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1 概率论与数理统计 第一章随机事件与概率 黄正华 武汉大学数学与统计学院 2012 年 9 月 3 日 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 1 / 95
2 目录 1 排列组合基本知识 2 随机试验 3 样本空间 随机事件 4 频率与概率 5 等可能概型 6 条件概率 7 独立性 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 2 / 95
3 概率论的产生 概率论产生于十七世纪, 是由帕斯卡 费马共同建立的 年, 赌徒梅累向帕斯卡提出问题 : 两个赌徒相约赌若干局, 谁先赢 m 局就算赢, 全部赌本就归谁. 但是当其中一个人赢了 a (a < m) 局, 另一个人赢了 b (b < m) 局的时候, 赌博中止. 问 : 赌本应该如何分法才合理? 年, 惠更斯尝试自己解决这一问题, 写成了最早的概率论著作 论机会游戏的计算. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 3 / 95
4 概率论的产生 帕斯卡 费马 (Fermat) 和惠更斯之后, 第一个对概率论给予认真注意的是雅各布第一 伯努利. 他的 猜度术 一书, 包含了大数定律的叙述 ; 首先将概率论建立在坚固的数学基础上的是拉普拉斯 : 1812 年, 概率的解析理论. 概率论大量应用到国民经济 工农业生产及各学科领域. 许多兴起的应用数学, 如信息论 对策论 排队论 控制论等, 都是以概率论作为基础的. Fermat 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 4 / 95
5 两条计数原理 乘法原理 : 完成一项工作有 m 个步骤 ; 完成第 i 个步骤有 n i 种不同的方法. 则完成这项工作的方法数总共为 n 1 n 2 n m. A B 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 5 / 95
6 两条计数原理 加法原理 : 完成一项工作有 m 种方式 ; 第 i 种方式有 n i 种方法. 则完成这项工作的方法数总共为 n 1 + n n m. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 6 / 95
7 排列 Example 1 从 10 个人中任意抽取 7 个人排成一列. 完成这项工作可分为 7 个步骤 : 由乘法原理, 完成这件事有 种不同的方法. 这是一个排列问题. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 7 / 95
8 排列 Example 1 从 10 个人中任意抽取 7 个人排成一列. 完成这项工作可分为 7 个步骤 : 由乘法原理, 完成这件事有 种不同的方法. 这是一个排列问题. 通常将结果记为 : A 7 10 = 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 7 / 95
9 排列 Definition 2 (Permutations, Arrangements) 从 n 个不同的元素中, 任取 r 个元素按次序排列, 得到的排列数为 A r n 或者 P r n = n (n 1) (n 2) (n 3) (n r + 1) = n! (n r)!. (1) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 8 / 95
10 组合 Example 3 从 10 个人中任意抽取 7 个人去参加劳动. 这是一个组合问题. 设结果为 X. 如何计算呢? 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 9 / 95
11 组合 Example 3 从 10 个人中任意抽取 7 个人去参加劳动. 这是一个组合问题. 设结果为 X. 如何计算呢? 完成前一个问题 从 10 个人中任意抽取 7 个人排成一列, 可以分为两个步骤 : 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 9 / 95
12 组合 Example 3 从 10 个人中任意抽取 7 个人去参加劳动. 这是一个组合问题. 设结果为 X. 如何计算呢? 完成前一个问题 从 10 个人中任意抽取 7 个人排成一列, 可以分为两个步骤 : (i) 从 10 个人中任取 7 个人 : 有 X 种取法 ; (ii) 再将这 7 个人排成一列 : 有 7! 种方法. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 9 / 95
13 组合 Example 3 从 10 个人中任意抽取 7 个人去参加劳动. 这是一个组合问题. 设结果为 X. 如何计算呢? 完成前一个问题 从 10 个人中任意抽取 7 个人排成一列, 可以分为两个步骤 : (i) 从 10 个人中任取 7 个人 : 有 X 种取法 ; (ii) 再将这 7 个人排成一列 : 有 7! 种方法. 所以, A 7 10 = X 7!, (2) X = A7 10 7! = 10! 3! 7! C (3) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 9 / 95
14 组合 Definition 4 (Combinations) 从 n 个不同的元素中, 不放回地取 r 个元素, 组成的组合总数为 ( ) n Cn r 或者 r n (n 1) (n 2) (n 3) (n r + 1) = (4) r! n! = (n r)! r!. 易知, ( ) ( ) n n = r n r (5) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 10 / 95
15 组合 Example 5 填写体育彩票号码 有 7 个步骤, 每一步有 10 种写法. 由乘法原理, 总共有 10 7 种不同 的写法. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 11 / 95
16 随机试验 下面给出一些 专有名词 的介绍, 谨作了解. 随机试验 (Random experiment) 的特点 : (i) 可重复性 ; (ii) 先验性 ; (iii) 不确定性. 比如, 掷骰子 : ( 以下均以掷骰子为例. ) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 12 / 95
17 样本空间 随机事件 I-1 样本空间 (Sampling space): 随机试验的所有可能结果组成的集 合. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 13 / 95
18 样本空间 随机事件 I-1 样本空间 (Sampling space): 随机试验的所有可能结果组成的集合. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} I-2 样本点 (Sampling point): 随机试验的每个结果. 1, 2, 3, 4, 5, 6 是六个样本点. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 13 / 95
19 样本空间 随机事件 I-1 样本空间 (Sampling space): 随机试验的所有可能结果组成的集合. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} I-2 样本点 (Sampling point): 随机试验的每个结果. 1, 2, 3, 4, 5, 6 是六个样本点. I-3 随机事件 (Random event): 符合某个 判断 的试验结果. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 13 / 95
20 样本空间 随机事件 I-1 样本空间 (Sampling space): 随机试验的所有可能结果组成的集合. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} I-2 样本点 (Sampling point): 随机试验的每个结果. 1, 2, 3, 4, 5, 6 是六个样本点. I-3 随机事件 (Random event): 符合某个 判断 的试验结果. EX a. A = { 出现点数 5 } = {5}. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 13 / 95
21 样本空间 随机事件 I-1 样本空间 (Sampling space): 随机试验的所有可能结果组成的集合. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} I-2 样本点 (Sampling point): 随机试验的每个结果. 1, 2, 3, 4, 5, 6 是六个样本点. I-3 随机事件 (Random event): 符合某个 判断 的试验结果. EX a. A = { 出现点数 5 } = {5}. EX b. B = { } 出现奇数 = {1, 3, 5}. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 13 / 95
22 样本空间 随机事件 I-1 样本空间 (Sampling space): 随机试验的所有可能结果组成的集合. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} I-2 样本点 (Sampling point): 随机试验的每个结果. 1, 2, 3, 4, 5, 6 是六个样本点. I-3 随机事件 (Random event): 符合某个 判断 的试验结果. EX a. A = { 出现点数 5 } = {5}. EX b. B = { } 出现奇数 = {1, 3, 5}. EX c. C = { } 出现偶数 = {2, 4, 6}. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 13 / 95
23 样本空间 随机事件 I-1 样本空间 (Sampling space): 随机试验的所有可能结果组成的集合. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} I-2 样本点 (Sampling point): 随机试验的每个结果. 1, 2, 3, 4, 5, 6 是六个样本点. I-3 随机事件 (Random event): 符合某个 判断 的试验结果. EX a. A = { 出现点数 5 } = {5}. EX b. B = { } 出现奇数 = {1, 3, 5}. EX c. C = { } 出现偶数 = {2, 4, 6}. EX d. D = { } 大于 3 点 = {4, 5, 6}. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 13 / 95
24 样本空间 随机事件 I-4 基本事件与复杂事件 : 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 14 / 95
25 样本空间 随机事件 I-4 基本事件与复杂事件 : i 基本事件, 如 {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} 是六个基本事件 ; 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 14 / 95
26 样本空间 随机事件 I-4 基本事件与复杂事件 : i 基本事件, 如 {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} 是六个基本事件 ; ii 复杂事件, 如 B = { } 出现奇数 = {1} {3} {5} 由三个基本事件组成. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 14 / 95
27 样本空间 随机事件 I-4 基本事件与复杂事件 : i 基本事件, 如 {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} 是六个基本事件 ; ii 复杂事件, 如 B = { } 出现奇数 = {1} {3} {5} 由三个基本事件组成. I-5 必然事件与不可能事件 : 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 14 / 95
28 样本空间 随机事件 I-4 基本事件与复杂事件 : i 基本事件, 如 {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} 是六个基本事件 ; ii 复杂事件, 如 B = { } 出现奇数 = {1} {3} {5} 由三个基本事件组成. I-5 必然事件与不可能事件 : i 必然事件 (Certain event) Ω, 如 {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 14 / 95
29 样本空间 随机事件 I-4 基本事件与复杂事件 : i 基本事件, 如 {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} 是六个基本事件 ; ii 复杂事件, 如 B = { } 出现奇数 = {1} {3} {5} 由三个基本事件组成. I-5 必然事件与不可能事件 : i 必然事件 (Certain event) Ω, 如 {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ii 不可能事件 (Impossible event), 如 {7}. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 14 / 95
30 事件的关系与运算 借助集合的观念 (1) 包含 A = {5}, B = {1, 3, 5}. 记为 A B, 称事件 A 包含于事件 B, 或 B 包含 A. 含义 : A 发生则必导致 B 发生. Ω A B 图 : A B 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 15 / 95
31 事件的关系与运算 借助集合的观念 (1) 包含 A = {5}, B = {1, 3, 5}. 记为 A B, 称事件 A 包含于事件 B, 或 B 包含 A. 含义 : A 发生则必导致 B 发生. Ω A B 图 : A B (2) 相等 A = B A B 且 B A. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 15 / 95
32 事件的关系与运算 (3) 和事件 A B: A 或 B 发生, 即 至少有一个发生. Ω A B 图 : A B A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5}. 则 A B = {1, 2, 3, 5}. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 16 / 95
33 事件的关系与运算 进一步有 n A 1 A 2 A n A i ; (6) A 1 A 2 A n i=1 A i. (7) i=1 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 17 / 95
34 事件的关系与运算 (4) 积事件 A B = {x x A 且 x B} AB. A B 意为 : A 发生并且 B 发生, A, B 同时发生. Ω A B 图 : A B A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5}. 则 A B = {1, 3}. 类似地有, n i=1 A i, i=1 A i. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 18 / 95
35 事件的关系与运算 (5) 差事件 (Difference of events) A B = {x x A 且 x B}: A 发生且 B 不发生. Ω A B 图 : A B A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5}. 则 A B = {2}. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 19 / 95
36 事件的关系与运算 (6) 互不相容事件 ( 互斥事件, Incompatible events) A B =. 意为 : 不可能同时发生. Ω A B 图 : A B = 如 : A = {1, 2, 3}, B = {5, 6}. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 20 / 95
37 事件的关系与运算 Definition 6 ( 两两互不相容 ) 对事件 A 1, A 2,..., A n, 若 A i A j =, i j 则称 A 1, A 2,..., A n 两两互不相容. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 21 / 95
38 事件的关系与运算 (7) 对立事件 ( 逆事件, Opposite events) A B = Ω, 且 A B =. 记为 B = A. Ω A A 图 : A = Ω A 如 : A = {1, 2, 3}, 则 A = {4, 5, 6}. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 22 / 95
39 事件的关系与运算 (7) 对立事件 ( 逆事件, Opposite events) A B = Ω, 且 A B =. 记为 B = A. Ω A A 图 : A = Ω A 如 : A = {1, 2, 3}, 则 A = {4, 5, 6}. 形式上有 : A = Ω A, Ω = A A, A A =. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 22 / 95
40 注意事项 (1) A B, 则 A B = B; A B = A ( 或 AB = A). Ω A B 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 23 / 95
41 注意事项 (1) A B, 则 A B = B; A B = A ( 或 AB = A). Ω A B (2) A A = A, A A A = A,.... A A = A, A A A = A,.... 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 23 / 95
42 事件的关系与运算 (3) A B = A B = AB Ω A B 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 24 / 95
43 事件的关系与运算 (4) 一个常用的转化式 : A B = (A B) B = (A AB) B (8) Ω A B 或者记为 A B = AB B 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 25 / 95
44 事件的关系与运算 (5) 区分 逆事件 ( 对立事件 ) 和 互斥事件 ( 互不相容事件 ) : A 的逆事件事实上是 A 的否事件, 如同 余集 的概念. 逆事件 是 互斥事件 的一个特例. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 26 / 95
45 运算律 交换律 : A B = B A; A B = B A. 结合律 : A (B C) = (A B) C; A (B C) = (A B) C; 分配律 : A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C); De Morgan 律 : A B = A B; A B = A B. De Morgan 律, 又称 对偶律 (Dual law). 对偶律是广泛存在的. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 27 / 95
46 Example 7 设 A i ={ 第 i 枪击中目标 }, i = 1, 2, 3. 用集合表示下列事件 : 1) 仅有第一枪击中 ; 2) 第一枪击中 ; 3) 仅有一枪击中 ; 4) 三枪均未击中 ; 5) 至少有一枪击中. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 28 / 95
47 Example 7 设 A i ={ 第 i 枪击中目标 }, i = 1, 2, 3. 用集合表示下列事件 : 1) 仅有第一枪击中 ; 2) 第一枪击中 ; 3) 仅有一枪击中 ; 4) 三枪均未击中 ; 5) 至少有一枪击中. 解 : (1) A 1 A 2 A 3. 或者 A 1 A 2 A 3. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 28 / 95
48 Example 7 设 A i ={ 第 i 枪击中目标 }, i = 1, 2, 3. 用集合表示下列事件 : 1) 仅有第一枪击中 ; A 1 A 2 A 3. 2) 第一枪击中 ; 3) 仅有一枪击中 ; 4) 三枪均未击中 ; 5) 至少有一枪击中. 解 : (2) A 1. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 28 / 95
49 Example 7 设 A i ={ 第 i 枪击中目标 }, i = 1, 2, 3. 用集合表示下列事件 : 1) 仅有第一枪击中 ; A 1 A 2 A 3. 2) 第一枪击中 ; A 1. 3) 仅有一枪击中 ; 4) 三枪均未击中 ; 5) 至少有一枪击中. 解 : (3) A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 28 / 95
50 Example 7 设 A i ={ 第 i 枪击中目标 }, i = 1, 2, 3. 用集合表示下列事件 : 1) 仅有第一枪击中 ; A 1 A 2 A 3. 2) 第一枪击中 ; A 1. 3) 仅有一枪击中 ; A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3. 4) 三枪均未击中 ; 5) 至少有一枪击中. 解 : (4) A 1 A 2 A 3. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 28 / 95
51 Example 7 设 A i ={ 第 i 枪击中目标 }, i = 1, 2, 3. 用集合表示下列事件 : 1) 仅有第一枪击中 ; A 1 A 2 A 3. 2) 第一枪击中 ; A 1. 3) 仅有一枪击中 ; A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3. 4) 三枪均未击中 ; A 1 A 2 A 3. 5) 至少有一枪击中. 解 : (5) A 1 A 2 A 3. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 28 / 95
52 Example 8 化简下列表达式 : (1) (A B)(B C) (2) (A B)(A B) (3) (A B)(A B)(A B) (4) (A B)(A B)(A B)(A B) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 29 / 95
53 Example 8 化简下列表达式 : (1) (A B)(B C) (2) (A B)(A B) (3) (A B)(A B)(A B) (4) (A B)(A B)(A B)(A B) 解 : (1) (A B)(B C) = (B A)(B C) ( 交换律 ) = B (A C) ( 分配律 ) = B AC. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 29 / 95
54 Example 8 化简下列表达式 : (1) (A B)(B C) = B AC. (2) (A B)(A B) (3) (A B)(A B)(A B) (4) (A B)(A B)(A B)(A B) 解 : (2) (A B)(A B) = A (B B) ( 分配律 ) = A = A. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 29 / 95
55 Example 8 化简下列表达式 : (1) (A B)(B C) = B AC. (2) (A B)(A B) = A. (3) (A B)(A B)(A B) (4) (A B)(A B)(A B)(A B) 解 : (3) (A B)(A B)(A B) = A(A B) = AA AB ( 分配律 ) = AB = AB. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 29 / 95
56 Example 8 化简下列表达式 : (1) (A B)(B C) = B AC. (2) (A B)(A B) = A. (3) (A B)(A B)(A B) = AB. (4) (A B)(A B)(A B)(A B) 解 : (4) (A B)(A B)(A B)(A B) = AB(A B) = ABA ABB ( 分配律 ) = BAA A(BB) ( 交换律, 结合律 ) =. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 29 / 95
57 频率 ( frequency ) f n (A) = 事件 A 发生的次数试验的总次数 = n A n. 基本性质 : 1) 0 f n (A) 1; 2) f n (Ω) = 1; 3) 若 A 1, A 2,, A k 两两互不相容, 则 f n (A 1 A 2 A k ) = f n (A 1 ) + f n (A 2 ) + + f n (A k ). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 30 / 95
58 概率 ( probability ) 随机事件 A 发生的可能性的大小, 记为 P (A). 概率的公理化定义 : 1) 非负性 : P (A) 0; 2) 规范性 : P (Ω) = 1; 3) 可列可加性 : 若 A 1, A 2, 两两互不相容, 则 P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) +. 可列 countable, 无穷的一种. 不可列, 比如区间 [0, 1] 内的有理数. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 31 / 95
59 概率是频率的理论值 Example 9 考虑 抛硬币 试验. 记硬币正面为 H, 反面为 T. 试验者 n n H f n (H) 德 摩根 蒲丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 32 / 95
60 概率的重要性质 性质 i P ( ) = 0. 性质 ii ( 有限可加性 ) 若 A 1, A 2,, A k 两两互不相容, 则 P (A 1 A 2 A k ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A k ). (9) 特别地, A, B 互不相容, 则 P (A B) = P (A) + P (B). S A n A 2 A 1 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 33 / 95
61 性质 iii 若 A B, 则 P (B A) = P (B) P (A); (10) P (B) P (A). (11) Ω A B 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 34 / 95
62 性质 iii 若 A B, 则 P (B A) = P (B) P (A); (10) P (B) P (A). (11) Ω A B Proof. (1) A B, B = A (B A). 又 A (B A) =, 由 有限可加性, P (B) = P ( A (B A) ) = P (A) + P (B A). P (B A) = P (B) P (A). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 34 / 95
63 性质 iii 若 A B, 则 P (B A) = P (B) P (A); (10) P (B) P (A). (11) Ω A B Proof. (2) 由概率的非负性, P (B A) 0, 即 P (B) P (A) 0. P (B) P (A). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 34 / 95
64 性质 iii 若 A B, 则 P (B A) = P (B) P (A); (10) P (B) P (A). (11) Ω A B Proof. 问 : P (A B) =? 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 34 / 95
65 概率的重要性质 性质 iv P (A) 1. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 35 / 95
66 概率的重要性质 性质 iv P (A) 1. Proof. A Ω, P (Ω) = 1. P (A) P (Ω) = 1. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 35 / 95
67 概率的重要性质 性质 iv P (A) 1. Proof. A Ω, P (Ω) = 1. P (A) P (Ω) = 1. 性质 iiv ( 逆事件的概率 ) P (A) = 1 P (A). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 35 / 95
68 概率的重要性质 性质 iv P (A) 1. Proof. A Ω, P (Ω) = 1. P (A) P (Ω) = 1. 性质 iiv ( 逆事件的概率 ) P (A) = 1 P (A). Proof. S A A 1 = P (Ω) = P (A A) = P (A) + P (A). P (A) = 1 P (A). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 35 / 95
69 性质 vi ( 加法公式 ) P (A B) = P (A) + P (B) P (AB). (12) Proof. Ω A B A B = (A B) B = (A AB) B, 又 (A AB) B =, 且 AB A, 得 P (A B) = P ( (A AB) B ) = P (A AB) + P (B) (13) = P (A) P (AB) + P (B).
70 加法公式的推广 : P (A 1 A 2 A 3 ) =P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A 3 ) P (A 2 A 3 ) + P (A 1 A 2 A 3 ). n P (A 1 A 2 A n ) = P (A i ) P (A i A j ) i=1 + 1 i<j<k n 1 i<j n P (A i A j A k ) + + ( 1) n 1 P (A 1 A 2 A n ). (14) (15) 注 有限可加性 是 加法公式 的特例. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 37 / 95
71 Example 10 设 A B, P (A) = 0.2, P (B) = 0.3, 求 (1) P (A), P (B); (2) P (A B), P (A B); (3) P (B A), P (A B). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 38 / 95
72 Example 10 设 A B, P (A) = 0.2, P (B) = 0.3, 求 (1) P (A), P (B); (2) P (A B), P (A B); (3) P (B A), P (A B). 解 : (1) P (A) = 0.8, P (B) = 0.7; 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 38 / 95
73 Example 10 设 A B, P (A) = 0.2, P (B) = 0.3, 求 (1) P (A), P (B); (2) P (A B), P (A B); (3) P (B A), P (A B). 解 : (2) 由 A B, 得 P (A B) = P (B) = 0.3, P (A B) = P (A) = 0.2; 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 38 / 95
74 Example 10 设 A B, P (A) = 0.2, P (B) = 0.3, 求 (1) P (A), P (B); (2) P (A B), P (A B); (3) P (B A), P (A B). 解 : (3) 由 A B, 得 P (B A) = P (B) P (A) = 0.1, P (A B) = P (A B) = P ( A A (B A) ) = P ( A A B A ) = P ( ) = 0. 或者, 由 A B = {x x A 且 x B}, 假设 A B, 则 x 0 A 且 x 0 B, 这与 A B 矛盾. 得 A B =. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 38 / 95
75 Example 11 设 A B =, P (A) = a, P (B) = b. 求 (1) P (A B); (2) P (A B); (3) P (AB); (4) P (A B). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 39 / 95
76 Example 11 设 A B =, P (A) = a, P (B) = b. 求 (1) P (A B); (2) P (A B); (3) P (AB); (4) P (A B). 解 : (1) 由 A B =, 得 P (A B) = P (A) + P (B) = a + b; 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 39 / 95
77 Example 11 设 A B =, P (A) = a, P (B) = b. 求 (1) P (A B); (2) P (A B); (3) P (AB); (4) P (A B). 解 : (2) 由 A B =, 知 B A. P (A B) = P (A) = 1 a; 事实上, A B =, 则 x B, 有 x A. 即 x A. 所以 B A. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 39 / 95
78 Example 11 设 A B =, P (A) = a, P (B) = b. 求 (1) P (A B); (2) P (A B); (3) P (AB); (4) P (A B). 解 : (3) 由 A B =, 知 B A. P (AB) = P (B) = b; 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 39 / 95
79 Example 11 设 A B =, P (A) = a, P (B) = b. 求 (1) P (A B); (2) P (A B); (3) P (AB); (4) P (A B). 解 : (4) P (A B) = P (A B) ( 摩根律 ) = 1 P (A B) = 1 a b. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 39 / 95
80 等可能概型 ( 古典概型, Classical probability) 如果随机试验 E 只有有限个事件 e 1, e 2,, e n 可能发生, 且事件 e 1, e 2,, e n 满足下面三条 : e 1, e 2,, e n 发生的可能性相等 ( 等可能性 ); 在任意一次试验中 e 1, e 2,, e n 至少有一个发生 ( 完备性 ); 在任意一次试验中 e 1, e 2,, e n 至多有一个发生 ( 互不相容性 ). 具有上述特性的概型称为古典概型 (Classical probability) 或等可 能概型. e 1, e 2,, e n 称为基本事件 (Basic events). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 40 / 95
81 算法 设在古典概型中, 试验 E 共有 n 个基本事件, 事件 A 包含了 k 个 基本事件, 则事件 A 的概率为 P (A) = k n = A 包含的基本事件数. Ω 中基本事件总数 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 41 / 95
82 算法 设在古典概型中, 试验 E 共有 n 个基本事件, 事件 A 包含了 k 个 基本事件, 则事件 A 的概率为 P (A) = k n = A 包含的基本事件数. Ω 中基本事件总数 证 : 设样本空间 Ω = {e 1, e 2,, e n }, 事件 A = {e i1, e i2,, e ik }. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 41 / 95
83 算法 设在古典概型中, 试验 E 共有 n 个基本事件, 事件 A 包含了 k 个 基本事件, 则事件 A 的概率为 P (A) = k n = A 包含的基本事件数. Ω 中基本事件总数 证 : 设样本空间 Ω = {e 1, e 2,, e n }, 事件 A = {e i1, e i2,, e ik }. 1 = P (Ω) = P ({e 1 } {e 2 } {e n }) = P ({e 1 }) + P ({e 2 }) + + P ({e n }) ( 互不相容性 ) = np ({e i }). ( 等可能性 ) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 41 / 95
84 算法 设在古典概型中, 试验 E 共有 n 个基本事件, 事件 A 包含了 k 个 基本事件, 则事件 A 的概率为 P (A) = k n = A 包含的基本事件数. Ω 中基本事件总数 证 : 设样本空间 Ω = {e 1, e 2,, e n }, 事件 A = {e i1, e i2,, e ik }. 1 = P (Ω) = P ({e 1 } {e 2 } {e n }) = P ({e 1 }) + P ({e 2 }) + + P ({e n }) ( 互不相容性 ) = np ({e i }). ( 等可能性 ) 所以, P ({e 1 }) = P ({e 2 }) = = P ({e n }) = 1 n. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 41 / 95
85 算法 设在古典概型中, 试验 E 共有 n 个基本事件, 事件 A 包含了 k 个 基本事件, 则事件 A 的概率为 P (A) = k n = A 包含的基本事件数. Ω 中基本事件总数 证 : 设样本空间 Ω = {e 1, e 2,, e n }, 事件 A = {e i1, e i2,, e ik }. 1 = P (Ω) = P ({e 1 } {e 2 } {e n }) = P ({e 1 }) + P ({e 2 }) + + P ({e n }) ( 互不相容性 ) = np ({e i }). ( 等可能性 ) 所以, P ({e 1 }) = P ({e 2 }) = = P ({e n }) = 1 n. 得 P (A) = P ({e i1 } {e i2 } {e ik }) = k 1 n. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 41 / 95
86 P (A) = k n Example 12 掷骰子试验, 设 A = { 偶数点 } = {2, 4, 6}. 则 P = 3 6 = 1 2. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 42 / 95
87 古典概型的基本模型 : 摸球模型 不放回抽样 Example 13 袋中有 4 个黄色球, 2 个红色球. 不放回地抽取两个球, 求事件的概 率 : 1 两次为黄色 ; 2 同色 ; 3 至少有一只黄色. ( 4 解 : 1 P (A) = ( 2) 6 ) = ( 4 ) ( P (B) = ( 2) 6 ) = P (C) = ( 2 2) ( 6 ) = 1 15, 得 P (C) = 1 P (C) = 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 43 / 95
88 古典概型的基本模型 : 摸球模型 放回抽样 Example 14 袋中有 4 个黄色球, 2 个红色球. 有放回地抽取两个球, 求事件的概 率 : 1 两次为黄色 ; 2 同色 ; 3 至少有一只黄色. ( 4 )( 4 1 解 : 1 P (A) = ( 1) 6 )( 6 ) = P (B) = 3 P (C) = ( 4 )( 4 ) ( )( 2 1 1) ( 6 )( 6 ) = ( 4 )( 2 ) ( )( 4 1 1) ( 6 )( 6 ) = 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 44 / 95
89 Example 15 在箱中装有 100 个产品, 其中有 3 个次品. 从这箱产品中任意抽 5 个, 求抽得 5 个产品中恰有一个次品的概率. 解 : 从 100 个产品中任意抽取 5 个产品, 共有 C100 5 种抽取方法, 事件 A={ 有 1 个次品, 4 个正品 } 的取法共有 C3 1C4 97 种取法. 得 P (A) = C1 3 C4 97 C 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 45 / 95
90 Example 16 将 N 个球随机地放入 m 个盒子中 (m > N), 求 : 每个盒子最多有 一个球的概率. 解 : 先求 N 个球随机地放入 m 个盒子的方法总数. 因为每个球都可以落入 m 个盒子中的任何一个, 有 m 种不同的放法, 所以 N 个球放入 m 个盒子共有 m m m = m }{{} N 种不同的放法. N
91 Example 16 将 N 个球随机地放入 m 个盒子中 (m > N), 求 : 每个盒子最多有 一个球的概率. 解 : 先求 N 个球随机地放入 m 个盒子的方法总数. 因为每个球都可以落入 m 个盒子中的任何一个, 有 m 种不同的放法, 所以 N 个球放入 m 个盒子共有 m m m = m }{{} N 种不同的放法. N 事件 A={ 每个盒子最多有一个球 } 的放法. 第一个球可以放进 m 个盒子之一, 有 m 种放法 ;
92 Example 16 将 N 个球随机地放入 m 个盒子中 (m > N), 求 : 每个盒子最多有 一个球的概率. 解 : 先求 N 个球随机地放入 m 个盒子的方法总数. 因为每个球都可以落入 m 个盒子中的任何一个, 有 m 种不同的放法, 所以 N 个球放入 m 个盒子共有 m m m = m }{{} N 种不同的放法. N 事件 A={ 每个盒子最多有一个球 } 的放法. 第一个球可以放进 m 个盒子之一, 有 m 种放法 ;
93 Example 16 将 N 个球随机地放入 m 个盒子中 (m > N), 求 : 每个盒子最多有 一个球的概率. 解 : 先求 N 个球随机地放入 m 个盒子的方法总数. 因为每个球都可以落入 m 个盒子中的任何一个, 有 m 种不同的放法, 所以 N 个球放入 m 个盒子共有 m m m = m }{{} N 种不同的放法. N 事件 A={ 每个盒子最多有一个球 } 的放法. 第一个球可以放进 m 个盒子之一, 有 m 种放法 ; 第二个球只能放进余 下的 m 1 个盒子之一, 有 m 1 种放法 ;, 第 N 个球只能放进余下 的 m (N 1) 个盒子之一, 即有 m N + 1 种放法 ;
94 Example 16 将 N 个球随机地放入 m 个盒子中 (m > N), 求 : 每个盒子最多有 一个球的概率. 解 : 先求 N 个球随机地放入 m 个盒子的方法总数. 因为每个球都可以落入 m 个盒子中的任何一个, 有 m 种不同的放法, 所以 N 个球放入 m 个盒子共有 m m m = m }{{} N 种不同的放法. N 事件 A={ 每个盒子最多有一个球 } 的放法. 第一个球可以放进 m 个盒子之一, 有 m 种放法 ; 第二个球只能放进余 下的 m 1 个盒子之一, 有 m 1 种放法 ;, 第 N 个球只能放进余下 的 m (N 1) 个盒子之一, 即有 m N + 1 种放法 ; 所以共有 m(m 1) (m N + 1) 种不同的放法.
95 Example 16 将 N 个球随机地放入 m 个盒子中 (m > N), 求 : 每个盒子最多有 一个球的概率. 解 : 先求 N 个球随机地放入 m 个盒子的方法总数. 因为每个球都可以落入 m 个盒子中的任何一个, 有 m 种不同的放法, 所以 N 个球放入 m 个盒子共有 m m m = m }{{} N 种不同的放法. N 事件 A={ 每个盒子最多有一个球 } 的放法. 第一个球可以放进 m 个盒子之一, 有 m 种放法 ; 第二个球只能放进余 下的 m 1 个盒子之一, 有 m 1 种放法 ;, 第 N 个球只能放进余下 的 m (N 1) 个盒子之一, 即有 m N + 1 种放法 ; 所以共有 m(m 1) (m N + 1) 种不同的放法. 得事件 A 的概率为 P (A) = m(m 1) (m N + 1) m N
96 生日相同概率 考虑 任意 n ( 365) 个人中至少有两人生日相同 问题.( 假定一年 为 365 天.) 这相当于把 n ( 365) 个球放入 365 个盒子. 先看这 n 个人的生日各不相同的概率, 即 每个盒子最多有一 个球的概率. 原问题所求的概率为 p = (365 n + 1) 365 n 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 47 / 95
97 生日相同概率 考虑 任意 n ( 365) 个人中至少有两人生日相同 问题.( 假定一年 为 365 天.) 这相当于把 n ( 365) 个球放入 365 个盒子. 先看这 n 个人的生日各不相同的概率, 即 每个盒子最多有一 个球的概率. 原问题所求的概率为 p = (365 n + 1) 365 n 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 47 / 95
98 生日相同概率 考虑 任意 n ( 365) 个人中至少有两人生日相同 问题.( 假定一年 为 365 天.) 这相当于把 n ( 365) 个球放入 365 个盒子. 先看这 n 个人的生日各不相同的概率, 即 每个盒子最多有一 个球的概率. 原问题所求的概率为 p = (365 n + 1) 365 n 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 47 / 95
99 生日相同概率 考虑 任意 n ( 365) 个人中至少有两人生日相同 问题.( 假定一年 为 365 天.) 这相当于把 n ( 365) 个球放入 365 个盒子. 先看这 n 个人的生日各不相同的概率, 即 每个盒子最多有一 个球的概率. 原问题所求的概率为 p = (365 n + 1) 365 n 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 47 / 95
100 生日相同概率 考虑 任意 n ( 365) 个人中至少有两人生日相同 问题.( 假定一年 为 365 天.) 这相当于把 n ( 365) 个球放入 365 个盒子. 先看这 n 个人的生日各不相同的概率, 即 每个盒子最多有一 个球的概率. 原问题所求的概率为 p = (365 n + 1) 365 n n p 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 47 / 95
101 鞋子配对问题 Example 17 从 6 双不同的鞋子中任取 4 只, 求下列事件的概率 : 1 A ={ 其中恰有一双配对 }; 2 B ={ 至少有两只鞋子配成一双 }. 解 : 1 分析 : 先从 6 双中取出一双, 两只全取 ; 再从剩下的 5 双中任 取两双, 每双中取一只. 则 A 中所含样本点数为 C 1 6 C2 2 C2 5 C1 2 C1 2. 所以 P (A) = C1 6 C2 2 C2 5 C1 2 C1 2 C 4 12 = 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 48 / 95
102 鞋子配对问题 2 从 6 双不同的鞋子中任取 4 只, 至少有两只鞋子配成一双. P (B) = 1 P (B) = 1 C4 6 C1 2 C1 2 C1 2 C1 2 C 4 12 = 或 P (B) = C1 6 C2 5 C1 2 C1 2 + C2 6 C 4 12 = 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 49 / 95
103 鞋子配对问题 从 6 双不同的鞋子中任取 4 只, 至少有两只鞋子配成一双 能否 P (B) = C1 6 C2 2 C2 10 C 4 12 = 6 11??? 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 50 / 95
104 鞋子配对问题 从 6 双不同的鞋子中任取 4 只, 至少有两只鞋子配成一双 能否 P (B) = C1 6 C2 2 C2 10 C 4 12 = 6 11??? 不能把有利事件数取为 C6 1C2 2 C2 10 : 设鞋子标有号码 1, 2,..., 6, C6 1 可能取中第 i 双鞋, 此时 C10 2 可能取中 j 双鞋, C6 1 可能取中第 j 双鞋, 此时 C10 2 可能取中 i 双鞋, 这样第 i 双鞋和第 j 双鞋被重复计数, 多出了 C6 2 个事件. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 50 / 95
105 抽签公平性问题 Example 18 袋中有 a 只黑球, b 只白球, k 个人依次在袋中取一只球, 1 作放回抽样 ; 2 作不放回抽样, 求 A ={ 第 k 个人摸出的一只球为黑球 } 的概率 (1 k a + b). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 51 / 95
106 抽签公平性问题 Example 18 袋中有 a 只黑球, b 只白球, k 个人依次在袋中取一只球, 1 作放回抽样 ; 2 作不放回抽样, 求 A ={ 第 k 个人摸出的一只球为黑球 } 的概率 (1 k a + b). 解 : 1 放回抽样 : P (A) = ( a ( 1) a+b ) = a a + b. 1 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 51 / 95
107 抽签公平性问题 解 : 别. 于是 2 ( 解法一 ) 将 a 只黑球看作没有区别, b 只白球也看作没有区 把 a + b 只球一一摸出排在 a + b 个位置上, 事件总数即 a + b 个位置中取出 a 个位置来放黑球 ( 其余为摸白球 ) 的取法. ( ) a + b 样本点总数 n =. a 完成事件 A 可以分两步 : 第 K 个位置固定为黑球, 有一种完成 方法 ; 其余 a + b 1 个位置中取出 a 1 个来放黑球, 即为 ). ( a+b 1 a 1 P (A) = ( a+b 1 a 1 ( a+b a ) ) = a a + b 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 52 / 95
108 抽签公平性问题 解 : 2 ( 解法二 ) 视每个球是有区别的 : 将 a 只黑球及 b 只白球编号后一一取出排成一列, 则所有可能的排法为 n = (a + b)!. 完成事件 A 可以分两步 : 第 K 个位置放一个黑球, 有 a 种放法 ; 把剩下的 a 1 只黑球和 b 只白球排列到其余 a + b 1 个位置, 有 (a + b 1)! 种放法. 故 P (A) = a (a + b 1)! (a + b)! = a a + b. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 53 / 95
109 条件概率 (Conditional probability) 条件概率是讨论 事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的概率. 记为 P (B A). 计算公式为 P (B A) = P (AB) P (A), 其中 P (A) > 0. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 54 / 95
110 一个不严格的解释 借助频率进行非严格的说明 : 在 n 次试验中, A 发生 k 次, B 发生 r 次. 其中 AB 同时发生有 m 次. Ω A B k m r 则在 A 发生的条件下, B 发生的可能性为 而 P (AB) = m n, P (A) = k n, 所以 m k = P (B A). P (B A) = m k = m/n k/n = P (AB) P (A). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 55 / 95
111 条件概率的定义 Definition 19 (Conditional probability) 设 A, B 是两个事件, 且 P (A) > 0, 称 P (B A) = P (AB) P (A) 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 56 / 95
112 条件概率 条件概率 P (B A) 也满足概率的相关性质与公式. 比如 P (B A) = 1 P ( B A ). (16) P (B 1 B 2 A) = P (B 1 A) + P (B 2 A) P (B 1 B 2 A). (17) 其中, 若 B 1, B 2 互不相容, 有 P (B 1 B 2 A) = P (B 1 A) + P (B 2 A). (18) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 57 / 95
113 Example 20 盒子里有 6 个红球, 4 个黑球, 不放回地取两次. 记 A ={ 第一次取 得红球 }, B ={ 第二次取得红球 }. 求 P (B A).
114 Example 20 盒子里有 6 个红球, 4 个黑球, 不放回地取两次. 记 A ={ 第一次取 得红球 }, B ={ 第二次取得红球 }. 求 P (B A). 解 : 因为 P (A) = 6 10 = 3 ( 6 5 ) 1)( 5, P (AB) = 1 ( 10 )( 9 ) = = 所以, P (B A) = P (AB) = 1/3 P (A) 3/5 = 5 9.
115 Example 20 盒子里有 6 个红球, 4 个黑球, 不放回地取两次. 记 A ={ 第一次取 得红球 }, B ={ 第二次取得红球 }. 求 P (B A). 解 : 因为 P (A) = 6 10 = 3 ( 6 5 ) 1)( 5, P (AB) = 1 ( 10 )( 9 ) = = 所以, P (B A) = P (AB) = 1/3 P (A) 3/5 = 5 9. or 由题意, A 发生后, 9 个球 = 5 红 + 4 黑. 所以 ( 5 P (B A) = ( 1) 9 = 1) 5 9.
116 Example 20 盒子里有 6 个红球, 4 个黑球, 不放回地取两次. 记 A ={ 第一次取 得红球 }, B ={ 第二次取得红球 }. 求 P (B A). 解 : 因为 P (A) = 6 10 = 3 ( 6 5 ) 1)( 5, P (AB) = 1 ( 10 )( 9 ) = = 所以, P (B A) = P (AB) = 1/3 P (A) 3/5 = 5 9. or 由题意, A 发生后, 9 个球 = 5 红 + 4 黑. 所以 ( 5 P (B A) = ( 1) 9 = 1) 5 9. 条件概率的两种求法 1 用公式 ; 2 直接 缩小样本 求解.
117 乘法公式 由条件概率容易推得乘法公式 : P (AB) = P (A)P (B A) = P (B)P (A B) 利用这个公式可以计算积事件. 推广到 n 个事件的情形 : 若 P (A 1 A 2 A n ) > 0, 则 P (A 1 A 2 A n ) =P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 59 / 95
118 Example 21 在一批由 90 件正品, 3 件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件 产品, 问 第一件取正品且第二件取次品 的概率. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 60 / 95
119 Example 21 在一批由 90 件正品, 3 件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件 产品, 问 第一件取正品且第二件取次品 的概率. 解 : 设事件 A= { 第一件取正品 }; 事件 B= { 第二件取次品 }. 按题意, 由乘法公式 P (A) = 90 93, P (B A) = P (AB) = P (A)P (B A) = = 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 60 / 95
120 Example 21 在一批由 90 件正品, 3 件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件 产品, 问 第一件取正品且第二件取次品 的概率. 解 : 设事件 A= { 第一件取正品 }; 事件 B= { 第二件取次品 }. 按题意, 由乘法公式 P (A) = 90 93, P (B A) = P (AB) = P (A)P (B A) = = 这个例子直接求解更简单 : P = ( 90 1 ( 93 1 )( 3 1) )( 92 1 ) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 60 / 95
121 全概率公式 Definition 22 ( 样本空间的划分 ) B 1, B 2,, B n 为样本空间 Ω 的一组事件, 且满足 : B 1, B 2,, B n 互不相容 ; B 1 B 2 B n = Ω. 则称 B 1, B 2,, B n 为样本空间 Ω 的一个划分. S B 1 B 2 B n 这与集合里的划分概念是一样的. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 61 / 95
122 全概率公式 如图, Ω = B 1 B 2 B 3 B 4. 由图可见 P (A) = P (AB 1 ) + P (AB 2 ) + P (AB 3 ) + P (AB 4 ) AB 1 S B 1 B 3 AB 3 A AB 2 B 2 B 4 AB 4 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 62 / 95
123 全概率公式 如图, Ω = B 1 B 2 B 3 B 4. 由图可见 P (A) = P (AB 1 ) + P (AB 2 ) + P (AB 3 ) + P (AB 4 ) AB 1 S B 1 B 3 AB 3 A AB 2 B 2 B 4 AB 4 由乘法公式, P (AB i ) = P (B i )P (A B i ). 所以 P (A) = P (AB 1 ) + P (AB 2 ) + P (AB 3 ) + P (AB 4 ) = P (B 1 )P (A B 1 ) + P (B 2 )P (A B 2 ) + P (B 3 )P (A B 3 ) + P (B 4 )P (A B 4 ). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 62 / 95
124 全概率公式 (Complete probability formula) Theorem 23 ( 全概率公式 ) 设 B 1, B 2,, B n 为样本空间 Ω 的一个划分, 且 P (B i ) > 0 (i = 1, 2,, n). 则 P (A) = P (B 1 ) P (A B 1 ) + P (B 2 ) P (A B 2 ) + + P (B n ) P (A B n ). 上式称为全概率公式. S B n A B n 1 B 3 B 1 B 2 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 63 / 95
125 Example 24 从装有 a 只黑球, b 只白球的袋中无放回地摸球两次, 记 A= 第一 次摸到黑球, B= 第二次摸到黑球. 用全概率公式求 P (B). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 64 / 95
126 Example 24 从装有 a 只黑球, b 只白球的袋中无放回地摸球两次, 记 A= 第一 次摸到黑球, B= 第二次摸到黑球. 用全概率公式求 P (B). 解 : P (B) = P (A)P (B A) + P (A)P (B A) = a a + b a 1 a + b 1 + = a a + b b a + b a a + b 1 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 64 / 95
127 一类题目的解法 Example 25 (1993 年考研题, 3 分 ) 一批产品有 10 个正品和 2 个次品, 任意抽取两次, 每次抽一个, 抽 出后不放回, 则第二次抽出的是次品的概率为. Example 26 (1997 数学一 3 分 ) 袋中有 50 个乒乓球, 其中 20 个是黄球, 30 个是白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回, 则第 2 个人取得黄球的概率是. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 65 / 95
128 Example 27 某工厂有四条流水线生产同一种产品, 该四条流水线的产量分别占总产量的 15%, 20%, 30%, 35%, 又这四条流水线的次品率依次为 0.05, 0.04, 0.03, 0.02, 现从出厂产品属任取一件, 问恰好取到次品的概率为多少? 解 : 令 A ={ 任取一件出厂产品为次品 }, B i ={ 所抽产品中第 i 条流水线生产 }(i = 1, 2, 3, 4). 则 4 P (A) = P (B i ) P (A B i ) i=1 = (19) = = 3.15% 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 66 / 95
129 现从出厂产品中抽到一件次品, 但该次品是哪一条流水线生产的标 志已经脱落, 问厂方应如何处理这件次品的经济责任才合理. 不难理解, 可按 P (B 4 A) 的大小来追究第 4 条流水线的责任. P (B 4 A) = P (B 4A) P (A) = P (B 4) P (A B 4 ) 4 P (B i )P (A B i ) i=1 = = (20) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 67 / 95
130 Bayes 公式 任一事件 A, 若 B 1, B 2,, B n 样本空间 Ω 的一个划分, 且 P (A) > 0, P (B i ) > 0 (i = 1, 2,, n.). 则 P (B i A) = P (B i) P (A B i ), i = 1, 2,, n. (21) P (B j ) P (A B j ) j=1 (??) 式称为贝叶斯公式 (Bayes). 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 68 / 95
131 全概率公式和 Bayes 公式 全概率公式和 Bayes 公式是概率论中的两个重要公式, 有着广泛的应用. 若把事件 B i 理解为 原因, 而把 A 理解为 结果, 全概率公式表达了 综合考虑引起结果 A 的各种原因 B i, 计算导致结果 A 出现的可能性的大小 ; Bayes 公式则反映了 当结果 A 出现时, 它是由原因 B i 引起的可能性的大小. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 69 / 95
132 全概率公式和 Bayes 公式 全概率公式和 Bayes 公式是概率论中的两个重要公式, 有着广泛的应用. 若把事件 B i 理解为 原因, 而把 A 理解为 结果, 全概率公式表达了 综合考虑引起结果 A 的各种原因 B i, 计算导致结果 A 出现的可能性的大小 ; Bayes 公式则反映了 当结果 A 出现时, 它是由原因 B i 引起的可能性的大小. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 69 / 95
133 全概率公式和 Bayes 公式 通俗地说, 如果一个事件的发生有多个 诱因, 就要用到全概率公式. 所谓 全, 就是要全面考虑各种诱因. Bayes 公式常用来追究责任, 或者 执果索因. 也就是计算各个 诱因 对事件发生的 贡献. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 70 / 95
134 一个典型例题 Example 28 发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号 0 和 1. 由于通讯系统受到干扰, 当发出信号 0 时, 收报台未必收到信号 0, 而是分别以 0.8 和 0.2 的概率收到 0 和 1; 同样, 发出 1 时分别以 0.9 和 0.1 的概率收到 1 和 0. 如果收报台收到 0, 问它没收错的概率? 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 71 / 95
135 解 : 设 A={ 发报台发出信号 0}, A={ 发报台发出信号 1}; B={ 收报台收到 0}, B={ 收报台收到 1}.
136 解 : 设 A={ 发报台发出信号 0}, A={ 发报台发出信号 1}; B={ 收报台收到 0}, B={ 收报台收到 1} 于是, P (A) = 0.6, P (A) = 0.4, P (B A) = 0.8, P (B A) = 0.2, P (B A) = 0.9, P (B A) = 0.1. 问题即求 P (A B).
137 解 : 设 A={ 发报台发出信号 0}, A={ 发报台发出信号 1}; B={ 收报台收到 0}, B={ 收报台收到 1} 于是, P (A) = 0.6, P (A) = 0.4, P (B A) = 0.8, P (B A) = 0.2, P (B A) = 0.9, P (B A) = 0.1. 问题即求 P (A B). 按贝叶斯公式, 有 P (A B) = P (AB) P (B) = P (A)P (B A) = P (A)P (B A) + P (A)P (B A) = 12 13
138 解题的一般步骤 这是古典概型里面一个比较典型的例题, 从这里我们可以看到解题的一般方法 : 1 把题目中出现的事件 ( 或者说 动作 ) 赋予记号 ; 2 把题设的条件用这些符号来翻译 ; 求解的问题也翻译成记号 ; 3 再来选择要使用的公式求解. 总的来说, 解这类题还是比较机械的 : 把题目翻译成数学语言, 则求解的方法自然 水到渠成! 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 73 / 95
139 Example 29 某机器由 a, b, c 三类元件构成, 其所占比例分别为 0.1, 0.4, 0.5, 且其发生故障的概率分别为 0.7, 0.1, 0.2. 现机器发生了故障, 问应先从哪个元件开始检查?
140 所以应从 c 元件开始检查. Example 29 某机器由 a, b, c 三类元件构成, 其所占比例分别为 0.1, 0.4, 0.5, 且其发生故障的概率分别为 0.7, 0.1, 0.2. 现机器发生了故障, 问应先从哪个元件开始检查? 解 : 设 D={ 发生故障 }; A={ 元件是 a 类 }; B={ 元件是 b 类 }; C={ 元件是 c 类 }. 由 P (D) = P (A)P (D A) + P (B)P (D B) + P (C)P (D C) = = 0.21 又 P (A D) = P (AD) = 7/21 P (D) (22) P (B D) = 4/21 (23) P (C D) = 10/21 (24)
141 事件的独立性 Definition 30 对任意两个事件 A, B, 若有 P (AB) = P (A)P (B) 则称事件 A 与 B 相互独立, 简称 A, B 独立. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 75 / 95
142 独立的性质 若 P (A) > 0, 则 A 与 B 相互独立 P (B) = P (B A). A 与 B 独立, 则下列各对事件也相互独立 : A 与 B, A 与 B, A 与 B. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 76 / 95
143 独立 v.s. 互不相容 事件的独立与事件的互不相容是两个不同的概念 : 独立是说, 事件的发生相互没有影响, 没有关联. 独立事件可以同时发生 ; 互不相容, 则两个事件不能同时发生. 这两个事件之间是有关联的! 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 77 / 95
144 独立性 Example 31 投掷两枚均匀的骰子一次, 求出现两个 6 点的概率. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 78 / 95
145 独立性 Example 31 投掷两枚均匀的骰子一次, 求出现两个 6 点的概率. 解 : 设 A={ 第一枚骰子出现 6}; B={ 第二枚骰子出现 6}. 则 P (AB) = P (A)P (B) = = 1 36 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 78 / 95
146 独立性 Example 31 投掷两枚均匀的骰子一次, 求出现两个 6 点的概率. 解 : 设 A={ 第一枚骰子出现 6}; B={ 第二枚骰子出现 6}. 则 P (AB) = P (A)P (B) = = 1 36 在实际应用中, 常常利用直观来判断事件的相互独立性, 而不需要 用定义公式来验证. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 78 / 95
147 例题 Example 32 甲乙二人同时向同一目标射击一次, 甲击中率为 0.8, 乙击中率为 0.6. 求在一次射击中, 目标被击中的概率. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 79 / 95
148 例题 Example 32 甲乙二人同时向同一目标射击一次, 甲击中率为 0.8, 乙击中率为 0.6. 求在一次射击中, 目标被击中的概率. 解 : 设 A={ 甲击中目标 }, B={ 乙击中目标 }, C={ 目标被击中 }, 则 C = A B 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 79 / 95
149 例题 Example 32 甲乙二人同时向同一目标射击一次, 甲击中率为 0.8, 乙击中率为 0.6. 求在一次射击中, 目标被击中的概率. 解 : 设 A={ 甲击中目标 }, B={ 乙击中目标 }, C={ 目标被击中 }, 则 C = A B P (C) = P (A B) = P (A) + P (B) P (AB) = P (A) + P (B) P (A)P (B) = = 0.92 (25) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 79 / 95
150 例题 Example 32 甲乙二人同时向同一目标射击一次, 甲击中率为 0.8, 乙击中率为 0.6. 求在一次射击中, 目标被击中的概率. 解 : 设 A={ 甲击中目标 }, B={ 乙击中目标 }, C={ 目标被击中 }, 则 C = A B 或者 P (A B) = 1 P (A B) = 1 P (A B) (25) = 1 P (A)P (B) = 1 (1 0.8)(1 0.6) = 0.92 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 79 / 95
151 思考 若 P (A) > 0, P (B) > 0, 且 P (A B) + P (A B) = 1. 则 A, B 相互独立. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 80 / 95
152 多个事件的独立 Definition 33 对于三个事件 A, B, C, 若下列四个等式同时成立 P (AB) = P (A)P (B), (26) P (AC) = P (A)P (C), (27) P (BC) = P (B)P (C), (28) P (ABC) = P (A)P (B)P (C). (29) 则称 A, B, C 相互独立. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 81 / 95
153 多个事件的独立 Definition 33 对于三个事件 A, B, C, 若下列四个等式同时成立 P (AB) = P (A)P (B), (26) P (AC) = P (A)P (C), (27) P (BC) = P (B)P (C), (28) P (ABC) = P (A)P (B)P (C). (29) 则称 A, B, C 相互独立. 事件 A, B, C 两两独立 不能推出 事件 A, B, C 相互独立. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 81 / 95
154 多个事件的独立性 Definition 34 对任意 n 个事件 A 1, A 2,.., A n, 若 : P (A i A j ) = P (A i )P (A j ), 1 i < j n (30) P (A i A j A k ) = P (A i )P (A j )P (A k ), 1 i < j < k n (31) (32) P (A 1 A 2 A n ) = P (A 1 )P (A 2 ) P (A n ) (33) 均成立, 则称 A 1, A 2,.., A n 相互独立. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 82 / 95
155 Example 35 用步枪射击飞机, 设每支步枪命中率均为 0.004, 求 : 1 用 250 支步枪同时射击一次, 飞机被击中的概率 ; 2 若想以 0.99 的概率击中飞机, 至少需要多少支步枪同时射击?
156 Example 35 用步枪射击飞机, 设每支步枪命中率均为 0.004, 求 : 1 用 250 支步枪同时射击一次, 飞机被击中的概率 ; 2 若想以 0.99 的概率击中飞机, 至少需要多少支步枪同时射击? 解 : 1 设 A i ={ 第 i 支步枪击中飞机 }, 问题即求 P (A 1 A 2 A n ).
157 Example 35 用步枪射击飞机, 设每支步枪命中率均为 0.004, 求 : 1 用 250 支步枪同时射击一次, 飞机被击中的概率 ; 2 若想以 0.99 的概率击中飞机, 至少需要多少支步枪同时射击? 解 : 1 设 A i ={ 第 i 支步枪击中飞机 }, 问题即求 P (A 1 A 2 A n ). P (A 1 A 2 A n ) = 1 P (A 1 A 2 A n ) = 1 P (A 1 A 2 A n ) = 1 P (A 1 )P (A 2 ) P (A n ) = (34)
158 Example 35 用步枪射击飞机, 设每支步枪命中率均为 0.004, 求 : 1 用 250 支步枪同时射击一次, 飞机被击中的概率 ; 2 若想以 0.99 的概率击中飞机, 至少需要多少支步枪同时射击? 解 : 2 即满足条件 n 0.99, 得 n 1150.
159 和事件的概率的求法 总结 P (A B) 在不同场合下的求法. 一般公式 : P (A B) = P (A) + P (B) P (AB). 若 A, B 互不相容 : P (A B) = P (A) + P (B). 若 A, B 相互独立 : P (A B) = 1 P (A B) = 1 P (A B) = 1 P (A)P (B) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 84 / 95
160 积事件的概率的求法 一般公式 : P (A B) = P (A)P (B A) = P (B)P (A B) 若 A, B 相互独立 : P (A B) = P (A)P (B) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 85 / 95
161 伯努利概型 1 Bernoulli 试验 有且仅有两个结果 A, A 的试验. 一般记 P (A) = p, P (A) = q = 1 p. 2 Bernoulli 概型 n 次重复独立 Bernoulli 试验. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 86 / 95
162 n 次 Bernoulli 试验中 A 发生 k 次的概率 : P n (k) 1 前 k 次发生 : 2 有 P (A} {{ A} A } {{ A} ) = p k (1 p) n k k n k ( n k) 种不同的方式, 每一方式互不相容 : P n (k) = ( ) n p k (1 p) n k k 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 87 / 95
163 n 次 Bernoulli 试验中 A 发生 k 次的概率 : P n (k) 1 前 k 次发生 : 2 有 P (A} {{ A} A } {{ A} ) = p k (1 p) n k k n k ( n k) 种不同的方式, 每一方式互不相容 : P n (k) = ( ) n p k (1 p) n k k 特点 : ( n k) p k (1 p) n k [ ] n 是 p + (1 p) 的牛顿二项式展开的一般项. [ p + (1 p) ] n = n k=0 ( ) n p k (1 p) n k = 1 k 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 87 / 95
164 Example 36 设某士兵打靶的击中率为 0.7, 现独立重复地射击 3 次, 求 1 A={ 恰好击中一次 } 的概率. 2 B={ 至少击中一次 } 的概率. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 88 / 95
165 Example 36 设某士兵打靶的击中率为 0.7, 现独立重复地射击 3 次, 求 1 A={ 恰好击中一次 } 的概率. 2 B={ 至少击中一次 } 的概率. 解 : 1 P (A) = ( 3 1) = = 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 88 / 95
166 Example 36 设某士兵打靶的击中率为 0.7, 现独立重复地射击 3 次, 求 1 A={ 恰好击中一次 } 的概率. 2 B={ 至少击中一次 } 的概率. 解 : 1 P (A) = ( 3 1) = = P (B) = 1 P (B) = = 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 88 / 95
167 Example 37 现有 5 台供水设备. 在任一时刻, 每台设备被使用的概率为 0.1, 求在某一时刻下列事件的概率 : 1 恰有 2 个被使用 ; 2 至少有 3 个被使用 ; 3 至多有 3 个被使用 ; 4 至少有 1 个被使用.
168 Example 37 现有 5 台供水设备. 在任一时刻, 每台设备被使用的概率为 0.1, 求在某一时刻下列事件的概率 : 1 恰有 2 个被使用 ; 2 至少有 3 个被使用 ; 3 至多有 3 个被使用 ; 4 至少有 1 个被使用. 1 P (A 1 ) = ( 5 2) = P (A 2 ) = ( ) ( 5 4) = P (A 3 ) = ( ) ( ) ( ) = P (A 4 ) = 1 P (A 4 ) = =
169 Example 37 现有 5 台供水设备. 在任一时刻, 每台设备被使用的概率为 0.1, 求在某一时刻下列事件的概率 : 1 恰有 2 个被使用 ; 2 至少有 3 个被使用 ; 3 至多有 3 个被使用 ; 4 至少有 1 个被使用. 1 P (A 1 ) = ( 5 2) = P (A 2 ) = ( ) ( 5 4) = P (A 3 ) = ( ) ( ) ( ) = P (A 4 ) = 1 P (A 4 ) = =
170 Example 37 现有 5 台供水设备. 在任一时刻, 每台设备被使用的概率为 0.1, 求在某一时刻下列事件的概率 : 1 恰有 2 个被使用 ; 2 至少有 3 个被使用 ; 3 至多有 3 个被使用 ; 4 至少有 1 个被使用. 1 P (A 1 ) = ( 5 2) = P (A 2 ) = ( ) ( 5 4) = P (A 3 ) = ( ) ( ) ( ) = P (A 4 ) = 1 P (A 4 ) = =
171 Example 37 现有 5 台供水设备. 在任一时刻, 每台设备被使用的概率为 0.1, 求在某一时刻下列事件的概率 : 1 恰有 2 个被使用 ; 2 至少有 3 个被使用 ; 3 至多有 3 个被使用 ; 4 至少有 1 个被使用. 1 P (A 1 ) = ( 5 2) = P (A 2 ) = ( ) ( 5 4) = P (A 3 ) = ( ) ( ) ( ) = P (A 4 ) = 1 P (A 4 ) = =
172 几何概率 Example 38 ( 一个简单的例子 ) 假设在一个 5 万平方公里的海域里有表面积达 40 平方公里的大陆架贮藏着石油. 如果在此海域里随意选取一点钻探, 问钻到石油的概率是多少? Sea Oil 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 90 / 95
173 几何概率 Example 38 ( 一个简单的例子 ) 假设在一个 5 万平方公里的海域里有表面积达 40 平方公里的大陆架贮藏着石油. 如果在此海域里随意选取一点钻探, 问钻到石油的概率是多少? Sea Oil 解 : 在该题中由于选点的随机性, 可以认为该海域中各点被选中的 可能性是一样的, 因而所求概率 自然认为贮油海域的面积与整个 海域面积之比, 即 p = 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 90 / 95
174 几何概率 Definition 39 若以 A 记 在区域 Ω 中随机地取一点, 而该点落在区域 g 中 这一 事件, 则其概率定义为 : P (A) = µ (g) µ (Ω) 这里 µ ( ) 表示测度, 即是长度 面积 体积等. 这类概率通常称作几何概率. Ω g 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 91 / 95
175 会面问题 Example 40 两人相约 7 点到 8 点在某地会面, 先到者等候另一人 20 分钟, 这 时就可离去, 试求这两人能会面的概率. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 92 / 95
176 会面问题 Example 40 两人相约 7 点到 8 点在某地会面, 先到者等候另一人 20 分钟, 这时就可离去, 试求这两人能会面的概率. 解 : 以 x, y 分别表示两人到达时刻 ( 7 点设为零时刻, 以分钟计 ), 则 0 x, y 60, 且会面的充要条件为 x y y(min) o x(min) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 92 / 95
177 会面问题 Example 40 两人相约 7 点到 8 点在某地会面, 先到者等候另一人 20 分钟, 这时就可离去, 试求这两人能会面的概率. 解 : 以 x, y 分别表示两人到达时刻 ( 7 点设为零时刻, 以分钟计 ), 则 0 x, y 60, 且会面的充要条件为 x y 20. y(min) 这是一几何概率问题, 可能的结果全体 是边长为 60 的正方形里的点, 能会面 的点为图中阴影部分, 所求概率为 P = = 5 9 o x(min) 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 92 / 95
178 Pierre de Fermat Pierre de Fermat 1 (August 17, January 12, 1665) was a French mathematician who is generally given minor credit for the development of modern calculus. His work was such that he is sometimes regarded as the father of, both, differential calculus and number theory. He also made notable contributions to analytic geometry and probability. Together with René Descartes, Fermat was one of the two leading mathematicians of the first half of the 17th century. Independently of Descartes, he discovered the fundamental principle of analytic geometry. Through his correspondence with Blaise Pascal, he was a co-founder of the theory of probability. 1 Available at thinkers/fermat.htm. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 93 / 95
179 Fermat s Last Theorem Fermat worked on number theory while preparing an edition of Diophantus, and the notes and comments thereon contained the numerous theorems of considerable elegance necessary to develop the theory of numbers. Fermat is famous for his Enigma that was an extension of Pythagorean Theorem, also known as Fermat s Last Theorem. 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 94 / 95
180 Andrew John Wiles (born April 11, 1953) Andrew Wiles, Professor of Mathematics, received a special tribute from the International Mathematical Union on August 18. Because he was just past 40 when he completed his final proof of Fermat s Last Theorem, Wiles was not eligible for the Fields Medal, the highest honor in mathematics, which is awarded once every four years to mathematicians 40 and younger. So the IMU awarded him its first-ever silver plaque at this year s congress in Berlin. (News from PRINCETON UNIVERSITY, 1998) return 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 95 / 95
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排列 组合 集合论 随机事件 事件间的关系与运算 频率与概率 4 等可能概型 ( 古典概型 ) 等可能概型 ( 古典概型 ) 生活中有这样一类试验, 它们的共同特点是 : 样本空间的元素只有有限个 ; 每个基本事件发生的可能性相同 比如 : 足球比赛中扔硬币挑边, 围棋比赛中猜先 我们把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型 设 S ={e 1, e,
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第 章随机事件和概率 事件和概率是概率论中的两个基本概念 在这部分内容中, 要熟记事件的关系和运算, 因为在今后的计算中, 经常将一些事件用另一些事件的运算来表示, 文氏图是帮助分析和理解事件运算的重要工具 ; 在计算事件的概率时, 要正确使用加法公式 减法公式 乘法公式 全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式等, 在理解的基础上要记住这些公式并会分析实际问题 考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算
纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式
第 1 章随机事件及其概率 纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式 1.2 随机事件的概率 概率的统计意义 频率 设 是随机试验 E 的一个事件, 在 次重复试验 即试验条件完全相同 中, 事件 发生的次数称为事件 在 次重复试验中发生的频数, 记为 r, 称比值 f = r / 为事件 在 次重复试验中发生的频率 显然有 0
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小结 基本概念 随机实验 随机事件 样本空间 事件的关系及运算 基本事件 复合事件必然事件 不可能事件 三个限定条件 样本点 所有基本事件构成的集合 四种关系和三种运算 概率 定义 性质 定义在样本空间上满足三条公理的集合函数 5 条 非负有界性规范性可列可加性 用概率的公理化定义, 从实验出发直接计算 A) 是困难的, 甚至是不可能的. 某些满足特定条件的实验可以直接计算. 基本事件的发生具有等可能性
概率论与数理统计
概率论与数理统计 主讲 : 杨明磊 Email: mlyag@xidia.edu.c 雷达信号处理国家重点实验室 课件网址 : http://web.xidia.edu.c/mlyag/teach.html ( 中文 ) http://jalo.uice.fr/cours/deeire/cours.deeire.200 8-09-03.4613 ( 法文 ) 课程安排 分两学期完成 前期中文课程 法文
纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式
第 1 章随机事件及其概率 纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式 1.3 条件概率与事件的独立性 条件概率 定义 1.3.1 设 B 为任意两个随机事件, 且 P( > 0, 则称 P(B = P(B / P( 为在事件 发生的条件下, 事件 B 发生的条件概率 例 1: 考察有两个孩子的家庭, 假定男女出生率一样 两个孩子
§1.5 条件概率
概率论与数理统计 主讲教师 : 朱丽娜讲师研究方向 : 智能交通, 车联网与智能驾驶电子邮件 :lzhu@xidia.edu.c 个人主页 :http://web.xidia.edu.c/lzhu/ 第一章概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间 随机事件 1.3 频率与概率 1.4 等可能概型 ( 古典概型 ) 1.5 条件概率 1.6 独立性 2/21 1.5 条件概率 ( 二 )
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Uit 2: Coditioig ad idepedece 本单元内容对应课本 1.5, 1.6 基本要求 理解条件概率的概念, 掌握概率的乘法定理, 理解全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式, 并学会运算和计算 理解事件独立性概念, 掌握伯努力 (Beroulli) 概型和二项概型计算方法 本章的学习重点与难点 难点 : 条件概率的计算与事件独立性的判别 作业 : P 26 : 24, 27,
7-2
第二节 偶然中的必然 概率 主要内容 : 一 概率的定义二 条件概率三 全概率公式和贝叶斯公式 一 概率的定义 1. 概率的统计定义 设 E 为随机试验,A 为随机事件, 对 E 在相同 条件下重复进行 次, 若 A 出现了 m 次, 则 比值 F (A). m 称为 A 在 次试验中出现的频率, 记为 随着 的变化而变化 F ( ) A 单独进行一次试验, 其结果难以预料, 但当 多次重复这个试验时,
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概率论与数理统计 B 2015-2016 第一学期 魏连鑫 理学院应用数学教研室 概率论与数理统计 研究随机现象统计规律的一门数学学科, 是一门基础课 生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是概率问题 Laplace 世界上没有绝对的事情 2 前 言 起源概率论 : 十七世纪, 由赌博 测量误差 航海风险 人生寿命等研究的需要 古典概率论 1930s, 前苏联数学家科尔莫格罗夫借助测度论建立了严格的数学基础
Successful ways to cultivate high quality personnel for exhibition industry
第十一章概率 2012/10/31 1 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科 在现实世界中存在大量的机遇和风险, 概率统计可以为有效处理信息 正确作出决策 捕捉机遇 减少风险提供有力的工具 其应用极其广泛 : 数学的伟大使命是在混沌中发现有序 2012/10/31 2 概率论 : 概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学分支学科 从数学模型进行理论推导, 从同类现象中找出规律性
课程介绍 掌握概率论和数理统计的基本数学知识 训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力 学会解决常见的统计分析问题 是应用型很强的学科 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 2 / 106
概率统计 B 第一章随机事件与概率 根据李东风老师课件修改 2018 春季学期 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 1 / 106 课程介绍 掌握概率论和数理统计的基本数学知识 训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力 学会解决常见的统计分析问题 是应用型很强的学科 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018
& 概率论与数理统计 例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点 次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计
![& 概率论与数理统计 例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点 次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计](/thumbs/97/133162016.jpg "& 概率论与数理统计 例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点 次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计")
& 概率论与数理统计 例 : 在 [0,] [0,] 正方形内随机投点 0000 次, 统计落在 /4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 ~5 章数理统计 6~9 章 2 第 章随机事件与概率. 随机事件 确定性现象 : 在相同条件下, 只能出现一个结果客观现象 随机现象 : 在相同条件下,
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
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07/9/ 任课教师 : 王磊西电电院 600 班概率论讲义基于浙大版教材整理 第一节概率论的基本概念 一 概率论的诞生及应用二 随机现象三 随机试验四 小结 一 概率论的诞生及应用 概率论的诞生 65 年 一个名叫梅累的骑士就 两个赌徒约定赌若干局 且谁先赢 c 局便算赢家 若在一赌徒胜 a 局 a
概率统计
概率论 同济大学王勇智 概率论与数理统计 本学期我们开始概率统计这门课程的学习 概率论与数理统计是随机数学的两个分支, 它们在数学与社会生活的各个领域有着广泛的应用 尤其把它引入到管理 金融 政治等社会学科, 为人们的正确决策提供科学依据, 对社会生活产生深刻影响 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件 1.2 事件关系和运算 1.1 样本空间和随机事件 确定性现象 : 在确定的试验条件下必然会发生的现象
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...1...1 ( )...6... 11...13...14...16...21...22...36...37...38...39...43...44...46...48...48...51 I ( )...53...56...59...62...62...80...82...86...87 ( )...90...93...97 ( )...99... 106... 107... 118 ( )...
MBA 联考大纲基础词汇 (2100)
面授网址 www.szhzba.co 网络课堂 www.sigxue.co 等可能事件的概率 古典概率 知识要点. 基本事件及由基本事件组成的事件 一次试验连同其中可能出现的结果, 称为一个基本事件, 如 : 将一枚均匀硬币先后抛掷两次 的 试验中, 可能出现的结果是 ( 正, 正 ) ( 正, 反 ) ( 反, 正 ) ( 反, 反 ) 其中 将一枚均匀硬币先后抛掷两次, 两次均为正面向上, 将一枚均匀硬币先后抛掷两次,
概率论与数理统计
概率论与数理统计 绪论 随机现象与必然现象 随机试验为对随机现象加以研究所进行的观察或实验 称为试验 若一个试验满足下列三个特点 : 在相同条件下可以重复进行 ; 每次试验的可能结果不止一个 并且事先可以知道试验的所有可能结果 ; 进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果 则称这一试验为随机试验 例如 : 抛掷一枚硬币 观察正面和反面出现的情况 掷一颗筛子 观察出现的点数 对某一目标发射一发炮弹 观察弹着点到目标的距离
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
怎样使孩子更加聪明健康（五）.doc
...1...8...13...19...22...27...35...37 0-1...43...47...50...54...58...62...64...66...71...76...78 I ...81...83...84...86...87...88...90...92...93...94...97...99... 102... 105... 109... 110...111 ABC...
Microsoft Word - Probability.doc
十 一 機 率 (Probability).... 分 立 變 值 (discrete variate) 及 連 續 變 值 (continuous variate)..... 連 續 變 質 (Continuous variate)/ 連 續 變 數 (Continuous variable)..... 分 立 變 值 (Discrete variate)/ 間 斷 變 數 (Discrete variable)....
(1) (2) (3) 1. (1) 2
0386 71.32% 14A 1 (1) (2) (3) 1. (1) 2 (a) (b) (i) (ii) (iii) 3 (iv) (a) (b) (c) (d) 6% 4 2013 3 26 [2013]624 10 5 2013 6 28 [2013]1246 2015 3 [2015]351 0.2 6 [2015]748 180C 7 * * 8 14A (2) 417,800,000
(1) 64 15 2062 50 8 818 60 41606 63 8305 53 3 11201 38 10 216C 2012815 2012815 2012815 2012815 2012815 201464 200211 20128 20128 20128 20128 20146 4 2
(1) 51 41 49 6 6 7 161 4 27 338 2012815 2012815 2012815 200712 20093 20086 211 (1) 64 15 2062 50 8 818 60 41606 63 8305 53 3 11201 38 10 216C 2012815 2012815 2012815 2012815 2012815 201464 200211 20128
马太亨利完整圣经注释—雅歌
第 1 页 目 录 雅 歌 简 介... 2 雅 歌 第 一 章... 2 雅 歌 第 二 章... 10 雅 歌 第 三 章... 16 雅 歌 第 四 章... 20 雅 歌 第 五 章... 25 雅 歌 第 六 章... 32 雅 歌 第 七 章... 36 雅 歌 第 八 章... 39 第 2 页 雅 歌 简 介 我 们 坚 信 圣 经 都 是 神 所 默 示 的 ( 提 摩 太 后 书
二零零六年一月二十三日會議
附 件 B 有 关 政 策 局 推 行 或 正 在 策 划 的 纾 缓 及 预 防 贫 穷 措 施 下 文 载 述 有 关 政 策 局 / 部 门 为 加 强 纾 缓 及 预 防 贫 穷 的 工 作, 以 及 为 配 合 委 员 会 工 作, 在 过 去 十 一 个 月 公 布 及 正 在 策 划 的 新 政 策 和 措 施 生 福 利 及 食 物 局 (i) 综 合 儿 童 发 展 服 务 2.
小儿疾病防治（四）.doc
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厨房小知识（四）
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小儿传染病防治（上）
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聘 僱 人 員 管 理 作 業 參 考 手 冊 行 政 院 人 事 行 政 總 處 編 印 中 華 民 國 104 年 3 月 序 人 事 是 政 通 人 和 的 關 鍵 是 百 事 俱 興 的 基 礎, 也 是 追 求 卓 越 的 張 本 唯 有 人 事 健 全, 業 務 才 能 順 利 推 動, 政 府 施 政 自 然 績 效 斐 然 本 總 處 做 為 行 政 院 人 事 政 策 幕 僚 機
女性青春期保健（下）.doc
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i ii iii iv v vi 1 2 3 4 5 (b) (a) (b) (c) = 100% (a) 6 7 (b) (a) (b) (c) = 100% (a) 2 456 329 13% 12 120 7.1 0.06% 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (a) (b) (c) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 =
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i ii iii iv v vi 1 g j 2 3 4 ==== ==== ==== 5 ==== ======= 6 ==== ======= 7 ==== ==== ==== 8 [(d) = (a) (b)] [(e) = (c) (b)] 9 ===== ===== ===== ===== ===== ===== 10 11 12 13 14 15 16 17 ===== [ ] 18 19
第一节 随机试验 一 概率论的诞生及应用二 随机现象三 随机试验四 小结
概率论与数理统计 第一章概率论的基本概念 主讲教师 : 彭树宏 shuhong.peng@gmail.com 江西财经大学统计学院 第一节 随机试验 一 概率论的诞生及应用二 随机现象三 随机试验四 小结 一 概率论的诞生及应用. 概率论的诞生 654 年 一个名叫梅累的骑士就 两个赌徒约定赌若干局 且谁先赢 c 局便算赢家 若在一赌徒胜 a 局 a
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普通高等教育 十二五 规划教材 概率论与数理统计 主编刘国祥王晓谦解锋昌副主编赵媛媛姚奕冯玉英杜秀丽 北 京 内容简介本书是专为理工经管等非数学与统计学专业编写的 全书共 9 章, 前 5 章属于概率部分, 内容包括事件与概率 随机变量及其分布 随机向量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律与中心极限定理, 后 4 章属于数理统计部分, 内容包括数理统计的基本概念 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析初步
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
第1章 Delphi简介
第 章随机事件及其概率. 随机事件 在自然界和人们的日常活动中经常会遇到许多现象, 这些现象大体可分为两类, 一类 叫必然现象, 另一类叫随机现象所谓必然现象, 是指在一定条件下一定会出现或一定不 会出现的现象例如, 在标准大气压下纯水加热到 00 就会沸腾, 近距离的异性电荷会 相互吸引, 像这样由条件可以确定结果的现象就是必然现象所谓随机现象, 是指在一 定条件下可能出现也可能不出现的现象例如,
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为
. (A) (B) (C) A (D) (E). (A)(B)(C)(D)(E) A
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8 A B C D 9 A B C D 10 ABC D 11 A B C D 12 AB C D 13 A B CD 14 A B C D 15 A B C D 16 A B C D A1 B2 C3 D5 18 ABC D 19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 ABC D 2 AB C D 3 ABC D 4 AB C D 5 300000 153.68 A3.2 B4.3 C0.4 D1.1 6 1000 1 8000 16000 50 10 A4900 B5000 C12900 D600 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 ABC D 11 A B C D 12 AB C D
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i 概 率 统 计 讲 义 原 著 : 何 书 元 课 件 制 作 : 李 东 风 2015 年 秋 季 学 期 ii 目 录 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 3 1.1 试 验 与 事 件............................ 3 1.2 古 典 概 型 与 几 何 概 型....................... 7 1.2.1 古 典 概 型.........................
真理大學105學年度轉系﹑選修輔系﹑加選學系須知
附 件 二 壹 轉 系 : 真 理 大 學 105 學 年 度 轉 系 選 修 輔 系 加 選 學 系 須 知 一 宗 教 文 化 與 組 織 管 理 學 系 : ( 一 ) 對 宗 教 研 究 感 興 趣 者 ( 二 ) 以 書 面 審 查 為 原 則, 必 要 時 得 另 外 進 行 面 試 1. 書 面 審 查 資 料 為 個 人 自 傳 及 大 學 歷 年 成 績 單 2. 若 需 進 行
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2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2
第二章随机变量及其分布 2. 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 连续型随机变量及其分布 3.4 随机变量函数的分布 2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2 . 离散型随机变量的分布律 定义 2.2. 设离散型随机变量 的所有可能的不同取 的值为 x 而 取值,,2, x 的概率为 p, 即 x p,,2,
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概率论与数理统计 25/2/2013 1 主要教学参考书 教材 概率论与数理统计 陈希孺科大出版社 2009 年 2 习题册与资源 作业习题册 ( 教材科 ) 资源网站 课程主页 http://staff.ustc.edu.c/~zwp 答疑交流论坛 http://fisher.stat.ustc.edu.c 3 辅导书 龙永红 高教出版社 2008 年版 4 2012-2013 学年第 1 学期
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科 別 : 國 文 科 (A 區 ) 分 發 16 名 1 600110129 黃 毅 潔 國 立 豐 原 高 級 商 業 職 業 學 校 2 600110446 鄭 安 芸 國 立 南 投 高 級 中 學 3 600110632 李 孟 毓 桃 園 市 立 大 園 國 際 高 級 中 學 4 600110492 洪 珮 甄 南 投 縣 立 旭 光 高 級 中 學 5 600110262 柯 懿 芝
EC(2003-04)18 第 2 頁 (c) 刪 除 以 下 常 額 職 位 2 個 顧 問 醫 生 職 位 第 4 / 第 3 / 第 2 點 ) ( 145,150 元 至 149,600 元 /127,900 元 至 135,550 元 /113,520 元 至 120,553 元 ) (
EC(2003-04)18 財 務 委 員 會 人 事 編 制 小 組 委 員 會 討 論 文 件 2004 年 2 月 11 日 總 目 37 生 署 分 目 000 運 作 開 支 請 各 委 員 向 財 務 委 員 會 提 出 下 述 建 議, 以 便 在 生 署 設 立 生 防 護 中 心 (a) 由 2004 年 4 月 1 日 起 開 設 以 下 新 職 系 和 職 級 生 防 護 中
章节目录 1 随机现象与统计规律性 2 样本空间与事件 3 古典概型 4 几何概型 5 概率空间
概率论 第一章事件与概率 上海财经大学统计与管理学院 章节目录 1 随机现象与统计规律性 2 样本空间与事件 3 古典概型 4 几何概型 5 概率空间 随机现象与统计规律性 S1. 随机现象与统计规律性 一 随机现象 随机现象 太阳从东方升起 : 确定 ; 明天的最高温度 : 不确定 ; 上抛物体一定下落 : 确定 ; 新生婴儿的体重 : 不确定 ; 决定性现象 : 必然发生或必然不发生的现象随机现象
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2-1 ...3...7...8...9...15...23...25...26...27...28...35...35...38...39...39...40...45...45...46...48...50...52...53...56...58...59...59...60...61...61 2-2 1998 12 29 2004 6 8 2004 7 1 2004 6 29 2004 7
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郭 氏 觀 舌 與 養 生 臨 床 養 生 案 例 參 考 郭 志 辰 / 著 良 辰 文 化 事 業 出 版 觀 舌 與 本 草 圖 譜 一 舌 尖 診 斷 與 用 藥 一.1 舌 尖 尖 舌 苔 2 郭 氏 觀 舌 與 養 生 I. 舌 上 焦 養 生 參 考 1-1 舌 尖 尖 舌 舌 尖 尖 舌 苔 就 像 桃 形 一 樣, 稱 為 桃 形 舌 苔, 主 要 是 任 脈 到 督 脈 能 量
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19.01 19.02 19.03 [ 2009 1 1 ] 19.04 (1) 19.29 19.73 19.72 (c) (d) 200% (e) 1/13 19 1 (i) 20.06(3) 19.04(8) 20.06(17) (ii) (iii) 19.04(8) 20.06(17) (A) (aa) 1 (bb) (B) (f) (i) 19.04(1)(g) (ii) (iii) (A)
United Nations Convention Against Transnational Organized Crime and the Protocols thereto
联 合 国 打 击 跨 国 有 组 织 犯 罪 公 约 及 其 议 定 书 联 合 国 联 合 国 毒 品 和 犯 罪 问 题 办 事 处 维 也 纳 联 合 国 打 击 跨 国 有 组 织 犯 罪 公 约 及 其 议 定 书 联 合 国 2004 年, 纽 约 前 言 通 过 于 2000 年 12 月 在 意 大 利 巴 勒 莫 签 署 联 合 国 打 击 跨 国 有 组 织 犯 罪 公 约,
考生编号 政治 政治分 外语 外语分 科目 1 科目 1 分 科目 2 科目 2 分 总分 专业代码 专业名称 专业排名 考试方式 报名号 思想政治理论 缺考 英语一 缺考 数学三 110 金融学综合 缺考 金融硕士 110 全国统考 11018
100019000010001 思想政治理论 缺考 英语一 缺考 数学三 110 金融学综合 缺考 110 025100 金融硕士 110 全国统考 110189426 100019000010002 思想政治理论 56 英语一 61 数学三 83 金融学综合 55 255 025100 金融硕士 83 全国统考 110189744 100019000010003 思想政治理论 缺考 英语一 缺考
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2015 32 3 20142014 2015630 201516 2014 1 2015630 20141231 73,858 85,123 (1) 1,651,951 1,727,805 (2) 126,744 158,224 (3) 396,199 420,059 2,248,752 2,391,211 (1) 2015630 18.5%2014123120.0%5.0%2014 12315.0%
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EC(2013-1 4)13 第 2 頁 (b) 把 總 目 100 在 2013-14 年 度 常 額 編 制 內 所 有 非 首 長 級 職 位 按 薪 級 中 點 估 計 的 年 薪 總 值 上 限 提 高 12,480,540 元, 即 由 461,070,000 元 增 至 473,550
EC(2013-1 4)13 財 務 委 員 會 人 事 編 制 小 組 委 員 會 討 論 文 件 2014 年 1 月 8 日 總 目 100- 海 事 處 分 目 000 運 作 開 支 總 目 92- 律 政 司 分 目 000 運 作 開 支 總 目 158- 政 府 總 部 : 運 輸 及 房 屋 局 ( 運 輸 科 ) 分 目 000 運 作 開 支 請 各 委 員 向 財 務 委 員
内 容 简 介本书较系统地介绍了概率论与数理统计的基本内容 主要包括 随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 数理统计的基本知识 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析 在统计分析中的应用 本书注重对学生基础知识的训练及知识应用能力的培养 部分小节精选了相当数量
普通高等教育 十二五 规划教材 概率论与数理统计 马 戈 主编梁 瑛 吴宏锷 牛玉俊 副主编 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内 容 简 介本书较系统地介绍了概率论与数理统计的基本内容 主要包括 随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 数理统计的基本知识 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析 在统计分析中的应用 本书注重对学生基础知识的训练及知识应用能力的培养
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6 7.... 9.. 11.. 12... 14.. 15.... 3 .. 17 18.. 20... 25... 27... 29 30.. 4 31 32 34-35 36-38 39 40 5 6 : 1. 2. 1. 55 (2) 2. : 2.1 2.2 2.3 3. 4. ( ) 5. 6. ( ) 7. ( ) 8. ( ) 9. ( ) 10. 7 ( ) 1. 2. 3. 4.
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84 針 藥 併 施 治 療 偏 頭 痛 次 發 作 症 狀 為 左 顳 側 頭 脹 痛, 多 為 夜 間 發 作 影 響 睡 眠 或 工 作, 頻 率 為 一 天 發 作 一 次, 持 續 一 至 二 小 時, 疼 痛 指 數 7 分 (0 分 為 不 痛, 最 痛 為 滿 分 10 分 ), 需
J Chin Med 26(1): 83-91, 2015 DOI: 10.3966/101764462015062601008 83 針 藥 併 施 治 療 偏 頭 痛 經 驗 - 病 例 報 告 1, 眞 # 1, #, * 1, 2 1, 2 1 高 雄 長 庚 紀 念 醫 院 中 醫 科 系, 高 雄, 台 灣 2 長 庚 大 學 中 醫 系, 桃 園, 台 灣 103 12 26 104
南華大學數位論文
南 華 大 學 哲 學 與 生 命 教 育 學 系 碩 士 論 文 呂 氏 春 秋 音 樂 思 想 研 究 研 究 生 : 何 貞 宜 指 導 教 授 : 陳 章 錫 博 士 中 華 民 國 一 百 零 一 年 六 月 六 日 誌 謝 論 文 得 以 完 成, 最 重 要 的, 是 要 感 謝 我 的 指 導 教 授 陳 章 錫 博 士, 老 師 總 是 不 辭 辛 勞 仔 細 閱 讀 我 的 拙
Microsoft Word - 3.3.1 - 一年級散文教案.doc
光 明 英 來 學 校 ( 中 國 文 學 之 旅 --- 散 文 小 說 教 學 ) 一 年 級 : 成 語 ( 主 題 : 勤 學 ) 節 數 : 六 教 節 ( 每 課 題 一 教 節 ) 課 題 : 守 株 待 兔 半 途 而 廢 愚 公 移 山 鐵 杵 磨 針 孟 母 三 遷 教 學 目 的 : 1. 透 過 活 動, 學 生 能 說 出 成 語 背 後 的 含 意 2. 學 生 能 指
第３２回独立行政法人評価委員会日本貿易保険部会 資料1-1 平成22年度財務諸表等
1 12,403 2,892 264,553 19,517 238,008 10,132 989 36 9,869 2,218 250 122 ( 126 108 1,563 278 159 260 478 35,563 1,073 74 190,283 104,352 140,658 20,349 16,733 21,607 (21,607) 58,689 303,699 339,262 339,262
項 訴 求 在 考 慮 到 整 體 的 財 政 承 擔 以 及 資 源 分 配 的 公 平 性 下, 政 府 採 取 了 較 簡 單 直 接 的 一 次 性 減 稅 和 增 加 免 稅 額 方 式, 以 回 應 中 產 家 庭 的 不 同 訴 求 ( 三 ) 取 消 外 傭 徵 費 6. 行 政 長
2013 年 1 月 23 日 的 立 法 會 會 議 葛 珮 帆 議 員 就 幫 助 中 產 動 議 的 議 案 ( 經 單 仲 偕 議 員 及 莫 乃 光 議 員 修 正 ) 進 度 報 告 在 2013 年 1 月 23 日 的 立 法 會 會 議 上, 由 葛 珮 帆 議 員 就 幫 助 中 產 動 議 的 議 案, 經 單 仲 偕 議 員 及 莫 乃 光 議 員 修 正 後 獲 得 通 過
(f) (g) (h) (ii) (iii) (a) (b) (c) (d) 208
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1993 79 2010 9 80 180,000 (a) (b) 81 20031,230 2009 10,610 43 2003 2009 1,200 1,000 924 1,061 800 717 600 530 440 400 333 200 123 0 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 500 2003 15,238 2009 31,4532003 2009
Microsoft Word - 08 单元一儿童文学理论
单 元 ( 一 ) 儿 童 文 学 理 论 内 容 提 要 : 本 单 元 共 分 成 三 个 小 课 目, 即 儿 童 文 学 的 基 本 理 论 儿 童 文 学 创 作 和 儿 童 文 学 的 鉴 赏 与 阅 读 指 导 儿 童 文 学 的 基 本 理 论 内 容 包 括 儿 童 文 学 的 基 本 含 义 儿 童 文 学 读 者 儿 童 文 学 与 儿 童 年 龄 特 征 和 儿 童 文 学
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第三章
第 三 章 :2017 年 行 政 長 官 產 生 辦 法 - 可 考 慮 的 議 題 行 政 長 官 的 憲 制 及 法 律 地 位 3.01 基 本 法 第 四 十 三 條 規 定 : 香 港 特 別 行 政 區 行 政 長 官 是 香 港 特 別 行 政 區 的 首 長, 代 表 香 港 特 別 行 政 區 香 港 特 別 行 政 區 行 政 長 官 依 照 本 法 的 規 定 對 中 央 人
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建 築 物 無 障 礙 設 施 設 計 規 範 內 政 部 97 年 4 年 10 日 台 內 營 字 第 0970802190 號 令 訂 定, 自 97 年 7 月 1 日 生 效 內 政 部 97 年 12 年 19 日 台 內 營 字 第 0970809360 號 令 修 正 內 政 部 101 年 11 年 16 日 台 內 營 字 第 1010810415 號 令 修 正 目 錄 第 一
概 述 随 着 中 国 高 等 教 育 数 量 扩 张 目 标 的 逐 步 实 现, 提 高 教 育 质 量 的 重 要 性 日 益 凸 显 发 布 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告, 是 高 等 学 校 建 立 健 全 就 业 状 况 反 馈 机 制 引 导 高 校 优 化 招
I 概 述 随 着 中 国 高 等 教 育 数 量 扩 张 目 标 的 逐 步 实 现, 提 高 教 育 质 量 的 重 要 性 日 益 凸 显 发 布 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告, 是 高 等 学 校 建 立 健 全 就 业 状 况 反 馈 机 制 引 导 高 校 优 化 招 生 和 专 业 结 构 改 进 人 才 培 养 模 式 及 时 回 应 社 会 关 切 的 一 项
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嘉 義 地 區 客 家 禮 俗 研 究 第 一 章 前 言 嘉 義 地 區 的 客 家 族 群 約 略 可 分 為 福 佬 客 詔 安 客 與 北 部 客 等 三 種 類 別, 其 分 佈 區 域 以 海 線 地 區 平 原 地 形 沿 山 地 區 為 主 有 相 當 多 的 北 部 客 家 人, 是 二 次 大 戰 末 期 和 戰 後 初 期 才 移 民 嘉 義, 是 什 麼 因 素 令 許 多
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國 立 中 正 大 學 法 學 系 碩 士 論 文 河 川 砂 石 法 規 範 之 探 討 - 以 採 取 土 石 及 挖 掘 河 川 認 定 基 準 為 主 指 導 教 授 : 盧 映 潔 博 士 研 究 生 : 王 瑞 德 中 華 民 國 一 百 零 一 年 五 月 目 錄 第 一 章 緒 論... 1 第 一 節 研 究 動 機... 1 第 二 節 研 究 目 的... 3 第 三 節 研
中老年保健必读（十）.doc
...1...2...3...4...5...6...8...9... 11 - -...13...15...17...18...20...22...23...25...26...28 I II...30...32...34...35...38...40...42...44...46...47...48...50...52...53 X...55...56...57...58...60...61...63...65
23 29 15.6% 23 29 26.2% 3 25 2 15 1 5 1,542 12,336 14,53 16,165 18,934 22,698 25,125 25 2 15 1 5 5,557 7,48 8,877 11, 13,732 17,283 22,485 23 24 25 26
4, 197823 2916.3%29 335, 23 29.5% 23 29 16.3% 14 35 33,535 14 135 13 125 1,292 1,3 1,38 1,314 1,321 1,328 1,335 3 25 2 15 1 5 1. 1.1 13,582 15,988 1.4 18,322 11.6 11.9 21,192 24,953 3,67 9. 8.7 12 1 8
海淀区、房山区（四）
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穨ecr1_c.PDF
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2005 10 1 1 1 2 2 3 5 4 6 2 7 3 11 4 1 13 2 13 3 14 4 14 5 15 6 16 7 16 8 17 9 18 10 18 2005 10 1 1. 1.1 2 1.2 / / 1.3 69(2) 70(2) 1.4 1.5 1.6 2005 10 1 2. 2.1 2.2 485 20(8) (a) (i) (ii) (iii) (iv) 571
北京理工大学.doc
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尲㐵.⸮⸮⸮⸮⸮
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东城区（下）
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果树高产栽培技术（一）.doc
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