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裙豌蓬
5 years ago
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1 第章随机事件和概率事件和概率是概率论中的两个基本概念在这部分内容中, 要熟记事件的关系和运算, 因为在今后的计算中, 经常将一些事件用另一些事件的运算来表示, 文氏图是帮助分析和理解事件运算的重要工具 ; 在计算事件的概率时, 要正确使用加法公式减法公式乘法公式全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式等, 在理解的基础上要记住这些公式并会分析实际问题考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求了解样本空间 ( 基本事件空间 ) 的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系及运算 2 理解概率条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式减法公式乘法公式全概率公式以及贝叶斯公式 3 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算的方法 ; 理解独立重复试验的概念, 掌握计算有关事件概率的方法基本概念性质和公式随机事件的关系与运算随机事件与样本空间 () 随机试验概率论中将满足下列三个条件的试验称为随机试验 ( 简称试验 ): 在相同条件下试验可以重复进行 ; 2 每次试验的可能结果不止一个, 并且事先可以确知试验的所有可能结果 ; 3 试验之前不能确定哪一个结果会发生一般用字母 E 或 E, E2, 表示随机试验 (2) 样本空间随机试验 E 的所有可能结果所组成的集合称为 E 的样本空

2 2 考研概率统计选讲间 ( 或基本事件空间 ), 记为 Ω 样本空间中的元素 ( 即 E 的每个结果 ) 称为样本点, 记为 (3) 随机事件样本空间 Ω 的子集, 即试验 E 的结果称为随机事件 ( 简称事件 ), 记为 ABC,,, 所谓一个随机事件 A 发生当且仅当 A 中的一个样本点发生把试验 E 的样本空间 Ω 中的每一个样本点 ( 即由一个样本点组成的单点集 ) 称为基本事件基本事件是最简单不可再分的随机事件在随机试验中, 必然发生的事件称为必然事件, 不可能发生的事件称为不可能事件显然, 样本空间 Ω 也是一个随机事件, 它是自身的子集,Ω 中包含所有的样本点 ( 或基本事件 ), 在每次试验中它总是发生的, 所以样本空间 Ω 是一个必然事件空集也是样本空间 Ω 的子集, 它不包含任何样本点 ( 或基本事件 ), 在每次试验中它都不发生, 所以是不可能事件注通常把必然事件记为 Ω, 不可能事件记为 ; 必然事件和不可能事件是两个特殊的随机事件 2 事件的关系与运算 () 子事件如果事件 A 发生则事件 B 发生, 即属于事件 A 的每一个样本点都属于事件 B, 称事件 A 是事件 B 的子事件, 也称事件 B 包含事件 A, 记为 B A( 或 A B ) (2) 相等事件如果事件 A 和事件 B 满足 A B 且 B A, 即事件 A 和事件 B 同时发生和不发生, 称事件 A 与 B 相等, 记为 A B (3) 和事件事件 A 和 B 至少有一个发生的事件称为事件 A 与 B 的和事件 ( 或并事件 ), 记为 A B ( 或 A+B ) A, A,, A 2 的和 ( 或并 ) 的情形, 即个事它可推广到有限个事件 2 件 A, A,, A 2 2 中, 至少有一个事件发生, 记为 Ai 它还可推广到无限可列个事件 A, A2,, A, 的和 ( 或并 ) 的情形, 即可列个事件 A, A2,, A, 中, 至少有一个事件发生, 记为 Ai (4) 积事件事件 A 和 B 同时发生的事件称为事件 A 与 B 的积事件 ( 或交事件 ), 记为 A B ( 或 AB ) 它可推广到有限个事件 A, A,, A 2 的积的情形, 记为 i 2 A 或 i A i i i i 或可列个事件 A, A2,, A,

3 第章随机事件和概率 3 (5) 差事件事件 A 发生而事件 B 不发生的事件称为事件 A 与 B 的差事件, 记为 A B ( 或 AB ) (6) 对立事件 ( 或互逆事件 ) 事件 A 不发生的事件称为事件 A 的对立事件或逆事件, 记为 A (7) 互不相容事件 ( 或互斥事件 ) 如果事件 A 和事件 B 不能同时发生即 AB=, 称事件 A 和 B 互不相容 ( 或互斥 ) 在随机试验中, 基本事件都是两两互斥的 (8) 完备事件组若个事件 A, A2,, A 两两互斥, 且和事件为必然事件, 即满足 : AiAj, i<j ; 2 Ai ; 则称事件 A, A2,, A 是一个完备事件组可推广为 : 若可列个事件 A, A2,, A, 两两互斥, 且和事件为必然事件, 即满足 : AiAj, i<j< ; 2 Ai ; i i 则称事件 A, A2,, A, 是一个完备事件组 3 文氏图事件的关系与运算可以用下面图形 ( 文氏图 ) 直观地表示出来 :

4 4 考研概率统计选讲 4 事件的运算法则及常用结论事件的运算法则 : 设试验 E 的样本空间为 Ω, 随机事件为 A, BC,, A i ( i,2, ), 则有 () 吸收律若 A B, 则 A B B, A B A; (2) 交换律 A B B A, AB B A; (3) 结合律 A BC AB C AB C; ABC ABC ABC ; (4) 分配律 AB C AB AC ; A BC A B A C A A A A i i; i i (5) 德摩根律 ( 对偶 ) A B AB; AB A B; Ai Ai ; Ai Ai i i i i 常用的运算公式 : () A AB, B A B; A AB A, B A B B; A A A ; ; AB A AB; AB B (2) A B A ; A B A A AB B A B; ; A B A AB AB (3) A B A, A B B; A B A A, AB B B; A A A (4) A A ; AA ; A A 2 事件的概率及其性质概率的公理化定义设 E 是一随机试验,Ω 为它的样本空间, 以 E 中所有的随机事件组成的集合为定义域, 对于任一个事件 A, 规定一个实数 P A, 如果满足 : () 非负性 P A 0 ; (2) 规范性 P ; (3) 可列可加性如果 A, A2,, A, 为两两互不相容的事件, 有 P A P A i i i i;

5 第章随机事件和概率 5 则称 P A 为事件 A 的概率注概率 P A 是事件 A 发生的可能性大小的数值度量 2 概率的基本性质 () P 0, P (2) 对于任意事件 A, 有 P A 0 (3) 逆事件的概率对于任意事件 A, 有 P A PA (4) 加法公式对于任意事件 A, B, C, 有 P A B P A PB P AB, PAB C PAPBPC P ABPBCPACP ABC (5) 减法公式对于任意两个事件 A 和 B, 有 PAB P AB PA PAB ; 特别地, 当 B A时, P A B P A PB, PB P A (6) 有限可加性设事件 A, A2,, A 两两互不相容, 则 P A P A i i 一般地, 对任意个事件 A, A2,, A, 有 i i i i i j i j k i i i j i jk P AA 2 A P A P A P AA P AA A 3 古典概型与几何概型 () 古典概型如果随机试验的样本空间只有有限个基本事件 ( 样本点 ), 且每个基本事件 ( 样本点 ) 发生的可能性相同, 则称这样的试验为古典概型 ( 也称等可能概型 ) 的随机试验此时事件 A 发生的概率为 A中所包含的样本点数 PA 样本空间中样本点数 (2) 几何概型如果随机试验的样本空间是一个可度量的几何区域 ( 直线上的区间, 平面或立体上的区域 ), 并且每个试验结果出现的可能性是相同的 ( 即试验结果落在中的任一区域的可能性与该区域的几何度量成正比 ), 该试验称为几何概型的随机试验此时事件 A 发生的概率为

6 6 考研概率统计选讲 A的长度或面积体积 PA 的长度或面积体积注古典概型与几何概型都具有某种等可能性, 对此要特别注意的是, 两个等可能概型的区别在于 : 古典概型的样本空间是有限的, 而几何概型的样本空间是无限 ( 不可列 ) 的注 2 古典概型问题的主要计算工具是排列组合, 而几何概型问题的主要计算工具是用几何坐标法计算长度面积体积等, 也常用到微积分计算注 3 古典概型的难点在于正确选择样本空间, 而几何概型的难点在于如何化为数学问题 ( 如候车问题会面问题等 ) 4 条件概率设 A, B 是两个事件, 且 P A 0, 在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率称为条件概率, 记为 PBA, 且 P AB PBA PA 注对于给定的事件 A, 条件概率 PBA 也是事件的概率, 它具有概率的一切性质, 即 P A 当 0 () 0 时, 有 P BA ; (2) P A P A A, ; (3) PB A PB A, 注意 : PB A PB A (4) 如果事件 B, B2,, B, 两两互不相容, 则 5 计算概率的几个公式 P B A P B A i i i i () 乘法公式设 P A 0, PB 0, 则 P AB P A PBA PB P AB 一般地, 若 P AA A, 则 2 0 不一定等于 ; P AA A P A P A A P A AA P A AA A (2) 全概率公式设 B, B2,, B 2,,, 则对事件 A, 有是一个完备事件组, 且 0 i i P A P B P AB i P B, i, i

7 第章随机事件和概率 7 (3) 贝叶斯公式在全概率公式的条件下, 如果 P A 0, 则有 j P BA i j P ABj PBiPABi P B, j, 2,, 注乘法公式主要用来计算不具有相互独立性的若干个事件之积的概率注 2 全概率公式与贝叶斯公式使用的关键是要找到导致事件 A 发生的完备事件组, 完备事件组中事件可以是有限个, 也可以是可列个 3 事件的独立性与独立重复试验事件的独立性 () 两个事件独立对于两个事件 A 与 B, 如果 P AB P A PB 事件 A 与 B 独立, 则称如果事件 A 与 B 独立, 则事件 A 与 B, A 与 B, A 与 B 也独立 (2) 多个事件相互独立对于任意个事件 A, A2,, A, 如果其中任意两个事件相互独立, 即对任意 i j, 有 P AA i j P Ai P Aj, 则称个事件 A, A2,, A 两两独立 ; 如果对于其中任意 k 个事件 : Ai, Ai 2,, Ai k (2 k, i i2 ik ), 均有则称事件 A, A2,, A 相互独立 2 独立试验 i i i i i i P AA A P A P A P A 2 k 2 () 独立重复试验在相同的条件下, 将试验重复进行次, 若各次试验的结果互不影响, 且同一事件在各次试验中出现的概率相同, 则称这次重复的试验为次独立重复试验 (2) 伯努利试验如果在一次试验中, 只考虑 A 与 A 两个对立的结果, 则称之为伯努利试验将伯努利试验独立重复进行次, 若每次试验中事件 A 发生的概率均相等, 即 P( A) p (0 p ), 则称为重伯努利试验, 这样的试验模型称为重伯努利概型 3 伯努利型概率 ( 二项概率公式 ) 在重伯努利试验中, 若每次试验事件 A 发生的概率为 p (0 p ), 则事件 A 恰好发生 k 次的概率为 k,

8 8 考研概率统计选讲 k k C p k p, k 0,,2,, 注伯努利概型的特征是只论次数, 不论位置注 2 用 X 表示重伯努利概型中事件 A 发生的次数, 则 X 服从二项分布 B, p 2 典型例题解析 2 有关事件关系与运算概率性质条件概率独立性命题例设事件 A, B 和 A B的概率分别为 02, 03 和 04, 则 P AB 解由条件知 P A 02, PB 03, P A B 04 P AB P A PB P A B 0, 由加法公式, 有由减法公式, 有 P AB P A AB P A P AB 例 2 设事件 A 与 B 满足 PBA ( ), 则 ( ) (A) A 是必然事件 (B) PBA ( ) 0 (C) A B (D) PAB ( ) 0 解由已知得, P( AB) P( A), 所以选 (D) 例 3 设 0 PA ( ), 0 PB ( ), PAB ( ) PAB ( ), 则 A 与 B ( ) (A) 互不相容 (B) 互相对立 (C) 不独立 (D) 独立解利用条件概率公式和德摩根律, 由 PAB ( ) PAB ( ) 推出 P( AB) P( APB ) ( ), 所以选 (D) 例 4 设事件 A 与 B 满足条件 AB AB, 则 ( ) (A) A B (B) A B (C) A B A (D)A B B 解由对称性知 (C) (D) 选项都不成立 ( 否则, 一个成立另一个必成立 ), 而 (A) 成立 A B A B AB, 由 A BAB, 这与已知 AB AB 相矛盾, 所以正确选择是 (B) 事实上, 由对偶法则及题设有 AB AB A B, 于是有 AB AB AB( AB) ( A B) 例 5 设随机事件 A 与 B 互不相容, 且 P A PB 0, 0, 则下列结论中一定成立的有 ( ) (A) A, B 为对立事件 (B) A, B 互不相容 (C) A, B 不独立 (D) A, B 相互独立解 A, B 互不相容, 只说明 AB, 但并不一定满足 A B, 即互

9 第章随机事件和概率 9 不相容的两个事件不一定是对立事件, 又因 A B 不一定成立, 故 A B 即 AB 亦不一定成立, 因此选项 (A) 与 (B) 均不能选同时因 P AB P 0, 但是 P A PB 0, 即 P AB P A PB, 故 A 与 B 不独立, 应选 (C) 例 6 设随机事件 A 与 B 互不相容, 且 A B, 则 P A 解由于 A B, 于是有 AB A B, 又由于 A 与 B 互不相容, 因此 AB, 即 A B, 所以 P A 0 例 7 对于任意两个事件 A 与 B, 下面结论正确的是 ( ) (A) 如果 P A 0, 则 A 是不可能事件 (B) 如果 P A 0, PB 0, 则事件 B 包含事件 A (C) 如果 P A 0, PB, 则事件 A 与 B 对立 (D) 如果 P A 0, 则事件 A 与 B 独立解我们知道事件的关系运算的定义, 除了独立性概念外, 其余的概念都不涉及概率, 因此由概率关系推导不出事件的这些关系 ( 独立性除外 ), 所以选项 (A) (B) (C) 都不正确, 它们都是相应结论某种形式的必要条件但不是充分条件若 P A 0, 由于 AB A, 故 P AB 0 P A PB, 所以 A 与 B 独立, 选 (D) 例 8 对于任意两事件 A, B, 与 A B B不等价的是 ( ) (A) A B (B) B A (C) AB (D) AB 解利用事件间的关系运算, 应选 (D) 例 9 已知事件 A 发生必导致 B 发生, 且 PB 0, 则 P A B (A) 0 (B) 4 (C) 2 (D) 解法由题设知 A B B A BA, 从而推知 PAB ( ) 0, 故选 (A) 解法 2 PA B 例 0 设, 则 PA B P AB P A P AB P A P A 0, 故选 (A) P B P B P B A B 是两个随机事件, 且 PA, PB A, 4 3 P A B, 2 解根据乘法公式 PAB PAB PAPB A, PB 2, PA B 6 2

10 0 考研概率统计选讲由减法公式 PAB PBPAB, PAB PAPAB, 或由加法公式 PA B PAPBPAB, PAB PABPA B 3 所以 PA B P AB 4 P B 5 22 全概率公式贝叶斯公式命题例口袋中有 0 张卡片, 其中两张是中奖卡三个人依次从口袋中摸出一张, 问中奖概率是否与摸卡的次序有关? 解记 A i 表示第 i 个人摸到中奖卡, i, 2,3, 则 C2 PA ( ), C0 5 C 4 C2 PA ( 2) PA ( ) PA ( 2 A) PA ( ) PA ( 2 A), 5 C9 5 C9 5 P( A3) P( AA 2) P( A3 AA 2) P( AA 2) P( A3 AA 2) PAA ( 2) PA ( 3 AA 2) PAA ( 2) PA ( 3 AA 2), 5 所以中奖概率与摸卡次序无关例 2 一批产品, 每箱装 20 件, 已知每箱不含次品的概率为 80%, 含一件次品的概率为 20%, 在购买时, 随意选一箱, 从中随意逐个选出产品进行检查, 如果发现次品就退回, 如果检查 2 个还未发现次品就买下则 () 顾客买下该箱产品的概率 ; (2) 在顾客买下的一箱中, 确实没有次品的概率解 () 如果记 Ai 从箱中第 i 次取出产品为正品 i, 2, 则 PAA 2, 显然 P( AA 2) 与该箱产品中有几件次品有关, 因此, 我们自然想到将该箱含次品的各种情况一一列出, 应用全概率公式计算

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Microsoft Word - 新1.doc . 80% E E E 0 0 E E 4 E E ω E E Ω E E Ω ={} E 0 0 =,, L, 0 E Ω= {,, L, 0} ω = ω = Ω= { ω, ω } E k k =,, L,, L E Ω= {,, L,, L} 4 E 4 t 0 t