Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch08 [Compatibility Mode]

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田浸姜
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例 : 某工厂生产欧姆的电阻, 根据以往生产的电阻实际情况, 可以认为 : 电阻值 X 服从正态分布 N(μ, ) 现在随机抽取个电阻, 测得它们的电阻值为

1 -6-8 第八章假设检验 8 基本概念下面, 我们讨论不同于参数估计问题的另一类统计推断问题根据样本提供的信息, 检验总体的某个假设是否成立的问题第 8 章这类问题称为假设检验 3 假设检验 { 参数检验非参数检验先看一个例子总体分布已知情形下, 检验未知参数的某个假设总体分布未知情形下的假设检验问题 4 例 : 某工厂生产欧姆的电阻, 根据以往生产的电阻实际情况, 可以认为 : 电阻值 X 服从正态分布 N(μ, ) 现在随机抽取个电阻, 测得它们的电阻值为 : 99,,, 97, 99, 99,, 5,, 问 : 从样本看, 能否认为该厂生产的电阻的平均值 μ= 欧姆? Back to lide Back to lide

2 I 如何建立检验模型确定总体 : 记 X 为该厂生产电阻的测值, 则 X~N(μ, ); 明确任务 : 通过样本推断 X 的均值 μ 是否等于欧姆 ; 假设 : 上面的任务是要通过样本检验 X 的均值 μ = 这一假设是否成立 6 在数理统计中, 把 X 的均值 μ = 这样一个待检验的假设记为原假设或零假设, 记成 H :μ = 原假设的对立面是 X 的均值 μ, 称为对立假设或备择假设, 记成 H : μ 把原假设和对立假设合写在一起, 就是 : H :μ=; H :μ 7 II 解决问题的思路因样本均值是 μ 的一个很好的估计所以, 当 μ=, 即原假设 H 成立时, X 应比较小 ; 如果该值过大, 想必 H 不成立于是, 我们就用 X 的大小检验 H 是否成立合理的做法应该是 : 找出一个界限 c, 当 X < c 时, 接受原假设 H ; 当 X > c 时, 拒绝原假设 H 8 这里的问题是 : 如何确定常数 c 呢? 细致地分析 : 根据 P4 定理一, 有 X μ X ~ N( μ, /), 或 ~ N(,) / 于是, 当原假设 H :μ= 成立时, 有 X ~ N(, ) /

3 为确定常数 c, 我们考虑一个很小的正数, 如 =5 当原假设 H : μ = 成立时, 有 X P z / 即 P X (/ / =, { ) z } / = ( / ) z / 故, 可取 c = 于是, 我们就得到如下检验准则 : 当 X < c 时, 接受原假设 H ; 当 X > c 时, 拒绝原假设 H 其中 c = / ) ( z / Back to lide 6 X 称 X 或 Z = 为检验统计量 ; / 称 X (/ ) z /, 或 X Z = / 为原假设 H 的拒绝域 z / 用以上检验准则处理我们的问题, 经计算, 得 X =5, c ( / ) Z / = = (/ ) 96 6 故, X = 5 < c 所以, 接受原假设 H :μ= Back to lide 4 III 方法原理因为, 当原假设是 H :μ = 成立时, P{ X (/ ) z / } = 所以, 当很小时, 若 H 为真 ( 正确 ), 则检验统计量落入拒绝域是一小概率事件 ( 概率很小, 为 ) 前面我们曾提到 : 通常认为小概率事件在一次试验中基本上不会发生那么, 如果小概率事件发生了, 即 : { X (/ ) z } / 发生, 就拒绝接受 H 成立, 即认为 H 不成立 3

4 IV 两类错误与显著性水平当我们检验一个假设 H 时, 有可能犯以下两类错误之一 :H 是正确的, 但被我们拒绝了, 这就犯了弃真的错误, 即抛弃了正确假设 ;H 是不正确的, 但被我们接受了, 这就犯了取伪的错误, 即采用了伪假设因为检验统计量总是随机的, 所以, 我们总是以一定的概率犯以上两类错误 4 通常用和 β 记犯第一第二类错误的概率, 即 = P{ 拒绝 H β = P{ 接受 H H 为真 }, H 为假 } 在检验问题中, 犯弃真和取伪两类错误都总是不可避免的, 并且减少犯第一类错误的概率, 就会增大犯第二类错误的概率 ; 反之亦然所以, 犯两类错误的概率不能同时得到控制 5 在统计学中, 通常控制犯第一类错误的概概率一般事先选定一个数 (<<), 要求犯第一类错误的概率不超过称为假设检验的显著性水平, 简称水平犯第二类错误的概率的计算超出了课程的学习范围因此, 不作讨论 6 例 ( 续 ): 分析该例的显著性水平因为当 X c 时, 我们拒绝了原假设 H :μ =, 其中 c = ( / ) z / 现在我们来分析一下 : 取上述 c 后, 如果 H 是正确的, 却被我们拒绝了这时, 犯第一类错误的概率是多少呢? 4

5 分析 : 从而,P 即 P 因为当原假设 H : μ = 成立时, 有 X ~ N(, ) / { X (/ ) z } / = { 拒绝接受 H H 为真 } = 可见 : 用该方法进行检验时, 犯第一类错误的概率等于, 即显著性水平等于 8 8 正态总体均值的假设检验 8 单正态总体 N(μ, ) 均值 μ 的检验双边检验 H : μ=μ ;H : μ μ 假设已知, 根据上节中的例, 当原假设 H : μ=μ 成立时, 有 X μ ~ N(, ) / X μ 所以, P z / =, / 即 P X μ = z / 所以, 假设 H 拒绝域为 X μ 9 以上检验法称作 Z 检验法 z / 在应用上, 未知的情况是常见的此时, 和前面不同的是 : 常用样本方差代替未知的当未知时, 根据 P43 定理三, 当原假设 H : μ=μ 成立时, 有 X μ ~ t / X μ 所以, P t ( / ) =, / ( 即 P X μ t / ) = 假设 H ( 拒绝域为 X μ t / ) 此检验法称作 t 检验法 Back to lide 4 5

6 -6-8 例 ( 续例 8) : 假设未知, 检验 H : μ=;h : μ 解 :=, =5, μ =, t - (/)=t 9 (5)=6, 计算得 X = 5, = 5, = 4 而 5 = X μ < t ( / ) 所以, 接受原假设 H : μ = = 6 单边检验 H : μ =μ ; H : μ >μ 上一段中,H :μ=μ ; H : μ μ 的中对立假设为 H : μ μ, 该假设称为双边对立假设而现在要处理的对立假设为 H : μ>μ, 称为右边对立假设类似地,H : μ=μ ; H : μ<μ 中的对立假设 H : μ<μ, 假设称为左边对立假设右边对立假设和左边对立假设统称为单边对立假设, 其检验为单边检验 3 例如 : 工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布, 均值为 μ ; 采用新技术或新配方后, 产品质量指标还服从正态分布, 但均值为 μ 我们想了解 μ 是否显著地大于 μ, 即产品的质量指标是否显著地增加了 4 单边检验 H : μ =μ ; H : μ >μ 如果 μ =μ, 即原假设成立, 则 X μ就不应太大 ; 反之, 如果 X μ 过大, 就认为原假设不成立在已知情况下, 根据 P4 定理一, 知 : 当原假设成立时, X μ ~ N( (, ) / 由此, 可推出 P X μ z = 所以, H 的拒绝域为 X μ z ( 希望当 H 为真时拒绝 H ( 即 X μ c) 的概率比较小 ) 6

7 在未知情况下, 当原假设成立时, 由 P43 定理三 X μ ~ t / 由此, 可推出 P X μ t ( ) = 所以, H 的拒绝域为 X μ t- ( ) 6 例 : 某厂生产一种工业用绳, 其质量指标是绳子所承受的最大拉力, 假定该指标服从正态分布, 且该厂原来生产的绳子指标均值 μ =5 公斤, 采用一种新原材料后, 厂方称这种原材料提高了绳子的质量, 也就是说绳子所承受的最大拉力 μ 比 5 公斤增大了为检验该厂的结论是否真实, 从其新产品中随机抽取 5 件, 测得它们所承受的最大拉力的平均值为 58 公斤, 样本标准差 =5 公斤取显著性水平 = 问从这些样本看 : 能否接受厂方的结论解 : 问题归结为检验如下假设 H : μ =5; H : μ >5 ( 未知 ) 此处, = 5, μ = 5, X = 58, = 5, = 于是, X μ ~ t X μ = 58 5 = 8, / t -( ) = t 49() 449 7, 5 5 所以, X μ 从而, 拒绝原假设, 即认为新的原材料确实提高了绳子所能承受的最大拉力 ( 拒绝域 : X μ t- ) t ( ) 8 8 两个正态总体 N(μ, ) 和 N(μ, ) 均值的比较在应用上, 经常会遇到两个正态总体均值的比较问题例如比较甲乙两厂生产的某种产品例如 : 比较甲乙两厂生产的某种产品的质量将两厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体 N(μ, ) 和 N(μ, ) 比较它们的产品质量指标的问题, 就变为比较这两个正态总体的均值 μ 和 μ 的的问题 7

8 又如 : 考察一项新技术对提高产品质量是否有效将新技术实施前后生产的产品质量指标分别看成正态总体 N(μ, ) 和 N(μ, ) 这时, 所考察的问题就归结为检验这两个正态总体的均值 μ 和 μ 是否相等的问题设 X, X,, X m 与 Y, Y,, Y 分别为抽自正态总体 N(μ, ) 和 N(μ, ) 的样本, 记 X 和 Y 和分别为 X, X,, X 分别为 Y, Y,, Y 考查如下检验假设 : m 的均值和方差 ; 的均值和方差 3 H : μ = μ ;H : μ μ (H : μ - μ = δ; H : μ - μ δ) 当和已知时, 根据 P4 定理一, 有 X Y ( μ μ) ~ N(, ) m Back to lide 37 当 H : μ = μ 为真时, X Y ~ N(, ), m P X Y z m / = 3 故, 拒绝域为 X Y 或 m X Y z / z / m Back to lide 37 3 在 = =, 未知情况下, 根据 P43 定理四, 有其中 ω ( X Y) ( μ μ) ~ ω m = ( m ) ( ) m t 当 H : μ =μ 为真时, 有 ( X Y) m ω m ~ t m, Back to lide 37 8

9 -6-8 从而 X Y P ω m 33 拒绝域为 X Y 或 m ω tm ( /) = t m ( /) X Y tm ( /) ω m 34 说明上面, 我们假定 = 当然, 这是个不得已而强加上去的条件, 因为如果不加此条件, 就无法使用简单易行的 t 检验在实用中, 只要我们有理由认为和相差不是太大, 往往就可使用上述方法通常是 : 如果方差比检验未被拒绝 ( 见下节 ), 就认为和相差不是太大 35 例 3: 假设有 A 和 B 两种药, 欲比较它们在服用小时后在血液中的含量是否一样对药品 A, 随机抽取 8 个病人服药, 服药小时后, 测得 8 个病人血液中药物浓度 ( 用适当的单位 ) 分别为 : 3, 4, 4, 6, 55, 5, 6, 76 对药品 B, 随机抽取 6 个病人服药, 服药小时后, 测得血液中药的浓度分别为 : 76, 4, 87, 49, 67, 8 假定这两组观测值抽自具有共同方差的两个正态总体, 在显著性水平 = 下, 检验病人血液中这两种药的浓度是否有显著不同? 36 解 : 问题就是从总体 N(μ, ) 和 N(μ, ) 中分别抽取样本 X, X,, X 8 和 Y, Y,,Y 6, 样本均值和样本方差分别为 : X Xi = i = = Xi X i=, ( m ) ( ) ω ( ) X = 5, = 3, Y = 66, =, = m = 8, = 6, = = 33 m 5 = X Y < tm ( /) ω m = 3 故, 接受原假设即, 认为病人血液中这两种药浓度无显著差异 9

10 单边检验 H : μ μ ; H : μ <μ 与的分析完全类似, 可以得到 : 和已知情况下, 当 H 为真时,X 所以拒绝域的形式为 : X Y k { 当为真拒绝 } = μ μ { } ( X Y) ( μ μ) 由于 P H H P X Y k P m μ { } μ X Y k ( X Y) ( μ μ) k ( μ μ ) = Pμ μ m m ( X Y) ( μ μ) k Pμ μ m m Y偏小 N(,) 38 { } 要使得 P X Y k μ μ 只需令 P ( X Y) ( μ μ) μ μ 由于 N(,), 可以取 m k = z k z = m m H 的拒绝域为 ( X Y) ( μ μ) k = m m X Y z m Back to lide 4 与未知, 但二者相等情况下,H 的拒绝域为 ( ) X Y t m ω m 39 3 单边检验 H : μ μ ; H : μ >μ 与的分析完全类似, 可以得到 : 和已知情况下,H 的拒绝域为 X Y z m Back to lide 4 与未知, 但二者相等情况下,H 的拒绝域为 ( ) X Y t m ω m 其中 ω = ( m ) ( ) m 4 83 成对数据的 t 检验两个正态总体与成对数据的区别两个正态总体假定来自这两个正态总体的两组样本, 是相互独立的成对数据两组样本可以是来自对同一个总体上的重复测量, 它们是成对出现的, 可以是相关的

11 例如 : 为了考察一种降血压药的效果, 测试了个高血压病人服药前后的血压分别为 X, X,, X 和 Y,Y,,Y 这里 (X i,y i ) 是第 i 个病人服药前和服药后的血压, 它们是相关的处理成对数据的思路因 (X i, Y i ) 是在同一人身上观测到的血压所以,X i -Y i 就消除了人的体质等诸方面的条件差异, 仅剩下降血压药的效果所以, 我们可以把 d i =X i -Y i,i=,,, 看成抽自正态总体 N(μ, ) 的样本其中 μ 就是降血压药的平均效果 4 一般的成对数据同样也是这样转变的从前面所学内容可以看出 : 其实就是作 H : μ = ; H : μ ; H : μ ; H : μ < ; H : μ ; H : μ > 方差未知情况下的检验记 d = d ( ) i = Xi Yi = X Y, i= i= d = i i= ( d d) 上述三种检验的拒绝域分别为 : d ( d / t ) ( /), d< ( d / t ) ( ) 和 d > ( / ) t ( ), ( 参见 P87,P89) d 43 例 4: 为了检验 A, B 两种测定铁矿石含铁量的方法是否有明显差异, 现用这两种方法测定了取自个不同铁矿的矿石标本的含铁量 (%), 结果列于表 8 中取 =5, 问这两种测定方法是否有显著差异? 44 解 : 将方法 A 和方法 B 的测定值分别记为 X, X,, X 和 Y, Y,, Y 因这个标本来自不同铁矿, 所以, X, X,, X 不能看成来自同一个总体的样本同理, Y, Y,, Y 也不能看成来自同一个总体的样本故, 用成对 t 检验记 d i =X i -Y i, i=,,, 容易算出 d = 67, d = 7 再由 =, = 5, t ( / ) =, 得 67 = d < ( / d ) t ( / ) = 68 对比 :H : μ = ; H : μ ; 的拒绝域为 d ( / ) t ( /) d

12 所以, 接受原假设, 即认为两种测定方法无显著性差异小结本讲首先介绍假设检验的基本概念 ; 然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题, 给出了检验的拒绝域及相关例题正态总体方差的检验 83 单个正态总体方差的 χ 检验设 X, X,, X 为来自总体 N(μ, ) 的样本, μ 和未知, 求下列假设的显著性水平为的检验 H : = ;H : 思路分析 : 利用样本方差是的一个无偏估计, 且 (-) / ~ χ - 的结论当原假设 H : = 成立时, 和应该比较接近, 即比值 / 应接近于所以, 这个比值过大或过小时, 应拒绝原假设 47 合理的做法是 : 找两个合适的界限 c 和 c, 当 c <(-) / < c 时, 接受 H ; 当 (-) / c 或 (-) / c 时, 拒绝 H 48 c 与 c 的确定由于当原假设 H : = 成立时, 有 ( ) / ~ χ, P χ ( ) = ( / ) χ ( / ) 故, H 的拒绝域为 ( ) ( ) χ 或 χ 上述检验法称为 χ 检验法

13 H : = ;H : > 同理, 当 H : = 成立时, 有, ( ) P χ 所以,H 的拒绝域为 ( ) χ ( ) = ( ) 此检验法也称 χ 检验法 3* H : ;H : > ( 同 ) 5 例 : 某公司生产的发动机部件的直径 ( 单位 : cm) 服从正态分布, 并称其标准差 =48 现随机抽取 5 个部件, 测得它们的直径为 3, 55, 36, 4, 44 取 =5, 问 : () 能否认为该公司生产的发动机部件的直径的标准差确实为 =? () 能否认为? 解 : () 的问题就是检验 H : = ; H : 其中,=5, =5, =48 5 经计算, 得 =778, 查 χ 分布表, 得算得 χ ( / ) = χ (5) = 43 4, χ ( / ) = χ (975) = 484 ( ) 故, 拒绝原假设 H, 即认为部件直径标准差不是 48 cm 4 (5 ) 778 = = 35 > () 的问题是检验 H : ; H : > 查 χ 分布表, 得而 χ ( ) = χ (5) = 9488, ( ) 4 = 35 > 9488 故, 拒绝原假设 H, 即认为部件的直径标准差超过了 48 cm 3

14 两正态总体方差比的 F 检验设 X, X,, X m 和 Y, Y,, Y 分别为抽自正态总体 N(μ, ) 和 N(μ, ) 的样本, 欲检验 H : = ;H : 该检验主要用于上节中实施两样本 t 检验之前, 讨论 = 的假设是否合理思路分析 : 因两总体 N(μ, ) 和 N(μ, ) 的样本方差和分别为和的无偏估计所以, 直观上讲, / 是 / 的一个好的估计当 H : = 成立时, / =, 作为 54 其估计, / 也应与相差不大当该值过分地大或过分地小时, 都应拒绝原假设成立合理的思路是 : 找两个界限 c 和 c, 当 c < / < c 时, 接受 H ; 当 / c, 或 / c 时, 拒绝 H 55 c 与 c 的确定根据定理 64, 有 ( m ) ( ) ~ χ, ~, 且二者独立 m χ 所以, ( m ) ( ) ( m ) = ( ) ~ F m, 特别地, 当 H : = 成立时, / ~F m-,- 从而, P, [ F m ( / ) F ( / ) ] (,, = m 所以, H 的拒绝域为 F ( / ) 或 F ( / ) m, m, 4

15 H : = ;H : > 同理, 当 H : = 成立时, 有 / ~F m-, -, P F, ( ) = m 所以,H 的拒绝域为 F, ( ) m 3 H : ;H : > 结论同以上检验都用到了 F 分布, 因此称上述检验为 F 检验 58 例 : 甲乙两厂生产同一种电阻, 现从甲乙两厂的产品中分别随机地抽取个和个样品, 测得它们的电阻值后, 计算出样本方差分别为 =4, =438 假设两厂生产的电阻的电阻的阻值分别服从正态分布 N(μ, ) 和 N(μ, ) 59 在显著性水平 = 下, 是否可接受 : (l) = ;() 解 :() 的问题是检验 H : = ;H : 其中,m=, =, =, =4, =438, / =3 利用第六章学过的 Fm, ( / ) = F ( / ), m 6 及 P388 的附表 6, 有 F m-, - (- /) = F, 9(95) = /[F 9, (5)] = /(9) = 34 因 / = 3 < 34, 所以, 无须再考虑 F m-, - (/) 的值, 就可得到拒绝 = 的结论 5

16 () 问题是检验 H : ;H : > 检验的拒绝域为 F ( ), 查 P388 的附表 6, 因查不到 F, 9 (), 改用 F, 9 () 和 F, 9 () 的平均值近似之, 得 F, 9 ()=[F, 9 ()F, 9 ()]/ [438]/ = 4 因 / = 3 < 4, 故接受 6

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$(Microsoft Word - 1012-2\256\325\260\310\267|\304\263\254\366\277\375.doc)$ 國立屏北高級中學 101 學年度第 2 學期第 2 次校務會議紀錄壹會議名稱 :101 學年度第 2 學期第 2 次校務會議貳時間 :102 年 6 月 28 日 ( 星期五 ) 下午 13 時 10 分參地點 : 本校圖書館四樓視聽會議室肆出列席人員 : 詳如簽到簿伍主