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诵段
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1 第 5 章力法教学提示 : 学习力法的基本原理, 首先应深刻理解将超静定问题转化为静定问题解决的基本思想, 理解基本体系的桥梁作用这是掌握力法的基础了解超静定结构与静定结构在受力特性上的异同点教学要求 : 充分理解和掌握力法的基本原理能熟练确定超静定次数, 理解力法基本方程的物理意义, 能熟练运用力法计算简单超静定结构 ( 梁刚架桁架排架组合结构和拱结构 ) 在荷载作用力下产生的内力 ; 会计算超静定结构在温度改变和支座移动影响下的内力会计算超静定结构的位移 ; 了解超静定结构内力图的校核方法, 及超静定结构的力学特性 5. 超静定结构的概念和超静定次数 5.. 超静定结构的概念在前面各章节中, 介绍了静定结构的内力及变形的计算从受力分析角度看, 静定结构的支座反力及内力可根据静力平衡条件全部确定 ; 从几何构造分析角度看, 静定结构为几何不变体系且无多余约束, 如图 5.(a) 所示在工程应用中还有另一类结构, 从受力分析角度看, 其支座反力及内力通过平衡条件无法完全确定 ; 从几何构造分析角度看, 结构为几何不变体系, 但体系内存在多余约束, 如图 5.(b) 所示结构我们把这类结构称之为超静定结构... 内力是超静定的且结构内有多余约束是超静定结构区别于静定结构的基本特征 (a) 静定梁结构 (b) 超静定梁结构图 5. 在工程应用中, 超静定结构大致分为以下几种的类型 () 超静定梁结构分为超静定单跨梁结构和超静定多跨连续梁结构, 如图 5. 和图 5. 所示图 5. 超静定梁结构

2 86 结构力学简明教程 () 超静定刚架 ( 图 5.) () 超静定桁架 ( 图 5.4) 图 5. 超静定刚架图 5.4 超静定桁架 (4) 超静定组合结构 ( 图 5.5) 图 5.5 超静定组合结构 (5) 超静定拱结构 ( 图 5.6) (a) 无铰拱 (b) 二铰拱 (c) 拉杆拱图超静定次数超静定结构中多余约束的个数, 称为超静定次数确定超静定次数最直接的方法为 : 去除多余约束法去除结构中的多余约束使原超静定结构变成一个几何不变且无多余约束的体系此时, 去除的多余约束的个数即为原结构的超静定次数去除多余约束的方法以几何组成分析的基本规则为基础, 大致有下列几种方法 () 去除或切断一根链杆, 相当于去除一个约束 () 去除一个固定铰支座或去除一个单铰, 相当于去除两个约束 () 去除一个固定支座或切断一根梁式杆, 相当于去除个约束 (4) 将刚性联结变为单铰联结, 相当于去除一个约束对同一超静定结构, 去除多余约束的方式是多种多样的, 相应得到的静定结构的形式也不相同但不论何种方法, 所得到的超静定次数是相同的, 如图 5.7 所示 86

3 第 5 章力法 87 去除一根链杆图 5.7 除去多余约束的方式去除多余约束时, 应特别注意以下两点 () 所去除的约束必须是多余的, 去除约束后所得到的结构不能为几何可变体系如图 5.7 中的结构, 如错误去掉该结构左端的水平约束链杆, 则结构变为几何可变体系 () 必须去除结构内所有的多余约束在图 5.8(a) 中, 如果只去除一根链杆, 如图 5.8(b) 所示, 其闭合框结构中, 仍含有个多余约束因此, 必须断开闭合框的刚性连接, 如图 5.8(c) 所示, 才能去除全部的多余约束 (a) (b) (c) 图力法的基本方程超静定结构的内力计算最基本的两种方法为 : 力法和位移法此外还有派生出的一些方法, 如力矩分配法等本章中介绍力法的基本原理 5.. 力法的基本方程在采用力法解超静定问题时, 我们不是孤立地研究超静定问题, 而是利用静定结构与超静定结构之间的联系, 从中找到由静定问题过渡到超静定问题的途径, 从已知的静定结构问题过渡到未知的超静定结构问题下面以一次超静定梁为例, 说明力法的基本原理图 5.9(a) 所示一次超静定梁结构, 杆长为,= 常数去多余约束后, 并代之以相应的多余约束力, 结构形式变为图 5.9(b) 所示的悬臂梁, 承受均布荷载 q 和多余约束力的共同作用 87

4 88 结构力学简明教程 q q (a) 一次超静定梁结构 (b) 基本体系图 5.9 这种去除多余约束并以相应多余约束力来代替所得到的静定结构称为力法的基本... 体系.. 基本体系本身既为静定结构, 又可代表原超静定结构的受力特点, 它是从静定结构过渡到超静定结构的桥梁在基本体系中, 如果多余约束力的大小可以确定, 则基本体系的内力可解此时, 多余约束力的求解成为解超静定问题的关键, 称之为力法的基本未知量... 力法基本未知量的求解, 显然已不能利用平衡条件, 因此, 必须增加补充条件变形协调考虑原结构与基本体系在变形上的异同点 : 在原结构中为被动力, 是固定值, 与相应的位移也是唯一确定的, 在本例题中为零在基本体系中, 为主动力, 大小是可变的, 相应的变形也是不确定的当值过大时, 点上翘 ; 如果过小, 点下垂只有当点的变形与原结构的变形相同时, 基本体系中的主动力大小才与原结构中的被动力相等, 这时基本体系才能真正转化为原来的超静定结构因此, 基本体系转化为原超静定结构的条件是 : 基本体系沿多余约束力方向的位移应与原超静定结构相应的位移相同, 即 : = 0 (5-) 这个条件就是计算力法基本未知量时的变形协调方程在线性体系条件下, 基本体系沿基本未知量方向的位移可利用叠加原理进行展开为基本体系在荷载 q 和单独作用下的两种受力状态, 如图 5.0 所示因此, 变形条件可表示为 : = + = 0 (5-) 其中, 基本结构在荷载和基本未知量共同作用下沿方向的总位移 ; 基本结构在荷载单独作用下沿方向产生的位移 ; 基本体系在基本未知量单独作用下沿方向产生的位移根据叠加原理, 位移与力成正比, 将其比例系数用 δ ( 在 = 单独作用下, 基本结构沿方向产生的位移 ) 来表示, 可写成 : = δ (5-) 将式 (5-) 代入式 (5-), 可得 : 88

5 第 5 章力法 89 δ + = 0 (5-4) 上式即为一次超静定结构的力法基本方程... 方程中的系数 δ 和自由项均为基本结构的位移在第 4 章中, 我们已经学习了其计算方法单位荷载法作出基本结构在荷载作用下的弯矩图 M 和单位力 = 作用下的弯矩图 M, 应用图乘法, 可得 : M δ = ds = 4 MM q = ds = 8 代入式 (5-4) 求解, 可得 : = = δ q 8 所得为正值时, 表示基本未知量的方向与假设方向相同 ; 如为负值, 则方向相反基本未知量确定后, 基本体系的内力状态即可利用平衡方程求解, 作出内力图由于已经作出 M 和 M 图, 所以利用叠加原理绘制原超静定结构的内力图更为方便快捷 M = M + M 同理, 可得剪力图 : Q = Q + Q q 8 q 8 q q q M M M = 图 5.0 力法分析过程 5.. 典型方程上面以一次超静定问题为例介绍了力法的基本原理在力法解超静定问题中, 力法的基本未知量多余约束力的求解是解决超静定问题的关键对于多次超静定问题, 力法的基本原理也完全相同 89

6 90 结构力学简明教程如图 5.(a) 所示次超静定结构, 杆长均为选取支座点处的个多余约束力作为基本未知量及, 则力法的基本体系如图 5.(b) 所示 (a) 次超静定结构 (b) 基本体系图 5. 此时, 变形协调条件为基本体系在点处, 沿, 方向的位移与原结构相同, 均为零因此, 可写成 : = 0 = 0 = 0 (5-5) 其中, i 为基本体系沿 i 方向的位移 (i=,,) 应用叠加原理, 将式 (5-5) 展开 ( 图 5.), 并设 : δ δ δ = 荷载单独作用下 = 单独作用下 δ δ δ δ δ = = δ = 单独作用下 = 单独作用下 90 图 5. i 荷载单独作用下, 沿 i 方向产生的位移 (i=,,); δ ji 基本未知量 i =(i=,,) 单独作用下, 沿 j (j=,,) 方向产生的位移,

7 第 5 章力法 9 根据叠加原理, i 单独作用下, 相应产生的位移为 δ ji i 则式 (5-5) 可展开为 : = δ + δ + δ + = 0 = δ + δ + δ + = 0 (5-6) = δ + δ + δ + = 0 上式即为次超静定结构的力法基本方程解方程, 求出基本未知量后, 即可求解原结构的内力状态, 作出内力图利用叠加原理, 原结构弯矩图可由下式计算 : M = M + M + M + M = = N N N N N Q Q Q Q Q 在超静定结构的力法计算中, 同一结构可按不同方式选取基本体系和基本未知量此时, 力法的基本方程虽然形式相同, 但由于基本未知量不同, 因而, 所提供的变形条件也不同相应地, 建立的力法基本方程的物理意义也有所区别在选取基本体系时, 应尽量使系数 δ ji 及自由项的计算简化 i 同理, 推广至 n 次超静定结构, 此时的力法基本未知量为 n 个多余约束力 i (i=,,, n); 力法的基本结构是从原结构中去掉相应的多余约束力后得到的静定结构 ; 力法的基本方程为在 n 个多余约束处的变形条件 : 基本体系沿多余约束力方向的位移与原结构相同, 即 =0(i=,,,n) i 在线性结构中, 利用叠加原理, 力法的典型方程可写为 : = δ + δ + + δ nn + = 0 = δ + δ + + δnn + = 0 (5-7) n = δn + δn + + δnnn + n = 0 其中, (i=,,,n) 基本结构在荷载单独作用下, 产生的沿 i 方向的位移 ; i δ ij (i=,,,n;j=,,,n) 基本结构在 j = 单独作用下, 产生的沿 i 方向的位移, 称之为柔度系数由叠加原理, j 作用下产生的位移为 δ ij j 解方程, 得出基本未知量后, 超静定结构的内力可由平衡条件求出一般情况下, 按叠加原理作内力图较为简便 : M = M + M + + M + M 将式 (5-7) 写成矩阵形式, 得 : 其中, { } = { } n n n Q Q Q Q Q = n n + n n N = N + N + + N + N T [ δ ]{ } + { } = 0,,, 力法基本未知量列向量 ; { } = { } n T,,, 荷载单独作用下, 沿 i 方向产生的位移列向量 9

8 9 结构力学简明教程 (i=,,,n); δ δ δn δ δ δ n [ δ ] = 柔度系数矩阵 δn δn δnn 根据位移互等定理, 系数 δ ij =δ ji, 所以该矩阵为对称阵主对角线上元素 δ ii 称为主元素, 值恒为正非对角线元素 δ ij 称为副系数, 可为正值负值或零 5. 荷载作用下超静定结构的力法计算应用力法计算超静定结构, 一般步骤为 : () 选择力法的基本未知量 () 建立力法典型方程 () 计算系数及自由项 (4) 求解典型方程, 得出基本未知量 (5) 作内力图 5.. 超静定梁计算静定梁位移时, 通常忽略轴力和剪力的影响, 只考虑弯矩的影响因而系数及自由项按下列公式计算 : M MM i i j MM δ ii = d s, ij d s i δ =, i d s = 例 5- 试作图 5.(a) 所示超静定连续梁的弯矩图,= 常数 () 选择力法基本未知量图示结构为一次超静定, 基本未知量选择支座处的多余约束则基本体系如图 5.(b) 所示 () 力法典型方程为 : δ + = 0 () 计算系数及自由项, 作出 M M 图 : 6 δ = + = = = 54 (4) 求解典型方程, 得出基本未知量 : 9

9 第 5 章力法 9 = = δ 0.78 正值说明基本未知量方向与假设方向一致 (5) 作弯矩图, 见图 5.(e) M = M + M D D (a) (b) = (c) M 图 (d) M 图 (e) 图 5. 例 5- 图 5.. 超静定刚架计算刚架位移时, 通常忽略轴力和剪力的影响, 只考虑弯矩的影响因而系数及自由项可按下式计算 : M MM i i j MM δ ii = d s, ij d s i δ =, i d s = 在某些特殊情况下, 当轴力及剪力的影响较大时, 应特殊处理, 考虑剪力及轴力的影响如在高层刚架的柱中轴力通常较大, 当柱短而粗时剪力影响较大例 5- 试作图 5.4(a) 所示超静定刚架的内力图 () 选择力法的基本未知量, 如图 5.4(b) 所示 () 力法典型方程为 : δ + δ + = 0 δ + δ + = 0 () 计算系数及自由项, 作出 M M M 图 : 9

10 94 结构力学简明教程 δ = + = + δ = = δ = δ = = 6 = = = = 6 48 (4) 代入力法典型方程, 整理得 : + + = = 6 48 上式, 同时乘以后, 整理得 : + + = = 可以看出, 在荷载作用下, 超静定刚架的内力求解只与各杆刚度的相对比值有关, 而与各杆刚度的绝对值无关令 =, 求解可得 : = 0.054, = 0.4 正值说明基本未知量方向与假设方向相同 (5) 作内力图 : M = M + M + M 如图 5.4(f) (g) (h) 所示 N N N N = + + = + + Q Q Q Q (a) (b) 基本体系 94

11 第 5 章力法 = = (c) M (d) M (e) M 0.6 (f) M 0.4 Q = = 0.66 Q Q Q (g) 0.4 = = N N N N (h) 图 5.4 例 5- 图 5.. 超静定桁架由于桁架杆件中只产生轴力, 因此, 在计算系数和自由项时只需考虑轴力的影响, 故 : N N i i N j Ni N p δ ii =, δ ij =, i = E E E 桁架杆件的轴力图, 同样可由叠加原理求得 : N = N + N + + N + N n n 例 5- 求解图 5.5(a) 所示超静定桁架结构的内力, 各杆 E= 常数 () 选择基本未知量, 见图 5.5(b) () 力法典型方程为 : δ + = 0 () 计算系数及自由项, 由于桁架结构通常由多根杆件组成, 为便于计算及检验, 采用表格形式计算系数及自由项, 求出 N N 后填入表 5- 中 95

12 96 结构力学简明教程杆件 N 表 5- N NN N N=N +N a a a a 0 a 0.5 D 0 a 0 a 0.5 D a a a a 0 a D a a a ( ) a (4) 求解典型方程, 得出基本未知量 : ( + ) ( 4 + 4) a = = = δ (5) 叠加法求轴力, 见表最后一列 N = N + N a + ( + ) ( 压力 ) 4 4 a D D a a (a) (b) 基本体系图 5.5 例 5- 图 5..4 超静定组合结构在实际工程中, 为节约材料, 提高结构的刚度, 有时会采用超静定组合结构结构中一部分杆件主要承受弯曲变形, 称为梁式杆 ; 另一部分杆件主要承受拉压变形, 称为桁架杆计算系数及自由项时应根据杆件的类型, 采用不同方式的计算梁式杆, 主要考虑弯矩的影响 : M MM i i j MM δ ii = d s, ij d s i δ =, i d s = 桁架杆, 考虑轴力的影响 : N N i i N j Ni N p δ ii =, δ ij =, i = E E E 96

13 第 5 章力法 97 例 5-4 试分析图 5.6(a) 所示组合结构的内力,= 0 7 N m,e= N m () 选择基本未知量如图 5.6b 所示 () 力法典型方程为 : δ + = 0 () 计算系数及自由项, 作出 M N M N 图, 如图 5.6(c) 和图 5.6(d) 所示 4 δ = 4 + ( ) E 7 = = = (4) 求解典型方程, 得出基本未知量 : = = 7kN ( 压力 ) δ (5) 叠加法作内力图, 如图 5.6(e) 所示 M = M + M N = N + N 00kN E D E 00kN E m 00kN 00kN 00kN m m m m (a) (b) 基本体系 00kN 00kN = (c) M N 54 (d) (e) 弯矩图 ( kn m ) 轴力图 (kn) 图 5.6 例 5-4 图 97

14 98 结构力学简明教程 5.4 对称性的利用采用力法计算超静定结构时, 典型方程的个数等于超静定次数, 超静定次数越高, 需计算的系数及自由项个数越多, 通常情况下, 力法典型方程组为耦合的, 计算工作量较大, 因此, 力法适合计算超静定次数较低的结构在工程实际中, 很多结构存在如下特征 : 结构的几何形状支座情况杆件的截面以及材料特性等均关于某一几何轴线对称, 这类结构称为对称结构, 该几何轴线称之为对称轴利用结构的对称性, 超静定问题的计算工作可得到简化如图 5.7(a) 所示刚架, 沿轴 I-I 对称在选取力法基本体系时, 沿对称轴处将杆件切开, 并代之以相应多余约束力, 如图 5.7(b) 所示力法基本未知量为正对称的轴力弯矩以及反对称的剪力基本未知量作用下的弯矩图, 如图 5.7(c) (d) (e) 所示 I I (a) (b) 基本体系 (c) M (d) M (e) M 图 5.7 可看出, 对称性基本未知量作用下的弯矩图为对称图形, 而反对称性基本未知量作用下弯矩图为反对称的由此特性, 副系数 MM δ = δ = d s = 0 MM δ = δ = d s = 0 则三次力法典型方程可简化为 98

15 第 5 章力法 99 δ + δ + = 0 δ + δ + = 0 δ + = 0 原耦合的方程组已简化为一个两元一次方程组和一元一次方程组, 计算工作量已得到减少再来考虑结构所承受的荷载特性 () 当结构承受对称荷载时, 荷载作用下基本结构的弯矩图为对称图形, 如图 5.8(a) 所示则自由项 : MM = d s = 0 代入力法典型方程第三式, 力法基本未知量 =0, 即反对称性基本未知量为零因此, 只有对称性基本未知量最后弯矩图可由叠加法得: M = M + M + M N = N + N+ N Q = Q + Q + Q 弯矩图为对称图形, 但剪力图为反对称图形 () 当结构承受反对称荷载时, 荷载作用下基本结构的弯矩图为反对称图形, 如图 5.8(b) 所示 (a) 变形图 M (b) 变形图 M MM 则自由项 : = d s = 0 图 5.8 MM = d s = 0 代入力法典型方程, 可得力法基本未知量 =0 =0, 即对称性基本未知量为零此时, 只有反对称性基本未知量 99

16 00 结构力学简明教程最后内力图 : M = M + M N = N + N Q = Q + Q 弯矩图轴力图为反对称图形, 但剪力图为对称图形综上所述, 可得如下结论 : () 对称结构在对称荷载作用下, 对称轴截面上的反对称性内力为零 ; 弯矩图轴力图及位移图是对称图形, 剪力图为反对称图形 () 对称结构在反对称荷载作用下, 对称轴截面上的对称性内力为零 ; 剪力图为对称图形, 弯矩图轴力图及位移图为反对称性图形当结构承受一般荷载作用时, 可利用叠加原理将荷载分解为对称性荷载与反对称性荷载, 利用对称性进行计算, 如图 5.9 所示图非荷载因素作用下的力法计算超静定结构在非荷载因素 ( 支座移动温度改变材料收缩制造误差等 ) 作用下, 结构将产生内力, 通常称之为自内力求解自内力时仍可采用力法, 但典型方程中自由项的计算有所区别 5.5. 支座移动时的超静定结构的力法计算例 5-5 如图 5.0(a) 所示的结构, 已知支座移动 : 下沉转角 θ, 各杆 = 常数, 试求解结构自内力 () 选择力法基本未知量, 如图 5.0(b) 所示 () 力法典型方程此时, 变形协调条件为 : 基本结构沿方向产生的位移与原结构的位移相同而基本结构沿方向的位移是由支座移动引起的, 用表示因此典型方程为 : δ + = 0 : 由支座移动引起的基本结构沿方向的位移, 可利用单位荷载法进行计算 () 计算系数及自由项 M 4 δ = ds = 00

17 第 5 章力法 0 = R = θ i i (4) 力法基本未知量 : = θ = = δ 4 4 ( θ ) (5) 最后内力图由于基本结构在支座移动作用下只产生变形, 而无内力产生, 因此, 内力全部是由多余约束力引起的 M = M N = N Q = Q 如基本体系选择为图 5.0(d) 所示的结构, 则力法典型方程为 δ + = θ 力法典型方程中的右边项根据实际的变形条件可不为零 θ = (a) (b) 基本体系 (c) M (d) 图 5.0 例 5-5 图从上例中可以看出, 由支座移动引起的超静定结构内力计算问题具有如下特点 : () 力法典型方程的右边项根据所选取的基本体系的不同可不为零, 应根据实际位移条件确定 () 力法典型方程中, 自由项是由支座移动引起的 () 内力与结构的刚度绝对值有关, 因此在计算中必须采用刚度绝对值 5.5. 温度改变时的超静定结构的力法计算温度改变时超静定结构的内力计算与支座移动时的计算相似, 典型方程中自由项是由 0

18 0 结构力学简明教程温度改变引起的基本结构的位移, 其计算公式为 : Miαt it = ds + Niαt0ds h 式中,α 材料的温度膨胀系数 ; t 0 轴线平均温度, ( t ) + t t0 = ; t t = t t 结构内外温差, ( 外 ) 内例 5-6 图 5.(a) 所示刚架,= 常数, 温度膨胀系数为 α, 截面尺寸为 00mm 600mm, 原工作环境温度 0, 当刚架内侧温度升高至 50 时, 试求结构内力 () 选择力法基本未知量, 如图 5.(b) 所示 () 力法典型方程 : δ + t = 0 () 计算系数及自由项 : M 0 δ = d s = + = t = 50 0 = 0 ( 50 0) t0 = = 5 Miαt it = ds+ Ni t0ds h α α 0 = α 5 ( + + ) 0.6 = 5α 温差 t 为正, 即内侧温度较高, 而 M 图为结构外侧受拉, 因此积分取负号温度变化 t 0 为正, 而 N 图中横梁受压, 因此积分取负号 m m (a) (b) (c) (d) 图 5. 例 5-6 图 (4) 力法基本未知量 : 5α t = = = δ α 0

19 第 5 章力法 0 (5) 作内力图基本结构在温度变化作用下不产生内力, 因此, 最后内力全部是由多余约束力引起的 M = M N = N Q = Q 温度变化引起的结构自内力大小与结构刚度绝对值有关, 成正比刚度愈大, 则自内力愈大且在低温面产生拉力, 高温面产生压力因此, 在钢筋混凝土结构中, 应特别注意由于温度变化有可能产生的裂缝 5.6 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算仍可采用在第四章中介绍的单位荷载法, 但计算较为繁琐在力法基本原理的介绍中, 我们已经知道当求出力法基本未知量多余约束力, 并将其作为主动力施加在基本体系上后, 基本体系的受力和变形状态与原超静定结构完全相同因此原超静定结构的位移计算可以转换为求基本体系这一静定结构的位移计算问题一般的计算步骤如下 () 选择力法基本未知量, 确定力法基本体系 () 求解力法基本未知量及内力 () 在拟求位移处施加相应的单位荷载, 并作出内力图 M N 及 Q (4) 根据位移计算公式计算位移 MM NN QQ = ds + ds+ k ds E G 例 5-7 试求图 5.(a) 所示超静定梁的跨中挠度,= 常数前例中本题的内力状态已经求解 : 力法基本未知量 = q 8 弯矩图 M = M + M 再拟求位移点处施加单位荷载, 并作弯矩图 M, 如图 5.(d) 所示 MM ( + ds ) = = M M M 位移计算公式为 : d s M M 如图 5.(c) 和图 5.(d) 所示, 进行图乘计算 : 5 = q q + q q q = 结果为负值, 说明位移方向与假设力方向相反, 实际位移方向向下 0

20 04 结构力学简明教程 = M (a) (b) M = M (c) (d) 图 5. 例 5-7 图 5.7 超静定结构最后内力图的校核与静定结构的计算相同, 超静定结构同样需进行最后内力图的校核由于采用力法计算超静定结构时, 需首先计算力法基本未知量, 再由多个内力图的叠加或直接平衡条件作出最后内力图, 任何一个环节有错误的话, 都会导致最后内力图的错误因此, 计算完毕后, 应进行校核工作在校核过程中, 应特别注意以下几点 : () 基本体系的选择是否正确 () 系数及自由项的值是否正确 () 力法基本未知量的值是否正确 (4) 最后内力图的校核最后内力图的校核要从平衡条件和变形条件两方面进行这是由于采用力法计算过程中, 力法典型方程的建立是以变形协调为基础的某些情况下, 如力法基本未知量计算错误, 叠加后得到的内力图可以满足平衡条件的, 但是却是错误的. 平衡条件的校核从结构内任意截取一部分, 该部分的受力状态均可以满足平衡条件通常在校核中是选取结点或某段杆件作为研究对象如例 5- 中的结点, 结点受力图如图 5. 所示, 经校验满足平衡条件图 5. 04

21 第 5 章力法 05. 变形条件的校核即利用已求得的最后内力图, 计算超静定结构任意点处的位移, 若该点位移与超静定结构的实际位移相同, 则说明满足变形条件通常的做法是选择实际位移已知点进行计算如求原结构沿多余约束力方向的位移, 看其是否与实际位移相同一般来说, 对于 n 次超静定结构在采用力法计算时采用了 n 个变形协调条件, 校核时也应进行 n 个多余约束力处的变形条件的校核但实际计算中, 只需进行一两个变形条件的校核即可如例 5-7 中, 沿多余约束力方向的位移 MM = d s = q q 8 4 = 0 实际结构在该点处受链杆约束, 沿竖直方向位移为零, 因此, 满足变形条件 5.8 * 超静定拱的计算拱结构在土木工程中广泛应用于桥梁工程水利工程隧道工程房屋建筑中的拱式屋架等常用的拱结构一般均为超静定拱常见的有二铰拱和无铰拱 5.8. 二铰拱二铰拱为一次超静定结构 ( 图 5.4(a)), 选取力法基本体系 ( 图 5.4(b)) 力法典型方程为: δ + = 0 由于基本体系为简支曲梁, 所以系数及自由项的计算需采用直接积分法列出在基本未知量及荷载作用下的任一截面的内力方程, 因拱结构截面上轴力以压力为主, 因此, 假设压力为正基本未知量 = 作用下, 内力方程为 : M = y N = cosϕ Q = sinϕ 荷载作用下, 内力方程为 : 0 M = M 0 N = Qsinϕ 0 Q = Qcosϕ 其中, M 0 Q 0 为与曲梁相同跨度相同荷载作用下的简支梁的弯矩及剪力在一般常用的二铰拱中, 当高跨比 f < 时, 计算系数 δ 可以忽略剪力的影响, 而 05

22 06 结构力学简明教程计算自由项时, 则只需考虑弯矩的影响 y cos ϕ δ = ds+ ds E 0 ym = d s 0 ym d s 力法基本未知量 : = = δ y cos ϕ ds+ ds E 最后内力图由叠加法可得 : 0 M = M + M = M + H Q = Q + Q = Q cosϕ Hsinϕ N = N + N = Q cosϕ + Hcosϕ y 0 0 y q y q o x f o x (a) (b) M K M N K Q N H = Q R (c) (d) 图 5.4 上式与在静定三铰拱中得出的内力表达式相同, 说明二铰拱与三铰拱的基本受力特性是相同的, 但二者之间存在根本上的区别三铰拱的水平推力可由平衡条件直接求出, 而二铰拱的水平推力是通过变形协调条件求出的超静定拱结构任意截面的内力与荷载材料性质截面几何形状以及轴线的形状有关在设计中拱轴线的选取应尽量接近合理拱轴, 以降低截面上的弯矩, 提高材料的利用率由于只有当超静定拱结构的内力计算出后, 才能求出压力线, 而二者之间又相互制约因此, 在设计中只能采取反复计算逐步逼近的方法当基础或支座承载水平推力的条件较差时, 可采用拉杆拱设计水平推力由拉杆承担, 如图 5.5(a) 所示 06

23 第 5 章力法 07 以多余约束拉杆的轴力为力法基本未知量, 基本体系如图 5.5(b) 所示 q q (a) (b) 图 5.5 则基本未知量为 : = = 0 ym d s ds+ ϕ ds + E E δ y cos E 为拉杆的抗拉刚度当拉杆刚度趋于无穷大时, 没有轴向变形, 相当于刚性支座链杆, 结构的受力状态与二铰拱相同若拉杆刚度较小且趋于零, 则拉杆不起水平约束作用, 则结构受力状态与简支曲梁受力状态相同 5.8. 对称无铰拱无铰拱为三次超静定结构工程中常用无铰拱通常为对称结构计算时可利用这一特性简化计算沿对称轴处将拱顶切开, 选取对称的力法基本结构, 如图 5.6(b) 所示基本未知量中, 为对称性内力, 为反对称性内力由对称性, 力法的典型方程为 : δ + δ + = 0 δ + δ + = 0 δ + = 0 该方程组仍然是相互耦连的, 需联立求解再进一步设法简化计算, 如可使副系数 δ = δ 为零, 则方程组可简化为个独立方程, 使计算简化假设沿拱顶处固定一段长度为 y c 的刚臂, 如图 5.6(c) 所示, 由于刚臂是绝对刚性的, 不产生任何相对位移, 因此带刚臂的无铰拱与原无铰拱是相互等效的取基本体系时沿对称截面将刚臂底端切开, 基本未知量如图 5.6(d) 所示此时, 基本未知量作用下内力方程为 : = : M = y yc N = cosϕ Q = sinϕ = : M = N = 0 Q = 0 = : M = x N = sinϕ Q = cosϕ 副系数 : δ = δ = = δ = δ 为零, 则可得 : 令 ( ) y y c MM d s d s 07

24 08 结构力学简明教程 y ( y y ) ds c d 0 s = yc = d s 由此, 力法典型方程简化为 : δ + = 0 δ + = 0 δ + = 0 q x y (a) (b) y c y c (c) (d) 图 5.6 方程组为个独立一元一次方程组成, 计算工作得到大幅度简化以上的简化方法称为弹性中心法刚臂的长度 y c 称为弹性中心沿拱轴线两侧分别取距轴远的两条曲线, 由此曲线围成的面积称为拱的弹性面积 y c 即为该弹性面积的形心 5.9 超静定结构的特性与静定结构相比, 超静定结构具有如下特性 : () 超静定结构内有多余约束存在, 这是与静定结构的根本区别超静定结构在多余约束破坏后, 结构仍然可以保持其几何不变的特性 ; 而静定结构任一约束破坏后, 便立即变成几何可变体系而失去承载能力因此, 与静定结构相比, 超静定结构具有更好的抗震性能 () 静定结构的内力计算只需通过平衡条件即可确定, 其内力大小与结构的材料性质及截面尺寸无关而超静定结构的内力计算除需考虑平衡条件外, 还必须同时考虑变形协调条件, 超静定结构的内力与材料的性质以及截面尺寸等有关 () 静定结构在非荷载因素 ( 支座移动温度改变材料收缩制造误差等 ) 的作用下, 结构只产生变形, 而不引起内力而超静定结构在承受非荷载因素作用时, 由于多余约束 08

25 第 5 章力法 09 的存在使结构不能自由变形, 在结构内部会产生自内力在实际工程中, 应特别注意由于支座移动温度改变引起的超静定结构的内力 (4) 由于多余约束的存在, 超静定结构的刚度一般较相应的静定结构的刚度大, 因此内力和变形也较为均匀, 峰值较静定结构低 5.0 习题. 判断图示结构的超静定次数 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g). 力法计算图示超静定梁结构, 作出弯矩图其中 := 常数 00kN 0kN/m E 4m 4m 4m m 6m (a) (b) 09

26 0 结构力学简明教程. 力法计算图示超静定刚架, 作出内力图 q D 50kN D 4m 4m 4m (a) (b) 5kN/m D D 4m 4m E m 6m (c) (d) 4. 试利用对称性计算图示结构, 作出弯矩图 D D q q (a) (b) D (c) 0

27 第 5 章力法 5. 力法计算图示超静定桁架, 作出轴力图其中 :E= 常数 0kN 0kN E m D m m m m 6. 力法计算图示超静定组合结构, 作出弯矩图,E=5(m - ) 0 kn/m E F m D m 4m m 常数 7. 试求图示等截面半圆无较拱在图示荷载作用下拱顶及拱脚截面的弯矩其中 := f=r R R 8. 已知 : 图示结构在支座处有单位转角 θ =, 试作弯矩图其中 := 常数 θ a b 9. 图示结构在支座处有向下的沉降, 试作弯矩图其中 := 常数

28 结构力学简明教程 0. 圆形钢筋混凝土烟囱半径为 R, 壁厚 h,= 常数, 温度膨胀系数为 α, 当内壁升温 t 而外壁温度不变时, 试求烟囱内力. 试计算图示结构点的水平位移其中 := 常数, 各杆长均为 q

超静结对称架超力法定基刚架和排架组合结构和拱本概念Force Method 基本要求 : 掌握力法基本体系的确定力法典型方程的建立方程中系数和自由项的计算熟练掌握用力法计算超静定梁和刚架对称性利用超静定结构的位移计算重点掌握荷载作用下的超静定结构计算了解力法典型方程的物理意

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