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刹井
5 years ago
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1 第二节偶然中的必然概率主要内容 : 一概率的定义二条件概率三全概率公式和贝叶斯公式

2 一概率的定义 1. 概率的统计定义设 E 为随机试验,A 为随机事件, 对 E 在相同条件下重复进行次, 若 A 出现了 m 次, 则比值 F (A). m 称为 A 在次试验中出现的频率, 记为随着的变化而变化 F ( ) A 单独进行一次试验, 其结果难以预料, 但当多次重复这个试验时, 就会呈现某种规律性. m

3 例 1 将一枚均匀硬币掷次, 观察在次试验中正面向上这个事件 A 出现的可能性的大小, 两位学者的试验结果如下表 : 试验者投币次数正面向上次数 m 蒲丰 (Buffo) K. 皮尔逊 (K. Pearso) K. 皮尔逊 (K. Pearso) 当多次重复试验时, 就会呈现某种规律性. 频率 F (A) 在频率的稳定性 0.5附近徘徊

4 概率性质 (1) 对于任何事件 A, P( A) 0; 非负性 (2) 对于样本空间, P( ) 1; 规范性 (3) P( Ai ) P( Ai ), Ai 互不相容. i 1 i 1 可加性样本空间, 即必然事件的概率为 1. A A, 1 i j i j

5 概率的统计定义在大量重复试验下, 设试验次数为, 事件 A m 出现的次数为 m, 如果 A出现的频率总是在某个常数 p附近摆动, 则称 p为事件 A的统计概率, 记为 P( A) p. 该定义的优点 : 直观易懂 ; 缺点 : 粗糙, 模糊. 事先要做大量重复试验不便使用寻求新的解决方法古典概率.

6 2. 概率的古典定义例 2 课上从班 40名学生中随机点名, 每 1 位同学被点到名的概率为多少? 提示与分析 : 样本空间中有 40 个 ( 学生 ) 样本点, 每个学生被点名的机会相同. 解被点到名记为事件 A. P( A)

7 该试验有两个特点 : (1) 每次试验有有限多个样本点, 即样本空间由有限多个样本点构成. 有限性 (2) 每次试验, 每个样本点出现的可能性相同. 等可能性我们称具有以上两个特点的试验为古典概型. 古典概型在我们生活中经常遇得到, 如从装有份考题的试卷袋中随机取一份进行测验 ; 买彩票能够中奖等.

8 古典概型的求法 : 定义设试验 E 为古典概型, 共有个样本点, 其中事件 A 包含 m个样本点. 则事件 A 的概率为 : P(A) = A 包含的样本点数样本点总数寻找试验 E 和事件 A 的样本点个数, 成为解题的关键. 该定义的优点 : 可计算, 计算简便 ; 缺点 : 对于样本点为无限时, 无法使用. 使用受到限制

9 例 3 在一场数学智力竞赛中, 试题袋中共有 10 道密封题, 其中有 4 道题为打 * 号者, 参赛者从袋中任抽 3 道题当场回答, 求恰好抽到 2 道打 * 号题目的概率. 提示与分析 : 求试验 E 和事件 A 的样本点个数. 解从 10道密封题中任抽 3道题为试验 E, 从 10 道密封题中任抽 3 道题, 恰有 2 道打 * 号, 记为事件 A. * * 试验样本点个数 : * * C CC P( A) 0.3. C 道密封题, 事件 A 中样本点个数 : 2 4 C C 1 6

10 根据概率的古典定义, 也很容易得到如下性质 : (1) 对于任何事件 A, P( A) 0; 非负性 m= 非负实数 (2) 对于样本空间, P( ) 1; 规范性 (3) P( Ai ) P( Ai ), Ai 互不相容. i 1 i 1 可加性样本点不重合的多个事件的概率, 等于每个事件概率之和.

11 3. 概率的公理化定义当样本点为无限时, 概率的古典定义无法处理. 这样大大局限了概率的使用范围. 20 世纪初, 随着公理化的方法在数学上的广泛应用, 概率的公理化定义最终确定, 即柯尔莫哥洛夫给出的公理. 它就是我们上面所提到的 3 个性质, 最终在此基础上建立起了现代的概率论.

12 样本空间, 即必然事件的概率为 1. 概率的公理化定义 (1) 对于任何事件 A, P( A) 0; 非负性 (2) 对于样本空间, P( ) 1; 规范性 (3) P( Ai ) P( Ai ), Ai 互不相容. i 1 i 1 可加性 A A, 1 i j 该定义的优点 : i j 可计算, 计算简便 ; 不受样本点个数的局限. 概率的统计定义, 古典概型的定义都满足公理化定义.

13 A 的样本点个数不少于 B 非负性 A ( A B ) A B A 概率的常用性质 : 性质 1 P( ) 0; 最小性不可能事件的样本点个数为 0 性质 2 若 A B, 则 P( A) P( B); 单调性性质 3 0 PA ( ) 1; 有界性减法公式性质 4 P( A B) P( AB) P( A) P( AB); 性质 5 P( A) 1 P( A); 逆事件公式性质 6 P( A B) P( A) P( B) P( AB). AB 加法公式 A AB B P ( A B ) P ( A ) P ( B )

14 P( F) 例 4 若在零存整取有奖储蓄活动中, 每 1000 张奖券中有头等奖一张 ( 奖金 500 元 ); 二等 1 奖 10 张 ( 每张奖金 100 元 ); 三等奖 50 张 ( 每张奖金 20 元 ); 末等奖 100 张 ( 每张奖金元 ). 求某人买一张奖券没有得奖的概率提示与分析 : 样本点个数有限, 为古典概型样本点个数. 解设试验买 1000 张奖券肯定 E={1000 张奖券抽奖 }; 事件获头等奖吗 A ={ 买一张奖券得头等奖? }; B ={ 买一张奖券得二等奖是不是奖券买的少 }; C ={ 买一张奖券得三等奖得奖概率小呢 };? D ={ 买一张奖券得末等奖 }; 买一张奖券没有得奖的概率为 F={ 买一张奖券没中奖 }

15 二条件概率 1. 条件概率的概念在解决许多概率问题时, 往往需要在有某些附加信息 ( 条件 ) 下求事件的概率. 如父代的文化程度对子女文化程度会产生影响. 任意取一名大学生, 他的父代是大学生的概率是多少? 又如在股票交易中, 如果用 A 表示股票的发行量,B 表示股票价格指数, 则在已知股市价格指数的情况下, 对发行量是会产生影响的.

16 在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率, 称为条件概率. 记作 P(A B), 一般 P(A B) P(A). 如何求解呢? 条件概率亦即事件 A 的概率在事件 B 的概率中所占比例. 定义设 A B 为同一试验的两个事件, 且 P(B) > 0, 在事件 B 发生的条件下, 事件 A 发生的条件概率为 P ( AB ) P ( A B ). P( B)

17 例 5 某师范大学教育系一年级共有学生 100 人, 其中女生 80 人, 来自甲省的 40 人中, 有女生 35 人, 设事件 A 为从一年级学生中任抽一人为女生, 事件 B 为从一年级学生中任抽一人来自甲省, 求从来自甲省的学生中任抽一人为女生的概率. 解由题意我们可以得到如下表格所示信息 : P( A ) 从一年级学生中任抽一人为女生的概率 PB ( ) 从一年级学生中任抽一人来自甲省的概率 P( A B ) 从甲省中任抽一人为女生的概率

18 性别生源甲省非甲省合计男由表可得 : P( A ) P( A B ) 女合计 ; PB ( ) 0.4 ; 从一年级学生中任抽一人为女生的概率从一年级学生中任抽一人来自甲省的概率从甲省中任抽一人为女生的概率 P( A B) ; P( AB). PB ( ) 条件概率定义合理

19 2. 乘法公式条件概率的定义 P( A B) P( AB) PB ( ), 易得乘法公式 : P ( A B ) P ( A B ) P ( B ). 同理可得 P(A) > 0 时, 有 P ( A B ) P ( B A ) P ( A ).

20 例 6 某工厂有一批零件共 100 个, 其中有 10 个次品, 从这批零件中随机取两次, 每次取一件, 取后不放回, 求两次都取到正品的概率. 解设 A i 表示第 i 次取到正品, i = 1, 2, 则两次都取到正品的事件为 AA. 1 2 第 1 次取到正品由乘法公式得 : P( A 1 A 2 ) P( A 1 A 2 ) P( A 2 ), P( A A ) P( A A ) P( A ) P( A1 ) ; P( A2 A1) ; 或第 1 次取到正品的前提下, 第 2 次取到正品 P( A1 A2 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) 两次都取到正品的概率为不符合现实情况

21 例 7 两个学生依次从 10 道试题中各抽一题口试, 设抽到每道试题是等可能的. 如果第一个学生把抽到的试题放回去, 第二个学生再抽, 求两个学生都抽到试题 1 的概率. 解设 A i 表示第 i 个学生抽到试题 1, i = 1, 2 ; 则两个学生都抽到试题 1 的事件为 AA. 1 2 抽到试题放回, 不影响第二个学生抽题由乘法公式得 : P( A 1 A 2 ) P( A 2 A 1 ) P( A 1 ), 由已知得 : 1 1 P( A1 ) ; P( A2 A1) ; P( A1 A2 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) 两个事件独立 ( 两者之间的出现没有关系 ).

22 定义若 P(A B)=P(A), A) 则称 A 对 B 独立, 即 B 的发生不影响 A 发生的概率, 也称两事件相互独立. 若事件 A 对 B 独立, 则 B 对 A 也独立. P ( B A ) P ( B ) 由乘法公式得 P ( A B ) P ( A B ) P ( B ), P ( A B ) P ( A ) P ( B ), 类似的, 若个事件相互独立, 则 P ( A A A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) 也相互独立 P ( A B ) P ( B ) P ( A ). 若两事件 A B 独立, 则 A与 B, A与 B, A与 B

23 例 8 有三名射击队员彼此独立地向同一目标射击, 击中率为 0.9,0.8,0.7, 求目标被击中的概率. 解设 A i 表示第 i 人击中目标,i = 1, 2, 3 ; B 表示目标被击中, 则 B A A A, 由已知得所以 P( B) P( A ) 0.9 ; 1 对偶率 P( A2 ) 0.8 ; P( A3 ) 0.7 ; 1 PB ( ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A A A ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 [1 P( A )] [1 P( A )] [1 P( A )] A1, A2, A3 相互独立目标被击中的概率是

24 三全概率公式和贝叶斯公式 1. 全概率公式设 A ( i 1, 2,, ) 满足 A A, i j, ( i, j 1, 2,, ), 且 A, 则称 A ( i 1, 2,, ) 构成一个完备事件组. 对 i 1 i i j i =Ω 任一事件 B, 则有全概率公式 i P( B) P( Ai) P( B Ai). i 1 事实上, P( B) P( A B) 乘法公式 i 1 i 1 i P( Ai B) i 1 P( B Ai) P( Ai). Ω A 2 A 3 A 5 A A 1 4 加法公式

25 例 9 某厂有四个分厂生产同一种产品, 这四个分厂的产量分别占全厂总产量的 15%,20%,30%, 35%. 又知这四个分厂的次品率分别是 0.05,0.04, 0.03,0.02, 现从该厂产品中任取一件, 问恰好抽到次品的概率为多少? 解设 A i 表示任取一件为第 i 个分厂的产品,i = 1,2,3,4; B 表示任取一件为次品. 由已知得 P( B) P( A1 ) 0.15 ; P( A2 ) 0.2 ; P( A3 ) 0.3 ; P( A4 ) 0.35 ; P( B A1 ) 0.05 ; P( B A2 ) 0.04 ; P( B A3 ) 0.03 ; P( B A4 ) 0.02 ;

26 占全厂总产量的 15%,20%,30%,35% 由全概率公式得次品率为 0.05,0.04,0.03, P( B) P( Ai) P( B Ai) i 所以从该厂中任取一件产品, 恰好抽到次品的概率为 3.15%.

27 2. 贝叶斯公式在例 9 中, 若该厂规定, 出了次品要追究有关分厂的责任, 现在从生产的产品中任取一件发现为次品, 但该件产品生产标志已脱落, 不知道是哪个分厂生产的, 问哪个分厂可能性大, 即哪个分厂的责任比较大. 提示与分析 : 所求问题为在抽到次品的条件下, 产品为哪个分厂生产的概率 ( ) 大. P ( A B ) i

28 全概率公式所求问题为在抽到次品的条件下, 产品为哪个分厂生产的概率 ( ) 大. 如何求 P( A B)? 由条件概率公式得 : P( A B) 4 P( B) P( Aj) P( B Aj) j 1 i P ( A B ) i i P( A B) i PPB ( B) 所以 P( Ai) P( B Ai) P( Ai B). 4 P( A ) P( B A ) j 1 j j 贝叶斯公式

29 任取一件产品是第 4 分厂的概率如 : 次品是第 4 分厂生产的概率第 4 分厂出现次品的概率 P( A ) 4 4 P( A ) P( B A ) j P( A ) P( B A ) j j P( A ) P( B A ) 4 4 PB ( ) 任取一件产品为次品的概率

30 设 A ( i 1, 2,, ) 满足 A A, i j, ( i, j 1, 2,, ), 且 A Ω, 则称 A ( i 1, 2,, ) 构成一个完 i 1 A 2 A 3 A 5 A A Ω1 4 贝叶斯公式 i i j i i 备事件组. 且 P( A ) 0, 则对任一事件 B, 有 i P( Ai) P( B Ai) P( Ai B). P( A ) P( B A ) j 1 j j 贝叶斯公式

31 课后作业习题七 (p ) 1, 4, 6

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Microsoft Word - WQ.doc 第章随机事件和概率事件和概率是概率论中的两个基本概念在这部分内容中, 要熟记事件的关系和运算, 因为在今后的计算中, 经常将一些事件用另一些事件的运算来表示, 文氏图是帮助分析和理解事件运算的重要工具 ; 在计算事件的概率时, 要正确使用加法公式减法公式乘法公式全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式等, 在理解的基础上要记住这些公式并会分析实际问题考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算