概率论与数理统计

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藻冀
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1 概率论与数理统计主讲 : 杨明磊 mlyag@xidia.edu.c 雷达信号处理国家重点实验室课件网址 : ( 中文 ) ( 法文 )

2 课程安排分两学期完成前期中文课程法文 ( 集中两周 ) TD 课程 (10 次, 法文中文交叉进行 ) 总成绩 =75% 法方成绩 +25% 中方成绩教材 : 1. 概率论与数理统计 ( 第四版 ), 浙江大学盛骤等编, 高等教育出版社 2. Statistique ppliquée et Processus léatoires,luc 编

3 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性 ( 数量规律 ) 的一门学科. 主要包括两部分 : 概率论 :(1-4 章 ) 数理统计 :(5-8 章 )

4 第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章概率论的基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律和中心极限定理数理统计的基本概念参数估计假设检验

5 1 随机试验自然界与社会生活中的两类现象确定性现象不确定性现象确定性现象 : 一定条件下必然发生, 结果确定不确定性 ( 随机 ) 现象 : 条件不能完全确定结果, 可能出现也可能不出现例 : 向上抛出的物体会掉落到地上确定明天天气状况不确定买了彩票会中奖不确定投掷骰子会出现点数不确定

6 说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系, 其数量关系无法用函数加以描述. (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性, 概率论就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题什么是随机试验? 6

对随机现象的观察记录试验统称为随机试验它具有以下特性 : 1 2 3 可以在相同条件下重复进行每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能结果 ;

7 对随机现象的观察记录试验统称为随机试验它具有以下特性 : 可以在相同条件下重复进行每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能结果 ; 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生例 : 抛一枚硬币, 观察试验结果 ; 对某路公交车某停靠站登记下车人数 ; 抛一枚骰子, 观察出现的点数 ; 对听课人数进行一次登记 ;

8 实例抛掷一枚硬币, 观察正面反面出现的情况. 分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行 ; (2) 试验的所有可能结果 : 正面反面 ; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.

9 2 样本空间随机事件 ( 一 ) 样本空间定义 : 随机试验 E 的所有结果构成的集合称为 E 的样本空间, 记为 S={e}, 称 S 中的元素 e 为基本事件或样本点. 例 : 一枚硬币抛一次 S={ 正面, 反面 }; 记录一城市一日中发生交通事故次数 S={0,1,2, }; 记录某地一昼夜最高温度 x, 最低温度 y S={(x,y) T 0 y x T 1 }; 记录一批产品的寿命 x S={ x a x b }

10 ( 二 ) 随机事件一般我们称 S 的子集为 E 的随机事件, 当且仅当所包含的一个样本点发生称事件发生例 : 观察 916 路公交车西电站候车人数, S={0,1,2, }; 记 ={ 至少有 10 人候车 }={10,11,12, } S, 为随机事件, 可能发生, 也可能不发生如果将 S 亦视作事件, 则每次试验 S 总是发生, 故又称 S 为必然事件为方便起见, 记 Φ 为不可能事件,Φ 不包含任何样本点

11 实例抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 特别地 : 基本事件由一个样本点组成的单点集实例出现 1 点, 出现 2 点,, 出现 6 点. 必然事件随机试验中必然发生的事件. 实例上述试验中点数不大于 6 就是必然事件. 不可能事件随机试验中不可能发生的事件. 实例上述试验中点数大于 6 就是不可能事件.

12 ( 三 ) 事件的关系及运算事件的关系 ( 包含相等 ) 1 B: 事件发生一定导致 B发生 B S = B B B 例 : 记 ={ 明天天晴 },B={ 明天无雨 } B 记 ={ 至少有 5 人候车 },B={ 至少有 10 人候车 } B 一枚硬币抛两次,={ 第一次是正面 },B={ 至少有一次正面 } B

13 事件的运算 3 与 B 的和事件, 记为 B B { x x 或 xb }: 与 B至少有一发生 B S 4 与 B 的积事件, 记为 B, B, B B { x x 且 xb }: 与 B同时发生 B S i1 i1 :,, 至少有一发生 i 1 2 :,, 同时发生 i 1 2 当 B=Φ 时, 称事件与 B 不相容的, 或互斥的 S B

14 5 差事件 B { x x 且 xb } B B S S B S 的逆事件记为,, 若, 称, B互逆互斥 B S 例 : 设 ={ 甲来听课 },B={ 乙来听课 }, 则 : B { 甲乙至少有一人来 } { 甲乙都来 } B B B B B { 甲乙都不来 } { 甲乙至少有一人不来 }

15 事件的运算规律由集合的运算律, 易给出事件间的运算律. 设, B, C 为同一随机试验 E 中的事件, 则有 (1) 交换律 B B, B B ; (2) 结合律 ( B) C ( B C), ( B) C ( B C); (3) 分配律 ( B) C ( C) ( B C),

16 (4) 自反律 ; (5) 德摩根律 ( 对偶律 ) ( B) B, ( B) B. 注 : 上述各运算律可推广到有限个或可数个事件的情形

17 3 频率与概率一频率定义若在相同条件下进行次试验, 其中发生的次数为则称, f ( ) 为事件发生的频率. 显然 0 0 f () 1;

18 例 : 抛硬币出现的正面的频率表 1 试验序号 =5 =50 =500 H f (H) H f (H) H f (H)

19 表 2 实验者 H f (H) 德摩根蒲丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊 f () 的增大 1 2.

20 ** 频率的性质 : 1 0 f ( ) 1 2 f ( S) 1 3 若 1, 2,, 两两互不相容, 则 f ( ) f ( ) k i i i1 i1 k k 且随的增大渐趋稳定, 记稳定值为 p. f ( )

21 二概率的公理化定义在学习几何和代数时, 我们已经知道公理是数学体系的基础. 数学上所说的公理, 就是一些不加证明而公认的前提, 然后以此为基础, 推演出所讨论对象的进一步的内容.

22 1933 年, 前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义. 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单, 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦. 下面介绍用公理给出的概率定义.

23 定义 : 设 E 是随机试验, S 是它的样本空间, 对于 E 的每一件事件赋予一个实数, 记为 P(), 若 P() 满足下列三个条件 : 1. 非负性 : 对每一个事件, 有 P( ) 0; 2. 规范性 : P(S) 1; 3. 可列可加性 : 对任意可数个两两互不相容的事件,, 2,,, 有 1 P(1 2 ) P(1) P(2) P( ) 则称 P() 为事件的概率.

24 2. 概率的性质 (1) P()=0. 注反之不然. (2) ( 有限可加性 ) 若 1, 2,, 是两两互不相容的事件, 则 P ) P( ) P( ) P( ) ( (3) 设, B 是两个事件, 若 B, 则有 P(B)=P(B)P() ; P(B) P(). 推论 : ( 减法公式 ) 对任意事件, B 有 P(B )=P(B)P(B). (4) 对于任一事件, 有 P() 1. (5) ( 逆事件的概率 ) 对任一事件, P( ) 1 P( ) (6) ( 加法公式 ) 对于任意两事件,B 有 P( B )=P()+P(B)-P(B)

25 性质证明 : 3 若 B, 则有 P( B ) P( B) P( ); 且 P( B) P( ) B ( B ) P( B) P( ) P( B ) P( B) P( ) P( B ) 0 P( B) P( ) 6 概率的加法公式 : P( B) P( ) P( B) P( B) 又 B ( B B) P( B) P( ) P( B B) B B, 由 2 知 P( B B) P( B) P( B) P( B) P( ) P( B) P( B)

26 推论 1: 设 1, 2, 3 为任意三个事件, 则有 : P( )=P( 1 )+P( 2 )+P( 3 )P( 1 2 ) P( 1 3 )P( 2 3 )+P( ) 推论 2: 对于任意个事件 1, 2,, 则有 : j i j i i i P P 1 1 ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( k j i k j i P P P( 1 2 )=

27 小游戏 -- 寻找有缘人将自己的生日发到班级群中, 寻找与自己生日相同的同学

28 1.4 等可能概型 ( 古典概型 ) 1. 定义 : 设 E 是试验,S 是 E 的样本空间, 若 (1) 试验的样本空间的元素只有有限个 ; (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同. 这种试验称为等可能概型或古典概型. 2. 古典概型中事件的概率的计算公式设试验 E 的样本空间 S={e 1,e 2,,e }, 且每个基本事件发生的可能性相同, 若包含 k 个基本事件, 即 { ei } { e } { } 1 i e 2 i k 1 2 k 则有 k P( ) j1 P({ e i j }) k (1 i i i ) 包含的基本事件数 S中基本事件的总数这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题

29 这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的基本计数原理

30 基本计数原理 1. 加法原理设完成一件事有 m 种方式, 第一种方式有 1 种方法, 第二种方式有 2 种方法, ; 第 m 种方式有 m 种方法, 无论通过哪种方法都可以完成这件事, 则完成这件事总共有 m 种方法. 30

31 31

32 2. 乘法原理基本计数原理设完成一件事有 m 个步骤, 第一个步骤有 1 种方法, 第二个步骤有 2 种方法,, ; 第 m 个步骤有 m 种方法, 则完成这件事共有 1 2 m 必须通过每一步骤, 才算完成这件事, 种不同的方法. 32

33 加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理, 它们不但可以直接解决不少具体问题, 同时也是推导下面常用排列组合公式的基础. 33

34 3. 排列组合的几个简单公式 (1) 排列 : 从个不同元素取 k 个 ( 1 k ) 的不同排列总数为 : k ( 1)( 2) ( k 1)! ( k)! k = 时称全排列 ( 1)( 2) 21! 34

35 4. 组合 : 从个不同元素取 k 个 (1 k ) 的不同组合总数为 : C k k! k! ( k)! k! k C 有时记作 k, 称为组合系数. 排列和组合的区别 : 顺序不同的排列视为不同的排列, 而组合与顺序无关. 35

36 例 1: 一袋中有 8 个球, 编号为 1-8, 其中 1-3 号为红球,4-8 号为黄球, 设摸到每一球的可能性相等, 从中随机摸一球, 记 ={ 摸到红球 }, 求 P(). 解 : S={1,2,,8},={1,2,3} P 3 8

37 例 2 一袋中有 10 只球, 其中 4 个红球, 6 个白球, 从袋中取 3 次, 每次取一只. 按两种取法 : (a) 放回抽样 ; (b) 不放回抽样取球, 求 (1) 取到的 3 个球都是白球的概率 ; (2) 取到的 3 个球中有 2 个红球,1 个白球的概率. 解 (a) 放回抽样 P( ) P( ) =0.216 (b) 不放回抽样 =0.167 P( B) C P( B) C = =0.3

38 例 3 设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的, 任意选取个人 (<365), 求至少有两人生日相同的概率. 解每个人取 365 天中的一天作生日, 基本事件总数为. 设 = 至少有两人生日相同, 而个人的生日各不相同的种数为 : 所以 P () 经计算可得 : ( ) 于是 365 P( ) P = 个人的生日各不相同 365 ( 365) 将只球随机地放入 N(N) 个盒子中去, 试求每个盒子至多有一只球的概率 p N( N 1) ( N 1) = N N N 上表说明 : 当很大时, 个人的生日各不相同的概率很小.

39 例 4 在一批个产品中, 有 m 个次品, 从这批产品中任取 k 个产品, 求其恰有 l 个 ( l m) 次品的概率. 解 : 从个产品中任取 k 个产品, 共有种取法. C k 故基本事件总数为. k C 设 = 取出 k 个产品中恰有 l 个次品若事件发生, 即从 m 个次品中取 l 个次品, 从 -m 个正品中取 k-l 个正品, 故事件所包含的基本事件数为 C l m C kl m C l m C C kl m k 所以 P() = --- 超几何分布公式

40 例 5 在 1~2000 的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的概率是多少? 解 : 设为事件取到的数能被 6 整除, B 为事件取到的数能被 8 整除, 则所求概率为 P( B) P( B) 1 P( B) P( B) P( ) P( B) P( B) 2000 由于 , 故得 P( ) 由于 , 故得 P( B) 2000 又由于一个数同时能被 6 与 8 整除, 就相当于能被 24 整除, 因此, 由于是所求概率为 84 得 P( B) P 1{ }

41 例 6: 某接待站在某一周曾接待 12 次来访, 已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的, 问是否可以推断接待时间是有规定的? 解 : 假设接待站的接待时间没有规定, 而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的, 那么,12 次接待来访者都是在周二周四的概率为 P=2 12 /7 12 = 人们在长期的实践中总结得到概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的 ( 称之为实际推断原理 ) 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了, 因此有理由怀疑假设的正确性, 从而推断接待站不是每天都接待来访者, 即认为其接待时间是有规定的

42 1.5 条件概率引例 : 将 1 枚硬币抛掷两次, 观察其出现正反面情况记 ={ 至少有一次为 H( 正面 )},B={ 两次抛出同一面 } 求已知已经发生条件下 B 发生的概率解 :S={HH, HT, TH, TT}, ={HH, HT, TH}, B={HH,TT} 则已经发生条件下 B 发生的概率 ( 记为 P(B )) 是 P(B )=1/3. 注意 :P(B)=2/4 P(B ) P()=3/4, P(B)=1/4, 故 : P(B )=P(B)/P() B S

43 1. 定义 : 设,B 是两个随机事件, 且 P()>0, 称 P( B ) P( B) P( ) 为事件发生的条件下事件 B 发生的条件概率. 2. 性质 : 条件概率 P( ) 满足概率的三个基本属性 : (1) 非负性 : 对于任一事件 B, 有 P(B )0 (2) 规范性 :P(S )=1 (3) 可列可加性 : 设 B 1, B 2, 是两两不相容的事件, 则有 P( B i1 i ) i1 P( B i ) 由于条件概率符合概率定义的三个条件, 所以前面所证明的一些概率性质对于条件概率也同样适用.

44 例如 : 对于任意事件 B 1, B 2, 有 : P(B 1 B 2 )= P(B 1 )+ P(B 2 )-P(B 1 B 2 ) 对于任意事件 B, 有 : P(B )=1-P(B )

45 例 2 一袋中装有 10 个球, 其中 3 个黑球,7 个白球, 先后两次从袋中各取一球 ( 不放回 ). (1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率 ; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率. 解记 1 = 第一次取出的是黑球, 2 = 第二次取出的是黑球, (1) 由题意直接可得 2 P( ) 或利用公式 : ( ) P P( 1 ) P( 1 12 ) P( ) P( 1) (2) P ) P( ) P( ) P( ) ( P( 1 2 ) P( 1 2 ) P( )

46 二乘法定理定理 ( 乘法定理 ) 对于任意的事件, B, 若 P()>0, 则 P(B)=P()P(B ) 乘法公式或 P(B)=P(B)P( B) (P(B)>0) [ 注 ] 乘法公式可以推广到多个事件的情形 : 1 设,B,C 为事件, 且 P(B)>0, 则有 P(BC)=P() P(B )P(C B) 2 设 1, 2, 为个事件, 且 P( )>0, P( 1 2 ) P( 1 ) P( 2 1 ) P( ) P( 1 2 1)

47 [ 注 ] 在某些问题中, 条件概率是已知的或者是比较容易求得的, 在这种情况下, 就可以利用乘法公式来计算积事件的概率. 例 3 今有 3 个布袋, 2 个红袋, 1 个绿袋. 在 2 个红袋中各装 60 个红球和 40 个绿球, 在绿袋中装了 30 红球和 50 个绿球, 现任取 1 袋, 从中任取 1 球, 问是红袋中红球的概率为多少? 解设 = 取到红袋, B= 取到红球, 所求概率 P(B). 显然,P()=2/3, P(B )=60/100=3/5, 由乘法公式 P(B)=P()P(B )= (2/3) (3/5)= 2/5.

48 例 4 设袋中装有 r 只红球,t 只白球. 每次自袋中任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四次, 试求第一二次取到红球且第三四次取到白球的概率. 解 : 记 i = 第 i 次取到红球,i=1,2,3,4, 则 i = 第 i 次取到白球,i=1,2,3,4, 所求概率为 P( ) P( ) P( 1 ) P( 2 1 ) P( ) P( ) r r t r r a t a r t t a t 2a r t 3a

49 例 5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为 1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为 7/10, 第三次落下打破的概率为 9/10, 试求透镜落下三次而未打破的概率. 解 : 设 i = 透镜第 i 次落下打破,i=1,2,3,4, B= 透镜落下三次而未打破. 因为 B 故有 1 23 P( B) P( ) P( 1 ) P( 2 1 ) P( )

50 三全概率公式与 Bayes 公式定义 : 设 S 为试验 E 的样本空间,B 1,B 2,,B 为 E 的一组事件若 : ( i) B1 B2 B S ( ii) B B, i j, i, j 1,2,, i j 则称 B 1,B 2,,B 为 S 的一个划分, 或称为一组完备事件组 B1 B2 B S 即 :B1,B2,,B 至少有一发生是必然的, 两两同时发生又是不可能的

51 定理 : 设试验 E 的样本空间为 S, 为 E 的事件 B 1, B 2,, B 为 S 的一个划分,P(B i )>0,i=1, 2,, ; 则 P( ) P( B ) P( B ) j1 j j 为全概率公式 B1 B2 B 特别地,=2 S 证明 : B 与 B S B1 B2 B j1 P( ) P( B ) j i 不相容 j1 j i j P( B ) P( B ) j j P( ) P( B) P( B) P( B) P( B)

52 2. 贝叶斯公式定理设试验 E 的样本空间为 S, 为 E 的事件, B 1,B 2, B 为样本空间 S 的一个划分, 且 P()>0,P(B i )>0 (i=1,2,,), 则 P( B i ) j1 P( B i P( B ) P( B j ) P( B [ 注 ] 全概率公式是概率论的一个基本公式. 直接计算 P() 不易时, 可构造一完备事件组 B 1, B, 利用这个公式来计算 P(). 贝叶斯公式给出的是, 一事件已经发生, 要考察引发该事件发生的各种原因的可能性的大小. i ) j ), i 1,2,, ---- 贝叶斯公式

53 例 9 甲胎免疫蛋白检测法 (FP) 被普遍用于肝癌的早期诊断和普查. 已知肝癌患者经 FP 诊断为肝癌的概率为 95%, 而未患肝癌通过 FP 被诊断为肝癌的概率为 2%, 在人群中肝癌的发病率一般为 0.4%, 现有一人经诊断为患肝癌, 求此人确实患肝癌的概率. 解 : 设 B= 此人患肝癌, = 经诊断为患肝癌 P( B) 0.004, P( B) 先验概率由贝叶斯公式得后验概率 P( B) 0.95, P( B) 0.02 P( B ) P( B) P( B) P( B) P( ) P( B) P( B) P( B) P( B)

54 称 P( B i ), i=1,2,3, 为先验概率, 它是在没有进一步信息 ( 不知道事件是否发生 ) 的情况下诸事件发生的概率, 往往可由以往的经验得到, 它是事件的原因. 称 P( B i ), i=1,2,3, 为后验概率, 它当得到了信息 ( 知道发生 ), 再对导致发生的原因发生的可能性大小重新加以修正.

55 1.6 独立性一般来讲, 条件概率 P(B ) 与概率 P(B) 是不等的, 即事件,B 中某个事件发生对另一个事件发生是有影响的. 但在许多实际问题中常会遇到两个事件中任何一个发生都不会对另一个事件发生的概率产生影响, 此时 P(B)= P(B ) 定义 1 设, B 是两事件, 如果 P(B)=P()P(B) 则称事件,B 为相互独立的随机事件. [ 注 ] 1 当 P(),P(B)>0 时, B 相互独立 P(B )=P(B),P( B)=P(); 2 两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念. 若 P()>0, P(B)>0, 则与 B 相互独立和与 B 互不相容不能同时成立.

56 定理若四对事件与 B 与 B 与 B 与 B 中有一对独立, 则另外三对也独立. ( 即这四对事件或者都独立, 或者都不独立 ). 证明仅证明与 B 独立时有与 B 独立, 由于 P(B)=P()-P(B) =P()-P()P(B) =P()[1-P(B)] =P()P(B) ( 与 B 独立 ) 上式说明与 B 相互独立. 在实际应用中, 对于事件的独立性, 我们往往不是根据定义来判断, 而是根据实际意义判断两事件是否独立, 利用事件的独立性解决实际问题.

57 定义 2 设 1, 2,..., 是个事件, 如果对于任意的 1i, j, 有 P( i j )= P( i )P( j ) 则称这个事件两两相互独立. 定义 3 都有如果对于任意的 k(k ), 及任意的 1i 1 <i 2 < <i k, P( i i 则称这个事件相互独立. 定义 4 i ) P( ) P( ) P( 1 2 k 1 2 k i 设, B, C 为三个事件, 如果 [ 注 ] 若个事件 P(B)= 1, P()P(B) 2,..., 相互独立, 则 (1) 1, 2... P(C)= 两两独立 P()P(C), 反之不然 ; (2) 1, 2... P(BC)= 中任意 k P(B)P(C) 个事件相互独立 ; (3) 1, 2... 中任意 P(BC)= m (1m) P()P(B)P(C) 个事件换成它们的对立事件, 则称事件所得的, B, 个事件仍相互独立 C.. i i )

58 定义 5 条件独立设,B,C 是三个事件, 如果 P(B C)=P( C)P(B C) 则称事件,B 在条件 C 下为相互独立的随机事件.

59 例 3 一个元件能正常工作的概率称为此元件的可靠性, 一个系统能正常工作的概率称为此系统的可靠性. 现有 6 个元件如图连接, 每个元件的可靠性为 p, 如果各元件能否正常工作是相互独立的, 求系统的可靠性. 解 : 设 i ={ 第 i 个元件正常工作 },i=1,2,3,4,5,6, ={ 系统正常工作 } = P()=P( ) =P( 1 2 )+P( 3 4 )+P( 5 6 )-P( ) -P( )- P( )+ P( ) =P( 1 )P( 2 )+P( 3 )P( 4 )+P( 5 )P( 6 )-P( 1 )P( 2 )P( 3 )P( 4 ) -P( 1 )P( 2 )P( 5 )P( 6 )-P( 3 )P( 4 )P( 5 )P( 6 )+ +P( 1 )P( 2 )P( 3 )P( 4 )P( 5 )P( 6 ) p 3p p

60 例 4 要验收一批 (100 件 ) 乐器验收方案如下 : 自该批乐器中随机地取 3 件测试 ( 设 3 件乐器的测试是相互独立的 ), 如果 3 件中至少有一件在测试中被认为音色不纯, 则这批乐器就被拒绝接. 设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为 0.95; 而一件音色纯的乐器经测试误认为不纯的概率为如果已知这 100 件乐器中恰有 4 件是音色不纯的. 试问这批乐器被接收的概率是多少? 解 : 设 i = 随机取 3 件乐器, 其中恰有 i 件音色不纯, i=0,1,2,3 则 0, 1, 2, 3 是的 S 的一个划分, = 这批乐器被接收, 本题是求 P(). C C C C C C P( ), P( ), P( ), P( ) P( ) C100 C100 C100 C P 1 P( ) (0.99), ( ) (0.99) 0.05, P( ) 0.99 (0.05), P( ) (0.05) P( i0 ) P( i i )

61 总结 : 1. 样本空间 2. 事件的关系 : B; B 事件的运算 : B; B; 3. 频率 : f S e 随机事件 S P S 0 P 1; 1 概率的定义 : 满足当 B 时, P B P P B 概率的性质 : 1 2 j1 1 P 1P 2 当 B时 P P B 3 P B= P P B P B P B P 4. 条件概率 : P B P B P P B 当 B, B,, B 为 S的一划分时, P( ) P( B ) P( B ), P( B ) 5. 事件独立性 j j i j1 P( B ) P( B ) i P( B ) P( B ) j i j

62 课后作业第一章习题 3, 8,10,19, 34

Microsoft PowerPoint - 第二讲.ppt [兼容模式]

Microsoft PowerPoint - 第二讲.ppt [兼容模式] 排列组合集合论随机事件事件间的关系与运算频率与概率 4 等可能概型 ( 古典概型 ) 等可能概型 ( 古典概型 ) 生活中有这样一类试验, 它们的共同特点是 : 样本空间的元素只有有限个 ; 每个基本事件发生的可能性相同比如 : 足球比赛中扔硬币挑边, 围棋比赛中猜先我们把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概率论早期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型设 S ={e 1, e,