概率统计

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临穆
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1 概率论同济大学王勇智

2 概率论与数理统计本学期我们开始概率统计这门课程的学习概率论与数理统计是随机数学的两个分支, 它们在数学与社会生活的各个领域有着广泛的应用尤其把它引入到管理金融政治等社会学科, 为人们的正确决策提供科学依据, 对社会生活产生深刻影响

3 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件 1.2 事件关系和运算

4 1.1 样本空间和随机事件确定性现象 : 在确定的试验条件下必然会发生的现象在 Pa 的大气压下, 将纯净水加热到 100 时必然沸腾垂直上抛一重物, 该重物会垂直下落

5 随机现象 : 在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现象这种规律性称为统计规律性掷一颗骰子, 可能出现 1,2,3,4,5,6 点抛掷一枚均匀的硬币, 会出现正面向上反面向上两种不同的结果概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科

6 一随机试验 (i) 试验可以在相同的条件下重复的进行 ; (ii) 试验的所有可能结果在试验前已经明确, 并且不止一个 ; (iii) 试验前不能确定试验后会出现哪一个结果

7 例 1: 抛掷一枚均匀骰子, 观察朝上面的点子数 ; 则可能结果可以是出现 1 点,2 点,,6 点中的一个例 2: 在一批量很大的同型号产品中, 混有比例为 p 的次品. 从中一件接一件地随机抽取次, 每次抽后不放回 ( 简称不放回抽取 ), 观察抽到的个产品中的次品数, 则可能结果可以是次品数为 0 件,1 件,, 件中的一个. 例 3: 对上海证券交易所每个交易日的综合收盘指数进行观察, 则可能结果可以是 0 点到点中的任何一个点数. 例 4: 观察某地明天的天气是下雨还是晴天. 例 5: 某人计划去某地旅游, 观察在预定的一天能否安全抵达目的地.

8 3 二样本空间 1. 样本点 : 每一个可能出现的结果, 记作 ω; 2. 样本空间 : 全体样本点组成的集合, 记作 Ω 例 1( 续 ): 样本点 ω = 1, ω = 2,, ω = 6. 样本空间 Ω = {1, 2,, 6} = 0, = 1,, =. 样本空间 Ω = {0,1,, } 例 2( 续 ): 样本点 ω0 ω1 ω 例 6: 给出下面随机试验的样本空间 : E1: 在某交通路口的某个时段, 观察机动车的流量 ; E2: 向一直径为 50cm 的靶子射击, 观察弹着点的位置 ; E3: 从含有两件次品 a1, a2 和三件正品 b1, b2, b3 的产品中任取两件, 现观察出现次品的情况. 2 2 解 : E1: E2: Ω = xy x + y Ω 1 = {0,1,3, } 2 {(, ) 25}

9 三随机事件 1. 随机事件 : 一个随机试验的样本空间的子集, 简称为事件, 常用大写字母 A,B,C 表示 2. 基本事件 : 仅含一个样本点的随机事件例 1( 续 ): 事件 A={ 出现点数不大 4},A={1,2,3,4} 事件 B={ 出现偶数点 },B={2,4,6} 例 2( 续 ): 事件 C={ 次品件数不少于 3},C={3,4, }

10 3. 如果出现随机事件 A 中所包含的某个样本点, 那么称事件 A 发生 ; 否则称事件 A 不发生 4. 必然事件 : 每次试验后必定有 Ω 中的一个样本点出现, 即 Ω 必然发生例 : 抛掷一颗骰子, 出现的点数不超过 6 为必然事件 5. 不可能事件 : 空集 Φ 不包括任何一个样本点, 因此每次试验后 Φ 必定不发生空集 Φ 永远是样本空间的一个子集, 因而也是一个事件例 : 抛掷一颗骰子, 出现的点数大于 6 是不可能事件

11 1.2 事件关系和运算例 7: 两门火炮同时向一架飞机射击, 事件 A={ 击落飞机 },Bi={ 击中第 i 个发动机 },i=1,2, C={ 击中驾驶员 }, 击落飞机等价于击中驾驶员或者击中两个发动机. 试建立之间的联系. A, BBC,, 1 2

12 ⑴ 如果 A B( 或 ) B A, 那么称事件 B 包含事件 A, 它的含义是 : 事件 A 发生必定导致事件 B 发生事件 A 是事件 B 的子事件 A B Ω 记作 A B B A 例如抛掷两颗骰子, 观察出现的点数 A={ 出现 1 点 } B={ 出现奇数点 } A B

13 相等事件 ⑵ 如果 A B 且 B A, 即 A = B, 那么称事件 A 与事件 B 相等 B A且 A B A=B A B Ω 例 1: 在投掷一颗骰子的试验中, 事件 A 出现 2 点, 事件 B 出现偶数点, 事件 c 是出现 2 或 4 或 6 点, 则 A BB, = C.

14 ⑶ 事件件 ) { ω: ω 或 ω B} A B = A 称为事件 A 与事件 B 的和事件 ( 或并事它的含义是 : 当且仅当事件 A 与事件 B 中至少有一个发生时, 事件发生一般用 A 表示个事件 A, 1,A的和事件 ; 用表示可列无限个事件 i= 1 i A1, A2, 的和事件 i= 1 A i A B

15 和事件 Ω B A B A 多个事件的和 1 2 = i i= = i= 1 A A A A A A A A i

16 积事件 { } ⑷ 事件 A B = ω: ω A或 ω B 1 称为事件 A 与事件 B 的积事件 ( 或交事件 ) 同样用 Ai 表示个事件 A,,A 的积事件 ; 用 Ai表示 i= 1 i= 1 可列无限个事件 A1, A2, 的积事件 Ω A B AB A B 多个事件的积 1 2 A A A = A i= = i= 1 A A A A i i

17 差事件 { } ⑸ 事件 A B = ω: ω A且 ω B 称为事件 A 与事件 B 差事件 Ω B A-B A A B = A B, A B = A AB

18 互斥 ⑹ 如果 A B=, 那么称事件 A 与事件 B 互不相容 ( 或互斥 ) 如果一组事件 ( 可以由无限个事件组成 ) 中任意两个事件都互不相容, 那么称这组事件两两互不相容 A Ω B AB=Φ

19 互逆 ⑺ 事件 Ω-A 成为事件 A 的对立事件 ( 或逆事件, 或余事件 ) 记作 A Ω A, 称 A 与互逆 ( 或互余 ) = - A AA =Φ A A=Ω A Ω A ( A) = A

20 A 与 B 的并事件是 :A 发生或 B 发生 ;A,B 至少发生一个, 记为 A B A B = {A,B 至少发生一个 } A 与 B 的交事件是 :A 和 B 同时发生 ; 记为 A B A B = {A,B 同时发生 } A 与 B 的差事件 : A B A B = {A 发生,B 不发生 } A 与 B 互斥, 当且仅当 A 与 B 互补, 当且仅当 A B = φ A B = Ω, A B = φ

21 例 7( 续 ): 解 : A= BB C 1 2 A = ( B B ) C = 1 2 ( B C) ( B C) 1 2

22 事件的运算定律 : (ⅰ) 交换律 : ; (ⅱ) 结合律 : (ⅲ) 分配律 : A B=B A,A B=B A A (B C)=(A B) C,A (B C)=(A B) C ( B C= ) ( A B) ( A C,A ) ( B C= ) ( A B) ( A C) A (ⅳ) 德摩根法则 : A B=A B,A B=A B

23 例 8: 某工程队承包建造了 3 幢楼房, 设事件幢楼经验收合格,i=1,2,3 试用 A, A, A 事件 : (1) 只有第 1 幢楼房合格 ; (2) 恰有 1 幢楼房合格 ; (3) 至少有 1 幢楼房合格 ; (4) 至多有 1 幢楼房合格 A i 表示第 i 表示下列

24 第一章作业 :P5 1,2,3,4,5,6

25 第二章事件的概率 2.1 概率的概念 2.2 古典概型 2.3 几何概型 2.4 概率的公理化定义

26 2.1 概率的概念随机事件有随机性, 但在一次试验中发生的可能性大小是客观存在的, 且可度量. 例如 : 事件 A 为在一批产品中随机抽取一件是次品, 事件 B 为射手击中目标, 则 A,B 是相应试验下的随机事件,A 发生的可能性大小是次品率,B 发生的可能性大小是命中率. 随机事件发生的可能性的大小用空间 [0,1] 中的一个数字来刻画, P A, P B, P C 这个数称为概率, 事件 A,B,C 的概率分别为 ( ) ( ) ( )

27 对于投掷一枚硬币试验, 根据古典概率计算出现正面这一事件的概率为 P(A)=0.5, 如果把这枚硬币均匀上抛次, 那么出现正面 ( 即事件 A 发生 ) 的次数是否是 5000 次左右呢? 我们看一下投掷硬币试验的历史记录 :

28 抛掷硬币的试验历史纪录试验者抛掷次数出现正面的次数 m 出现正面的频率 m/ 德. 摩根蒲丰皮尔逊皮尔逊维尼程序模拟抛掷硬币模拟试验

29 对于任意一个事件 A, 次重复试验中事件 A 发生的频率随着的增大将稳定到某个常数, 这个常数表现为事件 A 的一种属性称这个常数为事件 A 的概率的统计意义从频率的性质可知概率满足 : (i) 0 P( A) 1 ( ) 1; P Ω = (ii) (iii) 当个事件 A, 1,A 两两互不相容时 : ( A ) = ( ) + + ( A ) P A P A P 1 1

30 2.2 古典概型把具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型 { ω ω } Ω=,, 1 ⅰ 试验的样本空间 Ω 是个有限集, 不妨记作 ⅱ 每个样本点在一次试验中以相等的可能性出现, 即 P ({ ω1 }) =... = P { ω} ( )

31 例如 : 掷一枚均匀的硬币, 观察它出现正面或反面的情况对古典概型 : ( ) P A = k K 有利于 A 的样本数, 样本点总数, 注意 :1. 有放回抽样 2. 无放回抽样的含义!

32 例 1: 设有批量为 100 的同型号产品, 其中次品有 30 件. 现按两种方式抽取 2 件产品 (a) 有放回抽取, 即先任意抽取一件, 观察后放回批中, 再从中任取一件 ;(b) 不放回抽取, 即先任抽一件, 抽后不放回, 从剩下的产品中再任取一件. 试分别按这两种抽取方式求 (1) 两件都是次品的概率 ;(2) 第一件是次品, 第二件是正品的概率解 : 为古典概型, 记 A={ 两件都是次品 }, B={ 第 1 件是次品, 第 2 件是正品 }, 有放回 : P ( A) k A B = = = 0.09 P ( ) 2 k B = = = 无放回 : P k A ( A) = = P k B B ( ) = =

33 例 2: 某城市电话号码升位后为六位数, 且第一位为 6 或 8 求 (1) 随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率 ; (2) 随机抽取的电话号码末位数是 8 的概率解 : 记 (1) 所求事件为 A,(2) 所求事件为 B. k = = = ( ) A PA P k B (B) = = = 0.1 5

34 例 3( 女士品茶问题 ) 一位常饮牛奶加茶的女士称 : 她能从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶并且她在 10 次试验中都正确地辨别出来, 问该女士的说法是否可信? 解 : 假设该女士说法不可信, 则在此假设下每次试验的两个结果 : 牛奶 + 茶, 茶 + 牛奶是等可能出现, 是古典概型记 A={10 次试验都能正确指出放置牛奶和茶的先后次序 }, P k 1 = = = A ( A) 这是一个非常小的概率依据实际推断原理 : 一个小概率事件在一次试验中不会发生, 而在此试验中小概率事件却发生了, 说明开始所做假设是错误的, 即该女士说法可信

35 例 4( 抽奖券问题 ) 设某超市有奖销售, 投放张奖券只有一张有奖. 每位顾客可抽 1 张. 求第 k 位顾客中奖的概率 (1 k ) 解 : 记 A= 第 k 个顾客中奖 k PA (-1) (-k+1) ( ) A (-1) (-k+1) 1 1 = = = 说明 : 中奖概率与顾客抽奖次序 k 无关, 都是 1/. 抽奖活动对每个顾客都是公平的

36 例 5 一只盒子中装有 10 只晶体管, 其中 3 只试不合格品从这个盒子中一次随机的抽取 2 只晶体管, 在下列两种情形下分别求出两只晶体管中恰有 1 只试不合格品的概率 : (1) 有放回抽样 (2) 无放回抽样例 6 把甲乙丙 3 名学生依次随机的分配到 5 间宿舍中去, 假定每间宿舍最多可住 8 人, 试求这 3 名学生住在不同宿舍中的概率?

37 2.3 几何概型古典概型的试验结果是有限个, 但当试验结果为无限个, 并且每个结果等可能出现, 古典概型不适用, 称这种试验模型为几何概型. 例如 : 一射手向靶子射击, 任意可能的结果 ( 或样本点 ) 可用弹着点的位置表示, 可假定弹着点处于靶子的各种位置是等可能的, 因此是几何概型. 假定样本空间 Ω 是某个区域 ( 可以是一维二维和三维的 ) 每个样本点等可能的出现, 我们规定事件 A 的概率为 : m( A) P( A) = m Ω ( ) 这里 m( ) 在一维情形下表示长度, 在二维情形下表示面积, 在三维情形下表示体积用这种方法得到的概型称为几何概型

38 例 7: 某公共汽车站从上午 7 时起, 每个 15mi 来一趟车, 一乘客在 7:00 到 :30 之间随机到达该车站, 求 (1) 该乘客等候不到 5mi 乘上车的概率 ; (2) 该乘客等候时间超过 10mi 才乘上车的概率. 解 : 设 T 为该乘客到达的时刻,A={ 乘客等候不到 5mi 乘上车 }, B={ 该乘客等候时间超过 10mi 才乘上车 }, Ω = {7 : 00 < T < 7 : 30} m ( A ) = { 7 :10 < T < 7 :15或 7:25< T <7:30} m ( B ) = { 7 :00 < T < 7 :05或 7:15< T <7:20} 将 T 的单位化为分钟, 则 Ω = 30, m ( A ) = 10, m ( B ) = 10, ( ) ( Ω ) ( ) ( Ω ) m A m A P ( A ) = = 1/3, P ( A ) = = 1/3 m m

39 例 8(Buffo 头针问题 ) 桌面上划一组等距的平行线, 每相邻两条线之间的距离为 d. 将长为 l(<d) 的针随机地投向该桌面, 求针与其中一条平行线相交的概率. 解 : 图 (a) 设针的中点为 O, 从 O 出发向最近一条平行线作垂线 OM, 记 OM 长为 x, 针与垂线 OM 的夹角为 θ, 则用 (x, θ) 表示头针的位置, 其在平面矩形上均匀分布, 事件等价于 x < 0.5l cosθ (x, ) 落在图 (b) 的阴影部分. 因此 P θ x M θ O S d Q x d 2 O x S A = l 2 cosθ π 2 θ

40 π l 2 cosθdθ m(a) P= m( Ω ) = = d π 2 2 π l d

41 例 9 在单位圆 O 中的一条直径 MN 上随机的取一点 Q, 试求过 Q 点且于 MN 垂直的弦的长度超过 1 的概率例 10 甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6h, 假定它们在一昼夜的时间段中随机到达, 试求这两艘轮船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率?

42 2.4 概率的公理化定义与性质频率与概率频率是随机事件发生的可能性大小的一种量度, 称 f A ( A) 为事件 A 在次重复试验中出现的频率, 其中重复试验中出现的次数, 即频数 A 表示事件 A 在次

43 对于投掷一枚硬币试验, 根据古典概率计算出现正面这一事件的概率为 P(A)=0.5, 如果把这枚硬币均匀上抛次, 那么出现正面 ( 即事件 A 发生 ) 的次数是否是 5000 次左右呢? 我们看一下投掷硬币试验的历史记录 :

44 抛掷硬币的试验历史纪录试验者抛掷次数出现正面的次数 m 出现正面的频率 m/ 德. 摩根蒲丰皮尔逊皮尔逊维尼程序模拟抛掷硬币模拟试验

45 对于任意一个事件 A, 次重复试验中事件 A 发生的频率 f ( A) 随着的增大将稳定到某个常数, 这个常数表现为事件 A 的一种属性称这个常数为事件 A 的概率的统计意义

46 定义 1.1( 概率的公理化定义 ): 给定一个随机试验,Ω 是它的样本空间, 对于任意一个事件 A, 规定一个实数, 记作 P( A ) 如果 P ( ) 满足下列三条公理时, 那么就称 P( A) 为事件 A 的概率公理 1 非负性 : 对于任意一个事件 A, P( A) 0 ; 公理 2 规范性 : P( Ω ) = 1 ; 公理 3 可加可列性 : 当无限个事件两两互不相容时 : ( ) ( ) ( ) P A B = P A + P B +

47 概率的三条基本性质 : (ⅰ) 非负性 : 对于任意一个事件 A, P( A) 0 ; (ⅱ) 规范性 : P( Ω ) = 1; (ⅲ) 可加性 : 当事件 A,B 互不相容时 : ( ) = ( ) + ( ) P A B P A P B

48 由以上三条公理可以导出概率的七条重要性质 : ( ) 0 性质 ⅰ P = 性质 ⅱ( 有限可加性 ) 当个事件 A, 1,A 两两互不相容时 : ( A ) = ( ) + + ( A ) P A P A P 1 1 证 : 在公理 3 中取 A =, i= + 1, + 2 i 于是 A, 1, A, A, + 1 是可列无限个两两互不相容的事件由性质 1 i = i = i i= 1 i= 1 i= 1 性质 ⅲ 对于任意一个事件 A: P A = 1 P A 证 : 在性质 ⅱ 中, 取 =2, A = AA= A, 即 ( ) P A P A P A ( ) ( ) ( ) = P A + P = P A i i= 1 i= + 1 i= 1 1, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = P Ω = P A A = P A + P A ( ) ( ) 2 i, 则 P A AA =, A A =Ω ( ) = 1 P( A)

49 性质 ⅳ 当事件 A,B 满足 A B 时 : P( B A) = P( B) P( A), P( A) P( B) 证 : 在性质 ⅱ 中, 取 = 2, A =A, A =B-A 1 2 由 A B, 则 A ( B-A) =, A ( B A) = B, 所以 P( B) = P( A) + P( B A) 即 P( B A) = P( B) P( A), 由 P( B A) 0 P( A) P( B) ( ) 1 性质 ⅴ 对于任意一个事件 A, P A ( ) ( ) ( ) 性质 ⅵ 对任意两个事件 A 与 B, P B A = P B P AB 证 : 由 B A= B AB, AB B, 所以 P( B A) = P( B AB) = P( B) P( AB)

50 性质 ⅶ( 加法公式 ) 对任意两个事件 A 和 B, P A B = P A + P B P AB 证 : 由于 A B= A ( B A), A ( B A) =, 由性质 ⅵ, P A B = P A + P B A = P A + P B P AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 加法公式的推广 : 对于任意个事件 A, 1,A, 用数学归纳法可证明 : P Ai = i= 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 P( Ai) P( AA i j) + P( AA i jak) + ( 1) P( A1 A) i= 1 1 i< j 1 i< j< k

51 例 11: 已知 P(A)=0.9,P(B)=0.8, 试证 P( AB) 0.7 PAB ( ) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = 0.7 例 12:( 生日问题 ) 设一年有 365 天, 求下述事件 A,B 的概率 : A={ 个人中没有 2 人生日相同 }, B={ 个人中有 2 人生日在同一天 }. 解 : A = B P ( ) PA ( ) = = ( ) PB ( ) = 1 PA ( ) = 1 365

52 例 13 某种饮料浓缩液每箱装 12 听, 不法商人在每箱中放入 4 听假冒货, 今质检人员从一箱中抽取 3 听进行检测, 问查出假冒货的概率是多少? 例 14 已知 P(A)=0.3,P(B)=0.6, 试在下列两种情形下分别求出 P(A-B) 与 P(B-A) (1) 事件 A,B 互不相容 ; (2) 事件 A,B 有包含关系

53 第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率 3.2 全概率公式贝叶斯公式 3.3 事件的独立性 3.4 伯努利试验和二项概率

54 3.1 条件概率一条件概率定义 3.1 给定一个随机试验,Ω 是它的样本空间, 对于任意两个事件 A,B, 其中 P( B ) > 0, 称 P ( AB) P( A B) P B ( ) 为在已知事件 B 发生的条件下事件 A 的条件概率 Ω A B AB

55 例 1 设有两个口袋, 第一个口袋装有 3 个黑球,2 个白球 ; 第二个口袋装有 2 个黑球和 4 个白球. 今从第一个口袋任取一球放到第二个口袋, 再从第二个口袋任取一球, 求已知从第一个口袋取出的是白球条件下从第二个口袋取出白球的条件概率. 解 :A={ 从第一个口袋取出白球 } B={ 从第二个口袋取出白球 } P ( A ) = = P ( A B ) = P ( B A ) = = 5 7 = 因此 ( ) P B A = P(AB) P(A)

56 概率的乘法定理 : ( ) 0 P A > 当时, ( ) 0 当 P AB > 时, ( ) = P( A) P( B A) P AB ( ) = P( A) P( B A) P( C AB) P ABC 可以用数学归纳法证明, 当 2 时, ( 1,, ) ( ) ( ) (,, ) P A A = P A P A A P A A A

57 例 2( 生命表 ) 生命表是人身保险精算的重要依据, 下表是美国 1976 年的部分生命表. 年龄每十万人中存活人数每千个存活者的死亡率其中第 3 列的死亡率是到达该年龄还存活条件下, 在之后的一年内死亡的条件概率.

58 例如, 为求 50 岁时的死亡率, 记 A={ 个体在 50 岁存活 },B={ 个体在 50 岁至 51 岁间死亡 } AB=B P( AB) = P( B) = = P( B A) = P( B) / P( A) =

59 例 3: 一批零件共 100 个, 其中次品有 10 个, 今从中不放回抽取 2 次, 每次取 1 件, 求第一次为次品, 第二次为正品的概率. 解 : 记 A={ 第一次为次品 } B={ 第二次为正品 } 90 PA ( ) = 0.1, PBA ( ) = P( AB) = P( A) P( B A) = 0.1 =

60 例 4 某建筑物按设计要求使用寿命超过 50 年的概率为 0.8, 超过 60 年的概率为 0.6 该建筑物经历的 50 年之后, 它将在 10 年内倒塌的概率有多大? 例 5 设袋中装有 a 个红球与 b 个白球, 每次随机的从袋中取一个球, 取后把原球放回, 并加进与取出球同色的球 c 个, 共取了 3 次试求三个球都是红球的概率?

61 3.2 全概率公式与贝叶斯公式例 6 某商店有 100 台相同型号的冰箱待售, 其中 60 台是甲厂生产的,25 台是乙厂生产的,15 台是丙厂生产的已知这三个厂生产的的冰箱质量不同, 它们的不合格率依次 0.1,0.4,0.2 一位顾客从这批冰箱中随机的取了 1 台 (1) 试求顾客取到不合格冰箱的概率 ; (2) 顾客开箱测试后发现冰箱不合格, 但这台冰箱的厂标已经脱落, 试问这台冰箱是甲厂乙厂丙厂生产的概率各为多少? 甲厂 100 台乙厂 60 台丙厂 25 台不合格率

62 例 7( 血液化验 ) 一项血液化验以概率 0.95 将带菌病人检验出阳性, 但也有 1% 的概率将健康人检出阳性设已知该种疾病的发病率为 0.5%, 求已知一个个体检出为阳性条件下, 该个体确患此病的概率患病 0.5% ( 先验概率 ) 查出 0.95 患病不患病 99.5% 误查 0.1 患病?P( 带菌 / 阳性 ) 后验概率

63 解 : { } { } { } B = 阳性, A = 带菌, A = 不带菌, 则 B = BA BA , 且已知 PA ( ) = 0.005, PBA ( ) = 0.95, PBA ( ) = 0.01, 则由贝叶斯公式得 PAB ( 1 ) =

64 定义 3.4 如果个事件 A, 满足下列两个条件 : 1,A ⅰ A 1,, A 两两互不相容 ; ⅱ A1 A = Ω A,,A 那么称这个事件 1 构成样本空间 Ω 的一个划分 ( 或构成一个完全事件组 ) A A1 2 A 2 A A3 4 Ω

65 定理 3.4 设个事件 A, 1,A 事 ( ) ( ) 件, 当 P A > 0 i= 1, 时, 构成样本空间 Ω 的一个划分,B 是一个 ( ) ( ) ( ) ⅰ ( 全概率公式 ) P B = P A ; i P B Ai i= 1 ⅱ ( 贝叶斯公式 ) 当 P B > 时, l= 1 ( ) ( ) P Ai P B Ai P( Ai B) =, i= 1, P A P B A ( ) 0 ( ) ( ) l l

67 例 8 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器, 第一车间次品率为 0.15, 第 2 车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中, 假设第 1,2 车间生产的成品比例为 2:3, 今有一客户从成品仓库中随机提一台产品, 求该产品合格的概率. 解 : 记 B={ 从仓库随机提出的一台是合格品 } Ai={ 提出的一台是第 i 车间生产的 },i=1,2. B = A BUA B P ( A1) =, P ( A2) = 5 5 P( B A ) = 0.85, P( B A ) = 0.88, 1 2 P( B) = = 0.868

68 3.3 随机事件的独立性例 9 一袋中有 4 个白球,2 个黑球, 从中有放回取两次, 每次取一个, 事件 A={ 第一次取到白球 },B={ 第二次取到白球 }, 则有 P( A) = P B = = P AB = = 6 6 于是 , ( ), ( ) PAB ( ) 4/9 2 PBA ( ) = = = PA ( ) 2/3 3 2 所以 PBA ( ) = PB ( ), PBA ( ) =, 有 3 PBA ( ) = PBA ( ) = PB ( )

69 ( ) ( ) ( ) 定义 3.2 对于任意两个事件 A,B, 如果等式 P AB = P A P B 成立, 那么称事件 A 与 B 相互独立不难证明下列定理 : 定理 3.1 如果 ( ) 0, 事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 P B A = P B 如果 P( B ) > 0, 事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 P( A B) = P( A) P A > ( ) ( ) 定理 3.2 下列四个命题是等价的 : ⅰ 事件 A与 B 相互独立 ⅱ 事件 A与 B相互独立 ⅲ 事件 A与 B 相互独立 ⅳ 事件与相互独立 A B

70 定义 3.3 对于任意三个事件 A,B,C, 如果四个等式都成立, 那么称事件 A,B,C 相互独立注 : 1. 在定义中, 如果 A,B,C 只满足前三个等式, 称事件 A,B,C 两两独立 2. 对于个事件 A, 1,A, 当且仅当对任意一个 k = 2, 任意的 1 i1 < < ik 等式 P( Ai,, Ai ) = P( Ai ) P( Ai ) 成立时称事件 ( ) = P( A) P( B) P( BC) = P( B) P( C) ( ) = PCPA ( ) ( ) P( ABC) = P( A) P( B) P( C) P AB PCA A, 1,A 相互独立 1 1 k

71 证 : ⅰ 几何法 ⅱ 由条件概率的定义与全概率公式的 : ( ) P A B i ( ) ( ) P AB = = P B l= 1 ( ) ( ) P A P B A i i i ( ) ( ) P A P B A l l

72 例 10 设有四张卡片, 其中三张分别涂上红色白色黄色, 余下一张同时涂有红白黄三色今从中随机抽取一张, 记事件 A={ 抽出的卡片有红色 },B={ 抽出的卡片有白色 },C={ 抽出的卡片有黄色 }, 考察 A B C 的独立性解 : 2 1 PA ( ) = PB ( ) = PC ( ) = =, P( AB) = P( AC) = P( BC) =, P( ABC) =, 4 4 因此, P( AB) = PAPB ( ) ( ), PAC ( ) = PAPC ( ) ( ), PBC ( ) = PBPC ( ) ( ) 但, P( ABC) = = P( A) P( B) P( C), 因而 ABC,, 两两独立, 但不相互独立.

73 例 11 设某车间有三台车床, 在一小时内机器不要求工人维护的概率分别是 : 第 1 台为 0.9, 第二台为 0.8, 第三台为 0.85 求一小时内三台车床至少有一台不许工人维护的概率解 : 设待求概率的事件为 A, 记 A i ={ 第 i 台需工人维护 }(=1,2,3). A,A,A A,A,A 依事件的实际意义可知相互独立, 且所以 A=A A A, PA ( ) = 1 PAAA ( ) = 1 PA ( ) PA ( ) PA ( ) = = 0.997

74 二独立性在可靠性问题中的应用可靠度 : 产品能正常工作 ( 即在规定的事件内和规定的条件下完成规定的功能 ) 的概率一个产品 ( 元件系统 ) 的可靠性可用可靠度来刻画

75 例 12( 串连系统 ) 设两个系统分别由个元件串联, 并联而成, 第 i 个元件的可靠度为 pi, i = 1,, 试求这两个系统的可靠度? 解 : 设 A = { 元件 i正常工作 }, i = 1, 2,...,, i A, A,..., A 相互独立. 1 2 记 A = { 系统 1 正常工作 }, B = { 系统 2 正常工作 }, A = A, B = A, i i= 1 i= 1 P( A) = P( A ) = p, i= 1 i i P( B) = 1 P( A) = 1 P( A ) = 1 (1 p) i= 1 i

76 例 13( 混联系统 ) 设一个系统由四个元件组成, 其连接方式如图所示每个元件的可靠度都是 p, 试求这个混连系统的可靠度?

77 桥式系统例 14 如图, 一个系统由五个元件组成, 假设每个元件的可靠度为 p, 且每个元件是否正常工作是相互独立的, 求桥式系统的可靠度

78 设事件 A 表示整个桥式系统正常工作,A i 表示第 i 个元件正常工作,i PAA ( ) = P{( A A)( A A)} = PAA ( ) = PAA ( AA) = 2P P PA ( A) PA ( A) = (2 P P )

79 P( A) = PAA ( ) PA ( ) + PAA ( ) PA ( ) = 2P + 2P 5P + 2P

80 例 15( 保险陪付 ) 设有个人向保险公司购买人身意外险 ( 保险期为 1 年 ) 假定投保人在一年内发生意外的概率为 0.01, 求 (1) 该保险公司赔付的概率 ; (2) 多大的使得以上的陪付概率超过 1/2 解 : (1) 记 A { 第 i 个投保人出现外 }(i=1,2,,), i = A={ 保险公司赔付 }, 则相互独立, 且所以 A1, A2,, A i i= 1 i= 1 A = P ( A) = 1 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 (0.99) i i = 1 A i

81 因为 lg 2 P( A) 0.5 (0.99) lg 小概率事件在一次试验中实际是不会发生的, 但若重复做次, 只要 >686, 该小概率事件至少发生一次的概率要超过 0.5. 因此不能忽视小概率事件

82 3.4 贝努利概型和二项概率如果在一个试验中只关心某个事件 A 是否发生, 那么称这个试验为贝努利试验, 相应的数学模型称为贝努利概型把贝努利试验独立地重复做次, 这个试验合在一起称为重贝努利试验设事件 B 表示重贝努利试验中事件 A 恰发生了 k 次 k = 0,1,, k P( B k ) ( ) 通常记或 P k, ( ) k ( 1 ) k P k = p p, k = 0,1 k 二项概率公式

83 例 16 从次品为 p=0.2 的一批产品中, 有放回抽取 5 次, 每次取一件, 分别求抽到的 5 件中恰好有三件次品以及至多有 3 件次品这两个事件的概率解 : 记 A k = { 恰好有 k件次品 },(k=0,1,,5), A= { 恰好有 3 件次品 }, B = { 至多有 3 件次品 }, 则 A= A, B = A, PA 3 3 k = 0 k ( ) = PA ( 3 ) = (0.2) (0.8) = , PB PB PA PA ( ) = 1 ( ) = 1 ( 4) ( 5) = 1 (0.2) 0.8 (0.2) =

84 例 17 在规划一条河流的洪水控制系统时, 需要研究出现特大洪水的可能性假定该处每年出现特大洪水的概率都是 0.1, 且特大洪水的出现是相互独立的, 试求今后 10 年内至少出现两次特大洪水的概率? 例 18 甲乙两名棋手进行比赛, 已知甲的实力较强, 每盘棋获胜的概率为 0.6 假定每盘棋的胜负是相互独立的, 且不会出现和棋在下列三种情形下, 试求甲最终获胜的概率 : (1) 采用三盘比赛制 ; (2) 采用五盘比赛制 ; (3) 采用九盘比赛制

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