Microsoft PowerPoint - Unit 2 Conditioning and independence [兼容模式]

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彬嵌终
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1 Uit 2: Coditioig ad idepedece 本单元内容对应课本 1.5, 1.6 基本要求理解条件概率的概念, 掌握概率的乘法定理, 理解全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式, 并学会运算和计算理解事件独立性概念, 掌握伯努力 (Beroulli) 概型和二项概型计算方法本章的学习重点与难点难点 : 条件概率的计算与事件独立性的判别作业 : P 26 : 24, 27, 29, 30, 31, 35, 37, 40 1

2 条件概率问题是概率论中, 内容最为丰富的一个问题, 主要考虑 : 在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率如 : 通信系统中, 出现接收信号错误, 在接收系统正常条件下, 由信道产生错误的概率? ( 一 ) 条件概率的定义例 : 一枚硬币抛两次, 观察其出现 H 和 T 的情况设事件 A: 至少有一次为 H 事件 B: 两次抛出同一面求已知事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的概率解 : 试验本身是古典概型 S={HH,HT,TH,TT} A={HH,HT,TH } B={HH,TT } AB={HH} 在条件概率下, 相当于重新确定了样本空间 S=S A=A ; B=B A=AB 我们记已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率为 B, 则由古典概型的计算方法 B = AB中的基本事件数 =1/3 A中的基本事件数而在无条件时 B)=2/4=1/2, 可见二者的不同 2

3 AB中的基本事件数在 B = 中, A中的基本事件数令分子分母同时除以样本空间中的基本事件数, 则有一般的 B = = B/ 其中 >0, 显然对于古典概型上式都成立于是有如下定义 : AB中的基本事件数 / S中的基本事件数 A中的基本事件数 / S中的基本事件数定义 : 设 A,B 是两事件, 且 >0, 则称 AB) B = 为在事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的条件概率它也符合概率定义的三个条件 : 1) 非负性 : 事件 B, 有 B 0 2) 规范性 : 对于必然事件 S, 有 S =1; 3) 可列可加性 : 设 B 1, B 2,, B k 是两两互不相容的事件, 即对于 i j,b i B j =Φ, i,j=1,2,, 则有 Bi = B i i1 i1 一般的概率的性质都适合于条件概率, 区别是必须加上条件, 例如 : 设 A,B,C 是三事件, 条件概率也可称为后验概率, 普通的概率称为先验概率, 是根据以往实验得到的若 BC, 则有 C-B)=C)-B) 同样的有 (C-B) =C -B 又 C B)=C)+B)-CB) 则 C B =C +B -CB 3

4 一般的, 求条件概率有两种思路一用概率的含义, 依据条件重新写出样本空间和事件子集二用条件概率的定义, 若 >0, 则 AB) B = 例 : 掷两颗骰子, 已知点数之和为 7, 求有一颗为 1 点的概率 A: 两颗骰子点数之和为 7( 为条件 ) B: 有一颗为 1 点求解 B 解 : S:36 A:6 B:11 AB:2 AB) 2 / 36 所以所求的条件概率 B = = =1/3 6 / 36 或由条件概率的含义直接有 2/6=1/3 4

5 ( 二 ) 乘法定理 ( 条件概率的推论 ) 乘法定理 : 设 >0, 则有 AB)=B 推广到三个事件的情况 : 设有 A,B,C 三个事件, 且 AB)>0, 于是 : ABC)=B C AB) 注意 : 如果 AB)>0, 则必有 >0 及 B)>0 推广到更多个的情况设 A 1, A 2,, A 为个事件,2, 且 A 1 A 2 A -1 )>0, 则有 A 1 A 2 A )=A A 1 A 2 A -1 )A -1 A 1 A 2 A -2 ) A 2 A 1 )A 1 ) 乘法定理解决积事件的概率问题, 可借助排列组合中的乘法定理来理解概率中的乘法定理乘法定理主要解决那些一项任务分多个步骤的情况, 把每个步骤的概率相乘就得到完成该事件的概率 5

6 例 : 袋中装有 r 只红球 t 只白球, 每次从袋中任取一只观察颜色后放回, 再放入 a 只与所取球同色的球若连续取球四次, 求第一二次取到红球且第三四次取到白球的概率解 : 设 A 1, A 2, A 3, A 4 分别为每次取到红球的事件取球时 : 有次序, 放回抽样, 有添加则要求的概率是一个积事件的概率 A A A ) A4 而依据取球的顺序及有添加的情况, 按乘法公式从 A 1 开始展开 A1 A2 A3 A4 )=A 1 )A 2 A 1 ) A A A ) A A A A ) r r a t t a = r t r t a r t 2a r t 3a 显然, 按以上展开顺序, 每一个条件概率均可容易求出 6

7 例 : 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为 1/2, 若第一次落下未打破而第二次落下打破的概率为 7/10, 若前两次落下未打破而第三次落下打破的概率为 9/10, 试求透镜三次落下而未打破的概率解 : 首先分析一下所求的问题设事件 A: 第一次落下打破 ; 事件 B: 第二次落下打破 ; 事件 C: 第三次落下打破则所求的概率为 ABC ) 题设条件为 =1/2, B A )=7/10, C AB )=9/10 用乘法定理 ABC ) B C AB) ( 1 (1 B (1 C AB)) =3/200 也可以先求 D A AB ABC由于这三次打破是两两互不相容的事件, 因此根据有限可加性 D ) A B ) A BC ) 进而由乘法定理展开可得结果 7

8 ( 三 ) 全概率公式和贝叶斯公式 (1) 全概率公式 : 对应排列组合中的加法, 完成一项任务有多种可能的并行情况, 这些情况的数目的和就是完成该任务的所有可能情况对样本空间适当分解的思想, 有利于解决稍微复杂一点的概率问题首先看一下关于划分的概念定义 : 设 S 为试验 E 的样本空间,B 1,B 2,,B 为 E 的一组事件若 (i) B i B j =Φ,i j,i,j=1,2,,; (ii) B 1 B 2 B =S 则称 B 1,B 2,,B 为 S 的一个划分 ( 完备事件组 ) 每次试验, 事件 B 1,B 2,,B 中有且仅有一个发生例 :S={1,2,3,4,5,6} 则划分正确的是 B1 S B 1 ={1,2,3} B 2 ={4,5} B 3 ={6} B 1 ={1,2,3} B 2 ={3,4} B 3 ={5,6} B2 B 8

9 全概率公式 : 设 E 的样本空间为 S,A 为 E 的事件,B 1,B 2,,B 为 S 的一个划分, 且 B i )>0(i=1,2,,), 则 =A B 1 )B 1 )+ + A B )B )= 证 :=AS)= A(B 1 B 2 B )) 由分配率 =AB 1 AB 2 AB ) ( i i A B ) B ) 而对任意的 i j,i,j=1,2,,, 有 (AB i )(AB j )= AB i B j =Φ 由有限可加性 =AB 1 )+AB 2 )+ + AB ) 又 B i )>0, 由乘法定理上式展开得 i1 P =A B 1 ) B 1 )+A B 2 ) B 2 )+ + A B ) B ) 在全概率公式中要注意一下几点 : 1) 条件 B i )>0, 划分不能是空集 2) B 1,B 2,,B 正好覆盖 S 中的所有元素 B 1 A S B 3) 在应用上, 那些不便直接求某一事件的概 B 2 率时, 先找到一个合适的划分, 再用全概率公式计算 9

10 * 全概率公式可由以下框图表示 : 设 B j )=p j, A B j )=q j, j=1,2,, 易知 : j1 p j 1 P1 B1 q 1 S P2... B2... q 2 q A P B P A P Bj P A B j1 j 10

11 2. 贝叶斯 (Bayes) 公式 ( 计算后验概率问题 ) 事件 A 的发生,iff 构成 S 划分的事件 B 1,B 2,,B 中的一个发生时才发生, 一般在实验之前仅知道 B i 的先验概率, 那么如果试验后事件 A 已经发生了,B i 发生的概率又是多少呢? 这种问题我们称他为后验概率问题, 有利于我们查找事件发生的原因解决此类问题可采用贝叶斯 (Bayes) 公式贝叶斯 (Bayes) 公式设 E 的样本空间为 S,A 为 E 的事件, B 1,B 2,,B 为 S 的一个划分, 且 >0,B i )>0(i=1,2,,), 则 i i B i =,i=1,2,, A B ) B ) i1 A B ) B ) i i 证 : 由条件概率公式 B i =B i, 再用乘法定理和全概率公式对分子分母展开即得所求 B i ) 是以往的以往数据分析得到的, 称为先验概率 B i 是得到新的信息之后再重新加以修正的概率, 叫做后验概率 11

12 例 : 对以往数据分析结果表明 : 当机器调整良好时, 产品合格率为 98% 当机器发生某一故障时, 产品合格率为 55% 每天早上机器开动时, 调整良好的概率为 95% 试求 : 已知某日早上第一件产品是合格产品时, 机器调整得良好的概率? 解 : 设事件 A: 产品合格事件 B: 机器调整良好 ; B: 机器出现故障由题意 :B)=95%, B)=5% A B)=98%,A B)=55% B) A B) B = =0.97 B) A B) B ) A B ) 注意 :B)=95% 是以往的数据分析得到的, 称为先验概率 B =0.97 是得到信息 ( 第一件产品是合格品 ) 之后再重新加以修正的概率, 叫做后验概率通过后验概率可以进一步了解机器的情况 12

13 例 : 习题 38 袋中装有 m 只正品硬币, 只次品硬币, 次品硬币系指两面均印有国徽在袋中任取一只, 将它投掷 r 次, 已知每次都得到国徽, 问这只硬币是正品的概率是多少? 解 : 由题述这是典型的采用贝叶斯公式的题目设 : 事件 A: 取到的是正品 ; 事件 : 取到的是次品 B 为 r 次投掷得到国徽 ; 求 A B) B A B)= B B m,,b =1,B =(1/2) r m m m 带入得 A B)= r m 2 A 13

14 1.6 独立性在条件概率 B 中, 一般情况下, 事件 A 的发生对事件 B 的发生是有影响的, 即在很多情况下 B B), 在有些情况下, 这种影响是不存在的即 B =B) 这时 AB)= B =B) 这样的情况用独立性这一概念来描述定义设 A,B 是两事件, 如果具有等式 AB)=B) 则称事件 A,B 相互独立, 简称 A,B 独立例 1: 设试验 E 为抛甲乙两枚硬币, 观察正反面出现的情况设事件 A: 甲币出现正面 ; 事件 B: 乙币出现正面看一下独立性分析 : S={HH,HT,TH,TT}; A={HH,HT } B={ HH,TH } =1/2 B)=1/2 AB)=1/4 B =1/2 B)=B AB)=B) 事实上, 由对称性知, 两次抛币是互不干涉的, 因此甲是否正面和乙是否正面互不影响 14

15 1.6 独立性独立性的相关性质 : 若 >0,B)>0, 则 A,B 相互独立与 A,B 互不相容不能同时成立因为如果互不相容则 0=AB), 如果又满足相互独立则 AB)= B)>0 矛盾定理一设 A,B 是两事件, 且 >0, 若 A,B 相互独立, 则 B =B), 反之亦然 ( 由定义可直接证得 ) 定理二若事件 A,B 相互独立, 则下列各对事件也相互独立 B A A A 与, 与 B, 与 B 证 : A B )= -AB)=-B)=(1-B))= ) A 与相互独立又 B AB) A B) B) (1 A B)) B) (1 B) B) A与 B也相互独立 B 15

16 1.6 独立性推广 : 三个事件的情况定义 : 设 A,B,C 是三个事件, 如果满足等式 ABC) B) C), 则称事件 A,B,C 相互独立注意 : 仅满足前三个等式的三个事件称为两两相互独立见习题 33 AB) BC) AC) 当然, 如果事件 A,B,C 相互独立则 A, B, C; A, B, C ;... ; A, B, C 也相互独立推广到多个事件 B), B) C), C), 一般的, 设 A 1, A 2,, A 为个事件,2, 如果对于其中的任意两个, 任意 3 个,, 任意个事件的积事件的概率, 都等于各事件概率之积, 则称事件 A 1, A 2,, A 相互独立包含的等式的个数 : C 2 C 3 C (1 1) C 1 C 0 2 在实际应用中, 对于事件的独立性常常根据事件的实际意义来判断, 如果两个事件关联很弱也可以看作是独立的 1 由定义可以得到以下两点推论 : 1. 若事件 A 1, A 2,, A 相互独立,2, 则其中任意 k(2k) 个事件也是相互独立的 2. 若个事件 A 1, A 2,, A (2) 相互独立, 则将 A 1, A 2,, A 中任意多个事件换成他们的对立事件, 所得的个事件仍相互独立 16

17 1.6 独立性例 : 甲乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为 p, p1/2, 对甲而言, 采用三局两胜制有利, 还是采用五局三胜制有利? 设各局胜负相互独立 i 第局甲胜 i, 1,2,,5 解 : 设 A i P A p i 1 2 再设 A 甲胜三局二胜制 : P A P AA AA A AA A p p p p 五局三胜制 : 前三次有一次输前四次有两次输 P A P AA A A A p C p p C p p p 2 P P P P P p2 p1, 当 p p2 p1, p 当 17

18 1.6 独立性例 : 甲乙丙三人同时对飞机射击, 且相互独立甲的击中概率为 0.4; 乙的击中概率为 0.5; 丙的击中概率为 0.7; 飞机被一人击中而击落的概率 0.2; 飞机被二人击中而击落的概率 0.6; 飞机被三人击中而击落的概率 1; 求飞机被击落的概率解 : 由题意, 令 B 0,B 1,B 2,B 3 分别为被一人击中被两人击中被三人击中的事件, 则关于三人射击击中情况 B 0,B 1,B 2,B 3 构成样本空间的一个划分, 事件 A 为飞机被击落的概率, 则由全概率公式 =A B 0 ) B 0 )+A B 1 ) B 1 )+A B 2 ) B 2 )+A B 3 ) B 3 ) 现在 A B 1 )=0.2,A B 2 )=0.6,A B 1 )=1, 只需求 B 1 ),B 2 ),B 3 ) B 1 = ( 甲乙丙 ) ( 甲乙丙 ) ( 甲乙丙 ) 甲乙丙射击是相互独立的, 所以 B 1 )= ( 甲乙丙 ) ( 甲乙丙 ) ( 甲乙丙 )) = 甲 ) 乙 ) 丙 ) 甲 ) 乙 ) 丙 ) 甲 ) 乙 ) 丙 ) 同理可求得 B 2 ),B 3 ) 18

§1.5 条件概率

§1.5 条件概率概率论与数理统计主讲教师 : 朱丽娜讲师研究方向 : 智能交通, 车联网与智能驾驶电子邮件 :lzhu@xidia.edu.c 个人主页 :http://web.xidia.edu.c/lzhu/ 第一章概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间随机事件 1.3 频率与概率 1.4 等可能概型 ( 古典概型 ) 1.5 条件概率 1.6 独立性 2/21 1.5 条件概率 ( 二 )