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1 第 6 章弯曲应力 [ 本章重点 ] 弯曲强度的计算 计算横力弯曲时的弯曲强度要同时考虑弯曲正应力与弯曲切应力 (1) 基于弯曲正应力的计算, 首先要通过弯矩图找出危险截面 (M 所在面 ), 其次找出危险截面上的危险点 ( σ 所在点 ), 用该点的应力 σ 进行强度计算 对于不对称截面, 要特别注意其中性轴 要掌握最大切应力的计算及切应力的分布规律, 并熟记四种常见截面最大切应力和平均切应力比值, 以便快捷确定最大切应力 掌握图形形心 静矩与惯性矩的概念与计算 熟记圆形 矩形截面的形心主惯性矩, 掌握利用平行移轴和转轴公式计算组合图形的形心主惯性矩 [ 本章的习题分类与解题要点 ] 本章计算题大致分为以下四类 : 位置的确定, 距中性轴最远点的确定及形心主惯性矩的计算 (1) 基于弯曲正应力强度条件及计算 应正确理解公式中各个符 (2) 基于弯曲切应力的计算, 首先要通过剪力图确定危险截面号的物理意义及适用范围, 并注意变形几何关系的直接应用 ; 危险截 (F s 所在面 ), 其次找出危险截面上的危险点 ( τ 所在点 ), 用该面及危险点的确定 ;T 形 I 形等单对称轴形心主惯性点的应力 τ 进行剪切强度计算 矩的计算及 y t 和 y c 的确定 (3) 细节注意 最大弯矩所在的面, 不一定是最大剪力所在的面 ; * (2) 基于弯曲切应力强度条件及计算 注重 F s 的确定 ( 不一定 S z 的计算 ; 一些常见截面的 τ 结果应熟记, 而对 I 形与 M 同面 ) * * S z 或 S z 的计算 切应力互等定理的应用 ( 弯曲截面梁 T 形截面梁, 要注意在其翼缘与腹板交界处切应力的计算 ( 为中心的确定的关键是切应力分布规律及其切应力合力的计算 ) 分析组合变形时应用强度理论打下基础, 同时截面上任一处切应力的 (3) 同时考虑正应力和切应力两种强度条件及计算 强度校核时计算也为剪流大小的确定, 进而为确定弯曲中心奠定基础 ) 应同时进行 在截面设计和载荷估计中, 一般以正应力强度条件设计 [ 本章难点 ] 正确确定危险截面及危险点 在此基础上, 正确计算出强度条件中有关诸多截面参数 对于空间问题, 要注意弯矩和惯性矩与坐标轴应对应 [ 本章考点 ] 或估计, 而以切应力强度条件进行校核即可, 或者同时用两个强度条件进行设计或估计, 此时截面设计应选大而载荷估计则应选小 (4) 提高梁的弯曲强度措施 诸如同截面如何放置 辅梁长度的设计 支座的合理安排 最佳截面尺寸的选择 等强度梁等, 以提高强度 ( 如合理选择截面使 W 增大, 或使 W/A 增大, 使最 (1) 弯曲强度是弯曲部分的重点, 要求熟练掌握其内容 无论是大弯矩 M 最小等 ) 课程考试或考研试题, 一般本章内容必不可少, 尤其是横截面几何形状上 下不对称的 T 形梁 I 形梁最为多见 要求考生正确画出内力 6-1 类 选择题 ( 一 ) (1) 当横向力作用于杆件的纵向对称面内时, 关于杆件横截面上 图, 确定危险截面 ( 最大正 负弯矩所在面 ) 及危险截面上的应力分布情况, 确定危险点, 计算最大拉应力 压应力, 进行强度校核 截面设计或载荷估计 的内力与应力有以下四个结论, 其中 A 若有弯矩, 则必有正应力 ; B 若有正应力, 必有弯矩 ; 是错误的 注 : 书中凡标 为相对于少 中学时有一定难度的基本部分或专题部分内容 ; 书中凡标 属专题部分内容, 主要供多 中学时选用 21 (2) 细节注意 强度条件一般包含正应力和切应力两部分, 应全面考虑 ( 除非题目只要求基于正应力强度条件进行强度计算 ) 因此也

2 C 若有弯矩, 必有切应力 ; D 若有剪力, 则必有切应力 (2) 在下列四种情况中, 称为纯弯曲 A 载荷作用在梁的纵向对称面内; B 载荷仅有集中力偶, 而无集中力和分布载荷 ; C 梁只发生弯曲, 不发生扭转和拉压变形 ; D 梁的各个截面上均无剪力, 且弯矩为常量 (3) 梁横力弯曲时, 其横截面上 A 只有正应力, 无切应力 ; B 只有切应力, 无正应力 ; C 既有正应力, 又有切应力 ; D 既无正应力, 也无切应力 (4) 由梁的平面假设可知, 梁纯弯曲时, 其横截面 A 保持平面, 且与梁轴正交 ; B 保持平面, 且形状 大小不变 ; C 保持平面, 只作平行移动 ; D 形状 尺寸不变, 且与梁轴正交 (5) 设某段梁承受正弯矩的作用, 则靠近梁顶面和靠近梁底面的纵向纤维 A 分别是伸长 缩短的; B 分别是缩短 伸长的; C 均是伸长的; D 均是缩短的 (6) 中性轴是梁的的交线 A 纵向对称面与横截面; B 纵向对称面与中性层; C 横截面与中性层; D 横截面与顶面或底面 (7) 梁发生平面弯曲时, 其横截面绕旋转 A 梁的轴线; B 中性轴; C 截面的对称轴; D 截面的上( 或下 ) 边缘 My (8) 在梁的正应力公式 σ = 中, I z 为梁截面对的惯性矩 I z A 形心轴; B 对称轴; C 中性轴; D 形心主惯轴 (9) 悬臂梁受力如图所示, 其中 A AB 段是纯弯曲,BC 段是横力弯曲 ; B AB 段是横力弯曲,BC 段是纯弯曲 ; C 全梁均是纯弯曲; D 全梁均为横力弯曲 (10) 若直梁的抗弯刚度 EI 沿杆轴为常量, 则发生对称纯弯曲变形后梁轴 A 为圆弧线, 且长度不变 ; B 为圆弧线, 而长度改变 ; C 不是圆弧线, 但长度不变 ; D 不是圆弧线, 且长度改变 (11) 图示矩形截面, 若其高度 h 不变, 宽度由 b 减小为 0.5b, 则其抗弯截面系数 W z W y 分别减为原来的 A 1 2, 1 8 ; B 1 2, 1 4 ; 22

3 C 1 4, 1 8 ; D 1 4, 1 2 (12) 三根正方形截面梁如图所示, 其长度 横截面面积和受力状态相同, 其中图 b c 所示梁的截面为两个形状相同的矩形拼合面成, 但拼合面未胶接 在这三根梁中, 梁内的最大正应力相等 A a 和 b; B b 和 a; C a 和 c; D a b 和 c (13) 等直实体梁发生平面弯曲变形的充分必要条件是 A 梁有纵向对称面; B 载荷均作用在同一纵向对称面内; C 载荷作用在同一平面内; D 载荷均作用在形心主惯性平面内 (14) 图示 U 形截面梁在平面弯曲时, 截面上的正应力分布如图所示 M (16) 用梁的弯曲正应力强度条件 σ = [ σ ] W A 只能确定梁的许可载荷; B 只能校核梁的强度; C 只能设计梁的截面尺寸; D 可以解决以上三方面的问题 (17) 矩形截面梁, 若截面高度和宽度都增加一倍, 则其强度将提高到原来的倍 A 2; B 4; C 8; D 16 (18) 下列四种截面梁, 其材料和横截面面积相等. 从强度观点考虑, 图示截面梁在铅直面内所能够承担的最大弯矩值最大 z (15) 设图 a b 所示两根梁的许可载荷分别为 [P 1 ] 和 [P 2 ], 若二梁的材料相同, 则 [ P1] [ P 2] = A 2; B 4; C 8; D 16 (19) 对于等直梁, 在以下情况中, 是错误的 A 梁内最大正应力值必出现在弯矩值最大的截面上; B 梁内最大切应力值必出现在剪力值最大的截面上; C 梁内最大正应力值和最大切应力值不一定出现在同 截面上 ; D 在同 截面上不可能同时出现梁内最大正应力值和最大切应力 6-1 类 选择题 ( 二 ) (1) 图示截面的抗弯截面系数 W z = 23

4 πd bh 1 πd bh A ; B ; πd bh 1 πd bh C ; D h 32 6 (5) 矩形截面简支梁只受一个集中力偶 M e 作用, 当集中力偶 M e 在 BC 段任意移动时,AC 段各个横截面上的 A 最大正应力变化, 最大切应力不变 ; B 最大正应力不变, 最大切应力变化 ; C 最大正应力和切应力都变化; D 最大正应力和切应力都不变 (2) 图 a b 所示两个面积相等的正方形截面对 z 轴的 A I z 相等, W z 不等 ; C I z 不等, W z 相等 ; B I z 相等, W z 相等 ; D I z 不等, W z 不等 (3) 梁在横力弯曲时, 若应力超过材料的比例极限, 则正应力公式和切应力公式中 A 前者不适用, 后者适用 ; B 都适用; C 前者适用, 后者不适用 ; D 都不适用 (4)T 形截面梁在横力弯曲时, 其横截面上的 A σ 发生在离中性轴最远的点处, τ 发生在中性轴上 ; B σ 发生在中性轴上, τ 发生在离中性轴最远的点处 ; C σ 和 τ 均发生在离中性轴远的点处 ; D σ 和 τ 均发生在中性轴上 (6) 在下列诸因素中, 截面的弯曲中心仅与有关 A 横向载荷的大小; B 材料性质; C 截面形状; D 杆的长度 (7) 下列关于特殊情况下截面弯曲中心的结论, 是错误的 A 若横截面有一根对称轴, 则弯曲中心必位于该对称轴上 ; B 若横截面有二根对称轴, 则弯曲中心必与形心重合 ; C 若横截面由两个狭长矩形组成, 则弯曲中心必是二矩形中线交点 ; D 若截面关于某点反对称, 则弯曲中心肯定不是该点 (8) 工字形截面梁平面弯曲时, 若横截面上的剪力 F s 向上, 则剪力流如图所示 (9) 连续梁 ACB 由铝杆 AC 和钢杆 BC 铰接而成, 在铰链 C 的右侧附近作用一集中力 P, 如图 a 所示 ; 若将 P 力移至 C 的左侧附近, 如图 b 所示, 则梁的正应力强度条件和切应力强度条件分别 24

5 A 不变和改变 ; B 不变和不变 ; C 改变和不变 ; D 改变和改变 [6-2-2] 两矩形等截面梁, 尺寸和材料的许用应力 [ σ ] E 均相等, 但放置如图 a b 所示 按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 F / F 类 计算题 ( 正应力强度条件与计算 ) [6-2-1] 试确定图示箱式截面梁的许可载荷 q, 已知 [ σ ] = 160MPa 25

6 [6-2-3] No.20a[ 或 : ] 工字钢梁的支承和受力情况如图所示 若 [ σ ] = 160MPa, 试求许可载荷 F [6-2-4] 已知一外伸梁截面形状和受力情况如图所示 试作梁的 F S M 图, 并求梁内最大弯曲正应力 其中 q = 60kN/m [ 或 : ], a = 1m 26

7 [6-2-5] 简支梁承受均布载荷如图所示 若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面, 且 D 1 = 40mm, d 2 D 2 = 3/5[ 或 : ], 试分别计算它们的最大正应力 ; 并问空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几? [6-2-6] T 形横截面简支梁其受力情况及截面尺寸如图, 已知 [ σ t ] = 100MPa,[ σ c ] = 180MPa[ 或 : ], 截面图中 z 轴为形心轴, 尺寸单位为 mm 试画出 F s M 图, 并校核梁的强度 27

8 [6-2-7] 承受纯弯曲的铸铁 形梁及截面尺寸如图所示, 其材料的拉伸和压缩许用应力之比 [ σt] [ σ c] = 1/4[ 或 : ] 试求其水平翼板的合理宽度 b [6-2-8] 图示一由 No.16 工字钢制成的简支梁承受集中载荷 F 在梁的 c 截面处下边缘上, 用标距 s = 20mm 的应变仪量得其纵向伸长量 Δ s = 0.008mm [ 或 : ] 已知梁的跨长 l = 1.5m, a = 2m, 弹性模量 E = 210GPa 试求 F 力的大小 28

9 [6-2-9] 简支梁的载荷情况及尺寸如图所示, 其弹性模量为 E 试求 AB 梁的下边缘 [ 或 : ] 的总伸长 6-3 类 计算题 ( 切应力强度条件与计算 ) [6-3-1] 形截面铸铁悬臂梁, 尺寸及载荷如图所示 若材料的许用拉应力 [ σ t ] = 40MPa, 许用压应力 [ σ c ] = 160MPa[ 或 : ], 截面对 4 形心轴 z C 的惯性矩 I zc = 10180cm, 且 h 1 = 9.64cm 试计算:(1) 该梁的许可载荷 F (2) 梁在该许可载荷作用下的最大切应力 29

10 [6-3-2] 一外伸梁, 其横截面如图所示, a = 600mm [ 或 : ], 材料的 [ σ ] = 160MPa 试求当梁截面上的最大弯曲正应力等于[ σ ] 时, 梁 D 截面上 K 点的切应力 6-4 类 计算题 ( 正应力和切应力两种强度条件与计算 ) [6-4-1] 一矩形截面木梁, 其截面尺寸及载荷如图所示, 已知 q = 1.3kN/m,[ σ ] = 10MPa,[ τ ] = 2MPa[ 或 : ] 试校核梁的正应力和切应力强度 30

11 [6-4-2] 图示木梁受移动载荷 F = 40kN 作用 已知木材的许用应力 [ σ ] = 10MPa, 许用切应力 [ τ ] = 3MPa, 木梁的横截面为矩形截面, 其 高宽比 hb= 3/2[ 或 : ] 试确定此梁的横截面尺寸 31

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