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1 主编 : 周国宝董作超 江苏科技大学 土木工程与建筑学院

2 前 言 本书是与 结构力学 I 基本教程 ( 龙驭球 包世华主编, 高等教育出版社 ) 教材配套的学生学习指导书, 其目的是通过习题训练使学生更好地掌握结构力学的基本理论与方法, 以培养学生理论联系实际和解决实际问题的能力 全书共分八章, 第一章 : 杆件体系的几何构造分析 ; 第二章 : 静定结构受力分析 ; 第三章 : 影响线 ; 第四章 : 静定结构的位移计算 ; 第五章 : 力法 ; 第六章 : 位移法 ; 第七章 : 渐进法及其他算法简述 ; 第八章 : 结构动力计算基础 每章均设三大板块 : 本章小结 该部分对每章主要内容进行了归纳总结, 整理出基本概念 重要定理与主要内容, 突出必须掌握的知识点 ; 思考题 本书共设 65 个思考题, 涉及每章的主要内容并给出相关解答 该部分旨在帮助同学更加深刻地理解与掌握每章的基本概念及各知识点之间的关系, 以方便对理论知识的应用 ; 习题 本书共设 9 题习题, 该部分又分为经典例题详解与自测题两部分 其中, 经典例题详解部分, 精选了具有代表性的例题和习题进行详细地分析和解析, 这些例题涉及内容广 类型多 技巧性强, 旨在帮助同学们掌握基本概念和理论, 开拓解题思路, 提高分析能力 自测题部分旨在进一步强化解题训练, 巩固和提高复习效果 本书第一 二 三 四 五章由周国宝编写, 第六 七 八章由董作超编写, 全书由周国宝统筹修改 感谢研究生张星 叶爱权 段清星 付淑哲在资料收集方面给予的帮助 本书可作为土木工程专业及相关专业学生学习结构力学的辅导书, 也可以作为土木工程专业研究生入学考试 注册考试结构力学复习参考书 由于编者的水平所限和时间关系, 疏漏不当之处在所难免, 欢迎读者批评指正 编者

3 目 录 第一章杆件体系的几何构造分析... ( 一 ) 本章小结... ( 二 ) 思考题... ( 三 ) 习题... 5 第二章静定结构受力分析... 9 ( 一 ) 本章小结... 9 ( 二 ) 思考题... ( 三 ) 习题... 第三章影响线... ( 一 ) 本章小结... ( 二 ) 思考题... 6 ( 三 ) 习题... 8 第四章静定结构的位移计算... 6 ( 一 ) 本章小结... 6 ( 二 ) 思考题... 6 ( 三 ) 习题... 6 第五章力法... 8 ( 一 ) 本章小结... 8 ( 二 ) 思考题... 8 ( 三 ) 习题 第六章位移法... 0 ( 一 ) 本章小结... 0 ( 二 ) 思考题 ( 三 ) 习题 第七章渐进法及其他算法简述... 0 ( 一 ) 本章小结... 0 ( 二 ) 思考题... ( 三 ) 习题... 第八章结构动力计算基础 ( 一 ) 本章小结 ( 二 ) 思考题... 5 ( 三 ) 习题... 5 I

4 第一章杆件体系的几何构造分析 ( 一 ) 本章小结 本章主要从杆系结构特点来从几何构造的角度分析杆件结构的合理组成规律和对静定结构和超静定结构在几何构造上的区别, 本章主要把杆件当作刚体, 不考虑杆件的受力状态和变形状态, 主要是分析杆件结构几何构造 研究刚性体系在几何构造的合理性是否能做结构, 通过对它们的几何不变性的组成规律来研究如何确定体系成为一个几何不变体系. 几何构造分析的基本概念 () 几何不变体系与几何可变体系几何不变体系 若不考虑材料的应变, 体系的位置和形状不会改变 几何可变体系 若不考虑材料的应变, 体系的位置和形状是可以改变的 几何可变体系分为常变体系和瞬变体系, 常变体系为可以发生大位移的几何可变体系 瞬变体系为本来几何可变, 经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系 () 刚片和自由度由于不考虑材料的应变, 可以把一根梁 一根链杆或一个几个不变部分作为一个刚体, 在几何构造分析中称为刚片 体系在平面内运动时, 可以独立变化的几何参数的数目称为自由度 一个结点在平面内有两个自由度, 因为确定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何参数 x y 一个刚片在平面内有三个自由度, 因为确定该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参数 x y φ () 约束, 凡是能减少体系自由度的装置就称为约束 约束分为链杆 : 简单链杆复杂链杆简单铰复杂铰刚性连结瞬铰 ( 虚铰 ) 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链杆 一根简单链杆能减少一个自由度, 故一根简单链杆相当于一个约束 复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称为复杂链杆, 一根复杂链杆相当于 (n-) 根 简单铰 只与两个刚片连结的铰称为简单铰 一个简单铰能减少体系两个自由度, 故相当于两个约束 复杂铰 与三个或三个以上刚片连结的铰称为复杂饺 刚性连接 可以把连接的部分看成刚体

5 两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简单铰所起的约束作用 故两根链杆可以看作为在交点处有一个瞬铰 ( 虚铰 ). 几何不变体系的组成规律基本规律是三角形规律 : () 一个结点与一个刚片的连接一个结点与一个刚片用不共线的两根链杆相连, 则组成几何不变体系且无多余约束 () 两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一根链杆相连, 则组成几何不变体系且无多余约束 () 三个刚片之间的连接三个刚片用三个铰两两相连, 且三个铰不在同一直线上, 则组成几何不变体系且无多余约束 () 两个刚片之间的连接两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连, 则组成几何不变体系且无多余约束. 平面体系的计算自由度 () 将体系看作刚片 铰 刚结以及链杆组成的体系, 其中刚片为被约束对象, 铰 刚结 链杆为约束 则计算自由度公式为 :W=m-(g+h+b) m 刚片数 ;g 简单刚结数 ; h 简单铰数 b 简单链杆数 () 将体系看作结点以及链杆组成的体系, 其中结点为被约束对象, 链杆为约束 则计算自由度公式为 :W=j-b j 结点数 ;b 简单链杆数 () 混合公式 约束对象为刚片和结点, 约束为铰 刚结和链杆 则计算自由度公式为 :W=(m+j)-(g+h+b) m 刚片数 ;g 简单刚结数 ;h 简单铰数 ;b 简单链杆数 () 一个体系若求得 W >0, 一定是几何可变体系 ; 若 W < 0, 则可能是几何不变体系, 也可能是几何可变体系, 取决于具体的几何组成 所以 W 0 是体系几何不变的必要条件, 而非充分条件

6 ( 二 ) 思考题 -. 何谓自由度? 何谓约束? 何谓多余约束? 答 : 自由度是确定物体位置所需要的独立坐标数或者体系运动时可独立改变的 几何参数数目 约束是减少自由度的装置 在一个体系中增加 ( 去掉 ) 一个约 束, 体系的自由度并不因此而减少 ( 增加 ), 则该约束称为多余约束 多余约束 虽然不改变体系的自由度, 但将影响结构的受力与变形 -. 二刚片规则是什么? 答 :) 二刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连组成的体系是几何不变 的, 且无多余约束 ) 二刚片用不完全相交, 也不完全平行的三根链杆相连, 组成的体系是几何不变的, 且无多余约束 -. 多余约束 从哪个角度来看才是多余的? 答 : 从区分静定和超静定两类问题的角度来看 -. 几何组成分析的目的? 答 :) 判别某一体系是否为几何不变, 从而决定它能否作为结构 ;) 区别静 定结构 超静定结构, 从而选定相应的计算方法 ;) 搞清结构各部分间的相互 关系, 以决定合理地计算顺序 -5. 二元体的定义是什么? 何谓二元体规则? 答 : 由两根不在同一直线上的链杆连接一个新结点的构造成为二元体 规则 : 在一个体系上增加或拿掉二元体, 不会改变原体系的结合构造性质 总的来说 其分析方法为 : 先通过减二元体, 找明显的几何不变部分 ( 刚片 ) 使体系得以 简化 ; 再灵活应用二刚片 三刚片 ( 含带瞬铰的情况 ) 规律进行分析 -6. 确定计算自由度 W 有哪些方法? 答 : 计算 W 有三种算法 : 一种是取刚片为对象, 约束为结点和支杆 ; 一种是取 结点为对象, 约束为链杆 ; 再一种是混合法, 取刚片和结点为对象, 约束为结 点和链杆 不管是哪种算法, 对象的选择一般不困难, 而约束数的计算有的容 易不清 最应注意的是要明确这样一个概念 : 约束是两对象之间的联系 -7. 体系的自由度 S 和计算自由度 W 有什么区别和关系? 答 : 自由度数 S c, 计算自由度数 W d, 其中 为计算各部件的自由 度数总和,c 为全部约束中确定非多余约束数,d 为全部约束数 自由度数 S 与 计算自由度数 W 的关系式为 : S W n, 其中 n 为多余约束数 由于自由度数

7 S 与多余约束数 n 都不是负数, 则可以得到 : S W n W, 也即 W 是自由度数 S 的下限 -8. 几何常变体系和几何瞬变体系的特点是什么?( 试从约束数目 运动方式 受力及变形情况等方面讨论 ) 答 : 几何常变体系缺少必要的约束, 不存在静力解答, 在任意荷载作用下, 体系不能维持平衡而将发生运动因而静力平衡方程无解 几何瞬变体系的约束数目够但布置不合理, 在荷载作用下, 它的反力和内力将使无穷大或不定值 -9. 当体系计算自由度 W 0, 说明结构是几何不变体系吗? 答 : 不一定 W 0 是几何不变体系的条件而非充分条件, 它仅仅表明具备成为几何不变体系所必须的约束, 但并未涉及到约束的布置是否合理

8 ( 三 ) 习题 -. 试分析图 - 所示体系的几何构造, 并求体系的计算自由度 W () (b) (c) (d) 图 - 解 :()W=0, 几何不变体系, 无多余约束 (b)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 (c)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 (d)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 -. 试分析题 - 图所示体系的几何构造, 并计算体系的自由度 W () (b) (c) 图 - 5

9 解 :()W=0, 几何不变体系, 无多余约束 (b)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 (c)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 (d)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 (e)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 -. 试分析题 - 图所示体系的几何构造, 并计算各体系的计算自由度 W 图 - 解 :()W=0, 几何不变体系, 无多余约束 (b)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 (c)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 (d)w=0, 几何瞬变体系 (e)w=, 内部几何不变, 无多余约束 6

10 (f)w=0, 内部几何不变, 无多余约束 (g)w=0, 几何瞬变体系 (h)w=0, 几何瞬变体系 (i)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 -. 试分析图 - 所示体系的几何构造, 并计算各体系的计算自由度 W () (b) (d) (e) (f) 图 - 解 :()W=0, 几何不变体系, 无多余约束 (b)w=0, 几何瞬变体系 (c)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 (d)w=, 几何瞬变体系 (e)w=, 内部几何不变, 无多余约束 (f)w=0, 几何瞬变体系 -5. 试分析题 -5 图所示体系的几何构造, 并计算各体系的计算自由度 W 7

11 () (b) ( c) (d) (e) 图 -5 解 :()W=0, 几何瞬变体系 (b)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 (c)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 (d)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 (e)w=0, 几何不变体系, 无多余约束 -6. 判断题 -6 图所示体系在去掉支座后看作整体刚片内部多余约束的数量, 并计算各体系的计算自由度 W () (b) ( c ) 图 -6 解 :()W=-, 刚片内部有 6 个多余约束 (b)w=-0, 刚片内部有 多余约束 (c)w=-, 刚片内部有 6 个多余约束 8

12 -7. 图 -7 为什么体系 图 -7 解 : 无多余约束的几何不变 -8. 图 -8 为什么体系 图 -8 解 : 无多余约束的几何不变 -9. 图 -9 为什么体系 图 -9 解 : 无多余约束的几何不变 -0. 试求出图示体系的计算自由度, 并分析体系的几何构造 9

13 F F 解 : 该体系为瞬变体系 F 图 -0() 解 : 该体系为几何可变体系 W=5-6=>0 图 -0(b) 几何可变 有一个多余约束的几何不变体系图 -0(c) 解 : 有一个多余约束的几何不变体系 0

14 W= 图 -0(d) - =>0 解 : 该体系为几何可变体系 可变体系 -. 试分析图 - 示体系的几何构造 (ⅠⅢ) (ⅠⅡ) Ⅰ Ⅱ Ⅲ 几何不变解 : 该体系为几何不变体系 图 -() (Ⅱ Ⅲ) (ⅡⅢ) Ⅰ (ⅠⅡ) Ⅱ (ⅠⅢ) Ⅲ 图几何不变 -(b) 解 : 该体系为几何不变体系

15 -. 试分析图 - 所示体系的几何构造 (ⅠⅢ) Ⅰ Ⅱ (ⅠⅡ) Ⅲ (ⅡⅢ) 解 : 几何不变体系 几何不变图 -() 解 : 几何可变体系 W= - -5=>0 图 -(b) 几何可变体系

16 (ⅠⅢ) (ⅡⅢ) Ⅰ (ⅠⅡ) Ⅱ Ⅲ 解 : 几何不变体系 几何不变图 -(c) 6 Q 图 -(d) 解 : 有一个多余约束的几何不变体系 Ⅲ Ⅰ Ⅱ (ⅠⅢ) (ⅠⅡ) (ⅡⅢ) 舜变体系图 -(e)

17 解 : 瞬变体系 Ⅲ (ⅠⅢ) Ⅰ Ⅱ (ⅡⅢ) (ⅠⅡ) 图无多余约束 -(f) 解 : 几何不变, 内部无多余约束 内部几何不变 -. 试从两种不同的角度分析图示体系的几何构造 () Ⅱ Ⅰ (ⅠⅡ) Ⅲ (ⅠⅢ) 舜变体系 图 -() (ⅡⅢ) 解 : 该体系为瞬变体系

18 (b) (ⅡⅢ) 几何不变 Ⅱ Ⅰ (ⅠⅡ) Ⅲ (ⅠⅢ) 图 -(b) 解 : 该体系为几何不变体系 -. 分析图示平面体系的几何组成 图 - 解 : 几何不变且无多余联系 -5. 图示平面体系的几何组成 F E D 图 -5 ( 图中未编号的点为交叉点 ) 解 : 铰接三角形 D 视为刚片 I,E 视为刚片 II, 基础视为刚片 III; I II 间用链杆 构成的虚铰 ( 在 点 ) 相连,I III 间用链杆 F 和 D 处支杆构成的虚铰 ( 在 点 ) 相联,II III 间由链杆 F 和 E 处支杆构成的虚铰相联 5

19 -6. 图示平面体系的几何组成 图 -6 ( 图中未画圈的点为交叉点 ) 解 : 用两刚片三链杆法, 则几何不变无多余约束 -7. 试分析图示体系的几何组成 图 -7 解 : 几何不变, 无多余约束 -8. 对图中体系作几何组成分析 图 -8 分析 : 图 -8 等效图 -8 b( 去掉二元体 ) 对象 : 刚片 Ⅰ Ⅱ 和 Ⅲ; 联系 : 刚片 Ⅰ Ⅲ 有虚铰 ( 杆 ); 刚片 Ⅱ Ⅲ 有虚铰 ( 无穷远 )( 杆 ); 刚片 Ⅰ Ⅱ 有虚铰 ( 杆 5 6); 结论 : 三铰共线, 几何瞬变体系 6

20 -9. 对图 -5 体系作几何组成分析 图 -9 分析 : 去掉二元体 ( 杆 杆 和杆 56 图 -9b), 等效图 -9c 对象 : 刚片 Ⅰ 和 Ⅱ; 联系 : 三杆 :7 8 和 9; 结论 : 三铰不共线, 无多余约束的几何不变体系 -0. 对图中体系作几何组成分析 图 -0 图 -0b 7

21 解 : 该体系为几何不变无多余约束体系 -. 下列平面体系进行几何组成分析 D E () E D F G (b) 图 - 解 : 图 - 几何可变体系 ; 图 -b 无多余约束的几何不变体系 -. 下列平面体系进行几何组成分析 图 - 图 -b 解 : 图 - 无多余约束的几何不变体系 ; 图 -b 有一个多余约束的几何不 变体系 8

22 第二章静定结构受力分析 ( 一 ) 本章小结 本章主要分析静定结构的受力分析, 基本方法是隔离体平衡法即选取隔离体, 建立平衡方程, 求解平衡平衡方程的支座反力和杆件内力, 在静定结构中求力和求位移是静定结构的两大主题, 也是计算超静定结构的基础, 因此本章内容是结构力学的一个非常重要的基础性内容, 静定结构常见的结构形式有 : 梁和刚架桁架和组合结构三铰拱 本章主要用隔离体平衡方法在常见的结构形式的具体应用. 梁和刚架梁和刚架中的杆件都是受弯直杆主要是弯矩影响最大的内力, 受力分析的结果通常是画出各杆的内力图, 主要 弯矩图及 Fq 剪力图和 Fn 轴力图 弯矩图一般采用分段叠加法 作出内力图后要进行校核, 对各杆的内力图可检验是否满足荷载与内力之间的微分关系, 增量关系和积分关系, 在节点处可取节点作隔离体, 检验是否满足平衡条件 d dfq dfn 梁杆微分关系 : FQ, q( x), p( x) dx dx dx. 桁架和组合结构在结点荷载作用下, 桁架的各杆件只受轴力, 无弯矩和剪力 受力分析结果求出桁架各杆件的轴力值 Fn 基本方法有结点法和截面法及联合法 结点法 以只有一个结点的隔离体为研究对象, 用汇交力系的平衡方程求解各杆内力的方法 以结点作为平衡对象, 结点承受汇交力系作用 按与 组成顺序相反 的原则, 逐次建立各结点的平衡方程, 则桁架各结点未知内力数目一定不超过独立平衡方程数 由结点平衡方程可求得桁架各杆内力 截面法 截取桁架的某一局部作为隔离体, 由平面任意力系的平衡方程即可求得未知的轴力 对于平面桁架, 由于平面任意力系的独立平衡方程数为, 因此所截断的杆件数一般不宜超过 联合法 凡需同时应用结点法和截面法才能确定杆件内力时, 统称为联合法 总之熟练掌握计算桁架内力的基本方法 : 结点法和截面法采取最简捷的途径计算桁架内力. 三铰拱三铰拱的受力分析相比前两种比较简单, 在竖向荷载作用下, 三铰拱的弯 9

23 矩 由下列公式给出 = o -FHy 三铰拱的弯矩 用相应的简支梁的弯矩 o 表示 它几何特性 : 无多余联系的几何不变体系 静力特征 : 仅由静力平衡条件可求全部反力 内力 求解一般原则 : 从几何组成入手, 按组成的相反顺序进行逐步分析, 内力分析采用截面法 学习中应注意的问题 : 多思考, 勤动手. 总结静定结构的受力分析方法有两类 : 第一类, 取隔离体, 建立平衡方程求力的方法 第二类, 虚设位移, 建立虚功方程求力的方法 要了解两类方法的基本原理, 深入学习, 最好将两种方法合在一起加以研究和比较 0

24 ( 二 ) 思考题 -. 如何理解用分段叠加法作弯矩图? 答 : 在梁和刚架的受力分析中, 常用分段叠加法作弯矩图, 使绘制工作得到简化 此法可叙述如下 : 从结构中取出任一直杆段的 图, 等于把该杆段看做简支梁时将杆端弯矩作为端力偶荷载作用下与跨间荷载作用下的弯矩图的叠加 -. 在竖向荷载下斜梁内力有什么特点? 答 : 斜梁, 不管其两端支撑如何, 在竖向荷载作用下, 弯矩分布与等跨且同荷载的水平梁 ( 代梁 ) 相同, 但剪力不同且存在轴力 -. 求静定结构反力和内力是, 外力偶可以随意移动吗? 答 : 考虑力偶能否随意移动应遵循以下原则 : 第一, 按力偶原位置考虑, 取隔离体, 画受力图 ; 第二, 若在隔离体上作用有力偶, 在计算隔离体端部截面的约束力时, 力偶可随意移动, 但不得转移到其他隔离体上 -. 只已知静定梁的弯矩图, 能否求得与其相应的荷载? 答 : 能, 但有时不能唯一确定 因为 :() 静定结构内力只与荷载有关, 有弯矩图, 必有荷载存在 ;() 静定结构内力可由平衡条件确定, 即与弯矩图相应的荷载可由平衡条件求得 ;() 不能确定与 图无关的荷载 -5. 如何利用对称性进行静定结构内力分析? 答 : 静定结构在荷载作用下内力解答与杆件刚度分布无关, 因此只要结构外形和支承情况对称 ; 在进行内力分析时就可以利用对称性 对称结构在对称 ( 反对称 ) 荷载下, 约束力分布是对称 ( 反对称 ) 的 利用这种性质, 对求解约束力会获得方便 -6. 任意荷载作用下拱形结构都存在合理轴线吗? 答 : 在竖向荷载下存在水平支座反力的单跨结构, 称拱形结构 对于三铰拱形结构, 任意荷载下都存在与其相应的合理轴线 ; 对于超静定拱形结构, 在不考虑轴向变形和剪切变形时也存在合理轴线, 但不唯一 -7. 应用虚功法求静定结构约束力时, 是否可以同时撤去多个约束? 这时虚功程中一般含有几个未知力? 可以得出几个独立的平衡方程? 答 : 不能同时撤去多个约束 ; 虚功方程中一般含有一个未知力 ; 可以得到一个独立的平衡方程

25 ( 三 ) 习题. 经典例题详解 例题. 作图 - 示结构的弯矩图 图 - 解 :D 杆是二力杆, 因 无竖向反力, 由结构整体合力平衡, 可确定 D 轴 向力的竖向分量 FNDy 6 6kN 截面弯矩 kn ( 上侧受拉 ) 截面弯矩 kn ( 下侧受拉 ) 弯矩图如右图 ( kn )

26 例题. 三铰拱及其所受荷载如下图 - 所示, 拱的轴线为抛物线, 当坐标原点 f 选在支座时, 拱轴方程为 y x( x) 试计算 D 截面内力 解 :() 求支座反力 根据反力公式可得 : 0 8 Fy F y 7 kn( ) Fy F y 5 kn( ) 6 F H kN f () 内力计算 图 - 截面 D 的几何参数, 根据拱轴线的方程 : f yd x( x) (6 ) m 6 dy f tn ( x) (6 ) 0.5 dx 6 6,sin 0.7,cos 0.89 截面 D 的内力, 弯矩 F y 5 6 kn m( 下侧受拉 ) 0 D D H D 因为 D 截面处作用集中荷载, F 0 Q 左 右两边的剪力 F QL F QR 和 F NL F NR 有突变, 所以 F Q 和 F N 都有突变, 要分别算出 F F 0 cos F sin ( 0.7).79kN QL QL H

27 F F 0 sin F cos ( 0.7) kN NL QL H F F 0 cos F sin kN QR QR H F F 0 sin F cos 5 ( 0.7) kN NR QR D. 自测题 -. 试作图示多跨静定梁的弯矩图和剪力图 () F F D E F F F F Q F F F

28 (b) kn/m 0kN D m 6m m m m 0 0 Q 0/ 0 6/ (c) 5kN 0kN/m D E F m m m m m m Q

29 q D 再分析节点 E F 所以弯矩图为 q G 取 - 截面左边 E q q D 0, q FDE q FDE q D 不难求得 q F FD q, FDF q, F q q DE F 0.5q E.5q q.5q F D 0, q FFG 0 FFG q 0.75q 考虑 D 杆 5 Fx 0 FGD q, FG q q q G GE q, FG FGD q D F (d) 6kN m kn m kn D E F G H m m m m m m m m Q 5 -. 试用分段叠加法作下列梁的 图 q 8 q q 8 F F F q 8 () q q 8 F (b) F F (c) (d) 解 :() 由 F D F DF q F DE q F Y F X F DE ;(b) q D E F 0 q q N N q N, N 0 8 q q ;(c) ;(d) 8 q 由 用节点法分析节点, 易得 F = F GD q q q 6

30 -. 试用分段叠加法作下列梁的 图 () kn / m m m m (b) (c) kn / m m m m m (d) 6 Q 解 :( ) 0kN m ; (b ) kn m ; (c ) kn m ; (d ) 0kN m -. 试作图示刚架的内力图 7

31 () 弯矩图 剪力图 8

32 9 (b) Q 0 (c) Q 6m 0kN m m 0kN m D m m kn/m 6kN 6m kn D kn 6m m m kn kn m D E

33 (d) kn m kn D E kn m m 6m Q N / (e) kn/m m D m m `` 8 0

34 (f) kn/m kn m m m m Q 0 5 N 试按图示梁的 跨跨中截面的弯矩与截面 和 的弯矩绝对值都相等的 条件, 确定 E F 两铰的位置 q E F D x x 解 : q 8 E F D q q q F D q c ( x) x qx x 中 q 中 = q 中 = q x q q x ( x ) q x q 6 x 8 c ( x) x qx x

35 -6. 试作图示刚架的弯矩和剪力图 () Q 5 5 对 点求矩 09 (.5 ) R 6R 5( ) E F , RE 5 5, F D F 对 点求矩 : 09 (.5 ) R 6R 5( ) E , RE 5 F F 5 5, , (b) F D Q E E K.5.5, K 5.75 对 点求矩 : R R 0.5( ) 对 点求矩 : R 7 5.5R 0.5 对 点求矩 : 0.5 H H.5( ) 对 点求矩 : V.5( ), 0.5 H 0.5( H) H QK左., QEF V.5, H, QK左 =., QEF

36 (c) Q 80/ D 80 80, ED 6 60 D 80, ED 6 60, H 0 H 0( ) 对 F 点求矩 : V 0 0 / 0 对 F点求矩 : V (0 0 ) / 0( ) 0 80 对 V点求矩 : V V, V 0 (d) V ( ) 80 V ( ) 5 Q 对 点求矩 : 6/ 8/ / / D D 对 点求矩对 : 点求矩 : 6 6 V 8 V 8 V ( ) 对 点求矩 : 6 H 8 H ( ) 6 H, H, V 0 8 H ( ), V 0 Q F 8/ 对 点求矩 : (e) F F F F F F F F + F 0V F 0, V F ( 0 ), H V 0 H V E p E F F 0 F H F V H F H F V F H ( ), F ( ) H F ( ), V 0 D D F

37 0F H F V H F H F, V F ; H F, V 0 H F D D -7. 试求图示桁架各指定杆件的内力 5 D F x 0 F 0 F N N 取虚线所示的两个隔离体有 : 联立方程解得 : FN, FN 杆 的内力可以通过 D节点求得 F 0, F N Fx 0, FN F x 0 F ; 0FN 取虚线所示的两个隔离体有 : 0, FN FN Fx 0, FN FN 联立方程解得 : FN, FN 杆 的内力可以通过 D 节点求得 FN

38 -8. 试选定求解图示桁架各指定杆件内力的合适步骤 F F F F F F D 分析 : 一 按一. 按 的顺序, 的顺序依次使用节点法求得, 依次使用节点法可求得 F FN N F 二. 再求出 然后可求出 FN F 二 再求出三. 由 然后可求出 0, 可求得 FN 0.75 F F 四. 分析截面右半部分三 由 0, 可求得 F 0.75F 四 分析截面右半部分 由 X 0, 可求得 x F x F X D 由节点法, 对 分析可求得 F 由 D 0, 可求得 x F x F N F F -9. 试求图示桁架各指定杆件的内力 F D F F E F F F F 由对称性 F F F F 5 F 5 由对称性 F F F F 再分析 节点 由 F F 5 F 0, F F 0 F F 5 5 x 5 由对称性有 FE F F 5 Fx 0, F F再由节点法分析 F D 0, 两节点容易求出 F F 5 5 FD F, F F 再分析 节点 5

39 5 由对称性有 FE F F 再由节点法分析得 : F F, F F D -0. 试求图示桁架各指定杆件的内力 F 取图示隔离体, 对 点取矩 F F F 0.5 F D.5F 取下图隔离体, 对 点取矩 0, F F 5 F 0 F F 5 5 再用节点法依次对,,D 节点进行分析, 容易求出 F 7 F =- F, F F, F F 6 D F 5 0, F F F 0F F 5 5 再用节点法依次对,,D 节点进行分析, 容易求出 7 F F, F F, F F 6 D 6

40 -. 试作图示组合结构刚架杆件的弯矩图, 并求链杆的轴力 () F q G 取 - 截面左边 q F F Y F X q D E q q D 由 0, q FDE q FDE q F DE 再分析节点 E F DF 不难求得 所以弯矩图为 F D D q F DE FD q, FDF q, F q q (b) q q D E F q N DE N q N, N F 0 q 0 q 8 q q D E F q N DE N q N, N F 0 q 0 q 8 q 7

41 (c) q D 0, q FFG 0 FFG q E.5q F 用节点法分析 G节点, 易得 F GE= q, FG FGD q 考虑 D 杆 0.75q F GD D 0.5q.5q 5 由 Fx 0 FGD q, FG q q q q q F q q q -. 试作图示多跨静定梁的 FQ 图 0kN 0kN kn / m m m.5m m.5m.5m.5m 6m 6m 6m () 8

42 kn kn m kn / m m m m m m m m m m m m (b) 题 - 图 L 解 :() 6.09 kn m, F kn (b) Q.5kN m( 下边受拉 ), kn m( 上边受拉 ),.87kN m( 上边受拉 ), -. 试作图示刚架的内力 ( FQ FN) 图 q F q F () (b) 题 - 图 解 :() q( 里边受拉 );( b) p F( 上边受拉 ) -. 试作图示刚架的内力 ( FQ FN) 图 kn / m D 6m q 5m 5m () (b) 9

43 解 :().5kN m( 外边受拉 ) (b) D D q( 里边受拉 ) -5. 试作图示刚架的内力 ( FQ FN) 图 q D 0m q.5m 5m 5m.5m () (b) 解 :( ) F 5m q QD m q D.5 ( 上边受拉 ) ; m q D 9.7 ( 外边受拉 ) ; (b) F q ( ), F q ( ), F q ( ), F q ( ) V H V H -6. 试计算图示桁架各杆轴力 解 :() F kn,(b) F 0.F( ), F.5F N x N p 0

44 -7. 试计算图示桁架各杆轴力 () (b) 解 :() F F, F F ;( b) FN F, FND F ; p N N p (c) F 5.5kN, F 8kN, F 8kN (c) N N N -8. 试求图示各桁架中指定杆的内力 (). m 6 mm () 荷载单位 kn:

45 (b) kn.5 m kn.5 m kn kn kn m m m m m m m 解 :( ) FN 8.0kN, FN.9kN, FN.0 kn, FN kn ;( b ) F.8kN, F.kN, F. kn, F 5kN N N N N -9. 试计算图示组合结构, 在二力杆旁标明轴力, 并绘出梁式杆的内力图 F G m D E m m m m ()

46 D E q kn / m m m 6m 6m m L 解 :() kn m( 上拉 ), F kn ;( b) F kn, F kn F NDE -0. 试求图示抛物线三铰拱截面 D 和 E 的内力 已知拱轴方程 f y= x ( x ) 6 m, f m. (b) ND Q F D L L 解 : 0.5 m F, F 0.78 F, F 0.5F E ND QD -. 用虚功原理试求图示静定结构的支座反力 FR 和 FRF 以及弯矩 和 0kN 0kN D E F G H m m m.5m.5m m m 解 : F 6.5 kn( ), F 5 kn( ) ; 7.5 kn m, 5kN R RF

47 第三章影响线 ( 一 ) 本章小结 本章主要内容包括以下几个部分 : 影响线的概念 ; 用静力法和机动法作静定梁的影响线 ; 多跨静定梁的影响线 ; 间接荷载作用下的影响线 ; 利用影响线求量值, 连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定. 影响线定义当单位移动荷载 F= 在结构上移动时, 用来表示某一量值 Z 变化规律的图形, 称为该量值 Z 的影响线. 静力法作影响线用静力法作影响线是指用静力计算的方法列出指定量值的影响线方程, 再据此绘出影响线 其步骤如下 : 选定坐标系, 将 F = 置于任意位置, 以自变量 x 表示 F = 的作用位置 对于静定结构可直接由分离体的静力平衡条件, 求出指定量值与 x 之间的函数关系, 即影响线方程 由影响线方程作出影响线. 作多跨梁定梁的影响线, 关键在于分清基本部分和附属部分, 总结如下 : 基本梁上某量值影响线, 布满基本梁和与其相关的附属梁, 在基本梁上与相应单跨静定梁的影响线相同, 在附属梁上以结点为界按直线规律变化 在铰结点处影响线发生拐折, 在滑动联结处左右两支平行 附属梁上某量值影响线, 只在该附属梁上有非零值, 且与相应单跨静定梁的影响线相同. 静力法作桁架的影响线平面桁架只承受结点荷载, 单位移动荷载 F= 通过纵梁 横梁 ( 横梁放置在结点上 ) 系统传给桁架结点, 如同前面讨论的简支梁受结点荷载的情况一样 因此, 桁架任一杆的轴力影响线在两结点之间是一直线 求桁架杆件轴力的影响线时, 把单位移动荷载 F= 依次作用在各结点上, 用结点法或截面法求出杆件的轴力即可 5. 用机动法作静定梁的影响线作静定结构影响线的机动法的理论基础是刚体虚功原理, 是将作影响线的静力问题转化为作虚位移图的几何问题

48 虚功原理 : 具有理想约束的任一刚体体系, 其平衡条件是 : 作用于体系的所有外力在任何虚位移上所做的功的和等于零 6. 利用影响线计算在位置确定的荷载作用下某一量值大小的方法如下 : 作出某一量值 Z 的影响线 ; 利用下式求出该量值的大小 n Z F y q pi i i i i i n 5

49 ( 二 ) 思考题 -. 影响线的含义是什么? 它的 X 和 Y 坐标各代表什么物理意义? 答 : 概括讲, 当单位集中荷载 Fp 沿结构移动时, 表示结构某量 Z 变化规律 的曲线, 称为 Z 的影响线 影响线上任一点的横坐标 x 表示荷载的位置参数, 纵坐标 y 表示荷载作用于此点时 Z 的影响系数 Z -. 如何绘制移动的单位力偶作用下静定结构内力的影响线 / 答 : 有两种基本方法, 静力法和机动法 静力法是以单位移动力偶 m= 的作用 位置为自变量 x, 利用静力平衡条件分段写出某量 Z 与 x 之间关系, 由此绘制 出 Z 的影响线 用机动法求 m= 作用下的静定多跨梁的内力影响线, 也是根据刚体虚位移原 理, 其步骤 : () 撤去与 Z 相应的约束, 代以约束力 Z( 设其正向 ), 成为一个自由度体 系 ; () 给体系以刚体运动的虚位移, 使沿 Z 的正方向产生单位位移, 形成 虚位移图及荷载行走线的 图 () 根据刚体体系虚位移原理得 Z( x) ( x), 由 图画出影响线 机动法绘制间接荷载作用 -. 在写影响线方程时, 为什么有时全梁可写一个方程, 有时必须分段写出方 程? 答 : 单跨静定梁反力 内力的影响线方程就是隔离题平衡方程 由于单位移动 荷载位置是变动的, 它可以作用在隔离体上, 也可以能离开隔离体 如果它始 终在隔离题上作用, 这时平衡条件只需要一个方程来表示, 如求单跨静定梁反 力影响方程时就说如此 当求某截面弯矩 剪力影响方程时 = 可在该截面 左 右两侧移动, 同一隔离体上受力不同, 所以要分两段写平衡方程 -. 只有在叠加原理成立的条件下, 才能引入影响线的概念, 对吗? 由此说明 影响线的应用条件 答 : 对 因此, 叠加原理的应用条件 ( 材料服从胡克定律, 应力与应变成正 比, 即弹性条件 ; 结构的变形很小, 且不影响荷载的作用, 即小变形条件 ) 也 就是影响线的应用条件 -5. 说明为什么静定多跨梁附属部分的内力 ( 或支座反力 ) 影响线在基本部分 上的线段与基线重合 答 : 单位荷载 = 作用在基本部分上时, 附属部分不受力, 因而附属部分内力 影响线的纵坐标与基线重合 Z 6

50 -6. 内力包络图与内力图有什么区别? 答 : 内力图是固定荷载作用时, 各截面内力变化的图形 内力包络是多种荷载 ( 如 : 恒载加活载 ) 作用时各截面内力最大或最小值连成的图形 -7. 简支梁的绝对最大弯矩与跨中截面最大弯矩是否相等? 在什么情况下将相等? 答 : 简支梁的绝对最大弯矩与跨中截面最大弯矩是不相等的, 但前者在数值上比后者大得并不太多, 所以有时就将跨中截面最大弯矩当成绝对最大弯矩 当梁上移动荷载系数的合力与临界荷载共线时 ( 或梁上荷载对临界荷载是左右对称布置时 ), 两者才相等, 此时跨中截面最大弯矩就是梁的绝对最大弯矩 7

51 ( 三 ) 习题. 经典例题详解 例题. 当 Fp 沿 移动时, 作图 - 所示结构的 F R 影响线 图 - 解 : 设以 点为坐标原点, Fp 距离 点为 x 规定 F R 向上为正 F R 的影响线 取整体为隔离体 由静力平衡条件, D 0, 可求得, x x 0 x 当 时, F ; x R 当 时, FR 从而可以得出 F R 的影响线如图 - 图 - 例题. 利用影响线求图 - 多跨静定梁 截面的弯矩值 图 - 解 :() 作 影响线 8

52 () 求 的影响线如下图 q y q ( 0.8) kn m 图 例题. 求图 - 示结构在移动荷载作用下 截面的最大弯矩值 图 - 解 :) 作 的影响线 ; ) 确定荷载的最不利位置, 求 mx r kn ;. 8..kN m r 8kN ; 8...kN m X.kN m 9

53 50 例题. 求图 -5 示简支梁在移动荷载作用下的绝对最大弯矩 解 : 图 -5 m x m kn R kn m m x m kn R kn m m x m kn R cr cr cr , () ,, () mx mx 作用作用 m x m kn R kn m m x m kn R kn m m x m kn R cr cr cr , () ,, () mx mx 作用作用

54 0. x 6.7m 6 mx kN. m () 作用, cr R 6kN.6m 0.6 x 5.8m 5 mx kN. m 例题 5. 作下图 -6 示结构的支座反力 的影响线 图 -6 解 : 点正好是结点 F 在 点以右时, 利用 R 求 ; F 在 点以 左时, 利用 R 求 由此可知 的影响线. 自测题 -. 单位荷载在刚架的横梁上移动, 作 的影响线 ( 右侧受拉为正 ) x = 5

55 / 答 : 影响线 -. 图示结构 = 在 DG 上移动, 作 和 Q 右的影响线 D = E F G m m m m 答 :() 影响线 () Q 右影响线 D E F G D / E F / G -. 作图示结构的 影响线 = D E m m m m 答 : 影响线 D E m 5

56 -. 作图示结构 :() 当 = 在 上移动时, 影响线 ;() 当 = 在 D 上移动时, 影响线 = D = 答 : D -5. 作图示结构的 Q F 影响线 设 以左侧受拉为正 = D F / / / / 答 : 影响线 影响线 Q F 左 5

57 -6. 单位荷载在桁架上弦移动, 求 N 的影响线 x = D d d d d 答 : -7. 作图示梁的 的影响线, 并利用影响线求给定荷载作用下 的值 答 : + m G m D E F 影响线 m KN. m -8. 单位荷载在桁架上弦移动, 求 N 的影响线 x = d 答 : d d d 5

58 -9. 作图示桁架的 V 影响线 = V 答 : -0. 作图示结构 Q 右的影响线 = E F G H D 答 : / E G H F -. = 沿 及 D 移动 作图示结构 的影响线, 并利用影响线求给定 荷载作用下 的值 + 0kN/m 00kN D m m m m 答 : 影响线 = - 50kN m m 55

59 -. 作图示结构 K Q 左 的影响线, 并利用影响线求图示结构在移动集中荷 载作用下截面 K 弯矩的最大值 ( 绝对值 ), 已知 =0kN K,mx 答 : 的影响线 K Q 左的影响线 K,mx 0 0 0kN m -. 作图示梁的 Q 的影响线, 并利用影响线求给定荷载作用下 Q 的值 0kN/m 0kN/m 00kN D E F m m m m m m 答 : + D E F G Q 影响线 56

60 -. 图示静定梁上有移动荷载组作用, 荷载次序不变, 利用影响线求出支座 反力 R 的最大值 8kN m 0kN 6m m 答 : R 影响线 R 7kN mx -5. 绘出图示结构支座反力 R 的影响线, 并求图示移动荷载作用下的最大值 ( 要考虑荷载掉头 ) kn kn kn = E D m m m m m m 答 : R 影响线 kn kn kn 5/ / / + " D 57

61 -6. 作 R R Q 左 的影响线 答 : -7. 吊车梁上两台吊车的轮压及轮距如图示, 试求 的最不利荷载位置及 的最大值 8 kn 8kN 8kN 8kN.5 m.5m.5 m m 6 m 答 c 69KN m ( 点 ) FQ mx 0.5KN, FQm in -7. KN mx mx KN m ( 点 ) 58

62 -8. 求 0m 跨简支梁在汽车 -0 级荷载作用下的绝对最大弯矩 kn kn kn kn kn kn m 5 m m m 5 m 0 m 答 : 69kN m -9. 试作图示刚架 F Q 的影响线, 单位水平荷载沿柱高移动 答 : 影响线 F Q 影响线 -0. 作图示结构截面 的剪力影响线 = 在 D 上移动 59

63 答 : -. 试利用影响线求图荷载作用下 E 值 答 : 60

64 一. 本章内容主要有以下几个部分. 应用虚力原理求刚体体系的位移. 结构位移计算的一般公式. 荷载作用下的位移计算. 荷载作用下的位移计算举例 5. 图乘法 6. 温度作用时的位移计算 7. 变形体的虚功原理 二. 重要公式. 位移产生的主要原因 () 荷载作用 () 温度变化和材料胀缩 () 支座沉降和制造误差 第四章静定结构的位移计算 ( 一 ) 本章小结. 设支座 K 有给定位移 ck, 静定结构的位移计算步骤为 () 沿拟求位移 方向虚设相应的单位荷载, 求出相应的 () 令虚设力系在实际位移上作虚功, 写出虚功方程 () 由虚功方程解出拟求位移 若 为正值, 表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致. 结构位移计算的一般公式 如果结构有多个杆件 ( F F 0) ds N 荷载作用下弹性位移的一般公式为 桁架 ds Q FN F E F F E 外力在位移上所作的虚功为 d ( FN FQ 0 ) ds N ds F F E kf Q F G Q ds N N d N N s 梁和刚架 : W ( FN u FQ w ) ( FN u FQ w) ( pu d s qw) dx 6

65 虚功互等定理 :W=W 位移互等定理 : δ=δ 反力互等定理 :r=r 位移反力互等定理 : r 6

66 ( 二 ) 思考题 -. 利用刚体系虚位移原理求静定结构约束力的优缺点何在? 答 : 利用刚体系虚位移原理求静定结构约束力的有点事欲求的约束力变成了主动力, 在虚功方程中只有主动力, 其他约束力不出现 这是因为如不去掉某一约束, 就没有与该约束力相应的虚位移, 则其虚功为零 缺点是有些虚位移的计算比较麻烦 -. 利用刚体系虚位移原理能否同时计算多个约束力? 答 : 能 利用刚体系虚位移原理同时求静定结构 n 个约束力的步骤是 : 撤去与 n 个约束力相应的约束, 变成有 n 个自由度的体系, 给体系以 n 个独立虚位移状态, 建立 n 个独立的虚功方程, 解得 n 个约束力 -. 在变形体虚功原理中, 两个状态的变形是否必须为同一体系? 答 : 不一定 变形体虚功原理为 : 设变形体在力系作用下处于平衡 ( 状态 Ⅰ), 又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小的连续变形 ( 状态 Ⅱ), 则状态 Ⅰ 的外力在状态 Ⅱ 的位移上所做的总虚功 W 恒等于状态 Ⅰ 的各个微段截面上应力的合力在状态 Ⅱ 的微段变形上所做的总虚功 Wi -. 有应力就有应变, 有应变就有应力, 这种说法对吗? 答 : 不对, 因为有时有应力而没有应变, 有时有应变却没有应力 -5. 图乘法使用条件是什么? 答 : 图乘法应用条件 : 杆段应是等截面直杆段, 两个图形中至少应有一个是直线, 标距 y0 应取自直线图中 -6. 试说明变形体虚功原理应用的条件 答 : 变形体虚功方程应用条件是 : 力系应当满足平衡条件 ; 位移应当符合支承情况并保持结构的连续性, 或者说, 位移应当满足变形连续协调条件 -7. 功的互等定理中, 体系的两种状态应具备什么条件? 答 :() 材料处于线弹性阶段, 即应力与应变成正比 ( 如 E ) ( ) 变形微小, 不影响力的作用 6

67 ( 三 ) 习题. 经典例题详解 例题. 求图 - 所示刚架 D 点的竖向位移 = 常数 q D q / 图 - 解 : 须在 D 点的竖直方向上加一个单位力 =, 得到两种状态, 即荷载作用下 的实状态和单位力作用下的虚状态, 分别作出实状态下的 图和虚状态下的 图如下图所示 图 图 V D p i y ds i q q q q 8 ( 向下 ) 6

68 例题 已知 :=5kN,= KN cm,e= kn, 求图 - 所示结构 点的 水平位移 E E E m m m 图 - 解 :) 在 点的水平方向上加一个向右单位力 =, ) 作荷载作用下的 图和单位力作用下的 图 图 ) 利用图乘法公式求解 H p ds N N E p ds 图

69 5 0.7mm( 向右 ) 5.50 例题 求图 - 所示结构水平链杆处 K 点的竖向位移 q q I I I K m m 5m m m 图 - 解 : 图 图 ) 在 K 点的竖直方向上加一个单位力 =, ) 作荷载作用下的 图和单位力作用下的 图 ) 利用图乘法公式求解 V K p i y ds i 66

70 8q 8q 8q ( 向下 ) 例题 求图示结构 截面转角 已知 :q=0kn/m,=0kn, = 常数 q c m m m 图 - 解 : ) 在 点加一个顺时针单位力偶 =, ) 作荷载作用下的 图和单位力作用下的 图 ) 利用图乘法公式求解将曲线部分按荷载的叠加分成两项来计算 图 图 67

71 p i y ds i ( ) 85 ( 顺时针旋转 ) 例题 5 求图示结构 端的竖向位移,= 常数 q 解 : ) 在 点加一个竖向单位力 =, 图 -5 ) 作荷载作用下的 图和单位力作用下的 图 ) 利用图乘法公式求解 图 图 68

72 V p i y ds [ q q q 8 i 7q q ( ) q ( ) ] ( 向下 ) 8 例题 6 已知 :q 0kN m 0kN m b m,,,, 求图 -6 所示结构 点水平位移 q b 图 -6 解 : ) 在 点加一个水平向左单位力 =, ) 作荷载作用下的 图和单位力作用下的 图 ) 利用图乘法公式求解 图 图 69

73 H p i y ds i 60 [ 606( ) ( ) 6 06( )] 8 例题 7 求图 -7 所示结构铰 E 两侧截面相对转角,= 常数 q D E q F 图 -7 解 : ) 在 E 点加一对向上单位力偶 =, ) 作 图和 图 ) 利用图乘法公式求解 图 图 H p i y ds i p ds [ q q ( ) 8 89q q ( q q )] 70

74 例题 8 图 -8 所示结构,E=. 0 5 kn,=. 0 8 kncm, 所受外荷 为多少时,D 点竖向位移为向下 cm D m E m m 解 : ) 在 D 点加一竖向单位力 =, 图 -8 ) 作荷载作用下的 图和单位力作用下的 图 ) 利用图乘法公式求解 图 图 p NN p VD ds ds E 5 5 ( p p ) [ p( ) ] 0.0m E 推出 V D 0kN 7

75 自测题 -. 已知 E= kn,=. 0 kn cm, q kn/ m, 求 点的竖向位移 q m E D E m m 图 -9 解 : V 7. mm -. 图 - 所示结构,= 常数, 90kN m, = 0kN 试求 D 点的竖向位 移 m m m D 解 : 图 - p i yi VD ds [ 90 90( ) 90 ] 85 7

76 -. 图 - 示结构, q kn/m 试求, 两点的水平相对线位移 q m m m m 解 : 图 - p i yi H ds [ ( 8) -. 图 - 所示结构 = 常数, = =0kN,q = 0kN/m 试求 D 两点的 相对水平位移 m q D m m 图 - 解 : p H D ds [ [ 0 0 ( ) 0 ( )] -5. 图 - 所示结构 = 常数 试求 点的水平位移 80kN m 0kN/m m m m m 图 - 7

77 解 : p i yi H ds [ 0 0( ) ( 60 0) 50 ( 60 0) 60 ] -6. 图 -5 示结构,= 常数, 试求铰 两侧截面的相对角位移 8 kn kn/ m m m 解 : 图 -5 p i yi ds [ 8 8( ) 8-7. 图 -6 示结构, = 常数 q =0kN/m, 试求 点的竖向位移 q m m m 67 ] D V 解 : p 图 -6 ds ( ) -8. 利用虚位移原理求下列静定结构指定的支座反力和截面内力 :()FRD FQ ;( b)fr F L Q F R Q ;( c) 支座 的水平推力 FH 和 7

78 () 杆 的轴力 FN (b) (c) 答 :()FRD=.5kN( ),FQ=7.5kN,=5kN m( 上侧受拉 ), =5kN m( 下侧受拉 ) (b)fr=65kn( ), F L Q =5kN, F R Q =0kN,=60kN m( 上侧受拉 ) (c)fh=f( ),FN = 5 F ( 压力 ) -9. 用积分法计算下列单跨静定梁的位移 ( 忽略剪切变形的影响 ):() 求 ΔV;( b) 求 θ;( c) 求 ΔV 和 θ;( d) 求 ΔV () F / / (b) (c) q (d) F / / 图 -8 75

79 F 答 :()ΔV= 8 ( );(b)θ= ( ) q (c)δv= 8 ( ),θ= q 6 ( );( d)δv= 5F 8 ( ) -0. 用积分法计算下列圆弧曲杆的位移 ( 不考虑曲率的影响和 FQ FN 的影 响 ):() 求 ΔH;( b) 求 ΔV () F (b) q R R 90 O 图 -9 FR 答 :()ΔH= ( );( b)δv= qr ( ) -. 计算图 -0 示桁架下弦中间结点 D 的竖向位移 ΔDV 已知各杆的截面面积 =cm, 弹性模量 E=. 08k 0kN 0kN E 0kN 0kN G 0kN m 答 :ΔDV =0.8cm( ) D F m m m m 图 -0 H -. 计算图 - 示桁架结点 G 的水平位移 ΔGH 已知各杆的截面面积 =0cm, 弹性模量 E=. 08k 76

80 F 6kN 6kN E G m m D m m 图 - 答 :ΔGH =0.60cm( ) -. 计算图 - 示桁架 杆与 D 杆的相对转角 θ 各杆 E= 常数 D F F 图 - ( )F 答 :θ= E = 0. F E ( 夹角减小 ) -. 求图 - 示阶形柱顶点 的水平位移 ΔH 和转角 θ F H H E G 图 - 答 :ΔH= F ( H H ) F H F ( H H ) F H ( ),θ= ( ) 77

81 -5. 用图乘法求图 - 示梁 截面的竖向位移 ΔV 已知 E=. 08k, I=0000cm 8kN/m m m 图 - 答 :ΔV=0.8cm( ) -6. 求下列图 -5 示伸臂梁 点的竖向位移 ΔV 已知 =.0 08kN cm () m 0kN/m m (b) 0kN/m 0kN 0kN/m 0kN m m m m 图 -5 答 :()ΔV=0.cm( );(b)δv=.0cm( ) -7. 求图 -6 示简支刚架 截面的水平位移 ΔH 和转角 θ D q 图 -7 答 :ΔH= 7q 8 q ( ),θ = ( ) Δ -8. 求图 -8 示悬臂刚架 两点的相对水平位移 I=8600cm, 弹性模量 E=.06 08k H D 已知各杆惯性矩 78

82 5kN/m D 0kN m m m 图 -8 答 : Δ H D =.cm( ) -9. 求图 -9 示三铰刚架点 E 的水平位移 ΔEH 和截面 的转角 θ = 常数 D E q 答 :ΔEH= q 6 ( ),θ = 8 图 -9 q ( ) -0. 求图 -0 示组合结构梁上 D 点的竖向位移 ΔDV 已知 E=. 08k, I=8600cm,=5cm 0kN/m 0kN I D E m m m 图 -0 m 答 :ΔDV=0.8cm( ) -. 求图 - 示刚架 E F 两截面的相对水平位移 Δ 相对转角 θef E F 是切口两侧的截面,= 常数 H EF 相对竖向位移 Δ V EF 及 79

83 q E F D q 答 : Δ H EF = ( ), 7q Δ V EF =0,θEF = ( ) -. 图 - 示简支刚架支座 下沉 b, 试求 D 点的竖向位移 ΔDV 和水平位移 ΔDH D 答 :ΔDV=b( ),ΔDH= h b ( ) -. 在图 - 示刚架中,=m, 支座 有给定的位移 =cm b=cm φ=0.0rd, 试求 截面的水平位移 ΔH 和铰 左右两侧截面的相对转角 θ b h 图 - 图 - φ b 图 - 答 :ΔH=6cm( ),θ =0.0rd( ) -. 图 - 示悬臂刚架内部温度升高 t 0, 求 D 点的竖向位移 ΔDV 水平位 80

84 移 ΔDH 和转角 θd 材料的线膨胀系数为 α, 各杆截面均为矩形, 且高度 h 相同 +t D 图 - 答 :ΔDV= αt h ( ),ΔDH= αt ( ) h αt ( ),θd= h ( ) -5. 三铰刚架温度变化如图 -5, 各杆均为矩形截面, 截面高度相同, h=0c,α= 求 E 点的水平位移 ΔEH 和铰 左右两侧截面的相对转角 θ 6m D m 图 -5 答 :ΔEH=0,θ=0.006rd( ) -6. 在图 -6 示桁架中, 若只有 D 杆的温度上升 t, 试求结点 的竖向 位移 ΔV 已知线膨胀系数为 α D t E m m 图 -6 答 :ΔV=αt( ) 8

85 第五章力法 ( 一 ) 本章小结 力法是以多余约束作为基本未知量求解超静定结构的方法, 是利用已学过的静定结构的内力计算和位移计算来解决新的超静定结构的内力 位移计算问题 用力法计算超静定结构, 要点包括 :. 超静定结构的组成和超静定次数超静定结构是具有多余约束的几何不变体系, 超静定次数是指超静定结构中多余约束的个数 将超静定结构中多余约束去掉, 可变为相应的静定结构, 结构去掉多余约束的方式有几种, 但必须注意, 去掉多余约束后, 剩下的必须是静定结构. 力法的基本概念将超静定结构去掉多余约束 并用多余未知力代替, 这样得到的体系就是力法的基本体系 利用基本体系与原结构之间在约束方向的位移一致性和变形叠加列出力法典型方程, 最后求出多余未知力和原结构的内力. 力法计算各种类型的超静定结构对于各种超静定结构, 力法计算的基本原理和步骤是相同的, 但各种结构有各自特点, 所以具体计算有所不同. 对称结构的计算利用结构的对称性可以使问题简化, 减少计算量 对于对称结构应选择对称的基本体系, 并取对称力或反对称力作为多余未知力 在正对称荷载作用下, 只考虑正对称未知力 ; 在饭对称荷载作用下, 只考虑反对称未知力 5. 支座移动和温度改变时的计算当支座移动和温度变化时, 超静定结构虽然没有荷载的作用, 但是也能产生内力 用力法计算时, 计算步骤与荷载作用的情形基本相同 不同之处在于力法方程的自由项是由支座移动或温度变化产生的, 力法方程中等号右侧可能不为零, 应等于原结构上多余未知力处的相应的位移 6. 位移计算和力法校核计算超静定结构的位移, 可以利用基本体系来求原结构位移 因为基本体系的受力和变形与原结构完全相同 虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上, 单位弯矩图虽然不同, 但求得的位移相同 所以, 应选一个便于计算的基本体系虚拟单位荷载 超静定结构的最后内力图校核要从平衡条件和变形条件两方面进行 8

86 ( 二 ) 思考题 5-. 什么是力法的基本体系 基本结构和基本未知量? 答 : 将多余约束去掉, 而以多余未知力代替, 这样得到的有多余未知力的超静定结构成为力法的基本体系 将超静定结构中多与约束和荷载都去掉后得到的静定结构成为力法的基本结构 把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键问题, 把多余未知力当作处于关键地位的未知力称为力法的基本未知量 5-. 对力法基本结构的要求是什么? 答 :() 基本结构应当是几何不变且无多余约束的静定结构, 它只能从原结构中撤去多与约束, 不能去掉必要约束 () 基本结构只能由原结构减少约束而得到, 不能增加新的约束 5-. 力法方程的物理意义是什么? 答 : 基本结构在全部多余未知力及荷载共同作用下, 在去掉各多余联系处沿各多余未知力方向上的位移应与原结构的位移相等 5-. 为什么静定结构的内力状态与 无关? 为什么超静定结构的内力状态与 有关? 答 : 静定结构的内力只需要列出力的平衡方程就能解出, 此时未知量的个数是等于独立平衡方程的个数的 而超静定结构的未知内力的个数多于独立平衡方程的个数, 需要补充变形协调方程, 才能使方程个数等于未知力的个数 而变形协调方程与材料的性质 ( 即 ) 有关 5-5. 应用力法时, 对超静定结构作了什么假定? 它们在力法求解的过程中起了什么作用? 答 : 在力法计算中, 做以下两点基本假定 :() 结构的变形与结构尺寸相比是微小的, 不影响荷载的作用位置与方向 () 材料服从胡克定律, 应力与应变成正比 当利用平衡条件计算静定结构内力时, 只需满足第一假定便可应用叠加原理 若结构同时满足两条假定 ( 称为线性变形体系 ), 则不论其为静定结构或超静定结构, 在计算内力和位移时都可以应用叠加原理 叠加原理的应用贯穿于力法的全部过程 5-6. 什么称为对称结构? 答 : 对称结构是指 :() 结构的几何形式和支承情况对某轴对称 ;() 杆件截面和材料性质也对此轴对称 ( 因而杆件的截面刚度 对此轴对称 ) 5-7. 利用变形条件校核超静定结构内力计算结果时应注意什么? 答 : 利用变形条件校核力法计算所得内力的方法, 是利用求出的内力去计算原 8

87 结构的某几个已知位移 ( 一般选择零位移 ), 根据计算结果来判断内力图的正确 性 5-8. 支座位移产生的自内力如何校核? 温度变化引起的自内力如何校核? 答 :) 用变形协调条件校核超静定结构因支座位移产生的自内力时, 可选择原结构的某些已知位移 ( 含零位移 ) 进行计算, 公式为 N N E i i 0 ds ds Ri i, 式中, 0 i 为原结构中选定的已知位 移 梁和刚架计算时略去第二项, 桁架计算舍去第一项, 但均不可漏掉第三项 ) 超静定结构在温度变化时的自内力计算结果正确与否, 一般是利用自内力来计算原结构的零位移加以校核 等矩形截面杆超静定梁与刚架在温度变化 ' t 时的位移计算公式为 ds ds t Nds h 0 0, 超静定桁 NN 架 ( 任意形状的等截面杆 ) 位移公式为 t0 Nds 0 E, 式中, N 为单位荷载 ( 可加在任一基本结构上 ) 产生的弯矩和轴力 ; h 为截面高 度 ; t ' 为杆件两侧温度变化差 ; t 0 为杆件轴线处温度变化量 ; 为线膨胀系 数 5-9. 在力法计算中, 什么情况下可用刚度的相对值? 为什么? 答 : 在荷载作用下, 由各向同性 应力与应变成正比的小曲率杆件组成的超静 定结构, 在用力法计算内力时, 各杆刚度可用相对值 在这种情况下, 不论结 构形式如何, 也不论各杆用何种材料, 截面形状和尺寸如何, 结构中内力分布 只与各杆刚度相对值有关, 而与绝对值无关 当各杆绝对刚度按同一比例增减 时, 不影响内利分布 8

88 85 ( 三 ) 习题. 经典例题详解 5-. 试用力法计算图示结构, 截面为变截面, 并作出 和 Q F 图 图 5- 解 :() 取基本体系, 见图 所示 () 列力法方程 : 0 X () 求系数 和自由项 在 X 单独作用下, y y k 由, y, y k 在荷载单独作用下 6 k F F k p () 解方程 0 X 可得 : k F X

89 86 其中 :, k F X F F F F k F k k k F 注 : F F 只表示大小, 方向见图 (d) (e) 所示 5-. 试用力法计算下列图示刚架, 并作出 图 图 5- 解 :() 取力法基本体系, 见 () 所示 () 列力法方程 : 0 X () 求系数 和自由项 q q q q q 8 5 () 解方程组 : q X X q X X 8 5 可得 : q X q X 8, 7 (5) 从而可作 图, 见图 (e) 所示

90 5-. 试用力法计算下面图示排架, 并作 图 解 :() 取力法基本体系, 见 () 所示 () 列力法方程 : X 0 图 5- () 求系数 和自由项 () X 5kN m (5) 从而可作出 图, 见图 (d) 所示 87

91 5-. 试用力法计算下列图示桁架的轴力, 各杆 E= 常数 图 5- 解 : () 取力法基本体系, 见 () 所示 () () 列力法方程 : X 0 () 求系数 和自由项 E E Fp Fp E E F p X F 0.896F (5) 从而可以得出各杆的轴力, 见图 (d) 所示 88

92 5-5. 图示一组合式吊车梁, 上弦横梁截面 00kN m E kn 试计算各杆内力, 作横梁的弯矩图, 腹杆和下弦的 解 : () 取力法基本体系, 见 () 所示 () 列力法方程 : X 0 图 5-5 () 求系数 和自由项 89

93 E ds FN E 5 5 E E m / kn 0.65 ds m 00 () 解方程 : X 0 可得 : X 0.56kN XD 0.56kN (5) 画 N 图 90

94 5-6. 试作下列图示对称刚架的 图 图 5-6 解 :() 取 / 结构, 见图 () 所示, 其基本体系见图 (b) () 列力法方程 : X 0 () 求系数 和自由项 X q 8 q q 8 从而可以得到 图, 见图 (e) 所示 q 9

95 5-7. 试作下列刚架的 图 解 :() 取基本体系, 见图 () 所示 () 列力法方程 : X 0 图 5-7 () 求系数, 自由项 F.5.5 6F.5 F () X 0. F (5) 从而可以得出 图, 见图 (e) 所示 9

96 5-8. 试求解下列具有弹性支座的结构 ( 图中弹性支座刚度 k 图 ), 并画出 解 :() 取基本体系见 () 图所示 () 求 图 5-8 q q 8 列方程 X X X k q 6 k X k 9

97 () 从而可作 图, 见图 (d) 所示 9

98 . 自测题 5-. 用力法作图示结构的 图 8 kn m kn/m m 答 : kn m ( 上侧受拉 ); 5 kn m ( 有侧受拉 ) 5-. 用力法计算并作图示结构 图 = 常数 答 : /8 7 /8 X /8 图 5-. 用力法作图示排架的 图 已知 = 0. m,i = 0.05 m, 弹性模量为 E 0 q=kn/m I I 6m 8m 答 : X. 9 ( 压力 )( 水平链杆轴力 ) 95

99 5-. 用力法计算并作图示结构的 图 q/ q q 8 答 : X ( 有侧支座水平反力 ) 5-5. 用力法计算图示结构并作出 图 常数 ( 采用右图基本结构 ) / X X / / / / X X 答 : 96

100 5-6. 用力法计算并作图示结构 图 E I = 常数 答 : X 图 图 图, X 5, 用力法计算图示结构并作弯矩图 00kN 00 kn D m m 6 m m 答 : 600 knm 7 ( 右侧受拉 ) 5-8. 已知 = 常数, 用力法计算并作图示对称结构的 图 q q E= 答 : 四角处弯矩值 : q ( 外侧受拉 ) 0 97

101 5-9. 用力法作图示结构的 图 = 常数 q q 答 : q / 图 X = q /8 图 q /8 q /8 q /8 图 5-0. 用力法作 图 各杆 相同, 杆长均为 答 : 98

102 / / X / X = / 图 / / / / / / / 图 / 图 / 5-. 用力法计算图示结构并作 图 = 常数 kn. m kn m m m m 答 : kn. m kn. m X 基本体系 图 kn. m 5-. 用力法计算并作出图示结构的 图 E = 常数 I I I 6m I I I 6m 8m 99

103 答 : X / / 基本体系 图 5-. 用力法计算图示结构并作 图 = 常数 0kN m m m m 答 : 0kN.8 X.8 基本体系 0.5 图 kn. m 用力法计算图示桁架中杆件 的内力, 各杆 E 常数 d d d d 00

104 答 : N, N, N 0, N 5-5. 用力法求图示桁架 D 杆的内力 各杆 E 相同 D m m m m m 0 答 : ND ND X ( 拉力 ) 5-6. 用力法计算并作出图示结构的 图 已知 常数,E 常数 E E E 答 : 5-7. 用力法计算并作图示结构 图, 其中各受弯杆 = 常数, 各链杆 E ( ) 0

105 答 : X 图 5-8. 图示结构支座 转动, 常数, 用力法计算并作 图 答 : X 基本体系 图 5-9. 用力法计算并作图示结构由支座移动引起的 图 = 常数 c c 答 : 6 5 c 0

106 5-0. 用力法作图示结构的 图 = 常数, 截面高度 h 均为 m,t = 0, +t 为温度升高,-t 为温度降低, 线膨胀系数为 -t -t +t 8m 6m 答 : 6 X = 图 ( ÉI ) 0

107 第六章位移法 ( 一 ) 本章小结. 位移法的基本思路位移法以结构中的某些结点位移作为基本未知量, 可按两种思路求解结点位移和内力 主要用于超静定结构, 也可用于静定结构 第一种思路是把结构分离成单根杆件, 建立杆端位移和杆端力之间的物理关系, 利用杆件隔离处的杆端力满足的平衡条件形成位移法方程 求出杆端位移后, 再求杆端力 第二种思路是先对结点施加约束, 阻止位移, 形成基本结构, 然后放送结点, 消除附加约束, 恢复原有位移 通过这一过程, 建立位移法方程, 求出结点位移和杆端力. 位移法的理论依据 () 在线弹性范围内的小变形结构, 其变形可以像内力一样应用叠加原理 ;() 力与变形之间为线性关系, 可由力求相应的变形和内力, 也可有变形和位移求相应的内力. 位移法的理论依据位移法的基本未知量取为的结点角位移和结点线位移 节点角位移指刚结点和半铰联结的结点转角 ; 结点线位移指在原结构的全部固定端和刚结点上加铰后, 使该铰结图形保持几何不变所需增添的最少连杆方向的位移 确定结点线位移所作的假设为 :() 弯曲变形微小哦啊, 受弯直杆弯曲后两端之间距离保持不变 ;() 受弯直杆忽略轴向变形和剪切变形. 基本结构在确定结构基本未知量的同时, 设置附加刚臂阻止结点转动, 设置附加连杆阻止结点发生线位移, 所得到的单跨超静定梁组合体即为位移法的基本结构 5. 有侧移斜杆刚架的两类直杆第一类杆杆件一端为无线位移, 另一端有线位移 其运动是绕不动端转动, 而另一端的方向认为是垂直于杆件原来的轴线 第二类杆杆件两端都有线位移 根据它和其他杆件的联系, 先确定其一端的线位移, 并假设在这个端点作线位移的过程中, 杆件仅作平行移动, 在完成平动后, 再令杆件绕该端点转动 此时, 杆件的另一端的线位移绕垂直于杆件原轴线方向 6. 位移法典型方程对于具有 n 个独立结点位移的结构, 位移法典型方程的形 0

108 式如下 : k k k n k k k n k k n k n nn n n n F F F F F nf F, F t F t c, F c 0 0 Fnt, Fnc 0 上式反映了原结构的静力平衡条件, 每一个方程式都表示在相应的约束中, 约 束反力应为零 式中 : 主系数 k ii 在基本结构中, 约束 i 发生在单位位移 时, 在约束 i 中产生反力或反力矩, 恒为正值 ; i k ii k ij 所引起的反力或反力矩 与所设 ( 相反者为负 在基本结构中, 约束 i (j) 由于约束 j( i) 发生单位位移 j i ) 方向一致者为正, 与所设 ( j j ( i i ) 方向 ) 自由项, F F F 在基本结构中, 由于荷载 ( 温度变化 支座沉降 ) 作 if it ic 用, 在约束 i 中引起的反力或反力矩 与所设 i 方向相同者为正, 相反者为负 7. 用结点和截面平衡条件求结点位移和内力 () 确定基本未知量 () 写杆端弯矩表达式 () 取每一个刚结点,,写出力矩平衡方程 0 0 用截面法截出结构的一部分, 建立线位移方向 X( 或 Y) 的剪力平衡方程 X X i K 0 或 0 或 Y i Y 0 K 0 () 联立求解组成的位移法方程, 求出结点角位移和结点线位移 ; (5) 将所求结点位移 ( 连同符号 ) 代入转角位移方程, 求杆端弯矩, 按静力法绘制内力图 8. 用建立基本结构的方法求结点位移和内力 () 确定基本未知量, 加入附加约束, 取位移法基本结构 05

109 () 令各附加约束发生和原结构相同的结点位移, 根据基本结构在荷载等外因和各结点位移共同影响下, 附加约束反力和内力矩为零的条件建立位移法方程 () 绘出单位弯矩图和荷载弯矩图, 由平衡条件求出各系数和自由项 () 解位移法方程, 求各基本未知量 (5) 按叠加公式 绘弯矩图 F 9. 对称结构的简化计算对称结构在对称荷载作用下产生对称的变形和位移, 在反对称荷载作用下产生反对称的变形和位移 在位移法中可以利用位移的对称性和反对称性以求简化 一般的计算方法如下 : () 解为正对称和反对称两组 () 取半边结构计算 () 将两种计算结果叠加 06

110 ( 二 ) 思考题 6-. 位移法的基本原理是什么? 基本未知量有哪些? 答 :) 位移法以节点位移为基本未知量 先将结构拆成杆件, 建立单杆的刚度 方程 ( 杆端力与杆端位移的关系式 ); 再将杆件组装成原结构, 利用节点和截面 平衡条件建立位移法基本方程 由基本方程解出节点位移, 再由单杆刚度方程求出内力 ) 结构中刚节点与组合节点的角位移 i 和独立的线位移 i 是位移 法的基本未知量 6-. 单杆刚度系数与结构刚度系数的区别? 答 : 单杆发生单位杆端位移时相应的杆端弯矩和剪力, 即单杆刚度方程中未知 量前的系数 ; 结构刚度系数是结构的某结点发生单位位移时附加约束的反力, 即基本方程中各未知量前的系数 6-. 位移法的基本方程是什么? 怎样建立位移法方程? 答 : 位移法的基本方程是平衡方程, 方程数等于基本未知量个数 建立位移法 的基本方程有两种途径 :() 直接列平衡方程, 相应于每个刚节点列出一个力 矩平衡方程, 相应于每个独立结点线位移列出一个截面投影平衡方程 () 位 移法基本体系和典型方程, 在原结构中附加转动约束以控制刚结点转角, 附加 支杆以控制独立结点线位移, 所得超静定单杆组合体称为位移法基本体系 解 rz rz r nz n R 0 除所有附加约束, 按约束反力等于零的条件建立的平衡方程即位移法基本方 r 0 Z rz r nz n R 程, 其形式为 称为位移法典型方程 其中, Z Z 为基本未知量 ; r r 0 nz rn Z ij 称为结构刚度系数, 即在基本结构中沿 j 方向发生 rnnzn R n 单位位移时沿 i 方向产生的附加约束反力 ; 自由项 R 为荷载引起的沿 i 方向的 约束反力 由反力互等定理可知 : r r 6-. 用 铰化法 确定节点独立线位移时应注意些什么? ij 答 : 位移法解刚架时需要确定节点独立线位移个数 铰化法 是将刚架中刚节 点 ( 包括固定端 ) 变成铰节点, 成为铰接体系, 其自由度数即为独立线位移 数 利用该方法时应注意它只适用于杆件的边界端 ( 不与内部节点相交的杆 端 ) 为固定端 铰支端和垂直杆轴的滚轴支承端 若边界端是自由端 滑动支 承端和沿杆轴方向的滚轴支承端, 利用此方法会得出错误的结论 6-5. 位移法如何体现结构力学应满足的三方面条件 ( 平衡条件 几何条件与物 理条件 )? 答 : 结构力学中的计算方法有多种, 但所有各种方法都需要考虑下列三方面条 件 : 力系的平衡条件或运动条件 ;() 变形的几何连续条件 ;() 应力与变形间的 07 ji ip

111 物理条件 位移法的两种计算方式 ( 利用基本体系建立典型方程和直接列杆端力建立平衡方程 ) 都是按照两大步骤进行的, 即单杆分析和整体分析 单杆分析是利用转角位移方程和固端力表得到杆端力与杆端位移和荷载的关系, 或得 到 i和 图 ; 整体分析得到位移法基本方程 6-6. 铰结端角位移和滑动支座端线位移为什么不作为位移法的基本未知量? 答 : 在转角位移方程中, 铰结端的角位移和滑动支承端的线位移都不是独立的杆端位移分量, 而与其他杆端位移分量保持确定的关系 为了减少基本方程数目, 上述位移分量不引入基本未知量 6-7. 弹性支座处杆端位移是否应作为位移法基本未知量? 答 : 弹性支座处的杆端位移既可以列入也可以不列入基本未知量 如果不列入, 则需要事先找出它们与作为基本未知量的杆端位移之间的关系, 并导出相应的转角位移方程 6-8. 非结点处的截面位移可作为位移法的基本未知量吗? 答 : 可以 就位移法的原理来说, 任何截面的位移均可作为未知量 虽然这会增加未知量数目, 但可直接获得更多截面的内力, 对绘制内力图更方便些 6-9. 具有刚性杆件的结构用位移法计算时应注意什么问题? 答 : 应该注意三点 :() 确定位移法基本未知量时, 由于刚性杆件不发生变形, 只有刚体平移和转动, 因此其两端的转角和线位移互不独立 ;() 因刚性杆无弯曲变形, 转动刚度为无穷大, 不存在单杆的转角位移方程 因此, 不可能利用刚性杆两端刚结点的力矩平衡条件列出位移法基本方程 应建立弹性杆 ( 柱 ) 端剪力的截面平衡方程 ;() 刚性杆虽无变形, 但可存在内力 在其他杆件内力求出后, 可通结点平衡条件求得刚性杆杆端内力 6-0. 支座位移与温度变化时的计算要注意哪些? 答 :) 支座发生位移的梁和刚架在计算时, 可将给定的支座位移写入与其相关杆件的杆端弯矩式中作为等效的 固端弯矩, 其余计算过程与荷载作用下相同 ) 温度变化自内力在计算时, 由温度变化引起的等效 固端弯矩 包含两部分, 其中 : 由杆两侧温度变化引起的的 固端弯矩 可查表得到 ; 由杆轴温度升降引起的杆轴伸缩变形将使结点产生线位移并使相关杆件发生弦转角, 它所引起的 固端弯矩 可由转角位移方程求出 08

112 ( 三 ) 习题. 经典例题详解 6-. 下图为一连续梁, 在荷载作用下, 节点 只有角位移, 没有线位移, 属于无侧移问题 解 :() 基本未知量 F F F () 固端弯矩 F 0 6 5kN m 8 8 5kN m q 8 9kN m () 列杆端转角位移方程设 i /6 i 5 i 5 () 位移法基本方程 ( 平衡条件 ) i 5 i (5) 各杆端弯矩及弯矩图 6 7i 图 6-09

113 F F F 6 i 5 6.7kN m 7i 6 i 5.57kN m 7i 6 i 9.57kN m 7i 6-. 试作出图示刚架的弯矩图 图 6- 解 :() 基本未知量 F F F () 杆端弯矩 ij q 0 0kN m 8 8 q.7kn m.7kn m 计算线性刚度 i, 设 0, 则 i E I 0 i, i D, i E, i F 0

114 梁.7 0 F i.7 柱.5 E E F F () 位移法方程 F D E () 解方程.89.5 ( 相对值 ) (5) 杆端弯矩及弯矩图 m kn m kn i F m kn m kn F E 图示刚性承台, 各杆 E 相同, 试用位移法求各杆轴力 图 6- 解 : 取 5 为基本未知量, 以受压为正 E N i i 5 i=,,,,5

115 E Ni E E i 500 由几何关系可得 N 0.5N E 50kN, N 5.5N 5 75kN, N 5 5 代入 0.5N 0.5N 5 00kN, N.5N 000 中可得 E 5 5kN, N E.5 50kN( 受压 ) 试作图示刚架的 FQ FN 图 解 : 如图 () 所示 图 6-

116 kN m D kN m 6 6 D 90kN m 6 从而可作 图, 见 (b) 所示 由 图可得 F Q 图, 见图 (c) 所示 由 图可得 F N 图, 见图 (d) 所示 6-5. 试利用对称, 作图示刚架的 图

117 解 : 取 () 中所示 / 结构计算 8i DE D q i 0 q q i q 96i q 可作 图, 见图 (b) 所示 图 试作图示刚架的 图,= 常数 解 :() 取如图 () 所示的半边结构 () 取位移法基本体系, 见图 (b) 所示 () 在 单独作用下 k i, k i, k i 8 () 在 单独作用下 k k i, k i, k i (5) 在 单独作用下

118 5 8,, i k i k i k k (6) 在单独荷载作用下 : F m kn F m kn F (7) 解方程组 i i i i i i i i i 可得 : i 7i 9, 7 6 m kn m kn m kn m kn D

119 (8) 从而可作出 图, 见 (g) 所示 图 设支座 下沉 0.5cm 试作图示刚架的 图 图 6-7 6

120 解 : i 6 i i 由 kN m 7.7kN m 试作图示弹性支座上刚架的弯矩图 I 为杆的线刚度, 弹性支座刚度 k / i 图 6-8 解 :() 取基本体系, 见 () 图所示 () 在 单独作用下 i k i, k 7

121 () 在 单独作用下 i i 8i k, k k () 在单独荷载作用下 : F q, F q (5) 解方程组 : i i q i 8i q 可得 : 从而可作出 图, 见图 (d) 所示 i q, 7 8i q 8

122 . 自测题 6-. 用位移法计算图示结构并作 图, 各杆线刚度均为 i, 各杆长均为 q D 答 : ( q / 6 ) 6-. 用位移法计算图示结构并作 图, 横梁刚度 E, 两柱线刚度 i 相 同 h q h 答 : 用位移法计算图示结构并作 图 E I = 常数 q / / 9

123 答 : p / 69/0 5 0 /0 /0 6-. 求对应的荷载集度 q 图示结构横梁刚度无限大 已知柱顶的水平位移为 5 /( ) q 8m m m 答 : q kn/m 6-5. 用位移法计算图示结构并作 图 = 常数 q 答 : Z q Z = q (8 i ) 9 q 8 q 9 q q 9 图 q 0

124 6-6. 用位移法计算图示结构并作 图, = 常数 0kN m m m 答 : 0kN Z 0/ 0/ 0/ 0/ Z 基本体系 图 (kn. m) 6-7. 用位移法计算图示结构并作 图 kn/m i kn i i 6m 6m m 答 : kn/m Z kn 58/7 6 6/7 0/7 基本体系 Z 图 ( knm )

125 6-8. 用位移法计算图示结构并作 图 q i i i i i 答 : q Z Z 用位移法计算图示结构并作 图 各杆 = 常数,q = 0kN/m q D E 6m 6m 6m 答 : D 60 E 图 kn m. ( )

126 6-0. 用位移法计算图示结构并作 图 = 常数 / / / / / / 答 : 5 / Z Z 7 / 基本体系 5 8 图 ( kn. m ) 6-. 用位移法计算图示结构并作 图,E = 常数 I 0 kn I = I m I I m m

127 答 : 图 (kn. m) 6-. 用位移法计算图示结构并作 图 = 常数 q q 答 : 8 8 图 q

128 6-. 用位移法计算图示刚架并作 图 已知各横梁, 各柱 = 常 数 D E h h h 答 : / / / 图 ( ) 6-. 用位移法作图示结构 图 并求 杆的轴力, E I = 常数 E = 5

129 答 : /5 /0 / 用位移法计算图示结构并作出 图 0KN/m m m 6m 答 : 图 (kn. m) 6

130 6-6. 用位移法计算图示结构并作 图 = 常数 q.5 答 : ( q / ) 6-7. 用位移法计算图示结构并作 图 设各柱相对线刚度为, 其余各杆为 60kN m m m 答 : Z Z 5kN 基本体系 图 ( kn. m )

131 6-8. 用位移法计算图示结构并作 图 q q 答 : q 6 q 7 q 9 图 (kn. m) 6-9. 图示对称刚架制造时 杆件短了 Δ, 用位移法作 图 = 常数 答 : 图 ( i / ) 对称 8

132 6-0. 图示结构 为弹性支座, 弹簧刚度 k i /, 用位移法计算, 并作 图 q i i k 答 : k q i / k 8 图 9

133 第七章渐进法及其他算法简述 ( 一 ) 本章小结 一. 力矩分配法. 应用范围 : 无结点线位移的刚架和连续梁. 正负号规定 : 杆端弯矩 结点力偶荷载 转动约束中的约束力矩均以顺时针 为正. 基本参数 () 转动刚度 S 使杆件近端发生单位转角时, 在该端需要施加的力矩 转动刚度的大小与杆件 的线刚度和远端支承情况有关 () 传递系数 当杆件近端发生转角时, 远端弯矩与近端弯矩的比值 传递系数的大小与远端 支承情况有关 表 7- 等截面直杆的转动刚度和传递系数 远端支承 转动刚度 S 传递系数 固定 i 0.5 铰支 i 0 滑动 i - 自由或轴向支杆 0 0 () 力矩分配系数 力矩分配系数表示将作用在结点上的外力矩分配到汇交于该结点各杆端的弯矩 分配比率, 按下式计算 :. 力矩分配法的基本计算步骤 S j j S 第一, 加入刚臂, 锁住结点, 求刚臂内的约束力偶矩 第二, 取消刚臂, 放松结点, 即在结点处加入反号的约束力偶矩, 将反号的约 束力偶矩按力矩分配系数分配给各杆近端得分配弯矩, 然后按传递系数将分配 弯矩传递到远端得传递弯矩 第三, 叠加固端弯矩 分配弯矩 传递弯矩得到原结构各杆端弯矩 二 无剪力分配法. 无剪力分配法的适用条件 : 刚架中除杆端无相对线位移的杆件外, 其余杆件 都是剪力静定杆 0

134 . 剪力静定杆的固端弯矩 转动刚度和传递系数与一端刚接, 另一端滑动的杆件相同. 无剪力分配法除了剪力静定杆的固端弯矩 转动刚度 传递系数有所不同外, 其计算过程与力矩分配法相同 三 力矩分配法与位移法联合应用对有刚结点转角位移和线位移的刚架, 仅把线位移选为位移法未知量, 计算位移法方程中的系数 常数所对应状态是无侧移刚架, 用力矩分配法计算 从而减少了位移法未知量个数和方程的阶数 四 近似法根据刚架结构的特点, 在结构初步设计 验算时常采用的实用 简洁的方法 因为弯矩引起的横截面正应力线性分布, 变形较大, 可忽略剪力 轴力引起的变形 在仅有竖向荷载作用下, 可忽略侧移, 用位移法 力矩分配法计算就简洁很多 在仅有侧向荷载作用下, 忽略刚结点转角位移, 位移法基本未知量减少很多, 具体计算可采用反弯点法, 计算精度很高, 在抗震设计等计算中经常采用 五 超静定力的影响线超静定结构在承受移动荷载作用时, 同样要使用影响线工具 定义与方法的概念与静定梁相同, 只是计算时要采用力法 位移法或力矩分配法等, 影响线图形一般是曲线

135 7-. 什么称为转动刚度? ( 二 ) 思考题 答 : 转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力 以 S 表示, 它在数值上等于使杆端 产生单位转角时需要施加的力矩 7-. 力矩分配法跟位移法有什么不同? 答 : 力矩分配法法与基本体系求解的位移法都是先锁住刚结点角位移, 求得在 外界因素影响下的固端弯矩 m, 然后放松 使结点转到真实角位移 Zk, 求得其 所产生的杆端弯矩 z, 最后利用叠加原理, 求得各杆端弯矩, 即 m Z 这是两者相同之处 两者不同在于如何求得 z 位移法是同时放松被锁住的刚结点, 同时转到真实 角位移 Zk, 求得 Zk 产生的杆端弯矩 7- 无剪力分配法的应用条件是什么? 答 : 刚架中除杆端无相对线位移的杆件外, 其余杆件都是剪力静定杆件 7- 无剪力分配法的计算步骤是什么? 答 : 计算过程分两步 : 第一步是锁住结点 ( 只阻止结点的角位移, 但不阻止线 位移 ), 求各杆的固端弯矩 第二步是放松结点 ( 结点产生角位移, 同时也产生 线位移 ), 求各杆的分配弯矩和传递弯矩 将两步所得的结果叠加, 即得出原刚 架的杆端弯矩 7-5 在多层刚架的分层计算法和反弯点法中, 各引入了哪些近似假设? 它们可应 用于什么情况? 答 : 分层计算法的近似假设 : 第一, 忽略侧移的影响, 用力矩分配法计算 第 二, 忽略每层梁的竖向荷载对其他各层的影响, 把多层刚架分解成一层一层地 单独计算 反弯点法的基本假设是把刚架中的横梁简化为刚性梁 7-6 超静定影响线的作法有哪些? 答 : 超静定力的影响线有两种作法 : 一种作法是用力法直接求出影响系数 ; 另 一种作法是利用超静定力影响线与挠度图间的比拟关系 7-8 试比较作超静定内力影响线与机动法作静定内力影响线? 答 : 两者虽然相似, 但它们之间也有区别 : 对静定内力来讲, 位移图示几何可 变体系的位移图, 因而是折线图形 对超静定内力来讲, 位移图是几何不变体 系的挠度图, 因而是曲线图形

136 ( 三 ) 习题. 经典例题详解 例题. 试用力矩分配法计算图 7- 所示连续梁, 并绘制 图 图 7- 图 7- 解 : 对于图 7- 所示的静定伸臂 DE 部分, 可将其撤去, 并将作用于该部分的 荷载以 00kN m 的外力矩与 50kN 的向下作用的集中力移置至结点 D, 如图 7- 所示 () 计算力矩分配系数 i i,,, D i i 5 5 i i () 计算固端弯矩 F 06 F 60 kn m, 60kN m F 008 F 00 kn m, 00kN m 8 F D kn m () 进行弯矩分配和传递, 分配传递过程如表 7- 所示 () 计算最后杆端弯矩 绘制 图如图 7- 所示

137 表 7- /5 /5 / / F 分配传递 图 7- ( kn m) 例题 图 7- 所示结构, 用力矩分配法已求得杆端弯矩 kn m, 求作用 在节点 上的外力偶矩, 并作刚架的 图 图 7- 解 : 因为 i /( i i i) /8, 0.5, /8, 又因为 D kn m, 所以 8kN m 然后进行单结点的力 矩分配与传递得到的杆端弯矩, 最后弯矩如图 7-5

138 图 7-5 例题 用力矩分配法计算图 7-6 所示结构的 图 图 7-6 解 : 结构为对称结构, 故取一半结构如图 7-7 所示, 计算过程如表 7-5

139 表 7- 图 7-7 杆端 E E S 6 μ / / / - F 点分配传递 由计算结构得到结构弯矩图, 再由对称性得到结构 图如图 所示 图 7-8 图 7-9 6

140 例题 试做出图 7-0 所示刚架的 图 解 : 用力矩分配法计算, S i, S i, SD id 0.5, 0.7, D 0.9, D 图 7-0 F kn m, 60kN m 8 8 分配传递过程见表 7- 表 7- 结点 D 杆端 D D 分配系数 固端力矩 分配传递 最后力矩 作弯矩图如图 7- 所示 : 图 7- 图 (kn m) 7

141 例题 5. 试作 7- 图示刚架的弯矩图解 : 图 7- 对称结构, 将荷载分解为正对称和反对称的和, 如解答图 7- 图 7-, 正对称部分只有 杆轴力 0kN, 反对称部分, 取半边结构如解答图 7-5 E 长 6m 图 7- 图 7- 图 7-8

142 可用无剪力分配法计算 图 7-5 f f kn m S i, SE ie , 0.857, F 分配传递.9 kn m, 5.7 kn m,.9kn m / / / E 最后力矩 5.7 kn m, 5.7 kn m,.9kn m E 作弯矩图如图 7-6 (b) 可用无剪力分配法计算 图 7-6 图 (kn m) f 0 0 kn m 8 S i, S i 0., 0.8, 分配传递 9

143 kn m, 6 kn m, N m / / / E 最后力矩 kn m, kn m, kn m E 作弯矩图如图 7-7. 自测题 图 7-7 图 (kn m) 7-. 用力矩分配法作图 7-8 示结构的 图 已知 : kn m, 0 5 / 7, / 7, kn 0 m m 图 7-8 答 : 8.5 (kn m) 0

144 7-. 图 7-9 所所示结构, 用力矩分配法计算连续梁并求支座 的反力 0 kn/m 50 kn. m 0 kn D 6 m m m 答 :R=8kN 图 如图 7-0 所示结构, 用力矩分配法计算图示结构并作 图 = 常数 I D I I 图 7-0 答 : D ( 下侧受拉 ) 如图 7- 所示结构, 用力矩分配法作图示梁的弯矩图 为常数 ( 计算 两轮 ) 0kN kn/m 5kN D E m m 8 m 6 m m 图 7- 答 :. 67kNm ( 下侧受拉 ),. 67kNm ( 上侧受拉 ), D. 6kNm( 上侧受拉 ) 7-5. 如图 7- 所示结构, 用力矩分配法作图示梁的弯矩图 为常数 ( 计算 两轮 )

145 6kN/m 0kN D E 8 m 8 m 6 m m 图 7- 答 :. 6kNm( 下侧受拉 ),. 5kNm ( 上侧受拉 ), D. 97kNm ( 上侧受拉 ) 7-6. 如图 7- 所示结构, 用力矩分配作图示连续粱的 图 ( 计算两轮 ) 56kN 6kN/m m m 8m 6m 答 : 图 图 ( kn. m) 7-7. 求图 7- 所示结构的力矩分配系数和固端弯矩 E I = 常数 00 kn/m kn 0 D 0 kn. m m m m m 图 7-

146 答 : G (kn m) 7-8. 已知 : q 0kN/m, 0., 0. 8, 0. 5, 0. 5 用力矩 分配法作图 7-5 所示结构的 图 D D E q E m 图 7-5 答 : 图 ( kn. m )

147 7-9. 已知 : q 0 kn / m, 0 00 kn m, 0., 05., D 05. 用力矩分配法作图 7-6 所示结构的 图 q 0 D 6m 答 : 5 图 图 ( kn. m ) 7-0. 求图 7-7 所示结构的力矩分配系数和固端弯矩 kn/m.5 kn m.5m.5m D m 图 7-7 F F 答 : 00., 069., 078., 8kN m, 6 kn m, D F F F D D 0kN m, 0, 0, F 用力矩分配法作图 7-8 所示结构 图 已知 : = 0 kn, q =.5 kn/m, 各杆 相同, 杆长均为 m q 图 7-8 D

148 答 : 图 ( kn. m) 7-. 用力矩分配法作图 7-9 所示结构的 图 已知 : = 0 kn, q = kn /m, 横梁抗弯刚度为, 柱抗弯刚度为 q D 6m m m m 答 : 图 ( knm ) 7-. 用力矩分配法计算并作图 7-0 所示结构 图 = 常数 8 kn 6 m I I I D m m m 图 7-0 5

149 答 :. 5kNm( 上侧受拉 ),. 5kNm ( 上侧受拉 ) D 7-. 求图 7- 所示结构的力矩分配系数和固端弯矩 已知 q =0 kn/m, 各杆 相同 D q.5m m m m 图 7- 答 : 5 5, 0 5, D 8 5, F F D = 0 kn m,- F = = 0 kn m 7-5. 用力矩分配法作图 7- 所示对称刚架的 图 = 常数 答 : 图 7-6

150 7-6. 用力矩分配法作图 7- 所示刚架的弯矩图 答 : 对称性利用 图 7- 分配系数 固端弯矩 D F 0kN m D 图 7-7. 用力矩分配法计算图 7- 所示刚架, 并作 图 ( 计算二轮 ) 图 7-7

151 答 : 分配系数 : 固端弯矩和结点最初不平衡弯矩 : 弯矩分配, 传递过程 ( 略 ) 作 图 7-8. 用力矩分配法作图 7-5 所示对称结构的 图 已知 =0kN,,= 常 数 答 : 取半结构 图 7-5 8

152 7-9. 用力矩分配法作图 7-6 所示结构的 图 (= 常数 ) 答 : 分解荷载, 取半结构 图 7-6 9

153 第八章结构动力计算基础 ( 一 ) 本章小结 一 结构动力计算的特点首先惯性力的出现是动力计算的基本特征, 运动方程就是包含惯性力的平衡方程 ( 刚度法 ) 或包含惯性力影响的结构位移 ( 柔度法 ) 单位力引起的位移是柔度系数 ( 如力法基本方程中的系数 ), 产生单位位移所需要的力是刚度系数 ( 如位移法方程中的系数 ) 使得体系产生的惯性力不能忽略的影响因素, 就是动力荷载 最基本的是简谐荷载 要描述惯性力, 就得知道质量运动的方向, 独立运动方向的数目就是质量的自由度 本章主要的方法是质量集中法 描述结构动力反应的参数主要是自振圆频率 振幅 主阵型 动力系数 阻尼比等 二 单自由度体系的振动首先建立运动方程 两种方法 : 质量 ( 在其运动方向 ) 的受力平衡 刚度法 ; 结构 ( 在质量运动方向 ) 产生的位移 柔度法 按自由振动 受迫振动 阻尼的影响的顺序, 逐步增加考虑的力的因素 自由振动是基础, 反应结构的基本性质 主要掌握运动方程的建立方法, 自振频率的认识计算, 然后是振幅与初始条件的关系等 有外部动力荷载就受迫振动, 平稳阶段的动力反应主要由动力系数来体现 动力系数是最大动位移与最大静位移的比, 也反映了结构内力的最大关系 简谐荷载下的动力系数只与频率相关 阻尼的存在, 会影响振动的频率和振幅 三 两个自由度体系的振动两种方法建立运动方程 使用哪种方法, 主要看结构的特点 如静定结构的位移容易计算, 采用柔度法比较简洁 ; 受弯杆件的杆端力与位移的关系已知时, 用刚度法简单 先是自由振动, 主要内容同样是建立运动方程的方法 自振频率与主阵型的计算 需要注意的是主阵型的正交性的应用 受迫振动的反应, 要分别看平稳阶段两个方向位移和内力的反应, 没有统一的动力系数 50

154 ( 二 ) 思考题 8-. 结构动力计算与精力计算的主要区别是什么? 答 : 主要区别表现在 :() 在动力分析中要计入惯性力, 静力分析中无惯性力 ;() 在动力分析中, 结构的内力 位移等是时间的函数, 静力分析中则是不随时间变化的量 ;() 动力分析方法常与荷载类型有关, 而静力分析方法一般与荷载类型无关 8- 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别? 答 : 二者的区别是 : 几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目, 分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动 结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目, 分析的目的是要确定结构振动形状 8- 采用集中质量法 广义位移法 ( 坐标法 ) 和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系, 它们采用的手法有何不同? 答 : 集中质量法 : 将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上, 认为其他地方没有质量 质量集中后, 结构杆件仍具有可变形性质, 称为 无重杆 广义坐标法 : 在数学中常采用级数展开法求解微分方程, 在结构动力分析中, 也可采用相同的方法求解, 这就是广义坐标法的理论依据 所假设的形状曲线数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数 考虑了质点间均匀分布质量的影响 ( 形状函数 ), 一般来说, 对于一个给定自由度数目的动力分析, 用理想化的形状函数法比用集中质量法更为精确 有限元法 : 有限元法可以看成是广义坐标法的一种特殊的应用 一般的广义坐标中, 广义坐标是形函数的幅值, 有时没有明确的物理意义, 并且在广义坐标中, 形状函数是针对整个结构定义的 而有限元法则采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标, 且形函数是定义在分片区域的 在有限元分析中, 形函数被称为插值函数 综上所述, 有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的特点 :() 与广义坐标法相似, 有限元法采用了形函数的概念 但不同于广义坐标法在整体结构上插值 ( 即定义形函数 ), 而是采用了分片的插值, 因此形函数的表达式 ( 形状 ) 可以相对简单 () 与集中质量法相比, 有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量, 具有直接 直观的优点, 这与集中质量法相同 8-. 为什么说结构的自振频率是结构的重要动力特征, 它与哪些量有关, 怎样修改它? 5

155 答 : 动荷载 ( 或初位移 初速度 ) 确定后, 结构的动力响应由结构的自振频率控制 从计算公式看, 自振频率和质量与刚度有关 质量与刚度确定后自振频率就确定了, 不随外部作用而改变, 是体系固有的属性 为了减小动力响应一般要调整结构的周期 ( 自振频率 ), 只能通过改变体系的质量 刚度来达到 总的来说增加质量将使自振频率降低, 而增加刚度将使自振频率增加 8-5 什么叫动力系数, 动力系数大小与哪些因素有关? 单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样? 答 : 动力放大系数是指动荷载引起的响应幅值与动荷载幅值作为静荷载所引起的结构静响应之比值 简谐荷载下的动力放大系数与频率比 阻尼比有关 当惯性力与动荷载作用线重合时, 位移动力系数与内力动力系数相等 ; 否则不相等 原因是 : 当把动荷载换成作用于质量的等效荷载时, 引起的质量位移相等, 但内力并不等效, 根据动力系数的概念可知不会相等 8-6 什么叫临界阻尼? 什么叫阻尼比? 怎样量测体系振动过程中的阻尼比? 答 : 并不是所有体系都能发生自由振动的, 当体系中的阻尼大到一定程度时, 体系在初位移和初速度作用下并不产生振动, 将这时的体系阻尼系数称为临界阻尼系数, 其值为 mω 当阻尼系数小于该值时( 称为小阻尼 ), 可以发生自由振动 阻尼比是表示体系中阻尼大小的一个量, 它为体系中实际阻尼系数与临界阻尼系数之比 若阻尼比为 0.05, 则意味着体系阻尼是临界阻尼的 5% 阻尼比可通过实测获得, 方法有多种, 振幅法是其中之一 8-7 什么是振型, 它与哪些量有关? 答 : 振型是多自由度体系所固有的属性, 是体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状 它仅与体系的质量和刚度的大小 分布有关, 与外界激励无关 8-8 什么叫动力系数, 动力系数大小与哪些因素有关? 单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样? 答 : 动力放大系数是指动荷载引起的响应幅值与动荷载幅值作为静荷载所引起的结构静响应之比值 简谐荷载下的动力放大系数与频率比 阻尼比有关 当惯性力与动荷载作用线重合时, 位移动力系数与内力动力系数相等 ; 否则不相等 原因是 : 当把动荷载换成作用于质量的等效荷载时, 引起的质量位移相等, 但内力并不等效, 根据动力系数的概念可知不会相等 5

156 ( 三 ) 习题. 经典题型详解 例题. 计算图 8- 所示结构的频率和周期 图 8- 解 : 对于简支梁跨中质量的竖向振动来说, 柔度系数为 8 T m m 8 8 m m 例题. 求图示结构的自振圆频率 图 8- 解法 : 求 K /h kh h k h 5

157 k m 解法. 求 mh 图 8- h h h m mh 例题. 已知 m 00kg, 9005N m, 80s 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩 k 8 /, 0 kn, 解 :() 求 图 8-8 k s m 5m () 求 5

158 .55 () 求 y mx mx ymx F F m 5 mx Fp kn m 例题. 试求如图 8-5 所示刚架的自振频率 已知 :m = m = m L m m 图 8-5 解 : 图 8-5 所示体系有两个质点, 但只有一个自由度 两个质点位移不一致, 惯性力不共线 设 : 质点 m 的位移幅值为 ; 质点 m 的位移幅值则为, 方向与斜杆垂 直 将惯性力幅值加在质点上并画出相应的弯矩图如图 8-6, 画出单位力作用的弯矩图如图

159 / / m m m 图 8-6 图 图 8-7 图 m m m m 56

160 例题 5. 图 8-8 所示一单层建筑物的计算简图 屋盖系统和柱子的质量均集中在 Fp 9.8kN 横梁处共计为 m, 加一水平力, 测得侧移 0 0.5cm, 然后突然卸载使结构发生水平自由振动 测得周期 T.5s及一个周期后的侧移 0.cm 求结构的阻尼比 和阻尼系数 c m 9.8kN = 图 8-8 yk 0.5 解 : n n 0.05 y 0. k.89s T k / N m m k c m. N s / cm.89 例题 6. 试求如图 8-9 所示梁的自振频率和主振型, 梁的 已知 m m 图

161 图 图 8- 解 :() 计算频率,, m m () 振型 Y Y Y 0.77 Y 图 8- 第一阵型图.6 图 8- 第二阵型图 58

162 例题 7. 求图 8- 所示结构的自振频率和主振型 m=m m=m EzI 图 8- 解 :) 作 如图 所示, 图乘求系数 图 8-5 图 / 图 8-6 图 ( ) ( ) ( ) 6 59

163 ( ) ) 求自振频率 m m m m m 6 ( ) mm ( ) ( ) m m 8 m ( ) ( ) 8 6 ( ) mm ( ) ( ) m m 8 m ( ) ( ) m m ) 求主振型 ( m m m m) m 0.5 m Y m Y m m.56 m 0.5 m Y m Y m m ) 画主振型图 m m 图 8-7 第一主阵型 60

164 m m.68. 自测题 图 8-8 第二主阵型 8-. 图 8-9 所示梁自重不计, 求自振频率 W / 图 8-9 答 : 9g / 5W 8-. 求图 8-0 所示体系的自振频率 m 图 8-0 / 8, 6 /( m 8-. 求图 8- 所示结构的自振频率 ) 6

165 m = 常数 图 8- 答 :. 77 m m 8-. 求图 8- 所示体系的自振频率 常数, 杆长均为 m 图 8- 答 : 5 /, /(5m ) 8-5. 如图 8- 所示梁自重不计, W, 00kN 0 kn m W m m, 求自振圆频率 答 : 5.s 图 8-6

166 8-6. 求图 8- 所示体系的自振频率 各杆 = 常数 m 图 8- 答 :.889 /( m ) 8-7. 图 8-5 所示梁自重不计, 杆件无弯曲变形, 弹性支座刚度为 k, 求自振频率 W oo / / k 图 8-5 答 : kg /W 8-8. 图 8-6 所示排架重量 W 集中于横梁上, 横梁 E, 求自振周期 W h 图 8-6 答 : T Wh / 6g 6

167 8-9. 图 8-7 所示刚架横梁 且重量 W 集中于横梁上 求自振周期 T W h 图 8-7 答 : T Wh / 8g 8-0. 忽略质点 m 的水平位移, 求图 8-8 所示桁架竖向振动时的自振频率 各 杆 E = 常数 m m m m 图 8-8 答 : / m E /0. 5m 8- 如图 8-9 所示体系 0 5 kn m, 0 s -, k W 0kN 求质点处最大动位移和最大动弯矩 5 N / m, 0 N 0 5 sin t W k m m 图 8-9 答 : / m / m( / / k) 6. s / ( / ). 5 6

168 8- 图 8-0 所示体系 E 0 kn / cm, 0 s, 5 kn, W 0 kn, I 800 cm 质点处最大动位移和最大动弯矩 求 sin t W m m 图 ( /8 m / ).5s, /( / ).7 答 :, Y Ystp.09cm Dmx stp x 8-. 图 8- 所示体系受动力荷载作用, 不考虑阻尼, 杆重不计, 求发生共振 时干扰力的频率 sin( t ) m = oo / 图 8- 答 : 7 /( m ) 8-. 如图 8- 所示, 已知 : m t, 8kN, 干扰力转速为 50r/min, 不计杆 件的质量, 60 kn m 求质点的最大动力位移 sin t m m m 图 8-65

169 - - 答 : 8.9s, 5.7s,. 9, y.09/0 m mx 8-5. 图 8- 所示体系中, W 0kN, 质点所在点竖向柔度. 97, 马达动 荷载 ( t) knsin( t), 马达转速 n 600 r / min 求质点振幅与最大位移 ( t) W - - 答 : 7.50s, 6.8s, 图 8- ;. 89 ; F. 7mm; y mx ( w F) 5.8mm 8-6. 图 8- 所示体系中,W 8kN, 自振频率 00s, 电机荷载 (t) = 5kN sin(t), 电机转速 n = 550r/min 求梁的最大与最小弯矩图 ( t) m W 图 8- m - 答 : s,. 96, F 7. 8, D mx st T D

170 8-7. 求图 8-5 所示体系支座弯矩 的最大值 荷载 ( t) 0 sin t, 0. m ( t) / / 图 8-5 答 :, k, m 运动方程 : m y ky k, y y 5 6m 特征解 y * : y * 50 6m 0 sin t sin t m * 0 my ( )sin t sin t, 0.56 mx 图 8-6 所示体系分布质量不计, = 常数 求自振频率 答 : / m. 0. / m m 图 ( / m ),.87 ( / m T 8-9. 图 8-7 所示简支梁 = 常数, 梁重不计, m m, m m, 已求出柔度 系数 7 / 8 求自振频率及主振型 m m ) 图

171 答 : / m / ( / m ),.6886 ( / m Y Y / 0.95, Y Y /.097 / / 8-0. 求图 8-8 所示梁的自振频率及主振型, 并画主振型图 杆件分布质量不计 T ) m = 常数 m 图 8-8 答 : /, / 6,.095 ( / m ),. ( / m ) / m 5/ 6 / / T, Y / Y /, Y / Y / ( ) 图 图 第一主振型 第二主振型 8-. 图 8-9 所示刚架杆自重不计, 各杆 = 常数 求自振频率 m m m m m 图 8-9 答 : 8,, m 8.55, , m.8 m 68

172 8-. 求图 8-0 所示体系的自振频率及主振型 = 常数 m m / / / / 答 : 图 / 8, /, 5 / / m, 9.05 / m , ( 分 ) T 766. ( 分 ) T 8-. 求图 8- 所示体系的自振频率及相应主振型 = 常数 m m / / / / 图 8- / 答 : 对称 : 5 /,.9( / ), m 反对称 : /, / 8, / 8, 0.5( / m 7.69( / m ) ), / /, Y T, Y 0 T,, Y T 8-. 求图 8- 所示体系的自振频率 已知 : m m m = 常数 m m.5m.5m m m m 图 8-69

173 答 :.5 /( ), 5.88m /( ), 0.89m /( ), 0.9 /( ),.6875 /( ), ( ) / m,.7708 ( / m), 8-5. 图 8- 所示对称刚架质量集中于刚性横粱上, 已知 :m=m,m=m 各横梁的层间侧移刚度均为 k 求自振频率及主振型 m m 答 : 图 8- k k, k k, k k k k. 808 k, 0. 68, 50. m 0. 9 m k m Y Y Y, 78 Y 求图 8- 所示体系的自振频率和主振型 = 常数 m 0 oo m 0 oo 图 8- 答 : k 8 /, k /, k 99 / 8, 69., 55. m m 70

174 8-7. 绘出图 8-5 所示体系的最大动力弯矩图 已知 : 动荷载幅值 0kN, 0. 9s, 质量 m 500kg, m, Nm sin t m sin t m 答 : 反对称结构 : 8, 5. kn m, 左侧受拉 6 图 8-5. s, 576., 两竖杆下端动弯矩为 7