元件号节点号节点坐标弹性模量横截面积, (, );(, ) E A 其中杆件的长度可由下式计算 ( ) ( ) ( ) ( ) tg 是杆件的轴向与轴正方向的夹角对于图.8 所示的结构, 每个元件的节点号如下所示 : (.) 杆件产生节点位移,,, 后, 杆的长度变化为 ( 以受拉为正

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仇奋婞常
5 years ago
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1 第二节平面桁架问题考虑一个平面桁架结构, 如图.7 所示 : 图.7 平面桁架结构该结构由个杆件在个节点处连接而成在节点处铰接, 不能承受 ( 传递 ) 弯矩, 所以每个杆内只能产生均匀分布的轴向力. 鉴于上述假设, 每个节点处只有两个位移分量, 即, 方向的位移,, 它们是描述这一问题的变量 ( 参数 ) 整个问题的自由度数是节点数的二倍. 元件分析考虑结构中任一杆件, 如图.8 所示 : ( ) ( ) (X ) (X ) 图.8 轴力杆元件如前所述, 会交于同一节点的不同元件在该节点的位移必须有相同的值, 才能保证变形后结构保持完整所以表示节点位移时, 标志元件号的上标省略节点位移在, 方向的位移分量记为,,, 和, 对应的端点力为 X,, X, 和每个元件的信息可列表如下 :

2 元件号节点号节点坐标弹性模量横截面积, (, );(, ) E A 其中杆件的长度可由下式计算 ( ) ( ) ( ) ( ) tg 是杆件的轴向与轴正方向的夹角对于图.8 所示的结构, 每个元件的节点号如下所示 : (.) 杆件产生节点位移,,, 后, 杆的长度变化为 ( 以受拉为正, 受压为负 ) ( sn ) ( sn ) (.) 在节点处的端点轴向力为 E A F E A (.) 其中 E A 该力在, 方向的分量就是 X 和, 其表达式为 : X F 即 F sn sn sn sn sn sn 由杆件本身的平衡得到 F -F (.a) sn sn (.b) 5

3 6 X X sn sn sn sn sn sn 把以上式合并起来, 写成矩阵形式如下 X X sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn 上式写成分块形式为 F F 上式中各子矩阵, 各子向量的意义是很明确的. 组装各元件的方程得到结构各节点的平衡方程根据前面所述方法, 可组装成整个结构的方程如下 : 上述方程中各项都是子矩阵或子向量, 此方程表示了结构各节点的平衡. 施加边界条件 :{ }{ }{} 施加这种边界条件最简单的方法是从总体方程中划去对应行列, 得到 : 5. 已知外载荷 { },{ }, 求解方程组得到 { },{ } 6. 由求解得到的节点位移, 可求解各杆件的内力, 以及各固定点的支反力 { } 和 { } { },{ } 也就是式 (.6) 中的 { },{ } 读者自己可以证明 :. 轴力杆元件在局部坐标系中的刚度方程为 : (.c) (.) (.) (.5) (.6) (.7)

4 [ K ] { U } { F } AE 其中 [ ] U F. 如图.9 所示, 平面梁元件在局部坐标系中的刚度方程 : K, { } w,{ } f f ( ) w ( ) (M ) EI (M ) 图.9 [ K ] EI 对称 6EI EI EI 6EI EI 6EI EI 6EI, EI w } w { U,{ F } M M. 平面刚架元件每个节点有三个自由度, 其刚度方程是以上二个元件的组合第三节坐标转换, 边界条件, 求解离散问题的步骤. 坐标转换在上面分析桁架结构的元件时, 在, 坐标系中每个节点有两个自由度, 每个元件有个自由度, 元件的刚度矩阵是的如果我们沿元件的轴向建立一个坐标系,, 如图. 所示, 轴与轴的夹角为,f,f 图. 元件的局部坐标 7

5 在坐标系中元件每个节点只有一个自由度, 即沿轴向的位移, 所以每个元件共有个自由度,, 每个节点对应的端点力也只有一个分量, 即 f,f 推导元件的刚度方程变得十分简单, 即 AE f ( ) AE f f ( ) 写成矩阵形式有 AE f f 即 [ K ] { U } { F } (.8) 式是元件在坐标系中的刚度方程,{ } K 分别是元件在坐标系中的节点位移向量, 节点力向量和刚度矩阵, 这一方程与前面讨论的弹簧元件的方程在形式上是一样的每个元件的轴线方向不同, 所以各自的轴向位移和端点力方向不同, 如图.7 中的节点有三个元件会交于该点, 各自的轴向位移和轴向端力的方向如图. 所示.: U,{ F }, [ ] (.8a) (.8), f, f, f 图. 交于一点的各元件位移和端点力在元件各自的坐标系中, 建立刚度方程比较容易, 形式比较简单, 但在组装整个系统时遇到困难, 元件组装成整个系统就是建立各节点的平衡方程在一个统一的坐标系中建立节点平衡方程比较容易, 因此需要把各节点的轴向位移, 端点力转换到一个统一坐标系的, 方向上的分量元件各自的坐标系称为元件的局部坐标系, 整个系统的统一坐标系称为系统的总体坐标系一个元件的节点位移, 端点力在局部坐标系和总体坐标系中的分量如图. 所示在局部坐标和总体坐标中元件的刚度方程可以写成 : K U F (.9) [ ] { } { } [ K ] { U } { F } 其中 :[ K ], [ ] (.) K 分别是元件在局部坐标系和总体坐标系中的刚度矩阵, 其阶 8

6 数分别是和, { U },{ F },{ U }, { F }, 分别是元件在局部坐标系和总体坐标系中的节点位移向量和节点力向量即 : f { U } { F } f X { U } { F } X,,f,, X,f,X 图. 局部坐标和总体坐标局部坐标系和总体坐标系中节点位移之间的关系有 sn sn 写成矩阵形式有即 { U } [ ]{ U } 同样有 { } [ ]{ F F } sn sn (.a) (.) (.) [] 称为坐标转换矩阵由物理意义可知, 在两个不同坐标系中元件端点力在相应节点位移上所做的功相 9

7 等, 即 { F } { U } { F }{ U } 代入式 (.), 得 { F } { U } { F } [ ]{ U } 上式对任意的 { U } 成立, 得到 { F } { F } [ ] 即 { F } [ ] { F } 把 (.9) 代入 (.), 再代入 (.) 式得 { F } [ ] [ ]{ } [ ] [ ] K U K [ ]{ U } 与 (.) 式比较得到 [ ] [ ] [ ] [ ] (.) (.) (.5) K K (.6) 这就在局部坐标系和总体坐标系中元件刚度矩阵之间的坐标转换关系在局部坐标系中推导元件刚度矩阵 [ K ] 后 ( 比较容易, 形式简单 ) 由二个坐标系之间的几何关系 ( 用坐标转变矩阵 [ ] 表示 ) 就可得到在总体坐标系中的刚度矩阵在很多复杂情况下, 直接在总体坐标下建立元件刚度方程十分困难, 几乎是不可能的通常在元件各自的局部坐标系中建立方程, 再做坐标转换, 如图. 所示坐标转换是离散问题求解中的一个步骤图. 上面讨论的方法具有更一般的意义和应用例如 : 原来系统的方程是 [ K ]{} a { f } (.7) {a} 是系统的变量, 我们可以用一组新的变量 {b} 来描述这一问题, 它们与原来变量 {a} 之的关系可以写成 {} a [ ]{} b (.8) (.8) 代入 (.7) 得到 [ K ] [ ]{} b { f } 上式两端同时前乘矩阵 [ ] 得到

8 [ ] [ K] [ ]{ b} [ ] { f } 即 [ K ]{} b { f } (.9) (.) 其中 [ ] [ ] [ ] [ ] K K (.a) [ f ] [ ] [ f ] (.b) 显然 (.) 式是关于变量 {b} 的方程组, 求解方程得到 {b} 后可用 (.9) 式得到系统原来的变量 {a} 通常向量{b} 的阶数比 {a} 小得多这就使最后求解的方程阶数大大降低, 这个过程中隐含着通过 (.9) 式引入进一步的近似, 用较少的参数来近似原来的参数动力学问题中的振型迭加法就是一个应用的具体例子还要指出, 从方程 (.a) 可以看出, 如果原来的矩阵 [K] 是对称的, 那么变换后的矩阵 [K] 仍是对称的. 边界条件由元件组装而成的总体方程不能直接求解, 因为如果不施加适当的边界条件, 方程组的解是不唯一的, 或者说总体刚度矩阵是奇异的, 用力学的语言说就是结构存在刚体位移 ( 刚体运动 ) 必须施加适当的边界条件, 消除可能的刚体运动, 才能得到唯一解对于一个平面结构至少需要三个相互独立的位移约束如图.7 所示的平面桁架结构, 位移约束是 { } 和 { } 施加这种边界条件的最简单的方法是把总刚度方程中 (.6) 中 { },{ } 所对应的行, 列 ( 即前四行, 前四列 ) 划去, 把原来的 8 阶方程组, 化为阶方程组即 K K (.) K K 这种方法可以降低求解方程组的阶数, 但要改变方程的编号, 编程序不方便施加边界条件的另一种方法如下例如 : 节点的位移取指定的值, 即 { } { } (.) 我们知道如果一个节点的位移是已知值, 对应的节点外力就是未知的, 即是支反力取一个很大的数 α, 把 α [I ] 加到总体刚度矩阵的 [ K ] 子阵上, 对应的方程右端改写为 α{ }, 则这个节点对应的方程即为 ([ K ] α [ I ]){ } [ K ]{ } [ K ]{ } α{ } (.) 如果 α 的数值比所有刚度系数大得多, 上式可近似写成 α α (.5) { } { }

9 即 { } { } 这就是原来的边界条件显然,α 值取得值越大,(.5) 就满足得越好, 通常 α 取 6 ~ 这种方法要求解的方程阶数较高, 但对原来方程组改动的较小, 编程序比较容易. 求解离散问题的一般步骤由以上几节的讨论, 求解离散问题的一般步骤可归纳如下 : ) 确定一组离散的参数 {a}, 它们能够描述整个系统及其中各个元件的行为特点, 叫做系统的参数 ( 变量 ) ) 对元件进行分析, 由元件的物理性质, 连续性和平衡条件, 用系统参数 {a } 表示另一组量 {q }, 它们之间的一般关系为 { q } { q ({ a }) } (.6a) 对线性问题有 { q } [ ] K { a } (.6) 通常上述元件方程是在各自不同的局部坐标中建立起来的, 在进行下一步骤之前要把元件方程转换到总体坐标系中表示 ) 把所有元件的方程组装起来得到系统的总体方程 [ K ]{} a {} r (.7) K K,{a} 是系统的参数变量,{r} 是与 {a} 对应的节点外载荷向量其中 :[ ] [ ] 应该注意, 系统总体方程组装的物理意义是节点参数 {a} 的连续性和节点的平衡一个系统中每个元件的节点数可以不同, 但是每个节点的自由度数必须相同如图. 所示的理想化结构, 每个元件的节点数不同, 但每个节点的自由度数必须相同才能组装如果各节点的自由度数不同, 就必须把所有节点的自由度数扩充到与最大自由度的节点同阶至少要会交于同一点的各元件要具有相同的自由度数图. ) 施加适当的边界条件

试卷

竞赛试卷 ( 数学专业参考答案一 (5 分在仿射坐标系中求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分即 X + Y Z...3 分又因为 l 与平行所以有联立上述两个方程解得 :