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1 中国科学院教材建设专家委员会全国高职高专土木工程专业系列规划教材优秀奖 全国高职高专土木工程专业系列规划教材 结构力学 ( 第二版 ) 沈养中孟胜国主编 北京

2 内容简介 本书是 全国高职高专土木工程专业系列规划教材 之一, 是依据教育部制定的高职高专土木工程专业力学课程教学基本要求编写的 本书着力体现当前高职高专教学改革的特点, 突出针对性 适用性和实用性, 突出职业技能 素质的培养 编写时精选内容, 简化公式推导, 理论联系实际, 注重工程应用 ; 文字简洁, 叙述深入浅出, 通俗易懂, 图文配合紧密 全书共分八章, 内容包括 : 绪论 平面杆件体系的几何组成分析 静定结构的内力计算 静定结构的位移计算 力法 位移法 力矩分配法 影响线 每章后有思考题 习题, 并附有部分习题答案 本书可作为高等职业学校 高等专科学校 成人高校及本科院校举办的二级职业技术学院和民办高校的土建类各专业力学课程的教材, 专升本考试用书以及有关工程技术人员的参考用书 图书在版编目 (CIP) 数据 结构力学 / 沈养中主编. 2 版. 北京 : 科学出版社,2005 ( 全国高职高专土木工程专业系列规划教材 ) ISBN Ⅰ. 结 Ⅱ. 沈 Ⅲ. 结构力学 - 高等学校 : 技术学校 - 教材 Ⅳ 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2005) 第 号 责任编辑 : 童安齐彭明兰 / 责任校对 : 都岚责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 东方上林 北京东黄城根北街 6 号 邮政编码 : 出版 /www. sciencep. com 印刷 科学出版社发行 各地新华书店经销 * 200 年 8 月第 一 版 开本 :B5 ( ) 2005 年 7 月第 二 版 印张 :6 / 年 7 月第五次印刷字数 : 印数 :4 50~ 定价 : 元 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换 科印 ) 销售部电话 : 编辑部电话 : (VA04)

3 全国高职高专土木工程专业系列规划教材 编委会 主任委员 沈养中 副主任委员 ( 以姓氏笔画为序 ) 王志军邓庆阳司马玉洲李继业李维安董平童安齐 委员 ( 以姓氏笔画为序 ) 王长永王振武马楠石静史书阁付玉辉田云阁刘正保刘念华刘晓立 李洪岐李树枫肖翥陈守兰张力霆张丽华张献奇周文国孟胜国郝延锦 郭玉起 袁雪峰

4 第二版前言 本书第一版获得中国科学院教材建设专家委员会全国高职高专土木工程专业系列规划教材优秀奖 本书是在第一版的基础上, 根据当前高职高专教育教学改革的新特点进行修订的 本次修订继续保持第一版教材的特色, 进一步精选内容, 突出工程应用, 突出职业技能 素质的培养, 更加注意内容的深入浅出 通俗易懂 参加本次修订工作的有徐州建筑职业技术学院沈养中 ( 第一 二 三 四 八章 ), 太原理工大学阳泉学院孟胜国 ( 第五 六 七章 ) 全书由沈养中统稿 在本书的修订过程中, 许多同行提出了很好的意见和建议, 在此表示感谢 鉴于编者水平有限, 书中难免有不妥之处, 敬请同行和广大读者批评指正 i

5 第一版前言 本书是 新世纪高职高专土建类专业系列教材 之一, 依据教育部制定的高职高专土建类专业力学课程教学基本要求编写 本书为建筑力学之三, 它与理论力学 ( 建筑力学之一 ) 材料力学( 建筑力学之二 ) 及工程结构有限元计算 ( 建筑力学之四 ) 在内容上融合 贯通, 有机地连成一体, 构成高职高专土建类专业配套的力学课程教材 本教材着力体现当前高职高专教学改革的特点, 突出针对性 适用性和实用性 编写时精选内容, 简化公式推导, 理论联系实际, 注重工程应用, 注意文字简洁 叙述深入浅出, 通俗易懂, 图文配合紧密 参加本书编写工作的有河北工程技术高等专科学校沈养中 ( 第二章 ) 石静( 第七 九章 ) 闫礼平( 第一 六章 ), 山西阳泉煤炭专科学校孟胜国 ( 第五章 ), 华北航天工业学院董平 ( 第三章 ) 高迎伏( 第八章 ), 山东农业大学范庆忠 邱秀梅 ( 第四章 ) 全书由沈养中 石静统稿 长春工程学院薛光瑾教授主审全稿 在本书的编写过程中, 许多同行提出了很好的意见和建议, 在此表示感谢 鉴于编者水平有限, 书中难免存在不妥之处, 敬请同行和广大读者批评指正 iii

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9 第四章 静定结构的位移计算 本章在虚功原理的基础上建立了结构位移计算的一般公式, 着重介绍静定结构在荷载作用 支座移动和温度变化时所引起的位移计算 静定结构的位移计算是超静定结构的内力 位移计算以及结构刚度计算的基础 4. 概述 4.. 位移工程结构在荷载作用下会产生变形, 因而其上各点的位置将发生变化 我们把结构位置的变化称为结构的位移 除荷载外, 还有其他一些因素如支座移动 温度变化 制造误差等, 也会使结构产生位移 结构的位移可以用线位移和角位移来度量 线位移是指截面形心所移动的距离, 角位移是指截面转动的角度 例如图 4. (a) 所示的简支梁, 在荷载作用下发生弯曲, 梁上的截面 m -m 发生了位移 截面 m-m 的形心 C 移动了一段距离 CC, 称为点 C 的线位移或挠度 ; 同时截面 m -m 转动了一个角度 φc, 称为截面的角位移或转角 又如图 4. (b ) 所示悬臂刚架, 在内侧温度不变 外侧温度升高的影响下, 发生如图中虚线所示的变形, 刚架上的点 C 移动至点 C, 则线段 CC 称为点 C 的线位移, 用 ΔC 表示 还可将该线位移沿水平和竖向分解为 CC 2 和 C C 2, 分别称为点 C 的水平位移 Δ CH 和竖向位移 ΔCV 同时, 截面 C 转动了一个角度 φc, 称为截面 C 的角位移 图 4. 上述线位移和角位移称为绝对位移 此外, 在计算中还将涉及到另一种位移, 65

10 即相对位移 例如图 4. 2(a) 所示简支刚架, 在荷载作用下点 A 移至 A, 点 B 移至 B, 点 A 的水平位移为 ΔA H, 点 B 的水平位移为 ΔB H, 这两个水平位移之和称为点 A B 沿水 平方向的相对线位移, 并用符号 (ΔA B)H 表示 同样, 截面 C 的角位移 α 与截面 D 的角位移 β 之和称为两个截面的相对角位移, 并表示为图 4. 2 Δφ CD = α+ β 为了方便起见, 我们将以上的位移统称为广义位移 位移计算的目的在工程设计和施工过程中, 结构的位移计算是很重要的, 主要有以下三方面的用途 :. 验算结构的刚度验算结构的刚度, 即验算结构的位移是否超过允许的极限值, 以保证结构物在使用过程中不致发生过大变形 例如在房屋结构中, 梁的最大挠度不应超过跨度的 / 400 至 / 200, 否则梁下的抹灰层将发生裂痕或脱落 吊车梁允许的挠度限值通常规定为跨度的 / 600 桥梁结构的过大位移将影响行车安全, 水闸结构的闸墩或闸门的过大位移, 可能影响闸门的启闭与止水等等 2. 为分析超静定结构打下基础由于超静定结构的未知力数目超过平衡方程数目, 因而在其反力和内力的计算中, 不仅要考虑静力平衡条件, 而且还必须考虑位移方面的条件, 补充变形协调方程 因此, 位移计算是分析超静定结构的基础 3. 施工方面的需要在结构的制作 架设与养护等过程中, 经常需要预先知道结构变形后的位置, 以便采取相应的施工措施 例如图 4. 3(a) 所示的屋架, 在屋盖的自重作用下, 下弦各点将产生虚线所示的竖向位移, 其中结点 C 的竖向位移为最大 为了减少屋架在使用阶段下弦各结点的竖向位移, 制作时通常将各下弦杆的实际下料长度做得 66 图 4. 3

11 比设计长度短些, 以使屋架拼装后, 结点 C 位于 C 的位置 [ 图 4. 3(b)] 这样在屋盖系统施工完毕后, 屋架的下弦各杆能接近于原设计的水平位置, 这种做法称为建筑起拱 欲知道点 C 的竖向位移及各下弦杆的实际下料长度, 就必须研究屋架的变形和各点位移间的关系 位移计算的假定在计算结构位移时, 为了使计算简化, 通常采用以下几个假定 : ) 结构的材料在弹性范围内工作, 且符合胡克定律, 即应力与应变成线性关系 2) 结构的位移是微小的, 以致不影响变形后荷载的作用位置 3) 结构各处的约束都为理想约束 所谓理想约束是指在结构发生位移的过程中约束力不作功的约束, 例如刚性支座 链杆和无摩擦的光滑铰等就是理想约束 符合上述假定的结构体系称为线弹性变形体系或线性变形体系 由于线弹性变形体系的位移与荷载成比例, 因此在计算位移时可以应用叠加原理 对于实际的大多数工程结构, 按照上述假定的计算结果具有足够的精确度 对于位移与荷载不成比例的体系, 称为非线性变形体系 线性变形体系和非线性变形体系统称为变形体系 本书仅讨论线性变形体系 4. 2 变形体的虚功原理 功 实功与虚功. 功在理论力学中已经介绍过功的定义 当质点 M 沿直线有位移 Δ 时 ( 图 4. 4), 作用于质点上的常力 F 在位移 Δ 上所作的功 W 为 W = F Δco sθ 可见, 功是标量, 它可以为正 为负或为零, 视力与位移的夹角而定 图 4. 4 图 4. 5 若一对大小相等 方向相反的力 F 作用于圆盘的 A B 两点上 ( 图 4. 5), 设圆盘转动时, 力 F 的大小不变而方向始终垂直于直径 AB, 当圆盘转过一角度 φ 时, 则两力所作的功为 67

12 W = 2F r φ= M φ 式中 :M = 2Fr 即力偶所作的功等于力偶矩与角位移的乘积 由上可知, 功包含了两个因素, 即力和位移 若用 F 表示广义力, 用 Δ 表示广义位移, 则功等于 F 与 Δ 的点积, 即 W = F Δ 广义力可以有不同的量纲, 相应地广义位移也可以有不同的量纲, 但作功时其乘积恒具有功的量纲 2. 实功和虚功功是力与位移的矢量点积, 根据力与位移的关系可将功分为两种情况 : ) 位移是由作功的力引起的 例如图 4. 4 所示质点的位移, 是由作功的力 F 引起的 我们称力 F 本身引起的位移对力 F 而言为实位移, 力在实位移上所作的功称为实功 2) 位移不是由作功的力引起的, 而是由其他因素引起的 例如图 4. 6(a) 所示的简支梁受力 F 的作用, 变形至实曲线所示的位置, 此时力 F 作实功 然后再在梁上作用力 F, 使梁继续发生变形达到虚线所示的位置 此时, 力 F 作用点有位移 Δ, 但是该位移不是力 F 引起的, 而是由力 F 所引起的, 因此对力 F 而言, 位移 Δ 是虚位移, 力 F 在虚位移上所作的功称为虚功 图 4. 6 虚位移是为体系的约束所容许的任何微小的位移, 它可以是其他荷载引起的位移, 也可以是支座移动 温度变化等其他因素引起的位移, 还可以是虚拟的位移 虚位移可能发生, 也可能不发生 所谓虚功并非不存在, 只是强调作功过程中力与位移彼此无关 因为在虚功中作功的力和相应的位移是彼此独立无关的两个因素, 所以可将二者看成是同一体系的两种彼此无关的状态, 其中力系所属的状态称为力状态 [ 图 68

13 4. 6(b )], 位移所属的状态称为位移状态 [ 图 4. 6(c)] 既然作虚功的位移状态可以是虚拟的, 那末力状态同样也可以是虚拟的, 即位移状态和力状态中的任何一个都可以是虚拟的 不过, 虚拟的力状态必须满足力系的平衡条件 刚体的虚功原理及其应用. 刚体的虚功原理刚体的虚功原理可表述为 : 对于具有理想约束的刚体体系, 如果力状态中的力系能满足平衡条件, 位移状态的刚体位移是约束容许的可能位移, 则外力所作的虚功总和等于零, 即 W e = 0 (4. ) 上式称为刚体体系的虚功方程 证明从略 2. 虚功方程的两种应用由于在虚功原理中有两种彼此独立的状态即力状态和位移状态, 因此在应用虚功原理时, 可根据不同的需要, 将其中的一个状态看作是虚拟的, 而另一个状态则是问题的实际状态 因此, 虚功原理有两种表述形式, 用以解决两类问题 下面分别加以讨论 () 虚拟位移状态, 求未知力图 4. 7(a ) 所示为一静定梁, 现欲求 B 端的支座反力 F B 为使该梁能发生刚体位移, 可将 B 端的支座约束去掉, 并以未知力 F B 代替其作用 于是, 原结构就变成了有 一个自由度的机构 现使该机构发生与约束几何相容的虚位移, 如图 4. 7(b) 所示 令图 4. 7 (a) 所示的力状态在图 4. 7 (b ) 所示的位移状态上作虚功, 其中位移方向与力同向作正功, 反之作负功, 并使各力虚功的图 4. 7 代数和等于零, 得虚功方程为 W e = F B δb - F δ P = 0 得 F B = F δp 根据几何关系有 δb δp δb = a 69

14 可求得 F B = a F 上述计算是在虚拟位移状态与给定的实际力状态之间应用虚功方程, 这种形式的虚功原理又称为虚位移原理 根据虚位移原理建立的虚功方程, 实质上是静力平衡方程 ( 在本例中, 所得的虚功方程与 M A = 0 的方程是相同的 ) 这个方法的特点是将一个静力平衡问题转化为几何问题, 即利用 δ B δp 之间的几何关系计算未知力 F B 由于 δp / δb 的比值与 δ B 的大小无关, 为计算方便, 可令 δ B = 因此, 上述沿未知力方向虚设单位位移的方法称为单位位移法 由上可归纳出以下几点 : ) 用虚位移原理建立的虚功方程形式上是功的方程, 实质上是平衡方程 2) 虚位移是人为虚设的 为了计算方便, 可设欲求未知力方向上的虚位移为单位位移 3) 用虚位移原理求解时的一个重要步骤是找出虚位移间的几何关系, 由此可得到力系之间的平衡关系 因此, 该法的特点是把静力平衡问题转化为几何问题求解 例 4. 试用虚位移原理 ( 单位位移法 ) 求图 4. 8(a ) 所示多跨静定梁的支座 B 处的反力 图 4. 8 解 去掉支座 B 处的约束, 代之以相应的约束反力 F B 设在 B 处产生一个向下的虚单位位移 δb =, 则体系的虚位移如图 4. 8(b) 中虚线所示 应用虚位移原理建立虚功方程为 F δ - F B δb + F 2 δ 2 - F 3 δ 3 = 0 (a) 70

15 虚位移之间的关系为 将以上各关系式代入式 (a), 得 δ = 2 δb = 2 δ2 = 2 δ C = δb = 2 3 δb = 2 3 δ3 = 2 δe = 2 δ 2 = 3 δb = 3 F B = (2) 虚拟力状态, 求未知位移 2 F F 2-3 F 3 此时力状态是虚拟的, 位移状态是实际的, 在虚拟力状态和给定的实际位移状 态之间应用虚功原理, 这种形式的虚功原理又称为虚力原理 下面举例说明其具体 应用 例 4. 2 已知图 4. 9(a ) 所示静定梁的支座 B 向下移动距离 c, 试用虚力原理求梁上点 C 的竖向位移 ΔCV 图 4. 9 解 静定结构在支座移动时只产生刚体位移 欲求 C 点的竖向位移 ΔC V, 可虚拟一力状态如图 4. 9(b ) 所示 应用虚力原理建立虚功方程为 F ΔC V - F By c = 0 由此得 ΔCV = a c 为计算方便, 可在虚拟力系中令 F = 这一沿所求位移方向虚设单位荷载 F = 的方法称为单位荷载法, 或称为单位力法 根据虚力原理建立的虚功方程, 实质上是未知位移与已知支座位移之间的几何方程 这个方法的特点是把求解未知位移的几何问题转化为静力平衡问题, 即利 7

16 用静力平衡关系来计算未知位移 由上可知, 当支座有给定位移时, 静定结构的位移可用单位荷载法来求解, 其计算步骤如下 : ) 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载, 并求出在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力 2) 令虚拟力系在相应实际位移上作功, 写出虚功方程 3) 由虚功方程解出欲求位移 如果求得的位移为正值, 表明位移的实际方向与所设单位荷载的方向一致 ; 如果求得的位移为负值, 表明位移的实际方向与所设单位荷载的方向相反 变形体的虚功原理刚体只是一种理想的模型, 在工程实际中遇到的物体都是变形体 变形体在外力的作用下要发生变形, 同时还要产生相应的内力 因此, 利用虚功原理求解变形体结构问题时, 不仅要考虑外力的虚功, 而且还要考虑与体系的内力有关的虚功 变形体的虚功原理可表述如下 : 对于变形体系, 如果力状态中的力系满足平衡条件, 位移状态中的位移和变形彼此协调 并与约束几何相容, 则体系的外力虚功等于体系的内力虚功, 即 W e = W i (4. 2) 式中 :W e 外力虚功, 即力状态的外力在位移状态的相应位移上所作的虚功总和 ; W i 内力虚功, 即力状态的内力在位移状态的相应变形上所作的虚功总和 式 (4. 2) 称为变形体的虚功方程 变形体虚功原理的证明从略 需要指出的是, 在推导变形体的虚功方程时, 并未涉及到材料的物理性质, 只要在小变形范围内, 对于弹性 塑性 线性 非线性的变形体系, 上述虚功方程都成立 若结构作为刚体看待时, 则 W i = 0, 于是变形体的虚功方程变为 W e = 0, 即为刚体的虚功方程 因此, 刚体的虚功原理是变形体虚功原理的一个特例 与刚体的虚功原理一样, 变形体的虚功原理也有两种不同的应用形式, 即虚力原理和虚位移原理 下面我们应用虚力原理推导出平面杆件结构位移计算的一般公式和计算方法 4. 3 结构位移计算的一般公式 位移计算的一般公式 72 现以图 4. 0(a ) 所示刚架为例来建立平面杆件结构位移计算的一般公式 设

17 刚架由于荷载 支座移动和温度变化等因素而发生如图中虚线所示的变形, 这是结构的实际位移状态 现要求该状态中结构上 K 点沿 K -K 方向的位移 应用虚力原理, 虚拟一个与所求位移相对应的虚单位荷载, 即在 K 点沿 K -K 方向施加一个虚单位力 F K = ( 在力的符号上面加一杠以表示虚拟 ), 如图 4. 0(b) 所示 在该虚单位荷载作用下, 结构将产生虚反力 R 和虚内力 F N F S M, 它们构成了一个虚拟力系, 这就是虚拟的力状态 虚功为 图 4. 0 图 4. 0(b) 所示的虚拟力系在图 4. 0(a) 所示的实际位移状态上所作的外力 内力虚功为 根据式 (4. 2) 有 W e = F K ΔK + R c + R 2c2 = F K ΔK + Rc W i = F N εds + F S γds + Mkds 得 F K ΔK + Rc = F N εds + F S γds + kds M ΔK = F N εds + F S γds + Mkds - Rc (4. 3) 式 (4. 3) 即为平面杆系结构位移计算的一般公式 它既适用于静定结构, 也适 73

18 用于超静定结构 ; 既适用于弹性材料, 也适用于非弹性材料 ; 既适用于荷载作用下的位移计算, 也适用于由支座移动 温度变化等因素影响下的位移计算 这种计算结构位移的方法通常称为单位荷载法 虚单位荷载的设置公式 (4. 3) 不仅可用于计算结构的线位移, 也可以用来计算结构任何性质的位移 ( 例如角位移和相对位移等 ), 只是要求所设虚单位荷载必须与所求的位移相对应, 具体说明如下 : ) 若欲求的位移是结构上某一点沿某一方向的线位移, 则虚单位荷载应该是作用于该点沿该方向的单位集中力, 如图 4. 0 所示 2) 若欲求的位移是结构上某两点沿指定方向的相对线位移, 则虚单位荷载应该是作用于该两点沿指定方向的一对反向共线的单位集中力 3) 若欲求的位移是结构上某一截面的角位移, 则虚单位荷载应该是作用于此截面上的单位集中力偶 4) 若欲求的位移是结构上某两个截面的相对角位移, 则虚单位荷载应该是作用于这两个截面上的一对反向单位集中力偶 5) 若欲求的位移是结构 ( 如桁架 ) 中某一杆件的角位移, 则应在该杆件的两端沿垂直于杆件方向施加一个由一对大小相等 方向相反的集中力所构成的虚单位力偶, 每一集中力的大小等于杆件长度的倒数 总之, 虚拟的单位荷载必须是与所求广义位移相应的广义虚单位荷载, 如表 4. 所示 表 4. 广义位移和广义虚单位荷载对应示例 广义位移广义虚单位荷载 A B 两点的水平相对位移 Δ AB = Δ A + Δ B A B 两点处一对方向相反的水平单位力 (F = ) A B 两点的竖向相对位移 Δ AB= Δ A + Δ B A B 两点处一对方向相反的竖向单位力 (F = ) 74

19 续表 广义位移广义虚单位荷载 A 端角位移 φ A A 端一个单位力偶 (M e = ) C 左 右两侧截面的相对角位移 Δ φc = φ L C + φ R C C 左 右两侧一对方向相反的单位力偶 (M e = ) AB 杆的转角 φ AB = ΔA + ΔB d AB 杆上的单位力偶 M e = d d = 应该指出, 虚单位荷载的指向可任意假设, 若按式 (4. 3) 计算出来的结果是正 的, 则表示实际位移的方向与虚单位荷载的方向相同, 否则相反 4. 4 静定结构在荷载作用下的位移计算 荷载作用下的位移计算公式 由于只考虑荷载作用, 没有支座位移的影响 ( 即 c= 0), 故式 (4. 3) 可简化为 ΔK = F N εds + F S γds + (4. 4) Mkds 式中, 微段的变形 εds γds kds 仅由荷载引起 设以 F N F S M 表示实际位移状态中 微段上的轴力 剪力和弯矩, 在线弹性范围内, 根据杆件基本变形的知识有 ε= F N E A, γ = K F S GA, k = M E I 式中 :EA GA EI 杆件的拉压 剪切 弯曲刚度 ; (4. 5) K 切应力分布不均匀系数, 是与截面形状有关的因数 例如, 对于矩形截 面,K =. 2; 对于圆形截面,K = 0 9 ; 对于薄壁圆环形截面,K = 2; 对于工字型截 面,K = A A (A 为腹板面积 ) 将式 (4. 5) 代入式 (4. 4), 得 75

20 ΔK = F N F N EA ds + K F S F S GA ds + MM ds (4. 6) EI 式中 :F N F S M 在虚拟状态中由广义虚单位荷载引起的虚内力, F N F S M 原结构由实际荷载引起的内力 式 (4. 6) 即为静定结构在荷载作用下位移计算的一般公式 几种典型结构的位移计算公式 分析式 (4. 6) 右边的三项, 它们依次分别表示轴向变形 剪切变形和弯曲变形 对结构位移的影响 计算表明, 对不同形式的结构, 这三项的影响量是不同的 对 一具体结构而言, 某一项 ( 或两项 ) 的影响是显著的, 其余项的影响则可以忽略不 计 因此, 在结构位移计算中, 对不同形式的结构可分别采用不同的简化计算公式. 梁和刚架 在一般情况下, 对梁和刚架而言, 弯曲变形是主要的变形, 而轴向变形和剪切 变形的影响量很小, 可以忽略不计 于是式 (4. 6) 简化为 2. 桁架 ΔK = MM ds (4. 7) EI 桁架中各杆只有轴向变形, 且每一杆件的轴力和截面面积沿杆长不变, 于是式 (4. 6) 简化为 3. 拱 ΔK = F N F N EA (4. 8) 当不考虑曲率的影响时, 拱结构的位移可以近似的按式 (4. 7) 来计算 而且, 通 常情况下, 只需考虑弯曲变形的影响, 按式 (4. 7) 计算, 其结果已足够精确 仅在计 算扁平拱的水平位移或者拱轴线与合理轴线接近时, 才考虑轴向变形的影响, 即 4. 组合结构 ΔK = MM EI ds + F N F N ds (4. 9) E A 在组合结构中, 梁式杆件主要承受弯矩, 其变形主要是弯曲变形, 在梁式杆中 可只考虑弯曲变形对位移的影响 ; 而链杆只承受轴力, 只有轴向变形 于是其位移 计算公式简化为 ΔK = MM E I ds + F N F N E A (4. 0) 需要说明的是, 在上述位移计算中, 都没有考虑杆件的曲率对变形的影响, 这 对直杆是正确的, 对曲杆则是近似的 不过, 在常用的结构中, 譬如拱结构 曲梁和 有曲杆的刚架等, 构件的曲率对变形的影响都很小, 可以略去不计 76 例 4. 3 求图 4. (a) 所示简支梁的中点 C 的竖向位移 Δ CV 已知梁的弯曲

21 刚度 EI 为常数 图 4. 解 为求点 C 的竖向位移 ΔCV, 可在点 C 沿竖向虚加单位力 F =, 得到如 图 4. (b) 所示的虚拟力状态 设取点 A 为坐标原点, 当 0 x 2 时, 有 利用对称性, 由式 (4. 7) 得 Δ CV = M = 2 x, M = q 2 (x - x 2 ) E I x 2 q 2 (x - x 2 )dx = 5q 4 384EI ( ) 计算结果为正, 表示 ΔC V 的方向与所设单位力的方向相同, 即 ΔCV 向下 现在考察剪切变形对位移的影响 由图 4. (b) 可得, 则剪力对位移的影响为 有 Δ CV = 2 2 F S = 0 2, F S = q ( - 2x ) 2 K GA 2 q Kq2 ( - 2x )dx = 2 8GA 设梁的截面为矩形,K =. 2, I A = h 2 2, 泊松比 ν= 3, E 则 = 2(+ ν)= 8 G Δ CV ΔC V = h 2 3 于是 当梁的高度为跨度的时, Δ CV = 2. 56%, 即对细长梁而言, 剪切变形的影响约为 0 Δ C V 弯曲变形影响的 2. 56% 因此对一般梁来说, 可略去剪切变形对位移的影响 但对 深梁 (h> / 5) 则不能忽略 例 4. 4 求图 4. 2(a) 所示刚架上点 C 的水平位移 ΔCH 和截面 C 的转角 φc 已知各杆的弯曲刚度 EI 为常数 解 ) 求点 C 的水平位移 ΔCH 虚拟力状态如图 4. 2(b ) 所示 两种状态 的内力分别为 竖柱 AB: M = x, M = - 2 q 2 77

22 代入式 (4. 7), 得点 C 的水平位移为 ΔC H 横梁 BC: M = 0, M = - = 2 qx2 MM EI dx = x - E I 0 2 q 2 dx = - q 4 4E I ( ) 计算结果为负, 表明 ΔC H 的方向与所设单位力的方向相反, 即 ΔCH 向右 图 ) 求截面 C 的转角 φc 虚拟力状态如图 4. 2(c) 所示 两种状态的内力分别为 竖柱 AB: M =, M = - 2 q 2 横梁 BC: M =, M = - 2 qx 2 代入式 (4. 7), 得截面 C 的转角为 φc = - EI 0 2 q 2 dx + - EI 0 2 qx 2 dx = - 2q3 3E I ( ) 计算结果为负, 表明 φc 的转向与所设单位力偶的转向相反, 即 φc 顺时针转向 例 4. 5 求图 4. 3(a ) 所示桁架中杆 BC 的角位移 φb C 各杆的截面面积如 78 图 4. 3

23 图所示, 材料的弹性模量均为 E 解 虚拟力状态如图 4. 3(b ) 所示 为清楚起见, 将两种状态中各杆的内力 列于表 4. 2 中 表 4. 2 例 4. 5 计算表 杆 件 杆长 / mm 截面积 A / mm 2 F N F N F N F N / A AC F F BC F 0 AD F 0. 25F BD F 0. 25F CD 利用式 (4. 8), 可得杆 BC 的角位移为 φb C = F N F N EA = F E ( ) 计算结果为正, 表示 φb C 的转向与所设单位力偶的转向相同, 即 φb C 逆时针转向 例 4. 6 求图 4. 4(a) 所示圆弧曲杆上点 B 的竖向位移 不计曲率的影响, 已知杆的截面积 A 和惯性矩 I 均为常量 图 4. 4 解 在实际位移状态中, 与 OB 成角 θ 的 C 截面上 [ 图 4. 4(b )], 各内力分量为 M = Frsinθ, F S = Fcosθ, F N = Fsinθ (a) 虚拟力状态如图 4. 4(c) 所示, 与 OB 成角 θ 的 C 截面上的各内力分量为 M = rsinθ, F S = co sθ, F N = sinθ (b) 又由于 ds= rdθ, 利用式 (4. 6) 得 79

24 ΔB V= π 2 0 = π 4 Frsin 2 θ EA dθ+ π 2 Fr EA + K Fr GA + 0 K Frcos2 θ GA Fr3 EI dθ+ π 2 ( ) 0 Fr 3 sin 2 θ dθ E I 计算结果为正, 表示 ΔB V 的方向与所设单位力的方向相同, 即 ΔB V 向下 设杆的截面为矩形 (K =. 2), 宽度为 b 高度为 h, 并设材料的弹性常数之间 的关系为 G= 0. 4E, 则有 ΔB V = πfr3 4E I + 3 h r 2 ( ) 上式中最后一项是轴向变形和剪切变形对位移的影响, 当截面高度 h 远小于半径 r 时, 该项可以忽略不计, 只剩下弯曲变形的影响 4. 5 图乘法 图乘法适用条件及图乘公式 当用单位荷载法求梁或刚架的位移时, 需要计算积分 ΔK = MM EI ds 其计算过程往往比较繁杂 在满足一定条件的情况下, 可以画出 M M 两个弯矩函 数的图形, 用内力图互乘的方法 ( 即图乘法 ) 代替积分运算, 使计算得到简化 现说 明如下 :. 适用条件 () 杆段的 EI 为常数 (2) 杆段的轴线为直线 (3) 各杆段的 M 图和 M 图中至少有一个为直线图形 对于等截面直杆, 前两个条件自然满足 至于第三个条件, 虽然在均布荷载的 作用下 M 图的形状是曲线形状, 但 M 图却总是由直线段组成, 只要分段考虑也可 满足 于是, 对于由等截面直杆段所构成的梁和刚架, 在计算位移时均可应用图 乘法 2. 图乘公式图 4. 5 所示为直杆 AB 的两个弯矩图, 其中 M 图为一直线,M 图为任意形状 若该杆的弯曲刚度 EI 为一常数, 则 ΔK = MMds E I 由图可知,M 图中某一点的竖标 ( 即纵坐标 ) 为 M = y = xtanα 80

25 代入上述积分式中, 则有 ΔK = = MMds= E I E I tanα xda xtanαmdx EI 式中 :da M 图的微面积 ( 图 4. 5 中阴影线部分的面积 ); xda M 图的面积 A 对于轴 y 的静矩, 它可写成为 xda = A x C 式中 :x C M 图的形心 C 到 y 轴的距离 故有 ΔK = A x C tanα EI 图 4. 5 设 M 图的形心 C 所对应的 M 图中的竖标为 y C, 由图 4. 5 有 所以 Δ K = x C tanα= y C MM E I ds = AyC (4. ) E I 式 (4. ) 就是图乘法的计算公式 它表明 : 计算位移的积分式的数值等于 M 图的面积 A 乘以其形心所对应的 M 图的竖标 y C, 再除以杆段的弯曲刚度 EI 用图乘法计算时应注意 : ) 竖标 y C 必须从直线图上取得 若 M 图和 M 图均为直线图形, 也可用 M 图 的面积乘其形心所对应的 M 图的竖标来计算 2) 乘积 Ay C 的正负号规定为 : 当面积 A 与竖标 y C 在杆的同侧时, 乘积 Ay C 取 8

26 正号 ; 当 A 与 y C 在杆的异侧时,Ay C 取负号 3) 对于由多根等截面直杆组成的结构, 只要将每段杆图乘的结果相加, 即图 乘法的计算公式为 ΔK 图乘计算中的几个问题 =. 常见图形面积及形心位置 MM E I ds = AyC (4. 2) EI 在应用图乘法时, 需要计算图形的面积 A 及该图形形心 C 的位置 现将几种 常见图形的面积及其形心位置示于图 4. 6 中, 以备查用 在应用抛物线图形的公 式时, 必须注意抛物线在顶点处的切线必须与基线平行, 即所谓标准抛物线 2. 图乘法应用技巧 () 复杂图形分解为简单图形 图 4. 6 对于一些面积和形心位置不易确定的图形, 可采用图形分解的方法, 将复杂图 形分解为几个简单图形, 以方便计算 ) 若弯矩图为梯形, 可以把它分解为二个三角形, 则有 ΔK = E I (A y C + A 2 y C2 ) 82

27 式中 :A = a 2, y C = 2 3 c,[ 图 4. 7(a )], y C = 2 3 c+ 3 d [ 图 4. 7(b)] A 2 = b 2, y C2 = 3 c[ 图 4. 7(a)], y C2 = 3 c+ 2 3 d [ 图 4. 7(b)] 图 ) 若两个图形都是直线, 但都含有不同符号的两部分, 如图 4. 8 所示, 可将 其中一个图形分解为 ABD 和 ABC 两个三角形, 分别与另一个图形图乘并求和, 即 ΔK = = EI (A y C + A 2y C2 ) EI 2 a 2 3 c - 3 d + 2 b 2 3 d - 3 c 3) 若 M 图是由竖向均布荷载和杆端弯矩所引起的, 如图 4. 9(a ) 所示, 可把 它分解为一个梯形 [ 图 4. 9(b )] 和一个抛物线形 [ 图 4. 9(c)] 两部分, 再将上述两 图形分别与 M 图相图乘并求和 图 4. 8 图

28 必须指出, 所谓弯矩图的叠加是指弯矩图竖标的叠加 例如在图 4. 9(a) 中, 竖标 M K 等于 M K 和 M K 之和 由此可知, 在图 4. 9(a) 中, 虚线以下部分的图形实际上就代表了图 4. 9(c) 中所示相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图 由于二者的竖标彼此相同, 故 dx 微段上二者的微面积 ( 图中带阴影线的面积 ) 也彼此相同, 因而二者的面积和形心位置也是相同的 图 4. 20(a ) (b) 所示 M 图是由竖向均布荷载和杆端弯矩所引起的另外两种情况, 它们可分别分解为三角形 ( 或梯形 ) 和抛物线形 (2) 分段图乘如果杆件 ( 或杆段 ) 的两个弯矩图的图形都不是直线图形, 其中一个 ( 或两个 ) 图形为折线形, 则应分段图乘 另外, 即使图形是直线形, 但杆件为阶梯杆,EI 不是常数, 也应分段图乘 图 4. 2 所示图 为几种常见情况的分段图乘 图 4. 2 上述图乘法是以弯矩图的图乘为例来讨论的 事实上, 在满足图乘法的条件 下, 图乘法不仅适用于计算弯曲变形引起的位移, 也适用于计算轴向变形和剪切变 形引起的位移 例 4. 7 求图 4. 22(a) 所示简支梁的中点 C 的竖向位移 ΔCV 和 B 端截面的 转角 φb 已知梁的 EI 为常数 解 绘出在荷载作用下的 M 图 [ 图 4. 22(b)] 在点 C 虚加一竖向单位力 F =, 绘出 M 图 [ 图 4. 22(c)] 两图分段图乘后相加, 得 ΔCV = EI 2 2 F = F 3 48EI ( ) 计算结果为正, 表示 ΔC V 的方向与所设单位力的方向相同, 即 ΔCV 向下 为了求 B 截面的转角, 在 B 截面虚加一单位力偶 M e =, 绘出 M 2 图 [ 图 (d)] 将 M 图与 M 2 图相乘, 得 84

29 φb = - E I 2 F 4 2 = - F 2 6E I ( ) 图 计算结果为负, 表明 φb 的转向与所设单位力偶的转向相反, 即 φb 逆时针转向 例 4. 8 求图 4. 23(a) 所示外伸梁上点 C 的竖向位移 ΔCV 已知梁的 EI 为 常数 图

30 解 在 C 点虚加一竖向单位力 F =, 绘出 M 图和 M 图, 分别如图 (b) (c) 所示 AB 段的 M 图可以分解为一个三角形和一个标准抛物线形 ;BC 段 的 M 图则为一个标准抛物线形 M 图中各分面积与相应的 M 图中的竖标分别为 A = 2 q 2 A 2 = 2 3 q 2 8 = q 2 6, y C = = 3 8 = q 3 2, y C2 = = - 4 A 3 = 3 2 q 2 8 = q 3 48, y = 3 C3 4 2 = 3 8 代入图乘公式, 得 C 点的竖向位移为 ΔCV = E I q q q = q 4 28EI 计算结果为正, 表示 ΔC V 的方向与所设单位力的方向相同, 即 ΔCV 向下 ( ) 例 4. 9 求图 4. 24(a) 所示刚架上点 C 的竖向位移 ΔCV 和点 B 的水平位移 ΔB H 已知各杆的 EI 为常数 图 解 ) 求点 C 的竖向位移 ΔCV 在点 C 虚加一竖向单位力 F =, 绘出 M 图 和 M 图, 分别如图 4. 24(b ) (c) 所示 两图分段图乘后相加, 得 86 ΔCV = EI 3 q q 2 2 = 5q 4 8E I ( )

31 计算结果为正, 表示 ΔC V 的方向与所设单位力的方向相同, 即 ΔCV 向下 2) 求点 B 的水平位移 ΔB H 在点 B 虚加一水平单位力 F =, 绘出 M 2 图, 如图 4. 24(d) 所示 将 M 图和 M 2 图分段图乘后相加, 得 Δ BH = EA 3 q q = q 4 4EI ( ) 计算结果为正, 表示 ΔB H 的方向与所设单位力的方向相同, 即 ΔB H 向右 例 4. 0 求图 4. 25(a ) 所示刚架杆端 A B 之间的水平相对线位移 (ΔA B)H 已知各杆的 EI 为常数 解 在杆端 A B 水平连线方向虚加一对方向相反的单位力 F =, 绘出 M 图和 M 图, 分别如图 4. 25(b ) (c) 所示 两图分段图乘后相加, 得 (ΔA B)H = E I = 280 3E I ( ) 图 计算结果为正, 表示 (ΔA B)H 的方向与所设单位力的方向相同, 即 (ΔA B)H 是使 A B 两点靠近的 4. 6 静定结构由于支座移动 温度改变所引起的位移 支座移动引起的位移计算 静定结构在支座移动时, 只发生刚体位移, 不产生内力和变形 例如, 图 (a) 所示静定刚架由于支座 A 的移动只发生图中虚线所示的刚体位移 若欲求刚 架上点 K 沿 K -K 方向的位移 ΔK, 可在点 K 沿 K -K 方向虚加一单位力 F = 作为 虚拟状态 [ 图 4. 26(b )], 则位移计算公式 (4. 3) 简化为 式中 :R 虚拟状态的支座反力 ; c 实际状态的支座位移 ; ΔK = - Rc (4. 3) Rc 虚拟状态的支座反力在实际状态的支座位移上所作虚功之和 87

32 图 在上式中, 乘积 RC 的正负号规定为 : 当虚拟状态的支座反力与实际支座位移的方向一致时取正号, 相反时取负号 例 4. 图 4. 27(a) 所示结构的支座 A 发生了图中所示的移动和转动, 求结构上点 B 的水平位移 ΔB H 和竖向位移 ΔB V 图 解 ) 求点 B 的水平位移 ΔB H 在点 B 虚加一水平单位力 F =, 求出结构在 F = 作用下的支座反力, 如图 4. 27(b) 所示 由式 (4. 3) 得 ΔB H = - (- a + h φ)= a - hφ 当 a > hφ 时, 所得结果为正, 点 B 的水平位移向左 ; 否则向右 2) 求点 B 的竖向位移 ΔBV 在点 B 虚加一竖向单位力 F =, 求出结构在 F = 作用下的支座反力, 如图 4. 27(c) 所示 由式 (4. 3) 得 ΔB V = - (- b - φ)= b + φ ( ) 计算结果为正, 表示 ΔB V 的方向与所设单位力的方向相同, 即 ΔB V 向下 88

33 温度改变引起的位移计算工程结构都是在某一温度范围内建造的 在使用时, 这些结构所处的环境温度相对于建造时的温度一般要发生变化, 这种温度的改变将会引起构件的变形, 从而使结构产生位移 对于静定结构, 温度改变只会引起材料的自由膨胀 收缩, 在结构中不会引起内力, 但将产生变形和位移 静定结构由于温度改变引起的位移计算公式, 仍可由位移计算的一般公式 (4. 3) 导出 但应注意, 式 (4. 3) 中微段的变形是由材料的自由膨胀 收缩引起的 以图 4. 28(a) 所示刚架为例, 设外侧温度升高 t, 内侧温度升高 t 2, 且 t 2 > t, 并假定温度沿截面的高度 h 为线性分布, 则在发生变形后, 截面还将保持为平面 从杆件中取出一微段 ds[ 图 4. 28(b)], 杆件轴线处的温度为 t 0 = (h t 2 + h2t )/ h 图 如果杆件截面对称于形心轴 (h = h 2 ), 则有 上 下边缘的温度差为 t 0 = (t + t 2 )/ 2 Δt = t2 - t 在温度改变时, 杆件不产生切应变 γ, 轴向应变 ε 和曲率 k 分别为 k = ε= αt 0 dφ α(t 2 - t )ds = = ds hds 式中 :α 材料的线膨胀系数 将上两式代入式 (4. 3), 并令 γ= 0, 即得静定结构 由于温度改变引起的位移计算公式为 ΔK = (± ) F N α t0 ds + α Δt h 如果 t 0 Δt 和 h 沿每一杆件的全长为常数, 则上式可写为 (± ) α Δt M ds (4. 4) h 89

34 式中 : 杆件的长度 ; A N F N 图的面积 ; A M M 图的面积 ΔK = (± )α t 0A N + (± )α Δt A M (4. 5) h 在应用以上两式时, 正负号可按如下的方法确定 : 比较虚拟状态的变形与实际 状态由于温度改变引起的变形, 若二者的变形方向相同, 则取正号 ; 反之取负号 式 中的 t 0 和 Δt 均取绝对值进行计算 例 4. 2 求图 4. 29(a) 所示刚架上点 C 的竖向位移 ΔCV 已知刚架内侧的 温度升高 0, 各杆截面相同且截面关于形心轴对称, 材料的线膨胀系数为 α 图 解 在点 C 虚加一竖向单位力 F =, 绘出各杆的 F N 图和 M 图, 分别如图 4. 29(b) (c) 所示 图中的虚线表示杆件的弯曲方向 可以看出, 各杆的实际弯曲方 向都与虚拟的相反, 故在利用式 (4. 5) 计算时, 最后一项应取负值 至于轴向变形 的影响一项, 因杆 AB 的虚拟轴力是压力, 而温度变形使其伸长, 故也应取负值 因 此, 点 C 的竖向位移为 ΔCV= - α = - 5α - 5α = - 5α + 3 h 2 h - α 0-0 h ( ) 2 + 计算结果为负, 表示 ΔC V 的方向与所设单位力的方向相反, 即 ΔCV 向上 4. 7 互等定理 90 本节介绍线弹性结构常用的三个普遍定理 功的互等定理 位移互等定理

35 和反力互等定理 其中最基本的是功的互等定理, 位移互等定理和反力互等定理都可以由功的互等定理导出 在以后超静定结构的计算中, 要引用这些互等定理 功的互等定理图 4. 30(a) (b) 所示为同一结构的两种状态, 分别作用两组外力 F 和 F 2 在状态 Ⅰ 中, 设由 F 引起的内力为 F N F S M, 由 F 引起的 F 2 作用点沿 F 2 方向的位移为 Δ2; 在状态 Ⅱ 中, 设由 F 2 引起的内力为 F N2 F S2 M 2, 由 F 2 引起的 F 作用点沿 F 方向的位移为 Δ2 图 若以 W 2 e 表示状态 Ⅰ 的外力在状态 Ⅱ 的相应位移上所作的虚功, 则根据虚功原理可写出虚功方程 同理, 若以 W 2 e 出虚功方程 F NF W 2 N2 e = EA ds + K F SF S2 GA ds + M M 2 ds E I 表示状态 Ⅱ 的外力在状态 Ⅰ 的相应位移上所作的虚功, 可写 F N2F W 2 N e = EA ds + K 以上两式的右边完全相同, 故有 或写为 W 2 e = W 2 e F S2F S GA ds + M 2 M ds E I F Δ2 = F 2 Δ2 (4. 6) 这就是功的互等定理, 即第一状态的外力在第二状态的相应位移上所作的虚功总和, 等于第二状态的外力在第一状态的相应位移上所作的虚功总和 这里, 表示全部外力所作的虚功 ; 位移 Δij 有两个下标, 第一个下标表示产生位移的地点, 第二个下标表示产生位移的原因 位移互等定理 位移互等定理是功的互等定理的一个特殊情形, 即在两种状态中分别作用单位力时, 在单位力的作用点沿单位力方向的位移之间的互等关系 在图 4. 3 所示的两种状态中, 结构都只受一个单位力 F = F 2 = 的作用 设 9

36 用 δ 2 表示由 F 2 = 引起的 F 作用点沿 F 方向的位移, 用 δ2 表示由 F = 引起的 F 2 作用点沿 F 2 方向的位移, 则由功的互等定理可得 因 F = F 2 =, 故有 F δ 2 = F 2 δ2 δ 2 = δ2 (4. 7) 图 4. 3 这就是位移互等定理, 即在第一状态中由第一个单位力引起的第二个单位力作用点沿第二个单位力方向的位移 δ 2, 等于第二状态中由第二个单位力引起的第一个单位力作用点沿第一个单位力方向的位移 δ 2 这里, 单位力可以是广义力, 而位移则是相应的广义位移 图 图 所示为应用位移互等定理的两个例子 图 表示两个角位移互等的情况 ; 图 表示线位移和角位移在数值上相等的情况 图 图 反力互等定理反力互等定理是功的互等定理的另一个特殊情形, 它表示超静定结构在两个支座分别产生单位位移时, 在两种状态中反力之间的互等关系 图 所示为同一超静定结构的两个支座分别发生单位位移的两种状态 图 4. 34(a) 表示支座 发生单位位移 Δ =, 在支座 2 处引起的反力为 r 2 ; 图 4. 34(b) 表示支座 2 发生单位位移 Δ2 =, 在支座 处引起的反力为 r 2 其他支座反力未在图中绘出, 因为它们所对应的另一状态的位移为零, 不作虚功 根据功的互等定理可得 92

37 r 2 = r 2 (4. 8) 图 这就是反力互等定理, 即对超静定结构, 在第一状态中由支座 的单位位移引起的支座 2 处的反力 r 2, 等于第二状态中由支座 2 的单位位移引起的支座 处的反力 r 2 这里, 反力 r ij 有两个下标, 第一个下标表示产生反力的地点, 第二个下标表示产生反力的原因 同样, 这里的支座可以换成别的约束, 支座位移可以换成该约束相应的广义位移, 支座反力可以换成该约束相应的广义力 图 所示为反力互等的例子 这里, 反力 r 2 和反力矩 r 2 在数值上是相等的 图 思考题 4. 什么是虚位移? 实位移和虚位移有何区别? 什么是虚功? 实功和虚功有 93

38 何区别? 4. 2 简述虚功原理的两种应用及其计算步骤 4. 3 应用虚功原理计算位移有什么优越性? 4. 4 用式 (4. 7) 计算梁和刚架的位移, 需先写出 M 和 M 的表达式 在同一区 段写这两个弯矩表达式时, 可否将坐标原点取在不同的位置? 为什么? 4. 5 图乘法的适用条件是什么? 求变截面梁和拱的位移时是否可用图乘法? 4. 6 下列图乘计算是否正确? 试说明理由 设梁的 EI 为常数 ()Δ BV= EI 3 q (2)Δ CV= EI q q q 思考题 4. 6 图 4. 7 图示两个相同的悬臂梁, 受不同的单位荷载作用,EI 为常数 求图 (a) 中 点 2 的竖向位移和图 (b) 中截面 的角位移, 计算结果说明了什么? 思考题 4. 7 图 4. 8 反力互等定理是否可用于静定结构? 若使用了会得出什么结果? 4. 9 试利用功的互等定理证明图 (a ) 所示支座转动状态在点 2 处产生的竖向位移 δ2, 等于图 (b) 所示状态在点 处产生的反力矩 r 2, 但符号相反 上述关系称为位移反力互等定理 94

39 思考题 4. 9 图 习 题 4. 试用单位荷载法求图示结构的指定位移 设各杆的 EI 为常数 同 习题 4. 图 4. 2 试用单位荷载法求图示桁架中结点 C 的指定位移 设各杆的 EA 均相 习题 4. 2 图 95

40 4. 3 试用单位荷载法求图示曲梁中 B 点的水平位移 ΔB H 不计曲率的影响, EI 为常数 习题 4. 3 图 4. 4 试用图乘法求图示梁的指定位移 设各杆的 EI 为常数 习题 4. 4 图 4. 5 试用图乘法求图示刚架的指定位移 设各杆的 EI 为常数 4. 6 图示刚架支座 A 发生图中所示位移 求点 C 的水平位移 ΔC H 和点 D 的竖向位移 ΔD V 4. 7 刚架中各杆的温度变化如图所示, 求点 C 的竖向位移 ΔCV 设各杆均为矩形截面, 截面高度为 h,h/ = / 0, 材料的线膨胀系数为 α 4. 8 图示桁架中, 杆件 AB 由于制造误差比原设计长度短了 40mm, 求由此所引起的点 C 的竖向位移 ΔCV 96

41 习题 4. 5 图 97

42 习题 4. 6 图 习题 4. 7 图 习题 4. 8 图 98

43 第五章力法 本章介绍力法计算超静定结构的原理和方法 力法是计算超静定结构的基本方法之一 在力法计算中, 把多余未知力作为基本未知量, 以解除了多余约束的静定结构作为力学分析基础, 由变形协调条件建立力法方程, 从而求出多余未知力 此外, 在本章中还将介绍超静定结构位移的计算方法以及超静定结构的特性 5. 超静定结构的概念和超静定次数的确定 5.. 超静定结构的概念前面各章中, 我们讨论了静定结构的计算 在工程实际中, 还存在着另一类型的结构, 即超静定结构 从本章开始, 我们将讨论超静定结构的计算问题 与静定结构相比, 超静定结构有如下两方面的特点 : () 几何组成方面就几何组成来说, 静定结构是无多余约束的几何不变体系 而超静定结构则是存在多余约束的几何不变体系 如图 5. 所示的连续梁, 若去掉支座链杆 B, 即变成简支梁, 体系仍是几何不变的, 所以该连续梁有一个图 5. 多余约束, 为一次超静定结构 (2) 静力特征方面从前面静定结构的计算中可知, 静定结构的全部反力和内力只靠静力平衡条件就可确定 超静定结构则不然, 因有多余约束, 相应的有多余未知力, 这就使得未知力的个数多于平衡方程的个数, 单靠平衡条件无法确定其全部反力和内力 如图 5. 所示连续梁, 它有四个反力, 却只有三个平衡方程, 因而, 不能用平衡方程求出其全部反力, 其内力也无法完全确定 所以, 从静力解答方面看, 如果结构的反力和截面上的内力不能完全由静力平衡条件来确定, 即为超静定结构 综上所述, 有多余约束存在, 支座反力和内力不能仅靠静力平衡方程确定, 这就是超静定结构与静定结构的根本区别 超静定次数的确定从几何组成上来说, 结构的超静定次数就是多余约束的个数 ; 从静力分析上 99

44 看, 超静定次数就是根据平衡方程计算未知力时所缺少的方程个数, 即多余未知力的个数 由于多余约束和多余未知力是一一对应的, 所以确定超静定次数最直接的方法, 就是把原结构中的多余约束去掉, 使之变成静定结构, 去掉的约束的个数即为超静定次数 通常, 从超静定结构中去掉多余约束的方式有如下几种 : ) 去掉支座处的一根支杆或切断一根链杆, 相当于去掉一个约束, 如图 5. 2 (a) (b ) 所示 图 ) 去掉一个固定铰支座或去掉一个单铰, 相当于去掉两个约束, 如图 5. 3(a) (b) 所示 所示 0 0 图 ) 去掉一个固定端支座或切断一个梁式杆 相当于去掉三个约束, 如图 5. 4

45 图 ) 将一个固定端支座改为固定铰支座或将一刚性联结改为单铰联结, 相当于 去掉一个约束, 如图 5. 5 所示 图 5. 5 对于某一个超静定结构, 去掉多余约束的方式有很多种, 但必须注意以下两点 : 去掉的约束必须是多余约束, 即去掉约束后, 结构仍然是几何不变体系, 结构中的必要约束是绝对不能去掉的 如图 5. 6(a) 所示的刚架, 如果去掉一个支座处的竖向支杆, 即变成了如图 5. 6(b ) 所示瞬变体系, 显然这是不允许的 因此, 此刚架支座处的竖向支杆不能作为多余约束 图 必须去掉全部多余约束, 即去掉约束后, 体系必须是无多余约束的 如图 5. 7(a ) 所示的结构, 如果只去掉一个竖向支杆, 即变成如图 5. 7(b ) 所示的体系, 但其闭合框架仍然有三个多余约束 必须把闭合框切开, 如图 5. 7(c) 所示 此时, 才成为静定结构, 因此, 原结构共有四个多余约束, 是四次超静定 0

46 图 力法的基本原理和典型方程 力法的基本原理由前述可知, 超静定结构与静定结构的根本区别在于有多余约束, 从而有多余未知力, 如果能设法求出多余未知力, 则超静定结构的计算就可转化为在多余未知力及荷载共同作用下的静定结构的计算问题了, 所以用力法计算的关键在于求解多余未知力. 基本结构和基本未知量如图 5. 8(a) 所示为一超静定梁, 有一个多余约束, 因此, 是一次超静定的 为了求出多余未知力, 将它的多余约束去掉, 而代之以多余未知力 X, 则原结构就变成了一个受荷载和多余未知力共同作用的静定结构, 如图 5. 8(b) 所示 我们把这种去掉多余约束而代之相应的多余未知力得到的静定结构, 称为原结构的基本结构 显然, 只要能求出多余未知力 X, 则原结构的计算问题就可由静定的基本结构来解决 因此, 力法的基本未知量就是多余未知力, 力法的名称也是由此而来的 2. 力法的基本方程 图 5. 8 现在我们讨论如何求出基本未知量 X, 由于基本结构 [ 图 5. 8(b)] 的受力 变 形与原结构应该是一致的 在原结构 [ 图 5. 8(a)] 中, 支座 B 处的竖向位移等于零, 0 2

47 所以在基本结构 [ 图 5. 8(b)] 中,B 点在 X 方向上的位移 Δ 也应该为零, 即 Δ = 0 (a) 上式称为变形协调条件, 它是基本结构与原结构等同的条件, 也是确定多余末知力大小的依据 令 Δ F 和 Δ 分别表示荷载 q 和多余末知力 X 单独作用在基本结构上时,B 点沿 X 方向上的位移, 如图 5. 8(c) (d) 所示 根据叠加原理, 式 (a) 可写成 Δ = ΔF + Δ = 0 (b) 式中位移 Δ Δ F Δ 的方向如果与 X 的方向相同, 则规定为正 由于 X 是未知力, 为了求得 X, 不妨先令 X = 时, 引起的 X 方向上的位移为 δ, 则有 Δ = δx (c) 将式 (c) 代入式 (b ), 有 δ X + ΔF = 0 (5. ) 这就是一次超静定结构的力法基本方程 上述方程中的 δ 称为系数,ΔF 称为自由项, 它们的物理意义分别如图 5. 9 (b) (a) 所示 由于 δ 和 ΔF 是静定结构在已知力作用下的位移, 均可按第四章所述计算位移的方法求得, 因此解上述方程, 可求得多余未知力 X 图 5. 9 为了具体计算 δ 和 Δ F, 先分别绘出基本结构在荷载单独作用下的弯矩图 M F 图 [ 图 5. 9(c)] 和基本结构在 X = 单独作用下的弯矩图 M 图 [ 图 5. 9(d)], 然后 应用图乘法, 可得 δ = ΔF = M M dx = EI E I M M F dx = - E I EI = 3 3EI 3 2 q = - q 4 8E I 03

48 代入力法方程式 (5. ), 有 得 3 3E I X - q 4 8EI = 0 X = 3 8 q 3 所得未知力 X 为正号, 表示反力 X 的方向与所设的方向相同 多余未知力 X 求出后, 就可以利用静力平衡条件求原结构的支座反力和任一截面上的内力, 内力图如图 5. 0 所示 图 5. 0 结构任一截面上的弯矩也可用叠加原理表示为 M = M X + M F (5. 2) 式中 :M 单位力 X = 作用下在基本结构中任一截面上所产生的弯矩 ; M F 荷载作用下基本结构中同一截面上所产生的弯矩 综上所述, 力法计算超静定结构是以多余未知力作为基本未知量, 取去掉多余 约束后的静定结构为基本结构, 根据基本结构中在多余约束处的位移与原结构在 此方向上的位移相等的变形协调条件建立力法基本方程, 从而可求解出多余未知 力, 而以后的计算与静定结构相同 力法典型方程 以上讨论的是一次超静定结构, 下面结合一个三次超静定的刚架来进一步说 明用力法解多次超静定结构的原理和力法典型方程的建立 如图 5. (a) 所示的刚架为三次超静定结构, 分析时必须去掉它的三个多余 约束, 设去掉固定支座 B, 代之以相应的多余未知力 X X 2 X 3, 得到图 5. (b) 所 示的基本结构 在原结构中, 由于 B 端为固定端, 所以没有水平位移 竖向位移和 角位移 因此, 基本结构在荷载和多余未知力 X X 2 X 3 共同作用下, 在 B 端产生 的 X X 2 X 3 方向上的位移必须都等于零, 即 0 4 Δ = 0, Δ2 = 0, Δ3 = 0 令 δ δ2 δ3 分别表示当 X = 单独作用时, 基本结构上 B 点沿 X X 2 和 X 3

49 方向的位移 [ 图 5. (c)];δ 2 δ2 2 δ 32 分别表示当 X 2 = 单独作用时, 基本结构上 B 点沿 X X 2 和 X 3 方向的位移 [ 图 5. (d )];δ 3 δ23 δ 33 分别表示当 X 3 = 单独作 用时, 基本结构上 B 点沿 X X 2 和 X 3 方向的位移 [ 图 5. (e)];δf Δ2F Δ3F 分别 表示当荷载 F F 2 单独作用时基本结构上 B 点沿 X X 2 和 X 3 方向的位移 [ 图 5. (f)] 根据叠加原理, 基本结构应满足的变形条件可写为 Δ = 0 δx + δ2x 2 + δ3x 3 + ΔF = 0 Δ 2 = 0 δ2x + δ22x 2 + δ23x 3 + Δ2F = 0 (5. 3) Δ 3 = 0 δ3x + δ32x 2 + δ33x 3 + Δ3F = 0 图 5. 上述方程组的物理意义是 : 基本结构中在各多余未知力和已知荷载共同作用 05

50 下, 与每一个多余未知力相应的位移应与原结构中相应的位移相等 应当说明, 同一结构可以按不同的方式选取力法的基本结构和基本未知量, 如图 5. (a) 所示的结构, 其基本结构也可用图 5. 2(a) (b) (c) 所示的基本结构, 这时力法方程在形式上与式 (5. 3) 完全相同 但由于 X X 2 和 X 3 的实际含义不同, 因而变形协调条件的含义也不同 此外, 还须注意, 基本结构必须是几何不变的, 瞬变体系不能用作基本结构 下面讨论 n 次超静定的一般情形 图 5. 2 若结构为 n 次超静定, 仍可按同样的方法建立 n 个多余未知力的力法方程 分 析时, 可去掉 n 个多余约束得到静定的基本结构, 在去掉的 n 个多余约束处代之以 相应的 n 个多余未知力 当原结构在去掉多余约束处的位移为零时, 相应地也就有 n 个已知位移条件 :Δi = 0(i =,2,,n ), 据此, 可建立 n 个含多余未知力的方 程组 δ X + δ2x 2 + δix i + δnx n + ΔF = 0 δ2 X + δ22x 2 + δ2ix i + δ2nx n + Δ2F = 0 (5. 4a) δnx + δn2x 2 + δnix i + δnnx n + ΔnF = 0 上述方程组在组成上有一定的规律, 不论超静定结构的类型 次数 及所选的基本结构如何, 所得的方程都具有式 (5. 4a) 的形式, 故称之为力法的典型方程 在方程组 (5. 4a ) 中, 系数 δij 和自由项 ΔiF 都代表基本结构的位移 位移符号中 0 6

51 采用两个下标, 第一个下标表示位移的方向, 第二个下标表示产生位移的原因 例如 : δij 由单位力 X j = 产生的沿 X i 方向的位移, 常称为柔度系数 ; ΔiF 由荷载产生的沿 X i 方向的位移 位移正负号规则为 : 当位移 δij ΔiF 的方向与相应力 X i 的方向相同时, 则位移规定为正 如果我们把方程组 (5. 4a ) 中的柔度系数上下对齐, 可写成下列的矩阵形式 : δ δ 2 δn δ 2 δ2 2 δ2n (5. 4b) δn δn2 δn n 这个矩阵就称为柔度矩阵 从矩阵的左上角到右下角的对角线称为主对角线, 主对角线上的系数称为主系数, 主系数都是正值, 且不为零 不在主对角线上的系数称为副系数, 根据位移互等定理, 系数 δ ij 与 δ ji 是相等的, 即 δij = δji 上式表明, 力法方程中位于主角对线两侧对称位置上的两个副系数相等 副系数可以是正值或负值, 也可以是零 由位移互等定理可知, 柔度矩阵是一个对称矩阵 由于基本结构是静定的, 所以力法方程中各系数和自由项都可按第四章求位移的方法计算, 对于梁和刚架在不计剪力和轴力的影响时, 可按下式计算或用图乘法计算 : M δ ii = 2 i EI ds δ ij = ΔiF = M im j ds E I M im F ds EI (5. 5) 式中 :M i M j M F 分别代表 X i= X j = 和荷载单独作用于基本结构时的弯矩 从力法典型方程中解出多余未知力 X i (i = 2 n) 后, 即可按照静定结构的分析方法求原结构的反力和内力, 或按下述叠加公式求出弯矩 : M = X M + X 2 M X n M n + M F (5. 6) 再根据平衡条件可求得剪力和轴力 5. 3 力法的计算步骤和示例 根据以上所述, 用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下 : 07

52 ) 去掉原结构的多余约束, 并以多余未知力代替相应多余约束的作用, 从而得到基本结构 2) 根据基本结构在去掉多余约束处的位移等于原结构相应位置的位移, 建立力法方程 3) 计算力法方程中各系数和自由项 为此, 须绘出基本结构在单位未知力作用下的内力图和荷载作用下的内力图或写出内力表达式, 然后按求位移的方法计算各系数和自由项 [ 对于梁和刚架可按式 (5. 5) 计算 ] 4) 将计算所得系数和自由项代入力法方程, 求解各多余未知力 5) 绘制原结构的内力图 以下分别举例说明用力法计算超静定梁 刚架 铰接排架 桁架和组合结构的具体方法 超静定梁和超静定刚架. 超静定梁 例 5. 图 5. 3(a) 所示为一两端固定的超静定梁, 全跨承受均布荷载 q 的作用, 试绘制梁的内力图 0 8 图 5. 3

53 解 ) 选取基本结构和基本未知量 这是一个三次超静定梁, 现撤去 A B 端的转动约束及 B 端的水平约束, 代之以多余力 X,X 2,X 3, 得到一简支梁为基本 结构, 如图 5. 3(b) 所示 由于竖向荷载作用下, 当不计梁的轴向变形时,X 3 = 0, 故 只计算 X,X 2 2) 建立力法方程 由原结构中 A 端 B 端的转角等于零的变形条件, 即 Δ = 0 Δ2 = 0, 建立力法方程 : δ X + δ2x 2 + ΔF = 0 δ2 X + δ22x 2 + Δ2F = 0 3) 计算方程中各系数和自由项 分别绘制基本结构由于单位力 X = X 2 = 所产生的弯矩图, 即 M 图 [ 图 5. 3(c)] M 2 图 [ 图 5. 3(d)] 基本结构在荷载作用 下的弯矩图, 即 M F 得 图 [ 图 5. 3(e)] 利用图乘法求解系数和自由项, 有 M = 2 EI ds = E I = 3E I δ δ 2 = δ2 = Δ F = δ 22 = M M 2 ds = - E I M M F ds = E I Δ2F = E I M 2 2 E I ds = E I 3EI 2 3 = - 6E I q 2 M 2 M F ds = - EI q 3 24EI 2 = q 3 24EI 4) 解力法方程, 求基本未知量 将求得的系数和自由项代入力法方程, 化简后 2X + X 2 + q 2 4 = 0 - X + 2X 2 - q 2 4 = 0 解得 X = - 2 q 2, X 2 = 负号说明 X 所设方向与实际作用方向相反 5) 绘制内力图 由式 (5. 6) 计算最后的弯矩 梁两端的弯矩分别为 2 q 2 M = X M + X 2 M 2 + M F M AB = - q = - q

54 M BA = 0 + q = q 2 2 以 M AB M BA 的值作为纵坐标, 绘在 AB 杆的受拉侧, 连以虚线, 再叠加简支梁在均布荷载作用下的弯矩图, 即得最后弯矩图 [ 图 5. 3(f)] 绘剪力图时, 可以取杆件为隔离体, 利用已知杆端弯矩, 由静力平衡条件, 求出杆端剪力, 然后绘出此杆的剪力图 [ 图 5. 3(g )] 由以上计算可知, 单跨超静定梁的弯矩图与同跨度 同荷载的简支梁相比较, 因超静定梁两端受多余约束限制, 不能产生转角位移而出现负弯矩 ( 上侧受拉 ), 故梁中点处的弯矩值较相应简支梁减少, 降低了最大内力峰值, 使整个梁上内力分布得以改善 例 5. 2 试绘制图 5. 4(a) 所示连续梁的弯矩图 图 5. 4 解 ) 选取基本结构和基本未知量 此连续梁为二次超静定结构, 撤去 A 端的转动约束和 C 端的竖向支杆, 代之以相应的多余未知力 X X 2, 得到基本结构, 如图 5. 4(b ) 所示 2) 建立力法方程 原结构在 X 作用方向上的转角位移为零, 在 X 2 作用方向 0

55 上的竖向位移为零 所以, 基本结构应满足的变形条件是 :Δ = Δ2 = 0 建立力法 方程 δ X + δ2x 2 + ΔF = 0 δ2 X + δ22x 2 + Δ2F = 0 3) 计算系数和自由项 分别作出单位力 X = X 2 = 及荷载单独作用在基本 结构时的弯矩图 M 图 M 2 图和 M F 图 [ 图 5. 4(c) (d) (e)] 然后应用图乘法求各 系数和自由项如下 : δ = δ 22= = 3 3EI M 2 E I ds = EI M 2 2 E I ds = EI + I I 2 δ 2= δ2 = Δ F= Δ2 F= M M F ds = E I M 2M F ds = E I M M 2 ds = EI = 3EI EI2 EI EI EI = 2 6E I 2 3 q q = = q 3 24EI q 4 24EI 将上述系数和自由项代入力法方程, 整理后得到 X + 3EI 2 X 2 + q 2 8 = 0 X 3EI I X 2 + q 2 I 2 8 = 0 4) 求解未知力 令 I 2 / I = K, 则得到 X = - q 2 4 K + 2 3K + 4 X 2 = - q 4 K 3K + 4 负号表示未知力 X X 2 的实际方向与所设方向相反 5) 绘制弯矩图 由叠加公式 M = M X + M 2X 2 + M F 计算各控制截面上的弯 矩值, 用叠加法绘制最后 M 图, 如图 5. 4(f) 所示 由以上计算结果可知, 多余未知力 X X 2 和梁的弯矩值 M 的大小与梁的刚 度比 K = I 2 / I 有关 当刚度比值 K 0 时, 即 BC 跨的弯曲刚度 EI2 远远小于 AB 跨的弯曲刚度 EI 时 这时 M AB= - q 2 / 8,M BA= M BC= 0,M CB = 0 对应的弯矩图 如图 5. 4(g ) 所示,AB 跨相当于一个 A 端固定 B 端简支的单跨梁承受着荷载, 而

56 BC 跨因刚度过小, 不能承受荷载, 没有弯矩产生 ; 当 K 时, 即 BC 跨的弯曲刚度 EI 2 远远大于 AB 跨的弯曲刚度 EI 时, 这时,M AB= - q 2 / 2,M BA = M BC= - q 2 / 2,M CB = 0, 对应的弯矩图如图 5. 4(h) 所示,AB 跨的弯矩分布与两端固定的单跨梁相同, 这是由于 BC 跨的刚度过大, 完全约束了 B 点的转动 总之, 在荷载作用下, 超静定结构的内力分布与各杆的相对刚度值有关, 相对刚度愈大, 承受的内力也愈大 这是超静定结构受力的重要特征之一 2. 超静定刚架在刚架计算中, 力法方程中的系数和自由项可按式 (5. 5) 计算, 一般可忽略剪力和轴力的影响, 而只考虑弯矩的影响, 使计算得到简化 在高层刚架的柱中轴力影响比较大, 在短而粗的杆件中剪力影响比较大, 如遇这些情况, 需另作处理 例 5. 3 试计算图 5. 5(a) 所示的超静定刚架, 并绘制内力图 图 5. 5 解 ) 选取基本结构和基本未知量 这是一个二次超静定结构, 去掉 C 端 铰支座的两个约束, 得到一个基本结构, 如图 5. 5(b) 所示 2) 建立力法方程 基本结构在荷载和多余未知力作用下, 应满足 C 点的水平 和竖向位移为零的变形条件, 建立力法方程 δ X + δ2x 2 + ΔF = 0 δ2 X + δ22x 2 + Δ2F = 0 3) 求系数和自由项 先分别绘制基本结构在荷载作用下的 M F 图 [ 图 5. 5 (c)] 及单位力 X =,X 2 = 作用下的 M 图和 M 2 图 [ 图 5. 5(d) (e )], 利用图乘法 计算各系数和自由项如下, 有 2

57 解得 如下 : δ= δ2= δ2 = δ22= ΔF= -. 5EI (a a a )+ 2EI. 5EI. 5EI = - 9qa 4 48E I Δ2F= -. 5EI. 5E I a a 2 a = a 3 a a a = 5a 3 3EI 2 a a 2 3 a = a E I 2 qa 2 a a - 2EI 2 qa 2 a 2 a = - qa 4 6EI 6EI 3 2 qa 2 a 3 4 a 4) 求多余未知力 将上述各系数和自由项代入力法方程, 整理后得 5 6 X + 3 X qa = 0 3 X X 2-6 qa = 0 X = 7 6 qa, X 2 = 3 32 qa 5) 绘制内力图 利用叠加公式 M = M X + M 2 X 2 + M F, 计算各杆端的弯矩值 M CB = 0 M BC = 7 6 qa a - 2 qa 2 = - 6 qa 2 ( 外侧受拉 ) M AB = 7 6 qa a qa a - 2 qa 2 = 绘制弯矩图如图 5. 6(a) 所示 32 qa 2 ( 内侧受拉 ) 图

58 剪力和轴力按第三章分析静定结构的方法, 利用平衡条件计算, 绘制剪力图和 轴力图如图 5. 6(b) (c) 所示 例 5. 4 试绘制图 5. 7(a) 所示刚架的弯矩图,EI 为常数 图 5. 7 解 ) 选取基本结构 此刚架为三次超静定的, 去掉 B 处的三个多余约束, 代之以多余未知力 X X 2 和 X 3, 得到图 5. 7(b ) 所示的基本结构 2) 建立力法方程 原结构中由于 B 点的水平位移 竖向位移和转角位移均为 零, 据此建立力法方程 4 δ X + δ2x 2 + δ3x 3 + ΔF = 0 δ 2X + δ22x 2 + δ23x 3 + Δ2F = 0

59 δ 3X + δ32x 2 + δ33x 3 + Δ3F = 0 3) 计算各系数和自由项 分别绘制基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图, 如 图 5. 7(c) (d) (e) (f) 所示, 利用图乘法求得各系数和自由项, 有 解得 δ = δ22 = δ 2 = δ2 = - 2 2E I (6 6 6)= 3EI EI 2E I (6 6 6)+ 3EI δ3 3 = δ 3 = δ3 = - δ 23 = δ32 = 2E I Δ F = = 32 EI 2 2EI ( 6 )+ 3E I ( 6 )= 8 EI 2 2E I EI = - 90 E I (6 6 )= - 3E I EI 2E I (6 6 )+ 3EI Δ2F = - Δ3F = - 2E I 2E I 2E I = 24 EI = 89 E I = EI 26 6 = - 26 EI 4) 求多余未知力 将以上和各系数和自由项代入力法方程, 化简后得 24X - 5X 2-5X = 0-5X + 22X 2 + 4X 3-26 = 0-5X + 4X X 3-2 = 0 X = 9kN, X 2 = 6. 3kN, X 3 = 30. 6kN m 5) 绘制弯矩图 各杆的杆端弯矩按公式 M = X M + X 2 M 2 + X 3 M 3 + M F 计 算, 最后弯矩图如图 5. 7(g ) 所示 铰接排架 铰接排架是由屋架 ( 或屋面大梁 ) 柱和基础组成的结构, 广泛应用于单层厂 房 柱与基础为刚结, 屋架与柱则简化为铰接 当柱承受荷载作用时, 屋架对于柱 顶只起联系作用, 故用力法分析排架时, 通常将屋架视为轴向刚度 EA 为无穷大的 杆件 图 5. 8(a) 所示为一厂房排架结构, 其计算简图如图 5. 8(b ) 所示, 由于柱上 常放置吊车梁, 因此, 往往做成阶梯式 5

60 图 5. 8 用力法分析排架时, 常忽略横梁的轴向变形, 一般把横梁作为多余约束切断, 代以多余未知力, 利用切口两侧截面相对位移为零的条件建立力法方程, 下面举例加以说明 例 5. 5 试分析图 5. 9(a ) 所示单跨铰接排架在吊车横向水平制动力作用下的内力, 并绘制弯矩图,E 为常数 图 5. 9 解 此排架为一次超静定, 切断横梁 CD, 代之以多余未知力 X, 得到图 5. 9(b) 所示的基本结构 根据横梁切口两侧截面在荷载和多余未知力共同作用下相对水平线位移应该为零的变形条件, 即切口处两侧截面应保持连续, 没有错开, 也没有重叠, 建立力法方程 6

61 δ X + ΔF = 0 绘出基本结构的单位弯矩图 M 和荷载弯矩图 M F 所示, 据此可求得系数和自由项, 有 δ= = ΔF= M 2 EI ds = 2 EI EI 图, 分别如图 5. 9(c) (d) EI = 20 + M M F ds EI 6EI EI = 700 3E I 将上述系数和自由项代入力法方程, 得 96X = 0 3 解得 X = kN 负号表示多余力 X 的实际方向与所设方向相反, 即横梁内力为压力 根据叠加公式 M = X M + M F 即可得最后弯矩图, 如图 5. 9(e) 所示 在以上分析中, 我们假定横梁的刚度为无穷大, 即忽略横梁的轴向变形, 认为排架受力时横梁两端的水平位移相等 这对于一般钢屋架 钢筋混凝土结构屋架是适用的, 即把它们视作刚度为无穷大的横梁而按上述方法分析 ; 但对于刚度较小的屋架, 则必须考虑其轴向变形的影响 超静定桁架 由于桁架各杆中只产生轴力, 故用力法计算超静定桁架时, 方程中的系数和自由项按下式计算 : δ ii = F 2 N i E A δ ij = F N F i N j (5. 7) EA ΔiF = F N F i N F E A 7

62 桁架各杆的最后内力可按以下叠加公式计算 : F N = X F N + X 2 F N2 + + X nf Nn + F NF (5. 8) 例 5. 6 试计算图 5. 20(a) 所示的超静定桁架的内力 EA 为常数, 各杆尺寸如图所示 图 解 此桁架为一次超静定结构 支座反力可直接由静力平衡条件求得, 其多 余约束在体系内部 现切断链杆 BC, 得到基本结构如图 5. 20(b) 所示 根据原结构 中切口两侧截面沿杆轴方向的相对线位移为零的变形条件, 建立力法方程 δ X + ΔF = 0 分别求出基本结构在 X = 和荷载单独作用下的各杆的内力 F N 和 F NF, 如图 5. 20(c) (d) 所示, 然后按式 (5. 7) 计算系数和自由项如下 : δ = ΔF = F 2 N E A = 2 E A 2 a + 2 a a = 2a EA 代入力法方程求得 F NF NF E A = E A = F a + F a F a = Fa EA

63 X = - F 2 ( 压力 ) 各杆轴力按下式计算 : 最后内力结果如图 5. 20(e) 所示 超静定组合结构 F N = X F N + F NF 组合结构是由梁式杆和链杆组成的结构, 如图 5. 2 所示为一超静定组合结 构, 这种结构的优点在于节约材料 制造方便 在组合结构中, 链杆只受轴力, 梁式 杆既承受弯矩, 也承受剪力和轴力 计算力法方程中的系数和自由项时, 对于链杆 只考虑轴力的影响 ; 对梁式杆一般可只考虑弯矩的影响, 忽略轴力和剪力的影响 因此, 力法方程中的系数和自由项可由下式计算 : M δii = 2 i E I dx + F 2 Ni EA δij = ΔF = M i M j dx + E I M i M F dx + E I F NiF Nj E A F NiF NF E A (5. 9) 图 5. 2 各杆内力可按以下叠加公式计算 : M = M X + M 2 X M n X n + M F F N = F NX + F N2X F NnX n + F N F (5. 0) 以下举例说明其计算过程 例 5. 7 试分析如图 5. 22(a) 所示的加劲梁 各杆刚度如下 : 梁式杆 AB: EI= kn m 2 链杆 AD BD: EA= kn 链杆 CD: EA= kn 解 原结构是一次超静定的 设切断 CD 杆, 以多余未知力 X 代替其轴力, 其基本结构如图 5. 22(b) 所示 根据切口处两侧截面轴向相对位移为零, 即 Δ = 0, 建立力法方程 δ X + ΔF = 0 9

64 图 绘出基本结构在 X = 和荷载分别单独作用下的弯矩图 M 和 M F 图 [ 图 (c) (d)], 并计算出各链杆的轴力, 如图 5. 22(e) (f) 所示 计算系数和自由项时, 可略去梁的剪力和轴力对位移的影响, 计算结果如下 : M δ= 2 = N E I dx + F 2 EA kn m 2 2 3m. 5m kn m + = m / kn ΔF= M M F dx + E I F NF NF EA. 5m kn 2 m 2 = kn m m 0. 75m 2 80k N m m (0. 75m +. 5m) 80kN m = m 代入力法方程, 得 X = kN 2 0

65 由叠加公式 M = M X + M F F N = F NX + F NF 即可求出最后弯矩图 M 图和各链杆的轴力, 如图 5. 23(a ) (b) 所示 图 由以上计算结果可以看出, 因为 X M 与 M F 的符号相反, 故叠加后的 M 值要比 M F 小 这表明横梁下部的链杆对梁起加劲作用, 使横梁的弯矩大为减小, 这种作用随着链杆的截面面积和材料性质的不同而变化, 链杆的 EA 值越大, 加劲作用也越大 ; 反之越小 如果链杆的 EA, 则 X = 65kN, 横梁相当于 C 点有一竖向支杆的连续梁, 其 M 图也接近于两跨连续梁的 M 图 [ 图 5. 24(a )]; 若链杆的 EA 0, 则 X 0, 横梁的 M 图趋向于同跨简支梁的 M 图 [ 图 5. 24(b)] 图 结构对称性的利用 在工程实际中, 很多结构具有对称性, 所谓结构的对称性需满足以下两方面要求 : ) 结构的几何形状和支承情况对某一轴线对称 2) 杆件截面和材料性质也对此轴对称 因此, 对称结构绕对称轴对折后, 对称轴两边的结构图形完全重合 例如图 5. 25(a) 所示的刚架是一个对称刚架 ; 图 5. 25(b) 所示的矩形涵管也是一个对称结构, 并且具有两根对称轴 ; 图 5. 25(c) 所示刚架, 也有一根斜向的对称轴 利用结构的对称性, 适当选取基本结构, 使力法方程中尽可能多的副系数等于零, 从而使计 2

66 算大为简化 图 选取对称基本结构计算对称结构时, 应考虑选取对称的基本结构进行计算, 在图 5. 26(a) 所示的三次超静定刚架中, 若沿对称轴上梁的中间截面 C 切开, 则得到一个对称的基本结构, 如图 5. 27(a) 所示 梁的 C 截面切口两侧有三对大小相等的多余未知力 : 一对弯矩 X 一对轴力 X 2 一对剪力 X 3 其中 X ( 弯矩 ) X 2 ( 轴力 ) 是对称的多余力, 即绕对称轴对折后, 它们的作用点和作用方向将重合, 数值相等 X 3 ( 剪力 ) 是反对称的多余力, 即绕对称轴对折后, 作用点重合, 数值相等, 但指向相反 图 根据基本结构在荷载及 X X 2 X 3 作用下在切口两侧截面的相对转角 相对 水平线位移和相对竖向线位移等于零的条件, 建立力法方程 δ X + δ2x 2 + δ3x 3 + ΔF = 0 δ 2X + δ22x 2 + δ23x 3 + Δ2F = 0 δ 3X + δ32x 2 + δ33x 3 + Δ3F = 0 图 5. 27(b) (c) (d) 分别为各单位多余力作用时的单位弯矩图和变形图 显 然, 对称的未知力 X X 2 所产生的弯矩图 M 图 M 2 图及变形图是对称的 ; 反对称 的未知力 X 3 所产生的弯矩图 M 3 图和变形图是反对称的 因此, 2 2 δ3 = δ3 = M M 3 ds = 0 EI

67 δ23 = δ32 = M 2 M 3 ds = 0 EI 图 于是, 上述力法方程就简化为 δ X + δ2x 2 + ΔF = 0 (a) δ2 X + δ22x 2 + Δ2F = 0 δ 33X 3 + Δ3F = 0 (b) 可以看出, 通过选取对称的基本结构, 力法方程被分解为独立的两组 : 一组只含对称的未知力 X X 2, 另一组只含反对称的未知力 X 3 一般来说, 采用力法计算任何对称结构时, 只要所取的基本未知量都是对称力或反对称力, 则力法方程自然分解成独立的两组 : 一组只包含对称未知力, 另一组只包含反对称未知力 原来的高阶方程组就分解成两个低阶方程组, 因而使求解工作得到简化 荷载分组任意荷载都可分解为对称荷载和反对称荷载两部分 如果将作用在结构上的荷载 [ 图 5. 26(a)] 也分解成对称的和反对称的两种情况 [ 图 5. 26(b ) (c)], 则计算还可以进一步得到简化 在对称荷载作用下, 基本结构的荷载弯矩图 M F 图是对称的, 如图 5. 28(a) 所 23

68 示 由于 M 3 图 [ 图 5. 27(d)] 是反对称的, 因此 Δ3F = M 3 M F EI ds = 0 将上式代入力法方程式 (b), 可得反对称未知力 X 3 = 0, 这时只需按式 (a) 计算对称未知力 X 和 X 2 [ 图 5. 28(c)] 图 在反对称荷载作用下, 基本结构的荷载弯矩图 M F 图是反对称的, 如图 (b ) 所示, 而 M 图和 M 2 图是对称的, 如图 5. 27(b) (c) 所示, 因此 ΔF Δ2F = = M M F ds = 0 EI M 2 M F ds = 0 EI 将上式代入力法方程中 (a) 式, 可得对称未知力 X = 0,X 2 = 0, 这时只需按 (b) 式计算反对称未知力 X 3 [ 图 5. 28(d)] 综上所述得出如下结论 : 对称结构在对称荷载作用下, 反对称的多余未知力为 零, 结构的内力 ( 以及变形 ) 是对称的 ; 对称结构在反对称荷载作用下, 对称的多余 未知力为零, 结构的内力 ( 以及变形 ) 是反对称的 利用这一性质可以简化计算, 并 可以用来检查内力图是否正确 2 4 对称结构在非对称荷载作用下, 可以分解成对称荷载和反对称荷载来分别计

69 算而后再叠加 ; 也可以直接按非对称荷载进行计算, 二者各有利弊, 可视具体情况来选用 总之, 利用结构的对称性简化计算的要点是 : ) 选取对称的基本结构, 以对称或反对称的多余未知力作为基本未知量 2) 对称结构在对称荷载作用下, 反对称的多余未知力为零, 这时只需计算对称的多余未知力 3) 对称结构在反对称荷载作用下, 对称的多余未知力为零, 这时只需计算反对称的多余未知力 4) 对于非对称荷载可分解为对称荷载和反对称荷载两种情况分别进行计算而后再叠加 例 5. 8 绘制图 5. 29(a) 所示刚架在对称荷载作用下的 M 图,EI 为常数 图 解 此刚架是对称结构, 且荷载也是对称的 我们将中央铰去掉, 代之以两对多余未知力 X 和 X 2, 得到对称的基本结构, 如图 5. 29(b) 所示 其中多余未知 25

70 力 X 是对称的,X 2 是一对反对称未知力, 由于对称结构在对称荷载作用下, 反对 称的未知力为零 因此,X 2 = 0, 只需计算对称的未知力 X, 建立力法方程 δ X + ΔF = 0 分别绘制单位弯矩图 M 图和荷载弯矩图 M F 系数和自由项为 代入力法方程, 解得 δ = , ΔF = 3EI 3E I X = kN 图, 如图 5. 29(c) (d) 所示, 求得 最后弯矩按式 M = X M + M F 计算, 据此绘出弯矩图, 如图 5. 29(e) 所示 例 5. 9 利用结构的对称性绘制图 5. 30(a) 所示刚架的弯矩图 解 这是一个三次超静定对称刚架, 荷载是非对称的 将荷载分解成对称荷 载和反对称荷载 [ 图 5. 30(b ) (c)] 在对称荷载作用下 [ 图 5. 30(b)], 如果忽略横 梁的轴向变形, 则只有横梁承受压力 F / 2, 其它杆件无内力 因此, 为了求图 (a) 所示刚架的弯矩图, 只需求图 5. 30(c) 在反对称荷载作用下的弯矩图即可 图 选取对称的基本结构, 切开横梁对称轴处截面, 由对称性质可知, 截面上对称 的多余未知力 ( 轴力和弯矩 ) 为零, 只需计算反对称的未知力 X [ 图 5. 30(d )] 据 切口两侧截面相对位移为零的条件 建立力法方程 2 6 δ X + ΔF = 0 绘制荷载弯矩图 M F 图和单位弯矩图 M 图 [ 图 5. 30(e) (f)], 计算系数和自由项 : δ = 2 EI 2 h 2 + EI

71 代入力法方程, 令 得 = ΔF = 2 h + 2E I 2 EI 3 2EI 2 2 Fh 2 h 2 = Fh2 4E I X = - k = I 2 / I / h 6k 6k + Fh 2 由公式 M = M X + M F 计算可得刚架的弯矩图 [ 图 5. 3(a )] 图 5. 3 现在进一步讨论刚架弯矩图随横梁与立柱相对刚度比值 k 的变化规律, 当横梁的 I 2 远小于立柱的 I 时, 即 k 0 时, 弯矩图如图 5. 3(b ) 所示, 柱中弯矩的零点在柱顶 ; 当横梁的 I 2 远大于立柱的 I 时, 即 k, 弯矩图如图 5. 3(d) 所示, 此时, 柱的弯矩零点趋于柱中点 ; 在一般情况下, 柱的弯矩图有零点, 且零点在柱的中点以上的半柱范围内变动, 当 k= 3 时, 柱弯矩的零点位置与柱中点很接近, 如图 5. 3(c) 所示 半刚架法由上述分析可知, 对称结构在对称荷载作用下, 内力和变形是对称的, 在反对 27

72 称荷载作用下, 其内力和变形是反对称的 利用对称结构的这一特性, 可截取结构的一半来进行计算 这种用半个刚架的计算来代替原结构的分析方法, 称为半刚架法 下面就奇数跨和偶数跨两种对称刚架加以说明. 奇数跨对称刚架 () 对称荷载作用下的半刚架对于图 5. 32(a) 所示的单跨对称刚架, 在对称荷载作用下, 其变形和内力是对称的, 位于对称轴上的截面 C 处无转角 无水平线位移产生, 但可能有竖向位移 ; 同时, 在该截面上只可能存在弯矩和轴力, 但无剪力产生 因此, 取其一半计算时, 为了与上述情形相符合, 在该截面处可用一个定向支座代替原有的约束, 得到如图 5. 32(b) 所示的半刚架的计算简图, 这里的定向支座约束了截面 C 的转角和水平位移, 而允许产生竖向位移 ; 同时, 定向支座能产生反力矩和水平反力, 但无竖向反力, 这样, 半刚架中 C 截面的受力和变形情况与原结构完全相同 因此, 可以用图 5. 32(b ) 所示的结构来代替原刚架进行计算, 使原结构的三次超静定降低为两次, 从而使计算工作得以简化 (2) 反对称荷载作用下的半刚架 图 对于图 5. 32(c) 所示刚架, 在反对称荷载作用下, 其变形和内力是反对称的, 因此, 对称轴上的 C 截面无竖向位移发生, 但可能有水平位移和转角位移, 同时,C 截面处对称的内力 弯矩和轴力为零, 只有反对称的内力 剪力 因此, 取半 结构计算时, 为了与原结构的情形相符合,C 端可以用一根竖向支承链杆代替原有 的约束作用, 计算简图如图 5. 32(d) 所示, 半刚架中 C 截面的受力和变形情况与原 结构完全相同 于是把一个三次超静定的结构简化为一次超静定结构 2 8

73 2. 偶数跨对称刚架 () 对称荷载作用下的半刚架图 5. 33(a) 所示为一两跨对称刚架, 在对称荷载作用下, 因其变形和受力是对称的, 因此, 对称轴上 C 截面的水平位移和转角为零 又由于忽略杆件的轴向变形,C 截面也无竖向位移产生 同时, 由内力的对称性可知, 柱 CD 没有弯矩和剪力, 只有轴力, 而与结点 C 相连接的横梁的 C 端有弯矩 剪力和轴力 因此, 从对称轴处切开, 取半结构计算时, 截面 C 可取固定支座, 这样, 半刚架中 C 截面的受力和变形情况与原结构完全相同, 得到如图 5. 33(b ) 所示的计算简图 图 (2) 反对称荷载作用下的半刚架图 5. 33(c) 所示为偶数跨对称刚架, 在反对称荷载作用下, 内力和变形都是反对称的, 取半刚架时, 可将其中间立柱设想为由两根各具有 I / 2 的立柱组成, 它们分别在对称轴的两侧与横梁刚接, 如图 5. 33(e) 所示 将其沿对称轴切开, 由于荷载是反对称的, 故 C 截面上只有反对称的一对剪力 F SC[ 图 5. 33(f )] 当忽略杆件的轴向变形时, 这一对剪力 F SC 对其它杆件均不产生内力, 而仅仅在对称轴两侧的两根立柱中产生大小相等而性质相反的轴力, 由于原有中间柱的内力是这两根立柱的内力之和, 故剪力 F SC 对原结构的内力和变形都无影响, 于是可将其略去而取一半刚架的计算简图, 如图 5. 33(d) 所示 综上所述, 采用半结构计算时, 对称结构可分为奇数跨和偶数跨情形 它们在对称荷载和反对称荷载作用下在对称轴上的变形和内力是不同的, 应予注意 另外, 取半结构简化计算时, 作用在对称结构上的荷载必须是对称荷载或反对称荷载, 如属于非对称荷载, 则必须分解为对称荷载和反对称荷载两种情形, 分别采用半结构计算, 然后叠加得最后结果 当按上述方法取出半结构后, 即可用力法求出多余未知力, 并绘制半结构的内力图 ; 而另一侧半结构的内力图可根据对称关系绘出 在对称荷载作用下, 对称结构的弯矩图 轴力图是对称的, 剪力图是反对称的 ; 29

74 在反对称荷载作用下, 对称结构的弯矩图, 轴力图是反对称的, 剪力图是对称的 下面举例说明半刚架法的应用 例 5. 0 试绘制图 5. 34(a ) 所示刚架的弯矩图,E 为常数 图 解 这是一个四次超静定的两跨对称刚架, 在对称荷载作用下, 其半结构的 计算简图如图 5. 34(b) 所示, 此为二次超静定刚架, 将刚结点 D 变为铰结点, 并将 固定支座 E 改为铰支座, 得到基本结构, 如图 5. 34(c) 所示, 其中 X 为一对大小相 等的力偶,X 2 为支座处的反力偶 根据基本结构在多余未知力和荷载共同作用下, 铰结点 D 的两侧相对转角和 铰支座 E 的转角应为零的变形条件, 建立力法方程 δ X + Δ2X 2 + ΔF = 0 δ2 X + δ22x 2 + Δ2F = 0 绘制单位弯矩图 M 图 [ 图 5. 34(d )] M 2 图 [ 图 5. 34(e)] 和荷载弯矩图 M F [ 图 5. 34(f )], 应用图乘法计算各系数和自由项如下 : 代入力法方程解得 3 0 δ = δ2 = δ2 = ΔF = 7 3EI =,δ22 E I 2EI 6 3E I,Δ2F = 0 X = kN m 图

75 利用叠加公式 X 2 =. 28kN m M = M X + M 2X 2 + M F 及 M 图的对称性质, 绘制最后 M 图如图 所示 图 M 图 (kn m) 5. 5 超静定结构的位移计算与最后内力图的校核 超静定结构位移计算 对于超静定结构的位移计算, 仍可采用第四章所述的单位荷载法和相关计算 公式来进行计算 由力法原理可知, 满足变形条件的基本结构在多余未知力和荷载 共同作用下的内力与变形, 与原结构一致, 利用这一特点, 可将求超静定结构的位 移问题转化为求静定的基本结构的位移 同时, 我们注意到, 采用任何一种形式的 基本结构所求得的内力是一样的, 因此, 我们可以将最后内力看作是由任意基本结 构求得的 故在计算超静定结构的位移时, 其虚拟单位荷载可作用在与原结构对应 的任一基本结构上 这样, 在求超静定结构的位移时, 就可选取单位内力图较简单 的基本结构, 以使计算简化 下面举例说明超静定结构的位移计算 例 5. 求图 5. 36(a) 所示刚架 B 点的水平位移 ΔB H 和横梁中点 D 的竖向 位移 ΔD V 解 此刚架最后的弯矩由力法求出, 如图 5. 36(b ) 所示 求 B 点的水平位移时, 可选取图 5. 36(c) 所示的基本结构作为虚拟状态 在 B 点加水平单位力 F =, 得到虚拟状态的 M 图, 如图 5. 36(c) 所示, 应用图乘法求得 ΔB H= E I = 480 3E I ( ) 结果为正值, 表示 B 点的实际位移方向与所设单位力方向一致 3

76 图 求 D 点的竖向位移, 我们分别取图 5. 36(d) (e) 所示的基本结构作为虚拟状 态, 用图乘法计算如下 : 由图 5. 36(d) 计算得 ΔD V= E I = 20 E I ( ) 由图 5. 36(e) 计算得 ΔD V = EI = 20 E I ( ) 以上选取两种不同的基本结构作为虚拟状态, 计算结果则完全相同, 显然, 后 者较为简便 力法计算最后内力图的校核 内力图是结构设计的依据, 因此, 在求得内力图后应进行校核, 以保证其正确 性 正确的内力图必须同时满足平衡条件和位移条件 下面以图 5. 37(a) 所示刚架 3 2

77 及其最后内力图 [ 图 5. 37(b ) (c) (d)] 为例, 介绍内力图的校核方法 图