3.1 弹性体的功与应变能 当弹性体受到外力作用时, 它就发生变形, 因而外力在变形位移方向上对弹性体做功 如果不计及弹性体在加载和卸载时能量的损失, 即当结构系统是保守系统, 则对这样的物体在变形时所做的功, 可以看成是储存在物体中的能量, 称为应变能 (strain energy) 因此, 应变
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- 胡堕 屠
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1 第三章能量原理及其应用 (9) 3.1 弹性体的功与应变能 (1) 3. 虚功原理 () 3.3 单位载荷法 () 3.4 泛函与变分简介 (1) 3.5 最小势能原理 () 3.6 基于能量原理的近似解法 (1)
2 3.1 弹性体的功与应变能 当弹性体受到外力作用时, 它就发生变形, 因而外力在变形位移方向上对弹性体做功 如果不计及弹性体在加载和卸载时能量的损失, 即当结构系统是保守系统, 则对这样的物体在变形时所做的功, 可以看成是储存在物体中的能量, 称为应变能 (strain energy) 因此, 应变能可以看成是弹性体变形时, 它所吸收的能量
3 一 外力实功 例 : 载荷缓慢 0 P 位移 0 P A P P 1 W dw P 外实 O Δ B Δ
4 y M A W 外实 1 M 外力实功 : 广义力与方向广义位移乘积的一半
5 在线弹性范围内, 外力由零开始缓慢增加到某一值, 将外力做的实功统一写成 W 式中 F 广义力 ; 外实 1 = F Δ 与广义力对应的位移, 即为广义力作用点且与广义力方向一致的位移 称为广义位移
6 若有一组力 P 1 ~P n 引起各力作用点处的位移 Δ 1 ~Δ n P 1 P P 3 P 4 Δ 1 Δ Δ 3 Δ 4 W 外实 1 P P i 1 P i i P i 是由 P 1 ~P n 共同引起的位移 T 1 1 P i P n n 这一结论称为 Clapeyron( 克拉佩龙 ) 定理
7 应变能定理 (Clapeyron 定理 ) : 如果线弹性体在无限缓慢加载的条件下, 始终处于平衡状态时, 弹性体内的应变能等于在变形过程中外力所作的功
8 二 内力实功 dx N Q N N N dθ Q M dx dλ M dη
9 N N dλ d 1 dw N Ndx EA Nd N dx EA ρ dθ d dx 1 M EI Mdx EI M dw M 1 M dx Md EI
10 γ 0 0 Q 0 dη 计算 K 单位体积能量 比能 KQ d dx dx dx G GA 1 KQ dx dwq Qd GA u 1 G 剪应力不是均匀分布, 故乘一个系数 K QS z Ib Q ( S z ) GI b Q ( Sz ) A dwq udv ( da) dx GA I b KQ dx GA 其中 K ) ( S z A da 矩形 K=1. I b
11 dw dw dw dw 内 N M Q 分布外力和集中外力在微段的变形上做功为高阶小量, 原因 : 根据小变形假设, 位移是一阶微量, 因此微段变形为二阶微量 (1) 内力在变形上做功为有限量乘以二阶微量, 是二阶微量, 但在整个变形体内积分后, 变为一阶微量 ;() 集中力在变形上做功为有限量乘以二阶微量, 但只是有限个点, 因此总和还是二阶微量, 可以忽略 (3) 分布力在变形上做功为一阶微量乘以二阶微量, 为三阶微量, 积分后为二阶微量, 可以忽略
12 W 因此, 只有内力在微段变形上作功, 为 : 内 1 N x dx 1 M x dx 1 kq x dx EA EI GA * 平面问题 ( 未考虑扭矩 ) 由于微段所受力为平衡力系, 平衡力系在微段的刚体位移上不做功 因此若把弹性体看成许多微段, 则它所接受的功等于内力在微段变形上所作的功 若把弹性体看成整体, 则它所接受的功等于外力在位移上所做的功, 由此可得出实功原理
13 三 应变能 W 外 U W 内 U W 外 = W 内 U U 弹性体的实功原理 : 外力在位移上所做实功等于内力在相应的变形上所作实功, 两者又都等于储存在弹性体内的应变能 1 N x dx 1 M x dx 1 kq x dx EA EI GA 公式说明 1) 以弹性平衡状态作为应变能零点 ) 适用于直杆或小曲率的曲杆
14 杆的应变能 ( 只有轴向载荷和位移 ): du x N x A x EA x EA dx U u x 1 N x dx 1 du x EA EA dx dx
15 Euler-Bernoulli 梁的应变能 : 细长梁, 轴向变形和剪切变形对应变能的贡献可忽略 M x EI d w x dx U w x 1 M x dx 1 d w x EI EI dx dx
16 3. 虚功 (Virtual Work) 原理 一 虚功对于一个结构 : (1) 任意一个平衡力系, 不考虑其造成的位移 () 任意一个微小的 约束所允许的 变形连续的位移, 不考虑产生位移的原因. 外力虚功 W 外虚 P 与力无关 力不是从零逐渐增大, 因此没有系数 1/
17 W 外虚 一般情况 P P P P T 1,, P n T n 1,, W 外虚 i P i P T
18 3. 内力虚功 N N ds dλ* M dθ* Q dη* Qd Md Nd dw Qd Md Nd dw 内虚 ) ( Qd Md Nd W 内虚变形和内力是相互独立的不能用内力表示出 d d d
19 二 虚功原理原理的表述 : 变形体受到任意一个平衡力系作用, 当发生任意一个虚位移时, 变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 δw e, 恒等于内力在微段变形位移上作的虚功 δw i 也即恒有如下虚功方程成立 δw e =δw i W 外虚 = W 内虚
20 注意 : (1) 同一结构 ; () 力系应满足平衡条件 ; (3) 位移应满足约束和变形协调条件 ; (4) 位移状态与力状态可以完全无关 ;
21 实际上, 该原理应称为散度定理 ( 鹫津久一郎 ), 由该原理可以分别推导出虚位移原理 ( 虚功原理 ) 和虚力原理 ( 余虚功原理 ) 因此有 两个版本 的虚功原理, 一是鹫津久一郎 的散度定理, 一个是虚位移原理 本课程中, 虚功 原理 = 鹫津久一郎散度定理
22 变形体虚功原理的证明 将变形体分割成若干 ( 有限或无限 ) 隔离体各隔离体上的外力包括 : 外荷载和切割面内力 各单元体的虚位移包括 : 刚体虚位移和变形虚位移
23
24 变形体虚功原理的证明 计算各部分外力总虚功有两种方案 方案一 : 考虑各隔离体外荷载和切割面内力分别在整个虚位移 ( 含刚体虚位移和变形虚位移 ) 上的虚功 相邻切割面内力互为作用与反作用关系, 方向相反 整个虚位移 ( 含刚体虚位移和变形虚位移 ) 是光滑 连续的, 相邻分割面虚位移相同 因此切割面内力总功为 0 各部分外力总虚功 = 外荷载总虚功
25 变形体虚功原理的证明 方案二 : 考虑所有外力 ( 含外载荷和切割面力 ) 分别在刚体虚位移和变形虚位移上所做的虚功 但必须注意, 虚位移是光滑连续的, 但刚体和变形虚位移在分割面处一般不是光滑 连续的 因此切割面内力在变形虚位移上做的总功不为零 变形体是平衡的, 其各部分也必然平衡 因此, 各部分上的外力 ( 包括外载荷和切割面力 ) 是平衡力系 根据刚体虚位移原理, 外力在刚体虚位移上的总虚功等于 0 因此各部分外力总虚功 = 外力在变形虚位移上的总虚功
26 两方案计算同一内容, 因此 外载荷总虚功 = 外力在变形虚位移上的总虚功 由上一节可知, 外载荷 ( 包括分布载荷和集中载荷 ) 在变形虚位移上所做功为高一阶的小量, 可以忽略, 因此 : 外载荷总虚功 = 切割面内力在变形虚位移上的总虚功 δw e =δw i
27 注意 1. 虚功原理里存在两个状态 : 力状态必须满足平衡条件 ; 位移状态必须满足协调条件. 原理的证明表明 : 原理适用于任何 ( 线性和非线性 ) 的变形体, 适用于任何结构
28 3. 原理可有两种应用 : 实际待分析的平衡力状态, 虚设的协调位移状态, 将平衡问题化为几何问题来求解 实际待分析的协调位移状态, 虚设的平衡力状态, 将位移分析化为平衡问题来求解 ( 如 : 单位载荷法 ) 第一种应用一些文献称为 虚位移原理, 而将第二种应用称为 虚力原理 虚位移原理 : 一个力系平衡的充分必要条件是 : 对任意协调位移, 虚功方程成立. 虚力原理 : 一个位移是协调的充分必要条件是 : 对任意平衡力系, 虚功方程成立
29 3.3 单位载荷法 - 静定结构的位移 计算
30 结构的位移 (Displacement of Structures) 角位移 F P A x A y C C 相对线位移 C D D F P D 线位移 相对角位移 线位移, 角位移, 相对线位移 角位移等统称广义位移
31 下面从虚功原理入手, 讨论基于单位载荷法的杆系结构位移计算的一般公式 单位载荷法 : 虚设平衡力系, 求实际的位移
32 设待求的实际广义位移为 Δ K, 与 Δ K 对应的单位广义力为 P k 设仅在虚设广义力 P K 作用下, 其引起的轴力 剪力和弯矩分别为 N, Q, N, Q, M M 与内力对应的微段实际变形分别为 dλ dη 和 dθ 实际位移状态 B A K Bx? C P P K A B 虚设的力状态 N, Q, M C
33 外力虚功 内力虚功 W 外虚 =P K Δ K W Nd Md Qd 内虚 由虚功方程 W 外虚 = W 内虚 令 P K =1 则结构虚功方程改写为 K Nd Md Qd
34 K Nd Md Qd N, M, Q 由虚设单位广义力引起的内力 d, d, d 实际状态中的微段变形 k 实际状态中拟求的位移 单位载荷法 Maxwell-Mohr 法 k 计算结果为正, 所求的位移与单位力指向一致, 否则相反
35 K Nd Md Qd 公式的普遍性表现在 : 1. 位移原因 : 载荷 温度改变 支座移动等 ;. 结构类型 : 梁 刚架 桁架 拱 组合结构 ; 3. 材料性质 : 线性 非线性 ; 4. 变形类型 : 弯曲 拉 ( 压 ) 剪切变形 ; 5. 位移种类 : 线位移 角位移 ; 相对线位移 和相对角位移
36 广义位移 线位移 角位移 两点相对线位移 两截面相对角位移 桁架杆件的角位移 单位广义力 相同方向单位力 相同方向单位力偶 两点连线方向加一对 方向相反的单位力 一对方向相反的单位力偶 杆两端加一对方向与杆 垂直, 大小为杆件长度 倒数, 指向相反的集中力
37 试确定指定广义位移对应的单位广义力 P K =1 A A? (a) B P K =1 P K =1 A AB? (b)
38 试确定指定广义位移对应的单位广义力 1 P k d C A d B BC? 1 P K d
39 试确定指定广义位移对应的单位广义力 A P=1 (g) A? B A P=1 (h) P=1 AB?
40 线弹性静定结构的位移计算 Nd Qd Md k 对于由线弹性直杆组成的结构, 由材料力学有 : Nds kqds Mds d, d, d EA GA EI N, Q, M 结构在载荷作用下实际状态中微段的内力
41 NN kqq MM K d s EA GA EI 轴向 剪切 弯曲 K 截面形状系数 如 : 对矩形截面 k=6/5; 圆形截面 k=10/9
42 内力的正负号规定如下 : 轴力 N, N 以拉力为正 ; 剪力 Q, Q 使微段顺时针转动者为正 ; 弯矩 M, M 只规定乘积的正负号 使杆件同侧纤维受拉时, 其乘积取为正
43 NN KQQ MM d s K EA GA EI 对欧拉 - 伯努利梁, 拉伸和剪切变形影响很小, 通常忽略不计 1. 对梁和刚架 : K MM d s EI. 对桁架 : NNds K EA NNl EA
44 求图示等截面梁 B 端转角 解 :1) 虚拟单位荷载 )M P 须分段写 B x M ( x) (0 x l) l l 0 M P EI M dx A M P M P EI P l/ l/ Px l ( x) (0 x ) P( l x) l ( x ) ( x l ) m=1 B 0 l Px ( Pl 16EI x ) l 1 EI dx l l P( l x) ( x 1 ) dx l EI 比直接积分法简单
45 例 5-6 试求图 (a) 所示简支梁两端截面 A B 的相对转角 解 : 虚设力系如图 (b) M 1 (0 x l) 实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图 (c) FPb M x (0 x a) l x M FP a(1 ) ( a x l) l MM ds EI FP ab EI
46 例 : 求刚架 A 点的竖向位移 解 : 构造虚设状态 ( 实际状态 ) ( 虚拟状态 ) 分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程 ( 或画出内力图 )
47 1 ql ql 1 qx x qx x ql F NP M P F QP l 载荷内力图 1 1 x x x M F QP F NP 单位内力图
48 将内力方程代入公式 MMds NNds KQQds Ay EI EA GA 4 5ql 8I 4kEI (1 ) 8EI 5Al 5GAl 若截面为矩形, 宽 b, 高 h, 则 4 5ql h E h Ay (1 ) 8EI 15 l 5G l 可见, 对于细长杆件, 轴力和剪力的影响可以忽略不计
49 3.4 泛函和变分简介 单自由度振动系统的应变能 数值 U w 1 kw 数值 w 弹簧的应变能只依赖于一点的位移 w, 是自变量为 w 的函数
50 等截面 Euler-Bernoulli 梁的应变能 数值 U 1 l w x EI 0 d w x dx dx 函数 对于连续的弹性体, 应变能与所有点的位移有关, 由于有无穷多个点, 位移是一条曲线, 必须用函数表示 应变能 U 的大小依赖于函数 w(x) 的形式, 称为泛函 (functional) A w 1 (x) B x l w (x)
51 函数的微分 Differential of a function y = f(x) 当自变量 x 有一增量 : 函数 y 也有一增量 : Δy = y - y 1 0 = f(x ) - f(x ) 1 0 Δy = f (x)δx dy = f (x)dx Δx = x - x 1 0 dy 与 dx, 分别称为自变量 x 与 函数 y 的微分 微分问题
52 泛函的变分 variation of functional U U y( x) 函数 y 有一微小变化 ( 函数的变分, 也是函数 ): 泛函 U 也有一增量 : 1 y y y y U U y( x ) U y( x) U 1 函数的增量 y 泛函的增量 U 等称为变分 研究函数的变化与泛函的增量之间的关系称为变分问题
53 设 y y x F F y, y, x 则变分的运算性质 : F = F y F y F x y y x y ( y )
54 变分问题例子 : 最速下降问题 质点受重力作用从 A 到 B 沿曲线路径自由下滑, 不考虑摩擦力, 求质点下降最快的路径 T( y) 0 x 1 1 y gy ' dx
55 函数的极值 : 若 y f ( x) 在 x 0 处有极值, f ( x) 0 则有 : x 0 泛函的极值 若 U[y(x)] 在 y 0 (x) 处有极值, 则有 : U y( x) 0
56 欧拉 - 泊松定理 : 泛函 x x ( n) U y( x) F x, y, y, y,..., y dx 端点 x1 x 上给定了函数值以及直到 n-1 阶导数的值 则泛函取得极值的条件为 : U y x 1 ( ) n n y dx y dx y dx y n F d F d F n d F
57 从上文可知, 连续弹性体的能量为位移的泛函 形式为某个泛函的变分的原理称为变分原理 普通的力学原理直接研究真实的状态, 然后得到状态所应满足的方程 而变分原理则不然, 它不是专注于实际的状态, 而是考察约束所容许的一切可能的状态, 根据真实状态所满足的变分条件 ( 如 : 真实位移使势能取极值, 势能变分为零 ), 进而得到真实状态所应满足的方程 {F} 真实变形曲线
58 3.5 最小势能原理 对于弹性体, 若载荷为保守力, 则系统为保守系统 ( 若载荷保持不变, 则一定为保守力 ) 系统的总势能定义为内力势能 ( 应变能 U) 与外力势能 V 之和 U V 外力势能定义为外力在结构恢复变形时所做功, 为结构以恒力加载时做功的负值 : V W
59 按照力学的一般说法, 任何一个实际状态的弹性结构系统的总位能是这个系统从实际状态运动到某一参考状态 ( 通常取结构的卸载状态作为参考状态 ) 时它的所有作用力所做的功 结构系统的作用力包括外力 ( 体积力 表面力等 ) 和内力 ( 与结构在外力作下产生的变形相应的应力 ) 内力位能就是已阐明的应变能 U 因为在卸载时, 应力总是和应变同方向的, 所以应变能是正值 外力位能是结构从它的最终位置 ( 实际状态或受载状态 ) 恢复到它的初始状态 ( 卸载状态或参考状态 ) 时, 结构上的每一个外力所做的功 W, 显然它是负值
60 系统的总势能一般是位移函数的泛函 A B x l 设弹性体在力系作用下处于平衡, 假设发生了任意微小虚位移 ( 位移变分 ), 则总势能的变化为 U V U V U W 根据虚功原理, 有 U W 0
61 弹性体平衡时的位移使总势能取驻值, 可以证明, 该驻值为最小值 最小势能原理 : 对于平衡的弹性体, 在一切容许的位移中, 满足平衡方程的位移使总势能取最小值
62 例 1: 两端固支的梁在均布载荷作用下的弯曲变形挠度 v(x) 在边界上的条件为 : 0 l 0 总势能 : l l 1 d = U V EI qxx dx 0 dx
63 0 l 1 平衡条件为总势能取驻值 : 0 根据欧拉 - 泊松方程 d EI q xxdx dx F d F d F dx dx 0 1 F EI q 可得 : EI d 4 dx q 0 4
64 例 : 不可伸长悬索, 两端点 A B 固定, 求在重力作用下的平衡构形 (1691 年, 雅可比 伯努利 ) 考虑通过 A B 两点的各种等长曲线 令曲线 y=f(x) 的长度为 L, 重心坐标为, 则 ( x, y) L b a ds b a 1 dy ( ) dx dx 由重心公式, 重心的纵坐标为 y b a y dy 1 ( dx L ) dx
65 根据最小势能原理, 应使重心最低, 即泛函 b y 1 y dx a 取极值, 根据欧拉 - 泊松公式可得 : yy ( y) 1 0 该微分方程的解称为悬链线 (catenary) 1 y cosh[ k ( x c)] k
66 3.6 基于能量原理的近似方法 根据最小势能原理, 如果能够列出所有的几何可能位移, 那么使总势能取最小值的那一组位移就是真实位移 问题是列出所有几何可能的位移是非常困难的, 甚至是不可能的 因此, 对于实际问题的计算, 只能凭借经验和直觉缩小寻找范围, 在这个范围内的一族几何可能的位移中, 找到一组位移使得总势能最小 虽然这一组位移一般的说并不是真实的, 但是可以肯定, 它是在这个缩小的给定范围内部, 与真实位移最为接近的一组位移, 由此解答可以作为近似解
67 最小势能原理的主要用途并非推导平衡微分方程, 它是弹性力学问题近似解法的基础 常见的基于最小势能原理的两种近似解法 : 瑞利 - 里茨 (Rayleigh-Ritz) 法和伽辽金 (Галёркин) 法 下面以梁的弯曲变形为例, 介绍一下瑞利 - 里茨方法
68 将梁的挠曲线表示成级数 ( 可以用振动力学中的模态来理解 ): i1 w x aii x 0 x l n ii 0 w x a x x l i1
69 n i1 w x aii x 0 x l w x a1, a,..., an
70 根据最小势能原理, 函数应取极值, 即 : 求解该方程组, 即可得到最接近精确解的一组系数 进而得到最接近精确值的挠曲线
71 例 : 两端简支的等截面梁, 受均匀分布载荷 q 试求解梁的挠度 w(x) 假设梁的挠度 : 总势能为
72 根据 所以 所以
73 回代到位移公式, 可得 挠曲线表达式是无穷级数, 它给出本问题的精确解答 这个级数收敛很快, 只要取少数几项就可以得到足够的精度 最大挠度在梁的中点, 因此 如果取一项, 有 这一结果与精确值十分接近
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材料力学 刘鸿文主编 ( 第 5 版 高等教育出版社 教师 : 朱林利, 副教授, zhu@zju.edu.cn 航空航天学院应用力学研究所助教 : 李桂平, 7668@qq.com 刘兰, 95467@qq.com 作业 课件等相关信息网址 : http://mypge.zju.edu.cn/mmzhu/ 目录 第二十一次作业 :..5.9..6 知识要点回顾 变形能的应用 互等理论 功的互等定理
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) ,,, :,,,,,,, ( CIP) /. :, 2001. 9 ISBN 7-5624-2368-7.......... TU311 CIP ( 2001) 061075 ( ) : : : : * : : 174 ( A ) : 400030 : ( 023) 65102378 65105781 : ( 023) 65103686 65105565 : http: / / www. cqup.
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习题参考答案一 第一部分 几何组成分析 一 O X X X 二 ace 或 ade; 固定支座 ; 不可以 虚铰是连接两个刚片之间的两个链杆 三 无多余约束的几何不变体系 ; 有 个多余约束的几何不变体系 ; 无多余约束的几何不变体系 ; 无多余约束的几何不变体系 ; 5 瞬变体系 ; 6 无多余约束的几何不变体系 ; 7 无多余约束的几何不变体系 ; 8 无多余约束的几何不变体系 ; 第二部分 静定梁
知识点二 : 张量基础 e e, δ, j j 当 j; 当 j e jk, 当, j, k 为顺序排列 ; -, 当, j, k 为逆序排列 ;, 当指标中有两个相等 e e e e e e e e e j j j j j jk k ejk esk δδ js δδ s j
知识点一 : 弹性力学绪论 形状范围方法上 弹性力学 : 杆 板 壳 水坝等材料力学 : 杆状结构力学 : 杆状物件组合 连续性 均匀性 弹性 弹塑性 蠕变 疲劳等 弹性 基本假设 : 在基本假设的基础上还有应力 变形状态的附加假设 基本假设 3 各向同性 线性完全弹性 5 小变形 6 无初始应力 知识点二 : 张量基础 e e, δ, j j 当 j; 当 j e jk, 当, j, k 为顺序排列
5 551 [3-].. [5]. [6]. [7].. API API. 1 [8-9]. [1]. W = W 1) y). x [11-12] D 2 2πR = 2z E + 2R arcsin D δ R z E = πr 1 + πr ) 2 arcsin
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38 5 216 1 1),2) 163318) 163318). API. TE256 A doi 1.652/1-879-15-298 MODE OF CASING EXTERNA EXTRUSION BASED ON THE PRINCIPE OF VIRTUA WORK 1) ZHAO Wanchun,2) ZENG Jia WANG Tingting FENG Xiaohan School
3 毕业要求 毕业要求 5.2 具有完成土木工程结构构件 节点和单体的设计能力 20% 具有至少应用一种土木工程方面的大型分析软件能力, 并了解工程适用性 10% 1. 本课程内容与毕业要求指标点的对应关系 教学内容 毕业要求指标点 第一章绪论 毕业要求 1.3 第二章几何构造 毕业要求
结构力学 (B 类 )(1) 课程大纲 课程代码 EM251 课程名称 中文名 : 结构力学 (B 类 )(1) 英文名 :Structural Mechanics (B) (1) 课程类别 专业基础课 修读类别 必修 学分 4 学时 64 开课学期 第 4 学期 开课单位 船舶海洋与建筑工程学院土木工程系 适用专业 土木工程专业 先修课程 材料力学 理论力学 高等数学 教材及主要参考书 1. 课程组自编中英文讲义,
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:,,,, ( CIP ) /,. :, 2001. 8 ISBN 7 5612 1363 8............. 0342 CIP ( 2001) 027392 : : 127, : 710072 : 029-8493844 : ht t p: / / www. nwpup. com : : 787mm1 092mm : 19. 75 : 480 : 2001 8 1 2001 8 1 :
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定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
Q F P Cv 0 = = : T T dt dλ 2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 23 37 50 54 *56 53 47 40 0 10 11.5 12.3 *12.5 10.8 9.3 7.6 5.2 4.0-10 13 *14 13 4 2-3 -6-7 2-2 / / / / / 100 200 300 400 500 600 700 800
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中国科学院教材建设专家委员会全国高职高专土木工程专业系列规划教材优秀奖 全国高职高专土木工程专业系列规划教材 结构力学 ( 第二版 ) 沈养中孟胜国主编 北京 内容简介 本书是 全国高职高专土木工程专业系列规划教材 之一, 是依据教育部制定的高职高专土木工程专业力学课程教学基本要求编写的 本书着力体现当前高职高专教学改革的特点, 突出针对性 适用性和实用性, 突出职业技能 素质的培养 编写时精选内容,
Chapter 5 Axial Force, Shear, and Bending Moment
Chapter 4 Axial Force, Shear, and Bending-moment 4-1 Introduction 1. Beams In many instances in structural and machine design, members must resist forces applied laterally or transversely to their axes.
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
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静力学 平面任意力系理论力学 静力学 009 年 5 月 0 日星期三 静力学 平面任意力系第三章 平面任意力系 力的作用线分布在同一平面内的力系称为平面力系 静力学 平面任意力系 3- 力的平移 作用在刚体上某点 的力 可平行移到任一点 B, 平移时需附加一个力偶, 附加力偶的力偶矩等于力 对新作用点 B 的矩 力的平移的过程是可逆的. 即作用在同一平面内的一个力和一个力偶, 总可以归纳为一个和原力大小相等的力
标题
第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik
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二 多 重 選 擇 題 : 1. 下 列 何 種 情 形, 有 我 國 刑 法 之 適 用? (A) 菲 律 賓 人 甲 在 航 行 於 釣 魚 台 海 域 之 我 國 國 籍 的 漁 船 上 打 傷 印 尼 人 乙 (B) 台 灣 人 甲 與 大 陸 人 乙 在 日 本 通 姦 (C) 韓 國 人 甲 在 美 國 殺 死 台 灣 人 乙 (D) 越 南 人 甲 在 越 南 販 賣 海 洛 因 給
Gauss div E = 1 ε 0 ρ(x, y, z), (1.3) E (x, y, z)ε 0 ρ(x, y, z) E = 0 (curl E = 0), (1.4) E = u(x, y, z), (1.5) u ( )(1.5) (1.3) u(x, y, z) = 1 ε 0 ρ(
Laplace Laplace() Poisson () Laplace Poisson Laplace Poisson ( ) GreenLaplace Green ( )Laplace Poisson Harnack Laplace Laplace 1. Laplace ( ) u n i=1 u x i = 0 (1.1) Poisson u n i=1 u x i = f(x 1,, x n
( 二 ) 拉压与剪切 (1) 轴向拉伸和压缩的概念和实例 ; (2) 轴向拉压时横截面上的内力与应力 ; (3) 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 ; (4) 材料在拉伸时的力学性能 ; (5) 材料在压缩时的力学性能 ; (6) 失效 安全系数和强度计算 ; (7) 轴向拉伸或压缩时的变形 ;
工程力学 A(Ⅱ) Engineering mechanics A(Ⅱ) 课程编号 :24320530 学分 :4 学时 :60 ( 其中 : 讲课学时 :60 实验学时 :0 上机学时 :0) 先修课程 : 高等数学 大学物理 工程图学, 理论力学适用专业 : 车辆工程 交通工程 交通运输 机械设计制造及其自动化 机械电子工程 农业机械化及其自动化等教材 : 材料力学 (I)(II), 刘鸿文,
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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四川省教育厅
四 川 省 教 育 厅 四 川 省 体 育 局 川 教 函 2015 727 号 四 川 省 教 育 厅 四 川 省 体 育 局 关 于 举 办 2016 年 四 川 省 中 学 生 篮 球 比 赛 和 排 球 乒 乓 球 羽 毛 球 田 径 锦 标 赛 的 通 知 各 市 ( 州 ) 教 育 局 体 育 局 有 关 学 校 : 为 推 动 我 省 篮 球 排 球 乒 乓 球 运 动 的 发 展,
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7-3 虚功原理 虚功原理是分析力学中解决静力学问题的基本原理 它阐明了力学系统保持静平衡的必要充分条件 并提供了解决各类力学系统静力学问题的统一观点和方法. 一 虚功原理受有理想约束 [ 定常约束] 的力学系统 保持 [ 静 ] 平衡的必要 [ 充分 ] 条件是作用于该系统的全部主动力的虚功之和为零. 在直角坐标系中 上式写成 ( 必要条件的证明 : 当力学系统相对惯性系处于 [ 静 ] 平衡时
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第 6 章位移法 教学提示 : 位移法是解超静定结构的基本方法之一, 许多实用的方法都是从位称法演变出来的 建立位移法方程有两种方法, 一是写典型方程, 二是写平衡方程 本章学习的主要内容有位移法的基本概念 ; 超静定梁的形常数 载常数和转角位移方程 ; 位移法基本未知量和位移法基本结构的确定 ; 典型方程的建立 ; 用位移法计算刚架和排架 ; 直接用结点 截面平衡方程建立位移法方程 ; 利用对称性简化位移法计算
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f e L/ b I I P AD c b b P 131 132 133 b 134 W b b W 135 e d b AB b F F f f E E E E E G G G G G G E G E A B C D ABCD A B A B C D AB AB ABC D A BD C A B C D D D D E E E D b ED ED b ED b G E b b b b b
吉林大学学报 工学版 ２４４ 第 ４ 卷 复杂 鉴于本文篇幅所限 具体公式可详见参考文 献 ７ 每帧的动力学方程建立及其解算方法如图 ３ 所示 图４ 滚转角速度与输入量 η 随时间的变化波形 Ｆｉｇ ４ Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ｒａｔｅ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ η ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｃｈａｎｇｉｎｇ 图５ Ｆｉｇ ５ 滚转角随时间的变化波形 Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ
器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 ３ 电势与电势差 １ 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 Ｅ ｐ 与电荷量 ｑ Ｅｐ 的比值叫做该点处的电势 表达式为 Ｖ 电场中两点之间的 ｑ 电势之差叫做电势差 表达式为 ＵＡＢ Ｖ Ａ ＶＢ ２ 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量
m0 m = v2 1 c 2 F G m m 1 2 = 2 r m L T = 2 π ( m g 4 ) m m = 1 F AC F BC r F r F l r = sin sinl l F = h d G + S 2 = t v h = t 2 l = v 2 t t h = v = at v = gt t 1 l 1 a t g = t sin α 1 1 a = gsinα
女性减肥健身（二）.doc
...1...3...5...6...9...17...19...21...23...26...32 GI...34...38...40...41 keep 24...43...45 5...49...51 I ...54...57...59...60...68...71 5...72...76...82...84 in...90...94...96 72 60...97... 110 7...111...
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第二章变分法 Variaional Approach 最优控制所要解决的问题 : 在一定的约束条件下, 求使性能指标达到极大 或极小 值的控制函数 约束条件 一般是由向量微分方程描述的控制对象特性性能指标 一般是用泛函来描述 也就是说, 最优控制问题实际上是在微分方程约束下求泛函的条件极值问题, 而从数学上看这就是一个变分问题, 需要用变分法求解 变分法是近代数学中的一个完整分支, 是研究最优控制问题的重要工具
第四章 １０２ 图 ４唱１６ 基于图像渲染的理论基础 三张拍摄图像以及它们投影到球面上生成的球面图像 拼图的圆心是相同的 而拼图是由球面图像上的弧线图像组成的 因此我 们称之为同心球拼图 如图 ４唱１８ 所示 这些拼图中半径最大的是圆 Ｃｋ 最小的是圆 Ｃ０ 设圆 Ｃｋ 的半径为 ｒ 虚拟相机水平视域为 θ 有 ｒ Ｒ ｓｉｎ θ ２ ４畅１１ 由此可见 构造同心球拼图的过程实际上就是对投影图像中的弧线图像
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自动化学院 第四章 机器人动力学 第四章机器人动力学 4. 引言 4. 机器人静力分析 4.3 机器人的动力学方程式 4.4 机器人的动态特性 4. 引言 机器人运动学只限于对机器人相对于参考坐标系的位姿和运动问题的讨论, 未涉及引起这些运动的力和力矩, 及其与机器人运动的关系 机器人是一个复杂的动力学系统, 在关节驱动力矩 ( 驱动力 ) 的作用下产生运动变化, 或与外载荷取得静力平衡 机器人控制系统是多变量的
. () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) : P.33 A (9),. (4) : P. B 5, 7(). (5) : P.8 3.3; P ; P.89 A 7. (6) : P.
() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :
3.1 ( ) (Expectation) (Conditional Mean) (Median) Previous Next
3-1: 3.1 ( )........... 2 3.1.1 (Expectation)........ 2 3.1.2............. 12 3.1.3 (Conditional Mean)..... 17 3.1.4 (Median)............ 22 Previous Next First Last Back Forward 1 1.. 2. ( ): ( ), 3.
浙江大学材料与化学工程学院博士学位论文铝内衬轻质高压储氢容器强度和可靠性研究姓名 : 开方明申请学位级别 : 博士专业 : 化工过程机械指导教师 : 郑津洋 20070801 浙江人学工学博士学位论文 同几何结构的金属材料的有限元计算结果 轴向位移云图见图３
元件号 节点号 节点坐标 弹性模量 横截面积, (, );(, ) E A 其中 杆件的长度可由下式计算 ( ) ( ) ( ) ( ) tg 是杆件的轴向与 轴正方向的夹角 对于图.8 所示的结构, 每个元件的节点号如下所示 : (.) 杆件产生节点位移,,, 后, 杆的长度变化为 ( 以受拉为正
第二节平面桁架问题 考虑一个平面桁架结构, 如图.7 所示 : 图.7 平面桁架结构 该结构由 个杆件在 个节点处连接而成 在节点处铰接, 不能承受 ( 传递 ) 弯矩, 所以每个杆内只能产生均匀分布的轴向力. 鉴于上述假设, 每个节点处只有两个位移分量, 即, 方向的位移,, 它们是描述这一问题的变量 ( 参数 ) 整个问题的自由度数是节点数的二倍. 元件分析 考虑结构中任一杆件, 如图.8 所示
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材料力学 * 第 13 章塑性变形 极限分析 求解一个完整的材料力学问题, 一般需同时考虑构件变形的几何关系 力与变形间的物理关系和静力平衡关系 3 个方面 在前面章节中, 力与变形间的物理关系服从虎克定律, 应力与应变间呈线性关系, 即变形均限定在线弹性范围内 所以, 前面各章节都属于材料力学的弹性分析的内容 当变形超过线弹性范围, 进入塑性变形阶段时, 材料力学问题同样需考虑几何 物理和静力 3
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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LOGO 结构力学 Structural nalysis 华中科技大学土木工程与力学学院 LOGO 第 3 章静定结构受力分析 华中科技大学土木工程与力学学院 3.4 静定刚架 例 1: 画出图示刚架的内力图 6 kn 10 kn 3m 3m 2m y 20 kn/m 6m y x 利用刚架整体平衡条件求支座反力 x = 0 x = 16kN = 0 y = 47kN = 0 y = 73kN 截取刚架结点或构件作为隔离体计算杆端内力
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材料力学模拟试题 1( 少学时 ) 一 选择题 ( 每小题 5 分, 共 3 小题 15 分 ) 1-1 低碳钢经冷作硬化后, 可以提高 A 比例极限; B 强度极限; C 伸长率; D 断面收缩率 1-2 在图示刚架中, 段发生拉弯组合变形 2-3 图示悬臂梁受到集中力的作用, 已知梁的弯曲刚度为 EI, 则 A 截面的挠度 w = A 三 计算题 ( 共 5 小题 70 分 ) 3-1 (15
3978 30866 4 3 43 [] 3 30 4. [] . . 98 .3 ( ) 06 99 85 84 94 06 3 0 3 9 3 0 4 9 4 88 4 05 5 09 5 8 5 96 6 9 6 97 6 05 7 7 03 7 07 8 07 8 06 8 8 9 9 95 9 0 05 0 06 30 0 .5 80 90 3 90 00 7 00 0 3
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中国生态文明奖先进集体和先进个人建议吊单公示
中 国 生 态 文 明 奖 先 进 个 人 公 示 序 作 为 殡 葬 行 业 持 久 性 有 机 污 染 物 研 究 学 科 带 头 人, 率 先 在 殡 葬 行 业 开 展 了 二 恶 英 减 排 和 重 金 属 汞 减 排 技 术 研 究 通 过 自 主 创 1 王 玮 民 政 部 一 零 一 研 究 所 科 室 主 任 新 和 技 术 优 化, 研 发 了 遗 体 火 化 遗 物 祭 品 焚
投 入 建 设 经 费 3600 万 元, 立 项 建 设 19 个 研 究 生 公 共 实 验 课 程 教 学 平 台, 依 托 实 验 课 程 平 台 开 设 研 究 生 实 验 课 程 109 门, 系 统 训 练 并 提 升 了 研 究 生 知 识 应 用 能 力 工 程 认 知 能 力,
五 附 件 目 录 附 件 1: 成 果 总 结 以 提 升 工 程 能 力 为 核 心 的 全 日 制 工 程 硕 士 培 养 模 式 创 新 与 实 践 为 贯 彻 落 实 国 家 关 于 建 设 人 才 强 国 和 人 力 资 源 强 国 的 战 略 部 署, 2009 年 教 育 部 进 行 研 究 生 教 育 改 革, 开 始 实 施 以 应 届 本 科 毕 业 生 为 主 体 的 全 日
北京工业大学硕士学位论文弯桥理论的探讨及其支承体系的研究姓名 : 赵辉申请学位级别 : 硕士专业 : 桥梁与隧道工程指导教师 : 徐贺文 20070501 弯桥理论的探讨及其支承体系的研究 作者 : 赵辉 学位授予单位 : 北京工业大学 相似文献 (3 条 ) 1. 期刊论文谭万忠.
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第 5 章力 法 教学提示 : 学习力法的基本原理, 首先应深刻理解将超静定问题转化为静定问题解决的基本思想, 理解基本体系的桥梁作用 这是掌握力法的基础 了解超静定结构与静定结构在受力特性上的异同点 教学要求 : 充分理解和掌握力法的基本原理 能熟练确定超静定次数, 理解力法基本方程的物理意义, 能熟练运用力法计算简单超静定结构 ( 梁 刚架 桁架 排架 组合结构和拱结构 ) 在荷载作用力下产生的内力
弹性力学讲义 (14 版 ), 山东大学岩土中心王者超 5.1 节基本方程 (1) 平衡方程 f f f () 几何方程 u v w u v v w w u (3) 应变协调方程 (4) 本构方程
弹性力学讲义 (14 版 ), 山东大学岩土中心王者超 第五章 : 弹性力学问题的一般原理 第五章 : 弹性力学问题的一般原理... 1 5.1 节基本方程... 5. 节边界条件... 3 5.3 节位移法... 7 5.4 节应力法... 1 5.5 节解的唯一性... 13 5.6 节叠加原理... 14 5.7 节圣维南原理... 15 1 弹性力学讲义 (14 版 ), 山东大学岩土中心王者超
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《米开朗琪罗传》
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大 事 记 目 录 前 言...3 1945 年...4 1946 年...4 1947 年...9 1948 年...11 1949 年...14 1950 年...18 1951 年...21 1952 年...24 1953 年...26 1954 年...28 1955 年...32 1956 年...34 1957 年...37 1958 年...40 1959 年...43 1960 年...47
( ) ( ( ( ( , ) 13 ( ) ( (2012 ) ( ( 16 ( ( ( ( 292 ( ( (1
( 155 1 ( 2014 11 2 ( 2005 29 3 ( 2012 13 4 ( 2014 12 5 ( 2014 9 6 ( 2014 9 7 ( 2014 1431 8 ( ( 2003 4 2003 54 9 ( 2008 7 ( 2013 1890 3 ( ) ( 10 2004 16 ( 2000 2433 ( 11 2014 5 12 (1990 2 20, 1990 11 )
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( 0178) ( CIP). 1 /. :, 2004. 7 ISBN 7-80153 - 956-7.... G726. 9 CIP ( 2004) 069175 : 1 : : : : : : 2 : 100733 : 010-65369524 65369530 : : : 880mm 1230mm 1 /32 : 2400 : 150 : 5000 : 2006 8 1 2 : ISBN 7-80153
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试卷
( 试 题 中 凡 主 观 题 答 案 意 思 对 即 可, 若 与 答 案 不 同 而 言 之 成 理, 亦 可 酌 情 给 分 ) 一 ~ 二 (45 分 ) 1.B( 原 文 并 未 说 网 络 社 会 生 态 系 统 的 核 心 与 现 实 社 会 生 态 系 统 的 核 心 不 同 ) 2.D( 服 务 网 络 收 集 到 的 数 据 要 和 关 系 网 络 的 数 据 整 合 在 一 起,
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西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
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6 + a lim = 8, a =. a l. a a + a a a a lim = lim + = e, a a a e = 8 a= l ( 6,, ), 4 y+ z = 8. + y z = ( 6,, ) 4 y z 8 a ( 6,, ) + = = { } i j k 4,,, s = 6 = i+ j k. 4 ( ) ( y ) ( z ) + y z =. + =, () y
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一级建造师 建筑工程管理与实务 嗨学讲师 : 安慧 新浪微博 : 筱安安课堂开课了 答疑邮箱 :2475465940@qq.com 1 1A411010 建筑结构工程的可靠性一 可靠性 : 安全性 : 坚固不坏 不倒塌适用性 : 控制大的变形 裂缝耐久性 : 使用年限内 2 例 : 在遇到强震时, 房屋只局部出现裂缝不倒塌, 这表明该建筑 物满足 ( ) 要求 A 经济性 B 安全性 C 适用性 D
微积分 授课讲义
2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
dn = kn ( 5 1) dt t = 2 303 1 k tg N 0. ( 5 2) N S m + M v = V (5 3) K S dx = µ X dt 5 4 S µ = µ m K + S ( 5 5) S ds 1 dx 1 = = µ X ( 5 6) dt Y dt Y x/ s x/ s ds 1 = + + ( ) dt Y X mx 1 dp
常微分方程的数值解法 - Numerical solution of ordinary differential equation
常微分方程的数值解法 Numerical solution of ordinary differential equation 张晓平 2018 年 12 月 17 日 武汉大学数学与统计学院 Table of contents 1. 一般概念 2. 欧拉方法 3. 龙格 - 库塔方法 (Runge-Kutta method) 1 一般概念 一般概念 1. 常微分方程的求解问题在实践中经常遇到, 但我们只知道一些特殊类型的常微分方程的解析解
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() ( 3845 ) ...10... 10... 11...12... 12... 12... 15... 16... 18... 18...19... 19... 19... 20...21... 21... 21... 23... 23... 23... 24... 24... 24... 24... 25...26... 26... 27... 31... 57... 58...
西安美术学院福建公安高等专科.doc
...1...1 ( )...6... 11...13...14...16...21...22...36...37...38...39...43...44...46...48...48...51 I ( )...53...56...59...62...62...80...82...86...87 ( )...90...93...97 ( )...99... 106... 107... 118 ( )...
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(3 ) ,,, ;,, (CIP) /. 3. :, 003. 11 () ISBN 75610994.... TB301 CIP (000) 75084 : : 17, :71007 :09-8493844 : www.nwpup.com : : 787 mm1 09 mm 1/ 16 : 1.5 : 509 : 1997 10 1 003 11 3 5 : 15 000 : 7.00 : (,,,
ü ü ö ä r xy = = ( x x)( y y) ( x x) ( y y) = = x y x = x = y = y rxy x y = Lxy = x x y y = xy x y ( )( ) = = = = Lxx = x x = x x x ( ) = = = Lyy = y y = y y ( ) = = = r xy Lxy = ( ) L L xx yy 0
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常 见 支 座 形 式 及 提 供 的 反 力 : 几 何 不 变 体 系 组 成 规 律 : (1) 用 既 不 平 行 又 不 相 交 于 一 点 的 三 连 杆 连 接 两 个 刚 体 (2) 用 一 连 杆 和 不 再 同 一 直 线 上 的 铰 连 接 两 个 刚 体 (3) 不 再 同 一 直 线 上 的 铰 连 接 三 个 刚 体 (4) 一 个 刚 体 加 两 相 交 的 连 杆 拱
泛函与变分原理导引
泛函与变分原理导引 Hongxin Zhang 2007-06-14 State Key Lab of CAD&CG, ZJU 内容提要 变分命题与一般极值问题 泛函的极值问题与欧拉方程, 变分法基本定理 自然边界问题 拉格朗日乘子法 变分命题与一般极值问题 历史上有很多有名的极值问题, 其求解方法可统称为变分法 两点间的最短连线问题 最速下降线问题 短程线问题 两点间的最短连线问题 为什么 任意两点间的最短连线是连接两端的直线?
Microsoft Word - 第5章.doc
第五章空间力系的平衡问题 在第三章力偶的力偶矩 第四章力对点的矩中针对空间三维情况给出了力矩矢量和力偶矩矢量的定义 : 力偶矩矢量 : 如图 - 所示 力矩矢量 : 如图 -b 所示 图 - 本章将在力矢量 力偶矩矢量和力对点的矩矢量这三个基本力学量的基础上 对空间力系的平衡问题进行简单的分析 - 空间力系的简化 空间任意力系 : 当作用在刚体上的力和力偶 其力的作用线和力偶的力偶面不都在同一平面时
第一章 绪论
1-1 1-1 1-5 0.05 1-6 1 60mm 1.5W/(m K) 5-5 m C 1-7 1cm, 0 m 1.04W/(m K) C C 50 50 4.09 10 kj/kg C 1-9 =69 C f =0 w C =14mm d 80mm 8.5W 1-11 10mm 0 C 85 C ( ) 175 W m K 1mm 1-14 T0 0K T = w 50K ε = 0. 7
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
2. 下 列 理 解 和 分 析, 不 符 合 原 文 意 思 的 一 项 是 ( ) A. 水 手 在 伦 敦 讲 东 印 度 群 岛 的 所 见 所 闻, 匠 人 在 火 炉 边 讲 自 己 的 人 生 经 历, 他 们 讲 的 故 事 各 有 特 点, 但 同 属 于 传 统 故 事 模 式
2016 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 新 课 标 卷 2) 语 文 第 I 卷 阅 读 题 甲 必 考 题 现 代 文 阅 读 (9 分, 每 小 题 3 分 ) 阅 读 下 面 的 文 宇, 完 成 1 3 題 人 们 常 说 小 说 是 讲 故 事 的 艺 术, 但 故 事 不 等 于 小 说, 故 事 讲 述 人 与 小 说 家 也 不 能 混 为 一 谈
M M 1.5M max max max max W bh /6 b () 强度计算固定端截面上 a 点是最大拉应力点,b 点是最大压应力点, 应力数值大小是 b M 1.5M zmax max 6 σ h b 180mm M 1.5 max max max m
一 计算题 ( 共 0 分 ) 解 : 求管中的最大切应力 材料力学模拟试卷 1 T r max : I p 二 计算题 ( 共 5 分 ) 解 :1) 剪力图 ) 弯矩图 三 计算题 ( 共 5 分 ) 解 :(1) 求内力固定端弯矩最大 M P 1600 Nm M P 1 1650 Nm zmax 1 max () 求应力木梁在 x 平面弯曲而引起的固定端截面上的最大应力为 M M M z max
M ( ) K F ( ) A M ( ) 1815 (probable error) F W ( ) J ( ) n! M ( ) T ( ) L ( ) T (171
1 [ ]H L E B ( ) statistics state G (150l--1576) G (1564 1642) 16 17 ( ) C B (1623 1662) P (1601--16S5) O W (1646 1716) (1654 1705) (1667--1748) (1687--H59) (1700 1782) J (1620 1674) W (1623 1687) E (1656
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Part A Part A CH......... A- CH..... A-6 CH3......... A- CH4... A-3 CH5... A-7 CH6... A-3 立 數 http://www. 立.tw Part A CH. ODE ) dy g f g f g dy f d d y general solution) g dy f d + c dt ) k T TA ) dt T
元 [ 所 17-1-2-3] IA27 ( D ) 下 列 何 項 情 況, 其 夫 妻 所 得 可 免 合 併 申 報? (A) 當 年 度 結 婚 (B) 當 年 度 離 婚 (C) 妻 58 歲, 夫 62 歲 無 所 得 受 其 子 扶 養 (D) 以 上 皆 是 [ 所 17-1-1]
![元 [ 所 17-1-2-3] IA27 ( D ) 下 列 何 項 情 況, 其 夫 妻 所 得 可 免 合 併 申 報? (A) 當 年 度 結 婚 (B) 當 年 度 離 婚 (C) 妻 58 歲, 夫 62 歲 無 所 得 受 其 子 扶 養 (D) 以 上 皆 是 [ 所 17-1-1]](/thumbs/41/22533722.jpg "元 [ 所 17-1-2-3] IA27 ( D ) 下 列 何 項 情 況, 其 夫 妻 所 得 可 免 合 併 申 報? (A) 當 年 度 結 婚 (B) 當 年 度 離 婚 (C) 妻 58 歲, 夫 62 歲 無 所 得 受 其 子 扶 養 (D) 以 上 皆 是 [ 所 17-1-1]")
綜 合 所 得 稅 選 擇 題 題 庫 IA01 ( A ) 非 中 華 民 國 境 內 居 住 之 個 人, 取 有 中 華 民 國 境 內 銀 行 給 付 之 活 期 儲 蓄 存 款 利 息 所 得, 依 據 所 得 稅 法 規 定, 應 否 課 徵 綜 合 所 得 稅? (A) 應 就 源 扣 繳 (B) 全 年 在 27 萬 元 以 下 免 納 所 得 稅 (C) 應 該 辦 理 結 算 申
第七章 分析力学基础
第三部分 分析力学 ( 拉格朗日 - 哈密顿动力学 ) 第七章 分析力学基础 7.1 虚位移 约束及其分类 定义 约束 : 约束物体预先给定的对力学系统运动的限制 注 : 约束通常表现为质点的位置和速度满足一定的关系 可以用函数 f r, ṙ, t 满足的方程或不等式来表示. 光滑铰长 l 的刚杆小球 x 2 y 2 z 2 l 2 =0 悬挂点长为 l 的不可伸长细线小球 x 2 y 2 z 2
G(z 0 + "z) = G(z 0 ) + "z dg(z) dz z! # d" λ "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv #., - d+ - - r 2 sin cosds e / r # ddr 4.r 2 #cos! "G = G(z 0 )
2005.7.21 KEK G(z 0 + "z) = G(z 0 ) + "z dg(z) dz z! # d" λ "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv #., - d+ - - r 2 sin cosds e / r # ddr 4.r 2 #cos! "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv 2+ + ds -
996,,,,,,, 997 7, 40 ; 998 4,,, 6, 8, 3, 5, ( ),, 3,,, ;, ;,,,,,,,,,
,, AB,, ( CIP) /, 000 ( /, ) ISBN 704009448 F47 CIP ( 000) 86786 55 00009 0064054588 ht tp www hep edu cn ht tp www hep com cn 006404048 787960/ 6 05 370 000 730,, 996,,,,,,, 997 7, 40 ; 998 4,,, 6, 8,
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1996 2 ( ), :,, = = : A BX A B X, A B A B,, : a A B A B ; b A B :, : a, b, A BX= A B X X,,, :,,,,,,, 79 ,,,,,,,,,,,,, :,, ;,,,,, ( ),,,, : ( ) ; ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( A ) ; ( ) ( ),,,,,,, 80 ,,,, (,, )
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人 对 应 n G 将 给 说 笔 接 人 n 或 建 相 后 中 前 沿 科 学 季 刊 0 5 4 第 9 卷 总 第 6 期 浅 谈 行 分 原 理 的 错 误 丁 小 平 引 寺 浙 江 6 55 00 摘 要 l N e w t o n 和 G 丄 b e n z 各 自 的 分 原 理 难 自 圆 说 的 立 了 行 分 原 理 行 分 原 理 关 键 词 中 图 分 类 号 分 原 理
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8.1 f G(f) 3.1.5 G(f) f G(f) f = a 1 = a 2 b 1 = b 2 8.1.1 {a, b} a, b {a} = {a, a}{a} 8.1.2 = {{a}, {a, b}} a, b a b a, b {a}, {a, b}{a} {a, b} 8.1.3
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4 y l y y y l,, (, ) ' ( ) ' ( ) y, y f ) ( () f f ( ) (l ) t l t lt l f ( t) f ( ) t l f ( ) d (l ) C f ( ) C, f ( ) (l ) L y dy yd π y L y cosθ, π θ : siθ, π yd dy L [ cosθ cosθ siθ siθ ] dθ π π π si
1162 1994 1165 1994 è é B.C.65 8 é é é 1793 1794 1757 1834 1789 37 68 1758 1794 1793 1794 1685 1759 è é é é é 1754 1838 è é é é 1639
8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )
高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题. 当 时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点 极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f
2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
,, : ;,,, (CIP) /. :, 005. ISBN TB301 CIP (005) : : 17, : : ( 09 ) : : : 787 mm1 09 mm 1/ 16 : 5.75
,, : ;,,, (CIP) /. :, 005. ISBN 7 561 1901 6.... TB301 CIP (005) 007098 : : 17, : 71007 : ( 09 )8493844 : www.nwpup.com : : 787 mm1 09 mm 1/ 16 : 5.75 : 630 : 005 1 005 1 : 8. 00 ( ) 1,,,,,,, 80100,,,,,,
任春平 邹志利 在坡度为 的平面斜坡上进行了单向不规则波的沿岸流不稳定运动实验 观测到了沿 岸流的周期性波动 波动周期约为 利用最大熵方法和三角函数回归法求得这种波动的主 频率以及幅值 分析了波动幅值在垂直岸线方向的变化 结果表明该变化与沿岸流变化类似 即在 沿岸流最大值附近这种波动强度最大 为了分析波动的机理 利用线性沿岸流不稳定模型对模型实验结果进行了分析 求得了不稳定运动增长模式和波动周期 并与对应实测结果进行了比较
2 621 1991 2 1.41.5 1982 47 43 50 1989 1991 1 [] 220 1979 10 110 83 53 34 29 29 25 19 18 14 1989 1981 5 1981 2 1981 4 130 1989 100 12 10 2030 15 1978 4 19 1972 13 1985 [] 1978 [] 1989 [] 4 1987
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
女性减肥健身（六）.doc
...1...3...8...9...9... 11...13...14...15...18...23...24...28...30...31...33...34...35...35 I ...37...39...40...42...43...45...46...47...48...49...51...53...55...57...58...62...68...69...70...72...73...75
<4D F736F F D20D1A7CFB0D6B8B5BCD3EBCFB0CCE2BDE2B4F0B7E2C3E6>
主编 : 周国宝董作超 江苏科技大学 土木工程与建筑学院 前 言 本书是与 结构力学 I 基本教程 ( 龙驭球 包世华主编, 高等教育出版社 ) 教材配套的学生学习指导书, 其目的是通过习题训练使学生更好地掌握结构力学的基本理论与方法, 以培养学生理论联系实际和解决实际问题的能力 全书共分八章, 第一章 : 杆件体系的几何构造分析 ; 第二章 : 静定结构受力分析 ; 第三章 : 影响线 ; 第四章
➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2
Stochastic Processes stoprocess@yahoo.com.cn 111111 ➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2 (Stationary Processes) X = {X t ; t I}, n 1 t 1,..., t n I, n F n (t 1,..., t n ; x 1,..., x
矩阵论 第三章：矩阵分析
矩阵论 第三章 : 矩阵分析 马锦华 数据科学与计算机学院 中山大学 第三章 : 矩阵分析 3.1 矩阵序列 3.2 矩阵级数 3.3 矩阵函数 3.4 矩阵的微分与积分 3.5 矩阵分析应用举例 2 矩阵序列 定义 3.1: 设有中的矩阵序列 其中 若 m n C lim a a i 1, 2,, m; j 1, 2,, n, ij ij, 收敛于 记为 或 a ij mn 不收敛的矩阵序列称为发散.,
x y z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.1. (X, Y ) 3.2 P (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y 1 ) F (x 1, y 2
3 3.... xy z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.. (X, Y ) 3.2 P (x < X x 2, y < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y ) F (x, y 2 ) + F (x, y ) 3. F (a, b) 3.2 (x 2, y 2) (x, y 2) (x 2, y ) (x,