课程介绍 掌握概率论和数理统计的基本数学知识 训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力 学会解决常见的统计分析问题 是应用型很强的学科 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 2 / 106
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1 概率统计 B 第一章随机事件与概率 根据李东风老师课件修改 2018 春季学期 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 1 / 106
2 课程介绍 掌握概率论和数理统计的基本数学知识 训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力 学会解决常见的统计分析问题 是应用型很强的学科 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 2 / 106
3 课程介绍 掌握概率论和数理统计的基本数学知识 训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力 学会解决常见的统计分析问题 是应用型很强的学科 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 2 / 106
4 课程介绍 掌握概率论和数理统计的基本数学知识 训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力 学会解决常见的统计分析问题 是应用型很强的学科 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 2 / 106
5 课程介绍 掌握概率论和数理统计的基本数学知识 训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力 学会解决常见的统计分析问题 是应用型很强的学科 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 2 / 106
6 教材和参考书 教材 : 陈家鼎 刘婉如 汪仁官 : 概率统计讲义 ( 第三版 ), 高等教育出版社,2004. 何书元 : 概率论, 北京大学出版社,2006 Sheldon M. Ross, 概率论基础教程 (A First Course in Probability),( 第七版 ), 人民邮电出版社 陈家鼎 孙山泽 李东风 刘力平, 数理统计学讲义, 高等教育出版社,2006 年 Robert V. Hogg and Allen T. Craig, Introduction to Mathematical Statistics(5th ed.), Prentice Hall, 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 3 / 106
7 概率论的内容 随机事件与概率 ; 随机变量与概率分布 ; 随机变量的数字特征 ; 随机向量 ; 随机过程 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 4 / 106
8 数理统计的内容 统计的基本概念 ; 估计 ; 假设检验 ; 回归分析 ; 正交试验法 ; 统计决策和贝叶斯统计 ; 时间序列分析简介 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 5 / 106
9 教学要求 认真预习 ; 完成作业 ; 自己学习一种统计数据分析软件, 建议学习 R 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 6 / 106
10 本节目录..1 随机事件及其概率.2 古典概型.3 事件的运算及概率的加法公式.4 集合与事件 概率的公理化定义.5 条件概率 乘法公式 独立性.6 全概公式与逆概公式.7 独立试验序列概型 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 7 / 106
11 随机事件与概率 随机事件 : 在一定条件下, 可能发生也可能不发生的事件 例 1.1 掷分币, 结果 正面朝上 ( 记作 A) 是随机事件 正面朝下 ( 记作 B) 也是随机事件 例 1.2 掷两枚分币 A = 两个都是正面朝上 B = 两个都是正面朝下 C = 一个正面朝上, 一个正面朝下 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 8 / 106
12 随机事件与概率 随机事件 : 在一定条件下, 可能发生也可能不发生的事件 例 1.1 掷分币, 结果 正面朝上 ( 记作 A) 是随机事件 正面朝下 ( 记作 B) 也是随机事件 例 1.2 掷两枚分币 A = 两个都是正面朝上 B = 两个都是正面朝下 C = 一个正面朝上, 一个正面朝下 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 8 / 106
13 随机事件与概率 随机事件 : 在一定条件下, 可能发生也可能不发生的事件 例 1.1 掷分币, 结果 正面朝上 ( 记作 A) 是随机事件 正面朝下 ( 记作 B) 也是随机事件 例 1.2 掷两枚分币 A = 两个都是正面朝上 B = 两个都是正面朝下 C = 一个正面朝上, 一个正面朝下 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 8 / 106
14 例 件同类产品中有 8 个正品,2 个次品 任意抽取 3 个 A = 3 个都是正品 B = 3 个中至少一个是次品 V = 3 个都是次品 U = 3 个中至少有一个是正品 A, B 是随机事件 ; V 是 不可能事件 ; U 是 必然事件 ; 不可能事件和必然事件也看作是随机事件 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 9 / 106
15 例 件同类产品中有 8 个正品,2 个次品 任意抽取 3 个 A = 3 个都是正品 B = 3 个中至少一个是次品 V = 3 个都是次品 U = 3 个中至少有一个是正品 A, B 是随机事件 ; V 是 不可能事件 ; U 是 必然事件 ; 不可能事件和必然事件也看作是随机事件 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 9 / 106
16 例 件同类产品中有 8 个正品,2 个次品 任意抽取 3 个 A = 3 个都是正品 B = 3 个中至少一个是次品 V = 3 个都是次品 U = 3 个中至少有一个是正品 A, B 是随机事件 ; V 是 不可能事件 ; U 是 必然事件 ; 不可能事件和必然事件也看作是随机事件 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 9 / 106
17 例 件同类产品中有 8 个正品,2 个次品 任意抽取 3 个 A = 3 个都是正品 B = 3 个中至少一个是次品 V = 3 个都是次品 U = 3 个中至少有一个是正品 A, B 是随机事件 ; V 是 不可能事件 ; U 是 必然事件 ; 不可能事件和必然事件也看作是随机事件 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 9 / 106
18 例 件同类产品中有 8 个正品,2 个次品 任意抽取 3 个 A = 3 个都是正品 B = 3 个中至少一个是次品 V = 3 个都是次品 U = 3 个中至少有一个是正品 A, B 是随机事件 ; V 是 不可能事件 ; U 是 必然事件 ; 不可能事件和必然事件也看作是随机事件 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 9 / 106
19 概率 事件是否发生无法预知, 但是其可能性大小可以定量描述 比如, 投掷一枚均匀硬币, 正面朝上和正面朝下可能性大小相同 投掷两枚均匀硬币, 同时为正面和同时为背面可能性大小相同 ; 一个正面一个背面的可能性比都是正面的可能性大 概率用来定量描述随机事件发生可能性大小 P (A) 概率有 频率定义 主观定义 公理化定义 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 10 / 106
20 概率 事件是否发生无法预知, 但是其可能性大小可以定量描述 比如, 投掷一枚均匀硬币, 正面朝上和正面朝下可能性大小相同 投掷两枚均匀硬币, 同时为正面和同时为背面可能性大小相同 ; 一个正面一个背面的可能性比都是正面的可能性大 概率用来定量描述随机事件发生可能性大小 P (A) 概率有 频率定义 主观定义 公理化定义 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 10 / 106
21 概率 事件是否发生无法预知, 但是其可能性大小可以定量描述 比如, 投掷一枚均匀硬币, 正面朝上和正面朝下可能性大小相同 投掷两枚均匀硬币, 同时为正面和同时为背面可能性大小相同 ; 一个正面一个背面的可能性比都是正面的可能性大 概率用来定量描述随机事件发生可能性大小 P (A) 概率有 频率定义 主观定义 公理化定义 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 10 / 106
22 概率 事件是否发生无法预知, 但是其可能性大小可以定量描述 比如, 投掷一枚均匀硬币, 正面朝上和正面朝下可能性大小相同 投掷两枚均匀硬币, 同时为正面和同时为背面可能性大小相同 ; 一个正面一个背面的可能性比都是正面的可能性大 概率用来定量描述随机事件发生可能性大小 P (A) 概率有 频率定义 主观定义 公理化定义 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 10 / 106
23 概率 事件是否发生无法预知, 但是其可能性大小可以定量描述 比如, 投掷一枚均匀硬币, 正面朝上和正面朝下可能性大小相同 投掷两枚均匀硬币, 同时为正面和同时为背面可能性大小相同 ; 一个正面一个背面的可能性比都是正面的可能性大 概率用来定量描述随机事件发生可能性大小 P (A) 概率有 频率定义 主观定义 公理化定义 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 10 / 106
24 频数 投掷一枚分币 条件组 S 条件组 S 大量重复实现时, 事件 A 发生的次数, 称为频数 约占 总试验次数的一半 A 发生的频率 = 频数 1, 接近于试验次数 2 长期经验积累所得的 所谓某事件发生的可能性大小, 就是这个 频率的稳定值 见 P.3 的多次投掷表格 次数越多, 频率越接近 0.5 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 11 / 106
25 频数 投掷一枚分币 条件组 S 条件组 S 大量重复实现时, 事件 A 发生的次数, 称为频数 约占 总试验次数的一半 A 发生的频率 = 频数 1, 接近于试验次数 2 长期经验积累所得的 所谓某事件发生的可能性大小, 就是这个 频率的稳定值 见 P.3 的多次投掷表格 次数越多, 频率越接近 0.5 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 11 / 106
26 频数 投掷一枚分币 条件组 S 条件组 S 大量重复实现时, 事件 A 发生的次数, 称为频数 约占 总试验次数的一半 A 发生的频率 = 频数 1, 接近于试验次数 2 长期经验积累所得的 所谓某事件发生的可能性大小, 就是这个 频率的稳定值 见 P.3 的多次投掷表格 次数越多, 频率越接近 0.5 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 11 / 106
27 频数 投掷一枚分币 条件组 S 条件组 S 大量重复实现时, 事件 A 发生的次数, 称为频数 约占 总试验次数的一半 A 发生的频率 = 频数 1, 接近于试验次数 2 长期经验积累所得的 所谓某事件发生的可能性大小, 就是这个 频率的稳定值 见 P.3 的多次投掷表格 次数越多, 频率越接近 0.5 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 11 / 106
28 概率的频率定义 定义 1.1 在不变的一组条件 S 下, 重复做 n 次实验 记 µ 是 n 次试验中事件 A 发生的次数 当试验的次数 n 很大时, 如果频率 µ/n 稳定地在某一数值 p 的附近摆动, 而且一般说来随着试验次数的增多, 这种摆动的幅度越变越小, 则称 A 为随机事件, 并称数值 p 为随机事件 A 在条件组 S 下发生的概率, 记作 P (A) = p 数值 p 的大小是 A 在 S 下发生的可能性大小的数量刻画 例如 0.5 是掷一枚分币出现 正面朝上 的可能性的数量刻画 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 12 / 106
29 概率的频率定义 定义 1.1 在不变的一组条件 S 下, 重复做 n 次实验 记 µ 是 n 次试验中事件 A 发生的次数 当试验的次数 n 很大时, 如果频率 µ/n 稳定地在某一数值 p 的附近摆动, 而且一般说来随着试验次数的增多, 这种摆动的幅度越变越小, 则称 A 为随机事件, 并称数值 p 为随机事件 A 在条件组 S 下发生的概率, 记作 P (A) = p 数值 p 的大小是 A 在 S 下发生的可能性大小的数量刻画 例如 0.5 是掷一枚分币出现 正面朝上 的可能性的数量刻画 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 12 / 106
30 定义简述 : 频率具有稳定性的事件叫做随机事件, 频率的稳定值叫做该随机事件的概率 随机事件简称事件 实际中遇到的事件一般都是随机事件 频率 µ/n 取值在 [0, 1] 范围 所以概率 0 P (A) 1. 对不可能事件 V 和必然事件 U, P (V ) = 0, P (U) = 1. 概率的频率定义是近似值 许多测量值都是近似值, 所以不必因为 只能求得近似值而怀疑真实概率的存在 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 13 / 106
31 定义简述 : 频率具有稳定性的事件叫做随机事件, 频率的稳定值叫做该随机事件的概率 随机事件简称事件 实际中遇到的事件一般都是随机事件 频率 µ/n 取值在 [0, 1] 范围 所以概率 0 P (A) 1. 对不可能事件 V 和必然事件 U, P (V ) = 0, P (U) = 1. 概率的频率定义是近似值 许多测量值都是近似值, 所以不必因为 只能求得近似值而怀疑真实概率的存在 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 13 / 106
32 定义简述 : 频率具有稳定性的事件叫做随机事件, 频率的稳定值叫做该随机事件的概率 随机事件简称事件 实际中遇到的事件一般都是随机事件 频率 µ/n 取值在 [0, 1] 范围 所以概率 0 P (A) 1. 对不可能事件 V 和必然事件 U, P (V ) = 0, P (U) = 1. 概率的频率定义是近似值 许多测量值都是近似值, 所以不必因为 只能求得近似值而怀疑真实概率的存在 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 13 / 106
33 定义简述 : 频率具有稳定性的事件叫做随机事件, 频率的稳定值叫做该随机事件的概率 随机事件简称事件 实际中遇到的事件一般都是随机事件 频率 µ/n 取值在 [0, 1] 范围 所以概率 0 P (A) 1. 对不可能事件 V 和必然事件 U, P (V ) = 0, P (U) = 1. 概率的频率定义是近似值 许多测量值都是近似值, 所以不必因为只能求得近似值而怀疑真实概率的存在 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 13 / 106
34 定义简述 : 频率具有稳定性的事件叫做随机事件, 频率的稳定值叫做该随机事件的概率 随机事件简称事件 实际中遇到的事件一般都是随机事件 频率 µ/n 取值在 [0, 1] 范围 所以概率 0 P (A) 1. 对不可能事件 V 和必然事件 U, P (V ) = 0, P (U) = 1. 概率的频率定义是近似值 许多测量值都是近似值, 所以不必因为只能求得近似值而怀疑真实概率的存在 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 13 / 106
35 概率的主观定义 不能重复或不能大量重复的事件如何定义概率? 定义 1.2 一个事件的概率是人们根据已有的知识和经验对该事件发生可能性所给出的个人信念, 这种信念用 [0, 1] 中的一个数来表示, 可能性大的对应较大的数 称为概率的主观定义 例 : 企业家对产品畅销可能性的预测 ; 医生对某特定病人手术成功的预测 主观概率是当事人对事件作了详细考察并充分利用个人已有的经验形成的 个人信念, 而不是没有根据的乱说一通 也需要谨慎对待 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 14 / 106
36 概率的主观定义 不能重复或不能大量重复的事件如何定义概率? 定义 1.2 一个事件的概率是人们根据已有的知识和经验对该事件发生可能性所给出的个人信念, 这种信念用 [0, 1] 中的一个数来表示, 可能性大的对应较大的数 称为概率的主观定义 例 : 企业家对产品畅销可能性的预测 ; 医生对某特定病人手术成功的预测 主观概率是当事人对事件作了详细考察并充分利用个人已有的经验形成的 个人信念, 而不是没有根据的乱说一通 也需要谨慎对待 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 14 / 106
37 概率的主观定义 不能重复或不能大量重复的事件如何定义概率? 定义 1.2 一个事件的概率是人们根据已有的知识和经验对该事件发生可能性所给出的个人信念, 这种信念用 [0, 1] 中的一个数来表示, 可能性大的对应较大的数 称为概率的主观定义 例 : 企业家对产品畅销可能性的预测 ; 医生对某特定病人手术成功的预测 主观概率是当事人对事件作了详细考察并充分利用个人已有的经验形成的 个人信念, 而不是没有根据的乱说一通 也需要谨慎对待 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 14 / 106
38 概率的主观定义 不能重复或不能大量重复的事件如何定义概率? 定义 1.2 一个事件的概率是人们根据已有的知识和经验对该事件发生可能性所给出的个人信念, 这种信念用 [0, 1] 中的一个数来表示, 可能性大的对应较大的数 称为概率的主观定义 例 : 企业家对产品畅销可能性的预测 ; 医生对某特定病人手术成功的预测 主观概率是当事人对事件作了详细考察并充分利用个人已有的经验形成的 个人信念, 而不是没有根据的乱说一通 也需要谨慎对待 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 14 / 106
39 概率的主观定义 不能重复或不能大量重复的事件如何定义概率? 定义 1.2 一个事件的概率是人们根据已有的知识和经验对该事件发生可能性所给出的个人信念, 这种信念用 [0, 1] 中的一个数来表示, 可能性大的对应较大的数 称为概率的主观定义 例 : 企业家对产品畅销可能性的预测 ; 医生对某特定病人手术成功的预测 主观概率是当事人对事件作了详细考察并充分利用个人已有的经验形成的 个人信念, 而不是没有根据的乱说一通 也需要谨慎对待 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 14 / 106
40 本节目录..1 随机事件及其概率.2 古典概型.3 事件的运算及概率的加法公式.4 集合与事件 概率的公理化定义.5 条件概率 乘法公式 独立性.6 全概公式与逆概公式.7 独立试验序列概型 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 15 / 106
41 古典概型 某些概率问题可以根据问题本身所具有的 对称性, 充分利用人类长期积累的关于对称性的实际经验, 分析事件的本质, 就可以直接计算其概率 这是用数学模型求解概率的方法 例如, 投掷一枚分币, 认为 正面朝上 和 正面朝下 概率相等 ( 对称性 ), 各为 0.5 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 16 / 106
42 例 2.1 例 2.1 盒中 5 个球,3 白 2 黑 从中任取一个 问 : 取到白球的概率? 直观看为 3/5 把 5 个球编号,1 3 号为白球,4 5 号为黑球 取到每个球的概率相同 ( 对称性 ) 事件互相排斥, 概率各为 1/5 把 3 个白球的概率加起来即可 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 17 / 106
43 例 2.2 例 2.2 盒中 5 个球,3 白 2 黑 从中任取两个 问 : 两个都是白球 的概率? 这时不能直观得出概率 把 5 个球编号,1 3 号为白球,4 5 号为黑球 可能结果为 : 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 18 / 106
44 共 10 个可能结果, 且发生的机会相同, 互斥, 除此之外无其它可能 每个结果的概率为 1/10, 其中有 1 + 2, 1 + 3, 共 3 个结果为全白球 所以全是白球的概率为 3/10 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 19 / 106
45 等概完备事件组 定义 2.1 称一个事件组 A 1, A 2,..., A n 为一个等概完备事件组, 如果它具有下列三条性质 : (1) A 1, A 2,..., A n 发生的机会相同 ( 等可能性 ); (2) 在任一次试验中,A 1, A 2,..., A n 至少有一个发生 ( 也就是所谓 除 此之外, 不可能有别的结果 )( 完备性 ); (3) 在任一次试验中,A 1, A 2,..., A n 至多有一个发生 ( 也就是所谓 它 们是互相排斥的 )( 互不相容性 ) 等概完备事件组也称 等概基本事件组, 其中任一事件 A i (i = 1, 2,..., n) 称为基本事件 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 20 / 106
46 例 1.1, 投掷一枚分币, 等概基本事件组 n = 2, 两个基本事件是 正面朝上 和 正面朝下 其它例子类似可求得等概基本事件组 若 A 1, A 2,..., A n 是一个等概基本事件组, 事件 B 由其中的 m 个基本事件所构成, 则 P (B) = m n. (2.1) 古典概型就是用等概基本事件组和 (2.1) 来计算事件的概率的模型 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 21 / 106
47 例 2.2( 续 ) 例 2.2( 续 ) 从三个白球和二个黑球中任取两个, 共有 C5 2 = 10 种不同取法, 出现机会相同 每种取法为一个基本事件, 构成等概完备事件组 其中两个都是白球的事件为 3 个, 概率等于 m/n = 3/10 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 22 / 106
48 例 2.3 例 件产品, 有 5 件次品 任取 50 件 求无次品的概率 解共有 C 个结果构成等概基本事件组 事件 B: 任取 50 件其中无次品, 包括多少个基本事件? 必须从 95 个正品中取出 50 件 取法有 C 种 P (B) =C95/C = 95!/(50!45!) 100!/(50!50!) = 50!/45! = 100!/95! = = % 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 23 / 106
49 例 2.4 例 2.4 同例 2.3 问 : 恰好有 2 件次品 ( 记为事件 A) 的概率? 在基本事件组中, 符合条件的事件, 必须是从 5 个次品中任取 2 个, 从 95 个正品中任取 48 个 共有 C 2 5 C48 95 种取法 P (A) = C2 5 C49 95 C 50 = 100 5! 95! 2!3! 47!48! 100! 50!50! = 0.32 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 24 / 106
50 例 2.5: 无放回抽样 例 2.5 设一批产品共 N 个, 其中次品共 M 个 从中任取 n 个 问 : 恰好出现 m 个次品的概率? 0 m n, m M, n m N M 这是例 2.4 的一般化, 所以 P ( 恰好出现 m 个次品 ) = Cn m N M Cm M C n N (2.2) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 25 / 106
51 定理 2.1 例 2.5 的产品分为两类 : 次品和正品 考虑分为多类的情形 定理 2.1 设有 N 个东西分成 k 类, 其中第 i 类有 N i 个东西 (i = 1, 2,..., k),n 1 + N N k = N, 从这 N 个东西中任取 n 个, 而 n = m 1 + m m k (0 m i N i, i = 1, 2,..., k), 则事件 A = 恰有 m 1 个属于第 1 类, 恰有 m 2 个属于第 2 类,, 恰有 m k 个属于第 k 类 的概率为 P (A) = Cm 1 N 1 C m 2 N 2... C m k N k CN n (2.3) 证明 : 板书 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 26 / 106
52 本节目录..1 随机事件及其概率.2 古典概型.3 事件的运算及概率的加法公式事件的包含与相等事件的并与交对立事件及事件的差事件的运算规律事件的互不相容性概率的加法公式.4 集合与事件 概率的公理化定义.5 条件概率 乘法公式 独立性.6 全概公式与逆概公式.7 独立试验序列概型 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 27 / 106
53 事件的包含与相等 如果事件 A 发生则事件 B 一定发生, 就称事件 B 包含事件 A, 记作 A B 或 B A. 如, 投掷两枚硬币,A 表示 正好一个正面朝上,B 表示 至少一个正面朝上, 则 A B 如果 A B 且 B A, 则称事件 A 与事件 B 相等, 记作 A = B. 在概率的公理化定义中, 事件等同于集合, 事件的性质就是集合的性质 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 28 / 106
54 事件的并与交 定义 3.1 事件 A 或 B 称为事件 A 与事件 B 的并, 记作 A B 或 A + B; 某次试验中 A B 发生, 即 A 或 B 发生, 意味着 A, B 中至少发生一个 事件 A 且 B 称为事件 A 与 B 的交, 记作 A B 或 AB 或 A B;A B 发生, 即 A 且 B 发生, 意味着 A 和 B 都发生 例 : 投掷两枚硬币 A 表示 正好一个正面朝上,B 表示 正好两个正面朝上, C 表示 至少一个正面朝上, 则 A B = C, AC = A, BC = B, AB = V ( 不可能事件 ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 29 / 106
55 对立事件 定义 3.2 事件 非 A 称为 A 的对立事件, 记作 Ā 例如, 投掷两枚硬币, 至少一个正面朝上 是 两个都是正面朝 下 的对立事件 对立事件是相互的 : (Ā) = A 在一次试验中,A 和 Ā 互斥, 且至少一个发生 即 A Ā =V A Ā =U (3.1) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 30 / 106
56 事件的差 定义 3.3 事件 A 同事件 B 的差表示 A 发生而 B 不发生的事件, 记作 A\B A\B = A B (3.2) 事件及事件的运算用图形表示, 见 P.12 图 1.1 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 31 / 106
57 事件的运算规律 与集合运算规律相同 并 : (1)A B = B A ( 并 的交换律 ) (2)A (B C) = (A B) C ( 并 的结合律 ) (3)A A = A (4)A Ā = U (5)A U = U (6)A V = A 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 32 / 106
58 交 : (7)A B = B A ( 交 的交换律 ) (8)(AB)C = A(BC) ( 交 的结合律 ) (9)A A = A (10)A Ā = V (11)A U = A (12)A V = V 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 33 / 106
59 分配律 : (13)A(B C) = (AB) (AC) ( 分配律 ) (14)A (B C) = (A B) (A C) ( 分配律 ) 交或并的对立事件 : (15)A B = Ā B (16)A B = Ā B 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 34 / 106
60 事件的互不相容性 定义 3.4 如果事件 A 与事件 B 不能都发生, 即 AB = V ( 不可能事件 ) 则称 A 与 B 是互不相容的事件 例 : 两枚分币, 正好一个正面朝上 与 两个都是正面朝上 互不相容 A 与 Ā 互不相容 多个事件互不相容是指两两互不相容 等概完全事件组定义中 互相排斥 也是两两互不相容的意思 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 35 / 106
61 概率的加法公式 (1) 如果事件 A, B 互不相容, 则 P (A B) = P (A) + P (B) (3.3) 其合理性和必要性可以用概率的频率定义解释 推论 : 从而得 P (A) + P (Ā) = P (A Ā) = P (U) = 1 P (A) = 1 P (Ā), P (Ā) = 1 P (A) (3.4) 这样, 一个事件的概率难计算而其对立事件的概率容易计算时可用 (3.4) 计算 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 36 / 106
62 概率的有限可加性 : 设 n 个事件 A 1, A 2,..., A n 互不相容, 则 P (A 1 A 2 A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ) (3.5) 可以从 (3.3) 归纳证明 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 37 / 106
63 概率的加法公式 (2) 对任意两个事件 A, B, 有 P (A B) = P (A) + P (B) P (AB) (3.6) 证明易见 A B = A (BĀ), 且 所以 又因 A (BĀ) = ABĀ = B(AĀ) = BV = V P (A B) = P (A (BĀ)) = P (A) + P (BĀ) (3.7) B = B U = B (A Ā) = (BA) (BĀ) 且 BA 与 BĀ 互不相容, 所以 P (B) = P (BA) + P (BĀ), P (BĀ) = P (B) P (AB) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 38 / 106
64 例 3.1 例 3.1 袋中有红 黄 白球各一个, 每次任取一个, 有放回地抽取 三次 求 : 抽到的三个球中没有红球或没有黄球的概率 记 G = 三个球都不是红球,H = 三个球都不是黄球 要求 P (G H) 注意 G 和 H 不是互不相容 P (G) = 8 27 ( 共有 27 种可能结果, 其中没有红球的结果是 个 ),P (H) = 8 27 P (GH) = P ( 三个球都是白球 ) = 1 27 ( 全是白球的结果只有一种 ) P (G H) = P (G) + P (H) P (GH) = = 5 9. 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 39 / 106
65 无穷个事件的并和交 定义 3.5 设 A 1, A 2,... 是一系列事件, 事件 B 表示 : 它的发生当 且仅当 A 1, A 2,... 中至少一个发生,B 称为 A 1, A 2,... 的并 ( 或 者和 ), 记作 k=1 A k( 或 k=1 A k), 或 A 1 A 2... k=1 表示这样的事件 : 当且仅当所有 A 1, A 2,... 都同时发生时此 事件才发生 例 3.2 一射手向某目标连续射击,A 1 ={ 第一次射击, 命中 }, A k ={ 前 k 1 次射击都未中, 第 k 次射击命中 }(k = 2, 3,... ) B ={ 终于命中 } 则 B = k=1 A k 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 40 / 106
66 概率的完全可加性 设 A 1, A 2,... 是一系列事件, 如果 A 1, A 2,... 两两互不相容, 则 ( ) P A k = P (A k ) (3.8) 由实践经验得出, 不能证明 k=1 k=1 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 41 / 106
67 本节目录..1 随机事件及其概率.2 古典概型.3 事件的运算及概率的加法公式.4 集合与事件 概率的公理化定义集合事件与集合的关系概率的公理化定义介绍.5 条件概率 乘法公式 独立性.6 全概公式与逆概公式.7 独立试验序列概型 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 42 / 106
68 集合 事件是一种特殊集合, 所以事件的运算就是集合的运算 定义 4.1 一个集合是指具有确切含义的若干个东西的全体 集合 A, B, C,... 元素 a, b, c,... a A a / A 空集 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 43 / 106
69 集合的例子 例 4.1 全体正整数的集合 例 4.2 不大于 10 的正整数的集合 例 4.3 二维坐标平面上圆心在圆点的半径为 1 的圆 ( 称为单位圆 ) 内点的集合 例 4.5 红 黄 白三个球有放回抽取三次的结果集合 共 3 3 = 27 个结果 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 44 / 106
70 集合的关系 集合相等 : 两个集合的元素完全相同 记作 A = B 集合包含关系 A B: A 的元素都是 B 的元素 也记为 B A A = B A B 且 B A 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 45 / 106
71 集合的运算 并集 A B: 属于 A 或者属于 B 的元素的全体组成的集合 交集 A B: 既属于 A 也属于 B 的元素的全体组成的集合 只讨论某个非空集合 Ω 的子集的关系,Ω 称为全集 余集 : A c = {x : x Ω 但 x / A} (A c ) c = A. 集合运算可以用平面图形图示 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 46 / 106
72 集合并的运算规则.1 A B = B A ( 交换律 ).2 (A B) C = A (B C) ( 结合律 ).3 A A = A.4 A A c = Ω.5 A Ω = Ω.6 A = A 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 47 / 106
73 集合交的运算规则.1 A B = B A 交换律.2 (A B) C = A (B C) 结合律.3 A A = A.4 A A c =.5 A Ω = A.6 A = 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 48 / 106
74 并与交的分配律.1 A (B C) = (A B) (A C).2 A (B C) = (A B) (A C) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 49 / 106
75 并 交 余的对偶律.1 (A B) c = A c B c.2 (A B) c = A c B c 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 50 / 106
76 事件与集合的关系 事件是特殊的集合 事件的运算与集合的运算相同 条件组 S 下的所有可能不同结果的集合记作 Ω,S 下的随机事件就是 Ω 的子集 Ω 是必然事件, 是不可能事件 A c = Ω\A 为 A 的对立事件 Ā A, B 互不相容即 A B = 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 51 / 106
77 例 4.6 例 4.6 投掷两枚分币 ( 条件 S), 所有可能结果为 ω 1 = 上, 下 ω 2 = 上, 上 ω 3 = 下, 上 ω 4 = 下, 下 全集 Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 } 事件 B 为 恰有一个正面朝上, 则 B = {ω 1, ω 3 } 事件 C 为 至少有一个正面朝上, 则 B = {ω 1, ω 2, ω 3 } 事件 A 为 两个正面都朝上, 则 A = {ω 2 } C = B A 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 52 / 106
78 概率的公理化定义介绍 概率的频率解释直观, 但数学严密性不足 概率的主观定义则不易被接受, 数学严密性不足 用集合论 测度论可以严格定义概率, 对需要作公理化假设 为柯尔莫戈罗夫 (Kolmogorov A. N., ) 于 1933 年建立 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 53 / 106
79 概率的公理化定义介绍 设 Ω 为一个非空集合, 叫做基本事件空间 Ω 的一些子集组成的集合 F 叫做 σ 代数, 如果 (1)Ω F (2) 若 A F, 则 A c = Ω A F (3) 若 A n F (n = 1, 2,... ), 则 n=1 A n F 事件是 F 中的集合 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 54 / 106
80 F 上有定义的函数 P = P ( ) 叫做概率测度 ( 简称概率 ), 若 (1)P (A) 0( A F ) (4.17) (2)P (Ω) = 1 (4.18) (3) 若 A n F (n = 1, 2,... ), 且两两不相交, 则 ( ) P A n = P (A n ) ( 完全可加性 ) (4.19) n=1 n=1 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 55 / 106
81 σ 代数的性质 附有 F, P 的 Ω 叫做概率空间 σ 代数是可以合理定义概率的事件的全体, 有些情况下不是所有 Ω 的子集都可以合理定义概率 若 Ω 为有限集或可数集则 F 通常取为 Ω 的所有子集的集合 F 关于基本集合运算封闭 : 有穷个或无穷个集合的并 交, 两个集合的差 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 56 / 106
82 概率的性质 1 P ( ) = 0 2 若 A F 则 P (A c ) = 1 P (A) 3 若 A 1,..., A n 都属于 F 且两两不相交, 则 ( n ) P A i = i=1 n P (A i ) ( 有限可加性 ) (4.20) i=1 4 若 A B, A, B F, 则 P (A) P (B) 且 P (B\A) = P (B) P (A) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 57 / 106
83 5 若 A n A n+1, A n F (n = 1, 2,... ), 则 ( ) P A n = lim P (A n) ( 单调上升事件的概率极限 ) n n=1 6 若 A n A n+1, A n F (n = 1, 2,... ), 则 ( ) P A n = lim P (A n) ( 单调下降事件的概率极限 ) n n=1 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 58 / 106
84 本节目录..1 随机事件及其概率.2 古典概型.3 事件的运算及概率的加法公式.4 集合与事件 概率的公理化定义.5 条件概率 乘法公式 独立性条件概率乘法公式独立性.6 全概公式与逆概公式.7 独立试验序列概型 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 59 / 106
85 条件概率 条件概率在条件 S 的基础上附加了条件, 讨论附加条件之后的概 率 例 个球,6 个玻璃球,10 个木球 玻璃球中有 2 个红色,4 个蓝色 ; 木球中有 3 个红色,7 个蓝色 从 16 个球中任取一个 玻璃 木质 红 蓝 记 A = 取到蓝球, B = 取到玻璃球 P (A) = 11 16, P (B) = 6 16 问 : 如果已知取到的是蓝球, 则该球是玻璃球的概率? 即事件 A 已 经发生前提下事件 B 发生的概率, 记作 P (B A) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 60 / 106
86 可以用古典概型计算 蓝球共有 11 个, 其中 4 个是玻璃球 P (B A) = 4 11 定义 5.1 如果 A, B 是条件组 S 下的两个随机事件,P (A) 0, 则称在 A 发生的前提下 B 发生的概率为条件概率, 记作 P (B A) 注意这不是严格数学定义 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 61 / 106
87 例 5.2 例 个乒乓球,3 新 2 旧 每次取一个, 无放回取两次 A= 第一次取到新球 ;B = 第二次取到新球 求 P (A), P (B), P (B A) P (A) = 3 5 P (B) 用古典概型, 可以把 5 个球编号, 则两次抽取所有可能结果 有 5 4 = 20 种, 其中第二次抽取到新球的结果数为 = 12 种,P (B) = = 3 5, 即抽签是公平的 若 A 已经发生, 则还剩 2 新 2 旧, 于是第二次取到新球的概率为 2 4 = 1 2, 即 P (B A) = 1 2 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 62 / 106
88 乘法公式 条件概率的等价定义为 ( 多数教材这样定义条件概率 ) P (B A) = P (AB) P (A) (5.1) (5.1) 改写为 P (AB) = P (A)P (B A) (5.1 ) 称为概率的乘法公式 (5.1) 用来在已知 P (A) 和 P (AB) 时求条件概率 ; (5.1 ) 用来在已知 P (A) 和 P (B A) 时求 P (AB) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 63 / 106
89 在古典概型下由定义 5.1 可以证明 (5.1) 设条件组 S 下一个等概完备事件组有 n 个基本事件,A 由其中 m 个组成,B 由其中 l 个组成,AB 由 k 个组成 则 在 A 发生的前提下 B 中包含的基本事件数 P (B A) = 在 A 发生的前提下的基本事件总数 = k m = k/n m/n = P (AB) P (A) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 64 / 106
90 独立性 例 个乒乓球,3 新 2 旧, 每次取 1 个, 有放回取 2 次 A = 第一次取到新球 B = 第二次取到新球 显然 P (B A) = P (B), 与 A 是否发生无关 这时 P (AB) = P (A)P (B A) = P (A)P (B) 定义 5.2 称两个随机事件 A, B 是相互独立的, 如果 P (AB) = P (A)P (B) 定义中不要求 P (A) > 0 或 P (B) > 0 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 65 / 106
91 独立性的直观解释 事件 A 是否发生不影响事件 B 的发生概率, 事件 B 是否发生也不影响事件 A 的发生概率 在 P (A) 0, P (B) 0 时, 独立等价于 P (A B) = P (A) 也等价于 P (B A) = P (B) 即条件概率等于无条件概率为独立 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 66 / 106
92 例 5.4 例 5.4 甲 乙同时向一敌机炮击 甲击中概率 0.6; 乙击中概率 0.5 求被击中的概率 解 : 记 A = 甲击中,B = 乙击中 ;C = 敌机被击中 P (C) = P (A B) = P (A) + P (B) P (AB) 可以认为 A, B 独立 P (AB) =P (A) P (B) = = 0.3 P (C) = = 0.8 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 67 / 106
93 另解 : P (C) =1 P ( C) = 1 P (A B) =1 P (Ā B) = 1 P (Ā)P ( B) =1 (1 0.6)(1 0.5) = 0.8 把并的概率用交的概率来求解是常用的手法 另解用到了 :A, B 独立则 Ā, B 也独立 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 68 / 106
94 对立事件与独立 定理 5.1 若四对事件 A, B, A, B, Ā, B, Ā, B 中有一对独立, 则另外三对也独立 即这四对事件或者都独立, 或者都不独立 证明仅证明 A, B 独立 = A, B 独立 P (A) =P (AU) = P (A (B B)) =P ((AB) (A B)) = P (AB) + P (A B) 于是 P (A B) =P (A) P (AB) = P (A) P (A)P (B) =P (A)[1 P (B)] = P (A)P ( B) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 69 / 106
95 多个事件相互独立 定义 5.3 称 A, B, C 是相互独立的, 如果有 P (AB) = P (A)P (B) P (AC) = P (A)P (C) (5.3) P (BC) = P (B)P (C) P (ABC) = P (A)P (B)P (C) 定义 5.4 称 A 1, A 2,..., A n 是相互独立的, 如果对任意整数 k(2 k n) 以及从 1, 2,..., n 中任意取出的 k 个 i 1, i 2,..., i k 都满足 P (A i1 A i2... A ik ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A ik ) (5.4) 其中一个要求是 P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 )... P (A n ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 70 / 106
96 例 5.5 例 5.5 某型号高射炮单发击中飞机概率为 0.6 若干门发射单发, 欲以 99% 概率击中敌机 求高炮门数 解 : 设需要 n 门,A i 为 第 i 门高炮击中敌机 A = 敌机被击中 A = A 1 A 2 A n P (A) =P (A 1 A 2 A n ) = 1 P (Ā1 Ā2 Ān) =1 P (Ā1)P (Ā2)... P (Ān) ( 独立性 ) =1 (1 0.6) n 0.99 log 0.01 n log 0.4 = 需要 6 门高射炮 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 71 / 106
97 例 5.6 例 5.6 三个事件两两独立不能保证三个事件独立的例子 均匀正四面体, 四面涂红色 黄色 蓝色 红黄蓝混杂 投掷一次, 考察底面出现的颜色 A = 红色出现,B = 黄色出现,C = 蓝色出现 基本事件 :A i = 第 i 面在底面, i = 1, 2, 3, 4, 构成等概基本事件组 A = A 1 A 4, B = A 2 A 4, C = A 3 A 4 P (A) = P (B) = P (C) = 1 2 AB = AC = BC = A 4,P (AB) = P (AC) = P (BC) = 1 4, 按定义 A, B 相互独立,A, C 相互独立,B, C 相互独立 但 ABC = A 4, P (ABC) = 1 4 P (A)P (B)P (C) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 72 / 106
98 本节目录..1 随机事件及其概率.2 古典概型.3 事件的运算及概率的加法公式.4 集合与事件 概率的公理化定义.5 条件概率 乘法公式 独立性.6 全概公式与逆概公式 全概公式 逆概公式.7 独立试验序列概型 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 73 / 106
99 例 6.1 例 个乒乓球,3 新 2 旧 每次取一个, 无放回取两次 求第 二次取到新球的概率 A = 第一次取到新球 B = 第二次取到新球 B =BA BĀ (6.1) P (B) =P (BA) + P (BĀ) =P (A)P (B A) + P (Ā)P (B Ā) = = 3 5 (6.1) 将复杂的事件 ( 情况 ) 分解为简单的事件 ( 情况 ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 74 / 106
100 全概公式 定理 6.1( 全概公式 ) 如果事件组 A 1, A 2,..., A n 满足 : (1) A 1, A 2,..., A n 互不相容, 且 P (A i ) > 0(i = 1, 2,..., n) (2) A 1 A 2 A n = U( 完备性 ), 则对任一事件 B 皆有 P (B) = n P (A i )P (B A i ). (6.2) i=1 证明 B = BU = BA 1 BA 2 BA n, P (B) =P (BA 1 ) + P (BA 2 ) + + P (BA n ) =P (A 1 )P (B A 1 ) + P (A 2 )P (B A 2 ) + + P (A n )P (B A n ). 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 75 / 106
101 满足条件 (1) 和 (2) 的事件组 A 1, A 2,..., A n 称为完备事件组 比等概完备事件组少了等概条件 更一般的全概公式中的完备事件组可以包含可数个事件 运用全概公式关键在于求完备事件组 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 76 / 106
102 例 6.2 例 6.2 甲 乙 丙三人射击敌机 击中概率 : 甲 :0.4 乙 :0.5 丙 :0.7 若只有一人击中, 飞机坠毁概率 0.2; 若恰好二人击中, 坠毁概率 0.6; 三人全中, 坠毁概率 1 求飞机坠毁概率 解 B = 飞机坠毁, A 0 = 三人都不中 ;A 1 = 恰好一人击中 ;A 2 = 恰好二人击中 ; A 3 = 三人都击中 A 0, A 1, A 2, A 3 构成完备事件组 已知 P (B A 0 ) = 0, P (B A 1 ) = 0.2, P (B A 2 ) = 0.6, P (B A 3 ) = 1 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 77 / 106
103 P (A 0 ) =P ( 甲不中 )P ( 乙不中 )P ( 丙不中 ) =(1 0.4)(1 0.5)(1 0.7) = 0.09 P (A 1 ) =P ( 甲中 )P ( 乙不中 )P ( 丙不中 ) + P ( 甲不中 )P ( 乙中 )P ( 丙不中 ) + P ( 甲不中 )P ( 乙不中 )P ( 丙中 ) =0.4 (1 0.5) (1 0.7) + (1 0.4) 0.5 (1 0.7) + (1 0.4) (1 0.5) 0.7 =0.36 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 78 / 106
104 P (A 2 ) =P ( 甲不中 )P ( 乙中 )P ( 丙中 ) + P ( 甲中 )P ( 乙不中 )P ( 丙中 ) + P ( 甲中 )P ( 乙中 )P ( 丙不中 ) =(1 0.4) (1 0.5) (1 0.7) =0.41 P (A 3 ) =P ( 甲中 )P ( 乙中 )P ( 丙中 ) = = 0.14 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 79 / 106
105 P ( 敌机坠毁 ) = P (B) 3 = P (A i )P (B A i ) i=0 = =0.458 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 80 / 106
106 例 6.3( 赌徒输光问题 ) 例 6.3 设甲有赌本 M 元, 乙有赌本 N 元 (M, N 是正整数 ) 每一局输赢为 1 元, 没有和局 每局甲胜概率为 p(0 < p < 1) 问 : 甲输光的概率 解记 L = M + N, L 2 当 L = 2 时 M = N = 1, 甲输光概率为 1 p ( 若第一局甲赢, 则乙输光, 赌局不能继续 ) 只考虑 L 3 的情形 问题扩充为 : 若甲乙共有赌本 L 元, 甲有赌本 i 元, 乙有赌本 L i 元, 则甲输光的概率 p i 是多少?( 原问题求 p M ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 81 / 106
107 记 A i = 甲有赌本 i 元而最后输光 (i = 1, 2,..., L 1), B = 甲赢了第一局 记 q = 1 p 当 2 i L 2 时, 得递推公式 p i =P (B)P (A i B) + P ( B)P (A i B) =pp i+1 + qp i 1 (6.3) p 1 =pp 2 + q p L 1 =p 0 + qp L 2 记 p 0 = 1, p L = 0, 则 (6.3) 对 1 i L 1 成立 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 82 / 106
108 由 (6.3) p i =pp i + qp i = pp i+1 + qp i 1 p(p i+1 p i ) =q(p i p i 1 ) (p i+1 p i ) = q p (p i p i 1 ) = = p i+1 p 1 = ( ) q i (p 1 1) p =r i (p 1 1), (i = 1, 2,..., L 1, 记 r = q p ) = i (p k+1 p k ) k=1 i r k (p 1 1) (6.4) k=1 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 83 / 106
109 r r i+1 p i+1 p 1 = 1 r (p 1 1) p 1 2 i(p 1 1) p = 1 2 i = L 1 时 p i+1 = p L = 0, r r L p 1 = 1 r (1 p 1) p 1 2 i(1 p 1 ) p = 1 2 r r L = 1 r L p L p = 1 2 (6.5) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 84 / 106
110 由 (6.4),p 1 2 时 p = 1 2 时 p i =p 1 + r ri 1 r (p 1 1) = ri r L 1 r L (2 i L 1) p i =p 1 + (i 1)(p 1 1) =1 1 ( L + (i 1) 1 ) L =1 i L (2 i L 1) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 85 / 106
111 甲输光的概率 r M r M+N p 1 1 r p M = M+N 2 N M+N p = 1 2 关键是根据第一局的输赢结果建立方程 (6.3) 叫做 首步 ( 首局 ) 分析法 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 86 / 106
112 例 6.4( 敏感问题的调查 ) 例 6.4 在问卷调查时, 某些敏感问题会遭到拒绝回答或谎报 比如, 要问卷调查运动员是否曾服用兴奋剂, 直接问很难得到肯定回答 设计如下两个问题 : 问题 A: 你的生日是否在 7 月 1 日之前 ( 不含 7 月 1 日 )? 问题 B: 你是否服用过兴奋剂? 被调查者只需要回答其中一个问题, 只需在只有 是 否 的答卷上选择其一 而回答哪一个是根据被调查者在其他人不能知道的情况下随机抽取一个颜色决定的 若抽出白球, 则回答问题 A; 若抽出红球, 则回答问题 B 红球比例 π 已知 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 87 / 106
113 样本量较大 ( 如 200 个受调查者 ) 就可以统计, 估计服用兴奋剂比例 p 设 n 张答卷,k 张答 是, 答 是 的比例 φ = k/n 全概公式 : P ( 回答 是 ) =P ( 抽到白球 )P ( 生日在 7 月 1 日前 抽到白球 ) + P ( 抽到红球 )P ( 服用过兴奋剂 抽到红球 ) =0.5(1 π) + pπ k n p k n 1 π 2 π 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 88 / 106
114 例如,50 个球中有 30 个红球,π = 0.6 某国 15 个项目 n = 246 个运动员接受调查, 答 是 者 k = 54 即约 3.25% 服用兴奋剂 思考 : 比例 π 的选取有何影响? p 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 89 / 106
115 例 6.5( 发报与接收 ) 例 6.5( 发报与接收 ) 发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号 和 信号可能误码 正确接收与错误接收的概率如下表 : 接收 发出 求当收到信号, 发报台真的发出 的概率 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 90 / 106
116 记 A = 发出信号,B = 收到信号 要求 P (A B) P (A B) = P (AB) P (B) P (AB) =P (A)P (B A) = P (B) =P (A)P (B A) + P (Ā)P (B Ā) P (Ā) =0.4 P (B Ā) =0.1 P (A)P (B A) P (A B) = P (A)P (B A) + P (Ā)P (B Ā) = = 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 91 / 106
117 逆概公式 逆概公式是全概公式的引申 若有多个基本情况 ( 事件 ) 是完备事件组, 则观测到一个结果后, 可以逆推原来到底是哪一个情况 如 : 接收到 后, 可以知道原来发出的是 的概率为 0.923, 即基本可以判断原来是发出的 定理 6.2( 逆概公式 ) 设 A 1, A 2,..., A n 为一完备事件组, 则对任一事件 B(P (B) 0) 有 P (A j B) = P (A j )P (B A i ) n i=1 P (A i)p (B A i ) (6.6) 证明联合条件概率定义及全概公式 逆概公式也称为贝叶斯 (Bayes) 公式 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 92 / 106
118 例 6.6( 艾滋病检测 ) 例 6.6( 艾滋病检测 ) 美国的艾滋病人比例保守估计 1000 分之一 是否应该对新婚夫妇进行艾滋病毒血液检测? 血液检测方法各种结果及概率检验结果 报告阳性 报告阴性 实际 AIDS 真阳性 (0.95) 假阴性 (0.05) 情况非 AIDS 假阳性 (0.01) 真阴性 (0.99) 如果报告阳性, 则真正患病概率是多少? A = 受试者带有艾滋病毒,T = 检测结果呈阳性 求 P (A T ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 93 / 106
119 P (A) = 0.001, P (T A) = 0.95, P (T Ā) = 0.01 由逆概公式 P (A)P (T A) P (A T ) = P (A)P (T A) + P (Ā)P (T Ā) = = 即使检验报告阳性, 真的患病的概率也只有 8.7%, 所以全面的检验 不太必要 原因是 P (A) 太小了 是 P (A) 的严格增函数 0.95P (A) P (A T ) = 0.95P (A) (1 P (A)) 0.95 = P (A) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 94 / 106
120 本节目录..1 随机事件及其概率.2 古典概型.3 事件的运算及概率的加法公式.4 集合与事件 概率的公理化定义.5 条件概率 乘法公式 独立性.6 全概公式与逆概公式.7 独立试验序列概型 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 95 / 106
121 独立试验序列概型 : 例 7.1 例 7.1 独立重复掷 5 次分币 求 : 恰有两次正面朝上的概率 解古典概型 共有 2 5 = 32 个等概基本事件 其中恰有两次正面朝上的个数为 C 2 5 = 10 p = p = C 2 5 ( ) 1 2 ( ) 1 3 (7.1) 2 2 (7.1) 中,C5 2 是事件对应的等概基本事件个数, 每个基本事件的 ( 概率为 1 ) 2 ( 1 ) (7.1) 可以用加法公式说明 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 96 / 106
122 若分币不均匀, 每一次 正面朝上 概率为 2 3, 则 P ( 恰有两次正面朝上 ) = C 2 5 这已经不是古典概型, 因为基本事件不等概 ( ) 2 2 ( ) 3 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 97 / 106
123 例 7.2 例 7.2 某人打靶, 命中率为 0.7, 独立重复射击 5 次 求恰好命中 2 次的概率 记 p = 0.7, q = 1 p = 0.3 P ( 恰好命中 2 次 ) = C5 2p2 q 3 P ( 恰好命中 3 次 ) = C5 3p3 q 2 P ( 恰好命中 4 次 ) = C5 4p4 q 1 P ( 恰好命中 5 次 ) = C5 5p5 q 0 P ( 恰好命中 1 次 ) = C5 1p1 q 4 P ( 恰好命中 0 次 ) = C5 0p0 q 5 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 98 / 106
124 独立试验序列概型 定理 ( 独立试验序列概型 ) 设单次试验中, 事件 A 发生的概率为 p(0 < p < 1), 则在 n 次重复试验中, P (A 发生 k 次 ) =Cnp k k q n k (q = 1 p) (k = 0, 1, 2,..., n) 证明在 n 次重复试验中, 记 B 1, B 2,..., B m 为构成事件 A 发生 k 次 的那些试验结果 (1) A 发生 k 次 = B 1 B 2 B m, 互不相容 ; (2)P (B 1 ) = P (B 2 ) = = P (B m ) = p k q n k ; (3)m = Cn( k 从 n 次试验中选取 k 个成功试验的方法数 ) 于是用加法公式 (1) 证明定理结论 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 99 / 106
125 注意 重复 蕴含两重含义 : (1) 每次试验的条件相同, 从而事件 A 发生的概率 ( 称为成功概率 ) 不变 ; (2) 各次试验的结果独立 当然, 这只是理想化假设, 实际情况只要比较近似满足就可以了 反例 : 已知 80 个产品中有 5 个次品, 从中每次任取一个, 无放回地取 20 次, 求其中有 2 个次品的概率 这个例子 :(1) 每次抽取的试验条件不同, 不能直接认为每次的成功概率 ( 这里是 取到次品 的事件概率 ) 不变 ; (2) 前后的抽取结果不是独立的 如果前 5 次抽取到的都是次品, 则从第 6 次起只能抽取到正品 所以不适用独立试验序列概型 产品批量特别大时, 无放回 抽取与 有放回 抽取结果相似, 可以用独立试验序列概型近似计算无放回抽样的概率 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 100 / 106
126 例 7.3 例 7.3 设每次射击打中目标的概率等于 如果射击 5000 次, 求至少两次打中目标的概率 p = 0.001, q = P ( 至少两次打中目标 ) = P ( 恰有 k 次打中目标 ) k=2 =1 P ( 都不中 ) p( 仅中一次 ) =1 q pq 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 101 / 106
127 成功 k 次概率近似公式一 当 n 很大同时 p 很小的时候, 有近似公式 称为泊松分布近似, 见 2.2(P55) 如, P (A 发生 k 次 ) (np)k e np (7.2) k! P ( 都不中 ) e P ( 仅中一次 ) e ! P ( 至少两次打中 ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 102 / 106
128 成功 k 次概率近似公式二 当 n 很大但 p 不是很小时, 有第二近似公式 1 1 P (A 发生 k 次 ) e 1 2 x2 k np(1 p) 2π x k = k np np(1 p) 参见 4.6(P153) 的中心极限定理 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 103 / 106
129 例 7.4 例 7.4 设每次射击打中目标概率为 1 6 如果射击 6000 次, 问 : 击中次数在 900 到 1100 之间的概率? 需要使用 4.6 的中心极限定理 记 n = 6000, p = 1 6, P ( 击中次数在 900 到 1100 之间 ) =P ( < X < ) ( ) np =P < X np np < np(1 p) np(1 p) np(1 p) =Φ ( ) ( ) np np Φ np(1 p) np(1 p) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 104 / 106
130 例 7.5( 自由随机游动 ) 例 7.5( 自由随机游动 ) 设一质点在数轴上运动, 在时刻 0 从原点出发 每隔单位时间位置向右或向左移动一个单位, 向右移动概率 p(0 < p < 1), 向左移动概率 q = 1 p 问 : 质点在时刻 n 位于 K 的概率?(n 是正整数,K 是整数 ) 只考虑 K 为正整数情况, 负整数和零的情况类似 为了质点在时刻 n 位于 K, 必须且只需在前 n 步移动中向右移动的次数比向左移动的次数多 K 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 105 / 106
131 设 x 表示向右移动的次数,y 表示向左移动的次数, 则 x + y = n, x y = K x = n+k 2 因 x, n, K 都是整数所以 n 与 K 有相同的奇偶性 当 n 与 K 奇偶 性相反时概率为 0 P ( 质点在时刻 n 位于 K) =P ( 质点在头 n 次游动时有 =C n+k 2 n p n+k 2 q n K 2 n + K 2 次向右, 有 n K 2 次向左 ) 易见 K 0 时也成立 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 106 / 106
Probability and Statistics
i 概率统计 B 原著 : 陈家鼎 刘婉如 汪仁官 概率统计讲义 ( 第三版, 高等教育出版社 ) 2017 年 5 月 25 日 ii 目录 第一章 随机事件与概率 1 1.1 随机事件及其概率........................ 1 1.2 古典概型............................. 4 1.3 事件的运算及概率的加法公式..................
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第 章随机事件和概率 事件和概率是概率论中的两个基本概念 在这部分内容中, 要熟记事件的关系和运算, 因为在今后的计算中, 经常将一些事件用另一些事件的运算来表示, 文氏图是帮助分析和理解事件运算的重要工具 ; 在计算事件的概率时, 要正确使用加法公式 减法公式 乘法公式 全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式等, 在理解的基础上要记住这些公式并会分析实际问题 考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
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概率论与数理统计 第一章随机事件与概率 黄正华 Email: huangzh@whu.edu.cn 武汉大学数学与统计学院 2012 年 9 月 3 日 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 1 / 95 目录 1 排列组合基本知识 2 随机试验 3 样本空间 随机事件 4 频率与概率 5 等可能概型 6 条件概率 7 独立性 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率
纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式
第 1 章随机事件及其概率 纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式 1.2 随机事件的概率 概率的统计意义 频率 设 是随机试验 E 的一个事件, 在 次重复试验 即试验条件完全相同 中, 事件 发生的次数称为事件 在 次重复试验中发生的频数, 记为 r, 称比值 f = r / 为事件 在 次重复试验中发生的频率 显然有 0
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Uit 2: Coditioig ad idepedece 本单元内容对应课本 1.5, 1.6 基本要求 理解条件概率的概念, 掌握概率的乘法定理, 理解全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式, 并学会运算和计算 理解事件独立性概念, 掌握伯努力 (Beroulli) 概型和二项概型计算方法 本章的学习重点与难点 难点 : 条件概率的计算与事件独立性的判别 作业 : P 26 : 24, 27,
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排列 组合 集合论 随机事件 事件间的关系与运算 频率与概率 4 等可能概型 ( 古典概型 ) 等可能概型 ( 古典概型 ) 生活中有这样一类试验, 它们的共同特点是 : 样本空间的元素只有有限个 ; 每个基本事件发生的可能性相同 比如 : 足球比赛中扔硬币挑边, 围棋比赛中猜先 我们把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型 设 S ={e 1, e,
纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式
第 1 章随机事件及其概率 纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式 1.3 条件概率与事件的独立性 条件概率 定义 1.3.1 设 B 为任意两个随机事件, 且 P( > 0, 则称 P(B = P(B / P( 为在事件 发生的条件下, 事件 B 发生的条件概率 例 1: 考察有两个孩子的家庭, 假定男女出生率一样 两个孩子
§1.5 条件概率
概率论与数理统计 主讲教师 : 朱丽娜讲师研究方向 : 智能交通, 车联网与智能驾驶电子邮件 :lzhu@xidia.edu.c 个人主页 :http://web.xidia.edu.c/lzhu/ 第一章概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间 随机事件 1.3 频率与概率 1.4 等可能概型 ( 古典概型 ) 1.5 条件概率 1.6 独立性 2/21 1.5 条件概率 ( 二 )
ii
i 概 率 统 计 讲 义 原 著 : 何 书 元 课 件 制 作 : 李 东 风 2015 年 秋 季 学 期 ii 目 录 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 3 1.1 试 验 与 事 件............................ 3 1.2 古 典 概 型 与 几 何 概 型....................... 7 1.2.1 古 典 概 型.........................
7-2
第二节 偶然中的必然 概率 主要内容 : 一 概率的定义二 条件概率三 全概率公式和贝叶斯公式 一 概率的定义 1. 概率的统计定义 设 E 为随机试验,A 为随机事件, 对 E 在相同 条件下重复进行 次, 若 A 出现了 m 次, 则 比值 F (A). m 称为 A 在 次试验中出现的频率, 记为 随着 的变化而变化 F ( ) A 单独进行一次试验, 其结果难以预料, 但当 多次重复这个试验时,
数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数
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.. 数学分析 (I) 短课程 [Part 2] 自然数 整数和有理数 孙伟 华东师范大学数学系算子代数中心 Week 2 to 18. Fall 2014 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014 1 / 78 3. 自然数理论初步 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
概率论与数理统计
概率论与数理统计 主讲 : 杨明磊 Email: mlyag@xidia.edu.c 雷达信号处理国家重点实验室 课件网址 : http://web.xidia.edu.c/mlyag/teach.html ( 中文 ) http://jalo.uice.fr/cours/deeire/cours.deeire.200 8-09-03.4613 ( 法文 ) 课程安排 分两学期完成 前期中文课程 法文
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为
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A B C D A B C D A B C D a a b c x x x x x x x x x x x x x x x x x a b c x a x x x x x x x x x x a b a b a b x x x x x x x x x x x x A B C A B C A B A B A x B C x D A B C a b c a b x x x x x x x A B A
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小结 基本概念 随机实验 随机事件 样本空间 事件的关系及运算 基本事件 复合事件必然事件 不可能事件 三个限定条件 样本点 所有基本事件构成的集合 四种关系和三种运算 概率 定义 性质 定义在样本空间上满足三条公理的集合函数 5 条 非负有界性规范性可列可加性 用概率的公理化定义, 从实验出发直接计算 A) 是困难的, 甚至是不可能的. 某些满足特定条件的实验可以直接计算. 基本事件的发生具有等可能性
器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 ３ 电势与电势差 １ 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 Ｅ ｐ 与电荷量 ｑ Ｅｐ 的比值叫做该点处的电势 表达式为 Ｖ 电场中两点之间的 ｑ 电势之差叫做电势差 表达式为 ＵＡＢ Ｖ Ａ ＶＢ ２ 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
Successful ways to cultivate high quality personnel for exhibition industry
第十一章概率 2012/10/31 1 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科 在现实世界中存在大量的机遇和风险, 概率统计可以为有效处理信息 正确作出决策 捕捉机遇 减少风险提供有力的工具 其应用极其广泛 : 数学的伟大使命是在混沌中发现有序 2012/10/31 2 概率论 : 概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学分支学科 从数学模型进行理论推导, 从同类现象中找出规律性
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概率论与数理统计 B 2015-2016 第一学期 魏连鑫 理学院应用数学教研室 概率论与数理统计 研究随机现象统计规律的一门数学学科, 是一门基础课 生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是概率问题 Laplace 世界上没有绝对的事情 2 前 言 起源概率论 : 十七世纪, 由赌博 测量误差 航海风险 人生寿命等研究的需要 古典概率论 1930s, 前苏联数学家科尔莫格罗夫借助测度论建立了严格的数学基础
练习.. nn > 对夫妇任意围成一圆桌就坐, 求有夫妇不相邻的概率. 解 : 用 A 表示有夫妇不相邻, 则 A 表示所有夫妇全相邻. 取一椅子作为参考点, 称为 a 座, 记 B = {a 座与顺时针方向邻座为夫妇 } A, B = {a 座与逆时针方向邻座为夫妇 } A. 则 A = B B,
概率论习题解答 李勇 张余辉 March 7, 08 第二章概率空间.. 练习题 练习.. 在例.. 中定义 PΩ = PA =, PA = P = 0, 试证明 P 为概率. 证明 : 显然, 对任意 B F 有 PB 0 且 PΩ =. 下面验证可列可加性. 即对于两两互不相容 的 {B n } F, 要证明 P n= B n = PB n. 只有四种情形, a 全是 ; b 只有一个 A 且其余全是
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07/9/ 任课教师 : 王磊西电电院 600 班概率论讲义基于浙大版教材整理 第一节概率论的基本概念 一 概率论的诞生及应用二 随机现象三 随机试验四 小结 一 概率论的诞生及应用 概率论的诞生 65 年 一个名叫梅累的骑士就 两个赌徒约定赌若干局 且谁先赢 c 局便算赢家 若在一赌徒胜 a 局 a
4 00 4 4 .4 0 8 A 6 B 4 7 4 6 8 08 7 0 4 4 6 0 9 4 6 8 00 6 0 6 9 0 4 4. 8 6 0 8. 7 4 6 7 4 8 4 - = 0 ( ) = ( ) = ( ) = + +... + 97 99 + + +... + 4 99 00 + +... + 99 0 4 + +... + 4 4 7 00 0 7 = 7
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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第1章 Delphi简介
第 章随机事件及其概率. 随机事件 在自然界和人们的日常活动中经常会遇到许多现象, 这些现象大体可分为两类, 一类 叫必然现象, 另一类叫随机现象所谓必然现象, 是指在一定条件下一定会出现或一定不 会出现的现象例如, 在标准大气压下纯水加热到 00 就会沸腾, 近距离的异性电荷会 相互吸引, 像这样由条件可以确定结果的现象就是必然现象所谓随机现象, 是指在一 定条件下可能出现也可能不出现的现象例如,
概率统计
概率论 同济大学王勇智 概率论与数理统计 本学期我们开始概率统计这门课程的学习 概率论与数理统计是随机数学的两个分支, 它们在数学与社会生活的各个领域有着广泛的应用 尤其把它引入到管理 金融 政治等社会学科, 为人们的正确决策提供科学依据, 对社会生活产生深刻影响 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件 1.2 事件关系和运算 1.1 样本空间和随机事件 确定性现象 : 在确定的试验条件下必然会发生的现象
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2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2
第二章随机变量及其分布 2. 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 连续型随机变量及其分布 3.4 随机变量函数的分布 2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2 . 离散型随机变量的分布律 定义 2.2. 设离散型随机变量 的所有可能的不同取 的值为 x 而 取值,,2, x 的概率为 p, 即 x p,,2,
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
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論鄭玄對《禮記‧月令》的考辨
19997 183-196 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 183 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 一 問 題 的 背 景 20b 8a 1 472 24 20a 33 7a 2 3 1 35 60 64 472 240241 2 1a 3 19b 184 4 5 二 鄭 玄 考 辨 月 令 成 書 時 代 及 來 源 的 論 證 65 4 20b 282 5 235244
概率论与数理统计
概率论与数理统计 绪论 随机现象与必然现象 随机试验为对随机现象加以研究所进行的观察或实验 称为试验 若一个试验满足下列三个特点 : 在相同条件下可以重复进行 ; 每次试验的可能结果不止一个 并且事先可以知道试验的所有可能结果 ; 进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果 则称这一试验为随机试验 例如 : 抛掷一枚硬币 观察正面和反面出现的情况 掷一颗筛子 观察出现的点数 对某一目标发射一发炮弹 观察弹着点到目标的距离
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普通高等教育 十二五 规划教材 概率论与数理统计 主编刘国祥王晓谦解锋昌副主编赵媛媛姚奕冯玉英杜秀丽 北 京 内容简介本书是专为理工经管等非数学与统计学专业编写的 全书共 9 章, 前 5 章属于概率部分, 内容包括事件与概率 随机变量及其分布 随机向量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律与中心极限定理, 后 4 章属于数理统计部分, 内容包括数理统计的基本概念 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析初步
戲劇研究 創刊號 詞之雅化 實為 折子戲 源生之三個重要背景 歷代戲曲劇種如先秦至唐代之 戲曲小戲 宋金雜劇院本 北曲雜劇四折每折作獨立性演出 乃至明清民間 小戲與南雜劇之一折短劇 均實為折子戲之 先驅 則明正德至嘉靖間北劇南 戲選本之 摘套 與 散齣 迎神賽社禮節傳簿 中之 零折散齣 均可 視之為
戲 劇 研 究 200 年1月 創刊號 頁1 2 論說 折子戲 曾永義 世新大學講座教授 緒論 折子戲 這一戲曲名詞 大家耳熟能詳 但如果進一步思考 1. 折子戲 之名始於何時 2. 折子戲 之詞彙結構如何形成 3.如果把 折子戲 當作一生命體 那麼其源生 形成 成熟與衰老的不同 階段 各自如何 其源生 形成的背景如何 其成熟興盛和衰老頹廢的原因又是 如何 4.當折子戲成熟之時 折子戲本身具有何等樣的周延義涵
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第 3 讲集合的概念与运算 1. 集合的概念 2. 集合之间的关系 3. 集合的运算 4. 文氏图 容斥原理 2005-7-5 集合论与图论 第 3 讲 1 集合论 (set theory) 十九世纪数学最伟大成就之一 集合论体系 朴素 (naive) 集合论 公理 (axiomatic) 集合论 创始人康托 (Cantor) Georg Ferdinand Philip Cantor 1845 ~
附件1：理论课程教学大纲修订样表
一 课程基本信息 概率论与数理统计 A 教学大纲 课程名称概率论与数理统计 A 课程代码 C4803001 英文名称 Probability Theory And Statistics A 归属学科 ( 系 部 ) 统计系 学分 4 学时 64 学时, 其中实践 4 学时开课学期 3 预修课程 高等数学 面向专业计算机 163(33 人 ) 二 课程性质与教学目标 概率论与数理统计 是研究大量随机现象统计规律性的一门学科,
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2009年挑战乔戈里
2009 年 挑 战 乔 戈 里 活 动 概 况 : 乔 戈 里 峰 海 拔 8611 米, 它 是 喀 喇 昆 仑 山 脉 的 主 峰, 是 世 界 上 第 二 高 峰, 国 外 又 称 K2 峰 乔 戈 里 峰, 国 际 登 山 界 公 认 的 攀 登 难 度 较 大 的 山 峰 之 一 乔 戈 里 峰 峰 巅 呈 金 字 塔 形, 冰 崖 壁 立, 山 势 险 峻, 在 陡 峭 的 坡 壁 上
MBA 联考大纲基础词汇 (2100)
面授网址 www.szhzba.co 网络课堂 www.sigxue.co 等可能事件的概率 古典概率 知识要点. 基本事件及由基本事件组成的事件 一次试验连同其中可能出现的结果, 称为一个基本事件, 如 : 将一枚均匀硬币先后抛掷两次 的 试验中, 可能出现的结果是 ( 正, 正 ) ( 正, 反 ) ( 反, 正 ) ( 反, 反 ) 其中 将一枚均匀硬币先后抛掷两次, 两次均为正面向上, 将一枚均匀硬币先后抛掷两次,
第五章 数理统计中的统计量 及其分布
第五章 数理统计中的统计量 及其分布 随机样本 统计量 三大抽样分布 正态总体下常用统计量的一些重要结论 数理统计 以概率论为基础 主要研究如何收集 整理和分析实际问题的数据 有限的资源 以便对所研究的问题作出有效的 精确而可靠 推断 基础 概率论 功能 处理数据 目的 作出科学推断 就概率特征 总体与随机样本 总体 研究对象的某项数量指标值的全体 记作 Y 个体 总体中每个研究对象 元素.
课程设置—国民经济学
课程设置 国民经济学 序号 课程类型 课程名称 学期 学分 总学时 授课语言 任课教师 ( 职称 ) 1 科学社会主义理论与实践 秋季学期 2 32 中文 学校统开 2 资本论 选读秋季学期 1.5 28 中文经院统开公共学位 3 经济思想史秋季学期 1.5 28 中文经院统开 4 英语 秋季 春季学期 4 64 英文 学校统开 5 高级宏观经济学 Ⅰ 秋季学期 3 56 中文 经院统开 6 高级计量经济学
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11.1 概率基础 随机试验 数学系统精讲 概率 MBA 大师 数学董璞 扔硬币掷骰子彩票开奖抽奖券 (1) 可重复性 试验在相同条件下可重复进行 ; (2) 可知性 每次试验的可能结果不止一个, 并且事先能明确试验所有可能的结果 ; (3) 不确定性 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现, 但必然会出现结果中的一个 11.1 概率基础 随机试验每一种可能的结果称为一个基本事件 ; 从数字 1,2,3,4
2016考研数学三线性代数题目及试题答案
6 考研数学三真题及答案解析 来源 : 文都教育 () 设函数 f ( ) 在 ( ) 内连续 ; 其导数如图所示 则 ( ) (A) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (B) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (C) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (D) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a b
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第一章 随机事件与概率 （考研）
概率统计冲刺 真题解析及重点题型 济大科大版说明 : 要求解析 9,,6,8 四年的概率真题四年的概率真题共 题左右, 全面性不够, 以这四年为主, 适当补充其他真题 通过真题解析达到三个目的 : 复习相应的知识点, 查遗补漏 ; 把握命题规律, 强化重点题型 ; 掌握应试技巧, 避免常见错误 冲刺阶段概率统计备考策略 理清结构, 突出重点 真题热身, 实战模拟 查遗补漏, 调整状态 冲刺阶段的复习
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
& 概率论与数理统计 例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点 次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计
![& 概率论与数理统计 例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点 次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计](/thumbs/97/133162016.jpg "& 概率论与数理统计 例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点 次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计")
& 概率论与数理统计 例 : 在 [0,] [0,] 正方形内随机投点 0000 次, 统计落在 /4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 ~5 章数理统计 6~9 章 2 第 章随机事件与概率. 随机事件 确定性现象 : 在相同条件下, 只能出现一个结果客观现象 随机现象 : 在相同条件下,
中華民國青溪協會第四屆第三次理監事聯席會議資料
- 1 - 中 華 民 國 第 八 屆 第 四 次 理 監 事 聯 席 會 議 程 序 表 日 期 中 華 民 國 1 0 4 年 1 2 月 1 9 日 ( 星 期 六 ) 地 點 臺 南 南 紡 夢 時 代 雅 悅 會 館 五 樓 ( 臺 南 東 區 中 華 東 路 一 段 366 號 ) 項 次 程 序 起 訖 時 間 使 用 時 間 主 持 人 或 報 告 人 報 到 16:30~17:00
内 容 简 介本书较系统地介绍了概率论与数理统计的基本内容 主要包括 随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 数理统计的基本知识 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析 在统计分析中的应用 本书注重对学生基础知识的训练及知识应用能力的培养 部分小节精选了相当数量
普通高等教育 十二五 规划教材 概率论与数理统计 马 戈 主编梁 瑛 吴宏锷 牛玉俊 副主编 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内 容 简 介本书较系统地介绍了概率论与数理统计的基本内容 主要包括 随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 数理统计的基本知识 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析 在统计分析中的应用 本书注重对学生基础知识的训练及知识应用能力的培养
第一节 随机试验 一 概率论的诞生及应用二 随机现象三 随机试验四 小结
概率论与数理统计 第一章概率论的基本概念 主讲教师 : 彭树宏 shuhong.peng@gmail.com 江西财经大学统计学院 第一节 随机试验 一 概率论的诞生及应用二 随机现象三 随机试验四 小结 一 概率论的诞生及应用. 概率论的诞生 654 年 一个名叫梅累的骑士就 两个赌徒约定赌若干局 且谁先赢 c 局便算赢家 若在一赌徒胜 a 局 a
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目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
考生编号 政治 政治分 外语 外语分 科目 1 科目 1 分 科目 2 科目 2 分 总分 专业代码 专业名称 专业排名 考试方式 报名号 思想政治理论 缺考 英语一 缺考 数学三 110 金融学综合 缺考 金融硕士 110 全国统考 11018
100019000010001 思想政治理论 缺考 英语一 缺考 数学三 110 金融学综合 缺考 110 025100 金融硕士 110 全国统考 110189426 100019000010002 思想政治理论 56 英语一 61 数学三 83 金融学综合 55 255 025100 金融硕士 83 全国统考 110189744 100019000010003 思想政治理论 缺考 英语一 缺考
公理化 数学的公理化 数学公理化起源于欧几里德 公理化的要求 : 协调性, 即无矛盾性 完备性 喻良 ( 南京大学现代数学研究所 ) 可计算性与可判定性 October 30, / 28
可计算性与可判定性 第三讲 : 模型论引论 喻良 南京大学现代数学研究所 October 30, 2013 喻良 ( 南京大学现代数学研究所 ) 可计算性与可判定性 October 30, 2013 1 / 28 公理化 数学的公理化 数学公理化起源于欧几里德 公理化的要求 : 协调性, 即无矛盾性 完备性 喻良 ( 南京大学现代数学研究所 ) 可计算性与可判定性 October 30, 2013
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概率随机变量练习 ( 廖老师出题 ). 设 X 是一个离散型随机变量, 其分布列为 : 则 q 等于 ( ) A. B. ± C. D. + C. 设随机变量 ξ 的概率分布列是 P( ξ = k) =, k =,,,,5, 6, 其中 C 为常数, 则 k P ( ξ ) 的值为 ( ) 6 6 6 A. B. C. D. 6 6. 一盒中有 个乒乓球, 其中 9 个新的, 个是旧的, 从盒中任取
. (A) (B) (C) A (D) (E). (A)(B)(C)(D)(E) A
. () () () () () (A) (B) (C) B (D) (E). (A) (B) (C) E (D) (E) (A) (B) (C) (D). () () () () E (A) (B) (C) (D) (E). C (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) D (E). () - () - () - () - () - D (A) (B) (C) (D)
概率与数理统计复习题
概率论与数理统计复习题 一 填空题 P( A) 04, P( B) 05, P( A B) 04, 则 P( A B) E( ) D( ), 由切比雪夫不等式知 P 总体 ~ N( ), 未知, 检验假设 H 0 : 0 的检验统计量为 4 已知,A, B 两个事件满足条件 P( AB) P( A B), 且 P( A) p, 则 P (B) 9 5 设三次独立试验中, 事件 A 出现的概率相等,
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保 母 人 員 單 一 級 技 術 士 技 能 檢 定 術 科 測 試 應 檢 參 考 資 料 試 題 編 號 :15400-960401~8 審 定 日 期 :96 年 11 月 30 日 修 訂 日 期 :97 年 1 月 31 日 98 年 0 月 06 日 保 母 人 員 單 一 級 技 術 士 技 能 檢 定 術 科 測 試 應 檢 參 考 資 料 第 二 部 份 壹 保 母 人 員 技
2 2 12 12 4 81 = 108 3 2 108 = 72 3 4 72 = 96 3 2 96 = 64 3 12 t = 2 1 2 11 12 12 12 2 l 2 l 2 l 2 12 ò ED = CB DA BA DE
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第一章 §1 1
期 中 综 合 测 试 题 本 卷 分 为 第 Ⅰ 卷 ( 选 择 题 ) 和 第 Ⅱ 卷 ( 非 选 择 题 ), 满 分 100 分, 时 间 90 分 钟 第 Ⅰ 卷 ( 选 择 题 共 48 分 ) 一 选 择 题 ( 在 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中, 只 有 一 项 是 最 符 合 题 意 的 本 大 题 共 24 小 题, 每 小 题 2 分, 共 48 分 ) 1. 阅 读
1 TimoteusPokora ArchivOrientalni ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12, n 1959 44 
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995 + t lim( ) = te dt =. α α = lim[( + ) ] = e, α α α α = t t t t te dt = tde = te α α e dt = αe e, =, e α = αe α e α, α =. y z = yf, f( u) z + yz y =. z y y y y y y z = yf + y f = yf f, y y y y z y =
《分析化学辞典》_数据处理条目_1.DOC
3 4 5 6 7 χ χ m.303 B = f log f log C = m f = = m = f m C = + 3( m ) f = f f = m = f f = n n m B χ α χ α,( m ) H µ σ H 0 µ = µ H σ = 0 σ H µ µ H σ σ α H0 H α 0 H0 H0 H H 0 H 0 8 = σ σ σ = ( n ) σ n σ /
数理逻辑 I Mathematical Logic I
前情提要 前情提要 一阶逻辑公理系统的元定理承自命题逻辑的元定理 : 演绎定理重言规则逆否命题反证法 前情提要 一阶逻辑公理系统的元定理承自命题逻辑的元定理 : 演绎定理重言规则逆否命题反证法 前情提要 一阶逻辑公理系统的元定理承自命题逻辑的元定理 : 演绎定理重言规则逆否命题反证法 前情提要 一阶逻辑公理系统的元定理承自命题逻辑的元定理 : 演绎定理重言规则逆否命题反证法 前情提要 一阶逻辑公理系统的元定理一阶逻辑特色的元定理
标题
第 1 章 概率论的基本概念 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门基础学科, 它从数量角度给出随机现象的描述, 为人们认识和利用随机现象的规律提供了有力的工具. 因此概率论与数理统计这门学科应用相当广泛, 几乎渗透到所有科学领域, 工业 农业 国防与国民经济的各个部门都要用到它. 例如在工业中, 人们应用概率统计方法进行质量控制 工业试验设计 产品的抽样检查等. 另外, 概率统计的理论与方法正在向各个基础学科
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) ,,, :,,,,,,, ( CIP) /. :, 2001. 9 ISBN 7-5624-2368-7.......... TU311 CIP ( 2001) 061075 ( ) : : : : * : : 174 ( A ) : 400030 : ( 023) 65102378 65105781 : ( 023) 65103686 65105565 : http: / / www. cqup.
94 (( )) 1 2 3 4 5 7 9 11 12 13 14 17 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 34 ( ) () (/ ) (/ ) (/ 100) 256 5,034 209,647 710,954 360,925 350,029 4,047.66 3.39 103.11 256 5,034 214,574 717,811 363,149
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1 1 2 3 4 2 2004 20044 2005 2006 5 2007 5 20085 20094 2010 4.. 20112116. 3 4 1 14 14 15 15 16 17 16 18 18 19 19 20 21 17 20 22 21 23 5 15 1 2 15 6 1.. 2 2 1 y = cc y = x y = x y =. x. n n 1 C = 0 C ( x
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第三套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 3 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
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随机过程 Stochasstic processes 西安电子科技大学数学系教师冯海林 1 引言 随机过程的研究对象随机过程是研究随机现象随时间变化过程中的规律性的一门数学学科. 是概率论的深入和发展. 引言 随机过程应用广泛 随机过程在自然科学 社会科学以及工程技术的各领域均有应用. 在我校的一些专业 : 雷达 通信 无线电技术 自动控制 生物工程 经济管理等领域有着极为广泛的应用. 3 引言 教材与参考教材
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天津一中网校 同步教学 年级 高一 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 科目 数学 教师 贾鲁津 2004-2005 年第一学期第五周 第 1 页 2004-2005 2 2004-2005 1.8. P q..1.8... [].. 3 2004-2005 1 p q p q p q p q. q pq p. p q p q, p q, 2 p q p q q p. q pp q. p q p
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章节目录 1 随机现象与统计规律性 2 样本空间与事件 3 古典概型 4 几何概型 5 概率空间
概率论 第一章事件与概率 上海财经大学统计与管理学院 章节目录 1 随机现象与统计规律性 2 样本空间与事件 3 古典概型 4 几何概型 5 概率空间 随机现象与统计规律性 S1. 随机现象与统计规律性 一 随机现象 随机现象 太阳从东方升起 : 确定 ; 明天的最高温度 : 不确定 ; 上抛物体一定下落 : 确定 ; 新生婴儿的体重 : 不确定 ; 决定性现象 : 必然发生或必然不发生的现象随机现象
邱 江 吴玉亭 张庆林 西南师范大学心理学院 重庆 选取 个具体内容的条件命题作为实验材料 以小四 初一 高一 大三的学生为被试 探讨了命题内容对青少年条件推理的影响机制及其发展特点 结果表明 对同一年级而言 不同内容的条件命题的相同推理 之间表现出显著的差异 对不同年级而言 相同内容的条件命题的四种推理之间也存在显著的差异 青少年的条件推理过程似乎是一种基于对事件发生概率估计的直觉判断 这一判断过程主要取决于个体知识经验的增长和主体认知水平的提高
《米开朗琪罗传》
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i 概率统计讲义 对应教材 : 何书元 概率论与数理统计 第一版 课件制作 : 李东风 2016 年秋季学期 ii 目录 第一章 古典概型和概率空间 3 1.1 试验与事件............................ 3 1.2 古典概型与几何概型....................... 7 1.2.1 古典概型......................... 7 1.2.2 几何概型.........................
一 根据所给图表，回答下列问题。
09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷 数学专业知识 一 选择题 ( 本大题共 题 每题 分 共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故 故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由 可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时 因为 z i R 而 z i R 知 故 p
29 265 40 1822 1895 1843 1910 -- 1960 à à 1948 3 09144 12 1 90 60 70 75 60 15 2 1 35 4 40 106 43 W 24
