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3 内容提要 本书为高等教育土建类专业规划教材 应用技术型之一, 全书共 12 章, 内容包括 : 绪论, 轴向拉伸和压缩, 扭转, 梁的内力, 平面图形的几何性质, 梁的应力, 梁的变形, 应力状态分析, 强度理论, 组合变形, 压杆稳定, 能量计算方法 各章均配有适量的思考题 习题及参考答案 书末有附录, 包括附录 A 简单荷载作用下梁的转角和挠度, 附录 B 型钢表 本书可作为高等工科院校土建 水利及机械类各专业的材料力学教材, 也可供其他专业及有关工程技术人员参考 图书在版编目 (CIP) 数据材料力学 / 黄超, 余茜, 肖明葵主编. 重庆 : 重庆大学出版社, 高等教育土建类专业规划教材 应用技术型 ISBN Ⅰ.1 材 Ⅱ.1 黄 2 余 3 肖 Ⅲ.1 材料力学 高等学校 教材 Ⅳ.1TB301 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2016) 第 号 高等教育土建类专业规划教材 应用技术型 材料力学 主 编 黄 超 余 茜 肖明葵 主 审 张祥东 责任编辑 : 王 婷 版式设计 : 王 婷 责任校对 : 关德强 责任印制 : 赵 晟 重庆大学出版社出版发行 出版人 : 易树平 社址 : 重庆市沙坪坝区大学城西路 21 号 邮编 : 电话 :(023) ( 中小学 ) 传真 :(023) 网址 :http: / / 邮箱 :fxk@ cqup.com.cn ( 营销中心 ) 全国新华书店经销 自贡兴华印务有限公司印刷 开本 :787mm 1092mm 1 / 16 印张 :20.25 字数 :480 千 2016 年 5 月第 1 版 2016 年 5 月第 1 次印刷 印数 : ISBN 定价 :39.00 元 本书如有印刷 装订等质量问题, 本社负责调换 版权所有, 请勿擅自翻印和用本书 制作各类出版物及配套用书, 违者必究

4 目 录 1 绪论 材料力学的任务 变形固体的假设 外力 内力及截面法 构件的分类杆件变形的基本形式 6 2 轴向拉伸和压缩 概述 轴力轴力图 拉 ( 压 ) 杆截面上的应力 拉 ( 压 ) 杆的变形胡克定律泊松比 材料在拉伸与压缩时的力学性质 拉 ( 压 ) 杆的强度计算 拉 ( 压 ) 杆超静定问题 连接件的实用计算 33 思考题 39 习题 41 3 扭转 扭转变形的概念及实例 外力偶矩的计算扭矩与扭矩图 55 1

5 材料力学 3.3 薄壁圆筒的扭转切应力互等定理和剪切胡克定律 实心圆截面杆件扭转时横截面上的切应力 空心圆截面杆件扭转时横截面上的切应力 圆截面杆扭转时的强度条件 圆截面杆扭转变形刚度条件 扭转超静定问题 矩形截面杆在自由扭转时的应力和变形 71 思考题 75 习题 77 4 梁的内力 概述 梁的内力 剪力和弯矩 梁的剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 弯矩 剪力与荷载集度之间的微分关系和积分关系 95 思考题 101 习 题 平面图形的几何性质 形心和静矩 惯性矩和惯性积 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴 回转半径 120 思考题 121 习 题 梁的应力 概述 梁的正应力 梁的切应力 梁的强度计算 提高梁弯曲强度的主要措施 弯心的概念 147 思考题 149 习 题 150 2

6 目录 7 梁的变形 概述 梁的挠曲线近似微分方程 用积分法求梁的变形 用叠加法求梁的变形 梁的刚度计算 用力法解简单超静定梁 172 思考题 173 习 题 应力状态分析 应力状态的概念 平面应力状态的解析法分析 平面应力状态的图解法分析 空间应力状态分析简介 广义胡克定律 复杂应力状态的应变能密度 梁的主应力及主应力迹线的概念 206 思考题 208 习题 章强度理论 概述 常用的强度理论 莫尔强度理论 221 思考题 224 习题 组合变形 概述 斜弯曲 轴向拉伸 ( 压缩 ) 与弯曲的组合变形 偏心拉伸 ( 压缩 ) 与截面核心 弯曲与扭转的组合变形 240 思考题 242 习题 243 3

7 材料力学 11 压杆稳定 压杆稳定的概念 两端铰支理想细长压杆的临界轴力 不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉公式 欧拉公式适用范围临界应力总图 压杆的稳定计算 提高压杆稳定性的措施 269 思考题 270 习题 能量方法 概述 杆件的应变能计算 卡氏定理 功的互等定理和位移互等定理 292 思考题 294 习题 295 附录 302 附录 A 简单荷载作用下梁的转角和挠度 302 附录 B 型钢表 305 参考文献 315 4

8 1 绪论 1.1 材料力学的任务 力学是研究力对物体作用效应的学科 在自然中, 一切固体在力的作用下都会发生变形, 甚至破坏 材料力学是一门专业基础课, 主要研究力对固体的变形 破坏的效应, 它为许多工科学科和专业奠定固体力学知识基础 通过材料力学课程的学习, 一方面为后续课程的学习打下基础 ; 另一方面让学生逐步学会用力学的观点 原理 方法去观察 分析生活中和工程中的力学现象或力学问题, 为最终解决工程实际中的力学问题打下基础 任何结构物和机械都是由一些部件或零件所组成的, 这些部件和零件统称为构件 (mem ber) 组成结构物或机械的各个构件通常都要受到各种外力的作用, 工程构件在外力作用下丧失正常功能的现象称为失效 (failure) 或破坏 工程构件的失效形式主要分为三类 : 强度失效 (failure by lost strength) 刚度失效(failure by lost rigidity) 和稳定失效 (failure by lost stability) 要使结构或机械正常工作, 组成结构或机械的每一构件, 必须满足以下 3 方面的要求 : (1) 强度要求强度 (strength) 是指材料或构件抵抗破坏的能力, 即要求构件在规定荷载作用下不应发生破坏, 如提升重物的钢绳不应被重物拉断 再如, 机床主轴受外力后若出现了过大的永久变形, 即使轴没有断裂, 机床也不能正常工作 因此这里所指的破坏, 不仅指外力作用后构件的断裂, 还指构件产生过大的永久变形 (2) 刚度要求刚度 (rigidity) 是指材料或构件抵抗变形的能力 在荷载作用下, 构件即使有足够的强 1

9 材料力学 度, 但若变形太大, 仍不能正常工作 例如, 楼板梁在荷载作用下产生过大变形时, 下层屋顶的抹灰层就会开裂 脱落 ; 齿轮轴的变形过大, 将造成齿轮与轴承的不均匀磨损, 产生噪声等 可见, 在一定外力作用下, 构件的变形应在工程上允许的范围内, 也就是要求构件有足够的刚度 (3) 稳定性要求稳定性 (stability) 是指构件保持原有平衡形态的能力 受压的细长直杆, 当压力增大到某一数值后会突然变弯, 失去原有的直线平衡形态, 这种现象称为失稳 如果静定桁架中的受压杆件发生失稳, 桁架就变成几何可变的机构而倒塌 构件失稳往往会造成灾难性的事故, 工程上要求构件在规定的荷载作用下决不发生失稳现象, 即要求构件具有足够的稳定性 一般来说, 工程上的构件都应具有足够的强度 刚度和稳定性, 但对具体构件又往往有所侧重 例如, 储气罐主要是保证强度, 车床主轴主要是要具备一定的刚度, 而受压的细长杆则应保证稳定性 此外, 对某些特殊构件还可能有相反的要求, 例如要求跳水运动中使用的跳板有较大的弹性变形能力 设计构件时, 不仅要满足上述强度 刚度和稳定性这 3 方面的要求, 以达到安全的目的 ; 还应尽可能合理地选用材料和降低材料的消耗量, 以节约资源或减轻构件的自重 前者往往要求多用材料, 而后者则要求少用材料, 两者之间存在着矛盾 材料力学的任务就是合理地解决这种矛盾, 即研究工程构件在外力作用时的变形和破坏规律, 为设计工程构件的形状 尺寸和选用合适的材料提供计算依据, 力求使设计出的构件既安全又经济 构件的强度 刚度和稳定性均与所用材料的力学性能有关, 这些力学性能都需要通过实验测定 因此, 实验研究和理论分析同样都是完成材料力学任务所必需的重要手段 1.2 变形固体的假设 构件一般由固体材料制成, 不能将制成构件的材料看成不能变形也不产生破坏的刚体, 必须如实地把制成构件的材料看成是可变形固体 固体有多方面的属性, 研究的角度不同, 侧重面也不一样 为了研究方便, 必须忽略与所研究问题无关的或次要的属性, 因此, 有必要对变形固体作某些假设 材料力学对变形固体作了三个基本假设 : 1 连续性假设 认为组成物体的物质不留空隙地充满了固体的体积 这样, 在外力作用下, 物体内的物理量 ( 例如应力 应变 位移等 ), 才可能是连续的, 因而才可能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律 实际上, 一切物体都是由微粒组成的, 严格来说, 都不符合上述假定 但是, 只要微粒的尺寸以及相邻微粒之间的距离都比物体的尺寸小得多, 那么关于变形固体连续性的假设就不会引起显著的误差 2 均匀性假设 认为变形固体在其整个体积内充满着同种材料, 即认为各点处的力学性能完全相同 这样, 如果从固体中取出一部分, 不论大小, 也不论从何处取出, 力学性能总是相同的 就工程中使用最多的金属材料来说, 组成金属的各晶粒的力学性能并不完全相同 但因构件或构件的任一部分中都包含了为数极多的晶粒, 而且呈无规则排列, 固体的力学性能是各晶粒的力学性能的统计平均值, 所以可以认为各部分的力学性能是均匀的 2

10 1 绪论 3 各向同性假设 认为变形固体材料在各个方向上的力学性能完全相同 实际上, 如前 所述的金属材料, 其单个晶粒呈结晶各向异性, 但当它们形成多晶聚集体的金属时, 呈随机取 向, 因而在宏观上表现为各向同性 如果材料在不同方向上具有不同的力学性能, 则称这类 材料为各向异性 (anisotropy) 材料, 木材 胶合板 复合材料等就属于这种类型 综上所述, 在材料力学的理论分析中, 以连续 均匀 各向同性的变形固体作为构件材料 的力学模型, 这种理想化了的力学模型代表了各种工程材料的基本属性, 从而使理论研究成 为可行 为了进一步简化, 在材料力学中对变形固体还作了一些工作假设, 例如 : 1 小变形假设 在实际工程中大多数构件在荷载作用下产生的变形与杆件的原始尺寸 相比是极其微小的 根据这个假设, 在研究杆件的平衡和运动时可以不考虑外力作用点在构 件变形后发生的微小的位置改变, 而按其变形前的原始尺寸进行计算 这样做不但引起的误 差很小, 而且使实际计算大为简化 例如, 如图 1.1 所示的结 构, 若杆 AB 和杆 AC 是刚体, 则杆 AB 和杆 AC 受的力为 F AB F AC F 2 cos α 若杆 AB 和杆 AC 是变形体, 因变形,A 点移到 A 点,α 角变为 α 角, 则有 F AB F AC F 2 cos α 上式中的 α 取决于 A 点位置, 而 A 的位置取决于杆 AB 和杆 AC 的变形量, 变形量又决定于杆 AB 和杆 AC 受到的力 图 1.1 F AB 和 F AC 的大小, 这就成为一个复杂的非线性问题了 由于在小变形前提下, 位移 AA 很小,α α, 所以 F AB 可用 F AB 代替, 问题得以简化, 且误差很小 2 线弹性假设 工程上所用的材料, 当荷载不超过一定的范围时, 材料在卸去荷载后可 以恢复原状 但当荷载过大时, 则在荷载卸去后只能部分地复原, 而残留一部分不能消失的 变形 在卸去荷载后能完全消失的那一部分变形称为弹性变形 ( elastic deformation), 不能消 失而残留下来的那一部分变形则称为塑性变形 ( ductile deformation ) 线弹性 ( linear elasticity) 是指作用于物体上的外力与弹性变形始终成正比 许多构件在正常工作条件下其 材料均处于线弹性变形状态 所以, 材料力学中所研究的大部分问题都是局限在线弹性范 围内 综上所述, 在材料力学中是把材料看成连续 均匀 各向同性的可变形固体, 且在多数情 况下局限在线弹性变形范围内和小变形条件下进行研究的 1.3 外力 内力及截面法 外力 在研究某一构件时, 可以设想把这一构件从周围物体中单独取出, 并用力来代替周围各 3

11 材料力学 物体对构件的作用 这些力称为外力, 按外力的作用方式可分为体积力和表面力 体积力是分布在物体体积内的力, 例如重力和惯性力等, 通常用体荷载集度来度量其大小, 其量纲为 [ 力 ] / [ 长度 ] 3 表面力是直接作用于构件表面的力 表面力又可分为分布力和集中力 连续作用于构件表面面积上的力为分布力, 如流体压力, 楼面的使用活荷载等, 通常用面荷载集度来度量其大小, 其量纲为 [ 力 ] / [ 长度 ] 2 有些分布力是沿杆件的轴线作用的, 如楼板对相应梁的作用力, 这类分布力常用线荷载集度 q 来度量其大小, 其量纲为 [ 力 ] / [ 长度 ] 有些分布力的作用面积远小于物体的表面尺寸, 如火车车轮对钢轨的压力, 这些分布力就可看成集中力 内力截面法在外力作用下, 构件内部各质点间产生相对位移 ( 即构件发生变形 ), 从而各质点间的相互作用力也发生了改变 这种因外力作用而引起的上述相互作用力的改变量, 称为内力 (in ternal force), 它实际上是外力引起的 附加内力 因此, 也可以称内力为构件内部阻止变形发展的抗力 弹性构件在外力作用下若保持平衡, 则从其上截取的任意部分也必然保持平衡 前者称为整体平衡 (overall equilibrium); 后者称为局部平衡 ( local equilibrium) 局部可以是用一截面将构件截成的两部分中的任一部分, 也可以是从中截出的任意部分, 甚至还可以是围绕某一点截取的微元或微元的局部等 这种整体平衡与局部平衡的关系, 称为弹性体平衡原理 ( equilibrium principle for elastic body) 在研究构件的强度 刚度等问题时, 均与内力这个因素有关, 经常需要知道构件在已知外力作用下某一截面 ( 如杆件的横截面 ) 上的内力值 任一截面上内力值的确定, 通常是采用下述的截面法 (method of section) 如图 1.2(a) 所示, 受力体代表任一受力构件 为了显示和计算某一截面上的内力, 可在该截面处用一假想的平面将构件截成两部分并弃掉一部分 用内力代替弃掉部分对留下部分的作用 根据连续 均匀性假设, 内力在截面上也是连续分布的, 称为分布内力 通常是将截面上的分布内力向截面形心处简化, 得到主矢和主矩, 然后向截面法向和切向进行分解, 得到 6 个内力分量 F Nx F Sy F Sz 与 M x M y M z ( 见图 1.2(b)) 根据弹性体的平衡原理, 留下部分 图 1.2 4

12 1 绪论 保持平衡 由空间力系的平衡方程 : ìï F x 0 ìï M x (F) 0 ï ï í F y 0, í M y (F) 0 ï ï ï î F z 0 ï î M z (F) 0 便可求出 F Nx F Sy F Sz 与 M x M y M z 各内力分量 应该注意, 若无特别声明, 今后所谈内力分量都是分布内力向截面形心简化的结果 综上所述, 用截面法求内力的步骤是 : 1 截开 在需求内力的截面处, 用假想的截面将构件截为两部分 2 分离 留下一部分为分离体, 弃去另一部分 3 代替 以内力代替弃去部分对留下部分的作用, 绘制分离体受力图 ( 包括作用于分离体上的荷载 约束反力 待求内力 ) 4 平衡 由平衡方程来确定内力值 在第 2 步进行弃留时, 保留哪一部分都可以 因为截面上的内力就是物体被该截面所分离而成的两部分之间的相互作用力 这里需指明一点 : 在研究内力与变形时, 对刚体的等效力系 (equivalent force system) 的应用应该慎重, 不能机械地不加分析地任意应用 一个力 ( 或力系 ) 用别的等效力系来代替, 虽然对整体平衡没有影响, 但对构件的内力与变形来说, 则有很大差别 例如图 1.3(a) 所示的悬臂构件中的外力 F, 用图 1.3(b) 所示的等效力系代替时, 杆件变形显然不同 图 杆件横截面上内力的分类在如图 1.2(b) 所示的 6 种内力分量中, 对杆件来说, 横截面上不同的内力使杆件产生不同的变形 通常将它们分为以下 4 类 : 轴向内力 F N (normal force) 通过横截面形心, 且与横截面正交的内力, 简称轴力 轴向内力使杆件产生轴向变形 (axial deformation) 剪力 F Sy,F Sz ( shear force) 与横截面相切的内力 剪力使杆件产生剪切变形 ( shear deformation) 扭矩 M T (torsional moment) 力偶矩矢垂直于横截面, 与杆轴重合 扭矩使杆件产生扭转变形 (torsional deformation) 弯矩 M y,m z (bending moment) 力偶矩矢与截面相切, 与杆轴正交 弯矩使杆件产生弯曲变形 (bending deformation) 截面上的内力并不一定都同时存在上述 6 个分量, 可能只存在其中的一个或几个 5

13 材料力学 1.4 构件的分类杆件变形的基本形式 构件的几何形状是多种多样的, 但根据其几何特征, 可把构件分为杆件 (bar) 板(plane) 与壳 (shells) 块体(body) 三类 所谓杆件, 是指纵向尺寸远远大于横向尺寸的构件, 如图 1.4 所示 板和壳是指一个方向的尺寸 ( 厚度 ) 远远小于其他两个方向尺寸的构件 板的形状扁平而无曲度, 而壳体则呈曲面形状 块体则是指三个相互垂直方向的尺寸均属同一量级的构件 杆件是材料力学的主要研究对象 图 1.4 杆件的形状可由横截面 (normal cross section) 和轴线 (axis of the bar) 两个几何特征来描述 所谓横截面, 就是垂直于杆件长度方向的截面 ; 而轴线则是各个横截面形心的连线 因此, 轴线垂直于横截面且通过横截面的形心 杆件的轴线是直线的称为直杆 (straight bar), 轴线是曲线的称为曲杆 (curved bar) 沿轴线各处横截面的形状和大小完全相同的杆称为等截面杆 (prismatic bar), 否则就是变截面杆 (variable cross section bar) 本书将着重讨论等截面直杆 在不同形式的外力作用下, 杆件产生的变形形式也各不相同, 但杆件变形的基本形式总不外乎下列几类 : 1 轴向拉伸 (axial tension) 或轴向压缩 (axial compression) 即在一对大小相等 方向相反 作用线与杆轴线重合的外力作用下, 杆的两相邻横截面沿杆轴线切向产生相对移动, 而杆件的长度发生改变 ( 伸长或缩短 ), 如图 1.5(a) 和 (b) 所示 2 剪切 (shear) 即在一对大小相等 相距很近 方向相反的横向外力作用下, 杆的两力作用线之间的横截面沿力的方向发生相对错动, 如图 1.5(c) 所示 3 扭转 (torsion) 即在一对大小相等 转向相反 位于垂直于轴线的两平面的力偶作用下, 杆的两相邻横截面绕杆的轴线产生相对转动, 如图 1.5(d) 所示 4 弯曲 (bending) 即在一对大小相等 转向相反 位于杆的纵向平面内的力偶作用下, 杆的两相邻横截面绕垂直于杆轴线的直线产生相对转动, 截面间的夹角发生改变 如图 1.5(e) 所示 工程实际中的杆件可能同时承受不同形式的外力, 变形情况可能比较复杂, 但无论怎样复杂, 其变形均是由基本变形组成的 6

14 1 绪论 图 1.5 7

15 2 轴向拉伸和压缩 2.1 概述 轴向拉伸变形或轴向压缩变形, 简称拉伸或压缩, 是杆件基本变形形式之一 在工程实际中, 发生拉伸或压缩变形的构件是很常见的 例如, 如图 2.1(a) 所示屋架在屋面板传来的节点荷载作用下, 其上 下弦杆及腹杆均产生拉伸或压缩变形 ; 如图 2.1(b) 所示三角支架 ABC 的 AB 杆产生拉伸变形,BC 杆产生压缩变形 ; 如图 2.2 所示的桁架中各杆 内燃机的活塞连杆, 以及起重机用的钢索 千斤顶杆等, 都是产生拉伸或压缩变形的实例 图 2.1 8

16 2 轴向拉伸和压缩 图 2.2 上述杆件虽然形状 加力方式等各有不同, 但是它们具有共同的受力和变形特点 : 外力 ( 或外力的合力 ) 的作用线与直杆的轴线重合, 杆的两相邻横截面沿杆轴线方向产生相对移动, 而杆件的长度伸长或缩短, 同时横向尺寸相应的缩短或伸长 本章主要研究杆件拉伸或压缩时的内力 应力和变形, 通过试验分析由不同材料制成的杆件在产生拉伸或压缩变形时的力学性质, 建立杆件在拉伸或压缩时的强度条件 2.2 轴力轴力图 在对受力杆件作强度或刚度计算时, 都需首先求出杆件的内力 关于内力的概念及计算方法, 已在第 1 章中阐述 现以图 2.3(a) 所示拉杆为例, 来讨论拉伸 ( 压缩 ) 杆件横截面上的内力 运用截面法求横截面 m m 上的内力 : 1 截开 在 m m 截面处, 用假想的截面将杆件截为左 右两部分 2 分离 留下左段为分离体 3 代替 以内力代替右段对左段的作用, 绘制分离体受力图 ( 见图 2.3(b)) 由于杆件是平衡的, 因此截取的分离体也必然是平衡的, 则 m m 截面上内力的作用线必定与外力 F 的作用线重合, 即内力的作用线与轴线重合, 图 2.3 故称此内力为横截面上的轴力, 记为 F N 4 平衡 由平衡方程来确定轴力值 F x 0,F N F 若选取右段为分离体求轴力时, 结果是一样的 ( 见图 2.3(c)) 因此, 求轴力时可取受力简单的一段分离体来计算 为了研究方便, 工程上约定 : 轴力方向以使所作用的杆微段拉伸为正 ; 反之, 使所作用的杆微段压缩为负 如图 2.3(b) 和 (c) 所示为 F N 的正方向, 从图形上看, 正号轴力的指向是背离截面的, 负号轴力的指向则是指向截面的 9

17 材料力学 在一般情况下, 杆件各横截面上的轴力将发生变化 为了形象地表明各横截面的轴力沿杆长的变化情况, 通常将其绘成轴力图 表示轴力沿杆件横截面位置变化的图形, 称为轴力图 (diagram of normal force) 作法是 : 以平行于杆轴线的横坐标 ( 称为基线 ) 表示横截面的位置 ; 以垂直于杆轴线方向的纵坐标表示相应横截面上的轴力值, 绘制各横截面上的轴力变化曲线 正 负轴力各绘在基线的一侧, 对于水平杆件, 一般约定正的轴力绘在基线的上方, 负的轴力绘在基线的下方, 并标注 号, 各控制截面处 F N 及单位 例 2.1 一杆所受外力如图 2.4(a) 所示, 试绘制该杆的轴力图 解 杆件右端固定, 由平衡方程 F x 0, 有 2 kn - 3 kn + 4 kn - F A 0 得 F A 3 kn 可见, 杆件受到 4 个轴向力的作用, 不同杆段内横截面上的轴力不同, 故应分段求解, 分别设为 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 三段 (1) 在第 Ⅰ 段内任意横截面处截开, 取该截面以左的杆段为分离体, 如图 2.4(b) 所示, 以杆轴为 x 轴, 由平衡条件 F x 0,2 kn + F NⅠ 0 得 F NⅠ - 2 kn( 压 ) 轴力 F NⅠ 的负号表明该轴力的方向与所假设的方向相反, 即实际轴力为压力 一般绘制分离体受力图时轴力均按拉力方向假设, 若求得的值为正 ( 负 ), 即表明该杆段受拉伸长 ( 受压缩短 ), 也符合该轴力的实际正负号 因此, 可不必在值后再注 ( 压 ) 或 ( 拉 ) 字 此外, 截面的内力与截面在该杆段内的位置无关, 该段内的轴力为常数 (2) 第 Ⅱ 段 : 取分离体如图 2.4(c) 所示, 由平衡条件图 2.4 F x 0,2 kn - 3 kn + F NⅡ 0 得 F NⅡ - 2 kn + 3 kn 1 kn (3) 第 Ⅲ 段 : 取分离体如图 2.4(d) 所示, 由平衡条件 F x 0,2 kn - 3 kn + 4 kn + F NⅢ 0 得 - 2 kn + 3 kn - 4 kn - 3 kn F NⅢ 由图 2.4(d) 可见, 在求第 Ⅲ 段杆的轴力时, 若取左段为分离体, 其上的作用力较多, 计算 10

18 2 轴向拉伸和压缩 较繁, 而取右段为分离体时, 如图 2.4(e) 所示, 则受力情况简单, 即 F NⅢ - 3 kn 当全杆的轴力都求出后, 即可根据各截面上 F N 的大小及正负号绘出轴力图, 如图 2.4(f) 所示 由上例分析可知, 轴向拉伸 ( 压缩 ) 杆件任一横截面的轴力, 等于该横截面任意一侧杆段上所有外力在轴线方向上投影的代数和 利用这一结论, 不必绘出分离体的受力图即可直接求出任一截面的轴力, 因而称为直接法 2.3 拉 ( 压 ) 杆截面上的应力 内力是由 外力 引起的, 仅表示某截面上分布内力向截面形心简化的结果, 而内力并不 足以判断杆件是否具有足够的强度 例如, 用同一材料制成粗细不同的两根杆, 在相同的拉 力作用下, 两杆的轴力相同, 但当拉力逐渐增大时, 细杆必定先被拉断 可见, 构件的变形和 强度不仅取决于内力, 还取决于构件截面的形状和大小以及内力在截面上的分布情况 为 此, 需引入应力 (stress) 的概念 应力的概念 所谓应力, 是指截面上某点处单位面积内的分布内力, 即内力集度 如图 2.5(a) 所示, 若考察受力杆 m m 截面上 M 点处的应力, 则围绕 M 点在该面上取一 微小的面积 ΔA, 设 ΔA 面积上分布内力的合力为 ΔF 于是,ΔA 上内力的平均集度为 p m ΔF ΔA 图 2.5 p m 称为面积 ΔA 上的平均应力 一般而言,m m 截面上的分布内力并不是均匀的, 因此 平均应力 p m 的大小和方向将随着面积 ΔA 的大小的改变而改变, 面积 ΔA 越小, 平均应力 p m 的值越接近 M 点处的应力值 当 ΔA 趋于零时,p m 的极限值 ΔF p lim ΔA 0 ΔA (2.1) p 即为 M 点处的内力集度, 也称为 m m 截面上 M 点处的总应力 由于 ΔF 是矢量, 因 11

19 材料力学 此总应力 p 也是矢量, 其方向是当 ΔA 0 时, 内力 ΔF 的极限方向 一般而言, 一点的总应力 p 既不与截面垂直, 也不与截面相切 习惯上将 p 分解为一个与截面垂直的法向分量和一个 与截面相切的切向分量 ( 见图 2.5(b)) 法向分量称为正应力 ( normal stress), 用 σ 表示 ; 切 向分量称为切应力 (shear stress), 用表示 应力的正 负号约定 : 正应力 σ 以拉应力为正, 压应力为负 ; 切应力以使所作用的微段绕 其内部任意点有顺时针方向转动趋势者为正, 反之为负 应力的量纲是 [ 力 ] / [ 长度 ] 2, 国际标准单位是 Pa( 帕斯卡 ),1 Pa 1 N / m 2 常用单位还 有 kpa( 千帕 ) MPa( 兆帕 ) GPa( 吉帕 ), 工程上常用 MPa 或 GPa(1 MPa 10 6 Pa 1 N / mm 2, 1 GPa 10 3 MPa 10 6 kpa 10 9 Pa) 拉 ( 压 ) 杆横截面上的应力 拉 ( 压 ) 杆横截面上的内力是轴力, 其方向垂直于横截面, 因此, 与轴力相对应的只可能是 垂直于截面的正应力, 即拉 ( 压 ) 杆横截面上只有正应力, 没有切应力 应力是内力的集度, 内力或应力均产生在杆 件内部, 是看不到的 而应力与变形有关, 所以 研究应力还得从观察变形出发 如图 2.6 所示, 取一等直杆, 先在杆侧面画垂直于杆轴线的周线 ab 和 cd, 然后施加轴向拉力 F, 使杆件发生拉伸 变形 可观察到 : 杆件被拉长, 周线 ab 和 cd 分别 平移到了 a b 和 c d 的位置, 但仍保持为垂直于 轴线的直线 实际上沿各横截面所画周线都发 生平移, 且保持平行 根据观察到的杆件表面现 象, 由表及里推断横截面的变形与表面的横向周 图 2.6 线变形相同, 即可提出关于内部变形的假设 : 变形前为平面的横截面, 变形后仍保持为平面, 这称为轴向拉压变形时的平面假设 (plane assumption) 假想杆件是由若干与轴线平行的纵 向纤维组成的, 根据平面假设, 任意两个横截面之间所有纵向纤维的伸长均相同 ; 又因为材料 是均匀的, 各纤维的性质相同, 因此其受力也一样, 即轴力在横截面上是均匀分布的 由于轴 力 F N 只引起正应力 σ, 可得 σ F N A (2.2) 式 (2.2) 即为轴向拉 ( 压 ) 杆件横截面上各点正应力 σ 的计算公式,F N 为轴力,A 为横截 面的面积 应当指出 : 1 平面假设仅在轴向拉 压的均质等直杆距外力作用点稍远处才成立 2 对于楔形板等变截面杆件, 在轴向外力作用下, 横截面上既有正应力, 又有切应力 当 截面尺寸沿杆轴向缓慢变化时, 仍可用式 (2.2) 计算正应力 3 杆端集中力作用点附近区域内的应力分布比较复杂, 并非均匀分布, 式 (2.2) 只能计算 该区域内横截面上的平均应力, 而不是应力的真实情况 实际上, 外荷载作用方式有各种可 12

20 能, 引起的变形规律比较复杂, 从而应力分布规律及其计算公式亦较复杂, 其研究已经超出材 料力学范围 研究表明, 弹性杆件横截面上的应力分布规律在距外荷载作用区域一定距离 后, 不因外荷载作用方式而改变 这一结论称为圣维南原理 ( St. Venant principal) 今后假 定, 在未要求精确计算杆上外力作用点附近截面内的应力时, 轴向拉 ( 压 ) 杆在全长范围内, 式 (2.2) 均适用 例 2.2 如图 2.7(a) 所示, 一截面为正 方形的柱子分上 下两段, 已知其受力情况 各段长度及横截面尺寸, 当 F 60 kn 时, 试 求荷载引起的最大应力 解 (1) 绘制柱子的轴力图 运用截 面法, 绘制柱子的轴力图如图 2.7(b) 所示 (2) 确定柱子的最大应力 对于变截面 杆, 分别计算上 下两段任一横截面任一点 上的正应力 σ AB σ BC F N AB N MPa 2 A AB mm F N BC A BC N MPa mm 图 2.7 由此可见, 柱子的最大工作应力在柱子的下段, 其值为 1.31 MPa, 是压应力 例 2.3 如图 2.8(a) 所示, 杆 AB 上端固定 下端自由, 长为 l, 横截面面积为 A, 材料密度 为 ρ, 试分析该杆由自重引起的轴力及横截面上的应力沿杆长的分布规律 2 轴向拉伸和压缩 图 2.8 解 由截面法可知, 在距下端为 x 截面上的轴力为 F N (x) ρgax 这表明该杆不同横截面处的轴力 F N 是不相同的,F N 是截面位置 x 的连续函数,F N 的表 达式 F N F N (x) 称为轴力方程 (Axial force equation) 该轴力方程表明,F N 是关于截面位置 x 的一次函数, 由此只用计算出两个端截面的轴力值就能画出轴力图 x 0 时,F N (0) F NA 0 x l 时,F N (l) F NB F Nmax ρgal} 13

21 材料力学 F N 沿杆长的分布规律如图 2.8(c) 所示 再由式 (2.2) 可得 σ(x) F N(x) A ρgx 可见横截面上的正应力沿杆长呈线性分布 x 0 时,σ(0) σ A 0 x l 时,σ(l) σ B σ max ρgl} σ 沿杆长的分布规律如图 2.8(d) 所示 拉 ( 压 ) 杆斜截面上的应力 在 2.5 节拉伸与压缩试验中我们会看到, 铸铁试件压缩时, 其断面并非横截面, 而是斜截 面 这说明仅计算拉压杆横截面上的应力是不够的, 为了全面分析解决杆件的强度问题, 还 需研究斜截面上的应力 图 2.9(a) 所示为一等直杆, 其横截面面积为 A, 下面来研究与横截面成 α 角的斜截面 m m 上的应力 此处 α 角以从横截面外法线到斜截 面外法线逆时针向转动为正 假想沿 m m 截面 处将杆截成两段, 研究左边部分 ( 见图 2.9(b)), 可得 m m 截面上的内力为 F N F 与横截面上正应力分布规律的研究方法相 似, 同样可以得出斜截面上的总应力 p α 也是均匀 分布的, 故有 p α F N A α 式中,A α 为斜截面 m m 的面积, 因为 A α A / cos α, 所以有 图 2.9 p α F cos α σ cos α (2.3) A 式中,σ F / A, 为杆件横截面上的正应力 将总应力 p α 分解为两个分量 :m m 截面法线方向的正应力 σ α 和切线方向的切应力 α ( 见图 2.9(c)), 并利用式 (2.3) 可得 σ α p α cos α σ cos 2 α σ (1 + ü cos 2α) ï 2 ï p α α sin α σ sin α cos α σ ý (2.4) sin 2α ï 2 ï þ 由式 (2.4) 可知,σ α 和都是 α 的函数, 随 α 角的变化而变化, 它们的极值及其所在截面 α 的方位如下 : 1 当 α 0 时, 横截面上 σ α 达到极值 σ; 当 α 90 时, 纵截面 σ α 达到极值零 在正应力 14

22 2 轴向拉伸和压缩 的极值面上切应力为零 2 绝对值最大的切应力发生在 α ±45 的斜截面上, max ±45 σ 2 且 ±45 斜截面上 的正应力 σ ±45 σ 应力集中的概念 图 2.10 图 2.11 由 节知, 对于等截面直杆在轴向拉伸或者压缩时, 除两端受力的局部区域外, 截面 上的应力是均匀分布的 但在实际工程中, 由于构造等的要求, 有些构件需要开孔或挖槽 ( 如 油孔 沟槽 轴肩或螺纹的部位 ), 其横截面上的正应力不再是均匀分布的 如图 2.10(a) 和图 2.11(a) 所示的板条, 中部有一小圆孔 板条受拉时, 由试验或弹性力学结果可绘出圆孔直径 所在横截面上的应力分布如图 2.10(b) 和图 2.11(b) 所示, 其特点是 : 在小孔附近的局部区域 内, 应力急剧增大, 但在稍远处, 应力迅速降低而趋于均匀 这种由于杆件形状或截面尺寸突 然改变而引起局部区域的应力急剧增大的现象称为应力集中 (stress concentration) 设产生应力集中现象的截面上最大应力为 σ max, 同一截面视作均匀分布按净面积 A 0 计 算的名义应力为 σ 0 ( 即 σ 0 F N / A 0 ), 则二者比值为 K t σ max σ 0 (2.5) K t 称为应力集中因数 (stress concentration factor), 它反映了应力集中的程度, 是一个大于 1 的因数 值得注意的是, 应力集中并不是由于洞口直径所在的横截面削弱使得该面上的应力有所 增加而引起的, 杆件外形的骤然变化, 是造成应力集中的主要原因 试验结果表明, 截面尺寸 改变得越急剧 角越尖, 应力集中的程度就越严重 因此, 零件上应尽可能地避免带尖角的孔 和槽, 在阶梯轴的轴肩处要用圆弧过渡, 而且应尽量使圆弧半径大一些 15

23 材料力学 2.4 拉 ( 压 ) 杆的变形胡克定律泊松比 工程构件受力后, 其几何形状和几何尺寸都要发生改变, 这种改变称为变形 (deformation) 当荷载不超过一定的范围时, 构件在卸去荷载后可以恢复原状 但当荷载过大时, 则在荷载卸去后只能部分地复原, 而残留一部分不能消失的变形 在卸去荷载后能完全消失的那一部分变形称为弹性变形 (elastic deformation), 不能消失而残留下来的那一部分变形称为塑性变形 (ductile deformation) 图 2.12 现以图 2.12 所示等截面杆为例, 来研究轴向拉 ( 压 ) 杆的变形 在轴向外力 F 的作用下, 杆件的轴向 横向的尺寸均会发生改变 设杆件变形前原长为 l, 横向尺寸为 d, 变形后长度为 l, 横向尺寸为 d, 称 为轴向变形, 称 Δl l - l (2.6) Δd d - d (2.7) 为横向变形 Δl,Δd 分别表示杆件轴向 横向的绝对变形量, 量纲均为 [ 长度 ] 由于绝对变 形量不能全面反映杆件的变形程度, 为解决此问题, 引入线应变 ( linear strain) 的概念 线应 变是指某点处沿某个方向单位长度的长度改变量, 用 ε 表示, 量纲为 1 对于如图 2.12 所示 杆件, 称 ε Δl l 为轴向线应变 (axial linear strain), 简称线应变 而称 ε d - d d (2.8) (2.9) 为横向线应变 (lateral linear strain) 如图 2.12 所示杆件, 拉伸时,Δl>0,Δd<0,ε>0,ε <0; 压 缩时,Δl<0,Δd>0,ε<0,ε >0 显然,ε 与 ε 是反号的, 而且根据试验表明 : 当拉 ( 压 ) 杆内的应 力不超过材料的比例极限时, 横向线应变 ε 与轴向线应变 ε 的比值为一常数, 即 ε - με (2.10) 式中,μ 称为泊松比 (Poisson ratio), 量纲为 1, 其值随材料而异, 可通过试验测定 必须指出, 式 (2.8) 计算出的 ε 是轴向纤维在全长 l 内的平均线应变, 当沿杆长度均匀变 形 ( 所有截面的正应力 σ 都相等 ) 时, 它也代表 l 长度范围内任一点处轴向方向的线应变 当 沿杆长度非均匀变形时 ( 如一等直杆在自重作用下的变形 ), 式 (2.8) 并不反映沿长度各点处 的轴向线应变 16

24 2 轴向拉伸和压缩 为研究轴向拉 ( 压 ) 杆沿轴线方向的线应变, 可沿 轴线方向在 x 截面处任取微段 Δx( 见图 2.13), 微段 Δu 变形后其长度的改变量为 Δu, 比值为微段 Δx 的平 Δx 均线应变 当 Δx 无限缩短而趋于零时, 其极限值 ε x Δu lim Δx 0 Δx du dx 称为 x 截面处沿轴线方向的线应变 (2.11) 图 2.13 拉 ( 压 ) 杆的变形与材料的性能有关, 只能通过试验来获得 试验表明, 在弹性变形范围 内, 杆件的变形 Δl 与轴力 F N 及杆长 l 成正比, 与横截面面积 A 成反比, 即 引入比例系数 E, 可将上式写成 Δl F Nl A Δl F Nl EA (2.12) 式 (2.12) 中的 E 为弹性模量 (modulus of elasticity), 表示材料抵抗弹性变形的能力, 是一个只 与材料有关的物理量, 其值可以通过试验测得, 量纲与应力量纲相同 弹性模量 E 和泊松比 μ 都是材料的弹性常数 表 2.1 给出了一些材料的 E 和 μ 的约值 表 2.1 几种常用材料的 E 和 μ 的约值 材料名称 E / GPa μ 低碳钢 196~ ~ 0.28 合金钢 186~ ~ 0.30 灰铸铁 78.5~ ~ 0.27 铜及其合金 72.6~ ~ 0.42 铝合金 式 (2.12) 表明, 轴向拉 ( 压 ) 杆件的变形 Δl 与 EA 成反比 EA 称为轴向拉 ( 压 ) 杆的抗拉 ( 压 ) 刚度 (axial rigidity), 表示杆件抵抗拉伸 ( 压缩 ) 的能力 对于长度相等且受力相同的杆件, 其抗拉 ( 压 ) 刚度越大则杆件的变形越小 将式 (2.2) 和式 (2.8) 代入式 (2.12), 可得 ε σ 或 σ Eε (2.13) E 式 (2.13) 表明, 在弹性变形范围内, 应力与应变成正比 式 (2.12) 和式 (2.13) 均称为胡克定律 (Hooke law) 它是由英国科学家 Hooke 于 1678 年率先提出的 在计算轴向拉 ( 压 ) 杆变形时需注意, 式 (2.12) 的适用条件是 : 线弹性条件下, 杆件在 l 长范围内 EA 和 F N 均为常数 即杆件的变形是均匀的, 沿杆长 ε 为常数 17

25 材料力学 若杆件的轴力 F N 或抗拉 ( 压 ) 刚度 EA 沿杆长分段为常数, 则 F Ni l i Δl (2.14) (EA) i i 式中,F Ni (EA) i 和 l i 分别为杆件第 i 段的轴力 抗拉 ( 压 ) 刚度和长度 若杆件的轴力或抗拉 ( 压 ) 刚度沿杆长为连续变化时, 则 F N (x) Δl l dx (2.15) EA(x) 例 2.4 如图 2.14(a) 所示为一变截面杆,AC 段截面面积 A mm 2,CE 段截面面积 A mm 2, 已知材料的弹性模量 E 200 GPa 试计算 :(1) 每段的轴向线变形 ;(2) 每段的线应变 ;(3) 全杆的总变形 图 2.14 解 (1) 内力分析 : 分三段, 绘出轴力图, 如图 2.14(b) 所示 F NAB -40 kn,f NBD 10 kn,f NDE -20 kn (2) 变形分析 : 由于 BD 段有变截面, 所以变形分析要分 4 段 根据式 (2.12), 有 Δl AB Δl BC F NABl AB EA 1 Δl DE F NDEl DE EA 2 (3) 应变分析 : 由式 (2.8) 有 N mm mm MPa 250 mm F NBCl BC N mm 0.4 mm EA MPa 250 mm Δl CD F NCDl CD N mm 0.25 mm EA MPa 200 mm ε AB ε BC N mm mm MPa 200 mm Δl AB l AB mm mm % Δl BC 0.4 mm l BC mm 0.02%

26 2 轴向拉伸和压缩 (4) 全杆的总变形计算 : ε CD Δl CD 0.25 mm l CD mm 0.025% ε DE Δl DE l DE mm mm % Δl AE Δl AB + Δl BC + Δl CD + Δl DE mm mm mm mm mm 例 2.5 试计算例 2.3 中的杆在自重作用 下其底部的位移 δ( 见图 2.15(a)) 已知密度 ρ 和长度 l, 抗拉 ( 压 ) 刚度 EA 常数 解 由截面法可计算出距底部为 x 截面 上的轴力 F N ( x) ρgax, 在 x 截面处取一个长 为 dx 的微段, 其受力情况如图 2.15( b) 所示, 微段自重 ρgadx 对微段变形的影响很小, 可以 略去不计, 而杆的 EA 为常数, 由式 (2.15) 可得 F N (x) Δl l EA dx l ρg ρgl2 xdx 0 E 2E 因为杆上端固定, 所以其底部的位移 δ 为 δ Δl ρgl2 2E ( ) 图 2.15 例 2.6 如图 2.16(a) 所示为一简单托架 AB 杆为圆钢, 横截面直径 d 20 mm BC 杆为 8 号槽钢 ( 见附录 B) 已知 F 60 kn,e 200 GPa, 求结点 B 的位移 图 2.16 解 三角形 ABC 3 边的长度比为 AB AC BC 3 4 5, 由此可得 BC 2 m (1) 各杆轴力计算 : 在小变形下, 计算各杆的轴力时可不考虑 ABC 的改变, 由结点 B 的平衡方程 F x 0,F N1 + F N üï ï F y 0,F + F N2 4 ý 5 0 ï þ 19

27 材料力学 解得各杆的轴力为 F N1 3 4 F 45 kn,f - 5 N2 F - 75 kn 4 (2) 各杆变形计算 :AB 杆截面面积 A m 2,BC 杆为 8 号槽钢, 由附录 B 型钢表 中查得截面面积 A m 2 由式 (2.12) 得各杆的变形为 BB 1 Δl 1 F N1l N 1.2 m EA Pa m ü -3 m ï 2 ï BB 2 Δl 2 F ý N2l N 2 m EA Pa m ï -3 m 2 ï þ (3) 结点 B 的位移计算 : 为计算 B 点的位移, 假想地将两杆在 B 点处拆开,AB 杆伸长变 形后变为 AB 1,BC 杆压缩变形后变为 B 2 C 显然, 变形后两杆仍应铰接在一起, 即应满足变形 的几何相容条件 于是, 分别以 A 点和 C 点为圆心,AB 1 和 CB 2 为半径作圆弧, 其交点 B 即为 托架变形后 B 点的新位置 因为变形很小, 故可过 B 1 和 B 2 分别作 AB 杆和 BC 杆的垂线以 代替圆弧, 两垂线交于 B 3 BB 3 即为所求的 B 点的位移 β 2, 则 将多边形 B 1 BB 2 B 3 按比例放大, 如图 2.16(b) 所示 设 ABC α, B 1 BB 3 β 1, B 2 BB 3 BB 3 Δl 1 cos β 1 Δl 2 cos β 2 α + β 1 + β 2 π β 2 π - (α + β 1 ) Δl 2 Δl 1 cos β 2 cos β 1 - cos(α + β 1) cos β 1 - cos α + sin α tan β 1 tan β 1 B 点的位移 BB 3 为 β Δl cos α Δl sin α BB 3 Δl 1 cos β m 2.5 材料在拉伸与压缩时的力学性质 材料的力学性质是指在外力作用下材料在变形和破坏过程中所表现出的性能, 如前面提到的弹性常数 E 和 μ, 以及胡克定律本身等都是材料所固有的力学性质 材料的力学性质是对构件进行强度 刚度和稳定性计算的基础, 一般由试验来测定 材料的力学性质除取决于材料本身的成分和组织结构外, 还与荷载作用状态 温度和加载 20

28 2 轴向拉伸和压缩 方式等因素有关 本节重点讨论在常温 静载条件下, 金属材料在拉伸或压缩时的力学性质 为使不同材料的试验结果能进行对比, 对于钢 铁和有色金属材料, 需将试验材料按 金属拉伸试验试样 的规定加工成标准试件, 如图 2.17 所示, 分为圆截面试件和矩形截面试件 在试件中部等直部分取长度为 l 0 的一段作为试验段,l 0 称为标距 为了使试验结果便于比较, 试件的尺寸有统一的规定 对于矩形截面试件, 记中部原始横截面面积为 A 0 l 0 与 A 0 的比值为 5.65 时称为短试件, 若为 11.3 时则称为长试件 对于圆截面试件, 设中部直径为 d 0, 则 l 0 5d 0 时称为 5 倍试件,l 0 10d 0 时称为 10 倍试件 金属材料的压缩试验, 试件一般制成短图 2.17 圆柱体 为了保证试验过程中试件不发生失稳, 圆柱的高度取为直径的 1 ~ 3 倍 工程上常用的材料品种很多, 下面以低碳钢和铸铁为主要代表, 介绍材料的力学性质 低碳钢在拉伸和压缩时的力学性质低碳钢是指含碳量在 0.3% 以下的碳素钢, 其力学性质具有代表性 将试件装入材料试验机的夹头中, 启动试验机开始缓慢匀速加载, 直至试件最后被拉断或压坏 加载过程中, 试件所受的轴向力 F 可由试验机直接读出, 而试件标距部分的变形量 Δl 可由变形仪读出 根据试验过程中测得的一系列数据, 可以绘出 F 与 Δl 之间的关系曲线, 称为荷载位移曲线 显然, 荷载位移曲线与试件的几何尺寸有关, 不能准确反映材料的力学性能, 为了消除影响, 用试件横截面上的正应力 ( 即 σ F / A 0 ) 作为纵坐标 ; 用试件轴向线应变 ε( 即 ε Δl / l 0 ) 作为横坐标 这样所得的拉伸试验曲线称为应力 应变曲线 ( σ ε 曲线,stress strain curve) 应力 应变曲线全面描述了材料从开始受力到最后破坏全过程中的力学性态, 从而可以确定不同材料发生失效时的应力值 ( 也称为强度指标 ), 以及表征材料塑性变形能力的塑性指标 1) 低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢拉伸时的荷载位移曲线 ( 也称为拉伸图 ) 和 σ ε 曲线如图 2.18 所示, 现讨论其力学性质 (1)σ ε 曲线的 4 个阶段 1 弹性阶段 σ ε 曲线的初始阶段 (OB 段 ), 试件的变形是弹性变形 当应力超过 B 点所对应的应力后, 试件将产生塑性变形 我们将 OB 段最高点所对应的应力 ( 即只产生弹性变形的最大应力 ) 称为弹性极限 (elastic limit), 用 σ e 表示 在弹性阶段中有很大一部分是直线 (OA 段 ), 表明 σ 与 ε 成正比, 胡克定律就是由此而来的 称直线 OA 段的最高点 A 点处的应力为比例极限 (proportional limit), 用 σ p 表示 可见, 只有当 σ σ p 时, 材料才服从胡克定律, 即 σ 与 ε 成正比 这时, 称材料是线弹性的 另根据胡克定律,σ Eε, 直线 OA 段的斜率即为弹性模量 E 的值, 由试验测得低碳钢的弹性模量为 21

29 材料力学 图 GPa 左右 弹性极限 σ e 和比例极限 σ p 的意义虽然不同, 但他们的数值非常接近, 因此在工程应用中对二者不作严格区分 对于低碳钢, 取 σ e σ p 200 MPa 2 屈服阶段 应力超过弹性极限后, 试件将同时产生弹性变形和塑性变形, 且应力在较小的范围内上下波动, 而应变急剧增加, 曲线呈大体水平但微有起落的锯齿状, 如图 2.18(b) 所示的 BC 段 这种应力基本保持不变 而应变却持续增长的现象称为屈服或流动 ( yield) 屈服阶段最低点所对应的应力称为屈服极限 (yield limit), 用 σ s 表示, 它是判别材料是否进入塑性状态的重要参数 低碳钢的 σ s 240 MPa 工程中还存在着没有明显屈服阶段的塑性材料, 如硬铝 青铜 高强钢等 国家标准规定, 试件卸载后有 0.2% 的塑性应变时的应力值作为名义屈服极限 ( offset yielding stress), 用 σ 0.2 表示 ( 见图 2.19) 确定 σ 0.2 的方法是 : 当卸载后杆件残留的塑性应变为 0.2% 时, 卸载点所对应的正应力值即为 σ 0.2 表面经抛光的试件在屈服阶段, 其表面会出现与轴线大致成 45 的倾斜条纹, 称为滑移线 这是由于拉伸时, 与轴线成 45 截面上有最大切应力作用, 使内部晶粒间相互滑移所留下的痕迹 材料进入屈服阶段后将产生显著的塑性变形, 这在工程构件中一般是不允许的, 因此, 屈服极限 σ s 是确定材料设计强度的主要依据 3 强化阶段 试件经过屈服后, 材料内部结构重新进行了调整, 又具有了抵抗新变形的能力,σ ε 曲线表现为一段上升的曲线 ( CD 段 ) 这种现象称为强化 ( hardening),cd 段即为强化阶段 强化阶图 2.19 段最高点 D 点所对应的应力, 称为强度极限 (strength limit), 用 σ b 表示, 其中, 抗拉强度极限记为 σ t b, 抗压强度极限记为 σ c b 强度极限是衡量塑性材料强度储备的一个重要指标 对于低碳钢,σ t b 400 MPa 强化阶段试件的变形主要是塑性变形, 其变形量远大于弹性阶段 在此阶段可以较明显地观察到整个试件横向尺寸的缩小 4 局部变形阶段 在 σ ε 曲线中的 D 点之前, 试件沿长度方向其变形基本上是均匀的, 但当超过 D 点之后, 试件的某一局部范围内变形急剧增加, 横截面面积显著减小, 形成如图 22

30 2 轴向拉伸和压缩 2 20 所示的 颈, 该现象称为颈缩 (necking) 由 于颈部横截面面积急剧减小, 增加的变形主要集 中在颈部, 试件颈部区域以外的部分变形不再增 加, 试件实际承受的拉力在下降, 因此, 按原始面 图 2.20 积算出的应力 ( 即 σ F / A, 称为名义应力 ) 也随之下降, 如图 2.18(b) 所示的 DG 段, 直到 G 点 试件断裂 其实, 此阶段的真实应力 ( 即颈部横截面上的应力 ) 随变形增加仍是增大的, 如图 2.18(b) 所示的虚线 DG 段 (2) 两个塑性指标 试件断裂后, 弹性变形全部消失, 而塑性变形保留下来, 工程中常用以下两个量作为衡量 材料塑性变形程度的指标 : δ 定义为 1 延伸率 (percentage elongation) 设试件断裂后标距长度为 l 1, 原始长度为 l 0, 则延伸率 δ l 1 - l 0 l 0 100% (2.16) 2 断面收缩率 (contraction percentage of area) 设试件标距范围内的横截面面积为 A 0, 断 裂后颈部的最小横截面面积为 A 1, 则断面收缩率定义为 ψ A 0 - A 1 A 0 100% (2.17) δ 和 ψ 越大, 说明材料的塑性变形能力越强 工程中将 10 倍试件的延伸率 δ 5% 的材料 称为塑性材料, 而把 δ<5% 的材料称为脆性材料 低碳钢的延伸率约为 20% ~ 30%, 是一种典 型的塑性材料 (3) 卸载定律及冷作硬化 当加载到任一点 ( 如图 2.21 所示的 m 点 ) 后, 缓慢卸载 试验表明,σ ε 曲线将沿直线 mn 到达 n 点, 且直线 mn 与初始加载时的直线 OA 平行 这说明在卸载过程中应力与应变也 保持为线性关系, 即 σ Eε (2.18) 图 2.21 图

31 材料力学 此即卸载定律 外力全部卸去后, 图 2.21 中 On 段表示 m 点时试件中的塑性应变, 而 nk 段表示消失的弹性应变 若加载到强化阶段某点 m, 卸载后立即再次加载,σ ε 曲线将沿直线 nm 发展, 到 m 点后大致沿曲线 mdg 变化, 直到试件破坏 因为 nm 段的 σ ε 都是线性关系, 故第 2 次加载时, 材料的比例极限提高到 m 点对应的应力, 但塑性变形和延伸率有所降低, 这种现象称为冷作硬化 (cold hardening) 若第 1 次卸载到 n 点后, 让试件 休息 一段时间后再加载, 重新加载时 σ ε 曲线将沿 nmm D G ( 见图 2.21) 发展, 材料会获得更高的比例极限和强度极限, 但是塑性能力进一步降低, 这种现象称为冷拉时效 (cold time effect) 钢筋经过冷拉处理, 可提高其抗拉强度, 但是冷拉降低了塑性性能且不能提高抗压强度 2) 低碳钢压缩时的力学性质低碳钢压缩时的 σ ε 曲线如图 2.22 所示的实线段 试验表明, 其弹性模量 E 屈服极限 σ s 与拉伸时基本相同, 但流幅较短 屈服结束以后, 试件抗压力不断提高, 既没有颈缩现象, 也测不到抗压强度极限, 最后被压成腰鼓形甚至饼状 铸铁在拉伸和压缩时的力学性质铸铁试件外形与低碳钢试件相同, 其 σ ε 曲线如图 2.23 所示 铸铁拉伸时的 σ ε 曲线没有明显的直线部分, 也没有明显的屈服和颈缩现象 工程中认为整个拉伸阶段都近似服从胡克定律, 约定取其弹性模量 E 为 150 ~ 180 GPa 试件的破坏形式是沿横截面拉断, 是内部分子间的内聚力抗抵不住拉应力所致 铸铁试件直至拉断时变形量很小, 拉伸时的延伸率 δ 为 0.4% ~ 0.5%, 是典型的脆性材料 抗拉强度极限 σ t b 为 150 MPa 左右 铸铁压缩破坏时, 其断面法线与轴线大致成图 ~ 55, 是斜截面上的切应力所致 铸铁抗压强度极限 σ c b 为 800 MPa 左右, 说明其抗压能力远远大于抗拉能力 低碳钢是典型的塑性材料, 铸铁是典型的脆性材料 塑性材料的延性较好, 对于冷压冷弯之类的冷加工性能比脆性材料好, 同时由塑性材料制成的构件在破坏前常有显著的塑性变形, 故承受动荷载能力较强 脆性材料如铸铁 混凝土 砖 石等, 延性较差, 但其抗压能力较强, 且价格低廉, 易于就地取材, 故常用于基础及机器设备的底座 值得注意的是, 材料是塑性的还是脆性的, 是随材料所处的温度 应变速率和应力状态等条件的变化而不同的 2.6 拉 ( 压 ) 杆的强度计算 材料力学的任务之一就是要研究杆件的强度, 前面我们学习了杆件在拉伸和压缩时的应 力计算, 以及材料的力学性能, 本节将在此基础上学习强度计算 24

32 2 轴向拉伸和压缩 许用应力 材料发生断裂或出现明显的塑性变形而丧失正常工作能力时的状态称为极限状态 (state of limit), 此时的应力称为极限应力 ( ultimate stress), 用 σ 0 表示 对于塑性材料制成的拉 ( 压 ) 杆, 当其达到屈服而发生显著的塑性变形时, 即丧失了正常的工作能力, 所以通常取屈服 极限 σ s 作为极限应力 ; 对于无明显屈服阶段的塑性材料, 则用名义屈服极限 σ 0.2 作为极限应 力 至于脆性材料, 由于在破坏前不会产生明显的塑性变形, 只有在断裂时才丧失正常工作 能力, 所以取强度极限 σ b 作为极限应力 由于极限应力 σ 0 是由试验测定的, 而构件工作状态 环境及复杂情况与试验有很大不 同, 为确保构件不致因强度不足而破坏, 必须考虑一定的安全储备 因此, 须将极限应力 σ 0 除以大于 1 的安全因数 n, 即 [σ] 称为材料的许用应力 (allowable stress) [σ] σ0 n 安全因数 n 的确定需考虑的基本因素有以下 3 个 : (2.19) 1 强度条件中, 有些量的本身就存在着主观认识与客观实际间的差异 例如, 对荷载的 估算 材料的均匀程度 计算理论及其公式的精确程度等, 实际工作时与理论设计计算时所处 的条件往往不完全一致, 而是偏于不安全的一面 2 考虑到构件的重要性以及当构件破坏时后果的严重性等, 需要以安全因数的形式给构 件必要的强度储备 3 以不同的强度指标作为极限应力, 所用的安全系数 n 也就不同 塑性材料 [σ] σ s n s 脆性材料 [σ] σ b n b 由于脆性材料的破坏以断裂为标志, 发生破坏的后果更严重, 且脆性材料的均匀性较差, 因此, 对脆性材料要多给一些强度储备, 故一般 n b >n s 强度计算 轴向拉 ( 压 ) 杆工作时, 正应力绝对值最大的横截面称为危险截面 为确保轴向拉 ( 压 ) 杆正常工作, 其危险截面上的工作应力不得超过材料的许用应力, 即 此即为轴向拉 ( 压 ) 杆的强度条件 根据强度条件, 可以解决以下 3 种强度计算问题 (1) 强度校核 σ max F N A max [σ] (2.20) 已知杆件几何尺寸 荷载以及材料的许用应力 [ σ], 由式 (2.20) 判断其强度是否满足要 求 一般若 σ max 超过 [σ] 在 5% 的范围内, 工程中仍认为满足强度要求 25

33 材料力学 (2) 截面设计 已知杆件材料的许用应力 [σ] 及荷载, 按强度条件选择杆件的横截面面积或尺寸 可将 式 (2.20) 改写为 A F N [σ] (2.21) (3) 确定许用荷载 已知杆件材料的许用应力 [σ] 及杆件的尺寸, 可由式 (2.20) 先求得杆件所能承受的最大 轴力 ( 或称许用轴力 ), 即 F N A[σ] (2.22) 再利用平衡条件, 确定杆件所能承受的最大荷载 ( 或称许用荷载 ) 例 2.7 如图 2.24(a) 所示的钢筋混凝土组合屋架, 受均布荷载 q 作用,q 10 kn / m 屋 架中的杆 AB 为圆截面钢拉杆, 长 l 8.4 m, 直径 d 22 mm, 屋架高 h 1.4 m, 其许用应力 [σ] 170 MPa, 试校核该拉杆的强度 可得 解 (1) 求支反力 由平衡方程, 可得 (2) 内力分析 F A F B ql 2 42 kn 取半跨屋架为研究对象, 受力分析, 如图 2.24(b) 所示 由平衡方程 (3) 强度校核 由强度条件, 即式 (2.20) 可得 M C (F) 0,F N h + ql 2 l 4 - F A F N 63 kn l 2 0 σ F N A 故该屋架的强度满足要求 N π mm MPa < [σ] 170 MPa 图

34 2 轴向拉伸和压缩 例 2.8 如图 2.25(a) 所示, 三角托架的结点 B 悬挂一重为 F 的重物, 杆 1 为钢杆, 横截面面积 A mm 2, 许用应力 [σ] MPa; 杆 2 为木杆, 横截面面积 A mm 2, 许用应力 [σ] 2 7 MPa (1) 当 F 10 kn 时, 试校核三角托架的强度 ;(2) 试求结构的许用荷载 [F];(3) 当外力 F [F] 时, 重新选择杆的截面 解 (1) 取结点 B 为分离体, 如图 2.25(b) 所示, 可得 F N1 2F 20 kn (a) 由强度条件, 即式 (2.20) 可得 F N2-3 F kn (b) σ 1 F N1 A N 600 mm MPa < [σ] MPa σ 2 F N2 A N mm MPa < [σ] 2 7 MPa 图 2.25 故该三角托架的强度满足要求 (2) 考察 1 杆, 其许用轴力 [F N1 ] 为 [F N1 ] A 1 [σ] mm MPa N 96 kn 当 1 杆的强度被充分发挥时, 即 F N1 [F N1 ], 由式 (a) 可得 [F] F N1 1 2 [F N1] 48 kn (c) 同理, 考察 2 杆, 其许用轴力 [F N2 ] 为 [F N2 ] A 2 [σ] mm 2 7 MPa N 70 kn 当 2 杆的强度被充分发挥时, 由式 (b) 可得 [F] F N2 1 3 [F N2] 40.4 kn (d) 由式 (c) 和式 (d), 可得托架的许用荷载为 [F] [F] kn (3) 外力 F [F] 时,2 杆的强度已经被充分发挥, 所以面积 A 2 不变 而 1 杆此时的轴力 F N1 <[F N1 ], 重新计算其截面, 由式 (2.21) 可得 A 1 F N1 [σ] 1 27

35 材料力学 而 F N1 2F 2[F], 所以 A 1 2[F] [σ] N 160 MPa 505 mm 拉 ( 压 ) 杆超静定问题 超静定问题的概念前面几节所研究的杆或杆系结构, 其支座反力和内力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来, 这类结构称为静定结构 (statically determinate structure) 例如, 图 2.26 中各结构皆为静定结构 在工程实际中, 有时为了提高强度或控制位移, 通常采取增加约束或增加杆件的方式, 使静定结构变成超静定结构, 也称静不定结构 ( statically indeterminate structure) 超静定结构的特点是 : 体系中独立未知力的数目大于独立静力平衡方程的数目, 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力 例如, 如图 2.27(a) 所示的杆系结构, 取结点 A 为分离体, 其独立静力平衡方程只有两个, 故不能求出 3 根杆的轴力, 即是超静定杆系结构 同理, 图 2.27(b) 和 (c) 中的结构也是超静定结构 图 2.26 图 2.27 在超静定结构中, 独立未知力超过独立静力平衡方程的数目称为超静定次数 (compatibility condition of deformation) 例如, 如图 2.27( a) 和 ( b) 所示结构的超静定次数为 1, 称为一次超静定结构, 而如图 2.27(c) 所示的梁为二次超静定梁 在超静定结构中, 若不考虑强度和刚度而仅针对维持结构的平衡 稳定而言, 有些约束或 28

36 2 轴向拉伸和压缩 联系是可以去掉的, 这些约束或联系称为多余约束 (redundant constrain) 超静定的次数与多 余约束的个数是相对应的 力法求解超静定结构的一般步骤 力法是以多余约束的约束反力为基本未知量来求解超静定结构的一种方法 下面以如图 2.28(a) 所示的超静定杆为例, 说明用力法求解超静定问题的方法和一般步 骤 设该杆抗拉 ( 压 ) 刚度为 EA, 已知 F,a,b,l, 求支反力和内力 (1) 判定超静定次数及多余约束 该杆为一次超静定杆件,A 端或者 B 端的 约束为多余约束 (2) 静力方面 选取 B 端约束为多余约束, 去掉该约束并 代之以多余支反力 F B, 如图 2.28(b) 所示, 称为 原超静定结构的基本体系 所谓基本体系, 是 指去掉原超静定结构的所有多余约束并代之以 相应的多余支反力而得到的静定结构 列出其 平衡方程为 定问题 F x 0,F - F A - F B 0 (a) 由于 F A 和 F B 是未知力, 所以是一次超静 (3) 几何方面 图 2.28 基本体系上多余约束处所施加的力 F B 和原结构中 B 支座的反力相同, 所以其变形应该 与原超静定杆的变形完全相同 而原结构中 A,B 端是固定的, 故可得几何关系 称为变形协调条件 (compatibility condition of deformation) (4) 物理方面 由胡克定律, 可得 (5) 补充方程 将式 (c) 代入式 (b), 可得 称为补充方程 (6) 求解 联立求解方程 (a) 和 (d), 可得 Δl Δl 1 + Δl 2 0 (b) Δl 1 F N1a EA F Aa EA,Δl F N2b 2 EA - F Bb EA F A a - F B b 0 (c) (d) 29

37 材料力学 故内力为 b F A a + b F b l F F B a a + b F a l F F N1 b l F,F - a N2 F l 由上例可知, 用力法求解超静定问题的一般步骤为 : 1 判定超静定次数及多余约束 2 选取基本体系, 列静力平衡方程 3 列出变形协调条件 4 物理方面, 将杆件的变形用力表示 5 将物理方程代入变形协调条件, 得到补充方程 6 联立平衡方程和补充方程, 求解未知量 用力法求解超静定问题的关键是找到正确的变形协调条件 一般来说, 可以将基本体系 与原超静定结构的变形进行比较, 从选取的多余约束处找到变形协调条件 需注意的是, 多 余约束的选择有时不是唯一的 如图 2.28(a) 所示的超静定杆也可以选取如图 2.28(c) 所示 的基本体系, 此时的多余支反力为 A 支座处的反力 例 2.9 如图 2.29(a) 所示,3 杆铰接于结点 A, 并在结点受力 F 作用, 设 1 杆和 2 杆的抗 拉刚度均为 E 1 A 1,3 杆的抗拉刚度为 E 3 A 3, 试求此 3 杆的内力 图 2.29 解 (1) 静力方面 取结点 A 为研究对象, 分析其受力如图 2.29( b) 所示, 列出平衡方程 F x 0, F N1 F N2 α} (a) F y 0, F F N3 + (F N1 + F N2 )cos (2) 几何方面 考虑对称性, 结点 A 将沿竖直方向移动到 A ( 见图 2.29(a)),AA 即为 3 杆的变形 同时, 左右两杆的变形相等, 下端也移动到 A, 在小变形条件下,1 杆的变形即为 AE 于是可得变形协调条件 30

38 2 轴向拉伸和压缩 (3) 物理方面 由胡克定律, 有 (4) 补充方程 式 (c) 代入式 (b), 得 Δl 1 Δl 3 cos α Δl 1 F N1 l E 1 A 1 cos α,δl F N3l 3 E 3 A 3 F N1 E 1 A 1 cos α F N3 E 3 A 3 cos α (5) 求解 联立求解方程 (a) 和方程 (d), 得 F N1 F N2 F 2 cos α + E 3A 3 E 1 A 1 sec 2 α,f N3 F E 1A 1 E 3 A 3 cos 3 α (b) (c) (d) 温度应力 实际工程中的构件常处于温度变化的环境下工作, 如果杆内温度变化是均匀的, 即同一 横截面上各点的温度变化相同, 则直杆将仅发生伸长或缩短变形 在静定结构中, 由于杆件 能自由变形, 由温度变化所引起的变形不会在杆中产生内力 但在超静定结构中, 由于存在 多余约束, 由温度变化所引起的杆件变形会受到限制, 从而将在杆中产生应力 这种应力称 为温度应力 ( 或热应力 thermal stress) 计算温度应力的关键同样是根据变形协调条件列出 补充方程 要注意的是, 杆的变形包括两部分 由温度变化所引起的变形, 以及温度变形 产生的杆件内力引起的弹性变形 如图 2.30(a) 所示左端固定的静定杆, 当温 度升高 Δt 时, 杆件的伸长量用 Δl t 表示 由物 理学可知 Δl t αl(δt) (2.23) 式中,α 为材料的线膨胀因数, 表示温度改变 1 时杆件单位长度的伸缩 此时杆件只有变 形, 无内力 若上述杆件的右端也是固定端, 如图 2.30(b) 所示, 杆件成为超静定结构, 此时, 温度 改变引起杆件的变形 Δl t 将受到限制, 此时杆件内部将产生内力, 从而有相应的变形 Δl F 由 于杆的两端固定, 所以杆的总变形为零, 变形协 调条件为 即 由此求出 Δl t + Δl F 0 αl(δt) + F Nl EA 0 图

39 材料力学 F B F N - EAα(Δt), σ F N A - Eα(Δt) 例 2.10 如图 2.31(a) 所示, 刚性横梁 ACB 受到 1 2 两根杆件的约束, 已知 1 杆为钢 杆, 横截面面积 A mm 2, 长度 l mm, 弹性模量 E GPa, 线膨胀因数 α ;2 杆为铜杆, 相应数据为 A mm 2,l mm,e GPa,α 如 1 2 两杆的温度升高 20, 试求两杆的轴力 解 这是一个一次超静定结构,1 2 两杆在温度升高时的伸长将受到刚性横梁的限 制, 从而在两杆内将产生轴力 F N1,F N2, 受力如图 2.31(b) 所示 假设 1 2 两杆的温度变形分 别为 Δl t1 和 Δl t2, 轴力 F N1 和 F N2 引起的弹性变形分别为 Δl F1 和 Δl F2, 则有 Δl t Δl t mm mm 200 mm mm F N1 300 mm Δl F MPa 100 mm F 2 N1 mm / N F N2 200 mm Δl F MPa 200 mm F 2 N2 mm / N 条件为 32 图 2.31 由于 ACB 为刚性横梁, 假设变形后的最终位置为如图 2.31( a) 所示的虚线, 则变形协调 可得补充方程为 Δl t1 - Δl F1 250 Δl F2 - Δl t mm F N1 mm / N F N2 mm / N mm 将作用于横梁上的力对 C 点取矩 ( 见图 2.31(b)), 得平衡方程为 250F N1-150F N2 0

40 2 轴向拉伸和压缩 联立求解以上两个方程, 可得 F N N kn, F N N kn 求得的 F N1 和 F N2 皆为正号, 说明假设的方向是正确的, 即两杆均受压 值得注意的是, 当温度改变量较大时, 在超静定结构中将会引起相当大的温度应力 因此, 在工程中往往需要采取适当的措施来避免或降低温度应力, 如在铁路钢轨接头处 混凝土路面各段之间, 以及房屋纵墙两段墙体之间, 通常均需预留伸缩缝 ; 桁架或桥梁的一端采用辊轴铰支座等 装配应力 杆件在制造过程中, 其尺寸有微小的误差往往是难以避免的 在静定结构中, 这种误差只是引起结构几何形状的极小改变, 不会引起附加内力 如图 2.32(a) 所示的两根长度相同的杆件组成的一个简单桁架, 若由于两根杆件制成后的实际长度 ( 图中虚线所示 ) 均比设计长度 ( 图中实线所示 ) 超出了 δ, 则装配好后, 只是两杆原应有的交点 A 下移了一个微小的距离 Δ 至 A 点, 两杆的夹角略有改变, 但杆内不会产生内力 可是对于超静定结构, 情况就有所不同 如图 2.32(b) 所示的超静定桁架, 若 3 杆的实际长度比设计长度 DA 短了 δ, 则在桁架装配好后, 各杆将处于如图 2.32(b) 所示的虚线位置, 这时各杆的长度均有所变化 (1 杆和 2 杆变短,3 杆变长 ), 因而在结构尚未承受外荷载时, 各杆就已经有了应力, 这种应力称为装配应力 ( 或初应力 assembled stress) 计算装配应力的关键仍然是根据变形协调条件列出补充方程 图 连接件的实用计算 实际工程中, 许多结构或结构部件是由若干构件组合而成的 连接的作用就是通过一定的方式将不同的构件组合成整体结构或结构部件, 以保证其共同工作 连接件 (connective el ement) 就是指起着上述连接作用的部件, 如螺栓 铆钉 销钉 键 焊缝 榫头等 ( 如图 2.33 所示 ) 连接件的破坏形式主要是剪切破坏和挤压破坏, 而且破坏情况都很复杂, 作严格的纯理论分析是很困难的 因此, 工程设计中大都采取实用计算方法 本节将以铆钉连接为例, 介 33

41 材料力学 绍连接件的实用计算方法 图 剪切的实用计算如图 2.34(a) 所示,A 板和 B 板以端头相搭, 并用铆钉 ( 或螺栓 ) 铆住的连接形式称为搭接 搭接中铆钉的受力分析如图 2.34(b) 所示 因为铆钉杆的长度一般不大, 可以认为铆钉杆的两侧分别受到大小相等 方向相反 作用线平行且相距很近的两组横向外力的作用 随着外力 F 的增大, 铆钉将沿着与外力作用线平行的 m m 截面发生相对错动, 如图 2.34(c) 所示 当外力 F 足够大时, 将可能沿 m m 截面剪断, 即铆钉将可能发生剪切破坏 m m 截面称为剪切面 (shear surface) 根据截面法, 取下半部分铆钉为分离体, 如图 2.34(d) 所示, 则剪切面 m m 上有内力 剪力 F S, 且 F S F 图 2.34 剪切面 m m 截面上的应力分布是很复杂的, 在实用计算中, 假设 m m 截面上只有切 应力而没有正应力, 且与剪力 F S 对应的切应力在剪切面 m m 上是均匀分布的, 如图 j 2.34(e) 所示, 即 j F S A j (2.24) 式中,F S 为剪切面上的剪力,A j 为剪切面的面积 以上述铆钉为例, 其剪切面上的切应力为 j 34

42 2 轴向拉伸和压缩 F πd 2 / 4,d 为铆钉杆直径 强度计算方法 : 由剪切破坏试验可以测出材料剪切破坏时的极限切应力 系数 n 得到许用切应力 [ j ], 则剪切的强度条件为 0 j, 再除以安全 j F S A j [ j ] (2.25) 需要注意的是, 如图 2.34(a) 所示搭接中, 铆钉杆只有一个剪切面 ( 称为单剪 ), 因为两个 外力作用线不在一直线上, 所以在连接处会产生弯曲变形, 在实用计算中忽略了剪切面上的 正应力 为了避免这一缺点, 可采用如图 2.37(a) 所示连接方式, 该连接方式称为对接 这时 每个铆钉有两个剪切面 ( 称为双剪 ) 挤压的实用计算 前述搭接中, A B 板在外力 F 作用下, 必然通过铆钉和两板相互接触面上的挤压 (bearing) 来实现力的传递 如果外力足够大, 铆钉 板上接触面邻近的材料将产生大量塑性 变形而使连接松动, 发生挤压破坏, 如图 2.35(a) 所示 A 板与铆钉之间接触并传递力的面是 半个圆柱面 ( 见图 ( b)), 称为挤压面 挤压面上所传递的压力称为挤压力 ( bearing froce), 用 F bs 表示 挤压面上所产生的应力称为挤压应力 (bearing stress), 用 σ bs 表示 图 2.35 挤压面上的应力分布也是很复杂的, 在实用计算中, 假设挤压应力 σ bs 在计算挤压面上是 均匀分布的, 即 式中,F bs 为挤压力,A bs 为计算挤压面的面积 σ bs F bs A bs (2.26) 当挤压面为平面时 ( 见图 2.33(d) 的榫头等 ), 计算挤压面面积 A bs 为实际接触面的面积 ; 当挤压面为曲面时, 如铆钉 螺栓等连接件的挤压面为半个圆柱面, 计算挤压面面积 A bs 用圆 柱面在直径平面上的投影面积 ( 见图 2.35(d) 的 abce 面 ) 来代替, 即 式中,t 为 A 板的厚度,d 为铆钉杆的直径 A bs d t (2.27) 理论分析表明, 这类圆柱状连接件与被连接件间接触面上的理论挤压应力分布如图 2.35 (b) 所示, 实用计算方法得出的挤压应力与接触面中点处的最大理论挤压应力值接近 强度计算方法 : 由试验可以测出材料挤压破坏时的极限挤压应力, 再除以安全系数, 得到 35

43 材料力学 许用挤压应力 [σ bs ], 则挤压的强度条件为 σ bs F bs A bs [σ bs ] (2.28) 需要注意的是, 连接件和被连接件之间的挤压是相互的, 其挤压应力相等 因此, 当二者 材料不同时, 只需校核二者之中许用挤压应力较小的一个即可 当一个连接是由两个或两个以上铆钉 ( 或螺栓等 ) 组成时, 为简化计算, 可作如下假设 : 当 外力的合力的作用线通过铆钉组横截面的形心, 且同一组内各铆钉的材料与直径均相同, 则 每个铆钉的受力相等 例 2.11 如图 2.36(a) 所示为冲床的冲头, 在 F 作用下冲剪钢板 设板厚 t 10 mm, 板 材料的剪切强度极限为 [ j ] 360 MPa 现需要冲剪一个直径 d 20 mm 的圆孔, 试计算所需 的冲力 F 图 2.36 解 剪切面是钢板内被冲头冲出的圆饼体的柱形侧面, 如图 2.36(b) 所示 其面积为 A j πdt π 20 mm 10 mm 628 mm 2 由剪切强度条件式 (2.25) j F S A j [ j ], 可得冲孔所需要的冲剪力为 F F S A j [ j ] 628 mm MPa N 226 kn 例 2.12 如图 2.37(a) 所示的对接式铆钉连接, 已知 : 板的宽度 b 150 mm, 两盖板的厚 度 t 1 10 mm, 两主板的厚度 t 2 20 mm, 铆钉直径 d 28 mm 连接中各部分材料相同, 其许用 拉应力 [σ] 160 MPa, 许用切应力 [ F 300 kn, 试对该连接作强度校核 j ] 100 MPa, 许用挤压应力 [σ bs ] 280 MPa 设外力 解 外力 F 的作用线通过铆钉组的形心, 所以各铆钉均匀受力, 以最左侧铆钉 ( 图中标 为 K) 为例, 左侧主板 B 施加给它的力为 F / 3, 而它传给上 下盖板的力则都为 F / 6 主板 铆 钉 盖板的受力图如图 2.37(b) (c) (d) 所示 (1) 铆钉的强度校核 : 1 剪切强度校核 铆钉的剪切变形为双剪,F S F / 6,A j πd 2 / 4, 则 铆钉满足剪切强度要求 36 j F S N / 6 A j π 28 2 mm 2 / MPa < [ ] 100 MPa j

44 2 轴向拉伸和压缩 图 挤压强度校核 铆钉和主板 盖板之间的挤压力分别为 F / 3 和 F / 6, 而其挤压面积分 别为 t 2 d mm 2 和 t 1 d mm 2, 可见其挤压应力相同 则 铆钉满足挤压强度要求 (2) 主板的强度校核 : σ bs F bs A bs N / 3 28 mm 20 mm MPa < [σ bs] 280 MPa 1 主板与铆钉的挤压应力相同, 材料也相同, 故满足挤压强度要求 2 拉伸强度校核 主板轴力图如图 2.37(b) 所示, 需校核 Ⅰ Ⅱ 截面 σ Ⅰ F NⅠ A Ⅰ σ Ⅱ F NⅡ A Ⅱ 主板满足拉伸强度要求 2F / N / 3 (b - 2d)t 2 (150 mm mm) 20 mm 106 MPa < [σ] 160 MPa (3) 盖板的强度校核 : F (b - d)t N 123 MPa < [σ] (150 mm - 28 mm) 20 mm 1 盖板与铆钉的挤压应力相同, 材料也相同, 满足挤压强度要求 37

45 材料力学 2 拉伸强度校核 其轴力图如图 2.37(d) 所示, 危险截面为 Ⅰ 截面 : σ Ⅰ F NⅠ A Ⅰ F / 2 (b - 2d)t N / MPa < [σ] (150 mm mm) 10 mm 综合铆钉 主板 盖板的校核结果, 全部满足强度要求, 该连接安全 从上面例题可见, 在校核连接强度时, 要对一个零 ( 部 ) 件可能的各种变形作强度校核, 不 可遗漏 虽然有时少计算一个变形的强度不影响结果, 但仍是不允许的 例 2.13 一托架如图 2.38(a) 所示, 已知外力 F 24 kn, 铆钉直径 d 20 mm, 所用的 3 个铆钉都受单剪 试指出最危险铆钉的位置, 并求出最危险的铆钉横截面上切应力的数值 解 把外力 F 平移到 3 个铆钉中心的连线, 得到一个通过铆钉组中心的外力 F 和一个 附加力偶 M e ( 见图 2.38(b)) M e F 0.2 m N 0.2 m N m 力 F 由 3 个铆钉均匀承受, 每个铆钉承受 F / 3; 外力偶 M e 也由 3 个铆钉共同承担, 工程 上假定每个铆钉承受的力与该铆钉到铆钉组中心的距离成正比, 该铆钉受的力垂直于该铆钉 和铆钉组中心的连线, 各铆钉所受水平力形成的力偶的力偶矩等于外力偶矩 因此, 只有上 下两个铆钉来承担 M e, 每个铆钉相应的力记为 F M, 如图 2.38(c) 所示 则 F M M e 0.16 m N m N 0.16 m 上下两个铆钉的合力 F S1 和 F S3 的大小为 F S1 F S3 æ ç è F 3 2 ö ø 上下两个铆钉的切应力 j1 和 j3 为 j1 中间的铆钉只承受 F / 3 的力, 即 图 (F M ) 2 (8 kn) 2 + (30 kn) kn j3 F S1 πd N π 20 2 mm MPa 38

46 2 轴向拉伸和压缩 j2 F S2 πd 2 F 3 πd N 3 π 20 2 mm MPa 所以, 上下两个铆钉是最危险的 思考题 2.1 一等直杆在其两端一对拉力作用下保持平衡, 如图 (a) 所示 如果对该杆应用静力学中 力的可传性原理, 可得另外两种受力情况, 如图 (b) 和 (c) 所示 试问 : (1) 对于图示的 3 种受力情况, 等直杆的变形是否相同? (2) 力的可传性原理是否适用于变形体? 思考题 2.1 图 思考题 2.2 图 2.2 图示各杆件中哪些属于轴向拉伸或轴向压缩变形 2.3 什么是应力? 为什么要研究应力? 内力和应力有何区别和联系? 2.4 两根直杆的长度和横截面面积均相同, 两端所受的轴向外力也相同, 其中一根为钢杆, 另一根为木杆 试问 : (1) 两杆横截面上的内力是否相同? (2) 两杆横截面上的应力是否相同? (3) 两杆的轴向线应变 轴向伸长 刚度是否相同? 2.5 何谓胡克定律? 它有几种表达形式? 应用条件是什么? 2.6 弹性模量 E 的物理意义是什么? 如低碳钢的弹性模量 E 210 GPa, 混凝土的弹性模量 E 28 GPa, 在弹性范围内, 试求下列各项 : (1) 在横截面上正应力 σ 相等的情况下, 钢杆和混凝土杆的纵向线应变 ε 之比 (2) 在纵向线应变 ε 相等的情况下, 钢杆和混凝土杆横截面上正应力 σ 之比 (3) 当纵向线应变 ε 时, 钢杆和混凝土杆横截面上正应力 σ 的值 39

47 材料力学 2.7 等截面直杆两端受轴向拉力 F 的作用, 材料的泊松比为 μ 能否说 当杆件在轴向伸长 Δl 时, 横向缩短为 μδl, 为什么? 2.8 若杆的总变形为零, 则杆内任一点的应力 应变和位移是否也为零? 为什么? 2.9 图示两端受均布荷载 q 作用的平板, 若变形前在板面上画两条平行斜线段 AB 和 CD, 则变形后 AB 和 CD 还平行吗? 斜线段的夹角 α 怎么变化? 思考题 2.9 图 思考题 2.11 图 2.10 若在受力物体内某点处, 已测得 x 和 y 两正交方向上均有线应变, 试问在 x 和 y 两 方向是否都必定有正应力? 若测得仅 x 方向有线应变, 则是否 y 方向必无正应力? 若测得 x 和 y 两方向均无线应变, 则是否 x 和 y 两方向都必无正应力? 2.11 如图所示抗拉刚度为 EA 的等直杆, 在计算杆件的轴向变形量时, 能否用 Δl F 1l 1 EA + F 2 l 2 EA? 为什么? 2.12 已知一等直杆的重量 W 长度 l 弹性模量 E 和泊松比 μ, 当按图示两种不同方式放 置时, 两者的体积是增大还是减小? 你会计算其体积变化吗? 2.13 图示一等直圆杆, 若变形前在横截面上画出两个圆 a 和 b, 则在轴向拉伸变形后, 圆 a 和 b 的形状如何改变? 为什么? 思考题 2.12 图 思考题 2.13 图 2.14 空心圆截面杆轴向拉伸时, 杆的外径是增大还是减小? 内径是增大还是减小? 壁 厚是增大还是减小? 2.15 低碳钢和铸铁在拉伸和压缩时破坏形式有何不同? 说明其原因 2.16 经冷作硬化的材料, 在性能上有什么变化? 在应用上有什么利弊? 2.17 如何比较材料的强度 刚度和塑性的大或小? 2.18 何谓极限状态? 极限应力 安全系数和许用应力之间有何关系? 40

48 2 轴向拉伸和压缩 2.19 简易起重装置中, 若杆件的直径相同, 材料均为铸铁, 则一般采用图 (b) 的结构, 而不是图 (a) 的结构, 这是为什么? 如果杆件都用横截面面积相同的钢材呢? 2.20 剪切实用计算和挤压实用计算使用了哪些假设? 为什么采用这些假设? 2.21 如图所示一长纸条, 在纸条宽度的中部打出一小圆孔和切出一横向裂缝, 若小圆孔的直径 d 与裂缝的长度 a 相等, 且均不超过纸条宽度 b 的 1 / 10, 若在纸条两端均匀受拉, 试问纸条将从何处破裂? 为什么? 思考题 2.19 图 思考题 2.21 图 习 题 2.1 试求图示杆件各段的轴力, 并画轴力图 习题 2.1 图 41

49 材料力学 2.2 已知题 2.1 图中各杆的直径 d 20 mm,f 20 kn,q 10 kn / m,l 2 m, 求各杆的最大正应力, 并用图形表示正应力沿轴线的变化情况 答案 :(1)63.66 MPa,(2) MPa,(3)63.66 MPa,(4) MPa,(5) MPa 2.3 在题 2.3 图所示结构中, 各杆横截面面积均为 mm 2, 水平力 F 100 kn, 试求各杆横截面上的正应力 答案 :σ AB 25 MPa;σ BC MPa;σ AC 33.3 MPa;σ CD -25 MPa 习题 2.3 图习题 2.4 图 2.4 如习题 2.4 图所示的阶梯形圆截面杆, 承受轴向荷载 F 1 和 F 2 的作用, 已知 F 1 50 kn,ab 段与 BC 段的直径分别为 d 1 20 mm d 2 30 mm, 若 AB 段和 BC 段横截面上的正应力相等, 试求荷载 F 2 的值 答案 :F kn 2.5 如习题 2.5 图所示, 设浇在混凝土内的钢杆所受黏结力沿其长度均匀分布, 在杆端作用的轴向外力 F 20 kn 已知杆的横截面积 A 200 mm 2, 试作图表示横截面上正应力沿杆长的分布规律 答案 :σ max 100 MPa 2.6 钢杆受轴向外力如习题 2.6 图所示, 其横截面面积为 500 mm 2, 试求 ab 斜截面上的应力 答案 :σ α 30 MPa, α 17.3 MPa 习题 2.5 图 习题 2.6 图 2.7 矩形截面等直杆如习题 2.7 图所示, 轴向力 F 200 kn 试计算互相垂直面 AB 和 BC 上的正应力 切应力以及杆内最大正应力和最大切应力 答案 :σ AB 41.3 MPa, AB 49.2 MPa;σ BC 58.7 MPa, BC MPa;σ max 100 MPa, 50 MPa max 42

50 2 轴向拉伸和压缩 习题 2.7 图 习题 2.8 图 2.8 习题 2.8 图中钢杆的横截面积 A mm 2, 材料的弹性模量 E 200 GPa, 试求 : (1) 各段的轴向变形 ;(2) 各段的轴向线应变 ;(3) 杆的总伸长 答案 :Δl Δl Ⅰ +Δl Ⅱ +Δl Ⅲ 0.1 mm mm -0.1 mm,ε Ⅰ 10-4,ε Ⅱ 0,ε Ⅲ 习题 2.9 图中长为 l 的等直杆, 其材料密度为 ρ, 弹性模量为 E, 横截面面积为 A 已 知外力 F Alρg, 试求杆下端的位移 答案 : 3ρgl2 2E 2.10 习题 2.10 图所示结构中,5 根杆的抗拉刚度均为 EA, 杆 AB 长为 l,abcd 是正方 形 在小变形条件下, 试求两种加载情况下,AB 杆的伸长 习题 2.9 图 答案 :(a) Fl Fl ;(b) - EA EA 习题 2.10 图 2.11 习题 2.11 图所示为厚度均匀的直角三角形钢板, 用两根等长的圆截面钢杆 AB 和 CD 固定住 若要使钢板只有竖向移动而无转动, 试确定 AB 和 CD 两杆的直径之比 答案 : 习题 2.12 图所示结构中, 水平钢杆 AB 不变形, 杆 1 为钢杆, 直径 d 1 20 mm, 弹性 模量 E GPa; 杆 2 为铜杆, 直径 d 2 25 mm, 弹性模量 E GPa 设在外力 F 30 kn 作用下,AB 杆保持水平 (1) 试求 F 力作用点到 A 端的距离 a;(2) 如果使钢杆保持水平且竖 向位移不超过 2 mm, 则最大的 F 应等于多少? 答案 :a 1.08 m,f max kn 43

51 材料力学 习题 2.11 图习题 2.12 图 2.13 习题 2.13 图所示结构中, 水平梁 AB 的刚度很大, 其弹性变形可忽略不计 AD 是钢杆, 横截面面积 A mm 2, 弹性模量 E MPa;BE 是木杆, 横截面面积 A mm 2, 弹性模量 E MPa;CG 是铜杆, 横截面面积 A mm 2, 弹性模量 E MPa 试求 :(1)C 点及 G 点的位移 ;(2) 如果 AD 杆的横截面面积增大一倍, 此时 C 点及 G 点的位移 答案 :(1)δ C 0.4 mm( ),δ G 0.6 mm( ); (2)δ C mm( ),δ G mm( ) 习题 2.13 图 习题 2.14 图 2.14 高为 l 圆截面锥形杆直立于地面上, 如习题 2.14 图所示 已知材料的重度 γ 和弹 性模量 E, 试求杆在自重作用下的轴向变形 Δl 答案 :Δl - γl2 6E 2.15 习题 2.15 图所示结构中,AB 杆和 AC 杆均为圆截面钢杆, 材料相同 已知结点 A 无水平位移, 试求两杆直径之比 答案 :d AB d AC 一圆截面杆的直径 d 10 mm, 在轴向拉力 F 作用下, 直径减小了 mm 若 材料的弹性模量 E 210 GPa, 泊松比 μ 0.3, 试求轴向拉力 F 44 答案 :F 13.7 kn

52 2 轴向拉伸和压缩 习题 2.15 图习题 2.17 图 2.17 习题 2.17 图所示为某材料的拉伸试验试件, 横截面 b h 29.8 mm 4.1 mm 在拉伸试验时, 每增加 3 kn 拉力, 测得轴线方向应变 ε , 横向应变 ε 求该材料的弹性模量 E 和泊松比 μ 答案 :E GPa,μ 矩形截面钢杆, 已知宽度 b 80 mm, 厚度 t 3 mm, 材料的弹性模量 E MPa 经拉伸试验测得, 在纵向 100 mm 长度内伸长了 0.05 mm, 同时在横向 60 mm 长度内缩短了 mm 试求其泊松比及杆件所受的轴向拉力 F 答案 :μ 0.31,F 24 kn 2.19 在相距 2 m 的 A B 两墙之间, 水平地悬挂着一根直径 d 1 mm 的钢丝, 在中点 C 逐渐增加荷载 F 设钢丝在断裂前仍服从胡克定律,E MPa, 当伸长率达到 0.5% 时即被拉断 试问断裂时钢丝内的应力 C 点的位移 y C 及荷载 F 的值的大小 答案 :σ MPa,y C 100 mm,f 156 N 2.20 如习题 2.20 图所示的汽车离合器踏板, 已知踏板受到压力 F N 作用, 拉杆 1 的直径 d 9 mm, 杠杆臂长 L 330 mm,l 56 mm, 拉杆的许用应力 [σ] 50 MPa 试校核拉杆 1 的强度 答案 :σ MPa 习题 2.20 图 习题 2.21 图 45

53 材料力学 2.21 如习题 2.21 图所示, 用绳索起吊重物, 已知重物所受的重力为 W10 kn, 绳索直径 d 40 mm, 许用应力 [σ] 10 MPa (1) 试校核该绳索的强度 ;(2) 绳索的直径 d 应取多大更经济? 答案 :σ 5.63 MPa,d 30 mm 2.22 习题 2.22 图所示结构中,1 杆和 2 杆均为圆形钢杆, 直径分别为 d 1 30 mm d 2 20 mm, 在结点 A 受到一铅垂外力 F 的作用, 已知钢材的许用应力 [σ] 160 MPa (1) 当 F 40 kn 时, 试分别校核二杆的强度 (2) 试求结点 A 处所能承受最大铅垂外力 答案 :(1)σ MPa,σ MPa;(2)[F] 97.1 kn 2.23 习题 2.23 图所示拉杆由两部分在斜截面 m m 处胶合而成 已知胶合面上许用拉应力 [σ] 110 MPa, 许用切应力 [ ] 60 MPa 设拉杆所承受的拉力由胶合面的强度控制,(1) 为使拉杆能够承受最大的拉力,α 角应取多大? (2) 若拉杆横截面面积为 400 mm 2, 且 α 60, 试确定许用荷载 F 答案 :(1)α 28.6,(2)57.08 kn 习题 2.22 图习题 2.23 图 2.24 习题 2.24 图所示为一螺旋夹紧装置, 现已知工件所受的压紧力为 F 4 kn, 装置中旋紧螺栓螺纹的小径 d mm, 固定螺栓小径 d mm, 两根螺栓材料相同, 许用应力 [σ] 53 MPa 试校核各螺栓的强度 答案 :σ A MPa,σ B 25.5 MPa 2.25 习题 2.25 图所示为一悬臂梁起重支架, 小车可在梁 AC 上移动 已知 : 小车荷载 F 15 kn, 斜杆 AB 是圆钢杆, 钢的许用应力 [σ] 170 MPa 试设计斜杆 AB 的横截面直径 d 答案 :d 17 mm 46 习题 2.24 图 习题 2.25 图

54 2 轴向拉伸和压缩 2.26 习题 2.26 图所示结构中,AB 杆由两根等边角钢组成, 已知材料的许用应力 [ σ] 160 MPa 试为 AB 杆选择等边角钢的型号 答案 : 习题 2.27 图所示结构中, 横杆 AB 为刚性杆, 在 B 端受一竖直向下的集中力 F 的作用, 已知斜杆 CD 为直径 d 20 mm 的圆杆, 材料的许用应力 [σ] 160 MPa 试求许用荷载 [F] 答案 :15.1 kn 习题 2.26 图习题 2.27 图 2.28 习题 2.28 图所示杆系中,1 2 两杆为木杆, 横截面面积 A 1 A mm 2, 许用应力 [σ] 20 MPa,3 4 杆为钢杆, 横截面面积 A 3 A mm 2, 许用应力 [ σ] 120 MPa 试求结构的许用荷载 [F] 答案 :[F] 57.6 kn 2.29 习题 2.29 图所示为一桁架结构, 各杆均由两个型号相同的等边角钢组成 已知材料的许用应力 [σ] 170 MPa 试选择 BD 杆和 CD 杆的角钢型号 答案 :BD 杆 :2 80 7;CD 杆 : 习题 2.28 图习题 2.29 图 2.30 如习题 2.30 图所示, 在定点 A,B 之间用绳索 ACB 对称地悬挂重物 F, 求绳索用料最经济时的角度 α 47

55 材料力学 答案 :α 习题 2.31 图所示为一重物悬挂体系, 重物 W 由铝丝 CD 悬挂在钢丝 AB 的中点 C 处 已知 W 120 N, 铝丝的直径 d 1 2 mm, 许用应力 [σ] MPa, 钢丝的直径 d 2 1 mm, 许用应力 [σ] MPa,α 30 (1) 校核该悬挂体系的强度 ;(2) 试求该体系所能承受重物的许可重量 ;(3)α 为何值时许可的重量最大 答案 :W 188 N,α 56.4 习题 2.30 图习题 2.31 图 2.32 习题 2.32 图所示的杆系中, 木杆的长度 a 不变, 其强度也足够高, 但钢杆与木杆的夹角 α 可以改变 ( 悬挂点 C 点的位置可上 下调整 ) 若欲使钢杆 AC 的用料最少, 夹角 α 应取多大? 答案 : 习题 2.33 图所示为一横截面为正方形的木短柱, 在其 4 个角上用 4 根 mm 的等边角钢加固, 其长度均与木柱相同 已知钢的许用应力 [ σ] 钢 160 MPa, 弹性模量 E 钢 200 GPa, 木材的许用应力 [ σ] 木 12 MPa, 弹性模量 E 木 10 GPa (1) 试求许用荷载 [F];(2) 为使钢和木都能充分发挥强度, 试问木柱应比角钢长多少? 此时的轴向压力 F 又为多少? 答案 :(1)[F] kn,(2)0.4 mm,(3)[f] kn 习题 2.32 图习题 2.33 图 2.34 如习题 2.34 图所示的组合柱, 其横截面为 2b 2b, 由横截面均为 b 2b 的钢柱和铸铁柱组合而成 荷载 F 通过一刚性板沿铅垂方向加在组合柱上 已知钢的弹性模量 E 196 GPa, 铸铁的弹性模量 E 98 GPa 若要使刚性板保持水平, 试求加载点的位置 x? 48

56 2 轴向拉伸和压缩 答案 :x 5 6 b 2.35 如习题 2.35 图所示的桁架, 在结点 A 处受铅垂方向的荷载 F 的作用, 已知各杆的 横截面面积 长度以及弹性模量均相同, 分别为 A l 和 E 试计算结点 A 的铅垂位移 答案 : Fl 2EA ( ) 习题 2.34 图习题 2.35 图 2.36 习题 2.36 图中结构在结点 C 处受铅垂方向的荷载 F 的作用, 已知 三杆的弹性模量 E 横截面面积 A 都相等 试求三杆的内力 答案 :F N F,F N F,F N3 0.93F 习题 2.36 图习题 2.37 图 2.37 如习题 2.37 图所示的两端固定的杆件, 已知横截面面积为 A, 且许用拉应力 [ σ t ] 及许用压应力 [σ c ] 满足关系 [σ c ] 3[σ t ] 试求 :(1) 当 x 为何值时, 许用荷载 [ F] 为最大? (2) 求许用荷载的最大值 [F] max 答案 :x 3 4 l,[f] 4A[σ max t] 2.38 习题 2.38 图所示为一阶梯形钢杆,Ⅰ Ⅱ 两段的横截面面积分别为 A I mm 2, A II 500 mm 2 在 t 1 5 时将杆的两端固定 已知钢的线膨胀因数 α , 弹性模量 E 200 GPa 试求当温度升高至 t 2 25 时, 在杆各段中引起的温度应力 答案 :σ I MPa,σ II MPa 2.39 习题 2.39 图中等截面杆受力 F 作用, 已知 AC 段和 CB 段材料不同, 线膨胀因数 49

57 材料力学 分别为 α 1,α 2,B 端受力前与支座相距 δ 试求温度升高 Δt 后 B 端的支座反力 提示 :Δl t >δ 或 Δl t <δ 分别讨论 习题 2.38 图习题 2.39 图 2.40 如习题 2.40 图所示的刚性梁 ABC, 由三根横截面面积为 A 200 mm 2,l 1 m,e 200 GPa 的杆固定 若在制作时 3 杆短了 δ 0.8 mm, 试计算装配后三根杆件中的应力 答案 :σ MPa( 拉 ),σ MPa( 压 ),σ MPa( 拉 ) 习题 2.40 图习题 2.41 图 2.41 习题 2.41 图中刚性梁 AB 放在三根材料相同 横截面面积都为 A 400 cm 2 的支柱上 因制造不准确, 中间柱短了 δ 1.5 mm, 材料的弹性模量 E MPa, 求梁上受集中力 F 720 kn 时三根柱子内的应力 答案 :σ 1 σ 3-8 MPa,σ 2-2 MPa 2.42 如习题 图所示的销钉连接中,F 100 kn, 销钉材料许用剪切应力 [ j ] 60 MPa, 试确定销钉的直径 d 答案 :32.6 mm 2.43 习题 2.43 图所示的铆接接头受轴向力 F 作用, 已知 :F 80 kn,b 80 mm,δ 10 mm,d 16 mm, 铆钉和板的材料相同, 其许用正应力 [σ] 160 MPa, 许用剪切应力 [ j ] 120 MPa, 许用挤压应力 [σ bs ] 320 MPa 试校核其强度 50

58 2 轴向拉伸和压缩 习题 2.42 图 习题 2.43 图 答案 :σ 125 MPa, j 99.5 MPa,σ bs 125 MPa 2.44 习题 2.44 图所示的对接接头受轴向力 F 作用 已知 F 100 kn,b 150 mm,t 1 10 mm,t 2 20 mm,d 17 mm, 铆钉和板的材料相同, 其许用正应力 [ σ] 160 MPa, 许用剪切应力 [ j ] 120 MPa, 许用挤压应力 [σ bs ] 320 MPa 试校核接头的强度 答案 :σ max 43.1 MPa, j MPa,σ bs MPa 习题 2.44 图 习题 2.45 图 2.45 习题 2.45 图所示的螺钉受拉力 F 作用, 已知材料的许用切应力 [ j ] 和拉伸许用应力 [σ] 之间的关系为 :[ j ] 0.6[σ], 试求螺钉直径 d 与钉头高度 h 的合理比值 答案 :d h 习题 2.46 图所示为一正方形截面的混凝土柱, 浇筑在混凝土基础上 基础分两层, 每层厚为 t 已知 F 200 kn, 假设地基对混凝土板的反力均匀分布, 混凝土的许用切应力 [ j ] 1.5 MPa 为使基础不被剪坏, 试计算基础厚度 t 答案 :95.5 mm 2.47 习题 2.47 图所示为两矩形截面木杆, 用两块钢板连接, 受轴向拉力 F 40 kn 已知截面的宽度 b 200 mm, 木材顺纹方向许用拉应力 [ σ] 8 MPa, 许用挤压应力 [ σ bs ] 5 MPa, 顺纹许用切应力 [ j ] 1 MPa 试求接头处的尺寸 a l 和 δ 51

59 材料力学 答案 :a 65 mm,l 100 mm,δ 20 mm 习题 2.46 图 习题 2.47 图 2.48 习题 2.48 图所示的钢板通过 4 个铆钉固定在柱上 已知 : 钢板长 l 400 mm, 厚 5 mm, 均布荷载 q 50 kn / m, 钢板 铆钉 柱的材料相同, 许用切应力 [ j ] 110 MPa, 许用挤压应力 [σ bs ] 250 MPa 试设计铆钉直径 答案 :d 13 mm 习题 2.48 图习题 2.49 图 2.49 习题 2.49 图所示为一矩形截面木榫接头, 已知 F 20 kn,b 100 mm,h 300 mm, 木材的许用挤压应力 [σ c ] 10 MPa, 许用切应力 [ ] 1 MPa 试确定该接头的尺寸 l 和 a 答案 :l 200 mm;a 20 mm 52

60 3 扭转 3.1 扭转变形的概念及实例 扭转变形的概念任取一杆段 AB, 在 AB 杆段的两端受到作用平面垂直于杆轴线的外力偶的作用时,AB 产生的变形特点是杆各横截面绕杆轴线作相对转动, 这样的变形形式称为扭转变形 扭转变形是杆件变形的基本形式之一 扭转变形的杆段 AB 上 B 横截面相对于 A 截面产生的相对转角 φ BA 是衡量两个横截面间相对转动大小的物理量, 称为相对扭转角 (angle of twist), 其下标表示这两个截面 如图 3.1 所示圆杆,φ BA 表示 B 截面相对于 A 截面的扭转角 AB 杆段上任意纵向直线扭曲图 3.1 成为螺旋线, 纵向线转过的角度 γ 称为剪切角 扭转变形的实例在日常生活和工程中, 以扭转变形为主的杆件比较常见, 如转动时的汽车转向轴 拧螺钉时的螺丝刀 转动时的皮带传动轴或齿轮传动轴 建筑物门洞上方的雨篷梁 梁中直接连接有次梁的主梁等, 都是以扭转变形为主的杆件 图 3.2(a) 所示为汽车的方向盘和转向轴, 当转动方向盘时, 转向轴就受到一个转向相反 53

61 材料力学 的阻力偶的作用, 从而使得转向轴受到扭转作用, 可能产生扭转变形 图 3.2(b) 所示为用螺丝刀拧螺钉, 当用力拧螺钉时, 手给螺丝刀柄一个外力偶作用, 螺丝刀端部受到螺钉槽的阻挡, 产生一个阻抗力偶, 使得螺丝刀杆受扭而可能产生扭转变形 图 3.2 图 3.3 所示为齿轮传动机构, 轮 1 的轴接在电动机上, 由电动机带动轮 1 转动时, 受到外力偶 M e 作用, 从而带动与之啮合的轮 2 转动, 轮 2 与轮 3 同轴, 轮 3 又连接皮带轮 由于摩擦的作用, 轮 3 上的皮带两边所受的力 F 1 与 F 2 不相等, 产生一个外力偶, 轮 1 和轮 2 间的啮合力对轮轴产生一个外力偶, 这两个力偶不一定相等, 因此, 在轮 2 和轮 3 间的转动轴 CD 段就有图 3.3 可能受扭而将产生扭转变形 图 3.4(a) 所示为房屋门洞上方的雨篷构造示意图, 雨篷与门洞上方的过梁连接在一起, 过梁除了受到上方墙体和雨篷的重力外, 还受到雨篷与过梁连接处的分布力偶 m 的作用, 为支撑雨篷, 在过梁端部产生反力偶 M e, 如图 3.4(b) 所示, 在分布力偶和端部反力偶的共同作用下将引起过梁产生扭转变形 图 3.4 从以上几个例子可以看出, 有的杆件的主要变形为扭转变形, 但是, 如果考虑重力的作用, 图 3.3 所示的轮轴和图 3.4 所示的过梁的变形形式除扭转变形以外, 还有弯曲变形, 属于组合变形, 单纯产生扭转变形的杆件是很少的 组合变形将在第 10 章中讨论, 本章讨论以扭转变形为主的杆件在扭转时的内力 强度及刚度计算, 同时介绍非圆截面杆的扭转问题的一些主要结论 54

62 3 扭转 3.2 外力偶矩的计算扭矩与扭矩图 外力偶矩的计算 扭转变形杆件上的内力由作用于杆件上的外力偶矩引起 外力偶矩可以是直接作用于 杆件上的外力偶的矩, 例如图 3.2(b) 所示的拧螺栓, 人的手直接给螺丝刀杆上作用了一个外 力偶 外力偶矩也可以由作用于连接在杆件的物体上的力对杆轴的矩引起, 例如图 3.3 轮 3 上 两条皮带上的拉力大小不相等而使得轮轴受外力偶的作用, 拉力产生的力偶矩需要采用力的 平移定理, 将外力向杆的轴线简化而得到, 若轮 3 的直径为 d, 并且 F 1 >F 2, 作用于扭转杆轴 D 处的外力偶矩等于 (F 1 -F 2 )d 但是, 对于连接电动机的传动轴, 通常知道电动机的功率和转 速 如图 3.3 所示连接轮 1 和电动机的轴, 若电动机所传递给传动轴的功率为 P( 常用单位为 kw), 轴的转速为 n( 常用单位为 r / min) 由理论力学知识可知 则外力偶矩 M e 为 P M e 2πn 60 {M e } kn m 9.55 {P} kw {n} r / min (3.1) 还可以由力系的平衡条件求得外力偶矩, 如图 3.4 所示作用于门洞过梁上的外力偶矩可 以由雨篷的平衡条件求得 扭矩和扭矩图 扭矩 ( torque) 是扭转变形杆件某截面的内力矩, 用 M T 表示 它是杆件横截面上的分布内力向横截面形心 简化所得内力主矩的法向分量 求扭矩的方法仍然采用截面法 例如, 欲求图 3.5(a) 所示圆截面杆 n n 截面上的内力, 可用假想平面沿 n n 截面处将杆截开, 任取左侧或右侧其中之一为分离体 如 取左侧为分离体, 则 n n 横截面上的分布内力必然合成 一个力偶, 力偶的矩即为该截面上的扭矩 M T, 如图 3.5(b) 所示 由左段的平衡条件 M x 0 得 M T M e 同样, 以右段 ( 见图 3.5(c)) 为分离体也可求得该截 面的扭矩 扭矩的正负号约定如下 : 采用右手螺旋法则, 以右手四指弯曲方向表示扭矩的转向, 拇指指向截面外 法线方向时, 扭矩为正 ; 反之, 扭矩为负 可以看出, 无论 图

63 材料力学 选取左侧或者右侧作为分离体求得的同一截面上扭矩大小相等, 正负号一致 扭矩的单位是 N m 或 kn m 如果杆件不同段上作用有多个外力偶时, 杆件不同段横截面上的扭矩一般也不相同, 这 时需要对不同段用截面法确定各段横截面上的扭矩 与第 2 章相同, 可以用图形表示扭矩随 横截面位置的变化, 称为扭矩图 (diagram of torque) 绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法 相似, 沿杆轴线方向取横坐标, 表示截面位置, 垂直杆轴线方向的坐标代表相应截面的扭矩, 正 负扭矩分别画在以横坐标为基线的两侧, 并标注 号及控制截面处扭矩的大小和单 位, 如图 3.5(d) 所示 矩图 例 3. 1 试绘制图 3. 6 ( a) 所示杆件的扭 解 绘制此杆的扭矩图需分三段 取 1 1 截面左侧为分离体, 其受力图如图 3.6(b) 所示, 由 平衡方程 M x 0, 得 M T1-6 kn m 取 2 2 截面左侧为分离体, 其受力图如图 3.6(c) 所示, 由平衡方程 M x 0, 得 M T2 (10-6)kN m 4 kn m 取 3 3 截面右侧为分离体, 其受力图如图 3.6(d) 所示, 由平衡方程 M x 0, 得 M T3 2 kn m 杆件的扭矩图如图 3.6(e) 所示 由上面的计算可得出如下结论 : 受扭杆件任一 横截面上的扭矩, 等于该截面任一侧杆段上所有外 力对杆轴线力矩的代数和 利用这一规律, 可不画 分离体的受力图, 而直接将截面一侧杆段所有外力 对杆轴线求力矩后再求其代数和, 即可求得需求截 面的扭矩, 这种方法称为直接法 图 3.6 例 3.2 图 3.7 所示为钻探机的钻杆简图, 设钻机功率为 11 kw, 转速 n 200 r / min, 钻杆入 土深度 l 50 m, 假定土对钻杆的摩擦力矩为平均分布, 试求分布力矩 m 的值, 并作扭矩图 解 由于钻机输入功率为 11 kw, 要求分布的摩擦力矩 m 的值时就需要先根据式 (3 1) 求出作用于钻杆上的外力偶矩, 有 {M e } kn m 9.55 {P} kw 11 kw kn m {n} r / min 200 r / min 钻杆受力如图 3.7(b) 所示, 可由钻杆的平衡条件, 求得分布的摩擦力偶矩为 : M z 0 M e - ml 0 56 m M e l kn m 50 m 10.5 kn m / m

64 3 扭转 绘出钻杆的扭矩图如图 3.7(c) 所示 图 薄壁圆筒的扭转切应力互等定理和剪切胡克定律 由上节讨论可知, 扭转变形杆件横截面上扭矩是截面上分布内力的合力偶矩, 本节讨论分布内力的集度, 即分析受扭杆件横截面上的扭转应力 扭转应力的分析和计算较为复杂, 首先研究薄壁圆筒的扭转应力分析, 并介绍切应力互等定理和剪切胡克定律 薄壁圆筒扭转切应力取一薄壁圆筒, 在其表面等间距地画上纵向线和圆周线, 将圆筒表面划分为大小相同的矩形网格, 如图 3.8(a) 所示 再在圆筒两端垂直于轴线的平面内, 施加一对等值 反向的力偶 M e, 使得圆筒产生扭转变形 在小变形条件下可以观察到圆筒的轴线不动, 圆筒表面所有的纵向线都倾斜了一个相同的角度, 变成了平行的螺旋线, 所有圆周线的形状 大小和间距都没有改变, 都仅仅绕轴线作了相对转动, 如图 3.8(b) 所示 ; 圆筒表面的矩形网格变成了平行四边形网格, 如图 3.8(c) 所示其中的任一矩形格 abcd, 变成了平行四边形 a b c d 图 3.8 根据实验现象, 可以推断 : 1 由于圆筒表面垂直于筒轴线的矩形网格发生了相对错动而变成平行四边形, 则在横截面上必有切应力存在, 切应力的方向垂直于圆筒半径 2 由于是薄壁圆筒, 可以近似认为沿壁厚切应力是均匀分布的 57

65 材料力学 3 由于任意相邻圆周线之间的间距不变, 而仅绕轴线作了相对转动, 且圆周线的形状 大小没有改变, 圆筒表面的矩形网格变形相同, 则圆筒内部任意一点都没有径向位移, 没有正应力 为推导薄壁圆筒扭转切应力的计算公式, 在圆筒中任取一横截面如图 3.9 所示 设圆筒的平均半径为 r 0, 壁厚为 t, 取微元面积 da tr 0 dα, 其上切应力的合力为 (tr 0 dα), 由静力平衡条件可得 2π M T r 0 (tr 0 dα) 2πr 2 0t 0 由此可求出薄壁圆筒的扭转切应力计算公式为 图 3.9 M T 2πr 2 0t (3.2) 由于推断切应力沿壁厚均匀分布, 式 (3.2) 是近似的, 但当壁厚 t r 0 / 10 时, 式 (3.2) 计算的结果与精确分析的误差小于 5% 切应力互等定理从受扭薄壁圆筒的任一点取一边长分别为 dx dy 和 t(t 为壁厚 ) 的微元体, 如图 3.10 所示 由前面的分析可知, 单元体位于圆筒横截面上的左 右两侧面只有切应力, 两截面上切应力的合力均为 t dy, 构成一力偶, 其矩为 ( tdy) dx 单元体处于平衡状态, 因此单元体的上 下两面上也必定存在大小相等 方向相反的切应力, 的合力构成的力偶为 ( tdx) dy, 由单元体的力偶平衡条件可得 ( tdy) dx ( tdx) dy 于是 (3.3) 式 (3.3) 表明 : 在微元体的两个相互垂直的截面上, 垂直于两截面交线的切应力总是成对出现, 且大小相等, 方向均指向或背离两截面的交线, 称为切应力互等定理 (theorem of conjugate shear stress) 图 3.10 所示为微元体的 4 个侧面上只有切应力而无正应力的情况, 称为纯剪切应力状态 剪切胡克定律 图 3.10 图 3.10 所示微元体在切应力作用下将发生如图 3.11(a) 所示的剪切变形, 原来的直角改变了一个微小的角度 这种直角的改变量称为剪切应变 ( shear strain) 或切应变, 用 γ 表示 对比图 3.8(b) 可知, 单元体的切应变实际上就是圆筒纵向线变为螺旋线后转过的角度 切应变的量纲为 1, 常用单位为弧度 (rad), 其正 负号规定为 : 直角变小时,γ 取正 ; 直角变大时,γ 取负 58