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1 方差分析 ---- 单因素方差分析

2 . 起源 ANOVA 由英国统计学家 R.A.Fiher 首创, 为纪念 Fiher, 以 F 命名, 故方差分析又称 F 检验 (F tet

3 . 什么是方差分析 (ANOVA. 引例 * 研究问题 : 各肥料品种是否有差异 * 问题转化 : 各肥料品种是否有差异体现为各肥料品种对小麦亩产量的影响否有显著差异 记 为肥料 A 下的小麦亩产量, 为平均亩产量 ; 为肥料 A 下的小麦亩产量, 为平均亩产量 ; 3 为肥料 A 3 下的小麦亩产量, 3 为平均亩产量 ; 4 为肥料 A 4 下的小麦亩产量, 4 为平均亩产量 ; 问题转化为 H 0 : = = 3 = 4 H : 3 4 不全等

4 . 什么是方差分析 检验多个母体平均数是否相等 * 手段 : 分析数据的误差判断各母体均值是否相等

5 3. 方差分析的基本原理 例 为了对几个行业的服务质量进行评价消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本 最近一年中消费者对总共 3 家企业投诉的次数如下表 消费者对四个行业的投诉次数 行业 观测值零售业旅游业航空公司家电制造业

6 ( 一 图形分析子样平均值的折线 80 被投诉次数 零售业 旅游业 航空公司 3 家电制造 4 5 不同行业被投诉次数的散点图 行业

7 从散点图上可以看出 * 不同行业被投诉的次数是有明显差异的 * 即使是在同一个行业, 不同企业被投诉的次数也明显不同 * 家电制造被投诉的次数较高, 航空公司被 投诉的次数较低 行业与被投诉次数之间有一定的关系 * 如果行业与被投诉次数之间没有关系, 那么 它们被投诉的次数应该差不多相同, 在散点图 上所呈现的模式也就应该很接近

8 方差分析的思想 仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异 * 这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的 需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著, 也就是进行方差分析 * 所以叫方差分析, 因为虽然我们感兴趣的是均值, 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 * 这个名字也表示 : 它是通过对数据误差来源的分析判断不同母体的均值是否相等 因此, 进行方差分析时, 需要考察数据误差的来源

9 两类误差 随机误差 * 因素的同一水平 ( 母体 下, 子样各观察值之间的差异, 对数据形成组内差 * 比如, 同一行业下不同企业被投诉次数是不同的 * 这种差异可以看成是随机因素的影响, 称为随机误差

10 附 : 两类误差 系统误差 * 因素的不同水平 ( 不同母体 下, 各观察值之间的差异, 对数据形成组间差 * 比如, 不同行业之间的被投诉次数之间的差异 * 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的, 也可能是由于行业本身所造成的, 后者所形成的误差是由系统性因素造成的, 称为系统误差

11 方差分析 单因素 两因素 已讨论了两个方差相等的正态总体对均值比较的假设检验问题 对有相同方差的多个正态总体均值进行比较的假设检验问题?? 方差分析就是解决这类问题的有效方法

12 一 基本概念 指标 因素 水平 指标 : 试验结果值称为指标, 一般表示为数值, 用 表示 因素 ( 因子 : 试验中需考察的可以控制的条件 用 A,B,C 表示 3 水平 : 因素所处的状态, 一般用 A A A 3 A r 一般将因子控制在几个不同的状态上, 每一个状态称为因素的一个水平.

13 单因素方差分析 : 众多因素中仅有一个因素的的水平有多个, 其余因素只有一个水平 多因素方差分析 : 多个因素有多个水平

14 例 为了比较四种肥料对小麦亩产量的影响, 取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地分成 6 块, 肥料品种 A A A 3 A 4, 每种肥料施在四块土地上, 得亩产 : 因素 : 肥料 指标 : 亩产 水平 : 品种 四种肥料的亩产量 肥料品种亩产量 ( 观察值 A A A 3 A

15 实例. 对某种型号的电池进行抽查, 随机抽取了来自 A,B,C 三个工厂的产品, 测得其寿命 (h 见下表, 设各 工厂所生产的电池的寿命服从有相同方差的正态分布, 问这三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著差异? 电池的寿命 (h A A A

16 在此实例中, 指标 : 电池的寿命 ; 因素 : 生产电池的工厂 ; 水平 : 工厂 A A A 3 在此试验中, 除生产电池的工厂这一因子外, 其它因子不变, 这是一个单因素试验 试验的目的是为了考察不同厂家生产的电池平均寿命是否有显著差异 如果有显著差异, 表明生产工厂这一因子对电池寿命的影响是显著的.

17 实例. 为了比较各个工作日进入某一商场的顾客人数, 测得各工作日下午 4 时 ~5 时进入商场的顾客人数如下表, 问各个工作日对顾客人数有无显著影响? 工作日周一周二周三周四周五 顾客人数

18 在此实例中, 指标 : 顾客人数 ; 因子 : 工作日 ; 水平 : 周一 周二 周一 周四 周五在此试验中, 除工作日这一因子外, 其它因子不变, 这是一个单因素试验 试验的目的是为了考察不同工作日顾客的人数是否有显著差异 如果有显著差异, 表明工作日这一因子对顾客人数的影响是显著的.

19 二 单因素方差分析的数学模型 假设前提 : 设在单因素试验中, 影响指标的因子 A 有 个水平 A, A,,A 将每个水平 A 下要考察的指标作为一个总体称为部分总体, 仍记为 A, 则共有 个部分总体 假设如下 :

20 每个部分总体都服从正态分布, 即 : A ~ N( μ, σ,,,, 部分总体的方差都相等, 即 : σ σ σ σ 3 不同的部分总体下的样本是相互独立的 其中 μ μ,, 和都是未知参数, μ σ

21 在水平 A 下进行 次独立试验, 得样本,,,, 对每个水平 A 下的样本,,, 引进统计量 :, 样本和 : i i, 样本均值 : 样本总均值 : i i i i 将单因素试验的数据列表如下 :

22 单因素试验数据表 部分总体 A A A 样本值 样本和.... 样本均值 x

23 由前面的假设我们知道 i ~ N( μ, σ, 记 ε i i μ, 称其为随机误差, 则 ε i ~ N(0, σ 由此得 : 单因素方差分析的数学模型 : i,,, i i ~ N( 0,,,, i ε i 各个随机误差相互独立,,, 和, 未知. σ

24 单因素方差分析的任务 : 根据样本提供的信息, H ( 检验假设 : μ H : μ, μ, μ : 0, μ 不全相等. μ ( 求出未知参数 μ, μ,, μ 和的估计量 σ

25 三 单因素方差分析的假设检验 单因素方差分析法是将样本总偏差的平方和分解成两个平方和, 通过这两个平方和之间的比较, 导出假设检验的统计量和拒绝域.

26 偏差平方和及其分解总偏差平方和 : 效应 ( 组间 平方和 : i i ( i A ( ( 说明 : A 反映了在每个水平下的样本均值与样本总均值的差异, 它是由因子 A 取不同水平引起的, 所以, 称 A 是因子 A 的效应 ( 组间 平方和.

27 误差 ( 组内 平方和 : 说明 : E i ( i E 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本 均值的差异, 它是由随机误差引起的, 所以, 称 E 是 误差 ( 组内 平方和. 平方和分解公式 : A E

28 证明 : i i ( i i ( ( i i i ( ( ( ( ( ( i i i i i ( (

29 ( i i ( 又 0 i i ] ( [( i i i i ] ( [( i i i i [( E A 所以即 : 总平方和 = 效应 ( 组间 平方和 + 误差 ( 组内 平方和

30 A 和 E 的统计特征 定理 : ( σ 在单因素方差分析的模型下, E ~ χ( ( A 和 E 相互独立 (3 H 0: μ μ μ 为真时, A ~ χ(, ~ χ( σ σ

31 由定理 (, 有, ( σ E E σ E E 即. ˆ 的无偏估计是 σ σ E, ( ~ /( /( F F E A 结合定理 (((3, 有 (4

32 单因素方差分析的假设检验 : ( 提出统计假设 H 0: μ μ μ H : μ, μ,, μ 不全相等. ( 取假设统计量 F A E /( /( (3 拒绝域 : W { F Fα (, } 说明 : 如果组间差异比组内差异大得多, 则说明各水平间有显著差异,H 0 不真

33 , A, E 的简便计算方法 i i ( 记, i i i i 化简得 i i i A ( A E

34 单因素方差分析的假设检验的步骤 : ( 提出统计假设 H 0: μ μ μ ( 编制单因素试验数据表 H : μ, μ,, μ 不全相等. (3 根据数据表计算, x, i i,, A E

35 (4 填制单因素方差分析表 单因素方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 临界值 组间 组内 A E - - A /(- E / (- A E /( F α (, /( 总和 - (5 检验, 若 A E /( /( F α (,, 则拒绝 H 0, 否则接受 H 0, 认为因子 A 对指标没有显著影响.

36 例. 在显著性水平 α=0.0 下, 用单因素方差分析法判断 实例 中, 三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著差异? 解 : 提出统计假设 H 0: μ μ μ3 H, μ, μ μ3 : 不全相等. 编制单因素试验数据表

37 部分总体 样本值 样本和 样本均值 A A A i, 6, 3, x i 6444 i x i

38 484 A A E

39 单因素方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 临界值 组间组内总和 F 0.0 (, 因为 7.56, f 所以拒绝 H 0, 认为三个工厂所生产的电池的平均寿命有显著差异.

40 四 参数 μ 和方差 σ 的估计 前面已说明 : E ( σˆ 是 σ 又 E( E( i i 的无偏估计., μ 所以 ( 是 μ 的无偏估计,,,, (3 对均值差的区间估计问题

41 区间估计 若假设 H 不成立, 0 区间估计. 由 有时需要对 作 i k k k ~ N,( Z ( ~ N0, k k k k 又 E Z Y Y ~ ( 独立于

42 故 Z (.. k k ~ t ( Y /( ( E k 于是 的置信度为 i k 的置信区间为 t ( (.. k E k

43 注 : 单因子试验的统计分析可得如下三个结果 : ( 因子 A 是否显著. ( 试验的误差方差 σ 的估计. (3 各水平均值 μ i 的点估计与其差的区间估计. ( 此项在因子 A 不显著时无需进行

44 例. 试验 4 种不同的农药, 观察它们的杀虫率有无明显 的不同, 试验结果如下表所示 : 部分总体 A A A 3 A 4 样本值 在显著性水平 α=0.0 下, 问 4 种农药的杀虫率的均 值是否有明显不同? 分别求 4 种不同农药的杀虫 率的均值和方差的估计值

45 解 : ( 提出统计假设 H 0: μ μ μ3 μ4 H : μ, μ, μ, 不全相等. 3 μ4 编制单因素试验数据表部分总体 A A A 3 A 4 样本值 样本和 样本均值

46 3 3 4, 4,,, i 835.4, x i i, x i A

47 E A 单因素方差分析表 方差来源因子 A 随机误差 平方和 自由度 3 7 均方 F 值 临界值 F 0, 7.0 ( 总和 因为 8.45, f 所以拒绝 H 0, 认为 4 种农药的杀虫率的均值是有明显不同的.

48 ( E σˆ ˆ x μ 84., ˆ x μ 90.5, μ x 59.3, μ x 5. 6 ˆ 3 3 ˆ 4 4

第五章 数理统计中的统计量 及其分布

第五章 数理统计中的统计量 及其分布 第五章 数理统计中的统计量 及其分布 随机样本 统计量 三大抽样分布 正态总体下常用统计量的一些重要结论 数理统计 以概率论为基础 主要研究如何收集 整理和分析实际问题的数据 有限的资源 以便对所研究的问题作出有效的 精确而可靠 推断 基础 概率论 功能 处理数据 目的 作出科学推断 就概率特征 总体与随机样本 总体 研究对象的某项数量指标值的全体 记作 Y 个体 总体中每个研究对象 元素.

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