内容简介本教材共分为 章, 内容包括 : 概述, 杆件的拉伸与压缩, 剪切与扭转, 梁的内力, 梁的应力, 梁的位移, 应力状态理论, 强度理论, 组合变形, 压杆稳定, 能量法, 材料性能研究中的其他问题 本教材各章的编写由五部分组成 : 前言, 基本内容, 小结, 思考题, 习题 本教材可用于高

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1 -PD MERGER DEMO 世纪全国应用型本科土木建筑系列实用规划教材 材料力学 主 编 金康宁 谢群丹 副主编 刘 宏 万 度 参 编 王筱玲 毛 云 参 编 毛平文 张 军 主 审 袁海庆 张 军 参 编 李 磊 张 军

2 内容简介本教材共分为 章, 内容包括 : 概述, 杆件的拉伸与压缩, 剪切与扭转, 梁的内力, 梁的应力, 梁的位移, 应力状态理论, 强度理论, 组合变形, 压杆稳定, 能量法, 材料性能研究中的其他问题 本教材各章的编写由五部分组成 : 前言, 基本内容, 小结, 思考题, 习题 本教材可用于高等学校工科土木工程专业本科学生的教材和教学参考书, 也可供相关专业工程技术人员参考 建议学时数为 74 学时, 其中理论教学 68 学时, 实验 6 学时 图书在版编目 (CIP) 数据材料力学 / 金康宁, 谢群丹主编. 北京 : 北京大学出版社,006. ( 世纪全国应用型本科土木建筑系列实用规划教材 ) ISN Ⅰ. 材 Ⅱ. 金 谢 Ⅲ. 材料力学 高等学校 教材 Ⅳ. T0 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (006) 第 0096 号 书名 : 材料力学著作责任者 : 金康宁谢群丹主编策划编辑 : 吴迪李昱涛责任编辑 : 吴迪标准书号 :ISN /TU 000 出版者 : 北京大学出版社地址 : 北京市海淀区成府路 05 号 0087 网址 : 电话 : 邮购部 发行部 编辑部 邮购部 电子信箱 :pup_6@6.com 排版者 : 北京东方人华北大彩印中心电话 : 印刷者 : 发行者 : 北京大学出版社经销者 : 新华书店 787 毫米 09 毫米 6 开本 9.5 印张 45 千字 006 年 月第 版 006 年 月第 次印刷定价 :8.00 元

3 前 言 本教材是为适应土木工程专业 材料力学 课程的教学需要 以 材料力学 教学大纲所规定的基本内容而分章编写的 编写时参照国内各院校土木工程专业现行教学计划, 拟定了 教材编写大纲 在内容上, 主要突出土木工程专业中常用材料 结构的特点和应用 随着科学技术的飞速发展, 力学新知识的不断涌现, 土木工程技术对力学的要求也越来越高, 而学校教学计划所给予材料力学课程的教学时数却越来越少 因此, 在本教材的编写过程中尽量减少重复, 提高效率, 保证质量, 以适应 世纪的发展和要求, 较好地完成材料力学课程的教学任务 本教材系集体编写, 由金康宁 谢群丹主编 各章编写人员为 : 第 章 第 6 章 第 章 湖南工业大学谢群丹 ; 第 章 第 4 章 湖北工业大学毛云 ; 第 章 第 5 章 附录 江西科技师院毛平文 ; 第 7 章 第 章 南昌工程学院万度 ; 第 8 章 附录 南昌工程学院王筱玲 ; 第 9 章 第 0 章 山西大学刘宏 本教材由华中科技大学金康宁教授统稿, 武汉理工大学袁海庆教授仔细审阅了全书, 对此我们表示深深的谢意 由于编者水平有限, 时间仓促, 教材中可能存在不少缺点和错误, 尚祈读者批评指正 编者 005 年 0 月

4 目 录 第 章绪论基本概念.... 材料力学的任务及其与相关课程的关系.... 材料力学的基本假设.... 杆件的几何特征....4 杆件的变形 杆件变形的基本形式 应变的概念 杆件的内力 杆件的内力截面法 应力的概念 小结 思考题... 7 第 章杆件的拉伸与压缩 轴向拉伸和压缩的概念 拉 ( 压 ) 杆的内力计算 轴力的概念 用截面法求轴力 轴力图 横截面及斜截面上的应力..... 横截面上的应力..... 斜截面上的应力 应力集中的概念 胡克定律 材料在拉伸压缩时的力学性能 材料的拉伸与压缩试验 低碳钢拉伸时的力学性能 其他材料在拉伸时的力学性能 材料在压缩时的力学性能 强度条件与截面设计的基本概念 许用应力 强度条件 拉压超静定问题 超静定问题的概念 超静定问题的解法 温度应力问题 装配应力....8 小结 思考题 习题... 6 第 章剪切与扭转 剪切 剪力和切应力 连接中的剪切和挤压强度计算 杆件扭转时的内力扭矩 薄壁圆筒的扭转 剪切胡克定律与切应力互等定理 剪切胡克定律 切应力互等定理 等直圆杆的扭转 横截面上的应力 斜截面上的应力 等直圆杆的扭转变形 非圆截面等直杆的自由扭转 矩形截面杆 开口薄壁截面杆 闭口薄壁截面杆 小结 思考题 习题 第 4 章梁的内力 梁的计算简图 梁的平面弯曲... 77

5 VI 材料力学 4. 梁的内力 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 内力与分布荷载间的关系及其应用 弯矩 剪力和分布荷载集度间的关系 常见荷载下梁的剪力图与弯矩图的特征 用区段叠加法作梁的弯矩图 小结 思考题 习题 第 5 章梁的应力 梁横截面上的正应力 纯弯曲时梁横截面上的正应力 横力弯曲时梁横截面上的正应力 梁横截面上的切应力 梁的强度条件 梁的正应力强度条件 梁的切应力强度条件 梁的合理强度设计 非对称截面梁的平面弯曲 非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面梁的弯曲中心 考虑材料塑性时梁的极限弯矩 小结 思考题 习题...7 第 6 章梁的位移 梁的挠曲线微分方程 用积分法求梁的位移 按叠加原理求梁的位移 梁的刚度条件 超静定梁的初步概念与求解 小结 思考题 习题 第 7 章应力状态 应力状态的概念 点的应力状态 (state of stresses at a given point) 主平面和主应力的概念 平面应力状态分析 解析法 任意斜截面上的应力 主平面和主应力的确定 最大剪应力 平面应力状态分析 图解法 主应力和主应力方位 主剪应力及方位 梁的主应力与主应力迹线 梁的主应力 主应力迹线 三向应力状态 广义胡克定律 三向应力状态下的变形能 体积应变 三向应力状态下的弹性变形比能 小结 思考题 习题 第 8 章强度理论 强度理论的概念 四个强度理论 最大拉应力理论 最大伸长线应变理论 最大切应力理论 形状改变比能理论 莫尔强度理论 各种强度理论的适用范围 VI

6 目录 VII 8.4. 强度理论的选用原则 强度计算的步骤 小结 思考题 习题...80 第 9 章组合变形 组合变形的概念 斜弯曲 拉伸 ( 压缩 ) 与弯曲组合变形 偏心压缩与偏心拉伸 截面核心 弯曲与扭转组合变形 小结 思考题 习题...05 第 0 章压杆稳定 压杆稳定的概念 两端铰支中心压杆的欧拉公式 不同约束条件下压杆的欧拉公式 临界应力与欧拉公式应用范围 计算临界应力的欧拉公式 欧拉公式的应用范围 超过比例极限时压杆的临界应力 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施 小结 思考题 习题... 第 章变形能法...5. 基本概念...5. 变形能的计算 轴向拉伸 ( 压缩 ) 杆 弹性变形能 受扭圆轴的弹性变形能 杆在弯曲情况下的变形能 弹性变形能的一般公式 卡氏定理 小结 思考题 习题 第 章材料研究的其他问题 材料的疲劳破坏与疲劳极限 材料在交变应力下的疲劳破坏与疲劳极限 材料在对称与非对称循环交变应力下的疲劳破坏疲劳极限 材料在动荷载作用下的力学性能 材料在长期荷载作用下的蠕变现象 小结 思考题 习题 附录 截面图形的几何性质 附. 截面的静矩与形心 附. 惯性矩与惯性积 极惯性矩... 6 附. 平行移轴公式 附.. 平行移轴公式 附.. 组合截面的惯性矩和惯性积 附.4 转轴公式 附.5 截面的主惯性矩和主惯性轴 附录 型钢规格表... 7 附录 简单荷载作用下梁的挠度和转角 参考文献 VII

7 第 章绪论基本概念 提要 : 本章首先介绍了材料力学的任务以及与其他相关课程之间的关系 其次, 在材料力学中是把实际材料看作均匀 连续 各向同性的可变形固体, 且在大多数场合下局限在小变形并在弹性变形范围内进行研究 给出了杆件变形的 4 种基本形式 : 轴向拉压 剪切 扭转和弯曲 最后, 简单介绍了用截面法求杆件内力的基本方法和步骤. 材料力学的任务及其与相关课程的关系 土木工程中, 各种建筑物在施工和使用阶段所承受的所有外力统称为荷载 (oad) 例如吊车梁的重力 墙体的自重 家具和设备的重力 风载 雪载 地震力和爆炸力等 建筑物中承受荷载并且传递荷载的空间骨架称为结构 (structure), 而任何结构都是由构件 (member) 所组成的 因此, 为了保证结构能够正常的工作, 就必须要求组成结构的每一个构件在荷载作用下能够正常的工作 为保证构件在荷载作用下的正常工作, 必须使它同时满足三方面的力学要求, 即强度 刚度和稳定性的要求 () 构件抵抗破坏的能力称为强度 (strength) 对构件的设计应保证它在规定的荷载作用下能够正常工作而不会发生破坏 例如, 钢筋混凝土梁在荷载作用下不会发生破坏 () 构件抵抗变形的能力称为刚度 (stiffness) 构件的变形必须要限制在一定的限度内, 构件刚度不满足要求同样也不能正常工作 例如, 吊车梁如果变形过大, 将会影响吊车的运行 () 构件在受到荷载作用时在原有形状下的平衡应保证为稳定的平衡, 这就是对构件的稳定性 (stabiit) 要求 例如, 厂房中的钢柱应该始终维持原有的直线平衡形态, 保证不被压弯 构件设计时, 构件的强度 刚度和稳定性与其所用的材料的力学性能有关, 而材料的力学性能需要通过试验的方法来测定 因此, 试验研究和理论研究是材料力学的两个基本研究手段 综上所述, 通过对材料力学的学习, 我们将了解构件设计的基本力学原理, 以适当地选择材料以及构件的截面形状与尺寸 材料力学的任务就是在满足强度 刚度和稳定性要求下, 使构件的设计既安全又经济 材料力学是以理论力学为先修课程, 而以结构力学为后续课程的 理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学, 理论力学的刚体静力学中关于平衡的概念以及建立平衡方程求解未知力的方法是材料力学中求解构件内力的基础 而材料力学对构件的强度 刚度和稳定性的研究将为结构力学中对结构的强度 刚度和稳定性的研究打下坚实的基础 因此, 材料力学 理论力学 结构力学是三个密切相关的课程, 材料力学起着承前启后的作用

8 材料力学 我们在学习的过程中, 应该逐步掌握建立构件力学模型的方法和构件受力分析中的基本概念和方法. 材料力学的基本假设 理论力学的研究对象是刚体 但是在材料力学中, 构件的变形不能忽略不计, 因此我们把构件作为可变形体来研究, 称它们为可变形固体 (deformabe soid) 在对可变形固体材料制成的构件进行强度 刚度和稳定性研究时, 为抽象出某种理想的力学模型, 通常根据其主要性质做出一定的假设, 同时忽略一些次要因素, 然后进行理论分析 在材料力学中, 通常对可变形固体作如下基本假设 : () 连续性假设 (continuit assumption) 这一假设认为, 构件的材料在变形后仍然保持连续性, 在其整个体积内都毫无空隙地充满了物质, 忽略了体积内空隙对材料力学性质的影响 () 均匀性假设 (homogeniation assumption) 这一假设认为, 构件的材料各部分的力学性能是相同的 从任意一点取出的单元体, 都具有与整体同样的力学性能 () 各向同性假设 (isotrop assumption) 这一假设认为, 构件的材料在各个方向的力学性能是相同的 如工程上常用的金属材料, 虽然从它们的晶粒来说, 其力学性能并不一样 ; 但从宏观上看, 各个方向的力学性能接近相同 有些材料沿各方向的力学性能并不相同, 像这样的材料称之为各向异性材料, 如木材等 (4) 小变形假设 (sma transmogrification assumption) 这一假设认为, 材料力学中所研究的构件在承受荷载作用时, 其变形量总是远小于其外形尺寸 所以, 在研究构件的平衡以及内部受力和变形等问题时, 一般可按构件的原始尺寸进行计算 (5) 线弹性假设 (inear easticit assumption) 工程上所用的材料, 在荷载作用下均将发生变形 如果在卸载后变形消失, 物体恢复原状, 则称这种变形为弹性变形 (eastic deformation); 但当荷载过大时, 则发生的变形只有一部分在卸载后能够消失, 另一部分变形将不会消失而残留下来, 这种残留下来的变形部分称为塑性变形 (pastic deformation) 对每种材料来讲, 在一定的受力范围内, 其变形完全是弹性的, 并且外力与变形之间成线性关系, 本书后面会讲到, 这种关系称为胡克定律 (Hooke aw) 在材料力学中所研究的大部分问题都局限在弹性变形范围内 综上所述, 在材料力学中是把实际材料看作均匀 连续 各向同性的可变形固体, 且在大多数场合下局限在小变形并在弹性变形范围内进行研究. 杆件的几何特征 材料力学的研究对象主要是杆件 杆件有两个主要几何因素, 即横截面 (cross section)

9 第 章绪论基本概念 和轴线 (ais) 杆件分为直杆和曲杆 如图. 所示, 杆件是纵向 ( 长度方向 ) 尺寸比横向 ( 垂直于长度方向 ) 尺寸要大得多的构件 房屋的梁 柱等构件一般都被抽象为杆件 直杆的特征是轴线为直线, 如图.(a) 所示, 曲杆的特征是轴线为曲线, 如图.(b) 所示, 直杆和曲杆的轴线与横截面都是相互垂直的 在材料力学中所研究的直杆多数是等截面的, 通常称为等截面直杆 横截面的大小沿轴线变化的杆件则称为变截面杆 横截面 横截面 轴线 (a) 纵截面 轴线 (b) 图. 杆件的轴线 横截面和纵截面 (a) 直杆轴线为直线 ;(b) 曲杆轴线为曲线.4 杆件的变形.4. 杆件变形的基本形式杆件在不同的受力情况下有不同的变形, 杆件变形的基本形式有 4 种. 轴向拉伸或轴向压缩在一对等值 反向 作用线与杆轴线重合的外力作用下, 直杆的主要变形是长度的改变 这种变形形式称为轴向拉伸 (aia tension) 或轴向压缩 (aia compression), 如图.(a) 和图.(b) 所示. 剪切在一对相距很近的等值 反向的横向外力作用下, 杆的主要变形是横截面沿外力作用方向发生的相对错动变形, 这种变形形式称为剪切 (shear), 如图.(c) 所示. 扭转在一对等值 反向 作用面都垂直于杆轴的两个力偶作用下, 杆件的任意两个相邻横截面绕轴线发生相对转动变形, 而轴线仍维持直线, 这种变形形式称为扭转 (torsion) 如图.(d) 所示 4. 弯曲在一对等值 反向 作用在杆件纵向平面内的两个力偶作用下, 杆件将在纵向平面内

10 4 材料力学 发生变曲变形, 变形后的杆轴线将弯成曲线, 这种变形形式称为弯曲 (bending), 如图.(e) 所示 工程实践中常用构件在荷载作用下同时发生几种基本变形的情况称为组合变形 (combined deformation) 本课程首先分别讨论四种基本变形, 然后再分析组合变形的问题 (a) (b) (c) M T M T M M (d) (e) 图. 杆件变形的基本形式 (a) 拉伸 ;(b) 压缩 ;(c) 剪切 ;(d) 扭转 ;(e) 弯曲.4. 应变的概念 假设杆件原长为, 承受一对轴向拉力 作用后, 杆长变为, 如图. 所示, 则杆件的纵向伸长为 Δ = (.) d d 图. 杆件的纵向变形和横向变形 Δ 表示杆件的纵向总伸长量 显然, 对于不同长度的杆件, 即使伸长量相同, 其变形程度也是不同的 为了量度杆件的变形程度, 我们引入应变 (strain) 的概念 定义单位长度上的伸长量为线应变 ( 通常也可简称为应变 ), 用符号 ε 表示 则杆件的纵向线应变为 Δ ε = (.) 由式 (.) 可知, 线应变在伸长时为正, 缩短时为负.5 杆件的内力.5. 杆件的内力截面法 根据理论力学的知识, 我们可以对一个构件进行受力分析 如图.4(a) 所示杆件的整体 4

11 第 章绪论基本概念 5 受力分析图, 荷载 支座反力 和 对于该杆件来说都称为 外力 由平面任意力系三个独立的平衡方程, 可以求出杆件三个支座反力 = cosα, = = sinα, 这样杆 所受外力就全部确定了 在外力作用下, 杆件内部各质 点间的相对位置将发生变化, 杆件内任意相邻部分之间的相互作用力也将会发生变化, 杆件内部的相互作用力所产生的变化量称为杆件的内力 由于假设物体是均匀连续的可变形固体, 所以在物体内部相邻部分之间相互作用的内力, 实际上是一个连续分布的内力系, 分布内力系的合成 ( 力或力偶 ), 简称为内力 现在, 假想沿截面 C-C 把杆件切开, 如图.4(b) 所示, 在切开的截面上, 内力实际上是分布在整个截面上的一个连续分布的内力系 把这个分布内力系向截面形心 O 简化, 即可得到截面内力的三个分量 Q 和 M N 图.4 用截面法求内力由于杆件整体是平衡的, 因此其任一脱离体也应该处于平衡状态 假想沿截面 C-C 把杆件切开后, 其左右两个脱离体仍然都能保持静力平衡状态 这样, 我们可以利用静力平衡方程求出截面上的内力 取杆件的左边部分为脱离体, 如图.4(b) 所示, 对其进行受力分析, 建立静力平衡方程 = 0, + = N 0 (.) = 0, = Q 0 (.4) M o = 0, M = 0 (.5) 联立求解可得到 Q 和 M 的值 值得注意的是, 在式 (.5) 中, 是以被切断截面形 N 心为矩心所建立的力矩平衡方程 如取右半部分为脱离体, 可以求出相同的结果 5

12 6 材料力学 上述求杆件某一截面处内力的方法, 称为截面法 (method of section) 其一般步骤是: () 在需求内力的截面处假想地把杆件截开, 取其中某一部分为脱离体 () 对所取的脱离体进行受力分析 脱离体所受的力包括作用于脱离体上的外力和切断截面上的内力 () 对脱离体建立静力平衡方程求出截面未知内力 截面法求解杆件内力的关键是截开杆件取脱离体, 这样就使杆件的截面内力转化为脱离体上的外力.5. 应力的概念在外力作用下, 杆件某一截面上一点处内力的分布集度称为应力 (stress) 如图.5 所示, 在杆件截面 m m上任一点 K 的周围取一微面积 Δ, 设 Δ 上分布内 Δ 力的合力为 Δ, 则在微面积 Δ 上内力 Δ 的平均集度称为 Δ 上的平均应力 当微 Δ 面积 Δ 无限趋近于 0 时, 平均应力的极限值称为 K 点的总应力 p, 即 Δ p = im (.6) Δ 0 Δ m m Δ Δ τ p (a) K m (b) K m 图.5 横截面微面积上的内力和应力 总应力 p 是矢量, 其方向一般既不与截面垂直, 也不与截面相切 通常将总应力 p 分解为与截面垂直的法向分量 和与截面相切的切向分量 τ 法向分量 称为正应力, 切向 分量 τ 称为切应力 应力的量纲为 ML T, 应力的单位为 N/m, 符号为 Pa( 帕 ), 6 9 Pa=N/m, MPa=0 Pa, GPa=0 Pa.6 小结. 材料力学的基本任务为保证构件在荷载作用下的正常工作, 必须使它同时满足三方面的力学要求, 即强度 刚度和稳定性的要求 材料力学的任务就是在满足强度 刚度和稳定性要求下, 使构件的设计既安全又经济. 杆件的基本假设和基本变形在材料力学中, 通常对可变形固体作如下基本假设 : 连续性假设 均匀性假设 各向 6

13 第 章绪论基本概念 7 同性假设 小变形假设和线弹性假设 在材料力学中所研究的大部分问题都局限在弹性范围内 杆件的 4 种基本变形形式 : 轴向拉压 剪切 扭转和弯曲. 截面法用截面法求内力, 首先是取其中某一部分为脱离体, 然后对所取的脱离体进行受力分析, 最后对脱离体建立静力平衡方程求出截面未知内力 截面法求解杆件内力的关键是截开杆件取脱离体, 这样就使杆件的截面内力转化为脱离体上的外力.7 思考题. 内力与外力之间的相互关系. 截面上正应力的大小处处相同吗? 7

14 第 章杆件的拉伸与压缩 提要 : 轴向拉压是构件的基本受力形式之一, 要对其进行分析, 首先需要计算内力, 在本章介绍了计算内力的基本方法 截面法 为了判断材料是否会发生破坏, 还必须了解内力在截面上的分布状况, 即应力 由试验观察得到的现象做出平面假设, 进而得出横截面上的正应力计算公式 根据有些构件受轴力作用后破坏形式是沿斜截面断裂, 进一步讨论斜截面上的应力计算公式 为了保证构件的安全工作, 需要满足强度条件, 根据强度条件可以进行强度校核, 也可以选择截面尺寸或者计算容许荷载 本章还研究了轴向拉压杆的变形计算, 一个目的是分析拉压杆的刚度问题, 另一个目的就是为解决超静定问题做准备, 因为超静定结构必须借助于结构的变形协调关系所建立的补充方程, 才能求出全部未知力 在超静定问题中还介绍了温度应力和装配应力的概念及计算 不同的材料具有不同的力学性能, 本章介绍了塑性材料和脆性材料的典型代表低碳钢和铸铁在拉伸和压缩时的力学性能. 轴向拉伸和压缩的概念 在实际工程中, 承受轴向拉伸或压缩的构件是相当多的, 例如起吊重物的钢索 桁架中的拉杆和压杆 悬索桥中的拉杆等, 这类杆件共同的受力特点是 : 外力或外力合力的作用线与杆轴线重合 ; 共同的变形特点是 : 杆件沿着杆轴方向伸长或缩短 这种变形形式就称为轴向拉伸或压缩, 这类构件称为拉杆或压杆 本章只研究直杆的拉伸与压缩 可将这类杆件的形状和受力情况进行简化, 得到如图. 所示的受力与变形的示意图, 图中的实线为受力前的形状, 虚线则表示变形后的形状 P P P P 图. 轴向拉压杆件变形示意图

15 第 章杆件的拉伸与压缩 9. 拉 ( 压 ) 杆的内力计算.. 轴力的概念 为了进行拉 ( 压 ) 杆的强度计算, 必须首先研究杆件横截面上的内力, 然后分析横截面上的应力 下面讨论杆件横截面上内力的计算 取一直杆, 在它两端施加一对大小相等 方向相反 作用线与直杆轴线相重合的外力, 使其产生轴向拉伸变形, 如图.(a) 所示 为了显示拉杆横截面上的内力, 取横截面把 m m 拉杆分成两段 杆件横截面上的内力是一个分布力系, 其合力为 N, 如图.(b) 和.(c) 所示 由于外力 P 的作用线与杆轴线相重合, 所以 N 的作用线也与杆轴线相重合, 故称 N 为轴力 (aia force) 由左段的静力平衡条件 X = 0 有 : N + ( P ) = 0, 得 N = P 为了使左右两段同一横截面上的轴力具有相同的正负号, 对轴力的符号作如下规定 : 使杆件产生纵向伸长的轴力为正, 称为拉力 (tension); 使杆件产生纵向缩短的轴力为负, 称为压力 (compression) 不难理解, 拉力的方向是离开截面的, 压力的方向是指向截面的 图. 轴向拉压杆横截面的内力.. 用截面法求轴力在上面分析轴力的过程中所采用的方法就是本书在.5. 中已经介绍的截面法 (section method), 它是求内力的一般方法, 也是材料力学中的基本方法之一 用截面法求轴向拉 ( 压 ) 杆轴力的基本步骤是 : () 在需要求内力的截面处, 假想地用横截面将杆件截开为两部分 () 任取一部分为研究对象, 画出其受力图, 注意, 要将另一部分对其的作用力 ( 轴力 ) 加到该研究对象的受力图中 () 利用平衡条件建立平衡方程, 求出截面内力即轴力 为了便于由计算结果直接判断内力的实际指向, 无论截面上实际内力指向如何, 一律先设为正方向, 即未知轴力均设为拉力 求出来的结果如果是正值, 说明实际指向与所设方向相同, 即为拉力 ; 如果求出来的结果是负值, 说明实际指向与所设方向相反, 即为 9

16 0 材料力学 压力.. 轴力图多次利用截面法, 可以求出所有横截面上的轴力, 轴力沿杆轴的分布可以用图形描述 一般以与杆件轴线平行的坐标轴表示各横截面的位置, 以垂直于该坐标轴的方向表示相应的内力值, 这样做出的图形称为轴力图 (aia force diagram), 也称为 图 轴力图能够简 洁地了表示杆件各横截面的轴力大小及方向, 它是进行应力 变形 强度 刚度等计算的依据 下面说明轴力图的绘制方法 : 选取一坐标系, 其横坐标表示横截面的位置, 纵坐标表示相应横截面的轴力, 然后根据各段内的轴力的大小与符号, 就可绘出表示杆件轴力与截面位置关系的图线, 即所谓轴力图 这样从轴力图上不但可以看出各段轴力的大小, 而且还可以根据正负号看出各段的变形是拉伸还是压缩 例. 一等直杆, 其受力情况如图. 所示, 试作其轴力图 N 图. 例. 图 解 : 一般来说解题首先应搞清问题种类, 由该杆的受力特点可知它是轴向拉压杆, 其内力是轴力 N 下面用截面法求内力 如图.4 所示, 在 之间任取一横截面 -, 将杆件分为两部分, 取左边部分为研究对象 ( 以右边部分为研究对象也可 ), 画出该脱离体的受力图, 由静力平衡条件列方程由 X = 0 有 + 0 = 0 得 = 0kN N 在 C 之间任取一横截面 -, 截面将杆件分为两部分, 取左边部分为研究对象 ( 以右边部分为研究对象也可 ), 由静力平衡条件列方程由 X = 0 有 N = 0 得 N = 0kN 在 CD 之间任取一横截面 -, 截面将杆件分为两部分, 取左边部分为研究对象 ( 以右边部分为研究对象也可 ), 由静力平衡条件列方程由 X = 0 有 N = 0 得 N = 0kN 根据 C CD 段内轴力的大小和符号, 画出轴力图, 如图.4 所示 注意, 画轴力图时一般应与受力图对正, 当杆件水平放置或倾斜放置时, 正值应画在与杆件轴线平行的 横坐标轴的上方或斜上方, 而负值则画在下方或斜下方, 并且标出正负号 当杆件竖直放置时, 正负值可分别画在不同侧并标出正负号 ; 轴力图上可以适当地画一些纵标线, 纵标线必须垂直于坐标轴 ; 旁边应标明内力图的名称 熟练以后可以不必 N 0

17 第 章杆件的拉伸与压缩 画各隔离体的受力图 图.4 例. 图. 横截面及斜截面上的应力.. 横截面上的应力 横截面是垂直于杆轴线的截面, 前面已经介绍了如何求杆件的轴力, 但是仅知道杆件横截面上的轴力, 并不能立即判断杆在外力作用下是否会因强度不足而破坏 例如, 两根材料相同而粗细不同的直杆, 受到同样大小的拉力作用, 两杆横截面上的轴力也相同, 随着拉力逐渐增大, 细杆必定先被拉断 这说明杆件强度不仅与轴力大小有关, 而且与横截面面积有关, 所以必须用横截面上的内力分布集度 ( 即应力 ) 来度量杆件的强度 在拉 ( 压 ) 杆横截面上, 与轴力 N 相对应的是正应力, 一般用 表示 要确定该应力的大小, 必须了解它在横截面上的分布规律 一般可通过观察其变形规律, 来确定正应力 的分布规律 取一等直杆, 在其侧面上面做两条垂直于轴线的横线 ab 和 cd, 如图.5(a) 所示, 在两端施加轴向拉力 P, 观察发现, 在杆件变形过程中, ab 和 cd 仍保持为直线, 且仍然垂直于轴线, 只是分别平移到了 ab 和 cd ( 图.5(a) 中虚线 ), 这一现象是杆件变形的外在反应 根据这一现象, 从变形的可能性出发, 可以作出假设 : 原为平面的横截面变形后仍保持为平面, 且垂直于轴线, 这个假设称为平面假设 (pane section assumption), 该假设意味着杆件变形后任意两个横截面之间所有纵向线段的伸长相等 又由于材料的均质连续性假设,

18 材料力学 由此推断 : 横截面上的应力均匀分布, 且方向垂直于横截面, 即横截面上只有正应力 且均匀分布, 如图.5(b) 所示 ( 这一推断已被弹性试验证实 ) 图.5 平面假设示意图 设杆的横截面面积为, 微面积 d 上的内力分布集度为, 由静力关系得 : = d = d= N 得拉杆横截面上正应力 的计算公式 = N (.) 式中, 为横截面上的正应力, N 为横截面上的轴力, 为横截面面积 公式 (.) 也同样适用于轴向压缩的情况 当 N 为拉力时, 为拉应力 ; 当 N 为压力时, 为压应力, 根据前面关于内力正负号的规定, 所以拉应力为正, 压应力为负 应该指出, 正应力均匀分布的结论只在杆上离外力作用点较远的部分才成立, 在荷载作用点附近的截面上有时是不成立的 这是因为在实际构件中, 荷载以不同的加载方式施加于构件, 这对截面上的应力分布是有影响的 但是, 实验研究表明, 加载方式的不同, 只对作用力附近截面上的应力分布有影响, 这个结论称为圣维南 (Saint-Venant) 原理 根据这一原理, 在拉 ( 压 ) 杆中, 离外力作用点稍远的横截面上, 应力分布便是均匀的了 一般在拉 ( 压 ) 杆的应力计算中直接用公式 (.) 当杆件受多个外力作用时, 通过截面法可求得最大轴力 N ma, 如果是等截面杆件, ma 利用公式 (.) 就可立即求出杆内最大正应力 ma = N ; 如果是变截面杆件, 则一般需 要求出每段杆件的轴力, 然后利用公式 (.) 分别求出每段杆件上的正应力, 再进行比较确定最大正应力 ma 例. 一变截面圆钢杆 CD, 如图.6(a) 所示, 已知 P = 0kN, P = 5kN, P = 5kN, d = mm, d = 6mm, d = 4mm 试求: () 各截面上的轴力, 并作轴力图 () 杆的最大正应力 解 :() 求内力并画轴力图 分别取三个横截面 I-I Ⅱ-Ⅱ Ⅲ-Ⅲ 将杆件截开, 以右边部分为研究对象, 各截面上的轴力分别用 N N N 表示, 并设为拉力, 各部分的受力图如图.6(b) 所示 由各部分的静力平衡方程 X = 0 可得 : N = P = 0kN.6

19 第 章杆件的拉伸与压缩 P P = 5kN N + = 0 P P P = 50kN N + + = 0 其中负号表示轴力与所设方向相反, 即为压力 作出轴力图如图.6(c) 所示 N N 图.6 例. 图 () 求最大正应力 由于该杆为变截面杆, C 及 CD 三段内不仅内力不同, 横截面面积也不同, 这就需要分别求出各段横截面上的正应力 利用式 (.) 分别求得 C 和 CD 段内的正应力为 0 0 N = N = = N mm = 76.84MPa π mm N = N = = N mm = 74.60MPa π 6 mm 4 N 50 0 N = = = 0.5 N mm = 0.5MPa π 4 mm 4 由上述结果可见, 该钢杆最大正应力发生在 段内, 大小为 76.84MPa

20 4 材料力学.. 斜截面上的应力 前面讨论了拉 ( 压 ) 杆横截面上的正应力, 但实验表明, 有些材料拉 ( 压 ) 杆的破坏发生在斜截面上 为了全面研究杆件的强度, 还需要进一步讨论斜截面上的应力 设直杆受到轴向拉力 P 的作用, 其横截面面积为, 用任意斜截面 m m将杆件假想的切开, 设该斜截面的外法线与 轴的夹角为 α, 如图.7(a) 所示 设斜截面的面积为 α 则 α = cos α 设 Nα 为 m m截面上的内力, 由左段平衡求得为 = Nα P, 如图.7(b) 所示 仿照横截面上应力的推导方法, 可知斜截面上各点处应力均匀分布 用 P α 表示其上的应力, 则 P Pcosα Pα = = = cosα α 式中的 为横截面上的正应力 将应力 P α 分解成沿斜截面法线方向分量 α 和沿斜截面切线方向分量 τ α, α 称为正应力 (norma stress), τ α 称为切应力 (shear stress), 如图.7(c) 所示 关于应力的符号规定为 : 正应力符号规定同前, 切应力绕截面顺时针转动时为正, 反之为负 α 的符号规定 : 由 轴逆时针转到外法线方向时为正, 反之为负 由图.7(c) 可知 α = P α cosα = cos α (.) τα = P α sinα = sinαcosα = sin α (.) 从式 (.) 式(.) 可以看出, α 和 τ α 均随角度 α 而改变 当 α = 0 时, α 达到最大值, 其值为, 斜截面 m m为垂直于杆轴线的横截面, 即最大正应力发生在横截面上 ; 当 α = 45 时, τ α 达到最大值, 其值为, 最大切应力发生在与轴线成 45 角的斜截面上 图.7 斜截面的应力 4

21 第 章杆件的拉伸与压缩 5 以上分析结果对于压杆也同样适用 尽管在轴向拉 ( 压 ) 杆中最大切应力只有最大正应力大小的二分之一, 但是如果材料抗剪比抗拉 ( 压 ) 能力要弱很多, 材料就有可能由于切应力而发生破坏 有一个很好的例子就是铸铁在受轴向压力作用的时候, 沿着 45 斜截面方向发生剪切破坏.. 应力集中的概念前面所介绍的应力计算公式适用于等截面的直杆, 对于横截面平缓变化的拉压杆按该公式计算应力在工程实际中一般是允许的 ; 然而在实际工程中某些构件常有切口 圆孔 沟槽等几何形状发生突然改变的情况 试验和理论分析表明, 此时横截面上的应力不再是均匀分布, 而是在局部范围内急剧增大, 这种现象称为应力集中 (stress concentration) 如图.8(a) 所示的带圆孔的薄板, 承受轴向拉力 P 的作用, 由试验结果可知 : 在圆孔附近的局部区域内, 应力急剧增大 ; 而在离这一区域稍远处, 应力迅速减小而趋于均匀, 如图.8(b) 所示 在 I-I 截面上, 孔边最大应力 ma 与同一截面上的平均应力 n 之比, 用 K 表示 K = n K 称为理论应力集中系数 (theoretica stress concentration factor), 它反映了应力集中的程度, 是一个大于 的系数 试验和理论分析结果表明 : 构件的截面尺寸改变越急剧, 构件的孔越小, 缺口的角越尖, 应力集中的程度就越严重 因此, 构件上应尽量避免带尖角 小孔或槽, 在阶梯形杆的变截面处要用圆弧过渡, 并尽量使圆弧半径大一些 各种材料对应力集中的反应是不相同的 塑性材料 ( 如低碳钢 ) 具有屈服阶段, 当孔边附近的最大应力 ma 到达屈服极限 S 时, 该处材料首先屈服, 应力暂时不再增大, 若外力继续增大, 增大的内力就由截面上尚未屈服的材料所承担, 使截面上其他点的应力相继增大到屈服极限, 该截面上的应力逐渐趋于平均, 如图.9 所示 因此, 用塑性材料制作的构件, 在静荷载作用下可以不考虑应力集中的影响 而对于脆性材料制成的构件, 情况就不同了 因为材料不存在屈服, 当孔边最大应力的值达到材料的强度极限时, 该处首先产生裂纹 所以用脆性材料制作的构件, 应力集中将大大降低构件的承载力 因此, 即使在静载荷作用下也应考虑应力集中对材料承载力的削弱 不过有些脆性材料内部本来就很不均匀, 存在不少孔隙或缺陷, 例如含有大量片状石墨的灰铸铁, 其内部的不均匀性已经造成了严重的应力集中, 测定这类材料的强度指标时已经包含了内部应力集中的影响, 而由构件形状引起的应力集中则处于次要地位, 因此对于此类材料做成的构件, 由其形状改变引起的应力集中就可以不再考虑了 以上是针对静载作用下的情况, 当构件受到冲击荷载或者周期性变化的荷载作用时, 不论是塑性材料还是脆性材料, 应力集中对构件的强度都有严重的影响, 可能造成极大危害 ma (.4) 5

22 6 材料力学 图.8 带圆孔薄板的应力集中 图.9 塑性材料的应力集中.4 胡克定律 杆件在轴向拉伸或压缩时, 其轴线方向的尺寸和横向尺寸将发生改变 杆件沿轴线方向的变形称为纵向变形, 杆件沿垂直于轴线方向的变形称为横向变形 设一等直杆的原长为, 横截面面积为, 如图.0 所示 在轴向拉力 P 的作用下, 杆件的长度由 变为, 其纵向伸长量为 Δ = 图.0 轴向伸长变形示意图 Δ 称为绝对伸长, 它只反映总变形量, 无法说明杆的变形程度 将 Δ 除以 得杆件纵向正应变为 Δ ε = (.5) 当材料应力不超过某一限值 P ( 以后将会讲到, 这个应力值称为材料的 比例极限 ) 时, 应力与应变成正比, 即 = Eε (.6) 这就是胡克定律 (Hooke aw), 是根据著名的英国科学家 Robert Hooke 命名的 公式 (.6) 中的 E 是弹性模量, 也称为杨氏模量 (Young s moduus), 是根据另一位英国科学家 6

23 第 章杆件的拉伸与压缩 7 6 Thomas Young 命名的, 由于 ε 是无量纲量, 故 E 的量纲与 相同, 常用单位为 MPa(0 Pa) 9 GPa(0 Pa), E 随材料的不同而不同, 对于各向同性材料它均与方向无关 公式 (.5) 公式 (.6) 同样适用于轴向压缩的情况 将公式 (.) 和公式 (.6) 代入公式 (.5), 可得胡克定律的另一种表达式为 Δ = N (.7) E 由该式可以看出, 若杆长及外力不变, E 值越大, 则变形 Δ 越小, 因此, E 反映杆件抵抗拉伸 ( 或压缩 ) 变形的能力, 称为杆件的抗拉 ( 抗压 ) 刚度 (aia rigidit) 公式 (.7) 也适用于轴向压缩的情况, 应用时 N 为压力, 是负值, 伸长量 Δ 算出来是负值, 也就是杆件缩短了 设拉杆变形前的横向尺寸分别为 a 和 b, 变形后的尺寸分别为 a 和 b ( 图.0), 则 Δ a = a a Δ b= b b 由试验可知, 二横向正应变相等, 故 Δa Δb ε = = (.8) a b 试验结果表明, 当应力不超过材料的比例极限时, 横向正应变与纵向正应变之比的绝对值为一常数, 该常数称为泊松比 (Poisson s ratio), 用 μ 来表示, 它是一个无量纲的量, 可表示为 ε ε μ = = (.9) ε ε 或 ε = με (.0) 公式 (.9) 公式(.0) 同样适用于轴向压缩的情况 和弹性模量 E 一样, 泊松比 μ 也是材料的弹性常数, 随材料的不同而不同, 由试验测定 对于绝大多数各向同性材料, μ 介于 0~0.5 之间 几种常用材料的 E 和 μ 值, 列于表 - 中 表 - 材料的弹性模量和泊松比 弹性常数 钢与合金钢 铝合金 铜 铸铁 木 ( 顺纹 ) E (GPa) 00~0 70~7 00~0 80~60 8~ μ 0.5~ ~0.4 0.~0.5 0.~0.7 例. 如图.(a) 所示的铅垂悬挂的等截面直杆, 其长度为, 横截面面积为, 材料的比重为 γ, 弹性模量为 E 试求该杆总的伸长量 解 :() 计算吊杆的内力 以吊杆轴线为坐标轴, 吊杆底部为原点取坐标系, 则任一横截面的位置可用 来表示 任取一横截面, 取下面部分为研究对象 ( 图.(b)), 得杆内任意横截面上的轴力为 N ( ) = γ () 计算吊杆的变形 因为杆的轴力是一变量, 因此不能直接应用胡克定律来计算变形, 在 处截取微段 d 7

24 8 材料力学 来研究, 受力情况如图.(c) 所示 因 d 极其微小, 故该微段上下两面的应力可以认为相 等, 该微段的伸长为则杆的总伸长量为 ( )d Δ d = N E N ( ) d γ γ Δ = Δ d= = d= 0 0 E 0 E E 图. 例. 图 例.4 图.(a) 所示一简易托架, 尺寸如图所示, 杆件的横截面面积分别为 C = 68.80mm, 位移 D = 0.4cm, 两杆的弹性模量 E=00GPa,P=60kN, 试求 点的 解 :() 计算各杆的内力, 截断 C 和 D 两杆, 以结点 为研究对象, 设 C 杆的轴力为 N,D 杆的轴力为 N, 如图.(b) 所示 根据静力平衡方程计算得 P N = = 45kN 4 5P N = = 75kN 4 () 计算 点的位移, 由公式 (.7) 可求出 C 杆的伸长量为 C Δ C = N = =.5mm E D 杆的变形量为 C D Δ D = N = = ED mm 计算出的结果为负值, 说明杆件是缩短的 假想把托架从结点 拆开, 那么 C 杆伸长变形后成为 C,D 杆压缩变形后成 D, 分别以 C 点和 D 点为圆心, 以 C 和 D 为半径作弧相交于 处, 该点即为托架变形后 8

25 第 章杆件的拉伸与压缩 9 点的位置 由于是小变形, 和 是两段极短的弧, 因而可分别用 C 和 D 的垂线来代替, 两垂线的交点为, 即为 点的位移 这种作图法称为 切线代圆弧 法 现用解析法计算位移 为了清楚起见, 可将多边形 放大, 如图.(c) 所示 由图可知 : 点的水平位移和垂直位移分别为 Δ = =Δ C =.5mm 4 4 Δ = = + 4 =Δ D + Δ C +Δ D = 4.7mm 点的总位移为 Δ = Δ +Δ = =.4mm 与结构原尺寸相比很小的变形称为小变形 在小变形的条件下, 一般按结构的原有几何形状与尺寸计算支座反力和内力, 并可以采用上述用切线代替圆弧的方法确定位移, 从而大大简化计算 在以后的学习中也有很多地方利用它来简化计算 图. 例.4 图.5 材料在拉伸压缩时的力学性能.5. 材料的拉伸与压缩试验前面讨论拉 ( 压 ) 杆的计算中曾经涉及材料的一些力学性能, 例如弹性模量 E 泊松比 μ 等, 后面将要学习的强度计算中还要涉及另外一些力学性能 所谓力学性能是指材料在外力作用下表现出的强度和变形方面的特性 它是通过各种试验测定得出的, 材料的力学性能和加载方式 温度等因素有关 本节主要介绍材料在静载 ( 缓慢加载 ) 常温( 室温 ) 下拉伸 ( 压缩 ) 试验的力学性能 常温静载拉伸实验 (tensie test) 是测定材料力学性能的基本试验之一, 在国家标准 ( 金属材料室温拉伸试验方法,G/T 8 00) 中对其方法和要求有详细规定 对于金属材 9

26 0 材料力学 料, 通常采用圆柱形试件, 其形状如图. 所示, 长度 为标距 (gage ength) 标距一般有两种, 即 = 5d 和 = 0d, 前者称为短试件, 后者称为长试件, 式中的 d 为试件的直径 图. 金属材料圆柱形试件低碳钢和铸铁是两种不同类型的材料, 都是工程实际中广泛使用的材料, 它们的力学性能比较典型, 因此, 以这两种材料为代表来讨论其力学性能.5. 低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢 ( Q5 ) 是指含碳量在 0.% 以下的碳素钢, 过去俗称 钢 将低碳钢试件两端装入试验机 (Test-machine) 上, 缓慢加载, 使其受到拉力产生变形, 利用试验机的自动绘图装置, 可以画出试件在试验过程中标距为 段的伸长 Δ 和拉力 P 之间的关系曲线 该曲线的横坐标为 Δ, 纵坐标为 P, 称之为试件的拉伸图, 如图.4 所示 拉伸图与试样的尺寸有关, 将拉力 P 除以试件的原横截面面积, 得到横截面上的正应力, 将其作为纵坐标 ; 将伸长量 Δ 除以标距的原始长度, 得到应变 ε 作为横坐标 从而获得 ε 曲线, 如图.5 所示, 称为应力 应变图 (stress-strain diagram) 或应力 应变曲线 图.4 低碳钢试件的拉伸图图.5 低碳钢拉伸时的 ε 曲线图 由低碳钢的 ε 曲线可见, 整个拉伸过程可分为下述的 4 个阶段 () 弹性阶段 oa 当应力 小于 a 点所对应的应力时, 如果卸去外力, 变形全部消失, 这种变形称为弹性变形 (eastic deformation) 因此, 这一阶段称之为弹性阶段 相应于 a 点的应力用 e 表示, 它是材料只产生弹性变形的最大应力, 故称为弹性极限 (eastic imit) 在弹性阶段内, 开始为一斜直线 oa, 这表示当应力小于 a 点相应的应力时, 应力与应变成正比, 即 = Eε (.) 即符合胡克定律, 由公式 (.) 可知, E 为斜线 oa 的斜率 与 a 点相应的应力用 表示, p 0

27 第 章杆件的拉伸与压缩 它是应力与应变成正比的最大应力, 故称之为比例极限 (proportiona imit) 在 ε 曲线上, 超过 a 点后 aa 段的图线微弯, a 与 a 极为接近, 因此工程中对弹性极限和比例极限并不严格区分 低碳钢的比例极限 00MPa, 弹性模量 E 00GPa p 当应力超过弹性极限后, 若卸去外力, 材料的变形只能部分消失, 另一部分将残留下来, 残留下来的那部分变形称为残余变形或塑性变形 () 屈服阶段 bc 当应力达到 b 点的相应值时, 应力几乎不再增加或在一微小范围内波动, 变形却继续增大, 在 ε 曲线上出现一条近似水平的小锯齿形线段, 这种应力几乎保持不变而应变显著增长的现象, 称为屈服或流动,bc 阶段称之为屈服阶段 在屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为上屈服极限和下屈服极限 由于上屈服极限一般不如下屈服极限稳定, 故规定下屈服极限为材料的屈服强度 (ied strength), 用 s 表示 低碳钢的屈服强度为 s 5MPa 若试件表面经过磨光, 当应力达到屈服极限时, 可在试件表面看到与轴线约 45 的一系列条纹, 如图.6 所示 这可能是材料内部晶格间相对滑移而形成的, 故称为滑移线 (sip-ines) 由前面的分析知道, 轴向拉压时, 在与轴线成 45 的斜截面上, 有最大的切应力 可见, 滑移现象是由于最大切应力达到某一极限值而引起的 图.6 低碳钢试件屈服时表面滑移线 () 强化阶段 ce 屈服阶段结束后, 材料又恢复了抵抗变形的能力, 增加拉力使它继续变形, 这种现象称为材料的强化 从 c 点到曲线的最高点 e, 即 ce 阶段为强化阶段 e 点所对应的应力是材料所能承受的最大应力, 故称极限强度 (utimate strength), 用 b 表示 低碳钢的强度极限 b 80MPa 在这一阶段中, 试件发生明显的横向收缩 如果在这一阶段中的任意一点 d 处, 逐渐卸掉拉力, 此时应力 应变关系将沿着斜直线 dd 回到 d 点, 且 dd 近似平行于 oa 这时材料产生大的塑性变形(pastic deformation), 横坐标中的 od 表示残留的塑性应变, dg 则表示弹性应变 如果立即重新加载, 应力 应变关系大体上沿卸载时的斜直线 dd 变化, 到 d 点后又沿曲线 def 变化, 直至断裂 从图.5 中看出, 在重新加载过程中, 直到 d 点以前, 材料的变形是弹性的, 过 d 点后才开始有塑性变形 比较图中的 oa abcdef 和 ddef 两条曲线可知, 重新加载时其比例极限得到提高, 故材料的强度也提高了, 但塑性变形却有所降低 这说明, 在常温下将材料预拉到强化阶段, 然后卸载, 再重新加载时, 材料的比例极限提高而塑性降低, 这种现象称为冷作硬化 在工程中常利用冷作硬化来提高材料的强度, 例如用冷拉的办法可以提高钢筋的强度 可有时则要消除其不利的一面, 例如冷轧钢板或冷拔钢丝时, 由于加工硬化, 降低了材料的塑性, 使继续轧制和拉拔困难, 为了恢复塑性, 则要进行退火处理 (4) 局部变形阶段 ef 在 e 点以前, 试件标距段内变形通常是均匀的 当到达 e 点后, 试件变形开始集中于某一局部长度内, 此处横截面面积迅速减小, 形成颈缩 (necking) 现象, 如图.7 所示 由于局部的截面收缩, 使试件继续变形所需的拉力逐渐减小, 直到 f 点试

28 材料力学 件断裂 图.7 低碳钢试件的颈缩现象 从上述的实验现象可知, 当应力达到 s 时, 材料会产生显著的塑性变形, 进而影响结构的正常工作 ; 当应力达到 b 时, 材料会由于颈缩而导致断裂 屈服和断裂, 均属于破坏现象 因此, s 和 b 是衡量材料强度的两个重要指标 材料产生塑性变形的能力称为材料的塑性性能 塑性性能是工程中评定材料质量优劣的重要方面, 衡量材料塑性的指标有延伸率 δ 和断面收缩率 ψ, 延伸率 δ 定义为 δ = 00% (.) 式中, 为试件断裂后长度, 为原长度 断面收缩率 ψ 定义为 ψ = 00% (.) 式中, 为试件断裂后断口的面积, 为试件原横截面面积 工程中通常将延伸率 δ 5% 的材料称为塑性材料 (ductie materias),δ 5% 的材料称为脆性材料 (britte materias) 低碳钢的延伸率 δ =5%~0%, 截面收缩率 ψ =60%, 是塑性材料 ; 而铸铁 陶瓷等属于脆性材料.5. 其他材料在拉伸时的力学性能. 铸铁拉伸时的力学性能 铸铁拉伸时的 ε 曲线如图.8 所示 整个拉伸过程中 ε 关系为一微弯的曲线, 直到拉断时, 试件变形仍然很小 在工程中, 在较低的拉应力下可以近似地认为变形服从胡克定律, 通常用一条割线来代替曲线, 如图.8 中的虚线所示, 并用它确定弹性模量 E 这样确定的弹性模量称为割线弹性模量 由于铸铁没有屈服现象, 因此强度极限 b 是衡量强度的唯一指标 b 图.8 铸铁拉伸时的 ε 曲线图

29 第 章杆件的拉伸与压缩. 其他几种材料拉伸时的力学性能图.9(a) 中给出了几种塑性材料拉伸时的 ε 曲线, 它们有一个共同特点是拉断前均有较大的塑性变形, 然而它们的应力 应变规律却大不相同, 除 6Mn 钢和低碳钢一样有明显的弹性阶段 屈服阶段 强化阶段和局部变形阶段外, 其他材料并没有明显的屈服阶段 对于没有明显屈服阶段的塑性材料, 通常以产生的塑性应变为 0.% 时的应力作为屈服极限, 并称为名义屈服极限, 用 0. 来表示, 如图.9(b) 所示 常用材料的力学性能由表 - 给出 (a) (b) 材料名称牌号 s (MPa) 普通碳素钢 优质碳素钢 低合金钢 图.9 几种塑性材料拉伸时的 ε 曲线图 表 - 常用材料的力学性质 b (MPa) δ 5 (%) 备注 Q5 5 5~450 6~ 对应旧牌号 Q5 5 75~500 ~6 对应旧牌号 Q ~550 9~4 对应旧牌号 4 Q ~60 5~0 对应旧牌号 号钢 号钢 号钢 号钢 5MnV 锰钒 6Mn 锰

30 4 材料力学 材料名称牌号 s (MPa) 合金钢 铸钢 灰铸铁 续表 b (MPa) δ 5 (%) 备注 0Cr 铬 40Cr 铬 0CrMnSi 铬锰硅 ZG ZG HT50 50 HT50 50 铝合金 LY 硬铝 注 : δ 5 表示标距 = 5d 的标准试样的伸长率 ; 灰铸铁的 b 为拉伸强度极限.5.4 材料在压缩时的力学性能 一般细长杆件压缩时容易产生失稳现象, 因此材料的压缩试件一般做成短而粗 金属材料的压缩试件为圆柱, 混凝土 石料等试件为立方体 低碳钢压缩时的应力 应变曲线如图.0 所示 为了便于比较, 图中还画出了拉伸时的应力 应变曲线, 用虚线表示 可以看出, 在屈服以前两条曲线基本重合, 这表明低碳钢压缩时的弹性模量 E 屈服极限 s 等都与拉伸时基本相同 不同的是, 随着外力的增大, 试件被越压越扁却并不断裂, 如图. 所示 由于无法测出压缩时的强度极限, 所以对低碳钢一般不做压缩实验, 主要力学性能可由拉伸实验确定 类似情况在一般的塑性金属材料中也存在, 但有的塑性材料, 如铬钼硅合金钢, 在拉伸和压缩时的屈服极限并不相同, 因此对这些材料还要做压缩试验, 以测定其压缩屈服极限 图.0 低碳钢压缩时的 ε 曲线图图. 低碳钢压缩时的变形示意图脆性材料拉伸时的力学性能与压缩时有较大区别 例如铸铁, 其压缩和拉伸时的应力 应变曲线分别如图. 中的实线和虚线所示 由图可见, 铸铁压缩时的强度极限比拉伸时大得多, 约为拉伸时强度极限的 ~4 倍 铸铁压缩时沿与轴线约成 45 的斜面断裂, 如图. 所示, 说明是切应力达到极限值而破坏 拉伸破坏时是沿横截面断裂, 说明是拉应力达到极限值而破坏 其他脆性材料, 如混凝土和石料, 也具有上述特点, 抗压强度也 4

31 远高于抗拉强度 因此, 对于脆性材料, 适宜做承压构件 第 章杆件的拉伸与压缩 5 图. 铸铁压缩时 ε 曲线图图. 铸铁压缩时断裂示意图综上所述, 塑性材料与脆性材料的力学性能有以下区别 : () 塑性材料在断裂前有很大的塑性变形, 而脆性材料直至断裂, 变形却很小, 这是二者基本的区别 因此, 在工程中, 对需经锻压 冷加工的构件或承受冲击荷载的构件, 宜采用塑性材料 () 塑性材料抵抗拉压的强度基本相同, 它既可以用于制作受拉构件, 也可以用于制作受压构件 在土木工程中, 出于经济性的考虑, 常使用塑性材料制作受拉构件 而脆性材料抗压强度远高于其抗拉强度, 因此使用脆性材料制作受压构件, 例如建筑物的基础等 但是材料是塑性还是脆性是可以随着条件变化的, 例如有些塑性材料在低温下会变得硬脆, 有些塑性材料会随着时间的增加变脆 温度 应力状态 应变速率等都会使其发生变化.6 强度条件与截面设计的基本概念 前面已经讨论了轴向拉伸或压缩时, 杆件的应力计算和材料的力学性能, 因此可进一步讨论杆的强度计算问题.6. 许用应力 由材料的拉伸或压缩试验可知 : 脆性材料的应力达到强度极限 时, 会发生断裂 ; 塑 性材料的应力达到屈服极限 ( 或 ) 时, 会发生显著的塑性变形 断裂当然是不容许的, s b 但是构件发生较大的变形一般也是不容许的, 因此, 断裂是破坏的形式, 屈服或出现较大 变形也是破坏的一种形式 材料破坏时的应力称为极限应力 (utimate stress), 用 表示 塑 性材料通常以屈服应力 作为极限应力, 脆性材料以强度极限 作为极限应力 s 根据分析计算所得构件的应力称为工作应力 (working stress) 为了保证构件有足够的强度, 要求构件的工作应力必须小于材料的极限应力 由于分析计算时采取了一些简化措施, 作用在构件上的外力估计不一定准确, 而且实际材料的性质与标准试样可能存在差异等因素可能使构件的实际工作条件偏于不安全, 因此, 为了有一定的强度储备, 在强度计算中, 引 5 b b u

32 6 材料力学 进一个安全系数 (factor of safet) n, 设定了构件工作时的最大容许值, 即许用应力 (aowabe stress), 用 [ ] 表示 u [ ] = (.4) n 式中 n 是一个大于 的系数, 因此许用应力低于极限应力 确定安全系数时, 应考虑材质的均匀性 构件的重要性 工作条件及载荷估计的准确性等 在建筑结构设计中倾向于根据构件材料和具体工作条件, 并结合过去制造同类构件的实践经验和当前的技术水平, 规定不同的安全系数 对于各种材料在不同工作条件下的安全系数和许用应力, 设计手册或规范中有具体规定 一般在常温 静载下, 对塑性材料取 n =.5~., 对脆性材料一般取 n =.0~5.0 甚至更大.6. 强度条件为了保证构件在工作时不至于因强度不够而破坏, 要求构件的最大工作应力不超过材 料的许用应力, 于是得到强度条件 (strength condition) 为 (.5) [ ] 对于轴向拉伸和压缩的等直杆, 强度条件可以表示为 ma Nma ma = [ ] 式中, ma 为杆件横截面上的最大正应力 ; N ma (.6) 为杆件的最大轴力, 为横截面面积 ;[ ] 为材料的许用应力 如对截面变化的拉 ( 压 ) 杆件 ( 如阶梯形杆 ), 需要求出每一段内的正应力, 找出最大值, 再应用强度条件 根据强度条件, 可以解决以下几类强度问题 () 强度校核 若已知拉压杆的截面尺寸 荷载大小以及材料的许用应力, 即可用公式 (.6) 验算不等式是否成立, 进而确定强度是否足够, 即工作时是否安全 () 设计截面 若已知拉压杆承受的荷载和材料的许用应力, 则强度条件变成 N ma [ ] 以确定构件所需要的横截面面积的最小值 () 确定承载能力 若已知拉压杆的截面尺寸和材料的许用应力, 则强度条件变成 [ ] N ma 以确定构件所能承受的最大轴力, 再确定构件能承担的许可荷载 最后还应指出, 如果最大工作应力 ma (.7) (.8) 略微大于许用应力, 即一般不超过许用应力的 5%, 在工程上仍然被认为是允许的 例.5 用绳索起吊钢筋混凝土管, 如图.4(a) 所示, 管子的重量 W = 0kN, 绳索的直径 d = 40mm, 容许应力 [ ] = 0MPa, 试校核绳索的强度 6

33 第 章杆件的拉伸与压缩 7 (a) (b) 解 :() 计算绳索的轴力 图.4 例.5 图 以混凝土管为研究对象, 画出其受力图如图.4(b) 所示, 根据对称性易知左右两段绳索轴力相等, 记为 N, 根据静力平衡方程有 sin45 = W 计算得 = 5 kn W N () 校核强度 = N = N = = π d.4 40 = < = 故绳索满足强度条件, 能够安全工作 N 5.6 N/mm 5. 6MPa [ ] 0 MPa 例.6 例.4 所示结构 ( 图.(a)) 中, 若 C 杆为圆截面钢杆, 其直径 d=8.5mm,d 杆为 8 号槽钢, 两杆的 [ ]=60MPa, 其他条件不变, 试校核该托架的强度 解 :() 计算各杆的内力 由例.4 的结果有 N = 45kN N = 75kN () 校核两杆的强度 πd 对于 C 杆, 其横截面面积为 C = = mm, 利用公式 (.), 则该杆的工作 4 应力为 45 0 C = N = = 67.4MPa C 工作应力大于许用应力, 但是其增大幅度并不大 % = 4.6% 60 由于在工程上增幅在 5% 以内被认为是允许的, 所以强度符合要求 对于 D 杆, 由型钢表查得其横截面面积为 0.4 cm, 则杆的工作应力 7

34 8 材料力学 D 计算结果表明, 托架的强度是足够的 75 0 = = 7.4 MPa < [ ] = 60MPa 例.7 图.5(a) 为简易起重设备的示意图, 杆 和 C 均为圆截面钢杆, 直径均为 d = 6mm, 钢的许用应力 [ ] = 70MPa, 试确定吊车的最大许可起重量 [ W ] 解得 解 :() 计算 C 杆的轴力 设 杆的轴力为 N,C 杆的轴力为 N, 根据结点 的平衡 ( 图.5(b)), 有 N cos 0 + N = 0 sin 0 W = 0 N = W, = W N N 上式表明, 杆受拉伸,C 杆受压缩 在强度计算时, 可取绝对值 () 求许可载荷 由公式 (.8) 可知, 当 杆达到许用应力时 π 6 N = W [ ] = 70 = 7.0kN 4 得 得 当 C 杆达到许用应力时 W 86.5kN = [ ] N W π 6 = 70 = 7.0kN 4 W 99.9kN 两者之间取小值, 因此该吊车的最大许可载荷为 [ W ] = 86.5kN (a) (b) 图.5 例.7 图 8

35 第 章杆件的拉伸与压缩 9.7 拉压超静定问题.7. 超静定问题的概念 前面所讨论的问题中, 约束反力和杆件的内力都可以用静力平衡方程全部求出 这种能用静力平衡方程式求解所有约束反力和内力的问题, 称为静定问题 (statica determinate probem) 但在工程实践上由于某些要求, 需要增加约束或杆件, 未知约束反力的数目超过了所能列出的独立静力平衡方程式的数目, 这样, 它们的约束反力或内力, 仅凭静力平衡方程式不能完全求得 这类问题称为超静定问题或静不定问题 (statica indeterminate probem) 例如图.6(a) 所示的结构, 其受力如图.6(b) 所示, 根据 杆的平衡条件可列出三个独立的平衡方程, 即 X = 0 Y = 0 M = C 0 ; 而未知力有 4 个, 即 N Y N 和 N 显然, 仅用静力平衡方程不能求出全部的未知量, 所以该问题为超静定问题 未知力数比独立平衡方程数多出的数目, 称为超静定次数, 故该问题为一次超静定问题 (a) (b).7. 超静定问题的解法 图.6 一次超静定问题的受力分析图 (a) 超静定结构示意图 ;(b) 超静定杆的受力分析 超静定问题的解法一般从以下三个方面的条件来进行考虑 : () 静力平衡方程 ; () 补充方程 ( 变形协调条件 ); () 物理关系 ( 胡克定律 热膨胀规律等 ) 现以一简单问题为例来说明 例.8 图.7(a) 所示的结构, 杆的弹性模量为 E, 横截面面积均为, 杆长均为 横梁 的刚度远远大于 杆的刚度, 故可将横梁看成刚体, 在横梁上作用的荷载为 P 若不计横梁及各杆的自重, 试确定 杆的轴力 解 : 设在荷载 P 作用下, 横梁 移动到 C 位置 ( 图.7(b)), 则各杆皆受拉伸 设各杆的轴力分别为 N N 和 N, 且均为拉力 ( 图.7(c)) 由于该力系为平面平行力系, 只有两个独立平衡方程, 而未知力有三个, 故为一次超静定问题 解决这类问题可以 9

36 0 材料力学 先列出静力平衡方程 由 Y = 0 有 + + = P (a) 由 M = 0 有 N a+ N a= 0 (b) (a) (b) (c) 图.7 例.8 图 要求出三个轴力, 还要列出一个补充方程 在力 P 作用下, 三根杆的伸长不是任意 的, 它们之间必须保持一定的互相协调的几何关系, 这种几何关系称之为变形协调条件 由于横梁 可视为刚体, 故该结构的变形协调条件为 : C 三点仍在一直线上 ( 图.7(b)) 设 Δ Δ Δ 分别为 杆的变形, 根据变形的几何关系可以列出 变形协调方程为 Δ + Δ = Δ 杆件的变形和内力之间存在着一定的关系, 称之为物理关系, 即胡克定律, 当应力不超过比例极限时, 由胡克定律可知 Δ = N, Δ = N, Δ = N (d) E E E 将物理关系代入变形协调条件, 即可建立内力之间应保持的相互关系, 这个关系就是所需的补充方程 也就是说, 将式 (d) 代入式 (c) 得 N N + E E N = E 整理后得 N+ N = N (e) 这就是我们所要建立的补充方程 将式 (a) 式(b) 式(e) 式联立求解, 得 5 N = P, N = P, N = P 6 6 由计算结果可以看出 : 杆的轴力为正, 说明实际方向与假设一致, 变形为伸长 ; (c) 0

37 第 章杆件的拉伸与压缩 N 为负值, 说明 杆实际方向与假设相反, 变形为缩短 这说明横梁 是绕着 C 两点之间的某一点发生了逆时针转动 一般说来, 在超静定问题中内力不仅与荷载和结构的几何形状有关, 也和杆件的抗拉刚度 E 有关, 单独增大某一根杆的刚度, 该杆的轴力也相应增大, 这也是静不定问题和静定问题的重要区别之一.7. 温度应力问题 在工程实际中, 构件或结构物会遇到温度变化的情况 例如工作条件中温度的改变或季节的变化, 这时杆件就会伸长或缩短 静定结构由于可以自由变形, 当温度变化时不会使杆内产生应力 但在超静定结构中, 由于约束增加, 变形受到部分或全部限制, 温度变化时就会使杆内产生应力, 这种应力称为温度应力 计算温度应力的方法与荷载作用下的超静定问题的解法相似, 不同之处在于杆内变形包括两个部分, 一是由温度引起的变形, 另一部分是外力引起的变形 例.9 图.8(a) 所示的杆件, 两端与刚性支承面联结 当温度变化时, 固定端限制了杆件的伸长或缩短, 两端就产生了约束反力, 试求反力 R 和 R ( 图.8(b)) 图.8 例.9 图 解 : 由静力平衡方程 X = 0 得出 R = R (a) 由于未知支反力有两个, 而独立的平衡方程只有一个, 因此是一个一次超静定问题 要求解该问题必须补充一个变形协调条件 假想拆去右端支座, 这时杆件可以自由地变形, 当温度升高 Δ T 时, 杆件由于升温而产生的变形 ( 伸长 ) 为 Δ = α ΔT (b) T 式中,α 为材料的线膨胀系数 然后, 在右端作用 R, 杆由于 R 作用而产生的变形 ( 缩短 ) 为 R Δ R = (c) E 式中,E 为材料的弹性模量, 为杆件横截面面积 事实上, 杆件两端固定, 其长度不允许变化, 因此必须有 Δ + Δ = 0 (d) T R 这就是该问题的变形协调条件 将 (b) (c) 两式代入式 (d) 得 R α ΔT = 0 (e) E 则

38 材料力学 R = Eα ΔT α = 由于轴力 N = R, 故杆中的温度应力为 T = = EαΔT 当温度变化较大时, 杆内温度应力的数值是十分可观的 例如, 一两端固定的钢杆, N /, 当温度变化 40 时, 杆内的温度应力为 T = EαΔ T = = = Pa 00MPa 在实际工程中, 为了避免产生过大的温度应力, 往往采取某些措施以有效地降低温度应力 例如, 在管道中加伸缩节, 在钢轨各段之间留伸缩缝, 这样可以削弱对膨胀的约束, 从而降低温度应力 例.0 刚性无重横梁 在 O 点处铰支, 并用两根抗拉刚度相同的弹性杆悬吊着, 如图.9(a) 所示 当两根吊杆温度升高 Δ T 时, 求两杆内所产生的轴力 解 :() 列静力平衡方程 截取图.9(b) 所示的研究对象, 设 杆的轴力为 N, 杆的轴力为 N, 由静力平衡方程 M O = 0 可得 N a+ N a= 0 (a) 图.9 例.0 图 () 列变形协调方程 假想拆除两杆与横梁间的联系, 允许其自由膨胀 这时, 两杆由于温度而产生的变形均为 Δ T = α ΔT 把已经伸长的杆与横梁相连接时, 两杆内就分别引起了轴力 N 和 N 并使两杆再次变形 由于两杆变形使横梁绕 O 点转动, 最终位置如图.9(b) 中虚线所示, 图中的 Δ 和 Δ 分别为 杆所产生的总变形, 包括温度和轴力所引起的变形 由变形协调条件得 Δ = Δ (b) () 列出物理方程 Δ = N + αδt, Δ = N + αδt (c) E E

39 第 章杆件的拉伸与压缩 将式 (c) 代入式 (b) 得 上式即为补充方程 E N N = αδt 联立求解式 (a) 式(d), 得 EαΔT EαΔT N =, N = 5 5 为负值, 说明 杆受压力, 轴力与所设的方向相反 N (d).7.4 装配应力构件制造上的微小误差是难免的 在静定结构中, 这种误差只会使结构的几何形状略微改变, 不会使构件产生附加内力 但在超静定结构中, 情况就不一样了, 杆件几何尺寸的微小差异, 还会使杆件内产生应力 如图.0 所示静定结构, 若杆 比预定的尺寸制作短了一点, 则与杆 C 连接后, 只会引起 点位置的微小偏移, 如图中虚线所示 而图.(a) 所示的超静定结构中, 设杆 比预定尺寸作短了一点, 若使三杆连接, 则需将杆 拉长, 杆 杆 压短, 强行安装于 点处 此时, 杆 中产生拉力, 杆 杆 中产生压力 这种由于安装而引起的内力称为装配内力, 与之相应的应力称为装配应力 计算装配应力的方法与解超静定问题的方法相似, 仅在几何关系中考虑尺寸的差异 下面举例说明 图.0 静定结构无装配内力 例.8 图.(a) 所示的桁架, 杆 的设计长度为, 加工误差为 δ, δ 已知杆 和杆 的抗拉刚度均为 E, 杆 的抗拉刚度为 E 求三杆中的轴力 N N 和 N (a) (b) 图. 例.8 图

40 4 材料力学 解 : 三杆装配后, 杆 和杆 受压, 轴力为压力分别设为 N N ; 杆 受拉, 轴力为拉力, 设为 N 取结点 为研究对象, 受力图如图.(b) 所示 由于该结点仅有两个独立的静力平衡方程, 而未知力数目为, 故是一次超静定问题 根据结点 的平衡有 X = 0, N sinα N sinα = 0 (a) Y = 0, N N cosα N cosα = 0 (b) 由此可得 = N N cosα = 0 (c) N N 由图.(a) 可知, 其变形的几何关系为 Δ Δ + cosα = δ (d) 根据物理关系可得 Δ = N E N Δ = E cos α 将式 (e) 式(f) 代入式 (d) 可得补充方程为 N N + = δ E E α 联立求解 (c) (g) 两式可得 cos δ N = N = N δ = E cos α E α + cos E E cos α E α + cos E 计算结果为正, 所以轴力的方向与所设方向相同 由本例的结果看到, 在超静定问题中, 各杆的轴力与各杆间的刚度有关, 刚度越大的杆, 承受的轴力也越大 用各杆中的轴力除以该杆横截面面积, 即可得到各杆的装配应力 装配应力是结构未承受载荷前已具有的应力, 故亦称为初应力 这种初应力可以带来不利后果, 例如装配应力与构件工作应力相叠加后使构件内应力更高, 则应避免它的存在 ; 但是也可以被人们加以利用, 例如预应力钢筋混凝土构件, 混凝土的初始压应力会与构件工作应力相互抵消一部分, 从而提高构件承载力 (e) (f) (g) 4

41 第 章杆件的拉伸与压缩 5.8 小结. 截面法求拉压杆件内力 这一方法的主要步骤是假想地把杆件截开, 取任一脱离体为研究对象, 作受力图, 然后用平衡方程求解. 拉压等直杆件横截面正应力公式 N =. 拉压杆件应力与应变的关系 ( 胡克定律 ) = Eε 对于轴力为常数的等直杆也可以写成 Δ = N E 胡克定律的应用条件为材料不超过比例极限 4. 拉压杆的强度条件 ma [ ] 运用这一条件可以进行三个方面的计算 : 强度校核 ; 截面设计 ; 确定容许荷载 5. 材料在拉伸与压缩时的力学性能 6. 超静定结构的初步概念与求解 7. 本章的重要概念还有内力 轴力 正应力和切应力 斜截面上的应力, 平面假设, 泊松比及其与弹性模量的关系, 抗拉刚度 拉压应变能 应力集中等.9 思考题. 有中间荷载作用的多力杆, 能否在中间荷载作用的截面上使用截面法?. 图. 所示有凹槽的杆, 公式 (.) 对凹槽段是否适用? 图. 思考题 图. 图. 所示杆由钢和铝两种材料牢固黏结而成, 问公式 (.) 是否适用? 5

42 6 材料力学 图. 思考题 图 4. 低碳钢的拉伸中, 应该说是应力的增加导致了试件的破坏, 为什么 ε 曲线中出现颈缩以后图中的应力反而下降了? 5. 图.4 所示结构变形后结点 的新位置 哪个正确? 为什么? 图.4 思考题 5 图.0 习题. 求图.5 所示各杆指定截面上的轴力 (a) (b) (c) 图.5 习题 图. 求图.6 所示等直杆指定横截面上的内力, 并画出轴力图 6

43 第 章杆件的拉伸与压缩 7 (a) (b) 图.6 习题 图. 计算题 中所示杆件各横截面的应力, 已知图.6(a) 图中横截面面积 = 00mm, 图.6(b) 中横截面面积分别为 = 00mm, = 00mm, = 400mm 4. 图.7 所示杆受自重, 杆长为, 密度为 ρ, 横截面面积为, 试画其轴力图, 并求横截面上最大正应力 5. 一根边长为 50mm 的正方形截面杆与另一根边长为 00mm 的正方形截面杆, 受同样大小的轴向拉力, 试求它们横截面上的应力比 6. 图.8 所示拉杆承受轴向拉力 P = 5kN, 杆件横截面面积 = 50mm,α 为斜截 面与横截面的夹角, 试求当 α = 0 45 时各斜截面上的正应力和切应力 图.7 习题 4 图 图.8 习题 6 图 7. 杆件受图.9 所示轴向外力作用, 杆的横截面面积 =500mm,E=00GPa, 求图示杆的变形量 图.9 习题 7 图.8 如图.40 所示结构, 在 点处作用竖直向下的力 P=4kN 已知实心杆 和 C 7

44 8 材料力学 的直径分别为 d =8mm 和 d =mm, 材料的弹性模量 E=0GPa 试求 点在铅垂方向的位移 α 图.40 习题 8 图 9. 如图.4 所示钢杆, 两端固定 已知 6 =.5 0 / 试求当温度升高 0 时杆内的最大应力 = 00mm, = 00mm,E=0GPa, 图.4 习题 9 图 0. 图.4 所示刚性梁受均布荷载作用, 梁 在 端铰支, 在 点和 C 点由两钢杆 CE 和 D 支承 已知钢杆 CE 和 D 的横截面面积分别为 = 400mm 和 = 00mm, 钢杆的许用应力 [ ]=60MPa, 试校核钢杆的强度. 一阶梯型杆如图.4 所示, 上端固定, 下端与刚性底面留有空隙 Δ = 0.08mm, 上 段横截面面积 = 40cm, E = 00GPa, 下段 = 0cm, E = 00GPa 问: () 力 P 等于多少时, 下端空隙恰好消失 () P = 500kN 时, 各段内的应力值为多少 P 图.4 习题 0 图 图.4 习题 图 8

45 第 章剪切与扭转 提要 : 本章将讨论杆件的剪切和扭转这两种基本变形 剪切是杆件的基本变形之一, 杆件横截面上的内力为剪力 Q 为了保证连接件的正常工作, 一般需要进行连接件的剪切强度 挤压强度计算 本章将探讨采用实用计算法来进行简化计算 扭转也是杆件的基本变形之一 杆件横截面上的内力偶矩为扭矩 T 本章将根据传动轴的功率 P 和转速 n 来计算杆件所承受的外力偶矩, 并通过截面法来计算扭矩 ; 还将探讨扭矩图的绘制方法 本章将研究薄壁圆筒的扭转变形及其横截面上的切应力分布, 并由薄壁圆筒的扭转实验推出剪切胡克定律, 还要探讨切应力互等定理 为了保证杆件在受扭情况下能正常工作, 除了要满足强度要求外, 还须满足刚度要求 本章将从变形几何关系 物理关系和静力学关系三方面入手导出等直圆杆扭转时横截面上的切应力公式, 并以之为基础建立扭转的强度条件 ; 同时在研究等直圆杆扭转变形的基础上, 建立扭转的刚度条件 本章还将探讨杆件斜截面上的应力分布 本章研究等直圆杆的扭转仅限于线弹性范围内, 且材料符合胡克定律, 并以平面假设为基本依据 在实际工程中, 有时也会遇到非圆截面等直杆的扭转问题 本章将简单介绍矩形截面杆 开口薄壁截面杆和闭口薄壁截面杆的自由扭转问题. 剪切.. 剪力和切应力剪切 (shear) 是杆件的基本变形之一, 其计算简图如图.(a) 所示 在杆件受到一对相距很近 大小相同 方向相反的横向外力 的作用时, 将沿着两侧外力之间的横截面发生相对错动, 这种变形形式就称为剪切 当外力 足够大时, 杆件便会被剪断 发生相对错动的横截面则称为剪切面 (shear surface) 既然外力 使得剪切面发生相对错动, 那么该截面上必然会产生相应的内力以抵抗变形, 这种内力就称为剪力 (shearing force), 用符号 表示 运用截面法, 可以很容易地分析 出位于剪切面上的剪力 与外力 大小相等 方向相反, 如图.(b) 所示 材料力学中通 Q 常规定 : 剪力 对所研究的分离体内任意一点的力矩为顺时针方向的为正, 逆时针方向的 Q 为负 图.(b) 中的剪力为正 Q

46 40 材料力学 Q (a) Q (b) 图. 剪切的计算简图 正如轴向拉伸和压缩中杆件横截面上的轴力 N 与正应力 的关系一样, 剪力 Q 同样是切应力 (shearing stress) τ 合成的结果 由于剪切变形仅仅发生在很小一个范围内, 而且外力又只作用在变形部分附近, 因而剪切面上剪力的分布情况十分复杂 为了简化计算, 工程中通常假设剪切面上各点处的切应力相等, 用剪力 Q 除以剪切面的面积 S 所得到的切应力平均值 τ 作为计算切应力 ( 也称名义切应力 ), 即 Q τ = (.) 切应力的方向和正负号的规定均与剪力 一致.. 连接中的剪切和挤压强度计算 Q S 建筑结构大都是由若干构件组合而成, 在构件和构件之间必须采用某种连接件 (connective eement) 或特定的连接方式加以连接 工程实践中常用的连接件, 诸如铆钉 螺栓 焊缝 榫头 销钉等, 都是主要承受剪切的构件 当然, 以上连接件在受剪的同时往往也伴随着其他变形, 只不过剪切是主要因素而已 以螺栓连接为例, 如图.(a) 所示, 连接处可能产生的破坏包括 : 在两侧与钢板接触面的压力 作用下, 螺栓将沿 a-a 截面被剪断, 如图.(b) 所示 ; 螺栓与钢板在接触面上因为相互挤压而产生松动导致失效 ; 钢板在受螺栓孔削弱的截面处产生塑性变形 相应地, 为了保证连接件的正常工作, 一般需要进行连接件的剪切强度 挤压强度计算和钢板的抗拉强度计算 a a (a) (b) 40 图. 螺栓连接 (a) 螺栓连接的钢板 ;(b) 螺栓的受力图 考虑到连接件的变形比较复杂, 在工程设计中通常采用工程实用计算法 (engineering method of practica anasis) 进行简化计算 下面继续以螺栓连接为例介绍剪切强度和挤压强度的实用计算 至于钢板的抗拉强度计算和铆钉连接 榫接 焊接等的连接计算, 可参阅相关教材. 剪切强度计算 在图.(a) 中, 由螺栓连接的两块钢板承受力 的作用, 显然螺栓在此受力情况下将

47 第 章剪切与扭转 4 沿 a-a 截面发生相对错动, 发生剪切变形 如前所述, 剪切面上的切应力为 Q τ = 为保证螺栓不被剪断, 必须使切应力 τ 不超过材料的许用切应力 [ τ ] 于是, 剪切强度条件可表示为 Q τ = τ (.) S S 许用切应力 [ τ ] 是通过实验来确定的 : 在剪切实验中得到剪切破坏时材料的极限切应力 τ u, 再除以安全因数, 即得该种材料许用切应力 [ τ ] 对于钢材, 工程上常取 [ τ ] = ( ) [ ],[ ] 为钢材的许用拉应力 对于大多数连接件来说, 剪切变形和剪切强度是主要的. 挤压强度计算 在图.(a) 中, 在螺栓与钢板相接触的侧面上会发生相互间的局部承压现象, 我们称之为挤压 (bearing), 在接触面上的压力称之为挤压力 (bearing force), 用符号 bs 表示 当挤压力足够大时, 将使螺栓压扁或钢板在孔缘处压皱, 从而导致连接松动而失效 在工程设计中, 通常假定在挤压面上应力是均匀分布的, 挤压力根据所受外力由静力平衡条件求得, 因而挤压面上名义挤压应力为 bs = (.) bs 式中, bs 为计算挤压面 (effective bearing surface) 面积 当接触面为平面 ( 如键连接中键与轴的接触面 ) 时, 计算挤压面面积 bs 取实际接触面的面积 ; 当接触面为圆柱面 ( 如螺栓连接中螺栓与钢板的接触面 ) 时, 计算挤压面面积 bs 取圆柱面在直径平面上的投影面积, 如图.(a) 所示 实际上, 挤压应力 (bearing stress) 在接触面上的分布是很复杂的, 与接触面的几何形状及材料性质直接相关 根据理论分析, 圆柱状连接件与钢板接触面上的理论挤压应力沿圆柱面的分布情况如图.(b) 所示, 而按式 (.) 计算得到的名义挤压应力与接触面中点处的最大理论挤压应力值相近 直径投影面 bs [ ] 实际接触面 bs (a) (b) 图. 挤压面面积与理论挤压应力的分布 (a) 挤压面面积的计算 ;(b) 理论挤压应力分布 4

48 4 材料力学 为了防止因连接松动而失效, 必须使挤压应力不超过材料的许用挤压应力 [ bs ] 于是, 挤压强度条件可表示为 材料的许用挤压应力 [ bs ] [ ] =,[ ] bs (.7.0) [ ] bs = bs bs [ ] bs (.4) 也应根据实验结果来确定 对于钢材, 工程上常取 为钢材的许用拉应力 必须注意的是, 当连接件和被连接件的材 料不同时, 应选取抵抗挤压能力较弱的材料的许用挤压应力 [ bs ] 例. 一螺栓接头如图.4 所示 已知 =40kN, 螺栓 钢板的材料均为 Q5 钢, 许 =00MPa 试计算螺栓所需的直径 用切应力 [ τ ] =0MPa, 许用挤压应力 [ ] d bs 图.4 例. 图 解 : 这是一个截面选择问题, 先根据剪切强度条件式 (.) 求得螺栓的直径, 再根据挤压强度条件式 (.4) 来校核 首先分析每个螺栓所受到的力 显然, 每个螺栓有两个剪切面, 但只受到一个力 的作用, 由截面法可得每个剪切面上的剪力为 Q = 将剪力和有关的已知数据代入剪切强度条件式 (.), 即得 Q τ = = = 0 0 Pa π S d π d 4 于是求得螺栓直径为 40 0 d = 0.04 m = 4 mm 6 π 0 0 校核挤压强度 显然, 由静力平衡条件可知每个螺栓所受挤压力为 bs = 计算挤压面面积 bs 为螺栓的直径截面面积, 即 bs = δ d 将相关数据代入挤压强度条件式 (.4), 得 bs bs = = = = 4 0 Pa = 4 MPa < δ d bs 可见, 螺栓直径取 4mm 满足挤压强度条件 [ ] bs 4

49 第 章剪切与扭转 4. 杆件扭转时的内力扭矩 扭转 (torsion) 也是杆件的基本变形之一 其计算简图如图.5(a) 所示 : 在一对大小相等 方向相反 作用面垂直于杆件轴线的外力偶 ( 其矩为 M e ) 作用下, 直杆的任意两横截面 ( 如图中 m m截面和 n n截面 ) 将绕轴线相对转动, 杆件的轴线仍将保持直线, 而其表面的纵向线将成螺旋线 这种变形形式就称为扭转 在工程中, 受扭杆件是很常见的, 例如机械中的传动轴 汽车的转向轴 土工实验用的钻杆 建筑结构中的雨篷梁等, 但单纯发生扭转的杆件不多 如果杆件的变形以扭转为主, 其他次要变形可忽略不计的, 可以按照扭转变形对其进行强度和刚度计算 ; 如果杆件除了扭转外还有其他主要变形的 ( 如雨篷梁还受弯 钻杆还受压 ), 则要通过组合变形计算 这类问题将在第 9 章讨论 要研究受扭杆件的应力和变形, 首先得计算轴横截面上的内力 以工程中常用的传动轴为例, 我们往往只知道它所传递的功率 P 和转速 n, 但作用在轴上的外力偶矩可以通过功率 P 和转速 n 换算得到 因为功率是每秒钟内所做的功, 有 nπ P= Me 0 ω = Me 0 60 于是, 作用在轴上的外力偶矩为 M e = P (.5) n 式中, 功率 P 的单位是 kw, 外力偶矩 M e 的单位是 N m,ω 的单位是 rad/s, 转速 n 的单位是 r/min 杆件上的外力偶矩确定后, 可用截面法计算任意横截面上的内力 对图.5(a) 所示圆轴, 欲求 m-m 截面的内力, 可假设沿 m-m 截面将圆轴一分为二, 并取其左半段分析, 如图.5(b) 所示, 由平衡方程 M = 0, T M = e 0 得 T = M e Me m n Me M e m m (a) n 图.5 扭转的计算简图 (b) m T T 是横截面上的内力偶矩, 称为扭矩 (torsiona moment,torque) 如果取圆轴的右半段分析, 则在同一横截面上可求得扭矩的数值大小相等而方向相反 为使从两段杆所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致, 材料力学中通常规定 : 按右手螺旋法则确定扭矩矢 4

50 44 材料力学 量, 如果扭矩矢量的指向与截面的外法向方向一致, 则扭矩为正, 反之为负 当杆件上作用有多个外力偶矩时, 为了表现沿轴线各横截面上扭矩的变化情况, 从而确定最大扭矩及其所在位置, 可仿照轴力图的绘制方法来绘制扭矩图 (torque diagram) 例. 一传动轴如图.6(a) 所示, 轴的转速 n=500r/min, 主动轮的输入功率为 P = 600kW, 三个从动轮的输出功率分别为 P =P C =80kW,P D =40kW 试计算轴内的最大扭矩, 并作扭矩图 解 : 首先计算外力偶矩 ( 图.6(a)) 600 M = =.46 0 N m=.46kn m M = MC = =.44 0 N m=.44kn m M D = = N m=4.58kn m 500 然后, 由轴的计算简图 ( 图.6(b)), 计算各段轴内的扭矩 先考虑 C 段, 从任一截面 - 处截开, 取截面左侧进行分析, 如图.6(c) 所示, 假设 T 为正, 由平衡方程 M = 0, M M + T = 0 得 T = M M = =8.0kN m 同理, 在 段内, 有 在 CD 段内, 有 T = M =.44 kn m T = M D = 4.58 kn m 要注意的是, 在求各截面的扭矩时, 通常采用 设正法, 即假设扭矩为正 若所得结果为负值的话, 则说明该截面扭矩的实际方向与假设方向相反 根据这些扭矩即可做出扭矩图, 如图.6(d) 所示 从图可见, 最大扭矩发生在 C 段, 其值为 8.0kN m (a) (b) 粗矩图 (kn m) (c) (d) 图.6 例. 图 44

51 第 章剪切与扭转 45. 薄壁圆筒的扭转 在讨论等直圆杆的扭转之前, 先研究一个比较简单的扭转问题 薄壁圆筒扭转 设一薄壁圆筒, 其壁厚 δ 远小于其平均半径 r, 两端承受外力偶矩 M e, 如图.7(a) 所示 圆筒任一横截面上的扭矩都是由截面上的应力与微面积 d 之乘积合成的, 因此横截面上的应力只能是切应力 为得到沿横截面圆周各点处切应力的变化规律, 可在圆筒受扭前, 在筒表面画出一组等间距的纵向线和圆周线, 形成一系列的矩形小方格 然后在两端施加外力偶矩 M e, 圆筒发生扭转变形 此时可以观察到 : () 圆筒表面各纵向线在小变形下仍保持直线, 但都倾斜了同一微小角度 γ () 各圆周线的形状 大小和间距都保持不变, 但绕轴线旋转了不同的角度 因筒壁很薄, 故可将圆周线的转动视为整个横截面绕轴线的转动 圆筒两端截面之间相对转动的角度称为相对扭转角 (reative ange of twist), 用符号 ϕ 表示, 如图.7(b) 所示, 它表示杆的扭转变形 此外, 圆筒任意两横截面之间也有相对转动, 从而使筒表面的各矩形小方格的直角都改变了相同的角度 γ, 如图.7(c) 所示, 这种改变量 γ 称为切应变 (shearing strain), 是横截面上切应力作用的结果 又因薄壁圆筒的壁厚 δ 远小于其平均半径 γ, 故可近似认为切应力沿壁厚不变 依据以上分析, 可知薄壁圆筒扭转时, 横截面上各处的切应力 τ 值均相等, 其方向与圆周相切 由截面上的扭矩 T 都是该截面上的应力 τ 与微面积 d 之乘积的合成, 如图.7(d) 所示, 可知 T = τ d r = π rδτ r = π r δ τ 从而有 T τ = (.6) π r δ 薄壁圆筒表面上的切应变 γ 和相距为 的两端面之间的相对扭转角 ϕ 之间的关系式可由图.7(b) 所示的几何关系求得 ϕ r γ = (.7) 式中切应变 γ 是一个无量纲的量 Me a b d c Me δ Me γ γ a' b' d' c' Me φ a' b' γ d' c' M e τd r (a) (b) (c) (d) 图.7 薄壁圆筒的扭转变形 45

52 46 材料力学.4 剪切胡克定律与切应力互等定理.4. 剪切胡克定律 通过薄壁圆筒的扭转实验可以得到材料在纯剪应力状态下应力与应变间的关系 从零开始, 逐渐增加外力偶矩 M e ( 其在数值上等于扭矩 T), 并记录相对应的相对扭转角 ϕ, 可以发现当外力偶矩在一定范围内时, 相对扭转角 ϕ 与扭矩 T 之间成正比, 如图.8(a) 所示 利用式 (.6) 和式 (.7), 可以得到切应变 γ 和切应力 τ 之间的线性关系, 如图.8(b) 所示, 其表达式为 τ = G γ (.8) 上式称为材料的剪切胡克定律 (Hooke aw in shear) 式中的比例常数 G 称为材料的切变模量 (shear moduus), 也称剪切弹性模量, 其量纲与弹性模量 E 的量纲相同, 在国际单位制中, 单位常取为 MPa 或 GPa T τ O φ O γ (a) (b) 图.8 T ϕ 曲线与 τ γ 曲线 (a) T ϕ 曲线 (b) τ γ 曲线 在上一章曾提到各向同性材料的两个弹性常数 弹性模量 E 与泊松比 μ, 可以证明 E μ 和 G 之间存在以下关系 E G = ( + μ) 上式表明, 各向同性材料的三个弹性常数只有两个是独立的 表 - 给出了一些常用材料的 E μ G 值 在 τ γ 曲线上, 当切应力 τ 达到材料的剪切比例极限 τ P 后也会出现屈服现象, 即扭矩不变而相对扭转角继续增大 屈服终止后, 也会出现强化现象 ( 要注意防止薄壁发生皱褶 ) 也就是说, 剪切胡克定律式 (.8) 只有在切应力不超过材料的比例极限值才是适用的 表 - 常用材料的 E μ G 值 (.9) 材料名称 E(GPa) μ G(GPa) 碳钢 96~06 0.4~ ~79.4 合金钢 94~06 0.5~ ~79.4 灰口铸铁 ~57 0.~ 青铜 0.~

53 第 章剪切与扭转 47 材料名称 E(GPa) μ G(GPa) 硬铝合金 混凝土 5.~ ~0.8 橡胶 木材 ( 顺纹 ) 9.8~ 木材 ( 横纹 ) 0.49~ 切应力互等定理 在承受扭转的薄壁圆筒上, 用两个横截面 两个径向截面和两个圆柱面截取一微小的正六面体, 称为单元体, 其边长分别为 d d 及 d, 如图.9(a) 所示 现在分析此单元体各侧面上的应力 在其左 右两侧面 ( 即圆筒的横截面 ) 上只有切应力 τ, 方向平行于 轴, 而在其前 后两平面 ( 即与圆筒表面平行的面 ) 上无任何应力 由于单元体处于平衡状态, 故由平衡方程 = 0 可知, 其左 右两侧面作用的剪力 τ dd大小相等 方向相反, 并组成一个力偶, 其矩为 ( τ dd )d, 使单元体有转动的趋向 因此为满足另外两个平衡条件 = 0 和 M = 0, 在单元体的上 下两平面 ( 即圆筒的径向截面 ) 上必有大小相等 方向相反的一对剪力 τ dd, 并组成矩为 ( τ dd )d的力偶 由平衡条件, 有 ( τ dd )d = ( τ dd )d 于是可得 τ = τ (.0) 上式表明, 在两个相互垂直的平面上, 切应力必然成对存在, 且数值相等, 两者都垂直于两平面的交线, 其方向均共同指向或背离该交线 这就是切应力互等定理 (theorem of conjugate shearing sress) 该定理在有正应力存在的情况下同样适用, 具有普遍意义 图.9(a) 所示的单元体在其两对相互垂直的平面上只有切应力而无正应力, 这种应力状态称为纯剪切应力状态 (shearing state of stresses), 简称纯剪应力状态 薄壁圆筒和等直圆杆在发生扭转时均处于纯剪应力状态 由于这种单元体的前 后两平面上无任何应力, 故可将其改用平面图加以表示, 如图.9(b) 所示 续表 d τ τ τ τ τ τ τ d d τ (a) (b) 图.9 切应力互等 (a) 单元体纯剪应力状态 ;(b) 平面图表示 47

54 48 材料力学.5 等直圆杆的扭转.5. 横截面上的应力. 横截面上的应力 如前所述, 等直圆杆在发生扭转时处于纯剪应力状态, 横截面上只有切应力而无正应力 为推导圆杆扭转时横截面上的切应力公式, 可以从三方面着手分析 : 先由变形几何关系找出切应变的变化规律, 再利用物理关系找出切应力在横截面上的分布规律, 最后根据静力学关系导出切应力公式 ) 变形几何关系为研究圆杆横截面上切应变的变化规律, 在其表面画上纵向线和圆周线, 如图.0(a) 所示 当杆的两端施加外力偶矩 M e 后, 可以发现图.0(b) 所示的现象 : 各圆周线的形状和间距均保持不变 ; 在小变形条件下, 各纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了一微小的角度 γ 根据以上观察到的现象, 可以合理假设 : 在扭转时横截面如同刚性平面一样围绕杆的轴线转动, 也就是说, 圆杆的横截面变形后仍保持为平面, 其形状 大小不变, 半径也保持为直线, 且相邻两横截面间的距离不变 这一假设称为平面假设 (pane assumption) 实验表明, 在杆扭转变形后只有等直圆杆的圆周线才仍在垂直于轴线的平面内, 故平面假设仅适用于等直圆杆 由此假设推导出的应力 变形公式已得到实验和理论的证实 Me Me Me Me γ (a) (b) 图.0 等直圆杆的扭转变形 (a) 画网格的圆杆 ;(b) 受外力偶矩后圆杆的变形 现在假设从圆杆上截取一段长为 d 的杆段进行分析 由平面假设可知, 杆段变形后的情况如图.(a) 所示 : 截面 n-n 相对于截面 m-m 转过的角度为 dϕ, 故其上的半径 O 也转动了同一角度 dϕ ; 同时由于截面转动, 圆杆表面上的纵向线 倾斜了一微小角度 γ, 即 点处的切应变 ( 参阅. 节 ), 过半径上一点 D 的纵向线 CD 也倾斜了一微小角度 γ ρ, 即 C 点处的切应变 由图.(a) 所示的几何关系, 有 DD ρ dϕ γ ρ tanγ ρ = = CD d 即 dϕ γ ρ = ρ (a) d 48

55 第 章剪切与扭转 49 式中, ρ 为 D 到圆心 O 的距离, d ϕ 表示相对扭转角 ϕ 沿轴线的变化率, 在同一截面上 d 为常量 上式表明等直圆杆横截面上各点处的切应变正比于该点到圆心的距离 ) 物理关系在线弹性范围内, 剪切胡克定律成立, 切应力与切应变成正比 将式 (a) 代入剪切胡克定律式 (.8), 即可得到横截面上距圆心 ρ 处的切应力 τ ρ 变化规律的表达式 dϕ τρ = Gγ ρ = Gρ (b) d 上式表明, 在同一半径 ρ 的圆周上各点处的切应力 τ ρ 值相等, 并与半径 ρ 成正比 由于切应变垂直于半径的平面内, 故切应力的方向垂直于半径 切应力沿任一半径的变化规律如图.(b) 所示 ) 静力学关系 dϕ 横截面上切应力变化规律表达式 (b) 中尚未确定, 需要进一步考虑静力学关系, 才 d 能求出切应力 在圆杆的横截面上取微面积 d, 如图.(b) 所示, 其上的切向力为 τ ρd, 整个截面上的切向力对圆心的力矩之和, 就是该横截面上的扭矩 T, 即 ρτ d T ρ = (c) 将式 (b) 代入式 (c), 整理后可得 dϕ G d T d ρ = (d) 若定义 I p = ρ d (.) 则有 dϕ T = (.) d GIp I p 称为横截面对圆心的极惯性矩 (poar moment of inertia of an area), 只与横截面的几何量有关, 其单位为 m 4 将式(.) 代入式 (b), 即得 T ρ τ ρ = (.) I 上式即等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切应力的公式 由图.(b) 及式 (.) 可知, 在横截面周边各点处, 即 ρ = r 处, 切应力达到最大值, 即 Tr τ ma = (.4) I 则有 若定义 p p Ip Wp = (.5) r 49

56 50 材料力学 T τ ma = (.6) W 式中,W p 称为扭转截面系数 (section moduus of torsion), 单位为 m p m T n T ρ T C O O D dφ D' ' γ γ ρ ρ d τ ρ O m d n τ ma (a) (b) 图. 等直圆杆扭转时的切应变和切应力 (a) 等直圆杆扭转时的切应变 ;(b) 等直圆杆扭转时的切应力分布切应力公式的推导主要依据平面假设, 且材料符合胡克定律, 因此公式只适用于在线弹性范围内的等直圆杆, 包括实心圆截面杆和空心圆截面杆 对于实心圆截面, 如图.(a) 所示, 其极惯性矩 ( 参阅附录 ) 为 4 π d I p = (.7) 将上式代入式 (.5), 得实心圆截面的扭转截面系数为 Ip Ip π d W = p r = d/ = 6 (.8) 对于空心圆截面, 如图.(b) 所示, 可将空心圆截面设想为大圆面积减去小圆面积, 利用式 (.7) 可得 4 π 4 4 πd 4 Ip = ( D d ) = ( α ) (.9) 空心圆截面的扭转截面系数为 4 4 Ip π ( D d ) π D 4 Wp = = = ( α ) (.0) D / 6 D 6 式中, α = d, 为空心圆截面内外直径之比 D d D d τ ma τ ma (a) (b) 图. 圆截面与空心圆截面上的切应力分布 50

57 第 章剪切与扭转 5 例. 长度都为 的两根受扭圆轴, 一为实心圆轴, 一为空心圆轴, 如图. 所示, 两者材料相同, 在圆轴两端都承受大小为 M e 的外力偶矩, 圆轴外表面上纵向线的倾斜角度也相等 实心轴的直径为 D ; 空心轴的外径为 D, 内径为 d, 且 α = d / D = 0.9 试求两杆的外径之比 D/ D 以及两杆的重量比 M e Me D M e M e d D 图. 例. 图 即 和 和 解 : 圆轴外表面上纵向线的倾斜角度相等, 也就是两轴横截面外边缘处的切应变相等, γ ma = γ ma 两轴的材料相同, 故 G =G, 由剪切胡克定律式 (.8), 可得 τ = τ 两轴的扭转截面系数分别为 ma ma π D W p = 6 W p π D = 6 4 ( α ) 将上两式分别代入式 (.6), 可得两轴的最大切应力为 T 6T τ ma = = W π D τ p T 6 T = = π ( ) ma 4 Wp D α 根据上面求得的 τma = τ ma, 并将 T =T =M e 和 α =0.9 代入, 经整理可得 D 4 4 = α = 0.9 = 0.7 D 因为两轴的材料和长度均相同, 故两轴的重量比即为其横截面面积之比 于是有 5

58 5 材料力学 π D 4 D = π = D ( ) 0.9 ( α ) D α = = 4 由此可见, 在最大切应力相等的情况下, 空心圆轴比实心圆轴节省材料 因此, 空心圆轴在工程中得到广泛应用 例如, 汽车 飞机的传动轴就采用了空心轴, 可以减轻零件的重量, 提高运行效率. 强度条件受扭杆件的强度条件 (strength condition) 是 : 杆件横截面上的最大工作切应力 τ ma 不能超过材料的许用切应力 [ τ ], 即 τ (.) τ ma 对于等直圆杆, 其最大工作切应力发生在扭矩最大的横截面 ( 即危险截面 ) 上的边缘各点 ( 即危险点 ) 处 依据式 (.6), 强度条件表达式可写为 Tma τ ma = [ τ ] (.) W 而对于变截面圆杆, 如阶梯状圆轴, 其最大工作切应力并不一定发生在扭矩最大的截面上, 需要综合考虑扭矩 T 和扭转截面系数 W p 才能确定 利用强度条件表达式 (.), 就可以对实心 ( 或空心 ) 圆截面杆进行强度计算, 如强度校核 截面选择和许可荷载的计算 实验表明, 在静荷载作用下, 材料的扭转许用切应力和许用拉应力之间存在着一定的 [ ] 关系, 例如钢材有 [ τ ] = (0.5 ~0.6[ ], 铸铁则有 [ τ ] = (0.8 ~) [ ] 也就是说, 通常可以根 据材料的许用拉应力来确定其许用切应力 对于像传动轴之类的构件, 由于作用于其上的并非静荷载, 而且还要考虑其他因素 ( 如忽略次要影响进行简化计算 ), 故其许用切应力的值较静荷载下的要略低 例.4 例题. 中的传动轴 ( 图.6(a)) 是空心圆截面轴, 其内 外直径之比 α =0.6, 材料的许用切应力 [ τ ] = 60 MPa, 试按强度条件选择轴的直径 解 : 例题. 中已经求得 T ma =8.0kN m 将已知数据代入式(.0), 可得 πd 4 πd 4 Wp = ( α ) = ( 0.6 ) = π D 6 6 将上式代入式 (.), 经整理后可得空心圆轴按强度条件所需的外直径为 Tma D = = = 0.05 m = 5 mm π τ π(60 0 ) [ ] 例.5 有一阶梯形圆轴, 如图.4(a) 所示, 轴的直径分别为 d =50mm,d =80mm, 扭转力偶矩分别为 M e =0.8kN m,m e =.kn m,m e =kn m 若材料的许用切应力 τ =, 试校核该轴的强度 [ ] 40MPa 解 : 用截面法求出圆轴各段的扭矩, 并做出扭矩图, 如图.4(b) 所示 p 5

59 第 章剪切与扭转 5 M e d Me d M e C D (a) 0.8 (kn m).0 (b).0 图.4 例.5 图由扭矩图可见,CD 段和 D 段的直径相同, 但 D 段的扭矩大于 CD 段, 故这两段只要校核 D 段的强度即可 C 段的扭矩虽然也小于 D 段, 但其直径也比 D 段小, 故 C 段的强度也需要校核 C 段 TC TC τ ma = = = =.6 0 Pa =.6 MPa < [ τ ] W p π d π ( 50 0 ) 6 D 段 TD TD τ ma = = = = Pa = 9.9 MPa < [ τ ] W p π d π ( 80 0 ) 6 计算结果表明, 该轴满足强度要求.5. 斜截面上的应力在圆杆的扭转实验中, 可以发现这样一种现象 : 低碳钢试件的破坏是沿杆件的横截面断开的, 如图.5(a) 所示 ; 而铸铁试件的破坏则是沿着与杆轴线约成 45 角的螺旋形曲面断开的, 如图.5(b) 所示 为了分析这种现象的成因, 有必要研究圆杆扭转时斜截面上的应力 (a) (b) 图.5 扭转破坏 (a) 低碳钢的扭转破坏 ;(b) 铸铁的扭转破坏在.4 节中曾讨论过, 纯剪应力状态下的单元体可以采用平面图表示 ( 图.9(b)) 现在 在此单元体内任取一垂直于前后平面的斜截面 ef, 其外法线 n 的方向与 轴成 α 角, 如图.6(a) 所示 α 角的符号规定如下 : 从 轴方向至外法线 n 为逆时针方向转动时取正值, 5

60 54 材料力学 顺时针方向转动时取负值 为求斜截面 ef 上的应力, 应用截面法, 假想沿 ef 面截开, 对其左边部分 edf 进行分析, 如图.6(b) 所示 在 fd de 面上作用有已知切应力 τ 和 τ,ef 面上作用有未知的正应力 α 和切应力 τ α 选取参考坐标轴 ξ 和 η, 分别平行和垂直于 ef 面 设 ef 面的面积为 d, 则 fd 面和 de 面的面积分别为 dcosα 和 dsinα 由平衡方程 ξ = 0 和 η = 0 分别可得 ταd ( τ dcos α)cos α + ( τ dsin α)sinα = 0 和 d + ( τ dcos α)sin α + ( τ dsin α)cosα = 0 α a f τ α d τ b n f α α α τ τ α τα e c d e τ τ ξ η (a) (b) 图.6 斜截面上的应力 (a) 纯剪应力状态下任取一斜面 ;(b) 斜截面上的应力分析利用切应力互等定理 τ = τ, 整理上两式, 即可得到任一斜截面上的正应力和切应力的计算公式 = τsin α (a) 和 α τ = τ cos α (b) α 由式 (b) 可知, 在 α =0 和 α =90 的截面 ( 即单元体的四个侧面 ) 上切应力达到极值, 其大小均为 τ, 而在 α =±45 的斜截面上切应力则为 0 由式(a) 可知, 在 α =±45 的斜截面上正应力达到极值, 有 = 45 ma =+ τ 和 = 45 min = τ + 也就是说, 该两截面上的正应力分别为 中的最大值和最小值, 一为拉应力, 一为压 应力, 其绝对值都等于 τ, 如图.7 所示 必须说明的是, 以上结论并不仅限于等直圆杆扭转的情况, 而是在纯剪应力状态下的普遍特点 根据以上分析, 即可解释不同材料试件在扭转实验中出现的不同结果 : 低碳钢等塑性材料的剪切强度低于拉伸强度, 其试件的扭转破坏是最大切应力作用的结果 ; 铸铁等脆性材料的拉伸强度低于剪切强度, 其试件的扭转破坏是最大拉应力作用的结果 α 54

61 第 章剪切与扭转 55 a τ b ma min 45 τ τ d min ma τ c 45 图.7 正应力与切应力的极值 对于用铸铁等脆性材料制成的杆件, 本应依据斜截面上的最大拉应力来建立其强度条件, 但考虑到斜截面上的最大拉应力与横截面上的最大切应力之间的固定关系, 故工程上仍习惯采用式 (.) 进行强度计算 这在形式上虽然模糊了材料强度破坏的实质, 但实际上是一样的.5. 等直圆杆的扭转变形. 扭转变形 等直圆杆的扭转变形是通过两横截面的相对扭转角 ϕ 来度量的 将前面得到的 达式 (.) 改写为 将上式沿杆轴线方向积分, 可得 T dϕ = GI p d T dϕ 表 d dϕ d (.) 0 GIP ϕ = = 对于两端承受一对外力偶矩 M e 作用的等直圆杆, 其任一横截面上的扭矩 T 均等于 M e 若圆杆为同一材料制成, 则 G 和 I p 也为常量 于是由上式可得相距 的两端面间的相对扭转角为 T ϕ = (.4) GI 或 p M e ϕ = (.5) GIp ϕ 的单位是弧度 (rad) 上式中的 GI p 称为等直圆杆的扭转刚度 (torsion rigidit), 相对扭转角 ϕ 反比于扭转刚度 GI p 对于各段扭矩不等或横截面不同的圆杆, 杆两端的相对扭转角 ϕ 为 ϕ T n i i = (.6) i= GIP i 在很多情况下, 由于杆件的长度不同, 有时各横截面上的扭矩也不相同, 此时两端面 55

62 56 材料力学 间的相对扭转角 ϕ 无法表示出圆杆的扭转变形的程度 因此, 在工程中通常采用单位长度扭转角 (torsiona ange perunit ength) 来度量圆杆的扭转变形 单位长度扭转角也就是扭转角沿杆长度的变化率, 用 ϕ 来表示, 其定义为 dϕ T ϕ = = (.7) d GI 式中,ϕ 的单位是 rad/m 例.6 一实心钢制圆截面杆如图.8 所示 已知 M =900N m,m =700N m, M C =800N m, =400mm, =600mm, 杆的直径 d =80mm,d =60mm, 钢的切变模量 G=80GPa 试求截面 C 相对于截面 的扭转角 ϕ C P M d M d M C C 图.8 例.6 图 解 : 首先用截面法求出 段和 C 段的扭矩, 有 T = M = 900 N m T = M C = 800 N m 由于 段和 C 段的扭矩不同, 其横截面也不同, 故分别计算截面 相对于截面 的扭转角 ϕ 截面 C 相对于截面 的扭转角 ϕ C 两者的代数和即为截面 C 相对于截面 的扭转角 ϕ C, 扭转角的转向则取决于扭矩的转向 于是有 T ϕ = = =. 0 rad GIP 9 π (80 0 ) T ϕc = = = rad GIP 9 π (60 0 ) 因此, 截面 C 相对于截面 的扭转角 ϕ C 为 ϕc = ϕ + ϕc = =.60 0 rad 其转向与 M C 相同. 刚度条件 等直圆杆扭转时, 除了要满足强度条件外, 有时还需限制它的扭转变形, 也就是要满足刚度条件 (stiffness condition) 例如机床主轴扭转角过大会影响机床的加工精度, 机器传动轴的扭转角过大会使机器产生较强的振动 在工程中, 刚度要求通常是规定单位长度扭转角的最大值 ϕ ma 不得超过许用单位长度扭转角 [ ϕ ], 即 ϕ ma [ ϕ ] (.8) 在实际工程中 [ ϕ ] 的单位通常采用 /m, 其值根据轴的工作要求而定 例如对于精密机器的轴, 其 [ ϕ ] 值一般取 0.5 /m~0.5 /m; 对于一般传动轴, 其 [ ϕ ] 值一般取 0.5 /m~ 56

63 第 章剪切与扭转 57.0 /m; 至于精度要求不高的轴, 其 [ ϕ ] 值则可放宽到 /m 左右 各类轴的许用单位长度扭转角 [ ϕ ] 的具体数值可参阅有关的机械设计手册 必须注意的是, 依据式 (.7) 求得的 ϕ 值的单位是 rad/m, 故此应先将其单位换算为 /m, 再代入式 (.8), 即可得 Tma 80 [ ϕ ] (.9) GI π P 利用上式, 就可以对实心 ( 或空心 ) 圆截面杆进行刚度计算, 如刚度校核 截面选择和许可荷载的计算 例.7 例题.4 中, 材料的切变模量 G=80GPa, 许用单位长度扭转角 [ ϕ ] =0.9 /m 试选择轴的直径 解 : 在例题.4 中按照强度条件已求得该空心圆轴的外直径不得小于 5mm, 现在按照刚度条件来计算轴的外直径 在例题. 中已经求得 T ma =8.0kN m 将已知数据代入式(.9), 可得 4 4 πd 4 πd 4 4 Ip = ( α ) = ( 0.6 ) = 0.07 π D 将上式代入式 (.9), 即可得满足刚度条件所需的外直径为 4 Tma 80 D = G 0.07π π [ ϕ ] = = 0.09 m = 9 mm π 0.9 虽然空心圆轴的外直径只要大于 5mm 就能满足强度条件, 但考虑到刚度条件的要求, 该圆轴的外直径必须不小于 9mm 例.8 例题.5 中, 若材料的切变模量 G=80GPa, 许用单位长度扭转角 [ ϕ ] = /m, 试校核该轴的刚度 解 : 在例题.5 中已进行了强度校核, 计算结果表明, 该轴满足强度要求 现在进行刚度校核 例题.5 中已求出圆轴各段的扭矩, 其扭矩图如图.4(b) 所示 由扭矩图可见,CD 段和 D 段的直径相同, 但 D 段的扭矩大于 CD 段, 故这两段只要校核 D 段的刚度即可 C 段的扭矩虽然也小于 D 段, 但其直径也比 D 段小, 故 C 段的刚度也需要校核 C 段 T C ϕ ma = = GIP π 9 π (50 0 ) π = 0.9 / m < ϕ [ ] 57

64 58 材料力学 D 段 T D ϕ ma = = GI π P = 0.6 / m < [ ϕ ] π (80 0 ) π 计算结果表明, 该轴也满足刚度要求 例.9 一两端固定的圆截面杆 如图.9(a) 所示, 在截面 C D 处分别作用有扭转力偶矩 M 和 M 已知杆的扭转刚度为 GI, 试求 两端的支反力偶矩 p 解 : 本题只有一个独立的静力学平衡方程 M = 0, 但却有两个未知的支反力偶 M 和 M, 故为扭转的一次超静定问题 (statica indeterminate probem) 对于扭转超静定问题, 可综合运用变形的几何相容条件 力与变形间的物理关系和静力学平衡条件来求解 解除固定端 的多余约束, 加上相应的未知力偶 M, 如图.9(b) 所示 从图.9(a) 可以看出, 作为固定端, 其扭转角应为 0 因此, 可得到变形几何方程为 ϕ = 0 固定端 的扭转角可看作是由 M M 和 M 分别引起的, 故上式可写为 ϕ = ϕ + ϕ ϕ = 0 (a) M M M 当杆处于线弹性范围时, 扭转角与力偶矩间的物理方程为 M ϕ M = (b) GI p M M ϕ = M GI = p GI (c) p ϕ = M M M GI = GI (d) p 将式 (b) 式(c) 和式 (d) 代入式 (a), 即得补充方程, 并由此得到 M = M + M (e) 最后由静力学平衡方程 M = 0, 有 将式 (e) 代入式 (f), 可得 p M + M = M + M (f) M = M + M M M M M M C (a) D C D (b) 图.9 例.9 图 58

65 第 章剪切与扭转 59.6 非圆截面等直杆的自由扭转 在实际工程中, 有时也会遇到非圆截面等直杆的扭转问题 例如建筑结构中很多的受扭构件都是非圆截面构件, 前面提到的雨篷梁的扭转就是一个矩形截面杆的扭转问题 ; 在航空结构中也会采用薄壁截面的杆件来承受扭转 在上节分析等直圆杆的扭转问题时, 是以平面假设为前提的 而非圆截面等直杆在扭转时, 其横截面会产生翘曲 (warping), 如图.0 所示, 不再保持为平面, 平面假设不成立了 因此, 等直圆杆扭转时的计算公式并不适用于非圆截面等直杆的扭转问题 对于此类问题的求解, 一般要采用弹性力学的方法 图.0 矩形截面杆的自由扭转 非圆截面等直杆的扭转可分为自由扭转 (free torsion) 和约束扭转 (constrained torsion) 若杆件各横截面可自由翘曲时, 称为自由扭转, 也称纯扭转 (pure torsion), 此时, 杆件任意两相邻横截面的翘曲情况将完全相同, 纵向纤维的长度保持不变, 因此横截面上只有切应力而无正应力 若杆件受到约束而不能自由翘曲时, 称为约束扭转, 此时各横截面的翘曲情况各不相同, 将在横截面上引起附加的正应力 对于一般实心截面杆, 由约束扭转引起的正应力很小, 可忽略不计 ; 对于薄壁截面杆, 由约束扭转引起的正应力则不能忽略 本节将简单介绍矩形截面杆和薄壁截面杆的自由扭转问题.6. 矩形截面杆 弹性力学的分析结果表明, 矩形截面杆在自由扭转时, 其横截面上的切应力分布具有以下特点 : () 截面周边各点处的切应力方向必定与周边相切, 且截面顶点处的切应力必定为 0 此结论亦可由切应力互等定理推出 () 最大切应力发生在长边的中点处, 而短边中点处的切应力则为该边上切应力的最大值 如图. 所示, 最大切应力 τ ma 单位长度扭转角 ϕ 和短边中点处的切应力 τ 可根据以下公式计算 : 59

66 60 材料力学 T τ ma = (.0a) W t t T ϕ = (.0b) GI τ = ντ (.0c) ma τ τ ma h b 图. 矩形截面杆扭转时的切应力分布 式中,W t 称为扭转截面系数,I t 称为截面的相当极惯性矩 (equivaent poar moment of an area),gi t 则称为非圆截面杆的扭转刚度 W t I t 与圆截面的 W p 和 I p 量纲相同, 但在几何意义上则完全不同 矩形截面的 W t I t 与截面尺寸之间的关系为 Wt = α hb (.a) It = β hb (.b) 系数 α β 和 ν 与矩形截面的边长比 h/b 有关, 其值可查表 - 表 - 矩形截面杆在自由扭转时的系数 h/b α β ν 由上表可以看出, 对于 h/b>0 的狭长矩形截面, 有 α = β, ν = 0.74 为了与一 般矩形相区别, 现以 δ 表示狭长矩形的短边长度 将 α = β 代入式 (.), 有 Wt = hδ (.a) It = hδ = Wtδ (.b) 将上式代入式 (.0), 即可得狭长矩形截面的最大切应力和单位长度扭转角 60

67 第 章剪切与扭转 6 T τ ma = hδ (.a) T ϕ = Ghδ (.b) 狭长矩形截面上的切应力分布如图. 所示, 切应力在沿长边各点处的方向均与长边 相切, 其数值除靠近两端的部分外均相等 h d 图. 狭长矩形截面杆的扭转切应力分布 例.0 一矩形截面等直杆, 其横截面长边长度为 400mm, 短边长度为 0mm, 杆长 m, 在杆两端承受一对大小为 6kN m 的扭转力偶 若材料的许用切应力为 [τ]=60mpa, 切变模量 G=80GPa, 许用单位长度扭转角 [ ] ϕ =.5 /m, 试校核该杆的强度和刚度 解 : 该杆横截面的边长比 h/b=400/0>0, 可看作狭长截面矩形杆 将已知数据代入式 (.), 有 T 6 0 τ ma = = = = < τ hδ T 6 0 ϕ = = = 0.0rad 9 Ghδ =. / m < [ ϕ ] 计算结果表明, 该杆满足强度条件和刚度条件.6. 开口薄壁截面杆 Pa 50MPa [ ] 在工程中, 为了减轻结构自重, 提高材料的利用率, 常常会采用一些薄壁截面的杆件 如果薄壁截面杆的截面的壁厚中线是一条不封闭的曲线或折线, 则称为开口薄壁截面杆 (thin-waed bar with open cross section), 如图. 所示的截面都是开口薄壁截面 工程上常用的各类轧制型钢 ( 如角钢 工字钢 槽钢等 ) 的截面就可以认为是开口薄壁截面 对于开口薄壁截面杆, 其横截面可以看作是若干狭长矩形的组合截面 在自由扭转情况下, 薄壁截面发生转动, 但薄壁截面在其变形前的平面内的投影形状可以认为是不变的 因此, 当杆件扭转时, 截面的各组成部分的单位长度扭转角与整个横截面的单位长度扭转角 ϕ 相同, 故变形相容条件为 ϕ = ϕ (i=,,,n) (a) i 6