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1 材料力学 刘鸿文主编 ( 第 5 版 高等教育出版社 教师 : 朱林利, 副教授, zhu@zju.edu.cn 航空航天学院应用力学研究所助教 : 李桂平, 7668@qq.com 刘兰, 95467@qq.com 作业 课件等相关信息网址 : 目录

2 第二十一次作业 :

3 知识要点回顾 变形能的应用 互等理论 功的互等定理 位移互等定理 单位荷载法 - 摩尔定理 ( ( TT ( ( ( ( N N Δ d d d E GI p EI 注意事项 桁架 : Δ n E N N

4 例题 由三杆组成的刚架,,, 为刚性节点, 三杆的抗弯刚 度都是 EI,, 试用单位载荷法求, 两点的相对位移.

5 解 : 在, 处加一对水平单位力., 两支座的反力均为零. Δ : ( ( : ( ( : ( ( 5 [ (-(-d (-(-d] EI EI (

6 例题 图示为一简单桁架, 其各杆的 EI 相等. 在图示荷载作 用下,, 两节点间的相对位移 E 9 D

7 (Energy methods D E D E 桁架求位移的单位荷载法为桁架求位移的单位荷载法为 n E N N Δ

8 杆件编号 N N / / / / 9 N N δ ( 4. E E N N / / / E, 两点间的距离缩短.

9 例题 计算图 (( 所示开口圆环在 P 力作用下切口的张开 量 Δ. EI= 常数. R O (

10 (Energy methods R P d (b R P (c 解 : 解 : EI R R EI R R EI π π π d cos ( d ( ( Δ cos ( ( R cos ( ( ds O O

11 echncs of ters (hpter Energy ethod

12 第十三章能量法 (Energy ethods - 概述 (Introducton - 杆件变形能的计算 ( cuton of strn energy for vrous types of odng - 互等定理 (Recproc theorems -4 单位荷载法 莫尔定理 (Unt-od method & mohr s theorem -5 卡氏定理 (stgno s Theorem -6 计算莫尔积分的图乘法 (The method of moment res for mohr s ntegrton

13 -5 卡氏定理 (stgno s Theorem 设弹性结构在支座的约束下无任何 刚性位移. 作用有外力 :,,,, 相应的位移为 :,,,, 结构的变形能 U W δ δ δ

14 只给 一个增量. 引起所有力的作用点沿力方向的位移增 量为 Δδ,Δδ, Δδ, 在作用 的过程中, 完成的 功为 ΔΔδ 原有的所有力完成的功为 Δδ Δδ 结构应变能的增量为 Δδ ΔU ΔΔδ Δδ Δδ Δδ

15 略去高阶微量 ΔΔδ Δδ Δδ ΔU Δδ 如果把原来的力看作第一组力, 而把 看作第二组力. 根椐互等定理 Δδ Δδ Δδ Δ U Δ δ 当 趋于零时时, 上式为 或者 ΔU Δ ΔU Δ δ δ Δ 这就是卡氏第二定理 (stgno s Second Theorem ( ( 卡氏定理 (stgno s Theorem δ

16 说明 (Drectons ( 卡氏第二定理只适用于线性弹性体 ( ppyng ony to nery estc bodes. δ U ( 为广义力 (generzed force 为相应的位移 (dspcement correspondng to force. 一个力 一个力偶 一对力 一对力偶 一个线位移 一个角位移 相对线位移 相对角位移

17 ( 卡氏第二定理的应用 ( ppcton of cstgno s second theorem 轴向拉 压 ( tenson nd compresson δ U 扭转 (Torson δ U 弯曲 (endng δ U N d E ( N T ( d GI p ( d EI ( N E T ( GI p ( EI ( d T ( d ( d

18 (Energy methods 平面桁架平面桁架 (Pne truss (Pne truss j n j j j E U δ N N 组合变形组合变形 (ombned deformton (ombned deformton U δ ] d ( d ( d ( [ p N EI GI T E EI T GI T E d ( ( d ( ( d ( ( p N N

19 例题 4 外伸梁受力如图所示, 已知弹性模量 EI. 梁材料为线弹 性体. 求梁 截面的挠度和 截面的转角. e R

20 解 : : R ( e ( ( e ( e R e e : ( ( ( e

21 f ( ( d EI EI ( ( d EI e ( 6 e R ( ( ( ( ( d d EI e EI e e ( EI 6 (

22 例题 5 刚架结构如图所示. 弹性模量 EI 已知 材料为线弹性. 不考虑轴力和剪力的影响, 计算 截面的转角和 D 截面的水平 位移. 解 : 在 截面虚设一力偶 c, c D 在 D 截面虚设一水平力. e RD R RD Ry ( e c Ry R

23 (Energy methods D D: ] ( [ ( c e ( ( c : ] ( [ ( c e ( ( c : ( ( c D e c ( RD R Ry

24 θ δ U U (Energy methods c c EI e ( d d 7e EI 6EI c EI e d ( e [ d d e EI ( EI e c e Ry R d] D RD

25 例题 6 圆截面杆,(,(=9 位于水平平面内, 已知 杆截面直径 d 及材料的弹性常数 E, G. 求 截面处的铅垂位移. 不计剪力的影响. q

26 q Q : 弯曲变形 ( : 弯曲与扭转的组合变形 Q q( ( 弯曲变形 q ( 扭转变形 q ( ( Q ( q T( q ( T(

27 δ U (Energy methods ( ( ( ( T( T( d { [ d d]} EI EI GI p q q ( ( d q d EI EI GI p d 4 q 4EI q 4 GI p ( I d 64 π 4 I p d π 4

28 例题 7 图示刚架各段的抗弯刚度均为 EI. 不计轴力和剪力的 影响. 用卡氏第二定理求截面 D 的水平位移 D 和转角 D. 解 : 在点虚设一力偶矩 e D: : 弯曲变形 ( e ( ( e e D

29 将力 向 简化得 : 力 ( ( 产生拉伸变形 力偶矩 ( ( 产生弯曲变形 将 e 向 简化得 : e ( 产生弯曲变形 产生拉伸与弯曲的组合变形. 横截面上的内力有轴力和弯矩. 但是轴力不计, 因此横截面上 的内力只计弯矩. e D e

30 段 : ( ( ( e e e ( e ( ( 段 : θ D U e e EI e d e D EI [ d ( d] EI

31 -6 计算莫尔积分的图乘法 (The method of moment res for the mohr s ntegrton Δ ( ( d EI N Δ N d E Δ T T d GI p 在等直杆的情况下, 莫尔积分中 的 EI GI P E 为常量, 可提到 积分号外面, 只需计算, ( ( d

32 因为 ( 是由单位力或单位力 偶引起的弯矩, 故沿杆长方向的 ( 图一般是由直线直线或折线折线组 成. ( 图一般是曲线. ( tg ( d ( d tg d c ( ( d c c Δ ( ( d EI EI

33 设在杆长为 的一段内 ( 图是曲线 ( 是直线, 设直线方程是 ( ω ( ( ( d ( ( d ( d ( d ( c ( d 为 段内图 ( d 段内图 ( 的面积 ω ω

34 (d 为图 ( 对 y 轴坐标的静矩 ( ω 为图 ( 的形心,, c 为其坐标 ( ( d (d ω ω ω ω( ( d ( 的值. ω ( d 是和 ( 图的形心对应处的 ( c

35 对于等直杆有 Δ ( ( d EI EI ( 即积分可用 ( 图的面积 ω 和与 ( c ω 图形心 对应的 c 的乘积来代替 当 图为正弯矩时, ( Δ EI ω 应代以正号. 当 图为负弯矩时, ω 应代以负号. c 也应按弯矩符号给以正负号.

36 h (Energy methods 几中常见图形的面积和形心的计算公式 b 顶点 h b 三角形 ω h 二次抛物线 ω h

37 h (Energy methods 顶点 c h 顶点 c /4 /4 ( n n n 二次抛物线 ω h N 次抛物线 n h

38 注意 有时 ( 图为连续光滑曲线, 而 ( 为折线, 则应以 折线的转折点为界, 把积分分成几段, 逐段使用图乘法, 然后求其和.

39 例 8 均布荷载作用下的简支梁, 其 EI 为常数. 求跨中点的挠度. q / / 5 / 8 q 4 8 / / 以 ( 图的转折点为界, 分两段使用图乘法.

40 q / / 5 / 8 q 8 4 / / ω f ω q 8 q ω 5 5 ω q q ( EI EI EI 4 84EI

41 例 9 图示梁, 抗弯刚度为 EI,, 承受均布载荷 q 及集中力 作 用. 用图乘法求 : ( 集中力作用端挠度为零时的 值 ; ( 集中力作用端转角为零时的 值. q

42 解 : v ( EI q - q 8( q q /8

43 例 图示开口刚架,EI, EI=const. 求 和 两截面的相对角位 移 θ 和沿 力作用线方向的相对线位移 Δ. / /

44 解 : Δ EI EI ( 8 / / / / / / / /

45 例 图示刚架,EI, EI=const. 求 截面的水平位移 Δ H 和转角 θ. q

46 解 : q (Energy methods q/ q / q q/ q / Δ H q EI 4 ( q 8EI 4 (

47 例 拐杆如图, 处为一轴承, 允许杆在轴承内自由转动, 但 不能上下移动, 已知 :E=Gp: =Gp,G=.4E, 求 点的垂直位移. =6kN = 解 :: 画单位载荷图

48 求内力 ( ( (. n n (. 变形 δ L GI ( ( EI n( n d L p d GI p mm EI. L d EI ( d L LL GI p π

49 本次课完! 祝大家学习愉快!

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