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- 煊达队 狄
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1 第 6 章位移法 教学提示 : 位移法是解超静定结构的基本方法之一, 许多实用的方法都是从位称法演变出来的 建立位移法方程有两种方法, 一是写典型方程, 二是写平衡方程 本章学习的主要内容有位移法的基本概念 ; 超静定梁的形常数 载常数和转角位移方程 ; 位移法基本未知量和位移法基本结构的确定 ; 典型方程的建立 ; 用位移法计算刚架和排架 ; 直接用结点 截面平衡方程建立位移法方程 ; 利用对称性简化位移法计算 教学要求 : 学生要掌握位移法的基本概念, 要求会利用一种方法正确的建立位移法方程, 了解另一种方法 例如会正确地写出典型方程, 了解利用平衡方程写出位移法方程 能正确地确定出位移法基本未知量 ; 能熟练运用超静定梁的形常数 载常数 ; 会用位移法计算刚架和排架 ; 并能利用对称性对位移法计算进行简化 6. 位移法的基本概念 下面先看一个简例, 以便具体了解位移法的基本思想 b ni Ni i n Δ u u u i u n N N Ni Nn (c) (d) Δ 图 6. 简例 如图 6. 所示结构中,n 根相同材料 等长等截面的杆件支承着刚性横梁, 横梁上承受荷载 p 结点 发生竖向位移 Δ 和转角位移 Δ 在位移法中, 我们把这两个位移 Δ
2 4 结构力学简明教程 和 Δ 作为基本未知量 这是因为 : 如果能设法把位移 Δ 和 Δ 求出, 那么各杆的伸长变形即可求出, 从而各杆的内力就可求出, 整个问题也就迎刃而解了 由此看出, 位移 Δ 和 Δ 是关键的未知量 现在进一步讨论如何求基本未知量 Δ 和 Δ 计算分为两步 () 从结构中取出一个杆件进行分析 在体系中任取一根杆件, 如图 6. 所示, 如已知杆件上端沿杆轴向的位移为 u i ( 即杆的缩短长度 ), 则杆端力 Ni 应为 : E Ni = ui (6-) E 式中 E 分别为杆件的弹性模量 截面面积和长度 ; 系数是使杆端产生单位位移 时所需施加的杆端力, 称为杆件的刚度系数 式 (6-) 表明杆端力 Ni 与杆端位移 u i 之间的关系, 称为杆件的刚度方程 () 把各杆件综合成结构 综合时各杆端的位移可用两个参数 Δ 和 Δ 描述, 称为基本未知量, 如图 6.(d) 所示 根据变形协调关系和小变形理论, 各杆端位移 u i 与基本位置量 Δ 和 Δ 之间的关系为 : ui =Δ + iδ (6-) 此式为变形协调条件 考虑结构的力平衡条件 : y, 如图 6.(c) 所示, 得 : n Ni (6-3) i= 再考虑以结点 为矩心列力矩平衡条件 : ( ), 得 : n Nii b= 0 (6-4) i= 其中各杆的轴力 Ni 可由式 (6-) 表示 利用式 (6-) 可将杆端力 Ni 用基本未知量 Δ 和 Δ 表示, 代入式 (6-3) 和 (6-4), 即得 : n E E n Δ + i 0 Δ = (6-5) i = n n E E i i b 0 Δ + Δ = i= (6-6) i= 这就是位移法的基本方程, 它表明结构的位移 Δ 和 Δ 与荷载 之间的关系 由此可求出基本未知量 : n n b i i i= i= n 5 E ( i ) n i i= i= Δ = (6-7) 4
3 第 6 章位移法 5 Δ = E ( ) n nb i i= n n i n i i= i= (6-8) 至此, 完成了位移法计算中的关键一步 基本未知量 Δ 和 Δ 求出以后, 其余问题就迎刃而解了 例如, 为了求各杆的轴力, 可将式 (6-7) 和式 (6-8) 代入式 (6-), 再代入式 (6-), 可得 n n n b i i + i i nbi i= i= i= Ni = n n ( i) n i i= i= (6-9) 由上述简例归纳出的位移法要点如下 () 位移法的基本未知量是结构的位移量 Δ, Δ () 位移法的基本方程是平衡方程 (3) 建立方程的过程分两步 把结构拆成杆件, 进行杆件分拆, 得出杆件的刚度方程 再把杆件综合成结构, 进行整体分析, 得出基本方程 此过程是一拆一搭, 拆了再搭的过程 是把复杂结构的计算问题转变为简单杆件的分拆和综合的问题 这就是位移法的基本思路 (4) 杆件分拆是结构分拆的基础, 杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础, 因此位移法也称 刚度法 6. 等截面直杆的转角位移方程 位移法以结点位移 ( 包括线位移及角位移 ) 为基本知量 其基本结构是一组超静定单跨梁, 如图 6. 所示 因为这 3 种单跨梁能用力法算出所需的各种结果, 故以这 3 种单跨梁作为基本构件 为了给学习位移法打基础, 在本节中讨论有关单跨超静定梁由荷载 杆端位移 ( 包括线位移及角位移 ) 产生的杆端力 ( 包括杆端弯矩和杆端剪力 ) 问题 6.. 杆端力及杆端位移的正 负号规定 图 6. 基本结构 现以两端固支的单跨梁为例说明, 如图 6.3 所示 5
4 6 结构力学简明教程. 杆端弯矩把图 6.3 所示单跨梁从端部截开, 如图 6.3 所示 对 段杆来说, 杆端弯矩绕杆端顺时针转动为正, 逆时针转动为负 与此对应, 对结点 ( 或 ) 来说, 绕结点逆时针转动为正, 顺时针转动为负 图 6.3 所示的杆端弯矩 均为正值 ; 而图 6.3(c) 所示的杆端弯矩均为负值 Q Q Q Q Q Q Q Q (c) 图 6.3 符号规定. 杆端剪力剪力的方向定义为绕着其所作用隔离体内侧附近一点顺时针转动为正, 逆时针转动为负, 图 6.3 所示剪力 Q 及 Q 为正, 图 6.3(c) 所示的 Q 及 Q 则为负 3. 支座截面转角 截面转角规定为顺时针转动为正, 逆时针转动为负 图 6.4 所示转角 ϕ 为正 ( 它是顺 时针转动 ), 图 6.4b 示出的转角 ϕ 则为负 ( 它是逆时针转动 ) 4. 杆端相对线位移杆件两端相对线位移的方向规定为使杆端联线顺时针转动为正, 逆时针转动为负 图 6.5 所示杆端相对线位移 Δ 为正, 而图 6.5 所示则为负 ϕ ϕ Δ ϕ ϕ Δ 图 6.4 转角位移符号规定 图 6.5 转角位移符号规定 应当注意本章给出的正负号规定 本章所述杆端的弯矩正 负号与材料力学中梁的弯 6
5 第 6 章位移法 7 矩正 负号规定不同 材料力学中规定梁的下侧受拉为正 例如, 图 6.3 中的 能使梁的上侧受拉, 规定为正, 而材料力学中规定为负 尽管正 负号规定不同, 其弯矩图都是画在杆件受拉的一侧 剪力符号规定与以前相同 同时, 还应注意作用在杆端的弯矩与作用在结点上的弯矩是作用与反作用的关系 两者大小相等 方向相反, 所以作用在结点上的弯矩的正向应是逆时针方向 剪力无论作用在杆端, 还是作用在结点, 总是以绕着其所作用隔离体内侧附近一点是顺时针转动为正 6.. 各种情况下产生的杆端力. 杆端单位转角产生的杆端力 ) 两端固定梁设杆的 端发生正的单位转角 ϕ =, 端固定不动 变形曲线如图 6.6 所示, 得到 EI 杆端弯矩如图 6.6 所示, 产生的弯矩图如图 6.6(c) 所示 这里 i = 是杆件的线刚度 弯 矩图是用力法算得的 由变形曲线看出, 端下面受拉, 端上面受拉 ( 由此弯矩图左段在下方, 右段在上方 ) 只要正确画出变形曲线草图, 弯矩图就不会画反 根据弯矩图, 杆件转动端旁矩为 4i, 顺时针方向, 是正的 ; 杆件另端弯矩为 i, 等于转动端弯矩的一半, 也是正的 由平衡条 6i 件, 如图 6.6 所示, 可得两端的杆端剪力均为, 都是负的 这两个杆端剪力形成一个 力偶, 用以平衡两端的杆端弯矩之和 于是, 由两端固定梁 的 端发生单位转角 ϕ = 后产生的杆端力为 = 4i = i (6-0) 6i Q = Q = 图 6.6(c) 所示的弯矩图必须牢记, 有了弯矩图就容易算出杆端弯矩, 有了杆端弯矩即可由平衡条件求出杆端剪力 ) 一端固定, 另端铰支梁如图 6.7 所示的一端固定, 另端铰支梁结构, 设杆的 端发生正单位转角 ϕ =, 支座 固定不动 变形曲线如图 6.7 所示, 杆端弯矩如图 6.7 所示, 弯矩图如图 6.7(c) 所示 由变形曲线草图可见杆件下侧受拉, 弯矩图应画在杆的下方 根据弯矩图, 转动端弯矩为 3i, 另端为 0 转动端的弯矩为顺时针, 是正的 3i 由图 6.7 所示平衡条件可得两端的杆端剪力均为, 都是负的 于是, 一端固定 另端铰支的梁, 由于 端发生单位转角 ϕ = 产生的杆端力为 = 3i (6-) 3i Q = Q = 7
6 8 结构力学简明教程 ϕ 4i ϕ 6i/ i 6i/ ϕ 3i 3i/ = EI 3i/ 4i (c) i 3i (c) 图 6.6 图 6.7 3) 一端固定, 另端为定向支座的梁如图 6.8 所示是一端固定, 另端为定向支座的梁, 设杆的 端发生正的单位转角 ϕ =, 变形曲线草图如图 6.8 所示, 杆端弯矩如图 6.8 所示, 力法解出的弯矩图如图 6.8(c) 所示 根据弯矩图, 转动端的杆端弯矩为 i, 顺时针方向, 是正的 另一端的杆端弯矩为 i, 逆时针方向, 是负的 杆端剪力为零 于是, 一端固定, 另端为定向支座的梁, 端发生单位转角时产生的杆端力为 = = i (6-) Q = Q. 杆端单位相对线位移产生的杆端力 ) 两端固定梁如图 6.9 所示两端固定的梁, 设杆的 端相对于 端发生了正的单位线位移 Δ=, 变形曲线如图 6.9 所示 杆端弯矩如图 6.9 所示, 弯矩图如图 6.9(c) 所示 EI Δ= ϕ = EI 6i/ 6i/ i/ i/ i i (c) i i (c) 6i/ 6i/ 图 6.8 图 6.9 8
7 第 6 章位移法 9 6i 6i 根据弯矩图, 端的杆端弯矩为, 逆时针方向, 是负的, 端的杆端弯矩也是, 逆时针方向, 也为负 i 由图 6.9 所示平衡条件可得两端的杆端剪力均为, 都是正的 于是, 两端固定梁由于发生单位相对线位移而产生的杆端力为 6i = = (6-3) i Q = Q = ) 一端固定, 另端铰支梁 如图 6.0 所示一端固定, 另端铰支的梁, 设 端相对于 端发生单位线位移 Δ=, 变形曲线如图 6.0 所示, 杆端力如图 6.0 所示, 弯矩图如图 6.0(c) 所示 一端固定, 另端铰支的梁发生单位相对线位移 Δ= 时产生的杆端力为 = 3i (6-4) 3i Q = Q = EI Δ= 3i/ 3i/ 3i/ 3i/ (c) 图 6.0 3) 一端固定, 另端为定向支座的单跨梁这种形状如图 6. 所示, 由于支座移动时杆件平移, 所以不产生内力 上述 3 种单跨梁, 由于杆端转角 相对线位移引起的杆端弯矩要求记住 为便于记忆, 现列表 6-, 通常称之为形常数 Δ= 图 6. 单跨超静定梁简图 表 6- 等截面杆件位移作用下固定端弯矩和剪力 ( 形常数 ) Q = Q θ= 4i i 6i 6i 6i i θ= 3i 3i 0 9
8 0 结构力学简明教程 续表 单跨超静定梁简图 3i Q = Q 3i 0 θ= i i 0 3. 外荷载引起的杆端力 外荷载引起的杆端弯矩称固端弯矩, 为了与支座移动引起的杆端弯矩相区别, 在其右 上角加上一个, 如, 由荷载引起的杆端弯矩称固端剪力, 以 Q Q 来表示, 如图 6. 所示是固端弯矩及固端剪力的正向 固端弯矩 固端剪力同样可以用力法求得 为了使用方便, 把常用的固端弯矩及固端剪力列入表 6- 中, 通常称之为荷载常数 这个表上的杆端力不要求全部记住, 但如图 6.3 所示几种常见情况的杆端弯矩一定要记住, 考试时不给出 Q EI Q (c) q q (d) p / / p / / 图 6. 图 6.3 实际上, 只要记住固端弯矩, 就可以利用平衡条件求出固端剪力 如图 6.4 所示单跨梁, 已知 端弯矩 = q, 8 则杆端剪力可按平衡条件求得 列力矩方程 : Q + q 得 (6-5) 3 Q = q 8 列力矩方程 : Q q 5 Q = q 8 = 0 (6-6) Q q 图 6.4 Q 0
9 第 6 章位移法 上面分别探讨了单跨超静定梁在单位杆端转角 单位杆端相对线位移 外荷载单独作用下的杆端力 当梁上既有外力又有杆端位移 ( 端转角 ϕ, 端转角 ϕ, 两端相对 线位移 Δ ) 时, 可运用叠加原理得到杆端弯矩与杆端剪力的算式 表 6- 等截面杆件固定端弯矩和剪力 ( 载常数 ) 序 号 计算简图及挠度图 弯矩图 固端弯矩 固端剪力 Q Q q q q q t EI t t Δ t = t t b αeiδ t / α EIΔt α EIΔt q 8 0 5q 8 3q t t EI t Δ t = t t b 3EIαΔt 0 3EIαΔt 3EIαΔt 9 q 3 q q t EI t t Δ t = t t b EIαΔt EIαΔt 0 0
10 结构力学简明教程 6..3 等截面直杆的转角位移方程单跨超静定梁在荷载 温改和支座移动共同作用下, 如图 6.5 所示, 在线性小变形条件下, 利用前两小节讨论的结果, 由叠加原理可得转角位移方程 ( 刚度方程 ) : 6i = 4iϕ + iϕ Δ + 6i = 4iϕ + iϕ Δ + (6-7) 6i 6i i Q = ϕ ϕ + Δ + Q 6i 6i i Q = ϕ ϕ + Δ + Q 已知杆端弯矩, 可由杆件的矩平衡方程求出剪力 : + 0 Q = + Q (6-8) 其中 :i 是杆件的线刚度 ;, 为由荷载和温度变化引起的杆端弯矩, 称为固端弯矩 另两类杆的转角位移方程可按同样的道理推出 EI t ϕ t ϕ x y / / Δ 图 6.5 单跨超静定梁在荷载 温改和支座移动共同作用 6.3 基本未知量数目的确定和基本结构 位移法是计算超静定结构的基本方法之一 在本章的讨论中, 刚架与梁不计轴向变形, 且变形微小, 因而可以认为结构变形后杆件两端的间距不变, 或者简单地说杆不变 由此, 两结点间有杆相联时, 二结点的线位移便互相关联, 而不会全是独立的了 基本未知量指独立的结点位移 : 包括角位移和线位移, 如图 6.6 所示的结构为 9 次超静定结构, 用力法计算有 9 个基本未知量 而采用位移法计算, 则只有一个图 6.6 基本未知量 基本结构指增加附加约束后, 使得原结构的结点不能发生位移的结构
11 第 6 章位移法 3. 无侧移结构无侧移结构中的基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构 这样, 只需在结构的刚结点上和组合结点的刚结处加刚臂, 即可变成基本结构 如图 6.7 所示结构, 在结构的刚结点和组合结点上都要加刚臂, 铰结结点处不要加 结点 3( 图 6.7) 是刚结点, 在结点 3 上加刚臂后 ( 图 6.7), 杆 3 变为一端固定一端铰支杆, 杆 3D 变为两端固定杆 ; 结点 是铰结点, 不加刚臂也构成了单跨梁 ( 图 6.7), 杆 3 为一端铰支一端固定梁, 杆 为一端铰支一端固定梁, 杆 为两端铰支梁, 所以铰结点无需加刚臂 ; 结点 是组合结点 需要在杆 与杆 的刚性接头处加刚臂, 以使此二杆变为两端固定梁 ( 图 6.7) 注意: 结点 上的附加刚臂只约束刚结于结点 的杆 和杆 的 端转角, 而不约束铰结于结点 的杆 的 端转角 附加约束所约束的位移就是基本未知量, 对于本例, 结点 及结点 3 的转角 Z Z 即为基本未知量, 如图 6.7(c) 所示 3 3 Z Z 3 D D D (c) 图 6.7. 有侧移结构 基本未知量除所有刚结点的转角外, 还有结点的线位移 基本结构除在所有刚结点上 加刚臂外, 还要附加支杆以限制侧向移动 这样, 结构在刚结点 组合结点的刚结处加刚 臂, 还要加有限制侧向移动的支杆, 即构成基本结构 为了确定独立的结点线位移的数目, 可采用铰化结点的 办法, 即在全部刚结点上加铰, 使其变成铰接结点, 在所有 固定端上加铰, 使其变成铰支座, 然后对这个铰结体系作机 构分析 如果铰结体系是几何不变的, 则原结构没有结点线 位移 如果铰结体系是几何可变的, 则原结构就有结点线位移 结点线位移的数目怎样确定呢? 用加支杆的办法使这个 铰结体系变成几何不变体系, 所需加的支杆的数目就等于独 立的结点线位移数目, 以下简称为结点线位移数目 把如图 6.8 所示的结构变成如图 6.8 所示的结构, 图 6.8 为 一次机构, 则图 6.8 有一个结点线位移 又例如, 图 6.9 图 6.8 为有侧移的刚架, 为了确定其结点线位移数目, 首先在所有 刚结点 ( 包括支座 ) 上加铰, 使其变为铰结体系 ( 图 6.9), 显然这是个几何可变体系, 为使 其成为几何不变, 需加 3 个支杆 这 3 个支杆可加在结点 5 7 上 ( 图 6.9(c)), 按几何 3
12 4 结构力学简明教程 组成分析规则 逐次加两杆结点, 可以认定其为几何不变体系, 附加支杆也可以加在结点 3 6 上 由于需加支杆的数目为 3, 说明体系的结点线位移数目等于 3, 之所以能用铰结体系来判断原结构的位移个数, 是因为两种体系结点间的几何约束是一样的, 都认为杆件长度不变, 亦即结点间距不变, 而有几个独立线位移正是由这些结点间的约束条件确定的 若结构简单, 线位移个数容易判断, 则无需画出铰化体系 该体系不仅有 3 个结点线位移 ; 还有 7 个结点角位移, 基本未知量的总数目为 0 个 欲使其形成基本结构, 应当加上 7 个附加刚臂,3 个附加支杆, 基本结构如图 6.9(d) 所示 (c) (d) 图 6.9 基本结构体系的形成综上所述, 有了位移法基本结构也就有了位移法基本未知量 为了形成基本结构, 需在刚结点和组合结点加刚臂以限制结点转动 同时可以借助于铰化体系, 加附加支杆以限制结点移动 附加刚臂和附加支杆的总数, 即是基本未知量数 角位移未知量数目等于附加刚臂数目 线位移未知量数目等于附加支杆数目 位移法基本未知量数目与结构的超静定次数无关, 它们是完全不同的两个概念 6.4 位移法典型方程及刚架计算 6.4. 位移法典型方程位移法典型方程的建立与力法一样, 首先确定待分析问题有未知量个数, 如几个独立结点位移, 几个独立的线位解法, 如图 6.0 所示结构基本未知量只有一个, 即结点 的转角位移 然后加限制结点位移的相应约束, 如线位移加链杆 角位移加限制转动的刚臂来建立位移法基本结构 图 6.0 的基本结构如图 6. 所示 基本结构可以拆成单跨梁的 3 4
13 第 6 章位移法 5 类超静定结构, 如图 6. 所示 和力法一样, 受基本未知量和外因共同作用的基本结构称为基本体系 然后令基本结构分别产生单一的单位基本位移 Z =, 根据形常数可作出基本结构单位内力图 ( 单位弯矩图 ) 根据载常数可作出基本结构荷载( 包括广义荷载 ) 内力图 ( 弯矩图 ) 图 6.0 所示结构的两个弯矩图, 如图 6. 图 6.(c) 所示 图中 i 和 i 分别 EI EI 为和, EI 称为 和 杆的线刚度 习惯上将单位长度的抗弯刚度记作 i =, 为了 标明是哪根杆的线刚度, 再以双下标表明杆的名称, 如 i 和 i 等 根据单位内力图, 取结点或部分隔离体可计算出 Z j = 时所引起的位移 Z i =0 时所对应的附加约束上的反力系数 k ij ; 根据荷载内力图, 取结点或部分隔离体可计算 Z i 位移对应的附加约束上的反力 i ( 与 位移方向相同为正 ) 对于图 6.0 所示结构而言 : k = 4i + 3i, = = 8 EI= 常数 表示只限制 i 4i Δ = 3i / 转动位移 (c) 图 6.0 图 6. 基本结构和原结构有两点区别 : 原结构在外因下是有结点位移的, 而基本结构是无结点位移的 ; 基本结构有附加的约束, 而原结构是无附加约束的 基本体系是令基本结构发生原结构待求的位移 Zi ( i =,,, n), 同时受有外因作用, 从结点位移方面看, 基本体系和原结构没有差别, 但是由于待求位移 Zi ( i =,,, n) 和外因作用, 第 i 个附加约束 n 上将产生 i = kz ij j + i 的约束总反力, 显然这是和原结构不同的 为了消除这一差别, i= 由于原结构没有附加约束, 所以第 i 个附加约束上的总反力应该等于 0, 也即 i 或 或 n i= ( ) k Z + i =,, n (6-9) ij j i kz + kz + + k nzn + kz + kz + + knzn + kn Z + knz + + knnzn + n 式 (6-9) 和式 (6-0) 称为位移法典型方程 对于图 6.0 所示结构, 位移典型方程为 kz + 其中 : k = 4i + 3i, = = 8 (6-0) 5
14 6 结构力学简明教程 位移法典型方程和力法对线弹性结构来说是相同的, 它是线性代数方程组, 求解后即 Zi i =,,, n, 求得位移基本未知量以后, 由 = Z i i + 进 可得基本未知量 ( ) 行叠加, 得到基本体系的弯矩, 也就是原结构的弯矩, 进而可求超静定结构的其他内力和任意位移等 可见, 位移法采用基本体系的解题法题与力法的思路是十分相像的 图 6. 所示刚架既有结点转角, 又有结点线位移 在给定荷载作用下变形曲线大致形状如虚线所示 结点 及结点 的角位移用 Z Z 表示, 结点 3 的侧向线位移用 Z 3 表示 该体系的基本未知量有三个 为了把它转化为单跨梁系, 在结点 两处加附加刚臂, 以限制结点转动, 在结点 3 处加附加支杆, 以限制刚架侧向移动, 形成的位移法基本结构如图 6. 所示 Z Z Z 3 3 Z Z Z 3 (c) 图 6. 在基本结构上, 先加上已给定的外荷载, 为了消除基本结构与原结构之间的差别, 转 动附加刚臂, 使结点 分别发生转角 Z Z, 移动附加支杆 3, 使结点 3 发生的水平侧 移等于 Z 3, 如图 6.(c) 所示 如果 Z Z Z 3 是应有的位移, 则该体系就恢复了其原来的 自然状态, 而附加约束就不起作用, 即其反力等于零 (6-) 3 由于附加约束 是刚臂, 反力 为刚臂 的反力矩 附加约束 3 是支杆, 其反力为支杆反力 公式 (6-) 中, 反力 3 是由转角位移 Z Z 线位移 Z 3 和外荷载对基本结构共同作用引起的 按叠加原理, 共同作用等于分别作用的叠加 由此 = = (6-) 3 = 其中 3 为由 Z 引起的附加约束 3 的反力 ; 3 为由 Z 引起的附加约束 3 的反力 ; 为由 Z 3 引起的附加约束 3 的反力 ; 3 为由外荷载引起的附加约束 3 的反力 下标中的头一字母指示是哪个约束的反力, 第二个字母指示是由什么原因引起的 为了把未知量 Z Z Z 3 显露出来, 把它们引起的反力写成如下形式 : 6
15 = k Z = k Z ; = k Z 第 6 章位移法 7 = k Z = k Z ; = k Z = k Z = k Z = k Z (6-3) 其中 k k k 3 为 Z =( 图 6.3a) 引起的附加约束 3 的反力 ;k k k 3 为 Z =( 图 6.3b) 引起的附加约束 3 的反力 ;k 3 k 3 k 33 为 Z 3 =( 图 6.3c) 引起的附加约束 3 的反力 ; 图中所示为反力正向 将式 (6-3) 代入式 (6-) 得 : kz + kz + k3z3 + kz + kz + k3z3 + (6-4) k Z + k Z + k Z 上式所示方程组就是式 (6-9) 和式 (6-0) 关于 3 个未知量的位移法典型方程 方程式的数目永远与基本未知量数目相同 因为有多少个未知位移就要加多少个约束, 而加多少个附加约束, 就要有多少个使附加约束反力等于 0 的方程, 以使结构恢复自然状态 典型方程式中的系数 k ij 是位移 Z j = 时引起的附加约束 i 的反力 第一个方程表示附加约束 的反力等于 0, 即 =0 第一个附加约束是刚臂, 其反力 为反力矩 第一个方程中的所有系数 k k k 3 和自由项 都是附加刚臂 的反力矩, 所以下标中第一个字母都是 第二个方程表示附加约束 的反力等于 0, 即 =0 第二个附加约束也是刚臂, 故其反力 也为反力矩 第二个方程中的所有系数 k k k 3 和自由项 都是附加刚臂 的反力矩, 所以第一个下标都是 第三个方程表示附加约束 3 的反力等于 0, 即 3 =0 第三个方程中所有系数 k 3 k 3 k 33 和自由项 3 都是附加支杆 3 的反力, 所以第一个下标都是 3 为了求系数和自由项, 可以绘出 Z Z Z 3 引起的单位弯矩图 3 及荷载弯矩图 图, 如图 6.3 图 6.3 图 6.3(c) 所示 根据图 6.3 所示的单位内力图 ( 弯矩图 ) 和荷载内力图 ( 弯矩图 ), 取结点或部分隔离体可计算出 Z j = 时所引起的 Z i 位移对应的附加约束上的反力系数 k ij ; 取结点或部分隔离体可计算 Zi 时所对应的荷载产生的附加约束上的反力 i ( 与位移方向相同为正 ) 在 Z =, Z, Z 3 时, 如图 6.3 所示, 取结点 为研究对象, 如图 6.4 所示, 由, 有 k 4i 4i k = 4i + 4i 取结点 为研究对象, 同理, 有 k = i 7
16 8 结构力学简明教程 Z = Z = 4i i 3 4i 3 4i 3i 3 i i 6i / 6i / 3 Z 3 = q / 3/6 3 k 4i 6i / 6i / (c) q / (d) 4i 图 6.3 图 6.4 取结构上部梁 3 为研究对象, 如图 6.5 所示, 由 X k Q Q 3, 有 k 3 Q Q 8 图 6.5 6i Q Q 分别代表杆 和杆 上的杆端剪力 因为杆 上的剪力为 Q = ; 杆 上无弯矩, 也无剪力, Q, 所以有 6i k 3 = 对于 Z, Z =, Z 3 的情况, 如图 6.3 所示和 Z, Z =, Z 3 的情况, 如图 6.3(c) 所示, 各系数可仿上述图 6.3 所示情形的做法, 得 : k = i, 6i k = 4i + 4i + 3i3, 6i k3 = ; 6i k3 =, i i k3 =, k33 = + 对于在荷载 q 和 作用下的情形, 取 Z, Z, Z 3, 同样仿图 6.3 所示情 3 形的做法, 得常数项 : = q, = 3, 3 = q 6 从上面的讨论分析中可以看出 : () 主系数永远是正的, 副系数及荷载项可正 可负 或者为零 主系数为正值的理由结合 k 具体说明如下 : k 是使结点 发生单位转角所需由刚臂 施加给结点 的力矩, 这个力矩当然与转角 Z 方向相同而不相反, 当需要求发生顺时针的转角时, 所需施加的力矩必须是顺时针的, 所以是正的
17 第 6 章位移法 9 6i () 由所求系数可见, 副系数互等, 如 k = k = i, 6i r3 = r3 =, r3 = r 3 = 再次说明了反力互等定理的正确性, 这个关系可用来作结果校核 (3) 在主 副系数中, 不包含与外荷载有关的因素, 所以它不随着荷载的改变而改变, 只取决于结构本身, 常数项则随外外荷载而改变 因此, 当结构不变而荷载改变时, 只需重新计算常数项, 而不需重新计算主 副系数 通常把只有结点角位移的刚架叫无侧移刚架, 把有结点线位移或既有结点角位移又有结点线位移的刚架叫有侧移刚架 下面通过例题分别讨论 6.4. 无侧移刚架的计算 用位移法解算无侧移刚架时, 其基本未知量只有结点转角 例 6- 用位移法作如图 6.6 所示结构的 图, 各杆 EI 相同,q=6kN/m,=6m 图 6.6 解 : 本例有两个刚结点, 故结点角位移有两个 : ϕ, ϕ, 用 Z, Z 表示 分别在结点 处加附加刚臂, 得位移法基本结构并为基本未知量建立位移法方程 kz + kz + kz + kz + 设 EI/=, 有 k = 8, k = k =, k = 7, = 7kN m, =7kN m, 则 8Z + Z + 7 Z + 7Z 7 解方程 : Z = 0.5, Z =.5 作 图 / q / q D k =8 4 k = 图 7 4 k = K =7 4 3 =7 =7 图 p 图 (kn m) 图 (kn m) 图 6.7 分析过程 图 6.8 变矩图 9
18 30 结构力学简明教程 例 6- 计算如图 6.9 所示刚架, 并绘 Q N 图 解 :() 确定基本未知量, 画出基本结构 本例有两个刚结点, 故结点角位移有两个, 用 Z Z 表示 虽然看得出结点 转角是逆时针的, 为了方便, 也假定是顺时针的 分别在结点 处加附加刚臂, 得位移法基本结构 () 列位移法典型方程, 附加刚臂的反力矩等于零, 即 : kz + kz + kz + kz + (3) 求系数项和常数项 绘单位弯矩图 及荷载弯矩图, 如图 6.9 (c) 及 (d) 所示 考虑到 i = EI, i = EI = EI, i EI =.5EI, i EI = = EI, 计算系数及荷载 项 它们都是附加刚臂的反力矩, 由相应弯矩图直接读出 ( 可截取结点, 用 X 验算 ) k 为 Z = 引起刚臂 的反力矩, 由 图的结点 处读出 : k = 3EI + 4EI = 7EI k 为 Z = 引起的刚臂 的反力矩, 由 图结点 处读出 : k = EI 为荷载引起的刚臂 的反力矩, 由 图结点 处读出 : = q ( 杆端力矩 反时针方向, 故为负 ) k k 分别由 图的结点 处读出 : k = EI = k k = 4EI + EI + 3EI = 9EI = q (4) 将全部系数 荷载项代入典型方程, 解出 Z Z 由: 7EIZ + EIZ q EIZ + 9EIZ + q 解得 9.3 Z = EI 7.63 Z = EI 30
19 第 6 章位移法 3 Z = 4m 6m 3EI 5EI 3EI 4EI 3EI 4EI.5EI EI 图 5m 4m EI EI 4EI Z = q / q / EI 图 图 图 6.9 (5) 用叠加法绘 图 = Z + Z + 最终弯矩图如图 6.30 所示 顺便指出, 校核结点是否平衡时, 有时会出现所有杆端力矩总和不等于 0, 而等于一个微小数值的情形, 这是计算误差所致, 通常是允许的 也可以稍作调正, 使其满足结点平衡条件 例如本题的结点 就是如此, 如图 6.30 所示 EI 图 ( 单位 kn m) 7.63 图
20 3 结构力学简明教程 (6) 根据弯矩图, 绘 Q 图 有了弯矩图, 可绘出剪力图 本例题以杆件 为例再次说明杆端剪力的计算方法 把杆件 取出, 如图 6.3 所示 该杆承受的已知力有 : 均布荷载 q 杆端力矩 (7.96) 杆端力矩 (38.), 为正值 方程 ( X ) Q 得 : Q = 6.03kN 再列方程 ( X ) 得 : Q = 57.97kN Q + = 其余各杆杆端剪力计算从略, 剪力图如图 6.3 所示 Q Q 5m 图 6.3 剪力图 3.8 ( 单位 kn m) (7) 根据剪力图绘轴力图 截取结点, 如图 6.3 所示, 把杆端剪力视为已知力按真实方向画出 由投影方程 X Y 得轴力 N =-0.49 及 N = 再截取结点, 如图 6.3 所示, 由投影方程得出 N =-0.49 N =-6.67 N =69.97, 它们的值如图 6.3(c) 所示 N (c) N N N 5.7 N N 图 ( 单位 :kn m) 图 6.3 轴力图 3
21 第 6 章位移法 33 从计算结果可知, 图 6.9 所示刚架结点 的转角 N 为正值, 这意味着结点 顺时针转动了一个角度 Z N 为负值, 说明结点 逆时针转动了一个角度 Z 有侧移刚架的计算 有侧移刚架的位移法的基本未知量包括结点角位移和结点线位移 首先看一个只有线位移的例子, 再讲包括结点角位移和结点线位移的例子 例 6-3 作如图 6.33 所示带有无限刚度梁的刚架的弯矩图 解 :() 确定基本体系 当刚架受到荷载作用时, 由于有无限刚梁的存在, 梁 D 不会产生弯曲变形, 仅会发生刚体移动 整个刚架的变形曲线如图 6.33 所示 在形成基本体系时, 因为结点 D 不会转动, 只须在结点 D 处加水平支杆就可以了 无限刚梁对柱子的约束作用相当于在结点加了角变约束 () 列位移法典型方程, 附加支杆的反力等于零, 即 : kz + (3) 求系数和自由项 绘荷载弯矩图和单位位移弯矩图, 令 i = EI /, 由表 6- 和表 6- 查出 杆的固端弯矩, 作出 图, 如图 6.33 所示 ; 令 Z = 作出 图, 如图 6.34(c) 所示 k 取 图中 D 梁为分离体, 求得 i 4i k = = 为位移荷载引起的刚臂 的反力矩, 由 图中 D 梁为分离体求得 : p = q (4) 将系数 常数项代入典型方程, 解出 Z 由: 4i Z q 解得 : 3 q Z = 48i (5) 用叠加法绘 图 由 = Z +, 作结构弯矩图, 如图 6.33(d) 所示 q 6i Z EI 6i EI = 图 (c) 6i D EI Z 6i q k k q q 9 8 图 (d) 图 图
22 34 结构力学简明教程 例 6-4 如图 6.34 所示, 刚架的支座 向下移动 Δ, 试作出该刚架因支座移动而产生的弯矩图 解 :() 确定基本结构 该刚架只有一个基本未知量, 即结点 的转角 Z, 在结点 处加角变约束得到基本结构 () 列位移法典型方程 附加刚臂的反力矩等于零, 即 : kz + Δ (3) 求系数项和常数项 绘单位弯矩图 及荷载弯矩图, 如图 6.35 (c) 所示 由 图的结点 处可以算出 k = 4i+ 4i+ 3i = i Δ 为位移荷载引起的刚臂 的反力矩, 由 图结点 处求得 6i 3i 3i Δ = Δ+ Δ= Δ (4) 将系数 常数项代入典型方程, 解出 Z 由: 3 iz i Δ 解得 : 3 Z = Δ (5) 用叠加法绘 图 由 = Z + c, 作结构弯矩图, 如图 6.34(d) 所示 (c) (d) 图 6.34 例 6-5 试作如图 6.35 所示的有侧移刚架的弯矩图 解 :() 确定基本结构 按位移法中基本未知量确定的方法,E 是静定部分, 不加约束 为刚结点, 有一个角位移 ; 将刚结点变成铰结体系时几何可变, 需在 或 D 处加水平链杆消除可变, 故独立线位移只有一个, 为 或 D 结点的水平位移 因此基本体系如图 6.35 所示 此体系中 为两端固定单元,D D 均为一端固定一端铰结单元 34
23 第 6 章位移法 35 () 列位移法典型方程 设刚结点角位移为 Z, 独立线位移为 Z kz + kz + kz + kz + (3) 求系数项和常数项 令角位移 Z, 线位移 Z 分别产生单位位移, 则由 3 类单元的形常数可作出单位弯矩图 和, 如图 6.35(c) 所示 荷载下, 悬臂部分弯矩图按静定结构作出, 超静定部分无荷载, 因此基本结构荷载弯矩图 如图 6.35(d) 所示 k 为 Z = 引起刚臂 的反力矩, 由 图的结点 处读出, 也就是按图 6.35(e) 来求系数, 由刚结点的力矩平衡条件, 求得刚度系数 k = 6i+ 4i i k 为 Z = 引起的刚臂 的反力矩, 由 图结点 处求出 k = 6i= k 从 图取柱子为隔离体, 由弯矩求出剪力 ( 无荷载时剪力等于两端杆端弯矩之和除以杆长 ), 然后再取如图 6.35(e) 所示的隔离体, 由 X, 求得刚度系数 : k = 5 i 同理, 从 图中可求得载常数 : = / = (4) 将全部系数 荷载项代入典型方程, 解出 Z Z 解得: 9 3 Z =, Z = 76i 4i (5) 用叠加法绘 图 = Z + Z +, 即可作出如图 6.35(f) 所示的结构最终弯矩图 静定部分的弯矩应由静定结构分析求得 (6) 取刚结点, 显然, 也即满足平衡条件 从最终弯矩图求柱子杆端剪力, 与求 k 或 一样取隔离体, 可验证 X 因此, 计算结果是正确的 E / i I D i I I 结构与荷载 E Z D 基本结构 Z E Z= 4i D 6i E 6i/ D i 6i/ 3i/ (c) 单位弯矩图 Z = / E D (d) 荷载弯矩图 i/ k 6i 4i D 3i/ k k 6i/ / D (e) 形常数与载常数图 E 6 38 D 50 图 6 34 (/76) (f) 结构弯矩图 图
24 36 结构力学简明教程 6.5 用平衡方程建立位移法方程 位移法方程的建立有两种方法, 一种是上面讨论过的典型方程, 另一种是根据结点和截面的平衡条件建立位移法方程, 通常称为平衡方程 为了写出结点和截面的平衡方程, 首先必须写出各杆的杆端内力的表达式, 本章 6..3 节已经对等截面直杆的转角位移方程进行了讨论 单跨超静定梁在荷载 温改和支座移动共同作用下, 如图 6.5 所示, 在线性小变形条件下, 由叠加原理可得转角位移方程 ( 刚度方程 ): 6i = 4iϕ + iϕ Δ + 6i = 4iϕ + iϕ Δ + (6-7) 6i 6i i Q = ϕ ϕ + Δ + Q 6i 6i i Q = ϕ ϕ + Δ + Q 已知杆端弯矩, 可由杆件的矩平衡方程求出剪力 + 0 Q = + Q (6-8) 其中 : i 是杆件的线刚度 有关转角位移方程的具体运用见以下例题 例 6-6 利用结点平衡方程计算如图 6.36 所示刚架, 绘 图 各杆抗弯刚度如下 : 杆 3EI, 杆 5EI, 杆 3EI, 杆 4EI 解 : 这是无侧移刚架, 只有两个结点角位移, 用 Z Z 表示 () 列结点平衡方程 截取结点 为隔离体, 如图 6.37 所示 将作用在结点 上的杆端力矩 及 都画成正向 ( 逆时针 ) 作用在杆端上的杆端力矩与它等值反向( 顺时针 ), 为清楚起见也将其示于图上 对结点 列力矩方程, 即 : + = () 0 再截取结点 为分离体, 如图 6.37 所示 杆端力矩 均按正向画出 对结点 列力矩方程, 即 : + + () 36
25 第 6 章位移法 37 4m q=4kn/m 5EI 4EI 3EI 3EI 6m 5m 4m 图 6.36 图 6.37 () 写出各杆的杆端力矩表达式 ( 转角位移方程 ) 3EI = 4 Z = 3EIZ 4 3EI 3 = Z = EIZ 4 5EI 5EI = 4 Z + Z + = 4EIZ + EIZ q 5 5 = 4EIZ + EIZ 50 5EI 5EI = Z + 4 Z + = EIZ + 4EIZ + q 5 5 = EIZ + 4EIZ EI = 3 Z = 3EIZ 4 3EI = 4 Z = EIZ 6 3EI = Z = EIZ 6 (3) 把杆端力矩表达式代入平衡方程 () () 3EIZ + 4EIZ + EIZ 50= 0 EIZ + 4EIZ EIZ + 3EIZ 经整理 7EIZ + EIZ 50= 0 EIZ + 9EIZ + 50= 0 解以上联立方程, 得 9.3 Z = EI 7.63 Z = EI 通过结构的弹性变形曲线可知, 计算所得结果 Z 与 Z 的符号是正确的 (4) 代入杆端力矩表达式, 计算各杆杆端力矩 37
26 38 结构力学简明教程 93. = 3EI = 7.96kN m EI = EI = 3.98kN m EI = 4EI + EI 50 =7.96kN m EI EI = EI + 4EI + 50 = 38.kN m EI EI 7.63 = 3EI =.89kN m EI 7.63 = EI =5.6kN m EI 7.63 = EI =7.63kN m EI 杆端力矩得出后, 便可按其大小及正 负绘出弯矩图 (5) 绘弯矩图 以杆件 为例说明具体做法 由于 为负值, 可知杆端力矩绕着杆的 端逆时针转动, 外侧 ( 上面 ) 受拉, 应绘在杆的外侧 由 为正值知, 杆端力矩绕着杆的 端顺时针转动, 外侧 ( 上面 ) 受拉, 应绘在杆的外侧 两个竖标连成虚线, 再以此虚线为基线, 叠加上 简支梁承受均布荷载时的弯矩图 ( 其中央值为 8 q ), 其他各杆都照这样去作, 最终弯矩图如图 6.38 所示 图 ( 单位 :kn m) 图 6.38 例 6-7 计算如图 6.39 所示刚架位移, 绘弯矩图 38
27 第 6 章位移法 39 q=40kn/m m 0kN i=4 i=6 m i=3 4m 图 6.39 解 : 基本未知量是结点 的转角 Z 及柱子两端相对线位移 Z ( 杆 水平移动 ) () 列平衡方程 截取结点 为对象, 如图 6.40 所示 结点 应满足, 有 : + () 用一截面沿柱头将刚架截开, 取分离体如图 6.4 所示 暴露出来的柱头剪力 Q 与 Q 都应画成正向, 柱头剪力应满足方程 X, 有 : Q + Q () () 写出各杆杆端力矩表达式 6i 6 4 = 4iZ Z + = 4 4Z Z = 6Z 6Z + 0 6i 6 4 = iz Z + = 4Z Z = 8Z 6Z + 0 = 3iZ + = 3 6Z q = 8Z i = Z = Z = Z (3) 写出柱顶剪力表达式 6i i Q = Z + Z + Q = Z + Z = 6Z + 3Z 0 3i 9 Q =+ Z = Z 6 也可以不用杆端剪力表达式, 而取柱 柱 为隔离体 ( 图 6.4), 由平衡条件给出 39
28 40 结构力学简明教程 Q Q 的算式 为了求 Q, 列方程, 即 Q 40 Q = 4 ( 6Z 6Z + 0) ( 8Z 6Z 0) 40 = 4 = 6Z + 3Z 0 为了求 Q, 列方程, 即 : j + Q 9 Z /4 9 Q = Z = 6 q=40kn/m Q Q Q m 0kN Q m Q 图 6.40 图 6.4 (4) 把杆端力矩 杆端剪力代入平衡方程, 并整理得 : 34Z 6Z Z + Z 0 6 解出 : Z = 3.64, Z = 8.94 (5) 将 Δ Δ 之值代回杆端力矩表达式, 求杆端力矩 = = 4.6kN m = =34.5kN m = =4.48kN m 9 = 8.94 = 0.kN m 4 图如图 6.4 所示 40
29 第 6 章位移法 图 ( 单位 :kn m) 图 6.4 位移法方程的两种建立方法比较如下 : 通过前面的例题可见, 平衡方程的优点是不必画单位弯矩图和荷载弯矩图, 可节约解题篇幅 ; 但也有缺点, 由于基本结构没有画出, 物理形象不够鲜明, 需记住和反复代入许多公式 位移法典型方程比较形象, 解题步骤与力法相似, 初学者易于掌握 典型方程和平衡方程所反映的物理概念是一样的 当基本结构发生原有位移, 即结构恢复自然状态的时候, 附加约束不起作用, 无论作用于结点上或是截面上的内力都与外力相平衡 约束不起作用的数学表达式就是典型方程, 内外力平衡的数学表达式就是平衡方程 当附加约束不起作用时, 内外力平衡 ; 当内外力平衡时, 结构处于平衡状态, 附加约束不起作用, 所以两种方程是等价的 6.6 习题. 试用位移法计算图示结构并作内力图,EI= 常数. 试用位移法求作图示结构的内力图, 各柱 EI= 常数 4
30 4 结构力学简明教程 3. 试用位移法求作图示结构的内力图 EI= 常数 =0kN q=0kn/m 4. 用位移法求下图所示连续梁的内力图,EI= 常数 5. 用位移法典型方程计算下图所示刚架, 并绘制弯矩图 EI= 常数 6. 试用位移法求作图示结构的内力图 7. 试用位移法求作图示结构的弯矩图 8. 试用位移法计算图示结构并作 图,EI= 常数 4
31 第 6 章位移法 用位移法作图示结构的 图 0. 用位移法求作图示结构的 图 ( 提示 : 无侧移刚架 ). 试用位移法求作图示结构的 图. 试用位移法求作图示结构的 图 3. 试用位移法求作图示刚架弯矩图 EI= 常数 43
32 44 结构力学简明教程 4. 试用位移法求作图示刚架弯矩图,EI= 常数 5. 已知 支座发生竖向支座沉陷为 a, 如图所示, 作 图 6. 求下图所示刚架弯矩图,EI= 常数 7. 作图示刚架 图,EI= 常数 44
33 第 6 章位移法 用位移法解下图所示各刚架并作 图,EI= 常数 9. 用位移法解下图所示各刚架并作 图,EI= 常数 m 0. 用位移法计算下图所示铰接排架, 绘 图. 用位移法求作下图所示刚架弯矩图,EI= 常数 45
34 46 结构力学简明教程. 用位移法求作下图所示刚架弯矩图,EI= 常数 3. 计算下图所示刚架, 绘 图,EI= 常数 4. 计算下图所示刚架, 绘 图,EI= 常数 5. 计算如图所示刚架, 绘 图,EI= 常数 46
35 第 6 章位移法 试用位移法作下图所示刚架的 图, 设各杆 E 值相同 7. 根据结构与所受荷载的特点, 试选择适当的方法, 求解图示刚架在给定荷载作用下 点的转角,EI= 常数 8. 试作图所示结构的 图 各杆长度均为 L, 设 EI= 常数,E 9. 试用位移法求图所示刚架的 图 各杆长度均为 L,E 值相同 30. 用位移法求图示结构的 图 各杆长度均为 L,E 值相同 47
36 48 结构力学简明教程 3. 用位移法求图示结构的 图 设各杆 E 值相同,E ( 对称与反对称 ) 3. 试求下图所示结构的 图 设各杆 EI= 常数 33. 如图所示刚架, 设各杆 EI 相同, 试求出其最后的 图 48
37 第 6 章位移法 试求图示结构在支座 发生水平位移 Δ 作用下的 图, 设杆件 的 EI 值为无限大 35. 分析如图所示刚架的计算方法, 画出等代结构 m 49
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习题参考答案一 第一部分 几何组成分析 一 O X X X 二 ace 或 ade; 固定支座 ; 不可以 虚铰是连接两个刚片之间的两个链杆 三 无多余约束的几何不变体系 ; 有 个多余约束的几何不变体系 ; 无多余约束的几何不变体系 ; 无多余约束的几何不变体系 ; 5 瞬变体系 ; 6 无多余约束的几何不变体系 ; 7 无多余约束的几何不变体系 ; 8 无多余约束的几何不变体系 ; 第二部分 静定梁
超静结 对称架 超 力法定基 刚架和排架 组合结构和拱本概念Force Method 基本要求 : 掌握力法基本体系的确定 力法典型方程的建立 方程中系 数和自由项的计算 熟练掌握用力法计算超静定梁和刚架 对称性利用 超静定结构的位移计算 重点掌握荷载作用下的超静定结构计算 了解力法典型方程的物理意
超静结 对称架 超 力法定基 刚架和排架 组合结构和拱本概念Force ethod 基本要求 : 掌握力法基本体系的确定 力法典型方程的建立 方程中系 数和自由项的计算 熟练掌握用力法计算超静定梁和刚架 对称性利用 超静定结构的位移计算 重点掌握荷载作用下的超静定结构计算 了解力法典型方程的物理意义 温度改变和支座移动下的超静定结构计算 6 章力法法第 超 支座动定和温度改变作用 力静定结构的位移计算计算校核移动定拱的计算结构的计算
3 毕业要求 毕业要求 5.2 具有完成土木工程结构构件 节点和单体的设计能力 20% 具有至少应用一种土木工程方面的大型分析软件能力, 并了解工程适用性 10% 1. 本课程内容与毕业要求指标点的对应关系 教学内容 毕业要求指标点 第一章绪论 毕业要求 1.3 第二章几何构造 毕业要求
结构力学 (B 类 )(1) 课程大纲 课程代码 EM251 课程名称 中文名 : 结构力学 (B 类 )(1) 英文名 :Structural Mechanics (B) (1) 课程类别 专业基础课 修读类别 必修 学分 4 学时 64 开课学期 第 4 学期 开课单位 船舶海洋与建筑工程学院土木工程系 适用专业 土木工程专业 先修课程 材料力学 理论力学 高等数学 教材及主要参考书 1. 课程组自编中英文讲义,
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第 5 章力 法 教学提示 : 学习力法的基本原理, 首先应深刻理解将超静定问题转化为静定问题解决的基本思想, 理解基本体系的桥梁作用 这是掌握力法的基础 了解超静定结构与静定结构在受力特性上的异同点 教学要求 : 充分理解和掌握力法的基本原理 能熟练确定超静定次数, 理解力法基本方程的物理意义, 能熟练运用力法计算简单超静定结构 ( 梁 刚架 桁架 排架 组合结构和拱结构 ) 在荷载作用力下产生的内力
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材料力学 刘鸿文主编 ( 第 5 版 高等教育出版社 教师 : 朱林利, 副教授, zhu@zju.edu.cn 航空航天学院应用力学研究所助教 : 李桂平, 7668@qq.com 刘兰, 95467@qq.com 作业 课件等相关信息网址 : http://mypge.zju.edu.cn/mmzhu/ 目录 第二十一次作业 :..5.9..6 知识要点回顾 变形能的应用 互等理论 功的互等定理
教 案 ( 首页 ) 课程课程编号 结构力学总计 :80 学时名称学分 5 其中 : 类别 必修课 ( ) 选修课 ( ) 理论课 ( ) 实验课 ( 讲课 :80 学时 ) 实验 : 学时 任课教师 曹志翔 职称 副教授 授课对象 专业班级 : 水工, 农水, 土木 08 本 共 3
结构力学结构力学 教案 主讲教师 : 曹志翔 2010 年 8 月 教 案 ( 首页 ) 课程课程编号 410105 结构力学总计 :80 学时名称学分 5 其中 : 类别 必修课 ( ) 选修课 ( ) 理论课 ( ) 实验课 ( 讲课 :80 学时 ) 实验 : 学时 任课教师 曹志翔 职称 副教授 授课对象 专业班级 : 水工, 农水, 土木 08 本 共 3 个班 基本 教材和主 教材 :
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材料力学 * 第 章能量法 超静定 能量法是在总体上从功与能的角度来研究在外力作用下变形体系统 ( 杆件或杆件结构系统 ) 的内力 应力 变形及位移的一种方法 它是进一步学习其它工程技术课程的基础, 也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础 在材料力学中, 弹性体在外力作用下发生变形, 其体内积蓄的能量, 称为弹性变形能, 亦称应变能, 在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功..
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静力学 平面任意力系理论力学 静力学 009 年 5 月 0 日星期三 静力学 平面任意力系第三章 平面任意力系 力的作用线分布在同一平面内的力系称为平面力系 静力学 平面任意力系 3- 力的平移 作用在刚体上某点 的力 可平行移到任一点 B, 平移时需附加一个力偶, 附加力偶的力偶矩等于力 对新作用点 B 的矩 力的平移的过程是可逆的. 即作用在同一平面内的一个力和一个力偶, 总可以归纳为一个和原力大小相等的力
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LOGO 结构力学 Structural nalysis 华中科技大学土木工程与力学学院 LOGO 第 3 章静定结构受力分析 华中科技大学土木工程与力学学院 3.4 静定刚架 例 1: 画出图示刚架的内力图 6 kn 10 kn 3m 3m 2m y 20 kn/m 6m y x 利用刚架整体平衡条件求支座反力 x = 0 x = 16kN = 0 y = 47kN = 0 y = 73kN 截取刚架结点或构件作为隔离体计算杆端内力
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主编 : 周国宝董作超 江苏科技大学 土木工程与建筑学院 前 言 本书是与 结构力学 I 基本教程 ( 龙驭球 包世华主编, 高等教育出版社 ) 教材配套的学生学习指导书, 其目的是通过习题训练使学生更好地掌握结构力学的基本理论与方法, 以培养学生理论联系实际和解决实际问题的能力 全书共分八章, 第一章 : 杆件体系的几何构造分析 ; 第二章 : 静定结构受力分析 ; 第三章 : 影响线 ; 第四章
ML
中国科学院教材建设专家委员会全国高职高专土木工程专业系列规划教材优秀奖 全国高职高专土木工程专业系列规划教材 结构力学 ( 第二版 ) 沈养中孟胜国主编 北京 内容简介 本书是 全国高职高专土木工程专业系列规划教材 之一, 是依据教育部制定的高职高专土木工程专业力学课程教学基本要求编写的 本书着力体现当前高职高专教学改革的特点, 突出针对性 适用性和实用性, 突出职业技能 素质的培养 编写时精选内容,
第四章 １０２ 图 ４唱１６ 基于图像渲染的理论基础 三张拍摄图像以及它们投影到球面上生成的球面图像 拼图的圆心是相同的 而拼图是由球面图像上的弧线图像组成的 因此我 们称之为同心球拼图 如图 ４唱１８ 所示 这些拼图中半径最大的是圆 Ｃｋ 最小的是圆 Ｃ０ 设圆 Ｃｋ 的半径为 ｒ 虚拟相机水平视域为 θ 有 ｒ Ｒ ｓｉｎ θ ２ ４畅１１ 由此可见 构造同心球拼图的过程实际上就是对投影图像中的弧线图像
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结 构 力 学 刘蓉华 编著 西南交通大学出版社 成都 图书在版编目 (CIP) 数据 结构力学 / 刘蓉华编著. 成都 : 西南交通大学出版社,014.9 ISBN 978-7-5643-3419- Ⅰ. 1 结 Ⅱ. 1 刘 Ⅲ. 1 结构力学 Ⅳ. 1O34 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (014) 第 05341 号 结构力学 刘蓉华 编著 责 任 编 辑封 面 设 计 曾荣兵 墨创文化
元件号 节点号 节点坐标 弹性模量 横截面积, (, );(, ) E A 其中 杆件的长度可由下式计算 ( ) ( ) ( ) ( ) tg 是杆件的轴向与 轴正方向的夹角 对于图.8 所示的结构, 每个元件的节点号如下所示 : (.) 杆件产生节点位移,,, 后, 杆的长度变化为 ( 以受拉为正
第二节平面桁架问题 考虑一个平面桁架结构, 如图.7 所示 : 图.7 平面桁架结构 该结构由 个杆件在 个节点处连接而成 在节点处铰接, 不能承受 ( 传递 ) 弯矩, 所以每个杆内只能产生均匀分布的轴向力. 鉴于上述假设, 每个节点处只有两个位移分量, 即, 方向的位移,, 它们是描述这一问题的变量 ( 参数 ) 整个问题的自由度数是节点数的二倍. 元件分析 考虑结构中任一杆件, 如图.8 所示
器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 ３ 电势与电势差 １ 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 Ｅ ｐ 与电荷量 ｑ Ｅｐ 的比值叫做该点处的电势 表达式为 Ｖ 电场中两点之间的 ｑ 电势之差叫做电势差 表达式为 ＵＡＢ Ｖ Ａ ＶＢ ２ 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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一级建造师 建筑工程管理与实务 嗨学讲师 : 安慧 新浪微博 : 筱安安课堂开课了 答疑邮箱 :2475465940@qq.com 1 1A411010 建筑结构工程的可靠性一 可靠性 : 安全性 : 坚固不坏 不倒塌适用性 : 控制大的变形 裂缝耐久性 : 使用年限内 2 例 : 在遇到强震时, 房屋只局部出现裂缝不倒塌, 这表明该建筑 物满足 ( ) 要求 A 经济性 B 安全性 C 适用性 D
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材料力学模拟试题 1( 少学时 ) 一 选择题 ( 每小题 5 分, 共 3 小题 15 分 ) 1-1 低碳钢经冷作硬化后, 可以提高 A 比例极限; B 强度极限; C 伸长率; D 断面收缩率 1-2 在图示刚架中, 段发生拉弯组合变形 2-3 图示悬臂梁受到集中力的作用, 已知梁的弯曲刚度为 EI, 则 A 截面的挠度 w = A 三 计算题 ( 共 5 小题 70 分 ) 3-1 (15
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目录 历年真题试卷... 4 武汉理工大学 2010 年研究生入学考试试题... 4 武汉理工大学 2011 年研究生入学考试试题... 7 武汉理工大学 2012 年研究生入学考试试题... 10 武汉理工大学 2013 年研究生入学考试试题... 13 武汉理工大学 2014 年研究生入学考试试题... 16 武汉理工大学 858 结构工程基础历年考研真题 电话 4008-113-567 QQ
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概念结构力学 1. 概念结构力学的兴起 一 概念结构力学导论 一方面, 随着商业软件的广泛应用, 结构力学中产生的一些方法, 如力矩分配法 斜刚架计算方法 变截面杆件计算方法 弹性荷载法 初始参数法 三弯矩五弯矩方程, 等等, 已经失去了原来的重要性, 大有逐步离开经典范畴的趋势 另一方面, 当今的教育理念与往日的大不相同 1 如何判断计算结果的好坏 ;2 如何比较多个模型的计算结果 ; 3 如何从海量的数据中提炼出有价值的结构概念
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材料力学基本训练 参考答案 ( 单元 答案 ) 第 章绪论 ( 分册 ) - 类 概念题 [--] C 两段都产生位移 段产生变形 C 段不产生变形 [--] 杆属弯曲变形 C 杆属拉伸变形 - 类 计算题 ( 用截面法求构件指定截面的内力 ) [--] m ( + a)cosα sinα cosα N sin α cos α M acosα s [--] m m: s kn M kni m; n
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38 5 216 1 1),2) 163318) 163318). API. TE256 A doi 1.652/1-879-15-298 MODE OF CASING EXTERNA EXTRUSION BASED ON THE PRINCIPE OF VIRTUA WORK 1) ZHAO Wanchun,2) ZENG Jia WANG Tingting FENG Xiaohan School
弹性力学讲义 (14 版 ), 山东大学岩土中心王者超 5.1 节基本方程 (1) 平衡方程 f f f () 几何方程 u v w u v v w w u (3) 应变协调方程 (4) 本构方程
弹性力学讲义 (14 版 ), 山东大学岩土中心王者超 第五章 : 弹性力学问题的一般原理 第五章 : 弹性力学问题的一般原理... 1 5.1 节基本方程... 5. 节边界条件... 3 5.3 节位移法... 7 5.4 节应力法... 1 5.5 节解的唯一性... 13 5.6 节叠加原理... 14 5.7 节圣维南原理... 15 1 弹性力学讲义 (14 版 ), 山东大学岩土中心王者超
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高等职业教育 十一五 规划教材 高职高专建筑工程技术专业教材系列 建筑力学 沈养中荣国瑞主编杨梅孙武副主编 北京 内容简介 本书强调基本概念, 重视宏观分析, 突出工程应用, 注重职业技能和素质的培养, 叙述深入浅出 通俗易懂, 并配有相应课件, 便于教与学 全书共分十章, 内容包括 : 绪论, 刚体静力分析基础, 平面力系的平衡, 杆件的强度与刚度, 压杆稳定, 平面杆件体系的几何组成分析, 静定结构的内力,
吉林大学学报 工学版 ２４４ 第 ４ 卷 复杂 鉴于本文篇幅所限 具体公式可详见参考文 献 ７ 每帧的动力学方程建立及其解算方法如图 ３ 所示 图４ 滚转角速度与输入量 η 随时间的变化波形 Ｆｉｇ ４ Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ｒａｔｅ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ η ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｃｈａｎｇｉｎｇ 图５ Ｆｉｇ ５ 滚转角随时间的变化波形 Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ
( 二 ) 拉压与剪切 (1) 轴向拉伸和压缩的概念和实例 ; (2) 轴向拉压时横截面上的内力与应力 ; (3) 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 ; (4) 材料在拉伸时的力学性能 ; (5) 材料在压缩时的力学性能 ; (6) 失效 安全系数和强度计算 ; (7) 轴向拉伸或压缩时的变形 ;
工程力学 A(Ⅱ) Engineering mechanics A(Ⅱ) 课程编号 :24320530 学分 :4 学时 :60 ( 其中 : 讲课学时 :60 实验学时 :0 上机学时 :0) 先修课程 : 高等数学 大学物理 工程图学, 理论力学适用专业 : 车辆工程 交通工程 交通运输 机械设计制造及其自动化 机械电子工程 农业机械化及其自动化等教材 : 材料力学 (I)(II), 刘鸿文,
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
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![Microsoft PowerPoint - 1 标准过程 ppt [兼容模式]](/thumbs/91/107718535.jpg "Microsoft PowerPoint - 1 标准过程 ppt [兼容模式]")
Course Content Computational Mechanics (Bilingual Course) Y. Ju, Y. L. Wang Computational Rock Mechanics Research Group State Key Laboratory of Coal Resources and Safe Mining China University of Mining
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静力学 空间力第四章空间力系 4-1 空间汇交力系 ( 合成与平衡 ) 4-2 力对点之矩和力对轴之矩 4-3 空间力偶系 ( 合成与平衡 ) 系 4-4 空间任意力系向一点简化 ( 合成 ) 4-5 空间任意力系的平衡方程 ( 平衡 ) 静力学 空间力系 4-1 空间汇交力系 1. 力在直角坐标上的投影 (1) 一次 ( 直接 ) 投影法 X Y Z = cos α = cos β = cos γ
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试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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东 南 大 学 学 才皮 构 的 效 率损失 更 加 剧 了这 矛盾 传 动 系 统 曲举 前 臂 时 为此 第 卷 本 文 研究 以下 两个 问题 采 用 同 电 机 齿轮 五 型肘 关节 是 否 与 工 型 肘关 节 具 有 相 近 的承 载 能力 如 何 减小 电 池 能源 的 消耗 受 力分
! #!!! # 东 南 大 学 学 才皮 构 的 效 率损失 更 加 剧 了这 矛盾 传 动 系 统 曲举 前 臂 时 为此 第 卷 本 文 研究 以下 两个 问题 采 用 同 电 机 齿轮 五 型肘 关节 是 否 与 工 型 肘关 节 具 有 相 近 的承 载 能力 如 何 减小 电 池 能源 的 消耗 受 力分 析 为 简化 分 析 曲上 举 时 减 速器 自重 态 向力 作 用于 构件 小
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
Fig1 Theforceappliedtothetrainwhenrunning :w = w j +w q (3) :w = w = w 0 +w j (4) w i 121 基本阻力 w r = 600 R ( N/kN) (8) :R : [2] w s [3] w s =0
![Fig1 Theforceappliedtothetrainwhenrunning :w = w j +w q (3) :w = w = w 0 +w j (4) w i 121 基本阻力 w r = 600 R ( N/kN) (8) :R : [2] w s [3] w s =0](/thumbs/88/114838964.jpg "Fig1 Theforceappliedtothetrainwhenrunning :w = w j +w q (3) :w = w = w 0 +w j (4) w i 121 基本阻力 w r = 600 R ( N/kN) (8) :R : [2] w s [3] w s =0")
31 4 2012 8 JournalofLanzhouJiaotongUniversity Vol31No4 Aug2012 :1001-4373(2012)04-0097-07 * 张友兵 张 波 ( 100073) : 分析了列车运行过程中的受力情况 给出了制动过程中减速度的计算方法 并采用正向 反向两种迭代方式计算列车制动曲线 两种方式计算出的制动曲线一致 证明了计算制动曲线的方法是正确的
平面体系的分类自由度和约束的基本概念无多余约束几何不变体系的组成规则平面体系的计算自由度体系的几何组成特性与静力解答特性的关系考试要求掌握平面体系的分类理解自由度和约束的基本概念掌握无多余约束几何不变体系的组成规则掌握分析平面体系几何组成特性的方法了解平面体系的计算自由度理解体系的几何组成特性与静力
郑州大学 2018 年硕士生入学考试初试结构力学考试大纲 学院名称 科目代码 科目名称 考试单元 说明 土木工程学院 971 结构力学 4 考试须携带无编程功能的计算工具 郑州大学硕士研究生入学考试 结构力学 考试大纲 命题学院 ( 盖章 ): 土木工程学院 考试科目代码及名称 : 971 结构力学 一 考试基本要求及适用范围概述 本 结构力学 考试大纲适用于郑州大学土木工程学院相关专业的硕士研究生入学考试
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- 试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图 与其它物体接触处的摩擦力均略去 O O O (a) (b) (c) O O (d) (e) 解 : O O O O (a) (b) (c) O O (d) (e) - 试画出以下各题中 杆的受力图 E (a) (b) (c) 解 : E E (a) (b) (c) (d) (e) - 试画出以下各题中 梁的受力图 q (a) (b) (c) q (d) (e)
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内容提要 本书为高等教育土建类专业规划教材 应用技术型之一, 全书共 12 章, 内容包括 : 绪论, 轴向拉伸和压缩, 扭转, 梁的内力, 平面图形的几何性质, 梁的应力, 梁的变形, 应力状态分析, 强度理论, 组合变形, 压杆稳定, 能量计算方法 各章均配有适量的思考题 习题及参考答案 书末有附录, 包括附录 A 简单荷载作用下梁的转角和挠度, 附录 B 型钢表 本书可作为高等工科院校土建 水利及机械类各专业的材料力学教材,
工程项目进度管理 西北工业大学管理学院 黄柯鑫博士 甘特图 A B C D E F G 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 甘特图的优点 : 直观明了 ( 图形化概要 ); 简单易懂 ( 易于理解 ); 应用广泛 ( 技术通用 ) 甘特图的缺点 : 不能清晰表示活动间的逻辑关系 WBS 责任分配矩阵 ( 负责〇审批
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第 章平面汇交力系和平面力偶系 教学提示 : 力系有各种不同的类型, 因此它们的合成结果和平衡条件也不相同 本章研究平面力系最简单的两种情况 平面汇交力系和平面力偶系的合成和平衡, 它们是研究平面一般力系的基础 教学要求 : 本章对学生的要求有两点 : 熟练掌握平面汇交力系的合成的几何法和解析法, 能够用平面汇交力系的平衡方程解题 熟悉力矩和力偶的概念 平面力偶系的性质, 能够对平面力偶系进行合成,
M M 1.5M max max max max W bh /6 b () 强度计算固定端截面上 a 点是最大拉应力点,b 点是最大压应力点, 应力数值大小是 b M 1.5M zmax max 6 σ h b 180mm M 1.5 max max max m
一 计算题 ( 共 0 分 ) 解 : 求管中的最大切应力 材料力学模拟试卷 1 T r max : I p 二 计算题 ( 共 5 分 ) 解 :1) 剪力图 ) 弯矩图 三 计算题 ( 共 5 分 ) 解 :(1) 求内力固定端弯矩最大 M P 1600 Nm M P 1 1650 Nm zmax 1 max () 求应力木梁在 x 平面弯曲而引起的固定端截面上的最大应力为 M M M z max
Chapter 5 Axial Force, Shear, and Bending Moment
Chapter 4 Axial Force, Shear, and Bending-moment 4-1 Introduction 1. Beams In many instances in structural and machine design, members must resist forces applied laterally or transversely to their axes.
内容简介本教材共分为 章, 内容包括 : 概述, 杆件的拉伸与压缩, 剪切与扭转, 梁的内力, 梁的应力, 梁的位移, 应力状态理论, 强度理论, 组合变形, 压杆稳定, 能量法, 材料性能研究中的其他问题 本教材各章的编写由五部分组成 : 前言, 基本内容, 小结, 思考题, 习题 本教材可用于高
-PD MERGER DEMO 世纪全国应用型本科土木建筑系列实用规划教材 材料力学 主 编 金康宁 谢群丹 副主编 刘 宏 万 度 参 编 王筱玲 毛 云 参 编 毛平文 张 军 主 审 袁海庆 张 军 参 编 李 磊 张 军 内容简介本教材共分为 章, 内容包括 : 概述, 杆件的拉伸与压缩, 剪切与扭转, 梁的内力, 梁的应力, 梁的位移, 应力状态理论, 强度理论, 组合变形, 压杆稳定,
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
1 2 3 1950 1973 1950 3.10 3.26 4.1 4.13 4.21 4.29 1951 3.12 3.28 4.6 4.15 5.4 1952 3.16 4.1 4.4 4.18 4.14 5.6 5.10 5.12 1953 3.10 3.24 4.5 4.15 4.23 4.26 5.9 5.19 1954 3.13 3.29 4.5 4.19 4.29
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投 入 建 设 经 费 3600 万 元, 立 项 建 设 19 个 研 究 生 公 共 实 验 课 程 教 学 平 台, 依 托 实 验 课 程 平 台 开 设 研 究 生 实 验 课 程 109 门, 系 统 训 练 并 提 升 了 研 究 生 知 识 应 用 能 力 工 程 认 知 能 力,
五 附 件 目 录 附 件 1: 成 果 总 结 以 提 升 工 程 能 力 为 核 心 的 全 日 制 工 程 硕 士 培 养 模 式 创 新 与 实 践 为 贯 彻 落 实 国 家 关 于 建 设 人 才 强 国 和 人 力 资 源 强 国 的 战 略 部 署, 2009 年 教 育 部 进 行 研 究 生 教 育 改 革, 开 始 实 施 以 应 届 本 科 毕 业 生 为 主 体 的 全 日
中国生态文明奖先进集体和先进个人建议吊单公示
中 国 生 态 文 明 奖 先 进 个 人 公 示 序 作 为 殡 葬 行 业 持 久 性 有 机 污 染 物 研 究 学 科 带 头 人, 率 先 在 殡 葬 行 业 开 展 了 二 恶 英 减 排 和 重 金 属 汞 减 排 技 术 研 究 通 过 自 主 创 1 王 玮 民 政 部 一 零 一 研 究 所 科 室 主 任 新 和 技 术 优 化, 研 发 了 遗 体 火 化 遗 物 祭 品 焚
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第五章空间力系的平衡问题 在第三章力偶的力偶矩 第四章力对点的矩中针对空间三维情况给出了力矩矢量和力偶矩矢量的定义 : 力偶矩矢量 : 如图 - 所示 力矩矢量 : 如图 -b 所示 图 - 本章将在力矢量 力偶矩矢量和力对点的矩矢量这三个基本力学量的基础上 对空间力系的平衡问题进行简单的分析 - 空间力系的简化 空间任意力系 : 当作用在刚体上的力和力偶 其力的作用线和力偶的力偶面不都在同一平面时
北京工业大学硕士学位论文弯桥理论的探讨及其支承体系的研究姓名 : 赵辉申请学位级别 : 硕士专业 : 桥梁与隧道工程指导教师 : 徐贺文 20070501 弯桥理论的探讨及其支承体系的研究 作者 : 赵辉 学位授予单位 : 北京工业大学 相似文献 (3 条 ) 1. 期刊论文谭万忠.
3.1 弹性体的功与应变能 当弹性体受到外力作用时, 它就发生变形, 因而外力在变形位移方向上对弹性体做功 如果不计及弹性体在加载和卸载时能量的损失, 即当结构系统是保守系统, 则对这样的物体在变形时所做的功, 可以看成是储存在物体中的能量, 称为应变能 (strain energy) 因此, 应变
第三章能量原理及其应用 (9) 3.1 弹性体的功与应变能 (1) 3. 虚功原理 () 3.3 单位载荷法 () 3.4 泛函与变分简介 (1) 3.5 最小势能原理 () 3.6 基于能量原理的近似解法 (1) 3.1 弹性体的功与应变能 当弹性体受到外力作用时, 它就发生变形, 因而外力在变形位移方向上对弹性体做功 如果不计及弹性体在加载和卸载时能量的损失, 即当结构系统是保守系统, 则对这样的物体在变形时所做的功,
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
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初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换 旋转 习题. 为等边 内一点, = 3, = 3, 求证 : 以 为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析 绕点 旋转 到 ', 可得 ' 就是以 为边构成的三 角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = 80 63 53 = 64, 即三角形各个内角度数分别为 53 63 和 64
浙江大学材料与化学工程学院博士学位论文铝内衬轻质高压储氢容器强度和可靠性研究姓名 : 开方明申请学位级别 : 博士专业 : 化工过程机械指导教师 : 郑津洋 20070801 浙江人学工学博士学位论文 同几何结构的金属材料的有限元计算结果 轴向位移云图见图３
标题
第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik
标题
第 49 卷 第 6 期 2 0 1 7 年 6 月 哈尔滨工业大学学报 JOURNAL OF HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY Vol 49 No 6 Jun. 2017 DOI:10.11918 / j.issn.0367 6234.201605127 大内跨小边跨框架结构预应力筋优化布置方法 摘 周威 1,2 1,2, 芦思炜 (1. 哈尔滨工业大学土木工程学院,
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刘世定 内容提要 : 本文在嵌入性视角的引导下, 进入关系合同理论领域 对关系合同的 分析, 以威廉姆森的合同治理结构理论作为基点 在分析了他的理论脉络和隐含假 设后, 本文提出了三个假定, 即约前关系导入 多元关系属性 对关系属性的有限控 制 在新的假设下, 首先讨论了合同治理结构和嵌入关系结构之间不同的对应关系, 并特别探讨了两者间的结构性摩擦 继而, 在关系合同的研究中引入了委托 - 代理关系,
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第 6 章弯曲应力 [ 本章重点 ] 弯曲强度的计算 计算横力弯曲时的弯曲强度要同时考虑弯曲正应力与弯曲切应力 (1) 基于弯曲正应力的计算, 首先要通过弯矩图找出危险截面 (M 所在面 ), 其次找出危险截面上的危险点 ( σ 所在点 ), 用该点的应力 σ 进行强度计算 对于不对称截面, 要特别注意其中性轴 要掌握最大切应力的计算及切应力的分布规律, 并熟记四种常见截面最大切应力和平均切应力比值,
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船舶结构力学学习指导书
船舶结构力学 学习指导书 ( 自编讲义 ) 船舶结构力学 课程教学团队 江苏科技大学 船舶与海洋工程学院 5 年 月 船舶结构力学学习指导书 序 言 船舶结构力学是船舶与海洋工程本科专业的专业基础课, 是船舶结构类硕 博士研究生入学必考课程之一 ; 是继材料力学 船体结构后的一门专业基础课 船舶结构力学主要内容为船体构件在已知外力作用下的强度及稳定性分析, 就研究方法来讲, 可分初参数法 力法 位移法
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西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
1. 电气类专业 ( 含电气工程及自动化 高电压与绝缘技术 继电保 护等专业 ) 一 公共行业知识 (0%) 电网技术基础 电力系统分析 1 电路的基本概念与基本定律 线性电阻电路的分析 3 叠加原理 戴维宁和诺顿定理 动态电路的时域分析 5 正弦稳态电路的分析 6 耦合电感电路和谐振电路的分析 7
中国南方电网有限责任公司超高压输电公司 018 年校园招聘笔试题大纲 主要考察内容题型题量分值 数字计算与推理 10 5 基础能力 言语理解与表达 10 5 单选题资料分析 10 5 逻辑推理 10 5 单选题 60 60 专业能力 相关专业知识及技能 多选题 10 10 判断题 10 10 合计 10 100 试题序 号 专业门类专业名称应聘学历 1 电气工程及自动化 高电压与绝缘技术 博士 硕士
高等数学 积分表 公式推导
高等数学 积分表 公式推导 目 录 一 含有 的积分 ~9 二 含有 的积分 ~ 5 三 含有 的积分 9~ 9 四 含有 的积分 ~ 五 含有 的积分 9~ 六 含有 的积分 ~ 5 七 含有 的积分 5~5 八 含有 的积分 59~7 7 九 含有 的积分 7~7 十 含有 或 的积分 79~ 5 十一 含有三角函数的积分 ~ 55 十二 含有反三角函数的积分 其中 ~ 6 十三 含有指数函数的积分
建筑结构弹塑性分析程序 SNAP 以多种多样自动化前处理及高速 精确计算为目标不断进化 SNAP 程序以 CANNY 为核心 适用于一般结构 超高层建筑 隔振结构 减震结构的弹塑性时程分析 静力分析和 Pushover 分析 自 1997 年着手研发以来, 经过 16 年多努力 不断吸收日本最新抗震
建筑结构弹塑性分析程序 SNAP 以多种多样自动化前处理及高速 精确计算为目标不断进化 SNAP 程序以 CANNY 为核心 适用于一般结构 超高层建筑 隔振结构 减震结构的弹塑性时程分析 静力分析和 Pushover 分析 自 1997 年着手研发以来, 经过 16 年多努力 不断吸收日本最新抗震 隔振 减震技术, 已成为日本国内代表性的弹塑性分析程序 拥有日本国内大学 研究机构 建筑设计和工程咨询单位众多用户
复 习 题
工程力学复习题 1 图示的小型回转起重机, 自重 G=5kN, 起吊物块的重量 P=10kN 求轴承 处的约束力 重物悬挂如图, 已知 G=1.8kN, 其它重量不计, 求铰链 的约束力和杆 所受的力 3 求图示物体的支座反力, 长度单位为 m 4 物体 Q 重 100N, 由三杆 和 E 所组成的构架和滑轮 E 支持, 如图所示 已知 D=D=m,D=DE=1.5m, 不计杆和滑轮的重量 求支承
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第 期 曹 源 等 形式化方法在列车运行控制系统中的应用
第 卷 第 期 年 月 交通运输工程学报 曹 源 唐 涛 徐田华 穆建成 为了确保列车运行控制系统设计和开发的正确性 比较了仿真 测试和形式化 种能够验证 系统设计正确性的方式 根据列车运行控制系统对安全的苛求性 提出了 个与系统安全相关的重要特性 即实时性 混成性 分布 并发 性 反应性 并分析了与这些特性相关的具体形式化方法 通 过对每种形式化方法的数学基础和应用范围的分析和归类 给出了各种方法的优势和不足
2009年硕士研究生入学考试大纲
矿业工程学院 2017 年研究生入学考试专业课大纲 [981] 工程力学... 2 [982] 采矿学... 6 [983] 材料力学...14 [984] 结构力学...16 [985] 工程流体力学...18 1 [981] 工程力学 工程力学包括理论力学 材料力学 课程作用是使学生具有对一般工程结构作受力分析的能力, 对构件作强度, 刚度计算和稳定性核算的能力, 了解材料的主要力学性能并具有测试强度指标的初步能力
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
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材料力学 前面各章讨论的是构件在静载荷作用下的强度 刚度和稳定性问题 静载荷 (atic loa) 是指载荷缓慢地从零逐渐增加到最终数值后保持不变 在静载荷作用下, 构件内任一点加速度为零, 或加速度很小可忽略不计, 这时构件处于静力平衡或作匀速直线运动状态 如果作用在构件上的载荷随时间的变化较快, 或运动构件内质点的加速度不可忽略时, 就称构件承受动载荷 (ynamic loa) 例如加速吊升的重物与缆索,
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山东交通学院继续教育学院教案 桥梁工程 第二篇第四章 第四章 混凝土连续梁桥的计算 教学内容 : 结构恒载内力计算 结构活载内力计算 3 恒活载内力计算时的几点注意事项重点 : 悬臂施工连续梁桥恒载内力计算 结构活载内力计算方法思考题及习题 : 山东交通学院继续教育学院教案 桥梁工程 第二篇第四章 第一节 结构恒载内力计算 一 计算特点 简支梁桥 ------- 成桥结构图式连续梁桥等超静定结构 --------
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数字带通 带阻 高通滤波器的设计 把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化 直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计 先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器
数字带通 带阻 高通滤波器的设计 把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化 直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计 先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) H ( j) 3 3 3 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) 模拟低通
数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数
![数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数](/thumbs/51/27870416.jpg "数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数")
.. 数学分析 (I) 短课程 [Part 2] 自然数 整数和有理数 孙伟 华东师范大学数学系算子代数中心 Week 2 to 18. Fall 2014 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014 1 / 78 3. 自然数理论初步 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014
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第 期 刘 文 洋 等 两 边 连 接 屈 曲 约 束 钢 板 墙 边 缘 构 件 的 受 力 规 律 +,444'+# ' 引 言 屈 曲 约 束 钢 板 剪 力 墙 简 称 屈 曲 约 束 钢 板 墙 82=27 是 在 普 通 钢 板 墙 两 侧 设 置 盖 板 盖 板 的 作 用 仅 是 抑
第 卷 第 期 年 月 建 筑 科 学 与 工 程 学 报 '' 文 章 编 号 () 两 边 连 接 屈 曲 约 束 钢 板 墙 边 缘 构 件 的 受 力 规 律 刘 文 洋 李 国 强 同 济 大 学 土 木 工 程 学 院 上 海 ( 黑 龙 江 八 一 农 垦 大 学 工 程 学 院 黑 龙 江 大 庆 ( 同 济 大 学 土 木 工 程 防 灾 国 家 重 点 实 验 室 上 海 ( 摘
李俊新 崔 敏 刘艳春 姚艳君 周广芬 孙 宝 河北科技大学理学院 河北石家庄 滦南县职业教育中心基础部 河北滦南 在物理化学实验的基础上 对一级反应的 种不同数据处理模型进行比较和分析 通过对 实验数据处理模型进行系统的比较 来改善传统实验数据处理中存在的一些问题 从而简化数据处 理 减小作图工作量与作图误差 提升实验水平 提高数据处理结果的准确性 一级反应 数据处理模型 过氧化氢 图 过氧化氢分解实验装置图
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平面汇交力系与平面力偶系重点难点分析重点 : 受力分析 难点 : 平衡关系的建立 解题指导 : 解析法 : (1) 仔细审题 这就是要弄清题意, 明确已知量和未知量, 选取适当的分离体, 使要求的未知量都能被表示在分离体上 () 画受力图 利用所给出的各种支座和连接的力学模型, 画出正确的受力图 特别要善于应用二力杆和三力平衡定理的概念, 以减少未知力的个数 (3) 选取坐标系 选取的原则是尽量使一个平衡方程中,
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学习要求 (1) (2) (3) 内容简述 1 2 3 利率的计算 10 r 10% 100 110 110% 121 100 1 10% 2 4 121110% 13310 100 1 10% 3 n FV P0 1 r (11.12 10) (1 12%) 1 (1 12%) n1 (1 r) 1 S P[ 1] r 5 1 r FV A[ r n 1 ] 110 100 1 10% 100 100
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Cat AFC Cat MotionMonitor
1100 6100 mm 43.3" 240.2" 1500 2050 mm 59" 80.7" 122 /m 2 12.5 /ft 2 Cat AFC Cat MotionMonitor...4...6...6...7...8...10...11 2 Cat 3 1.50 4.92' 1.75 5.74' 6.56' 4 Caterpillar 20 70 550 7500 mm 1.80 24.60'
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弹性力学简明教程 习题提示和参考答案 第二章习题的提示与答案 2-1 是 2-2 是 2-3 按习题 2-1 分析 2-4 按习题 2-2 分析 2-5 在的条件中, 将出现 2 3 阶微量 当略去 3 阶微量后, 得出的切应力互等 定理完全相同 2-6 同上题 在平面问题中, 考虑到 3 阶微量的精度时, 所得出的平衡微分方程都相同 其区别只是在 3 阶微量 ( 即更高阶微量 ) 上, 可以略去不计
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第 32 卷第 3 期 2015 年 6 月 计算力学学报 ChineseJournalofComputationalMechanics Vol.32,No.3 June2015 20140312004 刘亮文章编号 :1007-4708(2015)03-0383-05 用材料力学公式计算任意截面短梁正应力时的修正项研究 刘亮, 胡玉茹, 张元海 * ( 兰州交通大学土木工程学院, 兰州 730070)
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材料力学 * 第 13 章塑性变形 极限分析 求解一个完整的材料力学问题, 一般需同时考虑构件变形的几何关系 力与变形间的物理关系和静力平衡关系 3 个方面 在前面章节中, 力与变形间的物理关系服从虎克定律, 应力与应变间呈线性关系, 即变形均限定在线弹性范围内 所以, 前面各章节都属于材料力学的弹性分析的内容 当变形超过线弹性范围, 进入塑性变形阶段时, 材料力学问题同样需考虑几何 物理和静力 3
4. 如图所示的四种受弯构件的正截面,( ) 种截面的塑性转动能力最大 A. 斗制 B. ~IQ 中国 c. ~I bp1r 卡它才 混凝十, D. r 寸斗 18 片捕 ~ê 凝一十. 5. 按塑性内力重分布考虑, 钢筋氓凝土连续梁的破坏标志是 ( ) c. 出现第一个塑性伎 D. 某截面出现裂缝
试卷代号 :1258 座位号 rn 国家开放大学 ( 中央广播电视大学 ) 2016 年秋季学期 " 开放本科 " 期末考试 房屋建筑混凝土结构设计试题 2017 年 1 月 目 四厉玄 1 一 单向选择题 ( 每小题 2 分, 共计 40 分, 将选择结果填入括弧 ) 1. 塑性伎与理想镜的主要区别是 : ( ) A. 塑性钱不能转动, 而理想钱可在两个方向做无限的转动 B. 塑性伎集中于一点,
+ + 振 动 测 试 与 诊 断 第 卷 投影长度 与 分别为平板段及斜板段的长度 波形钢腹板考虑几何形状影响的剪切模量 的计 算公式为 其中 / / 为波形钢腹板剪切模量的修正因子 为钢材的弹性模量 为钢材的泊松比 应 如图 所示 这时需要引入两个动位移函数描述其位移模式 即梁的竖向动位移函数
第 卷第 期 年 月 振动 测试与诊断!"#$#%#!& $$ ($$* 波形钢腹板连续箱梁桥振动频率的参数分析 冀 伟 刘世忠 蔺鹏臻 李爱军 兰州交通大学土木工程学院 兰州 ++ 摘要 为准确计算和分析波形钢腹板连续箱梁桥的弯曲振动频率 首先 运用能量变分原理和,%! 原理 推导出波形钢腹板简支箱梁桥弯曲振动频率的计算公式 然后 在简支箱梁桥频率计算公式的基础上 根据连续梁自由振动的三弯矩方程