总数为 r r2 r C C 2 C k k 3 例子例 23 一套五卷的选集, 随机地放到书架上, 求各册自左至右或自右至左恰成,2,3,4,5 的顺序的概率 解以, B, C, D, E 表示自左至右排列的书的卷号, 这时一个放置的方式与一个向量 ( BCDE,,,, ) 相对应, 而, B, C, D, E 只能在,2,3,4,5 中取值 ( 而且不许重复取某一个值 ), 故这种向量的个数共有 5!=20 个 因为书的安放是随机的, 从而这 20 种放法还是等可能的, 所以可以用古典概型计算 其有利事件有 2 种, 即自左至右或自右至左恰成,2,3,4,5 的顺序, 因 2 此所求概率为 = 例 24 已知一批产品共 N 件, 其中有 M 件次品, 从中任取 件, 试求其中恰有 k 件次品的概率 解这是一个无顺序的问题, 可用组合公式求解 设 = 件中恰有 k 件次品 基本事件总数为 C N 有利于 的基本事件数可这样考虑 :N 件产品分成两类, 类是次品, 有 M k k 件, 2 类是正品, 有 N M 件 由组合公式 (c), 的有利事件数为 C C 从而 CMCN M P ( ) =, C k k N M N M 其中 =0,,2,,m M, 这是古典概率计算中的一个典型问题, 其概率称为超几何概率, 它有着多方面的应用, 特别是在产品质量检验方面起着很大作用 例 25 有 0 个电阻, 其电阻值分别为 Ω, 2Ω,,0Ω ( 这里 Ω 表示电阻单位 ) 从中任取 3 个, 要求取出的 3 个电阻值, 个小于 5Ω, 个等于 5Ω, 个大于 5Ω 求取一次就能 k ( ) 达到要求的概率 解设 = 取到的 3 个电阻符合要求, 要求 P( ) 这个问题可用排列公式解, 也可用 组合公式解, 但后者方便 我们可作如下分析 : 从 0 个电阻中任取 3 个有 C 种取法, 此即为基本事件总数 将 0 个电阻分成 3 类 : 类电阻值小于 5Ω 的有 4 个, 2 类电阻值等于 5Ω 的有 个, 3 类电阻值大于 5Ω 的有 5 个, 由组合公式 (c) 知 的有利事件数为 CCC 4 5 因此 C0 的有利事件数 CCC P= ( ) = = 基本事件总数 例 26 袋中有 a 只黑球 b 只白球, 它们除颜色不同外其他方面没有差别 把球随机地

16 0 概率论与数理统计 一只一只摸出来, 求第 k 次摸出的一只球是黑球的概率 p ( k a+ b) k 解法一把 a 只黑球和 b 只白球都看成不同的 ( 例如, 设想把它们进行编号 ), 若把摸出的球依次放在排列成一直线的 a+ b个位置上, 则可能的排列相当于把 a+ b个元素进行全排列 所以基本事件数为这个全排列数 ( a+ b)! 而有利事件数为 a ( a+ b )!, 这是因为第 k 次摸出黑球有 a 种取法, 而另外 a+ b 次摸球相当于将 a+ b 只球进行全排列, 有 ( a+ b )! 种排法 故所求概率为 p k a ( a+ b )! a = = ( a+ b)! a+ b 这个结果与 k 无关 回想一下, 就会发觉这与我们平常的生活经验是一致的 例如, 在体育比赛中进行抽签, 抽到好签的机会, 与抽签的先后次序无关 解法二把 a 只黑球看成没有区别的, 把 b 只白球也看成没有区别的 仍把摸出的球依次放在排列成一直线的 a+ b 个位置上 因为若把 a 只黑球的位置固定下来, 则其他位置必然是放白球, 而黑球可以有 C a a+ b种放法, 所以, C a a+ b就是基本事件总数 这时有利事件数为 C a a b 这是由于第 k 次摸出黑球, 第 k 个位置必须放黑球, 剩下的黑球可以在 a+ b 个位置上任取 a 个位置放置, 因此共有 C a a+ b 种放法 所以, 所求概率为 +, p k a a+ b a a+ b C a = = C a + b 解法三把 a 只黑球和 b 只白球都看成不同的, 但是我们只考虑第 k 次摸出球的所有可能的情况, 那么样本空间显然只有 a+ b 个样本点, 而且各样本点的出现是等可能 第 k 次取到的是黑球 只有 a 种情况, 所以, 所求概率为 p k = a a + b 三种不同的解法, 一种顾及各黑球及各白球间的顺序, 另一种不考虑顺序, 最后一种只注意第 k 个位置上的可能情况, 因而采用了不同的样本空间和计算方法 但其答案是相同的 这说明对于同一随机现象, 可以用不同的模型来描述, 只要方法正确, 结论总是一致的 同时, 这个例子还告诉我们, 在计算基本事件总数及有利事件数时, 必须对同一个确定的样本空间来考虑, 因此, 其中一个考虑顺序, 另一个也必须考虑顺序, 否则, 结果一定不正确 例 27 设有 个人, 每个人都等可能地被分配到 N 个房间中的任意一间去住, 求下列事件的概率 : () 指定的 个房间各有一人住 ; (2) 恰好有 个房间, 其中各住一人 解因为每一个人有 N 个房间可供选择, 所以 个人住的方式共有 N 种, 即基本事件总 数为 N () 若房间已被指定且各住一人, 有利事件数为 个人的全排列!, 所求概率为

17 第 章事件与概率! P = N (2) 个房间可在 N 个房间中任意选取, 有 C N 种选取方式 对选定的房间, 按 () 的讨论可知有! 种分配方式 所以恰好有 个房间其中各住一人的概率为 C N! N N! P2 = = = N N N ( N )! 这个例子常称为分房问题 许多实际问题可以由这个模型来描述 下面列举若干实例 7 0 () 电话号码由 7 个不同数字组成的概率 p = = , 是例 27 取 N=0, =7 的情况 7 0 (2) 某机房有 4 位管理人员, 若每人需在机器检修的 7 天内值班一天, 则 4 人中没有两人会 4 7 在同一天值班的概率 p = = 03499, 这是取 N=7, =4 的情况 (3) 某班级有 50 位学生, 他们中任意两人的生日都不在同一天的概率 P = = 00296, 这是取 N=365, =50 的情况 例子 (3) 是个十分有趣的生日问题, 其结果令人惊讶 因为一个 50 人的班级, 至少有 2 人生日相同 的概率竟达到 00296= % ( 这个概率计算公式后面很快就会学到 ), 并不像人们直觉的那么小 4 古典概率的基本性质古典概率具备以下基本性质 () 非负性 : 对任意事件, 有 P ( ) 0; (2) 正规性 : P( Ω ) = ; (3) 有限可加性 : 若事件,, 互斥, 则 ( ) ( ) ( ) P( )= P + P + + P 2 2 证明性质 (),(2) 显然 下面就两个事件的情形证明性质 (3) 不妨设 = {, 2,, }, { ω ω ω 2 } Ω ω ω ω 因为 和 2 互斥, 即 2 =, 所以 从而由概率的古典定义得 =,,,, { ωj ω j ω 2 j } { 2 j j2 j } 2 = ω, ω,, ω, ω, ω,, ω P ( 2) = = + = P ( ) + P ( 2) 2 =,,, 2 由此很容易推广到任意 个互斥事件的情形 证毕

18 2 概率论与数理统计 23 概率的几何定义 模型与计算公式在古典概型中, 利用等可能性成功地计算了一类事件的概率 但古典概型要求样本空间是有限的, 这就限制了它的使用范围 下面讨论另一类特殊的随机现象, 它具有如下两个基本特征 : () 样本空间不可列 样本空间包含无限不可列个样本点, 但是可以用一个几何图形 ( 例如, 一条线段 一块平面区域 或一个空间区域等 ) 表示这个样本空间, 其相应的几何度量 ( 例如, 长度 面积 体积等 ) 是一个非零有限实数 ; (2) 等可能性 每个基本事件发生的可能性大小都相同, 从而每个事件发生的可能性大小只与表示该事件的几何图形的大小有关, 而与其具体位置无关 对于这样的随机现象, 记 S Ω 为样本空间 Ω 对应的几何图形的度量, S 为事件 对应的几何图形的度量, 则定义事件 发生的概率为 S P ( ) = 这种计算概率的数学模型称为几何概型 需要注意的是, S Ω 和 S 必须单位一致 2 例子例 28 公共汽车每隔 5 分钟来一辆, 假定乘客在接连两辆车之间的任何时刻随机地到达车站, 试求乘客候车时间不超过 3 分钟的概率 0,5 中的任一点, 即 解从前一辆车开出起计算时间, 乘客到达车站的时刻 t 可以是 [ ] Ω =0,5 [ ], S Ω =5 由假定, 乘客在 [ ] 概型 设 = 乘客候车不超过 3 分钟, 则 =2,5 [ ], S =3 所以 S Ω 0,5 内任一时刻到达车站都是等可能的, 所以可以用几何 S 3 P ( ) = = 5 S Ω 例 29 ( 会面问题 ) 两人约定 5 点到 6 点在某地会面, 先到者等候另一人 20 分钟, 过时就离去, 试求这两人能会面的概率 解以 x, y 分别表示两人到达时刻 ( 单位 : 分钟 ), 则样本空间可表示为 Ω = {( xy, ) : 0 xy, 60} Ω 图 -7 两人能够会面的充要条件为 x y 20, 从而事件 两人能会面 可表示为 = {( x, y) : x y 20,0 x, y 60} 如图 -7 所示, 用几何概型可得所求概率为 S P ( ) = = = S Ω

19 第 章事件与概率 3 注意, 本例的几何度量是面积, 而例 28 中则是长度 a a >0 的平行线, 向此平面任投一 例 20 ( 蒲丰 (Buffo) 投针问题 ) 平面上画有距离为 ( ) 长度为 l( l< a ) 的针 试求此针与平行线相交的概率 解以 x 表示针的中点到最近的一条平行线的距离,ϕ 表示针与此线的交角 ( 图 -8(a)), 可以用 ϕ x 平面上的一个矩形区域 a Ω=( ϕ,):0 x ϕ <π,0 x 2 a 作为样本空间 易知 ϕ 和 x 分别在区间 [0, π ) 和区间 0, 2 在样本空间 Ω 中取值 为使针与平行线相交, 必须有 x 线相交 可以用 Ω 的子集 表示, 即图 -8(b) 中阴影部分 易知 等可能地取值, 从而点 ( ϕ, x) 等可能地 l s 2 l a = ( ϕ, x): x s ϕ, 0 ϕ <π, 0 x 2 2 ϕ, 从而事件 此针与任一平行 a S Ω = π, 2 S π l = sϕd ϕ = l, 0 2 所以, 所求概率为 S l 2l P ( ) = S = a = Ω a π π 2 a x a 2 φ x 0 π φ (a) (b) 图 -8 值得注意的是, 首先, P( ) 只依赖于比值 l/ a, 故当 l 与 a 成比例地变化时, P( ) 保持不变 这一点与我们的直觉相符 其次, 如果已知 a 和 l, 则可利用上式由 P( ) 确定 π 的值, 从而利用频率估计 π 具体方法是投针 N 次, 统计针与线相交的次数, 再以频率值 / N 作为 2lN 概率 P( ) 的近似值代入上式, 求得 π a

20 4 概率论与数理统计 历史上有一些学者曾亲自做过这个试验, 表 -2 记录了他们的试验结果 ( 把 a 折算为单位长度 ) 表 -2 实验者 年份 针长 投掷次数 相交次数 π 的近似值 Wolf Smth De Morga Fox Lazzfr Rea 例 20 给出了一种求未知数的全新的方法 : 建立一个概率模型, 它与某些我们感兴趣的量 ( 这里是常数 π ) 有关, 然后设计适当的随机试验, 通过实验结果计算频率, 再利用频率和概率的关系确定这些量 这种由建立概率模型来作近似计算的方法通常称为随机模拟法或蒙特卡罗 (Mote Carlo) 方法 随着计算机日新月异的发展, 这种计算方法得到了迅速的发展和广泛的应用 3 几何概率的基本性质为方便起见, 我们就样本空间是一个平面区域的情形来加以讨论 根据几何概率的定义, 显然它仍具有非负性 正规性和有限可加性 除此以外, 我们设在样本空间 Ω 中有一列互不相交的小区域, 2,, 每个小区域的面积是 S, S, 这些小区 2 域的并为 =, 则由面积的性质, 总面积 S 应该是这些小区域的面积之和, 即 S 从而 = S S P( ) = = S = = P S S S ( ) Ω Ω = = Ω = = S, = 这说明, 几何概率不仅具有有限可加性, 而且具有可列可加性, 即若, 2, 为一列互斥的随机事件, 则 P = P = = ( ) 24 概率的性质我们前面已经分别讨论了概率的统计定义 古典概型和几何概型, 以及相应概率所应具备的基本性质 不难发现, 以下几点是它们的共性 () 都有一个样本空间 Ω 需要弄清楚 (2) 要讨论的所有事件都可以用样本空间 Ω 的子集表示, 这些事件之间满足一定的关系

21 第 章事件与概率 5 (3) 每个事件都有一个发生的概率, 概率满足如下三条基本性质 : (a) 非负性 : 对任意事件, 有 ( ) 0 P ; (b) 正规性 : P( Ω )= ; (c) 可列可加性 : 若, 2, 是一列互不相容事件, 则 P = P = = ( ) 下面我们将从概率的这三条基本性质出发, 推出概率的所有其他性质 性质 不可能事件的概率为 0, 即 P( )=0 证明因为 Ω= Ω P Ω = P Ω + P + 由正规性知, 所以由可列可加性有 ( ) ( ) ( ) P( Ω )=, 从而必有 P( )=0 证毕 性质 2 ( 有限可加性 ) 若, 2,, 是有限个互不相容事件, 则 = = = ( ) P P, 由可列可加性及 ( )=0 证明因为 = 2 = 证毕 推论 若 B P B 证明利用有限可加性可得, 则 ( ) P( ) 从而对任意事件 有 ( ) P( ) = P( B ( B)) = P( B) + P( B) P P 即知结论成立 由非负性知 P ( B) 0, 从而 P( B) P( ) 由任意事件 Ω 推论 2 对任一事件, 有 P 知 ( ) 证毕 P( ) = P( ) 性质 3 ( 可减性 ) 若 B, 则 P( B) = P( ) P( B) 证明当 B 时, 有 = B ( B) 且 B( B)=, 由有限可加性得 ( ) = ( ) ( ) P P B + P B, 由推论 知可以移项, 所以 P( B) = P( ) P( B) 性质 4 ( 加法公式 ) 对于任意两个事件, B, 都有 证明 B= ( B B) 证毕 ( ) = ( ) + ( ) ( ) P B P P B P B 且 B ( B)=, 所以

22 6 概率论与数理统计 ( ) = ( ) + ( ) P B P P B B 又 B B, 利用性质 3 有 P( B B) = P( B) P( B), 所以 推论 3 P( B) P( ) + P( B) ( ) = ( ) + ( ) ( ) P B P P B P B 证毕 性质 4 可以用归纳法推广到任意有限个事件 设, 2,, 是任意 个事件, 则有 P = P ( ) P ( j) + P ( j k) + + ( ) P ( 2 ) = = < j < j< k 这个公式也称为概率的一般加法公式 设, 2, 为一事件序列, 记为 { : =,2, }, 或简记为 { } 若有 则称 { } 则称 { } 为单调不减事件列, 称 为单调不增事件列, 称 = =, 2 为其极限事件 ; 若有, 2 为单调事件列 性质 5 ( 连续性 ) 若 { } 为单调不减事件列, 则 若 { } 为单调不增事件列, 则 为其极限事件 单调不减事件列和单调不增事件列统称 P = lm P( ) ( 下连续性 ); = P = lm P( ) ( 上连续性 ) = 对于单调不减事件列, 极限事件的概率是递增数列的极限 ; 对于单调不增事件列, 极限事件是递减数列的极限 所以这两条性质分别叫概率的下连续性和上连续性, 统称为概率的连续性 证明先证下连续 记 0 =, B =, =, 2,, 则 { B : =,2, } 是一列两两 互不相容事件, 且 = B 由概率的可列可加性有 = =

23 第 章事件与概率 7 P = P B = P( B) = = = = lm PB ( ) = lm [ P ( ) P ( )] = = = lm P ( ) 下连续性得证 由事件运算的德摩根法则及下连续性易证上连续性成立 证毕例 2 ( 匹配问题 ) 某人一次写了 封信, 又写了 个信封 如果她任意将 封信装入 个信封中, 求至少有一封信和信封一致的概率 解令 表示 第 封信恰好装入第 个信封, =, 2,, ; B 表示 至少有一封信和信 封一致, 则 B =, 且 P ( ) =, 从而 = P ( ) = ; = 又 P( j) =, j,, j=,2,,, ( ) 从而 2 P ( j) = C = ; < j ( ) 2! 类似可得 3 P ( j k) = C = < j< k ( )( ; 2) 3! 等等, 直到 P ( 2 ) C = =!! 由概率的一般加法公式得 P = P ( ) P ( j) + P ( j k) + + ( ) P ( 2 ) = = < j < j< k = + + ( ) 2! 3!! 显然, 当 充分大时, 它近似于 e

24 8 概率论与数理统计 3 条件概率和乘法公式 3 条件概率 全概公式和贝叶斯公式 有时我们会遇到这样的情况, 已知事件 发生了, 问事件 B 发生的概率有多大? 这就是条件概率的概念, 记作 P( B ) 例 3 设一个家庭有两个小孩, 考虑恰好是一个男孩一个女孩的概率问题 两个孩子依大小排列, 性别可能有四种情况 :( 男, 男 ),( 男, 女 ),( 女, 男 ),( 女, 女 ), 所以可取样本空间为 Ω ={( 男, 男 ),( 男, 女 ),( 女, 男 ),( 女, 女 )} 令 B 表示 两个小孩一男一女, 表示 两个小孩中至少有一女孩, 则基本事件总数 Ω = 4, B 的有利事件数 = 2 假定男 女出生率一样, 那么可以利用古典概型得 B 2 P( B ) = = 4 2 但是, 若已知这个家庭有女孩, 那么恰好是一个男孩一个女孩的概率又是多大呢? 这等于说已知事件 发生了, 求事件 B 发生的条件概率 这时已知至少有一女孩, 考虑 B 发生的概率时, 样本空间就缩减为 Ω ={( 男, 女 ),( 女, 男 ),( 女, 女 )}, 基本事件总数为 Ω = = 3, 而有利事件 ( 即 一男一女 ) 数为 B =2 这里 P( B ) P( B) B 2 PB ( ) = = 3, 从而, 说明 已知事件 发生 这个信息对计算事件 B 的概率产生了影响 值得注意的是, B B / P( B) PB ( )= = = / P( ) 这表明, 我们不需要引进新的样本空间, 在原有样本空间基础上即可计算条件概率 下面我们给出条件概率的严格定义 定义 3 设 和 B 为同一样本空间中的两个随机事件, P( )>0 称 P( B) PB ( ) = P( ) 为事件 发生的条件下事件 B 发生的概率, 简称为事件 B 的条件概率

25 第 章事件与概率 9 计算事件 发生的条件下事件 B 发生的概率 P( B ), 本质上是以 为新的样本空间计算 事件 B 发生的概率, 所以条件概率也具有概率的三个基本性质 P B 0 ; () 非负性 : 对任意事件 B, ( ) (2) 正规性 : P( Ω ) = ; (3) 可列可加性 : 若 B, B 2, 是一列互不相容事件, 则其和事件的条件概率为 P B = P B = = = = = ( ) P B P( B ) 利用条件概率的概念我们可以得到许多有用的概率计算公式, 用来计算复杂事件的概率 下面先介绍乘法公式 若 P( )>0, 则 更一般地, 对任意 个事件, 2,, ( ) ( ) P B = P P( B ), 若 P( ) 2 >0, 则 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) P 2 P P 2 P 32 P 2 例 32 已知一罐子中有 k 个白球,r 个红球 每次随机地取出一个, 记下其颜色后放回, 同时加进与被取球同色的同质球 c 个 试求如此连续取球三次均为红球的概率 解记 = 三次取出的均为红球, = 第 次取出的是红球,=,2,3, 则 = 23, 且易求得 从而由乘法公式可得所求概率为 r P ( ) = k + r, r + c P ( 2 ) =, k + ( r + c) r+ 2c P ( 3 2) = k + ( r + 2 c) P( ) = P( ) P( 2 ) P( 3 2) r r+ c r+ 2c = k + r k + r+ c k + r+ 2c 例 32 最早由匈牙利数学家波利亚 (Polyá) 提出, 故称为波利亚罐子模型 可以证明 : ( ) ( ) ( ) P > P > P 这说明当红球越来越多时, 红球被抽到的可能性也就越来越大 这犹如某种传染病在某地区流行时, 如不及时制止, 波及范围会越来越广 地震也是如此 所以波利亚罐子模型常常被用作描述传染病 地震等现象的数学模型

26 20 概率论与数理统计 32 全概公式和贝叶斯公式 下面我们介绍另外两个与条件概率有关的重要公式 先介绍互斥完备事件组的概念 设 {, 2, } 是一组事件, 如果满足 () 互斥性 : 其中任意两个事件都互斥, 即 =, j,, j=,2, ; (2) 完备性 : 其中必有一个事件会发生, 即 = Ω, 2 则称 {, 2, 为互斥完备事件组 或称 {, 2, 构成样本空间 Ω 的一个划分 如图 -9 所示 特别地, 可列样本空间 Ω 的所有基本事件构成 Ω 的一个划分 ; 显然, 对于任何事件, 与 构成 Ω 的一个划分 互斥 完备性表明, 若事件组, 2,, 是互斥完备事件组, 则任作一 Ω 次观测,, 2, 中必有且仅有一个发生 图 -9 定理 3 若 {, 2, } 构成互斥完备事件组, P ( ) > 0, =, 2,, B 是任一事件, 则有下面的公式 () 全概公式 = = P( B) = P( ) P( B ) ; (2) 贝叶斯公式 (Bayes formula) 若 ( ) 0 j P B >, 则对 j =, 2,, 有 P ( j) PB ( j) P ( j B) = P( ) P( B ) = 证明因为, 2, 互斥, 所以 B, B 2, 互斥 由于 由概率的可列可加性及乘法公式即得全概公式 又由条件概率定义及全概公式知 B= BΩ = B = B, = = P( B) = P( B) = P( ) P( B ) = = ; PB ( j ) P ( j) PB ( j) P ( j B) = = PB ( ) P( ) P( B ) = 证毕应用概率的可列可加性 乘法公式和全概公式将较复杂事件概率的计算分解为较简单事件

27 第 章事件与概率 2 的概率进行计算 例 33 某工厂有四条流水线生产同一种产品, 该四条流水线的产量分别占总产量的 5%,20%,30% 和 35%, 又已知这四条流水线的不合格品率依次为 005,004,003 和 002 现在从出厂产品中任取一件, 问恰好取到不合格品的概率是多少? 解设 = 恰好取到第 条流水线的产品, =, 2,3, 4 B = 恰好取到不合格品 则, 2, 3, 4 构成互斥完备事件组, 由全概公式得 4 PB ( ) = P ( ) PB ( ) = = = 0035 例 34 ( 续例 33) 在例 33 中, 若该厂规定, 出了不合格品要追究有关流水线的经济责任 现在在出厂产品中任取一件, 结果为不合格品, 但该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落, 问这件产品是第 4 条流水线生产的可能性有多大? 解利用贝叶斯公式, 该产品是第 4 条流水线生产的概率为 P ( 4) PB ( 4) P ( 4 B) = = P ( ) PB ( ) = 类似地分别可求出该产品是第, 2,3 条流水线生产的概率 全概公式 贝叶斯公式在理论上和应用上都很重要 为了便于理解, 我们作如下直观解释 如果把事件 B 作为结果, 那么事件, 2, 便是导致 结果 的 原因 从这个意义上讲, 全概公式的主导思想是由因导果 全 字的意义在于计算概率 P( B ) 时, 对于导致 B 发生的各种原因无一遗漏地加以全面考察 贝叶斯公式的意义正好相反, 其目的在于探索已经发生的 结果 B 由, 2, 各种 原因 引起的可能性大小 从这个意义上讲, 贝叶斯公式要解决的问题正好与全概公式相逆, 所以也称为逆概公式, 其主导思想是执果索因 例 35 用血清甲胎蛋白法诊断肝癌, 设 C 表示 被检验者患有肝癌, 表示 被检验者被判断患有肝癌 由临床观测发现, 对于肝癌患者, 此法准确率高达 95%, 即 P C = ; 对于非肝癌患者, 此法准确率也高达 90%, 即 PC ( ) = 090 已知肝癌患病 ( ) 095 率为万分之四, 即 PC ( ) = 现在若有一人被此检验法诊断为患有肝癌, 求此人真正患有肝癌的概率 P( C ) 解由贝叶斯公式 PCP ( ) ( C) PC ( ) = PCP ( ) ( C) + PCP ( ) ( C) = = 例 35 表明, 虽然检验法相当可靠, 但是被 诊断 为肝癌的人确实患有肝癌的可能性

28 22 概率论与数理统计 并不大, 这是一个值得读者进一步思考的结果 4 独立性 两事件的独立性 对于, B 两个事件, 设 P( ) > 0 么应该有 从而由乘法公式应该有 4 事件的独立性及伯努利概型, 若事件 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响, 那 P( B ) = P( B), P( B) = P( ) P( B ) = P( ) P( B) 受此启发, 引入下述事件之间的独立性概念 定义 4 设 和 B 是任意两个事件, 若 P( B) = P( ) P( B), 则称事件 和 B 相互独立 例 4 掷甲 乙两枚均匀硬币, = 甲出现正面, B = 乙出现正面, 样本空间为 这时 P( ) = P( B ) =2/4=/2, ( )=/ 4 Ω = {( 正, 正 ),( 正, 反 ),( 反, 正 ),( 反, 反 )}, P B, 所以 P( B) = P( ) P( B), 由定义 4 知事件 和 B 相互独立 这与我们的直觉是完全一致的 实践中, 事件间的独立性常常根据实际意义来判断, 而不是根据定义来判断, 据此能简化概率的计算 例 42 甲 乙两射手向同一目标射击, 已知命中率分别为 092,087, 试求目标被击中 的概率 解设 C = 目标被击中, = 甲击中目标, B = 乙击中目标, 则 C= B, 从而 P( C) = P( ) + P( B) P( B) 其中 P( )=092, P( B )=087 又根据实际意义可知事件 和 B 相互独立, 所以 PC ( ) = P ( ) + PB ( ) PPB ( ) ( ) = = 定理 4 若事件, B 相互独立, 则, B 相互独立 ;, B 相互独立 ;, B 相互独立 证明仅需证, B 相互独立 事实上 P( ) = P( B) + P( B) = P( ) P( B) + P( B),

29 第 章事件与概率 23 从而 P( B) = P ( ) PPB ( ) ( ) = P( )( P( B)) = P( PB ) ( ), 所以, B 相互独立 利用定理 4, 例 42 也可用下式解出 : 证毕 PC ( ) = PC ( ) = PB ( ) = PPB ( ) ( ) = ( 092)( 087) = 多个事件的独立性定义 42 若事件, B, C 同时满足 PB ( ) = PPB ( ) ( ), PC ( ) = PPC ( ) ( ), PBC ( ) = PBPC ( ) ( ), (4) P( BC) = P( ) P( B) P( C), (42) 则称事件, B, C 相互独立 由定义 42 可知, 若, B, C 相互独立, 则, B, C 两两相互独立, 但反之不然 例 43 设袋中有 4 个乒乓球, 一个涂有白色, 一个涂有红色, 一个涂有蓝色, 一个涂有白 红 蓝三种颜色 今从袋中随机地取一球, 以, B, C 分别记事件 出现白色 出现红色 出现蓝色, 则样本空间为 Ω ={ 白, 红, 蓝, 白且红且蓝 }, P = P B = P C =2/4=/2, P B = P BC = P C =/4, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 所以式 (4) 成立, 从而, B, C 两两相互独立 但 ( ) =/ 4 / 8= P( ) P( B) P( C) P BC, 式 (42) 不成立, 所以事件, B, C 不相互独立 也可举出式 (42) 成立但式 (4) 不成立的例子, 这说明式 (42) 在定义 42 中是不可缺少的 定义 43 设, 2,, 为 个事件 若对任意 k = 2,3,, 及 < 2< < k, 都有 P ( ) = P ( ) P ( ) P ( ), 2 k 2 则称事件, 2,, 相互独立 由定义 43 可知, 个事件的相互独立性需要有 k= 2 k C = 2 个等式来保证 个事件的独立性也有类似于定理 4 的结论 k

30 24 概率论与数理统计 定理 42 若, 2,, 相互独立, 则其中任意 k (2 k ) 个也相互独立, 且有 P( ˆ ˆ ˆ ) = P ( ˆ ) P ( ˆ ) P ( ˆ ) 2 k 2 其中每个 ˆ j 可以是 j 也可以是 j, j=,2,, k 例 44 一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性 由元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性 设构成系统的每个元件的可靠性均为 r(0 < r < ), 且各元件能否正常工作是相互独立的 今有 2 > ( ) 个元件按图 -0 所示的两种不同的连接方式构成系统, 试求它们的可靠性, 并比较两种系统的可靠性大小 k I 2 Ⅱ 2 B B 2 B B B 2 B 图 -0 解分别用 和 B 表示相应的原件能正常工作, =, 2,, 系统 Ⅰ 有两条通路, 它能正 常工作当且仅当两条通路至少有一条能正常工作 而每一条通路能正常工作当且仅当它的每个元件能正常工作 故系统 Ⅰ 的可靠性为 (( 2 ) ( 2 ) ) P( ) P( B B B ) P( B B B ) P B B B = = r + r r = r (2 r ) 系统 Ⅱ 由 对并联元件组成, 它能正常工作当且仅当每对并联元件都能正常工作 故系统 Ⅱ 的可靠性为 P ( B) = P( B) = = 注意到 2 r >, ( r) 2 = ( r + r r ) = r (2 r) 2 >, 可见两种系统都比由 个元件串联的单条通路 ( 其可靠性为 r ) 更可靠 此外, 用数学归纳法可以证明, 当 > 时, ( r) 2 >2 r, 因此系统 Ⅱ 比系统 Ⅰ 更 可靠 42 伯努利概型若随机现象由一系列随机试验或观测构成, 其中 () 每次试验或观测所有可能的结果都相同 ; (2) 只依赖于单次试验或观测结果的事件之间相互独立, 则称为一个独立试验序列 例如, 重复投掷一颗骰子, 则每次可能的结果都一样, 任意两次的结果之间相互独立, 从而构成一个独立试验序列