蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)

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美郁
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1 Monte Carlo 模拟 1. 引言 (introduction) 2. 均匀随机数的产生 (Random number generation) 3. 任意分布的随机变量的抽样 4. Monte Carlo 积分法 5. 常用 Monte Carlo 模拟软件的使用 1

2 Monte Carlo 模拟第一章引言 (Introduction) 1. Monte Carlo 方法 2. Monte Carlo 方法简史 3. Monte Carlo 模拟的应用 4. Monte Carlo 算法的主要组成部分 2

3 1.Monte Carlo 方法 Monte Carlo 方法 : 亦称统计模拟方法 (statistical simulation method) 一种采用统计抽样理论近似地求解物理或数学问题的方法 3

4 1.Monte Carlo 方法基本思想 : 1. 建立与待解问题相似或相关联的概率模型或概率过程, 利用这种相似性把概率模型的某些特征量与待求解问题的解联系起来 : 概率模型 : 待求解问题的解 : 随机事件的概率随机变量的数学期望值定积分的值微分方程的解 2. 对概率模型进行随机模拟或统计抽样, 用所得样本得到这些特征量的估计值问题的近似解 4

5 Monte Carlo 模拟第一章引言 (Introduction) 1. Monte Carlo 方法 2. Monte Carlo 方法简史 3. Monte Carlo 模拟的应用 4. Monte Carlo 算法的主要组成部分 5

6 2.Monte Carlo 方法简史 Buffon 投针实验 1768 年, 法国数学家 Comte de Buffon 利用投针实验估计的值 L d p 2L d 6

7 Problem of Buffon s needle: 2.Monte Carlo 方法简史 If a needle of length l is dropped at random on the middle of a horizontal surface ruled with parallel lines a distance d > l apart, what is the probability that the needle will cross one of the lines? 7

8 Solution: 2.Monte Carlo 方法简史 The positioning of the needle relative to nearby lines can be described with a random vector which has components: A [0, d) [0, ) The random vector is uniformly distributed on the region [0,d) [0, ). Accordingly, it has probability density function 1/d. The probability that the needle will cross one of the lines is given by the integral p 0 lsin 0 1 dad d 8 2l d

9 2.Monte Carlo 方法简史 Enrico Fermi 1930 年, 利用 Monte Carlo 方法研究中子的扩散并设计了一个 Monte Carlo 机械装置,Fermiac, 用于计算核反应堆的临界状态 9

10 2.Monte Carlo 方法简史 Stanislaw Ulam ( ) S. Ulam is credited as the inventor of Monte Carlo method in 1940s, which solves mathematical problems using statistical sampling. 10

2.Monte Carlo 方法简史 Nicholas Metropolis (1915-1999) The algorithm by Metropolis (and A Rosenbluth, M Rosenbluth, A Teller and E Teller, 1953) has been

11 2.Monte Carlo 方法简史 Nicholas Metropolis ( ) The algorithm by Metropolis (and A Rosenbluth, M Rosenbluth, A Teller and E Teller, 1953) has been cited as among the top 10 algorithms having the "greatest influence on the development and practice of science and engineering in the 20th century." 11

12 2.Monte Carlo 方法简史 The Name of the Game Metropolis coined the name Monte Carlo, from its gambling Casino. Monte-Carlo, Monaco 12

13 Monte Carlo 模拟第一章引言 (Introduction) 1. Monte Carlo 方法 2. Monte Carlo 方法简史 3. Monte Carlo 模拟的应用 4. Monte Carlo 算法的主要组成部分 13

14 3.Monte Carlo 模拟的应用 Monte Carlo 模拟的应用 : 自然现象的模拟 : 宇宙射线在地球大气中的传输过程 ; 高能物理实验中的核相互作用过程 ; 实验探测器的模拟数值分析 : 利用 Monte Carlo 方法求积分 14

15 3.Monte Carlo 模拟的应用 Monte Carlo 模拟在物理研究中的作用 15

16 注意以下两点 : 3.Monte Carlo 模拟的应用 Monte Carlo 方法与数值解法的不同 : Monte Carlo 方法利用随机抽样的方法来求解物理问题 ; 数值解法 : 从一个物理系统的数学模型出发, 通过求解一系列的微分方程来的导出系统的未知状态 ; Monte Carlo 方法并非只能用来解决包含随机的过程的问题 : 许多利用 Monte Carlo 方法进行求解的问题中并不包含随机过程例如 : 用 Monte Carlo 方法计算定积分. 对这样的问题可将其转换成相关的随机过程, 然后用 Monte Carlo 方法进行求解 16

17 Monte Carlo 模拟第一章引言 (Introduction) 1. Monte Carlo 方法 2. Monte Carlo 方法简史 3. Monte Carlo 模拟的应用 4. Monte Carlo 算法的主要组成部分 17

18 4.Monte Carlo 算法的主要组成部分 Monte Carlo 模拟的步骤 : 1. 根据欲研究的物理系统的性质, 建立能够描述该系统特性的理论模型, 导出该模型的某些特征量的概率密度函数 ; 2. 从概率密度函数出发进行随机抽样, 得到特征量的一些模拟结果 ; 3. 对模拟结果进行分析总结, 预言物理系统的某些特性 18

19 4.Monte Carlo 算法的主要组成部分 Monte Carlo 算法的主要组成部分概率密度函数 (pdf) 必须给出描述一个物理系统的一组概率密度函数 ; 随机数产生器能够产生在区间 [0,1] 上均匀分布的随机数抽样规则如何从在区间 [0,1] 上均匀分布的随机数出发, 随机抽取服从给定的 pdf 的随机变量 ; 模拟结果记录记录一些感兴趣的量的模拟结果 19

20 误差估计 4.Monte Carlo 算法的主要组成部分必须确定统计误差 ( 或方差 ) 随模拟次数以及其它一些量的变化 ; 减少方差的技术利用该技术可减少模拟过程中计算的次数 ; 并行和矢量化可以在先进的并行计算机上运行的有效算法 20

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