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混寇
5 years ago
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1 材料力学 * 第 13 章塑性变形极限分析求解一个完整的材料力学问题, 一般需同时考虑构件变形的几何关系力与变形间的物理关系和静力平衡关系 3 个方面在前面章节中, 力与变形间的物理关系服从虎克定律, 应力与应变间呈线性关系, 即变形均限定在线弹性范围内所以, 前面各章节都属于材料力学的弹性分析的内容当变形超过线弹性范围, 进入塑性变形阶段时, 材料力学问题同样需考虑几何物理和静力 3 方面的关系, 只是因为所考虑的塑性变形不太大, 其几何静力关系仍旧不变, 但物理关系则有较大变化, 其应力与应变间一般呈非线性关系, 这种关系与材料的屈服条件加载历史及强化规律等复杂因素有关, 故使材料力学问题的求解变得复杂在工程实际中, 通常将这种关系作必要的简化处理, 这样考虑材料塑性变形的部分问题就可在材料力学范畴内得以解决这就是本章的材料力学的极限分析或塑性分析的内容图 13.1 应力 - 应变图由拉伸实验可知, 典型的低碳钢在轴向拉伸时的应力 - 应变图如图 13.1(a), 由于图中材料的比例极限弹性极限和屈服极限 3 点非常接近, 可以认为应力在达到屈服极限以前是弹性的, 超过屈服极限材料进入塑性状态同时, 根据图 13.1(a) 中曲线的水平锯齿形屈服阶段的相对尺度可知, 材料开始强化时的应变远大于它刚进入塑性时的应变, 在屈服阶段, 材料的应变在不断增加, 而应力基本保持常量这样, 在塑性变形不太大的情况下, 其应力 - 应变关系可简化为如图 13.1(b) 所示的模型, 称为理想弹塑性模型 (latic prfctly platic modl), 即假设材料在屈服前应力 - 应变关系是线弹性的, 屈服后是完全塑性的, 可发生无限制塑性变形, 并且材料在拉伸和压缩时有相同的弹性模量和屈服极限, 屈服后从曲线上任一点处卸载, 其应力 - 应变关系曲线与初始加载曲线平行本章所讨论的构件材料都属于这种理想弹塑性模型利用它进行材料力学强度计算时, 80

2 * 第 13 章塑性变形极限分析有两种不同的设计方法 : 1. 材料在线弹性范围内的许用应力法 (allowabl tr mthod) 或弹性载荷法 (latic load mthod) 它不允许构件或结构中出现任何塑性变形, 构件都必须在弹性范围内工作, 把构件危险载面上的危险点处的相当应力 σ r 达到材料的极限应力 σ ( 脆性材料取 σ b, 塑性材料取 σ ), 即危险点丧失承载能力, 作为强度计算的标准并将此时的载荷称为弹性极限载荷, 用表示即 σ r [ σ ] (13.1) σ 式中, 许用应力为 [ σ ] =,n 为许用应力法的安全因数采用许用应力法对结构进行分析 n 称为弹性分析 (latic analyi) 这就是前面章节使用的方法. 材料超过线弹性范围, 进入塑性变形阶段的许用载荷法 (allowabl load mthod) 或极限载荷法 (ltimat load mthod) 它允许构件或结构中存在塑性变形, 并把结构的整体垮塌 (collap), 即完全丧失承载能力, 作为强度计算的标准把结构即将垮塌时所承受的载荷, 称作塑性极限载荷, 简称极限载荷 (ltimat 1oad), 记作, 与极限载荷相对应的平衡状态称为塑性极限状态, 简称极限状态许用载荷法要求构件或结构的实际最大工作载荷 Pmax 不能大于极限载荷除以相应的安全因数 n, 即 Pmax [ ] (13.) 式中,[ ] = 为许用极限载荷采用许用载荷法对结构进行分析称为极限分析 (ltimat n analyi) 或塑性分析 (platic analyi) 实际上, 对于由塑性材料制成的梁, 其横截面上应力为非均匀分布, 当其中危险点处的应力达到 σ 时, 其它点并未丧失承载能力只有当横截面上全部点的应力都达到 σ 时, 梁才会失去对塑性变形的制约, 进而变成几何可变的运动机构, 即完全丧失承载能力可见, 许用应力法是把构件内危险点处所承受的应力作为考虑的对象, 而许用载荷法是把结构整体所能承受的载荷作为考虑的对象因许用载荷法放松了对塑性变形的限制, 所以能更充分地利用材料和减轻结构自重本章将讨论简单结构的极限分析, 并与弹性分析结果进行比校对于静定桁架这样的杆系, 各杆的轴力均可由静力平衡方程求出若材料为理想弹塑性材料, 在继续增大载荷的情况下, 应力最大的杆件将首先出现塑性变形, 当杆系中有任一根杆件发生无限制塑性变形时, 桁架就成为几何可变的运动机构, 丧失其承载能力, 这时的载荷也就是极限载荷因此, 对于静定桁架而言, 其弹性分析与极限分析没有区别本节重点则是讨论超静定桁架杆系的极限载荷 ( 包括弹性极限载荷塑性极限载荷 ), 其问题将比较复杂下面通过平面桁架杆系实例来说明弹性分析与极限分析间的异同设 3 杆铰接的超静定桁架如图 13.(a) 所示,3 杆的材料相同, 其材料为弹性 - 理想塑 81

3 材料力学性如图 13.1(b) 所示, 弹性模量为 E = 00 GPa, 屈服极限为 σ = 40 MPa 三杆的横截面面积均为 A = 100 mm,α = 45,l 3 = 10 mm 承受铅垂载荷 P 作用试对超静定桁架作弹性分析和极限分析, 分别求结构的弹性极限载荷和塑性极限载荷 1. 对超静定桁架作弹性分析, 求杆系结构的弹性极限载荷当载荷 P 较小时,3 杆的轴向应力都小于屈服极限 σ, 杆件处于弹性状态, 由变形的几何关系, 得各杆变形的协调关系为 Δl1 Δ l1 =Δ l, Δ l3 = (13.3) coα 再由物理关系和图 13.(b) 的静力平衡关系可解出杆件的轴力及节点 A 的垂直位移 co α P = =, N3 = (13.4) co α 1 + co α P N1 N 3 l δ Ay = = EA l N3 3 P 3 ( + ) 随着载荷增加, 由于杆 3 轴力最大, 其横截面上的应力首先达到屈服极限 σ, 即 N3 = σ A 此时, 对应杆系上的最大弹性载荷即为弹性极限载荷, 如图 13.(b) 所示, 即 EA = = 3 ( + 3 ) σ A( 1 co α ) (13.5) 1 co α P N3 = + (13.6) 图 13. 超静定桁架杆系的极限载荷再将已知数据代入式 (13.6), 得杆系弹性极限载荷 = kn 8

4 * 第 13 章塑性变形极限分析 N1 = N =1.00 kn, N3 δ Ay = 节点 A 的垂直位移 ( ) 6 = 4.00 kn m 如图 13.(c) 所示采用材料力学弹性分析的许用应力法进行强度计算设安全系数 n =, 则此超静定桁架的许可最大的工作载荷 ( ) σ ( ) σ σ [ σ] A A n n N3 Pmax r = = = = 3 ( 1+ co α ) kn ( Pmax ) σ A( + α) n= = = n.0 节点 A 的许可最大的垂直位移 ( δ Ay,max ) Pmax 3 1 co / 0.49kN ( δ 6 Ay ) = = = n m, 由式 (13.1) 得. 对超静定桁架作极限分析, 求杆系结构的塑性极限载荷若载荷达到弹性极限载荷时, 杆系并没有丧失承载能力, 随着载荷继续增加, 杆 3 保持轴力 = σ A不变, 两边杆受力逐渐增加, 但仍处于弹性状态, 其轴力由图 13.(c) 的平衡条件可得, 但图中的应换成可变载荷 P, 于是 P σ A P 4.0 kn N1 = N = = coα coα 直到两边杆件中的应力都达到屈服极限 σ 时, 整个杆系才会因失去对塑性变形的约束而成为几何可变机构, 发生机构运动, 即完全丧失承载能力此时的载荷即为塑性极限载荷, 并可由图 13.(d) 的平衡条件得到 = σ A(1 + co α) = (1 + ) σ A= kn 而即将跨塌时, 节点 A 的垂直位移为 σ Al1 σ l3 6 ( δ Ay ) = Δ l m AC = = = EA E 载荷与节点 A 的垂直位移的关系如图 13.() 所示采用材料力学极限分析的许用载荷法进行强度计算设安全系数 Pmax [ ] = n n =, 则此超静定桁架的许可最大的工作载荷 ( ) kn ( Pmax ) 8.97 kn n =.0 = 在此载荷下, 节点 A 许可最大的垂直位移为 ( δ 6 Ay ) m 6 ( Ay ) δ = = = m n,max Pmax, 由式 (13.) 得 83

5 材料力学用叠加法分析残余应力载荷达到塑性极限载荷后即卸载, 卸载过程中各杆的应力 - 应变关系均为线弹性, 弹性模量与加载时相同, 只是由于两边杆的应力刚达到屈服极限, 还没有塑性变形但就杆 3 而言, 它已产生了不可恢复的残余变形 ( Δ l 3 ), 即 r ( l ) ( δay ) ( δay ) Δ = (13.7) 3 r ( ) Δ l 3 = m m = m r 在逐渐卸载过程中, 两边杆试图恢复原长的企图将受到杆 3 的阻止, 当载荷卸至零时, 杆 3 内还将存在一定的压应力, 而两边杆内同样存在一定的拉应力这些在完全卸载后尚存的应力称为残余应力 (ridal tr), 这类似于第二章中因加工误差而引起装配应力对于静定桁架, 杆件若发生塑性变形后卸载, 虽存在残余应变, 但由于没有多余约束, 所以不会出现残余应力对于超静定桁架, 若某些杆件发生塑性变形后卸载, 也将引起残余应力残余应力采用叠加法进行分析, 通过杆系在两种受力状态下各杆内力的叠加而求得第一种受力状态是杆系受塑性极限载荷作用, 所有的杆件都已屈服, 如图 13.(d) 所示, 即各杆内力 ( ) ( ) ( ) N1 = N = N3 = σ A= 4 kn 第二种受力状态是设想杆系受反向的塑性极限载荷, 并且认为在整个加载过程中杆系是弹性的, 杆 3 与两边杆的内力按比例增长, 最终可由图 13.(c) 按载荷比例求得 ( ) ( ) N = N = 1 kn kn = N3 = 4 kn kn = ( ) 叠加以上两种受力状态下各杆的内力, 得各杆的残余内力 ( ) ( ) ( ) = + (13.8) Ni r Ni Ni ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ( ) N1 r N kn 7.03 kn r 则各杆的残余应力分别为 ( ) ( ) Ni r i N3 = kn = 9.94 kn r σ i = (13.9) r A N1 N3 ( σ1) = ( σ) = = 70.3 MPa ( σ ) r r 3 = = 99.4 MPa r A A 平面桁架杆系实例说明了弹性分析与极限分析间的异同, 并分析了杆系加载到塑性极限载荷后, 再卸载到零时, 杆系中各杆内均留有残余应力及其分析方法综上所述, 考虑塑性的强度计算时, 若取安全因数相同, 用许用载荷法所得许可最大工作载荷比用许用应力法所得要大 ( 本例为 41%, 即杆系结构承载能力可提高 41%), 若杆系为静定结构, 则二者没有区别 ; 若为超静定结构, 超静定次数越高, 这两种方法所得结果的差别一般越大另外, 由于卸载后存有残余应力, 因此极限分析对交变载荷不适用

* 第 13 章塑性变形极限分析由第 3 章已知, 在材料为线弹性的情况下, 直径为 d 的圆轴扭转时横截面上任一点的切应力和截面边缘最大切应力公式为 T ρ 16 τ ρ = max 3 I τ = T T W = πd (13.10) 1. 弹性极限扭矩分析 P 对于理想弹塑性材料, 其切应力 τ 和切应变 γ 的关系如图 13.

6 * 第 13 章塑性变形极限分析由第 3 章已知, 在材料为线弹性的情况下, 直径为 d 的圆轴扭转时横截面上任一点的切应力和截面边缘最大切应力公式为 T ρ 16 τ ρ = max 3 I τ = T T W = πd (13.10) 1. 弹性极限扭矩分析 P 对于理想弹塑性材料, 其切应力 τ 和切应变 γ 的关系如图 13.3 所示随着扭矩 T 的逐渐增加, 当 T = T 时, 截面边缘的最大切应力 τ max 首先达到剪切屈服强度 τ, 如图 13.4(b) 所示这时相应的扭矩 T 称为弹性极限扭矩 (latic ltimat), 由式 (13.10) 可得 T τmax = τ = W P p 图 13.3 理想弹塑性材料 τ -γ 关系从而得到弹性极限扭矩 T 图 13.4 圆轴截面弹性极限扭矩应力分布 = τ i W (13.11) p 3 πd T = τ (13.1) 16. 塑性极限扭矩分析扭矩继续增大, 当 T<T< T 时, 横截面靠近边缘部分应力先后达到 τ, 并相继屈服而形成塑性区, 如图 13.4(c) 所示呈现出弹塑性状态扭矩再继续增大, 当 T = T 时, 横截面上所有点的切应力全部达到 τ 时, 构件丧失抵抗扭转变形的能力, 发生机构运动呈现出图 13.4(d) 所示塑性极限状态, 扭矩 T 称为塑性极限扭矩 (platic ltimat), 为比较式 (13.1) 和式 (13.13), 得 T πd 1 3 d / = ρτ da= τ π ρ d ρ = τ A 0 (13.13) T 4 T = 3 (13.14) 再次应证了考虑塑性的强度计算时, 若取安全因数相同, 用许用载荷法所得塑性极限扭矩 85

7 材料力学比用许用应力法所得弹性极限扭矩大 ( 本例大 33.3%, 即圆轴承载能力可提高 33.3%) 3. 残余应力分析若圆轴加载至塑性极限外扭矩后卸载, 在卸载过程中, 应力 - 应变关系为线性弹性关系, 如图 13.5 所示, 因此卸载过程中产生的应力可由 (13.10) 式中的 τ ρ 和 τ max 求得当卸载至零时最大应力 τ max 为 16T 4 τ max = = τ 3 (13.15) πd 3 其方向与加载时产生切应力的方向相反, 加载过程中产生的切应力与卸载过程产生的切应力叠加, 即为完全卸载后圆轴内的残余应力, 叠加过程如图 13.5 所示, 圆轴中心处残余应力为 τ = τ (13.16) r1 图 13.5 圆轴中心处残余应力横截面外缘处的残余应力为 1 τ r = τmax τ = τ (13.17) 3 若改为外径为 D, 内径为 d, 且 d/ D = α = 0.8的空心圆轴, 材料剪切屈服强度为 τ, 有兴趣的读者可分析其弹性极限扭矩和塑性极限扭矩, 并与实心圆轴进行比较无论材料是线弹性的还是塑性的, 平面假设均成立因此, 在讨论直梁塑性弯曲时, 可利用梁横截面上沿不同高度的线应变呈直线分布的几何关系理想弹塑模型如图 13.6 所示的物理关系以及静力平衡关系, 对梁进行极限分析 1. 弹性极限弯矩分析在线弹性范围内, 梁弯曲时, 危险截面上的正应力呈线性分布, 如图 13.7(a) 所示由第 6 章可知, 设中性轴为对称轴, 则距中性轴最远的上下边缘处的最大正应力为 M σ max = (13.8) Wz 图 13.6 理想弹塑模型 σ - ε 关系 bh 对于横截高度为 h 宽度为 b 的矩形截面梁, 其弹性抗弯截面系数 W z = 若是横力 6 弯曲, 因其截面上由剪力引起的切应力相对于正应力非常小而被忽略在弯矩 M 随载荷增 86

8 * 第 13 章塑性变形极限分析加而增大的过程中, 当最大正应力 σ max 达到屈服极限 σ 时, 如图 13.7(c), 对应的最大弹性弯矩称为弹性极限弯矩 (latic ltimat momnt), 简称屈服弯矩 (yild momnt), 记作 M, 有 M = W i σ (13.19). 塑性极限弯矩分析随着载荷继续增加, 横截面上正应力达到屈服极限 σ 的塑性区域逐渐由上下边缘向中性轴扩展,( 设弹塑性区的边界到中性轴的距离用 y 表示, 如图 13.7(d)), 直至横截面上所有点的正应力均达到 σ 时, 如图 13.7(d), 则整个截面完全屈服, 对应的弯矩称为塑性极限弯矩 (platic ltimat momnt), 简称极限弯矩, 记作 M 则有 h h h h bh M = yσ da= σ i b ( ) b A i + σ i = σ i = Wσ (13.0) z 式中,W 称为塑性抗弯截面系数图 13.7 梁弯曲时危险截面上的正应力分布图由式 (13.19) 和式 (13.0) 可知, 截面上塑性极限弯矩 M 与弹性极限弯矩 M 之比等于 W 与 W z 之比, 即 M W f = M = W (13.1) 式中,f 定义为形状系数 (hap factor) 可知, 从截面开始屈服到截面完全屈服, 梁潜在的承载能力得到了进一步发挥, 其承载能力提高的百分比为 ( f ) W 1 100% = 1 100% Wz 对于横截高度为 h 宽度为 b 的矩形截面梁 f W bh = W = z bh /6 = z /4 1.5 即表明从截面开始屈服到截面完全屈服, 矩形截面的承载能力可提高 f 1= 50% 不同形状的横截面有不同的形状系数, 几种常用截面的形状系数列于表

9 材料力学表 13.1 几种常用截面的形状系数 f 截面形状菱形圆形矩形薄壁圆环工字形 f = W W ~1.17 / z ( f 1) 100% 100% 70% 50% 7% 15%~17% 3. 中性轴在弹性阶段, 无论中性轴是否是截面的对称轴, 都必过截面形心, 如图 13.8(a) 所示 ; 但如果中性轴不是截面的对称轴, 当截面开始屈服后 ( 比如图 13.8(b) 所示的 T 形截面 ), 弯曲正应力的分布不再是线性的, 欲满足轴力为零的平衡方程, 中性轴 z 必然逐渐向上平移 ; 当截面完全屈服 ( 图 13.8(c)), 欲满足轴力为零, 中性轴 z 将平分截面面积 ( 即拉与压区域面积应当相等 ) 图 13.8 中性轴的变化情况 4. 残余应力分析在载荷作用下的构件, 当其局部的应力超过屈服强度时, 这些部位将出现塑性变形但构件的其余部分还是弹性的如再将载荷卸除, 已经发生塑性变形的部分不能恢复其原来状态, 必将阻碍弹性部分的变形恢复, 从而引起内部相互作用的应力, 这种应力称为残余应力残余应力不是载荷所致, 而是弹性部分与塑性部分相互制约的结果且梁的残余应力 σ r 等于按加载规律引起的应力和按卸载时线性规律引起的应力的代数和以矩形截面梁受纯弯曲为例, 分析矩形截面承受极限弯矩后再卸载到零时截面的残余应力假设加载使截面承受的弯矩达到极限弯矩而完全屈服后, 再卸载到零残余应力可由完全屈服应力状态与反向加载到极限弯矩值 ( 并设材料始终处于弹性 ) 所得应力状态叠加得到, 图 13.9 表示其叠加过程对具有残余应力的梁, 如再作用一个与第一次加载方向相同的弯矩时, 新增加的应力沿梁截面高度也是线性分布的就最外层的纤维而言, 直到新增加的应力与残余应力叠加的结果等于 σ 时, 才再次出现塑性变形可见, 只要第二次加载与第一次加载方向相同, 则因第一次加载出现的残余应力, 提高了第二次加载的弹性范围这就是工程上常用的自增强技术的原理 88

10 * 第 13 章塑性变形极限分析 5. 塑性铰图 13.9 残余应力 σ r 分布上面讨论了梁截面的屈服弯矩 ( 弹性极限弯矩 )M 和极限弯矩 ( 塑性极限弯矩 )M, 现举例说明梁的极限载荷的求解方法考虑跨中受集中力的矩形截面简支梁, 如图所示, 增加载荷, 当跨中 (x = 0) 处的弯矩达到极限弯矩 M 时, 按图 13.10(b) 中弯矩图的比例计算, 距离跨中为 x 处截面上的弯矩 M(x) 为由式 (13.0), 有 Mx () l x l = M bh l x σ Mx () = 4 l (13.a) (13.b) 设 y 为截面上中性轴到弹塑性区边界的距离, 如图 13.7(c) 当截面开始屈服时 = h y, 当截面完全屈服时 y = 0 那么根据截面上应力的分布, 同样可计算出距离跨中为 x 处截面上的弯矩图矩形截面简支梁塑性铰 89

11 材料力学 y y y Mx () = σb h y h h i bσ y bσ + + = 4 i 3 (13.c) 4 3 由式 (13.b) 及式 (13.c), 得 h 3x y = (13.3) l 上式表明沿梁的长度弹塑性区的边界线是 x 的二次抛物线, 塑性区延伸到 x =± l /3处, 整个塑性区由图 13.10(a) 中阴影所示, 此时梁已不能继续承担载荷, 跨中截面两侧的梁在极限弯矩 M 作用下相互转动已不受制约, 相当于在跨中截面处形成了一个铰链, 在铰链的两侧作用有大小等于极限弯矩的力偶, 力偶的转向与其所在部分的梁绕此铰转动的方向相反, 如图 13.10(c), 这样的铰链称为塑性铰 (platic hing) 显然, 梁横力弯曲时, 塑性铰总是在最大弯矩截面处形成 6. 静定梁的极限载荷对于静定梁, 当出现塑性铰时, 梁变成几何可变的机构, 即处于整体垮塌前的极限状态产生塑性铰所需的载荷即为梁的 ( 塑性 ) 极限载荷, 可根据简单的静力学原理计算求出图所示横截高度为 h 宽度为 b 的矩形截面静定简支梁的极限载荷可由 M = MC = B il = i l和式 (13.0), 得 M Wσ bh = = = σ l l l 例 13.1 图 13.11(a) 所示等截面静定简支梁, 左半部承受均布载荷 q 的作用, 试求梁的极限载荷 q 解 : 作静定简支梁的弯矩图, 见图 13.11(b) 最大弯矩 M 发生在矩左端 3/8 l 处的 D 截面上, 为 max 9 M max = MD = ql 18 当载荷 q 增加到使 M max 达到截面的极限弯矩时,D 截面处出现塑性铰, 梁处于极限状态, 如图 13.11(c) 所示, 此时载荷即为梁的极限载荷, 即 9 M max = ql = M 18 18M 故 q = 9l 7. 超静定梁的极限载荷图例 13.1 图对于超静定梁, 情况则有所不同对一次超静定梁, 当出现第一个塑性铰时, 并不会引起梁的完全破坏, 这是因为一方面塑性铰抵消了多余约束使超静定梁成为静定梁 ; 另一方面在塑性铰截面处仍可承担极限弯矩的作用在继续加载的情况下, 梁的弯矩将重新分配, 塑性铰截面处的弯矩保持极限弯矩不变, 而其他截面的弯矩将增大, 直到第二个塑性铰出现, 90

1(b) 所示, 最大弯矩 M 1 产生于固定端 A 处随着载荷增加, 截面 A 上最大应力首先达到屈服极限, 此时截面 A 上的弯矩为最大弹性弯矩, 梁的载荷为最大弹性载荷 16M 3l = (13.

12 * 第 13 章塑性变形极限分析梁才处于垮塌的极限状态因此, 产生第二个塑性铰时的载荷即为梁的极限载荷对 n 次超静定梁, 同样可推出, 当出现 n + 1 个塑性铰时, 梁处于垮塌前的极限状态, 相应的载荷即为该梁的极限载荷例 13. 试求图 13.1(a) 所示一次超静定等截面梁最大弹性载荷与极限载荷的比值解 : 设想载荷从零逐渐增加, 当梁处于弹性阶段, 弯矩图如图 13.1(b) 所示, 最大弯矩 M 1 产生于固定端 A 处随着载荷增加, 截面 A 上最大应力首先达到屈服极限, 此时截面 A 上的弯矩为最大弹性弯矩, 梁的载荷为最大弹性载荷 16M 3l = (13.4) 继续增大载荷, 截面 A 处首先形成塑性铰, 梁变为静定的简支梁, 除原载荷外, 在截面 A 处承受大小为极限弯矩 M 的力偶, 如图 13.1(c) 再进一步增大载荷, 直到截面 C 也形成塑性铰, 梁成为几何可变的机构, 处于垮塌的极限状态, 如图 13.1(d) 图 13.1 例 13. 图再研究梁处于极限状态时刻的平衡, 可确定极限载荷的大小考虑整体, 由 M = 0, 得 A 考虑 CB 部分, 由 M = 0, 得 C M l + l = (13.5) B 0 l B M + = 0 (13.6) 由式 (13.5) 和式 (13.6) 可得 6M l = (13.7) 根据式 (13.4) 和式 (13.6) 可得极限载荷与最大弹性载荷的比值 9 M 9W 9 = = = f 8 M 8W 8 z 91

13 材料力学明显地, 在静定梁中与的比值即为截面形状系数 f 超静定梁中与比值的增加是因为梁中一个截面被破坏 ( 形成塑性铰 ), 其他部分开始承受附加载荷, 使弯矩重新分配, 从而增大了超静定梁的极限强度 8. 用虚位移原理求梁的极限载荷极限载荷是根据梁处于极限状态时的平衡条件来确定的这使得我们可以应用虚位移原理 (principl Of Virtal diplacmnt) 来求解极限载荷虚位移原理指出 : 一刚体体系在一力系作用下处于平衡, 则在该体系产生微小虚位移的过程中, 力系所作的功之和必定为零在极限状态下, 可忽略梁各部分的弹性变形, 将其可看成由塑性铰相连的刚性杆件, 用虚位移求例 13. 极限载荷在图 13.1(d) 中, 设给定杆 AC 沿机构运动方向产生一微小虚位移 δ θ, 则杆 BC 将转过相同的角度 δ θ, 点 C 将垂直向下移动 δθ i l / 在整个虚位移过程中, 截面 A 处的极限弯矩所作虚功为 M δθ, 截面 C 处的极限弯矩所作虚功 l 为 M δθ( 负号是因为 M 的转向与 δ θ 转动方向相反 ) 极限载荷所做的功为 δθ i, 所以虚功方程为 δθ i l Mδθ Mδθ = 0 消去定义的虚位移 δ θ, 得 6M = l 可见, 所得结果与式 (13.7) 相同例 13.3 试用虚位移原理求解如图 13.13(a) 所示的等截面超静定梁的极限载荷解 : 在前面的例子里, 我们是根据梁在弹性范围内的弯矩图来确定极限状态时塑性铰的位置的, 这往往需要进行超静定分析其实, 极限分析只需找出所有可能的极限状态, 并计算其相应的极限载荷, 最后加以比较, 其中最小的极限载荷即为梁真正的极限载荷本题在截面 C 和 D 处施加两个集中载荷, 梁中弯矩的峰值将发生于载荷或支座反力所作用的截面 A C 及 D 处, 其中任意两个截面出现塑性铰, 梁即处于极限状态, 共有 3 种可能性, 其极限状态分别如图 13.13(b) 图 13.13(c) 和图 13.13(d) 所示图例 13.3 图 9

14 * 第 13 章塑性变形极限分析对于图 13.13(b) 所示极限状态, 虚功方程为 =, =, 可得因恒有 1 θ il θ il Mθ M θ = 4 3M = l 同理, 由虚位移原理, 图 13.13(c) 图 13.13(d) 所示极限状态的极限载荷分别为 5M = l 6M = l 5M 比校这 3 个结果, 其中最小的极限载荷即为本超静定梁真实的极限载荷, 即 min =, l 所对应的极限状态为图 13.13(c) 所示例 13.4 试求图 13.14(a) 所示等截面超静定连续梁的极限载荷 ( 设 EI 为常量 ) 解 : 图 13.14(a) 所示超静定梁, 已知 A = ql/16, B = 17 ql/16, D = 3 ql/8, 作弯矩图如图 13.14(b) 可知, 随载荷的增加截面 C 首先形成塑性铰, 然后, 当截面 B 形成塑性铰时, 梁处于极限状态 ( 图 13.14(c)) 考虑 BD 段极限平衡状态, 由 M = 0, 有考虑 CD 段极限平衡状态, 由 M = 0, 有 B C 图例 13.4 图 l l M + D = 0 (13.8) 4 l M + D = 0 (13.9) 4 93

15 材料力学由式 (13.8) 与式 (13.9), 得 1M 1σ W l l = = (13.30) 对于超静定连续梁, 通常垮塌仅出现在其中一跨在解此题时, 不同的载荷是按比例 ( 本例为 / q = l ) 增加的, 若改变载荷比例 ( 比如 / q = l/4), 则极限状态有可能改变, 此时另一种可能的极限状态由图 13.14(d) 所示本题也可用虚位移原理求解思 13.1 何谓许用应力法? 何谓许用载荷法? 构件的失效和结构的整体垮塌有什么不同? 思 13. 服从理想弹塑性模型的材料应满足什么条件? 思 13.3 何谓弹性分析? 何谓塑性分析或极限分析? 思 13.4 杆件圆轴和梁的极限内力与极限载荷相同吗? 思 13.5 什么是塑性铰? 试比较塑性铰和普通铰的异同思 13.6 什么是残余应力? 为什么说极限分析对交变载荷不适用? 13.1 类计算题 ( 拉压杆系极限分析 ) 题试求如图所示结构的极限载荷, 已知每个杆件达到屈服时的受力为 4 kn 题一水平刚性杆 AC,A 端为固定铰链支承, 在 B C 处分别与两根长度 l 横截面面积 A 和材料均相同的等直杆铰接, 如图所示两杆的材料可理想化为理想弹塑性模型, 其弹性模量为 E 屈服极限为 σ 若在刚性杆的 D 处承受集中载荷, 试求结构的屈服载荷和极限载荷题图题图题刚性梁 AB 由 4 根同一材料制成的等直杆支承, 在 D 点处承受铅垂载荷, 如图所示 4 杆的横截面面积均为 A, 材料可视为理想塑弹性模型, 其弹性模量为 E 屈服极限为 σ 试求结构的极限载荷 94

.1.4 刚性杆 AB 支于 C 支座上, 并由 3 根理想弹塑性材料制成的杆件拉住,B 端承受载荷, 如图所示, 设拉杆的截面积均为 A,

.1.3 图题 13.1.4 图题 13.1.5 如图所示两端固定等截面杆 AC, 截面积为 A, 材料服从理想弹塑性模型, 屈服应力为 σ, 弹性模量为

类计算题 ( 圆轴扭转极限分析 ) 题 13..1 空心圆轴截面如图所示, 材料为理想弹塑性材料, 试求极限外扭矩 T 与最大弹性外扭矩 T 之比题 13.

16 * 第 13 章塑性变形极限分析题刚性杆 AB 支于 C 支座上, 并由 3 根理想弹塑性材料制成的杆件拉住,B 端承受载荷, 如图所示, 设拉杆的截面积均为 A, 试求最大弹性载荷及极限载荷题图题图题如图所示两端固定等截面杆 AC, 截面积为 A, 材料服从理想弹塑性模型, 屈服应力为 σ, 弹性模量为 E, 试求最大弹性载荷及极限载荷, 并求出对应的 B 截面的位移, 设 l1> l 题图 13. 类计算题 ( 圆轴扭转极限分析 ) 题空心圆轴截面如图所示, 材料为理想弹塑性材料, 试求极限外扭矩 T 与最大弹性外扭矩 T 之比题 13.. 空心圆轴外径为 10 mm, 内径为 100 mm, 由理想弹塑性材料制成, 剪切屈服应力 τ = 100 MPa, 剪力模量 E = 00 GPa, 试确定最大弹性外扭矩 T 及极限外扭矩 T, 若外扭矩在达到极限扭矩后完全卸去, 试求残余切应力的分布题等直圆轴的截面形状如图所示, 实心圆轴的直径 d = 60 mm, 空心圆轴的内外径分别为 d 0 = 40 mm,d 0 = 80 mm 材料可视为理想弹塑性材料, 其剪切屈服极限 τ = 160 MPa 试求两轴的极限扭矩题图题图题如图所示阶梯圆轴由理想弹塑性材料制成, 粗轴直径为 d, 细轴直径为 95

17 材料力学 d/, 跨中承受集中外扭矩 T, 若剪切屈服应力为 σ, 试求最大弹性外扭矩 T 及极限外扭矩 T 题图 13.3 类计算题 ( 梁的弯曲极限分析 ) 题试求图示受均布载荷矩形截面简支梁, 在极限载荷时塑性区的形状及范围, 设 d 为截面上中性轴到弹塑性区边界的距离题矩形截面 b h 的直梁承受纯弯曲, 梁材料可视为理想弹塑性, 弹性模量为 E, 屈服极限为 σ 当加载至塑性区达到 h/4 的深度 ( 如图所示 ), 梁处于弹性 - 塑性状态时, 卸除载荷试求 :(1) 卸载后, 梁的残余变形 ( 残余曲率 );() 为使梁轴回复到直线状态, 需施加的外力偶矩题图题图题如图所示矩形截面简支梁长 l =100 mm, 跨中 C 截面承受集中载荷 P, 试问当 C 截面处中性轴到弹塑性区边界的距离 d = 4 mm 时, 载荷的大小及塑性区沿梁的长度 a 题图题受均布载荷作用的简支梁如图所示已知该梁的材料可视为理想弹塑性, 屈服极限 σ = 35 MPa 试求梁的极限载荷题矩形截面简支梁受载如图所示已知梁的截面尺寸为 b = 60 mm,h = 10 mm; 梁的材料可视为理想弹塑性, 屈服极限 σ = 35 MPa 试求梁的极限载荷 96

18 * 第 13 章塑性变形极限分析题图 ( 单位 :mm) 题图题试求图示梁的极限载荷及塑性铰的位置题图题试求图示梁的极限载荷及 q 题图题如图所示等截面梁在 C 处受集中力 P, 在 D 处受集中力 β P, 其中 β 为一正的系数, 试求此梁的极限载荷, 并求出使梁的总极限载荷取最大值时的 β 题试求图示两跨梁的极限载荷, 假设系数 β = 1 或 β = /3 题图题图 97

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Microsoft Word - 2z.doc 第 6 章弯曲应力 [ 本章重点 ] 弯曲强度的计算计算横力弯曲时的弯曲强度要同时考虑弯曲正应力与弯曲切应力 (1) 基于弯曲正应力的计算, 首先要通过弯矩图找出危险截面 (M 所在面 ), 其次找出危险截面上的危险点 ( σ 所在点 ), 用该点的应力 σ 进行强度计算对于不对称截面, 要特别注意其中性轴要掌握最大切应力的计算及切应力的分布规律, 并熟记四种常见截面最大切应力和平均切应力比值,