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榆杨
7 years ago
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1 第 5 章统计 Ⅰ 教学要求. 了解样本统计量的概念.. 掌握总体均值的区间估计, 会求总体百分比的置信区间. 3. 理解小概率事件在一次试验中不可能发生的实际推断原理. 4. 了解正态总体均值的 u 检验法,t 检验法 ; 了解两个正态总体的均值之差的 u 检验法,t 检验法. 5. 了解正态总体方差的 χ 检验法. Ⅱ 教材分析教学建议和练习的答案本章的主要内容之一是研究如何估计总体的参数? 关于估计总体参数 ( 均值方差 ) 的值, 已经在本套教材第二册的第章.7 节讲过, 称之为点估计. 本章是研究如何估计总体参数的取值范围, 称为区间估计. 点估计和区间估计统称为参数估计. 本章的主要内容之二是介绍假设检验, 包括正态总体均值的 u 检验法,t 检验法 ; 正态总体方差的 χ 检验法等. 为什么要研究参数估计? 在实际生活中我们经常要及时地了解各种信息, 例如中央电视台春节联欢晚会的收视率等. 由于总体参数的值往往是不会被知道的, 因此需要抽取简单随机样本, 用样本统计量去估计总体参数的值, 或者总体参数的取值范围. 在本套教材第二册的第章.7 节, 我们讲了对于简单随机样本, 可以 33

2 用样本的百分比去估计总体的百分比, 用样本的均值去估计总体的均值, 用样本方差的修正值去估计总体的方差. 在本章中, 我们将利用样本的百分比, 给出总体百分比的 95% 置信区间 ; 利用样本的均值和总体方差 ( 或样本方差的修正值 ), 给出总体均值的 95 % 置信区间 ; 等等. 为什么要研究假设检验? 在实际生活中, 我们经常关心总体参数是否有可能等于我们感兴趣的特殊值, 例如工厂生产的一批产品的次品率是多少? 虽然我们可以抽取简单随机样本, 用样本的次品率估计整批产品的次品率 r. 由于用户关心的是次品率 r 不要超过某个数, 比如 %, 因此我们可以先假设 r = 0.0, 然后判别这个假设是否成立. 这种方法称为假设检验. 本章的重点是 : 总体百分比的置信区间, 总体均值的置信区间 ; 正态总体均值的 u 检验法,t 检验法 ; 正态总体方差的 χ 检验法. 本章的难点是 : 区间估计中置信水平的概念 ; 假设检验中显著水平的概念, 第一类错误和第二类错误的概念 ;t - 分布中自由度的概念,χ - 分布中自由度的概念. 学好本章的关键是 : 理解为什么要研究参数估计? 如何进行区间估计? 理解为什么要进行假设检验? 如何进行假设检验? 在检验正态总体的均值时, 要区分总体方差已知时采用 u 检验法, 总体方差未知时采用 t 检验法. 本章的公式较多, 要根据题目意思具体问题具体分析, 选择合适的公式. 本章教学时间约需 0 课时, 具体分配如下 ( 供参考 ): 5. 区间估计 3 课时 5. 假设检验 5 课时 5. 3 正态总体的 χ 检验法课时 5. 区间估计. 在教材中的动脑筋栏目下的 4 段内容, 清晰地阐述了为 34

3 什么要进行参数估计? 如何用简单随机样本的统计量去估计总体的百分比, 总体的均值, 总体的方差? 除了点估计外为什么还要进行区间估计? 置信水平为 95% 的置信区间的含意是什么? 关于最后一个问题, 它的含意是 : 对于一个总体, 多次抽取样本, 求出的总体参数的置信区间中, 有 95 % 的区间包含了总体参数的真值, 5 % 的区间没有包含总体参数的真值. 抽取一个样本, 计算出的置信区间, 它包含总体参数真值的可能性为 95%, 不包含总体参数真值的可能性为 5 %.. 在教材中, 我们给出了利用简单随机样本的百分比 P 和样本大小, 计算总体百分比的 95 % 置信区间的公式 : P -.96 P( - P),P +.96 P( - P). () 运用这个公式很容易计算总体百分比 ( 例如, 收视率, 次品率等 ) 的 95 % 置信区间. 参看教材中的例. 在教材中, 我们还给出了一个快速计算总体百分比的 95 % 置信区间的近似公式 : 由于通常要求抽样误差足 P -,P +. () 控制在 3 % 左右, 因此样本大小应满 = 0.03, 解得 =. 从而通常要求样本大小为 00, 以便保证抽样误差不超过 3%. 为了使教师知道公式 () 是怎么来的, 我们以一批产品的次品率为例, 讲一讲公式 () 的推导过程. 某工厂生产了一大批产品, 从中随机抽取件来检查, 发现有 m 件次品. 试求这批产品的次品率 p 的 95 % 置信区间. 显然这个样本的大小为, 样本的次品率 P = m. 由于这批产品的数量很多, 因此从中随机抽取件来检查可以看成是每次试 35

4 验只有两个可能结果的次独立重复试验. 用 ξ 表示抽取的件产品中的次品数, 则 ξ 取值 m 的概率为 P(ξ = m)= C m p m ( - p) - m, (3) 即 ξ 服从二项分布 B(,p). 我们用样本的次品率 P = m 作为总体次品率 p 的估计值, 现在来求 p 的 95 % 置信区间. 在本套教材第二册的第章. 5 节中, 我们指出 : 如果随机变量 ξ 的概率分布是二项分布 B(,p), 则 E(ξ )= p,d(ξ )= p ( - p). (4) 可以证明当时,ξ 服从正态分布 N(p,p( - p)). 由于取不同的样本得到的样本次品率是不同的, 因此样本次品率也是随机变量, 记作 P *. 显然 P * = ξ. 根据本套教材第二册的第章. 5 节的性质, 得从而 E(P * )= E( ξ )= E(ξ )= p = p. (5) D(P * )= E(P * )- E(P * ) = E ( ξ = E(ξ )- E(ξ ) )- E(ξ ) = E(ξ )- [E(ξ )] = D(ξ )= p( - p) p ( - p)=. (6) 设 ξ 的分布函数为则 P * 的分布函数 G(x) 为 F(x) def P(ξ < x), (7) G(x)= P(P * < x)= P ξ < x = P(ξ < x)= F(x). (8) ξ 的概率密度函数 f (x )= F (x), 从而 P * g(x) 为 36 的概率密度函数

5 g(x)= G (x)= F (x) = f (x). (9) 由于当时 ξ 服从正态分布, 从 g(x) 与 f (x) 的上述关系式可以推导出, 当时 P * 也渐近地服从正态分布. 从 (5) (6) 式知道,P * 的期望值为 p, 方差为二册的第章. 6 节知道,P * 取区间 p -.96 p( - p),p +.96 p ( - p). 于是根据本套教材第 p( - p) (0) 里的值的概率为 95 %. 因此样本的次品率 P 以 95% 的概率满足下式 : p -.96 显然 () 式等价于 P -.96 p ( - p) P p +.96 p( - p) p P +.96 于是总体次品率 p 的 95 % 置信区间为 P -.96 p( - p),p +.96 p( - p). () p( - p). () p( - p). (3) (3) 式中根号下的 p 是总体次品率 ( 未知 ), 可以用多次抽样计算出的样本次品率的平均值代替. 如果只作了一次抽样. 那么也可以用这一个样本的次品率 P 代替 p, 从而得到总体次品率 p 的 95 % 置信区间近似为 P -.96 P( - P),P +.96 P( - P). (4) 注 : 当时,ξ 服从正态分布 N(p,p ( - p)) 的证明可以看费史著概率论及数理统计第 6 章关于正态分布总体的均值的置信区间. 设一个总体服从正态分布 N (μ,σ ). 取一个简单随机样本, 样本大小为, 个观测值为 x,x,,x, 样本的均值为粎 x. 37

6 情形总体的方差 σ 已知. 此时总体均值 μ 的 95 % 置信区间为粎 x -.96 σ, 粎 x +.96 σ. (5) 情形总体的方差 σ 未知. 此时先计算样本方差的修正值 s * : s * = - [(x - 粎 x) + (x - 粎 x) + + (x - 粎 x) ],(6) 则总体均值 μ 的 95 % 置信区间为粎 x - t * s*, 粎 x + t * s*, (7) 其中 t * 的自由度为 -,t * 可以从 t - 分布的表中, 查自由度为 - 所在的行与 α = 0.05 所在的列交叉位置的数而得到. 区间. 让学生会用公式 (5) 或 (7), 求正态分布总体均值的置信为了让教师知道公式 (5) 和 (7) 的由来, 并且知道什么是 t - 分布, 我们现在来讲公式 (5) 和 (7) 的推导过程. 设一个总体 ξ 服从正态分布 N (μ,σ ), 取一个简单随机样本, 它由个观测值 ξ,ξ,,ξ 组成, 它们是相互独立的, 且与 ξ 具有相同的概率分布, 因此每个 ξ i 也都服从正态分布 N (μ, σ ). 样本的均值为粖 X = (ξ + ξ + + ξ ). (8) 我们用粖 X 的一次观测值粎 x 去估计总体均值 μ, 下面求 μ 的 95 % 置信区间. 情形总体的方差 σ 已知. 由于对于有限多个相互独立的随机变量 ξ,ξ,,ξ, 有 D(ξ + ξ + + ξ )= D(ξ )+ D(ξ )+ + D(ξ ), 38 (9)

7 D ξ = D(ξ ), (0) 因此 D( 粖 X)= D (ξ + ξ + + ξ ) = (σ + σ + + σ )= σ. () 我们知道, 如果 ξ,ξ,,ξ 均服从正态分布, 则 ξ + ξ + + ξ 也服从正态分布, (ξ + ξ + + ξ ) 也服从正态分布, 因此粖 X 服从正态分布, 且 E( 粖 X)= E (ξ )= μ,d( 粖 X)= σ. 于是粖 X 取区间 μ -.96 σ,μ +.96 σ () 里的值的概率为 95 %. 从而粖 X 的一次观测值粎 x 以 95% 的概率满足下式 : (3) 式等价于 μ -.96 σ 粎 x μ +.96 σ. (3) 粎 x -.96 σ μ 粎 x +.96 σ, (4) 因此总体均值 μ 的 95 % 置信区间为粎 x -.96 σ, 粎 x +.96 σ. (5) 情形总体的方差 σ 未知. 此时引进一个样本统计量 t: t = 其中 S * 是样本方差的修正值, 即 S * = 粖 X - μ *, (6) S - [(ξ - 粖 X) + (ξ - 粖 X) + + (ξ - 粖 X) ]. (7) 39

8 随机变量 t 服从的分布称为具有自由度 - 的学生氏 t - 分布, 其中为样本中观测值的个数. 已经列出了学生氏 t - 分布的表, 它给出了满足 P(- t * t t * )= - α (8) 的数值 t *. 当 α = 0.05 时,(8) 式成为 P(- t * t t * )= 0.95, (9) 即, 使得 t 取区间 [- t *,t * ] 里的值的概率为 95 %. 利用 (6) 式可得, 对于具体的一个简单随机样本计算出的粎 x,s *,t, 有因此 μ 取区间 - t * t t * - t * 粎 x - μ * t* s 粎 x - t * s* μ 粎 x + t * s*. (30) 粎 x - t * s*, 粎 x + t * s* (3) 里的值的概率为 95%. 即 (3) 式表示的区间是总体均值 μ 的 95 % 置信区间, 其中 t * 满足 P(- t * t t * )= 0. 95,t * 的值可从 t - 分布表中查到, 它的自由度为 -,α = 两个总体的百分比之差的 95% 置信区间为其中 P,P [(P - P )-.96Δ,(P - P )+.96Δ], (3) 分别是从这两个总体中抽取的一个简单随机样本的百分比,, 是这两个样本的大小, Δ = P ( - P ) + P ( - P ). (33) 公式 (3) 的推导过程类似于一个总体的百分比的 95% 置信区间的推导, 只要注意对两个相互独立的随机变量 ξ,ξ, 有 40 D(ξ + ξ )= D(ξ )+ D(ξ ), D(cξ )= c D(ξ ).

9 从而有 D(- ξ )= (- ) D(ξ )= D(ξ ), D(ξ - ξ ) = D[ξ + (- ξ )]= D(ξ )+ D(- ξ ) = D(ξ )+ D(ξ ). 教材的例 3 中, 求出的两个总体的百分比之差的 95 % 置信区间为 [- 0.5 %,.5 %], 由于这个置信区间包含了小于或等于 0 的数, 因此美国男士中投了肯尼迪的票的百分比不一定比妇女中投了肯尼迪的票的百分比高. 5. 设两个正态总体的方差相等, 但未知 ; 均值分别为 μ,μ. 从这两个总体中分别抽取一个简单随机样本, 样本大小分别为,, 样本均值分别为 x,x, 样本方差的修正值分别为 s *, s *. 则这两个总体的均值之差 μ - μ 的 95 % 置信区间为 (x - x )- t * s * +,(x - x )+ t * s * +,(34) 其中 s * t * 是 s * 与 s * s * = 的加权平均值的算术平方根, 即 ( - )s * + ( - )s *, (35) + - 的自由度为 + -,t * 的值可以从 t - 分布表中查得. 教材中例 4 的 95% 置信区间为 [0.,0.58], 它的最小值大于 0, 因此有 95% 的概率认为该物在化学处理后降低了平均含脂率. 练习的答案 A 组. () 样本大小 = 50, 样本的百分比 P 为 P = %. 4

10 Δ =.96 P( - P) =.96 P - Δ = 0.57, P + Δ = ( ) 0.043, 50 因此总体中习惯早起的人所占百分比的 95 % 置信区间为 [5.7%,60.3 %]. 它的最小值大于 50 %, 因此有 95 % 的概率认为习惯早起的人超过了一半. () 样本大小 = 8, 样本的百分比 P = 53%. P - = P + = , 因此所有习惯早起的人中认为早起者精力充沛的人所占百分比的 95 % 置信区间近似为 [47%,59 %]. 此区间包含了小于 50% 的数, 因此所有习惯早起的人中认为早起者精力充沛的人不一定超过一半. (3) 样本大小 = 8, 样本的百分比 P = 45%. P - = P + = , 因此所有习惯早起的人中认为早起者锻炼的比别人多的人所占百分比的 95% 置信区间近似为 [0.39,0.5]. 此区间包含大于 50 % 的数, 因此所有习惯早起的人中认为早起者锻炼的比别人多的人不一定不到一半.. () 样本大小 =, 样本的均值粎 x =.3, 样本的标准差的修正值 s * = 0.8. t * 的自由度为 - = - =, 查 t - 分布表得, 4 t * =.080.

11 于是 t * s* = , 粎 x - t * s* =.9, 粎 x + t * s* =.7. 因此女体操运动员总体平均年龄的 95 % 置信区间为 [.9,.7]. () 女体操运动员总体平均年龄属于区间 [.9,.7] 的可能性为 95%. 3. () 样本大小 =, 样本的百分比 P = 39 %. P - = = 0.33, P + = = 因此所有习惯晚睡的人中认为早起者精力充沛的人所占百分比的 95 % 置信区间近似为于是 Δ = [3.3 %,45.7%]. () = 8, =,P = 53%,P = 39 % ( ) ( ) ,.96Δ (P - P )-.96Δ , (P - P )+.96Δ 因此所有早起者与晚睡者中认为早起者精力充沛的人所占百分比之差的 95% 置信区间为 [5.3%,.7% ]. 43

12 由于此区间的最小值大于 0, 因此有 95 % 的概率认为早起者与晚睡者对于早起者精力充沛的观点持不同的看法. s * 4. =, =,x = 3.6,x = 30. 0,s * = 8. 7, = 9.8. 于是 s * = = ( - )s * + ( - )s * + - s * s * + = s * + s *, = s * = + s * s* + s* = + s * s * 于是 = t * 的自由度为 + - = 4, 查 t - 分布表得 t * =.960. Δ = t * s * (x - x )- Δ ( ) =.04, (x - x )+ Δ ( ) =.6. 因此男性女性总体的均值之差的 95 % 置信区间为 [.04,.6]. 由于此区间的最小值大于 0, 因此有 95 % 概率认为男性比女性对婚姻的状况较满意. 65; 从. () 由于抽样误差等于 44 B 组, 因此从 = 4% 得出 = = 3% 得出 =. 这表明 : 其中一个民意调查抽取

13 了人, 而其他的民意调查抽取了 65 人. ()4 个民意调查得到的总体百分比的 95 % 置信区间依次为 [38%,46 %],[35 %,43 %],[38%,44 %],[36%,44 %]. 图 5 - (3) 假设上述 4 个区间都包含总体百分比的真值, 那么总体百分比的可能取值范围是 [38 %,43%]. (4) 第 () 小题中已计算出, 第三个民意测验中大约有人被访, 其他三个民意测验大约有 65 人被访. P = (5) 样本大小 = = 986, 样本的百分比 P 为 65 4% % + 4 % % %. P = 0.388, 986 P = 因此总体百分比的 95% 置信区间近似为 [38.8%,4.4 %]. (6) 第 (5) 小题中的区间 [38.8 %,4.4 %] 与第 (3) 小题中的区间 [38%,43%] 比较, 它们的中点分别是 40. 6%,40. 5%, 很接近 ; 第 (5) 小题中的区间长度较小, 这表明误差较小. 45

14 . 样本大小 = 50, 样本的均值粎 x = - 6.8, 标准差的修正值 s * = t * 的自由度为 - = 49, 查 t - 分布表得, 自由度为 40,α = 0.05 时,t =.0; 自由度为 60,α = 0.05 时,t =.000. 在区间 [40,60] 里,t 与自由度的依赖关系近似地为一次函数关系, 其斜率 k 为 k = 从而自由度为 49 时, 于是 = t * =.0 + ( ) (49-40).0. Δ = t * s* , 粎 x - Δ = - 9.9, 粎 x + Δ = 因此总体均值的 95 % 置信区间为 [- 9.9,- 3.7]. 由于此区间的最大值小于 0, 因此有 95 % 的概率认为用这种中药治疗高血压有效果. s * t * 3. () =, = 6,x = 37. 9,x = 30. 5,s * = 30. 8, = 7.5. 于是 t * s * = 的自由度为 + - = 6, 查 t - 分布表得, =.0. 于是 Δ = t * s * , (x - x )- Δ ( )- 9.0 = -.6, (x - x )+ Δ ( )+ 9.0 = 36.4.

15 因此这两个总体的均值之差的 95% 置信区间为 [-.6,36.4]. () 这两个总体的均值之差的 95% 置信区间为 [-.6,36.4], 它既包含正数, 也包含负数, 因此这两个总体的均值可能没有差别. 5. 假设检验. 本节的第一部分是讲什么是假设检验? 为什么要进行假设检验? 以产品的次品率为例, 讲了如何检验零假设 H 0. 介绍了显著水平, 第一类错误的概念 ; 讲了备选假设, 以及第二类错误 ; 讲了工厂生产的一批产品是否可允许出厂的判定方法. 这些内容在教材中已讲得很清楚. 否定零假设 H0 的依据是小概率事件在一次试验中不可能发生的实际推断原理. 但是要注意小概率事件仍然是可能发生的, 因此我们不能证实零假设 H 0 不成立, 而只是作出一个决定 : 拒绝零假设 H 0. 这样的决定有可能犯错误, 即零假设 H 0 正确, 我们却拒绝了它, 这类错误称为第一类错误. 我们作出拒绝零假设 H 0 的根据是 : 在 H 0 成立的条件下, 出现观察到的事件的概率小于或等于一个临界概率 α ( 称 α 为显著水平 ), 而小概率事件在一次试验中实际上不可能发生, 现在居然发生了这样的事件, 因此拒绝零假设 H0. 但是小概率事件也是有可能发生的, 因此犯第一类错误的概率等于这个临界概率 α. 在零假设 H 0 成立条件下, 出现观察到的事件的概率大于临界概率 α 时, 我们不能作出接受零假设 H 0 的决定. 而应当考虑备选假设 H. 如果我们能拒绝备选假设 H, 我们才能作出接受零假设 H 0 的决定. 这样做也有可能犯错误, 即 H 0 事实上是错误的 ( 也就是 H 事实上是正确的 ), 我们却作出接受 H 0 的决定, 这类错误称为第二类错误. 47

16 在教材中, 我们以工厂生产的一批产品是否可允许出厂的问题为例, 讲了具体做法. 首先厂方和用户方要商定 : 当整批产品次品率 r 0.0 时, 就不允许这批产品出厂 ; 并且商定一个临界概率 β = 0.0. 然后作假设 H :r = 0.0, 从这批产品中随机抽取件, 发现有 c 件次品 : 去计算次品数 ξ c 的概率 P (ξ c), 如果 P(ξ c) β, 那么作出拒绝假设 H 的决定. 由于 r 增大时,P(ξ c) 反而减小, 因此我们还可以拒绝假设 H :r = b, 其中 b >0.0. 从而我们有 90% 的把握认为这批产品的次品率 r 不会大于或等于 0.0, 因此作出接收这批产品的决定 ( 即允许这批产品出厂 ). 此时犯第二类错误的概率为 0 %. 上面讲的产品次品率的假设检验方法适用于总体百分比的假设检验.. 本节的第二部分讲正态总体的均值 μ 的假设检验. 零假设 H 0 :μ = μ 0, 其中 μ 0 是我们感兴趣的一个特殊值. 从总体中取一个简单随机样本, 样本大小为, 计算样本的均值粎 x, 相应的随机变量用 X 表示, 即粎 x 是 X 的一次观测值. 情形总体的方差 σ 已知. 此时据本书 5. 节第 3 点的情形得, 简单随机样本的均值 X 服从正态分布 N μ, σ. 假定零假设 H 0 :μ = μ 0 成立. 令 U = X - μ0 σ 则易证 U 服从正态分布 N(0,). 于是 U 取区间 [-.96,.96] 里的值的概率为 95 %. 从而由于, P( U >.96)= = U >.96 48

17 粖 X - μ 0 σ >.96 粖 X - μ 0 >.96 σ, 因此 P 粖 X - μ 0 >.96 σ = 从而当粖 X 的一次观测值粎 x 满足粎 x - μ 0 >.96 σ 时, 我们作出拒绝零假设 H0 兴趣的特殊值 μ 0 的 u 检验法. 的决定. 即认为总体均值 μ 与我们感有显著差异. 这种方法称为检验正态总体均值情形总体的方差 σ 未知. 此时先计算样本方差的修正值 s *, 相应的随机变量用 S * 表示, 即 s * 是 S * 的一次观测值. 假定零假设 H0 :μ = μ 0 t = 成立. 令粖 X - μ 0 S *. 在本书 5. 节第 3 点的情形中已指出, 上式中的随机变量 t 服从自由度为 - 的 t - 分布. 当 α = 0.05 时, 从 t - 分布表中查出 t 0, 它使得由于 P( t t 0 )= α = t t 0 粖 X - μ 0 S * t0 49

18 因此粖 X - μ 0 S * t0, P 粖 X - μ 0 S * t0 = 0.05, 从而当粖 X 的一次观察值粎 x 和 S * 的一次观察值 s * 满足粎 x - μ 0 t 0 s * 时, 我们作出拒绝零假设 H0 的决定, 即认为总体均值 μ 与 μ 0 有显著差异. 这种方法称为检验正态总体均值的 t 检验法. 教材中的例 3 例 4 分别用 u 检验法 t 检验法去检验正态总体的均值. 方法. 3. 本节的第三部分讲检验两个正态总体的均值是否不同的设两个正态总体的均值分别为 μ,μ, 它们的方差相等. 检验零假设 H 0 :μ - μ = 0. 从这两个总体中分别抽取一个简单随机样本, 样本的大小分别为, ; 样本的均值分别为 x,x ; 样本方差的修正值分别为 s *,s *. 相应的随机变量用大写字母表示. 令 S * = ( - )S* + ( - )S * + - 假定零假设 H 0 :μ - μ = 0 成立, 令. t = X - X S * +, 则可以证明 t 服从自由度为 + - 的 t - 分布. 设显著水平 α = 0.05, 从 t - 分布表中可查得 t 0, 它使得 P( t t 0 )=

19 因此当 x,x,s * 满足 x - x t 0 s * +, 时, 我们作出拒绝零假设 H 0 的决定. 即认为这两个总体的均值有显著差异. 这种方法称为检验两个正态总体的均值之差的 t 检验法. 如果这两个正态总体的方差 σ 中, 把 s * 用 σ 代替, 把 t0 用.96 代替, 即当 x - x.96σ 已知, 那么在上述 t 检验法 + 时, 我们作出拒绝零假设 H 0 的决定. 这种方法称为检验两个正态总体的均值之差的 u 检验法. 4. 本节的第四部分是讲总体比例的检验. 在本节第点的最后一段, 我们指出 : 上面讲的产品次品率的假设检验方法也适用于总体百分比的假设检验. 从例和例看到, 计算 P(ξ 4) 或 P(ξ ) 时, 需要用二项分布的概率公式, 计算量较大. 当样本容量较大时, 我们可以采用另外一种检验方法. 检验一个总体的比例 ( 例如一批产品的次品率 )r 是否等于一个特殊值 r 0, 即检验零假设 H 0 :r = r 0. 从总体中抽取一个简单随机样本, 样本大小为, 样本的比例为 P, 相应的随机变量记作 P *. 在本书 5. 节的第点已证明 : r( - r) 当时,P * 服从正态分布 N(r, ). 假定零假设 H0 :r = r0 成立. 令 z = P * - r 0 r 0 ( - r 0 ) 则当时,z 服从正态分布 N(0,). 于是, 5

20 由于 P( z >.96)= = z >.96 P * - r 0 >.96 因此当 P * 的一次观测值 P 满足 P - r 0 >.96 r0 ( - r0 ), r 0 ( - r 0 ) 时, 我们作出拒绝零假设 H 0 的决定. 这种方法称为检验总体比例的 z 检验法. 教材中的例 6 和例检验的是同一个零假设 H0 :r = 0.0. 显然例 6 使用的 z 检验法比较简单. 但是要注意 : 只有当样本大小比较大时才能用 z 检验法. 5. 本节的第五部分讲两个总体的比例之差的 z 检验法. 设两个总体的比例分别为 r, r, 要检验零假设 H 0 :r - r = 0. 从这两个总体中分别抽取一个简单随机样本, 样本大小分别为,, 样本的比例分别为 P,P, 相应的随机变量记作 P *, P *. z = 假定零假设 H0 成立. 令 (P * - P * )- (r - r ) = P * ( - P * ) + P* ( - P * ) P * - P * P * ( - P * ) + P* ( - P * ) 则当且时,z 服从正态分布 N(0,). 从而因此当 P,P P( z >.96)= = 满足, 5 P - P >.96 P ( - P ) + P ( - P )

21 时, 我们作出拒绝零假设 H 0 的决定. 这种方法称为检验两个总体的比例之差的 z 检验法. 检验总体比例的 z 检验法和检验两个总体的比例之差的 z 检验法, 都只适用于样本大小 ( 或, ) 较大的情形. 如果样本大小 ( 或, ) 较小, 则应先求出 z 的值 z 0, 然后去查 z 值的尾概率表, 得出 z z 0 的概率 δ. 如果 δ < 0. 05, 则拒绝零假设 H 0 :r - r = 0. 关于 z 值的尾概率表, 在教材中未给出, 可以参看 Gudmud R. Iverse,Mary Gerge 著, 吴喜之等译统计学基本概念和方法的第 4 页. 练习的答案 A 组. 要检验假设 H 0 :r = 0. 0, 显著水平 α = 已知 = 0, 次品数为 3. 假设 H 0 成立, 则 p = 0.0,q = - p = 于是 P(ξ = 0)= C , P(ξ = )= C , P(ξ = )= C , 从而 P(ξ ) 于是 P(ξ 3)= - P(ξ ) < 0.05, 因此拒绝假设 H 0 :r = 由于 r 减小时,P(ξ 3) 随之减小, 因此还可以拒绝假设 H :r = r, 其中 r < 从而我们有 95 % 的把握认为产品的次品率已超过 %, 从而不允许这批产品出厂.. 假定假设 H :r = 0.0 成立, 则 p = 0. 0,q = 已知 53

22 = 70, 次品数为 3, 由于从而 P(ξ = 0)= C , P(ξ = )= C , P(ξ = )= C , P(ξ = 3)= C P(ξ 3) 0.07 < 0.0, 因此拒绝假设 H :r = 于是可以作出允许这批产品出厂的决定. 由于 3. = 6, 粎 x = 7.,σ =.8. 检验零假设 H 0 :μ = 8.0, 显著水平为 α = 由于总体方差 σ.96 σ 已知, 因此用 u 检验法. = 粎 x = = 0.8 > 0.67, 因此拒绝零假设 H0 :μ = 8.0. 于是由于 4. =, 粎 x = 3.9,s * =.46. 检验零假设 H 0 :μ = 5.0, 显著水平为 α = 由于总体方差 σ 未知, 因此用 t 检验法. 查 t - 分布表, 自由度为 - =,α = 0.05, 得 t0 s * t 0 =.0, = 粎 x = =. > 0.98, 因此拒绝零假设 H 0 :μ =

23 5. = 50,P = 检验零假设 H 0 :r = 0.5, 显著水平为 α = 用总体比例的 z 检验法. 由于.96 P - r 0 = r0 ( - r0 ) = ( - 0.5) = = 0.03 < 0.06, 50 因此不能拒绝零假设 H0 :r = = 33, = 959, P = P = , 检验零假设 H 0 :r - r = 0, 显著水平 α = P ( - P ) + P ( - P ) = ( ) ( ) P - P = 0.6 > 因此拒绝假设 H0 :r - r = 0. 即有 95 % 的把握认为男生毕业率与女生毕业率有显著差异. B 组. 检验假设 H 0 :r = 0.05, 显著水平 α = 随机抽取 6 件产品, 次品数为. 产品总数为 80. 假设 H 0 成立, 则 80 件产品中的次品数为 = 4. P(ξ = 0)= C6 7 6 C , 55

24 从而 P(ξ = )= C 4 C C P(ξ )= - P(ξ ) < 因此拒绝假设 H 0 :r = 由于 r 减小时,P(ξ ) 随之减小, 因此还可以拒绝假设 H :r = r, 其中 r < 从而我们有 95 % 的把握认为产品次品率 r 已超过 0.05, 因此不允许这批产品出厂.. 某种化学纤维强力服从正态分布, 工艺改变后生产的纤维的强力均值为 μ, 检验零假设 H 0 :μ = 6. 设显著水平 α = 已知 σ =.9, = 00, 粎 x = 由于正态总体的方差 σ 知, 因此用检验正态总体均值的 u 检验法. 由于.96 σ = , 粎 x - 6 = = 0.35 > 0.33, 因此拒绝假设 H0. 即有 95% 的把握认为工艺改变后生产的纤维的强力均值与原设计的平均强力标准值有显著差异. 3. 检验零假设 H 0 :μ - μ = 0, 设显著水平 α = 由于正态总体的方差 σ 值之差的 u 检验法. 已已知, 因此用检验两个正态总体的均 = 50, = 0,x = 4.553,x = 4.56,σ =.07. 由于.96σ + = , x - x = = < 0.76, 因此不能拒绝假设 H 0 :μ - μ = 0. 即不能认为现在生产的铁水的含碳量比过去的有明显变化. 4. 检验假设 H 0 :r = 0.0, 显著水平为 α =

25 = 0,P = 3 0 = r0 ( - r0 ) = ( - 0.0) , 0 P - r 0 = = 0.3 > , 因此拒绝假设 H 0. 设 f (x)= x ( - x),0 x. 则当 0 < x < 时, 有 f (x)= - x x( - x). 显然, 当 0 < x <0.5 时,f (x)>0. 从而 f (x) 在 (0,0.5) 是增函数. 因此当 r0 减小时,.96 以拒绝假设 H :r = r, 其中 r r0 ( - r0 ) 随之减小. 于是我们还可 <0. 0. 从而我们有 95 % 的把握认为这批产品的次品率 r 已超过 %. 因此不允许这批产品出厂检验零假设 H 0 :r = 0.64, 显著水平为 α = = 5,P = 9 5 = r0 ( - r0 ) = ( ) P - r 0 = = 0. < 因此不能拒绝零假设 H 0. 即不能说高校男生中喝酒的人所占的百分比高于全体成年男子中喝酒者的百分比正态总体的 χ 检验法. 本节的第一部分是讲正态总体的方差的检验方法. 设某个正态总体的均值 μ 和方差 σ H0 :σ = σ 0, 显著水平为 α = 均未知, 要检验零假设从这个正态总体中取一个简单随机样本. 它有个观测值 x,x,,x, 样本均值为粎 x. 57

26 假定零假设 H 0 成立. 令 χ = σ 0 i = (x i - 粎 x), 可以证明 χ 服从自由度为 - 的 χ - 分布. 查 χ - 分布表可得 χ α, 它使得由于因此当 i = P(χ χ α )= α = i = χ χ α (x i - 粎 x) χ α σ 0, (xi - 粎 x) χ α σ 0 时, 就有 P(χ χ α )= 从而拒绝零假设 H0. 这种方法称为正态总体的方差的 χ 检验法. 如果 σ <σ 0, 则当 i = i = 从而还可拒绝假设 H 0 :σ = σ (x i - 粎 x) χ α σ 0 时, 也会有 (x i - 粎 x) > χ α σ,. 因此当 i = (x i - 粎 x) χ ασ 0 时, 可拒绝假设 H0 :σ σ 0. 教材中的例给出了这方面的一个例子.. 本节的第二部分讲总体服从正态分布的检验. 这不用给学生讲, 供有兴趣的读者自己看. 练习的答案 A 组. 检验零假设 H 0 :σ =.9, 显著水平为 α = = 30, i = (x i - 粎 x) = 查 χ - 分布表, 自由度为 58

27 - = 9,α = 0.05, 得从而由于 χ α = 4.557, χ ασ 0 = i = 因此拒绝零假设 H 0. 从而于是由于 (x i - 粎 x) = > 60.6,. 检验零假设 H0 :σ = 0.7, 显著水平为 α = 在 5. 节的例 4 中已算出查 χ S * = 0 (x 0 - i - 粎 x) 0.08, 0 i = i = (x i - 粎 x) 分布表, 自由度为 0 - = 9,α = 0.05, 得 χ α = 6.99, χ α σ 0 = i = (x i - 粎 x) < , 因此不能拒绝零假设 H 0 :σ = 0.7. 从而检验零假设 H 0 :σ = 0.05, 显著水平为 α = 在 5. 节的例 4 中已算出 S * = (x - i - 粎 x) , i = 59

28 由于 (x i - 粎 x) i = 查 χ - 分布表, 自由度为 0,α = 0.05, 得 χ α = 从而 χ ασ i = 因此拒绝零假设 H 0 :σ = (xi - 粎 x) > , B 组检验零假设 H 0 : 铁水含碳量 X 服从正态分布. 查 χ 9 i = ( i - 0π i ) 0π i 分布表, 自由度为 = 6,α = 0.05, 得 χ α =.59. 由于 <.59, 因此不能拒绝零假设 H 0, 即不能否定铁水含碳量 X 服从正态分布. 60

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Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode] 66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布设是一随机变量, 是的函数, g(, 则也是一个随机变量. 本节的任务 : 当取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一离散型随机变量的函数设是离散型随机变量, 其分布律为或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量的分布, 并且已知 g 要求随机变量的分布. (, 是的函数 : g(, 则也是离散型随机变