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倪案央汤
7 years ago
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1 小结基本概念随机实验随机事件样本空间事件的关系及运算基本事件复合事件必然事件不可能事件三个限定条件样本点所有基本事件构成的集合四种关系和三种运算概率定义性质定义在样本空间上满足三条公理的集合函数 5 条非负有界性规范性可列可加性

2 用概率的公理化定义, 从实验出发直接计算 A) 是困难的, 甚至是不可能的. 某些满足特定条件的实验可以直接计算. 基本事件的发生具有等可能性等可能概型一古典概型定义若随机试验 E 具有以下两个特征 : (1) E 的样本空间只有有限多个样本点, 即 (2) 试验中每个样本点出现的可能性相同, 则称 E 为古典概率模型, 简称古典概型. 古典概型中事件概率的计算? { 1 2,,, }; 有限等可能随机试验

3 由于 1 2 { } { } { } ) ) 设事件 A 由 k 个样本点组成, 即由可加性知 A 的概率为 : ) ), 又由于各样本点出现的可能性相同, 1 i), i 1,2,, ; A) k A包含的样本点数中的样本点总数 i ) i ) 2 1 k A { i, i 2,, 1 k 称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法. 这样就把求概率问题转化为计数问题. i ) k i }, A 包含的样本点数中的样本点总数

4 例 1 同时掷两枚均匀硬币, 分别求事件 A={ 两枚都出现正面 }, B={ 一枚出现反面 } 和 C ={ 两枚都出现反面 } 的概率. 解同时掷两枚硬币有 4 个等可能的结果, 即样本空间为 ={( 正, 正 ), ( 正, 反 ), ( 反, 正 ), ( 反, 反 )} 古典概型又事件 A, B, C 分别包含 1 个 2 个和 1 个样本点, 1 P ( A) 1 ; P ( B) 2 1 ; C) 列举法排列组合是计算古典概率的重要工具这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的基本计数原理

5 1. 加法原理设完成一件事有 m 种方式, 无论通过哪种方式都可以完成这件事, 第 1 种方式有 1 种方法, 第 2 种方式有 2 种方法, ; 第 m 种方式有 m 种方法, 则完成这件事共有 m 种不同的方法 2. 乘法原理设完成一件事有 m 个步骤, 必须通过每一步骤, 才算完成这件事, 第 1 个步骤有 1 种方法, 第二个步骤有 2 种方法, ; 第 m 个步骤有 m 种方法, 则完成这件事共有 1 2 m 种不同的方法这两个计数原理不但可直接解决不少具体问题, 也是推导下面常用排列组合公式的基础. 排列组合的公式 1. 排列组合不管顺序选排列全排列 A k A ( 1)( 2) ( k 1) A 允许重复的排列 ( 1)( 2) 21! k! ( k )! A k C k k! 2. 组合 C k k A! k! ( k)! k!

6 例 2 (P.12 例 3) 一个盒子中装有 10 个大小形状完全相同的晶体管, 其中 3 只是次品. 按下列两种方法抽取晶体管 : (1) 先任取一只, 作测试后放回盒中, 再任取下一只 ; 有放回抽样 (2) 先任取一只, 作测试后不放回, 在剩下的中再任取一只. 试分别对这两种抽样方法, 求从这 10 只晶体无放回抽样管任取 2 只中, 恰有一只是次品的概率. 解设 A={ 抽取的 2 只晶体管中恰有一只是次品 } (1) 有放回抽样 : 由于每次都是从 10 只中取 1010 种取法即的样本点数 = 10 2, 古典概型第 1 次取到合格品, 且第 2 次取到次品 7 3 A: 共有 = 42 种取法 A) 42. 第 1 次取到次品, 且第 2 次取到合格品 (2) 无放回抽样 : 第 1 次是从 10 只中取, 第 2 次是从 9 只中取, 即的样本点数 = 109, 古典概型 A: 共有 = 42 种取法 109 种取法 A)

7 例 3(P.14 例 5) 设有 N 件产品, 其中有 M 件次品, 现从这 N 件中任取件 ( 不放回 ), 求其中恰有 k 件次品的概率. 解含的样本点数为 C N, 设 A = { 恰抽到 k 件次品 } A) C k M C C k N M N, N M 件正品 k A 的次品有种取法, 只能取自 M 件次品 C M k C N M A 的正品有种取法, k N M 故 A 含的样本点数为 C M C, k k 次品正品 1, 2,, mi{ M, }. 超几何分布的概率公式

8 例 4 在电话号码簿中任取一个电话号码, 求后面 4 个数字全不同的概率 ( 设后面 4 个数中的每一个数都是等可能地取自 0-9 这 10 个数 ). 允许重复解所求概率与号码的位数无关, 含样本点数 : 10 4, 设 A={ 后 4 位数字全不相同 }, 4 A 10 A 所含样本点数为, 4 A A) 从 10 个不同数字中取 4 个的排列求样本空间样本点总数和求事件所含样本点数的计数方法不同

9 再次提醒注意 : 1 在应用古典概型时必须注意等可能性的条件例 5 掷两枚骰子出现的点数之和等于 3 的概率. 解掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为 {2, 3, 4,, 12}, ={(1,1), (1,2), (2,1), (1,3),, (6,6) } A) 2 A)= 等可能性是一种假设, 在实际应用中, 我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的. 在实际应用中, 往往只能近似地出现等可能, 完全地等可能是很难见到的在许多场合., 由对称性和均衡性, 我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率. 2 用排列组合公式计算样本点数时必须注意不要重复计数, 也不要遗漏 3 所求为至少或至多的问题, 用余概公式简单

10 4 许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型有个人, 每个人都以相同的概率 1/N(N ) 被分在 N 间房的每一间中, 求指定的间房中各有一人的概率. 人房有个人, 设每个人的生日是任一天的概率为 1/365. 求这 ( 365) 个人的生日互不相同的概率. 有个旅客, 乘火车途经 N 个车站, 设每个人在每站下车的概率为 1/ N(N ), 求指定的个站各有一人下车的概率. 某城市每周发生 7 次车祸, 假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率. 分球入箱人任一天旅客车站车祸天

11 我们介绍了古典概型. 古典概型的定义虽然比较简单, 但它有多方面的应用. 随机取数分球入箱箱中摸球例 5 例 2 3 分组分配课下可通过作业进一步掌握. 是常见的几种模型. 设有个球, 每个都以相同的概率 1/N(N) 落入 N 个箱子中的每一个中. 根据不同条件, 分别求事件 A={ 某预先指定的个箱子中各有一球 } 的概率 p. 1. 球编号 2. 球不编号每个箱子只容纳一个球每个箱子容纳的球数不限每个箱子只容纳一个球每个箱子容纳的球数不限 N( N 1) ( N 1) N C C N N 1

12 在解决许多概率问题时, 往往需要在有某些附加信息 ( 条件 ) 下求事件的概率. 如在事件 B 发生的条件下求事件 A 发生的概率, 这种概率问题就是一条件概率 1.3 条件概率

13 例 1(P.20 例 1) 两台车床加工同一零件 ( 见表 ) 第一台加工的零件第二台加工的零件总计正品数次品数总计从这 100 个零件中任取 1 个,(1) 求取到的零件是正品的概率 ; (2) 若取到的零件是第一台车床加工, 求它是正品的概率. 解设 A ={ 取到的是正品 }, B={ 取到的是第一台车床加工的 }, C ={ 取到的是第一台车床加工的正品 }, 则 85 在缩小的样本空间 (1) A) 里来考虑问题 (2) 取到的正品零件是由第一台车床加工, A B) C) 容易看到 A) C) 在 B 发生的条件下 A 发生的概率 A B) A B) 在 B发生条件下 A包含的样本数 A B) 缩减的样本空间 B包含的样本数 ( ) P AB??? B)

14 定义 (P.20 定义 1.6) 设 A B 是两个事件, 且 B) >0, 则称 ( ) ( ) P AB P A B B) 是概率为在事件 B 发生的条件下, 事件 A 的条件概率. 用古典概型的思想去理解 : 若事件 B 已发生, 为使 A 也发生, 试验结果必须是既在 B 中又在 A 中的样本点, 即此点必属于 AB. 由于我们已知 B 已发生, 故 B 变成了新的样本空间. 满足概率的三条公理条件概率的性质 B AB 1. 对任一事件 A,0 A B) 1; 2. P ( B) = 1 ; 自行验证 3. 设 A 1,,A, 互不相容, 则 P[(A 1 + +A + ) B] = A 1 B)+ +A B)+ 概率的性质都适用于条件概率自行写出 A

15 条件概率 A B) 与 A) 的区别? 每一个随机试验都是在一定条件下进行的,A) 是在该试验条件下事件 A 发生的可能性大小. 条件概率 A B) 是在原条件下又添加 B 发生这个条件时 A 发生的可能性大小. A) 与 A B) 的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念, 在数值上一般也不同. 条件概率 A B) 与 A) 数值关系? A B) A) 或 A B) A)?

16 条件概率的计算 ( ) 1) 在原样本空间中直接用定义计算 : A B) P AB, B)>0; B) 2) 在减缩的样本空间中 ( 加入条件后改变了的情况 ) 直接计算. 例现题库有 20 套试题, 其中 7 套已在考试中用. 现从这 20 套题中不放回地连取两次, 每次取一套, 共取两套, 问在第一次取到的是未曾用过的试题的情况下, 第二次取到的也是未曾用过的试题的概率是多少? 解设 A i ={ 第 i 次取到的是未曾用过的试题 }, i =1, 2. 2 方法 1) 13 C A =, 39 1 ) A 1 A 2 ) 13, ( 1 2) 20 2 ( ) A A = P A A P. C A1) 19 方法 2) 的点数在缩减样本空间中 A 2 所含样本点个数 12 A 1 发生后的缩减样本空间所含样本点总数 P ( 1 A2 A )

17 例 3 某建筑物按设计要求使用寿命超过 50 年的概率为 0. 8, 超过 60 年的概率为 0.6, 问该建筑经历了 50 年之后将 10 年内倒塌的概率有多大? 解设 A ={ 该建筑使用寿命超过 60 年 }, 则 A)= 0. 6; B ={ 该建筑使用寿命超过 50 年 }, 则 B)= 0. 8, 由题意知所求概率为 ( ) A B) 1 A B ) 1 P AB, B) A B, AB) A) 0.6, ( ) 0.6 P A B , 0.8 该建筑经历了 50 年之后将 10 年内倒塌的概率为例如设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概率为 0. 7, 活到 25 年以上的概率为 0.4. 问现年 20 岁的这种动物, 它能活到 25 岁以上的概率是多少?

18 二乘法公式由条件概率的定义 AB) A B) B) 若已知 B), A B) 时, 可以反求 AB). 即若 B)>0, 则 AB)= B)A B) (1) 对调 A B 的位置, 则有即若 A)>0, 则 BA)= A)B A) (2) 而 (1) 和 (2) 式统称为乘法公式, 利用它可计算两个事件同时发生的概率 AB)=BA) 故 B)A B)=A)B A) 注意 AB) 与 A B) 的区别! 涉及 A 与 B 同时发生时, 用 AB); 有包含或主从关系时, 用 A B).

19 推广到多个事件的乘法公式 : 当 A 1 A 2 A -1 )> 0 时, 有 A 1 A 2 A )= A 1 )A 2 A 1 )A 3 A 1 A 2 ) 例 4 设有 100 件产品, 其中有 5 件次品. 每次不放回地取 1 件, 解设 A i ={ 第 i 次取到的是次品 }, A A 3) 1 2A 求第 3 次才取到正品的概率. i =1, 2, 3. A1) A2 A1 ) A3 A1A2 ) 现从中连续取 3 次, 则所求概率为 : P ( A ) 5 1, P ( A ), A1 A ) 95 3 A1A2, 98 A A A3) 1 2 A A 1 A 2 A -1 )

20 小结直接计算推算这一节我们研究了概率的计算问题古典概型几何概型条件概率乘法公式等可能性事件 B 发生的条件下事件 A 的条件概率一般地不等于 A 的无条件概率. 什么条件下才会出现 A)=A B) 的情形呢? 这个问题留待下一讲讨论给出了计算两个或多个事件同时发生的概率它在计算概率时经常使用, 需要牢固掌握.

Microsoft PowerPoint - 第二讲.ppt [兼容模式]

Microsoft PowerPoint - 第二讲.ppt [兼容模式] 排列组合集合论随机事件事件间的关系与运算频率与概率 4 等可能概型 ( 古典概型 ) 等可能概型 ( 古典概型 ) 生活中有这样一类试验, 它们的共同特点是 : 样本空间的元素只有有限个 ; 每个基本事件发生的可能性相同比如 : 足球比赛中扔硬币挑边, 围棋比赛中猜先我们把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概率论早期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型设 S ={e 1, e,