§1.5 条件概率

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俗擎羊
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1 概率论与数理统计主讲教师 : 朱丽娜讲师研究方向 : 智能交通, 车联网与智能驾驶电子邮件 :lzhu@xidia.edu.c 个人主页 :

2 第一章概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间随机事件 1.3 频率与概率 1.4 等可能概型 ( 古典概型 ) 1.5 条件概率 1.6 独立性 2/21

3 1.5 条件概率 ( 二 ) 乘法定理 ( 条件概率的推论 ) 乘法定理 : 设 >0, 则有 A=B 推广到三个事件的情况 : 设有 A,B,C 三个事件, 且 A>0, 于是 : ABC)=B C A 注意 : 如果 A>0, 则必有 >0 及 >0 推广到更多个的情况设 A 1, A 2,, A 为个事件,2, 且 A 1 A 2 A -1 )>0, 则有 A 1 A 2 A )=A A 1 A 2 A -1 )A -1 A 1 A 2 A -2 ) A 2 A 1 )A 1 ) 乘法定理解决积事件的概率问题, 可借助排列组合中的乘法定理来理解概率中的乘法定理乘法定理主要解决那些一项任务分多个步骤的情况, 把每个步骤的概率相乘就得到完成该事件的概率 3/21

4 1.5 条件概率例 3: 袋中装有 r 只红球 t 只白球, 每次从袋中任取一只观察颜色后放回, 再放入 a 只与所取球同色的球若连续取球四次, 求第一二次取到红球且第三四次取到白球的概率解 : 设 A 1, A 2, A 3, A 4 分别为每次取到红球的事件取球时 : 有次序, 放回抽样, 有添加则要求的概率是一个积事件的概率 A A A ) A4 而依据取球的顺序及有添加的情况, 按乘法公式从 A 1 开始展开 A1 A2 A3 A4 )=A 1 )A 2 A 1 ) ) ) r r a t t a = r t r t a r t 2a r t 3a 显然, 按以上展开顺序, 每一个条件概率均可容易求出 4/21

5 1.5 条件概率例 4: 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为 1/2, 若第一次落下未打破而第二次落下打破的概率为 7/10, 若前两次落下未打破而第三次落下打破的概率为 9/10, 试求透镜三次落下而未打破的概率解 : 首先分析一下所求的问题设事件 A: 第一次落下打破 ; 事件 B: 第二次落下打破 ; 事件 C: 第三次落下打破则所求的概率为 ABC ) 题设条件为 =1/2, B A )=7/10, C AB )=9/10 用乘法定理 ABC ) B C A =3/200 ( 1 (1 B (1 C A) 也可以先求 D A AB ABC 由于这三次打破是两两互不相容的事件, 因此根据有限可加性 D) A ABC) 进而由乘法定理展开可得结果 5/21

6 1.5 条件概率 ( 三 ) 全概率公式和贝叶斯公式 (1) 全概率公式 : 对应排列组合中的加法, 完成一项任务有多种可能的并行情况, 这些情况的数目的和就是完成该任务的所有可能情况对样本空间适当分解的思想, 有利于解决稍微复杂一点的概率问题首先看一下关于划分的概念定义 : 设 S 为试验 E 的样本空间,B 1,B 2,,B 为 E 的一组事件若 (i) B i B j =Φ,i j,i,j=1,2,,; (ii) B 1 B 2 B =S 则称 B 1,B 2,,B 为 S 的一个划分每次试验, 事件 B 1,B 2,,B 中有且仅有一个发生例 :S={1,2,3,4,5,6} 则划分正确的是 B1 S B 1 ={1,2,3} B 2 ={4,5} B 3 ={6} B 1 ={1,2,3} B 2 ={3,4} B 3 ={5,6} B2 B 6/21

7 1.5 条件概率全概率公式 : 设 E 的样本空间为 S,A 为 E 的事件,B 1,B 2,,B 为 S 的一个划分, 且 B i )>0(i=1,2,,), 则 =A B 1 )B 1 )+ + A B )B )= 证 :=AS)= A(B 1 B 2 B )) A Bi ) Bi ) 由分配率 =AB 1 AB 2 AB ) 而对任意的 i j,i,j=1,2,,, 有 (AB i )(AB j )= AB i B j =Φ 由有限可加性 =AB 1 )+AB 2 )+ + AB ) 又 B i )>0, 由乘法定理上式展开得 i1 =A B 1 ) B 1 )+A B 2 ) B 2 )+ + A B ) B ) 在全概率公式中要注意一下几点 : 1) 条件 B i )>0, 划分不能是空集 2) B 1,B 2,,B 正好覆盖 S 中的所有元素 B 1 A S B 3) 在应用上, 那些不便直接求某一事件的概 B 2 率时, 先找到一个合适的划分, 再用全概率公式计算 7/21

8 1.5 条件概率 2. 贝叶斯 (Bayes) 公式 ( 计算后验概率问题 ) 事件 A 的发生,iff 构成 S 划分的事件 B 1,B 2,,B 中的一个发生时才发生, 一般在实验之前仅知道 B i 的先验概率, 那么如果试验后事件 A 已经发生了,B i 发生的概率又是多少呢? 这种问题我们称他为后验概率问题, 有利于我们查找事件发生的原因解决此类问题可采用贝叶斯 (Bayes) 公式贝叶斯 (Bayes) 公式设 E 的样本空间为 S,A 为 E 的事件, B 1,B 2,,B 为 S 的一个划分, 且 >0,B i )>0(i=1,2,,), 则 A B ) B ) i i B i =,i=1,2,, i1 A B ) B ) i i 证 : 由条件概率公式 B i =B i /, 再用乘法定理和全概率公式对分子分母展开即得所求 B i ) 是以往的数据分析得到的, 称为先验概率 B i 是得到信息之后再重新加以修正的概率, 叫做后验概率 8/21

9 1.5 条件概率例 6: 对以往数据分析结果表明 : 当机器调整良好时, 产品合格率为 98% 当机器发生某一故障时, 产品合格率为 55% 每天早上机器开动时, 调整良好的概率为 95% 试求 : 已知某日早上第一件产品是合格产品时, 机器调整得良好的概率? 解 : 设事件 A: 产品合格事件 B: 机器调整良好 ; : 机器出现故障由题意 :=95%, )=5% A =98%,A =55% A B = =0.97 A A B B 注意 :=95% 是以往的数据分析得到的, 称为先验概率 B =0.97 是得到信息 ( 第一件产品是合格品 ) 之后再重新加以修正的概率, 叫做后验概率通过后验概率可以进一步了解机器的情况 9/21

10 1.5 条件概率例 : 习题 38 袋中装有 m 只正品硬币, 只次品硬币, 次品硬币系指两面均印有国徽在袋中任取一只, 将它投掷 r 次, 已知每次都得到国徽, 问这只硬币是正品的概率是多少? 解 : 由题述这是典型的采用贝叶斯公式的题目设 : 事件 A: 取到的是正品 ; 事件 : 取到的是次品 B 为 r 次投掷得到国徽 ; 求 A B A = B B m,,b =1,B =(1/2) r m m m 带入得 A = r m 2 A 10/21

11 1.6 独立性在条件概率 B 中, 一般情况下, 事件 A 的发生对事件 B 的发生是有影响的, 即在很多情况下 B, 在有些情况下, 这种影响是不存在的即 B = 这时 A= B = 这样的情况用独立性这一概念来描述定义设 A,B 是两事件, 如果具有等式 A= 则称事件 A,B 相互独立, 简称 A,B 独立事实上, 由对称性知, 两次抛币是互不干涉的, 因此甲是否正面和乙是否正面互不影响例 1: 设试验 E 为抛甲乙两枚硬币, 观察正反面出现的情况设事件 A: 甲币出现正面 ; 事件 B: 乙币出现正面看一下独立性分析 : S={HH,HT,TH,TT}; A={HH,HT } B={ HH,TH } =1/2 =1/2 A=1/4 B =1/2 =B A= 11/21

12 1.6 独立性独立性的相关性质 : 若 >0,>0, 则 A,B 相互独立与 A,B 互不相容不能同时成立因为如果互不相容则 0=A, 如果又满足相互独立则 A= >0 矛盾定理一设 A,B 是两事件, 且 >0, 若 A,B 相互独立, 则 B =, 反之亦然 ( 由定义可直接证得 ) 定理二若事件 A,B 相互独立, 则下列各对事件也相互独立 B A A A 与, 与 B, 与 B 证 :A=A(B =AB A B =AB A = A+A B ) A B )= -A=-=(1-)= ) A 与相互独立又 B A A (1 A ) (1 A与 B 也相互独立 B 12/21

13 1.6 独立性推广 : 三个事件的情况定义 : 设 A,B,C 是三个事件, 如果满足等式 ABC) C), 则称事件 A,B,C 相互独立注意 : 仅满足前三个等式的三个事件称为两两相互独立见习题 33 当然, 如果事件 A,B,C 相互独立则 A, B, C; A, B, C;... ; A, B, C 也相互独立推广到多个事件 A, BC) C), AC) C), 一般的, 设 A 1, A 2,, A 为个事件,2, 如果对于其中的任意两个, 任意 3 个,, 任意个事件的积事件的概率, 都等于各事件概率之积, 则称事件 A 1, A 2,, A 相互独立包含的等式的个数 : C 2 C 3 C (1 1) C 1 C 在实际应用中, 对于事件的独立性常常根据事件的实际意义来判断, 如果两个事件关联很弱也可以看作是独立的由定义可以得到以下两点推论 : 1. 若事件 A 1, A 2,, A 相互独立,2, 则其中任意 k(2k) 个事件也是相互独立的 2. 若个事件 A 1, A 2,, A (2) 相互独立, 则将 A 1, A 2,, A 中任意多个事件换成 13/21 他们的对立事件, 所得的个事件仍相互独立

14 1.6 独立性例 : 甲乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为 p, p1/2, 对甲而言, 采用三局两胜制有利, 还是采用五局三胜制有利? 设各局胜负相互独立 i 第局甲胜 i, 1,2,,5 解 : 设 A i P A p i 1 2 再设 A 甲胜三局二胜制 : P A P A A A A A A A A p p p p 五局三胜制 : 前三次有一次输前四次有两次输 P A P A A A A A p C p p C p p p 2 P P P P P p2 p1, 当 p p2 p1, p 当 14/21

15 本章小结 ( 一 ) 随机现象统计规律性随机试验 1. 相同条件下可重复进行 ; 2. 每次试验可能结果不止一个, 但可以预知所有可能结果 ; 3. 每次试验前不能预知哪一个结果出现样本空间 S ( 映射 ) ( 取值 ) 随机变量 X 总体 N ( 最基本的概念 ) ( 单值实值函数 ) ( 取自 X 的全部可能试验观察值 ) 随机事件 ( 子集,f,S, 基本事件 ) 随机事件 ( 子集 ) 部分个体 ( 简单随机样本 ) 概率空间 ( 样本空间 S, 事件域 F, 事件的概率 P) 事件间的关系和运算关系 : 包含, 相等, 和事件, 积事件, 差事件, 互不相容, 逆事件 ( 对立事件 ) 描述 : 元素考察法 ; 韦恩图法运算 : 交换律 ; 结合律 ; 分配律 ; 德摩根律 15/21

16 本章小结 ( 二 ) 频率的稳定值 ( 伯努利大数定律 ) 概率的公理化定义 1 非负性 ;2 规范性 ;3 可列可加性 1 Φ)=0;2 有限可加性 A 1 A 2 A )=A 1 )+A 2 )+ +A ); 3 包含关系 B-=-,; 4 1;5 A )=1-; 6 加法公式 A =+-A 概率的计算条件概率 1 随机变量及其分布 2 古典概型至少 ; 放回和不放回抽样 ; 超几何分布 ; 抽签问题 ; 生日问题 3 几何概型 4 小概率事件和实际推断原理参数估计和假设检验等的原理 1 定义 B = A,>0, 相当于样本空间为 SA 2 乘法定理设 >0, 则有 A=B 3 全概率公式 (i) B i B j =Φ,i j,i,j=1,2,,; 划分 (ii) B 1 B 2 B =S =A B 1 ) B 1 )+A B 2 ) B 2 )+ + A B ) B ) 4 贝叶斯公式后验概率独立性, 个事件的独立性和两两相互独立 B i = A B ) B ) i1 i A B ) B ) i i i,i=1,2,, 16/21

17 随堂习题习题 1: 设 A,B 为两个已知事件, A X 事件 X 满足 =B, 求 X 习题 2: 盒中有 N 只从 1 到 N 进行编号的球, 现在有放回的取回只球, 问这次取球的号码按升序排列的概率是多少? N 考虑两种情况 (i) 严格升序,(ii) 非严格升序 X 习题 3: 甲乙丙三人同时对飞机射击, 且相互独立 A 甲的击中概率为 0.4; 乙的击中概率为 0.5; 丙的击中概率为 0.7; 飞机被一人击中而击落的概率 0.2; 飞机被二人击中而击落的概率 0.6; 飞机被三人击中而击落的概率 1; 求飞机被击落的概率 17/21

18 随堂习题例 : 设 A,B 为两个已知事件, 事件 X 满足 A X X A =B, 求 X 解 : 利用德摩根率, 左边 =(AX)(X 再利用分配率, 左边 =X(A 所以 X=B A )=XS=X 例 (A- B=? 18/21

19 随堂习题例 : 盒中有 N 只从 1 到 N 进行编号的球, 现在有放回的取回只球, 问这次取球的号码按升序排列的概率是多少?N 考虑两种情况 (i) 严格升序,(ii) 非严格升序解 : (i) 严格升序 p= /N (ii) 非严格升序 C N 按升序的含义, 重复的球是连续出现的, 从 1 到 N 这 N 个球按升序排放后, 每取一个球在该球后面放一个标记, 如果是重复 t 次选取就在该球后放 t 个标记, 这样相当于在 N 个球后面共插入个标记这样相当于在 N-1 个球 + 个标记的 N-1+ 个位置上任意选个位置作为标记, 其余球按升序恰好填满其它位置,1 号球总是在第一个位置上 C N 1 19/21

20 随堂习题例 : 甲乙丙三人同时对飞机射击, 且相互独立甲的击中概率为 0.4; 乙的击中概率为 0.5; 丙的击中概率为 0.7; 飞机被一人击中而击落的概率 0.2; 飞机被二人击中而击落的概率 0.6; 飞机被三人击中而击落的概率 1; 求飞机被击落的概率解 : 由题意, 令 B 0,B 1,B 2,B 3 分别为无人击中被一人击中被两人击中被三人击中的事件, 则关于三人射击击中情况 B 0,,B 3 构成样本空间的一个划分, 事件 A 为飞机被击落的概率, 则由全概率公式 =A B 0 ) B 0 )+A B 1 ) B 1 )+A B 2 ) B 2 )+A B 3 ) B 3 ) 现在 A B 1 )=0.2,A B 2 )=0.6,A B 1 )=1, 只需求 B 1 ),B 2 ),B 3 ) B 1 = ( 甲乙丙 ) ( 甲乙丙 ) ( 甲乙丙 ) 甲乙丙射击是相互独立的, 所以 B 1 )= ( 甲乙丙 ) ( 甲乙丙 ) ( 甲乙丙 )) = 甲 ) 乙 ) 丙 ) 甲 ) 乙 ) 丙 ) 甲 ) 乙 ) 丙 ) 同理可求得 B 2 ),B 3 ) 20/21

21 本章作业第一次 :P 24 1,2,3,4 第二次 :P 25 5, 7, 8, 12, 14, 19, 24 第三次 :P 27 27, 29, 30, 31, 35, 37, 40 21/21

Microsoft PowerPoint - Unit 2 Conditioning and independence [兼容模式]

Microsoft PowerPoint - Unit 2 Conditioning and independence [兼容模式] Uit 2: Coditioig ad idepedece 本单元内容对应课本 1.5, 1.6 基本要求理解条件概率的概念, 掌握概率的乘法定理, 理解全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式, 并学会运算和计算理解事件独立性概念, 掌握伯努力 (Beroulli) 概型和二项概型计算方法本章的学习重点与难点难点 : 条件概率的计算与事件独立性的判别作业 : P 26 : 24, 27,